ΓΕΝΙΚΟ ΘΕΜΑ ΣΤΙΣ ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΚΑΙ ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Το σώμα Σ1 είναι μάζας m = 1 kg είναι δεμένο στο ελεύθερο άκρο του ελατηρίου του σχήματος, σταθερός Κ = 100 N/m . Εκτρέπουμε το σώμα από την θέση (Β) κατά Α 0 = 24 cm και την στιγμή t = 0 το αφήνουμε ελεύθερο.
^
'ο
(Σ)
2ττ Α. Δ ιαπ ιστώ νουμε ότι η περίοδος τω ν εκτελούμενω ν ταλαντώ σεω ν είναι — sec και ότι ο λόγος δύο 9 Α π/ διαδοχικώ ν τιμώ ν της μέγιστης θετικής απομάκρυνσης — — = σταθ. = e "45. Να υπολογίσετε: Λίΐ+1 1) Τη σταθερά Λ. / \
σ 2) Την χρονική στιγμή t, κατά την οποία είναι Α 1 ~
και το π οσοστό % μείωσης της ενέργειας
της ταλάντω σης την ίδια στιγμή. 3) Το πλήθος τω ν ταλαντώ σεω ν στην διάρκεια από τη στιγμή t 1 = 8π sec
μέχρι την στιγμή
t 2 = 16π s e c . 4) Την ιδιοσυχνότητα f0 του ταλαντωτή. 5) Τον τρόπο με|αβολής του πλάτους της ταλάντω σης αν υπήρχε διεγέρτης με συχνότητα που * 15 25 αυξάνεται από f, = —- Hz μέχρι f2 = — Hz . 2π 2ττ Β. Κάποια χρονική στιγμή που η ενέργεια της φθίνουσας ταλάντω σης έχει υποτετραπλασιαστεί καταβάλλουμε εξωτερική δύναμη της μορφής F ^ = + 0 , 2 ·υ (S.I.) που διατηρεί το πλάτος της ταλάντω σης σταθερό και τ ^ μέγιστο δυνατό και την ενέργειά της ^
= σταθ. Να υπολογίσετε:
1) Την σταθερά απόσβεσης b. 2) Την συνολική δύναμη που ενεργεί στον ταλαντω τή την στιγμή που βρίσκεται στις ακραίες θέσεις και την στιγμή που διέρχεται από την Θ.Ι. του. 3) Τον ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας της ταλάντω σής <την στιγμή που το σώμα διέρχεται από την θέση με X = — απομακρυνόμενο από την Θ.Ι. του. 4) Να απαντηθούν τα ερωτήματα (3) και (4) για την περίπτω ση που καταργείται η διέγερση στην παραπάνω θέση. Δίνεται Ιη2 = 0,7 .
ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΘΕΜΑ 1 Α. 1) Εφόσον ισχύει
-
= σταθ. καταλαβαίνουμε ότι A = Α 0 -e A t . Έτσι προκύπτει:
^π+1 An
Αη · e~A'nT
Α η+1
Α 0 · e~A(n+1)T
Λ Τ
JL- = — 9----- — ^· = β·νι
2) A1 = A 0 · e
Α-t··
1 =>
Α0
*/
Δ ε δ ο μ ·.
^
e /45 = e
μ
π
, 2π
/9 = > — = Λ
45
= A0 · e
A.t
1
.
1 => In·^· = Ine
Λ = 10
1
s
9
-Λ-t
1 => -In 2 = - Λ · t, => | t ^ 7 s j (2)
ΣΗΜ.: Είναι ΐ 1 = 10T άρα είναι A 1 = A 10 (πλάτος μετά από 10 περιόδους). Όταν Α1 = — => A? = — => Ε1 = — 1 2 1 4 1 4 Επομένως η μείωση της ενέργειας είναι ΔΕ = Ε0
3) ΔΝ = — = Τ
Τ
=> ΓΔΝ = 36". ------------
Επ
3 = ^-Ε0 = 75%Ε0 . Άρα |Π = 75%