Pitágoras y Arquímedes by Noticia De Creacion

PITÁGORAS Y ARQUÍMEDES

Virginia L. González – Carlos A. D’Orio

Pitágoras y Arquímedes De la ciencia de la Grecia arcaica A la Ciencia de la Grecia helenística.

a-e-i-o-u- Ediciones Cuaderno Nº 77

A, e, i, o, u. Biblioteca. Popular. Digital. Artesanal. Dirigida por Roxana Barth y Carlos A. D’Orio. Bibliotecarios. Este libro puede ser reproducido total o parcialmente, por todos los medios conocidos, dando fe de su origen y no ser con fines de lucro. Se entregarán como “Noticia de creación” un ejemplar a una o dos bibliotecas populares www.noticiadecreacion.blogspot.com noticiadecreacion@gmail.com carlosdos77@yahoo.com.ar

PRÓLOGO El hombre puede conocer con el pensamiento el mundo que lo rodea porque su pensamiento discurre de la misma manera que los fenómenos de la naturaleza. Las leyes más generales del pensamiento y de la conciencia son las mismas que rigen a todos los fenómenos naturales. Tratamos de demostrar que la matemática no es una ciencia y sí, el lenguaje de las ciencias. Esta surge, después de la escritura, como primera forma del pensamiento científico. Sólo una vez desarrollado este lenguaje pueden surgir las ciencias. El grado de desarrollo de las fuerzas productivas y con él, el desarrollo político, económico, social, es la base real del hacer científico. Pero es necesaria una relativa independencia de la ciencia respecto a la utilidad de los resultados para que esta pueda desarrollarse. Pitágoras busca descubrir en los números el lenguaje del universo y ve en los números en si la vida de ese universo. Descubre así el lenguaje que une los fenómenos de las cosas con el fenómeno humano. Con Pitágoras se inicia el camino que conduce por un lado a Arquímedes. Pitágoras es el primer filósofo que muestra un fenómeno natural en su correcta correlación matemática. Arquímedes continuando esto busca en la observación y la experiencia la base para el conocimiento y en la relación matemática su expresión comprensible a la mente humana, retornando luego a la experiencia. Se inicia el camino que recorrería la ciencia hasta el presente, con sus marchas y contramarchas.

INTRODUCCIÓN Desde que tenemos noción de la existencia humana, los recuerdos que se han conservado a través del tiempo parecerían decir que siempre el hombre se preguntó sobre el misterio de su origen, de su ser, de su destino, expresando en todas sus manifestaciones artísticas, científicas, creativas en general esa pregunta que llevaba dentro de si. La vida constantemente presentó y presenta cosas que le llenan de asombro, de dudas, de admiración y de miedo, de infinitud y limitación. En la caverna de Altamira se conservan pinturas representando escenas de caza como un convocar quien sabe a que fuerzas, para tener éxito o quizá en un adelantarse a los acontecimientos. La sepultura, de los seres que morían, con comida y herramientas era como un preparar a los muertos en un viaje hacia lo desconocido. Los megalitos de Stonehengue, un grito a la inmensidad. Las Venus de amplio vientre y caderas como un canto a la fecundidad que creaba nuevos seres que llevarían con ellos la permanente pregunta. Leyendas y dioses creaba y crea el hombre como una incesante respuesta a la incógnita de su existencia. Homero convoca a todos los seres, mezcla de dioses y de hombres, para afirmar su existencia. En Jonia comienza el perfeccionamiento de los instrumentos musicales. La pintura, la escultura, la poesía son formas en las que el griego busca resolver el misterio de su existencia. Pero es sólo con la Grecia de Tales y Pitágoras, con el descubrimiento de la razón, que podemos decir que surge la filosofía y la 7

ciencia como una pregunta total sobre el hombre, su origen, su destino, su universo. Y es en sus incipientes respuestas que surgen las bases de casi todas las ciencias de la naturaleza y del espíritu que hoy han alcanzado tan tremendo desarrollo, dando respuesta a multitud de preguntas pero, dejando en su despliegue, más inquietante aún, del porqué y para qué del hombre y su destino.

PITÁGORAS Y EL DESARROLLO DE LAS FUERZAS PRODUCTIVAS. En la época de Pitágoras el hierro ya se templaba, Homero (IX a. C.) compara el chirriar del madero en el ojo del cíclope con el chirriar del acero al ser templado en el agua. Aún, arco y flecha, eran armas fundamentales. Los barcos a vela y de remeros surcaban los mares. Se usaba el vidrio, se hilaba y tejía el lino, algodón y lana con rueca y telar de mano. El reloj de sol ya tenía gnomon orientado. Había balanzas de relativa exactitud. Se teñían los tejidos. Debieron pasar algunos siglos para que se conocieran las catapultas y la clepsidra, el reloj de agua. Sólo en tiempos de Platón, Arquilas de Taranto inventa la polea y el tornillo. La principal fuerza productiva era la mano de obra esclava que junto al campesino, con arados de mano, trabajaban la tierra, molían la harina, las semillas de aceitunas para extraer el aceite de oliva o las uvas para hacer vino. Las ciudades eran desarrolladas. Mientras Atenas caminaba hacia la democracia, en Samos tierra de Pitágoras y el resto de Jonia se instala una tiranía con Polícrates. El desarrollo de las matemáticas recién se iniciaba. Tales nace unos 60 años antes, deduce el teorema que hoy lleva su nombre, predice el eclipse de sol del 28 de mayo de 585 a. C. No se conocían las cónicas (Menecmo, 350 a. C.). Sólo en tiempos de Arquímedes (287 – 212) se conocen las leyes de la palanca y se calcula el diámetro de la Tierra. Pensamos que la ubicación en el nivel de desarrollo de una sociedad permite ver los límites del 9

pensamiento humano en la época que se estudia. Así, Marx, refiriéndose al análisis del valor de las mercancías que hace Aristóteles dice, “ lo que impedía a Aristóteles leer en la forma-valor de las mercancías que todos los trabajos se expresan allí como trabajo humano indistinto y por consiguiente iguales, era el hecho de que la sociedad griega se apoyaba en el trabajo de los esclavos y tenía como base natural la desigualdad de los hombres y de sus fuerzas de trabajo. El secreto de la expresión del valor, la igualdad y la equivalencia de todos los trabajos, puesto que son trabajo humano – y en la medida en que lo son - sólo podía descifrarse en el momento en que la idea de la igualdad humana adquiere la tenacidad de un prejuicio popular. Pero ello ocurre únicamente en una sociedad en la cual la forma-mercancía se ha convertido en la forma general de los productos del trabajo y en la que, por ende, la relación de los hombres entre si como productores de mercancías, que se intercambian entre sí, es la relación social dominante. El genio de Aristóteles se exhibe en el hecho de que en la expresión del valor de las mercancías descubrió una relación de igualdad. El estado particular de la sociedad en que vivía fue lo único que le impidió encontrar el contenido real de dicha relación ” (El Capital. Tomo 1, cap. 1, pg. 76).

PITÁGORAS EXISTENCIA

LAS

DUDAS

Pitágoras nace hacia el 572 a. C. , en la isla de Samos, cerca de Mileto, en el mar Egeo. Era una colonia jónica de griegos. No han llegado a nosotros 10

escritos de este sabio pero sí dichos y opiniones. No es posible discernir las creaciones de Pitágoras de las de sus discípulos o seguidores. Del excelente libro de Kirk y Raven, con citas originales griegas de Herodoto, Heráclito, Empédocles y comentarios por sus autores sacamos las conclusiones siguientes: Pitágoras nació en Samos y alcanza su acmé, los 40 años, en 532 a. C. bajo el gobierno del tirano Polícrates. Huyendo de esta tiranía se establece en el sur de Italia, parte de la Magna Grecia, en Crotona. Allí, según Diógenes Laercio alcanza una posición política prestigiosa redactando leyes para los italiotas y adquiriendo renombre junto con tres cientos de sus discípulos. Realizan una excelente administración de gobierno, de corte aristocrático. Finalmente debe retirarse a Metaponto, localidad cercana, donde muere posiblemente en 500 a. C. La cuádruple división o “quadrivium” que se conservó casi dos milenios se debe a Pitágoras, esta era, aritmética o números absolutos, música o números aplicados, geometría o magnitudes en reposo y astronomía o magnitudes en movimiento. Los primeros pitagóricos no disponían de una forma simple de notación numérica, usaban un sistema similar a nuestro dominó o dados. Los pitagóricos enunciaron proposiciones como esta: “La unidad es el origen y el comienzo de todos los números, pero ella misma no es un número.” Distinguieron los números primos de los compuestos. Sin el simbolismo moderno algebraico, distinguían las cantidades “dadas” de las “constantes”. Los números pares e impares recibieron nombres especiales al lado de las series de los cuadrados y los cubos. Junto a las 11

series aritméticas y geométricas ya conocidas estudiaron otras como la de los números triangulares, 1, 3, 6, 10, 15, que se obtienen como sumas sucesivas de los números naturales. Empédocles dice de Pitágoras que era un hombre extraordinario de máxima sabiduría, experto en toda clase de obras sabias, que veía con facilidad las cosas que existen en 10 o 20 generaciones de hombres.

NÚMEROS, RELIGIÓN Y POLÍTICA. Matemáticas viene del griego y significa, cosa aprendida, lección, conocimiento, ciencia, arte, enseñanza. Los que aprendían y sabían. Eso eran los pitagóricos. Pitágoras fundó en Crotona una especie de hermandad o asociación religiosa fuera de la cual no se podía divulgar la doctrina pitagórica. Escritos originales de Pitágoras sólo aparecen en la época de Filolao (fines del siglo V a. C.) por ello, muchos de los descubrimientos matemáticos de la comunidad fueron atribuidos a Pitágoras. Pitágoras, pensamos nosotros, funda esta comunidad para activar políticamente, sobre el mundo, sobre la sociedad crotoniense, y, la teoría de esta acción está basada en el estudio de las leyes de las matemáticas y el secreto era parte de la actividad política. Hay una serie de reglas a las que debían ajustarse los pitagóricos que, no parecen más que reglas de la conspiración. 12

Regía la igualdad, incluso con las mujeres, Porfirio, en su vida de Pitágoras, cita a Teano, una mujer que se hizo también famosa y que se casó con Pitágoras. Los pitagóricos creían en la trasmigración de las almas. El alma recorre cuando muere, primero animales de tierra, luego de mar y finalmente de aire. Esta doctrina sugiere en el fondo la unidad de todo lo viviente. “La concepción de que la substancia del alma está emparentada con el éter, o la substancia de los astros, parece que había existido ya durante algún tiempo como parte del complejo cuerpo de creencias populares. Fue, posiblemente Pitágoras el primer griego que, de un modo explícito la consideró como algo de importancia moral…” K y R. pg. 23. El “República”, 600 a, b, según la traducción citada por K y R., Platón dice refiriéndose a Pitágoras, “fue especialmente amado por su trato y, sus discípulos, conservando aún hoy día su norma de vida, se distinguían de alguna manera de todos los demás hombres”. Los pitagóricos estaban de acuerdo con los demás “físicos” en que el ser existe en tanto y en cuanto es sensible. Pero partían de unos principios abstractos cual son los números. A la muerte de Pitágoras, la escuela se dividió en dos sectas, la de los “acusmáticos” y la de los “matemáticos” que se ciño al campo científico.

LA MATEMÁTICA PITAGÓRICA. Para algunas clases de enseñanza escolar. Pitágoras descubre la relación que hay entre los sonidos emitidos por una cuerda vibrante y su longitud. Si una cuerda de un monocordio emite el Do, la cuerda dividida en dos emitirá el Do, pero más agudo. ( ver apéndice 1) Junto a las series aritméticas y geométricas ya conocidas, estudiaron otras como la de los números triangulares, 1, 3, 6, 10, 15 que se obtienen como sumas sucesivas de los números naturales, 1, 2, 3, 4, 5, 6… 1=1 1+2=3 1+2+3=6 1 + 2 + 3 + 4 = 10 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 * * * * * * * * * * * * * * *

1 2 3 4 5

hasta aquí hasta aquí hasta aquí hasta aquí hasta aquí

1 3 6 10 15

Si esta pirámide la interrumpimos en 4 * * * * * * * * * *

1 2 3 4

hasta aquí hasta aquí hasta aquí hasta aquí

1 3 6 10

Obtenemos la tetraquis de la década, por ella hacían sus más solemnes juramentos. La serie de los números cuadrados se obtiene sumando sucesivamente los números impares: * * * * **** * ******* ********* ***********

1 3 5 7 9 11

1 1+3=4 1+3+5=9 1+3+5+7=16 1+3+5+7+9=25 1+3+5+7+9+11=36

1² 2² 3² 4² 5² 6²

La serie 2, 6, 12, 20, 30 números pares:

se obtiene sumando los

* * 2 **** 4 ****** 6 ******** 8 * * * * * * * * * * 10 O bien multiplicando cada sucesivos: 1x2=2 2x3=6 3x4=12 4x5=20 5x6=30

2=2 2+4=6 2+4+6=12 2+4+6+8=20 2+4+6+8+10=30 par de números naturales

Si construimos una serie de cuadrados o paralelogramos semejantes cuyos lados sean 1,3,5,7, la figura que debe añadirse a cada uno de ellos para obtener la siguiente fue llamada por los griegos gnomon, cuya área estaría representada por un término de la serie de los números impares, 15

interesante costumbre griega de combinar geometría con la teoría de los números. 9 + + + + + + + +. + + 7++++++ + + 5 ++++ + + + + + + 3++ + + + + + + + + 1

Cuadrados y sus diferencias impares.

Así como el producto de dos números estaba asociado con áreas “cuadrada o rectangular” el producto de tres factores se interpretaba como un volumen. La serie de números impares y la de sus cuadrados: 1

1+3

1+3+5

1+3+5+7

= 16

1+3+5+7+9

= 25

1+3+5+7+9+11 =36

= 1 + 4 = 2 + 9 = 3 + 16 = 4 + 25 = 5 + 36 = 6

=1 = 3 = 6 = 10 = 15 = 21

LA GEOMETRÍA PITAGÓRICA Los pitagóricos formularon las definiciones de los elementos fundamentales, línea, superficie… Desarrollaron una teoría bastante completa del triángulo. Demostraron que la suma de sus ángulos es igual a dos rectos. Una teoría de los cuerpos cósmicos. Conocían los cinco poliedros regulares. Euclides demostró que no son posibles más. Pitágoras estableció la prueba matemática. Fue el primer europeo que insistió en que los postulados (axiomas) deben establecerse al principio, en el desarrollo de la geometría y que todo el desarrollo descansa en las aplicaciones del razonamiento deductivo partiendo de esos axiomas. Antes de Pitágoras nadie se había dado clara cuenta de ello, la geometría había sido una colección de reglas a las que se había llegado en forma empírica, sin una clara indicación de que estuvieran relacionadas entre sí y sin la más leve sospecha de que pudieran deducirse de un número relativamente pequeño de postulados. Axioma, verdad evidente por si misma. Postulado: suposición arbitraria establecida por el matemático mismo. La segunda contribución sobresaliente de Pitágoras es el descubrimiento que, le humilló y le desoló, de que los números naturales comunes, 1, 2, 3… son insuficientes para la construcción de la matemática, hasta la forma rudimentaria en que él la conoció. Antes de este capital descubrimiento predicó como un profeta, que toda la naturaleza, el universo entero, físico, metafísico, mental, moral, matemático… están construidos según la norma discontinua de los 17

números naturales 1, 2, 3… y sólo es interpretable en función de estos ladrillos proporcionados por Dios. Dios, declara Pitágoras, es en efecto número, y por número quería referirse al número natural común. Sin embargo he aquí lo que había derrumbado su teoría: es imposible encontrar dos números naturales tales que el cuadrado de uno de ellos sea igual al doble del cuadrado del otro. Esto puede ser probado por un simple razonamiento que está al alcance de cualquiera que tenga nociones de álgebra elemental. En realidad Pitágoras encontró su tropiezo en geometría, la razón entre el lado de un cuadrado y una de sus diagonales no puede ser expresada como razón de dos números naturales. En otra forma podemos decir que la raíz cuadrada de 2 es irracional, o sea que no es igual a un número natural o fracción decimal exacta, o suma de los dos, obtenida dividiendo un número natural por otro. Un concepto geométrico tan simple como el de la diagonal de un cuadrado, desafía a los números naturales 1, 2, 3, 4… y niega la primitiva filosofía pitagórica. Parece ser que Pitágoras fue el primero entre los griegos que adoptó la idea de que la Tierra es una esfera y otro pitagórico de que tenía movimiento sobre su órbita. Identificó las estrellas de la mañana y las de la tarde. Su universo era una esfera dotada de una especie de vida.

PITÁGORAS Y LA UNIDAD DEL MUNDO Para Pitágoras la esencia del mundo estaba dada por su unidad. La mónada, el uno, era la base de la perfección.

Si partimos de que el mundo parte y es la unidad de allí se deriva la posibilidad de su cognoscibilidad, porque hay un único lenguaje de los procesos mentales con el resto del mundo natural. Hay una unidad entre pensamiento y desarrollo de los procesos naturales por su origen único. Si el pensamiento es la culminación de un largo desarrollo, desde la construcción del Universo, de los núcleos atómicos más livianos, las estrellas, la construcción de núcleos más pesados, los procesos químicos de autoduplicación, la vida, el pensamiento, la vida social y la conciencia humana, es evidente que el pensamiento abarca y sintetiza todas las leyes del devenir. Pero es claro que la demostración y la comprobación de la unidad del mundo sólo está dada por la experiencia y en cierta forma está fuera del pensar racional, por ello la afirmación hecha al comienzo de nuestra exposición: “El hombre puede conocer con el pensamiento el mundo que lo rodea porque su pensamiento discurre de la misma manera que los fenómenos de la naturaleza. Las leyes más generales del pensamiento y de la conciencia son las mismas que rigen a todos los fenómenos naturales” . Debería tomarse como un postulado básico , anterior a toda demostración y de él partimos para realizar este estudio. Después de Pitágoras el hombre trató de expresar todos los fenómenos del mundo real en relaciones numéricas y se preguntó si estas relaciones reflejan realmente el mundo de las cosas y pueden ser las cosas mismas o son sólo una aproximación del conocimiento que van siendo sustituidas por nuevas relaciones. O aún más, ¿son sólo ilusiones que sólo 19

reflejan el mundo interior del hombre sin relación con el mundo real? Desde que Pitágoras redujo a relaciones numéricas los sonidos de la escala musical todos los fenómenos naturales tuvieron su expresión numérica. Algunos números tienen una atracción especial y parecen abarcar el Universo entero. Las constantes de atracción universal G, la velocidad de la luz c, la del cuanto de acción h y la de probabilidad de Boltzman k entre otras. ¿Pero será después de todo que estas constantes podrán reducirse a una única relación como notas de una cuerda vibrante pitagórica donde el uno reine por sobre todos o, detrás de cada número volverá a desplegarse otra vez la naturaleza en su infinita policromía?

ARQUÍMEDES DE SIRACUSA (287-212 a. C.) Arquímedes nació en Siracusa (Sicilia) en el año 278 a. C. Hijo del astrónomo Fidias, de quién seguramente heredó su vocación científica, estaba vinculado de alguna manera con la familia real. Estudió en Alejandría y sus maestros fueron Conos de Samos, Dosieto de Pelusa y Eratóstenes. Dedicó toda su vida a la investigación científica, no obstante ello su vida estuvo plagada de anécdotas. La más conocida es narrada por Vitrubio en “Sobre la arquitectura”: Arquímedes hizo muchos inventos admirables y variado pero, de todos, el que voy a exponer me parece que manifiesta una sutileza infinita. Cuando Hierón reinaba en Siracusa, por los éxitos logrados en sus empresas , se propuso ofrecer en un cierto templo una corona de oro a los dioses inmortales; contrató el trabajo a un precio estipulado y pesó una exacta cantidad de oro que dio al contratista. El artesano entregó en la fecha acordada y con satisfacción del rey, una pieza de orfebrería exquisitamente terminada, y correspondiendo el peso de la corona exactamente al peso del oro entregado. Sin embargo, hubo indicios después, de que le habían quitado ora a la corona y añadido una parte igual de plata. Indignado Hierón por la ofensa y sin encontrar la manera de poder probar el hurto, rogó a Arquímedes que estudiara el asunto. Mientras se ocupaba de esto, Arquímedes fue por casualidad al baño público y, al introducirse en la bañera, se dio cuenta de que salía tanta agua fuera de esta como parte de su cuerpo había entrado. No se quedó así, sino que saltando fuera de la bañera, movido por la 21

alegría y, yendo desnudo a su casa, gritaba diciendo que había encontrado lo que quería. Porque mientras corría exclamaba, ¡Eureka, Eureka! Se dice entonces que siguiendo su descubrimiento, hizo dos masas de peso igual al que tenía la corona, una de oro y otra de plata. Después llenó de agua hasta el borde un vaso amplio. En él puso la masa de plata, lo que hizo salir una cantidad de agua igual al volumen de esa masa. Sacó entonces la masa y volvió a llenar el vaso con una cantidad de agua igual a la que había salido y, que procuró medir. De este modo encontró cuanta agua correspondía a la masa de plata. Una vez sabido esto, puso igualmente la masa de oro en el vaso llena y, después de quitarla, añadió por el mismo motivo el agua que faltaba, encontrando que no era la misma que antes sino, menos y la cantidad menor era el exceso de una masa de plata, con el mismo peso sobre una base de oro. Después de llenar de nuevo el vaso, puso en el agua la corona misma, y encontró que correspondía más agua a la corona que a la masa de oro del mismo peso. Reflexionando pues sobre el hecho de haber más agua para la corona que para la masa de oro halló que había mezcla de plata en el oro y, puso en claro el hurto del contratista. (Ver apéndice 2). “Dadme un punto de apoyo y moveré el mundo”. Plutarco de refiere a esta célebre frase del siracusano del siguiente modo: “ Arquímedes, pariente y amigo del rey Hierón, le había escrito que es posible, con una fuerza dada, mover un peso dado. Y dicen, que movido de manera juvenil por la fuerza de la demostración, afirmó que si dispusiera de otra Tierra, una vez pasado a ella, podría mover la primera. Hierón se maravilló y le pidió que pusiera en 22

marcha el problema y le mostrara algo grande movido por una fuerza pequeña. Arquímedes hizo remolcar a tierra una nave real de tres palos, con gran esfuerzo y muchos brazos, introdujo en ella una multitud de hombres y la carga ordinaria y, sentado a distancia, movió sin esfuerzo y tranquilamente con la mano izquierda un sistema de cables y poleas y acercó el barco tan lisamente y sin obstáculos como si corriera por el mar. Atónito el rey y viendo el poder de la máquina, convenció a Arquímedes para que le construyera máquinas de ataque y defensa para todo tipo de asedios. Mientras los pitagóricos se debatían entre mantener su visión del mundo y mutilar a la geometría o, mantener a la geometría y anular su metafísica, los matemáticos encararon el problema técnicamente. Eudoxo de Cnido encuentra una salida, la cual se resume en una definición, un principio y un método. Define las proporciones (igualdad de razones), que luego son incluidas por Euclides en sus “Elementos”. Arquímedes, por su parte, incluye esta definición como postulado en su libro “De la esfera y del cilindro”, ya que su intuición matemática le advierte de que se trata de una proposición de la cual se puede partir, o sea un postulado. Hoy este postulado es el más importante postulado de la continuidad, indispensable en el análisis infinitesimal. Es por eso de que se advierte en los escritos de Arquímedes una estrecha analogía con los métodos infinitesimales actuales, con los cuales se pueden calcular las cuadraturas y curvaturas de Arquímedes mediante integrales definidas. En este postulado, desempeña un papel fundamental el método de exhaución, ideado y aplicado por Eudoxo, ya que es la traducción 23

geométrica de la operación del paso al límite, característica de los métodos infinitesimales. En casi todos los trabajos de Arquímedes se ven determinaciones de centros de gravedad, áreas y volúmenes obtenidos a través del método de exhaución. Pero como este método demostrativo exige el conocimiento previo del resultado por demostrar, surge el interrogante: ¿Cómo obtenía Arquímedes esos resultados que luego demostraba rigurosamente? Tal vez sea el momento de mencionar el escrito más importante de Arquímedes: “El Método” La esencia de las demostraciones de las proposiciones de El Método se deducen de una cualquiera de ellas. Veamos un ejemplo: Determinar la equivalencia de un sólido A con otro sólido conocido. Estas proposiciones comprenden tres etapas: 1) Geométrica. Se compara una sección s del sólido A, a una distancia x de un punto fijo o con la sección o secciones S conocidas y se establece la proposición: s:S=x:h siendo h una distancia fija. 2) Mecánica: Se considera la proporción anterior como condición de equilibrio entre las secciones s y S que están suspendidas en loa extremos de una palanca con punto de apoyo en o y a las distancias h y x , respectivamente. (Ver apéndice 3)

Hasta aquí, el proceso que se sigue es riguroso y el resultado se deduce de los postulados o teoremas demostrados en otros trabajos. 3) Etapa final. Utilizando la perífrasis: las secciones llenan o compones el sólido, Arquímedes traslada todas las secciones de A a la distancia h suspendiéndolas con el centro de gravedad común y supone que esta superposición recompone el sólido A (absurdo). Deduce luego que el sólido A a la distancia h de o, equilibra el sólido conocido y, como conoce el centro de gravedad de este encuentra la relación buscada del sólido A con sólidos conocidos. En “El Método”, Arquímedes calcula la superficie de un segmento de parábola empleando en método de exhaución y calcula por medios “mecánicos” con una imaginaria palanca los “pesos” de dos figuras, una de un valor fácilmente calculable y la otra cuya superficie busca, tenemos así la “ley de la palanca” que aún emplean los metalúrgicos. (ver apéndice Nº 3). Pero en su obra Arquímedes, si bien trató de comprender la manifestación numérica de los fenómenos, no trata de sustituir su esencia por números. La esencia seguirá desconocida. Es sólo la forma de la materia la que está expresada por números. ¿Pero, en la relación esencia y forma, no es la forma la esencia de las cosas? Arquímedes hizo grandes contribuciones a la astronomía, a la mecánica y a la matemática aplicada. Inventó métodos para encontrar las áreas de figuras planas curvilíneas y los volúmenes limitados por superficies curvas y aplicó estos métodos a muchos casos especiales, incluyendo el círculo, la esfera, segmentos de parábola, el área limitada por dos 25

radios y dos pasos sucesivos de una espiral, segmentos de una esfera y segmentos de superficies engendradas por la revolución de rectángulos (cilindros), triángulos (conos), parábolas (paraboloides), hipérbolas (hiperboloides) y elipsis (esferoides), alrededor de sus ejes principales. Ideó un método para calcular la razón de la circunferencia de un círculo y su diámetro y fijó un valor de π entre 3,1/7 y 3,10/71. También encontró métodos para hallar las raíces cuadradas aproximadas, lo que muestra que se anticipó a la invención hecha por los hindúes respecto a las fracciones continuas periódicas. Además de sus escritos perdidos, podemos citar: - De la esfera y del cilindro (libros I y II) de los cuales citaremos el siguiente teorema: “La superficie de una esfera es equivalente a 4 veces su círculo máximo. Hoy escribimos S = 4.π.r² - Medida del círculo: tratado breve compuesto por tres proposiciones. La tercera es: “El perímetro de todo círculo es menor que el triple del diámetro aumentado de la séptima parte, pero es mayor que el triple del diámetro aumentado los 10 setenta y un avo de partes del mismo” Siendo D el diámetro y P el perímetro: (3+10/71).D < P < (3+1/7).D Igual a: 223/71 . D < P < 22/7. D A su vez: 3,14084 D < P < 3,142857.D El promedio de estos dos valores da: 3,14185 frente al valor actual de: 3,14159 26

LA MECÁNICA DE ARQUÍMEDES Expresa los primeros teoremas matemáticos que se conocen. En sobre el equilibrio de los planos determina el centro de gravedad de una serie de figuras. En el estudio de la palanca, Arquímedes admite desde el principio como evidentes: 1.- Magnitudes de igual peso que actúan a igual distancia del punto de apoyo se equilibran. 2.- Magnitudes de igual peso que actúan a distancias desiguales del punto de apoyo no se equilibran y, desciende la que está situada a la mayor distancia. De estas proposiciones se deduce: 3.Magnitudes conmensurables o inconmensurables se equilibran cuando son inversamente proporcionales a sus distancias al punto de apoyo.

LA COMPARACIÓN ENTRE PITÁGORAS Y ARQUÍMEDES. 1.- Pitágoras nace en la llamada Grecia arcaica, entre los años 580 – 520 a.C. Arquímedes en la Grecia Helenística en los tiempos de Alejandría entre los años 287 – 212 a. C. 2.Entre Pitágoras y Arquímedes no sólo han trascurrido más de tres siglos sino que la ciencia y la técnica han avanzado considerablemente. Grecia es un imperio que abarca todo el Mediteráneo. Eratóstenes ha medido el diámetro de la Tierra y trazado mapas que amplían el mundo conocido. 3.- Pitágoras no logra desprenderse de los dioses para interpretar la ciencia, esta le sirve no sólo para cuantificar los dioses sino, que son los dioses mismos. Arquímedes no los nombra en ningún tratado. 4.- Para Pitágoras, los números, en última instancia, son las cosas mismas. Para Arquímedes los números son un medio para acercarse, comprender y trasformar la realidad. 5.- La experiencia poco cuenta para Pitágoras. Para Arquímedes los números son base de nuevas ciencias, el principio de las ciencias. 6.- Pitágoras es el primer sabio que formó escuela que perduró por siglos. Arquímedes no formó escuela pero echó las bases de las ciencias que aún hoy perduran.

7.- Pitágoras arranca de la experiencia (escala musical y sus relaciones numéricas), pero como está construyendo un lenguaje, casi se desprende de ella. Arquímedes retorna permanentemente a ella y echa las basas de nuevas ciencias, de la mecánica, de la hidrostática… 8.- Para Pitágoras la ciencia es la búsqueda de un modo de vida, la relación concreta con el Todo. Es esencialmente un filósofo, un conductor religioso y social. Arquímedes no es un filósofo, no busca hacer coincidir la vida con la filosofía, Vive como un investigador y busca resultados científicos. 9.- Puede verse en toda la historia anterior del pensamiento que la religión, las matemáticas y la astronomía tienen una estrecha relación en el desarrollo de ese pensamiento. Pitágoras en este sentido continúa con esta tradición. Es un conductor religioso, político, místico. Arquímedes, rompiendo con esa tradición mira los resultados matemáticos como valederos en relación con la experiencia. Arquímedes es un científico.

CONCLUSIÓN: La ciencia actual parece ser la síntesis de estos dos hombres. Y, el número la esencia de todo. ¿Qué es ese átomo de esencia única y los elementos de la tabla periódica, cuya esencia es el número, el número de orden? Y los Quarks, esencialmente números. Pitágoras busca en el número la unidad del mundo que los filósofos milesianos buscaban en el agua, el aire, el apeirón. Hoy la ciencia se manifiesta fundamentalmente en números, creando la ilusión de que en última instancia el número es la realidad. Dijimos que el hombre puede conocer con el pensamiento el mundo que lo rodea porque su pensamiento discurre de la misma manera que los fenómenos del mundo de las cosas. Las leyes generales del pensamiento y de la conciencia son las mismas que rigen a toda la materia. No obstante esto, la ciencia sólo puede surgir cuando es posible la relativa independencia del conocimiento de los resultados prácticos que de él puedan obtenerse. Surge en Grecia y muere por un tiempo con ella. Pero por otro lado la ciencia se realimenta después, por la confirmación y utilización de sus resultados. En el andar histórico, la ciencia para desarrollarse necesita de un acumular de datos de la experiencia, de un crecimiento del mundo real. Así, después de “desaparecer” con Grecia, durante la Edad Media, acumula y resurge como ciencia otra vez con Galileo.

En nuestros días es posible que existan juntos la acumulación por trabajadores científicos, ligados en su quehacer a resultados inmediatamente utilizables y el trabajo de científicos que hacen ciencia como actividad independiente del pensamiento pero, no pudiéndose en muchos casos separar claramente ambas actividades, más aún, marchamos a la unidad de ambos quehaceres, cuando la ciencia sea el producto de todo el que trabaja. La necesidad de que la búsqueda, la investigación deje de ser algo ligado a otro quehacer y se trasforme en el quehacer en sí mismo, que dejando de ser algo en si, pase a ser algo para sí, transformándose en ciencia. Por ejemplo, la actividad física pasa a deporte cuando el deporte da su propia respuesta. En un comienzo la separación del que piensa del que trabaja permite pasar al pensamiento científico ( Grecia, desprecio del trabajo físico, nacimiento de la ciencia). Luego esa misma separación conservada en el mundo del pensamiento detiene el desarrollo científico ( Edad Media. La idealización en esta época de Aristóteles llevó a despintar a las esculturas griegas que estaban vistosamente coloreadas por sus creadores). Luego el investigador redescubre la práctica (Galileo, etc.) y resurge en nueva forma la ciencia. La matemática surge quizá como la primera ciencia porque la inteligencia humana discurre como la propia naturaleza y los números son la forma más general con que nos unimos científicamente a ella. Si bien debemos recordad con énfasis de que la ciencia surge de la experiencia en el caso de la ciencia de los números, estos comparten una doble 31

existencia. Para contar aprendimos a contar animales, pero detrás de esto hay algo más, los números son a la vez formas del pensar, entes naturales y entes del pensamiento humano. Mientras que en otras ciencias digamos, la química, sólo después de mucho tiempo pudo diseñarse una combinación química más o menos compleja, con los números podemos avanzar en mucho sin la relación directa con la experiencia. Y otra vez estamos en el comienzo, la unidad del hombre con el todo no se hace sólo con los números, son ellos quizá un camino. Faltan los colores expresables también en número de onda, pero estos números no son los colores, sino su paso por la razón. Y, la música también expresable por números pero que no son la música misma. Debemos volver a pintar con colores vivos el blanco mármol de la ciencia para lograr que ella como todos los demás quehaceres humanos sirvan para el hombre concreto que vaga por el mundo con el alma perdida, trasformado en número, el número de desocupados por que la ciencia es mal utilizada y mal comprendida y se usa no para descubrir el mundo sino para destruirlo.

BIBLIOGRAFÍA Arquímedes. El Método. Introducción y notas de J. Babini. EUDEBA. Bs. As. 1966 Kirk, G. S. y Raben, J. E. Los filósofos presocráticos. Ed. Gredos. Madrid. 1969. Aristóteles. Metafísica. Colección Austral. Espasa Calpe Argentina. Bs. As. 1943. Sedgwik, W. T. y Tyler, H. W. Breve historia de la ciencia. Argos. Bs. As. 1950. Contenau, G. Antiguas civilizaciones del Asia Anterior. EUDEBA. Bs. As. 1984. López de Hernández, Nelly. Manual de historia de la cultura de la Grecia antigua. Plus nUltra. Bs. As. 1979. Marx, Carlos. El Capital. Ed. Ciencias del Hombre. Bs As. 1973. Pabón de Urbina. Vox Diccionario manual griego español. Bibliograf. S. A. Barcelona 199. Platón. República. EUDEBA. Bs. As. 1992. Platón. Timeo. Fotocopia. Lloyd. De Tales a Aristóteles. EUDEBA. Bs. As. 1977. Abel Rey. La ciencia oriental antes de los griegos. UTHEA Guthrie, W. K. C. Historia de la filosofía griega. Gredos. Madrid. 1991. Moulton, F. R. y Schifferes, J. J. Autobiografía de la ciencia. F. C. E. Méjico. 1947 Gilles Cohen – Tannoudji. Les constantes universelles et la phisique de l’horizon. La Recherche. Pag. 756759. Nº 278. J. A. 1995.

APÉDICES Apéndice 1. Para algunas clases de la enseñanza escolar. Los sonidos y los números. Los griegos habían inventado un instrumento llamado monocorde con el cual, dicen, que Pitágoras demostró que la longitud de la cuerda tiene una relación de: 2/1 para la octava nota 4/3 para la cuarta nota 3/2 para la quinta nota El monocorde:

Si la cuerda tensada produce por ejemplo, el do, dividida en dos partes iguales producirá un do una octava más alta. Si dividimos el espacio en 24 partes iguales, los 3 primeros 24 avos darán el re, 3 más, darán el mi, 2 más darán el fa, 4 más el sol, 4 más el la y 5 más el si. La escala diatónica (do, re, mi, fa, sol, la ,si, do) es una sucesión particular de tonos y semitonos utilizada por los griegos y transformada en la escala de referencia de la música occidental. La altura de sus 34

notas se puede caracterizar de manera unívoca por la frecuencia de vibración de las ondas sonoras asociadas. La relación existente entre dos notas es llamada intervalo `por los músico. Así el intervalo entre el do y el sol se llama quinta y entre el do y el do situado siete notas más arriba se llama octava. Estos intervalos son muy estables para la percepción, pero las relaciones de frecuencia precisas que les caracterizan han variado en el curso de la historia según la evolución de las teorías musicales. Nota:

do1

re1

mi1

fa1

sol1

la1

si1

Frec.

65,2

73,4

81,56

97,87

108,7 122,3

Interv

9/8

5/4

4/3

3/2

5/3

15/8

do2 130,5 2

Los pitagóricos habían determinado las relaciones no, de frecuencia pero sí de longitudes de la cuerda vibrante, la cual es equivalente a la inversa (la frecuencia es la inversa de la longitud de onda) Expresaban todas las relaciones bajo la forma de proporciones de números enteros, potencias de 2 y 3. La escala pitagórica contiene la relación de frecuencia siguiente, dada por cada nota en relación al do original: do 1

re 9/8

mi fa 81/64 4/3

sol 3/2

la si 27/16 243/728

do 2

BIBLIOGRAFÍA Assayag, G. y Cholleton, A. Musique, nombres et ordinateurs. “La recherche Nº 276 julio-agosto 1995, vol 26 pg.809 Prelat, Carlos A. “El mundo de las vibraciones y de los sonidos” Espasa Calpe. Bs. As. 1991.

APENDICE 2 Sobre la determinaci贸n de la densidad. Oro D= 19,3 Densidad de la corona

100g de Ag = 9,2 cm3

Oro, 100 cm3

Plata D=10,5

Plata 100 cm3

DIAGRAMA 1

Volumen de la corona 100g de Au, 5,18 cm3

Oro, 100g

DIAGRAMA 2 (Nota las dimensiones son aproximadas)

Plata 100g

En “Los cuerpos flotantes” Arquímedes establece los fundamentos de la hidrostática: “Postulamos que la naturaleza de un fluido es tal que estando sus partes dispuestas de una manera uniforme y continua, las partes menos comprimidas son desplazadas por aquellas que lo están más, mientras que cada parte está comprimida por el fluido situado encima de ella y según la dirección de la vertical, salvo que ese fluido esté encerrado en algunas partes o esté comprimido por alguna otra cosa. Un cuerpo menos denso que el fluido y abandonado en él no se sumergirá totalmente, sino hasta que el volumen del fluido desalojado por la parte sumergida tenga igual peso que el de todo el cuerpo” Se dice que Arquímedes en su investigación sobre la corona de oro había medido la diferencia de los volúmenes desalojados por cuerpos de igual peso pero de diferente densidad y así comprobado que la corona estaba fabricada por una aleación y no por oro puro. Los metales, oro y plata, solidifican en el mismo sistema cristalino, sistema cúbico de caras centradas y la longitud de las aristas del cubo unitario son prácticamente iguales en los dos metales. Esto permite la formación de soluciones sin variación de los parámetros, sustituyendo un átomo metálico por otro en la red cristalina, lo que permite predecir variaciones lineales de volúmenes y densidades en las diversas aleaciones de oro y plata. En el gráfico nº 1 tomamos en las ordenadas las variaciones de la densidad para un volumen constante de 100 cm3 de aleación, variando la composición.

En el gráfico nº 2, el que posiblemente podía haber tenido en mente Arquímedes, las ordenadas representan el volumen de la aleación y las abscisas, la relación en peso de oro y plata en 100 gramos de aleación.

En un diagrama de fases, la aleación a una temperatura en la cual coexisten las dos fases, sólida y líquida, la relación entre ellas se calcula con una supuesta palanca como se ve en la figura 1. En una operación, en lo que a la palanca se refiere, que es similar al cálculo de la superficie del segmento de parábola, los metalúrgicos calculan de esta manera la relación sólido – líquido en una aleación en proceso de solidificación o de fusión.

PITÁGORAS Y ARQUÍMEDES De la ciencia de la Grecia Arcaica a la ciencia de la Grecia Helenística. Virginia L. González y Carlos A. D’Orio Seminario de Historia de las ideas científicas, profesor Miguel de Asúa. Universidad Nacional de San Martín. 1996

Terminado de imprimir en Villa Marqués de Aguado, Partido de Gral. San Martín, en diciembre de 2012