Homotecia (E.F.I.C.A = Enseñanza de la Física a través del Cálculo)

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ÍNDICE CRONOLÓGICO DE LA MATEMÁTICA (Parte III) La cronología entre 1 DC y 500 DC

Aproximadamente 1 DC: El matemático chino Liu Hsin utiliza las fracciones decimales.

Aproximadamente 20 DC: Geminus escribe varios textos sobre astronomía y “La Teoría de la Matemática”. Él intenta demostrar el postulado de las paralelas.

Aproximadamente 50 DC: El matemático chino Sol-tzi presenta el primer ejemplo conocido de una ecuación indeterminada.

Aproximadamente 60 DC: Heron de Alejandría escribe “Métrica” (Dimensiones). Contiene las fórmulas para el cálculo de áreas y volúmenes.

263 DC: Utilizando un polígono regular de 192 lados, Liu Hui calcula el valor de π como 3.14159 que es correcto hasta la quinta cifra decimal.

301 DC: Iamblichus escribe sobre astrología y misticismo.

Su “Vida de Pitágoras” resulta una historia fascinante.

340 DC: Papus de Alejandría escribe Synagoge (Colecciones) que es una guía para la geometría griega.

390 DC: Theon de Alejandría produce una versión de los Elementos de Euclides (con algunos cambios textuales y adiciones) en la cual se basarán las posteriores ediciones.

Aproximadamente 90 DC: Los chinos inventan los cuadrados mágicos.

Aproximadamente 400 DC: Hypatia escribe los comentarios sobre Diofanto y Apolonio. Ella es la primera mujer matemática registrada y se distingue como estudiosa.

Ella lideró la escuela Neo-platónica de Alejandría.

Aproximadamente 90 DC: Nicomachus de Gerasa escribe Arithmetike eisagoge (Introducción a la Aritmética) qué es el primer trabajo que trata a la aritmética como un tema separado de la geometría.

450 DC: Proclus, matemático y Neo-platónico, es uno de los últimos filósofos en la Academia de Platón en Atenas.

Aproximadamente 100 DC: El texto clásico chino de matemática Jiuzhang Suanshu (Nueve Capítulos sobre el Arte Matemático) comienza a ser complilado.

Aproximadamente 110 DC: Menelao de Alejandría le escribe Sphaerica que trata sobre triángulos esféricos y su aplicación a la astronomía.

Aproximadamente 150 DC: Tolomeo produce muchos resultados geométricos importantes con aplicaciones en la astronomía. Su versión de astronomía será aceptada durante más de mil años.

Aproximadamente 250 DC: La civilización maya de Centroamérica utiliza un sistema de numeración posiciónvalor de base 20.

250 DC: Diofanto de Alejandría escribe Arithmetica, un estudio sobre problemas de teoría de número en que sólo los números racionales se permiten como soluciones.

Aproximadamente 460 DC: Zu Chongzhi da la aproximación 355/113 a π que es correcto hasta la sexta cifra decimal.

499 DC: Aryabhata I calculó π como 3.1416. Él produce su Aryabhatiya, un tratado sobre ecuaciones cuadráticas, el valor de π , y otros problemas científicos.

Aproximadamente 500 DC: Metrodorus compila Greek Anthology (Antología Griega) que consiste en 46 problemas matemáticos.

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TRABAJANDO EN CÁLCULO

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN Derivadas de Orden Superior.df

Sea f una función derivable en el intervalo (a, b) y sea

su derivada, se define como la derivada de segundo orden de f para

dx

cualquier

x ∈(a, b )

a:

 df ( x + h ) − Lim  dx h→0 h 

Se puede denotar como:

Esto es:

df ( x ) dx

  si el límite existe.  

d2 f = f ´´(x ) = y´´= D x2 y . dx 2

 df (dxx + h ) − dfdx( x )  d2 f 2  . = f ´´( x ) = y ´´ = D y = Lim x  h →0  h dx 2  

Análogamente se pueden definir derivadas para órdenes mayores o superiores, siempre y cuando los límites existan:

d d3 f 3 = f ´´´(x) = y´´´= D x y = Lim  Tercer Orden: 3 h→0  dx  d4 f = f Cuarto Orden : dx 4

(4)

( x) = y ( 4)

2

− d dxf 2( x )   h 

f ( x+h) dx 2

d 4 = D x y = Lim  h→0  

3

2

− d dxf (2 x )   h 

f ( x + h) dx

3

3

.

M d n −1 f Orden ( n − 1) : = f dx n −1

( n −1)

( x) = y

dn f Orden n o Enésimo Orden : = f dx n

( n −1)

(n)

=D

n −1 x

( x) = y ( n )

d y = Lim  h→0  

n−2

n−2

− d dx nf− 2( x )   h 

f ( x+h)

dx n − 2

d n = D x y = Lim  h →0  

n −1

dx

n −1

n −1

− d dx nf−(1 x )   h 

f ( x+ h)

Una forma práctica de obtener derivadas de Órdenes Superiores es la obtención de derivadas sucesivas de la función aplicando las reglas para la derivación de funciones.

Prof. Rafael Ascanio H.

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POSTGRADO Trabajos finales (I) E.F.I.C.A = Enseñanza de la Física a través del Cálculo Lic. Nolberto Goncalves R Departamento de Matemática – F. A. C. E. (Email: nolbertogoncalves@hotmail.com / ngoncalv@postgrado.uc.edu.ve )

La estrategia EFICA para la enseñanza de la Cinemática basada en los conocimientos previos de Cálculo I, surge por experiencia propia del autor como docente impartiendo la asignatura Física I, actividad en la que detectó las limitantes que presentan los alumnos en el aprendizaje de la Cinemática y la importancia que tienen los conocimientos previos de Cálculo I en este proceso, además, esta es una asignatura que el futuro Licenciado en Educación – Mención Matemática, cursó en sus semestres previos. En consecuencia, partiendo del hecho de la existencia de una fuerte relación entre la Física y el Cálculo, y que el aprendizaje de la Física se ha caracterizado por ser memorístico y formulístico, se está diseñando la estrategia EFICA, fundamentada en una investigación documental y tomando como base teórica, el Aprendizaje Significativo de David Ausubel, que confiere importancia a los conocimientos previos del aprendiz. Esta propuesta forma parte del trabajo de grado que el autor realiza actualmente para aspirar al titulo de Magíster en Educación Matemática, Área de Estudios de Post-Grado de la Universidad de Carabobo.

La estrategia está estructurada en tres partes fundamentales: 1.- Datos de identificación e instrucciones.

2.- Desarrollo de los contenidos previos de Cálculo I. 3.- Desarrollo de los tópicos de la Cinemática, considerando los aspectos de la parte anterior.

Es importante mencionar que el eje central de la estrategia se visualiza en el siguiente esquema:

INTEGRAR

DERIVAR

(Cálculo I)

r X ( Desplazamiento ) r V (Velocidad ) r a ( Aceleración)

(Cálculo II)

Es así como, a través de los conocimientos previos de Cálculo I y Cálculo II, los alumnos tienen la posibilidad de adquirir un aprendizaje más significativo, menos memorístico; puesto que, en algunos casos, el contenido de la cinemática se ha limitado a la memorización de las siguientes fórmulas: r r r r V f = V0 + a t x r v = r 2 r2 r V = V + 2 av X t f

0

r r 1 r X = V 0 .t + .a .t 2 2 La estrategia se encuentra actualmente en su primera fase: empleando los conocimientos previos de Cálculo I para la enseñanza de la Cinemática; la segunda fase consistirá en el uso de los conocimientos previos de Cálculo II en la enseñanza de la Cinemática. Esto debido a que el proceso de derivación es consecuencia de un proceso de límite muy particular (límite del cociente incremental), todo esto estudiado a profundidad en Cálculo I; mientras que, el proceso contrario de la derivación, también llamado antidiferenciación es la integración, el cual tiene su estudio detallado en la asignatura Cálculo II. Esta estrategia se puede aplicar a niveles más básicos (9no grado y 1er año de Ciencias) pero con algunas modificaciones, ya que los procesos de derivación e integración, generalmente, no son pertinentes a estos niveles. La estrategia en este nivel estará basada en el análisis de las gráficas:

(r )

(r )

(r )

desplazamiento-tiempo x, t , velocidad-tiempo v, t y aceleración-tiempo a, t ; de forma tal que el alumno emplee los conocimientos básicos matemáticos que le permitan diferenciar un movimiento rectilíneo uniforme de un movimiento variado, ya sea retardado o acelerado; además del cálculo de áreas bajo los gráficos. Sin embargo, se presentan excepciones, debido a que existen colegios privados que imparten el contenido referente a límites y derivadas de una forma sencilla, en el segundo año de ciencias; además de Escuelas Técnicas Industriales que imparten este contenido en el último nivel de su enseñanza.

En fin, lo que se pretende es que la Matemática sea el punto de partida que permita al alumno conocer y estudiar una de las ramas de la Matemática aplicada mas importantes como lo es la Física. Además por ser la Física una disciplina exigente donde la comprensión en oposición a la memorización, es uno de los retos mayores que presentan los alumnos, ya que la solución de los problemas no involucra sólo la memorización y aplicación automática de fórmulas y manipulación memorística de símbolos; sino algo más como lo es el dominio previo de principios matemáticos.

Esta estrategia beneficia a los docentes en sus planes de enseñanza, contribuyendo a un mejor desempeño por parte de los alumnos. Es así como, el futuro profesional de la docencia se va formando en un ambiente enriquecido, soslayando el culto a la transmisión mecánica y rutinaria de unos apuntes que no aportan grandes innovaciones metodológicas. Además en el afán hacia el desarrollo del país, las instituciones, y en este caso particular, la Universidad de Carabobo, debe garantizar la formación de un producto de alta calidad humana, científica e intelectual, para lo cual es necesario realizar constantemente, estudios similares al presente para introducir innovaciones que permitan crear un nuevo ambiente de aprendizaje en el aula, culturalmente y contextualmente más eficaz y pedagógicamente más estimulante.

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TRABAJANDO EN ÁLGEBRA Br. Liliana Mayorga - Br. María Ferreira Mención Matemática – F. A. C. E. Teoremas y Métodos de Demostraciones Parte I: Teoremas EL MUNDO DE LA MATEMÁTICA es ya el mundo en que vivimos, y lo será en mayor medida para las próximas generaciones. La frase de Galileo según la cual el libro de la naturaleza está escrito con caracteres matemáticos ha resultado tener la permanente verdad de las metáforas poéticas más auténticas. Para demostrar dichas verdades fue necesario crear TEOREMAS, que se definen como procedimientos mediante los cuales una vez aceptada la verdad de la hipótesis, se demuestra la tesis.

Un teorema puede expresarse de la siguiente manera: A ⇒ B ¿Qué nos indica?: “La hipótesis (A) implica ( ⇒ ) la tesis (B)”.

Clasificación formal de los Teoremas.

Existen cuatro tipos formales de teorema: 1.- Teorema directo o condición suficiente, que se expresa: M ⇒ N 2.- Teorema Recíproco o condición necesaria que se expresa: N ⇒ M Es necesario señalar que al cumplirse los dos teoremas (Directo y Recíproco) simultáneamente, se cumple con la condición necesaria y suficiente (Equivalente), es decir: A ⇒ B ≡ (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A) 3.- Teorema Contrario, se expresa: – M ⇒ - N 4.- Teorema Contra reciproco: N ⇒ - M Este último teorema es aplicado en la llamada demostración por REDUCCIÓN AL ABSURDO, que estudiaremos más adelante.

Bibliografía consultada: Zambrano, J.; González, O., y González, M. (1997). “Aspectos Básicos de Matemática”. Valencia. U. C.

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