Plan mejoramiento TP 2016 G10 by Nicolas Andres Mejia Dominguez UTP

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2. Caracteres continuos. Datos agrupados

PIENSA Y CALCULA En un test psicotĂŠcnico, se han obtenido las siguientes puntuaciones de 0 a 100: 60, 65, 50, 89, 45, 40, 78, 92, 75, 23, 80, 60, 70, 75, 45, 78, 60, 80, 90, 98, 45, 62, 58, 50, 60 a) Clasifica el carĂĄcter estadĂstico. b) Calcula el recorrido. c) Si los datos se agrupan en 5 intervalos, ÂżcuĂĄl es la longitud aproximada de cada intervalo?

2.1. Tablas de datos agrupados en intervalos Cuando el nĂşmero de datos de un carĂĄcter cuantitativo discreto es muy grande o los datos son de un carĂĄcter cuantitativo continuo, ĂŠstos se agrupan en intervalos de igual longitud. La marca de clase de un intervalo es el valor medio de dicho intervalo, y se toma como representante de ĂŠste cuando hay que realizar algĂşn cĂĄlculo. Se representa por xi FormaciĂłn de intervalos Para formar los intervalos se sigue el procedimiento: a) Se determina el valor mayor, M, y el menor, m, de todos los datos y se halla el recorrido, que es la diferencia entre el mayor, M, y el menor, m b) El nĂşmero de intervalos se suele tomar redondeando la raĂz cuadrada del nĂşmero de datos. c) La longitud de cada intervalo se calcula dividiendo una longitud que sea mĂşltiplo del nĂşmero de intervalos, e igual o mayor que el recorrido entre el nĂşmero de intervalos. Ejemplo Se han medido las estaturas en centĂmetros de 40 alumnos de 4Âş de ESO, obteniĂŠndose los siguientes datos: 165, 170, 167, 165, 172, 171, 162, 173, 170, 176, 173, 156, 167, 180, 175, 166, 160, 169, 178, 166, 164, 176, 174, 182, 167, 172, 171, 170, 173, 175, 171, 177, 170, 178, 168, 185, 173, 174, 168, 174 Haz la tabla de frecuencias. a) El recorrido es: M â&#x20AC;&#x201C; m = 185 â&#x20AC;&#x201C; 156 = 29 b) El nĂşmero de intervalos: â&#x2C6;&#x161;40 < 6 c) Longitud de cada intervalo: 30 : 6 = 5 El extremo inferior del 1er intervalo se toma: (30 â&#x20AC;&#x201C; 29) : 2 = 0,5 Ă˛ 156 â&#x20AC;&#x201C; 0,5 = 155,5

Convenio Se suele establecer el convenio siguiente: en un intervalo el extremo inferior pertenece al intervalo, y el extremo superior no pertenece al intervalo.

Ejemplo En el intervalo: 155,5 - 160,5 estĂĄn todos los valores mayores o iguales que 155,5 y menores estrictamente que 160,5

Intervalo

Ni Ni %

155,5 - 160,5

158

160,5 - 165,5

163

165,5 - 170,5

168

170,5 - 175,5

173

175,5 - 180,5 180,5 - 185,5

5 0,05

15 0,10

10 0,15

45 0,30

30 0,45

80 0,35

35 0,80

178

95 0,15

15 0,95

183

100 0,05

5 1,00

1,00 100

210

fi %

Total

BLOQUE V: ESTADĂ?STICA Y PROBABILIDAD

4. ParĂĄmetros de dispersiĂłn

PIENSA Y CALCULA Los grĂĄficos adjuntos representan los datos de las calificaciones que dos clases han tenido en la misma asignatura. Clase B 6

7 6

Clase A

0 0 1

0 1

9 10

a) Si RocĂo desea sacar un diez, Âża quĂŠ clase deberĂa ir? b) Si lo que quiere es asegurar el aprobado, Âża quĂŠ clase deberĂa ir?

4.1. ParĂĄmetros de dispersiĂłn Los parĂĄmetros de dispersiĂłn son unos valores que indican si los datos de la distribuciĂłn estĂĄn mĂĄs o menos cercanos a los parĂĄmetros centrales. El recorrido es la diferencia entre el valor mayor y el menor de la distribuciĂłn. La varianza es la media de las desviaciones al cuadrado. S xi2 Âˇ ni â&#x20AC;&#x201C;2 V = â&#x20AC;&#x201D;â&#x20AC;&#x201D;â&#x20AC;&#x201D;â&#x20AC;&#x201D; â&#x20AC;&#x201C;x N

S (xi â&#x20AC;&#x201C; â&#x20AC;&#x201C;x)2 N

La varianza no se puede comparar con la media, ya que en la varianza se tienen unidades cuadradas, y en la media, unidades lineales. Para poder hacer esta comparaciĂłn se define la desviaciĂłn tĂpica.

Calculadora MODE (SD) 2 SHIFT CLR (Scl) 1 =

La desviaciĂłn tĂpica es la raĂz cuadrada de la varianza. Se representa con el sĂmbolo s â&#x20AC;&#x201C; s = â&#x2C6;&#x161;V

1 ; 1 DT 3 ; 4 DT â&#x20AC;Ś

Media

Ejemplo Calcula la varianza y la desviaciĂłn tĂpica de la siguiente distribuciĂłn de calificaciones de 28 alumnos:

â&#x20AC;&#x201C;) 1 = 6 SHIFT S-VAR (x DesviaciĂłn tĂpica SHIFT S-VAR (xsn) 2

xi2 xi2 Âˇ ni

Intervalo

xi Âˇ ni

0-2

2-4

4-6

6-8

8 - 10

168

= 2,17

Varianza Se eleva la desviaciĂłn tĂpica al cuadrado. x2 4,71

Total

â&#x2C6;&#x2018; x2i Âˇ ni â&#x20AC;&#x201C;2 1 140 â&#x20AC;&#x201C; 62 = â&#x20AC;&#x201C;x = N 28 392 = 4,71

225 486

s = â&#x2C6;&#x161;V = â&#x2C6;&#x161;4,71 < 2,17

1 140

214

â&#x20AC;&#x201C;x = â&#x2C6;&#x2018; xi Âˇ ni = 168 = 6 N 28

BLOQUE V: ESTADĂ?STICA Y PROBABILIDAD

4.2. Coeficiente de variaciĂłn Si se conocen la media y la desviaciĂłn tĂpica de una distribuciĂłn, se sabe, con la media, dĂłnde estĂĄ su centro y, con la desviaciĂłn tĂpica, si los datos estĂĄn agrupados o dispersos. Para comparar dos distribuciones se define el coeficiente de variaciĂłn. El coeficiente de variaciĂłn es la comparaciĂłn entre la desviaciĂłn tĂpica y la media aritmĂŠtica, es decir: s CV = â&#x20AC;&#x201C; â&#x20AC;&#x201C;x Este coeficiente se suele multiplicar por cien para expresarlo en porcentaje. Cuanto mayor sea el coeficiente de variaciĂłn, mayor serĂĄ la dispersiĂłn de los datos.

Convenio InterpretaciĂłn del CV Para que el CV sea fiable, la media no debe estar prĂłxima a cero. Cuando el CV Ă&#x201C; 30%, la dispersiĂłn es grande.

Ejemplo En la siguiente tabla se recogen los puntos conseguidos por dos jugadores de baloncesto en los Ăşltimos siete partidos. Calcula el coeficiente de variaciĂłn y analiza la dispersiĂłn de los puntos.

Calculadora xqn Ă&#x201D; â&#x20AC;&#x201C;x 0,07 xqn Ă&#x201D; â&#x20AC;&#x201C;x 0,38

Jugador A

Jugador B

Â° â&#x20AC;&#x201C;x = 21,29 Â§ Jugador A Â˘ s = 1,39 Â§ ÂŁ CV = 0,07 = 7%

Â° â&#x20AC;&#x201C;x = 23,43 Â§ Jugador B Â˘ s = 8,86 Â§ ÂŁ CV = 0,38 = 38%

El jugador B tiene una media superior al A, pero es mucho mĂĄs irregular. El jugador B tiene un CV de 38%, mientras que el A lo tiene del 7%

APLICA LA TEORĂ?A 8 El nĂşmero de personas que ha acudido diariamen-

10 Las calificaciones que han obtenido en MatemĂĄti-

cas dos clases distintas han sido:

te a la consulta de un mĂŠdico en el Ăşltimo mes ha sido: NÂş de pacientes NÂş de dĂas

8 5

ClasificaciĂłn Clase A Clase B 0 5 0 1 4 0 2 1 2 3 0 2 4 0 3 5 0 6 6 0 3 7 0 2 8 1 2 9 4 0 10 5 0

10 12 14 15 20 4 6 6 3 1

Calcula la varianza, la desviaciĂłn tĂpica y el coeficiente de variaciĂłn.

9 Calcula la varianza, la desviaciĂłn tĂpica y el

coeficiente de variaciĂłn del dinero que gastan mensualmente 28 alumnos de 4Âş cuyos datos se han recogido en la siguiente distribuciĂłn: Intervalo Frecuencia

5-9 10

9 - 13 8

13 - 17 17 - 21 21 - 25 5 4 3

Calcula el coeficiente de variaciĂłn y analiza el resultado.

215

11. ESTADĂ?STICA

3. Se ha realizado un estudio sobre el peso en gramos de

4. Se ha preguntado a una muestra de personas sobre el ti-

unas piezas, obteniéndose los siguientes resultados: 69 58 54 40 61 72 56 52 64 57 52 60 54 50 63 55 50 31 69 61 51 58 54 48 63 69 58 55 50 70 32 35 46 40 38 39 42 36 40 47 a) Clasifica el carácter estudiado. b) Agrupa los datos en 6 intervalos y haz la tabla de frecuencias absolutas y relativas.

po de deporte que realizan, obteniéndose los siguientes resultados: Tipo

Solución: b) Recorrido = 72 – 31 = 41

10 20

Ciclismo

a) Cualitativo.

Longitud de cada intervalo: 42 : 6 = 7

b) Tabla.

Extremo inferior del primer intervalo:

Tipo

(42 – 41) : 2 = 0,5 ò 31 – 0,5 = 30,5 Intervalo xi ni Ni Ni (%)

f i (%)

Natación

10,0

0,100

10,0 0,100

37,5 - 44,5 41 6 10 25,0

0,150

15,0 0,250

44,5 - 51,5 48 7 17 42,5

0,175

17,5 0,425

51,5 - 58,5 55 12 29 72,5

0,300

30,0 0,725

58,5 - 65,5 62 6 35 87,5

0,150

15,0 0,875

65,5 - 72,5 69 5 40 100,0 0,125

12,5 1,000

Total

Tenis Carrera

Solución:

Número de intervalos: 6

a) Clasifica el carácter estudiado. b) Haz la tabla de frecuencias absolutas y relativas.

a) Cuantitativo continuo.

30,5 - 37,5 34 4

Nº de personas

Natación

ni Ni Ni (%)

f i (%)

0,10

Tenis

10 14

0,25

0,35

Carrera

20 34

0,50

0,85

Ciclismo

6 40

100

0,15

1,00

Total

1,00 100

1,000 100,0

2. Gráficos estadísticos ■ Piensa y calcula a) ¿Qué representa el gráfico adjunto? b) Escribe la tabla de frecuencias absolutas. c) ¿Cuántos individuos han sacado una calificación mayor que 5?

Nº de alumnos

Y 14 12 10 8 6 4 2

X 0

1º Bachillerato

4 6 8 Calificaciones

Solución: a) La distribución de las calificaciones de un grupo de alumnos de 1º de Bachillerato. b) Tabla. Intervalo xi

0-2

2-4

4-6

6-8

8 - 10

Suma 30

c) 7 + 4 = 11 alumnos.

TEMA 11. ESTADÍSTICA UNIDIMENSIONAL

297

● Aplica la teoría 5. Representa en un diagrama de barras la distribución del número total de libros vendidos en los últimos seis meses en una librería: Mes

Jul.

Ag.

Sep.

Nº libros

Oct. Nov. 55

Libros vendidos

56,5 a 61,5

61,5 a 66,5

66,5 a 71,5

71,5 a 76,5

76,5 a 81,5

Ventas

80 70 60 50 40 30 20 10

Nº de personas

Dic.

Solución: Y

Peso (kg) 51,5 a 56,5

Solución: % 100 80 X Jul.

Ag. Sep. Oct. Nov. Dic. Mes

40 20 56,5 61,5 66,5 71,5 76,5 81,5

6. Representa en un histograma la siguiente distribución de las estaturas en centímetros de los alumnos de 1º B: xi

161-167 167-173 173-179 179-185 185-191

Solución: Nº de alumnos

10 8 6 4 2

de Internet, se han recogido las siguientes respuestas: xi

Muy mal

Mal

Normal

Bien

Muy bien

Representa los datos en un diagrama de sectores.

1º B

8. En una encuesta sobre el funcionamiento de un servidor

Solución: Opinión sobre un servidor de Internet X 161-167 167-173 173-179 179-185 185-191

Normal Mal Bien

Estaturas

7. La siguiente tabla recoge la distribución del peso en kilogramos de un grupo de personas. Haz un polígono de frecuencias acumuladas:

Muy mal

Muy bien

■ Piensa y calcula En la tabla adjunta se recogen el número de hijos de las familias de 20 alumnos. Calcula el número medio de hijos por familia.

Nº de hijos

Nº de familias

Solución: Nº medio de hijos = (1 · 6 + 2 · 9 + 3 · 4 + 4 · 1) : 20 = 40 : 20 = 2

298

SOLUCIONARIO

3. Parámetros estadísticos

● Aplica la teoría 9. El número de errores ortográficos cometidos por un grupo de estudiantes en una prueba ha sido:

11. Se desea comparar las distribuciones A y B de la tabla adjunta. ¿Cuál de las dos tiene mayor dispersión?

Nº de errores

Nº de alumnos

Calcula el número medio de errores, la desviación típica e interpreta el coeficiente de variación. Solución: Nº de errores: xi Nº de alumnos: ni xi · ni 0 1 2 3 4

6 7 5 5 2 25

Total

0 7 10 15 8 40

xi2 · ni 0 7 20 45 32 104

Media: –x = 40/25 = 1,6 errores. Varianza: V = 104/25 – 1,62 = 1,6 — q = √ 1,6 = 1,26 CV = 1,26/1,6 = 0,79 = 79% > 30% ò Hay mucha dispersión en los datos.

Solución: Distribución A: xi

1 1 2 8 3 22 4 7 5 2 Total 40

xi · ni xi2 · ni 1 1 16 32 66 198 28 112 10 50 121 393

Media: –x = 121/40 = 3,03

10. La duración en horas de una muestra de bombillas ha sido: xi

300-400 400-500 500-600 600-700 700-800

Calcula la duración media, la desviación típica e interpreta el coeficiente de variación.

CV = 0,8/3,03 = 0,26 = 26% < 30% Distribución B: xi

Solución: Intervalo 300 - 400 400 - 500 500 - 600 600 - 700 700 - 800 Total

Varianza: V = 393/40 – 3,032 = 0,64 — q = √ 0,67 = 0,8

xi · ni

350 6 2 100 450 8 3 600 550 11 6 050 650 9 5 850 750 6 4 500 40 22 100

xi2 · ni 735 000 1 620 000 3 327 500 3 802 500 3 375 000 12 860 000

1 12 2 5 3 2 4 7 5 14 Total 40

xi · ni xi2 · ni 12 12 10 20 6 18 28 112 70 350 126 512

Media: –x = 126/40 = 3,15 Varianza: V = 512/40 – 3,152 = 2,88 — q = √ 2,88 = 1,7 CV = 1,7/3,15 = 0,54 = 54% > 30% La distribución B tiene más del doble de dispersión que la distribución A

Media: –x = 22 100/40 = 552,5 horas. Varianza: V = 12 860 000/40 – 552,52 = 16 243,75 — q = √16 243,8 = 127,45 CV = 127,45/552,5 = 0,23 = 23% < 30% ò Hay poca dispersión en los datos.

TEMA 11. ESTADÍSTICA UNIDIMENSIONAL

299

Ejercicios y problemas 3. Parámetros estadísticos 23. La puntuación obtenida por un equipo de baloncesto en

los últimos partidos ha sido: Puntuación

Nº de partidos

102

Calcula: a) la media. b) la desviación típica. c) el coeficiente de variación. Solución: xi 75 79 80 85 92 102 Total

ni xi · ni xi2 · ni 2 150 11 250 5 395 31 205 9 720 57 600 4 340 28 900 3 276 25 392 2 204 20 808 25 2 085 175 155

Media: –x = 2 085/25 = 83,4 Varianza: V = 175 155/25 – 83,42 = 50,64 — q = √ 50,64 = 7,12 CV = 7,12/83,4 = 0,09 = 9% < 30% ò Hay poca dispersión en los datos.

Solución: Temperatura (xi)

Mes

xi2

Enero

256

Febrero

196

Marzo

484

Abril

625

Mayo

729

Junio

784

Julio

1 024

Agosto

900

Septiembre

676

Octubre

361

Noviembre

256

Diciembre Total

196

269

6 487

Media: –x = 269/12 = 22,42 °C Varianza: V = 6487/12 – 22,422 = 37,93 — q = √ 37,93 = 6,16 CV = 6,16/22,42 = 0,27 = 27% < 30% ò Hay poca dispersión en los datos. 25. Dos jugadores de baloncesto,A y B, consiguen encestar

tiros de tres puntos por partido según la distribución siguiente: Encestes

Jugador A

Jugador B

Temperatura (°C)

Enero

Febrero

Marzo

Abril

Mayo

Junio

Julio

Agosto

Septiembre

117

Octubre

Noviembre

Total 20

187

ciudad ha sido: Mes

Diciembre

Compara los coeficientes de variación de cada jugador. Solución: Distribución del jugador A: ni xi · ni xi2 · ni © Grupo Editorial Bruño, S. L.

24. La temperatura media máxima mensual registrada en una

304

Calcula: a) la temperatura media anual. b) la desviación típica. c) el coeficiente de variación.

SOLUCIONARIO

Media: –x = 59/20 = 2,95 encestes.

3 4

Varianza: V = 187/20 – 2,952 = 0,65 — q = √ 0,65 = 0,8

4 12 14 8

Solución:

CV = 0,8/2,95 = 0,27 = 27% < 30% Distribución del jugador B:

90 100

· ni

ni xi · ni

xi2

250

278

Cuartil inferior: Q1 = P25 = 2 porque para x = 2 N2 = 32% > 25% Segundo cuartil: Q2 = P50 = 3 porque para x = 3 N3 = 60% > 50% Cuartil superior: Q3 = P75 = 4 porque para x = 4 N4 = 76% > 75%

Media: –x = 64/20 = 3,2 encestes. Varianza: V = 278/20 – 3,22 = 3,66 — q = √ 3,66 = 1,91 CV = 1,91/3,2 = 0,60 = 60% El jugador B tiene más del doble de dispersión que el jugador A.

28. Calcula la mediana y el percentil P80 en la siguiente dis-

tribución:

4. Medidas de posición 26. Calcula el primer cuartil, el decil D1 y el percentil P50 en

el conjunto de datos siguientes:

3 6 6 2

5 5 1 2

4 3 4 3

3 3 5 5

4 2 4 2

Solución: a) Se ordenan los datos: 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6 N = 20 b) 20 · (25/100) = 5 ò 5º lugar ò 5º y 6º lugar ò 2+3 ò Q1 = P25 = —— = 2,5 2 20 · (10/100) = 2 ò 2º lugar ò 2º y 3º lugar ò 2+2 2 ò D1 = P10 = —— = 2 20 · (50/100) = 10 ò 10º lugar ò 10º y 11º lugar ò 3+4 ò P50 = —— = 3,5 2 27. Calcula los tres primeros cuartiles en la siguiente tabla

de frecuencias: TEMA 11. ESTADÍSTICA UNIDIMENSIONAL

22 a 28

28 a 34

34 a 40

40 a 46

46 a 52

52 a 58

Solución: xi

Extremo

22 a 28

28 a 34

34 a 40

40 a 46 46 a 52 52 a 58

Ni (%)

100

% 100 80 60 40 20 28

40 46 52 P50 P80

305

21373151724424536353 N° 1 2 3 4

m 1 2 3 4

Intervalo 0 - 2 2 - 4 4 - 6 6 - 8 Total Intervalo -

0 2 4 6

2 4 6 8

xi 1 3 5 7

ni 3 8 6 3 20

Ni 3 11 17 20

Ni% 15 55 85 100

fi 0,15 0,40 0,30 0,15 1

xi 1 3 5 7

ni 3 8 6 3

xi.ni 3 24 30 21

xi² 1 9 25 49

xi²ni 3 72 150 147

fi% 15 40 30 15 100

Fi 0,15 0,55 0,85 1

Muestra n 20 Intervalos m 4 Mayor 7 Menor 1 Recorrido M-m 6 Amplitud C 2

Rango Sup. 8 Rango Inf. 0 Ẍ 3.9 Σ xini 78 Σ xi²ni 372 V = σ² = 3.39 σ = 1.84119526395

fi% 15 40 30 15 100

Fi 0,15 0,55 0,85 1

Muestra n 20 Intervalos m 4 Mayor 7 Menor 1 Recorrido M-m 6 Amplitud C 2

Rango Sup. 8 Rango Inf. 0 Ẍ 4.3 Σ xini 86 Σ xi²ni 420 V = σ² = 2.51 σ = 1.58429795178

fi% 5 20 55 20 100

Fi 0,05 0,25 0,80 1

Muestra n 20 Intervalos m 4 Mayor 7 Menor 1 Recorrido M-m 6 Amplitud C 2

Rango Sup. 8 Rango Inf. 0 Ẍ 4.8 Σ xini 96 Σ xi²ni 508 V = σ² = 2.36 σ = 1.53622914957

Muestra n 20 Intervalos m 4 Mayor 97 Menor 39 Recorrido M-m 58 Amplitud C 15

Rango Sup. 98 Rango Inf. 38 Ẍ 79.25 Σ xini 1585 Σ xi²ni 128705 V = σ² = 154.6875 σ = 12.4373429638

Muestra n 20 Intervalos m 4 Mayor 92 Menor 85 Recorrido M-m 7 Amplitud C 2

Rango Sup. 92.5 Rango Inf. 84.5 Ẍ 89.2 Σ xini 1784 Σ xi²ni 159199 V = σ² = 3.31 σ = 1.81934053987

Muestra n 49 Intervalos m 7 Mayor 6 Menor 0 Recorrido M-m 6 Amplitud C 1

Rango Sup. 6.5 Rango Inf. -.5 Ẍ 2.5306122449 Σ xIni 124 Σ xi²ni 376 V = σ² = S² = 1.26947105373 σ = S = 1.12670806056

64334543245247362241 N° 1 2 3 4

m 1 2 3 4

Intervalo 0 - 2 2 - 4 4 - 6 6 - 8 Total Intervalo -

0 2 4 6

2 4 6 8

xi 1 3 5 7

ni 3 8 6 3 20

Ni 3 11 17 20

Ni% 15 55 85 100

fi 0,15 0,40 0,30 0,15 1

xi 1 3 5 7

ni 3 8 6 3

xi.ni 3 24 30 21

xi² 1 9 25 49

xi²ni 3 72 150 147

32443664554551744365 N° 1 2 3 4

m 1 2 3 4

Intervalo 0 - 2 2 - 4 4 - 6 6 - 8 Total

0 2 4 6

Intervalo -

2 4 6 8

xi 1 3 5 7

ni 1 4 11 4 20

Ni 1 5 16 20

Ni% 5 25 80 100

fi 0,05 0,20 0,55 0,20 1

xi 1 3 5 7

ni 1 4 11 4

xi.ni 1 12 55 28

xi² 1 9 25 49

xi²ni 1 36 275 196

97 72 87 57 39 81 70 84 93 79 84 81 65 97 75 72 84 96 94 77 N° 1 2 3 4

m 1 2 3 4

Intervalo 38 - 53 53 - 68 68 - 83 83 - 98 Total

38 53 68 83

Intervalo 53 68 83 98

xi 45,5 60,5 75,5 90,5

ni 1 2 8 9 20

Ni 1 3 11 20

Ni% 5 15 55 100

fi 0,05 0,10 0,40 0,45 1

xi 45,5 60,5 75,5 90,5

ni 1 2 8 9

xi.ni 45.5 121 604 814.5

xi² 2070,25 3660,25 5700,25 8190,25

xi²ni 2070.25 7320.5 45602 73712.25

fi% 5 10 40 45 100

Fi 0,05 0,15 0,55 1

85 90 91 88 91 91 86 92 90 89 91 87 88 88 90 90 89 90 90 89 N° 1 2 3 4

Intervalo 84.5 - 86.5 86.5 - 88.5 88.5 90.5 90.5 - 92.5 Total

xi 85,5 87,5 89,5 91,5

ni 2 4 9 5 20

Ni 2 6 15 20

Ni% 10,00 30,00 75,00 100,00

fi 0,10 0,20 0,45 0,25 1

m 1 2 3 4

Intervalo 84.5 86.5 86.5 88.5 88.5 90.5 90.5 92.5

xi 85,5 87,5 89,5 91,5

ni 2 4 9 5

xi.ni 171 350 805.5 457.5

xi² 7310,25 7656,25 8010,25 8372,25

xi²ni 14620.5 30625 72092.25 41861.25

ni 2 4 20 15 6 1 1

xi.ni 0 4 40 45 24 5 6

xi² 0 1 4 9 16 25 36

xi²ni 0 4 80 135 96 25 36

ni 3 10 13 10 6 5 3 50

fi% 0,06 0,2 0,26 0,2 0,12 0,1 0,06

Ni 3 13 26 36 42 47 50

Ni% 0,06 0,26 0,52 0,72 0,84 0,94 1

fi% 10,00 20,00 45,00 25,00 100

Fi 0,10 0,30 0,75 1

24231242302 22326232232 33413345203 21232231423 24332 m 1 2 3 4 5 6 7

-0,5 0,5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5

Intervalo 0,5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5

xi 0 1 2 3 4 5 6

75 65 69 71 58 66 74 61 63 69 80 59 66 78 75 64 81 62 64 61 73 57 62 67 63 67 76 61 62 63 76 61 67 67 64 72 64 73 79 58 67 71 68 59 69 70 66 62 63 66 m 1 2 3 4 5 6 7

55 59 63 67 71 75 79

Intervalo 59 63 67 71 75 79 83

xi 57 61 65 69 73 77 81

xi.ni 171 610 845 690 438 385 243 3.382

xi² 3249 3721 4225 4761 5329 5929 6561 33.775

xi²ni 9747 37210 54925 47610 31974 29645 19683 230.794

Muestra n 50 Intervalos m 7 Mayor 81 Menor 57 Recorrido M-m 24 Amplitud C 4

Rango Sup. 83 Rango Inf. 55 Ẍ 67.64 Σ xIni 3382 Σ xi²ni 230794 V = σ² = 40.7104 σ = 6.38047020211