TROUSSE DE SECOURS Premier Trimestre 1S Suite au devoir, oĂš les difficultĂŠs ne rĂŠsidèrent pas dans vos connaissances, mais dans la manière de les appliquer, je vous propose les exercices suivants pour se remettre Ă niveau pendant les vacances. Ces exercices seront simples mais indispensables pour envisager la suite positivement. TOUT PUBLIC. THEMES : • Second degrĂŠ • Domaine de dĂŠfinition • Formule de la dĂŠrivĂŠe d’un produit • Formule de la dĂŠrivĂŠe d’un quotient • Formule de l’Êquation de la tangente • Formule du taux d’accroissement • Formule du nombre dĂŠrivĂŠ • Construire une courbe Ă la calculatrice 1. LE SECOND DEGRE Regarder la vidĂŠo intitulĂŠe ÂŤ Comment rĂŠsoudre une ĂŠquation du second degrĂŠ avec la mĂŠthode du discriminant ? Âť (http://mathematxlab.com/fr/1s_second-degre/) a. Faire l’exemple Ă 1’25 b. Appliquer sur les exemples suivants : đ?‘Ľ ! − 2đ?‘Ľ − 3 = 0 −2đ?‘Ľ ! + 5đ?‘Ľ − 3 = 0 4đ?‘Ľ ! + 4đ?‘Ľ + 4 = 0 −đ?‘Ľ ! + 3đ?‘Ľ − 2 = 0 4đ?‘Ľ ! − 8đ?‘Ľ + 4 = 0 2. DOMAINE DE DEFINITION Concernant les fonctions avec racine carrĂŠe : Regarder la vidĂŠo intitulĂŠe ÂŤ Comment dĂŠterminer le domaine de dĂŠfinition d'une fonction racine carrĂŠe ? Âť (http://mathematxlab.com/fr/1s_fonctions-de-reference-fonctionsassociees/) a. Faire l’exemple Ă 2’02 b. Appliquer sur les exemples suivants : đ?‘“ đ?‘Ľ = đ?‘Ľ + 1 đ?‘“ đ?‘Ľ = 3đ?‘Ľ − 6 đ?‘“ đ?‘Ľ = −đ?‘Ľ + 7 đ?‘“ đ?‘Ľ = đ?‘Ľ ! + 2đ?‘Ľ − 3
TROUSSE DE SECOURS Premier Trimestre 1S Concernant les fonctions avec dĂŠnominateur : Il faut que le dĂŠnominateur soit diffĂŠrent de 0, car on ne peut pas diviser par 0. !!!! Par exemple si đ?‘“ đ?‘Ľ = !!!!, on rĂŠsout 4đ?‘Ľ − 2 = 0 ce qui donne đ?‘Ľ = 0,5. 0,5 est donc une valeur interdite, ÂŤ il faut l’enlever du domaine Âť. Ainsi, le domaine de dĂŠfinition est đ??ˇ = −∞; 0,5 âˆŞ 0,5; +∞ . a. Appliquer sur les exemples suivants : đ?‘“ đ?‘Ľ =
−3đ?‘Ľ − 2 6đ?‘Ľ + 1 4đ?‘Ľ − 2 −6đ?‘Ľ ;đ?‘“ đ?‘Ľ = ;đ?‘“ đ?‘Ľ = ;đ?‘“ đ?‘Ľ = ! −đ?‘Ľ − 2 2đ?‘Ľ + 2 −4đ?‘Ľ + 16 −2đ?‘Ľ + 7đ?‘Ľ − 5
3. FORMULE DE LA DERIVEE D’UN PRODUIT Regarder la vidĂŠo intitulĂŠe ÂŤ Comment dĂŠterminer la dĂŠrivĂŠe d’un produit ? Âť (http://mathematxlab.com/fr/1s_nombre-derive-tangente-calcul-de-derivee/) a. Faire l’exemple Ă 1’40 b. Appliquer sur les exemples suivants : đ?‘“ đ?‘Ľ = (3đ?‘Ľ + 1)(2đ?‘Ľ − 4) đ?‘“ đ?‘Ľ = (−3đ?‘Ľ ! − đ?‘Ľ)(−đ?‘Ľ − 1) đ?‘“ đ?‘Ľ = ( đ?‘Ľ + 1)(đ?‘Ľ − 5) 4. FORMULE DE LA DERIVEE D’UN QUOTIENT Regarder la vidĂŠo intitulĂŠe ÂŤ Comment dĂŠterminer la dĂŠrivĂŠe d’un quotient ? Âť (http://mathematxlab.com/fr/1s_nombre-derive-tangente-calcul-de-derivee/) a. Faire l’exemple Ă 3’20 b. Appliquer sur les exemples suivants : 2đ?‘Ľ + 1 −3đ?‘Ľ − 1 −3đ?‘Ľ ! + 2đ?‘Ľ đ?‘“ đ?‘Ľ = ;đ?‘“ đ?‘Ľ = ;đ?‘“ đ?‘Ľ = 3đ?‘Ľ − 6 2đ?‘Ľ − 4 3đ?‘Ľ + 4 5. FORMULE DE L’EQUATION DE LA TANGENTE Regarder la vidĂŠo intitulĂŠe ÂŤ Comment dĂŠterminer l’Êquation de la tangente en un point ? Âť (http://mathematxlab.com/fr/1s_nombre-derive-tangente-calcul-de-derivee/) a. Faire l’exemple Ă 0’10 b. Appliquer sur les exemples suivants : • Si đ?‘“ đ?‘Ľ = 4đ?‘Ľ ! + 4đ?‘Ľ + 4, dĂŠterminer l’Êquation de la tangente Ă la courbe en đ?‘Ž = 1.
TROUSSE DE SECOURS Premier Trimestre 1S
•
Si đ?‘“ đ?‘Ľ = −đ?‘Ľ ! + 1, dĂŠterminer l’Êquation de la tangente Ă la courbe en đ?‘Ž = 2.
•
Si đ?‘“ đ?‘Ľ = ! − đ?‘Ľ ! − 8đ?‘Ľ, dĂŠterminer l’Êquation de la tangente Ă la courbe en đ?‘Ž = 0.
!!
6. FORMULE DU TAUX D ’ACCROISSEMENT ! !!! !!(!) Si đ?‘“ đ?‘Ľ = 2đ?‘Ľ ! + 1, le taux d’accroissement est donnĂŠ par : đ?‘‡ = . ! Si on demande le taux d’accroissement de f en 3, cela signifie que đ?‘Ž = 3. En consĂŠquence, đ?‘“ 3 + â„Ž − đ?‘“(3) đ?‘‡= â„Ž Or : đ?‘“ 3 = 2Ă—3! + 1 (đ?‘œđ?‘› đ?‘&#x; đ?‘šđ?‘?đ?‘™đ?‘Žđ?‘?đ?‘’ đ?‘Ľ đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x; 3 đ?‘‘đ?‘Žđ?‘›đ?‘ đ?‘“) Et : đ?‘“ 3 + â„Ž = 2Ă—(3 + â„Ž)! + 1 (đ?‘œđ?‘› đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘šđ?‘?đ?‘™đ?‘Žđ?‘?đ?‘’ đ?‘Ľ đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x; 3 + â„Ž đ?‘‘đ?‘Žđ?‘›đ?‘ đ?‘“) D’oĂš : đ?‘“ 3+â„Ž −đ?‘“ 3 đ?‘‡= â„Ž = =
2Ă— 3 + â„Ž
!
+ 1 − 2Ă—3! + 1 â„Ž
2Ă— 9 + 6â„Ž + â„Ž! + 1 − 2Ă—9 + 1 â„Ž =
18 + 12ℎ + 2ℎ! + 1 − 19 ℎ 12ℎ + 2ℎ! = ℎ = 12 + 2ℎ
Le taux d’accroissement est donc de � = 12 + 2ℎ en � = 3.
a. Appliquer sur les exemples suivants : • Si đ?‘“ đ?‘Ľ = 4đ?‘Ľ ! − 3, dĂŠterminer le taux d’accroissement en đ?‘Ž = 1. • Si đ?‘“ đ?‘Ľ = −3đ?‘Ľ + 1, dĂŠterminer le taux d’accroissement en đ?‘Ž = 0.
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Si đ?‘“ đ?‘Ľ = 2đ?‘Ľ − 4, dĂŠterminer le taux d’accroissement en đ?‘Ž = −1. Si đ?‘“ đ?‘Ľ = −đ?‘Ľ ! + đ?‘Ľ − 3, dĂŠterminer le taux d’accroissement en đ?‘Ž = 0. ! Si đ?‘“ đ?‘Ľ = ! , dĂŠterminer le taux d’accroissement en đ?‘Ž = 2.
7. FORMULE DU NOMBRE DERIVE ! Si � � = 2� ! + 1, le nombre dÊrivÊ en a est donnÊ par : �′(�) = lim!→! Si on demande le nombre dÊrivÊ de f en 3, cela signifie que � = 3. En consÊquence, �′(3) = lim!→! ! !!! !! !
! !!! !!(!) !
!!! !!(!) !
.
.
Or dans la partie 6., = 12 + 2ℎ. ! ! Ainsi, � 3 = lim!→! 12 + 2ℎ = 12 + 2×0 = 12. Finalement, le nombre dÊrivÊ en 3 vaut � ! 3 = 12. On peut dÊsormais affirmer que le coefficient de la tangente à la courbe de f en 3 vaut 12, comme le corrobore le graphique ci-dessous :
a. Appliquer sur les exemples suivants en reprenant les taux d’accroissements de la partie 6 : • Si đ?‘“ đ?‘Ľ = 4đ?‘Ľ ! − 3, dĂŠterminer le nombre dĂŠrivĂŠ en đ?‘Ž = 1. • Si đ?‘“ đ?‘Ľ = −3đ?‘Ľ + 1, dĂŠterminer le nombre dĂŠrivĂŠ en đ?‘Ž = 0. • Si đ?‘“ đ?‘Ľ = 2đ?‘Ľ − 4, dĂŠterminer le nombre dĂŠrivĂŠ en đ?‘Ž = −1. • Si đ?‘“ đ?‘Ľ = −đ?‘Ľ ! + đ?‘Ľ − 3, dĂŠterminer le nombre dĂŠrivĂŠ en đ?‘Ž = 0. ! • Si đ?‘“ đ?‘Ľ = ! , dĂŠterminer le nombre dĂŠrivĂŠ en đ?‘Ž = 2.
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8. COMMENT CONSTRUIRE UNE COURBE A L’AIDE DE SA CALCULATRICE Regarder la vidĂŠo : https://youtu.be/CKFKMfmdFJk a. Appliquer cette mĂŠthode sur les exemples suivants et construire les courbes sur les intervalles identifiĂŠs : • đ?‘“ đ?‘Ľ = 0,5đ?‘Ľ ! − 3 đ?‘ đ?‘˘đ?‘&#x; −3; 3
!!
− đ?‘Ľ ! − 8đ?‘Ľ đ?‘ đ?‘˘đ?‘&#x; −5; 6
•
đ?‘“ đ?‘Ľ =
• •
đ?‘“ đ?‘Ľ = đ?‘Ľ + 1 + 1 đ?‘ đ?‘˘đ?‘&#x; −1; 8 !!!! đ?‘“ đ?‘Ľ = !!!! đ?‘ đ?‘˘đ?‘&#x; −5; 5
!