Ενέργεια και Στάσιμα Κύματα Η συνηθισμένη μαθηματική επεξεργασία των στασίμων κυμάτων είναι η εξής: Έστω δύο όμοια κύματα που κινούνται αντίθετα σε μια ευθεία:
y 1 =Aημ 2π
t x − T λ
(1)
t x και y 2 =Aημ 2π T λ
(2)
Η μαθηματική αυτή αντιμετώπιση παρουσιάζει σημαντικά προβλήματα. Ένα από αυτά είναι η εξαφάνιση από τη μελέτη της δεύτερης πηγής που βρίσκεται σε κάποιο σημείο d=x1 > x στον θετικό ημιάξονα των x. H εξαφάνιση αυτή εισάγει ένα σημαντικό πρόβλημα καθώς στα κύματα πάντα η πηγή έχει τη μεγαλύτερη φάση και το μέτωπο του κύματος φάση 0. Με τον τρόπο που είναι γραμμένη η δεύτερη εξίσωση είναι σαν να μεγαλώνει η φάση με το x μέχρι να απειρισθεί. Επίσης ένα δεύτερο πρόβλημα είναι ότι ο χρόνος που εμφανίζεται στις εξισώσεις είναι ο χρόνος που ταλαντώνεται η πρώτη πηγή. Ο σωστότερος τρόπος θα ήταν η δεύτερη εξίσωση να γραφτεί (καθώς το δεύτερο κύμα ξεκινά από τη θέση x=d και διαδίδεται προς τον αρνητικό ημιάξονα των x) :
y 2 =Aημ 2π
Tt − d −xλ =Aημ 2π Tt xλ − dλ
(3)
Όμως η παράσταση d/λ είναι ένας σταθερός αριθμός. Για να είναι οι εξισώσεις (2) και (3) ίδιες θα πρέπει η απόσταση ανάμεσα στις δύο πηγές να είναι ακέραιος αριθμός τρεχόντων κυμάτων. Ο χρόνος t3 που χρειάζεται dΤ το κύμα να καλύψει την απόσταση ανάμεσα στις πηγές είναι: t 3= λ
Βλέπουμε ότι η y2 μπορεί να γραφεί σαν: y 2 =Aημ 2π
t −t 3 T
x λ
(4)
Παρατήρηση: Από την εξίσωση (4) παρατηρούμε ότι η εξίσωση (2) μπορεί να εξαχθεί και από την εξίσωση (3) ακόμα και αν η απόσταση της πηγής που βρίσκεται στον θετικό ημιάξονα των x δεν απέχει ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους κύματος από την αρχή των αξόνων. Σε αυτή την περίπτωση θεωρούμε τo σημείο που βρίσκεται στη θέση x=0 σαν μια δευτερογενή πηγή κυμάτων. Δηλαδή κάνουμε τον μετασχηματισμό t=t−t 3 . Μετά από αυτό τον μετασχηματισμό ο χρόνος που εμφανίζεται στην εξίσωση του κύματος δεν είναι ο χρόνος της ταλάντωσης της πραγματικής πηγής του κύματος αλλά ο χρόνος της ταλάντωσης της δευτερογενούς πηγής που σύμφωνα με την αρχή του Huygens βρίσκεται στο σημείο x=0. H δευτερογενής αυτή πηγή προφανώς στην γενική περίπτωση δεν βρίσκεται σε συμφωνία φάσης με την πραγματική πηγή του κύματος. Ένα κύμα που ταξιδεύει σε μια ομογενή χορδή μήκους L μπορεί να ανακλαστεί από το άκρο της χορδής είτε αυτό είναι ελεύθερο είτε είναι πακτωμένο.