DERIVABILITE CHAPITRE IV HOUPERT N. Contenus : ¾ Fonctions sinus et cosinus ¾ Calculs de dérivées : compléments ¾ Algorithmique : o Methode de Newton : math’x p46 ¾ AP : o Etudier le signe d’une expression : math’x p60 o Signe d’une expression avec racine carrée : math’x p60 o Des problèmes de tangentes : math’x p61 o Fonctions continues à dérivées discontinues : math’x p61 ¾ QCM interactif Objectifs : ¾ ¾ ¾ ¾ ¾
Calculer les dérivées des fonctions et Calculer la dérivée d’une fonction où est dérivable Connaitre les dérivées des fonctions sinus et cosinus Connaitre quelques propriétés des fonctions sinus et cosinus Connaitre les représentations graphiques de ces fonctions
DERIVABILITE CHAPITRE IV HOUPERT N.
Activité 1_Calculs de dérivées 1. On considère la fonction définie par 1 2 3 . Calculer de deux façons : a. En développant le produit et en calculant la dérivée du polynôme obtenu ; b. En dérivant directement en utilisant la dérivée d’un produit. .
2. Soit la fonction définie par Calculer . 3. Soit fonction définie sur 0, ∞ par
.
a. Indiquer les limites de f aux bornes de son intervalle de définition. b. Calculer f’ puis étudier son signe. Justifier l’existence d’un minimum que l’on précisera. c. Dresser le tableau de variations de f. 4. Soit la fonction g définie sur 1, ∞ par 1. √ a. Sur quel intervalle peut‐on dériver la fonction g ? Calculer g’. b. Déterminer les équations réduites des tangentes à la courbe représentative de la fonction g aux points d’abscisses 0 et 3. 5. Soit les fonctions u et v définies par 2 1 et cos sin . On considère les fonctions , . a. Donner les expressions de en fonction de . b. Dériver . 6. Soit
²
et
²
.
a. Calculer ’. En déduire ’ 1 . en utilisant la factorisation du numérateur de g. b. Déterminer lim c. Justifier l’écriture
, et retrouver le résultat du b.
Activité 2_TP math’x p136_Construction des courbes des fonction sinus et cosinus
DERIVABILITE CHAPITRE IV HOUPERT N. Activité 3_Comparer des cosinus et sinus à partir d’un cercle trigo alors
Si 0 Si
0 alors
Si
alors
Si
2 alors
cos
cos
sin
sin
cos
cos
sin
sin
Activité 4_Résolution d’équations, inéquations trigonométriques Résoudre : 1. cos
sur – , √
2. cos
sur – ,
√2 sur – ,
3. 2cos 2 4. 4cos 2
5. sin
6. sin
sur 0,2
7. 2sin 4
2√3 sur 0,2
Etudier sur 0,2 la fonction
1 sur 0,2 √
√2 sur 0,2 √
8. sin 2
sin 2
sur – ,
√2.
Activité 5_Calcul de dérivées de fonctions trigonométriques 1. 2. 3. 4. 5.
cos
6. 7.
cos 2 cos 2 sin 4
10. Sachant que
3sin
cos sin
8. 9. 3
cos 2
sin 2
sin
cos 4
²
6 ² , déterminer
. a. Etudier la parité de la fonction . b. Déterminer le domaine de définition de la fonction . c. Dresser le tableau de variations des fonctions 1, 4, 5, 6, 8, 9 sur l’intervalle – , d. Représenter ces fonctions dans un repère adapté.
.
DERIVABILITE CHAPITRE IV HOUPERT N. Activité 6_Tangentes à une courbe et A un point d’abscisse de la courbe C
Soit la fonction définie sur par représentative de la fonction .
1. Préciser l’équation de la tangente au point d’abscisse 0 à la courbe représentative de . 2. Démontrer que les tangentes à la courbe représentative de au point A et au point A’ symétrique de A par rapport à l’origine O, sont parallèles. 3. Déterminer les équations des deux tangentes lorsque 1.
Activité 7_Dérivabilité en un point Etudier la dérivabilité en 2 de chacune des 4 fonctions suivantes : 1. 2. 3. 4.
²
, ∞
2 √ 2 sin √ sin √ 2
2, ∞ 2
2, ∞ 2, ∞ .
Dans chaque cas, on indiquera une équation de la tangente à la représentation graphique de la fonction f au point d’abscisse 2. Activité 8_Dérivées de fonctions composées Déterminer les intervalles sur lesquelles la fonction est dérivable puis calculer la dérivée. 1
1. 2. 3. 4.
²
1 ²
Activité 9_Exemple de non-dérivabilité 1. Montrer que la fonction √ n’est pas dérivable en 0. | ² 2 2. Soit la fonction f définie sur par 3|. a. EXPERIMENTATION i. Obtenir sur l’écran de la calculatrice la courbe représentative de la fonction f.
DERIVABILITE CHAPITRE IV HOUPERT N. ii. Utiliser la représentation graphique de f pour dresser le tableau de variations de f. On indiquera les limites de la fonction f en ∞ et en ∞. iii. Obtenir sur le même écran le tracé de la parabole d’équation 2 3. b. DEMONSTRATION i. Indiquer l’expression de sans le symbole valeur absolue. ii. Justifier les limites de la fonction f en ∞ et en ∞ et sa dérivabilité sur les trois intervalles ouverts mis en évidence à la question précédentes. iii. Justifier les variations de f sur chacun des intervalles. c. NOMBRES DERIVEES A DROITE ET A GAUCHE i. On se propose d’’étudier la dérivabilité de f en ‐1. Pour cela indiquer l’expression du quotient
sans utiliser le 1
symbole valeur absolue. (Vous considérerez et lim . ii. Déterminer lim
1)
Note : Ces deux limites sont des nombres réels. La première des limites est le nombre dérivé à droite en 1 et la seconde est le nombre dérivé gauche en 1. Lorsque les nombres dérivés à droites et à gauche en un réel sont égales, alors la fonction est dérivable en . iii. Que peut‐on en conclure pour la dérivabilité de en 1 ? iv. Etudier la dérivabilité de en s’inspirant des questions i, ii et iii. Quels sont les nombres dérivés à gauche et à droite en 3 ? La fonction est‐elle dérivable en 3 ? Activité 10_Dérivées successives
On utilise la formule de Mac Laurin pour approcher une fonction au voisinage de 0 : !
!
!
²
!
est une bonne approximation de au voisinage de 0.
L’expression ci‐dessus est un polynôme de degré n au voisinage de 0. Plus l’ordre est grand, plus la précision est élevée. 1. Donner par exemple une approximation de la fonction un polynôme de degré 1 puis 3 puis 5. Construire sur la calculatrice les 4 courbes obtenues.
sin
au voisinage de 0 par
DERIVABILITE CHAPITRE IV HOUPERT N. Constater l’amélioration. 2. Donner des approximations de la fonction
au voisinage de 0 par des polynômes
de degré 1 jusqu’à 4. Construire sur la calculatrice les 4 courbes obtenues. Constater l’amélioration.
Activité 11_Application de la dérivation à un chapitre du cours adulé de physique : la cinématique Galilée laisse tomber une boule du haut de la tour de sa ville natale, Pise, qui culmine à 55m. Il fut l’un des premiers à étudier le mouvement et en particulier le mouvement d’un objet soumis à son poids. Suite à son expérience, il constate effectivement ce que Newton constatera des années plus tard, que le poids de la boule est proportionnel à l’accélération qu’elle subit. En d’autres termes : (1), où désigne le poids de la boule, m sa masse, et l’accélération de la boule au cours de sa chute. 1. Faire un schéma représentant l’expérience de Galilée . 2. L’expérience étant verticale, projetez la relation (1) selon . 3. En déduire l’expression de en fonction de où désigne l’accélération de la pesanteur. Notons 4. 5. 6. 7.
la hauteur de la boule et
la vitesse de la boule au moment .
Donner la valeur de 0 0 . Quel est le rapport entre ? entre ? entre A l’aide de (3), exprimer en fonction de et 0 . En déduire en fonction de et de 0 .
?
Interprétation :
8. 9.
10. 11.
Dans la suite, on prendra 10 . . Des ouvriers travaillent justement sur la tour de Pise sur un échafaudage de 10m de haut, au bout de combien de temps l’ouvrier se prend‐il la boule sur la tête ? Galilée a mis au point un système permettant de mesurer le temps que met la boule pour tomber du haut jusqu’en bas de la tour. Son outil de mesure donne une valeur de 4 secondes. Quelle est la marge d’erreur de son outil ? Que pouvez‐vous dire si Galilée choisit une boule plus grosse (ie de masse plus élevée) ? <Cela correspond‐il à la réalité ? qu’as‐omis de considérer Galilée dans ses calculs ?
DERIVABILITE CHAPITRE IV HOUPERT N. Activité 12_Dans la tête de Michalak Le segment [AB] représente la ligne d’essai d’un terrain de rugby. Les poteaux de but sont représentés par les points P et Q. On sait que 5,6 . Un essai a été marqué en E, à gauche du poteau E et à 10 de celui‐ci. La transformation consiste à taper au pied, à partir d’un point T au choix sur la perpendiculaire à la ligne d’essai passant par E, et tenter de mettre le ballon entre les poteaux. Déterminer la position optimale et l’angle que doit choisir Michalak pour avoir un maximum de réussite. Vous vous aiderez du logiciel geogebra. Activité 13_Apprendre à chercher Dans un repère orthonormal , , , M est le point de coordonnées , 0 avec 0 3, N est le point de coordonnées 0, avec 0, tel que 3 et J le point du segment [MN] tel que 2. Déterminer et tracer le lieu L de points J lorsque m décrit l’intervalle 0,3 . 2
1. Prouver que 3 Montrer que 2. Prouver que
9 2 1
.
². Déduisez‐en les coordonnées ,
de J en fonction de m.
² et donc que J appartient à la courbe représentative C de f définie
sur [0,1] par 2 1 ². 3. Prouver que 0,1 . Quel est donc le lieu de J ? Etudier les variations de et la dérivabilité de au point 1. Tracer L et C.
DERIVABILITE CHAPITRE IV HOUPERT N. Activité 14_Construction de la fonction exponentielle Des mesures en laboratoire ont montré que la vitesse d’augmentation du nombre de bactéries dans un bouillon de culture, est égale, à chaque instant au nombre de bactéries présentes dans le bouillon à cet instant. Notons P la fonction qui à chaque instant t, exprimé en heures, associe le nombre P(t) de bactéries, exprimé en centaines. On suppose que cette fonction P est dérivable sur 0, ∞ et qu’au début de l’expérience, il y a une centaine de bactéries dans le bouillon. 0
1. Compléter le système différentiel (E) suivant :
On souhaite à présent avoir une représentation graphique de cette fonction P. L’idée est d’utiliser l’approximation affine suivante : pas de calcul, c’est‐à‐dire plus h est petit, plus l’approximation sera précise.
, où h correspond au
INTRODUCTION DE LA FONCTION EXPONENTIELLE
a P(a)
2. Posons 0,1. Montrer que P vérifie : 1 , pour tout 0, ∞ . 3. A l’aide de la relation précédente, compléter le tableau suivant : 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 1
0,9
4. A l’aide d’un tableur, construire la courbe correspondant au nuage de point précédent. 5. Affiner votre pas en choisissant 0,01. 6. Sur votre feuille de tableur regrouper sur un même graphique les courbes des fonctions P avec un pas de 0,1, et 0,01 ainsi que la courbe de la fonction . Que constatez‐vous ? On note dès lors exponentielle la fonction P décrite ci‐dessus. CALCUL DE
1
7. Montrer à l’aide de 2. que : En déduire 0
1 1
pour tout n
1
.
9. En utilisant le tableur, donner une valeur approchée de
1 .
8. En choisissant
, montrer que exp 1
*.
1