CHAP3_REPERES DU PLAN

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CHAPITRE  III_REPERES  DU  PLAN  octobre  2015    Contenus  :  Ă˜ďƒ˜ Ă˜ďƒ˜ Ă˜ďƒ˜ Ă˜ďƒ˜

CoordonnĂŠes  d’un  point  du  plan  Abscisse  et  ordonnĂŠe  d’un  point  dans  un  plan  rapportĂŠ  à  un  repère  orthonormĂŠ  Distance  entre  deux  points  du  plan  Milieu  d’un  segment Â

Histoire  :  Ă˜ďƒ˜ RenĂŠ  Descartes  đ?‘‹đ?‘‰đ??źđ??ź è!"  siècle  Algorithmique  :   Ă˜ďƒ˜ RĂŠalisation  d’un  algorithme  donnant  une  distance,  un  milieu   Objectifs  :  Ă˜ďƒ˜ Ă˜ďƒ˜ Ă˜ďƒ˜ Ă˜ďƒ˜

RepĂŠrer  un  point  donnĂŠ  du  plan  Placer  un  point  connaissant  ses  coordonnĂŠes  Calculer  la  distance  entre  deux  points  du  plan  connaissant  leurs  coordonnĂŠes  Calculer  les  coordonnĂŠes  du  milieu  d’un  segment Â

Sommaire   ActivitĂŠ  0_RenĂŠ  Descartes  đ?‘żđ?‘˝đ?‘°đ?‘°Ă¨đ?’Žđ?’†  .............................................................................................  2  ActivitĂŠ  1_Lire  les  coordonnĂŠes  ......................................................................................................  3  ActivitĂŠ  2_CoordonnĂŠes  et   rythme  cardiaque  ...............................................................................  3  ActivitĂŠ  3_Milieu  d’un  segment,  longueur  d’un  segment  dans  un  triangle  ....................................  4  ActivitĂŠ  4_Milieu  d’un  segment,  longueur  d’un  segment,  algorithme  ............................................  4  ActivitĂŠ  5_L’Êcole  d’Athènes  (RaphaĂŤl)  ...........................................................................................  5  ActivitĂŠ  6_Le  paradoxe  de  Lewis  Caroll  ...........................................................................................  5  English  corner  ..................................................................................................................................  6  Â

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1 Â HOUPERT Â N. Â

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CHAPITRE  III_REPERES  DU  PLAN  octobre  2015   ActivitĂŠ  0_RenĂŠ  Descartes  đ?‘żđ?‘˝đ?‘°đ?‘°Ă¨đ?’Žđ?’†  Â

 Descartes  est  aussi  à  l’origine  du  repère  du  plan.  Une  anecdote  raconte  qu’observant  une  mouche  qui  se  promenait  sur  les  carreaux  d’une  fenĂŞtre,  il  aurait  pensĂŠ  à  dĂŠfinir,  à  l’aide  des  carreaux,  des  coordonnĂŠes  du  plan.  Le  mot    coordonnĂŠe    n’est  pas  de  lui,  il  vient  du  mathĂŠmaticien  allemand  Gottfried  Wilhelm  von  Leibniz  (1646  ;  1716).  Descartes  explique  ainsi  qu'il  est  possible  de  traiter  les  problèmes  de  gĂŠomĂŠtrie  en  problèmes  numĂŠriques.   Il  a  recours  à  des  calculs  algĂŠbriques  et  simplifie  remarquablement  les  dĂŠmonstrations.   Pour  Êtudier  les  propriĂŠtĂŠs  d'une  courbe,  il  passe  par  une  Êquation  dĂŠterminĂŠe  par  une  relation  liant  ses  coordonnĂŠes.  Celle-­â€?ci  contient  implicitement  toutes  les  propriĂŠtĂŠs  de  la  courbe.   Il  Êtudie  par  exemple  la  tangente  à  une  courbe  ou  encore  l'intersection  de  deux  courbes  en  passant  par  la  rĂŠsolution  d'un  système  d'ĂŠquations.   Cette  gĂŠomĂŠtrie  porte  aujourd'hui  un  nom  :  la  gĂŠomĂŠtrie  analytique.  Descartes  Ênonce  aussi  un  thĂŠorème  de  gĂŠomĂŠtrie  dans  l'espace  qui  sera  dĂŠmontrĂŠ  plus  tard  par  Leonhard  Euler  (1707  ;  1783)  :  Dans  un  polyèdre  possĂŠdant  un  nombre  F  de  faces,  A  d'arĂŞtes  et  S  de  sommets  :  F  +  S  â€“  A  =  2  L'oeuvre  philosophique  que  laisse  Descartes  est  considĂŠrable  et  exprime  une  nouvelle  approche  des  sciences  et  en  particulier  des  mathĂŠmatiques.  Pour  Descartes,  un  scientifique  ne  reconnaĂŽt  comme  vrai  que  ce  qui  est  clairement  dĂŠmontrĂŠ.  La  rĂŠsolution  d'un  problème  se  fait  consciencieusement,  Êtape  par  Êtape,  sans  rien  nĂŠgliger.  On  voit  lĂ Â naĂŽtre  un  esprit  nouveau.   Par  son  nom  et  sa  mĂŠthode,  Descartes  nous  laisse  l’adjectif    cartĂŠsien    ;  on  dit  d’un  esprit  cartĂŠsien,  qui  prĂŠsente  des  qualitĂŠs  intellectuelles,  claires,  logiques  et  mĂŠthodiques.  Notons  enfin  que  le  village  natale  de  Descartes,  la  Haye,  a  ÊtĂŠ  rebaptisĂŠ  au  nom  de    Descartes  .  Ce  n’est  pas  ordinaire  tout  de  mĂŞme.  Imaginez  une  seule  seconde  que  la  ville  oĂš  vous  êtes  nĂŠ,  prenne  un  jour  votre  nom  !!!  Â

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2 Â HOUPERT Â N. Â

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CHAPITRE  III_REPERES  DU  PLAN  octobre  2015   ActivitĂŠ  1_Lire  les  coordonnĂŠes   1. A  partir  de  la  carte  projetĂŠe  au  tbi,  donner  les  coordonnĂŠes  d’Amiens,  de  Rennes  et  de  Perpignan  dans  le  repère  (đ?‘ƒ, đ??ź, đ??˝).  2. Identifier  la  ou  les  villes  de  la  carte  :  c. D’ordonnĂŠe  nulle  ;   a. De  coordonnĂŠes  (−7, −8)  ;  d. D’ordonnĂŠe  maximale.  b. De  mĂŞme  abscisse  que  Limoges  3. On  note  (đ?‘Ľ, đ?‘Ś)  les  coordonnĂŠes  d’une  ville  placĂŠe  sur  la  carte.  Identifier  les  villes  de  la  carte  correspondant  à  la  condition  donnĂŠe  :  a. −11 < đ?‘Ś < −9  e. đ?‘Ľ < 0  đ?‘’đ?‘Ą  đ?‘Ś > 0  b. đ?‘Ľ ∈ −12; −8  f. đ?‘Ľ ∈ 10, +∞  c. đ?‘Ľ ∈ −1; 0  g. đ?‘Ľ ∈ −∞; −10  d. đ?‘Ľ ≤ −10  đ?‘œđ?‘˘  đ?‘Ľ ≼ 10  h. đ?‘Ľ = −2  đ?‘œđ?‘˘  đ?‘Ś = −9  4. VRAI  ou  FAUX  a. Si  đ?‘Ľ < −10,  alors  la  ville  đ?‘‰ (đ?‘Ľ, đ?‘Ś)  est  situĂŠe  en  Bretagne.  b. Si  la  ville  đ?‘‰(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)  est  situĂŠe  en  Bretagne,  alors  đ?‘Ľ < −10.  c. Si  đ?‘Ś < −5  alors  la  ville  đ?‘‰ (đ?‘Ľ, đ?‘Ś)  est  situĂŠe  au  sud  de  Paris.  d. La  ville  đ?‘‰ (đ?‘Ľ, đ?‘Ś)  est  situĂŠe  au  sud  de  Nantes  si  đ?‘Ś < −8.   ActivitĂŠ  2_CoordonnĂŠes  et   rythme  cardiaque   Les  variations  du  rythme  cardiaque  (en  battements  par  minute)  d’un  athlète  pendant  et  après  une  compĂŠtition  de  ski  de  fond  sont  relevĂŠes  dans  le  tableau  suivant  :     Â

DurĂŠe  (en  min) Â

0 Â

10 Â

20 Â

50 Â

60 Â

80 Â

90 Â

Rythme  cardiaque  (en  battements/min) Â

56 Â

56 Â

98 Â

110 Â

96 Â

64 Â

62 Â

Point Â

A Â

B Â

C Â

D Â

E Â

F Â

G Â

 1. Placez  et  nommez,  dans  un  repère,  les  points  dont  les  coordonnĂŠes  sont  prĂŠsentĂŠes  dans  le  tableau.  (1  unitĂŠ  pour  10  min),  puis  reliez  ces  points  par  des  segments.  2.  Citez  les  segments  de  droite  correspondant  sur  le  graphe  aux  diffĂŠrentes  phases  du  rythme  cardiaque  de  l’athlète  :  repos  ;  effort  ;  rĂŠcupĂŠration.  3. PrĂŠcisez  la  durĂŠe  de  l’Êpreuve.  4. Indiquez  la  valeur  du  rythme  cardiaque  avant  l’Êpreuve  et  après  la  rĂŠcupĂŠration.  Â

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3 Â HOUPERT Â N. Â

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CHAPITRE  III_REPERES  DU  PLAN  octobre  2015   ActivitĂŠ  3_Milieu  d’un  segment,  longueur  d’un  segment  dans  un  triangle   Dans  un  repère  orthonormĂŠ,  1. Placez  les  points   đ??´  (3  ;  2)  đ?‘’đ?‘Ą  đ??ľ  (– 2  ;  â€“ 1).  2. Construisez  le  point  C  milieu  du  segment  [đ??´đ??ľ].  3. DĂŠterminez  graphiquement  les  coordonnĂŠes  du  point  C.  4. Calculez  Â

!! !!! !

   et Â

!! !!! !

  ;   que  remarquez-­â€?vous  ? Â

Soit  đ??ˇ  (−1  ; 3).  5. Calculer  la  distance  đ??´đ??ľ.  6. En  dĂŠduire  la  nature  du  triangle  ABD.  Algorithme  :  7. RĂŠdiger  un  algorithme  qui  demande  les  coordonnĂŠes  de  deux  points  A  et  B,  et  renvoie  les  coordonnĂŠes  du  milieu  đ??´đ??ľ  ainsi  que  la  longueur  đ??´đ??ľ.   ActivitĂŠ  4_Milieu  d’un  segment,  longueur  d’un  segment,  algorithme   Vous  jouez  aux  flĂŠchettes.  La  cible  est  placĂŠe  dans  un  repère  (đ?‘‚, đ?š¤, đ?šĽ). Â

5 points

10 points

20 points Â

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4 Â HOUPERT Â N. Â

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CHAPITRE  III_REPERES  DU  PLAN  octobre  2015   1. Graduez  le  repère  en  prenant  :  đ?‘‚đ??ź =  đ?‘‚đ??˝ = 1  unitĂŠ.   2. Placez  sur  la  cible  les  marques  des  six  flĂŠchettes  lancĂŠes  par  Arthur  et  repĂŠrĂŠes  par  les  points  suivants  :   đ??´  3  ;  2  ;   đ??ľ  â€“  2  ;  â€“  1  ;   đ??ś  1  ;  2  ;  đ??ˇ  1  ;  5  ;   đ??¸  â€“  1  ;  â€“  1  ;   đ??š  â€“  4  ;  2 .  3. La  règle  est  la  suivante  :   RepĂŠrez  les  trois  flèches  les  plus  proches  du  centre  de  la  cible.  Calculez  le  pĂŠrimètre  du  triangle  formĂŠ  par  ces  trois  points.  Le  gagnant  est  celui  qui  possède  le  plus  petit  pĂŠrimètre.  Quel  est  ton  score  ?   Difficile  :  4. RĂŠdiger  un  algo  qui  donne  3  points  alĂŠatoirement  situĂŠs  à  une  distance  infĂŠrieure  à  5  unitĂŠs  du  centre  de  la  cible,  et  qui  renvoie  le  pĂŠrimètre  du  triangle.   ActivitĂŠ  5_L’Êcole  d’Athènes  (RaphaĂŤl)   Sur  une  reproduction  de  l’Ecole  d’Athènes,  le  demi-­â€?cercle  bleu  a  un  diamètre  de  8cm.  Quel  est  le  cotĂŠ  du  carrĂŠ  jaune  ?  Vous  introduirez  un  repère  judicieusement  choisi.     ActivitĂŠ  6_Le  paradoxe  de  Lewis  Caroll   1. Quelle  est  l’aire  de  ce  carrĂŠ  ?  L’unitĂŠ  est  de  1  cm.  2. A  l’aide  d’un  dĂŠcoupage,  est-­â€?il  possible  de  reconstituer  un  rectangle  à  l’aide  de  ces  4  pièces  issues  du  carrĂŠ  ?  3. Si  oui,  en  dĂŠterminer  l’aire.  4. Comment  s’Ênonce  le  paradoxe  ?  5. DĂŠmontrer  le  à  l’aide  d’un  repère  placĂŠ  judicieusement  dans  le  rectangle. Â

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5 Â HOUPERT Â N. Â

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CHAPITRE  III_REPERES  DU  PLAN  octobre  2015   English  corner   1. Gap  filling  :  Complete  the  text  with  the  following  words  :   coordinates;  intersecting;  point;  coordinate;  origin.  A  â€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Ś.  O  and  two  lines  â€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Ś..  at  right  angles  at  O  (‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌..)  define  a  rectangular  â€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Ś..  Each  point  of  the  plane  can  be  identified  by  a  pair  of  real  numbers  đ?‘Ľ; đ?‘Ś  called  â€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Śâ€Ś  2. Are  you  good  at  counting  ?  Let  đ??´ −1; 1 , đ??ľ 1 − 2; 1 + 2 , đ??ś(−1 − 2; 3 − 2)  be.  What  is  the  nature  of  ABC  ?   3. Let  đ??´(3; 5)  and  đ??ľ (5; 8)  be  in  a  rectangular  coordinate.   a. Show  that  O  (origin),  A  and  B  are  not  on  the  same  straight  line.  b. Let  I  and  J  the  middle  of  đ?‘‚đ??´  đ?‘Žđ?‘›đ?‘‘  đ??´đ??ľ .  Calculate  the  area  of  AOB.  Calculate  the  area  of  IAJ.  Â

 Â

6 Â HOUPERT Â N. Â

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