Tajemnicza hipoteza Riemanna - Witold Bednarek by TUTOR

! " # $% &' '' () )) *' +,( - - .

! " # $ &//, .

! " # ! " # $ . +01& ,) +// 2 .13 4 5/ (67 6( *** (( 8

% . . .-

%&' ()*+*,+*(-.,+,.+/

Pamięci Wacława Sierpińskiego

Kilka zdań o Wacławie Sierpińskim Wacław Sierpiński (1882–1969) urodził się w Warszawie. Po ukończeniu szkoły średniej studiował na Uniwersytecie Warszawskim (1900– 1904). W latach 1905–1906 kontynuował studia na Uniwersytecie Jagiellońskim, gdzie otrzymał stopień doktora na podstawie pracy z teorii liczb. Dwa lata później uzyskał habilitację na Uniwersytecie Lwowskim, gdzie pozostał do 1918 roku (był profesorem nadzwyczajnym od 1910 roku). Po roku 1918, kiedy Polska odzyskała niepodległość, był profesorem na Uniwersytecie Warszawskim, na którym pozostał aż do śmierci (wyłączając okres trwania II wojny światowej). Wacław Sierpiński był współtwórcą Polskiej Szkoły Matematycznej: opracował pierwsze na świecie syntetyczne ujęcie teorii mnogości oraz teorię zbiorów analitycznych. Zajmował się również algebrą zbiorów, przestrzeniami metrycznymi i topologią. Dorobek Profesora Sierpińskiego obejmuje 724 prace badawcze oraz 50 książek: monograﬁi, podręczników akademickich, podręczników szkolnych, książek popularnonaukowych. Wacław Sierpiński był jednym z najwybitniejszych matematyków polskich XX wieku i drugim (po Leonhardzie Eulerze) na świecie pod względem liczby wydanych prac. Największym i najbardziej znanym Jego dziełem jest Teoria liczb (część I i część II) — księgi te mają w sumie ponad 1000 stron druku. Czytelnikowi, który chce bliżej poznać życie i twórczość Profesora Sierpińskiego, polecamy książkę Andrzeja Schinzla pt. Wacław Sierpiński (Warszawa 1976).

Przedmowa Teoria liczb jest jednym z najciekawszych działów matematyki. W tej książce przedstawiamy zagadnienia, które można rozwiązać w sposób elementarny (co nie znaczy łatwo), oraz oryginalne hipotezy. Wiele problemów teorii liczb ma proste sformułowanie, natomiast ich rozwiązania (jeśli istnieją) są tak trudne, że tylko wąska grupa matematyków jest w stanie je zrozumieć. Sztandarowym przykładem jest wielkie twierdzenie Fermata mówiące, że równanie xn + y n = z n nie ma rozwiązania w liczbach naturalnych x, y, z dla n > 2 (x, y, z > 0, n ∈ N). Twierdzenie to zostało udowodnione przez angielskiego matematyka Andrew Wilesa po 350 latach od jego sformułowania. Obecnie najważniejszą hipotezą w teorii liczb (powiązaną z teorią funkcji analitycznych) jest hipoteza Riemanna, o której będzie mowa w tej książce. Nadmieńmy, że za udowodnienie tej hipotezy jeden z amerykańskich instytutów oferuje nagrodę miliona dolarów. Przystępne omówienie najważniejszych problemów teorii liczb Czytelnik może znaleźć w mojej książce Szkice o liczbach, funkcjach i ﬁgurach, Toruń 2003, Oﬁcyna Wydawnicza „Tutor”. Niniejsza książka składa się z czterech zasadniczych części: I — otwarte hipotezy i problemy rozwiązane przez autora (większość z nich była zamieszczona w czasopiśmie „Matematyka”); II — oryginalne zadania (około połowa z nich była zadaniami w konkursach organizowanych przez czasopisma „Matematyka” lub „Delta”); III — rozwiązania zadań; IV — suplement zawierający 26 zadań, których rozwiązanie zależy całkowicie od Czytelnika. Materiał zawarty w książce będzie bardzo dobrą pomocą w przygotowaniu do olimpiady matematycznej i ucieszy wszystkich miłośników elementarnej teorii liczb. Autor Łódź, 12 listopada 2007 roku

Spis treści Kilka zdań o Wacławie Sierpińskim

Przedmowa

Wstęp

1. Problemy 1.1. Zasada indukcji matematycznej . . . . . . . . . . . 1.2. Nietypowe cechy podzielności . . . . . . . . . . . . 1.3. Jak wymyślić podzielność? . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Silnia i podzielność . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Skojarzenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. O małym uogólnieniu małego twierdzenia Fermata . 1.7. Liczby Carmichaela . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8. Postać dzielników . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9. O pewnym diofantycznym równaniu wykładniczym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10. Urojony sprzymierzeniec . . . . . . . . . . . . . . . 1.11. Rozkład jedności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.12. Pierwiastki jako ułamki łańcuchowe . . . . . . . . . 1.13. Skracanie ułamków . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.14. O liniowych równaniach rekurencyjnych . . . . . . . 1.15. Funkcja zeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.16. O hipotezie Riemanna . . . . . . . . . . . . . . . . 6

. . . . . . . .

10 11 12 15 16 18 20 22 24

. . . . . . . .

26 34 37 40 43 48 56 58

1.17. Problemy i hipotezy autorskie . . . . . . . . . . . . . . . 1.18. Ciągi arytmetyczne liczb pierwszych . . . . . . . . . . . . 1.19. Wokół problemu Erd¨osa–Strausa . . . . . . . . . . . . . . 2. Zadania 2.1. Liczby pierwsze i liczby złożone . . . . . . . 2.2. Równania diofantyczne . . . . . . . . . . . . 2.3. Ciąg arytmetyczny . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Ciągi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Rozmaitości . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Wielomiany o współczynnikach całkowitych 2.7. Nierówności całkowitoliczbowe . . . . . . . . 3. Rozwiązania 3.1. Liczby pierwsze i liczby złożone . . . . . . 3.2. Równania diofantyczne . . . . . . . . . . . 3.3. Ciąg arytmetyczny . . . . . . . . . . . . . 3.4. Ciągi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Rozmaitości . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6. Wielomian o współczynnikach całkowitych 3.7. Nierówności całkowitoliczbowe . . . . . . .

. . . . . . .

67 74 76

. . . . . . .

83 84 86 89 90 92 97 99

. . . . . . .

101 102 115 129 135 146 165 177

4. Suplement 183 4.1. Zadania do samodzielnego rozwiązania . . . . . . . . . . 184 4.2. Przydatne tablice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 Rekomendowana literatura

191

Wstęp Wszystkie problemy i zadania przedstawione w tej książce da się rozwiązać w sposób elementarny (z wyjątkiem hipotezy Riemanna). Często powołujemy się na trzy fundamentalne twierdzenia: Twierdzenie Fermata Jeśli p jest liczbą pierwszą i a jest liczbą całkowitą niepodzielną przez p, to p jest dzielnikiem liczby ap−1 − 1. Równoważnie: p jest dzielnikiem liczby ap − a dla dowolnej liczby całkowitej a. Twierdzenie Czebyszewa Dla każdej liczby naturalnej n > 1 istnieje liczba pierwsza p taka, że n < p < 2n. Równoważnie: jeśli pk oznacza k-tą z kolei liczbę pierwszą, to pk+1 < 2pk dla k = 1, 2, 3, . . . Twierdzenie Dirichleta Jeśli liczby naturalne a i r są względnie pierwsze, to w ciągu arytmetycznym a, a + r, a + 2r, . . . znajduje się nieskończenie wiele liczb pierwszych. Uwaga. W teorii liczb zakłada się, że 0 nie jest liczbą naturalną, a więc N = {1, 2, 3, . . .}. Stosujemy również twierdzenie o sumie dzielników liczby naturalnej n > 1. Jeśli n = pα1 1 pα2 2 · . . . · pαk k jest rozkładem liczby n na czynniki pierwsze p1 , p2 , . . . , pk (α1 , α2 , . . . , αk – liczby naturalne), to suma S(n) wszystkich dzielników liczby n wyraża się wzorem S(n) =

pαk +1 − 1 pα1 1 +1 − 1 pα2 2 +1 − 1 · · ... · k . p1 − 1 p2 − 1 pk − 1

W szczególnym przypadku, gdy α1 = α2 = . . . = αk = 1, mamy S(n) = (p1 + 1)(p2 + 1) · . . . · (pk + 1).

Często wygodnie jest posługiwać się relacją kongruencji ≡, która dla całkowitych a, b, m (m > 1) zdeﬁniowana jest następująco: a ≡ b(mod m) wtedy i tylko wtedy, gdy m jest dzielnikiem różnicy a − b. Kongruencja ma podobne własności jak relacja równości (z wyjątkiem dzielenia obu stron): 1. jeśli a ≡ b(mod m) i c ≡ d(mod m), to a + c ≡ b + d(mod m), a − c ≡ b − d(mod m) i ac ≡ bd(mod m), 2. jeśli a ≡ b(mod m), to an ≡ bn (mod m) dla n ∈ N, 3. (a + km)n ≡ an (mod m) dla n ∈ N (k – liczba całkowita). Stosujemy również oznaczenia: • a | b – liczba całkowita a jest dzielnikiem liczby całkowitej b, • a ∤ b – liczba całkowita a nie jest dzielnikiem liczby całkowitej b, • NWD(a1 , a2 , . . . , ak ) – największy wspólny dzielnik liczb naturalnych a1 , a2 , . . . , ak , • NWW(a1 , a2 , . . . , ak ) – najmniejsza wspólna wielokrotność liczb naturalnych a1 , a2 , . . . , ak , • •

n P

ak = a1 + a2 + . . . + an ,

k=1 n Q

a k = a 1 · a2 · . . . · a n ,

k=1

• [x] – część całkowita liczby rzeczywistej x, tj. taka liczba całkowita m, że m ¬ x < m + 1, • {x} – część ułamkowa (mantysa) liczby rzeczywistej x, tj. taka liczba z przedziału h0, 1), że x = [x] + {x}.

1. Problemy

1.1.

Zasada indukcji matematycznej

Zasada indukcji jest narzędziem służącym do dowodzenia niektórych twierdzeń dotyczących liczb naturalnych. Przedstawiamy różne wersje tej zasady. Niech Z(k) oznacza zdanie orzekające o danej liczbie naturalnej k. Zasadę indukcji w klasycznej wersji można zapisać symbolicznie w następujący sposób: 

Z(1) ∧



(Z(k) ⇒ Z(k + 1)) ⇒

k∈N

Z(k).

k∈N

Zasadę indukcji ze skokiem 2 zapisujemy w postaci 

Z(1) ∧ Z(2) ∧



(Z(k) ⇒ Z(k + 2)) ⇒

k∈N

Z(k).

k∈N

I ogólnie ze skokiem m: 

Z(1) ∧ Z(2) ∧ . . . ∧ Z(m) ∧



(Z(k) ⇒ Z(k + m)) ⇒

k∈N

Z(k).

k∈N

Oto inna wersja zasady indukcji, rzadziej stosowana:  

k∈N



(Z(1) ∧ Z(2) ∧ . . . ∧ Z(k) ⇒ Z(k + 1)) ⇒

Z(k).

k∈N

Indukcja wsteczna. Niech (nm ) będzie rosnącym ciągiem liczb naturalnych. Wówczas  

m∈N





(Z(nm ) ⇒ Z(nm+1 ) ∧ 



(Z(k) ⇒ Z(k − 1)) ⇒

k∈N

Z(k).

1. Problemy

Zadanie 1. Niech n oraz m będą ustalonymi liczbami naturalnymi większymi od 1 i niech Z(k) oznacza zdanie „Równanie xn1 + xn2 + . . . + xnk = y n ma rozwiązanie w liczbach naturalnych x1 < x2 < . . . < xk < y.” Wykaż, że jeżeli zdania Z(m), Z(m + 1), . . . , Z(2m − 2) są prawdziwe, to dla każdej liczby naturalnej k m zdanie Z(k) jest prawdziwe. Wskazówka. Zastosuj zasadę indukcji ze skokiem m − 1, począwszy od k = m. Zadanie 2. Wykaż, że jeśli liczby a1 , a2 , . . . , an są dodatnie, to √ a 1 + a2 + . . . + a n n a1 a 2 · . . . · a n . n Wskazówka. Udowodnij podaną nierówność najpierw w przypadku, gdy nm = 2m dla m = 1, 2, 3, . . . Następnie zastosuj indukcję wsteczną.

1.2.

Nietypowe cechy podzielności

Każda liczba naturalna posiada jednoznaczny rozkład na iloczyn potęg liczb pierwszych. Problem w tym, że rozkładanie dużych liczb na czynniki pierwsze jest trudne. Dlatego ciągle ważne są różne nietypowe cechy podzielności. W książce Michała Szurka Opowieści matematyczne znajdujemy poniższą cechę podzielności przez 7 (twierdzenie Żbikowskiego). Twierdzenie Niech a i b będą liczbami naturalnymi. Liczba 10a+b jest podzielna przez 7 wtedy i tylko wtedy, gdy liczba a − 2b jest podzielna przez 7. Dowód wynika z tożsamości 10a + b = 10(a − 2b) + 21b.

1. Problemy

(Jest to więc również cecha podzielności przez 3 i 21). Jeśli na przykład mamy sprawdzić, czy liczba 311 115 jest podzielna przez 7, to obliczamy kolejno: 31 111 − 2 · 5 = 31 101, 3 110 − 2 · 1 = 3 108, 310 − 2 · 8 = 294, 29 − 2 · 4 = 21.

Wyjściowa liczba jest podzielna przez 7, bo taką własność ma liczba 21. Okazuje się, że można otrzymać wiele analogicznych cech podzielności. Na przykład z równości 10a + b = 10(a − b) + 11b wnioskujemy, że liczba 10a+b jest podzielna przez 11 wtedy i tylko wtedy, gdy liczba a − b jest podzielna przez 11. Sprawdźmy na przykład, czy liczba 100 001 jest podzielna przez 11. Obliczamy kolejno: 10 000 − 1 = 9 999, 999 − 9 = 990, 99 − 0 = 99, 9 − 9 = 0.

Wyjściowa liczba jest podzielna przez 11, bo taką własność ma liczba 0. Twierdzenie Niech q > 1 będzie liczbą naturalną niepodzielną ani przez 2, ani przez 5. Niech k będzie taką liczbą całkowitą, że q | 10k − 1 (można wykazać, że taka liczba całkowita k zawsze istnieje). Wówczas q | 10a + b ⇔ q | a + kb.

1. Problemy

Dowód wynika z tożsamości 10a + b = 10(a + kb) − (10k − 1)b. Wypisując dzielniki liczby 10k − 1, znajdujemy wiele nietypowych cech podzielności: k 10k − 1 q −10 −101 101 −9 −91 7, 13, 91 −8 −81 3, 9, 27, 81 −7 −71 71 −6 −61 61 −5 −51 3, 17, 51 −4 −41 41 −3 −31 31 −2 −21 3, 7, 21 −1 −11 11 1 9 3, 9 2 19 19 3 29 29 4 39 3, 13, 39 5 49 7, 49 6 59 59 7 69 3, 23, 69 8 79 79 9 89 89 10 99 3, 9, 11, 33, 99

a + kb a − 10b a − 9b a − 8b a − 7b a − 6b a − 5b a − 4b a − 3b a − 2b a−b a+b a + 2b a + 3b a + 4b a + 5b a + 6b a + 7b a + 8b a + 9b a + 10b