Henryk Paw³owski
Na olimpijskim szlaku Zadania dla kó³ek matematycznych w szko³ach podstawowych i gimnazjach
Toruñ 2006
strona – 1 — niebieski
strona – 1 — czarny
strona – 1 — czerwony
Henryk Paw³owski
Na olimpijskim szlaku Zadania dla kó³ek matematycznych w szko³ach podstawowych i gimnazjach
Redaktor wydania:
Zdzis³aw G³owacki Korekta:
Joanna Kar³owska-Pik Redakcja techniczna, opracowanie graficzne, ³amanie i przygotowanie do druku:
Robert Ciechanowski, RC PRO (www.rc-pro.eu) Projekt ok³adki:
Miros³aw G³odkowski, Zdzis³aw G³owacki Ilustracje:
Katarzyna Danielewska Ksi¹¿ka zosta³a przygotowana z myœl¹ o uczniach starszych klas szko³y podstawowej, gimnazjum i liceum zainteresowanych matematyk¹. Znajduj¹ siê tutaj m.in. zadania pochodz¹ce z olimpiad i konkursów matematycznych. Na olimpijskim szlaku to elementarz ucznia myœl¹cego powa¿nie o udziale w konkursach matematycznych, to tak¿e zbiór ciekawych zadañ do wykorzystywania na lekcjach matematyki.
© Copyright by Oficyna Wydawnicza „Tutor” Wydanie III. Toruñ 2006 r.
Oficyna Wydawnicza „Tutor” 87-100 Toruñ, ul. Warszawska 14/2, tel./fax 0-56 65-999-55, 0-56 66-408-66 Wysy³kowa Ksiêgarnia Internetowa: www.szkolna.pl
ISBN 978-83-89563-25-5
strona – 2 — czarny
„Nie mo¿esz rozwi¹zaæ trudnego zadania — bierz siê za zadanie niemo¿liwe” (Aleksander Wielki)
strona – 3 — czarny
strona – 4 — czarny
Spis treœci Od Autora
7
Rozdzia³
1
Figle z zapa³kami
9
Rozwi¹zania – Rozdzia³
1
Figle z zapa³kami
26
Rozdzia³
2
Zadania geometryczne
49
Rozwi¹zania – Rozdzia³
2
Zadania geometryczne
67
Rozdzia³
3
Diagramy i rebusy
92
Rozwi¹zania – Rozdzia³
3
Diagramy i rebusy
100
Rozdzia³
4
Potêgi i wzory skróconego mno¿enia
108
Rozwi¹zania – Rozdzia³
4
Potêgi i wzory skróconego mno¿enia
114
Rozdzia³
5
Równania, nierównoœci i to¿samoœci
128
Rozwi¹zania – Rozdzia³
5
Równania, nierównoœci i to¿samoœci
strona – 5 — niebieski
strona – 5 — czarny
136
strona – 5 — czerwony
Rozdzia³
6
Zadania rozmaite
153
Rozwi¹zania – Rozdzia³
6
Zadania rozmaite
161
Ma³e vademecum pocz¹tkuj¹cego olimpijczyka
175
1. Arytmetyka i algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5.
Elementy teorii podzielnoœci . . . . . . . . . . . . Przydatne to¿samoœci i nierównoœci . . . . . . . . . Symbol Newtona, dwumian Newtona i trójk¹t Pascala Wartoœæ bezwzglêdna liczby rzeczywistej . . . . . . . Czêœæ ca³kowita (cecha) i czêœæ u³amkowa (mantysa) liczby rzeczywistej x . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 175 . . . . . . . . 179 . . . . . . . . 181 . . . . . . . . 183 . . . . . . . . 185
2. Geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 2.8. 2.9. 2.10.
Elementy geometrii trójk¹ta . . . . . . . . . . . Okr¹g i prosta . . . . . . . . . . . . . . . . . W³asnoœci ³uków i ciêciw okrêgu . . . . . . . . . K¹ty w kole . . . . . . . . . . . . . . . . . . Czworok¹ty wpisane w okr¹g . . . . . . . . . . Dwa okrêgi . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kilka faktów o trapezie . . . . . . . . . . . . . n-k¹ty (n ³ 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . Twierdzenie Talesa i doñ odwrotne . . . . . . . Geometryczny dowód zale¿noœci miêdzy œrednimi dwóch liczb dodatnich . . . . . . . . . . . . . 2.11. Bry³y Platona . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 186 . . . . . . . . . . 191 . . . . . . . . . . 193 . . . . . . . . . . 194 . . . . . . . . . . 195 . . . . . . . . . . 197 . . . . . . . . . . 200 . . . . . . . . . . 201 . . . . . . . . . . 202 . . . . . . . . . . 203 . . . . . . . . . . 203
Propozycje tematów zajêæ kó³ek matematycznych
205
Literatura
207
Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 Ksi¹¿ki, po które warto siêgn¹æ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
strona – 6 — czerwony
strona – 6 — czarny
strona – 6 — niebieski
Od Autora
Coraz wiêcej pañstw ca³ego œwiata organizuje narodowe olimpiady matematyczne, ale s¹ one adresowane zazwyczaj do uczniów szkó³ œrednich. W niektórych krajach olimpiadami regularnie obejmowani s¹ tak¿e uczniowie klas m³odszych. W takich pañstwach jak np. Rosja, Litwa, £otwa, Estonia, Bia³oruœ, Ukraina (a dawniej ca³y Zwi¹zek Radziecki), Czechy, S³owacja (kiedyœ Czechos³owacja), Wêgry, Rumunia, Bu³garia, ta forma pracy z uzdolnionym matematycznie uczniem ma swoj¹ d³ugoletni¹ i bogat¹ tradycjê. Organizowane w Polsce konkursy matematyczne dla uczniów szkó³ podstawowych (g³ównie klas V i VI) oraz gimnazjów maj¹ zasiêg lokalny. Odbywaj¹ siê one niezale¿nie od siebie w ka¿dym województwie. £¹czy je ta sama liczba etapów, ró¿ni zaœ stopieñ trudnoœci przygotowywanych zadañ. Niniejszy zbiór, przeznaczony dla uczniów szkó³ podstawowych i nowo utworzonych gimnazjów, zawiera zadania z olimpiad matematycznych wymienionych wy¿ej pañstw. S¹ tutaj tak¿e zadania dla uczniów najm³odszych z konkursów matematycznych organizowanych na ³amach ró¿nych zagranicznych czasopism. Prawie wszystkie prezentowane w tej ksi¹¿ce zadania rozwi¹zywa³em z uczniami klas IV–VIII na zajêciach miêdzyszkolnych kó³ matematycznych i cieszy³y siê one bardzo du¿ym powodzeniem. Znajdziemy tutaj zadania, które nie tylko uatrakcyjni¹ zajêcia ko³a czy lekcjê, ale tak¿e znakomicie przygotuj¹ ucznia do udzia³u w konkursach matematycznych, a w przysz³oœci — w olimpiadzie. Zadania s¹ zestawione w szeœciu tematycznych rozdzia³ach i maj¹ ró¿ny stopieñ trudnoœci. Opracowane rozwi¹zania s¹ w du¿ej mierze oparte na pomys³ach przedstawianych przez uczniów na zajêciach wspomnianych kó³ek. Wiele rozwi¹zañ jest tak¿e autorskich. ¯adne rozwi¹zanie nie wymaga wiedzy wykraczaj¹cej poza obowi¹zuj¹cy program matematyki realizowany w szkole podstawowej. Co wiêcej, zale¿a³o mi na tym, aby pokazaæ, jak wiele mo¿na osi¹gn¹æ, pos³uguj¹c siê tylko wiedz¹, któr¹ uczeñ wynosi z lekcji. Siódmy rozdzia³ tej ksi¹¿ki stanowi ma³e vademecum pocz¹tkuj¹cego olimpijczyka. Zawiera ono
strona – 7 — niebieski
strona – 7 — czarny
8
Od Autora
pewne znane ju¿ uczniom fakty oraz ich rozszerzenie. Zaznajomienie siê z tym fragmentem ksi¹¿ki np. tu¿ przed wystêpem na olimpiadzie, powinno sprzyjaæ przygotowaniu do startu w zawodach. Mo¿e te¿ owo vademecum, jak s¹dzê, dostarczyæ tematów do zajêæ kó³ka matematycznego w szkole podstawowej i gimnazjum. Pozwalam sobie wyraziæ tak¿e nadziejê, ¿e zbiór „Na olimpijskim szlaku” zachêci do dalszych poszukiwañ i dociekañ, w czym pomocny mo¿e okazaæ siê nie tylko zestaw proponowanych tematów zajêæ kó³ka matematycznego, ale równie¿ spis rekomendowanej literatury. Na koniec pragnê serdecznie podziêkowaæ Panu Zdzis³awowi G³owackiemu za podjêcie siê trudu wydania tej ksi¹¿ki, Panu Robertowi Ciechanowskiemu za przygotowanie jej do druku, zaœ Pani Joannie Kar³owskiej-Pik za wnikliw¹ korektê oraz wiele cennych uwag i sugestii, które podnios³y jakoœæ tekstu. Toruñ, 14 lipca 1999 r. Henryk Paw³owski
strona – 8 — czarny
Rozdzia³
1
Figle z zapa³kami Zadanie 1.1
Prze³ó¿ po 1 zapa³ce w ka¿dej z poni¿szych fa³szywych równoœci tak, aby otrzymaæ równoœæ prawdziw¹.
a)
b)
c)
d)
e)
strona – 9 — niebieski
strona – 9 — czarny
strona – 9 — czerwony
10
Rozdzia³ 1
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
strona – 10 — czerwony
strona – 10 — czarny
11
Figle z zapa³kami
³)
m)
n)
o)
p)
strona – 11 — czarny
strona – 11 — czerwony