Propiedades elásticas de la materia Definimos como cuerpo elástico aquel que recobra su tamaño y su forma originales cuando deja de actuar sobre él una fuerza deformante. Las bandas de hule, las pelotas de golf, los trampolines, las camas elásticas, las pelotas de futbol y los resortes son ejemplos comunes de cuerpos elásticos. La masilla, la pasta y la arcilla son ejemplos de cuerpos inelásticos. Para todos los cuerpos elásticos conviene establecer relaciones de causa y efecto entre la deformación y las fuerzas deformantes. Considere el resorte de longitud (L).Podemos estudiar su elasticidad añadiendo pesas sucesivamente y observando el incremento de su longitud. Una pesa de 20N alarga el resorte en 1cm, una pesa de 40N alargada el resorte 2cm, y una pesa de 60N alarga el resorte 3cm. Es evidente que existe una relación directa entre el estiramiento del resorte y la fuerza aplicada.
Ley de Hooke Robert Hooke fue el primero en establecer esta relación por medio de la invención de un volante de resorte para reloj. En términos generales. Hooke descubrió que cuando una fuerza (F) actúa sobre un resorte produce en él un alargamiento (S) que es directamente proporcional a la magnitud de la fuerza. La ley de Hooke se representa como:
Dónde:
K
es la deformación, esto es, lo que se ha comprimido o estirado a partir del estado que no tiene deformación. Se conoce también como el alargamiento de su posición de equilibrio.
es la constante de proporcionalidad o de elasticidad.
es la fuerza resistente del sólido. El signo ( - ) en la ecuación se debe a la fuerza restauradora que tiene sentido contrario al desplazamiento. La fuerza se opone o se resiste a la deformación.
Las unidades son: Newton/metro (New/m) – Libras/pies (Lb/p).
La constante de proporcionalidad (k) varía mucho de acuerdo con el tipo de material y recibe el nombre de constante elástica. Para el ejemplo ilustrado, a la constante elástica es:
La ley de Hooke no se limita al caso de los resortes en espiral: de hecho, se aplica a la deformacion de todos los cuerpos elasticos.Para que la ley se pueda aplicar de un modo mas general, es conveniente definir los terminos esfuerzos y deformacion.El esfuerdo se refiere a la causa de una deformacion elastica, mientras que la deformacion se refiere a su efecto, en otras palabras a la alteracion de la forma en si misma. “Los esfuezos son siempre proporcionales a las deformaciones mientras no se alcance el limite elastico del material”
Tipos de esfuerzos Se muestran tres tipos comunes de esfuerzos y sus correspondientes deformaciones. Un esfuerzo y sus correspondientes deformaciones: Un esfuerzo de tensión se presenta cuando fuerzas iguales y opuestas se apartan entre sí. En un esfuerzo de comprensión las fuerzas son iguales y opuestas y se
acercan entre sí. Un Esfuerzo cortante ocurre cuando fuerzas iguales y opuestas no tienen la misma línea de acción. La eficiencia de cualquier fuerza que produce un esfuerzo depende en gran medida del área sobre la que se distribuye la fuerza. Por esta razón una definición más completa de esfuerzo se puede enunciar en la siguiente forma: Esfuerzo es la razón de una fuerza aplicada entre el área sobre la que actúa, por ejemplo Newton por metro cuadrado o libras por pie cuadrado. Como se mencionó antes el término deformación representa el efecto de un esfuerzo dado.La definición general de deformación es la siguiente: Deformación es el cambio relativo en las dimensiones o en la forma de un cuerpo como resultado de la aplicación de un esfuerzo. En el caso de un esfuerzo de tensión o de comprensión, la deformación puede considerarse como un cambio en la longitud por unidad. Un esfuerzo cortante, por otra parte, puede alterar únicamente la forma de un cuerpo sin cambiar sus dimensiones. Generalmente el esfuerzo cortante se mide en función de un desplazamiento angular. El límite elástico es el esfuerzo máximo que puede sufrir un cuerpo sin que la deformación sea permanente. Por ejemplo, una varilla de aluminio cuya área es sección transversal es de 1 in 2 se deforma permanentemente si se le aplica un esfuerzo de tensión mayor de 19000 lb. Esto no significa que la varilla de aluminio se romperá en ese punto, sino únicamente que el cable no recuperara su tamaño original. En realidad se puede incrementar la tensión hasta casi 21000lb antes de que la varilla se rompa. Esta propiedad de los metales les permite ser convertidos en alambres de secciones transversales más pequeñas. El mayor esfuerzo al que se puede someter un alambre sin que se rompa recibe el nombre de resistencia límite. Si no se excede el límite elástico de un material podemos aplicar la Ley de Hooke a cualquier deformación elástica. Dentro de los límites para un material dado, se ha comprobado experimentalmente que la relación de un esfuerzo determinado entre la deformación que produce es una constante. En otra palabra, el esfuerzo es directamente proporcional a la deformación. La ley de Hooke establece: Siempre que no se exceda el límite elástico, una deformación elástica es directamente proporcional a la magnitud de la fuerza aplicada por unidad de área (esfuerzo).
Si llamamos a la constante de proporcionalidad el mĂłdulo de elasticidad, podemos escribir la ley de Hooke en su forma mĂĄs general:
Ejercicios: a) Un resorte se alrga 8cm cuando se cuelga un peso de 4N. Si se cuelga de 6N.Halla el alrgamiento correspondiente.
Datos:
GrĂĄfica:
SoluciĂłn: Formula
X=8cm=0.08m
P2=6N đ??š
đ?‘‹
4
đ??ž
Incognita:
đ??š
đ??ž
F= (-k)(x)
P1= 4N
đ??ž
8
6đ?‘
đ??š
X=
đ?‘Ľ
6đ?‘
5 đ?‘ đ?‘š đ?‘˜đ?‘Ľ
6đ?‘ 5 đ?‘ đ?‘š
1 cuando đ?‘š 1 se đ?‘?đ?‘šcuelga un cuerpo b) Un cuerpo esta colgado de un muelle de modo que la longitud delđ?‘Ľ mismo de 6N de peso es 5cm.Si se le aĂąade 5N mas, pasa a medir 8cm ÂżCuĂĄl es la constate elastica del muelle?
Datos:
GrĂĄfica:
F=5N
SoluciĂłn: Formula
X=3cm
F=k x k=
IncĂłgnita: k=?
đ??ž
5đ?‘ 3đ?‘?đ?‘š
đ??š đ?‘Ľ
k=1.66N/cm
Modulo de elasticidad La region de proporcionalidad entre fatiga y deformacion unitaria es de gran importancia en fisica y en ingenieria.La razon de la fatiga a la deformacion unitaria se denomina modulo de elasticidad, y resulta caracteristica de cada material dado,La ley de Hooke equivale a decir que el modulo de elasticidad es constante.Despejando K tenemos:
Módulo de Young Vamos a considerar que los esfuerzos y deformaciones son longitudinales cuando se aplican a alambres, varillas o barras. Por ejemplo una fuerza se aplica al extremo de un alambre con un área en sección transversal A. El esfuerzo longitudinal está dado por:
La unidad métrica para el esfuerzo es el Newton por metro cuadrado, que es idéntico al pascal (Pa) 1Pa=1N/m2 La unidad del SUEU para el esfuerzo es la libra por pulgada cuadrado (lb/in 2).puesto que la libra por pulgada cuadrada se sigue usando, resuta util compararla con la unidad del S.I.: 1lb/in2=6895Pa-6.895kPa El efecto de tal esfuerzo es el alargamiento del alambre, o sea, un incremento en su longitud.Por tanto, la deforamcion longitudinal puede representarse mediante el cambio de longitud por unidad de longitud.Podemos escribir
Donde L
es la longitud original
∆l
es la elongación (alargamiento total)
Se ha demostrado experimentalmente que hay una disminución similar en la longitud como resultado de un esfuerzo de compresión. Las mismas ecuaciones se aplican ya sea que se trate de un objeto sujeto a tensión o de un objeto sujeto a compresión. Si definimos el módulo de elasticidad longitudinal como Módulo de Young Y, podemos escribir la ecuación como:
= Las unidades del módulo de Young son las mismas que las unidades de esfuerzos:libras por pulgada cuadrada o pascales.Esto es logico, ya que la deformacion longitudinal es una cantidad que carece de unidades (adimensional). Los valores representativos correpondientes de algunos materiales mas comunes se muestran en las tablas:
Ejercicios: a) Una varilla de 4m de longitud y 0.6cm2 de secciĂłn se alarga 0.6 se suspende de un extremo d ella un cuerpo de 50kg estando fijo su otro extremo. Hallar: ďƒź El esfuerzo ďƒź La deformaciĂłn unitaria ďƒź El mĂłdulo de Young GrĂĄfica: Datos: SoluciĂłn: M=500kg G=9.8m/s A=0.6cm2
đ??š
đ?‘šđ?‘”
�
đ??š
L=4m:
S=
đ??´
đ??ˇ đ?‘ˆ
IncĂłgnitas: F=?
D.U.=?
Y=?
S=?
đ?‘Œ
đ??š
đ?‘†đ??ż đ??ż
5
9 8đ?‘š
đ?‘˜đ?‘”
49000đ?‘
�
60∗10−6 đ?‘?đ?‘š2
đ??ż đ??ż
đ??ˇ đ?‘ˆ đ?‘Œ
đ??š
đ?‘ 2
6đ?‘š 4đ?‘š
98 33∗106 4đ?‘š 0 006đ?‘š
49
98 33 ∗ 1 đ??ˇ đ?‘ˆ đ?‘Œ
−6
đ?‘ đ?‘ƒđ?‘Ž
15∗1 6 56 ∗ 1
6
−3
đ?‘š
đ?‘€đ?‘ƒđ?‘Ž
b) Un cable telefĂłnico de 120m de largo y de 2.2mm de diĂĄmetro se estira debido a una fuerza de 380N a lo largo del cable ÂżCuĂĄl es el esfuerzo longitudinal? Si la longitud despuĂŠs de ser estirada es de 120.10m ÂżCuĂĄl es la deformaciĂłn longitudinal? Determine el mĂłdulo de Young para el cable. SoluciĂłn: IncĂłgnitas: Datos: GrĂĄfica: 2 3 2 đ?œ‹đ??ˇ
đ??´
-3
D=2.2*10 m A=? F=380N ∆L=0.10m
đ??´
SL=? DeformaciĂłn=?
đ?œ‹ 2 2∗10 đ?‘š
A=
4
đ??š
�
�
L=120m
đ?‘Œ
đ?‘†đ??ż đ??ż
đ??ˇ đ?‘Œ
−6
đ?‘š2
3 8∗10−6 đ?‘š2
1
đ??ż đ??ż
đ??ˇ
38 ∗1 380đ?‘
�
đ??´
4
1 6đ?‘ ∗ đ?‘š2
1
1 đ?‘š 1 đ?‘š 100đ?‘€đ?‘ƒđ?‘Ž 8 3∗10−4
đ?‘€đ?‘ƒđ?‘Ž
đ??ˇ đ?‘Œ
83∗1 1
4
đ?‘€đ?‘ƒđ?‘Ž
Módulo de corte Los esfuerzos de comprensión y de tensión producen un ligero cambio en las dimensiones lineales. Como se mencionó antes, un esfuerzo altera únicamente la forma de cuerpo, sin que cambie su volumen. Por ejemplo, considere las fuerzas paralelas no concurrentes que actúan sobre el cubo. La fuerza aplicada provoca que cada capa sucesiva de åtomos se deslice sobre la siguiente en forma parecida a lo que les ocurre a las påginas de un libro bajo un esfuerzo similar. Las fuerzas interatómicas restituyen al cubo su forma original cuando cesa dicho esfuerzo. El esfuerzo cortante se define como la relación de la fuerza tangencial F entre el årea A sobre la que se aplica. La deformación cortante se define como el ångulo ø (en radianes), que se conoce como ångulo de corte .Si se aplica la Ley de Hooke, podemos ahora definir el Modulo de corte S en la siguiente forma:
El ångulo ø por lo general es tan pequeùo que es aproximadamente igual a tan ø. Aprovechando este hecho, podemos volver a escribir la ecuación en la siguiente forma:
Debido a que el S nos da informacion sobre la rigidez de un cuerpo, a aveces se te conoce como modulo de rigides.
Ejercicios: a) Un perno de acero tiene una seccion transversal de 1.8*10-4m2 y sobresale 3.8cm de la pared.Si el extremo del perno esta sometido a una fuerza cortante de 35KN con un esfuerzo de 8.27*1010Pa .ÂżCual sera la flexion hacia abajo del perno? Datos:
GrĂĄfica:
SoluciĂłn:
A=1.8*10-4m2 F=35000N
đ??š đ??´ đ?‘‘ đ?‘™
�
S=8.27*1010Pa
đ??šđ?‘™ đ??´đ?‘†
đ?‘‘
L=0.038m
đ??šđ?‘™ đ??´đ?‘‘
35 đ?‘ 38đ?‘š −4 2 18∗1 đ?‘š 8 7∗1 đ?‘‘
IncĂłgnitas:
8 94 ∗ 1
−5
10 đ?‘ƒđ?‘Ž
đ?‘š
d=?
b) Una barra circular maciza de aluminio ajusta holgadamente entro de un tubo de cobre.La barra y el tubo estan unidos mediante un tornillo de 0.25plg de diametro.Calcular el esfuerzo cortante mediante en el tornillo se las barras se cargan por fuerzas p=400lb Datos:
GrĂĄfica: SoluciĂłn:
F=400lb T=0.25pulg IncĂłgnitas: d=? v=?
2v=p
đ?‘? 2
đ?‘Ł
400đ?‘™đ?‘? 2
đ?‘Ł đ?œ‹
đ??´
5
đ?‘™đ?‘?
2
4 đ?‘‘
đ?‘Ł
đ?‘™đ?‘? 491đ?‘?đ?‘™đ?‘”2
491đ?‘?đ?‘™đ?‘”2
đ??´ đ?‘‘
4 73đ?‘?đ?‘ đ?‘–
Elasticidad de volumen;modulo volumetrico Hasta ahora hemos considerado los esfuerzos que causan un cambio en la forma de un objeto oq ue dan por resultado principalmente deformaciones en una sola dimension.En esta seccion nos ocupamos de los cambios en el volumen.Por ejemplo, considere el cubo en el cual las fuerzas se aplican uniformemente sobre la superficie.El volumen inicial del cubose indica como V y el area de cada cara se representa por A.La fuerza resultante F que se aplica normalmente a cada una de las caras provoca un cambio en el volumen -∆V.El signo menos indica que el cambio representa una redaccion de volumen.El esfuerzo de volumen F/A es la fuerza normal por unidad de area, mientras que la deformacion de volumen - ∆V/V es el cambio de volumen por unidad de volumen.Al aplicar la ley de Hooke definiendo el modulo de elasticidad de volumen o modulo volumetrico
Este tipo de deformaciones se aplica tanto a liquidos como a solidos.La tabla muestra los modulos de volumen para algunos de los liquidos mas comunes.Cuando se trabaja con liquidos a veces es mas conveniente representar el esfuerzo como la presion P, que se define como la fuerza por unidad de area F/A.Coon esta definicon podemos escribir la ecuacion como:
Al valor reciproco del modulo volumetrico se le llama compresibilidad k.Con frecuencia conviene estudiar la elasticidad de los materiales midiendo sus respectivas compresibilidades.Pore definiciones. ( )
La ecuacion indica qe la compresibilidad es el cambio fraccional en volumen por unidad de incremento en la presion. Ejercicios: a) Una presa hidraulica contiene cinco litros de agua.Determine el decremento en volumen de agua cuando se ve sometida a una presion de 2000kPa. GrĂĄfica:
Datos:
SoluciĂłn:
P=2*106Pa
đ?‘ƒđ?‘‰ đ??ľ
đ?‘Ł
V=5L
�
đ?‘‰ 476đ??ż
∗ 1 6 đ?‘ƒđ?‘Ž 5đ??ż 1 ∗ 1 9 đ?‘ƒđ?‘Ž đ?‘‰
4 76đ?‘šđ?‘™
9
B=2.1*10 Pa IncĂłgnitas: ∆v=?
b) Una esfera de latĂłn macizo (B=35000Pa) cuyo volumen es 4L se deja caer en el ocĂŠano hasta una profundidad en la cual la presiĂłn hidrostĂĄtica es 20*106 Pa. ÂżQuĂŠ cambio se registrarĂĄ en el volumen de la esfera? Datos:
GrĂĄfica:
SoluciĂłn:
P=20*106 Pa
V=4L B=35000Pa
đ?‘Ł
đ?‘ƒđ?‘‰ đ??ľ
�
85 71đ??ż
� �
IncĂłgnitas: ∆v=?
BibliografĂa: ďƒ˜ FISICA - PAUL E. TIPPENS - 7MA. EDICION REVISADA.pdf pĂĄg.(266-273)
∗1 35
6
đ?‘ƒđ?‘Ž 4đ??ż đ?‘ƒđ?‘Ž
8571 đ?‘šđ?‘™
FISICA BASICA HIDRAULICA-TERMODINAMICA, ARAUJO Segundo, pág. (46) Web grafía:
Ley de Hooke. Ejercicio. Aplicación de las Tics – YouTube Estados de La Materia.ley de Hooke y Modulo de Young. PROBLEMAS RESUELTOS - Junta de Andalucía Capítulo 6. ESFUERZO CORTANTE - OCW Unican Ejercicio 9 a 13 de esfuerzo cortante - YouTube