В статті Paul Zinn-Justin “ SIX-VERTEX, LOOP AND TILING (замощення) MODELS: INTEGRABILITY AND COMBINATORICS” проведено розгляд точно роз’язуваних граткових моделей методами комбінаторики. (Можливо проведено також дослідження питання про інтегрованість моделей методами комбінаторики? Імовірно, що ні, бо, мабуть, всі моделі є інтегровані, просто ми ще не знаємо їх розв’язку.)
Першою точно розв’язаною двовимірною моделлю була модель Ізінга. З моменту появи розв’язку, запропонованого Онзагером були розв’язані інші двовимірні моделі (можеш перерахувати які саме). Для їх розв’язків було розвинено багато різних методів, які, для кожної з моделей, приводять до того самого результату. Проте кожен із цих методів дозволяє глибше зрозуміти якийсь окремий аспект інтегрованості і, отже, дає шляхи до розв’язку ще не розв’язаних моделей. В даній роботі, як вже згадувалося, розгляд ведеться з позиції комбінаторики, яка наголошує на дискретності тих об’єктів, які вивчає. The purpose of this text is to show that the same methods and concepts of quantum integrability lead to non-trivial combinatorial results. (я цього не зрозумів) У розділі 1 розглядаються методи, застосовні до моделі вільних ферміонів. Модель вільних ферміонів у двох вимірах (тут слід бути обережним, бо я, наприклад, не зрозумів, де там двовимірність)
є відносно простою фізичною моделлю, проте вже вона забезпечує
багатство комбінаторних формул. Ця модель є досить популярною останнім часом в математичній літературі. В роботі застосовано основи формалізму вільних ферміонів для того, щоб ввести ввести функції Шура і досліджено їх властивості. Ці функції відіграють важливу роль в усьому подальшому розгляді. Потім отримані результати застосовано до перенумерування плоских розбиттів. We shall then briefly discuss the application to the enumeration of plane partitions. (не зрозумів) (Про розділ 2 пропоную нічого не говорити. Але на всяк випадок пишу.)
У розділі 2 розглянуто шестивершинні моделі і, зокрема, шестівершінну модель із граничними умовами типу доменної стінки. (не знаю, що то таке) Тут
розглянуто її квантову інтегрованість, який є джерелом існування для неї точного розв'язку. Результати цього розділу застосовано до перерахунку знакозмінних матриць. The six vertex model is an important model of classical statistical mechanics in two dimensions, being the prototypical (vertex) integrable model. The ice model (infinite temperature limit of the six-vertex model) was solved by Lieb in 1967 by means of Bethe Ansatz. The solution of the most general six vertex model was given by Sutherland in 1967. The bulk free energy was calculated in these papers for periodic boundary conditions (PBC). Here our main interest will be in a different kind of boundary conditions, the so-called Domain Wall Boundary Conditions. But first we provide a brief review of the six-vertex model.
PS Якось дуже мало вийшло.