1
ΚΥΜΑΤΑ (ερωτήσεις και ασκήσεις)
2
ΚΥΜΑΤΑ A.Εισαγωγή-Εξίσωση κύµατος. 1.
Α. Θεωρία ( σελ. 44-48) Απόδειξη της εξίσωσης του κύµατος. Β. Χαρακτηριστικές προτάσεις της θεωρίας. 1. Για τη δηµιουργία ενός κύµατος χρειάζονται η πηγή της διαταραχής ή πηγή του κύµατος, δηλαδή η αιτία που θα προκαλέσει τη διαταραχή και ένα υλικό (µέσο) στο οποίο κάθε µόριο αλληλεπιδρά µε τα γειτονικά του(ελαστικό µέσο). 2. Κατά τη διάδοση ενός κύµατος µεταφέρεται ενέργεια και ορµή από το ένα σηµείο του µέσου στο άλλο, όχι όµως και ύλη. 3. Η ταχύτητα µε την οποία διαδίδεται ένα κύµα σε ένα µέσον εξαρτάται µόνο από τις ιδιότητες του µέσου και όχι από το πόσο ισχυρή είναι η διαταραχή. 4. Στα στερεά ο ήχος διαδίδεται µε µεγαλύτερη ταχύτητα. 5. Τα εγκάρσια κύµατα διαδίδονται στα στερεά, τα διαµήκη διαδίδονται τόσο στα στερεά όσο και στα υγρά και τα αέρια. 6. Τα κύµατα που διαδίδονται στην επιφάνεια των υγρών µπορούν να θεωρηθούν κατά προσέγγιση εγκάρσια. 7. Οποιαδήποτε κυµατική διαταραχή, όσο περίπλοκη και να είναι, µπορεί να θεωρηθεί ότι προέρχεται από το άθροισµα ενός αριθµού αρµονικών κυµάτων. Γ. Βασικές σχέσεις. Θεµελιώδης εξίσωση της κυµατικής : υ=λ.f Εξίσωση του κύµατος : y=Aηµ2π(t/T-x/λ)
2.
Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Επιλέξτε την σωστή πρόταση.
1.1. Κατά τη διάδοση ενός κύµατος σε ένα ελαστικό µέσο Α. µεταφέρεται ύλη. Β. µεταφέρεται ενέργεια και ύλη. Γ. µεταφέρονται σωµατίδια του µέσου χαλαρά συνδεδεµένα µε το υπόλοιπο τµήµα. ∆. µεταφέρεται ενέργεια και ορµή. 1.2. Όταν ένα περιοδικό κύµα αλλάζει µέσο διάδοσης Α. η ταχύτητά του παραµένει σταθερή. Β. η συχνότητά του παραµένει σταθερή. Γ. το µήκος κύµατος δε µεταβάλλεται. ∆. µεταβάλλονται το µήκος κύµατος και η συχνότητά του. 1.3. Εγκάρσιο µηχανικό κύµα µήκους κύµατος λ, συχνότητας f και πλάτους Α διαδίδεται σε ένα ελαστικό µέσο. Α. Η ταχύτητα διάδοσης είναι ίση µε υ=2πfA. Β. Η µέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης των µορίων του µέσου καθορίζεται από τη σχέση υmax=λ.f. Γ. Τα µόρια του ελαστικού µέσου ταλαντώνονται κατά τη διεύθυνση διάδοσης του κύµατος. ∆. Το µέσο δε µπορεί να βρίσκεται σε αέρια κατάσταση.
3 1.4. ∆ιάµηκες µηχανικό κύµα µήκους κύµατος λ, συχνότητας f και πλάτους Α διαδίδεται σε ένα ελαστικό µέσο. Α. Τα µόρια του ελαστικού µέσου ταλαντώνονται κάθετα στη διεύθυνση διάδοσης του κύµατος. Β. Σχηµατίζονται «όρη» και «κοιλάδες». Γ. Το µέσο δε µπορεί να βρίσκεται σε υγρή κατάσταση. ∆. Η ταχύτητα διάδοσης είναι ίση µε υ= λ.f. 1.5. Μήκος κύµατος ενός αρµονικού κύµατος το οποίο διαδίδεται κατά µήκος γραµµικού οµογενούς ελαστικού µέσου είναι η απόσταση : Α. ανάµεσα σε δύο σηµεία του µέσου που έχουν διαφορά φάσης π rad. Β. που διανύει ένα σηµείο του ελαστικού µέσου σε χρόνο ίσο µε Τ. Γ. ανάµεσα σε µια «κοιλάδα» και το αµέσως επόµενο «όρος». ∆. που διανύει το κύµα σε χρόνο µιας περιόδου. 1.6. Κατά µήκος γραµµικού οµογενούς ελαστικού µέσου, το οποίο εκτείνεται κατά τη διεύθυνση του άξονα x’x, διαδίδεται εγκάρσιο αρµονικό κύµα. Το στιγµιότυπο του κύµατος παριστάνει Α. την αποµάκρυνση ενός σηµείου του ελαστικού µέσου σε συνάρτηση µε το χρόνο. Β. την αποµάκρυνση των σηµείων του µέσου σε συνάρτηση µε τη θέση τους x κάποια χρονική στιγµή. Γ. την ταχύτητα των σηµείων του µέσου σε συνάρτηση µε τη θέση τους x κάποια χρονική στιγµή. ∆. την εικόνα του µέσου κάποια χρονική στιγµή. 1.7. Η ταχύτητα διάδοσης υ, η περίοδός του Τ και το µήκος κύµατος λ, συνδέονται µε τη σχέση Τ υ λ Α. λ = Β. Τ = Γ. υ = ∆. Τ=υ.λ υ λ Τ 1.8. Κατά µήκος γραµµικού ελαστικού µέσου διαδίδεται αρµονικό κύµα χωρίς απώλειες. Η συχνότητα ταλάντωσης των µορίων του µέσου : Α. Εξαρτάται από το είδος του κύµατος ( εγκάρσιο ή διάµηκες ) Β. Εξαρτάται από το είδος των δεσµών ανάµεσα στα µόρια του µέσου. Γ. Εξαρτάται από την ταχύτητα διάδοσης του κύµατος. ∆. Εξαρτάται από τη συχνότητα της πηγής και είναι ίση µε αυτήν. 1.9. Αρµονικό κύµα περνά από ένα ελαστικό µέσο σε ένα άλλο και το µήκος κύµατος αυξάνεται. Α. Θα αυξηθεί και η συχνότητα του κύµατος. Β. Θα αυξηθεί και η ταχύτητα διάδοσης του κύµατος. Γ. Θα αυξηθεί και η περίοδος της ταλάντωσης των µορίων του µέσου. ∆. Θα αυξηθεί και η µέγιστη ταχύτητα των µορίων του µέσου. 1.10. Σύµφωνα µε τη θεµελιώδη εξίσωση της κυµατικής, για ένα αρµονικό ηχητικό κύµα που διαδίδεται στον αέρα: Α. Η ταχύτητά του είναι ανάλογη προς τη συχνότητά του. Β. Η ταχύτητά του είναι ανάλογη προς το µήκος κύµατος. Γ. Η συχνότητά του είναι αντιστρόφως ανάλογη προς το µήκος κύµατος. ∆. Το µήκος κύµατος είναι αντιστρόφως ανάλογο προς τη συχνότητά του.
4 3.
Ερωτήσεις σωστού-λάθους µε αιτιολόγηση.
1.11. Κατά µήκος γραµµικού οµογενούς ελαστικού µέσου, το οποίο εκτείνεται στη διεύθυνση x’x, διαδίδεται εγκάρσιο αρµονικό κύµα. Θεωρούµε ως αρχή του άξονα ένα σηµείο Ο το οποίο αρχίζει να ταλαντώνεται τη στιγµή t=0, µε εξίσωση y=A.ηµωt. Α. Η εξίσωση που περιγράφει το αρµονικό κύµα όταν αυτό διαδίδεται προς την θετική κατεύθυνση είναι : y=A.ηµ(2π/λ)(υt-x). B. ∆ύο σηµεία Γ και ∆ του ελαστικού µέσου, που εκτελούν ταλάντωση και οι θέσεις ισορροπίας τους είναι αντίστοιχα xΓ και x∆, έχουν διαφορά φάσης φΓ-φ∆=2π(xΓ - x∆)/λ. Γ. Ένα σηµείο Ζ του µέσου που βρίσκεται στη θέση x=2λ, αρχίζει να εκτελεί ταλάντωση τη χρονική στιγµή t=2T. ∆. Τη χρονική στιγµή t=3T η φάση της ταλάντωσης του σηµείου Ζ θα είναι ίση µε 2π rad. 1.12. Κατά µήκος γραµµικού οµογενούς ελαστικού µέσου, το οποίο εκτείνεται στη διεύθυνση x’x, διαδίδεται εγκάρσιο αρµονικό κύµα κατά τη θετική κατεύθυνση. Θεωρούµε ως αρχή του άξονα ένα σηµείο Ο το οποίο αρχίζει να ταλαντώνεται τη στιγµή t=0, µε εξίσωση y=A.ηµωt. Η φάση της ταλάντωσης δύο σηµείων Μ και Ν τη χρονική στιγµή t1=2T είναι φΜ=7π/3 και φΝ=2π/3. Α. Το κύµα διαδίδεται από το Μ προς το Ν. Β. Η θέση ισορροπίας του σηµείου Μ είναι xM=5λ/3. Γ. Τη χρονική στιγµή t1 τα σηµεία Μ και Ν θα έχουν αντίθετες αποµακρύνσεις. ∆. Τη χρονική στιγµή t1 τα σηµεία Μ και Ν θα έχουν αντίθετες ταχύτητες. 1.13. Κατά µήκος γραµµικού οµογενούς ελαστικού µέσου, το οποίο εκτείνεται στη διεύθυνση x’x, διαδίδεται εγκάρσιο αρµονικό κύµα κατά την αρνητική κατεύθυνση. Θεωρούµε ως αρχή του άξονα ένα σηµείο Ο το οποίο αρχίζει να ταλαντώνεται τη στιγµή t=0, µε εξίσωση y=A.ηµωt. Η φάση της ταλάντωσης δύο σηµείων Μ και Ν, την ίδια χρονική στιγµή, είναι φΜ=15π/2 και φΝ=5π/2. Α. Η εξίσωση που περιγράφει το αρµονικό κύµα είναι : y=A.ηµ(ωt+2πx/λ). Β. Τη χρονική στιγµή t1=T το κύµα φτάνει στη θέση x=λ. Γ. Το κύµα διαδίδεται από το Μ προς το Ν. ∆. Τα σηµεία Μ και Ν απέχουν στη διεύθυνση διάδοσης του κύµατος µεταξύ τους απόσταση η οποία είναι περιττό πολλαπλάσιο του λ/2. 1.14. Στο παραπλεύρως σχήµα δίνονται δύο στιγµιότυπα y (1) εγκάρσιου αρµονικού κύµατος περιόδου Τ και πλάτους Α, το οποίο διαδίδεται σε γραµµικό οµογενές ελαστικό µέσο προς τη θετική κατεύθυνση Ο A B x του άξονα x’x. Το σηµείο Ο (x=0) αρχίζει να ταλαντώνεται τη στιγµή t=0. y (2) Α. Το στιγµιότυπο (1) αντιστοιχεί στη χρονική Ο Γ ∆ x στιγµή t=3T/2. B. Το στιγµιότυπο (2) αντιστοιχεί στη χρονική στιγµή t=T/2. Γ. Στο στιγµιότυπο (1) οι ταχύτητες των σηµείων Α και Β είναι αντίστοιχα υΑ=ωΑ και υΒ=-ωΑ. ∆. Στο στιγµιότυπο (2) οι επιταχύνσεις των σηµείων Γ και ∆ είναι αντίστοιχα αΓ=-ω2Α και α∆=ω2Α.
5 1.15. Κατά µήκος γραµµικού οµογενούς ελαστικού µέσου διαδίδεται αρµονικό κύµα που περιγράφεται από την εξίσωση : y=5. ηµ(10π.t-2x) ( SI) A. To πλάτος του κύµατος είναι 5 m. B. H συχνότητα του κύµατος είναι ίση µε 5 Hz. Γ. Το µήκος κύµατος είναι λ=π m. ∆. Η µέγιστη ταχύτητα της ταλάντωσης των σηµείων του µέσου είναι υ=50π m. 1.16. Το διάγραµµα δείχνει ένα στιγµιότυπο ενός αρµονικού κύµατος τη στιγµή t1=12 s στο σύστηµα SI. Το κύµα διαδίδεται προς τη θετική κατεύθυνση και έφτασε στη θέση x=0m τη στιγµή t=0s. A. Το πλάτος του κύµατος είναι 0,2 m. B. Το µήκος κύµατος είναι 2 m. Γ. Η ταχύτητα του κύµατος είναι 0,5 m/s. ∆. Η περίοδος του κύµατος είναι 4 s.
0,2 y(m) x(m) 2
4
6
1.17. Αρµονικό κύµα διαδίδεται σε γραµµικό ελαστικό µέσο y(m) προς την θετική κατεύθυνση. Τη στιγµή t=0s το κύµα φτάνει στη θέση x=0m. Στο σχήµα φαίνεται η 2 4 6 αποµάκρυνση ενός σηµείου του µέσου που βρίσκεται στη θέση x=1m σε συνάρτηση µε το χρόνο. A. Η συχνότητα της ταλάντωσης είναι : f=0,25Hz Β. Η ταχύτητα του κύµατος είναι ίση µε : υ=2m/s. Γ. Η φάση της ταλάντωσης του σηµείου τη στιγµή t=4s είναι ίση µε : φ=π rad. ∆. Το µήκος κύµατος είναι ίσο µε : λ=4m. 4
t(s)
Ασκήσεις.
1.18. Αρµονικό κύµα διαδίδεται σε γραµµικό y ∆ οµογενές µέσο προς τη θετική κατεύθυνση του x άξονα x’x. Ένα στιγµιότυπο του κύµατος Α Γ Ε φαίνεται στο σχήµα. Β Α. Ποιa από τα σηµεία Α, Β, Γ, ∆ και Ε του σχήµατος έχουν θετική και ποιa έχουν αρνητική ταχύτητα; Β. Ποια από τα σηµεία του σχήµατος έχουν θετική και ποια έχουν αρνητική επιτάχυνση; Γ. Να βρείτε τη φάση της ταλάντωσης των σηµείων Α και Ε αν η φάση της ταλάντωσης του ∆ είναι ίση µε 5π/2. ∆. Να σχεδιάσετε το στιγµιότυπο του κύµατος µετά από χρόνο Τ/2. 1.19. Μια πηγή Ο αρχίζει να εκτελεί, τη στιγµή t=0, ΑΑΤ µε εξίσωση y=0,08ηµπt (SI). Το παραγόµενο κύµα διαδίδεται κατά τη θετική κατεύθυνση του άξονα x’x µε ταχύτητα υ=2m/s. Α. Να γράψετε την εξίσωση του κύµατος. Β. Να γράψετε τις εξισώσεις που δίνουν την ταχύτητα και την επιτάχυνση ενός σηµείου Μ που βρίσκεται στη θέση x=2m και να τις παραστήσετε γραφικά. Γ. Να σχεδιάσετε το στιγµιότυπο του κύµατος τη στιγµή t=1,5s. ∆. Να παραστήσετε γραφικά τη φάση της ταλάντωσης των σηµείων του µέσου σε συνάρτηση µε τη θέση τους x τη στιγµή t=5s.
6
1.20. Το σχήµα δείχνει το στιγµιότυπο ενός αρµονικού κύµατος, που διαδίδεται προς τη 0,2 y(m) θετική κατεύθυνση του άξονα x’x, τη στιγµή x(m) t1=12 s στο σύστηµα SI. ∆ίνεται Τ=8s. 2 4 6 Α. Να γράψετε την εξίσωση του κύµατος. Β. Να γράψετε τις συναρτήσεις υ=f(x,t) και α=f(x,t) που δίνουν την ταχύτητα και την επιτάχυνση των σηµείων του µέσου. Γ. Να γίνουν τα διαγράµµατα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης των σηµείων του µέσου σε συνάρτηση µε το x τη στιγµή t1. 1.21. Ένα αρµονικό κύµα διαδίδεται προς την αρνητική κατεύθυνση του άξονα x’x και έχει τα εξής χαρακτηριστικά: Α=0,05m, λ=0,8m και f=4Hz. Να γράψετε την εξίσωση του κύµατος στις παρακάτω περιπτώσεις: Α. Στη θέση x=0, για t=0 είναι y=0 µε µέγιστη θετική ταχύτητα. Β. Στη θέση x=0,1m, για t=0 είναι y=0 µε µέγιστη θετική ταχύτητα. 1.22. ∆ιάµηκες κύµα διαδίδεται σε γραµµικό x’ ∆ οµογενές µέσο (άξονας x’x) προς τη θετική x κατεύθυνση. Στο σχήµα δίνεται η γραφική Α Γ Ε παράσταση της αποµάκρυνσης x’ από τη θέση Β ισορροπίας σε συνάρτηση µε τη θέση x του σηµείου ισορροπίας. Α. Σε ποια σηµεία έχουµε πύκνωµα και σε ποια έχουµε αραίωµα; Β. Σε ποια σηµεία του γραµµικού µέσου παρουσιάζεται η µέγιστη παραµόρφωση; 5.
Προβλήµατα.
1.23. Το άκρο Ο γραµµικού οµογενούς ελαστικού µέσου αρχίζει, τη στιγµή t=0, να εκτελεί ΑΑΤ µε εξίσωση y=10ηµ20πt (y σε cm), οπότε διαδίδεται, κατά µήκος του ηµιάξονα Οx, κύµα µε ταχύτητα υ=1m/s. Α. Να γράψετε την εξίσωση του κύµατος. Β. Να γράψετε την εξίσωση της αποµάκρυνσης σηµείου Μ ( xM=2m ) και να υπολογίσετε την τιµή της τη χρονική στιγµή t1=5,625s. Να κατασκευάσετε το διάγραµµα της αποµάκρυνσης σε συνάρτηση µε το χρόνο για το σηµείο Μ. Γ. Ποια η φάση του Μ την ίδια χρονική στιγµή; Να κατασκευάσετε το διάγραµµα της φάσης σε συνάρτηση µε το χρόνο για το σηµείο Μ. 1.24. Ηµιτονοειδές εγκάρσιο κύµα πλάτους Α=0,1m φ(rad) διαδίδεται κατά µήκος γραµµικού οµογενούς ελαστικού µέσου κατά τη θετική κατεύθυνση του 10π άξονα x’x. Η εξίσωση της ταλάντωσης του σηµείου Ο (x=0) είναι y=A.ηµωt. Στο σχήµα δίνεται η φάση του κύµατος σε συνάρτηση µε το x τη χρονική x(m) στιγµή t=2s. 2 Α. Να υπολογιστεί η περίοδος και το µήκος κύµατος. Β. Να γράψετε την εξίσωση του κύµατος. Γ. Τη στιγµή t=4s να υπολογιστεί η ταχύτητα και η επιτάχυνση σηµείου Α ( xA=1m ). ∆. Να σχεδιάσετε το στιγµιότυπο του κύµατος τη στιγµή t=2s.
7 1.25. Ένα εγκάρσιο κύµα διαδίδεται προς πάνω σε µια χορδή. Σε απόσταση 0,2 m από την πηγή, που θεωρείται ότι έχει αρχική φάση φ=0, ένα σηµείο Α της χορδής κάνει ταλάντωση σύµφωνα µε τη σχέση : y=5.ηµ(2t-π/2). Α. Να βρεθεί η εξίσωση του κύµατος. Β. Ποια η διαφορά φάσης του Α µε ένα σηµείο Γ της χορδής που βρίσκεται 0,1 m µετά το Α; 1.26. Εγκάρσιο αρµονικό κύµα πλάτους 10cm και µήκους κύµατος 40cm διαδίδεται προς τη θετική κατεύθυνση σε ένα οριζόντιο τεντωµένο σχοινί µε ταχύτητα υ=4 m/s. Τη στιγµή t=0 το κύµα φτάσει σε ένα σωµατίδιο του νήµατος που βρίσκεται σε απόσταση 10 cm από την αρχή µέτρησης των αποστάσεων και το οποίο βρίσκεται στη θέση ισορροπίας και κινείται κατά τη θετική φορά. Α. Να γραφεί η εξίσωση του κύµατος. Β. Να υπολογιστεί το µέτρο της µέγιστης επιτάχυνσης των σωµατιδίων του νήµατος. (π2=10) Γ. ]α σχεδιάσετε τα στιγµιότυπα του κύµατος ( 0≤ x ≤0,5m ) τις χρονικές στιγµές : 0 s, 0,1 s. ∆. Να γίνει το διάγραµµα της αποµάκρυνσης σε συνάρτηση µε τον χρόνο για ένα σηµείο που βρίσκεται στη θέση x=0 m ( t ≤0,2s ). 1.27. Κατά µήκος γραµµικού οµογενούς ελαστικού µέσου διαδίδεται προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα x’x εγκάρσιο αρµονικό κύµα µα πλάτος Α=4cm, µήκος κύµατος λ=20cm και ταχύτητα υ=2m/s. Το σηµείο O (x=0) αρχίζει να εκτελεί ταλάντωση τη στιγµή t=0 µε µέγιστη αρνητική ταχύτητα. Α. Να γράψετε την εξίσωση της αποµάκρυνσης του Ο σε συνάρτηση µε το χρόνο. Β. Να γράψετε την εξίσωση του κύµατος. Γ. Να κατασκευάσετε τη γραφική παράσταση y=f(x) τη χρονική στιγµή t=0,125s. 1.28. Στο σχήµα φαίνονται δύο γραφικές παραστάσεις για εγκάρσιο αρµονικό κύµα το οποίο διαδίδεται κατά µήκος γραµµικού οµογενούς ελαστικού µέσου, προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα x’x. Α. Να υπολογίσετε το µήκος κύµατος και την περίοδο. Β. Να γράψετε την εξίσωση του κύµατος. Γ. Να σχεδιάσετε το στιγµιότυπο του κύµατος τη χρονική στιγµή t=0,4s.
2
y(cm) 5
2
t=0 10
x(cm)
y(cm) 0,4 0,8
t(s)
1.29. Θεωρούµε σηµειακή πηγή παραγωγής κυµάτων της οποίας η αποµάκρυνση από τη θέση ισορροπίας δίνεται από την εξίσωση y=2ηµ(2πt+φ0) (t σε s y σε cm). Τη χρονική στιγµή t=0 η πηγή βρίσκεται στη µέγιστη θετική αποµάκρυνση από τη θέση ισορροπίας της. Όταν η πηγή περνά από τη θέση ισορροπίας της για τρίτη φορά, το κύµα που παράγεται από αυτήν έχει διαδοθεί σε απόσταση d=25cm. Α. Να βρείτε τη γωνία φ0. Β. Να γράψετε την εξίσωση του κύµατος που διαδίδεται µε αρχή το Ο (θέση της πηγής) προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα x’x. Γ. Να παραστήσετε γραφικά τη φάση φ της ταλάντωσης για τα διάφορα σηµεία του ηµιάξονα Οx, σε συνάρτηση µε την αποµάκρυνσή τους x από το Ο τη στιγµή t=5s. ∆. Να σχεδιάσετε το στιγµιότυπο του κύµατος τη χρονική στιγµή t=4,5s.
8
Β. Επαλληλία κυµάτων – Συµβολή. 1.
Α. Θεωρία ( σελ. 48-52) 1. Ορισµοί της αρχής της επαλληλίας και της συµβολής. 2. Ποιοτική εξήγηση των σχέσεων που δίνουν τους γεωµετρικούς τόπους των σηµείων που εκτελούν ταλάντωση µέγιστου πλάτους και µηδενικού πλάτους. 3. Μαθηµατική απόδειξη των σχέσεων που δίνουν τους γεωµετρικούς τόπους των σηµείων που εκτελούν ταλάντωση µέγιστου πλάτους και µηδενικού πλάτους. Β. Χαρακτηριστικές προτάσεις της θεωρίας. 1. Όταν σε ένα ελαστικό µέσο διαδίδονται δύο ή περισσότερα κύµατα η αποµάκρυνση ενός σηµείου του µέσου είναι ίση µε τη συνισταµένη των αποµακρύνσεων που οφείλονται στα επιµέρους κύµατα. 2. Η αρχή της επαλληλίας παραβιάζεται µόνο όταν τα κύµατα είναι τόσο ισχυρά ώστε να µεταβάλλουν τις ιδιότητες του µέσου στο οποίο διαδίδονται ( όταν οι δυνάµεις που ασκούνται στα σωµατίδια του µέσου δεν είναι ανάλογες της αποµάκρυνσης). Τέτοιες περιπτώσεις όπου δεν ισχύει η αρχή της επαλληλίας έχουµε στα κύµατα που δηµιουργούνται από µια έκρηξη. 3. Η ταυτόχρονη διάδοση δύο ή περισσοτέρων κυµάτων στην ίδια περιοχή ενός ελαστικού µέσου ονοµάζεται συµβολή. Γ. Βασικές σχέσεις. Εξίσωση της ταλάντωσης ενός σηµείου στο οποίο συµβάλλουν δύο κύµατα ( µε απόδειξη) r −r t r +r y = 2 Aσυν 2π 1 2 .ηµ 2π − 1 2 2λ 2λ T
2.
Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Επιλέξτε την σωστή πρόταση.
2.1. Για να παρατηρηθεί το φαινόµενο της συµβολής δύο κυµάτων πρέπει οπωσδήποτε: Α. τα κύµατα να προέρχονται από σύµφωνες πηγές. Β. τα κύµατα να είναι αρµονικά. Γ. τα κύµατα να είναι εγκάρσια. ∆. τα κύµατα να διαδίδονται στο ίδιο ελαστικό µέσο. 2.2
Η µελέτη της συµβολής κυµάτων γίνεται εφαρµόζοντας : Α. Την αρχή διατήρησης της ενέργειας. Β. Την αρχή διατήρησης της ορµής. Γ. Την αρχή διατήρησης της ύλης. ∆. Την αρχή της επαλληλίας.
2.3.
Η αρχή της επαλληλίας των κυµάτων: A. παραβιάζεται µόνον όταν τα κύµατα είναι τόσο ισχυρά, ώστε οι δυνάµεις που ασκούνται στα σωµατίδια του µέσου, δεν είναι ανάλογες των αποµακρύνσεων. B. δεν παραβιάζεται ποτέ. Γ. ισχύει µόνον όταν τα κύµατα που συµβάλλουν, προέρχονται από πηγές που βρίσκονται σε φάση. ∆. δεν ισχύει, όταν συµβάλλουν περισσότερα από δύο κύµατα. ( Π.Ε.)
9 2.4. ∆ύο πηγές κυµάτων λέγονται σύγχρονες όταν : Α. Ταλαντώνονται µε την ίδια συχνότητα. Β. Ταλαντώνονται µε το ίδιο πλάτος. Γ. Ταλαντώνονται µε την ίδια αρχική φάση. ∆. Ταλαντώνονται µε την ίδια συχνότητα και έχουν την ίδια αρχική φάση. 2.5. ∆ύο σύγχρονες πηγές κυµάτων ταλαντώνονται µε πλάτος Α και δηµιουργούν αρµονικά κύµατα στην επιφάνεια υγρού µήκους κύµατος λ. Το πλάτος της ταλάντωσης των υλικών σηµείων της µεσοκαθέτου του ευθύγραµµου τµήµατος που ενώνει τις δύο πηγές είναι : Α. ίσο µε Α Β. πάντα ίσο µε 2Α Γ. ίσο µε Α√2 ∆. συνήθως ίσο µε 2Α 2.6. ∆ύο σύγχρονες πηγές κυµάτων ταλαντώνονται µε πλάτος Α και δηµιουργούν αρµονικά κύµατα στην επιφάνεια υγρού µήκους κύµατος λ. Το πλάτος Α’ της ταλάντωσης των σηµείων της επιφάνειας του υγρού : Α. είναι υποχρεωτικά ίσο µε 2Α. Β. είναι υποχρεωτικά ίσο µε µηδέν. Γ. είναι υποχρεωτικά ίσο µε 2Α ή ίσο µε µηδέν. ∆. είναι 0 ≤ Α’≤ 2Α µε την προϋπόθεση ότι η απόσταση ανάµεσα στις πηγές είναι µεγαλύτερη ή ίση από λ/2. 3.
Ερωτήσεις σωστού-λάθους µε αιτιολόγηση.
2.7. ∆ύο σύγχρονες πηγές Π1 και Π2 εκπέµπουν αρµονικά εγκάρσια κύµατα που διαδίδονται στην επιφάνεια νερού µε ταχύτητα υ.. Τα κύµατα φτάνουν σε σηµείο Σ που απέχει απόσταση r1 από την πηγή Π1 και απόσταση r2 από την πηγή Π2.( r1> r2 ) Η εξίσωση : π t r +r y = 2 Aσυν (r1 − r2 ).ηµ 2π ( − 1 2 ) λ T 2λ Α. Είναι η εξίσωση του κύµατος συµβολής. Β. Είναι η εξίσωση της ταλάντωσης του σηµείου Σ. Γ. Ισχύει για t≥ r2/υ. ∆. Ισχύει για t≥ r1/υ. 2.8. ∆ύο σύγχρονες πηγές κυµάτων δηµιουργούν αρµονικά κύµατα στην επιφάνεια υγρού. Η φάση της ταλάντωσης ενός σηµείου Α της επιφάνειας του υγρού τη στιγµή t1: Α. εξαρτάται από το άθροισµα των αποστάσεων του Α από τις δύο πηγές. Β. εξαρτάται από τη διαφορά των αποστάσεων του Α από τις δύο πηγές. Γ. εξαρτάται από τη συχνότητα ταλάντωσης των δύο πηγών. ∆. είναι µεγαλύτερη από τη φάση της ταλάντωσης των δύο πηγών. 2.9. Κατά µήκος ευθείας x΄x βρίσκονται στις θέσεις K και Λ δύο σηµειακές πηγές Π
1
και Π παραγωγής µηχανικών αρµονικών κυµάτων. Η εξίσωση που περιγράφει 2
τις αποµακρύνσεις τους από τη θέση ισορροπίας τους σε συνάρτηση µε το χρόνο είναι y=Aηµωt. Η απόσταση (ΚΛ) είναι 6cm. Το µήκος κύµατος των παραγόµενων κυµάτων είναι 4cm. Σε σηµείο Σ της ευθείας x΄x, το οποίο δεν ανήκει στο ευθύγραµµο τµήµα ΚΛ και δεν βρίσκεται κοντά στις πηγές, το πλάτος ( Π.Ε. ) ταλάντωσής του Α΄ θα είναι α) A΄=2Α
β) A΄=0.
γ) 0< A΄<2Α
10 2.10. Σηµείο Μ εκτελεί δύο ταλαντώσεις στην ίδια διεύθυνση. To Μ απέχει από δύο σύγχρονες πηγές ίδιου πλάτους αποστάσεις r1 =0,5m και r2 αντίστοιχα και η εξίσωση της ταλάντωσής του είναι : y=0,2.ηµ(4πt-4π). Η ταχύτητα διάδοσης των κυµάτων είναι υ=2m/s. Α. Η συχνότητα ταλάντωσης του Μ είναι : f=2Hz. Β. Το µήκος κύµατος των κυµάτων είναι : λ=1m. Γ. Η απόσταση r2 =1,5m. ∆. Το πλάτος της ταλάντωσης των πηγών είναι : Α=0,1m. 2.11. ∆ύο αρµονικά κύµατα ίδιου πλάτους Α δηµιουργούνται από δύο σύγχρονες πηγές και διαδίδονται στην επιφάνεια ενός υγρού. Οι πηγές αρχίζουν να ταλαντώνονται τη στιγµή t=0. Σηµείο Ζ της επιφάνειας του υγρού απέχει από τη πηγή Π1 απόσταση r1=4λ και από τη Π2 απόσταση r2> r1. Τα δύο κύµατα φτάνουν στο Ζ µε χρονική διαφορά ∆t=T. 1. Στο σηµείο Ζ συµβαίνει : Α. ακυρωτική συµβολή (απόσβεση) Β. ενισχυτική συµβολή. 2. Η απόσταση r2 θα είναι ίση µε : Α. λ Β. 5λ Γ. 3λ. 3. Τη χρονική στιγµή t=4,5T το σηµείο Ζ : Α. δεν ταλαντώνεται Β. ταλαντώνεται µε πλάτος Α Γ. ταλαντώνεται µε πλάτος 2Α 2.12. ∆ύο σύγχρονες πηγές κυµάτων ταλαντώνονται µε πλάτος Α και δηµιουργούν αρµονικά κύµατα στην επιφάνεια υγρού µε µήκος κύµατος λ=0,6m. Η απόσταση ανάµεσα στις δύο πηγές είναι ίση µε d=1m. Ανάµεσά τους και πάνω στο ευθύγραµµο τµήµα που τις συνδέει υπάρχουν : Α. 4 σηµεία µε πλάτος 2Α και 4 σηµεία µε πλάτος 0. Β. 3 σηµεία µε πλάτος 2Α και 3 σηµεία µε πλάτος 0. Γ. 3 σηµεία µε πλάτος 2Α και 4 σηµεία µε πλάτος 0.
4. Ασκήσεις-Προβλήµατα. 2.13. ∆ύο σύγχρονες πηγές κυµάτων Π1 και Π2 ταλαντώνονται σύµφωνα µε την σχέση y=0,2.ηµπt (SI). Τα κύµατα διαδίδονται στην επιφάνεια ενός υγρού. Σηµείο Γ της επιφάνειας του υγρού απέχει από τις πηγές αποστάσεις r1=2 m r2=4 m και αρχίζει να εκτελεί ΑΑΤ τη στιγµή t=2s. Α. Να υπολογιστεί το µήκος κύµατος των κυµάτων. Β. ]a βρεθεί η εξίσωση της ταλάντωσης του σηµείου Γ και να κατασκευαστεί η γραφική παράσταση της αποµάκρυνσης σε συνάρτηση µε το χρόνο. Γ. ]a υπολογιστεί η ταχύτητα του σηµείου Γ σε συνάρτηση µε τον χρόνο και να γίνει το αντίστοιχο διάγραµµα. 2.14. ∆ύο σύγχρονες πηγές κυµάτων Π1 και Π2 βρίσκονται αντίστοιχα στις θέσεις Α και Β και ταλαντώνονται σύµφωνα µε την σχέση y=0,2.ηµπt (SI). Τα κύµατα διαδίδονται στην επιφάνεια ενός υγρού. Η απόσταση ανάµεσα στις δύο πηγές είναι ίση µε d=8,6 m. Η ταχύτητα διάδοσης των κυµάτων είναι 1 m/s και υποθέτουµε ότι το πλάτος τους διατηρείται σταθερό. A. ]a σχεδιαστούν (κατά προσέγγιση) οι γεωµετρικοί τόποι των σηµείων, τα οποία ταλαντώνονται µε µέγιστο πλάτος. Για κάθε καµπύλη να υπολογιστεί η διαφορά r2-r1. Β. ]a σχεδιαστούν (κατά προσέγγιση) οι γεωµετρικοί τόποι των σηµείων, τα οποία µένουν διαρκώς ακίνητα. Για κάθε καµπύλη να υπολογιστεί η διαφορά r2-r1. Γ. Έστω Ο το µέσο του τµήµατος ΑΒ. Ποια η εξίσωση της ταλάντωσης του Ο; Πόσο απέχει από το Ο ( πάνω στην ΑΒ ) το αµέσως επόµενο σηµείο µε πλάτος 0,4 m; Πόσο απέχει από το Ο ( πάνω στην ΑΒ ) το αµέσως επόµενο σηµείο το οποίο παραµένει ακίνητο;
11 2.15. ∆ύο πηγές κυµάτων Π1 και Π2 ταλαντώνονται σύµφωνα µε την σχέση y1=0,2.ηµπt και y2=0,2.ηµ(πt+π) (SI) αντίστοιχα. Τα κύµατα διαδίδονται στην επιφάνεια ενός υγρού. Η ταχύτητα διάδοσης των κυµάτων είναι 1 m/s και υποθέτουµε ότι το πλάτος τους διατηρείται σταθερό. Ένα σηµείο Γ της επιφάνειας του υγρού απέχει από τις πηγές αποστάσεις r1=3 m r2=4 m. A. ]a βρεθεί η εξίσωση της ταλάντωσης του σηµείου Γ και να κατασκευαστεί η γραφική παράσταση της αποµάκρυνσης σε συνάρτηση µε το χρόνο. Β. Για ποιες τιµές της διαφοράς r2-r1 το πλάτος της ταλάντωσης των σηµείων της επιφάνειας του υγρού θα είναι ίσο µε 0,4 m ; 2.16. ∆ύο σύµφωνες πηγές κυµάτων αρχίζουν, τη χρονική y(m) στιγµή t=0, να εκπέµπουν αρµονικά κύµατα στην 0,2 επιφάνεια ενός υγρού. Η αποµάκρυνση ενός σηµείου Σ που βρίσκεται πιο κοντά στην πηγή 2 δίνεται από το διάγραµµα του σχήµατος (ηµιτονοειδή τµήµατα). Η -0,4 ταχύτητα διάδοσης των κυµάτων είναι : υ=2m/s. Α. Να υπολογίσετε την απόσταση του Σ από τις δύο πηγές. Β. Να βρείτε την εξίσωση της ταλάντωσης των δύο πηγών.
5 7 9 11
t(s)
2.17. ∆ύο σύγχρονες πηγές κυµάτων Π1 και Π2 βρίσκονται στα σηµεία Α και Β της επιφάνειας νερού και προκαλούν όµοια εγκάρσια κύµατα που διαδίδονται µε ταχύτητα υ=0,5m/s. Ένα σηµείο Κ της επιφάνειας βρίσκεται πάνω στο ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ και απέχει από τα Α και Β αποστάσεις r1 και r2 µε r1 > r2. Το σηµείο Κ είναι το πλησιέστερο προς το µέσο Μ του ΑΒ που ταλαντώνεται µε µέγιστο πλάτος. Η εξίσωση της αποµάκρυνσης του Κ είναι : y=0,2ηµ5π(t-2)/3 Να υπολογιστούν : Α. Η περίοδος, το µήκος κύµατος και το πλάτος των κυµάτων που συµβάλλουν. Β. Η απόσταση ΑΒ και οι αποστάσεις r1 και r2. Γ. Ο αριθµός των σηµείων του ΑΒ όπου το πλάτος της ταλάντωσης είναι Α=0,2m. ( ΠΕ ) 2.18. ∆ύο σύγχρονες πηγές κυµάτων Π1 και Π2 ταλαντώνονται κάθετα στην επιφάνεια υγρού µε εξισώσεις : y1=0,2 ηµ2πt και y2=0,2 ηµ2πt (SI). Τα παραγόµενα κύµατα διαδίδονται µε ταχύτητα υ=2m/s. Ένα σηµείο Σ βρίσκεται πάνω στον φορέα του ευθύγραµµου τµήµατος Π1Π2, εκτός του τµήµατος Π1Π2 και απέχει από τις δύο πηγές αποστάσεις r1=4m και r2=2m. Α. Να βρεθεί η εξίσωση της ταλάντωσης του Σ και να παρασταθεί γραφικά σε συνάρτηση µε το χρόνο. Β. Να υπολογιστεί ο αριθµός των κροσσών ενισχυτικής συµβολής και απόσβεσης. Γ. Να σχεδιαστούν οι κροσσοί ενισχυτικής συµβολής. 2.19. Τρεις σύγχρονες πηγές κυµάτων Π1, Π2 και Π3 δηµιουργούν αρµονικά κύµατα πλάτους Α και µήκους κύµατος λ=0,6m στην επιφάνεια ενός υγρού. Να υπολογιστεί το πλάτος της ταλάντωσης των παρακάτω σηµείων: Α. Σηµείο Γ που απέχει αντίστοιχα: d1=0,9m, d2=0,9m, d3=0,9m. B. Σηµείο ∆ που απέχει αντίστοιχα: d1=0,9m, d2=0,3m, d3=1,2m.
12
Γ. Στάσιµα κύµατα. 1.
Α. Θεωρία ( σελ. 52-55) 1. Απόδειξη της εξίσωσης του στάσιµου κύµατος 2. Προσδιορισµός των θέσεων των δεσµών και των κοιλιών. Β. Χαρακτηριστικές προτάσεις της θεωρίας. 1. Κρατάµε την ελεύθερη άκρη ενός τεντωµένου σχοινιού, που η άλλη του άκρη είναι στερεωµένη σε ακλόνητο σηµείο και της δίνουµε µια ώθηση. Με αυτόν τον τρόπο δηµιουργείται ένας κυµατικός παλµός ο οποίος διαδίδεται κατά µήκος του σχοινιού. Όταν η κυµατική διαταραχή φτάσει στην άκρη του σχοινιού το σχοινί ασκεί µια δύναµη στο σηµείο στήριξης. Η αντίδραση σε αυτή τη δύναµη δηµιουργεί έναν ανακλώµενο παλµό που κινείται στην αντίθετη κατεύθυνση (προσοχή στο σχήµα). 2. Εφόσον στο στάσιµο κύµα υπάρχουν σηµεία που παραµένουν πάντα ακίνητα, δε µεταφέρεται ενέργεια από το ένα σηµείο του µέσου στο άλλο. 3. Η ενέργεια που είχαν τα αρχικά κύµατα , η συµβολή των οποίων έδωσε το στάσιµο κύµα, εγκλωβίζεται ανάµεσα στους δεσµούς. 4. Σε µια χορδή στην οποία έχει δηµιουργηθεί στάσιµο κύµα, η ενέργεια µετατρέπεται συνεχώς από ελαστική δυναµική ενέργεια, όταν η χορδή είναι στιγµιαία ακίνητη, σε κινητική, όταν η χορδή διέρχεται από τη θέση ισορροπίας. Γ. Βασικές σχέσεις. Εξίσωση στάσιµου κύµατος : y=2Aσυν2πx/λ.ηµ2πt/T Θέσεις δεσµών : x=(2K+1).λ/4 ( x=0 κοιλία ) Θέσεις κοιλιών: x=K.λ/2 ( x=0 κοιλία )
2.
Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Επιλέξτε την σωστή πρόταση.
3.1. Στάσιµο κύµα δηµιουργείται σε ένα οµογενές γραµµικό µέσο αν συµβάλλουν δύο αρµονικά κύµατα τα οποία κινούνται σε αντίθετες κατευθύνσεις µε : Α. Ίδιο πλάτος. Β. Ίδιο πλάτος και ίδιου µέτρου ταχύτητα. Γ. Ίδια συχνότητα και ίδιου µέτρου ταχύτητα. ∆. Ίδια συχνότητα και ίδιο πλάτος. 3.2. Η απόσταση µεταξύ δύο διαδοχικών δεσµών σε ένα στάσιµο κύµα είναι: Α. λ/4 Β. λ/2 Γ. λ ∆. 2λ όπου λ το µήκος κύµατος των κυµάτων που δηµιουργούν το στάσιµο κύµα. 3.3. Η απόσταση µεταξύ δύο διαδοχικών κοιλιών σε ένα στάσιµο κύµα είναι: Α. λ/4 Β. λ/8 Γ. λ/2 ∆. λ όπου λ το µήκος κύµατος των κυµάτων που δηµιουργούν το στάσιµο κύµα. 3.4. Όλα τα σηµεία του ελαστικού µέσου που περιλαµβάνονται µεταξύ δύο διαδοχικών δεσµών ενός στάσιµου κύµατος έχουν: Α. διαφορετική συχνότητα ταλάντωσης. Β. ίδιο πλάτος ταλάντωσης. Γ. ίδια µέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης. ∆. ίδια φάση ταλάντωσης.
13 3.5.
Σ’ ένα στάσιµο κύµα όλα τα µόρια του ελαστικού µέσου στο οποίο δηµιουργείται Α. έχουν ίδιες κατά µέτρο µέγιστες ταχύτητες. Β. έχουν ίσα πλάτη ταλάντωσης. Γ. διέρχονται ταυτόχρονα από τη θέση ισορροπίας. ∆. έχουν την ίδια φάση.
3.6. ∆ύο σηµεία ενός γραµµικού οµογενούς ελαστικού µέσου, στο οποίο έχει δηµιουργηθεί στάσιµο εγκάρσιο κύµα, βρίσκονται το ένα αριστερά και το άλλο δεξιά ενός δεσµού ∆ και απέχουν µεταξύ τους απόσταση λ/3. Τα σηµεία αυτά έχουν Α. διαφορετική συχνότητα ταλάντωσης. Β. ίδια φάση. Γ. διαφορά φάσης π. ∆. διαφορά φάσης π/2. 3.7. Στο σχήµα φαίνονται δύο στιγµιότυπα ενός στάσιµου εγκάρσιου κύµατος, το οποίο δηµιουργείται σε γραµµικό οµογενές ελαστικό µέσο από δύο κύµατα πλάτους Α και περιόδου Τ που συµβάλλουν. Αν το στιγµιότυπο (1) αντιστοιχεί στην χρονική στιγµή t1=T/2, το στιγµιότυπο (2) αντιστοιχεί στην χρονική στιγµή t2 µε Α. t2=Τ Β. t2=3Τ/4 3.8.
3.
y 2A
(1) x
-2A
Γ. t2=Τ /4
Στο σχήµα φαίνεται ένα στιγµιότυπο µιας χορδής. Αν γνωρίζουµε ότι τα σηµεία Α και Β έχουν τη στιγµή αυτή µηδενική ταχύτητα, το κύµα είναι : Α. Τρέχον µε κατεύθυνση προς τα δεξιά. Β. Τρέχον µε κατεύθυνση προς τα αριστερά. Γ. Στάσιµο. ∆. ∆εν µπορούµε να ξέρουµε.
(2)
∆. t2=Τ /4
Α
Β
Ερωτήσεις σωστού-λάθους µε αιτιολόγηση.
3.9. Στο σχήµα βλέπουµε το στιγµιότυπο ενός στάσιµου y κύµατος σε µια χορδή τη χρονική στιγµή t=0s. Το 2A στάσιµο κύµα προέρχεται από δύο κύµατα πλάτους Α Ζ x που συµβάλουν. Α. Τη χρονική στιγµή t=T/4 το σηµείο του µέσου µε θέση ισορροπίας το Ζ έχει µέγιστη αρνητική ταχύτητα. Β. Τη χρονική στιγµή t=T/2 για όλα τα σηµεία του µέσου εκτός των δεσµών το µέτρο της επιτάχυνσης θα είναι µέγιστο. Γ. Τη χρονική στιγµή t=3T/8 όλα τα σηµεία του µέσου εκτός των δεσµών κινούνται προς τη θέση ισορροπίας τους. ∆. Τη χρονική στιγµή t=3T/4 η χορδή έχει µηδενική ενέργεια παραµόρφωσης.
14 3.10. ∆ύο κύµατα διαδίδονται κατά µήκος γραµµικού ελαστικού µέσου µε εξισώσεις : y1=A.ηµπ(t/2-x/3-3) και y2=A.ηµπ(t/2-x/3). Α. Τα δύο κύµατα δεν συµβάλλουν. Β. Τα δύο κύµατα συµβάλλουν και δηµιουργούν στάσιµο κύµα. Γ. Τα δύο κύµατα συµβάλλουν και δηµιουργούν αρµονικό ( τρέχον) κύµα µε πλάτος Α. ∆. Τα δύο κύµατα συµβάλλουν και το µέσο παραµένει ακίνητο. 3.11. Στη χορδή µιας κιθάρας δηµιουργείται στάσιµο κύµα συχνότητας f1. To στάσιµο κύµα έχει τέσσερις δεσµούς, δύο στα άκρα της χορδής και δύο µεταξύ αυτών. Στην ίδια χορδή, µε άλλη διέγερση, δηµιουργείται άλλο στάσιµο κύµα συχνότητας f2, που έχει εννέα συνολικά δεσµούς, δύο στα άκρα της χορδής και 7 µεταξύ αυτών. Η συχνότητα f2 είναι ίση µε: α. 4/3 f1
β. 8/3 f1
( Π.Ε. ) γ. 5/3 f1
3.12. To δεξί άκρο Γ µιας χορδής µήκους L είναι σταθερά ακίνητο, ενώ το αριστερό άκρο Ο εκτελεί ΑΑΤ συχνότητας f. Τα κύµατα που δηµιουργούνται έχουν µήκος κύµατος λ=0,2m και συµβάλλοντας µε τα εξ ανακλάσεως κύµατα δηµιουργούν στάσιµο κύµα µε κοιλία στο Ο. 1. Το ελάχιστο µήκος Lmin της χορδής είναι ίσο µε : Α. 0,2m B. 0,1m Γ. 0,05m 2. Αν το µήκος του σχοινιού είναι Lmin,, για να δηµιουργηθεί στο σχοινί στάσιµο κύµα µε συνολικά 2 κοιλίες, θα πρέπει η συχνότητα ταλάντωσης του Ο να µεταβληθεί σε σχέση µε την αρχική τιµή κατά : Α. +200% Β. -50% Γ. +300% 3.13. Σηµείο Κ χορδής στην οποία έχει δηµιουργηθεί στάσιµο κύµα, εκτελεί ταλάντωση µε ενέργεια ίση µε την ενέργεια που είχε κατά την διάδοση του πρώτου κύµατος που συµβάλλοντας δηµιούργησε το στάσιµο. Το σηµείο Κ απέχει από την πλησιέστερη κοιλία απόσταση : Α. λ Β. λ/3 Γ. λ/6
4.
Ασκήσεις
3.14. Στο σχήµα δίνεται το στιγµιότυπο στάσιµου κύµατος σε τεντωµένο σχοινί τη χρονική στιγµή y t=0. Όλα τα σηµεία του σχοινιού έχουν µηδενική O x ταχύτητα. Α. Να σχεδιάσετε το στιγµιότυπο του κύµατος τις χρονικές στιγµές Τ/4, Τ/2, 3Τ/4 και Τ. Β. Με ποιες µορφές εµφανίζεται η ενέργεια ταλάντωσης των µορίων του σχοινιού τις παραπάνω χρονικές στιγµές. Γ. Για ένα µόριο που βρίσκεται σε απόσταση λ/8 από τον δεσµό Ο να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις: 1. Του πλάτους σε συνάρτηση µε το χρόνο 2. Της αποµάκρυνσης y σε συνάρτηση µε το χρόνο. 3.15. Σε ένα στάσιµο κύµα δύο µόρια του ελαστικού µέσου απέχουν από τον ίδιο δεσµό αποστάσεις λ/6 και λ/3 και η µεταξύ τους απόσταση είναι ίση µε λ/6. Α. Ποια η µεταξύ τους διαφορά φάσης; Β. Ποιο είναι το πλάτος της ταλάντωσης που εκτελούν, αν το πλάτος καθενός από τα κύµατα που δηµιουργούν το στάσιµο κύµα είναι Α;
15
5.
Προβλήµατα.
3.16. Μια χορδή εκτελεί ταλάντωση µε εξίσωση y=8συνπx/6.ηµ10πt (x,y σε cm, t σε s) Α. Να βρείτε την περίοδο, το µήκος κύµατος και την ταχύτητα διάδοσης των τρεχόντων κυµάτων. Β. Να γράψετε τις εξισώσεις των τρεχόντων κυµάτων από την συµβολή των οποίων προέκυψε το στάσιµο κύµα. ( Για τα τρέχοντα κύµατα θεωρούµε ότι το σηµείο Ο στη θέση x=0 αρχίζει να εκτελεί ταλάντωση τη στιγµή t=0 µε µέγιστη θετική ταχύτητα ). 3.17. Γραµµικό ελαστικό µέσο εκτείνεται κατά τη διεύθυνση του άξονα x’x. Αρµονικό κύµα διαδίδεται κατά µήκος του ελαστικού µέσου σύµφωνα µε την εξίσωση y1=4ηµ(πt-πx/10), όπου τα x, y1 µετρώνται σε cm. Α. Να γράψετε την εξίσωση του ηµιτονοειδούς κύµατος, το οποίο όταν συµβάλλει µε το προηγούµενο δηµιουργεί στάσιµο κύµα. Θεωρούµε ότι το σηµείο Ο στη θέση x=0 αρχίζει να εκτελεί ταλάντωση τη στιγµή t=0 µε µέγιστη θετική ταχύτητα. Β. Να γράψετε την εξίσωση του στάσιµου κύµατος που δηµιουργείται από τη συµβολή των δύο κυµάτων. Γ. Να γράψετε τις εξισώσεις, σε συνάρτηση µε το χρόνο, για την ταχύτητα και την επιτάχυνση ενός σηµείου του ελαστικού µέσου, το οποίο βρίσκεται στη θέση x=2,5cm. 3.18. Κατά µήκος γραµµικού οµογενούς µέσου το οποίο εκτείνεται κατά τη διεύθυνση x’x, δηµιουργείται στάσιµο εγκάρσιο κύµα το οποίο περιγράφεται από την εξίσωση y=6συνπx/10.ηµ10πt (x,y σε cm, t σε s). Α. Να βρείτε το µήκος κύµατος και τη συχνότητα των δύο τρεχόντων κυµάτων των οποίων η συµβολή δηµιούργησε το στάσιµο κύµα. Β. Πόσο είναι το πλάτος ταλάντωσης δύο σηµείων του ελαστικού µέσου τα οποία βρίσκονται στις θέσεις x1=-25cm και x2=25cm αντίστοιχα; Γ. Να βρείτε τον αριθµό n των κοιλιών που σχηµατίζονται µεταξύ των Α και Β. ∆. Μεταβάλλουµε κατάλληλα τη συχνότητα των συµβαλλόντων κυµάτων οπότε δηµιουργείται κατά µήκος του ελαστικού µέσου ένα νέο στάσιµο κύµα. ∆ιαπιστώνουµε ότι µεταξύ των Α και Β σχηµατίζονται n=3 κοιλίες. ∆εδοµένου ότι η κινητική κατάσταση των Α και Β δεν µεταβλήθηκε 1. να βρείτε το νέο µήκος κύµατος και τη νέα συχνότητα των κυµάτων που δηµιουργούν το στάσιµο κύµα. 2. να γράψετε την εξίσωση του νέου στάσιµου κύµατος. 3.19. Κατά µήκος γραµµικού ελαστικού µέσου διαδίδονται δύο εγκάρσια ηµιτονοειδή κύµατα τα οποία περιγράφονται από τις εξισώσεις: x 1 x y1 = 2,5ηµ 2π (20t − + ) y 2 = 2,5ηµ 2π (20t + ) 6 2 6 όπου τα x, y1, y2 µετρώνται σε cm και ο χρόνος t σε s. Να υπολογιστούν : Α. Η περίοδος, το µήκος κύµατος και η ταχύτητα διάδοσης των κυµάτων. Β. Η εξίσωση του στάσιµου κύµατος που προκύπτει από τη συµβολή τους. Γ. Η ταχύτητα µορίου του µέσου στη θέση x=1,5cm τη στιγµή t=9/8s.
3.20. Γραµµικό οµογενές ελαστικό µέσο εκτείνεται κατά τη διεύθυνση του άξονα x’x. ∆ύο σηµεία του άξονα Α και Β βρίσκονται στις θέσεις xA=-10cm και xΒ=10cm και αρχίζουν να ταλαντώνονται κατακόρυφα σύµφωνα µε τη σχέση y=4ηµ10πt.
16 Κατά µήκος του ελαστικού µέσου διαδίδονται τα δύο αρµονικά εγκάρσια κύµατα, που παράγονται λόγω της ταλάντωσης των Α και Β, µε ταχύτητα υ=0,2m/s. Σηµείο Γ απέχει από τις δύο πηγές αποστάσεις rA και rB αντίστοιχα. Α. Να γράψετε την εξίσωση της ταλάντωσης του σηµείου Γ. Β. Να δείξετε ότι η εξίσωση ταλάντωσης του Γ µπορεί να πάρει τη µορφή της εξίσωσης στάσιµου κύµατος αν θεωρήσουµε ως αρχή µετρήσεων το σηµείο Ο (x=0) στο οποίο συναντώνται τα δύο κύµατα τη στιγµή t=0. Γ. Να βρείτε τις θέσεις και τον αριθµό των δεσµών και των κοιλιών που σχηµατίζονται. 3.21. Ένα τεντωµένο οριζόντιο σχοινί ΟΑ µήκους L εκτείνεται κατά τη διεύθυνση του άξονα x. To άκρο Α(x=L) είναι ακλόνητο, ενώ το άκρο Ο(x=0) είναι ελεύθερο, έτσι ώστε µε κατάλληλη διαδικασία να δηµιουργείται στάσιµο κύµα µε συνολικά 5 κοιλίες. Τη στιγµή t=0s, το σηµείο Ο βρίσκεται στη θέση µηδενικής αποµάκρυνσης κινούµενο κατά τη θετική φορά. Η απόσταση των ακραίων θέσεων της ταλάντωσης αυτού του σηµείου είναι 0,1m. Το συγκεκριµένο σηµείο διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του 10 φορές κάθε δευτερόλεπτο και απέχει κατά τον άξονα x απόσταση 0,1m από τον πλησιέστερο δεσµό. Α. Να υπολογιστεί η περίοδος του κύµατος. Β. Να υπολογιστεί το µήκος L. Γ. Να γραφεί η εξίσωση του στάσιµου κύµατος. ∆. Να υπολογιστεί το µέτρο της ταχύτητας της ταλάντωσης του σηµείου x=0 κατά τη χρονική ( Π. E. ) στιγµή που η αποµάκρυνσή του από τη θέση ισορροπίας είναι y=0,03m.
∆. Ηλεκτροµαγνητικά κύµατα. 1.
Α. Θεωρία ( σελ. 55-69 µε εξαίρεση την παράγραφο 2.7) 1. Περιγραφή της διαδικασίας παραγωγής ηλεκτροµαγνητικών κυµάτων σε ταλαντούµενο ηλεκτρικό δίπολο. 2. Υπολογισµός της θcrit µε τον νόµο του Snell. Β. Χαρακτηριστικές προτάσεις της θεωρίας. 1. Τα ηλεκτροµαγνητικά κύµατα υπακούουν στην αρχή της επαλληλίας. 2. Η αιτία της δηµιουργίας το ηλεκτροµαγνητικού κύµατος είναι η επιταχυνόµενη κίνηση των ηλεκτρικών φορτίων. 3. Κοντά στην κεραία το ηλεκτρικό και το µαγνητικό πεδίο έχουν διαφορά φάσης 900. Σε µεγάλη όµως απόσταση από την κεραία τα δύο πεδία είναι σε φάση. 4. Ολόκληρη η παράγραφος 2.8 µε πλήθος επικίνδυνων προτάσεων. 5. Τη νύχτα, αν ο δρόµος είναι στεγνός, το φως από τους προβολείς του αυτοκινήτου διαχέεται και έτσι ο δρόµος φαίνεται καλά. Εάν όµως έχει βρέξει, το νερό γεµίζει τις λακκούβες και το φως των προβολέων ανακλάται κατοπτρικά πάνω στην επιφάνεια του νερού µε αποτέλεσµα να µην φωτίζονται όλα τα σηµεία το δρόµου. 6. Οι µεταλλικές επιφάνειες παίζουν για τα ραδιοκύµατα τον ρόλο που παίζουν οι καθρέπτες για το φως.
Γ. Βασικές σχέσεις. Κάθε χρονική στιγµή ισχύει : c=E/B Εξισώσεις το ηλεκτρικού και του µαγνητικού πεδίου : Ε=Εmax.ηµ2π(t/T-x/λ) c=λ/Τ Β=Βmax.ηµ2π(t/T-x/λ) c=λ/Τα
17 ∆είκτης διάθλασης n=c/υ, n=λ0/λ Νόµος του Snell :
ηµθ α nb c a = = ηµθ b na cb Ολική ανάκλαση για θ>θcrit
2
ηµθcrit=nb/na
Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Επιλέξτε την σωστή πρόταση.
4.1. Ηλεκτροµαγνητικά κύµατα δηµιουργούνται από : Α. Ακίνητα ηλεκτρικά φορτία. Β. Επιταχυνόµενα ηλεκτρικά φορτία. Γ. Ισοταχώς κινούµενα ηλεκτρικά φορτία. ∆. Σταθερά ηλεκτρικά ρεύµατα. 4.2. Τα ηλεκτροµαγνητικά κύµατα: Α. είναι διαµήκη. Β. υπακούουν στην αρχή της επαλληλίας. Γ. διαδίδονται σε όλα τα µέσα µε την ίδια ταχύτητα. ∆. δηµιουργούνται από σταθερό µαγνητικό και ηλεκτρικό πεδίο.
( Π.Ε. )
4.3. Το ηλεκτρικό και το µαγνητικό πεδίο ενός ηλεκτροµαγνητικού κύµατος : Α. Είναι πάντα κάθετα µεταξύ τους. Β. Είναι πάντα παράλληλα µεταξύ τους. Γ. Είναι και τα δύο οµογενή. ∆. Έχουν εντάσεις παράλληλες προς την ταχύτητα του κύµατος. 4.4. Η ταχύτητα διάδοσης ενός ηλεκτροµαγνητικού κύµατος : Α. Είναι ίδια σε όλα τα µέσα διάδοσης. Β. Είναι ανάλογη προς την συχνότητα του κύµατος. Γ. Είναι µεγαλύτερη στο κενό από ότι σε οποιοδήποτε άλλο µέσο διάδοσης. ∆. Μπορεί να µηδενιστεί σε ορισµένα υλικά. 4.5. Τα ραδιοκύµατα : Α. Έχουν µεγαλύτερη συχνότητα από τα µικροκύµατα. Β. Έχουν µικρότερη ταχύτητα διάδοσης στο κενό από την ορατή ακτινοβολία. Γ. ∆ηµιουργούνται από κυκλώµατα LC. ∆. Έχουν µικρότερο µήκος κύµατος από την υπέρυθρη ακτινοβολία. 4.6. Έστω λµ, λο, λχ, λυ τα µήκη κύµατος τεσσάρων ακτινοβολιών στις περιοχές των µικροκυµάτων, ορατού, ακτίνων Χ , και υπεριώδους αντίστοιχα και fµ, fο, fχ, fυ οι αντίστοιχες συχνότητές τους. Α. λµ > λο > λχ > λυ. Β. fµ < fο < fχ < fυ. Γ. λο > λµ > λχ > λυ. ∆. λµ > λο > λυ > λχ. 4.7. Το παρατηρούµενο «σπάσιµο» µιας ράβδου της οποίας ένα τµήµα είναι βυθισµένο στο νερό οφείλεται στο φαινόµενο της: Α. ανάκλασης. Β. διάχυσης . ( Π.Ε. ) Γ. διάθλασης. ∆. ολικής ανάκλασης.
18 4.8. Τα φαινόµενα της ανάκλασης και της διάθλασης ... Α. περιορίζονται µόνο στα ηλεκτροµαγνητικά κύµατα που ανιχνεύει ο ανθρώπινος οφθαλµός. Β. δεν αφορούν την υπέρυθρη και υπεριώδη ακτινοβολία. Γ. περιορίζονται µόνο στα ραδιοκύµατα. ∆. είναι κοινά σε όλα τα είδη των κυµάτων, ηλεκτροµαγνητικά και µηχανικά. ( Π.Ε. ) 4.9. Για κάθε ηλεκτροµαγνητικό κύµα που διαδίδεται στο κενό, µε ταχύτητα c, ο λόγος του µέτρου της έντασης Β του µαγνητικού πεδίου του κύµατος προς το µέτρο της έντασης Ε του ηλεκτρικού πεδίου του κύµατος, στο ίδιο σηµείο και την ίδια χρονική στιγµή, είναι Γ. 1/c. ∆. 1/c2 . ( Π.Ε. ) Α. c. Β. c2. 4.10. Γυάλινο πρίσµα είναι βυθισµένο εξ ολοκλήρου σε υγρό. Μονοχρωµατική ακτινοβολία διαδίδεται, όπως δείχνει το σχήµα. Αν το πρίσµα και το υγρό έχουν δείκτες διάθλασης n1 και n2 αντίστοιχα, τότε ισχύει: Α. n1> n2. Β. n2> n1. Γ. n1= n2. ∆. n2=2 n1. ( Π.Ε. ) 4.11.Η µετάδοση ηλεκτροµαγνητικών κυµάτων στις οπτικές ίνες στηρίζεται στο φαινόµενο: Α. της συµβολής. Β. της διάθλασης. ( Π.Ε. ) Γ. της περίθλασης. ∆. της ολικής ανάκλασης. 4.12. Μονοχρωµατική ακτίνα φωτός προσπίπτει πλάγια στη διαχωριστική επιφάνεια δύο οπτικών µέσων 1 και 2. Οι δείκτες διάθλασης στα µέσα 1 και 2 είναι αντίστοιχα n1 και n2 µε n1>n2. Aν η µονοχρωµατική ακτίνα ανακλάται ολικά α. υπάρχει διαθλώµενη ακτίνα. β. η γωνία πρόσπτωσης είναι ίση µε τη γωνία ανάκλασης. γ. η γωνία πρόσπτωσης είναι µικρότερη από την κρίσιµη γωνία ανάκλασης. ( Π.Ε. ) δ. η ταχύτητα διάδοσής της µεταβάλλεται. 4.13. Καθώς µία µονοχρωµατική ακτινοβολία περνά από τον αέρα στο γυαλί, A. η ταχύτητά της ελαττώνεται. B. η συχνότητά της αυξάνεται. Γ. το µήκος κύµατός της παραµένει σταθερό. ∆. το µήκος κύµατός της αυξάνεται.
( Π.Ε. )
4.14. Από τις ηλεκτροµαγνητικές ακτινοβολίες: µικροκύµατα, ορατό φως, υπεριώδης ακτινοβολία και ακτίνες Χ µεγαλύτερο µήκος κύµατος: Α. έχουν τα µικροκύµατα. Β. έχει το ορατό φως. Γ. έχει η υπεριώδης ακτινοβολία. ∆. έχουν οι ακτίνες Χ.
19
3. Ερώτηση αντιστοίχησης. 4.15. Να γράψετε στο τετράδιό σας τους αριθµούς από τα στοιχεία της Στήλης Ι του παρακάτω πίνακα και δίπλα σε κάθε αριθµό το γράµµα από τα στοιχεία της Στήλης ΙΙ που αντιστοιχεί σε αυτόν. (Στη Στήλη ΙΙ περισσεύει µια κατηγορία).
Στήλη Ι
Στήλη ΙΙ
(Ιδιότητες ή εφαρµογές των ηλεκτροµαγνητικών κυµάτων)
(Κατηγορίες ηλεκτροµαγνητικών κυµάτων)
1. Λήψη ακτινογραφιών.
α. Ραδιοκύµατα.
2. Λειτουργία τηλεόρασης.
β. Μικροκύµατα.
3. Απορρόφηση από το όζον της στρατόσφαιρας.
γ. Υπέρυθρες.
4. Λειτουργία ραντάρ.
δ. Υπεριώδεις.
5. Εκποµπή από θερµά σώµατα.
ε. Ακτίνες Χ. στ. Ακτίνες γ .
( Π. Ε. ) 4.
Ερωτήσεις σωστού-λάθους µε αιτιολόγηση.
4.16. Η ένταση του µαγνητικού πεδίου ενός ηλεκτροµαγνητικού κύµατος µεταβάλλεται σύµφωνα µε τη σχέση: Β=2.10-3ηµπ(4.1012t-2.104x) (SI). Η ένταση του αντίστοιχου ηλεκτρικού πεδίου θα δίνεται στο SI από τη σχέση Α. Ε=2.10-3ηµπ(4.1012t-2.104x) B. Ε=4.105ηµπ(4.1012t-2.104x) Γ. Ε=6.105ηµπ(4.1012t-2.104x) 4.17. Μονοχρωµατική ακτινοβολία που διαδίδεται στο γυαλί προσπίπτει στη διαχωριστική επιφάνεια του γυαλιού µε τον αέρα µε γωνία πρόσπτωσης θα ,ώστε ηµθα=√3/2. Ο δείκτης διάθλασης του γυαλιού είναι n=√2. Η ακτινοβολία θα : Α. διαθλαστεί και θα εξέλθει στον αέρα. Β. κινηθεί παράλληλα προς την διαχωριστική επιφάνεια. ( Π. Ε. ) Γ. ανακλαστεί ολικά από τη διαχωριστική επιφάνεια.
20 4.18. Στο σχήµα που ακολουθεί φαίνεται η πορεία µιας ακτίνας µονοχρωµατικού φωτός η οποία διέρχεται από τρία διαφανή υλικά (1), (2) και (3), µε δείκτες διάθλασης n1, n2 και n3 αντίστοιχα.
Ποια σχέση ικανοποιούν οι δείκτες διάθλασης; α. n3 > n2 > n1 β. n3 = n2 > n1 γ. n1 > n2 > n3 .
( Π. Ε. ) 4.19. ∆ίνονται τα πιο κάτω ζεύγη εξισώσεων όπου Ε η ένταση ηλεκτρικού πεδίου και Β η ένταση µαγνητικού πεδίου: 10
4
α. Ε = 75 ηµ 2π (12⋅10 t – 4⋅10 x) -8
10
4
Β = 25⋅10 ηµ 2π (12⋅10 t – 4⋅10 x) (SI) 10
2
β. Ε = 300 ηµ 2π (6⋅10 t – 2⋅10 x) -8
10
2
Β = 100⋅10 ηµ 2π (6⋅10 t – 2⋅10 x) (SI) 10
2
γ. Ε = 150 ηµ 2π (9⋅10 t – 3⋅10 x) -8
10
2
Β = 50⋅10 ηµ 2π (9⋅10 t + 3⋅10 x) (SI) Ποιο από τα παραπάνω ζεύγη περιγράφει ηλεκτροµαγνητικό κύµα που διαδίδεται στο ( Π. Ε. ) κενό; 4.20. Κολυµβητής βρίσκεται κάτω από την επιφάνεια της θάλασσας και παρατηρεί τον ήλιο.
Ήλιος Αέρας
Η θέση που τον βλέπει είναι α. πιο ψηλά από την πραγµατική του θέση. β. ίδια µε την πραγµατική του θέση. γ. πιο χαµηλά από την πραγµατική του θέση.
( Π. Ε. )
21 4.21. Στη διαχωριστική επιφάνεια του υλικού Α µε τον αέρα, για την οριακή γωνία ολικής ανάκλασης ισχύει ηµθcrit(Α) =0,8 Για το υλικό Β στη διαχωριστική επιφάνειά του µε τον αέρα, είναι ηµθ crit(B) =0,2 Τα υλικά Α και Β είναι οπτικά πυκνότερα από τον αέρα. Τότε: α. Το υλικό Α είναι οπτικά πυκνότερο του Β και στη διαχωριστική τους επιφάνεια ισχύει ηµθ(ΑB)crit =0,25 β. Το υλικό Β είναι οπτικά πυκνότερο του Α και στη διαχωριστική τους επιφάνεια ισχύει ηµθ(ΑB)crit =0,25 γ. Το υλικό Α είναι οπτικά πυκνότερο του Β και στη διαχωριστική τους επιφάνεια ισχύει ηµθ(ΑB)crit =0,6 δ. Το υλικό Β είναι οπτικά πυκνότερο του Α και στη διαχωριστική τους επιφάνεια ( Π. Ε. ) ισχύει ηµθ(ΑB)crit =0,6 4.22. Μονοχρωµατική ακτινοβολία µε µήκος κύµατος λ0 στο κενό, διαπερνά κάθετα δύο πλακίδια Α και Β, όπως φαίνεται στο σχήµα. Τα δύο πλακίδια βρίσκονται στο κενό.
Το πάχος του πλακιδίου Β είναι διπλάσιο από το πάχος του πλακιδίου Α και η ακτινοβολία τα διαπερνά σε ίσους χρόνους. Αν λΑ και λΒ είναι τα µήκη κύµατος αυτής της ακτινοβολίας µέσα στα πλακίδια Α και Β αντίστοιχα, τότε α.
λΑ λΑ 1 =2 β. = λΒ λΒ 2
γ.
λΑ 1 = λΒ 4
( Π. Ε. )
4.23. Μονοχρωµατική ακτίνα προσπίπτει κάθετα στην έδρα ΑΒ γυάλινου πρίσµατος, του οποίου η κάθετος τοµή είναι ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ. Το σηµείο πρόσπτωσης ∆ βρίσκεται µεταξύ του µέσου Μ της έδρας ΑΒ και της κορφής Β. Ο δείκτης διάθλασης του υλικού του πρίσµατος είναι n=√2. Η ακτίνα εξέρχεται από το πρίσµα στον αέρα από την έδρα : Α. ΑΒ, Β. ΒΓ, Γ. ΑΓ. 4.24. Στο διπλανό σχήµα φαίνεται η κάθετη τοµή ενός πρίσµατος που έχει δείκτη διάθλασης n=2√3/3 και περιβάλλεται από αέρα. ( φ=600 )Στο σηµείο Κ όπου προσπίπτει η ακτίνα θα συµβεί : Α. ανάκλαση και διάθλαση. Β. µόνο ανάκλαση. Γ. µόνο διάθλαση. 4.25. Η µονοχρωµατική ακτίνα του σχήµατος µπορεί να ακολουθήσει την πορεία που βλέπουµε ( η τελική ακτίνα είναι παράλληλη προς την αρχική) όταν : Α. n1 > n2 > n3 . Β. n1 = n3 < n2 . Γ. n3 = n1 > n2 .
φ Κ
1
2
3
22
4.26. Η µονοχρωµατική ακτίνα του σχήµατος µπορεί να ακολουθήσει την πορεία που βλέπουµε όταν : Α. n3 > n2 > n1 . Β. n2 > n1 > n3 . Γ. n1 < n3 < n2 .
4.
1
2
3
Ασκήσεις-Προβλήµατα
4.27. Ένα πρίσµα έχει δείκτη διάθλασης n=√2 και διαθλαστική γωνία Α=75ο. Να βρεθεί για ποιες τιµές της γωνίας πρόσπτωσης µιας µονοχρωµατικής ακτίνας στη µια έδρα του πρίσµατος, αυτή θα υποστεί ολική ανάκλαση στην άλλη έδρα. 4.28. Η κύρια τοµή πρίσµατος είναι ισόπλευρο τρίγωνο και ο δείκτης διάθλασης του υλικού του είναι ίσος µε √2. Ακτίνα µονοχρωµατικού φωτός πέφτει κάθετα σε µια έδρα του. Να σχεδιαστεί η πορεία της ακτίνας και να υπολογιστεί η γωνία εκτροπής. 4.29. ∆οχείο περιέχει υγρό µε δείκτη διάθλασης n=√2. Στην επιφάνεια του υγρού επιπλέει κυκλικός δίσκος από φελλό, µε διάµετρο 6cm και µε ασήµαντο πάχος. Πάνω από το κέντρο του δίσκου και σε απόσταση 3cm από αυτόν τοποθετείται φωτεινή σηµειακή πηγή. Το ύψος του υγρού µέσα στο δοχείο είναι 9cm. Να βρεθεί η διάµετρος του σκοτεινού κύκλου που σχηµατίζεται στον οριζόντιο πυθµένα του δοχείου. ( ∆ίνεται √3=1,73 ) 4.30. Ορθογώνιο δοχείο ΑΒΓ∆ µε αδιαφανή τοιχώµατα περιέχει υγρό µε ύψος ΑΒ=4cm και µε δείκτη διάθλασης n=5/3. Να υπολογιστεί το ελάχιστο τµήµα της επιφάνειας του υγρού ∆Ε, που πρέπει να καλύψουµε ώστε το σηµείο Γ να είναι αόρατο από οποιοδήποτε σηµείο έξω από το δοχείο. 4.31. Μεταξύ του ορθογωνίου πρίσµατος (n=3/2)και της οριζόντιας µεταλλικής πλάκας υπάρχει λεπτό στρώµα λαδιού. Στην κατακόρυφη έδρα του πρίσµατος πέφτει µονοχρωµατική δέσµη φωτός. Ελαττώνοντας την γωνία φ παρατηρούµε ότι το λάδι φωτίζεται όταν φ=300. Να υπολογιστεί ο δείκτης διάθλασης του λαδιού. 4.32. Μονοχρωµατική ακτινοβολία προσπίπτει υπό γωνία φ=45ο στην επιφάνεια σφαιρικού διαφανούς υλικού µε δείκτη διάθλασης n=√2. Α. Να σχεδιαστεί η πορεία της ακτίνας και να υπολογιστεί η γωνία εκτροπής. Β. Είναι δυνατόν µεταβάλλοντας τη γωνία φ να πετύχουµε ολική ανάκλαση της ακτίνας κατά την έξοδό της από τη σφαίρα;
Α
Ε
Β
∆
Γ
φ
φ
23 4.33. Κυβικό κοµµάτι γυαλιού µε µήκος έδρας α=2m και διατοµή ΑΒΓ∆, περιβάλλεται από αέρα. Μονοχρωµατική ακτινοβολία προσπίπτει στο µέσο Ζ της πλευράς Α∆ υπό γωνία φ=45ο. Η ακτινοβολία εισέρχεται διαθλώµενη στο γυαλί έχοντας υποστεί εκτροπή κατά γωνία 15ο. Α. Να υπολογιστεί η ταχύτητα διάδοσης της ακτινοβολίας το γυαλί. ( c0=3.108m/s ) Β. Να σχεδιαστεί η πορεία της ακτίνας στο γυαλί και να προσδιοριστεί η θέση του σηµείου εξόδου Μ ( √3=1,7 )
Απαντήσεις 1.19. ( Απ: y=0,08ηµ2π(0,5t-0,25x), υ=0,08πσυν(πt-π), α=-0,08π2ηµ(πt-π) ) 1.20. ( Απ : y=0,2ηµ2π(t/8-x/4), υ=(π/20)συν2π(t/8-x/4), α=-(π2/80)ηµ2π(t/8-x/4) ) 1.21. ( Απ: y=0,05ηµ(8πt+2,5πx), y=0,05ηµ(8πt+2,5πx-π/4) ) 1.23. ( Απ: y=0,1.ηµ(20πt-20πx) (SI), yM=0,1.ηµ(20πt-40π), φΜ=72π+π/2 ) 1.24. ( Απ: Τ=0,4s, λ=0,4m, y=0,1ηµ(5πt-5πx), υ=-0,5πm/s, a=0m/s2 ) 1.25 ( Απ: y=5.ηµ2π(t/π-x/0,8), δφ=0,25π ) 1.26. ( Απ: y=0,1.ηµ{2π(10t-x/0,4)+π/2}, α=400m/s2 ) 1.27. ( Απ: y=0,04ηµ(20πt+π), y=0,04ηµ(20πt-10πx+π), y=0,04ηµ(3,50π-10πx) 1.28. ( Απ: λ=10cm, T=0,8s, y=2ηµ2π(1,25t-x/10+2) (t σε s y,x σε cm ) ) 1.29. ( Απ: φ0=π/2, y=2ηµ2π(t-x/20+1/4) (t σε s y,x σε cm ) ) 2.13. ( Απ: Α. λ=2m, B. y=0,2.ηµ{π(t-2)} 2≤ t<4, y=0,4.ηµ{π(t-4)}, 4≤ t, Γ.υ=0,2π.συν{π(t-2)} 2≤ t<4, υ=0,4π.συν{π(t-3)+π} ) 4≤ t ) 2.14. ( Απ: Α. r2-r1=2κ m, κ=0, ±1, ±2, ±3, ±4 συνολικά 9 καµπύλες Β. r2-r1=2κ+1 m, κ=0, ±1, ±2, ±3, -4, συνολικά 8 καµπύλες Γ. y=0,4.ηµ2π(t/2-4,3/2) t≥4,3s, 1m, 0,5 m ) 2.15. ( Απ: A. y=0,2.ηµ{π(t-3)} 3≤ t<4, y=0,4.ηµ{π(t-3)} t≥4, B. r2-r1=2κ+1 m, κ=0, ±1, ±2,... ) 2.16. ( Απ : A. r1=14m, r2=10m, B. y1=0,2ηµ(πt/2+π), y2=0,2ηµ(πt/2) ) 2.17. ( Απ : Τ=1,2s, A=0,1m, λ=0,6m, AB=2m, r1 =1,3m, r2=0,7m, ]=7 ) 2.18. ( Απ : y=0,2ηµ(2πt-2π) 1s≤ t ≤2s, y=0,4ηµ(2πt-4π) t ≥2s, Νενισχ.=3, Ναπ.=2 ) 2.19. ( Απ : Α1=3Α, Α2=Α ) 3.15. ( Απ: δφ=0, Α’=Α√3 ) 3.16. ( Απ: T=0,2s, λ=12cm, υ=0,6m/s, y1=4ηµ(10πt-πx/6), y2=4ηµ(10πt+πx/6) ) 3.17. ( Απ: y2=4ηµ(πt+πx/10), y=8συνπx/10.ηµπt, V=4π√2συνπt, a=-4π2√2ηµπt ) 3.18. ( Απ: λ=20cm, f=5Hz, A’=0, n=5, λ’=33,3cm, f’=3Hz, y=6συν3πx/50.ηµ6πt ) 3.19. ( Απ: Τ=0,05s, λ=6cm, υ=1,2m/s, y=5ηµπx/3.συν40πt, (x,y σε cm, t σε s) ) 3.20. ( Απ: yΓ=8συνπ(rA -rB )/4.ηµ2π(5t-( rA +rB )/8), y=8συνπx/2.ηµ10πt, x∆=(2k+1)cm, -5≤ k ≤4, 10 δεσµοί, xΚ=2k cm, -5≤ k ≤ 5, 11 κοιλίες ). 3.21. ( Απ : Τ=0,2s, L=0,9m, y=5.10-2συν5πx.ηµ10πt, υ=0,4πm/s ) 4.27. ( Απ : φ<45ο ) 4.28. ( Απ: φ=600 ) 4.29. ( Απ: D=16,38cm ) 4.30. ( Απ: Ε∆=3cm ) 4.31. ( Απ: n=√2 ) 4.32. ( Απ : θ=30ο ) 4.33. ( Απ : υ=1,5√2.108m/s, d=0,17m )