ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΤΟΜΟΣ ΙΙΙ

160 × 230 SPINE: 11.9 FLAPS: 0

ΧΡΗΣΤΟΣ Γ. ΝΤΟΥΝΤΟΥΛΑΚΗΣ

Διαβάστε επίσης...

ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ISBN 978-618-205-092-7

ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΔΙΑΘΕΣΗ Βατάτζη 55, 114 73 Αθήνα | ΤΗΛ.: 210 64 31 108 ocelotos@ocelotos.gr | www.ocelotos.gr

ΤΟΜΟΣ

ΙII

ΕΚΔΟΣΕΙΣ

ο σ ε λ ότ ο ς

ΧΡΗΣΤΟΣ Γ. ΝΤΟΥΝΤΟΥΛΑΚΗΣ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΤΟΜΟΣ ΙII Επικαμπύλιο και επιφανειακό ολοκλήρωμα, Θεωρήματα Green, Gauss, Stokes

Για τους φοιτητές και σπουδαστές όλων των Σχολών και Πολυτεχνείων

ΤΙΤΛΟΣ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΤΟΜΟΣ ΙΙI ΣΥΓΓΡΑΦΈΑΣ

Χρήστος Γ. Ντουντουλάκης ΣΕΙΡΑ

Επιστημονικά [5358] 0521/11 COPYRIGHT© 2021 Χρήστος Γ. Ντουντουλάκης ΠΡΏΤΗ ΕΚΔΟΣΗ

Αθήνα, Μάιος 2021 ISBN 978-618-205-092-7

ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΔΙΑΘΕΣΗ Βατάτζη 55, 114 73 Αθήνα | ΤΗΛ.: 210 64 31 108

ocelotos@ocelotos.gr | www.ocelotos.gr

Το παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις της ελληνικής νομοθεσίας και τις διεθνείς συμβάσεις περί πνευματικής ιδιοκτησίας (Νόμος 2121/1993 όπως έχει τροποποιηθεί και ισχύει σήμερα, Ευρωπαϊκή οδηγία 29/2001/EC και κανόνες Διεθνούς Δικαίου). Απαγορεύεται απολύτως με οποιοδήποτε τρόπο ή μέσο (ηλεκτρονικό, μηχανικό ή άλλο), η αντιγραφή, η εν γένει αναπαραγωγή, η φωτοανατύπωση, η εκμίσθωση ή ο δανεισμός, η μετάφραση, η διασκευή, η αναμετάδοση, η αναδημοσίευση, η ανατύπωση, όπως και η εν γένει εκμετάλλευση σε οποιαδήποτε μορφή και με οποιοδήποτε τρόπο, του συνόλου ή μέρους του περιεχομένου του παρόντος βιβλίου χωρίς την έγγραφη άδεια του συγγραφέα και του εκδότη.

Αφιερωμένο σε όλους εκείνους που γοητεύονται από τη δύναμη της γνώσης των Φυσικών Επιστημών και των Μαθηματικών.

Λίγα λόγια για το βιβλίο

Το βιβλίο αυτό, ανήκει στη σειρά βιβλίων Μαθηματικών και Φυσικής του Χρήστου Γ. Ντουντουλάκη, για φοιτητές και σπουδαστές ανώτερων και ανώτατων σχολών. Το παρόν τρίτομο έργο «Ανάλυση – Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών», πραγματεύεται την ύλη που συναντά ένας φοιτητής ή σπουδαστής οποιασδήποτε σχολής, στα πλαίσια συναρτήσεων πολλών μεταβλητών. Είναι συνέχεια του δίτομου έργου «Ανάλυση – Συναρτήσεις μίας μεταβλητής», όπου τέθηκαν οι βάσεις, όχι μόνο για αυτά που θα δούμε εδώ, αλλά και για πολλά μαθήματα διαφόρων σχολών, καθώς τα Μαθηματικά είναι «εργαλείο» απαραίτητο σε όλες τις Επιστήμες. Αυτό το βιβλίο, όπως και κάθε βιβλίο της σειράς, έχει σκοπό να αποτελέσει πανίσχυρο εργαλείο βοήθειας και βαθειάς κατανόησης των αντικειμένων που πραγματεύεται, στα χέρια του αναγνώστη του. Το τρίτομο έργο περιέχει σχεδόν 300 λυμένες ασκήσεις που προσομοιάζουν σε θέματα διαφόρων σχολών της Ελλάδας και του εξωτερικού. Ο βαθμός δυσκολίας τους ποικίλει: από σχετικά μικρός (ασκήσεις για κατανόηση εννοιών) έως μεγάλος, σε επιλεγμένες, σχετικά πολύπλοκες ασκήσεις για όποιον θέλει να δοκιμάσει τις γνώσεις του. Ένα από τα πλεονεκτήματα του έργου αυτού, όπως και όλων των βιβλίων της σειράς, είναι πως δεν «βαριέται» να εξηγήσει πως προκύπτουν οι τύποι που χρησιμοποιούνται και γιατί χρησιμοποιούνται, αλλά και να αναλύσει λεπτομέρειες που πολλές φορές προβληματίζουν τον αναγνώστη, όπως κάποιες ιδιαίτερες συνθήκες ή σχέσεις. Επίσης, υπάρχουν πολλά αναλυτικά σχήματα με αρκετές διευκρινήσεις, ιδιαίτερα σε κεφάλαια όπου ο αναγνώστης θα πρέπει να έχει εποπτεία του τρισδιάστατου χώρου (π.χ. σε θέματα τριπλού ολοκληρώματος ή επιφανειακού, όπως και αλλού). Στόχος είναι να γίνουν κατανοητές και οι δυσκολότερες ασκήσεις του βιβλίου με τη βοήθεια ενός απλού και λογικού τρόπου σκέψης, όπως και να ρίξει «φως» σε «σκοτεινά» σημεία που τα περισσότερα βιβλία και καθηγητές θεωρούν «δεδομένα» ή «προφανή». Στο κεφάλαιο 0, υπενθυμίζονται βασικές μαθηματικές γνώσεις, ενώ στο 1ο κεφάλαιο εξετάζεται το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα μαζί με το θεώρημα Green. Στο 2ο κεφάλαιο προχωράμε στο επιφανειακό ολοκλήρωμα, ενώ στο 3ο κεφάλαιο τελειώνουμε με τα θεωρήματα Gauss και Stokes, τα οποία βρίσκουν εφαρμογή σε πολλούς τομείς των θετικών επιστημών. Στο τέλος του βιβλίου, υπάρχουν θεματικοί, συγκεντρωτικοί, περιληπτικοί πίνακες με όλες τις γνώσεις που έχει λάβει ο αναγνώστης μέσα από το βιβλίο αυτό και όχι μόνο. Αυτοί οι πίνακες θα φανούν χρήσιμοι και σε άλλα, πιο προχωρημένα μαθήματα.

1 – Λίγα λόγια για το βιβλίο

Λίγα λόγια για τον συγγραφέα

Γεννήθηκε στην Αθήνα το 1978. Εισήχθη στο τμήμα Φυσικής του Πανεπιστημίου Κρήτης στο Ηράκλειο το 1996, από όπου πήρε το πτυχίο του το 2000 με βραβεία από το Ι.Κ.Υ. Εισήχθη με υποτροφία στο μεταπτυχιακό πρόγραμμα σπουδών της ίδιας σχολής και έλαβε το μεταπτυχιακό δίπλωμα ειδίκευσης στην «Πυρηνική Φυσική και Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων» το 2002 και το διδακτορικό του δίπλωμα το 2007 με έρευνα και δημοσιεύσεις περί δινών και σολιτονίων στο μοντέλο Goldstone και σε αβελιανά μοντέλα Higgs. Ως βοηθός καθηγητή, στα πλαίσια των μεταπτυχιακών σπουδών του και της διδακτορικής του διατριβής, έκανε μαθήματα διαφορικών εξισώσεων, συναρτήσεων πολλών μεταβλητών και γενικής Φυσικής στο τμήμα Φυσικής αλλά και στο τμήμα Χημείας του Πανεπιστημίου Κρήτης. Εκτός αυτού, είναι ερασιτέχνης μετεωρολόγος όπως και αυτοδίδακτος φωτογράφος με έμφαση στην καιρική φωτογραφία και την αστροφωτογραφία. Έχει γράψει την τριλογία «Τα φυσικά φαινόμενα» (εκδόσεις «Οσελότος»), όπως και βιβλία μαθηματικών και φυσικής για φοιτητές εφαρμοσμένων σχολών.

Λίγα λόγια για τον συγγραφέα – 2

Περιεχόμενα Λίγα λόγια για το βιβλίο Λίγα λόγια για τον συγγραφέα Περιεχόμενα

1 2 3

0.

Μαθηματική εισαγωγή

4

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.10

Θεμελιώδεις γνώσεις Τριγωνομετρικές σχέσεις Υπερβολικές τριγωνομετρικές σχέσεις Βασικά σχήματα Πίνακας με βασικές παραγώγους και ολοκληρώματα Κανόνες παραγώγισης και ολοκλήρωσης Ανάπτυγμα Taylor συνάρτησης μίας μεταβλητής Διανύσματα Σύμβολα Ογδοημόρια του χώρου

4 5 5 6 6 7 8 8 10 11

1.

Επικαμπύλιο ολοκλήρωμα και θεώρημα Green

12

1.0 1.1 1.2

12 13 19

1.4

Εισαγωγή Επικαμπύλιο ολοκλήρωμα Θεώρημα Green Γεωμετρική ερμηνεία και φυσικές εφαρμογές επικαμπύλιου ολοκληρώματος Λυμένες ασκήσεις και θέματα

2.

Επιφανειακό ολοκλήρωμα

76

2.0 2.1

76 77

2.3

Εισαγωγή Επιφανειακό ολοκλήρωμα Γεωμετρική ερμηνεία και φυσικές εφαρμογές επιφανειακού ολοκληρώματος Λυμένες ασκήσεις και θέματα

3.

Θεωρήματα Gauss και Stokes

128

3.0 3.1 3.2 3.3

Εισαγωγή Θεώρημα Gauss Θεώρημα Stokes Λυμένες ασκήσεις και θέματα

128 129 130 133

Συγκεντρωτικοί περιληπτικοί πίνακες

192

Βιβλιογραφία

209

1.3

2.2

3 – Περιεχόμενα

22 23

87 88

Κεφάλαιο 0 Μαθηματική εισαγωγή

Ορισμός πραγματικής συνάρτησης δύο μεταβλητών. Πραγματική συνάρτηση δύο πραγματικών μεταβλητών 𝑓 (𝑥, 𝑦): 𝑅2 → 𝑅 είναι ένας μαθηματικός κανόνας που αντιστοιχεί ένα ζευγάρι πραγματικών αριθμών (𝑥, 𝑦) του 𝑅2 (ή, γενικότερα, του πεδίου ορισμού της) σε μία τιμή 𝑓(𝑥, 𝑦) του συνόλου τιμών της, που αποτελεί και την τιμή της συνάρτησης στο συγκεκριμένο σημείο.

0.1

Θεμελιώδεις γνώσεις

Δυνάμεις και ρίζες 𝑥0 = 1

𝑥 −𝑎 =

,

𝑥 𝑎 𝑥 𝑏 = 𝑥 𝑎+𝑏

1 𝑥𝑎 ,

,

𝑥𝑎 = 𝑥 𝑎−𝑏 𝑥𝑏 𝑏

𝑥 𝑎/𝑏 = √𝑥 𝑎

Ιδιότητες λογαρίθμων 𝑎 ln ( ) = ln 𝑎 − ln 𝑏 𝑏 ln 𝑒 = 1

,

ln(𝑎𝑏) = ln 𝑎 + ln 𝑏 ,

𝑒 ln 𝑎 = 𝑎

,

,

ln 𝑎𝑏 = 𝑏 ln 𝑎

𝑒 ≡ 2.718

Ρίζες τριωνύμου (δευτεροβάθμιας αλγεβρικής εξίσωσης) 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 Λύσεις 𝑥1 , 𝑥2 ή συντομογραφικά 𝑥1,2 𝑥1,2 =

−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐 −𝑏 ± √𝛥 = 2𝑎 2𝑎

Η ποσότητα 𝛥 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 λέγεται διακρίνουσα και το πρόσημό της καθορίζει αν η εξίσωση θα έχει καθαρά πραγματικές ή μιγαδικές λύσεις. Αν είναι μηδενική, τότε η εξίσωση έχει διπλή ρίζα την −𝑏/2𝑎.

Κεφάλαιο 0: Μαθηματική εισαγωγή – 4

Πυθαγόρειο θεώρημα και γωνίες 𝒚 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝒓𝟐 𝑥 𝑟

𝑦

sin 𝜃 = 𝑦

𝜃

tan 𝜃 =

𝒙

𝑥

0.2

𝑦 𝑥 , cos 𝜃 = 𝑟 𝑟 𝑦 𝑥

Τριγωνομετρικές σχέσεις

sin 2𝑥 = 2 sin 𝑥 cos 𝑥 cos 2𝑥 = 2 cos2 𝑥 − 1 = 1 − 2 sin2 𝑥 = cos2 𝑥 − sin2 𝑥 sin2 𝑥 + cos2 𝑥 = 1 sin(𝜃 ± 𝜑) = sin 𝜃 cos 𝜑 ± cos 𝜃 sin 𝜑 cos(𝜃 ± 𝜑) = cos 𝜃 cos 𝜑 ∓ sin 𝜃 sin 𝜑 tan 𝜃 ± tan 𝜑 tan(𝜃 ± 𝜑) = 1 ∓ tan 𝜃 tan 𝜑 𝜃±𝜑 𝜃∓𝜑 ) cos ( ) 2 2 𝜃+𝜑 𝜃−𝜑 cos 𝜃 + cos 𝜑 = 2 cos ( ) cos ( ) 2 2 𝜃+𝜑 𝜃−𝜑 cos 𝜃 − cos 𝜑 = −2 sin ( ) sin ( ) 2 2 sin 𝜃 ± sin 𝜑 = 2 sin (

tan 𝑥 =

0.3

sin 𝑥 cos 𝑥

,

cot 𝑥 =

1 tan 𝑥

,

1 + tan2 𝑥 =

Υπερβολικές τριγωνομετρικές σχέσεις sinh 𝑥 ≡

𝑒 𝑥 − 𝑒 −𝑥 , 2

cosh 𝑥 ≡

𝑒 𝑥 + 𝑒 −𝑥 2

cosh2 𝑥 − sinh2 𝑥 = 1 5 – Κεφάλαιο 0: Μαθηματική εισαγωγή

1 cos2 𝑥

tanh 𝑥 =

0.4

sinh 𝑥 cosh 𝑥

,

1 − tanh2 𝑥 =

1 cosh2 𝑥

Βασικά σχήματα Μήκος περιφέρειας κύκλου ακτίνας 𝑅 Μήκος τόξου που βλέπει σε γωνία 𝜃, κύκλου ακτίνας 𝑅 Εμβαδόν κύκλου ακτίνας 𝑅 Επιφάνεια σφαίρας ακτίνας 𝑅

2𝜋𝑅 𝜃𝑅 𝜋𝑅2 4𝜋𝑅2 4 3 𝜋𝑅 3

Όγκος σφαίρας ακτίνας 𝑅 Πλευρική επιφάνεια κυλίνδρου ύψους ℎ και διατομής ακτίνας 𝑅 Όγκος κυλίνδρου ύψους ℎ και διατομής ακτίνας 𝑅 Εμβαδόν παραλληλογράμμου Εμβαδόν τριγώνου

0.5

2𝜋𝑅ℎ 𝜋𝑅2 ℎ Βάση επί ύψος Βάση επί ύψος δια 2

Πίνακας με βασικές παραγώγους και ολοκληρώματα

Παράγωγοι απλών συναρτήσεων

Παράγωγοι σύνθετων συναρτήσεων

Ολοκληρώματα απλών συναρτήσεων

Ολοκληρώματα σύνθετων συναρτήσεων

∫ 0 𝑑𝑥 = 0 + 𝑐

𝑐′ = 0 , 𝑐 ∈ 𝑅

=𝑐 𝑥′ = 1

∫ 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝑐 (𝑓 𝑘 (𝑥))′ = 𝑘𝑓 𝑘−1 (𝑥)𝑓 ′ (𝑥)

(𝑥 𝑘 )′ = 𝑘𝑥 𝑘−1

′

(𝑒 𝑓(𝑥) ) = 𝑒 𝑓(𝑥) 𝑓 ′ (𝑥)

(𝑒 𝑥 )′ = 𝑒 𝑥

′

(𝑎 𝑥 )′ = 𝑎 𝑥 ln 𝑎 𝑎>0

(𝑎 𝑓(𝑥) ) = 𝑎 𝑓(𝑥) ln 𝑎 𝑓 ′ (𝑥)

(sin 𝑥)′ = cos 𝑥

(sin 𝑓(𝑥))′ = (cos 𝑓(𝑥))𝑓 ′ (𝑥)

∫ 𝑥 𝑘 𝑑𝑥 =

∫ 𝑓 𝑘 (𝑥)𝑓 ′ (𝑥)𝑑𝑥

𝑥 𝑘+1 +𝑐 𝑘+1

=

𝑓 𝑘+1 (𝑥) +𝑐 𝑘+1

∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥

∫ 𝑒 𝑓(𝑥) 𝑓 ′ (𝑥) 𝑑𝑥

= 𝑒𝑥 + 𝑐

= 𝑒 𝑓(𝑥) + 𝑐 ∫ 𝑎 𝑓(𝑥) 𝑓 ′ (𝑥)𝑑𝑥

∫ 𝑎 𝑥 𝑑𝑥 =

𝑎𝑥 +𝑐 ln 𝑎

=

𝑎 𝑓(𝑥) +𝑐 ln 𝑎

∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 =

∫ 𝑓 ′ (𝑥) cos 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

sin 𝑥 + 𝑐

= sin 𝑓(𝑥) + 𝑐

Κεφάλαιο 0: Μαθηματική εισαγωγή – 6

(cos 𝑥)′ = − sin 𝑥

(cos 𝑓(𝑥))′ = (− sin 𝑓(𝑥))𝑓 ′ (𝑥)

(tan 𝑥)′ 1 = cos2 𝑥 (cot 𝑥)′ 1 =− 2 sin 𝑥

(tan 𝑓(𝑥))′ 𝑓 ′ (𝑥) = cos2 𝑓(𝑥) (cot 𝑓(𝑥))′ 𝑓 ′ (𝑥) =− 2 sin 𝑓(𝑥)

(ln 𝑥)′ =

1 𝑥

(ln 𝑓(𝑥))′ =

𝑓 ′ (𝑥) 𝑓(𝑥)

∫ sin 𝑥 𝑑𝑥 =

∫ 𝑓 ′ (𝑥) sin 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

− cos 𝑥 + 𝑐 𝑑𝑥 ∫ cos2 𝑥 = tan 𝑥 + 𝑐 𝑑𝑥 ∫ 2 = sin 𝑥 − cot 𝑥 + 𝑐 1 ∫ 𝑑𝑥 𝑥 = ln 𝑥 + 𝑐

= − cos 𝑓(𝑥) + 𝑐 𝑓 ′ (𝑥)𝑑𝑥 ∫ cos2 𝑓(𝑥) = tan 𝑓(𝑥) + 𝑐 𝑓 ′ (𝑥)𝑑𝑥 ∫ 2 sin 𝑓(𝑥) = − cot 𝑓(𝑥) + 𝑐 𝑓 ′ (𝑥) ∫ 𝑑𝑥 𝑓(𝑥) = ln 𝑓(𝑥) + 𝑐

(sinh 𝑥)′ = cosh 𝑥

(sinh 𝑓(𝑥))′ = (cosh 𝑓(𝑥))𝑓 ′ (𝑥)

∫ cosh 𝑥 𝑑𝑥 =

∫ 𝑓 ′ (𝑥) cosh 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

sinh 𝑥 + 𝑐

= sinh 𝑓(𝑥) + 𝑐

(cosh 𝑥)′ = sinh 𝑥

(cosh 𝑓(𝑥))′ = (sinh 𝑓(𝑥))𝑓 ′ (𝑥)

∫ sinh 𝑥 𝑑𝑥 =

∫ 𝑓 ′ (𝑥) sinh 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

cosh 𝑥 + 𝑐 𝑑𝑥 ∫ = √1 − 𝑥 2 arcsin 𝑥 + 𝑐 𝑑𝑥 ∫ = √1 − 𝑥 2 − arccos 𝑥 + 𝑐 𝑑𝑥 ∫ = 1 + 𝑥2 arctan 𝑥 + 𝑐

= cosh 𝑓(𝑥) + 𝑐

′

(arcsin 𝑓(𝑥)) 𝑓 ′ (𝑥) = √1 − 𝑓 2 (𝑥) (arccos 𝑓(𝑥))′ 𝑓 ′ (𝑥) =− √1 − 𝑓 2 (𝑥) (arctan 𝑓(𝑥))′ 𝑓′(𝑥) = 1 + 𝑓 2 (𝑥)

′

(arcsin 𝑥) 1 = √1 − 𝑥 2 (arccos 𝑥)′ 1 =− √1 − 𝑥 2 (arctan 𝑥)′ 1 = 1 + 𝑥2

0.6

∫

𝑓 ′ (𝑥)𝑑𝑥

√1 − 𝑓 2 (𝑥) = arcsin 𝑓(𝑥) + 𝑐 ∫

𝑓 ′ (𝑥)𝑑𝑥

√1 − 𝑓 2 (𝑥) = − arccos 𝑓(𝑥) + 𝑐

𝑓′(𝑥)𝑑𝑥 1 + 𝑓 2 (𝑥) = arctan 𝑓(𝑥) + 𝑐 ∫

Κανόνες παραγώγισης και ολοκλήρωσης Κανόνες παραγώγισης

Άθροισμα συναρτήσεων Γινόμενο αριθμού με συνάρτηση Γινόμενο συναρτήσεων Πηλίκο συναρτήσεων Άθροισμα συναρτήσεων Γινόμενο αριθμού με συνάρτηση Παραγοντική ολοκλήρωση

(𝑓1 + 𝑓2 + ⋯ )′ = 𝑓1′ + 𝑓2′ + ⋯ (𝑘𝑓)′ = 𝑘𝑓 ′ , 𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓1 𝑓2 𝑓3 … )′ = 𝑓1′ 𝑓2 𝑓3 … + 𝑓1 𝑓2′ 𝑓3 … + 𝑓1 𝑓2 𝑓3′ … + ⋯ 𝑓 ′ 𝑓 ′ 𝑔 − 𝑓𝑔′ ( ) = 𝑔 𝑔2 Κανόνες ολοκλήρωσης ∫(𝑓1 + 𝑓2 + ⋯ )𝑑𝑥 = ∫ 𝑓1 𝑑𝑥 + ∫ 𝑓2 𝑑𝑥 + ⋯ ∫ 𝑘𝑓 𝑑𝑥 = 𝑘 ∫ 𝑓 𝑑𝑥 ∫ 𝑓𝑔′ 𝑑𝑥 = 𝑓𝑔 − ∫ 𝑓 ′ 𝑔 𝑑𝑥

7 – Κεφάλαιο 0: Μαθηματική εισαγωγή

160 × 230 SPINE: 11.9 FLAPS: 0

ΧΡΗΣΤΟΣ Γ. ΝΤΟΥΝΤΟΥΛΑΚΗΣ

Διαβάστε επίσης...

ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ISBN 978-618-205-092-7

ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΔΙΑΘΕΣΗ Βατάτζη 55, 114 73 Αθήνα | ΤΗΛ.: 210 64 31 108 ocelotos@ocelotos.gr | www.ocelotos.gr

ΤΟΜΟΣ

ΙII

ΕΚΔΟΣΕΙΣ

ο σ ε λ ότ ο ς