Złote rybki w oceanie matematyki - Lev Kurlyandchik by TUTOR

Lev Kurlyandchik

ZĹ&#x201A;ote rybki w oceanie matematyki

Lev Kurlyandchik Złote rybki w oceanie matematyki Redaktor wydania: Zdzisław Głowacki Redakcja techniczna i przygotowanie do druku: Oleksandr Zaihraiev Konsultacje: Joanna Karłowska-Pik Ilustracje: Katarzyna Danielewska Projekt okładki: Mirosław Głodkowski, Zdzisław Głowacki Korekta: Iwona Cieślak

Oficyna Wydawnicza „Tutor” ul. Piskorskiej 7 L, 87-100 Toruń tel./fax (0-56) 65-999-55, 65-097-67 Wysyłkowa Księgarnia Internetowa: www.szkolna.pl

ISBN 83-89563-20-7

Mojej Siostrze Polinie Melcer-Burrell

Niniejsza monografia powstała dzięki grantowi przyznanemu mi przez Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu, za który chciałbym wyrazić swoją wdzięczność. Autor

Przedmowa Każda osoba odwiedzająca Paryż po raz pierwszy z pewnością wykrzyknie: „Jakie piękne miasto!”. Ludzie godzinami mogą stać w Luwrze, nie odrywając wzroku od Giocondy i zachwycając się tym obrazem. Człowiek został stworzony, aby rozkoszować się pięknem. Po przeczytaniu rozumowania Euklidesa o nieskończoności zbioru liczb pierwszych każdy zachwyca się jego elegancją. W matematyce istnieje dużo zdumiewająco ładnych faktów i rozumowań. Są to swoiste „złote rybki” w wielkim oceanie matematyki. O niektórych takich „rybkach” będzie mowa w niniejszej książce. W pierwszym rozdziale, dotyczącym kombinatoryki, będzie mowa o kilku bardzo ładnych, moim zdaniem, ideach. Pierwsza to metoda nieskończonego schodzenia, pochodząca od słynnego Pierre’a Fermata. Metoda ta będzie często stosowana przy rozwiązywaniu niektórych klasycznych problemów w rozdziale trzecim. Drugi podrozdział jest poświęcony rozwiązywaniu ciekawego problemu związanego z budowaniem konstrukcji z liczb naturalnych. Zostanie przy tym rozważone stosowanie w podobnych zadaniach następujących metod: zasady szuﬂadkowej Dirichleta, układów pozycyjnych czy też... szachów! W dwóch następnych podrozdziałach mowa jest o tak ważnych i interesujących pojęciach matematycznych, jak niezmiennik oraz półniezmiennik. W ostatnim podrozdziale tego rozdziału będziemy mówić o dość zabawnym problemie związanym z trudnymi do rozbicia szklanymi kulami. Drugi rozdział jest poświęcony geometrii. Cóż jednak nowego można powiedzieć o trójkącie prostokątnym? Wydaje się, że ﬁgura ta jest na tyle prosta, że nie wiąże się z nią nic ciekawego. Ale to nieprawda. Na przykładzie trójkąta prostokątnego chciałem pokazać, że ciekawe badania mogą być związane nawet z tak prostymi obiektami, jak ten. Następny podrozdział jest

6 związany z rozcinaniem wielokątów na trójkąty. Tutaj rozważymy dość interesujące konstrukcje. Przedstawimy dwa przykłady. Czy można rozciąć kwadrat na siedem trójkątów ostrokątnych? A czy można go rozciąć na siedem trójkątów o jednakowym polu? W następnych dwóch podrozdziałach rozpatrzymy kolejno zadania, do rozwiązywania których są stosowane pojęcia otoczenia oraz średnicy ﬁgury. W ostatnim podrozdziale tego rozdziału rozważane będą trójkąty o elementach całkowitych, czyli bokach, wysokościach i dwusiecznych całkowitej długości. Streszczenie trzeciego rozdziału zacznę od własnych wspomnień sprzed czterdziestu lat. Będąc jeszcze uczniem, zainteresowałem się dwoma problemami. Problem pierwszy to: czy istnieją cztery różne kwadraty liczb naturalnych tworzące ciąg arytmetyczny? Problem drugi zaś to: rozwiązać równanie y 2 = x3 + 1 w liczbach całkowitych. Sporo czasu, wysiłku i papieru zajęły mi próby rozwiązania tych problemów. Ale wszystko na próżno. Dopiero znacznie później, kiedy już dowiedziałem się o krzywych eliptycznych, zrozumiałem, w jaki sposób można je rozwiązać. Pewne idee związane z tymi krzywymi wydają się nadzwyczaj piękne i o ile mi wiadomo, nie zostały jeszcze opisane w literaturze elementarnej. Na przykładach klasycznych problemów Fermata i Eulera opowiem o nich w trzecim rozdziale. Wiele problemów rozważanych w tej książce zostało przedyskutowanych z różnymi osobami. W związku z tym chciałbym wspomnieć swojego nauczyciela Jurija Ionina i Grigorija Rozenbljuma, z którym razem uczyłem się na Uniwersytecie Leningradzkim, a także Borisa Lurjego, z którym razem pracowałem. Jestem wdzięczny także swoim byłym uczniom Siergiejowi Genkinowi, Olegowi Iżbołdinowi, Aleksandrowi Kokorewowi, Dmitrijowi Fominowi. Składam im wszystkim wielkie podziękowania. Autor

Spis treści 1. Kombinatoryka 11 1.1. Metoda nieskończonego schodzenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2. Konstrukcje liczbowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.2.1. Znajdź sumę . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.2.2. Zasada szuﬂadkowa Dirichleta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.2.3. Układy pozycyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.2.4. Konstruowanie według indukcji matematycznej . . . . . . . 35 1.2.5. Szachownica . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1.2.6. Zadanie o 2n liczbach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 1.3. Poszukiwanie niezmienników . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 1.4. Szkice o półniezmiennikach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 1.5. Zadania o szklanych kulach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 1.6. Rozwiązania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

2. Geometria 127 2.1. Trójkąt prostokątny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 2.2. Otoczenie ﬁgury . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 2.3. Rozcinamy na trójkąty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 2.3.1. Trójkąty ostrokątne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 2.3.2. Trójkąty o czystym brzegu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 2.3.3. Bez wspólnych boków . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 2.3.4. Nierówność W 6 T + 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 2.3.5. Rozwiązanie przykładu 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 2.3.6. Znowu trójkąty ostrokątne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 2.3.7. Trójkąty o jednakowym polu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 2.3.8. Mozaika rozcięć . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 2.4. Duży tort na małych talerzykach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 2.4.1. Średnica ﬁgury . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 2.4.2. Rozcięcie kwadratu na dwie, trzy i cztery części . . . . . . 172 2.4.3. Rozcięcie kwadratu na pięć części . . . . . . . . . . . . . . . . 174 2.4.4. Tort kwadratowy dla sześciu osób . . . . . . . . . . . . . . . . 177

8 2.5. Trójkąty o elementach całkowitych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 2.6. Rozwiązania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

3. Metody geometryczne w arytmetyce 203 3.1. Metoda siecznych. Rozwiązania parametryczne . . . . . . . . . . 203 3.2. Przekształcania do postaci standardowej . . . . . . . . . . . . . . . 210 3.3. Krzywe eliptyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 3.4. Równanie y 2 = x3 + 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 3.5. Schodzenie nieskończone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 3.6. Równanie y 2 = x3 − 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 3.7. Zadanie Eulera o trójkącie pitagorejskim . . . . . . . . . . . . . . . 233 3.8. Zadanie Eulera o trójkącie równoramiennym . . . . . . . . . . . . 240 3.9. Zadanie Eulera o trzech sześcianach . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 3.10. Pole trójkąta pitagorejskiego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 3.11. Cztery kwadraty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 3.12. Punkty wymierne na krzywych eliptycznych . . . . . . . . . . . . 258 3.13. Rozwiązania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

Spis literatury

267

RozdziaĹ&#x201A; I

Kombinatoryka

Rozdział 1. Kombinatoryka 1.1. Metoda nieskończonego schodzenia √ Która liczba niewymierna jest najstarsza? Niewątpliwie jest to liczba 2. Opowieść o metodzie nieskończonego schodzenia zaczniemy od trzech dowodów niewymierności tej liczby. √ Dowód 1. Przypuśćmy, że liczba 2 jest wymierna. Geometrycznie oznacza to, że przekątna c kwadratu jest współmierna z jego bokiem a, czyli znajdzie się odcinek d i liczby całkowite m i n takie, że c = dm, a = dn. Zaznaczmy zatem na przekątnej AC m − 1 punktów, zaś na boku DC n − 1 punktów, które dzielą te odcinki na kawałki o długości d. Odłóżmy na AC odcinek AK równy odcinkowi AD, na DC odcinek DE równy odcinkowi KC. Punkty K i E traﬁą w punkty zaznaczone (patrz rys. 1.1). Udowodnijmy, że trójkąty ACD i KEC są podobne. Kąt C jest dla nich wspólny. Wystarczy więc sprawdzić równość | KC | | DC | = . | EC | | AC | Zauważmy, że | KC |= c − a,

| EC |= 2a − c.

ROZDZIAŁ 1.

•

K •

•

❅ ❅ ❅ ❅ ❅•

•

Rys. 1.1. Zatem | KC |2 c2 + a2 − 2ac = . | EC |2 c2 + 4a2 − 4ac Ponieważ c2 = 2a2 , to | KC |2 3a2 − 2ac 1 | AD |2 = = = . | EC |2 6a2 − 4ac 2 | AC |2 Trójkąt KEC, podobny do trójkąta ACD, jest więc prostokątny i równoramienny. Możemy więc zbudować na nim taką samą konstrukcję, jak na trójkącie ACD. Odłóżmy na EC odcinek EK1 równy odcinkowi KC, na KC odcinek KE1 równy odcinkowi K1 C. Punkty K1 oraz E1 znowu traﬁą w punkty podziału. Trójkąt K1 CE1 ponownie okaże się prostokątny i równoramienny. W ten sam sposób zbudujmy dla niego trójkąt K2 CE2 . Taką procedurę można przedłużać w nieskończoność, przy czym trójkąty Kj CEj będą coraz mniejsze, ale za każdym razem punkty Kj oraz Ej będą traﬁały w początkowe punkty podziału odcinków AC i CD. Liczba tych punktów jest jednak skończona, a trójkątów Kj CE √ j jest nieskończenie wiele. Ta sprzeczność dowodzi niewymierności liczby 2.

KOMBINATORYKA

√ Dowód 2. Niewymierność liczby 2 oznacza, że nie istnieją naturalne rozwiązania x, y równania x2 = 2y 2 . Przypuśćmy, że takie rozwiązania istnieją i x = m, y = n jest jednym z nich. Z równania wynika, że liczba m jest parzysta, czyli m = 2m1 . Podstawiając tę równość do równania, otrzymujemy n2 = 2m21 , czyli para liczb x = n, y = m1 też jest jego rozwiązaniem. Zaznaczmy przy tym, że n < m, m1 < n. Teraz widać, że liczba n też jest parzysta, czyli n = 2n1 , tak więc m21 = 2n21 . Oznacza to, że x = m1 , y = n1 jest rozwiązaniem równania, przy czym m1 < n, n1 < m1 . Postępujemy dalej podobnie, otrzymując coraz mniejsze rozwiązania równania. A tu już mamy sprzeczność. Rzeczywiście, wszystkie liczby m, n, m1 , n1 , . . . są naturalne i zachodzą nierówności m > n > m1 > n1 > . . . , zaś nieskończony malejący ciąg √ liczb naturalnych nie istnieje! Nasze założenie było więc błędne i liczba 2 jest niewymierna. Oba dowody były w istocie rzeczy przeprowadzone według jednego schematu: zakładając, że problem ma rozwiązanie, konstruowaliśmy pewien ciąg nieskończony, zaś równocześnie z samego określenia problemu wynikało, że ciąg ten musi być skończony. Taka metoda dowodu nazywa się metodą nieskończonego schodzenia. Są podstawy, aby przypuszczać, że Fermat próbował dowodzić swoje słynne twierdzenie właśnie tą metodą. Często metodę schodzenia stosuje się w prostszej wersji. Mianowicie zakładając, że już dotarliśmy do naturalnego końca procesu, widzimy, że nie możemy się zatrzymać. Dowód 3. Niech para liczb x = m, y = n będzie rozwiązaniem równania x2 = 2y 2 o najmniejszej możliwej wartości x. Liczba m musi być parzysta, czyli m = 2m1 , a więc x = n, y = m1 też jest rozwiązaniem tego równania. Jednak m > n, co jest sprzeczne z wyborem rozwiązania m, n jako „najmniejszego”. W tej wersji dowodu widać, że metoda schodzenia jest spokrewniona z metodą indukcji matematycznej. Obie metody polegają na tym, że każdy niepusty zbiór liczb naturalnych posiada element najmniejszy. Metoda schodzenia jest szczególnie wygodna dla dowodu twierdzeń „zaprzeczających”.

ROZDZIAŁ 1.

Przykład 1. Udowodnić nierozwiązywalność w liczbach naturalnych równania 8x4 + 4y 4 + 2z 4 = t4 . Rozwiązanie. Przypuśćmy, że to równanie posiada rozwiązania i niech x = m, y = n, z = p, t = r będzie jego rozwiązaniem o najmniejszej możliwej wartości x. Z równania wynika, że liczba r jest parzysta, czyli r = 2r1 . Podstawiając tę równość do równania i dzieląc obie strony przez 2, otrzymujemy 4m4 + 2n4 + p4 = 8r14 . Teraz widać, że liczba p też jest parzysta, czyli p = 2p1 , tak więc 2m4 + n4 + 8p41 = 4r14 . Postępujemy dalej w ten sam sposób, otrzymując n = 2n1 oraz m4 + 8n41 + 4p41 = 2r14 . Wreszcie mamy m = 2m1 i 8m41 + 4n41 + 2p41 = r14 . Oznacza to, że x = m1 , y = n1 , z = p1 , t = r1 jest rozwiązaniem równania wyjściowego, ale przecież m1 < m! Otrzymaliśmy sprzeczność z wyborem rozwiązania m, n, p, r jako „najmniejszego”. Rozpatrzmy teraz bardziej skomplikowany przykład. Przykład 2. Udowodnić nierozwiązywalność w liczbach naturalnych równania x2 + y 2 + z 2 + u2 = 2xyzu.