ROC en Terminale S

Démonstrations à savoir pour le bac scientifique S

Sans avoir la prétention d’être exhaustif, quelques ROC sont détaillés dans ce document.

HOUPERT Nicolas_LYCEE BAZIN_CHARLEVILLE‐MEZIERES 10/02/2014

Table des matières CHAPITRE II_LES NOMBRES COMPLEXES ................................................................................................ 3 DEMONSTRATIONS .................................................................................................................................. 4 CHAPITRE III_LIMITES ET CONTINUITE .................................................................................................... 7 DEMONSTRATIONS .................................................................................................................................. 8 CHAPITRE V_FONCTIONS EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES ............................................................ 10 DEMONSTRATIONS ................................................................................................................................ 11 CHAPITRE VI_CONVERGENCE DE SUITES NUMERIQUES ....................................................................... 13 DEMONSTRATIONS ................................................................................................................................ 14 CHAPITRE X_CALCUL INTEGRAL ............................................................................................................ 15 DEMONSTRATIONS ................................................................................................................................ 16 CHAPITRE XI_GEOMETRIE DANS L’ESPACE............................................................................................ 18 DEMONSTRATIONS ................................................................................................................................ 19 CHAPITRE XII_PROBABILITES ................................................................................................................. 21 DEMONSTRATIONS ................................................................................................................................ 22 CHAPITRE XIII_PROBABILITES A DENSITE .............................................................................................. 23 DEMONSTRATIONS ................................................................................................................................ 24 CHAPITRE XIV_STATISTIQUES – ESTIMATION ....................................................................................... 26 DEMONSTRATIONS ................................................................................................................................ 27

CHAPITRE II_LES NOMBRES COMPLEXES

•

PROPRIETES DU MODULE ET DE L’ARGUMENT

1. |

|

| |

7. arg

| |

|

5. arg 6. arg

| |

3.

| |

2.

4. |

| |

| | ,

8. arg

arg arg arg

arg

arg ,

DEMONSTRATIONS

1. Posons et | | On a alors : | |

, les écritures algébriques de z et z’. | |

²

Par ailleurs, | | | |

|

√ ²

² |

| ²

| √ ²

²

En conclusion, on a bien : |

² |

| |

2. Utilisons la relation (1) en posant

| |.

, ainsi on aura :

d’après la propriété (1) sur le produit et le module,

| |

en simplifiant, |1|

| |

1, 1

| |

or |1|

d’où :

.

| |

3. Soient z et z’ deux nombres complexes.

On a : d’après la propriété (1) sur le produit et le module,

| |

d’après la propriété (2) sur le produit et l’inverse,

| |

en résumant,

| | | |

| |

.

4.

5. Soit z un nombre complexe, . Démontrons la relation (4) par récurrence.

Notons Pn la propriété suivante : « | | | | »

• Vérifions que P0 est vraie : | | |1| 1 | | , P0 est donc vraie.

• Supposons que Pn est vraie c’est‐à‐dire que : | | | | Montrons que Pn+1 est vraie.

| | | | | | | d‘après la propriété sur le module et le produit |

| | d’après l’hypothèse de récurrence | | | | Pn+1 est donc vraie.

• En conclusion, Pn est vraie pour tout .

, les écritures cos 6. Posons cos et |, | | |, . arg trigonométriques de z et z’, où arg et

arg

cos arg cos cos cos

cos cos arg d’après les formules de linéarisation, arg rr cos θ θ par définition de la forme trigonométrique, arg z arg z par définition de arg(z) et arg(z’)

7. Utilisons la relation (5) en posant

, ainsi on aura :

d’après la propriété (5) sur le produit et l’argument, arg

arg

arg

en simplifiant, arg 1

arg

arg

or arg(1)=0, d’où, 0

arg

arg

finalement, arg

arg

8. Soient z et z’ deux nombres complexes.

On a : arg

arg

d’après la propriété (5) sur le produit et l’argument, arg

arg z

arg

d’après la propriété (6) sur l’inverse et l’argument arg

arg z

arg z

9. Soit z un nombre complexe, . Démontrons la relation (8) par récurrence. arg » Notons Pn la propriété suivante : « arg(

• Vérifions que P0 est vraie : arg( arg 1 0 0 arg , P0 est donc vraie.

•

•

Supposons que Pn est vraie c’est‐à‐dire que : arg(

Montrons que Pn+1 est vraie. arg

arg arg d‘après la propriété sur l’argument et le produit arg n arg z arg d’après l’hypothèse de récurrence arg 1 Pn+1 est donc vraie.

.

En conclusion, Pn est vraie pour tout

CHAPITRE III_LIMITES ET CONTINUITE

•

Théorème des valeurs intermédiaires.

Soit f une fonction continue sur un intervalle I de .

Soit .

L’équation possède alors au moins une solution sur I.

•

•

Théorème des fonctions continues strictement monotones.

Soit f une fonction continue strictement monotone sur un intervalle de .

Soit .

L’équation possède alors une unique solution sur I.

Théorème des gendarmes

Soit une fonction. Soit deux fonctions telles que : lim Alors lim

lim

et telles que .

.

DEMONSTRATIONS

•

Théorème des fonctions continues strictement monotones.

Nous supposerons connus le théorème des valeurs intermédiaires dans le cadre de la démonstration du théorème des fonctions continues strictement monotones.

Considérons f une fonction continue strictement monotone sur un intervalle I de .

Nous supposerons plus précisément et pour fixer les idées que la fonction f est STRICTEMENT croissante.

Preuve de l’existence d’au moins une solution : La fonction f est continue sur I et α f I , donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation possède au moins une solution sur . Notons x0 une de ces solutions. .

On a en particulier :

Preuve de l’unicité de cette solution : Supposons qu’il y a deux solutions différentes x0 et x1 qui vérifient Puisque x0 x1, ‐ ‐

soit x0 < x1 et dans ce cas est impossible ; soit x0 > x1 et dans ce cas est impossible ;

et

.

du fait de la croissance de f, et donc

, ce qui

du fait de la croissance de f, et donc

, ce qui

Par conséquent l’étude des deux cas conduit à une absurdité.

L’hypothèse de départ est donc fausse.

Il n’existe donc qu’une unique solution à l’équation

.

•

Théorème des gendarmes au voisinage de ∞ :

Pour démontrer que lim , revenons à la définition de lim définie sur un intervalle contenant ∞ : « Tout intervalle ouvert contenant , contient pour assez grand. »

où f est une fonction

Soit un intervalle I ouvert contenant . Essayons de montrer que cet intervalle contient toutes les valeurs de pour assez grand.

Pour cela, utilisons les hypothèses du théorème : Puisque : lim , tout intervalle ouvert contenant contient toutes les valeurs de pour assez grand.

Par exemple pour notre intervalle I qui contient , il existe tel que pour tout , I contient toutes les valeurs de .

Puisque : lim , tout intervalle ouvert contenant contient toutes les valeurs de pour assez grand.

Par exemple pour notre intervalle I qui contient , il existe tel que pour tout , I contient toutes les valeurs de .

Par conséquent, puisque max , .

Ceci est illustré dans le repère ci‐dessous.

, I contiendra toutes les valeurs de

pour

CHAPITRE V_FONCTIONS EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES

•

Théorème d’existence de la fonction exponentielle

Il existe une unique fonction dérivable sur telle que pour tout , 0 1.

•

Propriété

Si une fonction dérivable sur vérifie on a : 1 et donc 0.

•

Croissances comparées et limite

o

lim

∞

o

lim

0

o

lim

1

0

1, alors, pour tout réel ,

DEMONSTRATIONS

•

Théorème d’existence de la fonction exponentielle

L’existence d’une telle fonction est admise.

Unicité de la solution : Raisonnons par l’absurde en supposant qu’il existe une fonction g différente de telle que :

0

Posons : dérivables sur ,

1 définie et dérivable sur en tant que quotient de deux fonctions ne s’annulant pas.

D’où :

0

²

²

Donc : est une fonction constante.

Déterminons sa valeur : on sait que 0

1,

en conséquence, 1 pour tout réel, d’où l’hypothèse de départ.

Finalement, il existe une unique fonction vérifiant

. En contradiction avec

0

, c’est 1

.

•

Propriété : 0 1.

Soit une fonction dérivable sur vérifie Posons . est dérivable sur en tant que produit de deux fonctions dérivables.

Ainsi, , car

0 Donc .

Or 0 0 0 1 1 1.

D’où : 1. Ainsi, par définition de : 1.

0, alors 0. (*) Si il existe tel que 1.

Or pour tout , 1, en particulier pour Ce qui donne une contradiction avec (*). Donc ne s’annule pas sur .

•

Croissances comparées

Pour montrer que lim est dérivable sur et

∞ , nous allons étudier la fonction 2 .

² sur ] 0, ∞ [.

’ est dérivable sur et

2.

0

ln 2

2

+

1

∞

‐

+∞

2‐2ln(2)>0 2

+

+

1

Donc sur l’intervalle ] 0, ∞ [ , la fonction h est strictement positive. ² 0 En conséquence, on a : ² D’où : Ainsi :

∞ alors

D’après le théorème de comparaison sur les limites, puisque lim lim

∞.

•

0

Utilisons la croissance comparée précédente pour calculer lim Puisque 0 par définition du , il existe un réel tel que : En conséquence : lim

•

lim

X

0 d’après la croissance comparée

précédente.

Prérequis : La fonction exponentielle est dérivable en 0 et exp lim avec

lim

avec

0

1.

. Or la fonction

est dérivable sur

.

En conséquence : lim

lim

.

lim

0

1.

CHAPITRE VI_CONVERGENCE DE SUITES NUMERIQUES

•

THEOREME DE COMPARAISON

deux suites.

Soit et Si pour tout entier naturel supérieur à un certain entier naturel et lim ∞, alors lim ∞.

•

SUITE CROISSANTE NON MAJOREE

Une suite croissante non majorée tend vers ∞.

:

DEMONSTRATIONS

•

THEOREME DE COMPARAISON

Prérequis : Dire qu’une suite a pour limite ∞ signifie que tout intervalle ouvert de la forme , ∞ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. .

Appliquons ce prérequis à notre suite

Puisque lim ∞, alors tout intervalle ouvert de la forme , ∞ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang . , il existe un rang , tel que

C’est‐à‐dire que pour tout Or

, il existe un rang , tel que

, ainsi : pour tout

. .

Donc tout intervalle ouvert de la forme , ∞ contient tous les termes de la suite rang .

à partir du

∞.

C’est la définition de lim

•

SUITE CROISSANTE NON MAJOREE

Prérequis : Dire qu’une suite a pour limite ∞ signifie que tout intervalle ouvert de la forme , ∞ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.

Appliquons ce prérequis à notre suite Soit

.

.

Si la suite était toujours en dessous de , elle serait majorée par . Or par hypothèse la suite n’est pas majorée.

Donc il existe un rang , tel que Pour tout Donc pour tout

,

car la suite est croissante. ,

.

Ainsi, l’intervalle ouvert de la forme

.

, ∞ contient tous les termes de la suite à partir du rang .

CHAPITRE X_CALCUL INTEGRAL

•

Primitive d’une fonction continue

Soit f une fonction continue sur I, et

. Alors

est l’unique primitive de f

qui s’annule en .

•

Croissance de l’intégrale

Si et sont deux fonctions continues sur un intervalle , alors :

, et si pour tout

•

Formule d’intégration par parties (hors programme):

Soient Alors :

deux fonctions dérivables sur ,

.

,

,

DEMONSTRATIONS

•

Primitive d’une fonction continue.

Existence :

Nous supposerons dans cette démonstration que la fonction f est continue et croissante. ¾ Montrons que F définie par

est une primitive de f, ,

ie montrons que pour tout a

. où h est un réel positif.

Pour cela, nous allons calculer le taux d’accroissement suivant : Puisque :

d’après la propriété sur les changements de bornes

de l’intégrale.

(**) d’après la relation de Chasles sur les intégrales.

Or , , en conséquence, .

De plus, puisque f est une fonction croissante, on a : .

Après intégration entre a et a+h et en accord avec la croissance de l’intégrale,

Ce qui se traduit par :

ie : D’où :

et d’après (**),

Faisons tendre h vers 0 : lim

lim

lim

Or lim trivialement, par définition de la continuité de f lim Donc d’après le théorème des gendarmes, on peut conclure que : lim C’est‐à‐dire que la fonction F est dérivable pour tout F est donc bien une primitive de f.

et vérifie

.

0 d’après une convention du cours.

¾ Montrons que F s’annule en :

•

Croissance de l’intégrale

Prérequis : et sont deux fonctions continues sur , 0 sur ,

Si

Pour tout , :

0

, alors .

Posons

.

, alors

. Puisque par hypothèse,

Utilisons le prérequis. Ainsi,

0. D’où,

0.

D’après le prérequis, Par conséquent,

0.

.

0.

Finalement,

•

Formule d’intégration par parties (hors programme):

Soient

deux fonctions dérivables sur un intervalle ,

:

est donc dérivable sur [a,b] Or soit encore pour tout , : en intégrant cette relation entre a et b :

D’où :

Finalement :

CHAPITRE XI_GEOMETRIE DANS L’ESPACE

•

EQUATION DE DROITE

La représentation paramétrique de la droite ∆ passant par D

de vecteur directeur

,

est

•

EQUATION DE PLAN

La représentation paramétrique du plan (P) passant par D

de vecteur normal

est :

0

•

ORTHOGONALITE DANS L’ESPACE est le plan défini par les droites et , sécantes en et de vecteurs directeurs et . ∆ est la droite passant par et de vecteur directeur le vecteur orthogonal aux vecteurs et .

Alors ∆ est orthogonale à toute droite du plan

.

• Soit

DISTANCE POINT PLAN un plan de l’espace d’équation 0. Soit D

égale à :

,

un point de l’espace. Alors la distance de au plan

|

| ²

²

²

.

est

DEMONSTRATIONS

•

EQUATION DE DROITE , ,

Soit

un point de la droite ∆ . Les vecteurs

tel que :

et sont donc colinéaires. Il existe donc

. ,

. D’où :

A l’aide des coordonnées :

,

Finalement,

• Soit écrire :

EQUATION DE PLAN , ,

un point du plan .

. Les vecteurs

et sont donc orthogonaux. On peut donc

0.

A l’aide des coordonnées :

.

0.

0.

D’où :

0. Nous obtenons l’équation voulue en posant

Ainsi : .

La représentation paramétrique du plan (P) passant par D

de vecteur normal

est :

0

•

ORTHOGONALITE DANS L’ESPACE

est le plan défini par les droites et , sécantes en et de vecteurs directeurs et . ∆ est la droite passant par et de vecteur directeur le vecteur orthogonal aux vecteurs et .

Alors ∆ est orthogonale à toute droite du plan Soit

une droite du plan

linéaire des vecteurs

et

.

. Notons son vecteur directeur. Puisque : il existe , tels que :

.

, est combinaison

Montrons que ∆. Calculons pour cela le produit scalaire : . .

0, car est orthogonal aux vecteurs et .

Ainsi, ∆ est orthogonale à

.

.

.

Finalement, ∆ est orthogonale à toute droite

du plan.

•

DISTANCE POINT PLAN

Appelons H plan Ainsi,

le projeté orthogonal de D sur le plan

. Appelons

le vecteur normal au

. .

.

A l’aide des coordonnées,

.

|

|.

D’où : Or Ainsi,

|

.

| 0.

, donc |

|

|

| ²

²

²

.

CHAPITRE XII_PROBABILITES

Soient deux évènements A et B associés à une expérience aléatoire.

•

FORMULE DES PROBABILITES TOTALES

•

INDEPENDANCE Si et sont deux évènements indépendants, alors et le sont aussi.

DEMONSTRATIONS

•

FORMULE DES PROBABILITES TOTALES

Nous savons que l’univers Ω peut s’écrire : Ω Ω

De plus,

Or les évènements En effet, B

A

B

B

B et B

B

B

B. B .

B sont incompatibles.

A B B A

Ainsi,

.

•

INDEPENDANCE

B

B

, car A et B sont indépendants B

1

Par conséquent, et sont aussi indépendants.

CHAPITRE XIII_PROBABILITES A DENSITE

•

LOI EXPONENTIELLE

Soit une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre .

On rappelle que pour tout 1.

0,

.

.

2. X suit une loi de durée de vie sans vieillissement : 3.

.

.

•

ESPERANCE ET VARIANCE DE LA LOI NORMALE STANDARD

Si la variable aléatoire suit la loi normale standard, alors son espérance est 0 et sa variance est 1.

•

INTERVALLE CENTRE EN 0 DE PROBABILITE DONNEE

Z est une variable aléatoire qui suit la loi 0,1 .

Etant donné un nombre , 0 1, il existe un unique nombre strictement positif que :

1 .

tel

DEMONSTRATIONS

•

LOI EXPONENTIELLE

Soit une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre .

On rappelle que pour tout 1

0,

.

1

1

..

X suit une loi de durée de vie sans vieillissement : .

lim

lim

.

. Ainsi est dérivable et

Posons

.

.

Donc :

.

Par conséquent, 0 .

D’où : Revenons à l’expression de l’espérance : lim

lim

0

.

•

ESPERANCE ET VARIANCE DE LA LOI NORMALE STANDARD ²

Posons

√

la fonction de Laplace‐Gauss (densité de la loi normale standard)

. Or est dérivable sur donc :

Vérifions que ²

Soit

.

. D’où :

√

0.

0

lim

Donc : lim Soit

√

√

√

lim

√

.

√

√

√

.

0. lim

lim

√

√

√

.

Par ailleurs, lim

lim

√

√

0.

•

INTERVALLE CENTRE EN 0 DE PROBABILITE DONNEE

Prérequis : Si Z est une variable aléatoire suivant la loi standard est continue et strictement croissante. De plus, elle vérifie :

0,1 , sa fonction de répartition

0

1.

et lim

Soit

0,1 . Démontrons qu’il existe un nombre strictement positif 1

Si 0

et un seul tel que

.

1

1,

1.

La fonction est continue et strictement croissante sur 0, ∞ .

0, ∞

Son intervalle image

, 1 contient .

D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation solution notée Ainsi, 2 1

1

.

1

1

possède une unique

1

.

2

1

CHAPITRE XIV_STATISTIQUES – ESTIMATION

•

INTERVALLE DE FLUCTUATION ASYMPTOTIQUE AU SEUIL 1

Pour tout nombre Alors la probabilité

0,1 , on pose tend vers 1

√

;

√

lorsque tend vers ∞.

.

.

DEMONSTRATIONS

•

INTERVALLE DE FLUCTUATION ASYMPTOTIQUE AU SEUIL 1

.

Soit une variable aléatoire suivant la loi binomiale Laplace : lim

1

1

ce qui signifie Finalement,

.

1 1

équivaut à : en divisant par

, donc d’après le théorème de Moivre‐

,

Or équivaut à :

,

0 :

1

√

, avec tend vers 1

√

. lorsque tend vers ∞.