CHAP5_VECTEURS

CHAPITRE  V_VECTEURS  Janvier  2015   fContenus  : Â Ă˜ďƒ˜ Vecteurs,  Vecteur  đ??´đ??ľ Â Ă˜ďƒ˜ DĂŠfinition  de  la  translation Â Ă˜ďƒ˜ Ă˜ďƒ˜ Ă˜ďƒ˜ Ă˜ďƒ˜ Ă˜ďƒ˜

EgalitĂŠ  de  deux  vecteurs   đ??´đ??ľ = đ??śđ??ˇ = đ?‘˘  CoordonnĂŠes  d’un  vecteur  Somme  de  deux  vecteurs  Produit  d’un  vecteur  par  un  nombre  rĂŠel  Relation  de  Chasles  Â

Algorithmique  : Â Ă˜ďƒ˜ Analyse  d’un  algorithme  sous  Xcas Â Â Ă˜ďƒ˜ Algorithme  dĂŠcidant  d’un  alignement  de  3  points   Histoire  : Â Ă˜ďƒ˜ Simon  Stevin  XVIème  siècle  Objectifs  : Â Ă˜ďƒ˜ Savoir  que  đ??´đ??ľ = đ??śđ??ˇ  Êquivaut  à  ABDC  est  un  parallĂŠlogramme Ă˜ďƒ˜ Ă˜ďƒ˜ Ă˜ďƒ˜ Ă˜ďƒ˜ Ă˜ďƒ˜

Connaitre  les  coordonnĂŠes  (đ?‘Ľ! − đ?‘Ľ! , đ?‘Ś! − đ?‘Ś! )  du  vecteur  đ??´đ??ľ.

Calculer  les  coordonnÊes  de  la  somme  de  deux  vecteurs  dans  un  repère.

Utiliser  la  notation  đ?‘˜ Ă—đ?‘˘.  Etablir  la  colinĂŠaritĂŠ  de  deux  vecteurs Construire  gĂŠomĂŠtriquement  la  somme  de  deux  vecteurs CaractĂŠriser  alignement  et  parallĂŠlisme  par  la  colinĂŠaritĂŠ  de  vecteurs

Sommaire  ActivitĂŠ  0_Simon  Stevin,  XVIème  ....................................................................................................  2  ActivitĂŠ  1_CoordonnĂŠes  de  vecteurs,  construction  vectorielle  ......................................................  3  ActivitĂŠ  2_Le  triangle  et  la  droite   d’Euler  .......................................................................................  4  ActivitĂŠ  3_Le  parallĂŠlogramme  et  l’addition  de  deux  vecteurs  .......................................................  5  ActivitĂŠ  4_DĂŠmontrer  avec  des  ÊgalitĂŠs  de  vecteurs  ......................................................................  5  ActivitĂŠ  5_DĂŠmontrer  que  des  points  sont  alignĂŠs  .........................................................................  6  ActivitĂŠ  6_ColinĂŠaritĂŠ  pour  dĂŠmontrer  un  parallĂŠlisme  ..................................................................  6  ActivitĂŠ  7_  ColinĂŠaritĂŠ  pour  dĂŠmontrer  un  alignement  ..................................................................  7  ActivitĂŠ  8_Problème  de  synthèse  (1)  ..............................................................................................  7  ActivitĂŠ  9_  Problème  de  synthèse  (2)  ..............................................................................................  7  English  corner  ..................................................................................................................................  8  Â

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1 Â HOUPERT Â N. Â

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CHAPITRE  V_VECTEURS  Janvier  2015   ActivitĂŠ  0_Simon  Stevin,  XVIème  Â

 IngĂŠnieur,  physicien,  mathĂŠmaticien  et  comptable,  Simon  Stevin  est  nĂŠ  en  1548  à  Bruges.  Il  invente   une  mĂŠthode  pour  retenir  une  armĂŠe  d’envahisseurs  :  il  fait  inonder  les  terres  et  chemins  en  ouvrant  les  Êcluses  situĂŠes  dans  une  digue.   Il  participe  Êgalement  à  la  construction  de  fortifications,  de  ports,  d’Êcluses,  de  moulins  à  vent  ‌   Stevin  reprend  les  travaux  d’Archimède  de  Syracuse  (-­â€?287  ;  -­â€?212)  et  Êcrit  des  ouvrages  de  mĂŠcanique  et  en  particulier  d’hydrostatique.   Dans    De  Beghinselen  der  Weeghconst  ,  publiĂŠ  en  1586  et  avant  GalilĂŠe  (1564  ;  1642),  il  Ênonce  le  thĂŠorème  du  triangle  des  forces  qui  traite  de  l’Êquilibre  d’un  solide  posĂŠ  sur  un  plan  inclinĂŠ.   C’est  d’ailleurs  chez  Stevin  que  nous  rencontrons  pour  la  première  fois  la  notation  đ??´đ??ľnon  pas  encore  pour  dĂŠsigner  un  vecteur  mais  une  force.    En  1585,  Stevin  publie  une  petite  brochure  de  trente-­â€?six  pages  intitulĂŠe    La  Theinde  .   Le  traitĂŠ  est  surtout  connu  sous  sa  traduction  française    La  Disme  .  Elle  date  de  la  mĂŞme  annĂŠe  et  est  due  au  mathĂŠmaticien  français  Albert  Girard  (1595  ;  1632).  C’est  par  cet  Êcrit  que  Stevin  marquera  de  son  empreinte  l’histoire  des  mathĂŠmatiques.  Son  succès  est  considĂŠrable  et  se  propage  à  travers  toute  l’Europe  en  une  dizaine  d’annĂŠes.  A  cette  Êpoque,  les  nombres  à  virgule  n’existent  pas  encore  bien  que  la  notion  de  dĂŠcimale  soit  dĂŠjĂ Â connue  par  les  arabes  et  les  chinois  (voir  Histoire  des  nombres).  En  Europe,  leur  Êcriture  se  fait  au  moyen  de  fractions.  L’idĂŠe  de  Stevin  est  de  privilĂŠgier  les  fractions  dĂŠcimales,  liĂŠes  à  la  numĂŠration  de  position  indienne  pour  se  rapprocher  de  la  notation  actuelle  ‌mais  sans  la  virgule  encore.  L’avantage  de  cette  Êcriture  des  nombres  est  d’Êviter  les  calculs  lourds  de  fractions  pour  se  ramener  aux  règles  opĂŠratoires  d’arithmĂŠtique  utilisĂŠes  sur  les  entiers.  Pour  finir,  illustrons  sur  un  exemple  la  notation  due  à  Stevin  :  Le  nombre  89,532  se  note  :   pour  dĂŠsigner  aujourd’hui  100  (  =1,  l’unitĂŠ)  Â

pour  dĂŠsigner  10-­â€?2  (  =  0,01,  le  centième)  Â

pour  dĂŠsigner  10-­â€?1  (  =  0,1,  le  dixième)  Â

pour  dĂŠsigner  10-­â€?3  (  =  0,001,  le  millième) Â

Plus  tard  cette  notation  Êvoluera  pour  devenir  89o532,  puis  89.532  et  enfin  89,532.  La  virgule  serait  due  à  l’Êcossais  John  Neper  (1550  ;  1617),  l’inventeur  des  logarithmes.  Â

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2 Â HOUPERT Â N. Â

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CHAPITRE  V_VECTEURS  Janvier  2015   ActivitĂŠ  1_CoordonnĂŠes  de  vecteurs,  construction  vectorielle  Â

1. Construire  les  vecteurs  đ??´đ??ľ, đ??śđ??ˇ, đ??¸đ??š, đ??şđ??ť, đ??źđ??˝.

2. Construire  les  vecteurs  unitaires  đ?š¤  đ?‘’đ?‘Ą  đ?šĽ,  supports  respectifs  des  axes  des  abscisses  et  des  ordonnĂŠes.  3. Donner  les  coordonnĂŠes  de  ces  vecteurs  dans  le  plan  muni  d’un  repère  đ?‘‚, đ?š¤, đ?šĽ  en  complĂŠtant  le  tableau  ci-­â€?dessous  : Â

Vecteurs

CoordonnĂŠes  dans  le  repère  đ?‘‚, đ?š¤, đ?šĽ Â

Expression  en  fonction  de �  ��  �

(3; 2)

đ??´đ??ľ = 3đ?š¤ + 2đ?šĽ

đ?š¤ đ?šĽ đ??´đ??ľ đ??śđ??ˇ đ??¸đ??š đ??şđ??ť đ??źđ??˝

 Â

3 Â HOUPERT Â N. Â

 Â

CHAPITRE  V_VECTEURS  Janvier  2015   4. RĂŠciproquement,  construire  dans  le  repère  ci-­â€?dessous  les  vecteurs  suivants  :  đ??´đ??ľ(5,1)  et  đ??śđ??ˇ  (−3,4).   Â

Â

 5. Construire  les  vecteurs  đ?‘˘ = đ??´đ??ľ + đ??śđ??ˇ,  đ?‘Ł = đ??´đ??ľ − đ??śđ??ˇ,  đ?‘¤ = 2đ??´đ??ľ,  đ?‘&#x; = −3đ??śđ??ˇ.  ActivitĂŠ  2_Le  triangle  et  la  droite   d’Euler   Soit  un  triangle  ABC  dĂŠfini  par  les  points  A,  B  et  C  de  coordonnĂŠes  respectives  đ??´(−2  ; 1), đ??ľ(0  ; 4), đ??ś(2  ; 2).  1. Construire  le  triangle  dans  le  repère  ci-­â€? contre.  Construire  le  centre  de  gravitĂŠ  G  du  triangle.  ComplĂŠtez  les  relations  vectorielles  à  l’aide  des  propriĂŠtĂŠs  du  centre  de  gravitĂŠ  :  on  note  A’  le  milieu  de  đ??ľđ??ś    Â

4 Â HOUPERT Â N. Â

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CHAPITRE  V_VECTEURS  Janvier  2015   đ??´đ??ş =   ‌  ×đ??´đ??´â€˛                                   đ??´đ??ş = 2Ă— ‌                             đ??şđ??´ + 2Ă— ‌     = 0    2. Construire  le  centre  du  cercle  circonscrit  du  triangle  ABC.  3. Construire  l’orthocentre  du  triangle  ABC.  4. Qu’en  dĂŠduisez-­â€?vous  ?   ActivitĂŠ  3_Le  parallĂŠlogramme  et  l’addition  de  deux  vecteurs Â

 1. Construire  le  point  I,  tel  que  FIHG  soit  un  parallĂŠlogramme.  2. Quelles  ÊgalitĂŠs  vectorielles  peut-­â€?on  extraire  à  partir  de  la  configuration  ?  CaractĂŠrisation  vectorielle  du  parallĂŠlogramme  :     3. DĂŠterminer  les  coordonnĂŠes  du  milieu  K  du  segment  đ??šđ??ť .  4. Montrer  que  K  est  aussi  le  milieu  du  segment  đ??şđ??ź .  5. En  dĂŠduire  une  autre  caractĂŠrisation  du  parallĂŠlogramme.   ActivitĂŠ  4_DĂŠmontrer  avec  des  ÊgalitĂŠs  de  vecteurs   ABCD  et  ABDE  sont  deux  parallĂŠlogrammes.   1. Donner  deux  vecteurs  Êgaux  à  đ??´đ??ľ.  En  dĂŠduire  que  D  est  le  milieu  de  [đ??¸đ??ś].  2. Soit  F  le  symĂŠtrique  de  B  par  rapport  à  D.  Quelle  est  la  nature  de   DFEA  ?   ABCD,  CDEF  et  EFGH  sont  trois  parallĂŠlogrammes. Â

 Â

5 Â HOUPERT Â N. Â

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CHAPITRE  V_VECTEURS  Janvier  2015   1. Citer  deux  vecteurs  Êgaux  à  đ??śđ??ˇ.  2. Quelle  est  la  nature  de  AHGB  ?  Tracer  un  triangle  RST  et  construire  les  points  :  a. E  image  de  T  par  la  translation  de  vecteur  đ?‘…đ?‘†  ;  b. F  image  de  R  par  la  translation  de  vecteur  đ?‘‡đ?‘†  ;  c. Donner  deux  vecteurs  Êgaux  à  đ?‘‡đ?‘….  Justifier.  d. En  dĂŠduire  que  S  est  le  milieu  de  đ??¸đ??š .   ActivitĂŠ  5_DĂŠmontrer  que  des  points  sont  alignĂŠs   Soit  đ??´ 5, −2 , đ??ľ 8,2 , đ??ś −1, −10 .  1. Calculer  les  coordonnĂŠes  des  vecteurs  đ??´đ??ś  đ?‘’đ?‘Ą  đ??śđ??ľ.  2. Les  points  A,  B,  C  sont-­â€?ils  alignĂŠs  ?  Soit  đ??´ −2,3 , đ??ľ 2,1 , đ??ś 4,0 .  1. Les  points  A,  B,  C  sont-­â€?ils  alignĂŠs  ?  Soit  đ??´ −4, −3 , đ??ľ 8,1 , đ??ś 4,4 , đ??ˇ(−2,2).   1. DĂŠterminer  les  coordonnĂŠes  des  vecteurs   đ??´đ??ľ  đ?‘’đ?‘Ą  đ??śđ??ˇ.  2. Les  points  A,  B,  C  et  D  sont-­â€?ils  alignĂŠs  ?  3. Que  peut-­â€?on  en  conclure  sur   la  position  relative  des  droites  đ??´đ??ľ đ?‘’đ?‘Ą  (đ??śđ??ˇ)  ?  Soit  đ?‘€ −2, −1 , đ?‘ 6,4 , đ?‘† 9,8 , đ?‘‡(−4,0).   1. Les  droites  đ?‘€đ?‘ đ?‘’đ?‘Ą  (đ?‘†đ?‘‡)  sont-­â€?elles  parallèles  ?  Ecrire  un  algorithme  qui  demande  les  coordonnĂŠes  de  3  points  et  affiche  si  ils  sont  alignĂŠs  ou  non.  Ecrire  un  programme  dans  le  langage  appropriĂŠ  à  votre  calculatrice.   ActivitĂŠ  6_ColinĂŠaritĂŠ  pour  dĂŠmontrer  un  parallĂŠlisme   Le  plan  est  muni  d’un  repère  orthonormal  (đ?‘‚, đ?š¤, đ?šĽ).  On  considère  les  points  đ??´(−5  ; 1)  , đ??ľ(3  ; 6), đ??ś(−3  ; −2)  đ?‘’đ?‘Ą  đ??ˇ(đ?‘Ľ; 3)  oĂš  đ?‘Ľ  est  un  rĂŠel.  1. Placer  les  points  A,  B  et  C  dans  le  repère  orthonormal  (đ?‘‚, đ?š¤, đ?šĽ).  Calculer,  en  fonction  de  đ?‘Ľ ,  les  coordonnĂŠes  des  vecteurs  đ??´đ??ľ  đ?‘’đ?‘Ą  đ??śđ??ˇ.  2. En  dĂŠduire  la  valeur  de  đ?‘Ľ  pour  que  les  droites  (đ??´đ??ľ)  et  (đ??śđ??ˇ)  soient  parallèles.  3. On  pourra  utiliser  la  notion  de  colinĂŠaritĂŠ  de  vecteurs.  ComplĂŠter  la  figure  avec  la  valeur  de  đ?‘Ľ  trouvĂŠe. Â

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6 Â HOUPERT Â N. Â

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CHAPITRE  V_VECTEURS  Janvier  2015   4. En  utilisant  la  caractĂŠrisation  vectorielle  des  parallĂŠlogrammes,  montrer  que  le  quadrilatère  ABDC  est  un  parallĂŠlogramme.  5. DĂŠterminer  les  coordonnĂŠes  du  centre  I  du  parallĂŠlogramme  ABDC.  6. DĂŠterminer  la  fonction  affine  f  dont  la  reprĂŠsentation  graphique  est  la  droite  (đ??´đ??ľ).   ActivitĂŠ  7_  ColinĂŠaritĂŠ  pour  dĂŠmontrer  un  alignement   Soit  ABCD  un  carrĂŠ.  Les  triangles  ABE  et  BCF  sont  ÊquilatĂŠraux.  Expliquez  pourquoi  (đ??´, đ??´đ??ľ, đ??´đ??ˇ)  est  un  repère.  !

! !

1. Montrer  que  đ??´đ??¸ = đ??´đ??ľ + đ??´đ??ˇ  ! !

2. De  la  mĂŞme  manière,  exprimez  le  vecteurs  đ??´đ??š  en  fonction  des  vecteurs  đ??´đ??ľ  et  đ??´đ??ˇ.  3. Quelles  sont  les  coordonnĂŠes  des  points  đ??ˇ, đ??¸  đ?‘’đ?‘Ą  đ??š  dans  le  repère  (đ??´, đ??´đ??ľ, đ??´đ??ˇ)  ?  4. DĂŠmontrez  que  les  points  D,  E  et  F  sont  alignĂŠs.   ActivitĂŠ  8_Problème  de  synthèse  (1)  Le  plan  Êtant  muni  d’un  repère  orthonormal  (đ?‘‚;  đ?š¤, đ?šĽ),  on  donne  :  A(−1;  4)  , đ??ľ(−4; −2)  đ?‘’đ?‘Ą  đ??ś(1; 0).  1.

2.

3.

4.

Calculer  les  coordonnĂŠes  du  point  D  tel  que  ABCD  soit  un  parallĂŠlogramme.  Calculer  les  coordonnĂŠes  du  point  M  intersection  des  diagonales  du  quadrilatère  ABCD.  Soit  đ??¸ (6; 2).  DĂŠmontrez  que  B,  C  et  E  sont  alignĂŠs.  Soit  đ??š (−7; 4).  DĂŠmontrez  (đ??ľđ??š)  est  parallèle  à  (đ??´đ??ś)  et  que  (đ??´đ??š)  est  parallèle  à  l’axe  des  abscisses.  5. Soit  G  le  point  dĂŠfini  par  3đ??şđ??¸ + 4đ??şđ??š = 0  .  Montrez  que  G,  E  et  F  sont  alignĂŠs.  6. Calculez  les  coordonnĂŠes  du  point  G.  7. Montrez  que  G  appartient  à  la  droite  (đ??´đ??ľ).   ActivitĂŠ  9_  Problème  de  synthèse  (2)  Le  plan  Êtant  muni  d’un  repère  orthonormal  (O;  đ?š¤,  đ?šĽ),  on  donne  A(−1; 6)  , đ??ľ(5; 9)  , đ??ś(5; −6)  đ?‘’đ?‘Ą  đ??ˇ(1; 2).  1. Faire  une  figure.  2. DĂŠmontrez  que  le  triangle  ABC  est  rectangle. Â

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7 Â HOUPERT Â N. Â

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CHAPITRE  V_VECTEURS  Janvier  2015   3. DĂŠmontrez  que  les  vecteurs  đ??śđ??ˇ  et  đ??śđ??´  sont  colinĂŠaires  en  prĂŠcisant  la  valeur  du  coefficient  de  colinĂŠaritĂŠ  đ?‘˜  tel  que  đ??śđ??ˇ = đ?‘˜Ă—đ??śđ??´.  4. La  parallèle  à  (AB)  passant  par  D  coupe  (BC)  en  E.  DĂŠterminez  les  coordonnĂŠes  de  E.  5.  F  est  le  projetĂŠ  orthogonal  de  A  sur  la  droite  (BC).  DĂŠmontrez  que  A,  E,  F,  D  sont  situĂŠs  sur  un  mĂŞme  cercle.  PrĂŠcisez  son  centre  et  calculez  son  rayon.  English  corner    Exercise  1  From  the  grid  :  1. Express  the  translation  that  maps  shade  F  onto  shade  G  in  terms  of  vectors  đ??żđ?‘€  and  đ??żđ?‘ˆ.  2. Express  the  translation  that  maps  shade  F  onto  shade  H  in  terms  of  vectors  đ??żđ?‘€  and  đ??żđ?‘ˆ.          Exercise  2  In  a  video  game,  the  screen  is  100  units  by  100  units.  Each  player  has  to  enter  a  vector  to  give  the  direction  the  ball  will  travel.  The  ball  starts  at  O(0;0).  Max  enters  the  vector  đ?‘˘ (10,20)  and  the  ball  moves,  making  an  angle  đ?‘ŽÂ°  with  đ?‘‚đ??´ .  1. What  is  the  value  of  đ?‘ŽÂ°  ?  2. Compute  the  coordinates  of  point  K  where  the  ball  hit  side  đ??ľđ??ś .  3. When  the  balls  hits  side  đ??ľđ??ś ,  it  rebounds  so  that  the  new  path  is  defined  by  vector  đ?‘Ł(20, −10).  Compute  the  coordinates  of  point  L  where  the  ball  hit  side  đ??ľđ??´ .    Exercise  3  Let   đ??´ −2,4 , đ??ľ −3,5 , đ??ˇ(4,6)  be.  Find  the  coordinates  of  point  C  such  that  ABCD  is  a  parallelogram.    Â

8 Â HOUPERT Â N. Â

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