Démonstrations à savoir pour le bac scientifique S Sans avoir la prétention d’être exhaustif, quelques ROC sont détaillés dans ce document. HOUPERT Nicolas_LYCEE BAZIN_CHARLEVILLE‐MEZIERES 10/02/2014
Table des matières CHAPITRE II_LES NOMBRES COMPLEXES ................................................................................................ 3 DEMONSTRATIONS .................................................................................................................................. 4 CHAPITRE III_LIMITES ET CONTINUITE .................................................................................................... 7 DEMONSTRATIONS .................................................................................................................................. 8 CHAPITRE V_FONCTIONS EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES ............................................................ 10 DEMONSTRATIONS ................................................................................................................................ 11 CHAPITRE VI_CONVERGENCE DE SUITES NUMERIQUES ....................................................................... 13 DEMONSTRATIONS ................................................................................................................................ 14 CHAPITRE X_CALCUL INTEGRAL ............................................................................................................ 15 DEMONSTRATIONS ................................................................................................................................ 16 CHAPITRE XI_GEOMETRIE DANS L’ESPACE............................................................................................ 18 DEMONSTRATIONS ................................................................................................................................ 19 CHAPITRE XII_PROBABILITES ................................................................................................................. 21 DEMONSTRATIONS ................................................................................................................................ 22 CHAPITRE XIII_PROBABILITES A DENSITE .............................................................................................. 23 DEMONSTRATIONS ................................................................................................................................ 24 CHAPITRE XIV_STATISTIQUES – ESTIMATION ....................................................................................... 26 DEMONSTRATIONS ................................................................................................................................ 27
CHAPITRE II_LES NOMBRES COMPLEXES
•
PROPRIETES DU MODULE ET DE L’ARGUMENT
1. |
|
| |
7. arg
| |
|
5. arg 6. arg
| |
3.
| |
2.
4. |
| |
| | ,
8. arg
arg arg arg
arg
arg ,
DEMONSTRATIONS 1. Posons et | | On a alors : | |
, les écritures algébriques de z et z’. | |
²
Par ailleurs, | | | |
|
√ ²
² |
| ²
| √ ²
²
En conclusion, on a bien : |
² |
| |
2. Utilisons la relation (1) en posant
| |.
, ainsi on aura :
d’après la propriété (1) sur le produit et le module,
| |
en simplifiant, |1|
| |
1, 1
| |
or |1|
d’où :
.
| |
3. Soient z et z’ deux nombres complexes.
On a : d’après la propriété (1) sur le produit et le module,
| |
d’après la propriété (2) sur le produit et l’inverse,
| |
en résumant,
| | | |
| |
.
4. 5. Soit z un nombre complexe, . Démontrons la relation (4) par récurrence. Notons Pn la propriété suivante : « | | | | » • Vérifions que P0 est vraie : | | |1| 1 | | , P0 est donc vraie. • Supposons que Pn est vraie c’est‐à‐dire que : | | | | Montrons que Pn+1 est vraie.
| | | | | | | d‘après la propriété sur le module et le produit | | | d’après l’hypothèse de récurrence | | | | Pn+1 est donc vraie. • En conclusion, Pn est vraie pour tout . , les écritures cos 6. Posons cos et |, | | |, . arg trigonométriques de z et z’, où arg et arg cos arg cos cos cos cos cos arg d’après les formules de linéarisation, arg rr cos θ θ par définition de la forme trigonométrique, arg z arg z par définition de arg(z) et arg(z’) 7. Utilisons la relation (5) en posant
, ainsi on aura :
d’après la propriété (5) sur le produit et l’argument, arg
arg
arg
en simplifiant, arg 1
arg
arg
or arg(1)=0, d’où, 0
arg
arg
finalement, arg
arg
8. Soient z et z’ deux nombres complexes. On a : arg
arg
d’après la propriété (5) sur le produit et l’argument, arg
arg z
arg
d’après la propriété (6) sur l’inverse et l’argument arg
arg z
arg z
9. Soit z un nombre complexe, . Démontrons la relation (8) par récurrence. arg » Notons Pn la propriété suivante : « arg( • Vérifions que P0 est vraie : arg( arg 1 0 0 arg , P0 est donc vraie.
•
•
Supposons que Pn est vraie c’est‐à‐dire que : arg( Montrons que Pn+1 est vraie. arg arg arg d‘après la propriété sur l’argument et le produit arg n arg z arg d’après l’hypothèse de récurrence arg 1 Pn+1 est donc vraie. . En conclusion, Pn est vraie pour tout
CHAPITRE III_LIMITES ET CONTINUITE •
Théorème des valeurs intermédiaires. Soit f une fonction continue sur un intervalle I de . Soit . L’équation possède alors au moins une solution sur I.
•
•
Théorème des fonctions continues strictement monotones. Soit f une fonction continue strictement monotone sur un intervalle de . Soit . L’équation possède alors une unique solution sur I. Théorème des gendarmes Soit une fonction. Soit deux fonctions telles que : lim Alors lim
lim
et telles que .
.
DEMONSTRATIONS
•
Théorème des fonctions continues strictement monotones.
Nous supposerons connus le théorème des valeurs intermédiaires dans le cadre de la démonstration du théorème des fonctions continues strictement monotones. Considérons f une fonction continue strictement monotone sur un intervalle I de . Nous supposerons plus précisément et pour fixer les idées que la fonction f est STRICTEMENT croissante. Preuve de l’existence d’au moins une solution : La fonction f est continue sur I et α f I , donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation possède au moins une solution sur . Notons x0 une de ces solutions. . On a en particulier : Preuve de l’unicité de cette solution : Supposons qu’il y a deux solutions différentes x0 et x1 qui vérifient Puisque x0 x1, ‐ ‐
soit x0 < x1 et dans ce cas est impossible ; soit x0 > x1 et dans ce cas est impossible ;
et
.
du fait de la croissance de f, et donc
, ce qui
du fait de la croissance de f, et donc
, ce qui
Par conséquent l’étude des deux cas conduit à une absurdité. L’hypothèse de départ est donc fausse. Il n’existe donc qu’une unique solution à l’équation
.
•
Théorème des gendarmes au voisinage de ∞ :
Pour démontrer que lim , revenons à la définition de lim définie sur un intervalle contenant ∞ : « Tout intervalle ouvert contenant , contient pour assez grand. »
où f est une fonction
Soit un intervalle I ouvert contenant . Essayons de montrer que cet intervalle contient toutes les valeurs de pour assez grand.
Pour cela, utilisons les hypothèses du théorème : Puisque : lim , tout intervalle ouvert contenant contient toutes les valeurs de pour assez grand. Par exemple pour notre intervalle I qui contient , il existe tel que pour tout , I contient toutes les valeurs de .
Puisque : lim , tout intervalle ouvert contenant contient toutes les valeurs de pour assez grand. Par exemple pour notre intervalle I qui contient , il existe tel que pour tout , I contient toutes les valeurs de .
Par conséquent, puisque max , . Ceci est illustré dans le repère ci‐dessous.
, I contiendra toutes les valeurs de
pour
CHAPITRE V_FONCTIONS EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES •
Théorème d’existence de la fonction exponentielle Il existe une unique fonction dérivable sur telle que pour tout , 0 1.
•
Propriété Si une fonction dérivable sur vérifie on a : 1 et donc 0.
•
Croissances comparées et limite o
lim
∞
o
lim
0
o
lim
1
0
1, alors, pour tout réel ,
DEMONSTRATIONS
•
Théorème d’existence de la fonction exponentielle L’existence d’une telle fonction est admise. Unicité de la solution : Raisonnons par l’absurde en supposant qu’il existe une fonction g différente de telle que :
0
Posons : dérivables sur ,
1 définie et dérivable sur en tant que quotient de deux fonctions ne s’annulant pas.
D’où :
0
²
²
Donc : est une fonction constante. Déterminons sa valeur : on sait que 0
1,
en conséquence, 1 pour tout réel, d’où l’hypothèse de départ. Finalement, il existe une unique fonction vérifiant
. En contradiction avec
0
, c’est 1
.
•
Propriété : 0 1. Soit une fonction dérivable sur vérifie Posons . est dérivable sur en tant que produit de deux fonctions dérivables. Ainsi, , car 0 Donc . Or 0 0 0 1 1 1. D’où : 1. Ainsi, par définition de : 1. 0, alors 0. (*) Si il existe tel que 1. Or pour tout , 1, en particulier pour Ce qui donne une contradiction avec (*). Donc ne s’annule pas sur .
•
Croissances comparées
Pour montrer que lim est dérivable sur et
∞ , nous allons étudier la fonction 2 .
² sur ] 0, ∞ [.
’ est dérivable sur et
2.
0
ln 2
2
+
1
∞
‐
+∞
2‐2ln(2)>0 2
+
+
1
Donc sur l’intervalle ] 0, ∞ [ , la fonction h est strictement positive. ² 0 En conséquence, on a : ² D’où : Ainsi :
∞ alors
D’après le théorème de comparaison sur les limites, puisque lim lim
∞.
•
0
Utilisons la croissance comparée précédente pour calculer lim Puisque 0 par définition du , il existe un réel tel que : En conséquence : lim
•
lim
X
0 d’après la croissance comparée
précédente. Prérequis : La fonction exponentielle est dérivable en 0 et exp lim avec
lim
avec
0
1.
. Or la fonction
est dérivable sur
.
En conséquence : lim
lim
.
lim
0
1.
CHAPITRE VI_CONVERGENCE DE SUITES NUMERIQUES
•
THEOREME DE COMPARAISON
deux suites. Soit et Si pour tout entier naturel supérieur à un certain entier naturel et lim ∞, alors lim ∞.
•
SUITE CROISSANTE NON MAJOREE
Une suite croissante non majorée tend vers ∞.
:
DEMONSTRATIONS
•
THEOREME DE COMPARAISON
Prérequis : Dire qu’une suite a pour limite ∞ signifie que tout intervalle ouvert de la forme , ∞ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. .
Appliquons ce prérequis à notre suite
Puisque lim ∞, alors tout intervalle ouvert de la forme , ∞ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang . , il existe un rang , tel que
C’est‐à‐dire que pour tout Or
, il existe un rang , tel que
, ainsi : pour tout
. .
Donc tout intervalle ouvert de la forme , ∞ contient tous les termes de la suite rang .
à partir du
∞.
C’est la définition de lim
•
SUITE CROISSANTE NON MAJOREE
Prérequis : Dire qu’une suite a pour limite ∞ signifie que tout intervalle ouvert de la forme , ∞ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. Appliquons ce prérequis à notre suite Soit
.
.
Si la suite était toujours en dessous de , elle serait majorée par . Or par hypothèse la suite n’est pas majorée. Donc il existe un rang , tel que Pour tout Donc pour tout
,
car la suite est croissante. ,
.
Ainsi, l’intervalle ouvert de la forme
.
, ∞ contient tous les termes de la suite à partir du rang .
CHAPITRE X_CALCUL INTEGRAL
•
Primitive d’une fonction continue
Soit f une fonction continue sur I, et
. Alors
est l’unique primitive de f
qui s’annule en .
•
Croissance de l’intégrale
Si et sont deux fonctions continues sur un intervalle , alors :
, et si pour tout
•
Formule d’intégration par parties (hors programme):
Soient Alors :
deux fonctions dérivables sur ,
.
,
,
DEMONSTRATIONS
•
Primitive d’une fonction continue.
Existence : Nous supposerons dans cette démonstration que la fonction f est continue et croissante. ¾ Montrons que F définie par
est une primitive de f, ,
ie montrons que pour tout a
. où h est un réel positif.
Pour cela, nous allons calculer le taux d’accroissement suivant : Puisque :
d’après la propriété sur les changements de bornes
de l’intégrale.
(**) d’après la relation de Chasles sur les intégrales.
Or , , en conséquence, . De plus, puisque f est une fonction croissante, on a : . Après intégration entre a et a+h et en accord avec la croissance de l’intégrale,
Ce qui se traduit par :
ie : D’où :
et d’après (**),
Faisons tendre h vers 0 : lim
lim
lim
Or lim trivialement, par définition de la continuité de f lim Donc d’après le théorème des gendarmes, on peut conclure que : lim C’est‐à‐dire que la fonction F est dérivable pour tout F est donc bien une primitive de f.
et vérifie
.
0 d’après une convention du cours.
¾ Montrons que F s’annule en :
•
Croissance de l’intégrale
Prérequis : et sont deux fonctions continues sur , 0 sur ,
Si
Pour tout , :
0
, alors .
Posons
.
, alors
. Puisque par hypothèse,
Utilisons le prérequis. Ainsi,
0. D’où,
0.
D’après le prérequis, Par conséquent,
0.
. 0.
Finalement,
•
Formule d’intégration par parties (hors programme):
Soient
deux fonctions dérivables sur un intervalle ,
:
est donc dérivable sur [a,b] Or soit encore pour tout , : en intégrant cette relation entre a et b : D’où :
Finalement :
CHAPITRE XI_GEOMETRIE DANS L’ESPACE
•
EQUATION DE DROITE
La représentation paramétrique de la droite ∆ passant par D
de vecteur directeur
,
est
•
EQUATION DE PLAN
La représentation paramétrique du plan (P) passant par D
de vecteur normal
est :
0
•
ORTHOGONALITE DANS L’ESPACE est le plan défini par les droites et , sécantes en et de vecteurs directeurs et . ∆ est la droite passant par et de vecteur directeur le vecteur orthogonal aux vecteurs et .
Alors ∆ est orthogonale à toute droite du plan
.
• Soit
DISTANCE POINT PLAN un plan de l’espace d’équation 0. Soit D
égale à :
,
un point de l’espace. Alors la distance de au plan
|
| ²
²
²
.
est
DEMONSTRATIONS
•
EQUATION DE DROITE , ,
Soit
un point de la droite ∆ . Les vecteurs
tel que :
et sont donc colinéaires. Il existe donc
. ,
. D’où :
A l’aide des coordonnées :
,
Finalement,
• Soit écrire :
EQUATION DE PLAN , ,
un point du plan .
. Les vecteurs
et sont donc orthogonaux. On peut donc
0.
A l’aide des coordonnées :
.
0. 0.
D’où :
0. Nous obtenons l’équation voulue en posant
Ainsi : .
La représentation paramétrique du plan (P) passant par D
de vecteur normal
est :
0
•
ORTHOGONALITE DANS L’ESPACE
est le plan défini par les droites et , sécantes en et de vecteurs directeurs et . ∆ est la droite passant par et de vecteur directeur le vecteur orthogonal aux vecteurs et . Alors ∆ est orthogonale à toute droite du plan Soit
une droite du plan
linéaire des vecteurs
et
.
. Notons son vecteur directeur. Puisque : il existe , tels que :
.
, est combinaison
Montrons que ∆. Calculons pour cela le produit scalaire : . . 0, car est orthogonal aux vecteurs et . Ainsi, ∆ est orthogonale à
.
.
.
Finalement, ∆ est orthogonale à toute droite
du plan.
•
DISTANCE POINT PLAN
Appelons H plan Ainsi,
le projeté orthogonal de D sur le plan
. Appelons
le vecteur normal au
. .
.
A l’aide des coordonnées,
.
|
|. D’où : Or Ainsi,
|
.
| 0.
, donc |
|
|
| ²
²
²
.
CHAPITRE XII_PROBABILITES Soient deux évènements A et B associés à une expérience aléatoire.
•
FORMULE DES PROBABILITES TOTALES
•
INDEPENDANCE Si et sont deux évènements indépendants, alors et le sont aussi.
DEMONSTRATIONS
•
FORMULE DES PROBABILITES TOTALES
Nous savons que l’univers Ω peut s’écrire : Ω Ω
De plus,
Or les évènements En effet, B
A
B
B
B et B
B
B
B. B .
B sont incompatibles. A B B A
Ainsi,
.
•
INDEPENDANCE
B
B
, car A et B sont indépendants B
1
Par conséquent, et sont aussi indépendants.
CHAPITRE XIII_PROBABILITES A DENSITE
•
LOI EXPONENTIELLE
Soit une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre . On rappelle que pour tout 1.
0,
.
.
2. X suit une loi de durée de vie sans vieillissement : 3.
.
.
•
ESPERANCE ET VARIANCE DE LA LOI NORMALE STANDARD
Si la variable aléatoire suit la loi normale standard, alors son espérance est 0 et sa variance est 1.
•
INTERVALLE CENTRE EN 0 DE PROBABILITE DONNEE Z est une variable aléatoire qui suit la loi 0,1 . Etant donné un nombre , 0 1, il existe un unique nombre strictement positif que : 1 .
tel
DEMONSTRATIONS
•
LOI EXPONENTIELLE
Soit une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre . On rappelle que pour tout 1
0,
. 1
1
..
X suit une loi de durée de vie sans vieillissement : . lim
lim
.
. Ainsi est dérivable et
Posons
.
.
Donc :
.
Par conséquent, 0 .
D’où : Revenons à l’expression de l’espérance : lim
lim
0
.
•
ESPERANCE ET VARIANCE DE LA LOI NORMALE STANDARD ²
Posons
√
la fonction de Laplace‐Gauss (densité de la loi normale standard)
. Or est dérivable sur donc :
Vérifions que ²
Soit
.
. D’où :
√
0. 0
lim
Donc : lim Soit
√
√
√
lim
√
.
√
√
√
.
0. lim
lim
√
√
√
.
Par ailleurs, lim
lim
√
√
0.
•
INTERVALLE CENTRE EN 0 DE PROBABILITE DONNEE
Prérequis : Si Z est une variable aléatoire suivant la loi standard est continue et strictement croissante. De plus, elle vérifie :
0,1 , sa fonction de répartition
0
1.
et lim
Soit
0,1 . Démontrons qu’il existe un nombre strictement positif 1
Si 0
et un seul tel que
. 1
1,
1.
La fonction est continue et strictement croissante sur 0, ∞ . 0, ∞
Son intervalle image
, 1 contient .
D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation solution notée Ainsi, 2 1
1
. 1
1
possède une unique
1
.
2
1
CHAPITRE XIV_STATISTIQUES – ESTIMATION
•
INTERVALLE DE FLUCTUATION ASYMPTOTIQUE AU SEUIL 1
Pour tout nombre Alors la probabilité
0,1 , on pose tend vers 1
√
;
√
lorsque tend vers ∞.
.
.
DEMONSTRATIONS
•
INTERVALLE DE FLUCTUATION ASYMPTOTIQUE AU SEUIL 1
.
Soit une variable aléatoire suivant la loi binomiale Laplace : lim
1
1
ce qui signifie Finalement,
.
1 1
équivaut à : en divisant par
, donc d’après le théorème de Moivre‐
,
Or équivaut à :
,
0 :
1
√
, avec tend vers 1
√
. lorsque tend vers ∞.