GEOMETRIE DANS L’ESPACE CHAPITRE 11 HOUPERT N. Contenus : ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾
¾
¾
Positions relatives de droites et de plans : intersection et parallélisme Orthogonalité de deux droites Orthogonalité d’une droite et d’un plan Caractérisation d’un plan par un point et deux vecteurs non colinéaires Vecteurs coplanaires, décomposition d’un vecteur en fonction de trois vecteurs non coplanaires. Repérage. Représentation paramétrique d’une droite Produit scalaire de deux vecteurs dans l’espace : définition, propriétés Vecteur normal à un plan Equation cartésienne d’un plan Algorithmique : o Boucle Si dans la réalisation d’un algorithme : math’x 93p331 AP : o Etudier des positions relatives de droites et de plans o Interpréter des relations vectorielles o Démontrer que des points sont coplanaires QCM interactif
Objectifs : ¾ Etudier les positions relatives de droites et de plans ¾ Etablir l’orthogonalité d’une droite et d’un plan ¾ Choisir une décomposition pertinente dans le cadre de la résolution de problèmes d’alignement ou de coplanarité ¾ Utiliser les coordonnées pour traduire la colinéarité ¾ Utiliser les coordonnées pour caractériser l’alignement ¾ Utiliser les coordonnées pour déterminer une décomposition de vecteurs ¾ Déterminer si un vecteur est normal à un plan 0 ¾ Caractériser les points d’un, plan de l’espace par une relation ¾ Déterminer une équation cartésienne d’un plan connaissant un point et un vecteur normal ¾ Déterminer un vecteur normal à un plan défini par une équation cartésienne ¾ Démontrer qu’une droite est orthogonale à toute droite d’un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes du plan ¾ Choisir la forme la plus adaptée entre équation cartésienne et représentation paramétrique pour : ¾ Déterminer l’intersection d’une droite et d’un plan ¾ Etudier la position relative de deux plans
GEOMETRIE DANS L’ESPACE CHAPITRE 11 HOUPERT N. Activité 1_Se repérer… est un pavé droit. 1, 2, I est le milieu de [DH] . Calculez les coordonnées de chacun des huit sommets dans chacun des repères suivants : 1.
,
,
,
2.
,
,
,
Activité 2_Calculs de coordonnées Dans un repère orthonormal
, , ,
on considère les points
2,1,3
4, 1,5
4,2, 7 .
1. Montrez que les points A, B et C ne sont pas alignés. 2. Calculez les coordonnées des points : . a. D tel que 2 +3 = b. E est le milieu de [BC]. c. F est le centre de gravité du triangle ABC. d. G vérifie 3
2
.
Activité 3_Coplanarité Soient
1, 3,
,
1, 4, 1 ,
2, 3, 0
1, 4, 0 .
1. Montrer que les points A, B, C sont coplanaires. 2. D appartient‐il au plan ? Activité 4_Plan et ses caractéristiques Le plan P a pour équation : 1. 2. 3. 4.
3
7
0.
Donner un vecteur normal à P. Donner les coordonnées d'un point M de P. Le point 1, 1, 2 appartient‐il au plan P ? Déterminer le réel z pour que le point 2, 5,
appartienne au plan P.
Activité 5_Plan et intersection avec les axes de coordonnées Le plan P a pour équation : 2
6.
1. Donner un vecteur normal à P. 2. Déterminer les positions relatives du plan P respectivement avec l'axe
,
.
GEOMETRIE DANS L’ESPACE CHAPITRE 11 HOUPERT N. Activité 6_Droites et plan Dans un repère
, , ,
, on considère les points
3, 4, 6 ,
2, 3, 1 ,
1, 3, 3
6, 2, 2 .
, et 1. Calculez les coordonnées des vecteurs 2. Déterminer la position relative des droites . 3. On considère l'équation :2 5 20 et le point 1, 1, 1 . a. Montrer que les points A,B,C et D appartiennent au plan . 7. b. Déterminez les coordonnées de S tels que , soient alignés et c. Déterminez les coordonnées du point P vérifiant l'équation et tel que , soient alignés. Activité 7_Vecteur normal Déterminer un vecteur normal pour chacun des plans suivants : 2
P1 :
1
0
0
P2 : 3
P3 : 2
1
0
P4 : 2
3
0
Activité 8_Equation de plans Déterminer une équation du plan P passant par le point A et de vecteur normal 1)
2, 3, 5
3, 2, 1
2)
4, 2, 1
5, 3, 2
3)
1, 1, 0
0, 2, 1
Activité 9_Deux plans On considère le plan P d'équation : 2
3
6
18
0.
1. Donner un vecteur normal au plan P 2. Déterminer une équation du plan P' parallèle au plan P passant par le point
6; 4; 4 .
et soient colinéaires. 3. Déterminer le point A du plan P tel que 4. En déduire la distance entre les plans parallèles P et P' .
Activité 10_Position relative des deux plans Dans chacun des cas suivants, préciser la position relative des plans P et P' . Note : dans le cas où les deux plans seraient parallèles, vous calculerez la distance séparant les deux plans. 1. P d'équation 2 2. P d'équation 3. P d'équation
5 et P' d'équation – 3 3
5 2
4 et P' d'équation 3 8 et P' d'équation 4
7 9 12
15 8
6 32
GEOMETRIE DANS L’ESPACE CHAPITRE 11 HOUPERT N. Activité 11_Position relative d’une droite et d’un plan, d’une droite et d’une sphère L’espace est muni d’un repère orthonormal
, , ,
. 1 2 2 3 , 5
La droite ∆ a pour système d’équations paramétriques
.
1. Etudier la position relative de la droite ∆ avec le plan (P) lorsque : a. (P) a pour équation cartésienne 3 5 6 0. b. (P) a pour équation cartésienne 2 5 0. c. (P) a pour équation cartésienne 2 8 7 0. 2. Etudier la position relative de la droite ∆ avec la sphère lorsque : a.
a pour équation cartésienne ²
²
²
.
b.
a pour équation cartésienne ²
²
²
.
Activité 12_Position relative de deux droites Etudier les positions relatives des deux droites (d) et (d’) : 1 2 1 et de vecteur directeur , 0 1 1 1 et de vecteur directeur 2 . 3 4 4 2 2. où où 6 et 3 , 2 8 4 2 4 7 0 3. où 3 , où 5 et 3 , 1 1 2 4. d est perpendiculaire au plan (P) d’équation cartésienne 2 2 1 0 point 0 , et d’ passe par les points 0 et B’ 1 0 3 1 1. d passe par le point
et d’ passe par le point
, 1 1 2 3
2 1 1
2
0 et passe par le
.
Activité 13_Position relative de trois plans Dans un repère orthonormal 2
1.
3
, , ,
2 4 0 2 4 0 3 6 1 0
, déterminer la position relative des plans P, P’ et P’’. 2.
2 5
3 5
0 2 5
4 0 6 0 2 0
GEOMETRIE DANS L’ESPACE CHAPITRE 11 HOUPERT N.
2 5
3
3.
5
4 0 6 0 2 0
4.
3 2
2 5 3
4 0 6 0 3 0
Activité 14_Un peu de trigo ^^ Soient les deux plans Pour P : Pour P' :
d'équations respectives dans un repère orthonormal –
, , ,
.
0 0 où t représente un paramètre réel.
1. sont‐ils perpendiculaires? Justifier. 2. Pour quelles valeurs de t l'axe est‐il parallèle à ? 3. Donner un vecteur directeur de la droite intersection des deux plans. 4. Calculer la distance de , , 3 au plan .
Activité 15_Un peu de suites ^^ Soit un triangle ABC, isocèle en A, de hauteur
, et tel que
4.
1. Auriez‐vous une idée de ce qu’est l’isobarycentre de deux points ? de trois points ? 2. Construire barycentre de , 2 , , 1 , , 1 3. Déterminer et construire l’ensemble (E) des points M du plan tels que : 2 4. Soit a. b. c. d.
8. . On considère le barycentre de , 2 , , , , . Montrer que ce barycentre existe. On le note . Placer , , . Montrer que Gn appartient au segment [AH]. Calculer la distance AGn en fonction de et déterminer la limite de AGn quand tend vers ∞. e. Préciser la position de quand tend vers ∞. 5. Soit M un point quelconque du plan. . On considère le vecteur 2 Montrer que le vecteur est indépendant du point M et déterminer sa norme.
GEOMETRIE DANS L’ESPACE CHAPITRE 11 HOUPERT N. Activité 16_La tête en l’air… On se propose d'étudier une modélisation d'une tour de contrôle de trafic aérien, chargée de surveiller deux routes aériennes représentées par deux droites de l'espace. L'espace est rapporté à un repère orthonormal , , , d'unité 1 km. Le plan , , représente le sol. les deux routes aériennes à contrôler sont représentées par deux droites 1 2 , dont on connait des représentations paramétriques : 3 1 9 3 2 0,5 2 2 4 4 1. Indiquer les coordonnées d'un vecteur directeur de la droite 1 et d'un vecteur directeur de la droite 2 . b. Prouver que les droites 1 et 2 ne sont pas coplanaires. 2. On veut installer au sommet S de la tour de contrôle, de coordonnées 3; 4; 0,1 , appareils de surveillance qui émettent un rayon représenté par une droite notée . Soit 1 le plan contenant et 1 et soit 2 le plan contenant et 2 . a. Montrer que 2 est sécante à 1 . b. Montrer que 1 est sécante à 2 . c. Un technicien affirme qu'il est possible de choisir la direction de pour que cette droite coupe chacune des droites 1 et 2 . Cette affirmation est‐elle vraie? (justifier la réponse)