Phys g

Ο μαθητής που έχει μελετήσει την ενότητα αυτή θα πρέπει να γνωρίζει:

[ από τη θεωρία στη Γ.Α.Τ.:

Τις εξισώσεις x(t), υ(t), α(t) και τα αντίστοιχα διαγράμματα. Την απόδειξη της συνθήκης F = f(x) για να κάνει ένα σύστημα γ.α.τ. και το αντίστοιχο διάγραμμα. Την απόδειξη της σχέσης που δίνει την περίοδο στη γ.α.τ. Την απόδειξη της σχέσης U =

1 D ⋅ x 2 και τη δικαιολόγηση (ΑΔΕΤ) ότι 2

Κ+U = σταθ. Τις σχέσεις που δίνουν τις ενέργειες U και Κ και τα διαγράμματα αυτών με x και t.

[ από τη θεωρία στις ηλεκτρικές ταλαντώσεις:

Tις εξισώσεις φορτίου πυκνωτή q(t), έντασης ρεύματος i(t) και τα αντίστοιχα διαγράμματα. Τη σχέση που δίνει την περίοδο του φαινομένου. Τις σχέσεις που δίνουν τις ενέργειες UΕ(t) και UΒ(t), Εολ(t) και τα διαγράμματα αυτών, καθώς και την ΑΔΕΤ Κ+U= σταθ. Την αντιστοιχία μεταξύ μεγεθών ηλεκτρικής και μηχανικής ταλάντωσης.

[ από τη θεωρία στις φθίνουσες & εξαναγκασμένες ταλαντώσεις:

Σε φθίνουσα μηχανική ταλάντωση τη μορφή της δύναμης απόσβεσης, από τι εξαρτάται η σταθερά απόσβεσης b και τη σχέση που δίνει το πλάτος με το χρόνο. Ποιοτικά να ξέρει να κάνει το διάγραμμα Α = f(t) για b=0, b μικρό και b μεγάλο. Τους παράγοντες από τους οποίους εξαρτάται η περίοδος της κίνησης.

Να δικαιολογεί ότι ο λόγος των πλατών

An σε δύο διαδοχικές περιόδους A n+1

είναι σταθερός. Να ξέρει αντίστοιχα στη φθίνουσα ηλεκτρική ταλάντωση για το ποιοτικό διάγραμμα q= f (t) για R= 0, R μικρό και R μεγάλο, τους παράγοντες από τους οποίους εξαρτάται η περίοδος του φαινομένου. Ότι η εξαναγκασμένη ταλάντωση είναι αμείωτη ταλάντωση. Πως μεταβάλλεται το πλάτος με τη συχνότητα f Δ και τη σταθερά b και το αντίστοιχο διάγραμμα. Πότε το σύστημα βρίσκεται σε συντονισμό. Πως δημιουργείται εξαναγκασμένη ηλεκτρική ταλάντωση, το διάγραμμα πλάτους ρεύματος Ι σε συνάρτηση με τη συχνότητα της πηγής, για διάφορες τιμές της αντίστασης R. Πότε το κύκλωμα είναι σε συντονισμό.

[ από τη θεωρία στη σύνθεση ταλαντώσεων: Στη σύνθεση δύο γ.α.τ., ίδιας συχνότητας, τις σχέσεις που βρίσκουμε το πλάτος και τη φάση της σύνθετης ταλάντωσης. Τις ειδικές περιπτώσεις όταν φ = 0ο και φ = 180ο. Στη περίπτωση του διακροτήματος την απόδειξη εξίσωσης (1.33) της θεωρίας του σχολικού βιβλίου και της σχέσης f δ = f1 − f 2 που δίνει τη συχνότητα του διακροτήματος.

Ταλαντώσεις 1 1 .

Τύποι - Βασικές έννοιες

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ: Τύποι - Βασικές έννοιες 1. Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση Απομάκρυνση: Ταχύτητα: Επιτάχυνση: Δύναμη:

x=A·ημ(ωt+φ 0) υ=υ max·συν(ωt+φ 0) όπου υmax=ω·A α=-ω 2·A·ημ(ωt+φ 0)=-ω 2·x F=-D·x

Περίοδος:

T = 2ð

Δυναμική ενέργεια:

1 U = D ⋅ x2 2

m D Κινητική ενέργεια:

1 K = m ⋅ υ2 2

2. Κύκλωμα L - C Φορτίο πυκνωτή: Ένταση ρεύματος: Περίοδος:

q=Q·συνωt i=- I·ημ ωt I=Q·ω

T = 2ð LC

q2 2C 1 2 Μαγνητική ενέργεια πηνίου: U B = L ⋅ i 2

Ηλεκτρική ενέργεια πυκνωτή: U E =

3. Φθίνουσα ταλάντωση - Εξαναγκασμένη ταλάντωση Δύναμη απόσβεσης: Πλάτος στη φθίνουσα μηχανική ταλάντωση:

F=-b·υ Αn=Α0·e-Λt, t = N·T

4. Σύνθεση ταλαντώσεων Ι. x1=A1·ημωt, x2=A2·ημ(ωt+φ) Η σύνθετη γ.α.τ. έχει: x=A΄· ημ(ωt+θ) A΄ = A12 + A 2 2 + 2A1 A 2 ⋅ συνφ

και

όπου:

εφθ =

A 2 ημφ A1 + A 2συνφ

ΙΙ. x1=A·ημω1t, x2=A·ημω1t, ω1 ω2 Η σύνθετη ταλάντωση έχει:

ω1 + ω 2 ω − ω2 t όπου Α΄ = 2A ⋅ συν 1 t 2 2 f δ = f1 − f 2 Συχνότητα διακροτήματος: x = A΄ ⋅ ημ

1 2 . Ταλαντώσεις

Βήμα 1ο

1. Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση ΘΕΩΡΙΑ 1

Όταν ένα σύστημα κάνει γ.α.τ. να αποδείξετε τη σχέση: F = −D ⋅ x

Απόδειξη Αντικαθιστώντας τη σχέση της επιτάχυνσης α=-ω2.x στο Θεμελιώδη Νόμο της Μηχανικής F=m.α παίρνουμε: F=-m.ω2.x Η ποσότητα m . ω2 είναι σταθερή, χαρακτηριστική για κάθε ταλαντωτή συμβολίζεται δε D και λέγεται σταθερά της ταλάντωσης ή σταθερά επαναφοράς. Άρα η παραπάνω εξίσωση γράφεται: F=-D.x Το πρόσημο (–) δείχνει ότι η φορά της συνισταμένης δύναμης είναι αντίθετη από τη φορά της απομάκρυνσης, δηλαδή έχει φορά προς τη θέση ισορροπίας γι΄ αυτό λέγεται και δύναμη επαναφοράς. ΘΕΩΡΙΑ 2

Σε σύστημα που κάνει γ.α.τ. να αποδείξετε τη σχέση που δίνει την περίοδο ταλάντωσής του.

Απόδειξη 2

 2π  Από τις σχέσεις D=m.ω2 και ω=2π / Τ παίρνουμε D = m   η οποία λύνεται ως  T 

προς Τ που είναι η περίοδος του απλού ταλαντωτή.

ΘΕΩΡΙΑ 3

T = 2π

m D

Σε σύστημα που κάνει γ.α.τ. να αποδείξετε τη σχέση U = που δίνει την δυναμική ενέργεια της ταλάντωσής του.

1 2 Dx 2

Ταλαντώσεις 1 3 .

Βήμα 1ο

Απόδειξη Για να εκτρέψουμε ένα ταλαντωτή από τη Θ.Ι. του πρέπει να ασκήσουμε δύναμη Fεξωτ αντίθετη της δύναμης επαναφοράς, δηλαδή της μορφής: Fεξωτ=D.x Η δύναμη αυτή είναι μεταβλητού μέτρου άρα το έργο της υπολογίζεται γραφικά από το εμβαδό του γραμμοσκιασμένου τμήματος του διαγράμματος Fεξωτ=f(x), όπως φαίνεται στο σχήμα.

1 1 W = (OAB) = Dx ⋅ x = Dx 2 2 2 Μέσω του έργου W της δύναμης Fεξωτ μεταφέρεται ενέργεια από τον εξωτερικό παράγοντα στο σύστημα η οποία αποθηκεύεται ως δυναμική ενέργεια. ΘΕΩΡΙΑ 4

Σε σύστημα που κάνει γ.α.τ. να δικαιολογήσετε ότι: K + U = σταθ .

Απόδειξη Aν λάβουμε υπόψη μας ότι: x=A·ημ(ωt+φ0)

1 οι σχέσεις Κ= m ⋅ υ2 2

και

U=

και

υ=ω·Α·συν(ωt+φ0)

1 D·x2 γράφονται: 2

1 1 2 2 και U= D·A2·ημ2(ωt+φ0) Κ= m ⋅ ω ⋅ Α ·συν2(ωt+φ0) 2 2 Προσθέτοντας κατά μέλη τις παραπάνω σχέσεις και λαμβάνοντας υπ’ όψη ότι: D=m·ω2 και συν2(ωt+φ0) + ημ2(ωt+φ0) =1 προκύπτει ότι: 1 Κ+U = D·x2 = Εολ 2 ΘΕΩΡΙΑ 5

Να αποδείξετε ότι η ταχύτητα του ταλαντωτή σε συνάρτηση με την απομάκρυνσή του από τη θέση ισορροπίας του, έχει αλγεβρική τιμή που δίνεται από την εξίσωση:

υ = ± ω ⋅ Α2 − x 2 Απόδειξη i. Η σχέση αυτή αποδεικνύεται με Α.Δ.Ε.Τ. U+K=Εολ ⇔

1 1 1 D·x2 + m·υ2= D·A2 ⇔ m·ω2·x2+m·υ2=m·ω2·A2 2 2 2

ή

1 4 . Ταλαντώσεις

Βήμα 1ο

ω2·x2+ υ2 =ω2·A2 ⇔ υ2 =ω2·(A2-x 2) ii. Επίσης η σχέση αποδεικνύεται με τις εξισώσεις: x=A·ημ(ωt+φ0) και υ=ω·A·συν(ωt+φ0) Υψώνουμε τις σχέσεις στο τετράγωνο και προσθέτουμε κατά μέλη. Τελικά παίρνουμε:

x2 υ2 + = ημ2(ωt+φ0)+συν2(ωt+φ0) ⇔ A 2 ω2 ⋅ Α 2 x2 υ2 + = 1 ⇔ υ2=ω2 . (A2 - x2) 2 2 2 A ω ⋅Α

ΘΕΩΡΙΑ 6

Η περίοδος μιας φθίνουσας ταλάντωσης είναι Τ και το πλάτος της ακολουθεί τον νόμο: Αn=Α0e -Λt , t= NT. α. Να δείξετε ότι ο λόγος δύο διαδοχικών τιμών του πλάτους

An =e ΛT = σταθ.

An+1

της ταλάντωσης είναι σταθερός:

β. Να δείξετε ότι ο λόγος δύο διαδοχικών τιμών της ενέργειας

En =e2ΛT = σταθ.

En+1

της ταλάντωσης είναι σταθερός: Απόδειξη α.

A 0 e − ΛnΤ An An An − ΛnΤ + Λ ( n+1)Τ = =e = e ΛΤ ⇔ ⇔ − Λ n+1 Τ ( ) A n+1 A 0 e A n+1 A n+1

1 2 DA 2n En En  An  En 2 = ⇔ = = e ΛΤ β.   ⇔ 1 E n+1 E n+1  A n+1  E n+1 DA 2n+1 2

( )

ΘΕΩΡΙΑ 7

2

= e 2ΛΤ

Να βρείτε την εξίσωση της σύνθετης κίνησης που κάνει ένα σώμα, το οποίο εκτελεί ταυτόχρονα δύο γ.α.τ. με εξισώσεις: x1=A·ημω1t και x2=A·ημω1t Ποια είναι η συχνότητα της σύνθετης κίνησης;

Απόδειξη Η απομάκρυνση x της συνισταμένης κίνησης είναι: x = x1+ x2 ⇔ x = Α · ( ημω1t+ημω2t) Από την τριγωνομετρία είναι γνωστό ότι:

ημα + ημβ = 2συν

(1)

α −β α +β ⋅ ημ 2 2

Ταλαντώσεις 1 5 .

Βήμα 1ο

 ω − ω2   ω + ω2 ημω1t + ημω2 t = 2συν  1 t  ⋅ ημ  1  2   2 Επομένως η σχέση (1) λόγω της (2) γράφεται: Άρα:

 ω − ω2 x = 2A ⋅ συν  1  2

  ω + ω2 t  ⋅ ημ  1   2

 t  (2) 

 t 

(3)

 ω − ω2  t  μπορούμε να τον επιλέξουμε ως πλάτος της Τον παράγοντα 2A ⋅ συν  1  2  συνισταμένης ταλάντωσης και η εξίσωση (3) να γραφεί:  ω + ω2  x = A΄ ⋅ ημ  1 t (4)  2  Η εξίσωση (4) περιγράφει περιοδική κίνηση, όχι γραμμική αρμονική, που έχει συχνότητα που είναι σχεδόν ίση με τις συχνότητες των συνιστωσών ταλα-ντώσεων. Συγκεκριμένα είναι ο μέσος όρος των συνιστωσών ταλαντώσεων. Δηλαδή: ΘΕΩΡΙΑ 8

ω=

ω1 + ω2 ω1 ω2 2

Τι ονομάζουμε περίοδο διακροτήματος; Να αποδείξετε τη σχέση που δίνει την περίοδο του διακροτήματος.

Απόδειξη Ο χρόνος που μεσολαβεί μεταξύ δυο διαδοχικών μηδενισμών (ή μεγίστων τιμών) του πλάτους, λέγεται περίοδος του διακροτήματος και συμβολίζουμε με Τδ. Από τη σχέση (4) γίνεται τo πλάτος Α΄=0 όταν:

συν

ω − ω2 t ω1 − ω2 π t=0 ⇔ 1 = (2k +1) 2 2 2

Οι δύο πρώτες λύσεις για κ = 0 και κ = 1 είναι: ω1 − ω2

π και 2 2 Η περίοδος Τδ του διακροτήματος είναι: t1 =

Τδ = Δt = t2 – t1 =

ω1 − ω2 2

t2 =

3π 2

2π 1 ⇔ Tδ = ω1 − ω2 f1 − f 2

1 6 . Ταλαντώσεις

Βήμα 2ο

Α. Από το σχολικό βιβλίο ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ έκδοση 2003.

1.

Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση Ερωτήσεις: 1.1, 1.4, 1.5, 1.7 Ασκήσεις - Προβλήματα: 1.28, 1.32, 1.37, 1.41, 1.46, 1.47, 1.48

2.

Κύκλωμα L - C Ερωτήσεις: 1.12, 1.13, 1,16, Ασκήσεις - Προβλήματα: 1.43, 1.49, 1.50

3.

Φθίνουσες - εξαναγκασμένες ταλαντώσεις Ερωτήσεις - Ασκήσεις: 1.18, 1.19, 1.21, 1.26

Β. Από τα Βιβλιομαθήματα: ΦΥΣΙΚΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ εκδόσεις “ΟΡΟΣΗΜΟ” Βιβλιομάθημα 1ο: Λυμένα παραδείγματα: 1.1, 1.3, 1.4, 1.5, 1.8 Ερωτήσεις: 1, 3, 6, 9 Προτεινόμενα θέματα: 1.2, 1.4, 1.7, 1.8, Ξεχωριστό 1: σελ. 27 Βιβλιομάθημα 2ο: Λυμένα παραδείγματα: 1.9, 1.11, 1.13, 1.14, 1.15 Ερωτήσεις: 2, 3, 6, 9, 10 Προτεινόμενα θέματα: 1.12, 1.13, 1.17, 1.18 Ξεχωριστό 1, 2: σελ. 42-44

Ταλαντώσεις 1 7 .

Βήμα 2ο

Βιβλιομάθημα 3ο: Λυμένα παράδειγματα: 1.16, 1.19, 1.20 Ερωτήσεις: 1, 2, 5, 6, 8 Προτεινόμενα θέματα: 1.20, 1.22, 1.23, 1.24 Ξεχωριστό 1: σελ. 53 Βιβλιομάθημα 4ο: Λυμένα παράδειγματα: 1.21, 1.22, 1.23 Ερωτήσεις: 1, 2, 3, 6, 7, 8 Προτεινόμενα θέματα: 1.25, 1.31, 1.32

Γ. Από το βιβλίο:

ΦΥΣΙΚΗ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θετικής & Τεχν/κης κατεύθυνσης 1ος τόμος (ταλαντώσεις - κύματα)

εκδόσεις “ΟΡΟΣΗΜΟ” 1.

Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση Ερωτήσεις: 1.5, 1.10, 1.13, 1.15, 1.18 Λυμένα παράδειγματα: 5, 7, 14, 15 Ασκήσεις για λύση: 1.49, 1.55, 1.56, 1.57

2.

Κύκλωμα L - C Ερωτήσεις: 2.4, 2.6, 2.10, 2.11, 2.14, 2.28 Λυμένα παράδειγματα: 2, 4, 6, 7 Ασκήσεις για λύση: 2.38, 2.42, 2.47, 2.48

3.

Φθίνουσες - εξαναγκασμένες ταλαντώσεις Ερωτήσεις: 3.6, 3.9, 3.10, 3.12, 3.15 Λυμένα παράδειγματα: 1, 3, 4, 5, 8 Ασκήσεις για λύση: 3.40, 3.43, 3.44, 3.48

4.

Σύνθεση ταλαντώσεων Ερωτήσεις: 4.8, 4.9, 4.10, 4.11 Λυμένα παράδειγματα: 1, 3, 4, 5, 8 Ασκήσεις για λύση: 4.15, 4.16, 4.20

1 8 . Ταλαντώσεις

Βήμα 3ο

1. Ένα σώμα m=1 kg εκτελεί γ.α.τ. και η μεταβολή της επιτάχυνσής του σε συνάρτηση με το χρόνο φαίνεται στο σχήμα.

α. Να βρείτε τη σταθερά D και την ολική ενέργεια του ταλαντωτή. β. Να γράψετε τις εξισώσεις x=f(t) και υ=f(t) γ. Ποιες χρονικές στιγμές το σώμα έχει στιγμιαία υ = 0 ; G G π 2 = 10 δ. Ποιες χρονικές στιγμές είναι υ και F ομόρροπα;

(

)

Λύση: α. Από το διάγραμμα φαίνεται ότι: η περίοδος είναι Τ=1 s άρα: ω = Επόμένως: D= m.ω2 ⇔

2π = 2π rad / s Τ

D=40 Ν/m

Η ολική ενέργεια του ταλαντωτή βρίσκεται από τη σχέση:

1 Ε = DA 2 2

Όμως από το διάγραμμα φαίνεται ότι: δηλ. ω2·Α=8 rad/s2 ⇔ (40 Ν/m)·Α=8 rad/s2 ⇔ A=0,2m αmax=8 rad/s2 Άρα:

Ε=

1 40 ⋅ 0, 22 J ⇔ Ε = 0,80 J 2

β. Από το διάγραμμα προκύπτει ότι:



π





α=8·ημ  2πt +  2

S.I.

Ταλαντώσεις 1 9 .

Βήμα 3ο

H επιτάχυνση προηγείται της ταχύτητας κατά π/2 rad και της απομάκρυνσης κατά π rad. Άρα: υ=0,4π·ημ ( 2πt )

και



π





x=0,2·ημ  2πt −  (S.I.) 2

γ. Η ταχύτητα είναι μηδέν στις ακραίες θέσεις στις οποίες είναι αmax. Aυτό συμβαίνει τις στιγμές: 0, 0,5s, 1s, 1,5s δ. Η δύναμη επαναφοράς είναι ομόρροπη με την επιτάχυνση και η φορά τους είναι G G προς τη Θ.Ι.T. . Άρα όποτε ο ταλαντωτής κινείται προς τη Θ.Ι.T. είναι υ και F ομόρροπα. Aυτό συμβαίνει στα χρονικά διαστήματα: 0 - 0,25s, 0,5s - 0,75s, 1s - 1,25s, 1,5s - 1,75s

2. To σώμα του σχήματος έχει μάζα m=2 kg και ισορροπεί στερεωμένο στο άκρο ιδανικού κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k=200 N/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητο στερεωμένο. Το σώμα εκτρέπεται από τη Θ.Ι του φέρνοντάς το στη θέση φ.μ. του ελατηρίου. Δίνουμε στο σώμα αρχική ταχύτητα υ0 = 3 m/s , προς τα κάτω θεωρώντας τη χρονική στιγμή αυτή t=0 και y>0. α. Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης y=f(t). β. Να υπολογήσετε την μέγιστη ενέργεια του ελατηρίου; γ. Ποια χρονική στιγμή το σώμα αποκτά τη μέγιστη ταχύτητά του για δεύτερη φορά μετά τη στιγμή t=0; δ. Να βρείτε τότε την συνισταμένη δύναμη που ενεργεί στον ταλαντωτή. Δίνεται:g=10 m/s2 Λύση: α. Θ.I.:

B = Fελ ⇔ mg = k ⋅ y1 ⇔ y1 = 0,1m

Από τη θεωρία η σχέση απομάκρυνσης - χρόνου, είναι: y=A ημ(ωt+φ 0 ) Εφαρμόζουμε: Α.Δ.Ε.T. για την γ.α.τ. από αρχική θέση μέχρι τη θέση μέγιστης απομάκρυνσης: U αρχ + K αρχ = Ε ολ ⇔

1 2 1 1 D=K Dy1 + mυ0 2 = DA 2  → A=0,2m .

2 2 2

2 0 . Ταλαντώσεις

Βήμα 3ο

Η γωνιακή συχνότητα είναι:

ω=

D K = = 10rad/s m m

t =0 y = Aημ (ωt + φ0 )  → 0,1 = 0, 2ημφ0 ⇔ ημφ 0 = y = 0,1m

Άρα:

φ0 =

1 π ⇔ ημφ 0 = ημ 2 6

π 5π rad ή φ0 = rad 6 6

Επειδή για t=0 είναι y>0 η αρχική ταχύτητα είναι υ= υ 0 < 0 .

φ0 =

Επομένως:

5π rad 6

5π   y = 0, 2 ημ 10t +  S.I. 6  

Τελικά:

1 1 2 K ⋅ x max 2 = K ( y1 + A ) = 9 J 2 2 γ. Η ταχύτητα αποκτά τη μέγιστη τιμή της στη Θ.Ι, άρα: β. U ΕΛ,max =

5π  5π  5π   = kπ 0 = 0, 2 ⋅ ημ 10t +  ⇔ 0 = ημ 10t +  ⇒ 10t + 6  6  6   5π π π = π ⇒ 10t = ⇒ t = s (1η ) • κ=0 Απορρ., • κ = 1: 10t + 6 6 60 • κ = 2 : 10t +

5π 7π = 2π ⇔ t = s ( 2η ) 6 60

δ. Fολ = − D ⋅ y = 0

3.

Σύστημα ελατήριο k=200 N/m - σώμα μάζας m=2 kg κάνει γ.α.τ. και η max κινητική του ενέργεια είναι: K max = 4 J α. Να υπολογιστούν το πλάτος και η περίοδος της ταλάντωσης. β. Φέρουμε το σύστημα σ’ένα μέσο που ασκεί δύναμη τριβής της μορφής 4 F = − υ (S.I.) . Να βρείτε το πλάτος της ταλάντωσης μετά από χρόνο π 5Τln2 και την ενέργεια που έχει χάσει το σύστημα μέχρι τότε. b Δίνεται ότι Λ = , η περίοδος της φθίνουσας ταλάντωσης είναι περίπου 2m −4 ίση με την ιδιοπερίοδο και e = 0,045 .

Ταλαντώσεις 2 1 .

Βήμα 3ο

Λύση: α. Από τη θεωρία είναι γνωστό ότι:

Umax=Kmax

1 1 N D ⋅ A 2 = 4 J ⇔ 200 ⋅ A 2 = 4 J ⇔ A = 0, 2 m 2 2 m

Άρα:

Η γωνιακή συχνότητα είναι:

ω=

Η περίοδος είναι:

T=

β. Είναι: A5 = A 0 ⋅ e − Λ⋅5Τ⋅An2 Άρα:

A5 =

1 π − ⋅5⋅ ⋅An2 0, 2 ⋅ e π 5

Ε απωλ = Ε 0 − E 5 = Ε απωλ =

(

όπου

D K = = 10 rad/s m m

2π = π/5 s ω b 4 1 Λ= = = s −1 2m π ⋅ 2 ⋅ 2 π

⇔ A5 = 0, 2 ⋅ e − An2 m =

(

0, 2 m = 0,1m 2

)

1 1 1 DA 02 − DA52 ⇔ Ε απωλ = D A 02 − A 52 ⇔ 2 2 2

)

1 200 0, 22 − 0,12 J = 3J 2

4. Οριζόντιος δίσκος εκτελεί γ.α.τ. σε κατακόρυφη διεύθυνση, με πλάτος A = 0,25 m και περίοδος T=2 s. Όταν ο δίσκος βρίσκεται στην κατώτατη θέση της τροχιάς, τοποθετούμε πάνω του μικρό σώμα μάζας 2kg. α. Αν θεωρήσουμε ότι το σύστημα διατηρεί σταθερό πλάτος και περίοδο, να βρεθεί η σχέση της δύναμης που δέχεται το σώμα από το δίσκο σε σχέση με την απομάκρυνση y και να γίνει η αντίστοιχη γραφική παράσταση. β. Αν η περίοδος παραμείνει σταθερή, για ποια μέγιστη τιμή του πλάτους το σώμα οριακά τείνει να εγκαταλείψει το δίσκο; γ. Αν μεταβάλλουμε τη συχνότητα της ταλάντωσης, για ποια μέγιστη συχνότητα μόλις που χάνεται η επαφή σώματος - δίσκου, αν το πλάτος είναι Α=0,25 m; Δίνεται: π2 = 10 και g = 10 m/s2 Λύση: α. Στο σώμα στην τυχαία θέση δέχεται τις G δυνάμεις F από το δίσκο και το βάρος του G Β.

2 2 . Ταλαντώσεις

Βήμα 3ο

Για το σώμα σε τυχαία θέση ισχύει:

ΣF = −D ⋅ y ⇔ F − mg = −D ⋅ y ⇔ F = mg − mω2 y ⇔

F = mg − m

4π2 Τ2

y⇔

F = 2 - 2 ⋅ y − 0, 25 m ≤ y ≤ 0, 25 m β. Όσο βρίσκεται σε επαφή το σώμα με το δίF>0 σκο, είναι: Όμως όταν τείνει να εγκαταλείψει το σώμα τον δίσκο, οριακά γίνεται: F = 0 Επομένως: 2 − 2y ≥ 0 ⇔ y ≤ 1 m

Άρα:

y max = 1 m

γ. F ≥ 0 ⇔ mg − mω2 y ≥ 0 ⇔ g − 4π 2 f 2 ⋅ y ≥ 0

g ≥ 4π 2 f 2 ⋅ y ⇔

g

≥f2

4π ⋅ y Το χάσιμο επαφής γίνεται στη θέση y = A , άρα: 2

g 4π ⋅ A 2

5.

2 = f max ⇒ f max = 1Hz

Το σώμα του σχήματος ισορροπεί με τη βοήθεια της δύναμης F=20 N. Tη χρονική στιγμή t=0 η δύναμη F καταργείται. Δίνονται: Κ=200 N/m, m=2 kg g=10 m/s2. α. Να γράψετε την χρονική εξίσωση της δυναμικής ενέργειας της ταλάντωσης; Θεωρείστε ότι για t=0 είναι x>0. β. Ποιο είναι το έργο της δύναμης επαναφοράς από τη στιγμή t=0 μέχρι τη στιγμή που το σώμα αποκτά μέγιστη ταχύτητα; γ. Ποια είναι η σχέση της δύναμης του ελατηρίου σε συνάρτηση με τον χρόνο Fελ=f(t); δ. Σε ποιες θέσεις το σώμα αποκτά ταχύτητα μέτρου υmax/2; Ποιες στιγμές κατά τη κάθοδο γίνεται αυτό; ε. Ποιος ο μέγιστος ρυθμός μεταβολής της ορμής του σώματος;

Ταλαντώσεις 2 3 .

Βήμα 3ο

Λύση:

α. Αρχικά για την ισορροπία, με την επίδραση της δύναμης F, στη θέση (1) ισχύει: ΣF=0 ⇔ mg - Fελ - F = 0 ⇔ Fελ = 0 ⇔ Δl=0 άρα το ελατήριο είναι στη θέση φυσικού μήκους (Θ.Φ.Μ.) Αφήνεται το σώμα να εκτελέσει γραμμική αρμονική ταλάντωση γύρω από τη θέση ισορροπίας της ταλάντωσης (Θ.Ι. θέση 2) όπου: ΣF=0 ⇔ mg - Kx1=0 ⇔ mg=Kx 1 ⇔ x1=0,1 m και Άρα και το πλάτος θα είναι Α=x1=0,1 m D=K ⇔ mω 2 =K ⇔ ω=10 r/s Επειδή τη χρονική στιγμή t = 0 βρίσκεται στη θέση x= A (x>0) η αρχική φάση είναι: Δηλαδή: Άρα:

φ0 =

π rad 2

π  x=0,1ημ 10t +  S.I. 2  1 π  D=K → U = 1⋅ ημ 2 10t +  S.I. U = D ⋅ x 2  2 2 

β. υmax= ω . Α = 1 m/s Εφαρμόζουμε Θ.Μ.Κ.Ε. για να υπολογίσουμε το έργο της ολικής δύναμης Fεπαν.

1 2 1 WFεπαν=ΔΚ ⇔ WF(επαν) = mυmax − 0 ⇔ WF(επαν) = 2 ⋅12 J ⇔ WF(επαν) = 1J 2 2

2 4 . Ταλαντώσεις

Βήμα 3ο

π  γ. ΣF = -Dx ⇔ Fελ -mg = - Kx ⇔ Fελ= mg -Kx ⇔ Fελ=20-20ημ 10t +  S.I. 2  δ. Εφαρμόζουμε: Α.Δ.Ε. Τ.

U+Κ = Ε ολ ⇔ 2

υ2max 1 1  υmax  1 3 D=K 2 2 2 → K x1 + m D x1 + m  = DA  = KA 2 ⇔ x1 = ± m  2 2  2  2 4 20

Ισχύει: Αλλά:

Άρα:

π  υ=υmaxσυν 10t +  2  υ=-υmax/2 (προς τα κάτω η φορά είναι αρνητική) π 2π  10t + = 2 κπ +  π 1   2 3 συν 10t +  = − ⇒  2π π 2 2   10t + = 2 κπ −  3 2 κ=0 (1)  →

t=

π s 60

κ=1 (2) →

(1) (2)

t=

5π s 60

Σημείωση Στο ίδιο συμπέρασμα καταλήγουμε και αν λύναμε την εξίσωση: για x=

ε.

3 3 m, x= − m 20 20

Δp Δp =∑ F ⇔ = −D ⋅ x . Άρα: Δt Δt

 Δp  = K ⋅ A = 20 N    Δt  max

6. Κύκλωμα LC εκτελεί ηλεκτρικές ταλαντώσεις. Ο συντελεστής αυτεπαγωγής του πηνίου είναι L=10-2H. Η εξίσωση του φορτίου του πυκνωτή είναι: q=10-2 συνωt S.I. και ο μέγιστος ρυθμός μεταβολής του φορτίου είναι 1C/s. Να βρεθούν: α. η περίοδος του φαινομένου η χωρητικότητα του πυκνωτή και ο ρυθμός μεταβολής της ενέργειας του πηνίου τη χρονική στιγμή t=5π . 10 -3 s.

π  x=0,1ημ 10t +  2 

Ταλαντώσεις 2 5 .

Βήμα 3ο

β. Να επαληθεύσετε ποιοτικά το αποτέλεσμα του ερωτήματος (α) με τη βοήθεια του διαγράμματος της ενέργειας του μαγνητικού πεδίου του πηνίου σε σχέση με το χρόνο. γ. Ποιος είναι ο μέγιστος ρυθμός μεταβολής της ενέργειας του μαγνητικού πεδίου του πηνίου; Λύση: α.

Δq Δq =i ⇒ Δt Δt

=I max

όμως:

Ι=Q·ω ⇔ ω =

Άρα:

ω=

Ι 1 ⇔ ω = −2 rad/s = 100 rad/s Q 10

2π 2π π ⇔T= = s Τ ω 50 1

ω=

LC

⇒ C=

1 Lω2

⇔ C = 10 −2 F

ΔU B ΔU B V =V P =V i = PL → = VL ⋅ i → Δt Δt L

L

L

C

ΔU B V =q/C = VC ⋅ i  → Δt C

ΔU B q = ⋅i , αλλά είναι: q=10-2 συν(100.5π.10-3) = 0,άρα: Δt C 1 1 β. U B = L ⋅ i 2 = 10−2 ⋅12 ⋅ηµ 2100t = 5 ⋅10−3 ⋅ηµ 2100t 2 2

ΔU B =0 Δt

S.I.

Η στιγμιαία ισχύς ισούται αριθμητικά με την κλίση της καμπύλης στο διάγραμμα ενέργειας – χρόνου U B =f(t). Επειδή τη χρονική στιγμή t = 5π. 10–3 s που αντιστοιχεί στη στιγμή Τ/4, η κλίση της καμπύλης είναι μηδέν συμπεραίνουμε ότι και η ισχύς είναι μηδέν. γ. P L=V L· i =V c·i= Άρα:

Q Q⋅Ι Q⋅Ι συνωt ⋅ ( −Ιημωt ) = − συνωt ⋅ ημωt = − ημ2ωt C C 2C PL,max

10−2 ⋅1 Q⋅Ι J = 0,5J = = 2 ⋅10−2 2C

2 6 . Ταλαντώσεις

Βήμα 3ο

7.α. Να βρείτε την ενέργεια του ιδανικού πηνίου και του πυκνωτή στο διπλανό κύκλωμα, όταν ο διακόπτης Δ είναι κλειστός. β. Ο διακόπτης ανοίγει τη στιγμή t=0. Ποιος οπλισμός θα φορτιστεί πρώτα θετικά; Πόσο είναι το μέγιστο φορτίο του πυκνωτή; γ. Να γράψετε τις εξισώσεις q, i με το χρόνο t. δ. Πόσο είναι το φορτίο του πυκνωτή όταν UE=UB; Πότε θα γίνει αυτό για 2η φορά; Δίνονται: R= 20Ω, Ε=40V, L=10-2 H, C=4 μF Λύση: α. Σχεδιάζουμε το ρεύμα στο κύκλωμα όπως φαίνεται στο σχήμα. Από το νόμο του Ohm έχουμε:

I=

40 V E = = 2Α r + R 20Ω

H ενέργεια του πηνίου είναι: U Β=

1 1 L·Ι 2 ⇒ U Β= 10 -2 ·2 2 J ⇒ U Β=0,02 J 2 2

Η τάση του πυκνωτή είναι: VC=VΚΛ=Vπην Αλλά Vπην=0 γιατί το πηνίο είναι ιδανικό. Άρα:

VC=0

Επομένως ο πυκνωτής είναι αφόρτιστος και UE=0. β. Όταν ανοίξει ο διακόπτης το κύκλωμα L-C κάνει ηλεκτρικές ταλαντώσεις. Τη στιγμή t=0 o πυκνωτής δεν έχει ενέργεια, ενώ το πηνίο διαρρέεται από ρεύμα I= 2A Τα ηλεκτρόνια στο κύκλωμα τη στιγμή t=0 κινούνται, όπως φαίνεται στο σχήμα. Άρα θα φορτιστεί πρώτα θετικά ο δεξιός οπλισμός του πυκνωτή. Το μέγιστο φορτίο Q του πυκνωτή είναι: 1

I ω= LC I = Q ⋅ ω ⇒ Q =  → Q = I LC ⇒ Q = 2 4 ⋅10−8 C = 4 ⋅10-4 C ω

Ταλαντώσεις 2 7 .

Βήμα 3ο

γ. Επειδή τη στιγμή t=0 είναι q=0 και i=Ι, ισχύουν oι γενικές εξισώσεις: q=Q · (συνωt+φ)

και

i= – Ι·ημ(ωt+φ)

και όχι αυτές με τη μορφή που ξέρουμε από τη θεωρία. Για t=0 είναι i=Ι και παίρνουμε: Ι = – Ι·ημφ ή ημφ = – 1 ή φ = – π/2 i= – Ι·ημ(ωt - π/2) ⇒ ι = 2 · συν(5000t)

Άρα:

S.I.

q=Q·συν(ωt - π/2) ⇒ q=4·10-4 ημ(5000t) S.I. δ. Από Α.Δ.Ε. έχουμε: Άρα:

UΕ=

UE+UB=Εολ

1 q 2 1 Q2 Q = ±2 2 ⋅10-4 C Εολ ⇔ = ⇔ q= ± 2 2C 2 2C 2

Στην εξίσωση του φορτίου αντικαθιστούμε q = 2 2 ⋅10-4 C και παίρνουμε τη 2η λύση. π  5000t = 2kπ +  2  4 2 2 ⋅ 10 -4 = 4 ⋅ 10 -4 ⋅ ημ(5000t) ⇔ ημ(5000t) = ⇒  2 5000t = 2kπ + π - π  4

Για k=0 έχουμε:

t1 =

π s, 20000

t2 =

3π s 20000

8. Σώμα κάνει φθίνουσα μηχανική ταλάντωση και η απομάκρυνση με το x = 0,4 ⋅ e -ln8⋅t ⋅ συν(ωt) χρόνο είναι: Αν σε χρόνο t=2Τ το πλάτος ελαττώνεται κατά 50%, να βρείτε: α. την σταθερά Λ και την περίοδο Τ της φθίνουσας ταλάντωσης, β. τον χρόνο υποδιπλασιασμού του πλάτους, γ. τον χρόνο υποδιπλασιασμού της ενέργειας. Λύση: α. Από τη θεωρία τo πλάτος σε συνάρτηση με το χρόνο, δίνεται από την εξίσωση: (1) Α = A0e-Λt Συγκρίνοντας τη σχέση αυτή με αυτή που δίνει η άσκηση είναι: Λ= 3. ln2 s-1 A0=0,4 m και Λ= ln8 s-1 Αντικαθιστώντας t=2T έχουμε:

2 8 . Ταλαντώσεις

Βήμα 3ο

1 ⇒ - ln8 ⋅ 2T = -ln2 2 1 ln23 ⋅ 2T = ln2 ⇒ 3 ln2 ⋅ 2T = ln2 ⇒ T = s 6 0, 2 = 0, 4 ⋅ e-ln8 ⋅2T ⇔ e-ln8 ⋅2T =

⇒

β. Ο χρόνος υποδιπλασιασμού του πλάτους βάσει της εκφώνησης είναι: Τ1/2=2Τ=1/3 s γ. Η ολική ενέργεια του ταλαντωτή δίνεται από την εξίσωση:

όπου:

E n = E 0 ⋅ e −2Λt

(1)

1 D ⋅ A 02 2

t=n.T

E0 =

και

Για Ε n = Ε0 / 2 από τη σχέση (1) προκύπτει:

Ε0 1 ln2 = E 0 e-2Λt1 ⇒ = e-2Λt1 ⇒ −ln2 = −2Λt1 ⇒ t1 = =1/6 s 2 2 2Λ 1 H, 9 R1=25 Ω, R 2=100 Ω. Αρχικά ο πυκνωτής βρίσκεται σε τάση 20V. Κλείνουμε το διακόπτη και αρχίζει φθίνουσα ηλεκτρική ταλάντωση. Κάποια στιγμή που το φορτίο του πυκνωτή γίνεται μηδέν για 1η φορά, η ένταση του ηλεκτρικού ρεύματος γίνεται 6Α. Να βρεθεί η θερμότητα που εκλύθηκε σε κάθε αντίσταση μέχρι τότε. Λύση:

9. Δίνεται για το κύκλωμα C=20 mF,

Η αρχική ενέργεια του πυκνωτή είναι: Με αντικατάσταση έχουμε: Όταν είναι: q=0, Άρα:

L=

1 U E,max = CV 2 2

1 U E,max = 20 ⋅10-3 ⋅ 202 J ⇒ U E,max = 4 J 2

τότε Ι=6Α

1 11 2 U B,max = Li 2 ⇒ U B,max = 6 J ⇒ U B,max = 2 J 2 29

Ταλαντώσεις 2 9 .

Βήμα 3ο

Η απώλεια ενέργειας είναι η θερμότητα που εκλύθηκε στις αντιστάσεις.

UE,max - UB,max=QR,ολ

Άρα:

ή

QR,ολ = 2 J

Επειδή οι αντιστάσεις διαρρέονται από κοινό ρεύμα, ο λόγος των θερμοτήτων ισούται με το λόγο των αντιστάσεων.

Q1 ΣΙ2 ⋅ R1 ⋅ ΔΤ R1 Q1 R1 Q1 25 Q1 1 = = ⇒ Δηλαδή: ⇔ ⇔ = = = Q2 ΣΙ 2 ⋅ R 2 ⋅ ΔΤ R 2 Q2 R 2 Q 2 100 Q2 4 Aλλα : Q1 + Q 2 = 2 J Οπότε παίρνουμε: Q1=0,4 J

και

Q2=1,6 J

10. Σώμα μάζας m=4 kg εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση πλάτους Α=0,4 m, στερεωμένο στο άκρο ελατηρίου σταθεράς K = 400 N/m , υπό την επίδραση εξωτερικής περιοδικής δύναμης με συχνότητα f Δ =

3 Hz . Το σώμα π

για t = 0 βρισκόταν στην θέση ισορροπίας του, ξεκινώντας κατά τη θετική φορά. α. Να γραφεί η εξίσωση της ταλάντωσης που πραγματοποιεί το σύστημα και να υπολογιστεί η ολική της ενέργεια. β. Αυξάνουμε τη συχνότητα του διεγέρτη σε f ΄Δ =

4 Hz . Τι θα συμβεί με το πλάτος της ταλάντωσης και γιατί; π

γ. Πόση θα έπρεπε να ήταν η μάζα m1 του σώματος στο αρχικό πείραμα, για να παρουσίαζε το σύστημα μέγιστη ικανότητα απορρόφησης ενέργειας από το διεγέρτη; Θεωρείστε ότι η σταθερά απόσβεσης b του συστήματος είναι πολύ μικρή. Λύση: α. Το σύστημα έχει συχνότητα ταλάντωσης την fΔ, άρα: ω = 2π ⋅ f ∆ = 6 rad / s ,

Άρα:

x = 0, 2 ⋅ηµ(6t)

και

E ΟΛ =

Α=0,4 m

S.I.

DA 2 mω2 Α 2 = = 11,52 J 2 2

και φ0=0.

3 0 . Ταλαντώσεις

Βήμα 3ο

β. H ιδιοσυχνότητα είναι:

f0 =

1 Κ 10 Hz = 2π m π

Έτσι, επειδή η f ∆΄ είναι πιο κοντά στην f 0 απ’ ότι η f ∆

(f

∆

)

< f ∆΄ < f 0 , το νέο πλάτος Α΄ θα εί-

ναι μεγαλύτερο του Α. γ. Θα πρέπει να έχουμε συντονισμό, δηλαδή:

f ∆ = f0 ⇒ f ∆ =

1 Κ ⇒ 2π m1

m1 = 4 Kg

Σημειώσεις Προσέξτε ότι εδώ είναι D = mω2 και όχι D = K, όπως θα συνέβαινε στην ελεύθερη ταλάντωση. Επειδή το b είναι πολύ μικρό, θεωρήσαμε ότι έχουμε συντινισμό ακριβώς όταν f∆ = f0 .

11.

Υλικό σημείο εκτελεί δυο απλές αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας συχνότητας, ίδιας διεύθυνσης, γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας με εξισώσεις:

π π   x1= 3 ⋅ ημ  10t −  και x2=1.ημ  10t +  x1, x2 σε cm και t σε s.

3 6   α. Να βρείτε την εξίσωση της συνισταμένης ταλάντωσης. β. Να βρείτε την ενέργεια του υλικού σημείου που εκτελεί τη συνισταμένη ταλάντωση αν m=1 kg. γ. Να βρείτε το μέτρο της ταχύτητας του σώματος όταν x=1 cm. Λύση: α. Η διαφορά φάσης μεταξύ των δύο ταλαντώσεων είναι: Δφ=φ2 − φ1=+π/2 rad Η εξίσωση της συνισταμένης ταλάντωσης είναι:

π   x=Α΄.ημ 10t − + θ  3   Το πλάτος Α΄ και η θ της συνισταμένης ταλάντωσης υπολογίζονται από τις σχέσεις: A΄ =

( 3)

2

π +12 + 2 ⋅ 3 ⋅1⋅ συν   cm = 2 cm 2

Ταλαντώσεις 3 1 .

Βήμα 3ο

και

π 1⋅ ημ   1 π 2 εφθ = = ⇒ θ = rad 6 π 3 3 +1⋅ συν   2  

Τελικά:

π π  x=2.ημ 10t - +  (x σε cm, t σε s) 3 6  1 1 E ολ = D ⋅ Α΄2 = m ω2 ⋅ Α΄2 2 2

β. Η ενέργεια του υλικού σημείου είναι: Με αντικατάσταση παίρνουμε:

(

1 E ολ = 1⋅102 ⋅ 2 ⋅10−2 2

)

2

J ⇔ E ολ = 2 ⋅10-2 J

γ. Εφαρμόζουμε: Α.Δ.Ε. Τ.

U+Κ = Ε ολ

⇔

1 1 1 D x 2 + mυ 2 = DA΄2 2 2 2 2 2 2 2 2 ω x +υ =ω A ⇔

⇔

D x 2 + mυ 2 = DA΄2 ⇔

υ = 3 m/s

12. Η κίνηση ενός σωματιδίου περιγράφεται από την εξίσωση: y = 8 ⋅ συν ( 2t ) ⋅ ημ ( 202t )

( y σε cm,

t σε s )

α. Αναγνωρείστε το είδος της κίνησης και αναφέρετε τις προϋποθέσεις που πρέπει να ισχύουν για τις δύο συνιστώσες κινήσεις. β. Γράψτε τις εξισώσεις των δύο κινήσεων που είναι οι συνιστώσες της κίνησης που δίνεται. γ. Πόσες φορές σε χρόνο t = 2πs μεγιστοποιείται το πλάτος της συνισταμένης κίνησης; Λύση α. Είναι διακρότημα. Θα πρέπει οι δύο ταλαντώσεις να έχουν: • ίδια διεύθυνση, • ίδιο πλάτος, • να εξελίσσονται γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας και • οι συχνότητές τους να διαφέρουν πολύ λίγο.

3 2 . Ταλαντώσεις

Βήμα 3ο

 ω -ω β. Από τη θεωρία είναι: y = 2A ⋅ συν  1 2  2 Άρα:

  ω + ω2  t  ⋅ ημ  1 t   2 

2A = 8cm ⇒ A = 4cm ω1 − ω2  = 2rad/s  ω1 = 204 rad/s  2  ⇒ ω1 + ω2 ω 2 = 200 rad/s = 202rad/s   2

και

y1 = 4 ⋅ ημ ( 204t ) , y 2 = 4 ⋅ ημ ( 200t )

γ. Η συχνότητα του διακροτήματος είναι:

( y1 , y 2 σε cm, t σε s )

f δ = f1 − f 2 =

Άρα σε t = 2π s το πλάτος μεγιστοποιείται:

Ν=

t 2π ⇒ Ν= ⇒ Ν = 4 φορές. Τδ π/2

2 Hz π

Βήμα 4ο

Ταλαντώσεις 3 3 .

1. To διάγραμμα υ=f(t) για ένα σώμα μάζας m=2 Kg που κάνει γ.α.τ. φαίνεται στο σχήμα.

α. Να βρείτε: τη σταθερά D, να γράψετε τις εξισώσεις y=f(t) και α=f(t). β. Ποια στιγμή είναι U=K για 3η φορά; ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ...........................................................................................................................

3 4 . Ταλαντώσεις

Βήμα 4ο

2. Μικρό σώμα μάζας

m 1 = 1kg εκτελεί γ.α.τ. σε λείο οριζόντιο επίπεδο, στερεωμένο στο άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς Κ=100 N/m, έχοντας μέ-

γιστη ταχύτητα 2 m/s. Τη στιγμή ακριβώς που το σώμα m1 βρίσκεται σε ακραία θέση, προσκολλάται πάνω του δεύτερο σώμα m 2 = 2kg . α. Πόσο είναι το πλάτος της νέας ταλάντωσης που εκτελεί το σώμα m ολ; β. Ποιος είναι ο λόγος

T2 των περιόδων των δύο ταλαντώσεων; T1

γ. Ποιά η επί τοις εκατό μείωση της ολικής ενέργειας της ταλάντωσης; ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ...........................................................................................................................

3.

Το σώμα μάζας m=1Kg ισορροπεί όπως φαίνεται στο σχήμα και τα κατακόρυφα ελατήρια με σταθερές K1=120N/m, K2=80 N/m θεωρούνται ιδανικά. Όταν το σώμα ισορροπεί το πρώτο ελατήριο είναι επιμηκυμένο και το δεύτερο συσπειρωμένο α. Να δείξετε ότι αν η μάζα απομακρυνθεί κατά 0,2 m πάνω από τη Θ.I. της κατά τη διεύθυνση του κατακόρυφου άξονα και αφεθεί ελεύθερη, θα εκτελέσει γ.α.τ. και να υπολογίσετε την περίοδό της. β. Να βρείτε την μέγιστη δυναμική ενέργεια του κάθε ελατηρίου. γ. Να υπολογίσετε τον ρυθμό μεταβολής της ορμής του σώματος στις ακραίες θέσεις.

Βήμα 4ο

Ταλαντώσεις 3 5 .

........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ...........................................................................................................................

4. Ένας δίσκος μάζας m1=2Kg

συνδέεται στο κάτω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου Κ= 400 Ν/m, του οποίου το άλλο άκρο είναι στερεωμένο σε οροφή. Ένα σώμα μάζας m2=m1 τοποθετείται πάνω στο δίσκο και τη στιγμή t0=0 το σύστημα αφήνεται ελεύθερο να κινηθεί. Τη στιγμή t 0=0 θεωρούμε την απομάκρυνση θετική. Δίνεται g=10m/s2. α. Να βρεθούν το πλάτος και η περίοδος της κίνησης. β. Να γράψετε τη σχέση x=f(t). γ. Να βρείτε την μέγιστη δυναμική ενέργεια του ελατηρίου. ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ...........................................................................................................................

3 6 . Ταλαντώσεις

Βήμα 4ο

5. Ένα σώμα μάζας m=10 Kg συνδέεται στο άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς Κ. Το σύστημα κάνει γ.α.τ. πλάτους 0,2 m και στο σχήμα φαίνεται το διάγραμμα φάσης - χρόνου. α. Να υπολογίσετε τη σταθερά Κ του ελατηρίου. β. Να γράψετε τις εξισώσεις y= f(t) και υ= f(t). γ. Να βρείτε τον ελάχιστο χρόνο για να γίνει μέγιστη η ταχύτητα του σώματος. ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ...........................................................................................................................

6. Σε ιδανικό κύκλωμα L - C, το ρεύμα που διαρρέει το κύκλωμα δίνεται από τη σχέση:

i = 2 ⋅ 10 −3 ημ1000t S.I.

ενώ το πηνίο έχει συντελεστή αυτεπαγωγής L=0,25 H. Να βρείτε: α. την εξίσωση του φορτίου στους οπλισμούς του πυκνωτή σε σχέση με το χρόνο. β. την τιμή της χωρητικότητας του πυκνωτή.

-3 γ. το φορτίο στους οπλισμούς του πυκνωτή τη στιγμή που i = 10 A . δ. τη χρονική στιγμή που γίνεται UE=UB για 2η φορα.

........................................................................................................................... ...........................................................................................................................

Βήμα 4ο

Ταλαντώσεις 3 7 .

........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ...........................................................................................................................

7.

Στο κύκλωμα του σχήματος δίνονται: Ε=50 V, r=5 Ω, R=10 Ω, C=20 μF και L=2 mΗ. Αρχικά κλείνουμε τον διακόπτη Δ 1 και αφήνουμε ανοικτό τον Δ2. Στη συνέχεια, κλέινουμε ακαρι-αία τον Δ2 και ανοίγουμε τον Δ1, τη χρονική στιγμή t=0. α. Να εξηγήσετε γιατί το κύκλωμα LC θα εκτε-λέσει ηλεκτρική ταλάντωση. β. Να γράψετε τις εξισώσεις σε σχέση με το χρόνο για την ένταση του ρεύματος και το φορτίο του πυκνωτή. γ. Να υπολογίσετε την ένταση του ρεύματος όταν το φορτίο του πυκνωτή είναι το 1/2 της μέγιστης τιμής του. ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ...........................................................................................................................

3 8 . Ταλαντώσεις

Βήμα 4ο

........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ...........................................................................................................................

8. Για το κύκλωμα του σχήματος δίνονται: R=4 Ω, L=1mH α. Ο διακόπτης δ είναι στη θέση 1 και ο ρυθμός που ακτινοβολεί ενέργεια το πηνίο είναι 32 J/s, όταν διαρρέεται από ρεύμα έντασης 4 Α. Να βρείτε την ενέργεια του μαγνητικού πεδίου του πηνίου. β. Ο διακόπτης πάει στη θέση 2, τη στιγμή t=0. Τι φαινόμενο θα λάβει χώρα; Τι θα γίνει η αρχική ενέργεια του πηνίου τελικά; γ. Να βρείτε το λόγο των θερμοτήτων που ελευθερώνονται στις αντιστάσεις στη διάρκεια του φαινομένου. ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ...........................................................................................................................

9.

Το σώμα του σχήματος κάνει φθίνουσα μηχανική ταλάντωση και η απομάκρυνση με το χρόνο είναι:

y = 0, 2 ⋅ e -ln8 ⋅t ⋅ συν(ωt)

Βήμα 4ο

Ταλαντώσεις 3 9 .

α. Αν σε χρόνο t=4Τ το πλάτος ελαττώνεται κατά 50%, να βρείτε, την σταθερά Λ και την περίοδο Τ της φθίνουσας ταλάντωσης. β. Αν στο σύστημα αρχίσει να επενεργεί εξωτερική περιοδική δύναμη με συχνό-

5 Hz , το πλάτος της ταλάντωπ σης είναι 0,4 m. Το σώμα για t = 0 βρισκόταν στην Θ.Ι. του, ξεκινώντας με υ>0. Δίνονται m=2 kg και K=200 N/m. ι. Να γραφεί η εξίσωση της ταλάντωσης που πραγματοποιεί το σύστημα και να υπολογιστεί η ολική της ενέργεια. ιι. Μεταβάλλουμε τη συχνότητα του διεγέρτη. Τι θα συμβεί με το πλάτος της ταλάντωσης και γιατί; τητα f Δ =

........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ...........................................................................................................................

10.

Υλικό σημείο μάζας m=1 kg εκτελεί δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας συχνότητας, ίδιας διεύθυνσης, γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας με εξισώσεις:

π  x1= 2 3 ⋅ ημ (10t ) και x2=2·ημ  10t +  x1, x2 σε cm και t σε s.

2  α. Να παρασταθούν γραφικά σε κοινό σύστημα αξόνων x - t οι δύο ταλαντώσεις και να βρείτε την εξίσωση της συνισταμένης ταλάντωσης.

4 0 . Ταλαντώσεις

Βήμα 4ο

β. Να βρείτε την ενέργεια του υλικού σημείου που εκτελεί τη συνισταμένη ταλάντωση. γ. Να βρείτε το μέτρο της ταχύτητας του σώματος όταν x=2 cm. ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ...........................................................................................................................

11.

Υλικό σημείο κάνει μία κίνηση που προκύπτει από την την σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων, που έχουν ίδια διεύθυνση, ίδιο πλάτος Α=4 cm και συχνότητες f1=200 Hz και f2=202 Hz. α. Να βρείτε την περίοδο του διακροτήματος. β. Ποιο είναι το μέγιστο πλάτος και η συχνότητα της συνισταμένης ταλάντωσης; γ. Πόσα μέγιστα πραγματοποιούνται σε 4,1 s; ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ...........................................................................................................................

Ταλαντώσεις 4 1 .

Βήμα 5ο

Θέμα 1ο Α. To διάγραμμα α=f(t) για ένα σώμα που κάνει γ.α.τ. φαίνεται στο σχήμα. Να βρείτε ποιες από τις επόμενες προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος.

1. Tις στιγμές 0, 2s, 4s το σώμα διέρχεται από τις ακραίες θέσεις της κίνησής του.

2. Tις στιγμές 0, 2s, 4s το σώμα διέρχεται από τη Θ.Ι. του.

3. Tις στιγμές 1s και 3s το μέτρο της ταχύτητας είναι μέγιστο.

4. Tη στιγμή 2,5s το σώμα κινείται προς ακραία θέση.

5. Η εξίσωση της απομάκρυνσης είναι: x=Α·ημωt (Μονάδες 10) ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... Β. Ένα σώμα κάνει γ.α.τ. με περίοδο Τ και πλάτος Α. Με κατάλληλη διάταξη προσφέρουμε ενέργεια στο σύστημα μέχρις ότου η ενέργεια του ταλαντωτή να τετραπλασιαστεί. Ποια από τις επόμενες προτάσεις είναι σωστή; 1. Το πλάτος τετραπλασιάζεται.

2. Το πλάτος διπλασιάζεται.

3. Η περίοδος της ταλάντωσης διπλασιάζεται.

4. Η περίοδος της ταλάντωσης τετραπλασιάζεται. (Μονάδες 5) ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... Γ. Ο πυκνωτής, στη διάρκεια ηλεκτρικής ταλάντωσης κυκλώματος L-C, εκφορτίζεται: 1. τέσσερεις φορές, 2. τρεις φορές, 3. δύο φορές, 4. μία φορά. (Μονάδες 5) ........................................................................................................................... ...........................................................................................................................

4 2 . Ταλαντώσεις

Βήμα 5ο

Δ. Η σταθερά απόσβεσης εξαρτάται: 1. μόνο από τη φύση του μέσου, 2. μόνο από τη γεωμετρία του συστήματος, 3. από όλα τα παραπάνω, 4. έχει την ίδια τιμή για όλα τα συστήματα.

(ÌïíÜäåò 5)

........................................................................................................................... ...........................................................................................................................

Θέμα 2ο Α. Σε γ.α.τ. να δείξετε ότι: ΣF= - D.x

(Μονάδες 5)

........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... Β. Δύο κυκλώματα L - C και 2L - 2C κάνουν ηλεκτρική ταλάντωση και τα πηνία διαρρέονται από ίδιο μέγιστο ρεύμα Ι. Να συγκρίνετε: Eολ, T, Q. (Μονάδες 5) ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... Γ. Για εξαναγκασμένη ταλάντωση να κάνετε τα διαγράμματα πλάτους Α σε συνάρτηση με τη συχνότητα του διεγέρτη f Δ, για διάφορες τιμές της σταθερής απόσβεσης b. (Μονάδες 5) ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... Δ. Σε φθίνουσα ταλάντωση να δείξετε ότι:

An = e ΛΤ A n+1

(ÌïíÜäåò 5)

........................................................................................................................... ...........................................................................................................................

Ταλαντώσεις 4 3 .

Βήμα 5ο

Θέμα 3ο Ένα μικρό σώμα m=0,1 kg κάνει ευθύγραμμη κίνηση και η εξίσωση κίνησής του είναι: x=0,05·ημ(10t + π) S.I. α. Να γράψετε τις εξισώσεις α= f(t) και υ=f(t) και να βρείτε τον ελάχιστο χρόνο για να γίνει μέγιστη η ταχύτητα του σώματος. (Μονάδες 7)

3π (Μονάδες 8) s.

20 γ. Κάποια στιγμή που το σώμα βρίσκεται σε ακραία θέση, επενεργεί σ’ αυτό δύναμη απόσβεσης F=-0,2 υ S.I. Να βρείτε τον χρόνο για να γίνει το πλάτος Α0/4. (Μονάδες 10)

β. Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής του σώματος τη στιγμή

........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ...........................................................................................................................

Θέμα 4ο Σε ιδανικό κύκλωμα L=4mH, C=10 μF ο πυκνωτής έχει τάση Vmax=10 V, μετά από χρόνο Δt=π·10-4 s από τη στιγμή t=0 που κλείνει ο διακόπτης.

4 4 . Ταλαντώσεις

Βήμα 5ο

α. Να γράψετε τις εξισώσεις των μεγεθών q και ι, σε συνάρτηση με το χρόνο και να κάνετε τα αντίστοιχα διαγράμματα. (Μονάδες 8) β. Να βρείτε το φορτίο του πυκνωτή όταν UB=3UE. γ. Ποια χρονική στιγμή γίνεται UB=3UE, για 1η φορά;

(Μονάδες 7) (Μονάδες 5)

δ. To ρυθμό μεταβολής ΔVC Δt τη στιγμή π.10-4 s. (Μονάδες 5) ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ...........................................................................................................................

Ο μαθητής που έχει μελετήσει την ενότητα αυτή θα πρέπει να γνωρίζει:

[ από τη θεωρία του αρμονικού κύματος:

Την απόδειξη της εξίσωσης του αρμονικού κύματος. Τις πληροφορίες που δίνει η εξίσωση του αρμονικού κύματος, ορισμένη τιμή του x (συγκεκριμένο σημείο του μέσου) και για ορισμένη τιμή του χρόνου t. Να απαντά σε ερωτήματα που αφορούν την γ.α.τ. ενός σημείου του μέσου και να κάνει διαγράμματα απομάκρυνσης, ταχύτητας και επιτάχυνσης με το χρόνο. Να σχεδιάζει στιγμιότυπο του κύματος για ορισμένη χρονική στιγμή.

[ από τη θεωρία στη συμβολή κυμάτων:

Την απόδειξη της σύνθετης κίνησης που κάνει σημείο του μέσου όταν συμβάλλουν δύο αρμονικά κύματα. Τη συνθήκη ώστε σε ένα σημείο του μέσου να έχουμε απόσβεση και τη συνθήκη ώστε σε ένα σημείο του μέσου να έχουμε ενίσχυση.

[ από τη θεωρία των στασίμων κυμάτων:

Πως δημιουργείται ένα στάσιμο κύμα, την απόδειξη της εξίσωσης του στάσιμου κύματος και τις πληροφορίες που αυτή δίνει. Τη συνθήκη που δίνει τις θέσεις των δεσμών και τη συνθήκη που δίνει τις θέσεις των κοιλιών. Ότι η απόσταση δεσμού - κοιλίας (διαδοχικών) είναι λ/4. Για τη διαφορά φάσης των σημείων του μέσου. Να σχεδιάζει στιγμιότυπα του στάσιμου κύματος για ορισμένες χρονικές στιγμές.

[ από τη θεωρία των Η/Μ κυμάτων: Πως δημιουργείται ένα Η/Μ κύμα και τα χαρακτηριστικά ενός Η/Μ κύματος που παράγεται από παλλόμενο ηλεκτρικό δίπολο. Τις εξισώσεις που περιγράφουν τις εντάσεις του ηλεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου. Τις κατηγορίες των Η/Μ ακτινοβολιών ανάλογα με τα μήκη κύματος, στο φάσμα της Η/Μ ακτινοβολίας. Τι είναι κατοπτρική ανάκλαση, τι διάχυση και το νόμο της ανάκλασης. Τι είναι διάθλαση και τον ορισμό του δείκτη διάθλαση. Τον νόμο του Snell και να τον εφαρμόζει κατά την πορεία μιας ακτίνας κατά τη διάδοσή της σε διάφορα μέσα. Ποιο φαινόμενο λέγεται ολική ανάκλαση, υπό ποιες προϋποθέσεις δημιουργείται και την απόδειξη της σχέσης που δίνει την θcrit.

Κύματα 4 7 .

Τύποι - Βασικές έννοιες

KYMATA: Τύποι - Βασικές έννοιες 1. Θεμελιώδης εξίσωση της κυματικής:

υ=λ . f

2. Εξίσωση αρμονικού κύματος:

y=A.ημ  2π 

 

  t x ±  + φ0  Τ λ 

3. Συμβολή κυμάτων από δύο σύγχρονες πηγές (y=A ημωt): .

 t r1 + r2   r1 − r2  .   ημ2π  − 2λ  λ  T 

y=2A .συν  π

r1 − r2   λ  

Πλάτος:

 Α΄= 2Α ⋅ συν  π

Ενίσχυση: Απόσβεση:

r1-r2=N.λ r1-r2=(2.N+1).λ/2

όπου N=0, ± 1, ± 2,...

4. Στάσιμα κύματα Εξίσωση στάσιμου κύματος:

t   x y= 2Α ⋅ συν  2π  .ημ  2π   λ  T

Πλάτος:

 x Α΄= 2Α ⋅ συν  2π 

Κοιλίες: Δεσμοί:

x=N .λ/2 x=(2N+1).λ/4



λ

όπου N=0, ± 1, ± 2,...

5. Ηλεκτρομαγνητικά κύματα Ι. Eξισώσεις Η/Μ κύματος:  t x  t x E = Emax ⋅ ημ2π  −  , Β = Βmax ⋅ ημ2π  −  , c = Ε Β T λ   T λ

ΙΙ. Ανάκλαση:

θ π=θ α c υ

λ0 λ

ΙΙΙ. Δείκτης διάθλασης:

n=

IV. Νόμος του Snell:

nα ⋅ nμθα = nb ⋅ ημθb ⇔

V. Κρίσιμη γωνία:

nμθcrit =

⇔

n=

nb (nb < nα ) nα

nμθα nb = ημθb nα

4 8 . Κύματα

Βήμα 1ο

ΘΕΩΡΙΑ 1 Να αποδείξετε την εξίσωση του αρμονικού κύματος. Απόδειξη Σε ελαστικό μέσο (π.χ. σε μία χορδή) διαδίδεται αρμονικό κύμα και θεωρούμε έναν άξονα x΄Οx στη διεύθυνση διάδοσης του κύματος. Το σημείο Ο, αρχή του άξονα, κάνει γ.α.τ. με εξίσωση: y =A·ημ ωt (1) Ένα τυχαίο σημείο Κ που βρίσκεται στη θέση x δεξιά του Ο θα αρχίσει να ταλαντώνεται μετά από χρόνο t1= x υ από τη στιγμή t=0. Η εξίσωση της απομάκρυνσης του σημείου Κ από τη θέση ισορροπίας του είναι: y =A·ημ ωt΄ (2) Όπου: t΄ = t-t1=t- x υ (γιατί το Κ θα ξεκινήσει την κίνησή του μετά από χρόνο x υ ). Άρα η εξίσωση (2) για το σημείο Μ γράφεται:

(

)

(

)

 2π  t−xυ  ⇔ y =A.ημ  ω t − x υ  ⇔ y =A.ημ    Τ  x   t  t x y =A.ημ  2π  −   ⇔ y=A.ημ 2π  -    Τ υ ⋅ Τ  Τ λ

(3)

Σημείωση Αν το αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά την αρνητική φορά του άξονα x΄Οx. Τότε η εξίσωση του αρμονικού κύματος γράφεται: ΘΕΩΡΙΑ 2

 t x y=A.ημ 2π  +  Τ λ

Να αποδείξετε την εξίσωση της σύνθετης κίνησης που κάνει σημείο του μέσου, όταν συμβάλλουν δύο αρμονικά κύματα που παράγονται από σύγχρονες πηγές.

Απόδειξη Θεωρούμε τις δύο πηγές των αρμονικών κυμάτων Π1 και Π2, όπως στο σχήμα, που

Κύματα 4 9 .

Βήμα 1ο

ταλαντώνονται βάσει της εξίσωσης: y1=A.ημωt Τα δύο κύματα που παράγονται έχουν την ίδια ταχύτητα διάδοσης υ και έχουν το ίδιο μήκος κύματος λ. Ένα υλικό σημείο Κ της επιφάνειας του υγρού, στο οποίο συμβάλλουν (συναντώνται) τα δύο αρμονικά κύματα, εκτελεί συνισταμένη ταλάντωση. Η απομάκρυνση y του σημείου Κ από τη Θ.Ι. του θα είναι κάθε στιγμή, η συνισταμένη των δύο επιμέρους απομακρύνσεων y1 και y2, λόγω της αρχής της επαλληλίας. Δηλαδή: y=y1+y2 (1)

t r  t r  y1=A.ημ 2π  − 1  και y2=A.ημ 2π  − 2  Τ λ Τ λ  Τότε η σχέση (1) γράφεται: Όπου:

t r  t r  (*) y=A.ημ 2π  − 1  +A.ημ 2π  − 2  Τ λ Τ λ  Από την τελευταία παίρνουμε την εξίσωση της συνισταμένης ταλάντωσης:  r -r   t r -r  y=2A.συν  π 1 2  .ημ2π  - 1 2  λ    T 2λ 

(2)

 r -r  είναι το πλάτος, το οποίο είναι σταθερό για ένα Α΄=2A. συν  π 1 2  λ   συγκεκριμένο σημείο. Τα σημεία του μέσου κάνουν γ.α.τ. με ίδια συχνότητα, αλλά δεν έχουν το ίδιο πλάτος Α΄.

όπου:

(*)

Από την τριγωνομετρία είναι γνωστό ότι:

ΘΕΩΡΙΑ 3

ημα + ημβ = 2συν

α −β α +β ⋅ ημ 2 2

Να βρείτε τη συνθήκη ώστε σ’ ένα σημείο του μέσου να έχουμε απόσβεση και τη συνθήκη ώστε σ’ ένα σημείο του μέσου να έχουμε ενίσχυση των κυμάτων.

Απόδειξη α. Σημεία, για τα οποία τυχαίνει να ισχύει:

 r −r  συν  π 1 2  =0 λ  

5 0 . Κύματα

Βήμα 1ο

ηρεμούν (Α΄=0) και τότε λέμε ότι στα σημεία αυτά έχουμε απόσβεση. Είναι: π

r1 − r2 λ π = ( 2k +1) ⋅ ⇔ r1 - r2 = ( 2k +1) 2 λ 2

β. Σημεία, για τα οποία τυχαίνει να ισχύει:

όπου: k=0, ± 1, ± 2,...

 r −r  συν  π 1 2  = ±1 λ  

ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος Α΄=2Α και τότε λέμε ότι στα σημεία αυτά έχουμε ενίσχυση. Είναι:

π

r1 − r2 = k ⋅ π ⇔ r1 - r2 =k.λ λ

όπου: k=0, ± 1, ± 2,...

ΘΕΩΡΙΑ 4 Να αποδείξετε την εξίσωση του στάσιμου κύματος. Απόδειξη Σε μία χορδή διαδίδονται δύο αρμονικά κύματα. Τα δύο αυτά κύματα έχουν: ίδιο πλάτος Α, ίδια συχνότητα f, ίδια ταχύτητα διάδοσης υ και αντίθετες φορές διάδοσης.

Θεωρούμε άξονα x΄Οx . Έστω ένα σημείο Β, που είναι στη θέση με τετμημένη (x). Το κύμα που διαδίδεται προς τα δεξιά, εξαναγκάζει σε ταλάντωση το σημείο Β με η εξίσωση κίνησης, λόγω του κύματος αυτού, που είναι:

 t x (1) y1=A.ημ 2π  −  Τ λ Λόγω του κύματος που διαδίδεται προς τα αριστερά,το σημείο Β αρχίζει να ταλαντώνεται με εξίσωση κίνηση, που είναι:  t x (2) y2=A.ημ 2π  +  Τ λ Η απομάκρυνση y του σημείου Β από τη Θ.Ι. του θα είναι κάθε στιγμή, η συνισταμένη των δύο απομακρύνσεων y1 και y2.  t x  t x y=y1+y2 ⇔ y=A.ημ 2π  −  +A.ημ 2π  +  Τ λ Τ λ Η τελευταία με τη βοήθεια της τριγωνομετρίας(*) γράφεται:

Δηλαδή:

(3)

Κύματα 5 1 .

Βήμα 1ο

 x  t y=2A.συν  2π  .ημ  2π   λ  T

(4)

 x Α΄=2A. συν  2π   λ που είναι σταθερό για ένα συγκεκριμένο σημείο.

Το πλάτος της κίνησης είναι:

(5)

Τα σημεία του μέσου κάνουν γ.α.τ. με ίδια συχνότητα, αλλά δεν έχουν το ίδιο πλάτος Α΄ το οποίο εξαρτάται από τη θέση του σημείου αυτού. (*)

Από την τριγωνομετρία είναι γνωστό ότι:

ΘΕΩΡΙΑ 5

ημα + ημβ = 2συν

α −β α +β ⋅ ημ 2 2

Να βρείτε τη σχέση που δίνει τις θέσεις των δεσμών και τη σχέση που δίνει τις θέσεις των κοιλιών.

Απόδειξη α. Σημεία, για τα οποία τυχαίνει να ισχύει:

 2πx  συν   =0  λ 

ηρεμούν (Α΄=0) και τα σημεία αυτά τα ονομάζουμε δεσμούς. Είναι:

2πx π λ = ( 2k +1) ⋅ ⇔ x = ( 2k +1) λ 2 4

β. Σημεία, για τα οποία τυχαίνει να ισχύει:

όπου: k=0, ± 1, ± 2,...

 r −r  συν  π 1 2  = ±1 λ  

ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος Α΄=2Α και τα σημεία αυτά τα ονομάζουμε κοιλίες. Είναι:

2πx λ = k⋅π ⇔ x = k λ 2

όπου: k=0, ± 1, ± 2,...

Οι παραπάνω σχέσεις ισχύουν με την προϋπόθεση ότι στη θέση x=0 είναι κοιλία ΘΕΩΡΙΑ 6

Να βρείτε τη σχέση που δίνει την κρίσιμη γωνία για να γίνει το φαινόμενο της ολικής ανάκλασης.

Απόδειξη Έστω μια φωτεινή πηγή Π σε υλικό μέσο 1. Ακτίνες φωτός μεταβαίνουν από το μέσο 1 στο αραιότερο μέσο 2 (δες σχήμα). Ο νόμος του Snell είναι:

5 2 . Κύματα

Βήμα 1ο

n1 ημθ π = n 2 ημθ δ ⇔ ημθ π =

n2 ημθ δ n1

Τότε: • Αν θπ=0ο δηλαδή η ακτίνα προσπίπτει κάθετα στη διαχωριστική επιφάνεια των δύο μέσων, τότε αυτή δεν διαθλάται, γιατί από το νόμο του Snell έχουμε: θδ=0ο • Επειδή n2<n1 από το νόμο του Snell θα έχουμε: θπ<θ δ • Αν θδ=90ο από το νόμο του Snell έχουμε:

ημθ π =

n2 n1

• Αυτή η γωνία πρόσπτωσης (θπ) λέγεται κρίσιμη ή οριακή γωνία και συμβολίζεται με θcrit ή θορ. Άρα:

ημθ ορ =

n2 n1

• Αν θπ>θορ τότε η ακτίνα δεν διαθλάται και έχουμε μόνο φαινόμενο ανάκλασης που λέγεται ολική ανάκλαση.

Κύματα 5 3 .

Βήμα 2ο

Α. Από το σχολικό βιβλίο ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ έκδοση 2003. Ερωτήσεις: 2.2, 2.4, 2.5, 2.8, 2.11, 2.22, 2.25, 2.28 Ασκήσεις - Προβλήματα: 2.30, 2.32, 2.35, 2.39, 2.45, 2.48, 2.49, 2.50, 2.52

Β. Από τα Βιβλιομαθήματα: ΦΥΣΙΚΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ εκδόσεις “ΟΡΟΣΗΜΟ” Βιβλιομάθημα 5 Αρμονικά κύματα Λυμένα παραδείγματα: 2.4, 2.6 Ερωτήσεις: 1, 2, 5, 7 Προτεινόμενα θέματα: 2.1, 2.4, 2.5 Ξεχωριστό 1: σελ. 89 Βιβλιομάθημα 6

Συμβολή κυμάτων Στάσιμα Λυμένα παραδείγματα: 2.8, 2.9, 2.12 Ερωτήσεις: 4, 5, 7, 8 Προτεινόμενα θέματα: 2.9, 2.13, 2.14 Ξεχωριστό: σελ. 106 Βιβλιομάθημα 7 Ηλεκτρομαγνητικά Λυμένα παράδειγματα: Ερωτήσεις: Προτεινόμενα θέματα:

κύματα - Ανάκλαση -Διάθλαση 2.16, 2.19, 2.20 2, 5, 6 2.15, 2.17, 2.19

5 4 . Κύματα

Βήμα 2ο

Γ. Από το βιβλίο:

ΦΥΣΙΚΗ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θετικής & Τεχν/κης κατεύθυνσης 1ος τόμος (ταλαντώσεις - κύματα)

εκδόσεις “ΟΡΟΣΗΜΟ” 5.

Αρμονικό κύμα Ερωτήσεις: 5.7, 5.8, 5.9, 5.30, 5.33 Λυμένα παράδειγματα: 1, 2, 4, 5, 9, 11 Ασκήσεις για λύση: 5.37, 5.40, 5.41, 5.43, 5.47

6.

Επαλληλία κυμάτων - Στασιμα Ερωτήσεις: 6.5, 6.11, 6.12, 6.13, 6.16, 6.27 Λυμένα παράδειγματα: 1, 3, 5, 7, 10 Ασκήσεις για λύση: 6.34, 6.36, 6.39, 6.42

7.

Ηλεκτρομαγνητικά κύματα Ανάκλαση - Διάθλαση Ερωτήσεις: 7.1, 7.2, 7.5, 7.12, 7.24 Λυμένα παράδειγματα: 1, 2, 4, 5 Ασκήσεις για λύση: 7.20, 7.22, 7.27, 7.28

Βήμα 3ο

Κύματα 5 5 .

1.

Η εικόνα παριστάνει το στιγμιότυπο κύματος τη χρονική στιγμή t 0. Το κύμα δημιουργείται από πηγή που αρχίζει να ταλαντώνεται τη στιγμή t = 0 χωρίς αρχική φάση και διαδίδεται με ταχύτητα υ = 2m / s . Ζητούνται: α. Η χρονική στιγμή t 0. β. Η εξίσωση του κύματος. γ. Το διάγραμμα φ-x για τη χρονική στιγμή t 0. δ. Η χρονική στιγμή που ένα σημείο Κ, που βρίσκεται στη θέση x = 3, 3m θα απέχει για πρώτη φορά 0,1m από τη θέση ισορροπίας. ε. Να γίνουν τα διαγράμματα φ-t και y-t για το ένα σημείο Ρ στη θέση x = 2,4m . στ. Να βρεθεί η εξίσωση ενός άλλου κύματος, διπλάσιου πλάτους και τετραπλάσιας συχνότητας που διαδίδεται αντίθετα στο ίδιο μέσο, με αρχική φάση π/2. Λύση: α. t 0 = β.

x 2,7 = = 1,35s υ 2

9 9 λ = 2,7 ⇒ λ = 1, 2m άρα T = 1,35 ⇒ T = 0,6s 4 4 x   t Η εξίσωση του κύματος είναι: y = 0, 2ημ2π   S.I.  0,6 1, 2 

πx  1,35 x  , όπου 0 ≤ x ≤ 2,7 m γ. φ = 2π  − ⇒ φ = 4,5π  0,6  0,6 1, 2  Το ζητούμενο διάγραμμα φαίνεται στο σχήμα της επόμενης σελίδας.

(1)

5 6 . Κύματα

Βήμα 3ο

δ. Από την εξίσωση (1) έχουμε: 3,3   t 0,1 = 0, 2 ⋅ ημ2π  − ⇒  0,6 1, 2  33  π  t − = ⇒ 2π   0,6 12  6 2, 4   t − ε. φ = 2π   ⇒  0,6 1, 2 

Άρα:

t = 1,7s x  t  φ = 2π  - 2  οπου t ≥ = 1, 2s υ  0,6 

2, 4   t − y p = 0, 2 ⋅ ημ2π   ⇔  0,6 1, 2 

 t  y p = 0, 2ημ2π  - 2  0,6 

στ. Θα είναι με βάση την (1):

  t x  y = 0, 4 ⋅ ημ  2π  + +   0,15 0,3  υ = λf   ⇒ υ = λ΄f΄

T΄ =

λ΄ =

π  2

S.I.

λ = 0,3m 4

1 1 T 0,6s ⇒ T΄ = ⇒ T΄ = ⇒ T΄ = ⇒ T΄ = 0,15sec f΄ 4f 4 4

2. Αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά μήκος γραμμικού ελαστικού μέσου το οποίο έχει την διεύθυνση του άξονα xx΄. Πηγή του κύματος είναι το σημείο (Ο) που είναι και η αρχή του άξονα xx΄. H εξίσωση του κύματος είναι:

x  t y = 10 ⋅ ημ2π  −  x, y σε cm, t σε s  T 20  α. Τη χρονική στιγμή t1 η φάση ενός σημείου Α του ελαστικού μέσου με

Κύματα 5 7 .

Βήμα 3ο

x A = 10cm είναι ίση με π rad. Να υπολογισθεί αυτή τη στιγμή η απομά-

κρυνση ενός άλλου σημείου B του ελαστικού μέσου με x B = 12,5cm β. Αν ο χρόνος που απαιτείται για την διάδοση του κύματος από το σημείο (Α) έως το σημείο (Β) είναι Δt = 0, 25s να βρεθεί η περίοδος του κύματος. γ. Να σχεδιαστεί το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή που το κύμα φτάνει στο σημείο (Γ) με x Γ = 35cm εκείνη την στιγμή. Ποιες είναι οι θέσεις των σημείων που έχουν εκείνη τη στιγμή υ=0; δ. Αν το υλικό σημείο (Γ) του ελαστικού μέσου έχει μάζα m = 10 −3 Kg να υπολογισθεί η συνισταμένη δύναμη τη στιγμή t =

11 s.

3

Δίνεται π 2 = 10 .

Λύση:  t x  α. y = 10ημ2π  −  Α = 10cm  T 20  ⇒ 1 1  = ⇔ λ = 20cm  t x y = Aημ2π  −   λ 20  T λ 

Η φάση είναι:

t x  φ = 2π  −   T 20 

Για το σημείο Α την χρονική στιγμή t1 :

2t t x   t 10  t 1 φ Α = 2π  1 − A  ⇒ π = 2π  1 −  ⇒ 1 = 2  1 −  ⇒ 1 = 1 − 1 ⇒ Τ  T 20   T 20   T 2 t 2t 1 + 1 = 2 1 ⇒ 2 = 1 ⇒ t1 = Τ Τ Τ Για το σημείο Β την χρονική στιγμή t1 : x  t  Τ 12,5  y B = 10ημ2π  1 − Β  ⇒ y Β = 10ημ2π  −  ⇒  Τ 20   T 20  y Β = 10ημ2π (1 − 0,625 ) ⇒ y B = 10ημ ( 2π·0,375 ) ⇒ y B = 10ημ y B = 10ημ

π 4

⇒

y B = 10

3π 3π   ⇒ y B10ημ  π −  ⇒ 4 4  

2 ⇒ y B = 5 2cm 2

5 8 . Κύματα

Βήμα 3ο

β. Δx = x B − x A = 12,5 − 10 = 2,5cm , είναι η απόσταση στην οποία διαδόθηκε το κύμα από το Α ως το Β. Δx = υ·Δt ⇔ υ =

Δx 2,5 cm ⇔ υ= = 10 Δt 0, 25 s

λ λ 20 ⇔ Τ = ⇔ Τ = s = 2s Τ υ 10 γ. Το κύμα φτάνει στο σημείο x=35cm τη στιγμή t=x/υ=3,5s. Άρα στην εξίσωση υ=

t x  y = 10ημ2π  −   T 20  αντικαθιστούμε t=3,5s και παίρνουμε:  3,5 x  y = 10ημ2π  -  0 ≤ x ≤ 35cm  2 20  Τα σημεία που είναι σε ακραία θέση της ταλάντωσης τους και έχουν υ=0, εκείνη τη στιγμή βρίσκονται στις θέσεις: x = 0,10, 20, 30cm . δ. ΣF = −D· y , όπου: 2

2

Ν  2π   2π  D = m·ω = m·   = 10−3 ·   = 10−3 ·π 2 = 10−3 ·10 = 10−2 m  Τ   2  2

 11   3 35  x  t y = 10ημ2π  −  ⇒ y Γ = 10ημ2π  −  ⇒  2 20   T 20   11 35   11 7  y Γ = 10ημ2π  −  ⇒ y Γ = 10ημ2π  −  ⇒  6 20   6 4 1 π  22 21   y Γ = 10ημ2π  −  ⇒ y Γ = 10ημ  2π  ⇒ y Γ = 10ημ ⇒ 2 6  12 12   1 y Γ = 10 = 5cm 2

ΣF = D· y = −10−2 ·5·10−2 N = −5·10-4 N

3.

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου και κατά τη θετική κατεύθυνση του άξονα διαδίδεται αρμονικό κύμα της μορφής:

Κύματα 5 9 .

Βήμα 3ο

 πx  y = -0,1ημ  - 4πt   2 

SI

Να βρεθούν: α. Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος. β. Κάποια χρονική στιγμή t οι φάσεις των ταλαντώσεων δυο σημείων (Μ) και (Ν) του μέσου που είναι προς τα δεξιά της πηγής (Ο), είναι

17π 10π rad . Να βρείτε ποιο από τα δυο σημεία rad και φ N = 6 3 είναι πιο κοντά στην πηγή (Ο) και ποια είναι η απόσταση μεταξύ των δύο σημείων. γ. Ποια είναι η απομάκρυνση του σημείου (Ν) από τη θέση ισορροπίας του, κάθε φορά που το σημείο (Μ) αποκτά τη μέγιστη θετική απομάκρυνση. δ. Να βρείτε την τιμή της ταχύτητας ενός μορίου του μέσου, όταν η απομάκρυνσή του από τη θέση ισορροπίας του είναι: y = 0,05m ε. Να γίνει το στιγμιότυπο του κύματος τη στιγμή t = 1 s. Λύση: φΜ =

α. Διαμορφώνουμε την εξίσωση που μας δίνεται βάσει της εξίσωσης του αρμονικού κύματος της θεωρίας:

 t x y = Aημ2π  -  T λ

πx  x   ⇒ y = 0,1ημ2π  2t -  y = 0,1ημ  4πt  2  4   Άρα είναι: Α = 0,1 m , 2 =

1 1 ⇒ T = s και f = 2 Hz , λ = 4 m T 2

Επομένως έχουμε:

υ = λ ⋅ f = 8 m/s

17π 10π 20π rad το σημείο (Μ) βρίσκεται = rad > φ N = 6 3 6 πλησιέστερα στην πηγή (Ο, x=0), σε σχέση με το σημείο (Ν).

β. Επειδή είναι φ Μ =

2π 2π  txM  2π 2π 3π 2π  Τ λ  ⇒ Δφ = λ ( x N - x M ) ⇒ Δφ = λ Δx ⇒ 6 = λ Δx 2π 2π φN = txN   Τ λ

φΜ =

6 0 . Κύματα

⇒

Βήμα 3ο

3 2 = Δx ⇒ Δx = 1m 6 4

π rad η ταλάντωση του σημείου (Ν) καθυστερεί σε σχέση με την 2 ταλάντωση του (Μ) κατά Τ/4. Άρα κάθε φορά που είναι y M =+A θα είναι y = 0 N κινούμενο κατά τη θετική φορά (υ>0) . δ. Εφαρμόζουμε την Α.Δ.Ε. για την ταλάντωση του μορίου:

γ. Επειδή Δφ =

E=k+U⇔

(

1 1 1 DA 2 = mυ2 + Dy 2 ⇔ DA 2 - Dy 2 = mυ 2 ⇔ 2 2 2

)

⇔ ω2 A 2 - y 2 = υ2 ⇔ υ = ± ω A 2 - y 2 ⇒ υ = ± ω A 2 -

A2 ⇒ 4

3A 2 ⇒ υ = ±0, 2π 3 m/s 4 ε. Για t=1 s η εξίσωση του κύματος γίνεται: ⇒ υ = ±ω

 x y = 0,1ημ2π  2 -  S.I.  4 Σε χρόνο t=1s το κύμα έχει διανύσει απόσταση x=υ . t=8m, δηλ: 0 ≤ x ≤ 8m

4. Δύο σύγχρονες πηγές κυμάτων Π1 και Π2 δημιουργούν στην επιφάνεια νερού που ηρεμεί εγκάρσια κύματα που διαδίδονται με ταχύτητα υ=80 cm/s. Οι δύο πηγές εκτελούν απλή αρμονική ταλάντωση με εξίσω-

 2π  y = Aημ  t   Τ  Με την επίδραση των δύο κυμάτων, ένα μικρό κομμάτι φελλού που βρίσκεται στην επιφάνεια του νερού ταλαντώνεται, με εξίσωση απομάκρυνσης από τη θέση ισορροπίας του:

ση:

y = 4ημ2π (8t - 4 )

y σε m και t σε s.

Οι αποστάσεις του φελλού από τις πηγές και το μήκος κύματος λ των δυο κυμάτων συνδέονται με τη σχέση r1 - r2 = 2λ .

Κύματα 6 1 .

Βήμα 3ο

α. Να υπολογίσετε τις αποστάσεις r1 και r2 . β. Ποια είναι η επιτάχυνση της ταλάντωσης του φελλού τις χρονικές στιγμές: 0,3 s και 0,6875 s μετά τη στιγμή t=0; γ. Ποια χρονική στιγμή μετά την t=0 περνά ο φελλός από τη θέση μέγιστης απομάκρυνσης για 1η φορά; Λύση: α. Η εξίσωση της συνισταμένης ταλάντωσης του φελλού εξαιτίας των δύο κυμάτων είναι:

 r -r   t r +r  y = 2Aσυν  2π 1 2  ημ2π  - 1 2  2λ  2λ   T

εξίσωση γίνεται:

 t r +r  y = 2Aημ2π  - 1 2  (1) 2λ  T

Αλλά:

y = 4ημ2π (8t - 4 )

Εφόσον

r1 - r2 = 2λ η

(2)

Εξισώνοντας τους συντελεστές ομοίων όρων των (1) και (2) παίρνουμε:

t 1 = 8t ⇒ T = s ⇒ f = 8 Hz T 8 Δίνεται επίσης ότι:

r1 - r2 = 2λ

και

r1 + r2 = 4 ⇒ r1 + r2 = 8λ 2λ

(3)

(4)

Από την λύση του συστήματος των (3) και (4) παίρνουμε: r1 = 5λ και r2 = 3λ Από την θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής έχουμε:

λ=

υ 80 cm = 10 cm ⇔ λ= f 8

Άρα: r1 = 50cm και r2 = 30cm β. Βρίσκουμε πρώτα ποια χρονική στιγμή αρχίζει η συνισταμένη ταλάντωση του φελλού, μετά την t=0. Εξαιτίας του κύματος από την πηγή Π 2 ταλαντώνεται

r2 30 = = 0, 375 s u 80 Αντίστοιχα από την πηγή Π1 ταλαντώνεται μετά από χρόνο:

μετά από χρόνο:

t2 =

t1 =

r1 50 = = 0, 625 sec u 80

Δηλ. η συνισταμένη ταλάντωση του φελλού ξεκινά μετά την t = 0, 625 sec . Άρα την χρονική στιγμή t = 0, 3 sec δεν έχει φτάσει στον φελλό κανένα κύμα, οπότε y = 0 και α = -ω2 y = 0 .

6 2 . Κύματα

Βήμα 3ο

Αντίθετα την χρονική στιγμή t = 0, 6875 sec ο φελλός ήδη κάνει συνισταμένη ταλάντωση εξαιτίας των δύο κυμάτων με εξίσωση: y = 4ημ2π (8t - 4 ) ⇒ y = 4ημ2π (5, 5 - 4 ) ⇒ y = 4ημ3π = 0 και α = 0

γ. y = 4ημ2π (8t - 4 ) ⇔ 4 = 4ημ2π (8t - 4 ) ⇔ 1 = ημ (16πt - 8π ) ⇔

π π = ημ (16πt - 8π ) ⇔ 16πt - 8π = 2κπ + ⇔ 2 2 π κ 17 ⇔ 16πt = 2κπ + 8π + ⇔ t = + sec 2 8 32 ημ

Επειδή πρέπει t > 0, 625 sec το κ μπορεί να πάρει τιμές: κ = 1, 2,... Επειδή θέλουμε για 1η φορά θέτουμε κ=1, οπότε: t = 0, 65625 sec

5. Σε ομογενή ελαστική χορδή μήκους

L = 102,5cm που το ένα άκρο της είναι ακλόνητα στερεωμένο δημιουργούνται στάσιμα κύματα. Αν η εξίσωση του

πχ ⋅ ημ8πt (y, x σε cm και t σε s).

5 α. Να γραφούν οι εξισώσεις του τρέχοντος και του ανακλώμενου κύματος και να βρεθεί η ταχύτητα διάδοσης του τρέχοντος κύματος. β. Να βρεθεί η εξίσωση που δίνει τις αποστάσεις από την πηγή όλων των σημείων που πάλλονται με πλάτος 4cm. Να γραφεί η εξίσωση απομάκρυνσης χρόνου για τα σημεία αυτά. γ. Να βρεθεί ο αριθμός των κοιλιών που δημιουργούνται κατά μήκος της χορδής. δ. Να γίνουν τα στιγμιότυπα του κύματος τις χρονικές στιγμές t 1 = T / 4 στάσιμου κύματος είναι y = 8συν

και t 2 = 3T / 4 στο ίδιο διάγραμμα. ε. Να βρεθούν τα σημεία της χορδής που έχουν μέγιστη ταχύτητα μέτρου ίσου με το μισό του πλάτους της ταχύτητας μιας κοιλίας και να γραφεί η εξίσωση ταχύτητας χρόνου για τα σημεία αυτά. Λύση:

α.

2πx 2πt ⋅ ημ λ T πx y = 8 ⋅ συν ⋅ ημ8 ⋅ πt 5

y = 2A ⋅ συν

   ⇒  

2A = 8 ⇒ A = 4cm 2πx πx = ⇒ λ = 10cm λ 5 2πt 1 = 8πt ⇒ T = s Τ 4

Κύματα 6 3 .

Βήμα 3ο

Άρα οι εξισώσεις του τρέχοντος και ανακλώμενου κύματος είναι:

x  t x  y = A ⋅ ημ ⋅ 2π  ∓  ⇒ y = 4ημ ⋅ 2π  4t ∓  T λ 10     Η ταχύτητα διάδοσης του τρέχοντος κύματος είναι: υ = λ ⋅ f = 40cm/s β. Το πλάτος ταλάντωσης κάθε σημείου είναι: A o = 8 συν Ao = 4

πx 1 πx π  5x  συν = ⇒ = 2κπ ±    5 2 5 3 5  ⇒  άρα πx 1 πx 4π  συν = − ⇒ = ± 2κπ   5 2 5 3

5   x = 10κ ± 3 (1)   x = 10κ ± 20 (2)  3

Η εξίσωση y-t είναι για τα σημεία που βρίσκονται στις θέσεις που δίνονται από y = A΄o ⋅ ημωt = 4ημ8πt την (1), είναι: Η εξίσωση y-t είναι για τα σημεία που βρίσκονται στις θέσεις που δίνονται από

την (2), είναι:

y = A΄o ⋅ ημωt = −4ημ8πt

γ. Η απόσταση των κοιλιών από την πηγή δίνεται από τη σχέση: x = κ ⋅ 0 ≤ x ≤ 102,5cm ⇒

λ όπου 2

205 κλ ⇒ κ < 20,5 < 102,5 ⇒ κ < 10 2

Άρα ο αριθμός κοιλιών είναι:ι κ = 21 (0, 1, 2, 3, ..., 20) δ. Στην εξίσωση του στασιμού κύματος θέτω t =

y1 = 8συν ⋅ y = 8συν ⋅

T 4

πx πx π ⋅ ημ8πt ⇒ y = 8συν ⋅ ⋅ ημ ⇒ 5 5 2

πx όπου 0 ≤ x ≤ 102,5cm 5

Βρίσκουμε την πρώτη κοιλία που αντιστοιχεί στην πηγή δηλαδή για x = 0 ⇒ y = 8cm . Γνωρίζουμε επίσης ότι η απόσταση δύο διαδοχικών κοιλιών είναι d =

λ = 5cm και στο άλλο άκρο της χορδής είναι δεσμός.

2

t=

3T πx 3 πx 3π ⇒ y1 = 8συν ⋅ ημ ⋅ 8π ⇒ y1 = 8συν ⋅ ημ 4 5 16 5 2

6 4 . Κύματα

Βήμα 3ο

Επομένως y1 = −8συν

πx , θα είναι η συμμετρική όπως στο σχήμα.

5

ε. Ao,max = 2A = 8cm διότι στη θέση της πηγής θα δημιουργηθεί κοιλία.

Uo,max = ωΑο,max = 64π cm / s .

U o΄ = ω2Α ο,max συν U o΄ =

U0 = 32π 2

πx πx  = 64συν  πx 4 πx 1 5 5  = ⇒ συν =±  ⇒ συν 5 8 5 2  

Τα ζητούμενα σημεία θα είναι ίδια με αυτά που βρέθηκαν στο ερώτημα Β

πx π ημ t 3 6 σε μονάδες του S.I. . Θεωρούμε ως t = 0 μία χρονική στιγμή κατά την οποία η αρχή x = 0 , η οποία είναι κοιλία, διέρχεται από τη θέση ισορροπίας κινούμενη κατά τη θετική κατεύθυνση. α. Να γίνουν τα διαγράμματα απομάκρυνσης - χρόνου δύο σημείων Κ και

6. Σε χορδή έχει σχηματιστεί στάσιμο κύμα με εξίσωση

y = 0, 2συν

Λ που βρίσκονται στις θέσεις x Κ = 4m και x Λ = 5m . β. Να γίνει διάγραμμα της φάσης των σημείων της χορδής σε συνάρτηση με την απόσταση x την t = 6s . γ. Ποια η ταχύτητα ενός σημείου που βρίσκεται στη θέση x = 9m τη στιγμή t = 8s . δ. Πόσοι δεσμοί υπάρχουν ανάμεσα στις θέσεις x = 1m ως x = 7m ; Λύση: πt 2πt πx 2πx α. Ισχύει: 2A = 0, 2 ⇒ A = 0,1m , = ⇒ T = 12s = ⇒ λ = 6m , 6 T 3 λ

Κύματα 6 5 .

Βήμα 3ο

Για το Κ ισχύει:

y K = 0, 2συν

π⋅4 π π 1 π  ⋅ ημ t = 0, 2   ⋅ ημ t = 0,1ημ  t + π  3 6 6 2 6 

π⋅5 π π 1 π  ⋅ ημ t = 0, 2   ⋅ ημ t = 0,1ημ  t  3 6 6  2 6  Δηλ. τα Κ, Λ είναι κατ’ αντίθεση άρα: Για το Λ ισχύει:

y Λ = 0, 2συν

β. Μεταξύ των σημείων Α και Β είναι:

2π ⋅ 6 = π rad 12 Μεταξύ των σημείων Β, Δ είναι: φ΄ = π + π = 2π rad Άρα τελικά το ζητούμενο διάγραμμα είναι: φ = ωt =

γ. Ισχύει υ = ωΑ΄συνωt =

υ=

2π πx π ⋅ 0, 2 ⋅ συν ⋅ συν t ⇒ Τ 3 6

2π π⋅9 π 2π 1 π ⋅ 0, 2 ⋅ συν ⋅ συν ⋅ 8 = ⋅ 0, 2 ( −1) ⋅ ( −1) = m / s 12 3 6 12 2 60

δ. Η εξίσωση του δεσμού είναι:

x Δ = ( 2Κ + 1)

λ 4

6 1 < x Δ < 7 ⇒ 1 < ( 2Κ + 1) ⋅ ≤ 7 ⇒ −0,16 ≤ Κ ≤ 1,83 4 Άρα Κ = 0, Κ = 1 δυο δεσμοί, στις θέσεις x1 = 1,5m και x 2 = 4,5m αντίστοιχα. Πρέπει

6 6 . Κύματα

Βήμα 3ο

7. Από σημείο Ο (x=0) γραμμικού ελαστικού μέσου διέρχεται τη στιγμή t=0 αρμονικό κύμα με ταχύτητα υ=40m/s. Το διάγραμμα παρέχει την απομάκρυνση ενός σημείου Α, σε σχέση με τον χρόνο. Το κύμα ανακλάται σε ακλόνητο εμπόδιο Ε, επιστρέφει και δημιουργεί στάσιμο. Όταν αποκαθίσταται το στάσιμο, το Ο είναι κοιλία. α. Ποια είναι η θέση του Α; β. Εξηγήστε γιατί το διάγραμμα έχει αυτή τη μορφή. γ. Ποια είναι η θέση του εμπόδιου Ε; δ. Να βρεθεί η εξίσωση του στάσιμου. Λύση: α. Ισχύει για το σημείο Α: x Α = υt = 40 ⋅ 0,125 = 5m Τ=0,1s, λ=υT=4m β. Το Α είναι δεσμός. Αρχίζει να ταλαντώνεται τη στιγμή t1 = 0,125s που το κύμα διέρχεται από αυτό και ακινητοποιείται τη στιγμή t 2 = 0,525s που το απο ανάκλαση κύμα επιστρέφει στο Α. γ. Από τη στιγμή t1 ως τη στιγμή t 2 το κύμα καλύπτει απόσταση: 2 ( AE ) = υΔt = 40 ⋅ 0, 4 = 16m

άρα:

( AE ) = 8m

x E = (8 + 5 ) m = 13m

δ. Από το διάγραμμα έχουμε: 4T = 0,525 − 0,125 = 0, 4s άρα:

T = 0,1s , λ = υ ⋅ Τ = 4m

Η ζητούμενη εξίσωση είναι: y = 0, 2 ⋅ συν

πx ⋅ ημ20πt 2

8.α. Να σχεδιάσετε την πορεία της ακτίνας του σχήματος. Η τομή του πρίσματος είναι ισόπλευρο τρίγωνο, έχει δείκτη διάθλασης n =

4 3 3

και περιβάλλεται από αέρα. β. Tι θα συμβεί αν το πρίσμα βυθιστεί σε υγρό που έχει δείκτη διάθλασης n΄ =

2 6 ; 3

Κύματα 6 7 .

Βήμα 3ο

Λύση: α. Η ακτίνα συναντά κάθετα την έδρα ΚΛ του πρίσματος και χωρίς να διαθλαστεί διαδίδεται μέσα στο πρίσμα. Η ακτίνα συναντά την έδρα ΚΜ του πρίσματος. Η ακτίνα ή θα διαθλαστεί ή θα υποστεί ολική ανάκλαση στην έδρα ΚΜ. Η γωνία πρόσπτωσης είναι θ=60ο. Η οριακή γωνία θορ υπολογίζεται από τη σχέση:

1 3 ⇒ ημθ ορ =  n 4   ⇒ θ ορ < θ 3  ημθ =  2 ημθ ορ =

Άρα η ακτίνα υφίσταται ολική ανάκλαση. Η γωνία ανάκλασης είναι φ=θ=60ο και η ακτίνα συναντά την ΛΜ κάθετα και εξέρχεται του πρίσματος. β. Το πρίσμα περιβάλλεται από υγρό, που είναι αραιότερο του πρίσματος. Άρα μπορεί να συμβεί και πάλι ολική ανάκλαση, αρκεί η γωνία πρόσπτωσης να είναι μεγαλύτερη της νέας οριακής γωνίας θ΄ορ που υπολογίζεται από τη σχέση: n΄ 2 ⇒ ημθ′ορ = ⇒ θ′ορ = 450 n 2 θ=60ο Άρα η ακτίνα υφίσταται ολική ανάκλαση στην έδρα ΚΜ του πρίσματος. ημθ′ορ =

6 8 . Κύματα

Βήμα 4ο

1. Στο σχήμα βλέπουμε το στιγμιότυπο ενός κύματος τη χρονική στιγμή t 1 = 9 / 20s . Το κύμα διαδίδεται κατά τη θετική φορά του άξονα xx΄ και τη στιγμή t=0 ξεκίνησε από x=0. Να βρεθούν: α. Η εξίσωση της κίνησης της πηγής και η εξίσωση του διαδιδόμενου κύματος. β. Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος και η μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης των σημείων του ελαστικού μέσου. γ. Στο παραπάνω στιγμιότυπο να βρεθούν οι ταχύτητες και οι επιταχύνσεις των σημείων P με x=0,7m και Β με x=0,8m. (π2 = 10) ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ...........................................................................................................................

Βήμα 4ο

Κύματα 6 9 .

2. Σε χορδή Οχ η αρχή Ο αρχίζει τη χρονική στιγμή

t = 0 να εκτελεί γ.α.τ. με πλάτος Α=0,3m. Στo εγκάρσιο αρμονικό κύμα που παράγεται, βρίσκουμε ότι δύο διαδοχικές κορυφές απέχουν μεταξύ τους 4m και ότι ένα σημείο του ελαστικού μέσου χρειάζεται ελάχιστο 0,2s για να περάσει δύο διαδοχικές φορές από τη Θ.Ι. του. α. Να βρείτε την εξίσωση του διαδιδόμενου κύματος. β. Για ένα σημείο B του ελαστικού μέσου (xΒ=5m) i. Να υπολογίσετε την απομάκρυνσή του από τη θέση ισορροπίας του τις χρονικές στιγμές 0,2 s, 0,9s και 1,8s. ii. Να υπολογίσετε τη διαφορά φάσης του σημείου Β με το Ο. γ. Να γίνει το στιγμιότυπο του κύματος τις στιγμές 0,45s και 0,9 s.

........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ...........................................................................................................................

3. Σώμα μάζας m = 0,2kg προσδένεται στο κάτω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου. Στο κάτω μέρος του σώματος προσαρμόζεται μια λεπτή αβαρής ακίδα, η οποία βυθίζεται μέσα σε ένα υγρό, που βρίσκεται κάτω από το σώμα (δες σχήμα). Εκτρέπουμε το σώμα από τη θέση ισορροπίας του κατά d = 0,1m και το αφήνουμε νά εκτελέσει ταλάντωση, η οποία θεωρείται αμείωτη τη χρονική στιγμή t = 0. Έτσι, η ακίδα δημιουργεί

7 0 . Κύματα

Βήμα 4ο

ένα αρμονικό κύμα που διαδίδεται στην επιφάνεια του υγρού. Ένα μικρό κομμάτι φελλού που απέχει απόσταση x =0,6m από την ακίδα, αρχίζει να ταλαντώνεται μετά από χρόνο Δt =0,2s. Το εγκάρσιο κύμα που δημιουργείται στην επιφάνεια του υγρού έχει λ=3m. α. Να υπολογίσετε τη σταθερά K του ελατηρίου και να γράψετε την εξίσωση της γ.α.τ. του σώματος m. β. Να γράψετε την εξίσωση του διαδιδόμενου κύματος. γ. Να βρείτε την απομάκρυνση του μικρού φελλού από τη θέση ισορροπίας του και την ταχύτητα ταλάντωσής του τη χρονική στιγμή t1 = 0,35s (π2 = 10) ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ...........................................................................................................................

4. Αρμονικό εγκάρσιο κύμα πλάτους Α=0,3m διαδίδεται κατά τη θετική κατεύθυνση του άξονα Οx. Η εξίσωση ταλάντωσης της πηγής Ο, είναι: y=Α .ημωt Στο σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της φάσης του κύματος σε συ-

Βήμα 4ο

Κύματα 7 1 .

νάρτηση με την απόσταση x από την πηγή, τη χρονική στιγμή t1=1s. α. Να βρείτε την περίοδο του κύματος, το μήκος κύματος και τη ταχύτητα διάδοσης του κύματος. β. Να γράψετε την εξίσωση του κύματος. γ. Να βρείτε για τη χρονική στιγμή t=2 s και για το σημείο Ρ του ελαστικού μέσου το οποίο απέχει από την πηγή Ο απόσταση x=1 m: την απομάκρυνσή του y, την ταχύτητά του και την επιτάχυνσή του. ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ...........................................................................................................................

5.

Σε δύο σημεία Π 1, Π2 στην επιφάνεια υγρού υπάρχουν δύο σύγχρονες πηγές παραγωγής κυμάτων πλάτους Α=1 cm και συχνότητας f=2 Hz. Ένα μικρό κομμάτι φελλού βρίσκεται σ΄ένα σημείο Φ της επιφάνειας του υγρού που απέχει r1=32cm και r2=48 cm αντίστοιχα από τα Π1 και Π2. Η ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων είναι υ=40 m/s. Να βρείτε: α. Την εξίσωση απομάκρυνσης του φελλού από τη Θ.Ι. του, όταν κάνει τη σύνθετη κίνησή του. β. Την απομάκρυνση του φελλού τις στιγμές 0,7s, 1,25 s.

7 2 . Κύματα

Βήμα 4ο

γ. Πόση είναι η μέγιστη επιτάχυνση του φελλού όταν εκτελεί τη σύνθετη κίνησή του; ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ...........................................................................................................................

6. Δυο εγκάρσια αρμονικά κύματα που έχουν το ίδιο πλάτος και την ίδια συχνότητα f=20Hz διαδίδονται κατά μήκος μιας χορδής προς αντίθετες κατευθύνσεις και δημιουργούν στάσιμο κύμα. Η μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης των σωματιδίων που βρίσκονται στις κοιλίες είναι 160πcm/s. Η απόσταση μεταξύ ενός δεσμού και της αμέσως επόμενης κοιλίας είναι Δx=15cm. α. Να γράψετε την εξίσωση του στάσιμου κύματος. β. Ποια είναι η διαφορά φάσης μεταξύ δύο σημείων της χορδής, που απέχουν μεταξύ τους απόσταση 20cm. γ. Πόσοι δεσμοί σχηματίζονται μεταξύ μιας κοιλίας του στάσιμου κύματος που επιλέγουμε σαν αρχή μέτρησης των αποστάσεων (x=0) και ενός σημείου της χορδής που απέχει από αυτήν απόσταση 135cm. δ. Ποια είναι η επιτάχυνση ενός σωματιδίου της χορδής, που απέχει 30cm από το σημείο x=0 και προς τα δεξιά του, την χρονική στιγμή 1/160s; (π 2=10) ........................................................................................................................... ...........................................................................................................................

Βήμα 4ο

Κύματα 7 3 .

........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ...........................................................................................................................

7. Ένα σκοινί διατηρείται οριζόντιο και καλά τεντωμένο. Το ένα άκρο του Κ παραμένει διαρκώς ακίνητο. Ένας μηχανισμός αναγκάζει το άλλο άκρο του Λ να εκτελεί ταυτόχρονα δύο ταλαντώσεις με εξισώσεις απομάκρυν-

π π π π σης y 1 = 2ημ  t +  και y 2 = 2 3ημ  t −  όπου τα μήκη μετριού6 6 3 6 νται σε cm και ο χρόνος σε s. Μετά από λίγο εμφανίζεται στη χορδή στάσιμο κύμα. Διαπιστώνουμε ότι δύο σημεία που πάλλονται ως κοιλίες απέχουν 1,2m, ενώ αναμεσά τους παρεμβάλλονται δύο δεσμοί. α. Ποια είναι η ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων στη χορδή; β. Ποια είναι η εξίσωση της απομάκρυνσης ενός στοιχειώδους τμήματος P που απέχει ελάχιστη απόσταση 0,1m από ένα άλλο στοιχειώδες τμήμα του σκοινιού που παραμένει διαρκώς ακίνητο; γ. Ποια σημεία ταλαντώνονται έχοντας ενέργεια ίση με το 50% της μέγιστης ενέργειας και βρίσκονται μεταξύ του 1ου δεσμού και 2η κοιλίας; δ. Ποια η ταχύτητα ενός σημείου που απέχει x = 0, 3m από μία κοιλία, όταν η απομάκρυνση του είναι y=2 2 cm; ........................................................................................................................... ...........................................................................................................................

7 4 . Κύματα

Βήμα 4ο

........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ...........................................................................................................................

8. Να σχεδιάσετε την πορεία της ακτίνας και βρείτε την ταχύτητά της στο γυάλινο πρίσμα του σχήματος. Δίνονται ότι: c=3.108 m/s, ημθορ=0,4 και ότι το πρίσμα περιβάλλεται από αέρα. ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ...........................................................................................................................

Κύματα 7 5 .

Βήμα 5ο

Θέμα 1ο Α. Σε ελαστικό μέσο διαδίδεται αρμονικό κύμα.

1. Η ταχύτητα διάδοσης εξαρτάται από τη συχνότητα και το μήκος κύματος.

2. Όταν αλλάζει το κύμα μέσο διάδοσης δεν αλλάζει το μήκος κύματος.

3. Όταν αλλάζει το κύμα μέσο διάδοσης δεν αλλάζει η συχνότητα.

4. Όταν αλλάζει το κύμα μέσο διάδοσης δεν αλλάζει η ταχύτητά του. (Μονάδες 5) ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... Β. Σε ελαστικό μέσο διαδίδεται αρμονικό κύμα. Δυο σημεία που απέχουν 3λ/2 έχουν διαφορά φάσης: 1. π/2 rad 2. 3π/2 rad 3. 5λ/2 rad 4. π/4 rad (Μονάδες 5) ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... Γ. Σε στάσιμο κύμα, ισχύει: 1. Όλα τα σημεία του μέσου περνάνε ταυτόχρονα από τη Θ.Ι.τους με ίδια φορά κίνησης.

2. Όλα τα σημεία του μέσου έχουν ταυτόχρονα μέγιστη δυναμική ενέργεια.

3. Οι κοιλίες έχουν μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης V max=ω.Α, όπου Α είναι το πλάτος κάθενός από τα τρέχοντα κύματα που συμβάλλουν.

4. Όλα τα σημεία του μέσου που έχουν ίδια φορά κίνησης έχουν Δφ=π. (Μονάδες 5)

7 6 . Κύματα

Βήμα 5ο

Δ. Από την πορεία της ακτίνας του σχήματος, συμπεραίνουμε ότι: 1. n1 < n 2 2. θ1 < θ ορ 3. υ1 > υ 2 4. λ 2 > λ12 (Μονάδες 5) ........................................................................................................................... ...........................................................................................................................

E. Aκτίνα προσπίπτει πλάγια στην επιφάνεια πρίσματος.Όταν αυξάνει η γωνία πρόσπτωσης: 1. αυξάνεται ο δείκτης διάθλασης 2. μειώνεται ο δείκτης διάθλασης 3. αυξάνεται η γωνία διάθλασης 4. μειώνεται η γωνία διάθλαση (Μονάδες 5) ........................................................................................................................... ...........................................................................................................................

Θέμα 2ο Α. Να αποδείξετε την εξίσωση του αρμονικού κύματος. (Μονάδες 5) Β. Σε μια χορδή μπορούν να δημιουργηθούν τα παρακάτω στάσιμα κύματα: y,x σε cm, t σε s 1. y=2 . συν(πx) . ημ(πt), . .

2. y=4 συν(2πx) ημ(2πt), y,x σε cm, t σε s . . y,x σε cm, t σε s 3. y=3 συν(πx/4) ημ(πt/4), Να συγκρίνετε την απόσταση δύο διαδοχικών κοιλιών και την μέγιστη ταχύτητα των κοιλιών, για τα τρία αυτά κύματα. (Μονάδες 10) ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ...........................................................................................................................

Κύματα 7 7 .

Βήμα 5ο

 2πx  Γ. Η εξίσωση του πλάτους σε στάσιμο κύμα Α΄=2A.συν   , υπό ποιες προϋπο λ  θέσεις ισχύει; Να υπολογίσετε τις αποστάσεις των δεσμών και των κοιλιών από το σημείο αναφοράς. (Μονάδες 5) ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... Δ. Σε δύο σημεία Π και Π΄ στην επιφάνεια υγρού υπάρχουν δυο σύγχρονες πηγές παραγωγής κυμάτων ίδιου πλάτους. Να αποδείξετε τη συνθήκη ώστε ένα σημείο της επιφάνειας του υγρού να ηρεμεί; (Μονάδες 5) ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ...........................................................................................................................

Θέμα 3ο Στο επόμενο σχήμα φαίνεται το στιγμιότυπο στάσιμου κύματος τη στιγμή t1 στην οποία τα σημεία του γραμμικού μέσου έχουν μόνο δυναμική ενέργεια. (Τ=2s)

7 8 . Κύματα

Βήμα 5ο

α. Να γράψετε την εξίσωση του στάσιμου κύματος. (Μονάδες 7) β. Να σχεδιάσετε τη μορφή του γραμμικού μέσου, τις στιγμές: t2 = t1+ 0,5s και t3= t1+1s. (Μονάδες 8) γ. Να βρείτε το πλάτος ταλάντωσης και την μέγιστη ταχύτητα του σημείου Κ. (Μονάδες 10) ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ...........................................................................................................................

Κύματα 7 9 .

Βήμα 5ο

Θέμα 4ο Ένα γραμμικό αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά μήκος του άξονα x΄Οx. Για το σημείο Ο δίνεται ότι: y=Aημ(ωt). Στο σχήμα φαίνεται ένα στιγμιότυπο του κύματος. Ζητούνται:

α. H συχνότητα, το μήκος κύματος, η ταχύτητα διάδοσης και η εξίσωση του κύματος. (Μονάδες 7) β. Nα γίνει το στιγμιότυπο του κύματος τη στιγμή 1,1s. (Μονάδες 7) γ. Nα βρείτε την απομάκρυνση, την ταχύτητα και την επιτάχυνση τη χρονική στιγμή t=0,9s ενός σημείου Ρ που βρίσκεται στη θέση x=0,5m. (Μονάδες 6) δ. Την απόσταση δύο σημείων τα οποία κάποια χρονική στιγμή έχουν μεταξύ τους διαφορά φάσης 3π/2. (Μονάδες 5) ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ...........................................................................................................................

8 0 . Κύματα

Βήμα 5ο

........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ...........................................................................................................................

Ο μαθητής που έχει μελετήσει την ενότητα αυτή θα πρέπει να γνωρίζει:

[ Τα είδη των κινήσεων που μπορεί να κάνει ένα στερεό σώμα (μεταφορική, στροφική σύνθετη). Για στερεό που κάνει κύλιση, την απόδειξη των εξισώσεων:

υcm = ω ⋅ R , α cm = α γων ⋅ R

[ Να σχεδιάζει δυνάμεις σε ένα σώμα και να βρίσκει τις ροπές των δυνάμεων αυτών. Να εφαρμόζει τις συνθήκες ισορροπίας στερεού σώματος.

[ Να υπολογίζει τη ροπή αδράνειας ενός σώματος, εφαρμόζοντας το θεώρημα

Steiner. Να εφαρμόζει τον θεμελιώδη νόμο σε μεταφορική και στροφική κίνηση και να υπολογίζει τις επιταχύνσεις των σωμάτων.

[ Να υπολογίζει τη στροφορμή στερεού σώματος και συστήματος σωμάτων dL = ∑τ dt Να εφαρμόζει την διατήρηση της στροφορμής σε ένα σώμα και σύστημα σωμάτων.

και να αποδεικνύει τη σχέση:

[ Να αποδεικνύει τις σχέσεις: 1 2 Iω , W = τ ⋅ θ και Ρ = τ ⋅ ω 2 και να εφαρμόζει την Α.Δ.Ε ή το Θ.Μ.Κ.Ε. Κ=

8 2 . Μηχανική στερεού σώματος

Τύποι - Βασικές έννοιες

MHΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ: Τύποι - Βασικές έννοιες

α γων =

Γωνιακή επιτάχυνση:

dω dt

Κύλιση τροχού Ταχύτητα του κέντρου μάζας:

υcm=ωR

Επιτάχυνση του κέντρου μάζας:

acm=αγων R

Ροπή δύναμης:

τ=F A

Ροπή ζεύγους:

τ=F d

Iσορροπία στερεού:

ΣFx = 0  ΣFy = 0

και

Στ = 0

Ροπή αδράνειας:

Ι=m 1r12+m2r22+...

Θεώρημα Steiner:

Ι=Ιcm+Μd2

Θεμελιώδης νόμος στροφικής κίνησης:

Στ=Ια γων

Στροφορμή:

L=pr=mυr L=Iω

Γενικότερη διατύπωση του

dL dt

Θεμελιώδους Νόμου στροφικής κίνησης:

Στ=

Κινητική ενέργεια λόγω στροφικής κίνησης:

1 2 Κ= Iω 2

Κινητική ενέργεια λόγω σύνθετης κίνησης:

1 1 2 2 Κ= Mυcm + Iω 2 2

Έργο σταθερής ροπής:

W=τθ

Iσχύς δύναμης:

Ρ=τω

Μηχανική στερεού σώματος 8 3 .

Βήμα 1ο

ΘΕΩΡΙΑ 1

Να αποδείξετε ότι σε κύλιση τροχού, ισχύουν: υcm=ω.R και αcm=αγων.R

Απόδειξη

Η ταχύτητα του κέντρου μάζας του υcm , είναι ίση κατά μέτρο με την γραμμική ταχύτητα των σημείων της περιφέρειάς του. Αν ο τροχός μετατοπίστηκε κατά dx σε

dx dt Στον ίδιο χρόνο κάθε σημείο της περιφέρειας του τροχού διέγραψε τόξο ds ώστε: υcm =

χρόνο dt τότε:

ds dt Επειδή όμως ο τροχός κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει θα είναι dx = ds. Άρα: υ = υcm και επειδή υ = ω R θα είναι: υcm = υ = ω R . υ=

Παραγωγίζοντας την τελευταία σχέση έχουμε:

υcm = ω ⋅ R ⇒ ΘΕΩΡΙΑ 2

dυcm dω = ⋅ R ⇒ αcm=αγων.R dt dt

Να αποδείξετε ότι η ροπή ζεύγους δυνάμεων ως προς οποιοδήποτε σημείο (Ο) του επιπέδου των δυνάμεων, είναι ανεξάρτητη από την θέση του σημείου (Ο).

8 4 . Μηχανική στερεού σώματος

Βήμα 1ο

Απόδειξη Έστω το ζεύγος δυνάμεων του σχήματος και ένα σημείο (Ο) του επιπέδου τους. Τότε: τ = τ1 + τ2  G G G   τ = τ1 + τ2 ⇒ τ1 = F ⋅ d1  ⇒ τ = F ⋅ d  2   2 τ = F ⋅ d1 + F ⋅ d 2 = F ⋅ (d1 + d 2 ) ⇒ τ = F ⋅ d

ΘΕΩΡΙΑ 3

Να αποδείξετε ότι η στροφορμή στερεού δίνεται από τη σχέση: L=Ι·ω

Απόδειξη Θεωρούμε ένα στερεό σώμα που περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα y’y με G σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω . Οι διάφορες στοιχειώδεις μάζες από τις οποίες αποτελείται το σώμα διαγράφουν κυκλικές τροχιές σε επίπεδα κάθετα στον άξονα G περιστροφής με την ίδια γωνιακή ταχύτητα ω αλλά με G διαφορετική γραμμική ταχύτητα υ (υ=ω.r), καθώς διαγράφουν τροχιές με διαφορετικές ακτίνες. Θεωρούμε ότι το σώμα αποτελείται από ένα τεράστιο πλήθος ν στοιχειωδών μαζών, των οποίων οι στροφορμές, L1 = m1ωr12 ,

L2 = m 2 ωr22 ,..., Lν = mν ωrν2 είναι συγγραμμικές και ομόρροπες επομένως η στροφορμή του στερεού σώματος είναι το άθροισμα των στροφορμών των υλικών σημείων που αποτελούν το σώμα: L = L1 + L 2 + ... + L ν ⇒ L = m1ωr12 + m 2 ωr22 + ... + mν ωrν2 ⇒

L = ( m1r12 + m 2 r22 + ... + m ν rν2 ) ω

Aλλά είναι:

ΘΕΩΡΙΑ 4

I = m1r12 + m 2 r22 + ... + mν rν2 .

Επομένως:

L = I⋅ω

Να αποδείξετε τη γενικευμένη μορφή του θεμελιώδη νόμου της στροφικής κίνησης.

Μηχανική στερεού σώματος 8 5 .

Βήμα 1ο

Απόδειξη Όταν ο άξονας περιστροφής του στερεού σώματος είναι σταθερός, τότε και η ροπή αδράνειας του σώματος είναι σταθερή, επομένως από τη σχέση L=Ι·ω έχουμε: dL d ( Iω ) dω dL = =I ⇒ = I ⋅ α γων dt dt dt dt

Είναι όμως Ια γων = Στ , άρα η προηγούμενη σχέση γίνεται:

ΘΕΩΡΙΑ 5

Στ =

dL dt

Να αποδείξετε τη σχέση με την οποία υπολογίζεται η κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής.

Απόδειξη Το σώμα μάζας m, του σχήματος, αποτελείται από τις στοιχειώδεις μάζες (υλικά σημεία) m1, m2, …, που διαγράφουν κυκλικές τροχιές με ακτίνες r1, r2, …, αντίστοιχα και οι οποίες έχουν την ίδια γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω G G και γραμμικές ταχύτητες υ1 , υ2 ,... , τα μέτρα των οποίων είναι:

υ1 = ω⋅ r1 , υ2 = ω⋅ r2 ,.... (1)

Η κινητική ενέργεια του σώματος θα είναι ίση με το άθροισμα των κινητικών ενεργειών των στοιχειωδών μαζών: (1) 1 1 1 1 2 2 K στρ = m1υ12 + m 2 υ22 + ... ⇒ Κ στρ = m1 (ωr1 ) + m 2 (ωr2 ) + ... ⇒ 2 2 2 2

1 1 1 K στρ = m1ω2 r12 + m 2 ω2 r22 + ... ⇒ K στρ = ( m1r12 + m 2 r22 + ...) ω2 2 2 2

m1r12 + m2 r22 + ... = I

Όμως: Επομένως, η (2) γράφεται:

ΘΕΩΡΙΑ 6

(2)

1 K στρ = Ιω2 2

Να αποδείξετε τη σχέση που δίνει το έργο σταθερής ροπής: W=τ·θ

8 6 . Μηχανική στερεού σώματος

Βήμα 1ο

Απόδειξη G Ας θεωρήσουμε τη δύναμη F η οποία ασκείται πάνω στο σώμα (διπλανό σχήμα) και έστω r η ακτίνα περιστροφής του σημείου εφαρμογής της. Θεωρούμε επίσης ότι η διεύθυνση της δύναμης, βρίσκεται στο επίπεδο περιστροφής του σημείου εφαρμογής της και εφάπτεται στην τροχιά. Για μία απειροστή στροφή του σώματος, κατά γωνία dθ, η δύναμη παράγει έργο: dW = F ⋅ ds (1) όπου ds είναι το μήκος του τόξου που διαγράφει το σημείο εφαρμογής της δύναμης.

Όμως:

ds = r ⋅ dθ (η γωνία dθ μετριέται σε rad)

Άρα η εξίσωση (1) γράφεται: Όμως:

dW = F ⋅ r ⋅ dθ (2)

F⋅r = τ

Άρα η (2) γράφεται:

(3) dW = τ ⋅ dθ Για στροφή του σώματος κατά γωνία θ, μπορούμε να χωρίσουμε τη γωνία θ σε στοιχειώδεις γωνίες dθ1 ,dθ2 ,..., και να αθροίσουμε τα επιμέρους έργα: (3)

W = dW1 + dW2 + ... ⇒ W = τ1 ⋅ dθ1 + τ2 dθ2 + ...

(4)

Αν η ροπή της δύναμης είναι σταθερή, τότε η σχέση (4) γράφεται: W = τ ⋅ ( dθ1 + dθ2 + ...) ⇒ W = τ ⋅ θ

ΘΕΩΡΙΑ 7

Να αποδείξετε ôç ó÷Ýóç ðïõ äßíåé ôçí éó÷ý ñïðÞò: Ñ=ô· ù

Απόδειξη Από την σχέση dW = τ ⋅ dθ παίρνουμε:

dW dθ = τ⋅ dt dt

Όμως ο ρυθμός παραγωγής του έργου εκφράζει την ισχύ της δύναμης

dθ = ω . Οπότε η τελευταία σχέση γράφεται: dt

P = τ⋅ω

dW = P και dt

Μηχανική στερεού σώματος 8 7 .

Βήμα 2ο

Α. Από το σχολικό βιβλίο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ έκδοση 2003. Ερωτήσεις: Προβλήματα:

4.3, 4.7, 4.11, 4.15, 4.19, 4.20, 4.22, 4.25, 4.27, 4.29, 4.30 4.32, 4.36, 4.42, 4.45, 4.49, 4.54, 4.55, 4.56, 4.58, 4.59, 4.60, 4.62, 4.63, 4.66, 4.67, 4.68, 4.69

Β. Από τα Βιβλιομαθήματα : ΦΥΣΙΚΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ εκδόσεις “ΟΡΟΣΗΜΟ” Βιβλιομάθημα 8ο: Λυμένα παραδείγματα: Ερωτήσεις: Προτεινόμενα θέματα: Ξεχωριστό:

3.2, 3.3, 3.4 2, 6, 8, 10 3.2, 3.3, 3.5 σελ. 139

Βιβλιομάθημα 9ο: Λυμένα παραδείγματα: Ερωτήσεις: Προτεινόμενα θέματα: Ξεχωριστό:

3.5, 3.6, 3.8 3, 4, 6, 11 3.11, 3.14, 3.19, 3.20, 3.21 σελ. 162

Βιβλιομάθημα 10ο: Λυμένα παραδείγματα: Ερωτήσεις: Προτεινόμενα θέματα: Ξεχωριστό:

3.12, 3.15, 3.17 1, 2, 7 3.25, 3.27, 3.28, 3.29, 3.32, 3.35 σελ. 179

8 8 . Μηχανική στερεού σώματος

Βιβλιομάθημα 11ο: Λυμένα παραδείγματα: Ερωτήσεις: Προτεινόμενα θέματα: Ξεχωριστό:

Γ. Από το βιβλίο:

Βήμα 2ο

3.18, 3.19, 3.20, 3.21 2, 4, 6, 7, 10 3.35, 3.36, 3.38, 3.40 σελ. 195

ΦΥΣΙΚΗ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θετικής & Τεχν/κης κατεύθυνσης 2ος τόμος (μηχανική στερεού σώματος - κρούσεις)

εκδόσεις “ΟΡΟΣΗΜΟ” 2.

Κινήσεις στερεων σωμάτων Ερωτήσεις: 2.4, 2.5, 2.9, 2.11, 2.12, 2.24 Λυμένα παράδειγματα: 1, 4, 7

Ασκήσεις για λύση: 2.32, 2.34, 2.35 3. Ροπή δύναμης - Ισορροπία στερεού Ερωτήσεις: 3.4, 3.7, 3.11, 3.17, 3.24 Λυμένα παράδειγματα: 3, 5, 7, 9 Ασκήσεις για λύση: 3.34, 3.45, 3.46, 3.47, 4. Ροπή αδράνειας - Θεμελιώδης νόμος Ερωτήσεις: 4.1, 4.7, 4.9, 4.16, 4.17 Λυμένα παράδειγματα: 4, 5, 9, 10, 11, 12 5.

Ασκήσεις για λύση: 4.35, 4.36, 4.42, 4.44 Στροφορμή - Διατήρηση στροφορμής Ερωτήσεις: 5.1, 5.5, 5.10, 5.13, 5.27 Λυμένα παράδειγματα: 3, 4, 5, 9, 10

6.

Ασκήσεις για λύση: 5.37, 5.38, 5.39, 5.43 Έργο - ενέργεια στη στροφική κίνηση Ερωτήσεις: 6.6, 6.7, 6.11, 6.16, 6.22 Λυμένα παράδειγματα: 1, 4, 8, 10 Ασκήσεις για λύση: 6.37, 6.38, 6.39, 6.42, 6.45

Μηχανική στερεού σώματος 8 9 .

Βήμα 3ο

1. Σφαίρα βάρους w=150 Ν και ακτίνας

R/2

R βρίσκεται σε λείο οριζόντιο δάπεδο, όπως στο σχήμα. Ποιά οριζόντια δύναμη F πρέπει να ασκήσουμε στο σημείο Λ της σφαίρας, για να υπερπηδήσει εμπόδιο ύψους h=R/4; Λύση: Οι δυνάμεις που ασκούνται στη σφαίρα είναι: • το βάρος της w, • η αντίδραση Ν από το οριζόντιο δάπεδο, • η δύναμη F1 που της ασκείται από το Α.

Ë K

F R/2

R A

R/2

F

Ë

Στην οριακή περίπτωση που η σφαίρα ισορροπεί και πάει να υπερπηδήσει το εμπόδιο, χάνει την επαφή της με το οριζόντιο δάπεδο και γίνεται Ν=0. Στ(Α) = 0 ή w x - F y = 0 (1)

K w

R/2

N

3R 3R R 5R -h = - = 2 2 4 4 Από Πυθαγόρειο θεώρημα παίρνουμε: Όμως είναι:

y=

2

2

R 7 4

Η σχέση (1) λόγω των (2) και (3) γράφεται: 150 Ν

5R R 7 -F =0 4 4

Επομένως θα πρέπει να είναι: F> 30 7 N

y

F1 x

(2)

x = R 2 - ( R - h ) = R 2 - (3R/4 ) =

ή

h

F= 30 7 N

(3)

A

h

+

9 0 . Μηχανική στερεού σώματος

Βήμα 3ο

2. Συμπαγής ομογενής τροχός μάζας m=2 kg και ακτίνας

R = 10 10 cm , αφήνεται από ύψος h=3 m να κυλήσει πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ=30ο. Ο κύλινδρος δεν ολισθαίνει. α. να σχεδιάσετε τις δυνάμεις που δέχεται ο τροχός και να υπολογίσετε την επιτάχυνση του κέντρου μάζας του, β. να υπολογίσετε την στατική τριβή του κυλίνδρου και τις τιμές του συντελεστή τριβής για να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. γ. η ταχύτητα του cm και το μέτρο της στροφορμής του κυλίνδρου, όταν φτάνει στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου. Δίνονται: η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10 m/s2 και η ροπή αδράνειας

1 του κυλίνδρου I cm = mR 2 .

2 Λύση: α.

N á cm Ï Ôó ö

h

õ cm wx

wy w ö

Στο σώμα ασκούνται οι δυνάμεις:

G

το βάρος του w , που αναλύεται σε συνιστώσες: w x =w·ημφ και w y =w·συνφ G η κάθετη δύναμη Ν από το κεκλιμένο επίπεδο, G η στατική τριβή Τ σ . Για τη μεταφορική κίνηση:

∑ Fx = m α cm ⇒ wημφ - Tσ = mα cm ⇒ 10 - Tσ = 2α cm (1) Για τη στροφική κίνηση:

∑ τ (K) = Ια γων ⇒ Τσ.R=I.αγων ⇒ Τ σ = 1 mRα γων ⇒ Τ σ = 1 2Rα γων (2) 2

Στην κύλιση ισχύει:

αcm= α γων .R

2

(3)

Μηχανική στερεού σώματος 9 1 .

Βήμα 3ο

Λύνουμε τις σχέσεις (1) Τσ και αντικαθιστούμε στην (2), οπότε παίρνουμε:

10 - 2α cm = α cm ⇒ α cm =

10 m/s 2 3

10 Ν 3 Η συνθήκη για να έχομε κύλιση χωρίς ολίσθηση είναι το μέτρο της στατικής τριβής να μη ξεπεράσει το μέτρο της τριβής ολίσθησης. Δηλαδή: Τ σ <μΝ Αντικαθιστώντας στην τελευταία την τιμή της Τσ που βρίκαμε και Ν=wσυνφ,

β. Η σχέση (1) δίνει:

Tσ =

10 3 <μ < μ ⋅10 3 ⇒ 3 9 γ. Από την ΑΔΜΕ και θεωρώντας ως επίπεδο U=0, αυτό που διέρχεται από το κέντρο μάζας του κυλίνδρου, όταν αυτό έχει κατέλθει κατά h, θα έχουμε:

παίρνουμε:

υcm =ωR 1 1 1 1 1 2 2 mgh = Iω2 + mυcm ⇒ mgh = ⋅ mR 2 ω2 + m (ωR ) ⇒ 4gh = 3ω2 R 2 2 2 2 2 2

ω=

4gh 2 = 3R 2 R

gh 2 10 ⋅ 3 rad rad = ⇒ ω = 20 3 0,1 10 3 s s

Η ταχύτητα του cm είναι:

υcm = ω⋅ R = 20 ⋅ 0,1 10

m m ⇒ υcm = 2 10 s s

Το μέτρο της στροφορμής είναι:

(

)

2 1 1 L=I.ω= mR 2 ω = 2 0,1 10 20 kg.m 2 / s = 2 kg.m 2 / s 2 2

3.

Συμπαγής κύλινδρος μάζας M = 3Kg είναι δεμένος στην άκρη ενός ιδανικού ελατηρίου σταθεράς K = 200 N m , έτσι ώστε να μπορεί να κινείται οριζόντια χωρίς να ολισθαίνει. Η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονα του γύρω από τον οποίο περιστρέφεται δίνεται από τη σχέση

1 I = MR 2 . Επιμηκύνουμε το ελατήριο κατά x = 0, 3m και το αφήνουμε 2 ελεύθερο. Ζητούνται: α. Να σχεδιαστούν οι δυνάμεις που δέχεται ο κύλινδρος σε μια τυχαία θέση της κίνησής του καθώς επιταχύνεται. β. Να υπολογιστεί ο λόγος της κινητικής ενέργειας λόγω μεταφορικής προς την κινητική ενέργεια λόγω περιστροφικής κίνησης τη στιγμή που το ελατήριο διέρχεται από τη θέση φυσικού του μήκους.

9 2 . Μηχανική στερεού σώματος

Βήμα 3ο

γ. Να υπολογιστεί η κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής και η κινητική ενέργεια λόγω μεταφοράς του κυλίνδρου τη στιγμή που το ελατήριο διέρχεται από τη θέση φυσικού του μήκους. δ. Να αποδείξετε ότι το σύστημα εκτελεί γραμμική αρμονική ταλάντωση και να υπολογίσετε την περίοδό του. Λύση: α.

β.

K μετ.

K περ.

=

K μετ.

1/ 2 Μυ2 Μ·ω2 ·R 2 = ⇒ =2 2 2 K περ.

1/ 2 Ιω M ·R 2 ·ω 2

γ. K μετ. + K περ. = E oλ ⇒ K μετ. + K περ. = 1/ 2Κ ·x 2 ⇒ (1)

K μετ. + K περ. = 9 ⇒ 2K περ. + K περ. = 9 ⇒ 3K περ. = 9J

και

K περ = 3J, K μετ. = 6J

δ. Στην Θ.Ι. (1): ΣF = 0 Στην Τ.Θ.Τ. (2):ΣF = Τ – Fελ (2) Αλλά: Fελ. − Τ = Μ·α cm ⇒ T = Fελ − Μ·α cm

(3)

1 Επίσης: Στ = Ι·α γων ⇒ Τ·R = Μ·R 2 ·α γων ⇒ 2 1 α 2T Τ = ΜR · cm ⇒ α cm = 2 R m Οπότε από τις σχέσεις (3), (4) ⇒ T = Fελ − Μ

(4)

2T ⇒ Fελ = 3T (5) Μ

Fελ − Fελ ⇒ 3 ΣF = −2 / 3Fελ ⇒ ΣF = −2 / 3Κx

Τελικά από τις σχέσεις (2), (5) ⇒ ΣF = T − Fελ ⇒ ΣF =

Μηχανική στερεού σώματος 9 3 .

Βήμα 3ο

2Κ 3

Άρα το σύστημα εκτελεί α.α.τ.

D=

Η περίοδος ταλάντωσης είναι:

Τ = 2π

4.

Μ 3Μ = 2π ⇒ T = 0,3πs 2K / 3 2K

Μία λεπτή ράβδος μήκους

A = 3m και μάζας m=1 kg, z l/3 2l/3 cm συγκρατείται σε οριζόντια A B θέση, όπως φαίνεται στο z´ O σχήμα. Η ράβδος έχει τη w δυνατότητα να περιστρέφεται γύρω από οριζόντιο άξονα (Ο), που είναι κάθετος στη ράβδο και απέχει από το ένα άκρο της απόσταση A / 3 . Αφήνουμε τη ράβδο ελεύθερη να περιστραφεί. Nα βρείτε: α. τη ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς το (Ο), β. τη γωνιακή ταχύτητα της ράβδου όταν έχει στραφεί κατά 30°, καθώς επίσης και τη γραμμική ταχύτητα του άκρου Β, γ. τη γωνιακή ταχύτητα της ράβδου όταν βρίσκεται σε κατακόρυφη θέση, τη στροφορμή της και το ρυθμό μεταβολής της στροφορμής της εκείνη τη στιγμή; Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που περνά από το κέντρο μάζας της I cm =

1 mA 2 .

12

Λύση: α. Η ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα περιστροφής της, βρίσκεται με το θεώρημα Steiner:

l/3

2

A I = Icm + m   ⇒ 6 1 1 Ι = mA 2 + mA 2 ⇒ 12 36 1 2 I = mA = 1kg.m 2 9

A z´

O

l/6

z 30 cm

2l/3 h

B

w

β. Όταν η ράβδος σχηματίζει γωνία 30ο με την οριζόντια διεύθυνση, το cm της έχει

9 4 . Μηχανική στερεού σώματος

Βήμα 3ο

1 A ο κατέβει κατακόρυφα κατά: h = ⋅ ηµ30 = m 6 4 Θεωρώντας ως επίπεδο U=0 αυτό που διέρχεται από το cm της ράβδου, όταν αυτή σχηματίζει γωνία 30ο με την οριζόντια διεύθυνση, και εφαρμόζοντας ΑΔΜΕ, έχουμε: Uαρχ=Κτελ ή mg

ω1 =

A 1 2 A 1 1 3 g = Iω ⇒ mg = ⋅ mA 2 ω12 ⇒ ω12 = ⋅ ⇒ 12 2 12 2 9 2 A

3 g 3 10 rad rad ⋅ ⇒ ω1 = ⋅ ⇒ ω1 = 5 2 A 2 3 s s

Η γραμμική ταχύτητα του άκρου Β της ράβδου θα είναι:

υ = ω⋅

2A 2.3 m m = 5⋅ ⇒υ=2 5 3 3 s s

γ. Όταν η ράβδος βρεθεί σε κατακόρυφη θέση, το κέντρο μάζας της έχει κατέβει

A = 0,5m . Επομένως, από την ΑΔΜΕ και θεωρώντας επίπεδο U=0 αυτό 6 που διέρχεται από το κέντρο μάζας A της ράβδου, έχουμε: κατά

U αρχ = Κ τελ ⇒

A 1 mg = Iω22 ⇒ 6 2 A 1 1 mg = ⋅ mA 2 ⋅ ω22 ⇒ 6 2 9

A

l/3

2l/3 B

O

l/6

cm

w

g g 10 rad ω22 = 3 ⇒ ω2 = 3 = 3 A 3 s A η

ω2 = 10

rad s

Η στροφορμή της ράβδου έχει τιμή:

B

L=I.ω2= 10 kg.m 2 / s

Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της ράβδου είναι:

∆L = τολ = 0 ∆t

Μηχανική στερεού σώματος 9 5 .

Βήμα 3ο

5. Ο ομογενής κύλινδρος του σχήματος

Ã

έχει ακτίνα R=1m, μάζα m=2kg και βρίσκεται συνέχεια σε επαφή με τη ράβδο ΑΓ και το οριζόντιο επίπεδο, που σχηματίζουν μεταξύ τους γωνία R φ. Αν ο συντελεστής τριβής ολίσθηÏ ù0 σης μεταξύ του κυλίνδρου και του επιπέδου καθώς και με τη ράβδο είmg A ö ναι μ=0,5 και η αρχική του γωνιακή ταχύτητα είναι ω0=100 rad/s, να υπολογίσετε: α. Τα μέτρα των τριβών που δέχεται ο τροχός και τη γωνιακή επιβράδυνσή του. β. Μετά από πόσο χρόνο θα σταματήσει να περιστρέφεται ο κύλινδρος αφού έρθει σε επαφή με τα δύο επίπεδα. γ. Το πλήθος των περιστροφών του κυλίνδρου από τη στιγμή που αφήνεται μέχρι να σταματήσει. δ. Τα έργα των τριβών. Δίνονται συνφ=0,8 , ημφ=0,6 , για τον κύλινδρο Ι cm= και δεν κάνει μεταφορική κίνηση. Λύση: α. Οι δυνάμεις που ασκούνται στο κύλινδρο είναι: G • το βάρος του w G G • οι τριβές T1 , T2 και οι κάθετες δυνάμεις G G N1 , N 2 από το επίπεδο και τη ράβδο α-

1 mR2, g =10m/s2 2

y T2,y

N2,y A

ö

ντίστοιχα.

à T2 T2,x N2,x N2 Ï w N1

T1

Ο κύλινδρος δεν εκτελεί μεταφορική κίνηση άρα: ΣFx= 0 (1) ΣFy= 0 (2) G G Αναλύουμε τις δυνάμεις N 2 , T2 σε συνιστώσες. Ν2χ=Ν2.ημφ (3) και

Ν2y=N2.συνφ (4)

Τ2y=T2.ημφ (5) και Τ2χ=Τ2.συνφ

(6)

Από τις σχέσεις (1) και (2) με την βοήθεια (3), (4), (5) και (6) έχουμε ότι:

x ù0

9 6 . Μηχανική στερεού σώματος Τ2χ+ Ν2χ - Τ1=0

⇒

Βήμα 3ο

Τ2.συνφ + Ν2.ημφ -Τ1=0

Τ2y+Ν1-w - Ν2y=0 ⇒ Τ2.ημφ +Ν1 - mg - N2.συνφ = 0 Από τον νόμο της τριβής (Τ=μ.Ν) παίρνουμε: μ·Ν2 ·συνφ + Ν2·ημφ – μ·Ν1=0 και μ·Ν2·ημφ +Ν1 – mg – N2·συνφ = 0 Ν1=

N 2 (μ.συνφ + ημφ) (7) μ

μ.Ν2·ημφ - mg - N2·συνφ +

και

N 2 (μ.συνφ + ημφ) =0 ⇒ μ

μ2·Ν2·ημφ - m·g·μ - Ν2·μ·συνφ+Ν2( μ·συνφ + ημφ)=0 ⇒ Ν2(μ·συνφ+ημφ–μ·συνφ +μ2ημφ) = mgμ ⇒ Ν2= Με αντικατάσταση παίρνουμε: Από τις (7),(6) παίρνουμε:

N2 =

Ν1= Ν1=

m.g.μ (μ +1)ημφ 2

40 N 3

(μ.συνφ + ημφ) m.g.μ ⇒ μ (μ +1)ημφ 2

m.g.(μσυνφ + ημφ) (μ 2 +1)ημφ

80 N 3 Οπότε οι τριβές που ασκούνται στον κύλινδρο από τις επιφάνειες θα είναι: Με αντικατάσταση παίρνουμε:

Ν1=

Τ1=μ·Ν1 ⇒ Τ1=

40 N 3

και

20 N 3 Από το θεμελιώδη νόμο της στροφικής και λαμβάνοντας υπόψιν ότι οι μόνες δυνάμεις που προκαλούν ροπή είναι οι τριβές, επειδή στις άλλες έχουμε ότι οι φορείς τους διέρχονται από τον άξονα περιστροφής, θα ισχύει: Τ2=μ·Ν2 ⇒ Τ2=

mR 2 mR Στ=Ι.αγων ⇒ Τ1.R + T2.R = αγων ⇒ Τ1 + T2 = α ⇒ 2 2 γων

40 20 N + N =1kgm2.αγων ⇒ αγων = 20rad/s2 3 3

Μηχανική στερεού σώματος 9 7 .

Βήμα 3ο

β. Η γωνιακή επιβράδυνση είναι α= 20rad/s2 , οπότε η εξίσωση της γωνιακής ταχύτητας θα είναι: ω=ω0 -αγων·t ⇒ 0=100-20.t ⇒ t=5s γ. Η εξίσωση της γωνιακής θέσης θα είναι: θ= ω0·tΆρα το πλήθος των περιστρόφων είναι: Ν= δ. W1=T1·R·θ=

40 . .

2 N 1m 250 rad= 104 J 3 3

6. Η ομογενής ράβδος μήκους l = 3 m

1 .2 α t ⇒ θ=250 rad 2

θ 125 = 2π π

W2=T2·R·θ=

20 5 N ·1m·250 rad= 103 J 3 3

και μάζας M = 4kg , 4 του σχήματος, μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές σε κατακόρυφο επίπεδο, γύρω από οριζόντιο άξονα που είναι κάθετος στο ράβδο και διέρχεται από το ένα άκρο της. Στο άλλο άκρο της ράβδου είναι προσκολλημένη σημειακή μάζα m = 2kg η οποία κινείται μαζί με τη ράβδο. Αρχικά η ράβδος βρίσκεται στη θέση (1) και αφήνεται ελεύθερη να κινηθεί. Α. Να υπολογιστούν: i. Η ροπή αδράνειας του συστήματος και η γωνιακή επιτάχυνση του συστήματος ράβδου - μάζας όταν αυτό είναι οριζόντιο. ii. Η μέγιστη τιμή του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής του συστήματος ράβδου - μάζας. Β. Όταν η ράβδος φτάσει στην κάτω κατακόρυφη θέση της, η μάζα m αποκολλάται από τη ράβδο και κινούμενη οριζόντια, συγκρούεται πλαστικά με σώμα ίσης μάζας που βρίσκεται δεμένο στην ελεύθερη άκρη οριζόντιου ελατηρίου και που έχει το άλλο άκρο του στερεωμένο. Το ελατήριο έχει σταθερά K = 100N / m και βρίσκεται στο φυσικό του μήκος. i. Να βρείτε την ταχύτητα του σφαιριδίου στην κατώτερη θέση. ii. Το πλάτος της ταλάντωσης που θα εκτελέσει το συσσωμάτωμα. iii. Μετά από πόσο χρόνο μετά την κρούση το ελατήριο θα ξαναβρεθεί στη θέση φυσικού του μήκους. Δίνεται Ιcm =Μl2/12 Λύση: Α.i. Ροπή αδράνειας συστήματος:

9 8 . Μηχανική στερεού σώματος

Βήμα 3ο

U=0

2

I συστ = Iραβδ + I m =

∑τ = I

συστ

1 15 l Ml 2 + M   + ml 2 ⇒ lσυστ = kg ⋅ m 2 12 8 2

⋅ α γων ⇒ α γων

l Mg + mgl 30 2 = ⇒ α γων = ⇒ α = 16 rad / s 15 Iσυστ 8

dL  dL   dL  = Στ ⇒  όταν η ρά = Στ max . Επομένως είναι   dt  dt  max  dt max βδος είναι οριζόντια (θέση 2) ,γιατί τότε η ροπή είναι μέγιστη.

ii. Είναι:

Μηχανική στερεού σώματος 9 9 .

Βήμα 3ο

1 m2  dL    = ∑ τ εξ = Mg + mgl = 30kg ⋅ 2 2 s  dt  max

Β. i. ΑΔΜΕ από τη θέση 1 στη θέση 3 (U=0 στη θέση3): 3l 1 1 + mg2l = Iσυστ ω2 + Μg ⇒ ω = 8 rad / s 2 2 2 Ταχύτητα της μάζας m τη στιγμή που αποκολλάται από τη ράβδο: Mg

υ = ω ⋅ l ⇒ υ = 6m / s ii. Α.Δ.Ο. κατά την πλαστική κρούση: mυ = 2m ⋅ υ κ ⇒ υ κ = 3m / s Όλη η κινητική ενέργεια του συσσωματώματος μετατρέπεται σε δυναμική ενέργεια ταλάντωσης:

1 1 2m ⋅ υ2κ = ΚΑ 2 ⇒ Α = 0,6m 2 2 iii. O χρόνος που ζητείται είναι:

t=

T 1 Κ = 2π 2 2 2m

7. Στο σχήμα, η ομογενής σφαίρα ακτί-

t = 5π sec

(A) νας r και μάζας m, αφήνεται στο σημείο Α του κεκλιμένου επιπέδου. Εάν R το κεκλιμένο επίπεδο και η κυκλική R K στεφάνη ακτίνας R=2,5 m είναι λεία, h να υπολογίσετε: R α. Το ελάχιστο ύψος h του κέντρου της σφαίρας από το έδαφος από το οποίο πρέπει να αφήσουμε την σφαίρα ώστε να κάνει ασφαλή ανακύκλωση. β. Στην περίπτωση που στο κεκλιμένο επίπεδο και στην κυκλική στεφάνη αναπτύσσονται δυνάμεις τριβής. Θα καταφέρει η σφαίρα να κάνει μία πλήρη ανακύκλωση αν την αφήσουμε από το ύψος που υπολογίσαμε στο παραπάνω ερώτημα; Και αν όχι, μέχρι ποιο ύψος h΄ θα καταφέρει να φτάσει; γ. Να υπολογίσετε το νέο ύψος Η από το οποίο πρέπει να αφήσουμε την σφαίρα ώστε να κάνει μία πλήρη ανακύκλωση.

2 Δίνεται η ροπή αδράνειας της σφαίρας I cm = mr 2 , g=10m/s2 και ότι 5 r << R

100. Μηχανική στερεού σώματος

Βήμα 3ο

Λύση:

(A)

(Ã)

õ

N

N w h

w

K

R R

U=0 α. Το κέντρο μάζας της σφαίρας εκτελεί στο εσωτερικό της στεφάνης κυκλική κίνηση ακτίνας R - r ≅ R =2,5m. Όταν η σφαίρα βρίσκεται στην υψηλότερη θέση της κυκλικής στεφάνης, ασκούνται σ’αυτήν: το βάρος της w και η κάθετη αντίδραση Ν από το εσωτερικό της στεφάνης. Ισχύει ότι:

N+w=

mυ 2 R

Στην οριακή περίπτωση η σφαίρα να εκτελέσει μία πλήρη ανακύκλωση είναι Ν=0, οπότε:

w=

mυ 2 ⇒ υ=5m/s R

Εφαρμόζουμε την AΔME για τη σφαίρα, στις θέσεις (Α) και (Γ) (δεν υπάρχουν τριβές) και παίρνουμε: U (A) =U (Γ)+Κμεταφ(Γ) ⇒ mgh=mg2R+

1 mυ 2 ⇒ h=6,25m 2

β. Εάν στο κύλινδρο παρουσιάζονται τριβές και τον αφήνουμε από το ύψος που υπολογίσαμε (h=6,25m), εφαρμόζοντας την ΑΔΜΕ, (η στατική τριβή δεν έχει έργο, θεωρούμε ότι ο κύλινδρος ολισθαίνει), έχουμε: U(A)=U(Γ)+Κστροφ(Γ)+ Κμεταφ(Γ) ⇒ mgh=mg2R+

1 1 2 I cm ω 2 + mυcm 2 2

Aντικαθιστώντας όπου ω= υcm /r , καταλήγουμε στην: gh=g2R+

7 2 υ ⇒ υcm 4,23m/s 10 cm

Μηχανική στερεού σώματος 101.

Βήμα 3ο

Παρατηρούμε ότι είναι μικρότερη από την ελάχιστη ικανή ταχύτητα (υ=5m/s) για να εκτελέσει η σφαίρα ασφαλή ανακύκλωση όταν βρίσκεται στη θέση Γ.

(A)

(Ã) õ1

(Â)

wy ö

h

w

wx d

K

h´ R

U=0

Άρα δεν πρόκειται να εκτελέσει πλήρη ανακύκλωση. Για να υπολογίσουμε το ύψος στο οποίο θα φτάσει τελικά η σφαίρα, εφαρμόζουμε πάλι ΑΔΜΕ από Α-Β.

U(A)=U(Β)+Κστροφ(Β)+ Κμεταφ(Β) ⇒ mgh=mgh΄+

1 1 2 Icmω2+ mυ1 2 2

Στη θέση Β (τελική θέση της σφαίρας), η κάθετη αντίδραση από την κυκλική στεφάνη γίνεται Ν=0. Τότε ισχύει: wy=

mυ12 mυ12 ⇒ mgημφ= ⇒ υ2 =gRημφ 1 R R

Επίσης η σφαίρα απέχει από το έδαφος απόσταση Άρα παίρνουμε:

mgh=mg(R+Rημφ)+

h΄=R+d, όπου d=Rημφ

12 2 2 1 2 mr ω + mυ1 25 2

Αντικαθιστώντας ωr= υ1 και h=6,25m, έχουμε: ημφ=0,86 Συνεπώς βρίσκουμε: h΄=2,5+0,88·2,5 ⇒ h΄= 4,7m γ. Για να υπολογίσουμε από ποιο ύψος Η πρέπει να αφήσουμε το σώμα, ώστε να εκτελέσει ασφαλή πλήρη ανακύκλωση, θα εφαρμόσουμε ΑΔΜΕ για την νέα αρχική θέση της σφαίρας μέχρι τη θέση Γ της κυκλικής στεφάνης U(Aρχ)=U(Γ)+Κστροφ(Γ)+ Κμεταφ(Γ) ⇒ mgΗ=mg2R+

1 1 12 2 2 1 2 rω + υ I cmω 2+ mυ2 ⇒ gH=g2R+ 2 2 2 25

Από την τελευταία με αντικατάσταση παίρνουμε: Η=6,75m.

102. Μηχανική στερεού σώματος

Βήμα 3ο

8. Σε μια μπάλα του μπιλιάρδου με κατάλληλο χτύπημα τη χρονική στιγμή t=0 προσδίδουμε γωνιακή ταχύτητα ωο και γραμμική ταχύτητα υo σύμφωνα με το παρακάτω σχήμα.

α. i. Να σχεδιάσετε τις δυνάμεις που εξασκούνται στη μπάλα και να εξηγήσετε σε ποια σημεία πρέπει να γίνει το χτύπημα για να έχουμε την κίνηση του σχήματος. ii. Να περιγράψετε το είδος κίνησης της μπάλας μέχρι να αρχίσει να κυλά. β. i. Να γίνουν ποιοτικά οι γραφικές παραστάσεις της ταχύτητας του κέντρου μάζας της και της γωνιακής ταχύτητας σε συνάρτηση του χρόνου. (υcm=f(t)) και ω=f(t)). ii. Να βρεθεί η χρονική στιγμή που αρχίζει η μπάλα να κυλά και ο αριθμός των στροφών που πραγματοποιεί μέχρι τότε αν γνωρίζω ότι τελικά η μπάλα κυλά προς τα δεξιά. Οι ποσότητες ω0, υ0, Μ, μ, g και Icm θεωρούνται γνωστές. Λύση: α. Η μπάλα αποκτά ταχύτητα υ0 λόγω της δύναÍ μης F, οπότε η φορά της F πρέπει να είναι προς τα δεξιά. Η μπάλα αποκτά επίσης και γωνιακή F ταχύτητα ω 0. Άρα η δύναμη F θα πρέπει να õ0 A ασκηθεί κάτω από το κέντρο της για να έχουμε Tïë ù0R w την κατάλληλη γωνιακή επιτάχυνση ώστε να μπορεί να αποκτήσει γωνιακή ταχύτητα ω0. Το σημείο Α έχει ταχύτητα με φορά προς τα δεξιά, που δίδεται από τη σχέση υA=ωR+υo και τείνει να ολισθήσει. Επομένως στη μπάλα ασκείται τριβή ολίσθησης προς τα αριστερά. Η τριβή ολίσθησης παίζει δύο ρόλους: Επιβραδύνει το κέντρο μάζας της μπάλας, άρα μειώνεται η ταχύτητα του κέντρου μάζας. Λόγω της ροπής της επιβραδύνει τη στροφική κίνηση της μπάλας, άρα μειώνεται η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής. Ο τροχός θα στρέφεται και θα ολισθαίνει μέχρι τη στιγμή που θα αρχίσει να κυλά. Εκείνη τη στιγμή θα παύσει η εφαρμογή της τριβής ολίσθησης και στη μπάλα δε θα ασκείται καμία δύναμη, οπότε οι ταχύτητες υcm και ω1 παραμένουν σταθερές.

Μηχανική στερεού σώματος 103.

Βήμα 3ο

β. i. Έχουμε δύο περιπτώσεις ανάλογα με τι τιμές των ωο και υo. Μπορεί να μηδενιστεί πρώτα η ταχύτητα του κέντρου μάζας, οπότε η τριβή ολίσθησης θα αρχίσει να επιταχύνει τη μπάλα προς τα πίσω και η κύλιση θα γίνεται προς τα αριστερά (ανάποδα φάλτσα). Οι γραφικές παραστάσεις γίνονται: õcm ù

õ0

ù0 ù1

0

t1

t2

t

t2

0

t

õ1 Τη χρονική στιγμή t έχουμε υ =0 και αρχίζει η κίνηση προς τα αριστερά, ενώ 1 cm τη χρονική στιγμή t2 αρχίζει η μπάλα να κυλά (υ1=ω1R). ii. Μπορεί να μηδενιστεί πρώτα η γωνιακή ταχύτητα, οπότε η ροπή της τριβής ολίσθησης αρχίζει να στρέφει τη μπάλα ανάποδα και η κύλιση γίνεται προς τα δεξιά. Οι γραφικές παραστάσεις γίνονται:

õcm

ù ù0

õ0 õ1 0

t

t2

0

t1

t2

t

ù1 Τη χρονική στιγμή t1 αρχίζει η μπάλα να στρέφεται ανάποδα και τη χρονική στιγμή t2 αρχίζει κυλά (u1=ω1R).

acm

õ0

Β.2.

Tïë

A

104. Μηχανική στερεού σώματος

Βήμα 3ο

Λόγω της μεταφορικής κίνησης: Tολ = Μα cm ⇒ μΜg = Mα cm ⇒ α cm = μg

(1)

(2)

Για τη ταχύτητα του κέντρου μάζας έχουμε: υcm = υo - α cm t Λόγω της στροφικής κίνησης:

Στ = Ιcm α γ ⇒ Τ ολ R = Ιcm α γ ⇒ μΜgR = Ιcm α γ ⇒ α γ = ω = ωo - α γ t

Για τη γωνιακή ταχύτητα έχουμε:

μΜgR Ιcm

(3)

(4)

Για να αρχίζει να κυλά πρέπει υA=0. Άρα έχουμε με τη βοήθεια των σχέσεων (1), (2), (3) και (4), έχουμε: ωR = υcm ⇒ (ωο - α γ t 2 )R = (υo - α cm t 2 ) ⇒ t 2 =

ωο R - υ o μΜgR 2 - μg Ιcm

Προσοχή! Όσο στρέφεται το σώμα και ολισθαίνει: υcm ≠ ωR

α cm ≠ α γ R

και

O αριθμός των στροφών υπολογίζεται από τη γωνία θ που διαγράφει η μπάλα 1 θ = ωο t 2 - α γ t 2 2 μέχρι να αρχίσει να κυλά. Έχουμε ότι: 2 όπου η αγ δίδεται από τη σχέση (3). Τελικά ο αριθμός των στροφών είναι: N =

θ 2π

9. Ο τροχός του σχήματος έχει μάζα M=4kg και ακτίνα R=20cm. Tη χρονική στιγμή t=0 αρχίζει να ασκείται σταθερού μέτρου δύναμη F=20Ν, οπότε ο τροχός αρχίζει να περιστρέφεται γύρω από τον άξοM να z΄z που περνά από το cm του. α. Να υπολογίσετε: i. τη γωνιακή επιτάχυνση του τροχού, ii. τη στροφορμή του τροχού και την ισχύ της δύναμης που τον στρέφει, τη χρονική στιγμή 5s,

z

R

F z´

Μηχανική στερεού σώματος 105.

Βήμα 3ο

iii. το έργο της ροπής της δύναμης μετά από χρόνο 5s. β. Τη χρονική στιγμή t=5s παύει να ενεργεί η δύναμη. Ένα κομμάτι λάσπης μάζας 0,5kg, αφήνεται να πέσει κατακόρυφα και κολλά πάνω στον τροχό σε απόσταση R/2 από τον άξονα περιστροφής του τροχού. Να υπολογίσετε: i. τη γωνιακή ταχύτητα του τροχού αμέσως μετά την προσκόλληση της λάσπης σ’ αυτόν και την κινητική ενέργεια του τροχού τη χρονική στιγμή 7s. ii. πόσo έργο απαιτείται για να σταματήσει το σύστημα; Δίνεται: η ροπή αδράνειας τροχού ως προς άξονα που περνά από το κέντρο μάζας του I cm =

M ⋅ R2 . Θεωρήστε αμελητέες τις τριβές.

2

Λύση: α.i. Η ροπή αδράνειας του τροχού ως προς τον άξονα περιστροφής του είναι: M ⋅ R 2 4 (0, 2 ) = kg ⋅ m 2 ⇒ Icm = 8 ⋅ 10−2 kg ⋅ m 2 2 2 Από το θεμελιώδη νόμο της στροφικής κίνησης θα υπολογίσουμε τη γωνιακή επιτάχυνση του τροχού.

2

Icm =

Έχουμε:

Στ = Ι cm α γων ⇒ α γων =

F.R 4 = rad / s 2 ⇒ α γων = 50 rad / s 2 −2 Ι cm 8 ⋅ 10

ii. Η κίνηση του τροχού είναι κυκλική ομαλά επιταχυνόμενη.Επομένως τη χρονική στιγμή 5s η γωνιακή του ταχύτητα είναι: ω1 = α γων t1 = 50 ⋅ 5rad / s ⇒ ω1 = 250 rad / s

Άρα, η στροφορμή του δίσκου, την ίδια χρονική στιγμή, και ο ρυθμός παραγωγής του έργου (ισχύς της δύναμης) θα είναι:

L = Icm ⋅ ω1 = 8 ⋅10−2 ⋅ 250kg ⋅ m2 / s ⇒ L = 20kg ⋅ m2 / s και η ζητούμενη ισχύς:

P = τ ⋅ ω1 = 4 ⋅ 250 J / s ⇒ P1 = 1000 J / s

iii. Από το ΘΜΚΕ για τη στροφική κίνηση θα υπολογίσουμε το ζητούμενο έργο: K τελ − Κ αρχ = W ⇒

1 1 Κ1 = W ⇒ W = Ι cm ω12 ⇒ W = 8 ⋅10−2 ⋅ 2502 J ⇒ W = 2500J 2 2 Β.i. Εφαρμόζουμε την αρχή διατήρησης της στροφορμής για το σύστημα (δεν υπάρχει εξωτερική ροπή από τη χρονική στιγμή 5s και μετά):

106. Μηχανική στερεού σώματος

Βήμα 3ο

L1 = L 2 ⇒ L1 = I 2 ⋅ ω2 ⇒ ω2 = Μετά την προσκόλληση της λάσπης στον τροχό,η ροπή αδράνειας του συστήματος γίνεται: 2

I 2 = Icm

L1 I2 z

M

R + m  ⇒ 2

I 2 = 8 ⋅ 10−2 + 0,5 (0,1) kg ⋅ m 2 ⇒ 2

R/2

m

I 2 = 8,5 ⋅ 10−2 kg ⋅ m 2

Άρα: z´ 20 rad / s 235rad / s = 8,5 ⋅ 10−2 Από τη χρονική στιγμή 5s και μετά την προσκόλληση της λάσπης στον τροχό, αφού θεωρούμε ότι δεν υπάρχουν τριβές, η γωνιακή ταχύτητα του τροχού θα είναι σταθερή και ίση με ω2. Επομένως, τη χρονική στιγμή 7s η κινητική ενέργεια του τροχού λόγω περιστροφής θα είναι: ω2 =

1 1 K 2 = I 2 ω22 = 8,5 ⋅ 10−2 ⋅ 2352 J ⇒ K 2 = 2347 J 2 2 ii. Το ζητούμενο έργο θα υπολογιστεί με Θ.Μ.Κ.Ε Κτελ-Καρχ=W ⇒ 0-2347 J=W ⇒ W=-2347 J

Βήμα 4ο

1. Η δοκός του σχήματος είναι ομογε-

Μηχανική στερεού σώματος 107.

Á

Ã

νής βάρους w 1=200Ν και μήκους l=1m. Το σχοινί είναι οριζόντιο και αβαρές. Η σφαίρα έχει ακτίνα R=0,2m και βάρος w2=40Ν. Aν δεν υπάρχουν τριβές και το σύστημα ισορροπεί. Να υπολογίσετε: α. Την τάση του νήματος, β. Τη δύναμη από την άρθρωση.

60

o

γ. Πόσο πρέπει να είναι το μέγιστο βάρος της σφαίρας, για να μη σπάσει το νήμα που έχει όριο θραύσης 130Ν; ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ...........................................................................................................................

O

108. Μηχανική στερεού σώματος

Βήμα 4ο

2. Ο τροχός του σχήματος ακτίνας 0,5 m περιστρέφεται γύρω από ένα σταθερό οριζόντιο άξονα F χωρίς τριβή. Η ροπή αδράνειας του ως προς τον R 2 άξονα αυτόν είναι 2Kgm . Μια σταθερού μέτρου δύναμη F=20Ν ασκείται στο άκρο του νήματος, που είναι τυλιγμένο γύρω από την περίμετρο του τροχού, έτσι ώστε αυτός να επιταχύνεται. Αν ο τροχός αρχίζει να περιστρέφεται τη στιγμή t = 0, να βρείτε: α. την γωνιακή επιτάχυνση και την γωνιακή ταχύτητα του τροχού τη στιγμή t = 4s, β. την ισχύ της δύναμης και τη μεταβολή της κινητικής της ενέργειας όταν το μήκος του σχοινιού που ξετυλίχθηκε είναι 4,5m. ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ...........................................................................................................................

3. Κυλινδρικός δίσκος ακτίνας R και μάζας m είναι τυλιγμένος με λεπτό, αβαρές μη εκτατό νήμα, η άλλη άκρη του οποίου στερεώνεται σε ακλόνητο σημείο, όπως στο σχήμα. Αφήνουμε το δίσκο ελεύθερο και αυτός αρχίζει να κατεβαίνει.

R α. Να βρείτε την επιτάχυνση του cm δίσκου και το ρυθμό μεταβολής της στροφορμής του. β. Να βñåßôå ôçí ôá÷ýôçôá ôïõ êÝíôñïõ ìÜæáò ôïõ üôáí ï äßóêïò Ý÷åé ðÝóåé êáôÜ 1,2m

Μηχανική στερεού σώματος 109.

Βήμα 4ο

Δίνονται: για το δίσκο I cm =

M ⋅ R2 και g=10 m/s2á.

2

........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ...........................................................................................................................

4. Στον κύλινδρο του σχήματος ακτίνας R=0,5m και μάζα M=2kg που αρχικά έχει γωνιακή ταχύτητα ω0=4rad/s, ασκείται εφαπτομενικά δύναμη μέτρου F=20N. α. Να υπολογιστεί η μεταβολή της F στροφορμής σε χρόνο 2s. β. Το έργο της δύναμης σε 2s.

R γ. Tην ισχύ της δύναμης τη στιγμή 2s. Δίνεται για το δίσκο I cm =

M ⋅ R2 .

2

........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ...........................................................................................................................

110. Μηχανική στερεού σώματος

Βήμα 4ο

........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ...........................................................................................................................

5. Μία γάτα με μάζα m=4kg

βρίσκεται στην περιφέρεια του κυκλικού τραπεζιού του σχήματος, που έχει μάζα Μ=40kg, ακτίνα R=1m. Η γάτα είναι ακίνητη ως προς το τραπέζι και όλο το σύστημα περιστρέφεται, χωρίς τριβές, με γωνιακή ταχύτητα ω=2rad/s. Ξαφνικά η γάτα αρχίζει να κινείται στην περιφέρεια τραπεζιού με σταθερή κατά μέτρο ταχύτητα υ0= 4m/s. m Να βρεθεί η νέα γωνιακή ταχύτητα του M τραπεζιού στις περιπτώσεις: α. η φορά της κίνησης της γάτας συμπίπτει με την φορά περιστροφής ττου τραπεζιού, β. η φορά της κίνησης της γάτας είναι αντίθετη με την φορά περιστροφής του τραπεζιού. ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ...........................................................................................................................

6. Κύλινδρος συμπαγής μάζας Μ=4kg βρίσκεται στη βάση κεκλιμένου επίπεδου γωνίας κλίσης φ=300 .Νήμα είναι τυλιγμένο στην περιφέρεια του κυ-

Βήμα 4ο

Μηχανική στερεού σώματος 111.

λίνδρου και στο άκρο του ασκείται σταθερή δύναμη μέτρου F =20N, παράλληλη στο κεκλιμένο δάπεδο Ο κύλινδρος αρχίζει να ανεβαίνει τη στιγμή t=0, με επιτάχυνση 10/ 3 m/s2. Να υπολογιστoύν: α. η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου. β. ο ρυθμός που μεταβάλεται η στροφορμή του κυλίνδρου τη στιγμή 4s. γ. το έργο της δύναμης F σε 4s και ο ρυθμός που προσφέρεται ενέργεια στονκύλινδρο.

F

R

30o

........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ...........................................................................................................................

7. Δύο μάζες

m1 = 3Kg και m 2 = 1Kg συνδέονται με αβαρές μη εκτατό νήμα που είναι περασμένο σε τροχαλία, ακτίνας R=10cm και μάζας Μ=4Kg. Τα σώματα αρχικά είναι στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο και το σύστημα ήταν ακίνητο. Να υπολογίσετε: α. την επιτάχυνση των μαζών m1 και m2, M R β. την υψομετρική διαφορά των σωμάτων σε 2s και την στροφορμή της τροχαλίας τη στιγμή αυτή. Δίνονται g=10 m/s 2 και ότι το νήμα δεν ολισθαίνει στην τροχαλία.

1 I τρ = MR 2 2

m1

m2

112. Μηχανική στερεού σώματος

Βήμα 4ο

........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ...........................................................................................................................

8. Οι δύο ίδιοι ράβδοι του σχήματος είναι κολ-

l m

O λημένες στο Ο. Το σύστημα μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα που περνά από το Ο. Τη στιγμή t=0 αφήνεται το στερεό ελεύθερο από τη θέση που φαίνεται l m στο σχήμα. α. Να υπολογίσετε τη γωνιακή ταχύτητα του στερεού, όταν οι ράβδοι σχηματίζουν ίσες γωνίες με την κατακόρυφη. β. Πόσος είναι εκείνη τη στιγμή ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του στερεού και πόση η στροφορμή του; Δίνονται g=10 m/s2 l=2m, m=2kg και ότι η ροπή αδράνειας ράβδου ως

προς άξονα περιστροφής που περνά από το άκρο της, είναι:

I = ml

2

3 ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ...........................................................................................................................

Βήμα 4ο

9.

Μηχανική στερεού σώματος 113.

Ομογενής άκαμπτη ράβδος ΑΖ έχει μήκος L=4 m, μάζα Μ=3 kg και ισορροπεί σε οριζόντια θέση, όπως φαίνεται στο σχήμα. Στο k άκρο Α υπάρχει ακλόνητη άρθρωση γύρω από την οποία η ράβδος m2 μπορεί να περιστρέφεται χωρίς Ä τριβές, ενώ στο άλλο άκρο Ζ υm1 Ã πάρχει στερεωμένο σφαιρίδιο μάζας m1=0,6 kg και αμελητέων διαZ στάσεων. Ένα αβαρές νήμα ΔΓ A συνδέει το σημείο Γ της ράβδου με σφαιρίδιο μάζας m2=1 kg, το οποίο είναι στερεωμένο στο ελεύθερο άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=100 Ν/m. Δίνεται AΓ=2,8 m. Nα υπολογίσετε: α. Τη ροπή αδράνειας του συστήματος ράβδου - σφαιριδίου m1, ως προς άξονα που διέρχεται από το Α και είναι κάθετος στο επίπεδο της διάταξης β. Το μέτρο της τάσης του νήματος ΓΔ. Αν κόψουμε το νήμα ΓΔ το m 2 κάνει γ.α.τ., ενώ η ράβδος με το m 1 πέφτει με την επίδραση της βαρύτητας. Να υπολογίσετε: γ. Το χρόνο που χρειάζεται το σφαιρίδιο m2 από τη στιγμή που κόβεται το νήμα μέχρι τη στιγμή που θα φτάσει στο ψηλότερη θέση του για 1η φορά. δ. Το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας του σημείου Ζ, τη στιγμή που η ράβδος περνά από την κατακόρυφη θέση. Δίνονται g=10m/s2, η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς το cm: Ιcm=

M L2 2

........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ...........................................................................................................................

114. Μηχανική στερεού σώματος

Βήμα 4ο

........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ...........................................................................................................................

10.

Μία σφαίρα μάζας m=1kg και ακτίνας R=0,2m περιστρέφεται με ω0=20 rad/s και τοποθετείται χωρίς αρχική μεταφορική ταχύτητα σε οριζόντιο δάπεδο με το οποίο παρουσιάζει συντελεστή τριβής μ=0,25. ù0

α. Να υπολογίσετε το χρόνο που θα αρχίσει ο δίσκος να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. β. Να εξετάσετε την περίπτωση που υπάρχει αρχική μεταφορική ταχύτητα: ii. υ0=4 m/s. i. υ0=2 m/s, ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ...........................................................................................................................

Μηχανική στερεού σώματος 115.

Βήμα 5ο

Θέμα 1ο Α. Τροχός ακτίνας R, κυλίεται χωρίς ολίσθηση στον οριζόντιο δρόμο και κάποια στιγμή έχει ταχύτητα υcm και επιτάχυνση αcm.

1. Για κάθε σημείο του τροχού ισχύει ότι: υπεριστρ=υcm 2. Είναι: αcm=αγων.R 3. Όλα τα σημεία του τροχού που είναι σε ύψος R από τον δρόμο έχουν ταχύτητα υcm.

4. Τα σημεία του τροχού που εφάπτονται στο δρόμο έχουν ταχύτητα υ cm. Ποια πρόταση είναι σωστή; (Μονάδες 5) ........................................................................................................................... Β. α. Το τροχός του λούνα παρκ κάνει: 1. στροφική κίνηση 2. μεταφορική κίνηση 3. σύνθετη κίνηση β. Οι θαλαμίσκοι του τροχού του λούνα παρκ κάνουν: 1. στροφική κίνηση 2. μεταφορική κίνηση 3. σύνθετη κίνηση (Μονάδες 8) ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... Γ. Ο δίσκος του σχήματος στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από άξονα, με την επίδραG ση μιάς εφαπτομενικής δύναμης F . Στο επόμενο σχήμα φαίνεται πως μεταβάλλεται η γωνιακή του ταχύτητα με το χρόνο. Ποια από τις επόμενες προτάσεις είναι σωστή;

116. Μηχανική στερεού σώματος

Βήμα 5ο

1. στο διάστημα (0, t1) τα διανύσματα G G ω και τ είναι αντίρροπα, 2. στο διάστημα t>t1 είναι WF<0, 3. η γωνιακή επιτάχυνση του δίσκου είναι μεταβλητή, 4. το μέτρο της δύναμης είναι μεταβλητό.

ù

0 t1

F

t

(ÌïíÜäåò 7)

........................................................................................................................... Δ. Για την περιστροφή ενός τροχού δίνεται το διάγραμμα ω=f(t) του σχήματος. Ποια από τα διαγράμματα α=f(t) είναι το σωστό; á

0

á

t1

t2

t 1 t2

t3 t

2

1

0

ù

t3

t

0

t1

t2 t3

t

á 3

0

t1

t2

t3

t

(Μονάδες 5)

...........................................................................................................................

Θέμα 2ο Α. Στην κύλιση τροχού να αποδείξετε την εξίσωση αcm=αγων.R.

(Μονάδες 5) ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ...........................................................................................................................

Β. Ένα στερεό έχει αcm=0 και αγων=0. Τι είδους κίνηση μπορεί να κάνει; (Μονάδες 7)

Μηχανική στερεού σώματος 117.

Βήμα 5ο

........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... Γ. Να αποδείξετε τη σχέση που δίνει τη στροφορμή στερεού σώματος. Γιατί η διάρκεια της περιστροφής της Γης γύρω από τον εαυτό της είναι 24h; (Μονάδες 8) ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... Δ. Να αποδείξετε τη σχέση που δίνει την κινητική ενέργεια στερεού λόγω στροφικής κίνησης. Για ποιον από τους άξονες (α), (β) η ράβδος έχει μεγαλύτερη κινητική ενέργεια;

l, m (á)

(â)

(Μονάδες 5) ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ...........................................................................................................................

Θέμα 3ο mL2 , 12 στρέφεται γύρω από τον άξονα y΄y χωρίς τριβές με ω0=2 rad/s. Tη στιγμή t=0 δέχε-

Η ράβδος ΑΓ του παρακάτω σχήματος μάζας m=3kg, μήκους L= 2 m και Icm =

G

ται την εφαπτομενική δύναμη F σταθερού μέτρου 20 Ν, με φορά όπως φαίνεται στο σχήμα.

118. Μηχανική στερεού σώματος

Βήμα 5ο

y

Á

L, m

F Ã

y´ ù0

α. Nα γίνει το διάγραμμα ω=f(t) από 0 s μέχρι 4 s. (Μονάδες 5)

G

β. Να υπολογίσετε το έργο της F μέχρι τη στιγμή 4 s, (Μονάδες 8) γ. το ρυθμό που προσφέρεται ενέργεια στη ράβδο τη στιγμή 4 s. (Μονάδες 7) δ. το ρυθμό που μεταβάλλεται η στροφορμή της ράβδου. (Μονάδες 5) ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ..............................................................................................................................

Μηχανική στερεού σώματος 119.

Βήμα 5ο

Θέμα 4ο Στεφάνη μάζας m=1kg αφήνεται σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ= 30o και από ύψος h=1,8 m, να κυλήσει χωρίς να γλυστράει. Να βρείτε: α. το μέτρο της ταχύτητας της στεφάνης στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου. (Μονάδες 5) β. την επιτάχυνση του κέντρου μάζας και το μέτρο της στατικής τριβής που δέχεται από το επίπεδο. (Μονάδες 7) γ. τις τιμές του συντελεστή στατικής τριβής για να κυλάει χωρίς ολίσθηση. (Μονάδες 8) δ. το μέτρο της ταχύτητας της στεφάνης στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου, αν αυτό ήταν λείο. (Μονάδες 5) Δίνεται: g=10m/s2. ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ..............................................................................................................................

Ο μαθητής που έχει μελετήσει την ενότητα αυτή θα πρέπει να γνωρίζει:

[ από τη θεωρία των κρούσεων: Τα είδη των κρούσεων. Να αποδεικνύει τους τύπους που δίνουν τις ταχύτητες των σωμάτων, μετά την ελαστική μετωπική κρούση τους. Σε ελαστική μετωπική κρούση τις σχέσεις που δίνουν τις ταχύτητες των σωμάτων όταν αυτά έχουν: i. ίσες μάζες, ii. το δεύτερο σώμα είναι αρχικά ακίνητο Να εφαρμόζει την Αρχή Διατήρησης της Ορμής (ΑΔΟ) σε ανελαστική κρούση. Να εφαρμόζει την Διατήρηση της Ενέργειας στις κρούσεις και να υπολογίζει ποσοστά απωλειών σε ανελαστική κρούση.

[ από τη θεωρία στο φαινόμενο Doppler: Να εφαρμόζει τη γενική σχέση του φαινομένου Doppler.

122. Κρούσεις - Φαινόμενο Doppler

Τύποι - Βασικές έννοιες

ΚΡΟΥΣΕΙΣ - ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ DOPPLER: Τύποι - Βασικές έννοιες 1. Κρούσεις Διατήρηση της ορμής:

ΣFεξ = 0 ⇒ Pπριν = Pμετα

Αν

Κεντρική ελαστική κρούση δύο σφαιρών m1 , υ1 με m 2 , υ 2 και : K πριν = K μετα

υ1' =

2m 2 m − m2 υ2 + 1 υ1 m1 + m 2 m1 + m 2

i. m1 = m 2

υ1' = υ 2

υ'2 =

2m1 m − m1 υ1 + 2 υ2 m1 + m 2 m1 + m 2

υ'2 =

2m1 υ1 m1 + m 2

υ'2 = υ1

ii.

m1 − m 2 ' υ 2 = 0 υ1 = m + m υ1 1 2

iii.

m 2 >> m1

υ1' = − υ1

iv.

m 2 << m1

υ1'

υ1

υ '2 = 0 υ'2

2υ1

2. Φαινόμενο Doppler i. Ο παρατηρητής κινείται προς ακίνητη πηγή:

fA =

υ + υΑ fs υ

ii. Ο παρατηρητής απομακρύνεται από την πηγή:

fA =

υ − υΑ fs υ

iv. Η πηγή απομακρύνεται από τον παρατηρητή:

fA =

υ fs υ + υs

v. Παρατηρητής και πηγή κινούνται ως προς το μέσο:

fA =

υ ± υΑ fs υ ∓ υs

iii. Η πηγή πλησιάζει ακίνητο παρατηρητή: fA =

υ fs υ − υs

Κρούσεις - Φαινόμενο Doppler 123.

Βήμα 1ο

1. Κρούσεις ΘΕΩΡΙΑ 1

Σε κεντρική ελαστική κρούση δύο σφαιρών με μάζες m1 και m2 να υπολογίσετε τις ταχύτητες u1' και u'2 των σφαιρών μετά την σύγκρουση, αν γνωρίζετε τις αρχικές τους ταχύτητες και τις μάζες τους.

Απόδειξη (+) u1

u2

u´2

u´1 m2

m1

F2

F1

ðñéí ôç êñïýóç

m1

m2

ìåôÜ ôç êñïýóç

êñïýóç

Ας ορίσουμε σαν θετική τη φορά προς τα δεξιά, όπως δείχνει το σχήμα. Για την κρούση επειδή είναι ελαστική, θα ισχύουν η ΑΔΟ και η αρχή διατήρησης της ενέργειας (ΑΔΚΕ) πριν και μετά την κρούση. Α.Δ.Ο. p πριν = pµετα ⇒ p1 + p 2 = p1' + p '2 ⇒ m1 ⋅ u1 + m 2 ⋅ u 2 = m1 ⋅ u1' + m 2 ⋅ u '2 ⇒

)

(

(

m1 ⋅ u1 + m 2 ⋅ u 2 = m1 ⋅ u1′ + m 2 ⋅ u 2′ ⇒ m1 u1 − u1′ = m 2 u 2′ − u 2

)

(1)

Α.Δ.Κ.Ε. Κ πριν = Κ µετα ⇒

1 1 1 1 m1 ⋅ u12 + m 2 ⋅ u 22 = m1 ⋅ u1' 2 + m 2 ⋅ u '22 ⇒ 2 2 2 2

)

(

(

)

m1 ⋅ u12 + m 2 ⋅ u 2 2 = m1 ⋅ u1′2 + m 2 ⋅ u 2′2 ⇒ m1 u12 − u1′2 = m 2 u 2′2 − u 2 2 ⇒

(

)(

)

(

m1 u1 − u1′ u1 + u1′ = m 2 u 2′ − u 2

)(u

2

+ u 2′

)

(2)

124. Κρούσεις - Φαινόμενο Doppler

Βήμα 1ο

Αν είναι: u1 ≠ u1 και u 2 ≠ u '2 από (1) και (2) διαιρώντας κατά μέλη ( 2 ):( 1 ) παίρνουμε: '

u1 + u1′ = u 2′ + u 2

u1′ =

Οι σχέσεις (1) και (3) δίνουν:

2m 2 m − m2 u2 + 1 u1 m1 + m 2 m1 + m 2 u 2′ =

ΘΕΩΡΙΑ 2

(3) (4)

2m1 m − m1 u1 + 2 u2 m1 + m 2 m1 + m 2

(5)

Σε κεντρική ελαστική κρούση δύο σφαιρών με μάζες m1 =m2 να δείξετε ότι οι σφαίρες ανταλλάσσουν ταχύτητες μετά την κρούση.

Απόδειξη

u1

u2 m

u´2

u´1 m

m

m

Εάν m1 = m2 = m τότε οι σχέσεις (4) και (5) γίνονται:

2m m−m u 2′ = u2 + u1 ⇒ u 2′ = u1 2m 2m

και

2m m−m u 2′ = u1 + u 2 ⇒ u 2′ = u1 2m 2m ΘΕΩΡΙΑ 3

Σε κεντρική ελαστική κρούση δύο σφαιρών με μάζες m1 και m2, με u2=0, να βρείτε τις ταχύτητες των σφαιρών μετά την κρούση.

u1 m1

m2

Απόδειξη Αν u2=0 από τις γενικές σχέσεις (4) και (5) έχουμε:

u1′ =

2m 2 m − m2 m − m2 ⋅0 + 1 u1 ⇒ u1′ = 1 u1 (6) m1 + m 2 m1 + m 2 m1 + m 2

u´1 m1

u´2 m2

Κρούσεις - Φαινόμενο Doppler 125.

Βήμα 1ο

u 2′ =

2m1 m − m1 2m1 ⋅ 0 ⇒ u 2′ = u1 + 2 u1 (7) m1 + m 2 m1 + m 2 m1 + m 2 Σε κεντρική ελαστική κρούση δύο σφαιρών με μάζες m1 και m2, u2=0 να βρείτε τις ταχύτητες των σφαιρών μετά την κρούση, στις περιπτώσεις: ι. m1 = m2 ιι. m1 >> m2 ιιι. m1 << m2

ΘΕΩΡΙΑ 4

Απόδειξη i. Αν m1 = m2 από τις σχέσεις (6) και (7) έχουμε:

u1

u1′ = 0 u 2′ = u1

ii. Αν m1 >> m2 από τις σχέσεις (6) και (7) λαμβάνοντας υπόψην ότι

u1

m2

m1

m1

u1

m2

u´1=u1

m1

m2

m1

m2 → 0 έχουμε: m1

m2

u´2=2u1

m1 m 2 m 1− 2 − m − m2 m m1 m1 1− 0 u1′ = 1 u1 = 1 u1 = u1 = u 1 ⇒ u1′ = u 1 m m m m1 + m 2 1 + 0 1 2 2 + 1+ m1 m1 m1

m1 2m1 m1 2 2 u 2′ = u1 = u1 = u1 = u1 ⇒ u 2′ = 2u1 m1 m 2 m2 + m1 + m 2 1 0 + 1+ m1 m1 m1 2

iii. Αν m1 << m2 από τις σχέσεις (6) και (7) λαμβάνοντας υπόψην ότι m1 → 0 έχm2 ουμε:

u1

m2

m2 u1

m1 m1 u2=0

u´2=0

126. Κρούσεις - Φαινόμενο Doppler

m1 m 2 − m m m m2 − 1 2 2 u1′ = u1 = u = m1 m 2 1 m1 + m 2 + m2 m2

Βήμα 1ο

m2 −1 m1 0 −1 u1 = u 1 ⇒ u1′ = − u 1 m2 0 + 1 +1 m1

m1 2m1 m2 2⋅0 u 2′ = u1 = u1 = u1 = 0 ⋅ u1 ⇒ u 2′ = 0 m m m1 + m 2 0 + 1 1 2 + m2 m2 2

y ΘΕΩΡΙΑ 5

u´

Στην περίπτωση που η σφαίρα προσκρούει ελαστικά και πλάγια σε τοίχο με γωνία πρόσπτωσης θ π τότε θα ανακλαστεί με γωνία θα όπου θα ισχύει ότι θπ=θα.

m èá u

Απόδειξη Από αναλύσεις των ταχυτήτων θα έχουμε: ηµθπ =

uy u

συνθπ =

m

ux ⇒ u x = u ⋅ συνθπ u u

uy

u´

èð

èá

ux

ηµθα =

u 'y u

u´x

⇒ u 'y = u ' ⋅ ηµθα

u 'x ⇒ u 'x = u ' ⋅ συνθα u Από Αρχή Διατήρησης της κινητικής ενέργειας θα πρέπει : συνθα =

y´

⇒ u y = u ⋅ ηµθπ

uy

Ï

èð

Κρούσεις - Φαινόμενο Doppler 127.

Βήμα 1ο

1 1 K πριν = Κ µετα ⇒ mu 2 = mu '2 ⇒ u 2 = u '2 ⇒ u = u ' (1) 2 2 Α.Δ.Ο στον άξονα y΄Ο y, επειδή δεν γίνεται κρούση, θα πρέπει: (1)

p y = p'y ⇒ mu y = mu 'y ⇒ uηµθπ = u 'ηµθα → ηµθπ = ηµθα ⇒ θπ = θα

ΘΕΩΡΙΑ 6

Nα γράψετε τη γενική σχέση στο φαινόμενο Doppler. Να εξηγήσετε πως βάζουμε τα πρόσημα.

fA =

υ ± υΑ fs υ ± υs

Τα πρόσημα στον αριθμητή και στον παρανομαστή μπαίνουν ως εξής:

[ Όταν η πηγή πλησιάζει τον παρατηρητή παίρνουμε (-) στον παρανομαστή. [ Όταν η πηγή απομακρύνεται από τον παρατηρητή παίρνουμε (+) στον παρανομαστή. [ Όταν ο παρατηρητής πλησιάζει την πηγή παίρνουμε (+) στον αριθμητή. [ Όταν ο παρατηρητής απομακρύνεται από την πηγή παίρνουμε (-) στον αριθμητή. Παρατήρηση Οι ταχύτητες στην παραπάνω σχέση έχουν τη διεύθυνση της ευθείας που συνδέει την πηγή με τον παρατηρητή. Αν η κίνηση της πηγής ή του παρατηρητή γίνεται σε άλλη διεύθυνση, ως ταχύτητα θα θεωρήσουμε τη συνιστώσα της στη διεύθυνση πηγή-παρατηρητής.

128. Κρούσεις - Φαινόμενο Doppler

Βήμα 2ο

Α. Από το σχολικό βιβλίο ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ έκδοση 2003. Ερωτήσεις: 5.1, 5.4, 5.5, 5.6, 5.8, 5.9, 5.19, 5.20, 5.21 Ασκήσεις - Προβλήματα: 5.22, 5.25, 5.30, 5.40, 5.42, 5.44, 5.45, 5.47, 5.48, 5.49, 5.51, 5.53

Β. Από τα Βιβλιομαθήματα: ΦΥΣΙΚΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ εκδόσεις “ΟΡΟΣΗΜΟ” Βιβλιομάθημα 12ο: Λυμένα παραδείγματα: 4.2, 4.4, 4.6, 4.8, 4.10, 4.11, 4.15 Ερωτήσεις: 1, 3, 6, 7,8 Προτεινόμενα θέματα: 4.4, 4.6, 4.10, 4.11, 4.14, 4.18, 4.19 Ξεχωριστό: σελ. 230 Βιβλιομάθημα 13ο: Λυμένα παραδείγματα: 4.19, 4.21 Ερωτήσεις: 1, 2, 3, 4, 5, 6 Προτεινόμενα θέματα: 4.26, 4.28

Βήμα 2ο

Κρούσεις - Φαινόμενο Doppler 129.

Γ. Από το βιβλίο: ΦΥΣΙΚΗ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ Θετικής & Τεχν/κης κατεύθυνσης 2ος τόμος (Μηχανική στερεού σώματος - Κρούσεις) εκδόσεις “ΟΡΟΣΗΜΟ” 7.

Κρούσεις Ερωτήσεις: 7.5, 7.9, 7.10, 7.13, 7.31 Λυμένα παράδειγματα: 2, 3, 4, 8, 9, 11, 13, 16, 17 Ασκήσεις για λύση: 7.36, 7.41, 7.47, 7.55, 7.60, 7.61

8.

Φαινόμενο Doppler Ερωτήσεις: 8.6, 8.7, 8.8, 8.10, 8.11 Λυμένα παράδειγματα: 2, 3, 4 Ασκήσεις για λύση: 8.25, 8.27, 8.28

130. Κρούσεις - Φαινόμενο Doppler

Βήμα 3ο

1. Δύο μεταλλικές σφαίρες με μάζες m1= 1kg και m2= 2kg αντίστοιχα, πλησιάζουν η μια την άλλη με αντίθετες ταχύτητες μέτρου υ0= 3 m/s. Η κρούση είναι μετωπική και ελαστική. α. Να βρεθούν οι τελικές ταχύτητες των σφαιρών. β. Να βρείτε το μέτρο της δύναμης που ασκεί η μία σφαίρα στην άλλη, αν η διάρκεια της κρούσης είναι 0,1s. γ. Το ποσοστό επί τοις % της ενέργειας της σφαίρας m2 που μεταβιβάζεται κατά την κρούση στην σφαίρα m1. Λύση: m1 m2 õ 0 õ0 α. Από τη θεωρία χρησιμοποιούμε τις σχέσεις:

υ1′ =

2m 2 m -m υ2 + 1 2 υ1 m1 + m 2 m1 + m 2

2m1 m -m υ′2 = υ1 + 2 1 υ2 m1 + m 2 m1 + m 2

(1)

ðñéí m1

m2 õ´1

(2)

Με αντικατάσταση παίρνουμε:

õ´2

ìåôÜ

1- 2  m m m  2⋅2 υ1′ =  3 = [-4 + (-1) ] = -5 (-3) + 1+ 2  s s s 1+ 2 2 -1 m m  2 ⋅1 m υ′2 =  3+ (-3)  = [2 + (-1) ] = 1 s s 1+ 2 1+ 2 s β. Στη διάρκεια της κρούσης οι δυνάμεις F1 , F2 είναι αντίθετες (Δράση - αντίδραση). Από 2ο νόμο του Νεύτωνα έχουμε: F = Το μέτρο της F1 είναι: F1 =

Δp Δt

Δp1 m υ′ - m υ -5 - 3 = 1 1 1 1 = N = 80N = F2 Δt Δt 0,1

Κρούσεις - Φαινόμενο Doppler 131.

Βήμα 3ο

γ. Το ζητούμενο ποσοστό βρίσκεται:

E μεταβ E αρχ(m 2 )

100%

ή

1 1 m 2 υ02 − m 2 υ′22  υ′2  υ2 − υ′2 800 2 2 100% = 0 2 2 100% = 1- 22 100% = % 1 9 υ0  υ0  m 2 υ02 2

2. Από την κορυφή κεκλιμένου επιπέδου,

ύψους h= 1,6m και γωνίας κλίσης αφήνεται να ολισθήσει σώμα μάζας m1=1 kg. Στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου το σώμα συναντά λείο οριζόντιο επίπεδο στο οποίο κινείται μέχρις ότου συγκρουστεί πλαστικά με σώμα μάζας m2=4 kg. Το συσσωμάτωμα κινούμενο συναντά και συσπειρώνει ιδανικό οριζόντιο ελατήριο, το οποίο έχει μόνιμα στερεωμένο το ένα του άκρο. Αν ο συντελεστής

φ=30ο,

τριβής ολίσθησης επί του κεκλιμένου επιπέδου είναι µ = 3/4 , να υπολογιστούν: α. η μέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου, β. το ποσοστό επί τοις εκατό της ελάττωσης της αρχικής ενέργειας του σώματος m1 κατά την ολίσθησή του επί του κεκλιμένου επιπέδου, γ. το ποσοστό επί τοις εκατό της αρχικής ενέργειας του σώματος m1 που έγινε θερμότητα κατά την κρούση. Δίνονται: g = 10 m/s2, k = 1000 N/m. Δεν υπάρχουν απώλειες ενέργειας κατά τη στιγμή που το σώμα m1 συναντά το οριζόντιο επίπεδο. Γενικές εξετάσεις 1989 Λύση: α. Βρίσκουμε την ταχύτητα (1) N s υ 1 του σώματος m 1 τη T στιγμή της κρούσης, εw1,x φαρμόζοντας ΘΜΚE για h ö m2 k το m1 από (1) σε (2) w1,y (2) w1

Κ (τελ) - Κ (αρχ) = Wβαρ + WT ⇒ 1 m1υ12 - 0 = m1gh - Ts 2 Η τριβή έχει μέτρο:

T = μ N = μ w1 συνφ = 15/4 Ν

ö

132. Κρούσεις - Φαινόμενο Doppler Η απόσταση s που διανύει το σώμα m1 είναι:

h s= = 3, 2 m ημφ

Βήμα 3ο

õ1

m2

k

(2)

Άρα παίρνουμε:

1 2 15 1υ1 = 1⋅10 ⋅1,6 - ⋅ 3, 2 ⇒ υ1 = 2 2 m/s 2 4 Eφαρμόζουμε Α.Δ.Ο. για την πλαστική κρούση.

mïë

õÊ

(2) xmax

+ m υ +0 = m +m υ → ( 1 2) Κ 1 1

⇒ υK =

2 2 m/s 5

k

k (3)

Eφαρμόζουμε ΑΔET για για κίνηση του συσσωματώματος μέχρι την μέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου (θέση 3).

K (2) = U ταλ(3) ⇒

1 1 2 ⇒ ( m1 + m2 ) υK2 = kx max 2 2

1 8 1 5 = 1000 x 2max ⇒ x max = 4 ⋅10-2 m 2 25 2 β. Το ζητούμενο ποσοστό βρίσκεται από τη σχέση:

15 3, 2 Ts 100% = 75% 100% ⇒ 4 100% ⇒ 1⋅10 ⋅1,6 U αρχ(m1 ) m1gh WT

γ. Το ζητούμενο ποσοστό βρίσκεται από τη σχέση: E απωλ(κρουση) E αρχ(m1 )

1 1 m1υ12 - ( m1 + m 2 ) υΚ2 2 100% ⇒ 100% ⇒ 2 m1 g h

1 1 8 1⋅ 8 - 5 2 2 25 100% = 4 - 0,8 100% = 20% 1⋅10 ⋅1,6 16

Κρούσεις - Φαινόμενο Doppler 133.

Βήμα 3ο

3.

Σώμα μάζας m=3kg είναι ακίνητο σε λείο οριζόντιο δάl πεδο, όπως φαίνεται στο σχήμα. Λόγω εσωτερικής αιτίας k Ì m´ m το σώμα διασπάται σε δύο κομμάτια με μάζες m 1=2m2. Μετά τη διάσπαση κινούνται αντίθετα και το m1 συγκρούεται πλαστικά με το σώμα m΄. Το συσσωμάτωμα μετά την κρούση αρχίζει να κάνει γ.α.τ. με εξίσωση: x=Α·ημ(10t) S.I. To m2 συγκρούεται πλαστικά με το ακίνητο σώμα Μ=3kg, το οποίο κρέμεται από το νήμα μήκους l=3m.Aμέσως μετά την κρούση η τάση του νήματος είναι Τ=220/3 Ν. Δίνονται Κ=400 Ν/m και g=10 m/s2. Να βρεθούν: α. Οι ταχύτητες των κομματιών μετά τη διάσπαση. β. Η μέγιστη γωνία εκτροπής του νήματος. γ. Η τάση του νήματος αν το m2 διαπερνούσε το Μ και έβγαινε με ταχύτητα υ΄=8m/s; δ. Η απώλεια ενέργειας της κρούσης μεταξύ m2 και Μ σε κάθε περίπτωση; ε. Η μάζα m΄ και το πλάτος ταλάντωσης του συσσωματώματος m 1 +m΄; Λύση: α. Είναι: m1+m2=m=3Kg και m1=2m2 Άρα: m1=2Kg και m2=1Kg Αμέσως μετά την κρούση μεταξύ των m2 και Μ έχουμε: Τ-Β=Fκεντρ ⇒ T - B =

(m 2 + M)V 2 ⇒ V = 5m/s l

l

l

l

T m2 õ 2

M

V

V M+ m2

(M+m 2 )g

Εφαρμόζουμε ΑΔΟ για την πλαστική κρούση μεταξύ των m2 και Μ: + m υ + 0 = m + M V ⇒ υ = 20 m/s → 2

2

(

2

)

2

Εφαρμόζουμε ΑΔΟ για την διάσπαση του σώματος m. + 0 = m υ − m υ  m1 = 2 m 2 → → υ1 = 10 m/s 2 2 1 1

134. Κρούσεις - Φαινόμενο Doppler

Βήμα 3ο

β. Eφαρμόζουμε AΔME για το συσσωμάτωμα και έχουμε:

õ1

m1 m2 õ2

ö

l

l -h

l T

h V V (M+m 2 )g

K αρχ = U τελ ⇒ συνφ =

1 ( M + m2 ) V 2 = ( M + m2 ) gh ⇒ h = 1, 25m 2

3 -1, 25 l -h = 0,583 ⇒ συνφ = h 3 + m υ + 0 = m υ′ + MV′ ⇒ V ′ = 4 m/s → 2 2 2

γ. Εφαρμόζουμε ΑΔΟ για την κρούση:

l

l

T m 2 õ2

M

m 2 õ´ V´ Ìg

MV′2 MV′2 ⇒ T = Mg + ⇒ T = 46N l l

Άρα:

Τ-Mg=Fκεντρ ⇒ T - Μg =

δ. ΔΕ (α) =

1 1 m 2 υ22 - (M + m 2 )V 2 = 150J 2 2

1 1 1 ∆Ε( γ ) = m 2 υ22 - MV 2 - m 2 V΄2 = 144J 2 2 2 ε. Από την εξίσωση ταλάντωσης έχουμε: ω=10 rad/s D= K → m΄ = Aλλά D = ( m1 + m΄) ω2 

Κ - m1 ⇒ m΄ = 2 kg ω2

Κρούσεις - Φαινόμενο Doppler 135.

Βήμα 3ο

Εφαρμόζουμε ΑΔΟ για την πλαστική κρούση μεταξύ των m1 και m΄: + ← m1υ1 + 0 = ( m1 + m΄) υΚ ⇒ υ Κ = 5m/s

Εφαρμόζουμε ΑΔET :

Κ = Ε ολ ⇒

1 1 ( m1 + m΄) υ2Κ = DA 2 ⇒ A = 0,5m 2 2

4. Σώμα μάζας Μ =0,25 kg,

που είναι δεμένο στην άκρη οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς Κ=100Ν/m εκτελεί γ.α.τ. με

Ö.M. È.É.

K

M

õ0

m

πλάτος Α = 2 / 2 m πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Τη στιγμή που είναι U=K και το ελατήριο είναι επιμηκυμένο (x>0), όπως στο σχήμα, βλήμα μάζας m = 0,25 kg κινούμενο οριζόντια με ταχύτητα u0 = 20m/s, σφηνώνεται στο κέντρο του σώματος μάζας Μ. Να βρείτε: α. Tο πλάτος της νέας ταλάντωσης. β. Το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας των σωμάτων που έγινε θερμότητα κατά την κρούση. γ. Το μέγιστο ρυθμό μεταβολής της ορμής του συσσωματώματος. Λύση: α. Εφαρμόζοντας την AΔΕΤ για τον ταλαντωτή μάζας M, θα βρούμε την θέση και την ταχύτητα που έχει τη στιγμή που πάει να γίνει η κρούση.

U + K = E ολ  1 2 1 2  ⇒ 2U = U max ⇒ 2 Dx1 = DA U=K 2 2  ⇒ x12 =

A2 2 2 2 ⇒ x1 = ± A ⇒ x1 = ± m ⇒ x1 = ±0,5m 2 2 2 2

D =Κ 1 1 1 U + K = E oλ ⇒ Dx12 + Mυ12 = DA 2 ⇒ Κx12 + Μυ12 = ΚΑ 2 ⇒ 2 2 2

υ1 = ±

Κ ( Α 2 − x12 ) Μ

(1)

Αντικαθιστώντας στην (1) x1 = +0,5m και Α = 2 / 2 m βρίσκουμε: υ1 = ±10 m / s

Άρα έχουμε δύο περιπτώσεις:

136. Κρούσεις - Φαινόμενο Doppler 1η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: Το σώμα μάζας Μ πριν την κρούση κινείται προς τα δεξιά με ταχύτητα υ1 = +10 m/s. Εφαρμόζοντας την ΑΔΟ, έχουμε:

Βήμα 3ο

Ö.M. È.É.

Μυ1 - mu0 = ( Μ + m )υΚ Αντικαθιστώντας τις τιμές που έχουμε βρίσκουμε:

M

K

õ1 õ0

m

x1 M+m

K

õK

υK=-5 m/s Η Θ.Ι του συσσωματώματος είναι ίδια με την Θ.Ι του αρχικού ταλαντωτή, στη θέση φ.μ. του ελαστηρίου. Εφαρμόζουμε: την ΑΔΕΤ για τον ταλαντωτή μάζας (Μ + m) αμέσως μετά την κρούση και έχουμε:

1 1 1 D=K → U+Κ = Ε ολ ⇒ D x12 + ( Μ + m ) υΚ 2 = DA΄2  2 2 2 6 K x12 + (Μ + m)υ12 = KA΄2 ⇒ Α΄ = m 4 2η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: Το σώμα μάζας Μ πριν την κρούση κινείται προς τα αριστερά με ταχύτητα υ1 =-10 m/s. Εφαρμόζοντας την ΑΔΟ, έχουμε:

Ö.M. È.É.

K

Μυ1 + mu0 = ( Μ + m )υΚ Αντικαθιστώντας τις τιμές που έχουμε βρίσκουμε:

õ1

M

õ0

m

x1 K

õK

M+m

υK=15 m/s Η Θ.Ι του συσσωματώματος είναι ίδια με την Θ.Ι του αρχικού ταλαντωτή, στη θέση φ.μ. του ελαστηρίου. Εφαρμόζουμε: την ΑΔΕΤ για τον ταλαντωτή μάζας (Μ + m) αμέσως μετά την κρούση έχουμε:

Κρούσεις - Φαινόμενο Doppler 137.

Βήμα 3ο

1 1 1 D=K → U+Κ = Ε ολ ⇒ D x12 + ( Μ + m ) υΚ 2 = DA΄2  2 2 2 22 K x12 + (Μ + m)υ12 = KA΄2 ⇒ Α΄ = m 4 β. Το ζητούμενο ποσοστό είναι:

1 2 1 1 mυ0 + Μυ12 − (m + Μ)υΚ2 Καρχ - Κτελ 2 2 2 100% = 100% 1 1 Καρχ mυ02 + Μυ12 2 2 Για την 1η περίπτωση βρίσκουμε 95% και για την 2η 55% γ.

 Δp  = K ⋅ A΄    Δt  max

Δp Δp =∑ F ⇔ = −D ⋅ x . Άρα: Δt Δt 6  Δp  = 100 ⋅ = 25 6 N   4  Δt max,1

και

22  Δp  = 100 ⋅ = 25 22 N   4  Δt max,2

5. Η σφαίρα του παρακάτω σχήματος μάζας m=1,6kg και ακτίνας R (πολύ μικρή), αφήνεται να κυλήσει από την κορυφή κεκλιμένου επιπέδου ύψους h=7/4m, γωνίας κλίσης φ=30ο, με συντελεστή τριβής μ = 3/6 . Όταν φθάσει στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου συγκρούεται ακαριαία μετωπικά με σώμα μάζας Μ=4kg, το οποίο είναι συνδεδεμένο στη μιά άκρη ιδανικού οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς Κ=400 Ν/m, του οποίου η άλλη άκρη είναι δεμένη σε ακλόνητο κατακόρυφο τοίχωμα. Το οριζόντιο δάπεδο είναι λείο και μετά τη κρούση η σφαίρα ακινητοποιείται. α. Να δείξετε ότι η σφαίρα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. β. Να βρείτε τη ταχύτητα υcm της m πριν τη κρούση. m h M ö

K

138. Κρούσεις - Φαινόμενο Doppler

Βήμα 3ο

γ. Να βρείτε τη ταχύτητα υ της Μ μετά τη κρούση. δ. Να βρείτε το ποσοστό της αρχικής ενέργειας της m που έγινε θερμότητα κατά την κρούση. ε. Να βρείτε τη μέγιστη συμπίεση του ελατηρίου.

2 Δίνονται: I = mR 2 , g=10 m/s 2.

5 Λύση: α. Η συνθήκη για να έχουμε κύλιση χωρίς ολίσθηση είναι: Τσ<μ·Ν

Í õ K Ôó

Αντικαθιστώντας στην τελευταία την τιμή της Τ σ και Ν= w·συνφ, παίρνουμε: Τσ<μ·w·συνφ=4Ν

cm

ácm

wx ö

wy w

(1)

ö

Για τη μεταφορική κίνηση

∑ Fx = mα cm ⇒ wημφ - Tσ = mα cm

(2)

Για τη στροφική κίνηση

∑ τ (K) = Ι.α γων ⇒ Τσ.R=I.αγων

(3)

(4) Στην κύλιση ισχύει: αcm= αγων·R Λύνουμε τις σχέσεις (2) και (4) ως προς Τσ και αγων αντίστοιχα και αντικαθιστούμε στην (3), οπότε παίρνουμε:

2

( wημφ - m α cm ) R = 5 mR 2

α cm ⇒ αcm= 3,57m/s2 R

Άρα από την (2) έχουμε: Τσ=2,3 Ν Άρα βλέπουμε ότι ικανοποιείται η σχέση (1). β. Εφαρμόζουμε A.Δ.Μ.Ε. από (Ι) σε (ΙΙ).

U Ι +K Ι =U ΙΙ +K ΙΙ ⇒ m·g·h + 0= 0 + 2

1 2 1 mυcm + Iω2 ⇒ 2 2

1 2 1 2mR 2  υcm  m·g·h = mυcm +   ⇒ υcm = 5 m/s 2 5  R  2

Κρούσεις - Φαινόμενο Doppler 139.

Βήμα 3ο

γ. Εφαρμόζοντας την ΑΔΟ, έχουμε: mυcm = Μυ ⇒ υ=2m/s δ. Το ζητούμενο ποσοστό είναι:

1 1   mgh − Μυ2 Μυ2   Εαρχ - Κμετα 2 2 100% = 100% =  1 − 100% =71,43% Εαρχ mgh mgh   ε. Η Θ.Ι του ταλαντωτή M, είναι η θέση φ.μ. του ελαστηρίου. Η max συσπείρωση του ελατηρίου είναι και το πλάτος της ταλάντωσης. Άρα εφαρμόζουμε την ΑΔΕΤ για τον ταλαντωτή μάζας Μ αμέσως μετά την κρούση και έχουμε:

1 1 2 D=K U+Κ = Ε ολ ⇒ Μυ2 = DA 2  → Μυ2 = KA 2 ⇒ Α = m 2 2 10

6. Το κιβώτιο του σχήματος μάζας m=4,5 kg ηρεμεί πάνω σε αμαξίδιο μάζας Μ= 15 kg, το οποίο μπορεί να ολισθαίνει πάνω σε λείο οριζόντιo δάπεδο. Ένα βλήμα μάζας m΄= 0,5 kg κινείται με ταχύτητα μέτρου υ 0= 50 m/s ευθύγραμμα και σφηνώνεται ακαριαία στο κέντρο του κύβου. Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ του κιβωτίου και του δαπέδου του αμαξιδίου είναι μ= 0,5. Να βρείτε: α. τη τελική ταχύτητα του συστήματος αμαξίδιο - κιβώτιο - βλήμα, β. τις απώλειες ενέργειας σε όλο το φαινόμενο. γ. το διάστημα που διανύει το συσσωμάτωμα βλήμα - κιβώτιο πάνω στο αμαξίδιο και δ. το χρόνο κίνησης του συσσωματώματος βλήμα - κιβώτιο ως προς το αμαξίδιο. (g=10 m/s2) Λύση: m

m´

õ0

M

α. Eφαρμόζουμε Α.Δ.Ο. για την ακαριαία πλαστική κρούση βλήματος - κιβωτίου: + pολ(πριν) = pολ(μετα) ⇒ m΄υ0 = ( m΄+ m ) υ1 ⇒ υ1=5 m/s

Tα σώματα (m+m΄) και Μ του συστήματος δέχονται τις δυνάμεις που φαίνονται

140. Κρούσεις - Φαινόμενο Doppler

Βήμα 3ο

στο σχήμα. Tο συσσωμάτωμα (m+m΄) δέχεται:

N m+ m´ T

το βάρος του w , την κάθετη δύναμη N από

w

το αμαξίδιο και την τριβή T από το αμαξίδιο.

N1

Tο αμαξίδιο Μ δέχεται: M

T´

το βάρος του w1 , την κάθετη δύναμη N1 από το δάπεδο, την τριβή T΄ από το (m+m΄)

N´ w1

και την κάθετη δύναμη N΄ από το (m+m΄) Οι δυνάμεις T , T΄ , N και N΄ είναι δυνάμεις εσωτερικές. Το μέτρο της τριβής Τ είναι: T = μΝ = μ(m΄+ m)g = 25 N Τ=Τ΄ και Ν=Ν΄ (Δράση - Αντίδραση) Το σύστημα είναι μονωμένο, άρα ισχύει η Α.Δ.Ο. ⇒ ( m + m΄) υ1 + 0 = ( m΄+ m ) υ K + M υ K ⇒ υK=1,25 m/s

β. Α.Δ.Ε. από την αρχή μέχρι την υΚ. Εαρχ=Ετελ + Εαπωλ, ολ ⇒

1 1 1 m΄υ02 = ( m΄+ m ) υ2K + M υ2K + Εαπωλ, ολ ⇒ 2 2 2

625 J=15,625 J + Εαπωλ, ολ ⇒ Εαπωλ, ολ=609,375 J γ. Εφαρμόζουμε Θ.Μ.Κ.Ε. για κάθε σώμα.

m΄+ m : Κ τελ - K αρχ = WT ⇒

1 1 ( m΄+ m ) υΚ2 - ( m΄+ m ) υ12 = -T ( x + L ) 2 2

m+ m´

m+ m´

õ1

õK M

M

x

L

õK

Κρούσεις - Φαινόμενο Doppler 141.

Βήμα 3ο

Μ : Κ τελ - K αρχ = WΤ΄ ⇒

1 M υΚ2 - 0 = Τ΄x 2

Προσθέτουμε κατά μέλη και επειδή Τ=Τ΄ παίρνουμε:

1 1 1 ( m΄+ m ) υ2Κ + M υΚ2 - ( m΄+ m ) υ12 = -ΤL 2 2 2 Με αντικατάσταση παίρνουμε:

L=1,875m

δ. Το συσσωμάτωμα (m+m΄) κάνει ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση.

α1 =

ΣF m΄+ m

=

25 N T = = 5m/s 2 m΄+ m 5 kg

υΚ=υ1 - α1.t ⇒ 1,25m/s=5m/s - 5m/s2.t ⇒ t=0,75s

7. Σώμα Σ1 μάζας m = 1 kg ισορροπεί συνδεδεμένο στο ένα άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς Κ=200 Ν/m, του οποίου το άλλο άκρο στερεώνεται σε οροφή. Βλήμα Σ 2, ίσης μάζας με το σώμα, κινείται κατακόρυφα προς τα πάνω και συγκρούεται τη χρονική στιγμή t=0

K

με ταχύτητα μέτρου υ = 3 m/s μετωπικά και Ó1 πλαστικά με το Σ1. H διάρκεια της κρούσης θεõ Ó2 ωρείται αμελητέα. Δίνεται g = 10 m/s2 και θετική φορά προς τα πάνω. α. Να γράψετε την εξίσωση της κίνησης του συστήματος. β. Να βρείτε, το χρονικό διάστημα μέχρι να μηδενιστεί για 2η φορά η ταχύτητα του συστήματος. γ. Ποιο είναι το ποσοστό επί τοις % της αρχικής ενέργειας του βλήματος που χάθηκε κατά την κρούση; (g=10 m/s2) Λύση: α. Η ζητούμενη εξίσωση είναι: x=Αημ(ωt+φ0) Η αρχική επιμήκυνση του ελατηρίου είναι:

mg ⇒ x1 = 0,05m K Εφαρμόζουμε Α.Δ.Ο.για την πλαστική κρούση του συστήματος βλήμα - σώμα:

Θ.Ι. m:

Fελ = mg ⇒ Kx1 = mg ⇒ x1 =

142. Κρούσεις - Φαινόμενο Doppler

+

⇒ mυ + 0 = 2m.υΚ ⇒ υK =

Βήμα 3ο

υ 3 m ⇒ υK = 2 2 s

Το συσσωμάτωμα 2m εκτελεί γ.α.τ. με D=k, γύρω από τη Θ.Ι. του. Θ.Ι. 2m: Fελ = 2mg ⇒ Kx 2 = 2mg ⇒

x

2mg ⇒ x 2 = 0,1m K Τη στιγμή που το 2m αποκτά

K

K Ö.Ì.

x2 =

ταχύτητα υ K απέχει από τη Θ.Ι. του κατά:

x1 m

õ

m

õK

x3

x2 2m

È.É. m È.É. 2m

x 3 = x 2 - x1 = 0,05m

Εφαρμόζουμε ΑΔΕΤ: Uταλ+K=Εολ ⇒

1 1 1 Dx 32 + 2 mυΚ2 = DA 2 2 2 2

Αντικαθιστώντας βρίσκουμε: A = 0,1m Τη χρονική στιγμή t0 = 0 το συσσωμάτωμα βρίσκεται στη θέση x = x 3 = +A/2 .

Άρα:

π  φ0 = η  A 1  6 = Α ⋅ ημφ 0 ⇒ ημφ 0 = ⇒  5π 2 2  φ0 =  6

Επειδή είναι υΚ>0, συμπεραίνουμε ότι: φ0 =

ω=

Τελικά έχουμε:

D = 2m

π 6

200 rad rad/s ⇒ ω = 10 2 s

π  x = 0,1 ⋅ ημ 10t +  S.I. 6 

β. Η ταχύτητα γίνεται υ=0 στις ακραίες θέσεις. Αυτό για 2η φορά γίνεται στη θέση -Α. Επομένως από την εξίσωση x-t, έχουμε:

Κρούσεις - Φαινόμενο Doppler 143.

Βήμα 3ο

π π π 3π 2π   ⇒t= -0,1 = 0,1 ⋅ ημ 10t +  ⇒ ημ 10t +  = −1 ⇒ 10t + = s 6 6 6 2 15  

γ.

E απωλ(κρουση) E αρχ(βλημ)

1 2 1 mυ - 2mυ2Κ υ2 - 2υ2Κ 2 2 100% ⇒ 100% ⇒ 100% = 50% 2 1 2 υ mυ 2

8. Ένας παρατηρητής κινείται σε μια ευθεία που ενώνει δύο ηχητικές πηγές S1, S2 οι οποίες παράγουν ήχο συχνότητας fS = 400 Hz . Ο παρατηρητής κινείται από την πηγή S1 προς τον S2 με ταχύτητα υ A = 2m/s . õÁ

S2

S1

α. Να υπολογίσετε τη συχνότητα των διακροτημάτων που ακούει ο παρατηρητής. β. Ποιος είναι ο αριθμός των μέγιστων που ακούει ο παρατηρητής σε 3s;

Δίνεται υηχ = 340m/s . Λύση: α. Εφαρμόζουμε την σχέση του φαινομένου Doppler, για τον ήχο από την 1η πηγή: f Α,1 =

υηχ - υΑ υηχ

fS ⇒ f Α,1 =

338 400 Ηz ⇒ f Α,1 = 397,647 Ηz 340

Εφαρμόζουμε την σχέση του φαινομένου Doppler, για τον ήχο από την 2η πηγή: f Α,2 =

υΑ + υηχ υηχ

fS ⇒ f Α,2 =

342 400 Ηz ⇒ f Α,2 = 402,353Ηz 340

Η συχνότητα του διακροτήματος είναι: f δ = f Α,2 − f Α,1 = 4, 7Ηz β. Ο παρατηρητής κάθε Τδ =0,213 s ακούει 1 μέγιστο. Άρα σε 3s ακούει: Ν=

3s = 14,08 δηλ 14 μέγιστα.

0, 213s

144. Κρούσεις - Φαινόμενο Doppler

1. Σώμα μάζας m

= 0,5kg κινείται σε λείο οριζόντιο δάπεδο με ταχύτητα μέτρου υ1 = 80m/s και συγκρούεται πλαστικά με ακίνητο σώμα μάζας m 2 = 3,5kg. Μετά την κρούση το συσσωμάτωμα ανεβαίνει σε κεκλιμένο επίπεδο κλίσης φ=30 0, που παρουσιάζει συντελεστή

Βήμα 4ο

1

m1 õ m2 1

ö

τριβής μ= 3/3 . Ζητούνται: α. Η ταχύτητα του συσσωματώματος μετά τη κρούση. β. Το ύψος που θα φτάσει το συσσωμάτωμα. γ. Το ποσοστό επί της % της αρχικής ενέργειας που χάνεται κατά την κρούση. δ. Το συσσωμάτωμα θα κατέβει προς τη βάση του κεκλιμένου επιπέδου; Δίνεται g=10m/s2. ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ...........................................................................................................................

2. Το σώμα μάζας m1=1kg εκτοξεύεται από το σημείο (Σ) του οριζοντίου

δαπέδου με το οποίο παρουσιάζει συντελεστή τριβής ολίσθησης μ=0,5 με

Βήμα 4ο

Κρούσεις - Φαινόμενο Doppler 145.

ταχύτητα μέτρου υ όπως (K) 0 στο σχήμα. Το σώμα αφού διανύσει απόσταση d = 10 m, l συγκρούεται κεντρικά και (Ó) ελαστικά με το σώμα μάζας m2 õ0 m2=2kg το οποίο είναι δεμέm1 νο στο ένα άκρο αβαρούς νήματος μήκους l =3,6m, d του οποίου το άλλο άκρο είναι δεμένο στο ακλόνητο σημείο Κ. Το σώμα m 2 μόλις που κάνει ανακύκλωση. Αν δίνεται g = 10m/s2: α. Ποια είναι η ταχύτητα του σώματος m2 αμέσως μετά την κρούση; β. Ποια είναι η αρχική ταχύτητα υ0 του σώματος m1; γ. Τι ποσοστό της ενέργειας του σώματος m1 μεταβιβάζεται κατά την διάρκεια της κρούσης στο m2; ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ...........................................................................................................................

3. Δύο σφαίρες αμελητέων ακτίνων με μάζες m1και m2, όπου m1= m2, αφή-

νονται διαδοχικά να πέσουν από το ίδιο ύψος h = 18 m επί οριζoντίoυ επιπέδου. Οι σφαίρες κινούνται επάνω στην ίδια κατακόρυφο. Aφήνεται πρώτα η σφαίρα μάζας m1 και μετά η σφαίρα μάζας m2. Η σφαίρα μάζας m1 προσκρούει στο οριζόντιο επίπεδο και αρχίζει να κινείται κατακόρυφα προς τα επάνω. Μόλις αποχωρισθεί από το επίπεδο, συγκρούεται μετωπικά με την κατερχόμενη σφαίρα μάζας m2. Να βρεθεί το ύψος h2 στο οποίο

146. Κρούσεις - Φαινόμενο Doppler

Βήμα 4ο

θα φθάσει η σφαίρα μάζας m2. Να θεωρηθεί ότι, όταν οι σφαίρες συγκρούονται, έχουν διανύσει την ίδια κατακόρυφη απόσταση h από το σημείο εκκίνησης. Όλες οι κρούσεις είναι ελαστικές και η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα. ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ...........................................................................................................................

4. Σφαίρα μάζας m=1 kg αφήνεται από την κορυφή λείου κεκλιμένου επιπέδου φ=30ο μήκους s=8,1m. Όταν φθάσει στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου συγκρούεται ακαριαία μετωπικά και πλαστικά με σώμα μάζας m΄=2kg το οποίο είναι συνδεδεμένο στη μιά άκρη ιδανικού οριζόντιου ελατηρίου, του οποίου η άλλη άκρη είναι δεμένη σε ακλόνητο κατακόρυφο τοίχωμα. Το ελατήριο σταθεράς Κ=600Ν/m είναι στο φυσικό του μήκος. m

K

m´ ö

Να βρείτε: α. τη μέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου, β. το ποσοστό επί τοις % της αρχικής ενέργειας της m που έγινε θερμότητα κατά τη κρούση, γ. Τη θερμότητα σε όλο το φαινόμενο. Δίνονται ο συντελεστής τριβής μεταξύ του συσσωματώματος και του οριζόντιου δαπέδου είναι μ=0,25 και g=10 m/s2.

Βήμα 4ο

Κρούσεις - Φαινόμενο Doppler 147.

........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ...........................................................................................................................

5. Ο δίσκος μάζας m=2 kg ενός δυναμομέτρου είναι στερεωμένος στο άκρο κατακόρυφου ελατήριου σταθεράς Κ=400 N/m, το άλλο άκρο του m´ οποίου στερεώνεται σε ακλόνητη οροφή. Μία K σφαίρα μάζας m΄=m, αφήνεται ελεύθερη από ύψος h. Η κρούση είναι πλαστική και μετωπιh κή. Να βρεθούν: α. το ύψος h ώστε το πλάτος ταλάντωσης να m είναι 0,1 m, β. το ποσοστό επί τοις % της αρχικής ενέργειας της m΄ που έγινε θερμότητα κατά τη κρούση, γ. Να βρείτε τον ελάχιστο χρόνο για να γίνει μέγιστη η ταχύτητα του συσσωματώματος. ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ...........................................................................................................................

148. Κρούσεις - Φαινόμενο Doppler

Βήμα 4ο

........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ...........................................................................................................................

6. Το σώμα μάζας m=1kg, του σχήματος κάνει απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους 10cm. Τη στιγμή που περνά από τη θέση ισορροπίας του πέφτει κατακόρυφα σώμα μάζας m΄=1kg και συσσωματώνεται με το σώμα m.

m´ Ê1

Ê2 m

α. Nα βρείτε το νέο πλάτος ταλάντωσης. β. Το ποσοστό επί τοις % της απώλειας ενέργειας ταλάντωσης. γ. Το λόγο των περιόδων ταλάντωσης. Δίνονται: π2 = 10, g = 10 m/s2, K1 =100 N/m, K2 =200 N/m. ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ...........................................................................................................................

7. Στο σχήμα το σώμα μάζας m1=1kg είναι δεμένο στο άκρο ελατηρίου σταθεράς Κ=100 Ν/m και εκτελεί γ.α.τ πλάτους 0,3m. Όταν το σώμα μάζας m1

Κρούσεις - Φαινόμενο Doppler 149.

Βήμα 4ο

είναι στην θέση x=0,15 3 m, κινούμενο m1 προς τα δεξιά συγκρούεται πλαστικά με Ê ένα άλλο σώμα μάζας m2=3kg, που κινείται αντίρροπα με το πρώτο και με ταχύτητα 0,5m/s. α. Να γράψετε την εξίσωση x=f(t) για την γ.α.τ. του συσσωματώματος, θεωρώντας t=0 τη στιγμή της κρούσης. β. Να βρείτε την απώλεια της κινητικής ενέργειαςπου έγινε θερμότητα κατά τη κρούση. γ. Το λόγο των συχνοτήτων των δύο ταλαντώσεων. ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ...........................................................................................................................

8. Από την κορυφή λείου κεκλιμένου επιπέδου γωνίας κλίσης θ=30o στερεώνεται διαμέσου ιδανικού ελατηρίου σώμα μάζας m2=1 kg και το σύστημα ισορροπεί πάνω στο κεκλιμένο επίπεδο, όπως φαίνεται στο σχήμα. Από τη βάση του κεκλιμένου επιπέδου βάλλεται με υ0=5 m/s σώμα μάζας m1=1 kg.

Ê s m1

õ0 è

m2

150. Κρούσεις - Φαινόμενο Doppler

Βήμα 4ο

Η αρχική απόσταση των σωμάτων είναι s=0,9 m και η σταθερά του ελατηρίου Κ=100 N/m. Τα σώματα συγκρούονται ακαριαία, μετωπικά και ελαστικά. Να βρείτε: α. την εξίσωση x=f(t) για την γ.α.τ. του m2, θεωρώντας t=0 τη στιγμή της κρούσης. β. την ταχύτητα του m1, όταν ξαναφτάνει στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου, γ. Πού βρίσκεται το m2 όταν το m1 ξαναφτάνει στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου; (g=10 m/s 2) ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ...........................................................................................................................

9.

Η ράβδος ΑΒ του σχήματος μάζας Μ=2 kg Á και μήκους l=2 m μπορεί να στρέφεται γύρω από το (Α), όπως φαίνεται στο σχήμα. Ένα βλήμα μάζας m=0,1g κινείται οριζόντια με ταχύτητα μέτρου υ0 και διαπερνά τη ράβδο έχοντας μετά την κρούση ταχύτητα μέτρου υ0/2, σε απόσταση d= 0,8 l από το Α. Η ράβδος μετά τη κρούση εκτρέπεται κατά 60ο. m õ α. Nα υπολογίσετε το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας της ράβδου αμέσως μετά την Â κρούση. β. Nα υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας υ0 του βλήματος.

d

Κρούσεις - Φαινόμενο Doppler 151.

Βήμα 4ο

γ. Nα υπολογίσετε την απώλεια ενέργειας κατά τη κρούση. Δίνεται ότι η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της είναι I = Μl 3 .

2

........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ...........................................................................................................................

10.

H ακίνητη ηχητική πηγή του σχήματος εκπέμπει ήχο συχνότητας f=400t στο S.I. Ένας ακροατής Α είναι αρχικά ακίνητος σε απόσταση 100m και αρχίζει να κινείται με σταθερή ταχύτητα προς την πηγή. Μετά από 4s o ακροατής φτάνει στην πηγή. α. Να παρασταθεί γραφικά με τον χρόνο η συχνότητα που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής μέχρι να φτάσει στην πηγή. β. Ποια είναι η συχνότητα που αντιλαμβάνεται αμέσως μόλις προσπεράσει την πηγή; γ. Ποιος είναι ο αριθμός των κυμάτων που ακούει ο παρατηρητής από την στιγμή που είναι δίπλα στη πηγή και 2s μετά; Δίνεται η ταχύτητα του ήχου υηχ = 340m/s .

S õÁ

152. Κρούσεις - Φαινόμενο Doppler

Βήμα 4ο

........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ...........................................................................................................................

Βήμα 5ο

Κρούσεις - Φαινόμενο Doppler 153.

Θέμα 1ο Α. Κινούμενο σώμα μάζας m1συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με ακίνητο σώμα μάζας m2. Aν, μετά την κρούση, το σώμα μάζας m1 γυρίζει προς τα πίσω, τότε συμπεραίνουμε ότι: α. m1 = m2 β. m1 > m2 γ. m1 <m2 δ. m1 << m1 (Μονάδες 5) ................................................................................. Β. Ένα αμαξίδιο μάζας Μ κινείται με ταχύτητα μέτρου υ1 σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Στο καρότσι πέφτει κινούμενο κατακόρυφα, ένα μπαλάκι μάζας m. Το μπαλάκι ανακλάται Η ταχύτητα του αμαξιδίου μετά είναι: α. υ΄1>υ1 β. υ΄1<υ1 γ. υ΄1=υ1 δ. δεν γνωρίζουμε (Μονάδες 5) .............................................................................. Γ. Θεωρούμε τη μετωπική κρούση δύο σφαιρών ίσων μαζών που πλησιάζει η μια την άλλη με ταχύτητες μέτρων 10m/s και 15m/s αντίστοιχα. Αν η πρώτη σφαίρα μετά τη κρούση έχει ταχύτητα -15 m/s, η κρούση είναι: α. ελαστική β. πλαστική γ. ανελαστική δ. δεν μπορούμε να ξέρουμε (Μονάδες 5) .............................................................................. ...................................... .............................................................................. ......................................

154. Κρούσεις - Φαινόμενο Doppler

Βήμα 5ο

Δ. Κινούμενος παρατηρητής που πλησιάζει ηχητική πηγή αντιλαμβάνεται συχνότητα: α. Ίση με της πηγής. β. Μεγαλύτερη από της πηγής. γ. Μικρότερη από της πηγής. δ. Δεν μπορούμε να γνωρίζουμε. (Μονάδες 5) ........................................................................................................................... Ε. Κινούμενη πηγή απομακρύνεται από παρατηρητή, ο οποίος κινείται επίσης πλησιάζοντας την πηγή. Τότε ο παρατηρητής αντιλαμβάνεται συχνότητα: α. Ίση με της πηγής. β. Μεγαλύτερη από της πηγής. γ. Μικρότερη από της πηγής. (Μονάδες 5) ...........................................................................................................................

Θέμα 2ο Α. Σφαίρα μικρής μάζας προσκρούει ελαστικά και πλάγια σε λείο δάπεδο, όπως φαίνεται στο σχήμα. Αν υ1 και υ2 είναι τα μέτρα της ταχύτητας της σφαίρας πριν και μετά την κρούση, π είναι η γωνία πρόσπτωσης και α η γωνία ανάκλασης της σφαίρας, τότε να δείξετε ότι:

υ 1 = υ2 και π = α

(Μονάδες 8) ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... Β. Είναι δυνατόν ένα σύστημα δύο σωμάτων να έχει ορμή μηδέν και ολική κινητική ενέργεια διάφορη του μηδενός; Είναι δυνατόν ένα σύστημα δύο σωμάτων να έχει κινητική ενέργεια ίση με μηδέν και ολική ορμή διάφορη του μηδενός; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 7) ...........................................................................................................................

Κρούσεις - Φαινόμενο Doppler 155.

Βήμα 5ο

........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... Γ. Δύο σώματα συγκρούονται. Να αντιστοιχίσετε τα είδη της κρούσης της στήλης Α με τις προτάσεις της στήλης Β. Στήλη Α α. κεντική κρούση

Στήλη Β 1. οι ταχύτητες των κέντρων μάζας των σωμάτων είναι παράλληλες. β. έκκεντρη κρούση 2. οι ταχύτητες των κέντρων μάζας των σωμάτων έχουν τυχαίες διευθύνσεις. γ. πλάγια κρούση 3. οι ταχύτητες των κέντρων μάζας των σωμάτων βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία. (Μονάδες 5) ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... Δ. Να γίνει αντιστοίχιση της συχνότητας fΑ του ήχου που ακούει ο παρατηρητής κάθε φορά, με την περίπτωση κίνησης παρατηρητή - πηγή õA=0

õA

α. f Α =

υ - υΑ fS υ + υS

1

3

õA

õS

õ S =0

β. f Α =

õA

υ - υΑ fS υ

2

õS

õS

4

γ.

fΑ =

υ + υΑ fS υ - υS

156. Κρούσεις - Φαινόμενο Doppler

δ. f Α =

υ fS υ - υS

ε. f Α =

Βήμα 5ο

υ + υΑ fS υ

(Μονάδες 5) ........................................................................................................................... ...........................................................................................................................

Θέμα 3ο Η πηγή (1) του σχήματος κινείται με υ1=30m/s και εκπέμπει ήχο συχνότητας f1=620 Hz. Η πηγή (2) του σχήματος κινείται με υ2=50m/s και εκπέμπει ήχο συχνότητας f1=634 Hz.

õ2

õA

õ1

Να υπολογίσετε: α. την ταχύτητα του ακροατή ώστε να ακούει ίδια συχνότητα από τις δύο πηγές, (Μονάδες 15) ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... β. τη συχνότητα που ακούει ο ακροατής. (Μονάδες 10) Δίνεται η ταχύτητα του ήχου στον αέρα υ=340 m/s. ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ...........................................................................................................................

Κρούσεις - Φαινόμενο Doppler 157.

Βήμα 5ο

Θέμα 4ο Ο δίσκος μάζας Μ=2 kg είναι στερεωμένος στο πάνω άκρο κατακόρυφου ελατήριου σταθεράς Κ=100 N/m, το άλλο άκρο του οποίου στερεώνεται σε ακλόνητο δάπε-δο. Μία σφαίρα μάζας m= 2kg, αφήνεται ελεύθερη από ύψος h=5m. Η κρούση είναι πλαστική και μετωπική. Να βρεθούν: α. Η κοινή ταχύτητα του συσσωματώματος. (Μονάδες 5) β. Το ποσοστό επι τοις % που έγινε θερμότητα κατά την κρούση. (Μονάδες 5) γ. Το πλάτος ταλάντωσης του συσσωματώματος και την περίοδό του. (Μονάδες 8) δ. Η μέγιστη δυναμική ενέργεια του ελατηρίου. (Μονάδες 7)

m

h

M

K

........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ...........................................................................................................................