Медична та біологічна фізика, вид. 2 / Чалий О. В. та ін. by Nova Knyha

За редакцiєю професора О. В. Чалого

Міністерство охорони здоров’я України

МЕДИЧНА ТА БІОЛОГІЧНА ФІЗИКА За редакцією професора О. В. Чалого Видання друге Підручник для студентів вищих медичних навчальних закладів III–IV рівнів акредитації

Вінниця Нова Книга 2017

УДК 577.3(075.8) ББК 28.071я73 М42

Рекомендовано Міністерством охорони здоров’я України як підручник для студентів вищих медичних навчальних закладів III–IV рівнів акредитації Колектив авторів:

від кафедри мед. і біол. фізики НМУ імені О. О. Богомольця: О. В. Чалий — зав. каф., член-кор. НАПН України, засл. діяч науки і техніки України, д-р ф.-м. наук, проф.; Я. В. Цехмістер — перший проректор, засл. працівник освіти України, д-р пед. наук, канд. ф.-м. наук, проф.; Б. Т. Агапов — д-р біол. наук, доц.; К. О. Чалий — д-р ф.-м. наук, PhD в інженерії, проф.; Н. В. Стучинська — д-р пед. наук, канд. ф.-м. наук, проф.; А. В. Меленевська — канд. біол. наук, доц.; М. І. Мурашко — канд. техн. наук, доц.; О. І. Олійник — канд. ф.-м. наук, доц.; Н. Ф. Радченко — канд. хім. наук, доц.; від однопрофільних кафедр ВМ(Ф)НЗ України: Книгавко В. Г. — зав. каф. ХНМУ, д-р біол. наук, проф.; Личковський Е. І. — зав. каф. ЛНМУ імені Д. Галицького, канд. техн. наук, доц.; Лях Ю. Є. — д-р біол. наук, проф.; Мойсеєнко М. І. — зав. каф. Ів.-Фр. НМУ, д-р ф.-м. наук, проф.; Сливко Е. І. — зав. каф. ЗДМУ, д-р біол. наук, проф.; Тиманюк В. О. — зав. каф. НФАУ, канд. ф.-м. наук, проф.; Хаїмзон І. Й. — д-р. техн. наук, проф. Рецензенти: Булавін Л. А. — зав. каф. молекулярної фізики Київськ. нац. ун-ту імені Тараса Шевченка, академік НАН України, д-р ф.-м. наук, проф.; Ляшенко О. І. — академіксекретар НАПН України, д-р пед. наук, проф.; Калібабчук В. О. — зав. каф. мед. та заг. хімії НМУ імені О. О. Богомольця, засл. діяч науки і техніки України, д-р хім. наук, проф. Видання підготовлено відповідно до наказу МОЗ України від 02.06.2010 р. № 502 як базовий національний підручник Медична та біологічна фізика : підручник для студ. вищих мед. М42 (фарм.) навч. заклад. / [О. В. Чалий, Я. В. Цехмістер, Б. Т. Агапов та ін.] ; за ред. проф. О. В. Чалого. — Вид. 2-ге. — Вінниця : Нова Книга, 2017. — 528 с. ISBN 978-966-382-608-0 У національному підручнику висвітлено найважливіші аспекти медичної і біологічної фізики у відповідності до вимог кредитно-модульної системи навчання та програми, що затверджена Міністерством охорони здоров’я України. Підручник призначається для студентів вищих медичних (фармацевтичних) закладів освіти України III–IV рівнів акредитації, а також викладачів, науковців і всіх, хто цікавиться сучасним станом медичної та біологічної фізики. УДК 577.3(075.8) ББК 28.071я73

ISBN 978-966-382-608-0

Зміст ПЕРЕДМОВА ........................................................................................................9 МОДУЛЬ 1. МАТЕМАТИЧНА ОБРОБКА МЕДИКО-БІОЛОГІЧНОЇ ІНФОРМАЦІЇ ЛЕКЦІЙНИЙ РОЗДІЛ ..........................................................................................12 РОЗДІЛ 1.1. Основи математичного аналізу ....................................................12 1.1.1. Елементи диференціального числення ..............................................12 1.1.2. Елементи інтегрального числення ......................................................26 1.1.3. Поняття про диференціальні рівняння ...............................................35 РОЗДІЛ 1.2. Основні положення теорії ймовірностей та математичної статистики ..........................................................................44 1.2.1. Основи теорії ймовірностей ................................................................44 1.2.2. Основи математичної статистики. Вибірки, варіанти, гістограми ..62 1.2.3. Кореляційні залежності, їх характеристики ......................................65 ПРАКТИЧНИЙ РОЗДІЛ .......................................................................................67 ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ 1.1. Диференціальне числення функції однієї та декількох змінних ......................................................................67 ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ 1.2. Інтегральне числення...................................74 ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ 1.3. Елементи теорії диференціальних рівнянь .......................................................................................................80 ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ 1.4. Елементи теорії ймовірностей ....................85 ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ 1.5. Елементи математичної статистики ...........89 КОНТРОЛЬНИЙ РОЗДІЛ.....................................................................................97 МОДУЛЬ 2. ОСНОВИ БІОЛОГІЧНОЇ ФІЗИКИ ЛЕКЦІЙНИЙ РОЗДІЛ ........................................................................................ 116 РОЗДІЛ 2.1. Основні принципи біомеханіки.................................................. 116 2.1.1. Механічні властивості біологічних тканин...................................... 119 2.1.2. Деформація біологічних тканин .......................................................124 РОЗДІЛ 2.2. Течія в’язких рідин у біологічних системах ..............................127 2.2.1. В’язкість рідини .................................................................................127 2.2.2. В’язкість крові ....................................................................................129

ЗМІСТ

2.2.3. В’язкопружні властивості біологічних тканин ................................131 2.2.4. Основні рівняння руху рідини ..........................................................134 2.2.5. Критерії механічної подібності рухомих рідин ...............................142 2.2.6. Пульсові хвилі ....................................................................................145 РОЗДІЛ 2.3. Механічні коливання ....................................................................147 2.3.1. Гармонічні коливання та їх основні параметри ..............................148 2.3.2. Затухаючі коливання й аперіодичний рух ........................................152 2.3.3. Вимушені коливання ..........................................................................155 2.3.4. Явище резонансу і автоколивання ....................................................157 2.3.5. Додавання гармонічних коливань .....................................................159 ГЛАВА 2.4. Механічні хвилі .............................................................................162 2.4.1. Хвильове рівняння. Поздовжні і поперечні хвилі ...........................163 2.4.2. Потік енергії хвилі. Вектор Умова ....................................................164 РОЗДІЛ 2.5. Акустика. Елементи фізики слуху. Основи аудіометрії ..........166 2.5.1. Природа звуку, його основні характеристики (об’єктивні і суб’єктивні) ..................................................................166 2.5.2. Закон Вебера – Фехнера.....................................................................171 2.5.3. Ультразвук ...........................................................................................174 2.5.4. Інфразвук .............................................................................................176 РОЗДІЛ 2.6. Будова і властивості біологічних мембран ...............................177 2.6.1. Пасивний транспорт незаряджених молекул ...................................183 2.6.2. Пасивний транспорт іонів .................................................................186 2.6.3. Активний транспорт...........................................................................190 РОЗДІЛ 2.7. Біологічні потенціали..................................................................193 2.7.1. Рівноважний мембранний потенціал Нернста.................................194 2.7.2. Дифузійний потенціал .......................................................................196 2.7.3. Потенціал Доннана. Доннанівська рівновага ..................................199 2.7.4. Стаціонарний потенціал Гольдмана – Ходжкіна – Катца ...............201 2.7.5. Потенціал дії. Механізм виникнення і розповсюдження нервового імпульсу ............................................205 РОЗДІЛ 2.8. Елементи матеріалознавства .......................................................213 ПРАКТИЧНИЙ РОЗДІЛ .....................................................................................226 ЛАБОРАТОРНА РОБОТА 2.1. Визначення порога чутності аудіометричним методом ......................................................................226 ЛАБОРАТОРНА РОБОТА 2.2. Дослідження пружних властивостей біологічних тканин..........................................................233

ЗМІСТ

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА 2.3. Визначення залежності коефіцієнта поверхневого натягу рідини від температури і поверхнево-активних речовин ..................................................................239 ЛАБОРАТОРНА РОБОТА 2.4. Визначення коефіцієнта в’язкості................246 ЛАБОРАТОРНА РОБОТА 2.5. Вимірювання концентраційного потенціалу компенсаційним методом.........................................................252 КОНТРОЛЬНИЙ РОЗДІЛ...................................................................................259 МОДУЛЬ 3. ОСНОВИ МЕДИЧНОЇ ФІЗИКИ ЛЕКЦІЙНИЙ РОЗДІЛ ........................................................................................264 РОЗДІЛ 3.1. Електростатика ............................................................................264 3.1.1. Основні характеристики електричного поля ...................................264 3.1.2. Електричний диполь ..........................................................................268 3.1.3. Електрографія. Фізичні основи електрокардіографії .....................271 3.1.4. Діелектрики, поляризація діелектриків............................................277 3.1.5. Діелектричні властивості біологічних тканин.................................280 3.1.6. П’єзоелектричний ефект ....................................................................283 РОЗДІЛ 3.2. Постійний струм. Електропровідність біологічних тканин ....284 3.2.1. Характеристики електричного струму .............................................284 3.2.2. Електропровідність біологічних тканин і рідин ..............................286 3.2.3. Дія постійного і низькочастотного електричного струму на живий організм ..............................................................................289 3.2.4. Рівняння електричних коливань .......................................................291 3.2.5. Вимушені електричні коливання, змінний струм............................293 3.2.6. Повний опір кола змінного струму (імпеданс). Закон Ома для кола змінного струму ..................................................................297 3.2.7. Імпеданс біологічних тканин ............................................................298 3.2.8. Електромагнітні хвилі. Струм зміщення ..........................................301 3.2.9. Рівняння Максвелла ...........................................................................304 3.2.10. Плоскі електромагнітні хвилі. Вектор Умова – Пойнтінга ..........307 3.2.11. Шкала електромагнітних хвиль ......................................................309 РОЗДІЛ 3.3. Магнітне поле ..............................................................................312 3.3.1. Магнітне поле у вакуумі та його характеристики ...........................312 3.3.2. Закон Біо – Савара – Лапласа ............................................................314 3.3.3. Дія магнітного поля на рухомий електричний заряд. Сила Ампера і сила Лоренца .............................................................316

ЗМІСТ

3.3.4. Магнітні властивості речовини .........................................................319 3.3.5. Магнітні властивості тканин організму, фізичні основи магнітобіології ....................................................................................325 РОЗДІЛ 3.4. Електронна медична апаратура ...................................................326 3.4.1. Загальна інформація про електронну медичну апаратуру (ЕМА) .326 3.4.2. Класифікація електронної медичної апаратури...............................328 3.4.3. Техніка безпеки...................................................................................329 3.4.4. Правила безпеки .................................................................................330 3.4.5. Технічні характеристики ЕМА..........................................................331 РОЗДІЛ 3.5. Фізичні основи оптичної мікроскопії, рефрактометрії та поляриметрії .............................................................................................334 3.5.1. Ідеальна центрована оптична система .............................................334 3.5.2. Оптична мікроскопія ..........................................................................338 3.5.3. Поляризація світла .............................................................................341 3.5.4. Поляризація світла при відбиванні та заломленні ..........................342 3.5.5. Поляризація при подвійному променезаломленні в кристалах .....343 3.5.6. Поляризація світла при проходженні через поглинаючі анізотропні речовини .........................................................................346 3.5.7. Обертання площини поляризації оптично активними речовинами .........................................................................................347 3.5.8. Взаємодія світла з речовиною. Поглинання світла .........................348 3.5.9. Розсіяння світла ..................................................................................353 РОЗДІЛ 3.6. Фізичні основи термографії, закони теплового випромінювання ...........................................................................................355 3.6.1. Теплове випромінювання ..................................................................355 3.6.2. Закон Кірхгофа.................................................................................... 358 3.6.3. Закон випромінювання Планка .........................................................359 3.6.4. Закон Стефана – Больцмана ..............................................................360 3.6.5. Закон зміщення Віна ..........................................................................361 3.6.6. Інфрачервоне випромінювання .........................................................364 3.6.7. Ультрафіолетове випромінювання ....................................................364 РОЗДІЛ 3.7. Елементи квантової механіки......................................................365 3.7.1. Місце квантової механіки в системі наук про рух тіл ....................365 3.7.2. Гіпотеза де Бройля .............................................................................367 3.7.3. Співвідношення невизначеностей Гайзенберга ..............................370 3.7.4. Основне рівняння квантової механіки – рівняння Шредінгера .....371 3.7.5. Рівняння Шредінгера для атома водню (Гідрогену) .......................373

ЗМІСТ

РОЗДІЛ 3.8. Випромінювання і поглинання енергії атомами і молекулами ..................................................................................376 3.8.1. Атомні спектри ...................................................................................376 3.8.2. Молекулярні спектри .........................................................................378 3.8.3. Люмінесценція....................................................................................382 3.8.4. Види люмінесценції ...........................................................................383 3.8.5. Фотолюмінесценція, закон Стокса....................................................384 3.8.6. Механізми люмінесценції ..................................................................386 3.8.7. Індуковане випромінювання .............................................................388 3.8.8. Рівноважна та інверсна заселеність ..................................................389 3.8.9. Будова і принцип дії лазера ...............................................................391 3.8.10. Електронний парамагнітний резонанс, ядерний магнітний резонанс і їх медико-біологічне застосування ..............................393 3.8.11. Метод електронного парамагнітного резонансу............................393 3.8.12. Метод ядерного магнітного резонансу ...........................................398 РОЗДІЛ 3.9. Природа рентгенівських променів і методи їх отримання .......402 3.9.1. Гальмівне рентгенівське випромінювання.......................................405 3.9.2. Характеристичне рентгенівське випромінювання, його природа .......................................................................................407 3.9.3. Радіоактивність, її властивості..........................................................409 3.9.4. Основний закон радіоактивного розпаду, період напіврозпаду, активність........................................................413 3.9.5. Правила зміщення, особливості спектрів при радіоактивному розпаді .....................................................................417 3.9.6. Експозиційна доза, її потужність, одиниці ......................................421 3.9.7. Поглинена доза, її потужність, одиниці ...........................................423 3.9.8. Еквівалентна доза, її потужність, одиниці .......................................425 3.9.9. Дозиметрія іонізуючого випромінювання........................................428 3.9.10. Первинні фізичні механізми взаємодії рентгенівського випромінювання з речовиною .....................................................................430 3.9.11. Первинні механізми дії радіоактивного випромінювання та потоків частинок на речовину ................................................................435 ПРАКТИЧНИЙ РОЗДІЛ .....................................................................................440 ЛАБОРАТОРНА РОБОТА 3.1. Робота з електрокардіографом ...............440 ЛАБОРАТОРНА РОБОТА 3.2. Робота з реографом..................................448 ЛАБОРАТОРНА РОБОТА 3.3. Дослідження дисперсії імпедансу біологічних тканин .................................................................................457

ЗМІСТ

СЕМІНАР. Взаємодія електромагнітного поля з біологічними тканинами ................................................................................................463 ЛАБОРАТОРНА РОБОТА 3.4. Робота з фізіотерапевтичною апаратурою ..............................................................................................474 ЛАБОРАТОРНА РОБОТА 3.5. Вивчення роботи мікроскопа та вимірювання мікрооб’єктів ...............................................................487 ЛАБОРАТОРНА РОБОТА 3.6. Визначення концентрації розчинів рефрактометричним методом ................................................................492 ЛАБОРАТОРНА РОБОТА 3.7. Визначення концентрації розчину поляриметричним методом ....................................................................497 ЛАБОРАТОРНА РОБОТА 3.8. Робота з оптичним квантовим генератором .............................................................................................504 ЛАБОРАТОРНА РОБОТА 3.9. Визначення коефіцієнта лінійного ослаблення гамма-випромінювання......................................................509 КОНТРОЛЬНИЙ РОЗДІЛ...................................................................................516 ПРЕДМЕТНИЙ ПОКАЖЧИК ......................................................................521 ІМЕННИЙ ПОКАЖЧИК ...............................................................................525

ПЕРЕДМОВА

ПЕРЕДМОВА Проблеми еволюції живої та неживої природи і Всесвіту в цілому продовжують викликати підвищений інтерес і хвилювати допитливий людський розум. Матеріалістичний науковий підхід до цієї великої проблеми дозволяє зазирнути всередину мікро- і макросвіту (тут ми не торкаємося теології, яка, очевидно, має право на існування хоча б тому, що кількість віруючих серед населення Землі значно перевищує кількість атеїстів). Дійсно, з одного боку, сучасні телескопи дають можливість вивчати дуже далекі ділянки Всесвіту, який нині продовжує розширюватися зі зростаючою швидкістю. Ці найбільш віддалені ділянки Всесвіту знаходяться від нас на відстані близько 3 млрд світлових років, тобто 2,8 · 1025 м, і рухаються зі швидкістю 90 000 км/c, що становить приблизно третю частину швидкості світла. Цікаво зазначити, що відповідно до сучасної теорії еволюції Всесвіту швидкість розширення далеких галактик може наблизитися до швидкості світла, проте інтенсивність їх випромінювання при цьому зменшуватиметься до нуля. Саме ці надзвичайно далекі ділянки Всесвіту, які перебуватимуть від нас на відстанях порядку 10 млрд світлових років і для яких швидкість розширення буде наближатися до 300 000 км/c, визначають межу (радіус) того Всесвіту, який ми можемо пізнати і який, таким чином, з точки зору матеріалістичної науки є обмеженим. З іншого боку, найпотужніші прискорювачі елементарних частинок дозволяють вивчати процеси, які відбуваються в ядрі атома, тобто на відстанях менших, ніж 10-15 м. Тепер ми знаємо про внутрішню будову елементарних частинок (електронів, протонів, нейтронів та ін.), а саме – про кварки, а також кванти кваркового поля – глюони. Дослідження процесів еволюції живої природи на відстанях, які є проміжними між згаданими вище найвіддаленішими (понад 1025 м) і найменшими (менше 10-15 м), дають можливість зрозуміти походження основних складових елементів живого – клітин, які мають типові розміри порядку мікрометрів, тобто 10-6 м. Клітини виникли значною мірою завдяки утворенню клітинних плазматичних мембран. Повинен викликати здивування той факт, що сам процес, пов’язаний з так званим самозбиранням ліпідних молекул у водному оточенні і про який мова буде йти нижче, був абсолютно детермінованим, тобто відбувався з імовірністю, рівною одиниці. Біофізика мембранних процесів (як і молекулярна біофізика, і біофізика складних систем) досягла значних успіхів завдяки тісному зв’язку з іншими

ПЕРЕДМОВА

точними науками. Глибоке розуміння складних процесів у живих системах, які відбуваються на глибинному молекулярному рівні, вимагає використання як прецизійних експериментальних методів, так і сучасних теоретичних підходів. Саме об’єднання якісного і кількісного рівнів розуміння медико-біологічних процесів у клітинах і в організмі в цілому – це, безумовно, той напрямок, по якому буде розвиватися медицина XXI століття, спираючись на досягнення медичної та біологічної фізики, біохімії, мікробіології, інженерії та інших наук. Сучасний етап розвитку медичної освіти висуває нові вимоги до змісту, методики й організації викладання багатьох дисциплін у вищій медичній школі. Це повністю стосується викладання дисципліни «Медична та біологічна фізика». Останнім часом багато досягнень медицини значною мірою пов’язані з успіхами фізики, біології, комп’ютерної техніки та інформатики, медичного приладобудування. Ця важлива обставина викликає необхідність отримання студентами вищих медичних навчальних закладів України загальних і спеціальних знань у галузі медичної та біологічної фізики. На жаль, досі в українській вищій медичній школі відсутній підручник, який би в досить простій і стислій формі викладав питання, що містяться в затвердженій Міністерством охорони здоров’я України програмі дисципліни «Медична та біологічна фізика» відповідно до вимог кредитно-модульної системи навчання. Запропонований підручник заповнює цей пробіл. Його основу складають лекції і лабораторний практикум, що викладалися протягом багатьох років студентам Київського медичного інституту – нині Національного медичного університету імені О. О. Богомольця. Саме цей підручник дасть можливість студентам вищих медичних навчальних закладів України вивчити складну і водночас дуже цікаву й важливу для освіти лікаря XXI століття дисципліну «Медична та біологічна фізика». Кожен з трьох модулів містить не тільки теоретичні лекції, але й практичні та лабораторні роботи, а також завдання для самоконтролю. Цим самим автори постаралися об’єднати «тріаду» (лекції, лабораторний практикум і задачник) в один підручник, досить невеликий за обсягом. Автори від НМУ висловлюють подяку всім викладачам, які в різні роки працювали на кафедрі медичної та біологічної фізики Національного медичного університету імені О. О. Богомольця. Наша особлива подяка доцентам, кандидатам наук А. В. Говорусі, А. І. Єгоренкову, В. В. Пащенко, О. М. Чайці, І. Ф. Марголич, Д. В. Лукомському, ст. викл. О. В. Зайцевій та викл. Н. Л. Гриценко.

ПЕРЕДМОВА

Ми вдячні рецензентам – завідувачу кафедри молекулярної фізики Київського національного університету імені Тараса Шевченка, академіку НАН України, доктору фіз.-мат. наук, професору Л. А. Булавіну; академіку-секретарю НАПН України, доктору пед. наук, професору О. І.Ляшенко; завідувачці кафедри медичної та загальної хімії Національного медичного університету імені О. О. Богомольця, заслуженому діячу науки і техніки України, доктору хім. наук, професору В. О. Калібабчук за цінні поради. Автори будуть вдячні за всі критичні зауваження і висловлюють надію, що підручник «Медична та біологічна фізика» буде корисний не тільки студентам медичних вузів України, але й студентам, аспірантам, викладачам інших навчальних закладів, а також усім тим, хто цікавиться ідеями та досягненнями сучасної медичної і біологічної фізики. Проф. О. В. Чалий

МОДУЛЬ 1 МАТЕМАТИЧНА ОБРОБКА МЕДИКО-БІОЛОГІЧНОЇ ІНФОРМАЦІЇ

ЛЕКЦІЙНИЙ РОЗДІЛ РОЗДІЛ 1.1. Основи математичного аналізу 1.1.1. Елементи диференціального числення Похідна і диференціал функції Похідною функції y = f (x) в точці x0 (символічно f '(x0)) називається границя відношення приросту функції Δy до приросту аргументу Δx за умови, що приріст аргументу нескінченно малий (Δx → 0), тобто: y '  lim

x  0

y f (x 0  x)  f (x 0)  lim x x 0 x

Використовуються також позначення похідної: f '(x),

(1.1) df ( x) dy , . dx dx

Якщо функція y = f(x) в деякій фіксованій точці має похідну, то функція в цій точці неперервна.

Розділ 1.1.

ОСНОВИ МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ

Зауважимо, що обернене твердження не є правильним, тобто не будьяка неперервна в точці функція має похідну в цій точці. Так, наприклад, функція y = |x| в точці x = 0 неперервна, але похідної в цій точці не має. Якщо функція f (x) диференційована в кожній точці деякого проміжку, то кажуть про диференційованість на даному проміжку. Якщо ж, крім цього, похідна f '(x) неперервна, то кажуть, що функція неперервно диференційована на даному проміжку. Процедуру визначення похідної називають диференціюванням функції. Приклад. Функція х2 має скінченну похідну при будь-якому дійсному х, яка дорівнює 2х. Дійсно, для довільного х маємо: 2 xx  (x)2 ( x  x)2  x 2  lim (2 x  x) = 2x.  lim x  0 x  0 x  0 x x

f '( x)  lim

Якщо функція y = f(x) диференційована, то її приріст Δy можна подати у вигляді: Δy = y'Δx + α (х, Δx) Δx.

(1.2)

Похідна α (х, Δx) Δx є нескінченно малою вищого порядку малості щодо Δx, оскільки: lim

x  0

α ( x, x)x  lim α ( x, x)  0. x  0 x

Таким чином, приріст диференційованої функції складається з двох частин (двох доданків), перша з яких наближається до нуля "повільніше", ніж друга, і є лінійною відносно Δx. Цю частину приросту називають головною. Головна частина приросту функції Δy, яка дорівнює добутку похідної y' на приріст аргументу Δx, називається диференціалом функції і позначається як dy: dy = y'Δx. Якщо y = x, то dy = dx = x' Δx, але x' = 1. Звідси: dх = Δх,

МАТЕМАТИЧНА ОБРОБКА МЕДИКО-БІОЛОГІЧНОЇ ІНФОРМАЦІЇ

МОДУЛЬ 1

тобто диференціал незалежної змінної дорівнює її приросту. Остаточно маємо: диференціал функції дорівнює добутку похідної функції на диференціал незалежної змінної: dy = y' dx. З (1.3) маємо y  

(1.3)

dy , тобто похідна функції дорівнює відношенню dx

диференціала цієї функції до диференціала аргументу. Із рівності (1.2) випливає, що при малих Δx справедлива наближена рівність або

Δy ≈ dy,

(1.4)

f(x + Δx) ≈ f(x) + f '(x) dx.

(1.5)

Ці рівності використовуються при наближених обчисленнях і в теорії похибок; вони дозволяють звести визначення приросту функції до визначення похідної (диференціала), що, як правило, є простішим завданням. Геометричний зміст похідної і диференціала. Геометричне тлумачення похідної тісно пов’язане з поняттям дотичної. Дотичною до графіка функції y = f (x) в точці M(x0, y0) називають граничне положення січної MN (рис. 1.1) при необмеженому наближенні точки N до точки M. Нескладно побачити з рис. 1.1, що кутовий коефіцієнт y січної дорівнює: tg α  . x Якщо ж точка N наближується до M, то січна MN займає граничне положення, для якого α → φ при Δх → 0. Таким чином, значення похідної y' = f '(x0) в точці x0 визначає кутовий коефіцієнт дотичної, проведеної до графіка функції y = f (x) в точці M(x0, y0), тобто: lim tg α  tg ϕ , або y'(х0) = tg ϕ.

x  0

Рис. 1.1

Розділ 1.1.

ОСНОВИ МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ

У цьому і полягає геометричне тлумачення похідної. Рівняння дотичної до графіка функції y = f (x) в даній точці М(x0, y0) має вигляд: y  y0  f   x0  x  x0  . Тангенс кута нахилу дотичної (y' = tg φ) – дуже важлива і зручна характеристика поведінки функції в точці: якщо він додатний (кут φ гострий), то функція зростає в όколі досліджуваної точки, якщо tg φ < 0 (кут φ тупий), то спадає; по модулю tg ϕ  y  можна судити про швидкість зростання (спадання) функції. Далі ми зупинимося на цьому питанні детальніше. Тут можемо лише стверджувати, що характер похідної повністю визначається характером вихідної функції y = f (x). Як видно з рис.1.1, АВ = tg φ · Δx, оскільки tg φ = y'(x0), а Δx = dx > 0, АВ=dy, тобто диференціал dy дорівнює приросту ординати дотичної, проведеної в точці М до графіка даної функції y = f (x). Фізичний зміст похідної й диференціала. У кожній точці, де функція y = f (x) диференційована, похідна y' = f '(x0) є швидкістю зміни функції в цій точці відносно аргументу x. Заміна приросту функції її диференціалом дозволяє вважати процес зміни функції лінійним відносно досить малих змін аргументу. Приклади. 1. Якщо s(t) – закон руху матеріальної точки, то згідно з виs значенням миттєва швидкість υ = lim . Таким чином, миттєва швидкість: t  0 t υ =

ds  s' dt

Диференціал ds = υ dt визначає шлях, який пройшла б матеріальна точка за час Δt = dt, рухаючись рівномірно. 2. Аналогічно, якщо q = q(t) – закон, що визначає залежність величини заряду, який проходить через поперечний переріз провідника, від часу t, то dq визначає силу струму в момент часу t. Диференціал похідна I = q' = dt dq = I dt визначає кількість заряду, який пройшов би за проміжок часу dt при силі постійного струму І через поперечний переріз провідника.

МАТЕМАТИЧНА ОБРОБКА МЕДИКО-БІОЛОГІЧНОЇ ІНФОРМАЦІЇ

МОДУЛЬ 1

3. Якщо p(t) визначає залежність чисельності популяцій бактерій від часу dp t, то  p ' – швидкість збільшення популяції, а dp = p'dt – зміну чисельності dt популяції за досить короткий проміжок часу dt. Основні правила диференціювання Припустимо, що u = f (x) та υ = φ (x) – диференційовані функції незалежної змінної x; c – деяка константа; тоді справедливі такі твердження: 1. Похідна постійної y = c дорівнює нулю: c' = 0. 2. Похідна суми (різниці) двох функцій дорівнює сумі (різниці) похідних цих функцій: (u ± υ)' = u' ± υ'. 3. Постійний множник можна винести за знак похідної: (cu)' = c u'. 4. Похідна добутку функцій визначається за формулою: (uυ)' = u'υ + uυ' 5. Похідна частки:  υ  υ u  u υ , за умови, що u ≠ 0.    u2 u Правила визначення диференціала такі ж, як і правила визначення похідних (звідси і термін диференціювання). Щоб отримати диференціал функції, потрібно похідну помножити на диференціал незалежної змінної. Обчислення похідної, а, значить, і диференціала, безпосередньо за визначенням досить громіздке. Наведемо ряд результатів, які значно спрощують процедуру диференціювання.

Розділ 1.1.

ОСНОВИ МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ

Таблиця похідних основних елементарних функцій 1. (xn)' = n xn–1.

2. (sin x)' = cos x. 1 . 4. (tg x)' = cos 2 x

3. (cos x)' = – sin x. 5. (ctg x)' = 

1 . sin 2 x 1

7. (arccos x)' = –

1 x 1 . 9. (arcctg x)' = – 1  x2

8. (arctg x)' =

1  x2

1 . 1  x2

10. (ax)' = ax ln a.

11. (ex)' = ex. 13. (loga x)' =

6. (arcsin x)' =

12. (ln x)' =

1 . x

log a e 1  (x > 0, a > 0). x ln a x

Правило диференціювання складеної функції Якщо y = f(u), а u = φ (x), тобто y = f [φ (x)] – складена функція, і функції y(u) та u = φ (x) диференційовані, то складна функція y = f [φ (x)] також диференційована, причому y ( x)  y (u ) u ( x) ,

(1.6)

або в інших позначеннях dy dy du  . dx du dx Доведення. Якщо функція y = f(u) має похідну в точці u, тоді згідно з (1.2) y  y ' u  α (u , u )  u . Функція u = φ (x) має похідну в точці x, тоді Маємо

u  u 'x x  β ( x, x)  x. y  yu  u x x  yu β x  u xα x  αβ x .

МАТЕМАТИЧНА ОБРОБКА МЕДИКО-БІОЛОГІЧНОЇ ІНФОРМАЦІЇ

МОДУЛЬ 1

Поділимо обидві частини останньої рівності на Δx: y  yu  u x  yu  β  u x  α  αβ . x Перейдемо до границі при Δx → 0 і отримаємо y x  yu  u x . Це правило поширюється на ланцюжок із будь-якого числа диференційованих функцій. Наприклад, якщо y = sin2x3, то y' = 2 sin x3 (sin x3)' = 2 sin x3 cos x3 (x3)' = 3x2 2 sin x3 cos x3 = 3x2 sin 2x3. Інваріантність (незмінність) форми диференціала Формула для визначення диференціала функції y = f(u) не залежить від того, чи буде u незалежною змінною, чи функцією від незалежної змінної. Нехай y = f(u), а u = φ (x), тобто y = f [φ (x)], і обидві ці функції диференційовані. Тоді dy  f udu , якщо u – незалежна змінна. Якщо ж незалежна змінна x, то dy  y x  dx . Враховуючи те, що y x  yu  u x , маємо dy  y x  u x  dx  yu  du  f udu . Цю властивість називають інваріантністю форми диференціала функції однієї змінної.

Похідні і диференціали вищого порядку Похідна f ( x) 

dy сама може бути неперервною функцією; в такому виdx

падку можна ввести поняття похідної другого порядку. Похідною другого порядку, або другою похідною функції, називається похідна від її похідної: (f ' (x))' = f " (x) = y"=

d2y , dx 2

Розділ 1.1.

ОСНОВИ МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ

тобто y   lim

x  0

y (x 0  x)  y (x 0) . x

Наприклад, прискорення за визначенням є другою похідною шляху за часом a(t) = s" (t). Якщо друга похідна (функція f " (x)) диференційована, то можна визначити третю похідну f ''' (x). dny і отримуПохідну n-порядку функції y = f (x) позначають y(n)(x) або dx n ють в результаті диференціювання n разів функції y = f (x). При обчисленні похідних вищих порядків використовуються такі ж правила, як і при обчисленні похідної першого порядку. Дослідження на монотонність. Точки екстремуму. У цьому параграфі буде показано, як за допомогою похідних можна виявити основні особливості поведінки функції: визначити проміжки монотонності і точки екстремуму. При геометричному тлумаченні змісту похідної ми помітили, що на проміжку зростання функції кутовий коефіцієнт дотичної, а значить, і похідна функції будуть позитивними, а на проміжку спадання – негативними. Прості й наочні міркування, які привели до такого висновку, справедливі і в загальному випадку. Сформулюємо їх у вигляді ознак. Достатня ознака монотонності. Розглянемо функцію y = f (x), неперервну і диференційовану на деякому відрізку a ≤ x ≤ b. Якщо при цьому в кожній точці деякого проміжку із вказаного інтервалу виконується нерівність y' > 0,

(1.7)

то на цьому проміжку функція – зростаюча. Якщо ж y' < 0

(1.8)

на деякому проміжку, то на цьому проміжку функція – спадна. Максимуми та мінімуми функцій. Кажуть, що функція f(x) має в точці максимум (мінімум), якщо існує така границя цієї точки (x0 – δ, x0 + δ), що для кожного х із цієї границі виконується нерівність f (x) < f (x0) (f (x) > f (x0)). Інакше

МАТЕМАТИЧНА ОБРОБКА МЕДИКО-БІОЛОГІЧНОЇ ІНФОРМАЦІЇ

МОДУЛЬ 1

кажучи, функція f(x) має в точці x0 максимум (мінімум), якщо для достатньо малого приросту Δx (будь-якого знаку) виконується нерівність: f (x0 + Δx) < f (x0)

(f (x0 + Δx) > f (x0)).

Максимуми та мінімуми функції називаються її екстремумами. Необхідна умова існування екстремуму. Якщо диференційовна в деякому інтервалі (а; b) функція має в точці x0 ∈ (а; b) екстремум, то її похідна в цій точці дорівнює нулю: f '(x0) = 0. Внутрішні точки області визначення функції, в яких похідна або існує і дорівнює 0, або не існує, називають критичними. Рівність похідної нулю – необхідна, але недостатня умова екстремуму. Наприклад, для функції y = x3 похідна y' = 3x2 перетворюється в нуль при х = 0. Але при х = 0 функція y = x3 екстремуму не має. Достатня умова існування екстремуму. Якщо похідна функції f ' (x) перетворюється в нуль у точці х0 і при переході через цю точку в напрямку зростання х змінює знак “+” (“–”) на “–” (“+”), то в точці х0 функція f (x) має екстремум. Друга достатня умова існування екстремуму. Якщо функція f (x) має в точці х0 і її межах неперервні першу і другу похідні, причому f '(x0) = 0, то функція має в точці х0 мінімум (максимум), якщо f ''(x0) > 0 (f ''(x0) < 0). Максимальне та мінімальне значення функції на відрізку. Зазначимо, що не слід плутати максимум (мінімум) із найбільшим (найменшим) значенням функції на проміжку. Згідно з визначенням, максимум (мінімум) – це така точка, в якій функція набуває найбільшого (найменшого) значення порівняно зі значеннями функції у досить близьких до екстремальної точках. Функція може мати декілька максимумів і мінімумів, але найбільше значення, якщо воно існує, – єдине. Це ж стосується і найменшого значення. Якщо функція f (x) визначена і неперервна на відрізку [a; b], то вона досягає на цьому відрізку свого найменшого та найбільшого значення, для визначення яких необхідно визначити всі критичні точки функції, що належать цьому відрізку, а також додати до них значення на кінці відрізка (x = a; x = b), визначити значення функції у всіх цих точках; вибрати з них найбільше і найменше. Якщо f (x) має на відрізку [a; b] скінченну кількість точок розриву, то потрібно також дослідити поведінку функції в όколі кожної точки розриву. У разі відкритого проміжку досліджують також поведінку функції в односторонніх όколах кінців проміжку.

Розділ 1.1.

ОСНОВИ МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ

Функції декількох змінних Частинні похідні і диференціали функцій декількох змінних. Поняття функції однієї змінної не охоплює всі функціональні залежності, що існують у природі. У багатьох прикладних задачах доводиться мати справу з функціями багатьох змінних. Наприклад, рівень радіоактивного забруднення є функцією координат і часу, тиск газу є функцією об’єму і температури. Нехай G – множина точок координатної площини. Розглянемо функцію f (M), M ∈ G, яка кожній точці М множини G ставить у відповідність деяке дійсне число u = f (M). Оскільки точка М однозначно визначається своїми координатами (x, y), то говорять, що u є функцією двох змінних, х та y, і записують: u  f  x, y  ,  x, y   G . Таким чином, функцією двох змінних f (x; y) називається функція, яка кожній парі чисел (x,y) ∈ G ставить у відповідність деяке число u = f (x, y). Наприклад, f  x, y   e xy  sin y  x 2 ; f  2, 0   e0  sin 0  22  3. Аналогічно визначаються функції трьох і більшої кількості змінних u  f  x1 , x2 , ..., xn  . Наприклад, f  x1 , x2 , x3 , x4   tg 7x1  x12  x22  x32  x42 . Областю визначення D функції декількох змінних u  f  x1 , x2 , ..., xn  називається множина всіх наборів  x1 , x2 , ..., xn  , при яких функція має значення. Наприклад, областю визначення функції f  x, y   х  у є множина пар (x,y), при яких х + y ≥ 0. Запишемо приріст функції z = f (x, y), що відповідає приросту Δx аргументу х при фіксованому y = y0  z  f  x0   x, y0   f  x0 , y0  . Утворимо відношення приросту функції Δz до приросту аргументу Δx: z f ( x0  x, y0 )  f ( x0 , y0 )  . x x

МАТЕМАТИЧНА ОБРОБКА МЕДИКО-БІОЛОГІЧНОЇ ІНФОРМАЦІЇ

МОДУЛЬ 1

Якщо існує межа цього відношення за умови, що Δx → 0, то вона називається частинною похідною функції z=f (x, y) за змінною х у точці (x0, у0).Це символічно записується  z z f    z x ( x, y ) . x 0  x x x lim

Аналогічно вводиться частинна похідна за y і позначається

z , z y , f y y

Частинною похідною функції багатьох змінних називається похідна функції, яка обчислена на основі припущення, що змінюється лише один з аргументів, а інші постійні. Будемо вважати, що функція z = f (x, y) має частинну похідну

f в межах y

деякої точки М. Якщо при цьому існує частинна похідна по y від f , то її наx зивають змішаною частинною похідною в точці М: 2 f   f     xy x  y  ˙ Якщо похідну беруть двічі за однією і тією ж змінною, то її позначають: 2 f   f    ˙ 2 x  x  x Справедливе співвідношення 2 f  f  f  ( ) ( ) xy x y y x ˙ Це твердження носить назву теореми Шварца, яку без доведення сформулюємо для функції n незалежних змінних. Теорема. Якщо функція u = f(x1, x2, …, xn) визначена разом зі своїми частинними похідними в деякому όколі точки A (х01, х02, ..., х0n), причому змішані

Розділ 1.1.

ОСНОВИ МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ

похідні другого порядку неперервні в цій точці, то значення цих похідних не залежать від порядку диференціювання: 2 f 2 f .  xi xk xk xi Приклад. Нехай u = x2 + y2 + 3xy. Знайдемо частинні похідні u u  2x  3y і  2 y  3x . x y Змішані частинні похідні будуть такими:   u    u     3.  3 и y  x  x  y  Ми на прикладі переконалися в рівності змішаних частинних похідних другого порядку. Повний диференціал. Розглянемо u = f (x, y, z) – функцію трьох незалежних змінних, яка є визначеною і диференційовною в деякій області. Головна, лінійна відносно Δx, Δy, Δz, частина приросту функції називається повним диференціалом du функції трьох змінних х, y, z: du 

u u u dx  dy  dz  f x dx  f y dy  f z dz . x y z

(1.9)

Добуток частинної похідної функції та диференціала відповідної незалежної змінної називають частинним диференціалом функції n незалежних змінних. Таким чином, повний диференціал функції дорівнює сумі її частинних диференціалів. При вивченні поведінки функції в деякій точці простору особливий інтерес у фізиці викликає питання про напрямок максимального зростання функції в даній точці. Вектор, модуль якого дорівнює найбільшій швидкості зростання функції u = f (x, y, z) в даній точці Р, а напрямок співпадає з напрямком максимального зростання, називається градієнтом функції. Градієнт має

МОДУЛЬ 2 ОСНОВИ БІОЛОГІЧНОЇ ФІЗИКИ

“Механічний рух у тілі тварини підпорядковується тим самим законам, що й рух тіл неживих, і тому очевидно, що питання про те, яким саме чином і якою мірою рух крові по судинах залежить від м’язових і пружних сил серця і судин, зводиться до проблем, які належать вузько спеціальним розділам гідравліки”. Томас Юнг

ЛЕКЦІЙНИЙ РОЗДІЛ РОЗДІЛ 2.1. Основні принципи біомеханіки Біологічні тканини складні за своєю будовою, неоднорідні за своїм складом, їх структура і властивості визначаються тими функціями, які вони виконують у живих організмах. У морфології виділяють декілька типів тканин – епітеліальну, тканини внутрішнього середовища (кров і лімфу), сполучну, м’язову, нервову. Всі вони, як правило, мають клітинну будову, складну структуру, і всім цим тканинам притаманний механічний рух у тій чи іншій мірі,

Розділ 2.1.

ОСНОВНІ ПРИНЦИПИ БІОМЕХАНІКИ

117

починаючи з внутрішньоклітинних мікрорухів скоротливих білкових ниток до макрорухів окремих органів і систем. Деякі з тканин призначені для виконання опорно-рухової функції і в процесі життєдіяльності підлягають значним механічним навантаженням. Різні форми механічного руху в живих системах вивчає біомеханіка, основи якої, як науки про закони механічних рухів у біологічних системах, були закладені за часів Аристотеля, Леонардо да Вінчі, Бореллі, Галілея, Декарта, Гука, Ейлера, Бернуллі, Юнга, Гельмгольца, Пуазейля та ін. (Зауважимо, що останні четверо були професорами медицини). При вивченні деяких механічних властивостей біологічних тканин зручно уявляти їх у вигляді суцільних середовищ, не розглядаючи їх мікроструктуру і абстрагуючись від їх клітинної будови. Середовище може розглядатися як суцільне, якщо відстані, на яких змінюються його усереднені властивості (наприклад, густина, в’язкість і т. п.), значно перевищують розміри частинок (у нашому випадку – клітин, формених елементів), з яких складається середовище. У цьому випадку реальну тканину можна поділити на ряд елементарних об’ємів, розміри яких значно перевищують розміри клітини, і до кожного з них застосовувати закони механіки з метою опису різних механічних явищ, таких як течія або деформація середовища. Розділ механіки, який вивчає течію і деформацію суцільних середовищ, називається реологією. Вивчення цих явищ у біологічних системах становить задачу біореології. Розглянемо деякі важливі поняття реології. Виділимо в суцільному середовищі елементарний об’єм ∆V масою m. Сили F, що діють у суцільному середовищі, можна віднести до одиниці маси (об’єму) або одиниці площі поверхні.   F ; анаПозначимо силу, що діє на одиницю маси речовини, через f  m логічним способом визначається і величина сили, яка діє на одиницю об’єму;   F – так звана об’ємна сила. Наприклад, об’ємні сили інерції і тяжіння f  V відповідно рівні

 ma  f   ρa V

 mg  f   ρ g. V

Із цих виразів випливає, що величини об’ємних сил не залежать від розмірів і мас тіл, а визначаються лише усередненими властивостями тіл (густиною ρ) та характеристиками їх механічного руху (прискоренням а). Вони діють одночасно на всі елементарні об’єми речовини, їх зручно використовувати

118

ОСНОВИ БІОЛОГІЧНОЇ ФІЗИКИ

МОДУЛЬ 2

для опису течії і деформації реальних суцільних середовищ. Наприклад, використання цих сил дозволяє в зручній формі записати рівняння руху різних рідин, у тому числі і крові. (Слід підкреслити, що, описуючи рух суцільних середовищ, використовують не тільки об’ємні сили, але й об’ємну густину енергії w = ΔW/V, яка характеризує величину енергії, що припадає на одиницю об’єму). Різні ділянки середовища можуть взаємодіяти між собою по поверхнях розділу, в цьому випадку зручно користуватися поверхневими силами, тобто силами, які діють на одиницю площі поверхні. Нехай дві ділянки тіла I і II розмежовані між собою поверхнею АВ (рис. 2.1).

Рис. 2.1. Сили, що діють на поверхні розділу середовищ

Виділимо на поверхні АВ малу площу dS, на яку під деяким кутом до нормалі діє сила dF (рис. 2.1а). У цьому випадку характеристикою поверхневих сил є величина напруги (напруження), яка дорівнює силі, що діє на одиницю площі: σ = dF/dS [Н/м2]. Зручно ввести дві складові σ відносно вектора n нормалі до елемента поверхні dS: нормальну складову σn, що діє перпендикулярно до площини, і тангенціальну στ, що спрямована по дотичній до поверхні dS (рис. 2.1б). Саме перша складова включає в себе скалярну величину – тиск Р, який дорівнює відношенню величини сили до величини площі поверхні: P = F/S. Іншим прикладом дії поверхневих сил є поверхневий натяг, який характеризують коефіцієнтом поверхневого натягу α. Цей коефіцієнт чисельно дорівнює силі dF, що діє на одиницю довжини довільного контуру dL на поверхні і спрямована по дотичній до поверхні (рис. 2.1в): α = dF /dL [Н/м]. Поверхневі сили використовують для опису явищ деформації, течії в’язких середовищ, пластичності, повзучості, поверхневого натягу тощо, які спостерігаються при функціонуванні біологічних тканин.

Розділ 2.1.

ОСНОВНІ ПРИНЦИПИ БІОМЕХАНІКИ

119

2.1.1. Механічні властивості біологічних тканин Розглянемо найважливіші механічні властивості біологічних тканин, завдяки яким здійснюються різні механічні явища – функціонування опорно-рухового апарату, процеси деформацій тканин і клітин, поширення хвиль пружної деформації, скорочення і розслаблення м’язів, рух рідких і газоподібних біологічних середовищ. Поміж цих властивостей виокремлюють: – пружність – здатність тіл відновлювати розміри (форму чи об’єм) після зняття навантажень; – жорсткість – здатність матеріалу протидіяти зовнішнім навантаженням; – еластичність – здатність матеріалу змінювати розміри під дією зовнішніх навантажень; – міцність – здатність тіл протидіяти руйнуванню під дією зовнішніх сил; – пластичність – здатність тіл зберігати (повністю або частково) зміну розмірів після зняття навантажень; – крихкість – здатність матеріалу руйнуватися без утворення помітних залишкових деформацій; – в’язкість – динамічна властивість, яка характеризує здатність тіла протидіяти зміні його форми при дії тангенціальних напружень; – текучість – динамічна властивість середовища, що характеризує здатність окремих його шарів переміщатися з деякою швидкістю в просторі відносно інших шарів цього середовища. Пружні властивості тіл. Деформації Всі реальні тіла здатні деформуватися. Зміну форми чи об’єму тіла під дією зовнішніх сил називають деформацією. Розрізняють пружні та пластичні деформації. Пружними називають деформації, які повністю зникають після припинення дії зовнішніх сил. Відновлення початкової форми тіла відбувається під дією внутрішніх сил – сил пружності, що виникають у тілі при деформації. При пластичних деформаціях тіло залишається у деформованому стані після припинення дії зовнішніх сил. Кількісною мірою деформації тіла є абсолютна і відносна деформація. Якщо при деформації тіла деяка величина, що характеризує розміри чи форму тіла (наприклад, довжина або об’єм), набуває значення X, то зміна цієї

120

ОСНОВИ БІОЛОГІЧНОЇ ФІЗИКИ

МОДУЛЬ 2

величини ∆Х = Х – Х0 під дією прикладеної сили називається абсолютною деформацією. Відношення абсолютної деформації до початкового значення Х0 називається відносною деформацією: ε

X . X0

(2.1)

Зовнішня сила, яка діє на ділянку тіла, врівноважується силою пружності. Фізична величина, яка дорівнює пружній силі, що припадає на одиницю площі перерізу тіла, називається, як уже вказувалося, напругою (напруженням): σ 

dFпр dS

Англійський фізик Р. Гук експериментально довів, що напруга в пружно деформованому тілі прямо пропорційна його відносній деформації (закон Гука): σ  E ε , (2.2) де Е – модуль пружності; його величина визначається властивостями матеріалу, з якого виготовлено тіло. Залежно від типу деформації модуль пружності має різні назви, позначення і числові значення. Слід підкреслити, що закон Гука виконується при досить малих відносних деформаціях. Будь-яка складна деформація тіла може бути представлена як результат накладання простіших деформацій: поздовжнього розтягу (розтягування) або стиснення, всебічного розтягу (розтягування) або стиснення і зсуву. Деформація поздовжнього розтягування або стиснення Розглянемо деформацію тіла у випадку, коли один кінець його закріплений, а до другого прикладена зовнішня сила F, яка розтягує це тіло. Відносна деформація в цьому випадку буде дорівнювати ε

l , l0

де ∆l – зміна довжини зразка під дією зовнішньої сили, l0 – початкова довжина зразка. У статичному стані зовнішня сила F урівноважується силами пружності Fпр, що виникають у тілі при деформації (рис. 2.2).

Розділ 2.1.

ОСНОВНІ ПРИНЦИПИ БІОМЕХАНІКИ

121

Рис. 2.2. Деформація розтягування бруска

Закон Гука матиме вигляд: σ E

l  Eε , l0

(2.3)

де σ  F S – нормальна напруга, оскільки діюча сила перпендикулярна площі перерізу зразка S. Модуль пружності Е називається модулем Юнга. Із закону Гука випливає, що Е = σ, якщо ε = 1, тобто якщо ∆l = l0. Іншими словами, модуль Юнга Е дорівнює нормальному напруженню, яке виникло б у зразку при збільшенні його довжини вдвічі, якби для таких великих деформацій був справедливий закон Гука. Зауважимо, що при стисканні зразка модуль Юнга дорівнює такому напруженню, при якому довжина зразка прагне до нуля. Розтягування (або стиснення) зразків завжди супроводжується їх поперечним звуженням (або розширенням), тобто зміною їх поперечних розмірів: Δd = d – d0. Відношення відносної зміни поперечного розміру до відносної зміни поздовжнього розміру називається коефіцієнтом Пуассона: μ

d d 0 . l l0

(2.4)

Оскільки d < 0 при Δl > 0, то μ > 0. Для матеріалів, що погано стискаються, μ ≈ 1/2. Майже всі біологічні матеріали, в тому числі і стінки кровоносних судин, майже не стискаються, тому для них μ ≈ 1/2. Далі ми розглядатимемо лише ізотропні середовища, реологічні властивості яких однакові у всіх напрямках.

122

ОСНОВИ БІОЛОГІЧНОЇ ФІЗИКИ

МОДУЛЬ 2

Деформація всебічного розтягування або стиснення (об’ємна деформація) Об’ємна деформація виникає при рівномірному розподілі стискуючих або розтягуючих сил по поверхні тіла (рис. 2.3а).

Рис. 2.3. Види деформацій: а – об’ємна деформація; б – деформація зсуву; в – деформації згину

Закон Гука в цьому випадку матиме вигляд: σ χ

V , V0

де χ – модуль об’ємної пружності, ΔV і V0 – зміна об’єму тіла і початковий об’єм відповідно. Прикладом напруги, що викликає об’ємну деформацію, є трансмуральний тиск, що дорівнює різниці тисків усередині і зовні судини Pmp = Pв – Pз. Тоді закон Гука набуває вигляду Pтр  χ

V . V0

(2.5)

Деформація зсуву Зсувом називають таку деформацію тіла, при якій його плоскі шари зміщуються паралельно один одному (рис. 2.3б). Зсув виникає під дією дотичного напруження: στ 

Fτ . S

(2.6)

Розділ 2.1.

ОСНОВНІ ПРИНЦИПИ БІОМЕХАНІКИ

123

Згідно з законом Гука στ = G γ, де G – модуль зсуву, γ ≈ tgγ = CC'/CD – кут зсуву, який називається також відносним зсувом (ΔХ = СС' – абсолютний зсув, який дорівнює зсуву одного шару відносно іншого, а CD – відстань між цими шарами). Деформація кручення Деформація кручення виникає у зразку, коли один його перетин нерухомий, а в іншому діє пара сил, момент якої спрямований вздовж осі зразка. Ця деформація використовується в крутильних терезах. Для кожного з розглянутих типів деформацій спостерігаються в межах пружної реакції зразка прямо пропорційні залежності між напругою і відносною деформацією. Коефіцієнти пропорційності – модулі пружності – можуть бути виражені через модуль Юнга (Е) і коефіцієнт Пуассона (μ) матеріалу, тобто для пружних деформацій ізотропних тіл Е і μ повністю визначають реакцію зразка на прикладені напруги. Наприклад, модуль об’ємної пружності тонкої стінки судини можна представити у вигляді

χ = 2hE / (1 – μ2)R,

(2.7)

де h і R – товщина стінки і радіус судини відповідно, h << R.

Рис. 2.4. Діаграма розтягу сталі

Експериментально отриману при деформації залежність напруження, яке виникає у зразку, від відносної деформації називають діаграмою деформації. Типовий вигляд діаграми розтягу металевого зразка представлений на рис. 2.4. Наведену криву можна умовно поділити на п’ять зон. Зона ОА має назву зони пропорційності. У межах цієї зони виконується закон Гука. Зона OB – це зона пружності, де після зняття напруги тіло відновлює свої розміри і форму. Зона ВС називається зоною загальної текучості. У цій зоні подовження зразка

124

ОСНОВИ БІОЛОГІЧНОЇ ФІЗИКИ

МОДУЛЬ 2

відбувається без помітного збільшення напруги. Зона СD – це зона міцності, в цій зоні подовження зразка супроводжується зростанням напруги, на зразку виникає місце майбутнього розриву – шийка, формування якої (точка D) супроводжується процесом місцевої текучості в зоні DE і розривом зразка. Якщо зменшувати навантаження в зоні ВС, то відповідний графік σ = f (ε) піде паралельно ОА і перетне вісь абсцис у точці О1. Відрізок ОО1 визначає залишкову деформацію εост, яка характеризує пластичну деформацію зразка. Отримання діаграми деформації дозволяє визначити ряд найважливіших характерних точок і відповідних їм величин: – границя пропорційності σпроп – найбільша напруга, при якій ще виконується закон Гука; – границя пружності σпр – найбільша напруга, при якій немає залишкових деформацій; – границя текучості σтек – найбільша напруга, при якій відбувається зростання деформації без помітного збільшення напруги; – границя міцності σміцн – найбільша напруга, яку може витримати зразок. При деформаціях тіл часто проявляються в’язкопружні властивості, які полягають у тому, що напруга залежить не тільки від деформації ε, але й від швидкості її зміни з часом, тобто похідної ε'. 2.1.2. Деформація біологічних тканин Розглянемо діаграми деформацій тих біологічних тканин і органів, які в процесі функціонування піддаються значним навантаженням – наприклад, кісткової, м’язової, сухожиль, стінок судин тощо. Експериментальні дослідження показали, що для більшості цих тканин діаграми розтягу або стиснення істотно відрізняються від діаграми, наведеної на рис. 2.4. Для біологічних матеріалів, як правило, не виражена зона загальної текучості, хоча ця властивість чітко проявляється в процесі їх функціонування. Руйнування матеріалу також відбувається без помітного падіння напруги, що характерно для зони СD. Кісткова тканина Ця тканина за своїми механічними властивостями близька до дерева, бетону, деяких металів, тобто матеріалів, які використовуються в будівельних роботах. Не розглядаючи будову кісткової тканини, зазначимо, що вона досить складна за структурою і являє собою композитний матеріал, який складається з органічних і неорганічних речовин і має анізотропні властивості.

Розділ 2.1.

ОСНОВНІ ПРИНЦИПИ БІОМЕХАНІКИ

125

На рис. 2.5 а наведені діаграми розтягу і стиснення вздовж поздовжньої осі зразків кістки зі стегна.

б Рис. 2.5. Діаграми деформацій кістки і колагену

Як бачимо, порівняно зі сталлю деформація відбувається у значних межах до 10 % при стисненні і до 5 % при розтягуванні. При незначних деформаціях (менше 2 %) кістка поводить себе як “гуківське тіло”, для якого залежність σ = f (ε) близька до лінійної. Зауважимо, що кістка краще “працює” на стиснення, ніж на розтягу – межа міцності і розміри деформацій при стисненні майже вдвічі перевищують ті, що спостерігаються при розтягуванні. Колагенові волокна Колагенові нитки є важливою конструктивною частиною сполучної тканини, входять до складу кісток, стінок судин, м’язових оболонок тощо. Ці міцні гнучкі білкові нитки утворені агрегацією потрійних спіралей, які стабілізуються водневими зв’язками, що забезпечує значну міцність ниток при роботі на розрив. Діаграма розтягу ниток колагену наведена на рис. 2.5б. За зовнішнім виглядом вона збігається з діаграмою для кісткової тканини. Вони мають близькі значення граничних деформацій, але межа міцності у колагену більше ніж на порядок менша від межі міцності кістки. Еластинові волокна Еластин являє собою гумоподібний матеріал, що вирізняється значною розтягуваністю та гнучкістю. Ці якості роблять його незамінним компонентом у структурах тих тканин, які в процесі функціонування значно змінюють свою форму і розміри (стінки судин, м’язи, оболонки тощо). Гнучкість і розтягнення еластину пов’язані з властивостями його субодиниць – глобул, об’єднаних у сітчасту структуру жорсткими хімічними зв’язками (сполуками, які назива-

126

ОСНОВИ БІОЛОГІЧНОЇ ФІЗИКИ

МОДУЛЬ 2

ються десмозинами). Сітка легко деформується без розривів цих зв’язків під впливом зовнішніх навантажень. Жорсткість ниток зростає в міру розтягування, що супроводжується витягуванням глобул – субодиниць еластину. Саме це і знаходить відображення на діаграмі (рис. 2.6а).

б Рис. 2.6. Діаграми розтягування еластину і стінки судини (аорти)

Діаграма розтягу судин Стінки судин мають складну будову. Спостерігаються істотні відмінності в будові стінок аорти, артерій, вен, венул і капілярів. Їх пружні властивості визначаються співвідношенням вмісту волокон трьох типів: еластинових, колагенових і м’язових. У колагену модуль Юнга більший, ніж у еластину і гладком’язових волокон, які мають приблизно однакову пружність. У великих судинах (аорті, венах) еластин і колаген становлять приблизно 50 % сухої ваги, в еластом’язових судинах їх вміст зменшується до 40 % і менше. Стінки судин неоднорідні за своєю будовою, відрізняються анізотропними механічними властивостями. До подібних тіл лише наближено можна застосовувати класичні методи дослідження пружних властивостей при визначенні модуля Юнга, межі пружності, межі міцності тощо. На рис. 2.6б наведена діаграма розтягу аорти під впливом трансмурального тиску Р (різниця тисків усередині і зовні судини). Таким чином, при підвищенні тиску (при фізичних навантаженнях, різних патологіях) жорсткість судин або їх тонус різко зростає (див. пунктирну лінію на рис. 2.6б). Фізіологічне значення цього явища зрозуміле – зростаюча жорсткість судини запобігає надмірному росту її об’єму при збільшенні тиску, що, у свою чергу, запобігає надмірному стисненню внутрішніх тканин (напри-

Навчальне видання Чалий Олександр Васильович Цехмістер Ярослав Володимирович Агапов Борис Терентійович та ін.

Медична та біологічна фізика Підручник

Редактор О. В. Марчук Технічний редактор Ж. С. Швець, Ю. П. Тертун Коректор Л. Я. Шутова Комп’ютерна верстка: Г. А. Пєшков Підписано до друку 12.09.16. Формат 60×84/16. Папір офсетний. Гарнітура Таймс. Друк офсетний. Ум. друк. арк. 33,13. Тираж 700 пр. Зам. № 868. ПП “Нова Книга” 21029, м. Вінниця, вул. Квятека, 20 Свідоцтво про внесення суб’єкта видавничої справи до Державного реєстру видавців, виготівників і розповсюджувачів видавничої продукції ДК № 2646 від 11.10.2006 р. Тел. (0432) 52-34-80, 52-34-82. Факс 52-34-81 E-mail: info@novaknyha.com.ua www.novaknyha.com.ua