Epanal 3 4

Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικόσ

1

Φ3 4o2011 2012

Γ΄ ΤΑΞΗ

ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙ ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ ΤΩΝ ∆ΥΟ ΚΥΚΛΩΝ): ΦΥΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ – ΚΡΟΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Στισ ερωτήσεισ 1 5 να γράψετε στο τετράδιό σασ τον αριθµό τησ ερώτησησ και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σω

στή απάντηση.

1. Η ηχητική πηγή S του σχήµατοσ κινείται µε ταχύτητα υ s εκπέµποντασ ήχο συχνότητασ f s . Αν και ο παρατηρητήσ Α κινείται µε ταχύτητα υ Α , όπωσ φαίνεται στο σχήµα, τότε για τη συχνότητα f A που ακούει εκείνη τη στιγµή ο πα ρατηρητήσ Α, ισχύει: α) f A = 2υ ⋅ f s S 2υ + υs 60 υ υΑ ⋅f β) f A = υs υ + υs s 2(υ υΑ ) υA γ) f A = ⋅fs 2υ + υs δ) f A =f s 0

A 2.

3.

Μονάδεσ 4 Αν L είναι η στροφορµή ενόσ οµογενούσ δακτυλίου α κτίνασ R που κυλίεται χωρίσ να ολισθαίνει, και p είναι η ορµή του τότε ισχύει : α) L=p β) L= 1 ⋅ p ⋅ R 2 γ) p=L ⋅ R δ) L=p ⋅ R. Μονάδεσ 4 To spin του ηλεκτρονίου είναι µια θεµελιώδησ ποσότητα στροφορµήσ που είναι ίση µε:

Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικόσ

2

Φ3 4o2011 2012

Γ΄ ΤΑΞΗ

α) 2 β) γ) m ⋅ υ δ) Ι ⋅ υ ⋅ r Μονάδεσ 4 4.

Σφαίρα µάζασ m κινείται µε σταθερή τα χύτητα υ και συγκρούεται ελαστικά µε τον κατακόρυφο τοίχο του σχήµατοσ. Αν η γωνία πρόσπτωσησ είναι 60 0 τότε η µε ταβολή τησ ορµήσ τησ σφαίρασ είναι : α) m ⋅ υ β) 2m ⋅ υ γ) 0 δ) m ⋅ υ/2.

υ m

60 60

0

0

υ

m

Μονάδεσ 4 5. Ο τροχόσ του σχήµατοσ κυλίε ται χωρίσ να ολισθαίνει. Αν η ταχύτητα του Κ.Μ του τρο cm χού είναι σταθερή και ίση µε 30 υ cm , τότε η ταχύτητα υ Α , για A το σηµείο Α τησ περιφέρειασ του τροχού όπωσ φαίνεται στο σχήµα είναι κατά µέτρο ίση µε: α) υ Α = υ c m ⋅ 3 β) υ Α = υ c m γ) υ Α = υ cm /2 δ) υ Α = υ cm . 3 /2

υ

0

Μονάδεσ 4 6.

Να γράψετε στο τετράδιό σασ το γράµµα κάθε πρότασησ και δίπλα σε κάθε γράµµα τη λέξη Σωστό , για τη σωστή πρόταση, και τη λέξη Λάθοσ , για τη λανθασµένη.

Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικόσ

3

Φ3 4o2011 2012

Γ΄ ΤΑΞΗ

α) Η κυκλική κίνηση είναι µεταφορική κίνηση β) Η Αρχή ∆ιατήρησησ τησ Ενέργειασ (Α.∆.Ε) ισχύει σε κάθε κρούση γ) Η ελκτική δύναµη που δέχεται η Γη από τον Ήλιο δεν δηµιουργεί ροπή δ) το κέντρο µάζασ ενόσ κύβου είναι το σηµείο τοµήσ δυο διαγωνίων του. ε) Ένα αστέρι συρρικνώθηκε στο τελευταίο στάδιο τησ ζωήσ του λόγω βαρύτητασ και µετατράπηκε σε αστέρα νετρονίων (pulsar). Η συρρίκνωση αυτή είχε ωσ αποτέ λεσµα την αύξηση τησ ταχύτητασ περιστροφήσ του. Μονάδεσ 5 ΘΕΜΑ Β 1Α. Το σχήµα δείχνει ένα συ µπαγή κυκλικό δίσκο και ένα κυκλικό δακτύλιο που έχουν την ίδια ακτίνα R και την ίδια µάζα m και µπο F F ρούν να στρέφονται γύρω από οριζόντιο άξονα. Τη στιγµή µηδέν, που τα δύο σώ µατα είναι ακίνητα, ασκούνται σ’ αυτά δυνάµεισ του ί διου µέτρου F, εφαπτόµενεσ στην περιφέρειά τουσ. Έ στω ότι L δίσκο υ είναι η στροφορµή του δίσκου και L δαχτυ λίου είναι η στροφορµή του δακτυλίου µια χρονική στιγµή t. Τότε αν Ι δίσκου = 1 mR 2 και Ι δαχτ υλ ίου =Ι 2 =mR 2 2 ισχύει: α) L δίσκου = L δαχτυλίο υ β) L δίσκο υ = L δαχτ υλίου /2 i. Να επιλέξτε τη σωστή απάντηση Μονάδεσ 2 ii. Να τη δικαιολογήσετε Μονάδεσ 5

Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικόσ

4

Φ3 4o2011 2012

Γ΄ ΤΑΞΗ

Β. Η οµογενήσ και ισοπαχήσ δοκόσ ΟΑ του παρακάτω σχήµατοσ µπορεί να στρέφεται χωρίσ τριβέσ γύρω από οριζόντιο σταθερό άξονα που περνά από το άκρο τησ Ο και είναι κάθετοσ στη διεύ F θυνσή τησ. Η δοκόσ έχει µάζα O (2) A Μ, µήκοσ L και αρχικά ισορ ροπεί ελεύθερα στην κατακό ρυφη διεύθυνση (θέση 1 του F M A σχήµατοσ). Ένασ ψηλόσ L µαθητήσ ασκεί δύναµη σταθε ρού µέτρου F στο άκρο Α τησ δοκού. Η διεύθυνση τησ F βρί A F σκεται συνεχώσ στο επίπεδο (1) περιστροφήσ τησ δοκού και εί ναι συνεχώσ κάθετη στη δοκό. Ο µαθητήσ φέρνει τη δο κό στην οριζόντια θέση (2) του σχήµατοσ, προσφέρο ντασ την ελάχιστη ενέργεια. Επιλέξτε τη σωστή πρόταση και αιτιολογείστε την απάντησή σασ: Το µέτρο του ρυθµού µεταβολήσ τησ στροφορµήσ τησ δο κού καθώσ περιστρέφεται από τη θέση 1 στη θέση 2 i. συνεχώσ αυξάνεται. ii. συνεχώσ µειώνεται. iii. αρχικά µειώνεται και στη συνέχεια αυξάνεται. Μονάδεσ 10 2. Σώµα µάζασ m 1 που κινείται µε ταχύτητα υ 1 =12 m/s συ γκρούεται µετωπικά και ελαστικά µε ακίνητο σώµα m 2 . m Η αναλογία µαζών 2 , για την οποία η ταχύτητα τησ m1 ακίνητησ µάζασ m 2 , µετά την κρούση έχει µέτρο 24 m/s είναι:

m2 1 m = β) 2 → 0 m1 2 m1 i. Να επιλέξτε τη σωστή απάντηση α)

Μονάδεσ 2

Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικόσ

5

Φ3 4o2011 2012

Γ΄ ΤΑΞΗ

ii. Να τη δικαιολογήσετε Μονάδεσ 6 ΘΕΜΑ Γ

Το βλήµα µάζασ m=50g, πριν σφηνωθεί στη ξύλινη σφαίρα, έχει ταχύτητα υ=6m/s σε διεύθυνση που σχηµατίζει µε την οριζόντια γωνία φ=60 0 . Το βλήµα σφηνώνεται ακαριαία στο σηµείο Γ, µιασ κατακόρυφησ διαµέτρου τησ σφαίρασ µε (ΚΓ)=5cm. Στο σηµείο Γ΄ τησ ίδιασ κατακόρυφησ διαµέτρου µε (ΚΓ΄)=(ΚΓ), υπάρχει σφηνωµένο ένα όµοιο βλήµα µάζασ m. Αν η σφαίρα έχει µάζα Μ= 1 Kg και ακτίνα R=10cm και 8 παρουσιάζει µε το οριζόντιο δάπεδο συντελεστή τριβήσ ολί σθησησ µ=0,1, τότε:

m

φ

υ Α

M

Γ Κ R

m Γ΄

α) Να δείξετε ότι αµέσωσ µετά την κρούση το συσσωµάτωµα ολισθαίνει, Μονάδεσ 8 β) να υπολογιστεί η αρχική επιτάχυνση του συσσωµατώµα τοσ αµέσωσ µετά την κρούση καθώσ και η αρχική του γωνια κή επιτάχυνση, Μονάδεσ 7 γ) να βρείτε το ποσοστό τησ αρχικήσ κινητικήσ ενέργειασ που χάνεται κατά την κρούση και το ποσοστό τησ ίδιασ αρχικήσ

Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικόσ

6

Φ3 4o2011 2012

Γ΄ ΤΑΞΗ

ενέργειασ που µετατρέπεται σε θερµότητα λόγω τριβών τησ σφαίρασ µε το δάπεδο και µέχρι το στερεό να σταµατήσει να κινείται. Μονάδεσ 10 ∆ίνεται η ροπή αδράνειασ τησ σφαίρασ ωσ προσ µια διάµετρό τησ Ι= 2 ⋅ Μ ⋅ R 2 ότι το βλήµα είναι αµελητέων διαστάσεων και 5 g=10m/s 2 .

ΘΕΜΑ ∆

Γύρω από µια οµογενή τροχαλία µάζασ Μ=1Κg και α M κτίνασ R, εί m ναι τυλιγµέ S νο αβαρέσ σχοινί, στο ένα άκρο του m m οποίου κρέ m υ υ µεται η µάζα φ m=0,5Kg ενώ στο άλλο άκρο είναι δεµένο το σώµα µάζασ m 1 =4 Kg το οποίο ισορροπεί αρχικά στο κεκλιµένο επίπεδο γωνίασ κλίσησ φ=30 0 , όπωσ φαίνεται στο σχήµα. Όταν το σώµα µάζασ m 1 , αφεθεί ελεύθερο τότε ολισθαί νει προσ τα κάτω στο κεκλιµένο επίπεδο χωρίσ να περι στρέφεται µε το νήµα να παραµένει τεντωµένο. Αν ο συντελεστήσ τριβήσ ολίσθησησ ανάµεσα στη µάζα m 1 και το κεκλιµένο επίπεδο είναι µ= 3 , τότε: 6 Α. α) Να υπολογίσετε το συνολικό έργο των δυνάµεων που ασκούνται στην τροχαλία, όταν η m 1 έχει διανύσει απόσταση S=4,5m κατά µήκοσ του κεκλιµένου επιπέδου. Μονάδεσ 5 β) Πόσοσ είναι εκείνη τη στιγµή ο ρυθµόσ παραγωγήσ έργου στην τροχαλία; 1

1

2

2

1

R

Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικόσ

7

Φ3 4o2011 2012

Γ΄ ΤΑΞΗ

Μονάδεσ 5 Β) Να υπολογίσετε τη στατική τριβή ανάµεσα στο αβα ρέσ σχοινί και την τροχαλία. Μονάδεσ 5 Γ) Τη στιγµή που η m 1 έχει διανύσει την απόσταση S το νήµα κόβεται και στη συνέχεια και µέχρι να φτάσει αυ τή στη βάση του κεκλιµένου επιπέδου διανύει άλλα 1,4 m. Να βρείτε το ποσοστό µεταβολήσ τησ κινητικήσ ενέρ γειασ τησ m 1 από τη στιγµή που κόβεται το νήµα και µέ χρι να φτάσει αυτή στη βάση του κεκλιµένου επιπέδου. Μονάδεσ 5 ∆) Στη συνέχεια η m 1 ολισθαίνει στο λείο οριζόντιο ε πίπεδο και συγκρούεται µετωπικά και ελαστικά µε µά ζα m 2 =2Kg που ολισθαίνει µε αντίθετη φορά και µε τα χύτητα υ 2 =2 m/s. Αν η δύναµη που ασκείται µεταξύ των µαζών θεωρηθεί σταθερή να γίνει η γραφική παράστα ση του µέτρου τησ ορµήσ τησ κάθε σφαίρασ σε συνάρτη ση µε το χρόνο κατά τη διάρκεια τησ κρούσησ. Μονάδεσ 5 ∆ίνονται για την τροχαλία Ι= 1 M ⋅ R 2 και g=10 m/s 2 .

2 KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!

Απαντήσεις στο επαναληπτικό διαγώνισµα 3 – 4 κεφ.

1

ΘΕΜΑ Α 1α, 2δ, 3α, 4α, 5β 6α) Σ, β) Σ, γ) Σ, δ)Σ, ε) Σ

ΘΕΜΑ Β 1 2Ft mR2ω/t⇒ω= , L=I⋅ω=FRt 2 mR Ft ∆ακτύλιος: F⋅R= mR2ω΄/t⇒ω΄= , L΄=I΄⋅ω΄=FRt, άρα L=L΄. mR ∆L L Β. ii), =Στ=FL-Mg ηµφ. Άρα καθώς η φ αυξάνεται από 0 σε π/2 rad το ηµφ ∆t 2 ∆L αυξάνεται και το µειώνεται. ∆t 2m1 2m1 m1 m 2. υ2΄= υ1⇒ 24= ⋅12⇒ =1 ή 2 →0. Αν υ2΄= -24 m/s τότε⇒ m1 + m2 m1 + m2 m1 + m2 m1 2m1 m ⇒ -24= ⋅12⇒2m1= -m2 ή 2 =-2 (αδύνατο). m1 + m2 m1

1Α i) α) ii), ∆ίσκος: F⋅R=

ΘΕΜΑ Γ

m

φ

υ

N α M

ω Α M

m

Γ

Κ φd Γ΄

Κ

V

m

Γ΄

T

(M+2m)g

α) Α.∆.Ο(x): m⋅υ⋅συνφ=(M+2m)⋅V⇒V=

2 m/s.

3

Α.∆.Σ: m⋅υ⋅d=Ιολ⋅ω, όπου d=(KΓ΄)=(KΓ)⋅συνφ, και Ιολ=

2 ⋅Μ⋅R2+2m(KΓ)2⇒ 5

3 ⋅10-3 Kg⋅m2. Τότε προκύπτει ότι : m⋅υ⋅(KΓ)⋅συνφ =Ιολ⋅ω⇒ 4 3 ⇒0,05⋅6⋅5⋅10-2⋅0,5= ⋅10-3⋅ω⇒7,5⋅10-3=0,75⋅10-3⋅ω⇒ω=10rad/s.

4

⇒ Ιολ=

2

Απαντήσεις στο επαναληπτικό διαγώνισµα 3 – 4 κεφ.

Παρατηρούµε ότι ω⋅R=1m/s ενώ V=

2 m/s, άρα ω⋅R> V, οπότε έχουµε ολίσθηση.

3

β) Αµέσως µετά την κρούση έχουµε: Μεταφορική κίνηση: ΣF=(2m+M)⋅α⇒T=(2m+M)⋅α⇒µ⋅Ν=(2m+M)⋅α⇒ ⇒µ⋅(2m+M)⋅g=(2m+M)⋅α⇒α=µ⋅g=1m/s2, Στροφική κίνηση: Στ=Ιολ⋅αγων⇒ T⋅R=Ιολ⋅αγων⇒ µ⋅(2m+M)⋅g ⋅R=Ιολ⋅αγων⇒ ⇒0,225⋅10-1=0,75⋅10-3⋅ αγων⇒ αγων=30rad/s2.

1 1 ⋅m⋅υ2= ⋅0,05⋅36=0,9J, 2 2 1 1 1 3 1 4 7 Kτελ= ⋅Ιολ⋅ω2+ ⋅(2m+M)⋅V2= ⋅ ⋅10-3⋅102+ ⋅0,225⋅ ⇒ Kτελ= J. 2 2 2 4 2 9 80 65 Άρα |∆Ε|= J και το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας που «χάνεται» κατά 80 ∆Ε 65 την κρούση είναι α= = =0,9. Τότε το ποσοστό της ίδιας αρχικής ενέργειας που Κ αρχ 72 µετατρέπεται σε θερµότητα λόγω τριβών της σφαίρας µε το δάπεδο και µέχρι αυτή να 65 7 σταµατήσει να κινείται, θα είναι α΄=1- = =0,1 72 72

γ) Ισχύει Καρχ=

ΘΕΜΑ ∆ Α. α) Για τη µάζα m έχουµε: T1-mg=mα⇒ ⇒T1=mg+mα (1) Για την m1: m1gηµφ-Τ2-T=m1α⇒Τ2= m1gηµφ-m1α-µm1gσυνφ (2).

1 α 1 Τέλος για τη µάζα Μ: (Τ2-Τ1)R= MR2 ⇒Τ2-Τ1= Mα (3). Με αντικατάσταση 2 R 2 1 έχουµε m1gηµφ-m1α-µm1gσυνφ- mg-mα= Mα⇒ 2 3 3 ⇒20-4α⋅40 -5-0,5α=0,5α⇒α=1m/s2.

6 2 1 S= αt2⇒t=3s, άρα υ=αt⇒υ=3m/s. Τότε W=τθ=(Τ2-Τ1)Rθ⇒ W= (Τ2-Τ1)S. Όµως 2 από τη σχέση (1) είναι T1=5,5N και από τη σχέση (2) T2=6N. Άρα W=0,5⋅4,5⇒W=2,25J. β) Εκείνη τη στιγµή ο ρυθµός παραγωγής έργου στην τροχαλία είναι P=

dW =τω⇒ dt

⇒ P=(Τ2-Τ1)Rω⇒ P=(Τ2-Τ1)υ⇒ P=0,5⋅3⇒P=1,5J/s.

B) Για το σχοινί έχουµε:Τ2-Τ1-Τστ=mσχα⇒ Τ2-Τ1-Τστ=0 αφού η µάζα του σχοινιού είναι mσχ=0 (το σχοινί είναι αβαρές). Άρα Τστ=Τ2-Τ1⇒ Τστ=0,5Ν.

Απαντήσεις στο επαναληπτικό διαγώνισµα 3 – 4 κεφ.

3

Γ) Από το Θ.Μ.Κ.Ε και µέχρι η m1 να φτάσει στη βάση του κεκλιµένου επιπέδου θα έχουµε: 1 1 Θ.Μ.Κ.Ε: Κτελ-Καρχ=Ww+WT⇒ m1υ12- m1υ2= m1gηµφS΄- µm1gσυνφS΄⇒ 2 2 1 3 3 ⇒ υ12-9=2⋅10⋅ ⋅1,4-2 ⋅10 ⋅1,4⇒ υ12-9==14-7⇒ υ12=16⇒ υ1=4m/s.

2 6 2 1 1 Έτσι Καρχ= m1υ2⇒ Καρχ=18j, ενώ Κτελ= m1υ12⇒ Κτελ=32j. Tο ποσοστό µεταβολής 2 2 της κινητικής ενέργειας της m1 από τη στιγµή που κόβεται το νήµα και µέχρι να φτάσει αυτή στη βάση του κεκλιµένου επιπέδου θα είναι α= ⇒α=

K τελ - Κ αρχ Κ αρχ

100%⇒

700 %.

9

∆) Από την αρχή διατήρησης της ορµής για την κρούση θα έχουµε

A.∆.Ο: p αρχ= p τελ⇒m2υ2-m1υ1= m2υ΄2-m1υ΄1⇒m1(υ1+υ΄1)=m2(υ2- υ΄2) (1).

m2

m1 υ2 υ1

m1

m2

υ’2

Πρίν

υ’1

Μετά

Από την αρχή διατήρησης της µηχανικής ενέργειας για την ελαστική κρούση θα 1 1 1 1 έχουµε: Κτελ=Καρχ ⇒ m1υ12+ m2υ22= m1υ΄12+ m2υ΄22⇒ 2 2 2 2 ⇒ m1(υ1-υ΄1) (υ1+υ΄1)=m2(υ΄2-υ2) (υ΄2+υ2) (2). Αν διαρέσουµε κατά µέλη τις σχέσεις (1) και (2) θα έχουµε υ1-υ΄1 = -υ΄2-υ2 (3). Από το σύστηµα των (1) και (3) προκύπτει υ΄1 =0 και υ΄2=-6m/s.

P(Kgm/s) Τότε |p1αρχ|=m1υ1=16Κgm/s και |p1τελ|=0 Κgm/s. Ακόµη |p2αρχ|=m2υ2=4Κgm/s και 16 |p2τελ|=m2υ2=12Κgm/s. Η γραφική παράσταση του µέτρου της ορµής της κάθε σφαίρας σε συνάρτηση 12 µε το χρόνο κατά τη διάρκεια της 8 κρούσης είναι η παρακάτω: 4 0

t(s)