Epanalhptika genikhs paideias

-1– ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

http://mathhmagic.blogspot.com/

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

-2– ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

http://mathhmagic.blogspot.com/

Το γκράφιτι στο εξώφυλλο µε τον Αϊνστάιν και τον Καραθεωδορή βρίσκεται στην Ιερά Οδό αριθµός 23 σε παρκινγκ στον Κεραµικό ,από µια ιδέα που προέκυψε από το TEDx Athens, και υλοποιήθηκε µε τη βοήθεια του οργανισµού designwars και του street artist ino

ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΑΝΑΠΑΡΑΧΘΕΙ ΚΑΙ ΝΑ ΔΙΑΝΕΜΗΘΕΙ ΕΛΕΥΘΕΡΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

-3– ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

http://mathhmagic.blogspot.com/

Oδηγίες επανάληψης προς ναυτιλλοµένους στα µαθηµατικά γενικής παιδείας !!

• Προσοχή στην εύρεση µέγιστης και ελάχιστης τιµής του ρυθµού µεταβολής συνάρτησης f(x) ή του συντελεστή διεύθυνσης εφαπτοµένης, όπου πρέπει να εξετάσουµε τη δεύτερη παράγωγο .

• Προσοχή στην εύρεση µέγιστης και ελάχιστης τιµής του ρυθµού µεταβολής συνάρτησης f(x) ή του συντελεστή διεύθυνσης εφαπτοµένης, όπου πρέπει να εξετάσουµε τη δεύτερη παράγωγο .

• Από το κεφάλαιο της στατιστικής είναι πολύ πιθανό να ζητηθεί η συµπλήρωση ελλιπούς πίνακα συχνοτήτων ή σχετικών συχνοτήτων απολύτων και αθροιστικών (κυρίως οµαδοποιηµένων παρατηρήσεων!). Συνδυαστικά πάντα µε την αντίστοιχη γραφική παράσταση στο mm χαρτί του τετραδίου! Ενδεχοµένως να απατηθεί η χρήση της τελευταίας χιλιοστοµετρικής σελίδας (ακόµα και για την εύρεση διαµέσου). Όπως επίσης και το εµβαδό που περικλείεται από την πολυγωνική γραµµή στο ιστόγραµµα συχνοτήτων ή σχετικών συχνοτήτων και τον οριζόντιο άξονα! Δώστε βάση στην κανονική κατανοµή, καθώς επίσης και την σχέση διαµέσου-µέσης τιµής όταν έχουµε θετική ή αρνητική ασυµµετρία .

• Προσοχή στις ανισοτικές σχέσεις στις πιθανότητες είτε µε χρήση των βασικών σχέσεων των πιθανοτήτων, είτε σε συνδυασµό µε χρήση µονοτονίας ή ακροτάτων συνάρτησης ή σε συνδυασµό µε τον πίνακα. Ο αξιωµατικός ορισµός στις πιθανότητες επιβάλλει να χρησιµοποιηθεί όταν δεν αναφέρεται ότι τα απλά ενδεχόµενα είναι ισοπίθανα.

• Κάποια άλλα σηµεία που θα πρέπει να προσέξετε είναι : άσκηση 3 σελίδα 146 οµάδα β΄, µην ξεχάσετε τα προβλήµατα των σελίδων 45 και 46 –οι εφαρµογές του σχολικού: σελίδα 34 εφαρµογή 2 – σελίδα 98 εφαρµογή 2 – σελίδα 99 εφαρµογή 3, πως εξετάζουµε αν τα ενδεχόµενα Α, Β είναι ασυµβίβαστα, τους τύπους της αριθµητικής και της γεωµετρικής προόδου Sv =

[2a1 + (v − 1)ω ]ν λν − 1 και Sv = a1 . λ −1 2

•Οι αγωνιστές της τελευταίας στιγµής µπορούν να επαναλάβουν την θεωρία στο φυλλάδιο: http://mathhmagic.blogspot.gr/2011/03/blog-post_30.html •Εξαιρετική συλλογή επαναληπτικών ασκήσεων από το mathematica µπορείτε να βρείτε και στο σύνδεσµο http://mathhmagic.blogspot.gr/2012/05/mathematica.html Διαβάζουµε προσεκτικά τα θέµατα αρκετές φορές και δεν αποχωρούµε προτού εξαντλήσουµε το τρίωρο της εξέτασης όσο σίγουροι και αν είµαστε. Καλή επιτυχία σε όλους!

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

-4– ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

http://mathhmagic.blogspot.com/

Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους 1.Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος.

1) Όταν έχουµε κανονική κατανοµή η µέση τιµή συµπίπτει µε την διάµεσο.

2) Η µέση τιµή των παρατηρήσεων ενός δείγµατος είναι µεγαλύτερη ή ίση της µικρότερης παρατήρησης και µικρότερη ή ίση της µεγαλύτερης τιµής των παρατηρήσεων του δείγµατος.

3)Η διάµεσος των παρατηρήσεων ενός συνόλου δεδοµένων δεν επηρεάζεται από τις ακραίες τιµές .

4) Όταν ελαττώσουµε τις τιµές όλων των παρατηρήσεων ενός δείγµατος κατά c , τότε η τυπική απόκλιση ελαττώνεται κατά c.

5) Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα Δ και f '(x) < 0 για κάθε εσωτερικό σηµείο x ∈ ∆ τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ.

6)Υπάρχουν ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω τέτοια ώστε P( Α) =

1 4 3 , P(B) = , P(A ∩ B) = .

5 5 5

7)Αν Α ' ⊆ B τότε P( Α) + P(B) < 1 .

8)Αν για τα ενδεχόµενα Α και Β ισχύει P( Α) = 0.5 και P(B) = 0.6 , τότε τα Α και Β είναι ασυµβίβαστα.

9)Σε ένα σύνολο παρατηρήσεων αντικαθιστούµε την µικρότερη τιµή µε µια µικρότερη τότε µεταβάλλεται η µέση τιµή αλλά όχι η διάµεσος .

10)Είναι δυνατό να υπάρξει δειγµατικός χώρος πειράµατος τύχης που να αποτελείται από ένα µόνο απλό ενδεχόµενο.

11)Ένα τοπικό µέγιστο στην γραφική παράσταση µιας συνάρτησης είναι δυνατό να είναι µικρότερο από ένα τοπικό ελάχιστο της ίδιας γραφικής παράστασης.

12) Στην καµπύλη συχνοτήτων µιας κανονικής κατανοµής, το 68% περίπου των παρατηρήσεων βρίσκεται στο διάστηµα ( x − 2s , x + 2s ) 13) Ένα δείγµα τιµών µιας µεταβλητής ονοµάζεται οµοιογενές όταν ο συντελεστής µεταβολής του CV δεν ξεπερνά το 10% 14) Το εύρος R ενός δείγµατος ν παρατηρήσεων είναι µέτρο θέσης .

15) Το ραβδόγραµµα χρησιµοποιείται για τη γραφική παράσταση των τιµών µιας ποιοτικής µεταβλητής.

16) Το άθροισµα όλων των σχετικών συχνοτήτων των τιµών µιας µεταβλητής X είναι ίσο µε το µέγεθος του δείγµατος. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

-5– ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

http://mathhmagic.blogspot.com/

17) Πλάτος µιας κλάσης ονοµάζεται η διαφορά του κατώτερου από το ανώτερο όριο της κλάσης. α-β 18) Για την κλάση [α , β) η κεντρική τιµή είναι .

2 19) Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστηµα Δ του πεδίου ορισµού της, όταν για οποιαδήποτε σηµεία x1 , x 2 ‫א‬Δ µε x1 < x 2 ισχύει f( x1 )<f( x 2 ).

20) Η συχνότητα της τιµής xi µιας µεταβλητής Χ µπορεί είναι αρνητικός αριθµός. ΚΑΛΟ ΕΙΝΑΙ ΝΑ ΞΕΡΩ ΟΤΙ…. Μέση τιµή

Διάµεσος

Πλεονεκτήµατα ▪ Για τον υπολογισµό της χρησιµοποιούνται όλες οι τιµές.

▪ Είναι µοναδική για κάθε σύνολο δεδοµένων.

▪ Είναι εύκολα κατανοητή.

▪ Ο υπολογισµός της είναι σχετικά εύκολος ▪ Έχει µεγάλη εφαρµογή για περαιτέρω στατιστική ανάλυση.

Πλεονεκτήµατα ▪ Είναι εύκολα κατανοητή.

▪ Δεν επηρεάζεται από ακραίες τιµές.

▪ Ο υπολογισµός της είναι απλός .

▪ Είναι µοναδική για κάθε σύνολο δεδοµένων.

Μειονεκτήµατα ▪ Επηρεάζεται πολύ από τις ακραίες τιµές .

▪ Συνήθως δεν αντιστοιχεί σε τιµή της µεταβλητής .

▪ Δεν υπολογίζεται για ποιοτικά δεδοµένα.

Μειονεκτήµατα ▪ Δεν χρησιµοποιούνται όλες οι τιµές για τον υπολογισµό της .

▪ Είναι δύσκολη η εφαρµογή της για περαιτέρω στατιστική ανάλυση.

▪ Δεν υπολογίζεται για ποιοτικά δεδοµένα.

Εύρος

Διακύµανση-τυπική απόκλιση

Συντελεστής µεταβολής

Πλεονεκτήµατα ▪ Ο υπολογισµός του είναι σχετικά εύκολος .

▪ Χρησιµοποιείται συχνά στον έλεγχο ποιότητας .

▪ Είναι δυνατόν να χρησιµοποιηθεί για την

Πλεονεκτήµατα ▪ Λαµβάνονται υπόψη για τον υπολογισµό τους όλες οι παρατηρήσεις .

▪ έχουν µεγάλη εφαρµογή στην στατιστική συµπερασµατολογια.

Πλεονεκτήµατα ▪ Είναι καθαρός αριθµός.

▪ Χρησιµοποιείται ως µέτρο σύγκρισης της µεταβλητότητας ,όταν έχουµε ίδιες η και διαφορετικές µονάδες

▪ Σε πληθυσµούς που ακολουθουν την

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

-6– ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

εκτίµηση της τυπικής απόκλισης . Μειονεκτήµατα ▪ Δεν θεωρείται αξιόπιστο µέτρο διασποράς επειδή βασίζεται µόνο στις δυο ακραίες παρατηρήσεις .

▪ Δεν χρησιµοποιείται για περαιτέρω στατιστική ανάλυση

http://mathhmagic.blogspot.com/

κανονική κατανοµή το 68%, το 95% και 99,7% των παρατηρήσεων ανήκουν στα διαστήµατα

( x − s, x + s ) , ( x − 2s, x + 2s ) , ( x − 3s, x + 3s )

αντίστοιχα. Μειονεκτήµατα ▪ Απαιτούνται περισσότερες αλγεβρικές πράξεις για τον υπολογισµό τους από άλλα µέτρα.

▪ Το κυριότερο µειονέκτηµα της διακύµανσης είναι ότι δεν εκφράζεται στις ίδιες µονάδες µε το χαρακτηριστικό ως προς το οποίο εξετάζουµε το δείγµα.

▪ Το µειονέκτηµα αυτό παύει να υπάρχει µε την χρησιµοποίηση της τυπικής απόκλισης.

µέτρησης ▪ Χρησιµοποιείται ως µέτρο οµοιογένειας ενός στατιστικού πληθυσµού. Μειονεκτήµατα ▪ Δεν ενδείκνυται στην περίπτωση που η µέση τιµή είναι κοντά στο µηδέν.

● 2.Έστω Ω = {ω1 , ω2 , ω3 , ω4 , ω5 } ο δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης και 1 Α = {ω1 , ω2 , ω3 } , Β = {ω3 , ω4 , ω5 } δυο ενδεχόµενα του Ω µε P ( Α) = .Αν είναι P (ω1 ) = a, P (ω2 ) = β , µε 2 2 2 26α − 10α − 2αβ + β + 1 = 0 , P(ω3 ) = γ και η συνάρτηση g ( x) = P(ω4 ) x 3 , x ∈ \ ,τότε : 1 1 Α)Να αποδείξετε ότι α = β = και γ = .

5 10 Β)Να βρείτε το P (ω4 ) , αν η εφαπτόµενη της γραφικής παράστασης της g,στο σηµείο (1,g(1)), είναι παράλληλη προς την ευθεία y=x,και στην συνέχεια να βρείτε το P (ω5 ) .

1 1 , P (ω5 ) = , τότε να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχοµένων Κ,Λ, όπου: 3 6 Κ: «Ένα µόνο από τα Α και τα Β να πραγµατοποιείται» Λ: «Να πραγµατοποιείται το Α ή να µην πραγµατοποιείται το Β.» (Επαναληπτικές 2012) ●

Γ)Αν είναι P (ω4 ) =

3.Ο Γιάννης µπορεί να πάει στην δουλειά του από το σπίτι του επιλέγοντας ανάµεσα στο αστικό λεωφορείο της γραµµής Α ή το τρόλεϊ της γραµµής Β.Ο χρόνος που χρειάζεται και στις δυο περιπτώσεις ακολουθεί την κανονική κατανοµή. Το αστικό λεωφορείο της γραµµής Α έχει µέσο χρόνο διαδροµής x A = 20 λεπτά µε τυπική απόκλιση s A = 3 λεπτά ενώ το τρόλεϊ της γραµµής Β έχει µέσο χρόνο διαδροµής xB = 21 λεπτά µε τυπική απόκλιση

sB = 2 λεπτά. Ποιο από τα δύο µέσα πρέπει να επιλέξει ο Γιάννης για να φτάσει στο σπίτι του ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

-7– ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

http://mathhmagic.blogspot.com/

Α) το λιγότερο σε 23 λεπτά.

Β) το αργότερο σε 17 λεπτά. ● 4.Σε µια εταιρεία µε 400 υπαλλήλους πραγµατοποιήθηκαν σε διαφορετικές ηµεροµηνίες δυο σεµινάρια επαγγελµατικής κατάρτισης , το σεµινάριο Α και το σεµινάριο Β. Κάθε υπάλληλος ήταν υποχρεωµένος να παρακολουθήσει τουλάχιστον ένα από τα δυο σεµινάρια. Από τους 400 υπαλλήλους είναι γνωστό ότι 340 παρακολούθησαν το σεµινάριο Α και 240 το σεµινάριο Β. Επιλέγουµε τυχαία έναν υπάλληλο της παραπάνω εταιρείας . Α) να εξετάσετε αν τα ενδεχόµενα A και Β είναι ασυµβίβαστα.

3 Β) Να αποδείξετε ότι P ( B − A) = .

20 Γ) Να βρείτε την πιθανότητα ο υπάλληλος να παρακολούθησε µόνο το σεµινάριο Α. Δ) Να βρείτε την πιθανότητα ο υπάλληλος να παρακολούθησε ακριβώς ένα από τα δυο σεµινάρια. ● 5.Δίνεται ο παρακάτω πίνακας µε τις τιµές xi µιας διακριτής µεταβλητής και οι αντίστοιχες συχνότητες.

νi ν1 ν2 ν3 ν4 ν

xi x1 x2 x3 x4

Είναι γνωστό ότι x = x3 και για την διάµεσο δ του δείγµατος ισχύει:

δ = lim

x → x2

x2 2 − xx2 2 x2 − x + 1 − 2

Α) Να δείξετε ότι δ = x2 Β)Αν επιλέξουµε στην τύχη µια παρατήρηση και P ( x1 ), P ( x2 ), P ( x3 ), P ( x4 ) είναι οι αντίστοιχες πιθανότητες να επιλέξουµε παρατήρηση x1 , x2 , x3 , x4 . i)Να αποδείξετε ότι P ( x1 ) ≤

1 .

2

ii)Να δείξετε ότι η παράσταση A =

x1 P ( x1 ) + x2 P( x2 ) + x4 P ( x4 ) είναι µια από τις παρατηρήσεις P ( x1 ) + P( x2 ) + P ( x4 )

στου δείγµατος . ●

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

-8– ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

http://mathhmagic.blogspot.com/

6.Έστω Α,Β δυο ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε P ( A ∩ B ) =

1 .Στον παρακάτω 6

πίνακα δίνονται οι τιµές µιας µεταβλητής Χ µε µέση τιµή x = 3 και οι αντίστοιχες συχνότητες τους. Α)Να αποδείξετε ότι P( B) =

xi

1 .

2

Β)Αν η πιθανότητα να πραγµατοποιηθεί ένα µόνο από τα Α και Β είναι

1 , να βρεθεί η πιθανότητα P ( A) . Στη συνέχεια αν επιλέξουµε 2

1

3P ( B − A)

2

2 P( B)

3

3P ( A) + 2

4

τυχαία κάποια από τις παρατηρήσεις της µεταβλητής Χ, να βρεθεί

νi

3

η πιθανότητα αυτή να είναι µικρότερη του 3. Γ) Να βρεθεί η διάµεσος, η τυπική απόκλιση και ο συντελεστής µεταβολής της µεταβλητής Χ. ● 7.Δίνεται η µεταβλητή Χ µε τιµές 0 και 1 και αντίστοιχες συχνότητες v1 , v2 .Το µέγεθος του δείγµατος είναι ν.Δίνεται ότι x =

1 .

2

Α) Να δείξετε ότι v1 = v2 .

B) Βρείτε την τυπική απόκλιση του δείγµατος. Γ) Εξετάστε αν το δείγµα είναι οµοιογενές. Δ) Να εξετάσετε ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα τη συνάρτηση:

f ( x) = s 2 x 2 − 2 xx Ε) Να βρείτε την µέση τιµή των τετραγώνων των παρατηρήσεων του δείγµατος .

2   ν     ∑ ti   1  ν 2  i =1   2 Δίνεται ο τύπος: s = ∑ ti −  ν  i =1 ν     

●

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

-9– ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

http://mathhmagic.blogspot.com/

8. Δίνεται ο πίνακας συχνοτήτων.

xi

vi

11

a 2 − 10γ + 50

3

β 2 − 2a

4

γ 2 − 6β

Σύνολα

Α) Να βρεθούν τα α, β, γ. Β) x =; δ =;

15 ●

9. Έστω x1 , x2 ,..., x6 6 παρατηρήσεις µε x = 15 και S x = 3 . Αν στο παραπάνω δείγµα επισυνάψουµε και το x7 = 8 , να βρεθεί η y, S y .Ποια είναι η ποσοστιαία µεταβολή του x ;

10. Αν Ω = {1, 2,3, 4,5} και Α, Β ⊆ Ω :

●

A = {x ∈ Ω / 0 ≤ ln( x − 1) < ln 3} B = {x ∈ Ω / ( x 2 − 5 x ) ( x − 1) = −6 ( x − 1)} Α) P ( A − B ) =;

, P ( B ∪ A′ ) =;

Β) Αν P ( A) =

1 , P ( A′ ∪ B′ ) =; 4

Γ) Αν P ( A) =

1 1 και P ( B − A) = , να βρεθεί η µικρότερη και η µεγαλύτερη τιµή του P( x) 4 8

ώστε A ∪ X = B .

● 11. Έστω οι 11 τιµές: 7,5, a, 2,5, β ,8, 6, γ ,5,3 όπου α , β , γ φυσικοί µε α < β < γ . Αν x = 6, δ = 6 και R = 8 Α) α =;

β =;

γ =;

: α 2 + β 2 + γ 2 = 217

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 10 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

http://mathhmagic.blogspot.com/

Β) Για τις τιµές των α , β , γ που βρέθηκαν, να δειχθεί ότι Sx =

58 και να εξεταστεί αν το 11

δείγµα είναι οµοιογενές. Γ) Έστω y1 , y2 ,..., y11 παρατηρήσεις που προκύπτουν αν πολλαπλασιάσουµε τις x1 , x2 ,..., x11 επί µία θετική σταθερά C1 , και στη συνέχεια προσθέσουµε µία σταθερά C2 . Αν y = 9 και

Sy = 2 Sx να βρεθούν τα C1 , C2 . ● 12. Έστω x1 , x2 ,..., xκ τιµές µιας x. Αν Fi + (1 − Fi ) 2

2

Ni 2 − 10 Ni + a = , i = 1, 2,..., κ , a ≠ 0 a

Α) Δείξτε ότι v = 10 . κ

2

 κ  Β) Αν 10∑ xi ⋅ vi =  ∑ xi ⋅ vi  , δείξτε ότι: i =1  i =1  2

i) s = 0 ii) x1 = x2 = ... = xκ ● 13. f ( x) = ln x − ln( x + 1) , Ω = {2,3,..., v} . Αν 9 P (κ ) = 22 f ′(κ ) (1) για κ άθε κ ∈ Ω , δείξτε ότι:

v = 10 . ● 14. Δίνεται η συνάρτηση f ( x) = ( x + 2 ) και τα σηµεία της καµπύλης f A1 , A2 ,..., A10 µε 3

τετµηµένες x1 , x2 ,..., x10 που έχουν µέση τιµή -2 και διασπορά 20. Α) Να βρείτε την µέση τιµή των συντελεστών διεύθυνσης των εφαπτοµένων της καµπύλης f στα σηµεία A1 , A2 ,..., A10 . Β) Να δείξετε: f ′′( x1 ) + f ′′( x2 ) + ... + f ′′( x10 ) = 0 . Γ) Αν τα σηµεία B1 , B2 ,..., B10 έχουν τετµηµένες x1 , x2 ,..., x10 και ανήκουν στην καµπύλη της

f ′′ να εξετάσετε αν ορίζεται ο συντελεστής µεταβολής των τεταγµένων των σηµείων B1 , B2 ,..., B10 . ● ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 11 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

http://mathhmagic.blogspot.com/

15. Έστω η συνάρτηση f ( x) = ( x − 2) 2 και τα σηµεία της καµπύλης f, A1 , A2 ,..., A10 µε τετµηµένες x1 , x2 ,..., x10 . Α) Να εξετάσετε την f ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα. Β) Αν η τυπική απόκλιση των τετµηµένων των σηµείων A1 , A2 ,..., A10 είναι s = 3 και x = 2 , να βρείτε την µέση τιµή των τεταγµένων τους. Γ) Αν η µέση τιµή των x1 , x2 ,..., x10 είναι x = 3 , να βρείτε τη µέση τιµή των εφαπτοµένων των γωνιών που σχηµατίζουν οι εφαπτοµένες στην καµπύλη f στα σηµεία A1 , A2 ,..., A10 . Δ) Αν ισχύουν x1 < x2 < ... < x10 ≤ 2 , το εύρος των x1 , x2 ,..., x10 είναι 5 και x10 2 = x12 − 15 , να βρείτε το εύρος των τεταγµένων των σηµείων A1 , A2 ,..., A10 . ●

9 16. Δίνεται η συνάρτηση f ( x) = x + . x Α) Να εξετάσετε την f ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα. Β) Να βρείτε την εφαπτοµένη ε στην καµπύλη της f στο x0 = 1 . Γ) Έστω τα σηµεία A1 , A2 ,..., A10 της ε που έχουν τετµηµένες x1 , x2 ,..., x10 µε µέση τιµή x = 4 και διασπορά s 2 =

1 . Να βρείτε τον συντελεστή µεταβλητότητας των τεταγµένων των 4

σηµείων A1 , A2 ,..., A10 .Ποια σταθερά θα πρέπει να προσθέσουµε στις παραπάνω τιµές,ώστε το δείγµα µας να γίνει οµοιογενές; Δ) Έστω 0 < x1 < x2 < ... < x10 < 3 . i) Αν η διάµεσος των x1 , x2 ,..., x9 είναι 2, να βρείτε τη διάµεσο των αριθµών

f ( x1 ), f ( x2 ) ,..., f ( x9 ) . ii) Αν x10 ⋅ x1 =

5 και x10 − x1 = 2 , να βρείτε το εύρος των f ( x1 ), f ( x2 ) ,..., f ( x10 ) .

4 ●

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 12 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

http://mathhmagic.blogspot.com/

17. Έστω ο δειγµατικός χώρος Ω = {ω1 , ω2 ,..., ω100 } ενός πειράµατος τύχης και η συνάρτηση

f ( x) = ( P (ω1 ) − x ) + ( P(ω2 ) − x ) + ... + ( P(ω100 ) − x ) .

3

3

3

Α) Να βρείτε τη µέση τιµή των αριθµών P (ω1 ), P (ω2 ),..., P (ω100 ) .

 1  2  = −300s , όπου s η τυπική απόκλιση των P(ωi ), i = 1, 2,..,100 .  100 

Β) Να δείξετε ότι: f ′  Γ) Αν η ευθεία y = −

1 είναι εφαπτοµένη στην καµπύλη της f ′ , να βρείτε το συντελεστή 75

µεταβολής των αριθµών P (ω1 ), P (ω2 ),..., P (ω100 ) .

● 18. Έστω ο δειγµατικός χώρος Ω = {ω1 , ω2 ,..., ωv } ενός πειράµατος τύχης και η συνάρτηση 3

1 1  f ( x) =  x −  . Δίνεται ότι η µέση τιµή των αριθµών P (ω1 ), P(ω2 ),..., P(ωv ) είναι .

9 9  Α) Να βρείτε το πλήθος των απλών ενδεχοµένων. Β) Να αποδείξετε ότι για τη διάµεσο δ των αριθµών P (ω1 ), P (ω2 ),..., P(ωv ) , ισχύει δ ≤ 0, 2 . Γ) Αν f ′ ( P (ω1 ) ) + f ′ ( P(ω2 ) ) + ... + f ′ ( P (ωv ) ) =

1 , να βρείτε τον συντελεστή µεταβολής.

12

● 19. Έστω f , g συναρτήσεις παραγωγίσιµες στο \ τέτοιες ώστε

g ( x) = f 2 (3x − 2) + f ( x 2 − x + 1) για κάθε x ∈ \ και f (1) = −1 , f ′(1) = 1 . Α) Να δείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτοµένης (ε) της γραφικής παράστασης της g στο σηµείο A (1, g (1) ) είναι η y = −5 x + 5 . Β) Αν πάρουµε 2004 διαφορετικά σηµεία ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) ,..., ( x2004 , y2004 ) της προηγούµενης εφαπτοµένης και οι τετµηµένες τους έχουν µέση τιµή x = 400 και τυπική απόκλιση s = 200 , αν βρεθούν: i) Η µέση τιµή των τεταγµένων. ii) Η µέση τιµή των τετραγώνων των τετµηµένων, δηλαδή των x12 , x2 2 ,..., x2004 2 . ● ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 13 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

http://mathhmagic.blogspot.com/

20. Δίνεται η συνάρτηση f ( x) = ln x − x + 2011 και η κατανοµή x µε παρατηρήσεις t1 , t2 ,..., tv µε µέση τιµή x και τυπική απόκλιση s. Αν η µέση τιµή των τετραγώνων των παρατηρήσεων είναι 10 και η µέση τιµή x είναι η θέση στην οποία η f ( x) παρουσιάζει ακρότατο, τότε: Α) Να µελετηθεί η f ( x) ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα. Β) Να υπολογισθεί η x , η s και ο CV. Γ) Αν t1 < t2 < ... < tv να εξεταστεί η κατανοµή ως προς την ασυµµετρία της, αν επιπλέον ισχύει t v −3 ,..., tv ∈ (1, +∞ ) .

2

●

( t − x ) + ( t2 − x ) f ( x) = 1 3

21. Δίνεται η συνάρτηση

3

+ ... + ( tv − x )

3

3v

, όπου t1 , t2 ,..., tv είναι

παρατηρήσεις ενός δείγµατος µε τυπική απόκλιση s και µέση τιµή x . Η µέγιστη κλίση της

f ( x) εµφανίζεται στο σηµείο A ( 4, −4 ) . Α) Δείξτε ότι το δείγµα δεν είναι οµοιογενές. Β) Βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της C f ′ στο σηµείο B ( 2, 4 ) . Γ) Αν M 1 , M 2 ,..., M 9 είναι 9 σηµεία στην παραπάνω εφαπτοµένη µε µέση τιµή των τεταγµένων 7 και τυπική απόκλιση των τεταγµένων 2, να βρείτε την µέση τιµή και την τυπική απόκλιση των τετµηµένων. Επίσης βρείτε την µέση τιµή των τετραγώνων των τεταγµένων. ● 22.Έστω Α = { x, 2, y, x + 3} ένα σύνολο που αποτελείται από παρατηρήσεις που παίρνουµε από την µελέτη ενός δείγµατος µε µέση τιµή x = 2.5 και διάµεσο δ = 2.5 . ( x, y ∈ \ , x < 2 < y < x + 3 ).

A) Να βρεθούν οι αριθµοί x, y.

B) Εκλέγουµε τυχαία έναν αριθµό α από το σύνολο Α και ένα αριθµό β από το σύνολο Β = {2, 4,8 } .Να βρεθεί ο δειγµατικός χώρος Ω του πειράµατος . Γ) Να βρεθεί η πιθανότητα να ισχύει : x 2 + ax − 2a 2 β x2 − β 3 lim ≥ lim x →α x 2 + 3a 2 − 2a x → β 2 x − 2β ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 14 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

http://mathhmagic.blogspot.com/

● 23. Δίνεται η συνάρτηση : f ( x) = (t1 + t2 + ... + t10 ) x − 5 x 2 όπου t1 ,t2 ,..,t10 οι παρατηρήσεις ενός δείγµατος . Α) Μελετήστε την συνάρτηση ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα της . Β)Αν g ( x) = (t1 − x) 2 + (t2 − x) 2 + .... + (t10 − x) 2 µια άλλη συνάρτηση και g (a ) = 810 όπου α το x για το οποίο παρουσιάζει ακρότατο η f και g '(0) = 2000 να εξετάσετε αν το δείγµα είναι οµογενές . ● 24.Δίνεται η συνάρτηση (t − x)3 + (t2 − x)3 + .... + (tν − x)3 f ( x) = 1 όπου x1 , x2 ,.., xν οι παρατηρήσεις ενός δείγµατος µε 3ν τυπική απόκλιση s και µέση τιµή x . Α) Αποδείξτε ότι f '( x) = − s 2 Β) Βρείτε την δεύτερη παράγωγο της συνάρτησης f . Γ) Μελετήστε την µονοτονία της συνάρτησης f. Δ)Μελετήστε την µονοτονία της πρώτης παραγώγου της συνάρτηση f . Ε) Βρείτε για ποια τιµή του x η f’ παρουσιάζει µέγιστη κλίση. ● 25. Θεωρούµε την συνάρτηση f που είναι παραγωγίσιµη στο \ και την συνάρτηση g για την οποία ισχύει: g ( x) = f ( x 3 − x) − f ( x − 1), x ∈ \ Η εφαπτόµενη της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο που τέµνει τον άξονα y’y έχει εξίσωση y=2x+2011. Α)Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόµενης (ε) της καµπύλης της g στο σηµείο της Μ(1, g(1)) Β) Πάνω στην (ε )παίρνουµε τα σηµεία A1 (−5, y1 ), A2 (−4, y2 ), A3 (−3, y3 ),..... A11 (5, y11 ) .Να βρείτε την µέση τιµή y , την τυπική απόκλιση S y και τον συντελεστή µεταβολής CVy των

y1 , y2 , y3 ,....., y11 . Γ)Παίρνουµε στην τύχη ένα από τα σηµεία A1 , A2 , A3 ,..... A11 .Να βρείτε την πιθανότητα να βρίσκεται «κάτω» από τον άξονα x ' x ●

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 15 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

http://mathhmagic.blogspot.com/

26.Έστω ο δειγµατικός χώρος Ω , που αποτελείται από 15.000 στοιχεία , τα οποία είναι ισοπίθανα . Θεωρούµε και τα συµπληρωµατικά ενδεχόµενα Α και Α’ του Ω , µε 0 < P ( A) < 1 .

P( A) 1 + ≥ 5a . Α) Να αποδείξετε ότι 4 ⋅ P ( A ') P( A)

4 x 2 − 2λ , λ ∈ ], λ > 0 x → λ 2 x − 2λ Β) Αν στην σχέση του ερωτήµατος (Α) ισχύει η ισότητα , τότε: i) να βρείτε το Ν(Α) , δηλαδή το πλήθος των στοιχείων του Α . ii) αν κάποιο ενδεχόµενο Β του Ω έχει 10.500 στοιχεία , να αποδείξετε ότι τα Α και Β δεν είναι ασυµβίβαστα. Όπου α = lim

● 27. Δίνεται η συνάρτηση f ( x) = 10 s ⋅ x 2 + x ⋅ x + 11, x ∈ \ , όπου x η µέση τιµή και s η τυπική απόκλιση των παρατηρήσεων ενός δείγµατος .Αν η εφαπτόµενη της καµπύλης της f στο σηµείο Α(-1,f(-1)) είναι παράλληλη στην ε : y = 2011 τότε : Α) Να υπολογίσετε την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης f .

B) Να δείξετε ότι το δείγµα είναι οµοιογενές. Γ)Να δείξετε ότι η f παρουσιάζει ελάχιστο. Δ) Αν η ελάχιστη τιµή της f είναι ίση µε 1 τότε: i)Να βρείτε την µέση τιµή και την τυπική απόκλιση των παρατηρήσεων του δείγµατος . ii)Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της καµπύλης της f στο σηµείο Α. ● 28.Σε ένα δείγµα µεγέθους 20 µιας µεταβλητής Χ έχουµε : 20

∑t

i

i =1

= 100 και

20

∑t

i

2

= 1000

i =1

Έστω δείγµα του ίδιου µεγέθους µιας µεταβλητής Y , που συνδέεται µε το Χ µε την σχέση Y = 2 X + 5 .Να υπολογιστεί η µέση τιµή και η τυπική απόκλιση κάθε µεταβλητής . ● 29.Σε ένα χωριό υπάρχουν ν άνθρωποι που ο καθένας είναι x1 , x2 ,..., xv ετών. Α) Αν το δείγµα x1 , x2 ,..., xv των ηλικιών τους έχει συντελεστή µεταβλητότητας 20% και µετά από 25 χρόνια γίνεται για πρώτη φορά οµοιογενές . i) Να βρείτε την µέση τιµή και την τυπική απόκλιση των ηλικιών τους . ii) Να βρείτε την µέση τιµή του δείγµατος x12 , x2 2 ,..., xv 2 . iii) αν ο µικρότερος σε ηλικία είναι 10 ετών , να βρείτε προσεγγιστικά την µεγαλύτερη ηλικία, αν υποθέσουµε ότι η κατανοµή είναι κανονική. Β) Στο παραπάνω χωριό υπάρχουν µονό 2 καφενεία , το Α και το Β. Αν το 30% των κατοίκων πηγαίνει στο Α καφενείο και το 60% δεν πηγαίνει στο Β ενώ το 50% πηγαίνει σε ένα τουλάχιστον από τα δυο καφενεία, να βρείτε: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 16 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

http://mathhmagic.blogspot.com/

i) Τι ποσοστό των κατοίκων πηγαίνει και στα δύο καφενεία. ii) Απ’ αυτούς που πηγαίνουν µονο στο ένα καφενείο, ποιοι είναι οι περισσότεροι , αυτοί που πηγαίνουν µόνο στο Α ή αυτοί που πηγαίνουν µόνο στο Β. Γ) Καθένα από τα ν άτοµα αγοράζει ένα λαχνό. Οι λαχνοί είναι αριθµηµένοι από το 1 έως το ν και έχουν ίδια πιθανότητα κλήρωσης .Αν η πιθανότητα να κληρωθεί περιττός αριθµός είναι κατά 0.8% µεγαλύτερη από το να κληρωθεί άρτιος να βρείτε ποσά άτοµα έχει το χωριό. (οεφε 2007) ● 30 (Θέµα διασαφήνισης συντελεστή µεταβολής ) Α)Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος ,για τον συντελεστή µεταβολής CV ενός δείγµατος . i) Κάθε δείγµα έχει συντελεστή µεταβολής .

s ισχύει και όταν x < 0 . x

ii)

Ο τύπος CV =

iii) iv) v) vi) vii)

Ο CV έχει ως µονάδα µέτρησης την ίδια µε τις παρατηρήσεις . Ένα δείγµα είναι οµοιογενές , αν και µονό αν έχει CV = 50% . Όταν ορίζεται ο CV , τότε πάντα CV ≤ 100% . Είναι δυνατόν να έχουµε και CV < 0 . Αν σε δείγµα παρατηρήσεων η µέση τιµή και η διάµεσος είναι ίσες, µπορούµε να πούµε ότι η κατανοµή είναι κανονική.

● 31.Μια βιοµηχανία παράγει εξαρτήµατα πλοίων .Το αναµενόµενο κέρδος P(x) (σε χιλιάδες ευρώ) από την πώληση x εξαρτηµάτων µηνιαίως δίνεται από την συνάρτηση P ( x) = − x 3 + 15 x 2 + 600 x − 300,0 < x < 30 Α) Να υπολογίσετε το αναµενόµενο κέρδος από την πώληση 10 εξαρτηµάτων µηνιαίως . Β) Να βρείτε τον αριθµό των εξαρτηµάτων που πρέπει να πουληθούν µηνιαίως για να έχει η βιοµηχανία αυτή το µέγιστο κέρδος καθώς και την µέγιστη τιµή του κέρδους . Γ) Να βρείτε το ρυθµό µεταβολής του κέρδους για x = 10 . Δ) Να βρείτε την µέγιστη τιµή του ρυθµού µεταβολής του κέρδους . ● 32.Α)Δίνονται τα Α ,Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω.Αν A ⊆ B και P ( A) = 0.2 και

x 2 P ( A ∪ B) − 4 P ( A) , να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχοµένων P ( B ') και P ( B ∩ A) . x →2 x−2 Β) Δίνονται ο δειγµατικός χώρος Ω = {1, 2,..,1.000 } µε ισοπίθανα στοιχειώδη ενδεχόµενα.

P ( B ) = lim

Αν Α ,Β δυο ασυµβίβαστα ενδεχόµενα του Ω για τα οποία ισχύει: 16[ P( B )]2 − 25 P( B) − P ( Α) + 10 = 0(1) να βρείτε: i)

τις πιθανότητες P ( B ), P ( Α)

ii) το πλήθος των στοιχείων Α και Β. Τι συµπέρασµα βγαίνει για τα Α και Β. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 17 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

http://mathhmagic.blogspot.com/

33.Το IQ αποτελεί το δείκτη ευφυΐας των ατόµων και ακόλουθει την κανονική κατανοµή µε µέσο x και διασπορά s 2 .Αν είναι γνωστό ότι το IQ µικρότερο του 85 έχει το 16% του πληθυσµού και µεγαλύτερο από του 130 έχει το 2.5% του πληθυσµού, να βρείτε: Α) την µέση τιµή και την τυπική απόκλιση της κατανοµής, το συντελεστή µεταβλητότητας. Είναι οµοιογενές το δείγµα; Β) το ποσοστό του πληθυσµού που έχει IQ µεγαλύτερο του 145. ● 34.Μια γαλακτοβιοµηχανία παρασκευάζει παγωτό το οποίο το συσκευάζει σε πλαστικά κύπελλα χωρητικότητας 210 gr .Σε δειγµατοληπτικό έλεγχο που έγινε για το βάρος του παγωτού που περιέχεται στα κυπελλάκια πρόεκυψε ο παρακάτω πίνακας κατανοµής σχετικών συχνοτήτων.

fi %

Βάρος παγωτού

[195 − 197 ) [197 − 199 ) [199 − 201) [ 201 − 203 ) [ 203 − 205 )

10 10 55 20 5

Α) Να δείξετε ότι το µέσο βάρος του παγωτού που περιέχεται στα κύπελλα είναι 200 gr. Β)Να βρείτε την διάµεσο του δείγµατος . Γ) Παίρνουµε στην τύχη ένα από τα κύπελλα του δείγµατος .Να βρείτε την πιθανότητα να περιέχει παγωτό βάρους µικρότερου των 200 gr. Δ)Λόγω λανθασµένου προγραµµατισµού µια ηµέρα το βάρος του παγωτού που περιείχαν τα κύπελλα αυξήθηκε κατά 8 gr. Παίρνουµε ένα από τα κύπελλα παγωτού που είχαν συσκευαστεί εκείνη την µέρα .Ποια η πιθανότητα το κύπελλο να ξεχειλίσει. ● 35.θεωρούµε 8 ευθύγραµµα τµήµατα που έχουν µήκη όχι µικρότερα από 1 και όχι µεγαλύτερα από 10. Α) Να βρείτε την µέγιστη τιµή που µπορεί να πάρει το εύρος R. B) Να αποδείξετε ότι για την µέση τιµή x των µηκών των 8 ευθυγράµµων τµηµάτων ισχύει x ∈ [1,10] . Γ)Αν x = 10 να υπολογίσετε τα µήκη των 8 τµηµάτων.

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 18 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 36.Έστω ο δειγµατικός χώρος Ω = {ω1,ω2 , ω3 , ω4

http://mathhmagic.blogspot.com/

} .Αν το δείγµα των αριθµών

1 1 1 1 1 P (ω1 ) + , P (ω2 ) + , P(ω3 ) + , P (ω4 ) + έχει τυπική απόκλιση . Να δείξετε ότι: 4 4 4 4 9 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 ( P (ω1 ) − ) + ( P (ω2 ) − ) + ( P(ω3 ) − ) + ( P (ω4 ) − ) = ( ) και µετά να υπολογίσετε τον 4 4 4 4 9 συντελεστή µεταβολής CV του δείγµατος . ● 37.Μια εταιρεία που κατασκευάζει υπολογιστές παράγει την ηµέρα κ υπολογιστές τύπου Α, 6 υπολογιστές τύπου Β και λ υπολογιστές τύπου Γ. Επιλεγούµε τυχαία ένα υπολογιστή της εταιρείας .Η πιθανότητα να είναι τύπου Α είναι είναι

1 και η πιθανότητα να είναι τύπου Γ 2

1 .Αν οι τιµές πώλησης των υπολογιστών τύπου Α και Γ είναι 1400 ευρώ και 2000 ευρώ 5

αντίστοιχα, τότε: Α) Να βρεθεί το πλήθος των υπολογιστών τύπου Α και Γ. Β)Να βρεθεί η τυπική απόκλιση s των τιµών πώλησης όλων των υπολογιστών της εταιρείας , ώστε ο συντελεστής µεταβολής του δείγµατος να είναι 20% και η τιµή πώλησης των υπολογιστών τύπου Β να είναι 3000 ευρώ. Γ)Αν η εταιρεία αποφασίσει να διακόψει την παραγωγή υπολογιστών τύπου Γ και να αυξήσει την παραγωγή υπολογιστών τύπου Α κατά 80% , πόση πρέπει να είναι η τιµή πώλησης των υπολογιστών τύπου Β, ώστε ο συντελεστής µεταβολής να παραµείνει ο ίδιος και η τυπική απόκλιση s των τιµών πώλησης όλων των υπολογιστών να είναι 300 ευρώ. ● 38.Σε µια φανταστική χώρα ο ασφαλιστικός φορέας Μ.Ι.Κ.Α αύξησε τις συντάξεις όλων των συνταξιούχων του κατά 15%.Ταυτοχρονα παρακράτησε ένα σταθερό ποσό από την νέα σύνταξη κάθε συνταξιούχου ως εισφορά για την υγειονοµική περίθαλψη του ,ώστε ο συντελεστής µεταβολή των συντάξεων να είναι 10% µεγαλύτερος από τον αρχικό. Αν η αρχική µέση σύνταξη είναι 1000 ευρώ (είπαµε είναι µια φανταστική χώρα), να βρείτε: Α) Το ποσό της εισφοράς που ο ασφαλιστικός φορέας παρακράτησε από κάθε συνταξιούχο. Β) Βγήκαν κερδισµένοι οι συνταξιούχοι την απόφαση του Μ.Ι.Κ.Α; ●

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 19 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

http://mathhmagic.blogspot.com/

39.Από ένα φύλλο λαµαρίνας σχήµατος τετραγώνου πλευράς 6 µέτρων κατασκευάζεται µια δεξαµενή σχήµατος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου, ανοικτή από πάνω. Από τις γωνίες του φύλλου λαµαρίνας κόβονται τέσσερα ίσα τετράγωνα πλευράς x µέτρων, 0 < x < 3 και στην συνέχεια οι πλευρές της διπλώνονται προς τα πάνω, όπως φαίνεται στο

παρακάτω σχήµα:

Α) Να αποδείξετε ότι ο όγκος της δεξαµενής ως συνάρτηση του x είναι: f (x) = 4x(3 − x) 2 , 0 < x < 3

(δίνεται ο όγκος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου διαστάσεων α,β,γ είναι V = αβγ ). Β) Να βρείτε για ποια τιµή του x η δεξαµενή έχει µέγιστο όγκο. Γ) Να βρείτε το όριο lim x →0

f (x + 2) − 8 . x

Δ) Θεωρούµε τις τιµές yi = f (x i ),i = 1, 2,3, 4,5 µε 1 = x1 < x 2 < x 3 < x 4 < x 5 = 2 , οι οποίες έχουν µέση τιµή y = 12 ,τυπική απόκλιση s y = 2 και συντελεστή µεταβολής CVy .Να βρείτε το εύρος R των τιµών yi , i = 1, 2,3, 4,5 .Στην συνέχεια να βρείτε τον αριθµό α ∈ \ µε −12 < α < 0 ο οποίος , αν προστεθεί σε καθεµία από τις τιµές yi προκύπτει δείγµα µε συντελεστή µεταβολής CV τέτοιον ώστε CV = 2CVy +

R .

12

Ε) Έστω Α,Β δυο ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε ισοπίθανα απλά ενδεχόµενα. Αν είναι A ≠ ∅ , B ≠ ∅ και A ⊆ B , να αποδείξετε ότι ισχύει: P(A)  3 − P(B)  ≤  P(B)  3 − P(A) 

2

● ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 20 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

http://mathhmagic.blogspot.com/

40.Εστω ο δειγµατικός χώρος Ω = {1, 2,3, 4,5, 6} του πειράµατος ρίψης ενός αµερόληπτου ζαριού. Έστω επίσης η συνάρτηση f ( x) = (4 − λ )eλ x + λ x − 4, x ∈ \ όπου λ ∈ \ . Α)Nα βρείτε τις συναρτήσεις f '( x), f ''( x) Β)Να αποδείξετε ότι η εφαπτοµένη (ε) της καµπύλης της f στο σηµείο M (0, f (0)) έχει εξίσωση

y = (5λ − λ 2 ) x − λ Γ)Να υπολογίσετε τις πιθανότητες των ενδεχοµένων Α={ λ ∈ Ω / η ευθεία (ε) είναι κάθετη στην ευθεία (η) µε εξίσωση y = − Β={ λ ∈ Ω / η συνάρτηση f ' είναι γνησίως φθίνουσα }

1 x + 2014 } 4

E) Για λ = 1 να υπολογίσετε: i)τις τιµές f '(0), f (0)

3eh + h − 3 . h→0 h

ii)το όριο lim

● 41.( Μεζεδάκια θεωρίας) A)Να χαρακτηρίσετε ως αληθής ή ψευδής τις παρακάτω προτάσεις 1)Ο λόγος της µέσης τιµής προς την τυπική απόκλιση καλείται συντελεστής µεταβολής και είναι καθαρός αριθµός. Σ Λ 2)Σε κάθε κατανοµή το 50% των παρατηρήσεων είναι µικρότερες της µέσης τιµής και το 50% είναι µεγαλύτερες της µέσης τιµής Σ Λ 3)Αν σε ένα δείγµα x = 3s ≠ 0 , τότε το δείγµα είναι οµοιογενές . Σ Λ 4)Αν όλες οι παρατηρήσεις ενός δείγµατος έχουν την ίδια τιµή ,τότε η τυπική απόκλιση αυτών είναι ίση µε µηδέν. Σ Λ B)Τα παρακάτω διαγράµµατα παρουσιάζουν την κατανοµή του σωµατικού βάρους των αθλητών σε δυο οµάδες ποδοσφαίρου.

70

90 ΟΜΑ∆Α Α

75

85

ΟΜΑ∆Α Β

i) Ποιο είναι το µέσο βάρος των δυο οµάδων; ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 21 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

http://mathhmagic.blogspot.com/

ii) Ποια οµάδα έχει την µεγαλύτερη διασπορά; iii) Ποια οµάδα έχει µεγαλύτερη οµοιογένεια στο σωµατικό βάρος των παικτών; ● 42.Έστω ο δειγµατικός χώρος Ω = {1, 2,3,...., 2ν } ενός πειράµατος τύχης µε ισοπίθανα απλά ενδεχόµενα. Αν το εύρος R και η διάµεσος δ των αριθµών 1,2,3,..,2ν συνδέονται µε την σχέση R + 2δ = 40 .Να υπολογίσετε: Α)τους αριθµούς R,δ,ν. Β)την πιθανότητα του ενδεχοµένου A = {1, 2,3,...., R} Γ)την πιθανότητα λαµβάνοντας τυχαία ένα αριθµό λ από το σύνολο Ω η συνάρτηση

f ( x) = ln( x 2 + 5 x + λ ) Να έχει πεδίο ορισµού το \ .

20

Δ) Αν

∑x i =1

i

2

= 2870 να δείξετε ότι η τυπική απόκλιση των αριθµών 1,2,3,…,2ν ( ω η τιµή που

υπολογίσατε στο ερώτηµα α) είναι s = 33.25 . ● 43.Δίνεται η συνάρτηση f ( x) = e x − α x + 39, λ ∈ \ µε α πραγµατικό αριθµό. Α) Αν η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο Α( 0,f(0)) είναι παράλληλη στον άξονα x΄x να βρείτε την τιµή του α. Β) Δίνονται οι παρατηρήσεις f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( x100 ) µε f ( x1 ) < f ( x2 ) < ... < f ( x100 ) οι οποίες ακολουθούν περίπου κανονική κατανοµή µε µέση τιµή x και τυπική απόκλιση s.Αν το δείγµα δεν είναι οµοιογενές να αποδείξετε ότι i) η ελάχιστη τιµή της f είναι 40. ii) δ > 40 iii) s > 4 iv)Η συνάρτηση g ( x) = x 3 + 6 x 2 + 3sx + x, x ∈ \ είναι γνησίως αύξουσα στο \ . ● 44.Δίνεται η συνάρτηση f ( x) = 1 + ln( x 2 + a ), a > 0 . Α)Αν η εφαπτοµένη της C f στο σηµείο Α(1,f(1)) σχηµατίζει µε τον άξονα x΄x γωνία 45o να υπολογίσετε την τιµή του α. Β)Για α=1 να µελετήσετε την συνάρτηση f ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα . Γ)Εστω Ω ο δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης και Α,Β δυο ενδεχόµενα του για τα οποία ισχύει η σχέση f(P(A))=P(B).Να αποδείξετε ότι το Β είναι το βέβαιο ενδεχόµενο και το Α το αδύνατο ενδεχόµενο.

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 22 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

http://mathhmagic.blogspot.com/

● 45.Να χαρακτηρίσετε ως αληθής ή ψευδής τις παρακάτω προτάσεις 1)Αν Α ,Β ενδεχόµενα ενός δ,χ Ω ενός πειράµατος τύχης και ισχύει A ≠ B τότε P ( A) ≠ P( B) .Σ Λ 2)Οι σχετικές αθροιστικές συχνότητες Fi % µιας κατανοµής εκφράζουν το ποσοστό των παρατηρήσεων που είναι µεγαλύτερες ή ίσες της τιµής xi .Σ Λ 3)Το κυκλικό διάγραµµα χρησιµοποιείται για την γραφική παράσταση µόνο ποιοτικών δεδοµένων. Σ Λ 4)Η καµπύλη συχνοτήτων του παρακάτω σχήµατος εκφράζει µια ασύµµετρη κατανοµή µε θετική ασυµµετρία. Σ Λ

Do or do not… there is no try.

5)Το εύρος ενός δείγµατος βασίζεται στις δυο ακραίες παρατηρήσεις . Σ Λ Yoda

● 46.(Μεζεδάκια θεωρίας)

Α) Εξετάζουµε δυο δείγµατα µεγέθους ν και µ ως προς µια ποσοτική µεταβλητή Χ.Αν x και

y είναι οι µέσες τιµές των παρατηρήσεων των δυο δειγµάτων , να δείξετε ότι η µέση τιµή του συνόλου των παρατηρήσεων των δυο δειγµάτων ισούται µε: z =

νx+µy µ +ν

Β)Να αποδείξετε ότι σε µια κατανοµή συχνοτήτων η διακύµανση s 2 δίνεται και από την v

σχέση : s 2 =

∑ν x i =1

i i

ν

2

−x

2

Γ)Αν σε ένα δείγµα µεγέθους ν( v ∈ `* ) η µεταβλητή x παίρνει µόνο τις τιµές 1 και 0, να αποδείξετε ότι για την διακύµανση s 2 ισχύει s 2 ≤

1 ( Υπόδειξη: χρησιµοποιήστε το 4

ερώτηµα (β)). Δ)Να αποδείξετε ότι αν από τις παρατηρήσεις x1 , x2 ,...., xv αφαιρέσουµε την µέση τιµή τους

x και στην συνέχεια διαιρέσουµε µε την τυπική τους απόκλιση sx , τότε οι νέες παρατηρήσεις που προκύπτουν έχουν µέση τιµή 0 και τυπική απόκλιση 1, δηλαδή αν

yi =

xi − x , τότε y = 0 και s y = 1 ( δίνεται ότι sx ≠ 0 ). sx

Ε) Αν σε ένα δείγµα µεγέθους ν( v ∈ `* ) µε θετικές παρατηρήσεις η µεταβλητή x ακολουθεί την κανονική κατανοµή τότε για το συντελεστή µεταβολής CV ισχύει:

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 23 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

CV <

http://mathhmagic.blogspot.com/

1 .

3

● 47)Αν ε η εφαπτοµένη (όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήµα) της C f στο σηµείο της Α(1,1) και x1 < x2 < .... < x9 οι τετµηµένες των σηµείων M 1 , M 2 ,.., M 9 αντίστοιχα µε µέση τιµή -2 και διάµεσο -1. Α)Να βρείτε την µέση τιµή των τεταγµένων των σηµείων M 1 , M 2 ,.., M 9 . Β)Την διάµεσο των τεταγµένων των σηµείων M 1 , M 2 ,.., M 9 . Γ)το όριο lim h →0

f (1 + h) − f (1) h M1 M2

Cf

A(1,1) 1

120ο

x1

x2

1

x9

M9

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 24 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

48)Δινεται η συνάρτηση g ( x) =

http://mathhmagic.blogspot.com/

1 2 ( x + 20γ + β 2 + (α − 1) 2 ( x + γ )), x ∈ \ 60

µε α,β,γ πραγµατικές παραµέτρους.Αν η γραφική παράσταση της g τεµνει τον αξονα y’y

1 e x (1 − συν x) στο σηµείο A(0, ) και ισχύει : γ = lim x → 0 ηµ 2 x + συν x − 1 3 Α)Να βρείτε τις τιµές των α,β,γ. Β) Για α=1,β=0 και γ=1. Αν έχουµε ένα δείγµα 30 παρατηρήσεων ως προς µια µεταβλητή Χ µε x1 , x2 , x3 τις διακεκριµένες τιµές της µεταβλητές Χ, ν 1 ,ν 2 ,ν 3 οι αντίστοιχες συχνότητες και f1 , f 2 , f3 οι αντίστοιχες σχετικές συχνότητες. Να αποδείξετε ότι: α) g΄ (ν 1 ) + g΄ (ν 2 ) + g΄ (ν 3 ) = 1 β) g΄ ( f1 ) + g΄ ( f 2 ) + g΄ ( f3 ) =

1 30

γ)αν x η µέση τιµή και s η τυπική απόκλιση του δείγµατος ,τότε: i) g΄ (v1 x1 + v2 x2 + v3 x3 ) = x ii) v1 g ( x1 − x) + v2 g ( x2 − x) + v3 g ( x3 − x) =

s 2 + 20 2

Γ) Έστω µια συνάρτηση h δυο φορές παραγωγίσιµη στο \ µε h(−1) = 7 .Αν

f ( x) = (180 g ( x − 2) − 20) ⋅ h(2 x − 5), x ∈ \ τότε: α) Να δείξετε ότι η εφαπτοµένη της Cf στο A(2, f (2)) είναι παράλληλη στον άξονα χ’χ. β)Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της Cf στο σηµείο A(2, f (2)) . γ)Να υπολογίσετε την f ''(2) .

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 25 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

http://mathhmagic.blogspot.com/

49.Εστω Α,Β είναι ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω.Αν P ( B ) = Α) Να υπολογίσετε τις πιθανότητες P ( B − A) , P( B ') . Β)Να δείξετε ότι P ( A '− B ') = P( B − A) =

Γ)Να δείξετε ότι P ( A) ≤

1 1 και P ( A ∩ B) = ,τότε: 4 6

“May the Force be with you.”

1 12

11 12 Yoda

50. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθουν ως σωστές ή λάθος .

1. lim (συν x) = συν x

Σ Λ

2. ( cf ( x) ) ' = cf '( x)

Σ Λ

x → xo

3.Σε µια ποσοτική διακριτή µεταβλητή αντί του ραβδογράµµατος χρησιµοποιείται το διάγραµµα συχνοτήτων . Σ Λ 4.Ενα δείγµα τιµών µιας µεταβλητής Χ χαρακτηρίζεται οµοιογενές όταν ο συντελεστής µεταβολής ξεπερνά το 10%. Σ Λ 5.Δυο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω λέγονται ασυµβίβαστα , όταν A∩ B ≠ ∅ Σ Λ ● 51.Εστω Α,Β δυο ενδεχόµενα του ίδιου δειγµατικού χώρου Ω. Α)Να δείξετε ότι : P ( A ∩ B) + P( A ∪ B) = P( A) + P( B) Β)Αν P( A ') ≤ 0.4 και P( B ') ≥ 0.5 να δείξετε ότι : i) P ( A) ≥ 0.6 και P ( B ) ≥ 0.5 ii) P ( A ∩ B) + P( A ∪ B) ≥ 1.1 iii)Να δείξετε ότι A ∩ B ≠ ∅ .

52.Αν η µεταβλητή Χ παίρνει µόνο δυο τιµές x1 , x2 µε συχνότητες ν 1 ,ν 2 αντίστοιχα , αποδείξετε ότι : i)η τυπική απόκλιση s δίνεται από τον τύπο s = x1 − x2 ii)Αν v1 = v2 τότε CV =

v1 ⋅ v2 v1 + v2

x1 − x2 x1 + x2

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 26 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

http://mathhmagic.blogspot.com/

53.i)(άσκηση µπριαµ) Να εξετάσετε την συνάρτηση f ( x) =

ln x , x > 0 ως προς την x

µονοτονία και τα ακρότατα στο πεδίο ορισµού της . iii) Αν A, B ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε A ⊆ B, A ≠ B τότε να αποδείξετε ότι η συνάρτηση

1 g ( x) = x3 − x 2 + ( P( A ∪ B) P ( A∩ B ) − P( A ∩ B) P ( A∪ B ) + 1) x + 1974 είναι γνησίως αύξουσα στο \ .

3 (Υπόδειξη: να χρησιµοποιήσετε το ερώτηµα(i)) iii)Αν η µέση τιµή των παρατηρήσεων 2 f (2),

x=

ln 2014

ν

3 3 4 4 5 5 v +1 ν +1 f ( ), f ( ), f ( ),...., f( ) είναι 2 2 3 3 4 4 ν ν

.Να βρείτε το πλήθος ν του δείγµατος . ●

54.Αν t1 , t2 ,..., tν οι παρατηρήσεις µιας µεταβλητής Χ µε µέση τιµή x και διάµεσο δ , τυπική απόκλιση s και η συνάρτηση: ν

f ( x) = ∑ (ti − x) 2 i =1

Α) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f τέµνει τον άξονα y ' y στο σηµείο 2

A(0,ν ( s 2 + x )) Β)Αν η γραφική παράσταση της f τέµνει τον άξονα x ' x , να δείξετε ότι δ = x . Γ) Να εξετάσετε την f ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα και να αποδείξετε ότι για κάθε x ∈ \ ισχύει f ( x) ≥ ν s 2 . ● 55.Εστω t1 , t2 ,..., tν οι ηλικίες σε ακέραιο αριθµό ετών των µελών του συλλόγου Σ.Ο.Κ.Ο.Ν το 2014. Θεωρούµε την συνάρτηση

1 f ( x) = − [(t1 − x)3 + (t2 − x)3 + ... + (tν − x)3 ] 3 f '( x) , όπου s 2 η διακύµανση και x η µέση τιµή των τιµών της Α) Να δείξετε ότι s 2 =

ν

µεταβλητής. Β) Αν ισχύει f ''(2 x) = 3a − 5 , να βρείτε το

ν

∑t i =1

ν

Γ)Αν

∑t i =1

3 i

i

αν a = lim x →1

x3 − x 2 − x + 1 ( x + 3 − 2) 2

= 6042 , να δείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης 2

της f στο σηµείο Α(0, f (0)) είναι y = ν ( s 2 + x ) x − 2014

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 27 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

http://mathhmagic.blogspot.com/

Δ)Αν t1 , t2 ,..., tκ , ( κ < ν ) οι ηλικίες σε ακέραιο αριθµό ετών των ιδρυτικών µελών του συλλόγου Σ.Ο.Κ.Ο.Ν το 2014 και το δείγµα έχει συντελεστή µεταβολής 16% ενώ το 2029 θα γίνει πρώτη φορά οµοιογενές . i) να βρείτε την µέση τιµή και την τυπική απόκλιση των ηλικιων των κ ιδρυτικών µελών. ii) Αν η κατανοµή του δείγµατος των κ ηλικιών είναι περίπου κανονική να βρείτε κατά προσέγγιση την µικρότερη ηλικία αν το µικρότερο σε ηλικία άτοµο είναι 13 ετών. iii)Να βρείτε το πλήθος των κ ατόµων που ίδρυσαν τον σύλλογο Σ.Ο.Κ.Ο.Ν αν 8 υδρυτικά µέλη το 2014 έχουν ηλικία άνω των 29 ετών. ● 56.Α)Δίνεται η συνάρτηση g ( x) = x(0.6 − x) 2 , 0 ≤ x ≤ 0.6 . Να εξετάσετε την f ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα στο πεδίο ορισµού της. Β)Στον παρακάτω πίνακα δίνεται η κατανοµή των σχετικών συχνοτήτων της βαθµολογίας ν µαθητών µιας τάξης στο µάθηµα της Χηµείας .Τα δεδοµένα έχουν οµαδοποιηθεί σε 4 κλάσεις .

[

)

i)Να δείξετε ότι f3 f 4 2 ≤ 0.032 .

Βαθµολογία

( Υπόδειξη :µπορείτε να χρησιµοποιήσετε το ερώτηµα (Α))

12-14

0.1

ii) Αν f 4 = 0.3 να βρείτε την µέση τιµή των

14-16

0.3

16-18

f3

18-20

f4

παραπάνω βαθµολογιών και να βρείτε την διάµεσο. Ακολουθούν οι βαθµολογίες την κανονική κατανοµή; Αιτιολογήστε την απάντηση σας.

−

Σχετικές συχνότητες fi

iii) Αν επιλέξουµε τυχαία έναν από τους παραπάνω µαθητές, να βρεθεί η πιθανότητα ώστε να έχει βαθµολογία στα διαστήµατα: α) [16, 20 ) β) [17,19 ) γ) [12,15 ) ●

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 28 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

http://mathhmagic.blogspot.com/

57.Εξετάζουµε ένα δείγµα µεγέθους ν ως προς µία ποσοτική µεταβλητή Χ και οµαδοποιούµε τις παρατηρήσεις του δείγµατος σε 5 ισοπλατείς κλάσεις πλάτους c, όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:

Δίνεται ότι οι αθροιστικές σχετικές συχνότητες F3 και F5 είναι οι ρίζες της εξίσωσης :

5 x 2 − 8 x + 3κ , κ ∈ \ α) Να αποδείξετε κ =1 και λ=10. β)Να αποδείξετε ότι f1 % = 10, f 2 % = 30, f3 % = 20, f 4 % = 30 και f5 % = 10 . γ)Αν το 25% των παρατηρήσεων είναι µικρότερες του 16 και το 25% των παρατηρήσεων είναι µεγαλύτερες ή ισες του 24 , τότε να αποδείξετε ότι α=10 και c =4. Να συµπληρώσετε τον πίνακα. δ)Αν το πλήθος των παρατηρήσεων που είναι µεγαλύτερες ή ισες του 22 είναι 800, τότε να υπολογίσετε το µέγεθος των δείγµατος . ● 58.Εστω ο δ.χ Ω και τα ενδεχόµενα του Α,Β.Αν για τις πιθανότητες των ενδεχοµένων

A ∪ B, A ∩ B, A − B, B − A ισχύουν:

"Είναι κάτι που οι µαθηµατικοί δεν µπορούν να αντιληφτούν πλήρως . Τα µαθηµατικά στην πραγµατικότητα είναι σχεδόν εξ ολοκλήρου ζήτηµα αισθητικής!!"

P( B) P( A) 1 < P( A ∩ B) < , P( A ∩ B) = , 2 2 8 η µέση τιµή τους είναι x = η διάµεσος τους είναι δ =

5 16

1 ,να βρείτε: 4

Α) τη πιθανότητα του ενδεχοµένου A ∪ B . Β) τη πιθανότητα των ενδεχοµένων A, B .

John H.Conway

Γ) τη πιθανότητα να πραγµατοποιηθεί µόνο ένα από τα A, B . Δ)την διακύµανση των αριθµών P ( A ∪ B), P( A), P( B), P ( B − A) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 29 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

http://mathhmagic.blogspot.com/

58.Επικαιρο!!!! Στο εκλογικό τµήµα του χωριού Άνω Πλατανιά κάθε κάτοικος - µε δικαίωµα ψήφουψήφισε ένα από τα κόµµατα Α,Β,Γ και Δ. Κατά την καταµέτρηση διαπιστώθηκε ότι δεν υπήρξαν λευκά ή άκυρα .Το πλήθος των ψηφοφόρων του κόµµατος Α είναι το 150% του αριθµού των ψηφοφόρων του κόµµατος Β, οι ψηφοφόροι του κόµµατος Γ είναι το 10% όλων των κατοίκων του χωριού που ψήφισαν .Ενώ είναι γνωστό ότι το πλήθος των ψηφοφόρων του κόµµατος Δ είναι το 200% των ψηφοφόρων του κόµµατος Β. Επιλέγουµε τυχαία ένα κάτοικο του χωριού που ψήφισε. Ποια είναι η πιθανότητα i)Να ψήφισε το κόµµα Α ή το κόµµα Γ. ii)Να ψήφισε το κόµµα Γ. iii)Να ψήφισε το κόµµα Γ ή να µην ψήφισε το κόµµα Β. ● 59.Εστω Ω = {0,1, 2,3} είναι ο δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης έτσι ώστε

4 P(0) = P(1) = 2 P(2) = 4 P(3) i)Να βρείτε τις πιθανότητες όλων των απλών ενδεχοµένων. ii)Δίνεται η συνάρτηση f ( x) =

3 2 x − (λ 2 − 3λ + 5) x + 666 , λ ∈ Ω , x ∈ \ .Να βρείτε την 2

πιθανότητα του ενδεχοµένου

Α = {λ ∈ Ω / η συναρτηση f παρουσιαζει ελαχιστο για x = 1} iii) Οι παρατηρήσεις µιας µεταβλητής Χ είναι οι παρακάτω:

1,1, 6, λ 2 ,3,3, 2, 6 − 3λ λ απλό ενδεχόµενο του Ω. Αν x η µέση τιµή των παραπάνω παρατηρήσεων να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχοµένου

B = {λ ∈ Ω / η µεση τιµη x ≥ 2.5} iv)Να βρείτε τις πιθανότητες :

P ( A ∩ B), P( A ∪ B), P( A − B), P( B − A), P( B '− A), P( A '− B), P( A '∩ B '), P( A '− B ')

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 30 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

http://mathhmagic.blogspot.com/

60.Σε ένα δείγµα µεγέθους ν , οι ν 1 παρατηρήσεις έχουν την τιµή 0 και οι ν 2 παρατηρήσεις την τιµή 1, µε ν 1 + ν 2 = ν . Θεωρούµε τον δ.χ. Ω ενός πειράµατος τύχης µε ισοπίθανα απλά ενδεχόµενα και τα ασυµβίβαστα ενδεχόµενα Α,Β του Ω, για τα οποία υποθέτουµε ότι ισχύει ν ν P ( Α) = 1 , P ( B ) = 2 . ν ν Να δείξετε ότι: Α) Α ' = Β . Β) το δείγµα έχει µέση τιµή ίση µε P(Β) . Γ) η διακύµανση του δείγµατος ισούται µε P(Β) ⋅ P( Α) . Δ) Αν ν άρτιος, να βρείτε για ποιά τιµή του P( Α) η διακύµανση του δείγµατος γίνεται µέγιστη. ● 61.Δίνεται η συνάρτηση f ( x) = e

λx

− λ e , x ∈ \, λ > 1 x

Α) Να βρείτε τις f '( x), f ''( x)

Το ενεργητικό άτοµο µαθαίνει µόνο του!!

Β)Να δείξετε ότι f ''( x) = (λ + 1) f '( x) − λ f ( x) Γ)Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της C f στο σηµείο της Α(0,f(0)). Δ)Να µελετήσετε την f ως προς την µονοτονία και να βρείτε τα ακρότατα της . Ε)Να δείξετε ότι eλ x + λ ≥ λ e x + 1 για κάθε x ∈ \ . ●

Φ.Νίτσε 62.Οι πωλήσεις, σε χιλιάδες ευρώ, που έγιναν από τους πωλητές µιας εταιρείας κατά τη διάρκεια ενός έτους οµαδοποιήθηκαν σε πίνακα συχνοτήτων µε κλάσεις ίσου πλάτους. Το αντίστοιχο πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων fi % έχει διαδοχικές κορυφές τις: A(8,0),B(10,10),Γ(12,20),Δ(14,yΔ),Ε(16,yΕ) Z(18,10),H(20,0) όπου yΔ , yΕ οι τεταγµένες των κορυφών Δ και Ε του πολυγώνου ABΓΔΕΖΗ.

A) Να υπολογιστούν οι τεταγµένες yΔ , yΕ των κορυφών Δ και Ε, αν επιπλέον γνωρίζουµε ότι το ευθύγραµµο τµήµα ΔΕ είναι παράλληλο προς τον οριζόντιο άξονα B) Να σχεδιαστεί το πολύγωνο των σχετικών συχνοτήτων fi%. Γ) Να κατασκευαστεί ο πίνακας των σχετικών συχνοτήτων( fi, fi %Fi, Fi%) της κατανοµής των πωλήσεων που έγιναν από τους πωλητές της εταιρείας κατά τη διάρκεια ενός έτους. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 31 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

http://mathhmagic.blogspot.com/

Δ) Να βρείτε την µέση τιµή x και την διάµεσο δ του δείγµατος . Ε) Η διεύθυνση της εταιρείας αποφάσισε τη χορήγηση ενός επιπλέον εφάπαξ ποσού σε όσους πωλητές έχουν κάνει ετήσιες πωλήσεις τουλάχιστον 15000 ευρώ. Να υπολογιστεί το ποσοστό των πωλητών που θα λάβουν αυτό το ποσό. ΣΤ) Το εµβαδόν του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωνο συχνοτήτων της κατανοµής των πωλήσεων οι οποίες έγιναν από τους πωλητές της εταιρείας κατά τη διάρκεια ενός έτους και του οριζόντιου άξονα είναι 80. Να βρείτε τον αριθµό των πωλητών που δικαιούνται το εφάπαξ ποσό που αναφέρεται στο προηγούµενο ερώτηµα.

63.ΜΕΖΕΔΑΚΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Α)Να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στην σωστή απάντηση.

1.Αν f ( x) = x 2 + ln 2 , τότε η f '( x) είναι : Α. 2 x +

1 2

Δ. 2 x +

Γ. 2 x

Β. x

1 2x

2.Αν για την συνάρτηση f ( x) = e x +ηµ x ισχύει : f (a ) = f '(a) , τότε Α. a =

1 2

Β. α = 0

Γ. α = κπ +

π 2

,κ ∈ ]

Δ. α = κπ , κ ∈ ] 2

3.Η εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f ( x) = e x στο σηµείο της Α(1, f (1)) είναι: Α. y = 2 x + e

Β. y = 2ex + e

4.Δίνεται η συνάρτηση f ( x) =

Γ. y = 2ex − e

Δ. y = −2 x + e

2 1 .Η κάθετη στην εφαπτοµένη της C f στο σηµείο A(2, ) 2 x 2

έχει συντελεστή διεύθυνσης : Α.-2

Β.

1 2

Γ. −

1 2

Δ. 1

Ε. 2

5.Δίνεται η συνάρτηση f ( x) = e1+ηµ (π x ) τότε f '(1) = Α.0

Β. e

Γ. π e

Δ. −π e

Ε. 1

6.Δίνονται οι συνάρτησεις f ( x) = e xσυν x , g ( x) = e xηµ x τότε ισχυει:

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 32 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Α. f ''( x) = 2 g ( x)

Β. f ''( x) =

g ( x) 2

http://mathhmagic.blogspot.com/

Γ. f ''( x) = 4 g ( x)

Δ. e x f ''( x) = 2 g ( x)

● Β)Στην στήλη του πίνακα Α αναγράφονται διάφορες σχέσεις για τα ενδεχόµενα Α και Β διατυπωµένες στη καθηµερινή γλώσσα , και στην στήλη Β αναγράφονται οι ίδιες σχέσεις αλλά διατυπωµένες στην γλώσσα των συνολων.Να κάνετε την αντιστοίχιση. Στήλη Α

Στήλη Β

1.Το ενδεχόµενο Α πραγµατοποιείται.

Α. ω ∈ Α ∩ Β

2.Το ενδεχόµενο Α δεν πραγµατοποιείται.

Β. ω ∈ Α ∪ Β

3.Ενα τουλάχιστον από τα Α και Β πραγµατοποιείται.

Γ. ω ∈ Α − Β

4.Πραγµατοποιούνται αµφότερα τα Α και Β.

Δ. ω ∈ ( Α ∪ Β ) '

5.Δεν πραγµατοποιείται κανένα από τα Α και Β

Ε. ω ∈ Α '

6. Πραγµατοποιείται µόνο το Α

ΣΤ. Α ⊆ Β

7.Η πραγµατοποίηση του Α συνεπάγεται την πραγµατοποίηση του Β ●

Ζ. ω ∈ Α

64.Δίνεται η συνάρτηση f ( x) = ax 2014 + β , x ∈ \ , α,β πραγµατικές παράµετροι. Α)Αν η C f έχει κοινά σηµεία µε την y = x τα σηµεία Α(0,0) και Β(1,1) ,να υπολογίσετε τις τιµές των α,β.

B)Για α=1 και β=0 ,να βρείτε i) το συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτοµένης της C f στο σηµείο Α(3,f(3)).

(3 + h) 2014 − 32014 h →0 h(h + 2014)

ii) το όριο lim

iii) την εξίσωση της εφαπτοµένης της C f που είναι παράλληλη στην ευθεία (η): y = 2014 x iv)Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δυο εφαπτόµενες της C f οι οποίες διέρχονται από το σηµείο Μ(0,-2013). ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 33 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

http://mathhmagic.blogspot.com/

65.Η προϋπηρεσία των συµβασιούχων µιας δηµόσιας υπηρεσίας έχει οµαδοποιηθεί σε 4 κλάσεις ίσου πλάτους όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα. Το εύρος είναι R=16.

Α)Να δείξετε ότι το πλάτος των κλάσεων είναι c=4 και α=20. Β)Να συµπληρώσετε τον πίνακα µε στήλες :

xi , fi , fi %, Fi , Fi %, xi f i , xi 2 f i Γ)Να βρείτε την µέση τιµή x , την τυπική απόκλιση s και να εκτιµήσετε το ποσοστό των συµβασιούχων που έχουν χρόνια υπηρεσίας τουλάχιστον x − s και το πολύ x + s .

Χρόνια υπηρεσίας

Κέντρα κλάσεων

fi%

[

−

)

a 2

[

−

)

a

[

−

)

[

−

)

10

3a 2 2a

Σύνολο

Δ)Η πολιτεία αποφασίζει να απολύσει τους συµβασιούχους που έχουν προϋπηρεσία λιγότερη από 4 έτη. Να βρείτε την νέα µέση τιµή του χρόνου προϋπηρεσίας .

Είναι γεγονός ότι υπάρχουν λίγα µόνο αντικείµενα µελέτης πιο "δηµοφιλή" από τα µαθηµατικά .Οι περισσότεροι άνθρωποι τρέφουν κάποια εκτίµηση γι’ αυτά ,όπως ακριβώς οι περισσότεροι απολαµβάνουν ένα ευχάριστο µουσικό σκοπό. Και πιθανό να υπάρχουν περισσότεροι που να ενδιαφέρονται πραγµατικά για τα µαθηµατικά απ ΄ότι για την µουσική .Τα φαινόµενα ίσως να δείχνουν το αντίθετο , αλλά αυτό µπορεί εύκολα να εξηγηθεί.Η µουσική µπορεί να χρησιµοποιηθεί για να ενεργοποιήσει το συναίσθηµα των µαζών,ενώ τα µαθηµατικά δεν µπορούν .Και ενώ η µουσική ανικανότητα αναγνωρίζεται (σωστά, χωρίς αµφιβολία) ως ελαφρώς επικριτέα , οι περισσότεροι φοβούνται τόσο πολύ το όνοµα των µαθηµατικών ώστε είναι διατεθειµένοι, χωρίς να τους υποχρεώνει κανείς, να υπερβάλλουν την µαθηµατική τους ανοησία.

G.H.Hardy ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 34 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

http://mathhmagic.blogspot.com/

66.Εστω Α,Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χωρου Ω και µια συνάρτηση

1 9 2 1 f ( x) = − x3 + x − x + 2014, x ∈ \ 2 40 20 Οι πιθανότητες P ( A), P ( B), P ( A ∩ B ), P ( A ∪ B) είναι παρατηρήσεις µιας µεταβλητής Χ µε διάµεσο δ την θέση τοπικού µέγιστου της f και οι πιθανότητες

P ( A), P ( B), P ( A ∩ B ), P ( B − A), P( A − B ), P( A ∪ B) έχουν µέση τιµή x την θέση τοπικού ελαχίστου της f. Να υπολογίσετε τις πιθανότητες P ( A ∩ B ), P ( A ∪ B ) . ● 67Εστω ο δειγµατικός χώρος Ω και ένα ενδεχόµενο του Α, A ≠ ∅ . Α) Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f ( x) = 2 x 2 − 2 x + 1, x ∈ \ . Β) Θεωρούµε τις παρατηρήσεις: P( A), P( A '), P(∅), P (Ω) i)Να υπολογίσετε την µέση τιµή και την διάµεσο τους . ii)Να δείξετε ότι η διακύµανση τους είναι:

1 s 2 = (2 P 2 ( A) − 2 P ( A) + 1) 4 2 και ότι η ισότητα ισχύει όταν P ( A) = P ( A ') 2

iii)Να δείξετε ότι CV ≥

● 68.A)Έστω x η µέση τιµή και s η τυπική απόκλιση 30 θετικών παρατηρήσεων 30

x1 , x2 ,...., x30 .Αν ισχύει

∑x i =1

i

2

= 3030 s 2 τότε να βρείτε το συντελεστή µεταβολής του δείγµατος

και να εξετάσετε αν το δείγµα είναι οµοιογενές . Β) Έστω A, B ≠ ∅, B ≠ A ' δύο ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω .Δίνονται οι συναρτήσεις:

f ( x) =

40 CVx3 − 2 P ( A ∪ B) x 2 + P( A ∪ B) x + 2, x ∈ \ , µε CV το συντελεστή µεταβολής του 3

ερωτήµατος (Α) και

g ( x) =

3 2 x − ax + 666, x ∈ \ , α πραγµατική παράµετρος .

2

i) Να αποδείξετε ότι η f δεν παρουσιάζει ακρότατα. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 35 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

http://mathhmagic.blogspot.com/

ii)Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της Cf στο σηµείο Α(0,f(0)). iii)Αν η παραπάνω εφαπτοµένη σχηµατίζει µε τους άξονες τρίγωνο εµβαδού 4 τ.µ, τότε να αποδείξετε ότι P ( A ∪ B ) =

iv)Αν lim h →0

1 .

2

g (1 + h) − g (1) = 2 να βρείτε την τιµή του α. h

v) Αν η g παρουσιάζει ελάχιστο στην θέση x = P ( A − B) να βρείτε την πιθανότητα P ( B ) . ●

Το να γνωρίζεις δεν είναι απολύτως τίποτα. Το να φαντάζεσαι είναι το παν.

Ανατόλ Φρανς 69.Α.Εξετάσαµε ένα δείγµα ως µια µεταβλητή Χ και πρόεκυψε ο παρακάτω πίνακας αθροιστικών συχνοτήτων Η µέση τιµή και η διάµεσος του δείγµατος διαφέρουν κατά 0.46 A1.Να δείξετε ότι λ=16.

A2.Να βρείτε την µέση τιµή x και την διάµεσο δ του δείγµατος.

xi

Ni

1

λ

2

30

3

50

4

100

2

B. Δίνεται µια συνάρτηση f ( x) = eα x − α x + 1, α ∈ \ και ο δειγµατικός χώρος Ω = {α ∈ ] / α ≤

(

)

3 δ − x + 3.31} .

2

Β1) Να βρείτε τις f ', f '' . Β2)Για ποια τιµή του α το f '(0) γίνεται ελάχιστο ;

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 36 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

http://mathhmagic.blogspot.com/

Β3) Θεωρούµε τα ενδεχόµενα Α,Β µε ισοπίθανα στοιχειώδη ενδεχόµενα έτσι ώστε να ισχύει:

A = {λ ∈ Ω / f '(0) > f (0)} και B = {λ ∈ Ω / f ''(0) < 256} Να βρείτε τις πιθανότητες: i) P( A ∩ B) iii) P ( B − A)

ii) P( A − B) iv) P ( ( A − B ) ∪ ( B − A) )

δ)Αν x είναι µέση τιµή 5α , −6α ,3α ,10α µε α ∈ Ω ,να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχοµένου

Γ = {λ ∈ Ω /

x −1 > 1} . x +1 ●

70. Έστω x1 , x2 ,..., xν οι ν παρατηρήσεις ενός δείγµατος µε µέση τιµή x ≠ 0 και τυπική απόκλιση s. Θεωρούµε τη συνάρτηση f µε f ( x) =

1 2 xx − ( s + 1) x .

8

Α. Αν η εφαπτοµένη της Cf στο σηµείο της Α(1, f(1)) είναι παράλληλη στην ευθεία y = − x + 2 , να υπολογίσετε το συντελεστή CV του δείγµατος και να εξετάσετε αν το δείγµα είναι οµοιογενές. Β. Αν είναι γνωστό ότι lim f ( x) = −2 , να βρείτε τη µέση τιµή x→2 s

x και την τυπική απόκλιση s.

2   ν    ∑ Xi  1  ν 2  i =1   2 Γ. Αν x = 4 και s = 1 και γνωρίζουµε ότι ισχύει ο τύπος s = ∑ X i −  , να ν  i =1 ν      υπολογίσετε το άθροισµά f ( x1 ) + f ( x2 ) + ... + f ( xν ) , συναρτήσει του πλήθους ν των

παρατηρήσεων. Δ. Εάν υποθέσουµε ότι η καµπύλη κατανοµής του δείγµατος είναι περίπου κανονική, να βρείτε το ποσοστό των παρατηρήσεων του δείγµατος που περιέχονται στο διάστηµα (2, 5) καθώς και το εύρος R των τιµών του δείγµατος.

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 37 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

http://mathhmagic.blogspot.com/

71. Στα δυο τµήµατα Γ1 και Γ2 της Γ τάξης ενός Λυκείου ο µέσος όρος της βαθµολογίας στο πρώτο τετράµηνο στο µάθηµα των Μαθηµατικών Γενικής Παιδείας ήταν x = 12 και η διακύµανση 4. Στο δεύτερο τετράµηνο όλοι οι µαθητές του Γ1 αύξησαν τη βαθµολογία τους στο µάθηµα κατά 1 µονάδα, ενώ οι µαθητές του Γ2 αύξησαν τη βαθµολογία τους στο µάθηµα κατά 10%. Α. Να βρείτε τη νέα µέση τιµή και τη νέα τυπική απόκλιση για το κάθε τµήµα. Β. Ποιου τµήµατος η βαθµολογία παρουσιάζει µεγαλύτερη οµοιογένεια κατά το δεύτερο τετράµηνο; Γ. Αν το άθροισµα των τετραγώνων των βαθµών στο µάθηµα των Μαθηµατικών Γενικής Παιδείας για τους µαθητές του Γ1 κατά το δεύτερο τετράµηνο ήταν 4325, να βρείτε το πλήθος των µαθητών του Γ1. Δ. Αν οι βαθµολογίες των µαθητών του Γ1 ακολουθούν κανονική περίπου κατανοµή, να βρείτε το πλήθος των µαθητών που είχε βαθµό τουλάχιστον 14 στο πρώτο τετράµηνο. Ε. Αν σε ένα µαθητή του Γ1 κατά λάθος αντί 15 που ήταν ο βαθµός του στο δεύτερο τετράµηνο είχε σηµειωθεί 11, να υπολογίσετε την κανονική µέση τιµή και διακύµανση των βαθµών των µαθητών στο Γ1. ● 2 72. Δίνεται η συνάρτηση f µε f ( x ) = α x − 2α x + α + 1, µε x ∈ R και α ∈ ( 0, +∞ ) .

(

Α. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης (ε) της C f στο σηµείο της Μ 0, f ( 0 )

)

Β 1) Να δείξετε ότι το εµβαδό του τριγώνου που σχηµατίζει η (ε) µε τους άξονες

x′x και y′y είναι E (α ) =

(α + 1) 4α

2

.

2) Να βρείτε για ποιες τιµές του α το εµβαδό αυξάνεται και για ποιες µειώνεται.

3) Να βρείτε για ποια τιµή του α το εµβαδό γίνεται ελάχιστο και ποια είναι η ελάχιστη τιµή του.

4) Να δείξετε ότι ο ρυθµός µεταβολής του εµβαδού αυξάνεται συνεχώς Γ. Αν οι τετµηµένες 10 σηµείων της ευθείας (ε) του Α ερωτήµατος έχουν µέση τιµή 4 και διακύµανσή

1 να βρείτε την τιµή του α ώστε οι τεταγµένες των παραπάνω 10 σηµείων 4

να έχουν συντελεστή µεταβλητότητας 10%. ●

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 38 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

http://mathhmagic.blogspot.com/

73.Αν θεωρήσουµε ένα ενδεχόµενο Γ ενός δειγµατικού χώρου Ω που ικανοποίει την ισότητα P (Γ) − 2 − P (Γ) + 1 = 2λ + 9, λ ∈ \ και µια συνάρτηση f ( x) =

−a ⋅ e x (2 x + β + 3) , x ∈ \ 2

µε α , β αντίστοιχα την µέγιστη και την ελάχιστη τιµή που µπορεί να πάρει το λ. Α)Να βρείτε τις τιµές των α,β. Β)Για α = −4, β = −5 . i) Να µελετήσετε την συνάρτηση f ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα. ii) Αν A,B δυο ενδεχόµενα του παραπάνω δειγµατικού χώρου Ω µε P ( A) = x1 και

− f ( x1 ) όπου η f παρουσιάζει ελάχιστη τιµή στο x1 , να βρείτε τις τιµές των 6 e P ( A), P( B) .

P( B) =

iii) Αν P ( A) =

1 2 , P( B) = να εξετάσετε αν τα ενδεχόµενα Α,Β είναι ασυµβίβαστα.

2 3

iv) Να αποδείξετε ότι

1 2 ≤ P( A '− B ') ≤ .

6 3 ●

x + 1, x ∈ \ και ο δειγµατικός χώρος Ω = {ω1 , ω2 , ω3 , ω4 } x +1 1 όπου ω1 = −1 , ω2 = 0 και 1 < ω3 < ω4 .Δίνονται επίσης , οι πιθανότητες P (ωi ) = f (ωi ) − , i = 1, 2 3 74.Δίνεται η συνάρτηση f ( x) =

1 6

και P (ω3 ) = − lim x →1

2

f '( x) x −1

Α.Θεωρούµε τα ενδεχόµενα Α,Β,Γ του δειγµατικού χώρου Ω µε

A = {ω ∈ Ω / f '(ω ) ≤ 0}

, Β = {ω ∈ Ω / f (ω ) > 1}

1 Γ = {ω ∈ Ω / x 2 + ω x ≥ − , για καθε x ∈ \} 4

i)Να βρείτε τις πιθανότητες P (ω1 ), P (ω2 ), P(ω3 ), P(ω4 ) ii)Να βρείτε τις πιθανότητες

P ( Α), P(Β), P(Γ) και P ( Α − B) Β.Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης (ε) της γραφικής παράστασης της f , η οποία σχηµατίζει µε τον άξονα χ’χ γωνία 45ο . Γ.Αν Μ κ (ωκ , yκ ) , κ = 1, 2,3, 4 είναι σηµεία της εφαπτοµένης (ε): y = x + 1 µε ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 39 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

http://mathhmagic.blogspot.com/

2δ ωκ = δ yκ και Ryk = −5 Τότε να υπολογίσετε τα ω3 και ω4 του δειγµατικού χώρου Ω,οπου

δωκ :η διάµεσος των τετµηµένων των σηµείων Μ κ δ yκ :η διάµεσος των τεταγµένων των σηµείων Μκ Ryk : το εύρος των τεταγµένων των σηµείων Μκ 75.Έστω ένα πείραµα τύχης µε δειγµατικό χώρο Ω={1,2,…,ν},ν ∈ `* που αποτελείται από ισοπίθανα απλά ενδεχόµενα και ισχύει:

(2014 − 100ν )3 + (40ν − 1000)3 + (60ν − 1014)3 = 0 i) Να δείξετε ότι Ν (Ω) = 25 . ii) Αν επιλέξουµε τυχαία έναν αριθµό από το Ω, ορίζουµε τα ενδεχόµενα : Α={ ο αριθµός να είναι πολλαπλάσιο του 3 ή του 4} Β={ ο αριθµός να είναι πολλαπλάσιο του 3 και του 4} Να βρείτε τις πιθανότητες P( Α), P(Β) .

Το ξεκίνηµα της άλγεβρας το βρήκα πολύ δύσκολο, ίσως ως αποτέλεσµα κακής διδασκαλίας. Έπρεπε να αποστηθίσω:‘το τετράγωνο του αθροίσµατος δύο αριθµών είναι ίσο µε το άθροισµα των τετραγώνων τους αυξηµένο κατά το διπλάσιο γινόµενό τους’. ∆εν είχα την παραµικρή ιδέα τι σήµαινε αυτό και όταν δεν µπορούσα να θυµηθώ τα λόγια, ο δάσκαλος µου πέταγε το βιβλίο στο κεφάλι µου, πράγµα που δεν διέγειρε µε κανένα τρόπο τη νόηση µου.

Bertrand A. W. Russell ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 40 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

http://mathhmagic.blogspot.com/

ΛΥΣΕΙΣ 1.1)Σ 2)Σ 3)Σ 4)Λ 5)Λ 6)Λ 7) Λ 8) Λ 9)Σ 10)Λ 11)Σ 12)Λ 13)Σ 14)Λ 15) Σ 16) Λ 17) Σ 18) Λ 19) Λ 20)Λ

2.Α) 26α 2 − 10α − 2αβ + β 2 + 1 = 0 ⇔

25α 2 − 10α + 1 + α 2 − 2αβ + β 2 = 0 ⇔ (5α − 1) 2 + (α − β ) = 0 ⇔ 2

5α − 1 = 0 και α − β = 0 1 α =β = 5 1 1 P ( Α) = ⇔ P(ω1 ) + P(ω2 ) + P (ω3 ) = ⇔ 2 2 1 1 1 1 1 a+ β +γ = ⇔ + +γ = ⇔ γ = 2 5 5 2 10 Β)

g ( x) = P (ω4 ) x 3 g΄ ( x) = 3P (ω4 ) x 2 Η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της g στο σηµείο (1,g(1)) είναι παράλληλη στην ευθεία y = x άρα g΄ (1) = 1 ⇔

3P(ω4 ) = 1 ⇔ P (ω4 ) =

1 3

P (ω1 ) + P(ω2 ) + P (ω3 ) + P(ω4 ) + P (ω5 ) = 1 ⇔ 1 1 1 1 5 + + + + P(ω5 ) = 1 ⇔ + P(ω5 ) = 1 ⇔ 5 5 10 3 6 5 1 P (ω5 ) = 1 − ⇔ P (ω5 ) = 6 6 Γ) K = ( A − B) ∪ ( B − A) = {ω1 , ω2 , ω5 , ω4 } άρα P ( K ) = 1 − P(ω3 ) = 1 −

1 9 = 10 10

Λ = A ∪ B ' = Α άρα P (Λ) = P( Α) =

1 2 ●

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 41 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

http://mathhmagic.blogspot.com/

3. Εφόσον οι χρόνοι των δυο διαδροµών ακολουθούν την κανονική κατανοµή έχουµε:

50%

50%

16%

16%

2.5% 0.15% 2.35% 13.5% 14

x A = 20

34%

34%

11

Αστικό λεωφορείο γραµµής Α µε

2.5% 0.15% 13.5% 2.35%

17

20

23

26

λεπτά µε τυπική απόκλιση s A = 3 λεπτά

29

68% 95% 99,7% 50%

50%

16%

16% 34%

34%

2.5% 0.15% 2.35% 13.5% 15

Τρόλει γραµµής Β µε

17

19

2.5%

xB = 21

λεπτά µε τυπική απόκλιση sB = 2 λεπτά

0.15% 13.5% 2.35% 21

23

25

27

68% 95% 99,7% Α) Παρατηρούµε ότι και στα δύο µέσα ο επιβάτης φτάνει στο τέλος στις διαδροµής τουλάχιστον σε 23 λεπτά στο 16% των περιπτώσεων άρα δεν έχει σηµασία ποιο µέσο θα διαλέξει σε αυτήν την περίπτωση ο Γιάννης . ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 42 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

http://mathhmagic.blogspot.com/

Β) Το αργότερο σε 17 λεπτά το λεωφορείο της γραµµής Α φτάνει στο 16% των περιπτώσεων ενώ το τρόλεϊ Β στο 2,5% των περιπτώσεων άρα σε αυτήν την περίπτωση ο Γιάννης πρέπει να επιλέξει το λεωφορείο της γραµµής Α. ● 240 340 4.Α)Από υπόθεση: P ( B ) = , P ( A) = 400 400 Έστω ότι είναι ασυµβίβαστα τότε θα ισχύει:

240 340 580 + = > 1 άτοπο άρα δεν είναι ασυµβίβαστα.

400 400 400 Β) Εφόσον κάθε υπάλληλος παρακολούθησε ή το ένα ή το άλλο σεµινάριο θα ισχύει P ( B ∪ A) = P ( B ) + P ( A) =

P ( B ∪ A) = 1 ⇔ P ( B ) + P ( A) − P ( B ∩ A) = 1 ⇔ P ( B ) − P ( B ∩ A) = 1 − P ( A) ⇔ 340 60 3 P ( B − A) = 1 − ⇔ P ( B − A) = ⇔ P( B − A) = 400 400 20 Γ)Από το ερώτηµα Β) 3 3 P ( B − A) = ⇔ P ( B ) − P ( B ∩ A) = ⇔ 20 20 3 240 3 P ( B ∩ A) = P ( B ) − ⇔ P( B ∩ A) = − ⇔ 20 400 20 180 9 P ( B ∩ A) = ⇔ P ( B ∩ A) = 400 20 340 9 8 2 P ( A − B) = P ( A) − P( B ∩ A) = − = .. = = 400 20 20 5 Δ) P (( A − B ) ∪ ( B − A)) = P ( A − B) + P ( B − A) = = P( A) − P ( B ∩ A) + P ( B ) − P ( B ∩ A) =

= P( B ∪ A) − P ( B ∩ A) = 1 −

9 11 = 20 20 ●

5.Α) δ = lim

x → x2

x2 2 − xx2 2 x2 − x + 1 − 2

(

1 x → x2 2

= lim

)

x2 ( x2 − x)

(

(

)

x2 − x + 1 + 1

)( − x) (

) − x + 1 + 1)

x2 − x + 1 − 1

x2 − x + 1 + 1

=

x2 1 x2 ( x2 − x) x2 − x + 1 + 1 1 x2 ( x2 = lim 2 x → x2 2 x → x2 2 x2 − x + 1 − 1 x − x + 1 − 12

= lim

(

2

(

)

)

1 x2 ( x2 − x) x2 − x + 1 + 1 1 = x2 x → x2 2 x2 − x 2 lim

(

)

1 x2 − x2 + 1 + 1 = x2 2 = x2 2

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 43 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Β) i)Έστω ότι ισχύει P ( x1 ) >

http://mathhmagic.blogspot.com/

ν 1 1 ν ⇔ 1 > ⇔ ν 1 > , αυτό σηµαίνει ότι περισσότερες από τις µισές ν 2 2 2

παρατηρήσεις έχουν τιµή x1 , άτοπο γιατί τότε η διάµεσος θα ήταν x1 και όχι x2 .Άρα P ( x1 ) ≤

x P( x ) + x2 P ( x2 ) + x4 P( x4 ) ii) A = 1 1 = P( x1 ) + P ( x2 ) + P ( x4 )

=

x1

ν1 ν ν + x2 2 + x4 4 ν ν ν = ν1 ν 2 ν 4 + + ν ν ν

x1 f1 + x2 f 2 + x4 f 4 x − x3 f 3 x = x3 x3 − x3 f3 x3 (1 − f3 ) = = = = x3 1 − f3 1 − f3 1 − f3 f1 + f 2 + f 4 ●

6.A)

νi

xiν i

1

3P ( B − A)

3P ( B − A)

2

2 P( B)

4 P( B)

3

3P ( A) + 2

9 P( A) + 6

xi

4

3

v = 3P ( B − A) + 2 P( B) + 3P( A) + 5

12

3P ( B − A) + 4 P( B ) + 9 P( A) + 18

3P ( B − A) + 4 P( B) + 9 P ( A) + 18 3P( B) − 3P( B ∩ A) + 4 P ( B ) + 9 P( A) + 18 ⇔3= ⇔ 3P ( B − A) + 2 P( B) + 3P ( A) + 5 3P( B) − 3P( B ∩ A) + 2 P ( B ) + 3P( A) + 5 1 1 7 P( B) − 3 + 9 P ( A) + 18 7 P( B) − + 9 P ( A) + 18 6 2 3= ⇔3= ⇔ 1 1 5 P( B) − 3 + 3P ( A) + 5 5 P( B) − + 3P ( A) + 5 6 2 1 1 3 15 P( B) − + 9 P ( A) + 15 = 7 P ( B ) − + 9 P ( A) + 18 ⇔ 8P ( B ) + 14 = 18 ⇔ 8 P( B ) = 4 ⇔ P( B) = 2 2 2 x=

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

1 .

2

- 44 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

http://mathhmagic.blogspot.com/

B)

P (( B − A) ∪ ( A − B )) =

1 ⇔ 2

P ( B ) − P( B ∩ A) + P( A) − P ( B ∩ A) = P ( B ) − 2 P ( B ∩ A) + P ( A) = P ( A) =

1 ⇔ 2

1 1 1 1 ⇔ − + P ( A) = ⇔ 2 2 3 2

1 3

P (( B − A) = P( B) − P ( B ∩ A) =

1 1 1 − = 2 6 3

Άρα ο πίνακας παίρνει την µορφή:

xi

νi

1

1

2

1

3

3

4

3 8

Και η ζητούµενη πιθανότητα είναι

1 .

4

Γ)δ=3

xi

νi

xi − x

( x − x)

1

1

1 − 3 = −2

4

4

2

1

2 − 3 = −1

1

1

3

3

3−3 = 0

0

0

4

3

4−3 =1

1

3

2

i

8

s2 =

(

vi xi − x

)

2

8

8 1 = 1 ⇒ s = 1 άρα CV = .

8 3

7.Α) Η µέση τιµή είναι x =

0 ⋅ν 1 + 1 ⋅ν 2

ν

●

=

ν2 ν 1 1 αλλά x = ⇔ 2 = ⇔ 2ν 2 = ν (1) ν 2 ν 2

ν 2 + ν 1 = ν (2).Από (1) ,(2) προκύπτει ν 2 + ν 1 = 2ν 2 ⇔ ν 1 = ν 2 . ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 45 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Β) s 2 =

s2 =

ν 1 (0 − x) 2 + ν 2 (1 − x) 2 = ν

1  

2

 

http://mathhmagic.blogspot.com/

2

1 1 1 1 1 v (ν 1 + ν 2 ) ν1 +ν 2  = 4 4= 4= 4=1 4 ν ν ν

ν 1   + ν 2 1 −  2 2 ν

1 1 ⇒s= 4 2

1 s 2 Γ) CV = = = 1 ,άρα το δείγµα είναι ανοµοιογενές . x 1 2 Δ) f ( x) = s 2 x 2 − 2 xx ⇒ f ( x) =

1 2 1 x − x , έχουµε f '( x) = x − 1 4 2

Η µονοτονία και τα ακρότατα φαίνονται στον πίνακα

−∞

x

+∞

2

f ( x)

-

f '( x)

2

+

/ Minf=f(2)=-1

Ε) Ο τύπος της διακύµανσης παίρνει την µορφή: 2 ν   ν    ν t ν ti2  ∑ ti ∑ i   ∑ 1  s 2 = ∑ t i2 −  i =1   = i =1 −  i =1 ν  i =1 ν  v  ν      

2

   = x2 − x   

( ) ()

2

( ) ()

2

⇔ s 2 = x 2 − x (3)

Με αντικατάσταση στον τύπο (3) 2

2

1 1 5 1 1 2 2 2   = x −  ⇔ + = x ⇔ x = .

4 2 16 4 16     ● 8. Α) v1 + v2 + v3 = v ⇒ a − 10γ + 50 + β − 2α + γ 2 − 6 β = 15 2

2

50 −15= 35=

⇒ γ 2 − 2 ⋅ 5γ + 25 + β 2 − 2 ⋅ 3 ⋅ β + 9 + α 2 − 2α + 1 = 0

= 25+ 9 +1

⇒ ( γ − 5 ) + ( β − 3) + (α − 1) = 0 ⇒ 2

2

2

γ −5 = 0 γ =5 ⇒ β −3 = 0 ⇒ β = 3 α −1 = 0 α =1 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 46 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

http://mathhmagic.blogspot.com/

Τα µεταφέρω στον πίνακα.

a 2 − 10γ + 50 = 12 − 10 ⋅ 5 + 50 = 1

β 2 − 2a = 32 − 2 ⋅1 = 9 − 2 = 7 γ 2 − 6 β = 52 − 6 ⋅ 3 = 25 − 18 = 7

Β)

xi

vi

xi

vi

xi vi

Ni

θέσεις

11

1

3

7

21

7

1η-7η

3

7

4

7

28

14

8η-14η

4

7

11

1

11

15

15η

15

60

→

15 3

x=

∑xv

i i

i =1

v

=

60 = 4⇒ x =4 15

Αφού v = 15 περιττός i =

v + 1 15 + 1 16 = = =8 2 2 2

Άρα, δ = t8 = 4 ⇒ δ = 4 Άρα, x = δ ●

9. x = 15 ⇒

x1 + x2 + ... + x6 = 15 ⇒ x1 + x2 + ... + x6 = 90 (1) 6

2 6   6   2 xi  6  xi 2 ∑   ∑   xi 1 ∑ i =1   2 2  S x = 9 ⇒ ∑ xi − = 9 ⇒ i =1 −   =9⇒  6  i =1 6 6 6         2 2 2 2 x + ... + x6 x + ... + x6 2 ⇒ 1 −x =9⇒ 1 − 152 = 9 ⇒ x12 + x2 2 ... + x6 2 = (152 + 9 ) ⋅ 6 ⇒ 6 6 ⇒ x12 + x2 2 ... + x6 2 = 234 ⋅ 6 (2)

Αφού επισυνάπτω την x7 οι παρατηρήσεις γίνονται 7, άρα:

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 47 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

http://mathhmagic.blogspot.com/

y=

x1 + x2 + ... + x6 + x7 (1) 90 + 8 98 = = = 14 ⇒ y = 14 (3) 7 7 7

Sy2

2   7    ∑ yi  1  7 2  i =1   = ∑ yi − ⇒ Sy2 =   7 i =1 7      

⇒ S y2 =

2

 7  yi ∑  ∑ yi  i =1 −  i =1  ⇒ 7  7     

( x12 + x2 2 + ... + x6 2 ) + x7 2 − y 7

7

( )

2

2 (2),(3)

⇒ S y2 =

234 ⋅ 6 + 82 96 96 − 142 ⇒ S y 2 = ⇒ Sy = 7 7 7

ΠΟΙΑ ΕΙΝΑΙ Η ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΑ ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΤΟΥ x

ποσ =

ΤΕΛ − ΑΡΧ 14 − 15 ⋅100% = ⋅100% = −6, 67% ΑΡΧ 15

Επήλθε µείωση 6,67%. ● 10.

•

0 ≤ ln( x − 1) < ln 3 ⇒ ln1 ≤ ln( x − 1) < ln 3 ⇒ 1 ≤ x − 1 < 3 ⇒ 2 ≤ x < 4 x∈Ω

⇒ x = 2,3 Άρα A = {2,3}

(x •

2

− 5 x ) ( x − 1) = −6 ( x − 1) ⇒ ( x − 1) ( x 2 − 5 x ) + 6 ( x − 1) = 0 ⇒

⇒ ( x − 1) ( x 2 − 5 x + 6 ) = 0 ⇒ x = 1, x 2 − 5 x + 6 = 0 ⇒ x = 2,3 Άρα Β = {1, 2,3} P ( A − B) = 0

Α) A − B ≠ ∅

A′ = {1, 4,5} B ∪ A′ = {1, 2,3, 4,5} Β) B′ = {4,5}

P ( B ∪ A′ ) = P(Ω) = 1

A′ ∪ B′ = {1, 4,5} άρα

P ( A′ ∪ B′ ) = P(1) + P(4) + P(5) Όµως, P ( A) =

(1)

1 1 ⇒ P(2) + P(3) = 4 4

P (1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) = 1 ⇒ P(1) + P(4) + P(5) = 1 − (1)

⇒ P( A′ ∪ B′) = 1 −

1 4

1 4 −1 3 = = 4 4 4

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 48 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

http://mathhmagic.blogspot.com/

B − A = {1} P ( B − A) = P ( A) =

1 1 ⇒ P(1) = 8 8

1 1 ⇒ P(2) + P(3) = 4 4

Γ) A = {2,3}

B = {1, 2,3}

Αφού A ∪ X = B , τότε:

X ≠ ∅ ή X = {1} ή X = {1, 2} ή X = {1,3} ή X = {1, 2,3} Άρα, min P ( X ) = 0

1 1 3 max P( X ) = P (1) + P(2) + P(3) = + = 8 4 8 ●

11. Α) x = 6 ⇒

7+5+ a + 2+5+ β +8+6+γ +5+3 = 6 ⇒ 41 + a + β + γ = 66 ⇒ a + β + γ = 25 11

Αφού δ = 6 , τότε δεξιά του 6 βρίσκονται 5 αριθµοί και αριστερά άλλοι 5. Δηλαδή,

2,3,5,5,5, 6, , , , , Άρα, οι αριθµοί 7, α , β ,8, γ βρίσκονται δεξιά του 6. Όµως, R = 8 ⇒ max − min = 8 ⇒ max − 2 = 8 ⇒ max = 10 Άρα, γ = 10 , αφού α < β < γ .

α + β + γ = 25 α 2 + β 2 + γ 2 = 217

⇒

α + β + 10 = 25 α + β = 15 ⇒ α = 15 − β ⇒ 2 2 α + β + 10 = 217 α 2 + β 2 = 117 2

α 2 + β 2 = 117 ⇒ (15 − β ) + β 2 = 117 ⇒ 225 − 30 β + β 2 + β 2 − 117 = 0 2

⇒ 2β 2 − 30β + 108 = 0 ⇒ β 2 − 15β + 54 = 0

β =6 α =9 P = 54 ⇒ ⇒ β =9 α =6 S = 15

Άτοπο αϕο ύ α < β

Άρα α = 6, β = 9 (α )

( β ) (γ )

Β) Άρα 2,3,5,5,5, 6, 6 , 7,8, 9 ,10

( 2 − 6) + (3 − 6) + (5 − 6) =

⋅ 3 + ( 6 − 6 ) ⋅ 2 + ( 7 − 6 ) ⋅1 + ( 8 − 6 ) + ( 9 − 6 ) + (10 − 6 ) S 11 16 + 9 + 3 + 0 + 1 + 4 + 9 + 16 58 58 ⇒ S2 = = ⇒S= 11 11 11 2

2

2

2

2

2

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

2

2

2

Οι λύσεις σελ 39

- 49 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

http://mathhmagic.blogspot.com/

y1 = x1 ⋅ C1 + C2 Γ)

y2 = x2 ⋅ C1 + C2

⇒ Y = X ⋅ C1 + C2

... y11 = x11 ⋅ C1 + C2

Θέτω: z = x ⋅ C1 ⇒ z = C1 ⋅ x = C1 ⋅ 6

Sz = C1 ⋅ Sx = C1 ⋅ Sx Άρα, y = z + C2 ⇒

y = z + C2

⇒

Sy = Sz

9 = 6C1 + C2 9 = C1 ⋅ 6 + C2 ⇒ ⇒ 9 = 6 ⋅ 2 + C2 ⇒ C 2 = − 3 Sy = C1 ⋅ Sx 2Sx = Sx ⋅ C1 ⇒ C1 = 2

12. Α) Αφού Fκ = 1 , Nκ = v , τότε θέτω i = κ

●

Nκ 2 − 10 Nκ + a v 2 − 10v + a 2 ⇒ 12 + (1 − 1) = ⇒ a a v 2 − 10v + a ⇒1= ⇒ a = v 2 − 10v + a ⇒ v 2 − 10v = 0 ⇒ v(v − 10) = 0 ⇒ a ⇒ v = 0 απορρ ί πτεται ή v − 10 = 0 ⇒ v = 10 Fκ 2 + (1 − Fκ ) = 2

2   κ     ∑ xi vi   1 κ 2  i =1   ⇒ s2 = 2 Β) i) s = ∑ xi vi −  2 10  i =1 10     

κ

s = 2

ii) s 2

∑x i =1

2

i

10

vi

κ

−

10∑ xi 2 vi i =1

10

( x − x) =0⇒ 1

2

2

κ

∑x

⇒s =

i =1

2

(

2

i

10

)

2

vi

2

 κ  x v  ∑ xi vi  ∑ i i i =1 −  i =1 2  ⇒ 10 κ κ

2

κ

−

∑x

(

i =1

2

i

vi

⇒ s2 = 0 ⇒ s = 0

10

)

2

v1 + x2 − x v2 + ... + xκ − x vκ v

=0

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 50 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

( x − x) v = 0 x = x ( x − x) v = 0 ⇒ x = x ⇒ x = x

http://mathhmagic.blogspot.com/

2

1

1

1

2

2

2

2

1

...

...

(x

κ

)

2

= ... = xκ

xκ = x

2

− x vκ = 0

●

1 1 13. f ′( x) = − x x +1 κ =2

(1) ⇒ 9 ( P(2) ) = 22 f ′(2) κ =3

(+) ⇒ 9 ( P(3) ) = 22 f ′(3) ⇒ 9 ( P (2) + P(3) + ... + P (v) ) = 22 [ f ′(2) + f ′(3) + ... + f ′(v) ] ...

κ =v

⇒ 9 ( P (v) ) = 22 f ′(v)  1 1   1 1   1 1  1 1 1   1 − + − 9 ⋅1 = 22  −  +  −  +  −  + ... +    v −1 v   v v + 1   2 3   3 4   4 5  v +1− 2 1  (v − 1) 1 ⇒ 9 = 11 ⇒ 9 = 22  −  ⇒ 9 = 22 ⋅ 2(v + 1) v +1  2 v +1 ⇒ 9v + 9 = 11v − 11 ⇒ 2v = 20 ⇒ v = 10 ●

14. Α) x = −2, s = 20 2

f ′( x) = 3 ( x + 2 )

2

Οι συντελεστές διεύθυνσης είναι: f ′ ( x1 ) , f ′ ( x2 ) ,..., f ′ ( x10 )

xε =

f ′ ( x1 ) + f ′ ( x2 ) + ... + f ′ ( x10 ) 10

( x − x) + ( x ⇒ 3⋅ 2

x =−2

1

2

)

(

2

3 ( x1 + 2 ) + 3 ( x2 + 2 ) + ... + 3 ( x10 + 2 ) 2

=

− x + ... + x10 − x

)

10

2

10

2

⇒

2

= 3s 2 = 3 ⋅ 20 = 60 ⇒ xε = 60

Β) f ′′( x) = 6( x + 2)

f ′′ ( x1 ) + f ′′ ( x2 ) + ... + f ′′ ( x10 ) = 6 ( x1 + 2 ) + 6 ( x2 + 2 ) + ... + 6 ( x10 + 2 )

(

)

= 6 ( x1 + x2 + ... + x10 + 20 ) = 6 10 x + 20 = 6 (10 ⋅ (−2) + 20 ) = 6 ( −20 + 20 ) = 6 ⋅ 0 = 0 Γ) Οι τεταγµένες των σηµείων είναι: y1 , y2 ,..., y10

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 51 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

http://mathhmagic.blogspot.com/

yi = 6 ( xi + 2 ) = f ′′ ( xi ) y=

y1 + y2 + ... + y10 f ′′ ( x1 ) + f ′′ ( x2 ) + ... + f ′′ ( x10 ) 0 = = =0⇒ y =0 10 10 10

Άρα δεν υπάρχει CV. ● 15. Α) f ′( x) = 2 ( x − 2 )

f ′( x) = 0 ⇒ x = 2

y + y2 + ... + y10 ( x1 − 2 ) + ... + ( x10 − 2 ) Β) y = 1 = = 10 10 2

( x − x) = 1

2

(

+ ... + x10 − x

)

2

2

10

= s 2 = 32 = 9 ⇒ y = 9

Γ) f ′( x) = 2 ( x − 2 ) = εϕω

f ′( x1 ) = 2 ( x1 − 2 ) = εϕω1 f ′( x2 ) = 2 ( x2 − 2 ) = εϕω2 .... f ′( x10 ) = 2 ( x10 − 2 ) = εϕω10 f ′ ( x1 ) + f ′ ( x2 ) + ... + f ′ ( x10 ) 2 ( x1 − 2 ) + 2 ( x2 − 2 ) + ... + 2 ( x10 − 2 ) = = 10 10 =

(

)

2 ( x1 + x2 + ... + x10 − 2 ⋅10 ) 2 10 x − 2 ⋅10 30 − 20 10 = = 2⋅ = 2⋅ = 2 10 10 10 10

Δ) x1 < x2 < ... < x10 ≤ 2

R = 5 ⇒ x10 − x1 = 5 Όµως, x10 2 = x12 − 15 ⇒ x10 2 − x12 = −15 ⇒ ( x10 − x1 )( x10 + x1 ) = −15 ⇒

⇒ ( x10 + x1 ) ⋅ 5 = −15 ⇒ x10 + x1 = −3 (1) Τεταγµένες y1 = f ( x1 ),

y2 = f ( x2 ), ...., y10 = f ( x10 )

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 52 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

http://mathhmagic.blogspot.com/

x1 , x2 ,..., x10 ∈ ( −∞, 2] όπου f 2 f2

x1 < x2 < ... < x10 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) > ... > f ( x10 ) . Άρα,

R = f ( x1 ) − f ( x10 ) = ( x1 − 2 ) − ( x10 − 2 ) = ( x1 − 2 − x10 + 2 ) ⋅ ( x1 − 2 + x10 − 2 ) = 2

2

= ( x1 − x10 ) ⋅ ( x1 + x10 − 4 ) = −5 ( −3 − 4 ) = −5 ⋅ ( −7 ) = 35 16. Α) D f = ( −∞, 0 ) ∪ ( 0, +∞ )

f ′( x) = 1 − Β) f ′(1) =

●

9 x2 − 9 = ⇒ f ′( x) = 0 ⇒ x = ±3 x2 x2

1− 9 = −8 1

f (1) = 1 + 9 = 10 y − f (1) = f ′(1) ⋅ ( x − 1) ⇒ y − 10 = −8( x − 1) ⇒ y = −8 x + 18 Γ) y1 = −8 x1 + 18

y2 = −8 x2 + 18 ... y10 = −8 x10 + 18

yi = −8 xi + 18 zi = −8 xi ⇒ z = −8 x = −32 S z = −8 S x = 4 y = z + 18 = −32 + 18 = −14 yi = zi + 18 S y = Sz = 4 CVy =

4 4 2 = = ⇒ CVy = 28,57% −14 14 7

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 53 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

http://mathhmagic.blogspot.com/

Για να µειωθεί ο CV πρέπει να προσθέσω µια αρνητική σταθερά, αφού y < 0 .

ω = y − κ , κ > 0 ⇒ ω = −14 − κ Sω = S y = 4 CVω ≤ 10% ⇒

4 4 ≤ 0,1 ⇒ ≤ 0,1 ⇒ 4 ≤ 1, 4 + 0,1κ ⇒ κ ≥ 26, τουλ ά χιστον 26 −14 − κ 14 + κ

Δ) i) Τιµές διεταγµένες και πλήθος περιττός, άρα δ = x5 ⇒ x5 = 2 Στο (0,3) η f ( x) 2 άρα x1 < x2 < ... < x9 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) > ... > f ( x9 ) Άρα δ = f ( x5 ) = f (2) = 2 +

9 4 + 9 13 = = 2 2 2

ii) R = f ( x1 ) − f ( x10 ) = x1 +

9( x10 − x1 ) 9 9 9⋅2 18 ⋅ 4 62 − x10 − = −2 + = −2 + = −2 + = 5 x1 x10 x1 ⋅ x10 5 5 4 ●

17. Α) x =

P(ω1 ) + P (ω2 ) + ... + P(ω100 ) 1 1 = ⇒x= 100 100 100

(

Β) f ′( x) = −3 P (ω1 ) − x

)

2

− 3 ( P (ω2 ) − x ) − ... − 3 ( P (ω100 ) − x ) 2

2

2 2 2  1   1  1     P(ω1 ) −  +  P(ω2 ) −  + ... +  P(ω100 ) −   100   100  100    1     ⋅100 f ′  = −3 100  100 

( P(ω ) − x )  = −3

 1 f ′   100 

Γ) Η y = −

1

2

(

+ ... + P(ω100 ) − x 100

)

2

 1  2 ⋅100 = −3s 2 ⋅100 ⇒ f ′   = −300s  100 

1 εφαπτ. Της f ′ = g 75

Έστω ( x0 , g ( x0 ) ) σηµείο επαφής

y − g ( x0 ) = g ′( x0 ) ⋅ ( x − x0 ) ⇒ y = g ′( x0 ) ⋅ x − g ′( x0 ) ⋅ x0 + g ( x0 ) ⇒ y = −

1 75

g ′( x0 ) = 0 ⇒ f ′( x0 ) = 0

1  1  1 ⇒ g ( x0 ) = − = f ′( x0 ) = f ′( x) = f ′   75 − g ′( x0 ) ⋅ x0 + g ( x0 ) = −  100  75 2

1  1     P(ω1 ) −  + ... +  P(ω100 ) −  100  100   s2 =  100

2

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 54 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

http://mathhmagic.blogspot.com/

1 1 1 1 1  1  2 2 ⇒ s2 = ⇒s=  = − ⇒ −300s = − ⇒ s = 75 75 300 ⋅ 75 22500 150  100 

Άρα, f ′ 

1 s 100 2 CV = = 150 = = 1 150 3 x 100 ●

18. Α) x =

P(ω1 ) + ... + P(ωv ) 1 1 ⇒ = ⇒v=9 v 9 v

Β) P (ω1 ),..., P (ω9 ) . Όλες οι P (ωi ) είναι ≤ 1 , άρα σε οποιαδήποτε διάταξη επειδή είναι 9, τότε έστω: δ = P (ω5 ) . Έστω δ > 0, 2 . Αφού v = 9 ⇒ δ = 5η παρατήρηση. Άρα, οι επόµενες 4 παρατηρήσεις θα είναι και αυτές µεγαλύτερες του 0,2. Άτοπο, άθροισµα πάνω από 1.

2

1  Γ) f ′( x) = 3  x −  > 0 ⇒ f / 9  2

(

)

(

)

2 2 1 = 3  P(ω1 ) − x + ... + P (ω9 ) − x  ⇒   12

1  f ′ ( P (ω1 ) ) = 3  P(ω1 ) −  2 2 9  (+) P ( ) x ...

P ( ) x ω ω − + + − 1 9 1 ... ⇒ = 3⋅9 ⇒ 12 9 2 1  1 1 1 f ′ ( P (ω9 ) ) = 3  P (ω9 ) −  = 27 s 2 ⇒ s 2 = ⇒s= 9   12 12 ⋅ 27 18

(

)

(

)

1 s 9 1 1 = ⇒ CV = Άρα, CV = = 18 = 2 x 1 18 2 9 ● 19. Α) g (1) = f (3 ⋅1 − 2) + f (1 − 1 + 1) = f (1) + f (1) = ( −1) + ( −1) = 0 2

2

2

g ′( x) = 2 f (3 x − 2) f ′(3 x − 2)(3 x − 2)′ + f ′( x 2 − x + 1)(2 x − 1) ⇒ g ′( x) = 2 f (3 x − 2) f ′(3 x − 2) ⋅ 3 + f ′( x 2 − x + 1)(2 x − 1) x =1

⇒ g ′(1) = 2 f (1) ⋅ f ′(1) ⋅ 3 + f ′(1) ⋅1 = 2(−1) ⋅1⋅ 3 + 1⋅1 = −5 Άρα, y − g (1) = g ′(1) ⋅ ( x − 1) ⇒ y − 0 = −5( x − 1) ⇒ y = −5 x + 5 Β) y = −5 x + 5 Θέτω: z = −5 x , άρα z = −5 x = −5 ⋅ 400 ⇒ z = −2000 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 55 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

http://mathhmagic.blogspot.com/

y = z + 5 ⇒ y = z + 5 = −2000 + 5 ⇒ y = −1995

1  2004 2 ( ∑ xi ) s = 200 ⇒  ∑ xi − 2004  i =1 2004  2

2

2

∑x ⇒

  2  = 200 

 ∑ xi  2 2 −   = 200 ⇒ x − x 2004  2004  2

2

( ) ()

i

2

= 2002 ⇒

( )

⇒ x 2 = 2002 + 4002 ⇒ x 2 = 200.000 ●

20. Α) D f = ( 0, +∞ ) f ( x) :συνεχής

f ′( x) =

1 1− x − 1 ⇒ f ′( x) = x x

f ′( x) = 0 ⇒ 1 − x = 0 ⇒ x = 1

•

Αν x ∈ ( 0,1) ⇒ f ′( x) > 0 ⇒ f ( x) / ∀ x ∈ ( 0,1]

•

Αν x ∈ (1, +∞ ) ⇒ f ′( x) < 0 ⇒ f ( x) 2 ∀ x ∈ [1, +∞ )

Επίσης f ′(1) = 0 , άρα η f ( x) παρουσιάζει µέγιστο (ολικό) στο A (1, f (1) ) → A (1, 2010 )

f (1) = ln1 − 1 + 2011 = 0 + 2010 ⇒ f (1) = 2010 Β) Αφού η x είναι η θέση στην οποία η f παρουσιάζει ακρότατο, τότε x = 1 . Επίσης x 2 = 10 . Έχω: 2   v    ∑ ti  2 1  v 2  i =1   2 s =  ∑ ti − ⇒ s = v  i =1 v     

s 2 = 9 ⇒ s = 3 . Άρα, CV =

 v t ∑ i  ∑ ti i =1 −  i =1 v  v   v

2

2

   ⇒ s2 = x2 − x   

()

2

⇒ s 2 = 10 − 1

s 3 = = 300% x 1

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 56 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

http://mathhmagic.blogspot.com/

Γ) Αφού t v −3 ,..., tv ∈ (1, +∞ ) ,περισσότερες από τις µισές παρατηρήσεις, τότε αναγκαστικά και η 2

διάµεσος (ασχέτως αρτίου ή περιττού πλήθους) θα ανήκει στο (1, +∞ ) , άρα δ ∈ (1, +∞ ) . Όµως

x = 1 , άρα x < δ

Οπότε έχει αρνητική ασυµµετρία.

2 2 2 3 ( t1 − x ) ⋅ ( t1 − x )′ + 3 ( t2 − x ) ⋅ ( t2 − x )′ + ... + 3 ( tv − x ) ⋅ ( tv − x )′ 21. Α) f ′( x) = 3v

−3 ( t1 − x ) − 3 ( t2 − x ) − ... − 3 ( tv − x ) ⇒ f ′( x) = 3v 2

2

2

⇒

( t − x ) + ( t2 − x ) f ′( x) = −3 1

⇒

( t − x ) + ( t2 − x ) f ′( x) = − 1

+ ... + ( tv − x )

2

+ ... + ( tv − x )

2

2

3v

2

2

2

(1)

v

Θέτω: g ( x) = ( t1 − x ) + ( t2 − x ) + ... + ( tv − x ) 2

2

2

(

)

Από εφαρµογή η g ( x) γίνεται ελάχιστη στο σηµείο K x, g ( x) . Άρα,  1 ⋅ −   v

()

(1) 1 1 g ( x) ≥ g ( x) ∀x ∈ \ ⇒ − g ( x) ≤ − g ( x) ⇒ f ′ ( x ) ≤ f ′ x v v

(

)

Άρα η f ′( x) γίνεται µέγιστη στο K x, f ′( x) , όµως από τα δεδοµένα η f ′ γίνεται µέγιστη στο

A ( 4, −4 ) και επειδή η f ′( x) είναι τριώνυµο θα έχει µοναδικό ακρότατο, άρα A ≡ K , δηλαδή x = 4.

(t − x ) + (t = −4 ⇒− 2

()

f′ x

Άρα, CV =

(1)

1

)

2

(

+ ... + tv − x 2 −x v

)

2

= −4 ⇒ − s 2 = − 4 ⇒ s 2 = 4 ⇒ s = 2

s 2 1 = = = 50% όχι οµοιογενές. x 4 2

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 57 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Β) f ′′( x) = −

http://mathhmagic.blogspot.com/

2 ( t1 − x )( t1 − x )′ + 2 ( t2 − x )( t2 − x )′ + ... + 2 ( tv − x )( tv − x )′ v

2 ( t1 − x ) + 2 ( t2 − x ) + ... + 2 ( tv − x ) ( t + t + ... + tv ) − v ⋅ x ⇒ f ′′( x) = 2 1 2 v v 2v ( x − x ) vx − vx ⇒ f ′′( x) = 2 ⇒ f ′′( x) = ⇒ f ′′( x) = 2( x − x) (2) v v f ′′( x) =

Θέλω την εξίσωση της εφαπτοµένης της C f ′ στο B ( 2, 4 ) , άρα: y − f ′(2) = f ′′(2) ⋅ ( x − 2 ) (2)

Όµως f ′(2) = +4, f ′′(2) = 2( x − 2) = 2(4 − 2) = 4 Άρα, y − 4 = 4 ⋅ ( x − 2 ) ⇒ y = 4 x − 8 + 4 ⇒ y = 4 x − 4 (ε ) Γ) M 1 , M 2 ,..., M 9 ∈ ( εϕ ) . Άρα,

y1 = 4 x1 − 4 y2 = 4 x2 − 4 ...

µε : y = 7 και S y = 2

y9 = 4 x9 − 4 Λύνω ως προς xi

1 y1 + 1 4 1 x2 = y2 + 1 1 ⇒ X = Y +1 4 4 ... x1 =

x9 =

1 y9 + 1 4

Θέτω: z =

Sz =

1 1 1 7 y , άρα z = y = ⋅ 7 = 4 4 4 4

1 1 2 1 Sy = ⋅ 2 = = 4 4 4 2

Άρα, x = z + 1

x = z +1 = Sx = Sz =

7 7 + 4 11 11 +1 = = ⇒x= 4 4 4 4

1 1 ⇒ Sx = 2 2

Θέλω µέση τιµή των τετραγώνων των τεταγµένων (άρα διασπορά). ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 58 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2   9    ∑ yi  2 1  9 2  i =1   2 S y = ∑ yi −  ⇒ Sy = 9  i =1 9     

 9 y ∑  ∑ yi i =1 −  i =1 9  9   9

2 i

http://mathhmagic.blogspot.com/

2

   ⇒ S y2 = y 2 − y   

( )

2

⇒

⇒ 22 = y 2 − 7 2 ⇒ 4 + 49 = y 2 ⇒ y 2 = 53 ● 22.Α) Αν Α = { x, 2, y, x + 3

}

και x < 2 < y < x + 3 ,τότε δ = 2.5 ⇔ 2.5 =

x + 2+3+ x +3 ⇔ x =1 4 Β) Άρα το Α έχει την µορφή: Α = {1, 2,3, 4

2+ y ⇔ y=3 2

x = 2.5 ⇔ 2.5 =

} ,και το

Β = {2, 4,8

}

επιλέγουµε τυχαία ένα αριθµό α

από το Α και έναν αριθµό β από το σύνολο Β, οπότε ο δειγµατικός χώρος του πειράµατος αποτελείται από διατεταγµένα ζεύγη της µορφής: (α,β) µε την χρήση ενός πινάκα διπλής εισόδου: 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2)

1 2 3 4

4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4)

8 (1,8) (2,8) (3,8) (4,8)

Ω={ (1,2), (2,2), (3,2), (4,2), (1,4), (2,4), (3,4), (4,4), (1,8), (2,8), (3,8), (4,8)}.

lim x →α

0 0

x 2 + ax − 2a 2 x 2 + 3a 2 − 2a

= lim x →α

( x 2 + ax − 2a 2 )( x 2 + 3a 2 + 2a) ( x 2 + 3a 2 − 2a )( x 2 + 3a 2 + 2a )

( x 2 + ax − 2a 2 )( x 2 + 3a 2 + 2a) = x →α ( x 2 + 3a 2 − 4a 2 )

= lim

( x 2 + ax − 2a 2 )( x 2 + 3a 2 + 2a ) οι ρ ί ζες του τριων ύµου ε ίναι:α , −2α οπ ότε x lim = Γ) x →α ( x2 − a2 ) lim x →α

( x − α ) ( x + 2α )( x 2 + 3a 2 + 2a) ( x − a) ( x + a)

2

+ ax − 2 a 2 = ( x −α )( x + 2α )

=

( x + 2α )( x 2 + 3a 2 + 2a ) (3α )(4a) = = 6α x →α ( x + a) (2a )

= lim

β (x − β ) (x + β ) β x2 − β 3 β ( x2 − β 2 ) = lim = lim = β2 x→β 2 x − 2β x → β 2( x − β ) x→β 2 (x − β )

lim

lim x →α

x 2 + ax − 2a 2 x 2 + 3a 2 − 2a

β x2 − β 3 ⇔ 6α ≥ β 2 x→ β 2 x − 2β

≥ lim

Το ενδεχόµενο την πιθανότητα του οποίου αναζητούµε είναι : Γ= { (1,2), (2,2), (3,2), (4,2),(3,4), (4,4)}.

6 P (Γ ) = 12 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 59 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

http://mathhmagic.blogspot.com/

● 23.

A) f '( x) = (t1 + t2 + ... + t10 ) − 10 x και έχω :

f '( x) = 0 ⇔ (t1 + t2 + ... + t10 ) − 10 x = 0 ⇔ x =

x f '( x ) f(x)

t

−∞ +

/

t1 + t2 + ... + t10 =t 10

+∞ -

max

2

π  Β) g (a ) = 810 ⇔ g (t ) = 810  − θ  2   2 2 2 ⇔ (t1 − t ) + (t2 − t ) + .... + (t10 − t ) = 810 ⇔

s 2 = 81 ⇔ s = 9 Ακόµα έχουµε : g '( x) = −2(t1 − x) − 2(t2 − x) − .... − 2(t10 − x) Άρα g '(0) = 2000 ⇔ −2t1 − 2t2 .... − 2t10 = 2000 ⇔ −2(t1 + t2 .... + t10 ) = 2000 ⇔

(t1 + t2 .... + t10 ) =

t + t .... + t10 −1000 2000 ⇔ t1 + t2 .... + t10 = −1000 ⇔ 1 2 = ⇔ −2 10 10

t = −100 Άρα CV =

s t

=

9 = 0.09 δηλαδή 9%<10% όποτε το δείγµα είναι οµοιογενές .

100 ●

24.Α)

(t1 − x)3 + (t2 − x)3 + .... + (tν − x)3 1 )' = (−3(t1 − x) 2 − 3(t2 − x) 2 − .... − 3(tν − x) 2 ) = 3ν 3ν (t − x) 2 + (t2 − x) 2 + .... + (tν − x) 2 1 = −S 2 (−3) ((t1 − x) 2 + (t2 − x) 2 + .... + (tν − x) 2 ) = − 1 ν 3ν Β) (t − x) 2 + (t2 − x) 2 + .... + (tν − x) 2 1 f ''( x) = (− 1 ) ' = (2(t1 − x) + 2(t2 − x) + .... + 2(tν − x)) = f '( x) = (

ν

2

ν

ν

((t1 − x) + (t2 − x) + .... + (tν − x))

Γ) f '( x) = −

(t1 − x) 2 + (t2 − x) 2 + .... + (tν − x) 2

ν

< 0 για κάθε x ∈ \ . Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα

στο \ .

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 60 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Δ) Η δεύτερη παράγωγος f ''( x) =

f ''( x) = 0 ⇔

2

ν

ν

((t1 − x) + (t2 − x) + .... + (tν − x)) .

((t1 − x) + (t2 − x) + .... + (tν − x)) = 0 ⇔ ((t1 − x) + (t2 − x) + .... + (tν − x)) = 0

⇔ (t1 + t2 + .... + tν ) − ν x = 0 ⇔ x =

t1 + t2 + .... + tν

ν

t

−∞

x f '( x ) f(x)

2

http://mathhmagic.blogspot.com/

+∞

+

-

/

2

max

⇔ x=t

Ε) Η f’ παρουσιάζει µέγιστο στη θέση

x=t

.

● 25.Α) Το σηµείο τοµής της γραφικής παράστασης της f µε τον άξονα y’y έχει τετµηµενη χ=0 και η εφαπτόµενη y = 2 x + 2011 έχει συντελεστή διεύθυνσης λ=2 ,άρα f’(0)=2. Για κάθε x ∈ \ είναι: g '( x) = f '( x 3 − x)( x 3 − x)'− f '( x − 1)( x − 1) ' = f '( x3 − x)(3 x 2 − 1) − f '( x − 1) έτσι έχουµε:

g '(1) = f '(13 − 1)(3 ⋅ 12 − 1) − f '(1 − 1) = f '(0)(2) − f '(0) = f '(0) = 2 Επιπλέον είναι: g (1) = f (13 − 1) − f (1 − 1) = f (0) − f (0) = 0 Άρα η εξίσωση της εφαπτόµενης της καµπύλης της g στο σηµείο της Μ(1,0) είναι της µορφής y = 2 x + β .Επειδή το Μ είναι σηµείο της (ε) έχουµε: 0 = 2 ⋅ 1 + β ⇔ β = −2 Όποτε η εξίσωση της εφαπτόµενης της (ε) είναι : y = 2x − 2 Β) Η µέση τιµή των τετµηµένων των σηµείων A1 , A2 , A3 ,.....A11 είναι:

−5 − 4 − 3 − 2 − 1 + 0 + 1 + 3 + 4 + 5 =0 11 Άρα y = 2 x − 2 = 2 ⋅ 0 − 2 = −2 .Η διακύµανση των τετµηµένων των A1 , A2 , A3 ,..... A11 , είναι : x=

2   11    ∑ xi  1  11 2  i =1   2 sx = ∑ xi − = 11  i =1 11      1 0 = {(−5) 2 + (−4) 2 + (−3)2 + (−2) 2 + (−1) 2 + (0) 2 + 12 + 22 + 32 + 42 + 52 − } = .... = 10 11 11 Άρα sx = 10 και έτσι s y = 2 10 = 2 10 .Ο συντελεστής µεταβολής των y1 , y2 , y3 ,..... y11 είναι;

CVy =

sy y

=

2 10 = 10 −2

Γ) Έστω Ak ( xk , yk ) κάποιο από τα σηµεία A1 , A2 , A3 ,..... A11 .Είναι yk = 2 xk − 2 . ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 61 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

http://mathhmagic.blogspot.com/

Για να είναι το σηµείο Ak κάτω απο τον άξονα x ' x , πρέπει : yk < 0 ⇔ 2 xk − 2 < 0 ⇔ xk < 1 Άρα τα σηµεία A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 είναι κάτω από τον άξονα x ' x και η ζητούµενη πιθανότητα 6 είναι η p= 11 ● 26.Α) Υπολογίζουµε αρχικά την τιµή του α: 0

4 x 2 − 2λ 0 ( 4 x 2 − 2λ )( 4 x 2 + 2λ ) 4 x 2 − 4λ 2 α = lim = lim = lim = x → λ 2 x − 2λ x →λ x →λ (2 x − 2λ )( 4 x 2 + 2λ ) (2 x − 2λ )( 4 x 2 + 2λ ) lim x →λ

4( x 2 − λ 2 ) 2( x − λ )( 4 x + 2λ ) 2

= lim x →λ

2 (x − λ) (x + λ) ( x − λ ) ( 4 x + 2λ ) 2

=

4λ =1 4λ

Ισοδύναµα και διαδοχικά βρίσκουµε: P ( A) 1 + ≥5 4⋅ P ( A ') P ( A) P( A) 1 + ≥5 4⋅ 1 − P ( A) P ( A)

4( P( A)) 2 + 1 − P( A) ≥ 5P ( A)(1 − P ( A)) 4( P( A)) 2 + 1 − P( A) ≥ 5P ( A) − 5( P ( A)) 2 9( P ( A)) 2 − 6 P( A) + 1 ≥ 0 (3P ( A) − 1) 2 ≥ 0 που ισχύει. Β) i) Από το ερώτηµα (Α) έχουµε 3P ( A) − 1 = 0 , δηλαδή 1 N ( A) 1 N (Ω) 15.000 P ( A) = ⇔ = ⇔ N ( A) = = = 5000 N (Ω) 3 3 3 3 ii)Αν τα Α και Β είναι ασυµβίβαστα , τότε: Ν ( Α) Ν (Β) 5000 10500 15500 P ( A ∪ Β) = P( A) + P (Β) = + = + = >1 Ν (Ω) Ν (Ω) 15000 15000 15000 άτοπο αφού P ( A ∪ Β) ≤ 1 άρα Α και Β δεν είναι ασυµβίβαστα. ● 27. Α) f '( x) = (10s ⋅ x + x ⋅ x + 11) ' = 20 s ⋅ x + x 2

Β) Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτόµενης της καµπύλης της f στο σηµείο Α(-1,f(-1)) ισούται µε: λ = f '(−1) = −20s + x . Επειδή η εφαπτόµενη είναι παράλληλη στην ευθεία ε : y = 2011 s s 100% = 5% οπότε το θα ισχύει: λ = λε = 0 οπότε −20 s + x = 0 ⇔ x = 20 s > 0 και CV = 100% = 20s x δείγµα είναι οµοιογενές . x = 20 s

Γ) Είναι f '( x) = 0 ⇔ 20s ⋅ x + x = 0 ⇔ x ⋅ x + x = 0 ⇔ x ⋅ ( x + 1) = 0 ⇔ x = −1 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 62 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

http://mathhmagic.blogspot.com/

Για x < −1 είναι f '( x) = x ⋅ ( x + 1) < 0 άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο ( −∞, −1] . Για x > −1 είναι f '( x) = x ⋅ ( x + 1) > 0 άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο [ −1, +∞ ) . Όποτε η f παρουσιάζει ελάχιστο στο x = −1 ίσο µε το f '(−1) = 10 s + x(−1) + 11 =

x x − x + 11 = 11 − 2 2

Δ) i) Έστω ότι η ελάχιστη τιµή της f είναι ίση µε 1 .Τότε θα ισχύει: x x 20 11 − = 1 ⇔ x = 20 ,οπότε s = = = 1.

2 20 20 ii)Είναι Α(-1,1) και λε = f '(−1) = 0 οπότε η εξίσωση της εφαπτόµενης της καµπύλης της f στο σηµείο Α(-1,1) είναι y = 1 .

● 20

∑t

Αν Y = aX + β , τότε : y = α x + β και S y = α Sx

i

100 28.Έχουµε : x = = =5 20 20 Είναι: i =1

2   ν     ti   ν  1  i =1   = 1 1000 − 10000  = 1 (1000 − 500) = 500 = 25 2 Sx2 =  ti −    ν 20  i =1 20  20 20  20      Οπότε S x = 5

∑

∑

Επειδή Y = 2 X + 5 έχουµε : y = 2 x + 5 = 10 + 5 = 15 Για την τυπική απόκλιση S y = 2S x = 2 ⋅ 5 = 10 . ● 29.Α. i)Σήµερα ισχύει ότι CV = 20% άρα: s = 0.2 ⇔ s = 0.2 x (1) x Μετά από 25 χρόνια είναι x ' = x + 25 ενώ η τυπική απόκλιση παραµένει ίδια.Επειδή το δείγµα γίνεται για πρώτη φορά οµοιογενές θα είναι CV = 10% ,άρα: s = 0.1 ή s = 0.1x + 2.5 (2) x + 25 Από τις σχέσεις (1) και (2) έχουµε:

0.2 x = 0.1x + 2.5 ή x = 25 έτη, s = 5 έτη. ν

2 1

2

2

ii) Η µέση τιµή των x , x2 ,..., xv είναι Ισχύει s 2 =

1

ν

ν

∑ ( xi − x)2 = i =1

x12 + x2 2 + ... + xv 2

ν

=

∑x i =1

ν

i

2

= x2

( x1 − x) + ( x2 − x) + ( x3 − x) + ..... + ( xν − x) 2 2

2

2

ν

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

µε x = 25 και s = 5 ,άρα

Οι λύσεις σελ 39

- 63 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

http://mathhmagic.blogspot.com/

25 =

x12 − 50 x1 + 625 + x2 2 − 50 x2 + 625 + ..... + xν 2 − 50 xν + 625

25 =

x12 + x2 2 + .. + xν 2 − 50 x1 − 50 x2 − ..... − 50 xν + 625 + 625 + ... + 625

25 =

x12 + x2 2 + .. + xν 2 − 50( x1 + x2 + ..... + xν ) + 625ν

25 =

x12 + x2 2 + .. + xν 2

ν

ν

ν

ν

−

50( x1 + x2 + ..... + xν )

ν

+

625ν

ν

⇔ ⇔

⇔ ⇔

25 = x 2 − 50 x + 625 ⇔ 25 = x 2 − 1250 + 625 ⇔ x 2 = 650 iii) Το εύρος είναι(η κατανοµή είναι κανονική)περίπου R = 6s = 30 έτη. Άρα , X max − X min = 30 η X max − 10 = 30 ή X max = 40 .Η µεγαλύτερη ηλικία κατά προσέγγιση είναι 40 έτη . Β) Επιλέγουµε τυχαία έναν από τους κατοίκους του χωριού .Θεωρούµε τα ενδεχόµενα Α = «Ο κάτοικος πηγαίνει στο καφενείο Α» Β =«Ο κάτοικος πηγαίνει στο καφενείο Β» Είναι P(A)=0.3 και P(Β’)=0.6 η P(Β’)=1-P(Β)=1-0.6=0.4. Επίσης επειδή το 50% των κατοίκων πηγαίνει σε ένα τουλάχιστον από τα δύο καφενεία θα είναι P ( A ∪ B ) = 0.5 . i) Το ενδεχόµενο κάποιος να πηγαίνει και στα δυο καφενεία είναι A ∩ B ,άρα P ( A ∩ B ) = P ( A) + P ( B ) − P( A ∪ B) = 0.20 . Εποµένως το ποσοστό των κατοίκων που πηγαίνει και στα δύο καφενεία είναι 20%. ii) Το ενδεχόµενο ένας κάτοικος να πηγαίνει µόνο στο καφενείο Α είναι Α-Β, άρα P ( A − B) = P( A) − P( A ∩ B) = 0.10 δηλαδή το 10% των κατοίκων πηγαίνει µόνο στο Α καφενείο. Το ενδεχόµενο ένας κάτοικος να πηγαίνει µόνο στο καφενείο Β είναι Β-Α , άρα P ( B − A) = P( B ) − P( A ∩ B) = 0.20 , δηλαδή το 20% των κάτοικων πηγαίνουν µόνο στο Β καφενείο. Εποµένως αυτοί που πηγαίνουν µόνο στο Β καφενείο είναι περισσότεροι. Γ)Αφού όλοι οι αριθµοί έχουν την ίδια πιθανότητα και η πιθανότητα να κληρωθεί περιττός είναι µεγαλύτερη από την πιθανότητα να κληρωθεί άρτιος το πλήθος των περιττών είναι µεγαλύτερο και συµπεραίνουµε ότι το πλήθος ν είναι περιττός αριθµός. Τελικά οι περιττοί είναι κατά 1 περισσότεροι από τους αρτίους άρα: 1 1 = 0.8% ή = 0.008 ή 1 = 0.008v ή v = 125 . v v ● 30 . i) Λάθος , αφού όταν ένα δείγµα έχει x = 0 , τότε δεν ορίζεται συντελεστής µεταβολής αυτού του δείγµατος. ii) Λάθος .Ο τύπος CV =

s s ισχύει µονό όταν x > 0 .γενικά , ισχύει CV = , όπου x ≠ 0 . x x

iii) Λάθος. Ο CV είναι καθαρός αριθµός , δηλαδή είναι ανεξάρτητος των µονάδων µέτρησης των παρατηρήσεων. iv) Λάθος .Ένα δείγµα είναι οµοιογενές , αν και µόνο αν έχει CV ≤ 10% . v) Λάθος ,αν 0 < x < s , τότε CV =

s > 1 , δηλαδή CV > 100% . x

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 64 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

http://mathhmagic.blogspot.com/

vi) Λάθος .Ο CV , όταν ορίζεται είναι πάντα θετικός ή µηδέν διότι CV =

s x

≥0.

vii) Λάθος. Πάρε για παράδειγµα τις παρατηρήσεις: 7, 7, 7, 7, 7. Έχουν µέση τιµή 7 και διάµεσο 7, αλλά κανονική δεν είναι. ● 31.Α) Είναι P (10) = −103 + 15 ⋅ 102 + 600 ⋅ 10 − 300 = 6200 χιλ.ευρώ Β)Η παράγωγος της συνάρτησης του κέρδους είναι: P '( x) = ( − x 3 + 15 x 2 + 600 x − 300) ' = −3 x 2 + 30 x + 600 Οπότε P '( x) = 0 ⇔ −3x 2 + 30 x + 600 = 0 ⇔ − x 2 + 10 x + 200 = 0 ⇔ x = −10(απορρ ί πτεται )ή..x = 20

Επίσης είναι:

P '( x) > 0 για x < 20 και P '( x) < 0 για x > 20 Εποµένως η συνάρτηση P( x) παρουσιάζει µέγιστο για x=20 , µε µέγιστη τιµή P (20) = −203 + 15 ⋅ 202 + 600 ⋅ 20 − 300 = −8000 + 6000 + 12000 − 300 = 9700 χιλ.ευρώ Γ) Η παράγωγος συνάρτηση του κέρδους είναι: P '( x) = (− x3 + 15 x 2 + 600 x − 300) ' = −3 x 2 + 30 x + 600

Ο ρυθµός µεταβολής του κέρδους για x=10 είναι: P '(10) = −3 ⋅ 102 + 30 ⋅ 10 + 600 = 600 χιλιάδες ευρώ ανά µονάδα. Δ) Η παράγωγος του ρυθµού µεταβολής της συνάρτησης του κέρδους είναι : P ''( x) = (−3 x 2 + 30 x + 600) ' = −6 x + 30 Και είναι P ''( x) = 0 ⇔ −6 x + 30 = 0 ⇔ −6 x = −30 ⇔ x = 5 Επίσης είναι P ''( x) > 0 για x < 5 και P ''( x) < 0 για x > 5 . ● 32. Α) Επειδή A ⊆ B έχουµε A ∩ B = Α και A ∪ B = Β .Άρα:

x 2 P ( A ∪ B ) − 4 P( A) x 2 P ( A) − 4 P ( A) P ( A)( x 2 − 4) = lim = lim = x→2 x→2 x→2 x−2 x−2 x−2 P( A) ( x − 2) ( x + 2) lim = lim( P ( A)( x + 2)) = 4 P( A) = 4 ⋅ 0.2 = 0.8 x→2 x→2 x−2 Οπότε P( Β ) = 0.8 , P ( Α ∪ Β) = P (Β) = 0.8 και P (Β ') = 1 − P(Β) = 1 − 0.8 = 0.2 lim

Β) 16[ P( B )]2 − 25 P( B ) − P( Α) + 10 = 0 ⇔ 16[ P( B )]2 − 24 P ( B ) − P ( B ) − P( Α) + 10 = 0

16[ P( B )]2 − 24 P ( B ) − ( P ( B ) + P ( Α)) + 10 = 0 ⇔ 16[ P ( B )]2 − 24 P ( B) + 10 = P( B) + P(Α) Όµως P (Β) + P ( Α) = P ( Α ∪ Β) ≤ 1 .Άρα:

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 65 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

http://mathhmagic.blogspot.com/

16[ P( B)]2 − 24 P ( B ) + 10 ≤ 1 ⇔ 16[ P ( B )]2 − 24 P ( B ) + 9 ≤ 0 3 ⇔ (4 P ( B ) − 3) 2 ≤ 0 ⇔ 4 P ( B ) − 3 = 0 ⇔ P( B) = 4 Αντικαθιστώντας το P( B ) στην (1) έχουµε : P( A) = Επειδή P ( A) =

1 .

4

N ( A) 1 N ( A) ⇒ = .

N (Ω ) 4 N (Ω)

Άρα N ( A) = 250 .Όµοια βρίσκουµε ότι N (Β) = 750 .Επειδή A ∩ B = ∅ και N ( A) + N (Β) = 1000 = Ν (Ω) θα πρέπει A ∪ Β = Ω . ● 33. Α) Από την καµπύλη της κανονικής κατανοµής είναι προφανές ότι :

50%

50%

16%

16%

2.5%

34%

34%

2.5%

0.15%

0.15% 13.5% 2.35%

2.35% 13.5%

x − 3s x −2 s x − s

x

x + s x + 2 s x + 3s

68 % 95% 99,7%  x = 100  x − s = 85 και λύνοντας το σύστηµα προκύπτει ότι    s = 15  x + 2 s = 130 s 15 CV = = = 15% >10% .Το δείγµα δεν είναι οµοιογενές. x 100 Β) Με τις τιµές της µέσης τιµής και της τυπικής απόκλισης το σχήµα γίνεται:

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 66 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

50%

http://mathhmagic.blogspot.com/

50%

16%

16% 34%

34%

2.5%

2.5%

0.15%

0.15% 13.5% 2.35%

2.35% 13.5%

x − 3s55 x 70 −2 s x85− s

x 100

x115 + s x130 + 2 s 145 x + 3s

68 % 95% 99,7% Από το σχήµα προκύπτει ότι το ποσοστό του πληθυσµού που έχει IQ µεγαλύτερο του 145 είναι 0.15%. ● 34.Α) Κατασκευάζουµε τον πινάκα Βάρος παγωτού Μέσο fi κλάσης

xi f i

xi

[195 − 197 ) [197 − 199 ) [199 − 201) [ 201 − 203 ) [ 203 − 205 )

196

0.1

19.6

198

0.1

19.8

200

0.55

110

202

0.2

40.4

204

0.05

10.2

1

200

Γενικά έχουµε: ν ν ν v 1 ν x = ∑ vi xi = ∑ i xi = ∑ f i xi . Άρα x = ∑ f i xi = 200 .

ν

i =1

i =1

ν

i =1

i =1

Β)Κατασκευάζουµε τον πινάκα κατανοµής αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων:

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 67 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Βάρος παγωτού

[195 − 197 ) [197 − 199 ) [199 − 201) [ 201 − 203 ) [ 203 − 205 ) Σύνολο

fi %

Fi %

10

10

10

20

55

75

20

95

5

100

http://mathhmagic.blogspot.com/

100

Το πολύγωνο των σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων παριστάνεται στο παρακάτω σχήµα:

Από το σχήµα και το θεώρηµα του Θαλή

x 30 x 6 12 = ⇔ = ⇔ 5 x = 12 − 6 x ⇔ x = 1.09 gr 2 − x 25 2− x 5 11 Άρα δ=199+1.09=200.09 gr. Γ)Από το επόµενο σχήµα και το θεώρηµα του Θαλή παίρνουµε: 75 − x 1 95 = ⇔ 75 − x = x − 20 ⇔ x = ⇔ x = 47.5 x − 20 1 2 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 68 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

http://mathhmagic.blogspot.com/

Έτσι το ποσοστό από τα κύπελλα που περιέχουν παγωτό µε βάρος µικρότερο από 200 gr είναι 47.5%. Εποµένως , η πιθανότητα που ζητάµε είναι p=47.5%=0.475. Δ)Επειδή το βάρος του παγωτού σε κάθε κύπελλο αυξήθηκε κατά 8 gr , θα έχουµε τον επόµενο πινάκα κατανοµής συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων. Βάρος παγωτού fi % Fi %

[ 203 − 205 ) [ 205 − 207 ) [ 207 − 209 ) [ 209 − 211) [ 211 − 213 ) Σύνολο

10

10

10

20

55

75

20

95

5

100

100

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 69 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

http://mathhmagic.blogspot.com/

Το πολύγωνο των σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων είναι:

Από το σχήµα και το θεώρηµα του Θαλή παίρνουµε: 95 − x 1 = ⇔ 95 − x = x − 75 ⇔ x = 85 x − 75 1 Εποµένως το ποσοστό από τα κύπελλα που ξεχείλισαν είναι 100-85=15%. Έτσι η πιθανότητα που ζητάµε είναι q=15%=0.15. ● 35. Α) Έστω τα µήκη είναι x1 , x2 ,..., x7 , x8 .Το µέγιστο εύρος είναι Rmax = 10 − 1 = 9 αν ένα µήκος τουλάχιστον είναι ίσο µε 1 και ένα τουλάχιστον ίσο µε 10. Β)

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 70 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

http://mathhmagic.blogspot.com/

1 ≤ x1 ≤ 10  1 ≤ x2 ≤ 10 1 ≤ x3 ≤ 10 ( + ) 8 x + x + x3 + .. + x7 80 ⇒ 8 ≤ x1 + x2 + x3 + .. + x8 ≤ 8 ⋅ 10 ⇔ ≤ 1 2 ≤ ⇔  8 8 8  .  .  1 ≤ x8 ≤ 10 ⇔ 1 ≤ x ≤ 10 ⇔ x ∈ [1,10] Γ)Αν x = 10 θα πρέπει τα 8 µήκη να είναι ίσα µε 10 δηλαδή x1 = x2 = x3 = .. = x8 = 10 ● 36. Υπολογίζουµε την µέση τιµή 1 1 1 1 1 P (ω1 ) + + P (ω2 ) + + P(ω3 ) + + P(ω4 ) + P (ω1 ) + P (ω2 ) + P(ω3 ) + P (ω4 ) + 4 ⋅ 4 4 4 4= 4= x= 4 4 1+1 2 1 = = 4 4 2 1 1 1 Όποτε εφόσον η τυπική απόκλιση είναι η διακύµανση θα είναι ( ) 2 = και θα ισχύει: 9 81 9 1 1 1 1 1 1 1 1 ( P(ω1 ) + − ) 2 + ( P (ω2 ) + − ) 2 + ( P(ω3 ) + − ) 2 + ( P (ω4 ) + − ) 2 4 2 4 2 4 2 4 2 = 4 1 2 1 2 1 1 ( P(ω1 ) − ) + ( P(ω2 ) − ) + ( P (ω3 ) − ) 2 + ( P (ω4 ) − ) 2 4 4 4 4 = 1 4 81 1 1 1 1 2 άρα τελικά: ( P (ω1 ) − ) 2 + ( P (ω2 ) − ) 2 + ( P(ω3 ) − ) 2 + ( P (ω4 ) − ) 2 = ( ) 2 .

4 4 4 4 9 1 s 2 Για τον συντελεστή µεταβολής CV θα έχω : CV = = 9 = = 22.2% .

1 9 x 2 ● 37. Α) Έστω Ω ο δειγµατικός χώρος που δηµιουργούν οι υπολογιστές όλων των τύπων της εταιρείας µε Ν(ω)=κ+λ+6 και τα ενδεχόµενα: Α: «ο υπολογιστής τύπου Α» µε Ν(Α)=κ Β: «ο υπολογιστής τύπου Β» µε Ν(Β)=6 Γ: «ο υπολογιστής τύπου Α» µε Ν(Γ)=λ Είναι: κ 1 P ( A) = = ⇔ 2κ = κ + λ + 6 ⇔ κ − λ = 6 (1) κ +λ +6 2 P (Γ ) =

λ 1 = ⇔ 5λ = κ + λ + 6 ⇔ κ − 4λ = −6 (2) κ +λ+6 5

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 71 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

http://mathhmagic.blogspot.com/

Από την λύση του συστήµατος των (1) και (2) προκύπτει κ=10 και λ=4. Β) Η µέση τιµή πώλησης όλων των υπολογιστών της εταιρείας είναι:

10 ⋅ 1400 + 6 ⋅ 3000 + 4 ⋅ 2000 14000 + 18000 + 8000 40000 = = = 2000 20 20 20 Έχουµε: 1 1 s 1 s CV = 20% = ⇔ = ⇔ = ⇔ s = 400 ευρώ.

5 2000 5 x 5

x=

Γ) Η εβδοµαδιαία παραγωγή της εταιρείας διαµορφώνεται ως εξής ,18 υπολογιστές τύπου Α και 6 υπολογιστές τύπου Β. Αν συµβολίσουµε x την νέα τιµή πώλησης των υπολογιστών τύπου Β, η νέα µέση τιµή πώλησης θα είναι: 18 ⋅ 1400 + 6 ⋅ x 25200 + 6 ⋅ x x' = = (3) 24 24 Είναι: s 1 s 1 1 CV = 20% = ⇔ = ⇔ = ⇔ x ' = 5s = 5 ⋅ 300 = 1500 (4) 5 x' 5 x' 5 Από τις σχέσεις (3) και (4) προκύπτει ότι: 18 ⋅ 1400 + 6 ⋅ x = 1500 ⇔ .. ⇔ x = 1800 .

24 ● 38. A) Έστω yi η τελική σύνταξη κάθε συνταξιούχου και xi η αρχική σύνταξη και α το σταθερό ποσό της εισφοράς που παρακράτησε το Μ.Ι.Κ.Α. Τότε:

yi = 1,15 xi − a και y = 1,15 x − a και S y = 1,15S x Ο συντελεστής µεταβολής είναι :

Sy

1,15S x Sx S ⇔ = 1,1 x ⇔ 1,15 x + a y x x 1,15 1 1,15 1,1 ⇔ = 1,1 ⇔ = ⇔ 1,15 ⋅ 1000 + a 1000 1150 + a 1000 1150 = 1,1(1150 + a ) ⇔ ... ⇔ a = 104,55 ευρώ.

CVy = 1,1CVx ⇔

= 1,1

B) Η µέση σύνταξη αυξήθηκε κατά 15% δηλαδή αυξήθηκε κατά 1000

15 = 150 ευρώ. Άρα οι 100

συνταξιούχοι ευνοήθηκαν κατά 150-104,55= 45,45 ευρώ.

39.Α) Οι διαστάσεις του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου είναι: α = 6 − 2x, β = 6 − 2x, g = x .Κατά συνέπεια ο όγκος της δεξαµενής είναι:

f (x) = (6 − 2x)(6 − 2x)x = 2(3 − x)2(3 − x)x = 4(3 − x) 2 x, 0 < x < 3

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 72 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

http://mathhmagic.blogspot.com/

Β) f '( x) = (4 x(3 − x) 2 ) = ... = 12(3 − x)(1 − x) 1

0

x f '(x)

+

f (x)

/

3 −

2

Η δεξαµενή έχει µέγιστο όγκο όταν x=1 m. Γ) lim x →0

f (x + 2) − 8 f (x + 2) − f (2) = lim = f '(2) = −12 x →0 x x f (x )2[1,3]

Δ) 1 = x1 < x 2 < x 3 < x 4 < x 5 = 2 ⇔ f (1) = f (x1 ) > f (x 2 ) > f (x 3 ) > f (x 4 ) > f (x 5 ) = f (2) ⇔ 16 = y1 > y 2 > y3 > y 4 > y5 = 8

R=16-8=8 CVy =

Sy y

=

1 6

Αν σε όλες τις τιµές yi τις µεταβλητής y προσθέσουµε µια σταθερά α τότε οι νέες τιµές βi που προκύπτουν , έχουν: β = y + α = 12 + α > 0 Sβ = Sy = 2 CV =

sβ β

=

2 Κατά συνέπεια 12 + α

CV = 2CVy +

R 2 1 8 ⇔ = 2 + ⇔ ... ⇔ α = −10 12 12 + α 6 12 f /[ 0,1]

Ε) ∅ ≠ Α ⊆ Β ⇒ 0 < P( Α) ≤ P(Β) ≤ 1 ⇒ f (P(A)) ≤ f (P(B)) ⇔ 4 ⋅ P(A)(3 − P(A)) 2 ≤ 4 ⋅ P(B)(3 − P(B)) 2 Και επειδή P(Β) > 0 και ( 3 − P ( Α) ) > 0 2

P(A) ( 3 − P(B) ) P(A)  3 − P(B)  ≤ ⇔ ≤  2 P(B) ( 3 − P(A) ) P(B)  3 − P(A)  2

2

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 73 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

http://mathhmagic.blogspot.com/

40.Α) Οι συναρτησεις f ,f’είναι παραγωγωγισιµες στο \ σαν πολυωνιµικες ετσι:

f '( x) = λ (4 − λ )eλ x + λ f ''( x) = λ (4λ − λ 2 )eλ x B) f '(0) = λ (4 − λ ) + λ = 5λ − λ 2 , f (0) = (4 − λ ) − 4 = −λ

(

)

(

)

Η εφαπτοµένη έχει εξίσωση y − f (0) = f '(0)( x − 0) ⇒ y − λ = 5λ − λ 2 x ⇔ y = 5λ − λ 2 x + λ

 1  4 2 2 4 = 5λ − λ ⇔ λ − 5λ + 4 = 0 ⇔ λ = 1 ή λ = 5 2 1 Άρα P ( Α) = = 6 3

Γ) ε ⊥ η ⇒ λε λη = −1 ⇔ λε  −  = −1 ⇔ λε = 4 όµως λε = 5λ − λ 2 έτσι

Αρκεί f ''( x) > 0 για κάθε x ∈ \ , λ (4λ − λ 2 )eλ x > 0 ⇔ λ 2 (4 − λ ) > 0 ⇔ λ < 4 οπότε P (Β) =

3 1 = 6 2

Ε) Για λ = 1 εχουµε: f ( x) = 3e x + x − 4 , f '( x) = 3e x + 1 οποτε

f '(0) = 3e0 + 1 = 4 , f (0) = 3e0 + 0 − 4 = −1 .Οµως από τον ορισµο της παραγωγου, f '(0) = lim h→0

f (0 + h) − f (0) f ( x) − f (0) 3e x + x − 4 − (−1) 3e x + x − 3 = lim = lim = lim x →0 x →0 x→0 h x−0 x x

3e x + x − 3 =4 x →0 x

Τελικά lim

● 41.i) x A = 80 , x B = 80 iii) s A > sB ⇔

ii) s A > sB

s A sB s s > ⇔ A > B ⇔ CVA > CVB 80 80 x A xB

άρα το δείγµα Β έχει µεγαλύτερη οµοιογένεια από το Α. ● 42.

2ν − 1 = R ν = 10  (ν + 1) +ν   ⇔ ... ⇔  R = 19 Α) δ = 2  δ = 10.5   R + 2δ = 40

N ( A) ν =10 19 = N (Ω) 20 2 γ) Πρέπει x + 5 x + λ > 0, για κάθε x ∈ \ , δηλαδή 1 > 0 λ∈` 1 > 0 a > 0 14  ⇔ 2 ⇔  25 ⇒ λ = 7,8,9,..., 20 , άρα P (Β) = 20 ∆ < 0 5 − 4λ < 0 λ > 4

Β) P ( A) =

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 74 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2

http://mathhmagic.blogspot.com/

2

 ν   20  x ∑ ∑ xi i 1 ν 2  i =1  1 20 2  i =1  1 2102 2 2 ) ⇒ s = (∑ xi − ) ⇔ s2 = (2870 − )⇔ s = (∑ xi − Δ) 20 i =1 20 20 20 v i =1 ν 1 665 (2870 − 2205) ⇔ s 2 = s2 = ⇔ s 2 = 33.25 ⇔ s = 33.25 20 20 ν

∑x i =1

i

= 1 + 2 + ... + 20 =

20 (1 + 20 ) = 210 2

● 43.A) f '( x) = e − α , η εφαπτοµένη (ε) της C f στο Α είναι παράλληλη στο x΄x άρα x

λε = f '(0) = 0 ⇒ e0 − α = 0 ⇔ α = 1 .Έτσι f ( x) = e x − x + 39

Β) i) f '( x) = 0 ⇒ .... ⇔ x = 0 και f / στο [ 0, +∞ ) , f 2 στο ( −∞, 0] οποτε η f παρουσιαζει ελαχιστο στο x=0 .Δηλαδη για κάθε x ∈ \ ισχυει : f ( x) ≥ f (0) ⇒ f ( x) ≥ 40

f ( x1 ) + f ( x2 ) + ... + f ( x100 ) 40 + 40 + ... + 40 100 ⋅ 40 > = = 40 ⇒ x ≥ 40 (1) 100 100 100 Η κατανοµη είναι περιπου κανονικη οποτε x = δ ,τελικα δ > 40 . ii) x =

( Το συγκεκριµένο ερώτηµα µπορεί να αποδειχθεί και µε χρήση του ορισµού της διαµέσου) iii)το δειγµα δεν είναι οµοιογενες αρα

1 s 1 (1) ⇔ > ⇔ 10 s > x > 40 ⇒ 10 s > 40 ⇔ s > 4 (2) 10 x 10 iv) g '( x) = 3 x 2 + 12 x + 3s = 3( x 2 + 4 x + s ) CV >

∆ = 16 − 4 s = 4(4 − s ) < 0 άρα g '( x) > 0 για κάθε x ∈ \ οπότε η g είναι γνησίως αύξουσα στο \ .

44.Α) Αν (ε) η εφαπτοµένη της C f

● στο σηµείο Α(1,f(1)) σχηµατίζει µε τον άξονα x΄x γωνία 45o

2x 2 , λε = f '(1) = εϕ 450 = 1 ⇒ =1⇔ α =1. x +a 1+ a Οπότε f ( x) = 1 + ln( x 2 + 1) .

2x Β) f '( x) = 0 ⇒ 2 = 0 ⇔ ... ⇔ x = 0 , x +1 f '( x) > 0 όταν x ∈ ( 0, +∞ ) , f '( x) < 0 όταν x ∈ ( −∞, 0 ) . οπότε f '( x) =

2

Η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο x0 = 0

f 2 όταν x ∈ [ 0, +∞ ) και f / όταν x ∈ ( −∞, 0]

Γ)Είναι 0 ≤ P( A) ≤ 1 και 0 ≤ P( B) ≤ 1

Επειδή f / στο [ 0, +∞ ) έχουµε:

0 ≤ P( A) ≤ 1 ⇒ f (0) ≤ f ( P ( A)) ≤ f (1) ⇔ 1 ≤ P( B) ≤ 1 + ln 2 άρα P ( B) = 1 και f ( P( A)) = 1 ⇔ 1 + ln(( P( A) ) + 1) = 1 ⇔ P ( A) = 0 .

2

● 45. 1) Σ 2) Λ3) Λ 4) Σ 5) Σ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 75 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

http://mathhmagic.blogspot.com/

●

46.Α) Έστω t1 , t2 ,..., tν οι παρατηρήσεις του 1ου δείγµατος και t΄1 , t2΄ ,..., tµ΄ οι παρατηρήσεις του 2ου δείγµατος .Τότε είναι:

x= y=

z=

t1 + t2 + ... + tν

ν

⇔ t1 + t2 + ... + tν = vx (1)

t΄1 + t2΄ + ... + tµ΄

⇔ t΄1 + t2΄ + ... + tµ΄ = µ y (2) µ ( t1 + t2 + ... + tν ) + ( t΄1 + t2΄ + ... + tµ )΄ (2) ν x + µ y

=

µ +ν

(1)

µ +ν

2 2 v   v   v  v  2 2 ν x  v  ν x ν x ∑ ∑ i i  i i  ∑ i i  ∑ν i xi 2 1 i =1   = i =1  = i =1 Β) s 2 =  ∑ν i xi 2 −  −  i =1 −x  ν  i =1 ν ν ν  ν            Γ)Αν ν 1 η συχνότητα της τιµής x1 = 0 και ν 2 η συχνότητα της τιµής x2 = 1 τοτε ν 1 + ν 2 = ν .

v

x=

ν 1 x1 +ν 2 x2 ν 1 ⋅ 0 +ν 2 ⋅1 ν 2 και s 2 = = = ν ν ν 2

∑ν x i =1

2

i i

ν

2

−x =

ν2 ν

2

ν  −  2  .Η ζητούµενη σχέση ν 

1 ν 2 ν 2  1 ν 2 ν 2 1 vν 2 −ν 2 2 1 s ≤ ⇔ −  ≤ ⇔ − 2 ≤ ⇔ ≤ ⇔ 4 4 4 ν ν  4 ν ν ν2 2

2

4vν 2 − 4ν 2 2 ≤ ν 2 ⇔ 0 ≤ ν 2 − 4vν 2 + 4ν 2 2 ⇔ 0 ≤ (ν − 2ν 2 ) ,που ισχύει.

2

Δ) Με χρήση βασικής εφαρµογής του σχολικού βιβλίου αν zi = xi − x έχουµε z = x − x = 0 και sz = sx αν yi =

1 1 1 1 1 zi τότε έχουµε y = z = ⋅ 0 = 0 και s y = sx = sz = 1 sx sx sx sx sx

Ε) Επειδή όλες οι παρατηρήσεις είναι θετικές και υπάρχουν παρατηρήσεις αριστερότερα από το

x − 3s , συµπεραίνουµε ότι x − 3s > 0 ⇔ x > 3s ⇔

1 s 1 > ⇔ > CV .

3 x 3

●

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 76 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

http://mathhmagic.blogspot.com/

47) Α)Αν ε η εφαπτοµένη τότε ο συντελεστής διεύθυνσης της είναι λε = εϕ1200 = − 3 Α (1,1)∈ε

Οπότε έχει την µορφή ε : y = − 3 x + β ⇒ 1 = − 3 ⋅1 + β ⇔ β = 1 + 3 Έτσι ε : y = − 3 x + 1 + 3 Η µέση τιµή των τεταγµένων είναι y = − 3 ⋅ x + 1 + 3 = − 3 ⋅ (−2) + 1 + 3 = 3 3 + 1 Β) Η διάµεσος των τεταγµένων (*) είναι

δ y = − 3 ⋅ δ x + 1 + 3 = − 3 ⋅ (−1) + 1 + 3 = 2 3 + 1 Γ) lim h→0

f (1 + h) − f (1) = f '(1) = λε = − 3 h

(*)Έστω x1 , x2 ,...., xν ,ν παρατηρήσεις µε διάµεσο δ. Α)Αν y1 , y2 ,...., yν είναι οι παρατηρήσεις που προκύπτουν αν προσθέσουµε σε καθεµία από τις x1 , x2 ,...., xν µια σταθερά c , να δείξετε ότι για την διάµεσο τους ισχύει: δ y = δ + c . Β)Αν y1 , y2 ,...., yν είναι οι παρατηρήσεις που προκύπτουν αν πολλαπλασιάσουµε σε καθεµία από τις x1 , x2 ,...., xν µε µια σταθερά c , να δείξετε ότι για την διάµεσο τους ισχύει:

δ y = cδ . Λύση ‘Εχουµε: yi = xi + c, i = 1, 2,...,ν , οπότε αν το πληθος των παρατηρήσεων είναι περιττό µε µεσαία παρατήρηση yκ τότε είναι: δ y = yk = xk + c = δ x + c .Αν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι άρτιο µε τις δυο µεσαίες παρατηρήσεις yk , yk +1 τότε είναι

δy =

yk + yk +1 xκ + c + xκ +1 + c xκ + xκ +1 + 2c xκ + xκ +1 = = = + c = δx + c 2 2 2 2

Άρα σε κάθε περίπτωση δ y = δ + c Β. Έχουµε: yi = c ⋅ xi , i = 1, 2,...,ν , οπότε αν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι περιττό µε µεσαία παρατήρηση yκ τότε είναι: δ y = yk = c ⋅ xk = c ⋅ δ x .Αν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι άρτιο µε τις δύο µεσαίες παρατηρήσεις yk , yk +1 τότε είναι

δy =

yk + yk +1 c ⋅ xκ + c ⋅ xκ +1 c ⋅ ( xκ + xκ +1 ) x + xκ +1 = = = c⋅ κ = c ⋅δx 2 2 2 2

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 77 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

http://mathhmagic.blogspot.com/

Άρα σε κάθε περίπτωση δ y = c ⋅ δ

48)Α) Αρχικά υπολογίζουµε το όριο

e x (1 − συν x) 0/0 e x (1 − συν x) = lim = x → 0 ηµ 2 x + συν x − 1 x → 0 1 − συν 2 x + συν x − 1

γ = lim

e x (1 − συν x) e x (1 − συν x) ex = lim = lim = lim =1 x → 0 −συν 2 x + συν x x →0 συν x (1 − συν x ) x → 0 συν x H Cg διέρχεται από από το Α(0,

g (0) = 0 ⇔

1 2 1 (0 + 20 + β 2 + (α − 1) 2 (0 + 1)) = ⇔ 60 3

⇔ β + (α − 1) = 0 2

2

Άρα g ( x) =

Β) g΄ ( x) =

1 1 ) g (0) = .Οπότε 3 3

Α 2 ( x ) +Β2 ( x ) = 0 ⇔Α ( x ) = 0 και Β ( x ) = 0

⇔

β = 0 και α = 1

1 2 ( x + 20), x ∈ \ 60

2x x = 60 30

α) g΄ (ν 1 ) + g΄ (ν 2 ) + g΄ (ν 3 ) = β) g΄ ( f1 ) + g΄ ( f 2 ) + g΄ ( f3 ) = γ) i) g΄ (v1 x1 + v2 x2 + v3 x3 ) =

ν1 30

+

ν2 30

+

ν3 30

=

ν 1 +ν 2 +ν 3 30

=

30 =1 30

f1 + f 2 + f 3 1 = 30 30

v1 x1 + v2 x2 + v3 x3 =x 30

ii)

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 78 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

http://mathhmagic.blogspot.com/

v1 g ( x1 − x) + v2 g ( x2 − x) + v3 g ( x3 − x) = 1 1 1 v1 (( x1 − x) 2 + 20) + v2 (( x2 − x) 2 + 20) + v3 (( x3 − x) 2 + 20) = 60 60 60 2 2 v1 ( x1 − x) 20v1 v2 ( x2 − x) 20v2 v3 ( x3 − x) 2 20v3 + + + + + = 60 60 60 60 60 60 v1 ( x1 − x) 2 + v2 ( x2 − x) 2 + v3 ( x3 − x) 2 20v1 + 20v2 + 20v3 + = 60 60 v1 ( x1 − x) 2 + v2 ( x2 − x) 2 + v3 ( x3 − x) 2 20(v1 + v2 + v3 ) + = 60 60 1 v1 ( x1 − x) 2 + v2 ( x2 − x) 2 + v3 ( x3 − x) 2 20 ⋅ 30 + = 2 30 60 s 2 20 s 2 + 20 + = 2 2 2 Γ)α) f ( x) = (180 g ( x − 2) − 20) ⋅ h(2 x − 5) = (180

1 (( x − 2) 2 + 20) − 20) ⋅ h(2 x − 5) = 60

= (3( x − 2)2 + 20) − 20) ⋅ h(2 x − 5) = 3( x − 2) 2 ⋅ h(2 x − 5) f '( x) = ( 3( x − 2) 2 ⋅ h(2 x − 5) ) ' = ( 3( x − 2) 2 ) '⋅ h(2 x − 5) + ( 3( x − 2) 2 ) ⋅ ( h(2 x − 5) ) ' = 6( x − 2)( x − 2) '⋅ h(2 x − 5) + ( 3( x − 2) 2 ) ⋅ h '(2 x − 5)(2 x − 5) ' = 6( x − 2)h(2 x − 5) + ( 3( x − 2) 2 ) ⋅ h '(2 x − 5) ⋅ 2 = 6( x − 2)h(2 x − 5) + 6( x − 2) 2 ⋅ h '(2 x − 5) Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης της cf στο Α(2,f(2)) είναι λ = f '(2) και

f '(2) = 6(2 − 2)h(2 ⋅ 2 − 5) + 6(2 − 2) 2 ⋅ h '(2 ⋅ 2 − 5) = 0 ρα η εφαπτοµένη ευθεία είναι παράλληλη στο άξονα χ’χ β) f (2) = 3(2 − 2) 2 ⋅ h(2 ⋅ 2 − 5) = 0 . Η εξίσωση της εφαπτοµένης είναι :

y − f (2) = f '(2)( x − 2) ⇔ y = 0

(

)

γ) f ''( x) = 6( x − 2) h(2 x − 5) + 6( x − 2) 2 ⋅ h '(2 x − 5) ' =

6 ⋅ h(2 x − 5) + 6( x − 2)h '(2 x − 5) ⋅ 2 + 12( x − 2) ⋅ h '(2 x − 5) + 6( x − 2) 2 ⋅ h ''(2 x − 5) ⋅ 2 = .

6 ⋅ h(2 x − 5) + 12( x − 2)h '(2 x − 5) + 12( x − 2) ⋅ h '(2 x − 5) + 12( x − 2) 2 ⋅ h ''(2 x − 5) = f ''(2) = .. = 6h(−1) = 6 ⋅ 7 = 42 49.Α) P ( B − A) = P ( B ) − P( A ∩ B) =

1 1 1 − = 4 6 12

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 79 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

P ( B ') = 1 − P ( B) = 1 −

http://mathhmagic.blogspot.com/

1 3 = 4 4

P ( A '− B ') = P( A ') − P( A '∩ B ') = 1 − P( A) − P [ ( A ∪ B) '] = Β) 1 − P ( A) − (1 − P ( A ∪ B )) = 1 − P ( A) − 1 + P( A ∪ B) = − P( A) + P( A ∪ B ) =

− P( A) + P( A) + P( B) − P ( A ∩ B) = P( B) − P( A ∩ B) = P( B − A) = Γ) P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B) − P( A ∩ B) = P( A) +

P ( A ∪ B) ≤ 1 ⇔ P( A) +

1 12

1 1 1 − = P( A) + 4 6 12

1 11 ≤ 1 ⇔ P( A) ≤ 12 12 ●

50. 1. Σ 2. Σ 3. Σ

4. Λ 5. Λ ●

51.Α) Από τον προσθετικό νόµο των πιθανοτήτων έχουµε

P ( A ∪ B) = P( A) + P( B) − P ( A ∩ B) ⇔ P( A ∪ B) + P( A ∩ B) = P( A) + P( B)

Β)i) P ( A ') ≤ 0.4 ⇔ 1 − P ( A) ≤ 0.4 ⇔ P ( A) ≥ 0.6 (1)

P ( B ') ≥ 0.5 ⇔ 1 − P ( B) ≥ 0.5 ⇔ P( B ) ≤ 0.5 (2) ii) (1) +(2): P ( A) + P ( B ) ≥ 0.5 + 0.6 = 1.1 και από το ερώτηµα (Α)

P ( A ∩ B) + P( A ∪ B) ≥ 1.1 iii) Υποθέτουµε ότι A ∩ B = ∅ οπότε τα ενδεχόµενα Α , Β είναι ασυµβίβαστα και ισχύει ο απλός προσθετικός νόµος : P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B) ≥ 1.1 ⇒ P ( A ∪ B) ≥ 1.1 , άτοπο . Αρα ισχυει : A∩ B ≠ ∅ .

52. i) x =

x1v1 + x2 v2 v x + v2 x1 − v1 x1 − v2 x2 v2 ( x1 − x2 ) = (1), θα είναι x1 − x = 1 1 και v1 + v2 v1 + v2 v1 + v2

x2 − x = ... =

v1 ( x2 − x1 ) v1 + v2

( x1 − x) 2ν 1 + ( x2 − x) 2ν 2 ν 1ν 2 (1) s = = ... = ( x1 − x2 ) 2 ν 1 +ν 2 (ν 1 +ν 2 ) 2 2

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 80 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ii) Από την (1) : x =

http://mathhmagic.blogspot.com/

x1v1 + x2 v2 v2 =v1 v1 ( x1 + x2 ) x1 + x2 = = v1 + v2 2v1 2

Από την (2) : s 2 = ( x1 − x2 ) 2

2 x −x ν 1ν 2 ( x1 − x2 ) 2 2 ν1 = x − x = ⇒s= 1 2 ( ) 1 2 2 2 (ν 1 +ν 2 ) (2ν 1 ) 4 2

x1 − x2 x −x s 2 Οπότε: CV = = = 1 2 x1 + x2 x x1 + x2 2 53.i) H f είναι παραγωγίσιµη για κάθε x > 0 .έτσι:

1 x − ln x 1 − ln x  ln x  x = f '( x) =  ' = 2 x x2  x 

f '( x) = 0 ⇔

1 − ln x = 0 ⇔ 1 − ln x = 0 ⇔ x = e x2

h ( x ) = ln x/ 1 − ln x x e x > 0 ⇔ 1 − ln > 0 ⇔ ln > ln ⇔ e>x x2 h ( x ) = ln x/ 1 − ln x f '( x) < 0 ⇔ x e x < 0 ⇔ 1 − ln < 0 ⇔ ln < ln ⇔ e< x x2 1 Άρα η f παρουσιάζει µέγιστο στο x0 = e το f (e) = e Άρα η f / στο ( 0, e ] , η f 2 στο [ e, +∞ )

f '( x) > 0 ⇔

ii)H g είναι παραγωγίσιµη στο \ άρα

1 g '( x) = ( x 3 − x 2 + ( P( A ∪ B) P ( A∩ B ) − P( A ∩ B) P ( A∪ B ) + 1) x + 1974) ' = 3 2 = x − 2 x + P ( A ∪ B ) P ( A∩ B ) − P ( A ∩ B ) P ( A ∪ B ) + 1 Για να βρούµε το πρόσηµο του τριωνύµου υπολογίζουµε την διακρίνουσα

∆ = 4 − 4( P ( A ∪ B) P ( A∩ B ) − P ( A ∩ B) P ( A∪ B ) + 1) = 4 − 4( P( A ∪ B) P ( A∩ B ) − P( A ∩ B) P ( A∪ B ) ) − 4 = −4( P( A ∪ B) P ( A∩ B ) − P( A ∩ B) P ( A∪ B ) ) Πρέπει να εξετάσουµε το πρόσηµο της παράστασης P ( A ∩ B ) P ( A∪ B ) − P ( A ∪ B ) P ( A∩ B ) Όµως

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 81 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

http://mathhmagic.blogspot.com/

A ⊆ B A∪Β = Β και ⇒  A ≠ B A∩Β = Α 0 < P( A) < P( B) < 1

f /οταν ( 0, e ]

⇔

f ( P( A)) < f ( P( B)) ⇔

ln P( A) ln P( B) < ⇔ P( A) P( B)

P ( B) ln P( A) < P( A) ln P( B) ⇔ ln P( A) P ( B ) < ln P( B) P ( A)

h ( x ) = ln x/

⇔

(1)

P( A) P ( B ) < P ( B) P ( A) ⇔

P ( A ∩ B ) P ( A ∪ B ) < P ( A ∪ B ) P ( A∩ B ) ⇔ P ( A ∪ B ) P ( A∩ B ) − P ( A ∩ B ) P ( A∪ B ) > 0 Άρα ∆ < 0, α = 1 > 0 οπότε g '( x) > 0 για κάθε x ∈ \ και η g γνησίως αύξουσα στο \ . iii)

x=

2 f (2) +

3 3 4 4 5 5 v +1 ν +1 3 4 5 ν +1 f ( ) + f ( ) + f ( ) + .... + f( ) ln 2 + ln + ln + ln + .... + ln ν ν ⇔x= ν ⇔ 2 2 3 3 4 4 2 3 4

ν

ν

 3 4 5 ν +1  ν + 1  ln 2014  3 4 5 ln  2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ .... ⋅  x = ν ln 2014 ln  2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ .... ⋅ ν  2 3 4 ν   ⇔ ln 2014 = ln(ν + 1) ⇔ ... ⇔ ν = 2013 x=  ⇔ = 

ν

ν

54.Α) Έχουµε: f (0) =

ν

∑ (t i =1

ν

ν

ν

ν

i

− 0) 2 = ∑ ti 2 (1) i =1

2 2 ν   ν   ν 2  ν   ν 2 t t  ν  t t ∑ ∑ i i ∑ ∑   i i  ∑ ti 1 i =1 i =1     2 2  i =1 i =1 s = ∑ t − ν  = ν − ν 2 = ν −  i=ν1 ν  i =1 i        

2

ν  2  ∑ ti 2  = i =1 − x ν   

Οπότε ν

s2 =

∑t i =1

ν

2

i

ν

ν

2 (1)

(

− x ⇔ ν s 2 = ∑ ti 2 −ν x ⇔ ∑ ti 2 = ν s 2 + ν x ⇔ f (0) = ν s 2 + x 2

i =1

2

i =1

2

) 2

Άρα η γραφική παράσταση της f τέµνει τον άξονα y ' y στο σηµείο A(0,ν ( s 2 + x )) . Β) Εφόσον η γραφική παράσταση της f τέµνει τον x ' x θα υπάρχει τουλάχιστον ένα σηµείο της µορφής : ( x1 , 0) τέτοιο ώστε ν

f ( x1 ) = 0 ⇔ ∑ (ti − x1 ) 2 = 0 ⇔ (t1 − x1 ) 2 + (t2 − x1 ) 2 + .... + (tν − x1 ) 2 = 0 ⇔ t1 = t2 = ..... = tν = x1 i =1

Έτσι:

x=

t1 + t2 + ..... + tν

ν

=

ν t1 = t1 ν

-Αν ν είναι άρτιος τότε η διάµεσος είναι το ηµιαθροισµα των δυο µεσαίων παρατηρήσεων δηλαδή ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 82 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

δ=

http://mathhmagic.blogspot.com/

t1 + t1 2t1 = = t1 2 2

-Αν ν είναι περιττός τότε η διάµεσος είναι η µεσαία παρατήρηση δ = t1 Σε κάθε περίπτωση ισχύει x = δ . Γ) Είναι: ν

f ( x) = ∑ (ti − x) 2 = (t1 − x) 2 + (t2 − x) 2 + ... + (tν − x) 2 i =1

Άρα

f '( x) = 2(t1 − x)(t1 − x) '+ 2(t2 − x)(t2 − x) '+ ... + 2(tν − x)(tν − x) ' = −2(t1 − x) − 2(t2 − x) + ... − 2(tν − x) =

−2(t1 + t2 + ... + tν −ν x) = 2(ν x − (t1 + t2 + ... + tν )) Έχουµε:

f '( x) = 0 ⇔ 2(ν x − (t1 + t2 + ... + tν )) = 0 ⇔ x = f '( x) < 0 ⇔ 2(ν x − (t1 + t2 + ... + tν )) < 0 ⇔ x <

t1 + t2 + ... + tν

⇔ x=x

t1 + t2 + ... + tν

⇔ x<x

ν

ν

f '( x) > 0 ⇔ .. ⇔ x > x Η f παρουσιάσει ελάχιστο για x = x Άρα κάθε x ∈ \ τότε f ( x) ≥ f ( x) ⇔ f ( x) ≥ (t1 − x) 2 + (t2 − x) 2 + ... + (tν − x) 2 ⇔

f ( x) ≥ ν

(t1 − x) 2 + (t2 − x) 2 + ... + (tν − x) 2

ν

⇔ f ( x) ≥ ν s 2

55. Α)

1  1  f '( x) =  − [(t1 − x)3 + (t2 − x)3 + ... + (tν − x)3 ]  ' = − [3(t1 − x) 2 (t1 − x) '+ 3(t2 − x) 2 (t2 − x) '+ ... + 3(tν − x) 2 (tν − x) '] = 3  3  1 3[(t1 − x) 2 + (t2 − x) 2 ... + (tν − x) 2 ] = (t1 − x) 2 + (t2 − x) 2 ... + (tν − x) 2 3 f '( x)

ν

=

(t1 − x) 2 + (t2 − x) 2 ... + (tν − x) 2

ν

= s2

Β)

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 83 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

a = lim x →1

http://mathhmagic.blogspot.com/

x3 − x 2 − x + 1 x 2 ( x − 1) − ( x − 1) ( x − 1)( x 2 − 1) ( x − 1)( x − 1)( x + 1) = lim = lim = lim = 2 2 2 x →1 x →1 ( x + 3 − 2) x →1 ( x + 3 − 2) ( x + 3 − 2) ( x + 3 − 2) 2

( x − 1) 2 ( x + 1) ( x − 1) 2 ( x + 1)( x + 3 + 2) 2 ( x − 1) 2 ( x + 1)( x + 3 + 2) 2 lim = lim = lim = x →1 ( x + 3 − 2) 2 x →1 ( x + 3 − 2) 2 ( x + 3 + 2) 2 x →1 x+3−2 x + 3 + 2 )2

(

lim

( x − 1) 2 ( x + 1)( x + 3 + 2) 2

((

x →1

lim

x+3

)

2

−4

)

2

( x − 1) 2 ( x + 1)( x + 3 + 2) 2

( x − 1)

x →1

2

= lim x →1

( x − 1) 2 ( x + 1)( x + 3 + 2) 2

( x + 3 − 4)

2

)(

)

=

= lim( x + 1)( x + 3 + 2) 2 = 2( 1 + 3 + 2) 2 = 2 ⋅16 = 32 x →1

Υπολογίζουµε την δεύτερη παραγωγό της f

f ''( x) = ( (t1 − x) 2 + (t2 − x) 2 ... + (tν − x) 2 ) ' = +2(t1 − x)(t1 − x) '+ 2(t2 − x)(t2 − x) '... + 2(tν − x)(tν − x) ' = −2(t1 − x) − 2(t2 − x)... − 2(tν − x) = −2(t1 − x + t2 − x... + tν − x) = −2(t1 + t2 ... + tν −ν x) f ''(2 x) = −2(t1 + t2 ... + tν − 2ν x) = −2(ν x − 2ν x) = 2ν x ν

∑t

i ν 91 i =1 = 45.5 ⇔ ∑ ti = 45.5 f ''(2 x) = 3 ⋅ 32 − 5 ⇔ 2ν x = 91 ⇔ ν x = ⇔ ν 2 ν i =1 1 1 1 ν 1 Γ) f (0) = − [(t1 − 0)3 + (t2 − 0)3 + ... + (tν − 0)3 ] = − (t13 + t23 + ... + tν 3 ) = − ∑ ti 3 = − 6042 = −2014 3 3 3 i =1 3

ν

2

f '(0) = ∑ ti Όµως ισχύει: i =1

2 ν   ν    ν 2  ∑ ti   ti 2 2 2 ∑ ν ν 2 2 2 1 i =1   2 2 2  i =1 ⇔ ... ⇔ s = − x ⇔ ν s = ∑ ti − vx ⇔ ∑ ti = ν ( s 2 + x ) s = ∑ ti −  ν ν v  i =1 i =1 i =1       2

Οπότε f '(0) = ν ( s 2 + x ) .Έτσι η ζητούµενη εφαπτοµένη είναι: 2

2

y − f (0) = f '(0)( x − 0) ⇔ y + 2014 = ν ( s 2 + x ) x ⇔ y = ν ( s 2 + x ) x − 2014 Δ)Το δείγµα t1 , t2 ,..., tκ έχει µέση τιµή x και τυπική απόκλιση s και CV=16%, δηλαδή

CV =

s s 16 (1) ⇔ = x x 100

Το 2029 το δείγµα ηλικιών θα είναι t1 + 15, t2 + 15,..., tκ + 15 µε µέση τιµή x ' = x + 15 και τυπική απόκλιση s ' = s και CV’=10%,δηλαδη CV ' =

s s 10 (2) ⇔ = x + 15 x + 15 100

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 84 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

http://mathhmagic.blogspot.com/

Από την λύση του συστήµατος (1) ,(2) προκύπτει x = 25 και s = 4 Το εύρος της κανονικής κατανοµής είναι R ≈ 6 s ⇔ R ≈ 24 R =µεγαλύτερη ηλικία – µικρότερη ηλικία ή 24= µεγαλύτερη ηλικία – 13 άρα µεγαλύτερη ηλικία =37 Εφόσον οι χρόνοι των δυο διαδροµών ακολουθούν την κανονική κατανοµή έχουµε:

50%

50%

16%

16% 34%

34%

2.5% 0.15% 2.35% 13.5% 13

17

21

2.5% 0.15% 13.5% 2.35%

25

29

33

37

68% 95% 99,7% Παρατηρούµε ότι x + s = 25 + 4 = 29 .Από την κανονική κατανοµή το 16% των παρατηρήσεων έχουν τιµή πάνω από x + s = 29 Άρα:

16 v = 8 ⇔ v = 50 .

100 56. A) Αν 0 ≤ x ≤ 0.6 έχουµε

g '( x) = ( x(0.6 − x) 2 ) ' = (0.6 − x) 2 − 2 x(0.6 − x) = (0.6 − x)(0.6 − x − 2 x) = (0.6 − x)(0.6 − 3 x)

Όταν 0 ≤ x ≤ 0.2 ισχύει g '( x) < 0 άρα g 2 στο [ 0, 0.2]

Όταν 0.2 ≤ x ≤ 0.6 ισχύει g '( x) > 0 άρα g / στο [ 0.2, 0.6] Οπότε η f παρουσιάζει µέγιστο όταν x = 0.2 και ισχύει: g ( x) ≤ g (0.2) ⇒ g ( x) ≤ 0.032 4

Β)i) Επειδή

∑f i =1

i

= 1 και f 4 = 0.6 − f 3 , 0 ≤ f3 ≤ 0.6 (1)

Οπότε αρκεί να δείξουµε ότι f3 (0.6 − f3 ) 2 ≤ 0.032 που ισχύει από το ερώτηµα Α) διότι

g ( f3 ) ≤ 0.032 όταν 0 ≤ f 3 ≤ 0.6 . ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 85 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

http://mathhmagic.blogspot.com/

ii)

[

)

−

xi

fi

xi fi

Fi %

12-14

13

0.1

1.3

10

14-16

15

0.3

4.5

40

16-18

17

0.4

7.6

80

18-20

19

0.2

3.4.

100

4

4

i =1

i =1

x = ∑ xi fi ⇒ ∑ xi fi = ... = 16.4 Κατασκευάζουµε πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων Fi % και βρίσκουµε

δ = 16.5 . Έτσι x ≠ δ οπότε η κατανοµή δεν είναι κανονική . iii) Θεωρούµε ότι οι παρατηρήσεις είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένες στις κλάσεις .

A={επιλέγουµε τυχαία ένα µαθητή ώστε η βαθµολογία του να ανήκει στο διάστηµα [16, 20 ) } P ( A) = f 4 + f 3 = 0.6

Β={επιλέγουµε τυχαία ένα µαθητή ώστε η βαθµολογία του να ανήκει στο διάστηµα [17,19 ) }

P( B) =

f 4 f3 + = 0.3 2 2

Γ={επιλέγουµε τυχαία ένα µαθητή ώστε η βαθµολογία του να ανήκει στο διάστηµα [12,15 ) }

P (Γ) = f1 +

f2 = 0.25 2 ●

57.α) F5 = 1 και F5 % = 100 Από τους τύπους του vieta έχουµε:

8  3   F3 + F5 = 5 F5 =1  F3 = ⇔ ... ⇔  5   F F = 3κ κ = 1  3 5 5 κ =1

F5 % = 100 ⇔ κλ 2 − 3λ + 30 = 100 ⇔ λ 2 − 3λ + 30 = 100 ⇔

λ = 10 ή λ = −7 Όµως F1 % = λ ≥ 0, άρα λ = 10 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 86 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

http://mathhmagic.blogspot.com/

β)

f1 % = F1 % = λ = 10 F2 % = 3λ + 10 = 40 f 2 % = F2 % − F1 % = 40 − 10 = 30 F3 % = 100 F3 = 60 f3 % = F3 % − F2 % = 60 − 40 = 20 F4 % = κλ 2 − 2λ + 10 = 90 f 4 % = F4 % − F3 % = 90 − 60 = 30 f5 % = F5 % − F4 % = 100 − 90 = 10 25% = f1 % + γ) 25% =

f2 % ⇔ ... ⇔ x1 = 16 (1) 2

f4 % + f 5 % ⇔ ... ⇔ x4 = 24 (2) 2 (1)

x4 − x2 = 2c ⇔ 2c = 8 ⇔ c = 4 (2)

1η κλάση [ a, a + 4 ) , 2η κλάση [ a + 4, a + 8 ) ,

x2 =

a + 4+ a+8 a+4+ a+8 2a + 12 ⇔ 16 = ⇔ 16 = ⇔ 16 = a + 6 ⇔ a = 10 2 2 2

Κλάσεις

Κεντρικές τιµές xi

[10,14 )

12

[14,18)

Fi

Fi %

10

0.1

10

16

30

0.4

40

[18, 22 )

20

20

0.6

60

[ 22, 26 )

24

30

0.9

90

[ 26,30 )

28

10

1

100

ΣΥΝΟΛΑ

fi %

100

δ)Το 40% (f4%+ f5%) των παρατηρήσεων είναι µεγαλύτερες ή ισες του 22. Στο 40% των παρατηρήσεων αντιστοιχουν 800 παρατηρήσεις ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 87 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

http://mathhmagic.blogspot.com/

Στο 100% των παρατηρήσεων αντιστοιχούν ν παρατηρήσεις

40ν = 800 ⋅100 ⇔ ... ⇔ ν = 2000 ● 57.Α) Είναι:

5 P( A ∪ B) + P ( A ∩ B ) + P ( B − A) + P( B − A) 5 ⇔ = ⇔ 16 4 16 5 P ( A ∪ B) + P( A ∩ B) + P( B − A) + P( B − A) = ⇔ 4 x=

P ( A) + P( B) − P ( A ∩ B) + P( A ∩ B) − P( A ∩ B) + P( B) − P( A ∩ B) = 2( P( A) + P( B) − P( A ∩ B)) =

5 ⇔ 4

5 5 5 ⇔ 2 P( A ∪ B) = ⇔ P( A ∪ B) = 4 4 8

Β) Από υπόθεση :

P( B) P( A) < P( A ∩ B) < ⇔ P( B) < 2 P( A ∩ B) < P( A) ⇔ 2 2 P ( B) − P( A ∩ B) < 2 P( A ∩ B) − P( A ∩ B) < P( A) − P( A ∩ B) ⇔ P ( B − A) < P ( A ∩ B ) < P ( A − B) (1) Όµως διότι A − B ⊆ A ∪ B ⇒ P ( A − B ) ≤ P ( A ∪ B ) (2) Από (1) ,(2): P ( B − A) < P ( A ∩ B ) < P ( A − B ) ≤ P ( A ∪ B)

1 P( A ∩ B) + P( A − B) 1 1 1 ⇔ = ⇔ P( A ∩ B ) + P ( A − B ) = ⇔ P ( A ∩ B ) + P ( A) − P ( A ∩ B ) = ⇔ 4 2 4 2 2 1 1 P ( A ∩ B ) + P ( A) − P ( A ∩ B ) = ⇔ P ( A) = 2 2

δ=

Από τον προσθετικό νόµο

P ( A ∪ B) = P( A) + P( B ) − P( A ∩ B) ⇔ P( B) = P( A ∪ B ) − P( A) + P( A ∩ B) ⇔ 5 1 1 1 P( B) = − + ⇔ P( B) = 8 2 8 4 Γ) P (( A − B ) ∪ ( B − A)) = P ( A − B ) + P ( B − A) = P( A) − P( A ∩ B) + P( B) − P( A ∩ B) =

P ( A) + P( B) − 2 P ( A ∩ B) =

1 1 1 1 + − 2⋅ = 2 4 8 2

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 88 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Δ) x1 = P ( A ∪ B ) = 4

∑x

i

1

http://mathhmagic.blogspot.com/

5 1 1 1 , x2 = P( A) = , x3 = P( B) = , x4 = P( A ∩ B) = , 8 2 4 8

5 1 1 1 3 = + + + = 8 2 4 8 2 2

2

2

2

2

23 5  1  1 1 ∑1 xi =  8  +  2  +  4  +  8  = 32 4

2   4    2  ∑ xi   1 4 5 2 s = ∑ xi −  1   =   4 1 4 128      

● 58.Θεωρούµε τα ενδεχόµενα Α:{ να ψήφισε το κόµµα Α} Β:{ να ψήφισε το κόµµα Β} Γ:{ να ψήφισε το κόµµα Γ} Δ:{ να ψήφισε το κόµµα Δ} Τα ενδεχόµενα Α,Β,Γ,Δ είναι ανά δυο ξένα µεταξύ τους .Από την εκφώνηση έχουµε: • N ( A) =

150 3 N ( B) = N ( B) 100 2

• N (Γ ) =

10 1 N (Γ ) 1 N (Ω) = N (Ω) οπότε P (Γ) = = 100 10 Ν (Ω) 10

• N (∆) =

200 N (Β) = 2 N (Β) όµως 100

N ( Α ) + Ν ( Β) + Ν ( Γ ) + Ν ( ∆ ) = Ν (Ω ) ή

3 1 Ν ( B ) + N ( B ) + Ν ( Ω ) + 2 Ν ( B ) = Ν (Ω ) ή 2 10

9 9 2 Ν ( B) 2 Ν ( B ) = Ν (Ω ) ⇔ Ν ( B ) = Ν (Ω ) ⇔ = ⇔ 2 10 10 Ν (Ω) 10 2 P( B) = 10 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 89 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

http://mathhmagic.blogspot.com/

3 N ( A) 3 N (Β) 3 2 3 N ( B) ⇔ = ⇔ P ( Α) = = 2 2 10 10 N (Ω) 2 N (Ω)

N ( A) =

Ι) Η πιθανότητα να ψήφισε το κόµµα Α ή το κόµµα Γ είναι P ( A ∪ Γ) = P ( A) + P (Γ) =

ii) P (Γ) =

3 1 4 + = 10 10 10

1 10

iii)Η πιθανότητα να ψήφισε το κόµµα Γ ή να µην ψήφισε το κόµµα Β είναι :

P (Γ ∪ Β ') = P(Γ) + P(Β ') − P(Γ ∩ Β ') = P(Γ) + 1 − P (Β) − P(Γ − Β) = P (Γ) + 1 − P (Β) − ( P (Γ) − P(Γ ∩ Β)) = 2 8 = P ( Γ ) + 1 − P ( Β ) − P (Γ ) + 0 = 1 − P ( Β ) = 1 − = 10 10 ●

59.i)Θέτουµε 4 P (0) = P (1) = 2 P (2) = 4 P (3) = κ οπότε προκύπτει:

P (0) =

κ 4

, P(1) = κ , P (2) =

κ 2

, P(3) =

P (0) + P(1) + P(2) + P (3) = 1 ⇔

κ 4

κ 4

+κ +

και

κ 2

+

κ 4

= 1 ⇔ ... ⇔ κ =

1 2

1 1 1 1 P (0) = , P(1) = , P(2) = , P(3) = 8 2 4 8 ii)Είναι f ( x) =

3 2 x − (λ 2 − 3λ + 5) x + 666 , x ∈ \ 2

f '( x) = 3 x − (λ 2 − 3λ + 5) . Η f είναι παραγωγίσιµη στο \ και παρουσιάζει ελάχιστο στο x = 1 θα έχουµε:

f '( x) = 0 ⇔ .. ⇔ x =

f '( x) < 0 ⇔ x <

λ 2 − 3λ + 5 3

λ 2 − 3λ + 5 3

λ 2 − 3λ + 5 3

και f '( x) > 0 ⇔ x >

λ 2 − 3λ + 5 3

.Άρα η f έχει ελάχιστο , οπότε

= 1 ⇔ ... ⇔ λ = 1 ή λ = 2

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 90 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Άρα είναι Α = {1, 2} , οπότε P ( Α) = P (1) + P (2) =

http://mathhmagic.blogspot.com/

1 1 3 + = 2 4 4

iii) Έχουµε τις παρατηρήσεις 1,1, 6, λ 2 ,3,3, 2, 6 − 3λ .Η µέση τιµή των παρατηρήσεων ισούται µε:

1 + 1 + 6 + λ 2 + 3 + 3 + 2 + 6 − 3λ λ 2 − 3λ + 22 x= = > 2.5 8 8

λ 2 − 3λ + 22 > 20 ⇔ λ 2 − 3λ + 2 > 0 ⇔ .. ⇔ λ > 2 ή λ < 1 οπότε λ = 3 ή λ = 0 δηλ Β = {0,3} . iv) Έχουµε Α = {1, 2} , Β = {0,3} , Ω = {0,1, 2,3} , ισχύει: Α ∩ Β = ∅ , Α ∪ Β = Ω , Β − Α = Β , Α − Β = Α , Α ' = Β , Β ' = Α ,

P ( Α ∩ Β) = 0 , P ( Α ∪ Β) = 1 , P ( Α − Β) = P( Α) = P(1) + P(2) =

3 4

1 1 1 P ( B − A) = P( B ) = P(0) + P(3) = + = 8 8 4 P ( A '− B) = P ( B − B) = P(∅) = 0 P ( A '∩ B ') = P( B ∩ A) = P(∅) = 0 P ( A '− B ') = P ( B − A) = P( B ) =

1 4

60.Α) Έχουµε: ν ν P( Α) = 1 ⇔ ν 1 = P( Α)ν (1) P( B) = 2 ⇔ ν 2 = P(Β)ν ν ν (1) +(2): ν 1 + ν 2 = ( P( Α) + P( B))ν ⇔ ν = ( P( Α) + P( B))ν ⇔ Α∩ B =∅

(2)

Α∩ B =∅

P ( Α ) + P ( B ) = 1 ⇔ P ( Α ∪ B ) = P (Ω ) ⇔ Α ∪ B = Ω ⇔ Α = B '

Β) Είναι x =

v1 ⋅ 0 + v2 ⋅1 P( B)ν = = P(Β) και έχουµε το ζητούµενο. v v

Γ) Για τη διακύµανση έχουµε: s2 =

1

ν

∑ν ( x − x ) ν i =1

1

i

(ν (0 − P( B)) ν 1

i

2

2

=

ν

1

∑ν ( P( B) − x ) ν i =1

i

+ ν 2 P ( Α) 2 ) =

P ( Α ) P ( B ) ( P ( Α) + P ( B ) )

2

i

1

(ν P( B) ν 1

P ( Α ) + P ( B ) =1

=

2

=

1

ν

(ν (0 − P( B)) 1

+ ν 2 P ( Α) 2 ) =

1

ν

2

+ ν 2 (1 − P( B)) 2 ) =

(ν P(Α) P( B)

2

Παρατήρηση Αν Α,Β είναι δυο ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω- πεπερασµένου πλήθους - µε ισοπίθανα απλά ενδεχόµενα .Τότε ισχύει: 1)Αν A ⊆ B , A ≠ B τότε P( A) < P( B) 2) Αν P( A) = 1 τότε A = Ω 3) Αν P( A) = 0 τότε A = ∅ ∆εν ισχύουν εν γένει τα παραπάνω αν τα απλά ενδεχόµενα δεν είναι ισοπίθανα.

+ ν P ( B ) P ( Α) 2 ) = ( P ( Α) P ( B) 2 + P ( B ) P ( Α) 2 ) =

P ( Α) P ( B )

το οποίο αποδεικνύει το ζητούµενο. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 91 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Δ) Είναι P( Α) + P( B) = 1 και

http://mathhmagic.blogspot.com/

s 2 = P( Α) P ( B) = P( Α)(1 − P ( Α)) = P( Α) − P ( Α) 2

Η διακύµανση γίνεται µέγιστη όταν η συνάρτηση f ( x) = x − x 2 , 0 ≤ x ≤ 1 γίνεται µέγιστη, και αυτό συµβαίνει στο x0 =

1 1 . Άρα η τιµή του P( A) = 2 2

●

(

)

61.Α) f '( x) = eλ x − λ e x ' = λ eλ x − λ e x = λ (eλ x − e x )

f ''( x) = ( λ (eλ x − e x ) ) ' = λ 2eλ x − λ e x Β) Έχουµε:

Β µελος : (λ + 1) f '( x) − λ f ( x) = (λ + 1)λ (eλ x − e x ) − λ ( eλ x − λ e x ) = ( λ 2 + λ ) e λ x − (λ 2 + λ ) e x − λ e λ x + λ 2 e x = (λ 2 + λ − λ )eλ x − (λ 2 + λ − λ 2 )e x = λ 2 eλ x − λ e x = f ''( x) Γ) f (0) = 1 − λ ,άρα Α ( 0,1 − λ ) . Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης της καµπύλης της f στο σηµείο της Α ισούται µε λ = f '(0) = λ (e0 − e0 ) = 0 . Αν y = λ x + β η εξίσωση της ζητούµενης εφαπτοµένης για λ = 0 γίνεται y=β και επειδή αυτή διέρχεται από το σηµείο Α ( 0,1 − λ ) είναι

β = 1 − λ , οπότε η εξίσωση της ζητούµενης εφαπτοµένης είναι y = 1 − λ , λ > 1 . λ >1

Δ) Είναι f '( x) = 0 ⇔ λ (eλ x − e x ) = 0 ⇔ eλ x = e x ⇔ λ x = x ⇔ (λ − 1) x = 0 ⇔ x = 0 Για x < 0 και λ > 1 ισχύει λ x < x ⇒ eλ x < e x ⇒ eλ x − e x < 0 ⇒ f '( x) < 0 Για x > 0 και λ > 1 ισχύει λ x > x ⇒ eλ x > e x ⇒ eλ x − e x > 0 ⇒ f '( x) > 0 Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα ( −∞, 0] και γνησίως αύξουσα στο διάστηµα

[0, +∞ ) .Η συνάρτηση f παρουσιάζει

για x = 0 ελάχιστο ισο µε f (0) = 1 − λ

Ε) Επειδή η f έχει ελάχιστο ίσο µε 1 − λ ισχύει f ( x) ≥ 1 − λ για κάθε x ∈ \ , οπότε

eλ x − λ e x ≥ 1 − λ ⇔ eλ x + λ ≥ λ e x + 1 για κάθε x ∈ \ . ●

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 92 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

http://mathhmagic.blogspot.com/

62.Α) Είναι πολύγωνο σχ. συχνοτήτων επί τοις εκατό. Αφού ΔE// x’x θα είναι f3 %= f4 % ,έτσι: f1 %+ f2 % + f3 %+ f4 % + f5 %=100 ή 40+2f3 %=100 ή f3 %=30% . Οπότε yΔ = yΕ=30 fi% Β) Πολύγωνο σχ. συχνοτήτων

Γ) Μια προσέγγιση είναι, να θεωρήσουµε ότι οι κλάσεις έχουν την µορφή

[ a, a + c ) ,..., [ a + 4c, a + 5c )

και θα ισχύει:

α + α + c = 10  c = 2 2 ⇔ ... ⇔   α = 9 α + 4c + α + 5c = 18  2

Z

H

Οπότε ο πίνακας κατανοµής σχ. Συχνοτήτων( fi, fi %Fi, Fi%) είναι ο παρακάτω: Πωλήσεις σε χιλιάδες ευρώ

[

−

xi

fi

Fi

10 12 14 16 18

0.1 0.2 0.3 0.3 0.1 1

0.1 0.3 0.6 0.9 1

fi %

Fi %

)

9-11 11-13 13-15 15-17 17-19 Σύνολο

10 20 30 30 10 100

10 30 60 90 100

Δ) x = x1 f1 + x2 f 2 + x3 f3 + x4 f 4 + x5 f 5 = .. = 14.2 Για την διάµεσο κατασκευάζουµε το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων επί τοις εκατό και χρησιµοποιούµε όµοια τρίγωνα.

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 93 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

http://mathhmagic.blogspot.com/

100

Fi 90

60 50

30 20 10

9

11

13

15

17

19

δ

15 − 13 60 − 30 = ⇔ ... ⇔ δ ≈ 12.3 δ − 13 50 − 30 Ε) Το ποσοστό των πωλητών µε τουλάχιστον 15000 ευρώ είναι: f 4 % + f 5 % = 30% + 10% = 40% ΣΤ) Αφού το εµβαδό του χωρίου µεταξύ του πολυγώνου συχνοτήτων και του οριζόντιου άξονα είναι 80 , τότε µε µονάδα το c ,το πλήθος των πωλητών είναι ν=80. Έτσι ο ζητούµενος αριθµός πωλητών είναι: 80(40/100)+32. ● 63. 1. Γ 2. Γ 3. Γ 4.Γ 5. Γ

6. ●

Β) 1.Ζ 2.Ε 3.Β 4.Α 5.Δ 6.Γ

7.ΣΤ ●

64.A) Α ∈ C f ⇒ f (0) = 0 ⇔ a ⋅ 02014 + β = 0 ⇔ β = 0

Β ∈ C f ⇒ f (1) = 1 ⇔ a ⋅ 12014 + β = 1 ⇔ a = 1

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 94 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

http://mathhmagic.blogspot.com/

Β) i) f ( x) = x 2014 , f '( x) = 2014 x 2013 .Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης της C f στο

(3 + h) 2014 − 32014 έτσι h →0 h

σηµείο Α(3,f(3)) είναι f '(3) = 2014 ⋅ 32013 . Όµως από f '(3) = lim

(3 + h) 2014 − 32014 = 2014 ⋅ 32013 . h →0 h

lim

ii)Το ζητούµενο όριο θα είναι:

 (3 + h) 2014 − 32014  (3 + h) 2014 − 32014 1 1 = lim  = 32013  = 2014 0 h→0 h → h(h + 2014) h h + 2014  2014 

lim

iii)Αν ε η ζητούµενη εφαπτοµένη λε ο συντελεστής διεύθυνσης της και Γ( x0 , f ( x0 )) το σηµείο επαφής της ε µε την C f µε ε//η τότε θα ισχύει

λε = f '( x0 ) = 2014 ⇔ 2014 x0 2013 = 2014 ⇔ x0 2013 = 1 ⇔ x0 = 1 .Άρα Γ(1, f (1)) ή Γ(1,1) Η εξίσωση της εφαπτοµένης είναι:

y = λε x + β ⇔ .... ⇔ y = 2014 x − 2013 iv)Αν ζ: y = λ x + β η ζητούµενη εφαπτοµένη τότε −2013 = λ ⋅ 0 + β ⇔ −2013 = β Οπότε η ζητούµενη εφαπτόµενη έχει την µορφή y = λ x − 2013 Αν ∆( x0 , f ( x0 ) το σηµείο επαφής τότε: ∆∈ζ

y = f '( x0 ) x − 2013 ⇒ f ( x0 ) = f '( x0 ) x0 − 2013 ⇔ x0 2014 = 2014 x0 2013 x0 − 2013 ⇔ x0 2014 = 2014 x0 2014 − 2013 ⇔ 2013 = 2013 x0 2014 ⇔ x0 2014 = 1 ⇔ x0 = ±1

Οπότε έχουµε δυο σηµεία επαφής (1, f (1)) και (−1, f (−1)) ,κατά συνέπεια και δύο εφαπτόµενες. ● 65.A)Έστω ότι η πρώτη κλάση είναι [κ , κ + c ) τότε η τέταρτη κλάση είναι [κ + 3c, κ + 4c ) άρα το εύρος είναι R = (κ + 4c) − κ = 4c και 4c = 16 ⇔ c = 4 .Έχουµε επίσης f1 % + f 2 % + f 3 % + f 4 % = 100 ⇔

a 3α +a+ + 2a = 100 ⇔ ... ⇔ a = 20 2 2

Β)Η τρίτη κλάση είναι [κ + 2c, κ + 3c ) και το κέντρο της είναι 10 άρα

κ + 2c + κ + 3c 2

c=4

= 10 ⇔

2κ + 20 = 10 ⇔ .... ⇔ κ = 0 2

Έτσι οι κλάσεις είναι [ 0, 4 ) , [ 4,8 ) , [8,12 ) , [12,16 ) και ο ζητούµενος πίνακας γίνεται ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 95 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

http://mathhmagic.blogspot.com/

Κέντρα κλάσεων

fi

fi%

Fi

Fi%

xi fi

xi 2 f i

[0 − 4 )

2

0.1

10

0.1

10

0.2

0.4

[ 4 − 8)

6

0.2

20

0.3

30

1.2

7.2

[8 − 12 )

10

0.3

30

0.6

60

3

30

[12 − 16 )

14

0.4

40

1

1 00

5.6

78.4

Σύνολο

-

1

10

-

-

10

116

Χρόνια υπηρεσίας

4

Γ.Για την µέση τιµή : x = ∑ xi f i = 10 .Επίσης είναι: i =1

2 2   4    4  x ν x ν  4  ∑ i i  ∑ i i  4 4 1   = ν i x 2 −  i =1  = f x2 − x sx 2 =  ∑ xi 2ν i −  i =1 ∑ i i i  ∑ ν i =1 ν ν ν2 i =1   i =1    

()

2

= = 116 − 100 = 16

Άρα sx = 4 .Είναι x − sx = 10 − 4 = 6 , x + sx = 10 + 4 = 14 Έτσι το ζητούµενο ποσοστό είναι:

f2 % f %  20 40  + f 3 % + 4 =  + 30 +  % = 60% 2 2 2   2 Δ) Αφού αποσύρθηκε η κλάση [ 0, 4 ) έχουµε τις κλάσεις [ 4,8 ) , [8,12 ) , [12,16 ) µε αντίστοιχες συχνότητες ν 2 ,ν 3 ,ν 4 .Άρα οι σχετικές συχνότητες είναι:

ν3 ν2 f ν ν2 f f f1 ' = = ν = 2 , f 2 ' = 3 = ν = 3 , f3 ' = 4 ν ν − − ν ν 1 − f1 1 − f1 1 − f1 ν −ν 1 ν −ν 1 1 1 ν ν Η νέα µέση τιµή :

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 96 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 3

x ' = ∑ xi f i ' = x2 f1 '+ x3 f 2 '+ x4 f 3 ' = x2 i =1

=

http://mathhmagic.blogspot.com/

f f2 f + x3 3 + x4 4 = 1 − f1 1 − f1 1 − f1

x2 f 2 + x3 f 3 + x4 f 4 1.2 + 3 + 5.6 = = 12.25 1 − f1 1 − 0.2 ●

9 1  1 3 9 2 1  x + x − x + 2014  ' = − x 2 + x− 40 20 20 20  2 

66. f '( x) =  −

1 1 f '( x) = 0 ⇔ ... ⇔ x1 = , x2 = .Ο πίνακας µεταβολών είναι: 4 5 1 1 x −∞ +∞ 5 4 f '(x)

−

f (x)

2

+

/

−

2

Οπότε η διάµεσος των παρατηρήσεων P ( A), P ( B), P ( A ∩ B ), P ( A ∪ B) είναι δ=

1 ενώ η µέση τιµή 4

των παρατηρήσεων P ( A), P ( B), P ( A ∩ B ), P ( B − A), P( A − B ), P( A ∪ B) είναι x =

1 .

5

Είναι P ( A ∩ B ) ≤ P ( A) ≤ P ( B ) ≤ P ( A ∪ B ) ή

P ( A ∩ B ) ≤ P ( B ) ≤ P ( A) ≤ P ( A ∪ B ) σε κάθε περίπτωση όµως δ =

P( B) + P ( A) . Άρα 2

P( B) + P ( A) 1 1 = ⇔ P( B) + P ( A) = (1) 2 4 2

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 97 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

http://mathhmagic.blogspot.com/

P( A) + P( B) + P( A ∩ B ) + P ( B − A) + P( A − B) + P( A ∪ B) ⇔ 5 P( A) + P( B) + P( A ∩ B) + P( B − A) + P ( A − B) + P ( A) + P( B) + P( A ∩ B) 1 = ⇔ 6 5 1 3 − 2 P( A ∩ B) 3P( A) + 3P( B) − 2 P( A ∩ B) 1 (1) 2 1 = ⇔ = ⇔ 6 5 6 5 3 − 4 P( A ∩ B) 1 3 − 4 P( A ∩ B) 1 2 = ⇔ = ⇔ 15 − 20 P( A ∩ B ) = 12 ⇔ 6 5 12 5 3 −20 P( A ∩ B) = −3 ⇔ P( A ∩ B) = 20 x=

Όµως: P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B) − P( A ∩ B) =

1 3 7 − = 2 20 20 ●

(

)

67)A) f '( x) = 2 x 2 − 2 x + 1 ' = 4 x − 2 ,

f '( x) = 0 ⇒ 4 x − 2 = 0 ⇔ x =

1 2

f '( x) < 0 για x <

1 άρα f 2 στο διάστηµα 2

1   −∞,  2 

f '( x) > 0 για x >

1 άρα f / στο διάστηµα 2

1   2 , +∞ 

Η f παρουσιάζει ελάχιστο για x =

1 1 1 το f ( ) = .. = 2 2 2

Β) i)Έχουµε : 4

x=

∑t i =1

4

i

=

P( A) + P ( A ') + P(∅) + P(Ω) 1 + 0 + 1 1 = = 4 4 2

Διατάσσουµε τις παρατηρήσεις σε αύξουσα σειρά και λαµβάνουµε :

P (∅) = 0, P( A), P( A '), P (Ω) = 1 ( A ≠ ∅ άρα P( A) ≠ 0 και P( A ') ≠ 1 οπότε 0 < P( A) ≤ 1 ) P (∅) < P( A) ≤ P( A ') ≤ P(Ω) ή 0 < P( A) ≤ P( A ') ≤ 1 .

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 98 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

δ=

http://mathhmagic.blogspot.com/

P( A) + P( A ') 1 = 2 2

ii)

(

)

2 1 4 1 1 1 1 1 ti − x = [( P( A) − ) 2 + ( P( A ') − ) 2 + ( P(Ω) − ) 2 + ( P(∅) − ) 2 ] = ∑ 4 i =1 4 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 [( P( A) − ) 2 + (1 − P( A) − ) 2 + ( ) 2 + (− ) 2 ] = [( P ( A) − ) 2 + ( − P( A)) 2 + + ] = 4 2 2 2 2 4 2 2 4 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 [2( P( A) − ) 2 + ] = [2( P 2 ( A) − P( A) + ) + ] = [2 P 2 ( A) − 2 P( A) + + ] = 4 2 2 4 4 2 4 2 2 1 [2 P 2 ( A) − 2 P( A) + 1] 4

s2 =

1 1 ( f ( P ( A)) από το ερώτηµα (Α) έχουµε ότι f ( x) ≥ για κάθε x ∈ \ αφού η 4 2 1 ελάχιστη τιµή της f είναι , άρα: 2

iii)Είναι s 2 =

f ( P ( A)) ≥ P ( A) =

1 1 1 1 1 1 ⇔ f ( P ( A)) ≥ ⇔ s 2 ≥ ⇔ s ≥ ⇔s≥ και η ισότητα ισχύει όταν 2 4 8 8 8 2 2

1 .Άρα 2 1

CV =

s x

=

2 1 1 2 s 2 2 .Οπότε CV ≥ και η ισότητα ισχύει όταν P ( A) = , άρα ≥ = = 1 1 2 2 2 2 2 2

P ( A ') = 1 − P( A) =

1 δηλαδή όταν P ( A ') = P ( A) 2 ●

68.A)Έχουµε: 2   ν    ν 2  ν   ∑ xi    xi  ∑ xi 1  ν 2  i =1    ∑ 2 i =1  i =1 s =  ∑ xi −  = ν − ν ν i =1 ν           

     

2

 ν 2  ∑ xi 2  = i =1 − x ⇔ s2 =  ν  

ν

∑x i =1

ν

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

i

2

−x

2

Οι λύσεις σελ 39

- 99 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 30

s = 2

∑x i =1

http://mathhmagic.blogspot.com/

2

i

30

2

− x ⇔ s2 =

2 2 2 3030 s 2 1 x >0 s 1 1 s2 − x ⇔ s 2 = 101s 2 − x ⇔ x = 100 s 2 ⇔ 2 = ⇔ = ⇔ CV = 30 10 x 10 x 100

Άρα το δείγµα είναι οµοιογενές . Β.i) Από το ερώτηµα (Α)

40 40 1 3 CVx 3 − 2 P ( A ∪ B) x 2 + P( A ∪ B) x + 2 ⇒ f ( x) = x − 2 P( A ∪ B) x 2 + P( A ∪ B) x + 2 ⇔ 3 3 10 4 f ( x) = x3 − 2 P( A ∪ B) x 2 + P( A ∪ B) x + 2 3 f ( x) =

4  f '( x) =  x 3 − 2 P( A ∪ B) x 2 + P ( A ∪ B) x + 2  ' = 4 x 2 − 4 P( A ∪ B ) x + P( A ∪ B) 3  f '( x) = 0 ⇒ 4 x 2 − 4 P( A ∪ B) x + P( A ∪ B) = 0 Η διακρίνουσα του τριωνύµου είναι:

∆ = 16 P 2 ( A ∪ B) − 16 P( A ∪ B) = 16 P( A ∪ B)( P( A ∪ B) − 1) Όµως

 A, B ≠ ∅  P( A) ≠ 0, P ( B) ≠ 0 ⇒ ⇒ 0 < P( A ∪ B) < 1  B ≠ A ' B ≠ A ' Άρα ∆ < 0 για κάθε x ∈ \ οπότε f '( x) > 0 για κάθε x ∈ \ άρα f / στο x ∈ \ οπότε δεν έχει ακρότατα. ii) y − f (0) = f '(0)( x − 0) ⇒ y − 2 = P( A ∪ B) x ⇔ y = P( A ∪ B ) x + 2 iii)Τα σηµεία τοµής τις εφαπτοµένης µε τους άξονες της υπολογίζονται Για τον x’x : y = 0 ⇔ P ( A ∪ B ) x + 2 = 0 ⇔ x = −

2 2 , 0) άρα A(− P( A ∪ B) P( A ∪ B)

Για τον y’y : x = 0 ⇔ y = 2 άρα A(0, 2) Άρα το εµβαδό του τριγώνου είναι: E =

Όµως από υπόθεση E = 4 ⇔

1 2 2 2 − = τ.µ 2 P( A ∪ B) P( A ∪ B)

2 1 = 4 ⇔ P( A ∪ B) = P( A ∪ B) 2

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 100 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

http://mathhmagic.blogspot.com/

3 2  x − ax + 666  ' = 3 x − a 2 

iv) g '( x) = 

αλλά g '(1) = lim h →0

άρα g ( x) =

g (1 + h) − g (1) = 2 ⇔ 3 ⋅1 − a = 2 ⇔ a = 1 h

3 2 x − x + 666 .

2

v) g '( x) = 0 ⇔ 3 x − 1 = 0 ⇔ x =

1 3

g '( x) > 0 ⇔ 3 x − 1 > 0 ⇔ x >

1 1  αρα g / , x ∈  , +∞  3 3 

g '( x) < 0 ⇔ 3 x − 1 < 0 ⇔ x <

1 1  αρα g 2 , x ∈  −∞,  3 3 

η g παρουσιάζει ελάχιστο στην θέση x =

1 1 ,από υπόθεση όµως P ( A − B ) = 3 3

Από τον προσθετικό νόµο των πιθανοτήτων έχουµε:

P ( A ∪ B) = P( A) + P( B) − P( A ∩ B) ⇔ P( A ∪ B) = P ( B) + P( A − B) ⇔ 1 1 1 P( B) = P( A ∪ B) − P( A − B) ⇔ P( B) = − = 2 3 6

69 Α1,

x=

δ=

λ + 60 − 2λ + 60 + 200 100

=

320 − λ λ = 3.2 − 100 100

3+ 4 = 3.5 , λ ∈ ` αρα δ > x 2

δ − x = 0.46 ⇔ 3.5 − 3.2 +

λ 100

= 0.46 ⇔ 0.3 +

λ 100

xi

Ni

νi

xiν i

1

λ

λ

λ

2

30

30-λ

60-2λ

3

50

20

60

4

100

50

200

= 0.46 ⇔ 30 + λ = 46 ⇔ λ = 16

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 101 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Α2.Οποτε x = 3.2 −

http://mathhmagic.blogspot.com/

16 = 3.2 − 0.16 = 3.04 100

Β1. Για κάθε x ∈ \ είναι:

(

)

2

(

2

)

2

f '( x) = eα x − α x + 1 ' = α 2 eα x − α και f ''( x) = α 2 eα x − α ' = α 4 eα B2.Ειναι f '(0) = α 2 eα

2

⋅0

2

x

− α = α 2 − α .Θεωρουµε την συναρτηση

g (α ) = α 2 − α και g '(α ) = 2α − 1 g '(α ) = 0 ⇔ 2α − 1 = 0 ⇔ α =

1 2

α

g '(α ) > 0 ⇔ 2α − 1 > 0 ⇔ α >

1 2

g '(α )

−

g (α )

2

g '(α ) < 0 ⇔ 2α − 1 < 0 ⇔ α <

(

+∞

+

/

1 2

Εποµενως το f '(0) γινεται ελαχιστο για α = Β3) Ω = {α ∈ ] / α ≤

1 2

−∞

1 2

)

3 3 3 δ − x + 3.31} = {α ∈ ] / α ≤ 0.46 + 3.31} = {α ∈ ] / α ≤ 0.46 + 3.31} 2 2 2

= {α ∈ ] / α ≤ 4} = {α ∈ ] / −4 ≤ α ≤ 4} = {−4, −3, −2, −1, 0,1, 2,3, 4}

f '(0) > f (0) ⇔ α 2 − α > 2 ⇔ α 2 − α − 2 > 0 ⇔ α < −1 ή α > 2 και α ∈ Ω Α = {−4, −3, −2,3, 4} Επιπλεον

f ''(0) < 256 ⇔ α 4 < 256 ⇔ α < 4 256 ⇔ α < 4 ⇔ −4 < α < 4 και α ∈ Ω B = {−3, −2, −1, 0,1, 2,3}

i) P ( A ∩ B ) =

Ν ( A ∩ B) 3 1 = = Ν (Ω ) 9 3

ii) A − B = {−4,3, 4} αρα P ( A − B ) =

iii) B − Α = {−1, 0,1, 2} αρα P (Β − Α) =

Ν ( A − B) 3 1 = = 9 3 Ν (Ω)

N (Β − Α) 4 = N (Ω ) 9

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 102 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

http://mathhmagic.blogspot.com/

iv) ( Α − Β) ∪ (Β − Α) = {−4,1, 0,1, 2,3, 4} ,αρα :

P (( Α − Β) ∪ (Β − Α)) =

Δ)Εχουµε: x =

N (( Α − Β) ∪ (Β − Α)) 7 = N (Ω ) 9

5α − 6α + 3α + 10α 12α = = 3α .Ειναι: 4 4

x −1 3α − 1 1 >1⇔ > 1 ⇔ .... ⇔ α < − 3α + 1 3 x +1 Αρα Γ = {−4, −3, −2, −1} , οποτε P (Γ) =

N (Γ ) 4 = N (Ω) 9 ●

1 70. Α) f ′(x) = x ⋅ x − ( s + 1) .

4

Αφού η εφαπτοµένη της Cf στο σηµείο της Α(1, f(1)) είναι παράλληλη στην ευθεία y = − x + 2 έχουµε ότι f ′(1) = −1 ⇔

CV =

1 1 x ⋅1 − (s + 1) = −1 ⇔ x = s ⇔ x = 4s (1). Συνεπώς: 4 4

s s s 1 = = = = 25% > 10% , άρα το δείγµα δεν είναι οµοιογενές. x 4s 4s 4

xs 2 2 1 2  1 − 2s 2 − 2s xx − ( s + 1) x  = x ( 2s ) − ( s + 1) 2s = 2 8  8

Β) lim f ( x) = lim  x →2 s x →2 s Οπότε

(1) xs 2 4s ⋅ s 2 2 − 2s − 2s = −2⇔ − 2 s 2 − 2 s = −2 ⇔ 2 s 3 − 2 s 2 − 2 s + 2 = 0 lim f ( x) = −2 ⇔ x →2 s 2 2 2 2 2 ⇔ 2s ( s − 1) − 2 ( s − 1) = 0 ⇔ 2 ( s − 1) ( s − 1) = 0 ⇔ 2 ( s − 1) ( s + 1) = 0 ⇔ s = 1 ή s = −1 κι αφού s ≥ 0

είναι s = 1 και από (1) x = 4 . Γ) f ( x) =

1 2 x − 2 x , οπότε 2

ν ν ν 1  1 ν f ( x1 ) + f ( x2 ) + ... + f ( xν ) = ∑ f ( xi ) = ∑  xi2 − 2 xi  = ∑ xi2 − 2∑ xi (2)  2 i =1 i =1 i =1  2 i =1

ν

Είναι: x =

∑x i =1

ν

i

ν

ν

i =1

i =1

⇔ ∑ x i = νx ⇔ ∑ x i = 4ν (3) και

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 103 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2   ν    ∑ xi  2 1  ν 2  i =1   2 s = ∑ xi − ⇔s = ν  i =1 ν      ν

 ν x ∑  ∑ xi i =1 −  i =1 ν  ν   ν

2 i

ν

http://mathhmagic.blogspot.com/

2

   ⇔ s2 =   

ν

∑x

2 i

i =1

ν

−(x)

2

⇔ νs 2 = ∑ x i2 − ν ( x ) ⇔ ∑ x i2 =νs 2 + ν ( x ) , 2

i =1

ν

άρα

∑x i =1

2

i =1

=ν ⋅12 + ν ( 4 ) = 17ν (4).

2

2 i

1 2

Από (2), (3) και (4) προκύπτει ότι f ( x1 ) + f ( x2 ) + ... + f ( xν ) = 17ν − 2 ⋅ 4ν =

1 ν.

2

Δ) Εύρος R 6 ⋅ s = 6 . Το διάστηµα ( 2,5 ) αντιστοιχεί στο διάστηµα ( x − 2s, x + s ) όπου στην κανονική κατανοµή έχουµε

 

ότι αντιστοιχεί το  68 +

95 − 68   % = 81,5% των παρατηρήσεων.

2 

71.Α) Στο δεύτερο τετράµηνο όλοι οι µαθητές του Γ1 αύξησαν τη βαθµολογία τους στο µάθηµα κατά 1 µονάδα, οπότε η νέα µέση τιµή θα είναι y = x + 1 = 12 + 1 = 13 και η τυπική απόκλιση

sy = s = 2 . Στο δεύτερο τετράµηνο όλοι οι µαθητές του Γ2 αύξησαν τη βαθµολογία τους στο µάθηµα κατά

10 x i = 1,1 ⋅ x i ,για i = 1, 2,..., ν . Συνεπώς οι νέες τιµές θα 100 είναι t = 1,1⋅ x = 1,1⋅12 = 13, 2 η µέση τιµή και s t = 1,1 s = 1,1⋅ 2 = 2, 2 η τυπική απόκλιση.

10% , άρα οι νέες τιµές θα είναι t i = x i +

Β) Κατά το δεύτερο τετράµηνο έχουµε ότι - για το Γ1 ο συντελεστής µεταβολής είναι CVy = - για το Γ2 ο συντελεστής µεταβολής είναι CVt = συνεπώς αφού

sy y

=

2 13

st 2, 2 2 = = t 13, 2 12

2 2 < ⇔ CVy < CVt , άρα η βαθµολογία του Γ1 στο µάθηµα παρουσιάζει 13 12

µεγαλύτερη οµοιογένεια κατά το δεύτερο τετράµηνο. Γ) Έχουµε ότι y = 13 , s y = 2 και 2   ν    ∑ yi  2 1  ν 2  i =1   2 s y = ∑ yi −  ⇔ sy = ν  i =1 ν     

(s

2 y

)

ν

∑y i =1

2 i

= 4325 . Ξέρουµε ότι:

 ν y ∑  ∑ yi i =1 −  i =1 ν  ν   ν

2 i

2

   ⇔ s y2 =   

ν

∑y i =1

ν

2 i

−(y)

2

ν

+ ( y ) ⋅ ν = ∑ yi2 ⇔ ( 22 + 132 ) ⋅ ν = 4325 ⇔ 173 ⋅ ν = 4325 ⇔ ν = 25 .

2

i =1

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 104 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

http://mathhmagic.blogspot.com/

Δ) Επειδή οι βαθµολογίες των µαθητών του Γ1 ακολουθούν κανονική περίπου κατανοµή κατά το πρώτο τετράµηνο µε µέση τιµή x = 12 και τυπική απόκλιση s = 2 , βαθµό τουλάχιστον

14 = x + s έχει το

100 − 68 16 ⋅ 25 = 4 µαθητές. % = 16% των µαθητών, δηλαδή 2 100 25

Ε) Είναι y = 13 ⇔

∑y i =1

i

25

25

= 13 ⇔ ∑ yi = 325 . Επειδή ο βαθµός ενός µαθητή από 15 είχε περαστεί i =1

ως 11, η κανονική µέση τιµή θα είναι: 25

y1 =

∑y i =1

i

− 11 + 15 =

25

325 + 4 329 = = 13,16 .

25 25 ν

Έχουµε επίσης ότι

∑y i =1

2 i

= 4325 , άρα το σωστό άθροισµα των τετραγώνων των βαθµών είναι

4325 − 112 + 152 = 4429 , οπότε η σωστή διακύµανση θα είναι : s 2y1 =

1  3292  4429 −   = 3,9744 .

25  25 

72. Α. Είναι f ′ ( x ) = 2αx − 2α .

(

)

Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης (ε) της C f στο σηµείο της Μ 0, f ( 0 ) είναι

λ = f ′(0) = −2α , οπότε (ε): y = −2αx + β . Το σηµείο Μ ( 0, f ( 0 ) ) ∈ ( ε ) , άρα f (0) = 2α ⋅ 0 + β ⇔ α + 1 = β . Οπότε η ζητούµενη εφαπτοµένη είναι η (ε):

y = −2αx + α + 1, α ∈ ( 0, +∞ ) . Β. 1) Από την εξίσωση της ευθείας (ε) για x = 0 είναι y = α + 1 και για y = 0 είναι x =

α +1 ,α > 0 .

2α

 α +1  , 0  και τον y′y στο σηµείο B ( 0, α + 1) . Το  2α 

Συνεπώς η (ε) τέµνει τον x ′x στο σηµείο A 

εµβαδό που σχηµατίζει η (ε) µε τους άξονες είναι:

Ε=

1 1 α +1 1  α +1 α +1 (ΟΑ) ⋅ (ΟΒ) = ⋅ α +1 =  > 0 και α + 1 > 0 για α > 0 Άρα  ( α + 1) , 2 2 2α 2  2α  2α

( α + 1) Ε(α ) =

2

, µε α ∈ ( 0, +∞ ) .

4α 2) Για κάθε α ∈ ( 0, +∞ ) είναι: Ε′(α) = Ε′(α) = 0 ⇔

2(α + 1) ⋅1⋅ 4α − (α + 1) 2 ⋅ 4

( 4α )

2

8α 2 + 8α − 4α 2 − 8α − 4 4α 2 − 4 α 2 − 1 , άρα = = = 16α 2 16α 2 4α 2

α2 −1 = 0 ⇔ α 2 − 1 = 0 ⇔ α 2 = 1 ⇔ α = 1 ή α = −1(απορ. αφού α > 0) 2 4α

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 105 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

α

E′ ( α ) E (α)

0

http://mathhmagic.blogspot.com/

+∞

1 -

0

+

ελ Συνεπώς το εµβαδό µειώνεται για α ∈ ( 0,1] και αυξάνεται για α ∈ [1, +∞ ) .

3) το εµβαδό παίρνει την ελάχιστή τιµή του για α = 1 και αυτή είναι

(1 + 1) Ε(1) = 4 ⋅1

4) Για κάθε α ∈ ( 0, +∞ ) είναι:

2

=

4 =1 4

2 2  α 2 − 1 ′ 2α ⋅ 4α − ( α − 1) ⋅ 8α 8α3 − 8α 3 + 8α 8α 1 Ε′′(α) =  = = = = 3 > 0 για κάθε 2 2  4 4 2 16α 16α 2α  4α  ( 4α )

α ∈ ( 0, +∞ ) . Συνεπώς η Ε′(x) γνησίως αύξουσα στο ( 0, +∞ ) , οπότε ο ρυθµός µεταβολής του εµβαδού αυξάνετε συνεχώς. Γ. Για τις τετµηµένες x1 , x 2 ,..., x10 των σηµείων της (ε) έχουµε x = 4 και s =

1 . Οι τεταγµένες των 2

αντίστοιχων σηµείων θα είναι yi = −2α ⋅ x i + α + 1, i = 1, 2,...,10 , οπότε θα έχουν µέση τιµή −2 α< 0

y = −2α ⋅ x + α + 1 = −2α ⋅ 4 + α + 1 = −7α + 1 και s y = −2α s = 2α ⋅

α≠

1 = α . Για 2

sy 1 α α 1 είναι: CVy = = = 10% ⇒ = ⇒ 10α = −7α + 1 7 y −7 α + 1 −7α + 1 10

⇔ −7α + 1 = 10α ή − 7α + 1 = −10α ⇔ α =

1 −1 ήα= ( απορ. αφού α > 0 ) 17 3

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 106 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

http://mathhmagic.blogspot.com/

73.A) 0 ≤ P (Γ) ≤ 1 ⇔ −2 ≤ P (Γ ) − 2 ≤ 1 − 2 ⇔ −2 ≤ P (Γ ) − 2 ≤ −1 ⇒ P (Γ ) − 2 = 2 − P (Γ )

0 ≤ P ( Γ ) ≤ 1 ⇔ 1 ≤ P ( Γ ) + 1 ≤ 2 ⇒ P ( Γ ) + 1 = P (Γ ) + 1 P ( Γ ) − 2 − P ( Γ ) + 1 = 2 λ + 9 ⇔ 2 − P ( Γ ) − P ( Γ ) − 1 = 2λ + 9 ⇔ 1 − 2 P (Γ) = 2λ + 9 ⇔ −2 P (Γ) = 2λ + 8 ⇔ − P (Γ ) = λ + 4 ⇔ P (Γ ) = −λ − 4 Όµως 0 ≤ P(Γ) ≤ 1 ⇒ 0 ≤ −λ − 4 ≤ 1 ⇔ 4 ≤ −λ ≤ 5 ⇔ −5 ≤ λ ≤ −4 Άρα η ελάχιστη τιµή του λ είναι -5 και η µέγιστη -4, οπότε α = −4, β = −5 , Β)Η συνάρτηση γίνεται f ( x) =

i)

−(−4)e x (2 x − 5 + 3) ⇒ f ( x) = 2e x (2 x − 3) 2

f '( x) = ( 2e x (2 x − 3) ) ' = 2e x (2 x − 3) + 2e x (2 x − 3) ' =

2e x (2 x − 3) + 2e x 2 = 2e x (2 x − 3) + 4e x = 2e x (2 x − 3 + 2) = 2e x (2 x − 1)

f '( x) = 0 ⇔ 2e x (2 x − 1) = 0 ⇔ 2 x − 1 = 0 ⇔ x =

1 2

f '( x) > 0 ⇔ ... ⇔ x >

1 1  ⇒ f / όταν x ∈  , +∞  2 2 

f '( x) < 0 ⇔ ... ⇔ x <

1 1  ⇒ f 2 όταν x ∈  −∞,  2 2 

Η f παρουσιάζει ελάχιστο όταν x =

ii) x1 =

1 1 το f ( ) = −4 e 2 2

1 1 −4 e 2 = τότε P ( A) = , P ( B ) = − 3 2 2 6 e

iii) Υποθέτουµε ότι Α,Β είναι ασυµβίβαστα οπότε θα ισχύει A ∩ B = ∅ ⇒ P ( A ∩ B ) = 0

P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) ⇔ P ( A ∪ B ) =

1 2 7 + ⇔ P ( A ∪ B) = > 1, άτοπο .Άρα τα Α,Β δεν είναι 2 3 3

ασυµβίβαστα. iv) A '− B ' = A '∩ ( B ' ) ' = A '∩ B = B ∩ A ' = B − A Ισχύει: B − A ⊆ B ⇒ P ( B − A) ≤ P ( B ) ⇔ P( B − A) ≤

2 2 ⇔ P( A '− B ') ≤ 3 3

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 107 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

http://mathhmagic.blogspot.com/

Έχουµε:

1 1 1 ≤ P ( A '− B ') ⇔ ≤ P( B − A) ⇔ ≤ P( B ) − P( B ∩ A) ⇔ 6 6 6 1 2 2 1 1 ≤ − P( B ∩ A) ⇔ P( B ∩ A) ≤ − ⇔ P( B ∩ A) ≤ ⇔ P( B ∩ A) ≤ P( A) που ισχύει άρα ισχύει 6 3 3 6 2 και η αρχική. ●

1 1 74.Α. i) P (ω1 ) = f (ω1 ) − = ... = 3 6 1 2 P (ω2 ) = f (ω2 ) − = ... = 3 3 2 2  x  x + 1 − x(2 x) − x + 1 + 1 ' = = f '( x) =  2 2 2  x +1  ( x2 + 1) ( x2 + 1)

− x2 + 1

( x + 1) = − 1 lim 1 1 f '( x) = − lim P (ω3 ) = − lim 6 x →1 x − 1 6 x →1 x − 1 6 x →1 2

2

−( x − 1)( x + 1)

(x

2

+ 1)

2

x −1

1 −( x + 1) 1 = − lim = 2 6 x →1 ( x 2 + 1) 12

1 2 1 1 P (ω4 ) = 1 − P(ω1 ) − P(ω2 ) − P(ω3 ) = 1 − − − = 6 3 12 12 ii) ω +1> 0 1− ω2 ≤ 0 ⇔ 1 − ω 2 ≤ 0 ⇔ ... ⇔ ω ≥ 1 ή ω ≤ −1 2 2 (ω + 1) 2

• f '(ω ) ≤ 0 ⇔

Άρα Α = {−1, ω3 , ω4 } και P ( Α) = P (−1) + P (ω3 ) + P (ω4 ) = • f (ω ) > 1 ⇔

ω ω2 +1

+1 > 1 ⇔

P (Β) = P(ω3 ) + P(ω4 ) = • x2 + ω x ≥ −

ω ω2 +1

1 1 1 1 + + = 6 12 12 3

ω 2 +1> 0

> 0 ⇔ ω > 0 ,οπότε Β = {ω3 , ω4 }

1 1 1 + = 12 12 6

1 ⇔ 4 x 2 + 4ω x + 1 ≥ 0 για κάθε x ∈ \ .

4

Πρέπει ∆ ≤ 0 ⇔ ω 2 − 1 ≤ 0 ⇔ .. ⇔ −1 ≤ ω ≤ 1 άρα Γ = {−1, 0} ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 108 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

P (Γ) = P(−1) + P(0) =

http://mathhmagic.blogspot.com/

1 2 5 + = 6 3 6

• Α − Β = {−1} οπότε P ( Α − Β) = P (−1) =

1 6

1 − x0 2 Β. f '( x0 ) = εϕ 45 ⇔ = 1 ⇔ ... ⇔ x0 = 0 άρα f '(0) = 1, f (0) = 1 έχουµε: ( x0 2 + 1) 2 0

ε: y − f (0) = f '(0)( x − 0) ⇔ .. ⇔ y = x + 1 Γ. ωi = −1, 0, ω3 , ω4 • M 1 ∈ ε ⇔ y1 = ω1 + 1 = −1 + 1 = 0 • M 3 ∈ ε ⇔ y3 = ω3 + 1

• M 2 ∈ ε ⇔ y2 = ω 2 + 1 = 0 + 1 = 1 • M 4 ∈ ε ⇔ y4 = ω 4 + 1

Όµως από υπόθεση 1 < ω3 < ω4 άρα y1 < y2 < y3 < y4

Ry = y4 − y1 ⇔ 5 = (ω4 + 1) − 0 ⇔ .. ⇔ ω4 = 4 • δ ωκ =

0 + ω3 ω3 = 2 2

• δ yκ =

Από υπόθεση 2δ ωκ = δ yκ ⇔ 2

1 + ω3 + 1 2 + ω3 = 2 2

ω3 2 + ω3 = ⇔ ... ⇔ ω3 = 2 2 2

75.i) Η δοθείσα σχέση από την ταυτότητα του Euler παίρνει την µορφή:

(2014 − 100ν )3 + (40ν − 1000)3 + (60ν − 1014)3 = 0 ⇔ 3(2014 − 100ν )(40ν − 1000)(60ν − 1014)3 = 0 ⇔ ± 2014  ν = 100 ∉ ` απορρ ί πτεται 2014 − 100ν = 0  ή   ή  1000  = 25 40ν − 1000 = 0 ⇔ ν = 40   ή ή   60ν − 1014  ν = 1014 ∉ ` απορρ ί πτεται  60 ii) P ( Α) =

Άρα Ν (Ω) = 25 .

Ν ( Α) 12 Ν ( Β) 2 = , P ( Β) = = Ν (Ω) 25 Ν (Ω) 25

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39

- 109 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

http://mathhmagic.blogspot.com/

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ • Μαθηµατικά και στοιχεία Στατιστικής.Αδαµόπουλος ,Δαµιανου,Σβερκος • Στατιστική, Α.Καραγεωργος •Πιθανότητες, Θ. Καζαντζης •Πιθανότητες, Γεωργακακης •Μαθηµατικά Γ Λυκείου Γενικής παιδείας, Τζουβαρας –Τζιρωνης, εκδόσεις Σαββάλας •Μαθηµατικά Γ Λυκείου Γενικής παιδείας , Μαυριδης, εκδόσεις Μαυρίδη •Κριτήρια αξιολόγησης ,Ζανταριδης –Γκατζουλης,εκδοσεις Γκατζουλης •Κριτήρια αξιολόγησης, Χαλιδης –Μουταφιδης, εκδόσεις Όλυµπος • Επαναληπτικά θέµατα,Λεων παπαδοπουλος • Επαναληπτικά θέµατα, Μ.Τουµάσης-Γ.Τσαπακίδης •Το 4ο θεµα , Γ.Μπαιλακης •M.Spigel, Πιθανοτητες και Στατιστικη •Μαθηµατικα Γ λυκειου Γενικης παιδειας ,Στεργιου,Νακης •Κ.Ε.Ε •ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β •Μαθηµατικό βήµα •Επαναληπτικά θέµατα ΟΕΦΕ •Μαθηµατική κοινότητα Mathematica (http://www.mathematica.gr) •Θέµατα Bacalaureat •Θέµατα S.A.T •Τράπεζα θεµάτων Σ.Ο.Κ.Ο.Ν

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ

Οι λύσεις σελ 39