La vida y Obra de Alan Turing

La vida y la obra de Alan Turing Ricardo Pe˜ na Mar´ı Catedr´atico de Universidad de Lenguajes y Sistemas Inform´aticos Departamento de Sistemas Inform´ aticos y Computaci´ on Universidad Complutense de Madrid

Seminario de Historia de la Matem´atica 2012/13, UCM 9 de enero de 2013

Ricardo Pe˜ na (UCM)

La vida y la obra de Alan Turing

SHM-UCM, 9 enero 2013

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Outline 1

Infancia y juventud

2

Cambridge y Princeton: las M´aquinas de Turing

3

La Segunda Guerra Mundial: Enigma y Bombas

4

El NPL, Manchester, y el nacimiento de los computadores

5

Inteligencia artificial y morfog´enesis

6

Persecuci´on, crisis y muerte prematura

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Infancia y juventud

Infancia y juventud

• Su padre Julius trabajaba en el Indian Civil

Service y estaba destinado en Madr´as (India).

• Alan Mathison Turing naci´ o el 23 de Junio de

1912 en Londres. Sus padres estuvieron el primer a˜ no con ´el y luego partieron de nuevo a la India, dejando a sus hijos al cuidado de un matrimonio amigo, los Ward.

• Tan solo se reencontraban en vacaciones, que

pasaban en Irlanda o en Inglaterra.

• Pincelada sobre su personalidad a los 7 a˜ nos:

¿donde tienen las abejas su colmena?

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Infancia y juventud

El instituto

Sherborne school

• Estudi´ o en el Instituto Privado de Sherborne, una peque˜ na villa cerca de • • • •

Southampton.

Ten´ıa curiosidad por muchas cuestiones (qu´ımica, inventos), pero descuidaba las asignaturas que no le interesaban (la mayor´ıa).

Sacaba malas notas. A veces sus profesores se burlaban de ´el por su aspecto desali˜ nado, sus perennes manchas de tinta y su timidez.

Otra pincelada: le´ıa a Einstein a los 17 a˜ nos, ¡y lo entend´ıa!

Tuvo un gran amigo, Christopher Morton, con el que compart´ıa sus inquietudes cient´ıficas: astronom´ıa, matem´aticas, qu´ımica.

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Cambridge y Princeton: las M´ aquinas de Turing

Cambridge

• Despu´ es de Gotinga (Alemania), Cambridge

era el centro de las matem´aticas mundiales.

• Alan consigui´ o una beca e inici´ o estudios de

Grado en el King’s College.

• All´ı se interes´ o por los fundamentos de las

Matem´aticas y el “programa” de David Hilbert. Ley´ o a Gottlob Frege, Bertrand Russell, Kurt G¨ odel y John von Neumann.

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Cambridge y Princeton: las M´ aquinas de Turing

Cambridge • Tras el ascenso de Hitler al poder, en 1933

pasaron por Cambridge, camino de los Estados Unidos, Born, Courant, Shr¨ odinger, y von Neumann, entre otros, y asisti´ o a sus conferencias.

• En su trabajo de graduaci´ on (1934) demostr´ o,

sin conocer que ya lo estaba, el llamado Teorema Central del L´ımite, de importancia en Estad´ıstica.

• Su primera publicaci´ on en 1935 se inspir´ o en

un trabajo de von Neumann sobre teor´ıa de grupos. El propio von Neumann le anim´ oa pedir una beca para una estancia en Princeton (EE.UU.).

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Cambridge y Princeton: las M´ aquinas de Turing

El programa de Hilbert En los Congresos de Matem´aticas de 1900 y 1928 David Hilbert (Gotinga), propuso entre otros los siguientes problemas para ser resueltos en el nuevo siglo: ¿Es la aritm´etica consistente? ¿Se puede deducir de sus axiomas cierto = falso, o 1 = 0? ¿Es la aritm´etica completa? ¿Se puede deducir cualquier verdad de la teor´ıa a partir de sus axiomas y reglas de deducci´ on? ¿Es la aritm´etica decidible? ¿Se puede validar o refutar cualquier teorema mediante un “procedimiento efectivo”?

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David Hilbert

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Cambridge y Princeton: las M´ aquinas de Turing

El art´ıculo de 1936

• El teorema de G¨ odel (1931)

hab´ıa dejado claro que si la aritm´etica era consistente, no era completa, es decir conten´ıa verdades no deducibles.

• El art´ıculo de Turing de 1936

contest´ o en negativo a la tercera pregunta: la aritm´etica contiene problemas que no son solubles mec´anicamente.

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La M´aquina de Turing • Su noci´ on de “procedimiento

efectivo” • S´ımil con un calculador humano • La cinta simboliza una fuente

inagotable de papel • La cabeza lectora/escritora, el

punto de atenci´on • Los estados, las fases del c´ alculo • La funci´ on de control, los pasos

elementales del c´omputo • Insistencia en que el alfabeto de

s´ımbolos ha de ser finito • El conjunto de estados, tambi´ en • La funci´ on de control puede

modelizarse como un conjunto finito de tuplas (s1 , q1 , s2 , q2 , M), con M ∈ {L, R, N}.

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Cambridge y Princeton: las M´ aquinas de Turing

¿Hay m´as n´umeros reales que M´aquinas de Turing (MT)?

• Llam´ o n´ umeros reales computables a aquellos para los que puede construirse

una MT que calcule√una tras otra todas sus cifras, si se le deja tiempo suficiente. Ejs: π, 2, log3 5, etc.

• Ide´ o un modo de codificar cada MT mediante un n´ umero natural u ´nico.

• Es decir, pod´ıa representar n´ umeros reales de infinitas cifras mediante una

descripci´ on finita. ¿Pod´ıan representarse as´ı todos los reales?.

• Era obvio que no hab´ıa m´ as MTs que n´ umeros naturales.

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El problema de parada

• George Cantor (1845-1918) ya hab´ıa demostrado que hab´ıa “muchos m´ as”

reales que naturales, es decir no se pueden poner en correspondencia biun´ıvoca unos con otros.

• La conclusi´ on obvia es que hay reales no computables. Eso ya indicaba que

deb´ıa haber problemas no solubles por sus MT. • De hecho encontr´ o el m´as paradigm´atico, el problema de parada: No existe

una MT que, dada la descripci´ on de una MT cualquiera (mediante su n´ umero u ´nico) y una configuraci´ on inicial de la cinta para dicha MT, determine si la MT se parar´a o no ante dicha cinta.

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La M´aquina de Turing Universal • Turing pens´ o que sus MT capturaban la noci´ on de procedimiento efectivo,

funci´ on computable, o simplemente algoritmo.

• Cada MT era una m´ aquina especializada en un algoritmo concreto,

determinado por su funci´ on de control.

• Pero Turing fue m´ as all´a e ide´ o una m´aquina universal que era capaz de

emular a cualquier otra: 1 2

3

Recib´ıa en su cinta la descripci´ on de la MT a emular, convenientemente codificada.

Recib´ıa en otra parte de la cinta (o en otra cinta, ya que prob´ o que el n´ umero de cintas era indiferente para la potencia de las MTs), los datos tal como los esperaba la MT emulada.

A partir de ah´ı se comportaba como lo har´ıa la MT emulada ante esos datos.

• Si consideramos la descripci´ on de la MT emulada como el “programa”, hab´ıa

ideado una M´aquina Universal programable, con el programa almacenado en memoria.

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Cambridge y Princeton: las M´ aquinas de Turing

Princeton, New Jersey, 1936-38

• En 1936 lleg´ o a Cambridge un art´ıculo de A.

Church y S. Kleene resolviendo en negativo el problema de decisi´ on de Hilbert, por un camino muy diferente al de Turing.

• Max H. Newman consider´ o no obstante que el

trabajo de Turing merec´ıa ser publicado. A la vez, escribi´ o a Church pidiendo que permitiera a Turing trabajar con ´el.

Alonzo Church

• Alan march´ o Princeton e hizo una tesis doctoral

con Church. Trabaj´ o con von Neumann, y conoci´ o a otros cient´ıficos emigrados de Alemania.

Univ. de Princeton

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Cambridge y Princeton: las M´ aquinas de Turing

La funci´on-Z de Riemann • Se interes´ o por la teor´ıa de n´ umeros.

Plane´ o la construcci´ on de una m´aquina para refutar la conjetura de la funci´ on-Z de Riemann (distribuci´ on de los primos).

• Ante lo inevitable de la guerra, redobl´ o

su inter´es por la criptograf´ıa: m´etodo de cifrado basado en multiplicar por grandes n´ umeros y multiplicador binario con rel´es.

• Rechaz´ o una oferta de von Neumann y regres´ o a Cambridge, donde le hab´ıan renovado su beca.

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Funci´ on-Z

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La Segunda Guerra Mundial: Enigma y Bombas

Bletchley Park • La GCCS (Government Code and Cipher School),

agencia del Servicio Secreto, estableci´ o a 60 Km de Londres su centro de desciframiento de mensajes. En Bletchley Park llegaron a trabajar hasta 10.000 personas.

• En Agosto de 1939, Alan fue reclutado entre

otros profesores, como experto en criptograf´ıa.

• El problema central era la m´ aquina Enigma,

usada por Alemania desde los a˜ nos 20 y de la que exist´ıan versiones comerciales.

Bletchley Park

• Los matem´ aticos polacos llevaban 7 a˜ nos de

ventaja a los brit´anicos y hab´ıan construido unas m´aquinas electromec´anicas, las Bombas, para ayudar a descrifrar los mensajes de Enigma.

Enigma Ricardo Pe˜ na (UCM)

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La Segunda Guerra Mundial: Enigma y Bombas

Enigma

• El emisor tecleaba un mensaje como en una

m´aquina de escribir. Enigma sustitu´ıa cada letra por otra.

• Cada rotor hac´ıa una sustituci´ on distinta seg´ un

su cableado y ten´ıa 26 posiciones iniciales, lo que daba 26 × 26 × 26 = 17.576 configuraciones iniciales distintas.

Rotores

• Al pulsar una tecla, el rotor m´ as externo

avanzaba una posici´ on y generaba otra sustituci´ on. Cada 26 avances de un rotor, se provocaba un avance del siguiente.

Cableado rotores

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La Segunda Guerra Mundial: Enigma y Bombas

Enigma

• Un panel de conexiones conectaba ciertas parejas

de letras entre s´ı, lo que daba una sustituci´ on adicional antes del primer rotor y otra despu´es del u ´ltimo.

• Un anillo m´ ovil de letras en cada rotor (×17.576).

• Los rotores eran intercambiables (×6

Teclado

permutaciones).

• La codificaci´ on era sim´etrica: el receptor solo

ten´ıa que teclear el mensaje encriptado en una Enigma configurada igual que la Enigma emisora, y aparec´ıa el texto original.

Panel

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El uso de Enigma

´ • Ordenes diarias secretas para: (1) orden de los rotores; (2) posici´on de los anillos; (3) panel de conexiones; y (4) estado inicial de cada rotor.

• Antes de cada mensaje, el operador escog´ıa al azar una nueva posici´ on de los

rotores, digamos XYZ, transmit´ıa XYZXYZ en la configuraci´on del d´ıa, colocaba los rotores en XYZ y transmit´ıa el resto del mensaje.

• Los polacos usaron esa redundancia para descubrir la clave: coleccionando

suficientes mensajes, y analizando las 6 primeras letras, establec´ıan una “huella dactilar” u ´nica para la configuraci´ on del d´ıa. Tabularon las huellas en fichas perforadas.

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La Segunda Guerra Mundial: Enigma y Bombas

El uso de Enigma • El m´ etodo era dependiente del uso de Enigma.

Cuando cambi´ o ese uso en Septiembre de 1938, sus fichas se volvieron in´ utiles.

• Con los nuevos indicadores de 9 letras

encontraron otro tipo de huellas. Sus Bombas exploraban las 17.576 configuraciones de los rotores y se paraban al encontrar la huella buscada.

• Ten´ıan 6 Bombas, una por cada permutaci´ on

de los tres rotores. El m´etodo segu´ıa dependiendo del uso. Adem´as no trataban el panel de conexiones.

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Bomba en operaci´ on

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La Segunda Guerra Mundial: Enigma y Bombas

Las Bombas • En Diciembre de 1938, los alemanes

aumentaron de 3 a 5 el juego de rotores.

Ahora hab´ıa 60 variaciones de 3 rotores, lo que implicaba 60 Bombas. Tambien aumentaron de 6 a 10 las conexiones del panel.

• La primera contribuci´ on de Turing fue

generalizar las Bombas para que no dependieran de los indicadores ni del panel.

La idea era suministrarle hip´ otesis en base al texto del mensaje y que ella descartara las combinaciones que entraban en conflicto con ellas.

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Bombas reconstruidas en Bletchley Park

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La Segunda Guerra Mundial: Enigma y Bombas

Las Bombas

• Las nuevas Bombas empezaron a construirse

en 1940. Turing dise˜ no´ la mayor´ıa de los circuitos.

• En 1940 pas´ o a dirigir “Hut-8”, equipo

responsable de la Enigma naval, que ten´ıa un juego de 8 rotores, a elegir 3: 336 variaciones.

• Dise˜ n´ o otras Bombas m´as generales que

funcionaban por probabilidad. Desarroll´ o una teor´ıa matem´atica espec´ıfica.

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Bombas reconstruidas en Bletchley Park

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Nuevos retos

• Tras varias capturas de submarinos, comprendieron mejor la Enigma naval y

consiguieron descifrar los mensajes en el d´ıa. Felicitados por Winston Churchill en 1941.

• “Apag´ on” en Febrero de 1942 al introducir los alemanes un cuarto rotor, esta

vez fijo: ×26. Los hundimientos en el Atlantico Norte alcanzaron cifras insostenibles.

• Se plantearon el uso de circuitos electr´ onicos para aumentar la velocidad.

• Nuevo c´ odigo secreto Fish para los mensajes del alto mando alem´an:

m´aquina con 12 rotores, uso de cinta de papel y doble cifrado.

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La Segunda Guerra Mundial: Enigma y Bombas

La era electr´onica

• Errores alemanes les permitieron conocer la estructura de la m´ aquina de Fish

sin haber capturado ninguna.

• Max Newman (Cambridge) y Tommy Flowers (Postal Office) encargados de

dise˜ nar la m´aquina electr´ onica para descifrar Fish: Colossus.

• Turing contribuye con m´ etodos estad´ısticos. Completada en 1943. Se

construyeron 11 Colossus.

• A finales de 1942, Turing es enviado a EE.UU. por unos meses a entrenar a

los analistas americanos en Enigma, a estudiar electr´ onica y a dise˜ nar un m´etodo irrompible para cifrar voz.

• Se estima que las contribuciones de Alan Turing al desciframiento de

mensajes, acortaron la Guerra en dos o tres a˜ nos.

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El NPL, Manchester, y el nacimiento de los computadores

El National Physical Laboratory (NPL) • El principal objetivo de Turing al acabar la guerra era

construir un computador real con programa almacenado.

• En 1945 se complet´ o en EE.UU. la ENIAC, (electr´ onica,

J. Eckert, J. Mauchly, J. von Neumann) para calcular trayectorias bal´ısticas. No era programable, aunque si m´as vers´atil que Colossus.

Colossus 1943

• El equipo de ENIAC comenz´ o a dise˜ nar la EDVAC, cuya

novedad ser´ıa almacenar el programa en memoria. En Junio de 1945, firmado por von Neumann, se public´ o Draft on a report on the EDVAC. • El report fue conocido por el NPL y el jefe de la Divisi´ on

John von Neumann

de Matem´aticas (Londres) llam´ o a Turing para encargarle un proyecto similar.

• Turing acept´ o el encargo y escribi´ o un dise˜ no muy

detallado a finales de 1945. La m´aquina se llamar´ıa ACE (Automatic Computing Engine).

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ENIAC 1945 SHM-UCM, 9 enero 2013

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El NPL, Manchester, y el nacimiento de los computadores

Los primeros computadores con programa almacenado • Turing trabaj´ o en la ACE hasta mediados de 1947. La

mala gesti´ on del NPL, las dificultades ingenieriles y la dif´ıcil comunicaci´ on con Turing, hicieron que este abandonara. A´ un as´ı, el proyecto se complet´ o en 1950.

Ten´ıa una memoria de l´ıneas de retardo de mercurio.

• Freddie Williams y Tom Kilburn, inicialmente

ACE 1950

subcontratados por el NPL, completaron un primer prototipo en la Universidad de Manchester. La memoria era un tubo de rayos cat´ odicos almacenando 2.048 bits.

• Maurice Wilkes, de la Universidad de Cambridge, tras

unos contactos iniciales con el NPL, emprendi´ o su propio proyecto. La EDSAC fue el primer computador digno de tal nombre. Su memoria era de l´ıneas de retardo.

Manchester Baby 1948

• La EDVAC de von Neumann se complet´ o en 1951,

tambi´en con memoria de l´ıneas de retardo.

EDSAC 1949

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El NPL, Manchester, y el nacimiento de los computadores

Caracter´ısticas de la ACE • Desde el principio descart´ o una memoria de v´alvulas y se decant´o, o por un

tubo de rayos cat´ odicos (a desarrollar por Williams), o por l´ıneas de retardo.

• Decidi´ o un dise˜ no que minimizaba el hardware (caro) a costa de hacer m´as

cosas por software, incluidas las operaciones aritm´eticas. En ese sentido se separaba de la l´ınea dominante de EDVAC y EDSAC. • Deb´ıa trabajar en binario. Escribi´ o rutinas para transformar a/desde decimal.

´ • Enfasis en la rapidez. Reloj de 106 pulsos/seg.

• En lugar de incluir una instrucci´ on de salto condicional, la simul´o a base de

automodificar el programa. Inspir´andose en sus MT, trataba las instrucciones como n´ umeros manipulables.

• Invent´ o el concepto de subrutina (“tablas” de instrucciones) que se llamaban

entre s´ı jer´arquicamente. Invent´ o dos instrucciones, BURY y UNBURY, que apilaban y desapilaban direcciones de retorno.

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El NPL, Manchester, y el nacimiento de los computadores

En la Universidad de Manchester

• En 1948, su profesor y amigo Max Newman le ofreci´ o

un puesto en la Universidad de Manchester para trabajar a las o´rdenes de Williams en el nuevo computador.

• All´ı se dedic´ o sobre todo a programar rutinas, aunque

Turing ante la consola de la Mark I

tuvo alguna influencia en el sucesor del “Baby”, la Ferranti Mark I, que ten´ıa ya tres tubos de Williams y un tambor magn´etico para almacenar datos y programas.

• En esta ´ epoca escribi´ o Checking a large routine, primer

precedente hist´ orico del uso de la l´ ogica de predicados para razonar sobre los programas.

Freddie Williams

• Con esta m´ aquina demostr´ o que los primeros 1.540 ceros

de la funci´ on-Z de Riemann estaban en la recta cr´ıtica.

Mark I 1951 Ricardo Pe˜ na (UCM)

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Inteligencia artificial y morfog´ enesis

Los fundamentos de la Inteligencia Artificial

• Turing escribi´ o dos art´ıculos, que

despu´es han sido ampliamente citados: Intelligent Machinery (1948) y Computing Machinery and Intelligence (1950).

• En el primero establece las bases del conexionismo y del aprendizaje artificial por medio del entrenamiento. Esta l´ınea ha fructificado actualmente en lo que se conoce como redes neuronales.

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La vida y la obra de Alan “Computing Turing

Machinery” 1950 9 enero 2013 SHM-UCM,

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Inteligencia artificial y morfog´ enesis

The Imitation Game

• El segundo es de car´ acter m´as

filos´ ofico y se plantea la pregunta de si es posible emular la inteligencia en una m´aquina.

• Aqu´ı es donde propone el conocido

Test de Turing en el que una m´aquina intenta confundir a un observador, que solo puede leer sus respuestas, haci´endole creer que es un humano.

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El Test de Turing

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Inteligencia artificial y morfog´ enesis

Modelos de morfog´enesis

• Cumplido su sue˜ no de contribuir a la creaci´ on y

programaci´ on de m´aquinas reales, su atenci´ on se dirige hacia otra de sus inquietudes cient´ıficas: las matem´aticas de la formaci´ on de patrones biol´ ogicos.

A. M. Turing en 1948

• ¿C´ omo se elige una direcci´ on privilegiada en la

gastrulaci´ on? ¿C´ omo se forman las manchas en la piel de algunos animales? ¿Por qu´e est´an presentes los n´ umeros de Fibonacci en las pi˜ nas y en los girasoles?

Gastrulaci´ on

Manchas Ricardo Pe˜ na (UCM)

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Inteligencia artificial y morfog´ enesis

El modelo en acci´on

• Plantea un sistema de ecuaciones

diferenciales que modelan la interacci´ on de dos agentes qu´ımicos o morfogenes: un activador y un inhibidor.

• Su trabajo de 1952, The Chemical Basis of

Morphogenesis, muestra convincentemente que esos patrones son soluci´ on de sus ecuaciones.

• Recientemente (Nature Genetics, Feb.

2012) se han identificado con precisi´ on el mecanismo y los morfogenes predichos por Turing.

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Persecuci´ on, crisis y muerte prematura

Persecuci´on, crisis y muerte prematura • Un amigo de un amante ocasional rob´ o en su casa y Turing lo denunci´o a la

•

• • •

polic´ıa. En el interrogatorio la polic´ıa se centr´ o en su homosexualidad, que ´el no trat´ o de ocultar.

La combinaci´ on de haber “cometido” lo que en la Inglaterra de la ´epoca era un grave delito, ser poseedor de importantes secretos militares, y la atm´osfera de guerra fr´ıa de esos a˜ nos, hizo que fuera juzgado y condenado.

Se le dio a elegir entre la c´arcel y la castraci´ on qu´ımica. Fue sometido a un fuerte tratamiento hormonal que le ocasion´ o varias crisis depresivas.

Al mismo tiempo, sus visitas eran investigadas y la polic´ıa le ten´ıa bajo una estricta vigilancia.

Fue encontrado muerto en su cama el 8 de Junio de 1954, envenenado por una manzana a medio comer impregnada en cianuro. Seg´ un su madre, su muerte fue accidental, pero la mayor´ıa de los historiadores y la propia polic´ıa diagnosticaron suicidio.

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Persecuci´ on, crisis y muerte prematura

El legado de Turing Los inform´aticos somos herederos de los campos que el abri´o para la ciencia. Nos dej´o muchos ejemplos: su generosidad, su desprendimiento de las cosas mundanas, y sobre todo, su pasi´ on ilimitada por el conocimiento.

Estatua de Alan Turing en Bletchley Park

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