Základy matematického modelování v geotechnice s využitím programu Plaxis by OKTAEDR

Jur aj Chal movský

Zákl adymat emat i ckého model ování vgeot echni ce svyuž i t í m pr ogr amuPl axi s

ZÁKLADY MATEMATICKÉHO MODELOVÁNÍ V GEOTECHNICE S VYUŽITÍM PROGRAMU PLAXIS

Juraj Chalmovský, Ing. Text neprošel odbornou ani jazykovou úpravou. Za původnost a správnost odpovídá autor. Vydala: Sazba a grafická úprava: Počet stránek: 62 První vydání, Brno 2014 ISBN 978-80-214-4938-1

Fakulta stavební Vysokého učení technického v Brně zahájila 1. 6. 2012 řešení projektu „OKTAEDR – partnerství a sítě stavebnictví“. Projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky a je zaměřen na tvorbu a udržování partnerské sítě. Tato síť bude vzájemně propojovat Fakultu stavební Vysokého učení technického v Brně, významná výzkumná a vývojová pracoviště, partnery z oblasti podnikatelského sektoru i oborová sdružení. Cílem sítě je umožnit rozšíření vzájemné spolupráce, vytvoření nových podmínek pro přenos teoretických i praktických znalostí a zkušeností mezi výzkumem a stavební praxí. Partnery projektu „OKTAEDR – partnerství a sítě stavebnictví“ jsou: • • • • • • •

MOTRAN Research, s. r. o., Českomoravský cement, a.s. Centrum dopravního výzkumu, v. v. i., OHL ŽS, a.s., Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava, ESOX, spol. s r.o., Svaz vodního hospodářství ČR.

Registrační číslo projektu: Název projektu: Realizace:

CZ.1.07/2.4.00/31.0012 OKTAEDR – partnerství a sítě stavebnictví 1. 6. 2012 – 31. 5. 2014

Obsah 1. Úvod, etapy matematického modelování v geotechnice..................... 5 2. Stručná historie programu Plaxis ........................................................ 6 3. Plaxis 2D input.................................................................................... 8 3.1 Pracovní prostředí ........................................................................ 8 3.2 Konvence jednotek a souřadných os.......................................... 12 3.3 Rotačně symetrická, rovinně deformační úloha ......................... 13 3.4 Vkládání materiálů, základní přehled dostupných konstitučních modelů pro zeminy, aplikace SoilTestLab ........................................ 16 3.4.1 Vkládání nového materiálu a definování jeho vlastností ...........................16 3.4.2 Základní přehled dostupných konstitučních modelů ..................................24 3.4.3 Aplikace SoilTestLab ..................................................................................34

3.5 Generování sítě konečných prvků .............................................. 36 3.6 Okrajové podmínky a vhodná volba hranic modelu .................... 40 4. Plaxis 2D Calculation........................................................................ 41 4.1 Pracovní prostředí ...................................................................... 41 4.2 Způsob – mód výpočtu ............................................................... 42 4.3 Počáteční podmínky ................................................................... 44 4.4 Typ výpočtu ................................................................................ 45 4.5 Nastavení iteračního postupu ..................................................... 50 5. Plaxis 2D Output, Plaxis 2D Curves ................................................. 55 Použitá literatura................................................................................... 59

1. Úvod, etapy matematického modelování v geotechnice Cílem předkládané příručky je stručný popis programu Plaxis 2D používaného pro výpočty geotechnických konstrukcí deformační variantou metody konečných prvků. Příručka se zaměřuje na verze Plaxis 2D 2011 a 2012 (Brinkgreve et al., 2011 a 2012). Text je rozčleněn do jednotlivých celků podle popisovaných programových částí. V každém celku jsou uvedeny nejdůležitější příkazy a funkce. V relevantních částech jsou zmíněny některé zásady a pravidla užitečné v průběhu procesu matematického modelování. V případě potřeby je text doplněn teoretickými základy popisované problematiky. Pozornost je kromě jiného věnována popisu dostupných konstitučních modelů, kterých vhodná volba představuje důležitou část matematického modelování v geotechnice. V každé kapitole jsou pak uvedeny reference na vhodnou literaturu, kde lze získat podrobnější informace. Proces matematického modelování lze rozdělit do několika vzájemně navazujících kroků shrnutých v tab. 1-1. V tabulce je taktéž uvedena programová část, kde se daný krok provádí Tab. 1-1 Posloupnost kroků matematického modelování

ID 1 2

7 8

Popis fáze Vytvoření geometrie modelu Zadání okrajových podmínek Definování vstupních parametrů zemin a strukturních prvků Vygenerování sítě konečných prvků a její případná optimalizace (zahuštění) Přiřazení vlastností jednotlivým částem modelu Definování / úprava počátečních podmínek Vytvoření fází výstavby Výpočet

Analýza a export výsledků

3 4 5 6

Kde se provádí

Plaxis 2D Input

Plaxis 2D Calculation Plaxis 2D Output, Plaxis 2D Curves

2. Stručná historie programu Plaxis Vývoj programu Plaxis započal v první polovině 80 let. V roce 1974 byl zahájen výzkumný projekt, kterého výsledkem byl program na bázi metody konečných prvků – ELPLAST, který umožňoval elasto – plastické rovinně – deformační výpočty s využitím 6 - uzlových trojúhelníkových konečných prvků. V roce 1981 byl původní program rozšířen o možnost výpočtu rotačně symetrických (axisymetrických) úloh a jméno programu bylo upraveno do dnešní podoby PLAXIS - "Plane Strain and Axisymetry". Pro potřeby přesnější simulace penetračních zkoušek a dalších axisymetrických úloh byly vyvinuty 15 – uzlové trojúhelníkové izoparametrické konečné prvky. Obr. 1-2 znázorňuje jeden z úvodních výpočtů – axisymetrický model kruhového plošného základu.

Obr. 1-2 Pracovní diagram kruhového plošného základu jako výstup z numerického výpočtu v programu Plaxis (převzato z Burd et al., 1999)

V roce 1985 odstartoval výzkumný program, kterého úkolem bylo kromě jiného vytvořit verzi programu, která by byla použitelná pro standardní stolní počítač. První verze programu byla vydána v roce 1987. Dalším vylepšením programu bylo zavedení postupu, který automaticky upravuje velikost přírůstku zatížení v průběhu nelineárního výpočtu (obr. 2-2). Baker, Brinkgreve (1990) zavedli do programu 5 – uzlové nosníkové prvky ("beam elements"). Van Langen (1991) zavedl použití kontaktních prvků. Kontaktní prvky jsou důležité při modelování interakce konstrukcí (např. pažící základové) s okolním zemním prostředím a

zohledňují oslabení rozhraní konstrukce – zemina ve srovnání s rozhraním zemina – zemina. Při použití těchto prvků je možné definovat pevnost kontaktu nezávisle na okolní zemině. Významným pokrokem byl vývoj dílčího programu pro zobrazování pracovních diagramů (Plaxis 2D Curves). Další podrobnosti o posloupnosti vývoje programu lze dohledat např. v Burd (1999). Od roku 1987 do roku 1995 bylo vydáno celkem 6 postupně vylepšovaných verzí fungujících pod operačním systémem DOS. První verze programu určena pro operační systém Windows 95 byla verze 7 vydaná v roce 1997.

Obr. 2-2 Automatická úprava velikosti kroku v průběhu nelineárního výpočtu (převzato z van Langen 1991)

Rozšíření původního 2D programu do podoby programu Plaxis 3D Tunnel bylo zveřejněno v roce 2001. Následovala aplikace Plaxis 3D Foundation vydaná v roce 2004. Obě uvedené aplikace však nebyly plnohodnotnou 3D aplikací – umožňovali rozšíření modelu v horizontálním směru (Plaxis 3D Tunnel) nebo ve vertikálním směru (Plaxis 3D Foundation), šlo tedy o někdy také označované 2,5D programové aplikace. První plnohodnotná 3D aplikace (Plaxis 3D) byla vydána v roce 2009. V době psaní této příručky byly aktuálními a dále vyvíjenými verzemi aplikace Plaxis 2D 2012 a Plaxis 3D 2012.

3. Plaxis 2D input 3.1 Pracovní prostředí Programová část Plaxis 2D Input je určena především pro definování geometrie modelu, okrajových podmínek a generování sítě konečných prvků. Uspořádání pracovního prostoru je ukázáno na obr. 1-3.

Obr. 1-3 Pracovní prostor programu Plaxis 2D Input

Základní informace (obr. 2-3) týkající se typu použitého konečného prvku (6 uzlový / 15 uzlový), typu úlohy (rovinně deformační / rotačně symetrická) a rozměrů modelu se zadávají pomocí příkazu File → Project properties.

Obr. 2-3 Základní nastavení nového projektu

Základní nástrojová lišta se skládá z 6 dílčích částí:

Obr. 3-3 Nástrojová lišta Plaxis 2D Input

Skupina A Definování geometrie modelu, zadávání strukturních a kontaktních prvků. Tab. 1-3 Skupina příkazů A

Symbol

Anglický název

Popis, použití

Geometry line

Tvorba modelu

Plate

Geogrid Interface Node – to – node anchor Fixed end anchor

Strukturní prvek používaný především pro modelování pažících konstrukcí Strukturní prvek používaný pro modelování geosyntetik a kořenů kotev Kontaktní prvek – interakce mezi konstrukcí a zeminou Strukturní prvek používaný pro modelování táhla zemní kotvy Strukturní prvek používaný pro modelování rozpěr

Tunnel

Návrhář tvaru tunelového ostění

Hinge and rotation spring

Kloubové spojení prvků typu „plate“

Skupina B Skupina obsahuje prvky ovlivňující proudění podzemní vody. Tab. 2-3 Skupina příkazů B

Symbol

Anglický název Drain Well

Popis, použití Předepsaná linie, kde dochází k redukci zvýšených pórových tlaků Bod, ve kterém je předepsán průtok – objem čerpané vody za jednotku času

Skupina C Okrajové podmínky Tab. 3-3 Skupina příkazů C

Symbol

Anglický název

Popis, použití

Standard fixities

Standardní okrajové podmínky

Rotation fixities (plates)

Zamezení pootočení kolem osy z

Standardní okrajové podmínky – Standard fixities přiřadí spodní hraně modelu neposuvnou okrajovou podmínku jak v horizontálním tak vertikálním směru. Bočním hranám modelu je přiřazena okrajová podmínka neposuvná v horizontálním směru. Libovolné okrajové podmínky lze zadat pomocí příkazů Loads → Total fixities (neposuvné v obou směrech) nebo Loads → Horizontal/Vertical fixities (neposuvné v horizontálním nebo vertikálním směru).

Skupina D Zadávaní zatížení formou bodového nebo liniového zatížení a formou předepsaného přetvoření.

Tab. 4-3 Skupina příkazů D

Symbol

Anglický název

Popis, použití

Prescribed displacement

Předepsané přetvoření

Distributed load – load system A Distributed load – load system B Point load – load system A Point load – load system B

Liniové zatížení – zatěžovací systém A Liniové zatížení – zatěžovací systém B Bodové zatížení – zatěžovací systém A Bodové zatížení – zatěžovací systém B

Skupina E Přechod k části pro vkládání vstupních parametrů zemin a generování sítě konečných prvků. Tab. 5-3 Skupina příkazů E

Symbol

Anglický název

Popis, použití

Materials

Databáze a definování nových materiálů

Generate mesh

Vytvoření sítě konečných prvků

3.2 Konvence jednotek a souřadných os Seznam výchozích jednotek jednotlivých veličin je pro přehlednost uveden v tab. 6-3. Přednastavené jednotky lze editovat v části General settings → Model. Geometrie modelu je v případě rovinně deformační úlohy (Plane strain) vytvářena v rovině x-y. Souřadná osa z je tedy kolmá na rovinu modelu. V rotačně symetrické úloze (Axisymetry) představuje souřadnicová osa x radiální směr a osa y pak osu symetrie modelu. Ve výstupech má tlakové napětí/síla záporné znaménko, tahové napětí naopak kladné. Kladné směry jednotlivých složek napětí spolu se souřadnicovým systémem jsou znázorněny na obr. 4-3. Tab. 6-3 Výchozí jednotky

Veličina Základní jednotky Geometrie

Vlastnosti materiálu

Síly, napětí

Jednotka Délka

[m]

Síla

[kN]

Čas

[den]

Souřadnice

[m]

Deformace

[m]

Modul pružnosti

[kN/m2]= [kPa]

Koheze

[kPa]

Úhel vnitřního tření

[o]

Úhel dilatance

[o]

Objemová hmotnost

[kN/m3]

Propustnost

[m/den]

Bodové zatížení

[kN]

Liniové zatížení

[kN/m]

Plošné zatížení

[kN/m2]= [kPa]

Napětí

[kN/m2]= [kPa]

Obr. 4-3 Souřadnicový systém, směry kladných hlavních napětí (převzato z Brinkgreve et al., 2012)

3.3 Rotačně symetrická, rovinně deformační úloha Rovinně deformační model se používá pro úlohy, ve kterých je tvar (řez) konstrukce a působící zatížení stejné po délce konstrukce – ve směru osy z. Deformace a přetvoření jsou v tomto směru nulové (obr. 5-3). Naopak, normálové napětí ve směru osy z je nenulové.

(1-3) 0

(2-3) (3-3)

Obr. 5-3 Rovinně deformační úloha (převzato z Potts, Zdravkovic, 1999)

Rotačně symetrické modely se používají pro konstrukce kruhového tvaru se stejným průřezem v radiálním směru modelované konstrukce. Pro rotačně symetrickou úlohu reprezentuje osa x poloměr a osa y koresponduje s osou symetrie. V případě rotačně symetrické úlohy jsou výsledné síly v jednotkách kN/rad, je tedy nutné tyto síly vynásobit 2π. Principiální rozdíl mezi rovinnědeformační a axisymetrickou úlohou je schematicky znázorněn na obr. 6-3.

Obr. 6-3 Rovinně deformační, rotačně symetrická úloha (převzato z Brinkgreve et al., 2010)

Rovinně deformační modely jsou vhodné pro výpočty dlouhých pažících konstrukcí (např. podzemní stěny), násypových těles, základových pasů (obr. 73).

Obr. 7-3 Příklady staveb vhodné pro rovinně deformační model (převzato z Cheang, 2007)

Obr. 8-3 Příklad stavby nevhodné vhodné pro rovinně deformační model (převzato z Cheang, 2007)

Problematické je použití rovinně deformačních modelů pro výpočty záporového pažení, pilotových stěn s velkou osovou vzdáleností, při výpočtech založení na základových patkách. Příklad konstrukce nevhodné pro rovinně deformační analýzu je uveden na obr. 8-3. Rotačně symetrické modely je vhodné použít pro simulaci zatěžovacích zkoušek jednotlivých pilot, kotev a kruhových základů. Axisymetrické úlohy však nemohou být použity při analýze vodorovně zatížených pilot, skupiny pilot nebo skupiny jiných základových prvků kruhového půdorysu. Příklady, ve kterých je resp. není možné rotačně symetrické modely použít, jsou pak uvedeny na obr. 9-3 a 10-3.

Obr. 9-3 Příklady staveb vhodné pro rotačně symetrický model (převzato z Cheang, 2007)

Obr. 10-3 Příklady staveb nevhodné vhodné pro rotačně symetrický model (převzato z Cheang, 2007)

V případě, že počítaná konstrukce nesplňuje požadavky na rovinně deformační nebo rotačně symetrický 2D model, je nutné přistoupit k tvorbě prostorového matematického modelu. Příklady prostorových modelů pažících konstrukcí jsou uvedeny na obr. 11-3. Výhodou prostorových modelů stavebních jam je, že umožňují lépe zohlednit variabilitu geologie v prostoru stavební jámy, půdorysné rozčlenění výkopu nebo postupnou aktivaci stabilizujících prvků (rozpěr nebo kotev).

Obr. 11-3 Příklady prostorových modelů stavebních jam

3.4 Vkládání materiálů, základní přehled dostupných konstitučních modelů pro zeminy, aplikace SoilTestLab 3.4.1 Vkládání nového materiálu a definování jeho vlastností Symbol Materials (tab. 5-3) slouží pro účely vkládání vstupních parametrů všech součástí vytvořeného modelu (jak zemin, tak strukturních elementů). Zde je také k dispozici databáze různých typů materiálu (obr. 12-3).

Obr. 12-3 Definování materiálů

Dále je zde možnost přejít do aplikace SoilTestLab umožňující simulace laboratorních zkoušek pro účely kalibrace vstupních parametrů. Tato aplikace byla v posledních verzích vylepšena o možnost optimalizace vstupních parametrů na základě vložených výsledků z laboratorních zkoušek. Alternativně lze pro vkládání vstupních parametrů využít také nabídky Materials v hlavním menu. Materiálové vlastnosti lze definovat pro zeminy (Soils and interfaces), deskové prvky (Plates), kořeny kotev a geosyntetika (Geogrids) a pro táhla a rozpěry (Anchors). Přidáním nového materiálu se otevře okno pro zadávání jeho vlastností. V případě materiálu typu Soil and interfaces je prostředí pro vkládání zemin rozčleněno na 5 celků: General, Parameters, Flow parameters, Interfaces a Initial.

V části General (obr. 13-3) se vkládají vstupní parametry, které nezávisí na volbě konstitučního modelu. Jde především o objemové hmotnosti nad hladinou resp. pod hladinou podzemní vody

. Dále se zde volí použitý

konstituční model (stručný přehled konstitučních modelů bude uveden v následující kapitole).

Obr. 13-3 Definování vstupních parametrů zemin

Důležitým vstupem je rozhodnutí zda-li má materiál odvodněné (drained) nebo neodvodněné chování (Undrained), kdy může docházet k vzniku zvýšených pórových tlaků vlivem zatěžování. Obecně platí, že neodvodněné chování materiálu se používá v případech zemin s malou propustností ve vztahu k rychlosti zatěžování. V případě neodvodněného chování materiálu je možné zvolit tři varianty: Undrained A, Undrained B a Undrained C: Undrained A: Využívají se efektivní parametry tuhosti a pevnosti. Efektivní parametry tuhosti jsou doplněny o objemový modul vody , rozlišují se efektivní a totální dráhy napětí. Neodvodněná smyková pevnost není vstup ale výstup výpočtu. Vývoj pórových

tlaků v průběhu zatěžování je dominantním faktorem určujícím průběh efektivní dráhy napětí a tím výslednou neodvodněnou smykovou pevnost. Důležité je tedy zvolit takový konstituční model, který správně predikuje efektivní dráhy napětí. Z praxe je dobře známý případ kolapsu stavební jámy Nicoll Highway v Singapuru (Puzrin et al., 2010), kdy částečně vlivem použití nevhodného konstitučního modelu (Mohr – Coulomb model) došlo k výraznému nadhodnocení neodvodněné smykové pevnosti normálně konsolidovaných jílů. Tato situace je schematicky znázorněna na obr. 14-3.

Obr. 14-3 Nadhodnocení neodvodněné smykové pevnosti při použití MC modelu ve srovnání s HS modelem

Undrained B: Využívají se totální parametry pevnosti a efektivní parametry

tuhosti.

Jako

vstupní

neodvodněná smyková pevnost

parametr

vyžadována

. Pro sestavení matice tuhosti

program opět popři efektivních parametrech tuhosti využívá objemový modul vody

. Dochází tedy k výpočtu pórových tlaků a

rozlišování mezi efektivní a totální dráhou napětí. Výsledná neodvodněná smyková pevnost však již není vstupní hodnotou a nedochází k jejímu ovlivnění průběhem efektivní dráhy napětí.

Undrained C: Využívají se jak totální parametry tuhosti, tak pevnosti. Na rozdíl od předcházejících dvou případů není rozlišováno mezi tuhostí skeletu a vody v pórech, jako vstup se kromě neodvodněné smykové pevnosti Youngův modul pružnosti

vyžaduje také totální

. Nedochází tedy k výpočtu pórových

tlaků a rozlišování mezi efektivními a totálními dráhami napětí. Tento typ chování materiálu je k dispozici pouze pro lineárně elastický, Mohr – Coulombův a NGI-ADP konstituční model. Při konsolidační analýze je vhodné použít typ chování materiálu Undrained A. Neodvodněná smyková pevnost je v tomto případě funkcí efektivního napětí a v průběhu konsolidace se bude měnit. Použití možnosti Undrained B a Undrained C není pro účely konsolidační analýzy doporučeno. Schematicky jsou všechny tři případy srovnány ve formě průběhu efektivních (ESP) a totálních drah napětí (TSP) na obr. 15-3.

(a)

(b)

(c)

Obr. 15-3 Schematické srovnání průběhu ESP a TSP pro typ chování materiálu Undrained A (a), Undrained B (b) a Undrained C (c)

V části Parameters se definují vstupní parametry, které jsou specifické pro daný konstituční model. Přehled dostupných konstitučních modelů bude uveden v následující kapitole. Část Flow Parameters (obr. 16-3) je určena pro zadávání vstupů vztahujících se k proudění vody v zemině. Zadává se zde hydraulická propustnost saturované zeminy ve dvou směrech (

). Dále se zde definují vlastnosti částečně

nasycených (nesaturovaných) oblastí. Proudění vody v těchto oblastech je

definováno hydraulickým modelem Van Genuchten (1980) nebo zjednodušenou linearizovanou variantou Approximate Van Genuchten.

jeho

Obr. 16-3 Flow parameters – část Graphs

Obsahem obou modelů je formulace závislosti relativní propustnosti a stupně saturace na negativním pórovém tlaku (sání) v nenasycené zóně (Soil Water Characteristic Curves – SWCC). Vzhledem k tomu, že získání takových závislostí vyžaduje specializované laboratorní vybavení (Fredlund et al., 2012), je k dispozici knihovna vstupních dat obou hydraulických modelů. Rozhodujícím kritériem knihovny je klasifikace (vzájemný poměr zrnitostních frakcí) zemin. Uživatel má k dispozici 4 klasifikační systémy: Standard, Hypres, USDA, Staring. Lze také použít alternativu User defined – zde se přímo zadávají hodnoty vstupních parametrů hydraulického modelu. Podrobnosti o analýze proudění v programu Plaxis lze nalézt např. v Galavi (2010). Část Interfaces (obr. 17-3) je určena pro definování vstupních vlastností kontaktních prvků, které se vkládají na rozhraní konstrukce - zemina. Jsou to prvky, kterých skutečná tloušťka je nulová (Goodman et al., 1968). Je ale možné měnit jejich tzv. virtuální tloušťku pomocí faktoru virtuální tloušťky. Změna tohoto faktoru se projeví ve změně tuhosti kontaktního prvku.

Obr. 17-3 Definování vstupních parametrů kontaktních prvků

Kontaktní prvky (obr. 18-3) umožňují modelování elastického prokluzu jak ve směru tangenciálním, tak kolmém na působící zatížení a jsou formulovány s využitím Mohr – Coulombova konstitučního modelu. Pevnost kontaktního prvku ( , tan ! ) je funkcí pevnosti okolní zeminy ( , tan !) a redukčního faktoru

#$ . Redukční

faktor "

je závislý na typu materiálu v kontaktu se zeminou

a zohledňuje oslabení tohoto kontaktu ve srovnání s rozhraním zemina –

zemina. Zde je nutné poznamenat, že parametr "

ovlivňuje kromě

pevnostních parametrů (4-3), (5-3) také tuhost kontaktního prvku (6-3). tan ! %

" " "&

(4-3) (5-3) (6-3)

tan ! % #$

Novou funkcionalitou dostupnou od programové verze Plaxis 2D 2012 je možnost

použití

parametru

kontaktního prvku, která je funkcí "

#$_$# . #$ ,

dosáhnutí

smykové

pevnosti

dochází v následujícím kroku k poklesu

napětí na hodnoty odpovídající residuálním pevnostním parametrům podle vztahu (7-3) a (8-3). _$#

tan ! _$#

" "

#$_$#

(7-3) (8-3)

tan !

Obr. 18-3 Kontaktní prvky pro 6-uzlové a 15-uzlové izoparametrické konečné prvky používané programem Plaxis 2D (převzato z Brinkgreve et al., 2012)

Část Initial (obr. 19-3) je určena pro zadávání vstupních údajů relevantních pro stanovení počátečních podmínek (efektivních horizontálních a vertikálních napětí) v části Plaxis Calculations.

Obr. 19-3 Definování počátečních podmínek

Bez ohledu na konstituční model se zde definuje hodnota koeficientu zemního tlaku v klidu

Tu je možné zadat manuálně nebo použít automaticky

vypočtenou hodnotu. Pro pokročilejší konstituční modely jsou k dispozici parametry OCR a POP, které zahrnují do výpočtu počátečních podmínek faktor překonsolidace. Overconsolidation ratio (OCR) je poměr mezi největší hodnotou efektivního vertikálního napětí dosaženého v minulosti )*,

současného efektivního vertikálního napětí )

(9-3). Preoverbunden pressure

(POP) je pak absolutní rozdíl mezi těmito složkami (10-3).

a hodnotou

+,"

0+0

-.,

)*,

, -//

(9-3)

(10-3)

Schematicky je rozdíl mezi OCR a POP znázorněn na obr. 20-3.

Obr. 20-3 Schematický rozdíl v průběhu napětí )*, při použití OCR a POP (převzato z Brinkgreve et al., 2012)

Znalost

vertikálního

napětí

)*,

#2 1*

překonsolidačního napětí

nutná

pro

výpočet

ekvivalentního

pomocí vztahů 11 až 13-3. Ekvivalentní

překonsolidační napětí pak určuje počáteční polohu objemové plochy plasticity v pokročilých konstitučních modelech.

)*,

(11-3)

5 , ( )*

(12-3)

6)3 7 )& 7 )4 8⁄3

(13-3)

3.4.2 Základní přehled dostupných konstitučních modelů Ve verzi Plaxis 2D 2012 je k dispozici celkem 10 konstitučních modelů. Další konstituční modely lze do programu importovat jako tzv. „user defined soil models“ formou .dll souborů. Stručný popis některých používaných konstitučních modelů je uveden v následujícím textu. Podrobný popis jednotlivých konstitučních modelů je mimo rámec tohoto textu. Reference na jednotlivé modely budou uvedeny v textu. •

Lineárně elastický model: konstituční model je založený na Hookově zákoně. Vstupní parametry jsou modul pružnosti

•

a Poissonovo číslo ;.

Mohr – Coulomb model (MC): lineárně elastický – perfektně plastický konstituční model. Použití tohoto modelu vyžaduje 5 vstupních parametrů: modul pružnosti

$#<

a Poissonovo číslo ; pro popis chování

zeminy v pružné oblasti, kohezi , úhel vnitřního tření ! a úhel dilatance =. Referenční modul pružnosti

$#<

a referenční koheze

$#<

jsou ve

výchozím nastavení konstantní, alternativně lze v části Parameters → Advanced (obr. 21-3) nastavit jejich lineární nárůst s napětím. V obou

případech se definuje referenční hloubka, pro kterou platí hodnoty $#<

$#<

a hodnota jejich přírůstku na 1m. Průběh pracovního diagramu a

Mohr – Coulombova plocha plasticity v p – q rovině jsou znázorněny na obr. 22-3.

Obr. 21-3 Nastavení lineárního nárůstu modulu pružnosti E a koheze c, nastavení TCO

V části Parameters lze také zadat tzv. Tension Cut Off (TCO) – omezení tahové pevnosti zeminy. Standardně se pro zeminy počítá s nulovou hodnotou. TCO však lze s výhodou využít např. pro omezení tahové pevnosti konstrukcí tvořených betonem nebo injektážní směsí (podzemní stěny, trysková injektáž, vodorovně zatížené piloty, materiál kořenů kotev atd.).

Obr. 22-3 Charakteristické znaky MC modelu (převzato z Wehnert, Vermeer, 2004)

•

Hardening – Soil Model (HS): často využívaný pokročilý elasto – plastický konstituční model s dvojitým objemovým a smykovým zpevněním. Je potřeba zadat následující vstupní veličiny: -

úhel vnitřního tření φ kohezi c

BCD referenční sečnový modul EA(

BCD referenční edometrický modul EECF

BCD referenční modul pružnosti při zatížení a opětovném přitížení EGB

Poissonovo číslo pro odtížení a opětovné přitížení νGB

exponent m řídící závislost deformačních parametrů na napětí σ3 a

referenční napětí pBCD , na které se vztahují referenční hodnoty

σ4

tuhosti

koeficient zemního tlaku v klidu K MN ( pro podmínky normální

konsolidace

R D , poměr qD /qR (obr. 23-3)

Jako kritérium porušení je zde opět použita Mohr – Coulombova podmínka porušení definovaná pevnostními parametry. Základní vztah

popisující průběh osové deformace v závislosti na deviátoru napětí pro prvotní zatížení a odvodněnou triaxiální zkoušku (14-3) vychází z formulace Konder and Zelasko, (1963), kde qa je asymptotické deviátorové napětí.

ε1 =

qa (σ 1 − σ 3 ) q ≤ q f 2 E50 qa − (σ 1 − σ 3 )

(14-3)

Při dosáhnutí deviátoru napětí S< (15-3) je splněna Mohr – Coulombova

podmínka porušení. Deviátor napětí S<

se získá vynásobením

asymptotického deviátorového napětí koeficientem "< , který je menší

než 1. Hodnota parametru "< se obvykle pohybuje v intervalu 0,75 až

1,0. Pro většinu případů je možné použít "<

0.9. Napětí S< je závislé

na pevnostních parametrech zeminy: na vrcholovém úhlu vnitřního tření

ϕp a soudržnosti.

qf =

6sin ϕ p 3 − sin ϕ p

( p + c × cot ϕ p )

(15-3)

Obr. 23-3 Hyperbolická závislost pracovního diagramu zeminy pro HS model (převzato z Brinkgreve et al., 2012)

Závislosti deformačních parametrů

$#< A( ,

$#< $

$#< V#W ,

na napětí )3 a )4

jsou řízeny především exponentem X podle vztahů 16 až 18-3. Pro

hodnoty exponentu X menší než 1 mají tyto závislosti nelineární

charakter.

 c´× cos ϕ´+σ 3´sin ϕ´     c´× cos ϕ´+ pref sin ϕ´ 

E50 = E

ref 50

Eur = E

ref ur

Eoed

 c´× cos ϕ´+σ 3´sin ϕ´    c ´ × cos ´ + p sin ´ ϕ ϕ ref  

(16-3) m

 c´× cos ϕ´+ σ 3´  nc sin ϕ´   K0 ref = Eoed    c´× cos ϕ´+ pref sin ϕ´   

(17-3) m

(18-3)

Detailní informace týkající se HS modelu lze najít např. v Schanz et al. (1999) nebo Obrzud and Truty (2011). •

Hardening soil model with small strain stiffness (HSS): původní formulace HS modelu je doplněna o možnost zvýšení tuhosti zeminy v oboru malých přetvoření. V oboru malých přetvoření je tuhost zeminy výrazně vyšší, následovaná nelineárním poklesem s rostoucím přetvořením. Ve srovnání s původním HS modelem jsou doplněny dva dodatečné parametry: počáteční smykový modul resp. smykový modul při velmi malých

přetvořeních (ε < 10Z − 6) %( . Tak jako pro kterýkoliv jiný parametr $#<

$#<

tuhosti v základním modelu, také pro %(

platí závislost na napětí (19-

3), řízena především exponentem X:

G0 = G

ref 0

 σ 3´+c´× cot ϕ´     pref + c´× cot ϕ´ 

hodnota smykového přetvoření

(,\ ,

(19-3)

při které klesne počáteční

smykový modul %( na 72% původní hodnoty.

Použití konstitučních modelů zahrnujících zvýšenou smykovou tuhost v oboru malých a velmi malých přetvoření může mít zásadní vliv na deformační analýzu např. pažících konstrukcí (Miča et al., 2012). Parametry tuhosti odvozené ze standardních laboratorních zkoušek jsou obvykle platné jen v oboru velkých deformací. Deformace v okolí geotechnických konstrukcí jsou však obvykle menší (obr. 24-3). Použití deformačních parametrů odvozených ze standardních laboratorních zkoušek v kombinaci s konstitučním modelem bez popisu zvýšení tuhosti v oboru malých, velmi malých deformací vede často k významnému nadhodnocení deformací konstrukce. Detailní informace týkající se HS modelu lze najít např. v Benz (2006) nebo Benz et al. (2009).

Obr. 24-3 Pokles smykové tuhosti s narůstající poměrnou smykovou deformací (převzato z Benz, 2006)

•

Soft Soil model (SS): konstituční model používaný pro normálně konsolidované soudržné zeminy (

$#< V#W

4^0_8 s vysokou mírou

stlačitelnosti. Jako kritérium porušení je opět aplikována Mohr Coulombova podmínka porušení. Model má v sobě zahrnutou lineární závislost tuhosti na napětí a odlišnou tuhost při prvotním zatížení a následném odtížení - opětovném přitížení. SS model vyžaduje 8 vstupních parametrů: -

úhel vnitřního tření ! kohezi

úhel dilatance =

modifikovaný součinitel stlačitelnosti při prvotním přitížení `∗ (obr. 253) modifikovaný součinitel stlačitelnosti při odtížení - opětovném

přitížení b ∗ (obr. 25-3)

Poissonovo číslo pro odtížení a opětovné přitížení ; koeficient zemního tlaku v klidu konsolidace

parametr ^ závislý na

(

pro podmínky normální

ovlivňující tvar objemové plochy plasticity

Modifikované součinitele stlačitelnosti `∗ , b ∗ vyjadřují sklon linie

prvotního přitížení (NCL) a sklon linie odtížení-opětovného přitížení (URL) v prostoru cd

ln 1 (původní nemodifikované součinitele `, b byly

stanoveny pro prostor Z vztahy 20-3 a 21-3.

ln 1). NCL a URL linie jsou pak definovány

Obr. 25-3 NCL, URL linie v prostoru cd

# d

cd( # d(

ln 1 (převzato z Wehnert, 2006)

`∗ ln f

*´

*h ´ *´

*h ´

i … NCL

(20-3)

i … URL

(21-3)

Podrobnější informace o SS modelu je možné najít např. v Neher et al. (1999).

•

Soft Soil Creep model (SSC): rozšíření původního SS modelu o časově závislé chování zeminy (creep/dotvarování). Ve všech výše popsaných konstitučních modelech je poloha plochy plasticity funkcí napětí. V případě SSC modelu je ale poloha objemové plochy plasticity závislá také na čase – po přírůstku zatížení objemová plocha plasticity dál expanduje se snižující se rychlostí. Pro objemovou creepovou poměrnou deformaci platí vztah (22-3), o ∗ je modifikovaný creepový koeficient,

který je jediným dodatečným vstupním parametrem ve srovnání s SSC modelem. Podrobný popis jednotlivých veličin lze najít např. ve Waterman, Broere (2004). Δ

5 d

o ln q1 7 ∗

*tu *vh

w∗ xy∗ z∗

{

(22-3)

Creepový koeficient o∗ lze stejně tak jako součinitele `∗ , b ∗ získat ze

standardní edometrické zkoušky (obr. 26-3) za předpokladu, že zkouška trvá dostatečně dlouho po vyvození zatížení.

(a)

Obr. 26-3 Závislosti cd

ln 1 ´ (a), cd

(b)

ln | (b) pro kalibraci vstupních parametrů

` , b , o (převzato z Waterman and Broere, 2005) ∗

∗

•

Hoek-Brown Model (HB): tento konstituční model je určen pro popis chování skalních hornin. Skalní horniny na rozdíl od zemin vykazují malou závislost tuhosti na napětí. Závislost smykové pevnosti na napětí je naopak významná. HB model je lineárně elastický perfektně plastický konstituční model. Elastické chování před dosažením smykové pevnosti je stejně jako v MC modelu řízeno modulem pružnosti číslem ;. Standardní Mohr –

a Poissonovým

Coulombova podmínka porušení

předpokládající lineární závislost mezi napětím a smykovou pevností je nahrazena obecnou Hoek – Brownovou podmínkou (23-3) porušení vycházející z práce Hoek and Brown (1980). )3

)4 7 )5 fX}

-v•

7 i

(23-3)

)3 , )4 jsou hlavní napětí, )5 je pevnost materiálu v prostém tlaku.

Koeficienty X} a

jsou semi-empirické vstupní hodnoty závislé na typu

horniny. Hodnoty těchto koeficientů jsou závislé na indexu GSI (Geological Strength Index). Hoek – Brownova podmínka porušení má nelineární průběh (obr. 27-3), který je pro skalní horniny (vzhledem na velké rozsahy napětí in – situ) vhodnější než u Mohr – Coulombovy podmínky. HB model je formulován s využitím následujících parametrů:

modul pružnosti

Poissonovo číslo ;

pevnost horniny v prostém tlaku )5

empirický parametr neporušené skalní horniny X index podle klasifikace GSI

parametr € závisející na rozrušení skalní horniny

úhel dilatance = při nulovém hlavním napětí )4 ´ napětí )• ´, při kterém je úhel dilatance nulový

Podrobnější informace o konstitučním modelu lze nalézt např. v Hoek et al. (2002) nebo Schweiger and Nasekhian (2009).

Obr. 27-3 Hoek – Brownova podmínka porušení spolu s totálními a efektivními dráhami napětí pro triaxiální zkoušky s různými komorovými tlaky (převzato z Schweiger and Nasekhian, 2009)

•

Jointed Rock Model: anizotropní lineárně elastický perfektně plastický konstituční model určený pro popis chování vrstevnatých skalních celků. Rozlišuje se elastická a plastická anizotropie. Elastická anizotropie se projevuje rozdílnou tuhostí materiálu v různých směrech (obr. 28-3). Pro popis chování ortotropního pružného materiálu je nutné definovat 5 nezávislých deformačních veličin:

& , ;3 , ;& , %& .

Obr. 28-3 Tuhost materiálu odlišná ve směru S a P (převzato z Potts and Zdrakovic, 1999)

Plastická anizotropie zahrnuje použití různých pevnostních parametrů v různých směrech. Lze tak modelovat dosáhnutí Mohr – Coulombovy podmínky porušení ve třech směrech reprezentujících plochy odlučnosti. Pro každý směr je nutné zadat pevnostní parametry:

, ! , = . Taktéž je

možné pro každou plochu zadat jinou tahovou pevnost ) (obr. 29-3).

Obr. 29-3 Lokální podmínka porušení na jedné ze tří rovin (převzato z Brinkgreve et al., 2011)

•

Modified Cam-Clay Model (MCC): konstituční model vycházející z teorie kritických stavů. V modelu je zahrnuta logaritmická závislost mezi číslem

pórovitosti Z( a efektivním středním napětím 1´. Pro linii prvotního

zatížení (NCL) a zatěžovací – odtěžovací linii (URL) je tato závislost

definována podle vztahu (24-3) resp. (25-3), kde ` a b jsou součinitelé stlačitelnosti při prvotním přitížení resp. při odtížení – opětovném přitížení. Z

*´

` ln f h i … ‚,ƒ

(24-3)

*´

b ln f h i … „"ƒ

(25-3)

Významným rozdílem oproti původnímu Cam-Clay modelu je elipsovitý

tvar plochy plasticity (obr. 30-3) definovaný rovnicí (26-3), kde ^ je směrnice tangenty linie kritických stavů v p – q rovině a 15 je izotropní překonsolidační napětí.

…

2†

‡†

7 1´61

15 8

(26-3)

Obr. 30-3 Plocha plasticity MCC modelu (převzato z Barlett, 2010)

Pro použití konstitučního modelu je potřeba definovat 5 vstupních parametrů: -

Poissonovo číslo při odtížení a opětovném přitížení ;

součinitel stlačitelnosti při prvotním zatížení `

součinitel stlačitelnosti při odtížení – opětovném přitížení b

směrnici tangenty linie kritických stavů v p – q rovině ^

počáteční číslo pórovitosti Z

Další informace o MCC modelu lze najít např. v Potts and Zdrakovic (1999), Barlett (2010). •

User defined model: program Plaxis umožňuje import dalších, uživateli vytvořených konstitučních modelů formou .dll souborů. V České republice je tak možné využít např. hypoplastický model (Mašín, 2005; Mašín 2008). V Rakousku jsou v této podobě již několik let vyvíjeny tzv. multilaminate soil models (Galavi, 2007; Scharinger, 2007; Schädlich, 2012).

3.4.3 Aplikace SoilTestLab Aplikace SoilTestLab je užitečným nástrojem pro kalibraci vstupních parametrů konstitučních modelů a proto zde bude v krátkosti popsána. Do aplikace lze projít přímo z okna pro vkládání vstupních parametrů (obr. 12-3). Pracovní prostor aplikace je znázorněn na obr. 31-3. Aplikace umožňuje simulace laboratorních zkoušek. Výsledky simulace lze přímo zkopírovat nebo uložit do

.vlt souborů. Soubory lze také otevřít v textovém editoru. Lze také současně vytvořit víc .vlt souborů pro vzájemná srovnání.

Obr. 31-3 Pracovní prostor aplikace SoilTestLab

Aplikace poskytuje možnost simulace následujících typů laboratorních zkoušek -

Triaxial: je možné si vybrat mezi neodvodněnou a odvodněnou variantou triaxiální zkoušky. Dále se volí, jestli se jedná o zatěžování v tlaku nebo v tahu. Z hlediska konsolidace před samotným smýkáním je možné vybrat mezi izotropní konsolidací a K0 konsolidací.

Oedometer CRS (constant rate of strain consolidation test) DSS (direct simple shear test): opět lze volit mezi neodvodněnou, odvodněnou zkouškou a izotropní, K0 konsolidací. General: obecný typ zkoušky. Lze zadat různé počáteční napětí a následné přírůstky zatížení ve směru souřadných os. Opět lze volit mezi odvodněným a neodvodněným typem zkoušky. V praxi lze tento typ zkoušky použít např. pro modelování pravé triaxiální zkoušky nebo naopak zkoušky v prostém tlaku.

3.5 Generování sítě konečných prvků Generování sítě konečných prvků představuje důležitý krok při tvorbě matematického modelu. Je zde nutné dodržovat některá pravidla (Potts, Zdravkovic, 1999): 1. V případě modelování zakřivených geometrických prvků je vhodné použít prvky s vyšším řádem interpolace posunutí. 2. Diskontinuity, rozhraní materiálů (geologických vrstev) atd. je vhodné využít jako přirozené hranice pro rozdělení kontinua na menší podoblasti a pro dodatečné zhuštění sítě konečných prvků (obr. 32-3).

(a)

(b)

Obr. 32-3 Sít konečných prvků v blízkosti tunelového ostění (a) a zakřiveného geologického rozhraní (b) (převzato z Potts, Zdravkovic, 1999)

3. Podoblasti v blízkosti analyzované konstrukce je vhodné dodatečně zahustit. 4. Při tvorbě sítě konečných prvků je vhodné se vyvarovat dlouhým úzkým prvkům. Poměr délky stran trojúhelníkových konečných prvků by měl být menší než 3. Vnitřní úhly trojúhelníkových prvků ˆ by měli být v rozmezí

15 až 165 stupňů (Karstunen, 2012). Pro generování sítě konečných prvků je možné použít také příkazů nabídky Mesh v hlavním menu. Ta kromě samotného příkazu ke generování sítě – Generate obsahuje další řadu příkazů k editaci sítě: •

Basic element type – nastavení typu konečného prvku

Je možné použít dva trojúhelníkové izoparametrické typy prvků – 6 uzlový a 15 uzlový prvek. 6 uzlový prvek umožňuje kvadratickou interpolaci posunutí, obsahuje 3 integrační body. 15 uzlový prvek poskytuje interpolaci posunutí 4 řádu a numerická integrace je prováděna přes 12 integračních bodů.

Obr. 33-3 Základní typy konečných prvků používaných programem Plaxis (převzato z Karstunen, 2012)

15 uzlové prvky jsou vhodnější pro výpočty stupně stability pomocí tzv. phi/c redukce (bude popsáno dále). Použití 6 – uzlových prvků v kombinaci s nedostatečně hustou sítí může vést k nadhodnocení vypočteného stupně stability. Významný vliv hustoty sítě a typu konečného prvku na vypočítaný stupeň stability násypového tělesa demonstruje graf na obr. 34-3. Pro nejhrubší síť a 6 uzlové prvky je vypočtený stupeň stability ^ <

2,25, zatímco pro nejjemnější síť

nezávisle na typu prvku je vypočtený stupeň stability ^ <

1,38. Za

zmínku stojí také fakt, že s rostoucí hustotou je vliv sítě méně významný.

Obr. 34-3 Závislost dosaženého stupně stability na počtu konečných prvků

Použití 6 – uzlových prvků v kombinaci s axisymetrickou úlohou a nedostatečně hustou sítí může také vést k výpočtu nadhodnocených únosností např. piloty nebo kruhového základu. Vliv hustoty sítě a typu konečného prvku v axisymetrických modelech plošného základu (obr. 35-3, 36-3) detailně analyzoval např. Sloan and Randolph (1983). •

Global coarseness – nastavení hustoty sítě konečných prvků platné pro celý model Je možné využít 5 stupňů hustoty sítě od velmi hrubé až po velmi jemnou (Very coarse, Coarse, Medium, Fine, Very fine).

•

Refine global – zjemnění sítě v celém modelu

•

Refine cluster, Refine line, Refine around point – zjemnění sítě části modelu v určité oblasti, v okolí linie nebo bodu

•

Reset all – zruší veškeré nastavení hustoty sítě a aktuálně vygenerovanou síť

Obr. 35-3 Vliv hustoty sítě na výpočet kruhového plošného základu (převzato ze Sloan and Randolph, 1983)

Obr. 36-3 Vliv typu konečného prvku na výpočet kruhového plošného základu (převzato ze Sloan and Randolph, 1983)

Po vygenerování sítě konečných prvků přechází program do postprocesoru Plaxis 2D Output. Zde je možné si vygenerovanou síť prohlédnout a zkontrolovat. V posledních verzích programu byly přidány funkce pro zobrazení relativní kvality sítě a velikosti prvků. Podrobněji budou možnosti postprocesoru popsány v kap. 5.

3.6 Okrajové podmínky a vhodná volba hranic modelu Okrajové podmínky se zadávají pomocí příkazů v hlavní nabídce, část Loads. Je možné definovat 3 druhy okrajových podmínek: 1. Horizontal fixities – je zabráněno vodorovným posunům, 2. Vertical fixities – je zabráněno vertikálním posunům, 3. Total fixities – je zabráněno jak horizontálním, tak vertikálním posunům. Pro standardní okrajové podmínky (u bočních hran modelu je zabráněno vodorovnému posunutí, u spodní hrany modelu je zabráněno oběma složkám posunutí) lze využít jejich automatické vložení přes hlavní nabídku nebo nástrojovou lištu. Při stanovování velikosti matematického modelu je nutné vyloučit výrazný vliv okrajových podmínek na výsledky výpočtu. Optimální velikost modelu je mimo jiné závislá na druhu analýzy: deformační analýza, analýza vnitřních sil, průsaková analýza, stabilitní analýza. V případě deformačních analýz může blízkost okrajové podmínky způsobit např. podhodnocení horizontálních deformací pažící konstrukce. V případě stabilitních analýz může dojít k ovlivnění tvaru smykové plochy a s tím spojeného výpočtu nesprávného stupně stability. Na obr. 37-3 je uveden příklad doporučených rozměrů modelu pažící konstrukce.

Obr. 37-3 Doporučené rozměry matematického modelu pažící konstrukce

4. Plaxis 2D Calculation 4.1 Pracovní prostředí Programová část Plaxis 2D Calculation je určená především pro vytvoření a editaci fází výstavby. Dále je zde možné provést nastavení vlastnosti výpočtu a iteračního postupu, nastavení ukládání dat na disk. Pomocí nástrojové lišty lze spustit výpočet, vybrat uzly a napěťové body pro pozdější tvorbu grafů a po ukončení výpočtů projít do programové části Plaxis 2D Curves pro prohlížení výpočtu nebo definovat způsob výpočtu Základní pracovní prostředí Plaxis 2D Calculation se skládá ze 4 částí: General, Parameters, Multipliers, Preview. V části General (obr. 1-4) je uveden seznam fází výpočtu spolu s jejich vlastnostmi a identifikačními údaji.

Obr. 1-4 Plaxis 2D Calculation – část General

V části Parameters (obr. 2-4) se definují vlastnosti iteračního postupu, způsob zatížení, časový interval pro konsolidační analýzu, maximální počet kroků v rámci jedné výpočetní fáze, maximální počet kroků výpočtu ukládaných na

disk a limity pórových tlaků. Je zde také možné zvolit příkaz pro vynulování deformací na začátku dané fáze výstavby – Reset displacement to zero.

Obr. 2-4 Plaxis 2D Calculation – část Parameters

4.2 Způsob – mód výpočtu Způsob – mód výpočtu se zadává při prvním vstupu do programové části Plaxis 2D Calculation (obr. 3-4) nebo jej lze dále měnit v nástrojové liště této programové části.

Obr. 3-4 Volba způsobu – módu výpočtu

Je možné zvolit 3 módy – způsoby výpočtu: •

Classical mode – platí zde standardní Terzaghiho princip efektivních a

totálních napětí (Terzaghi, 1943), kde ) je totální napětí, )#<< je efektivní napětí a

je pórový tlak:

)#<<

)

(1-4)

Objemová tíha materiálu je definovaná pomocí objemové tíhy zeminy nad hladinou podzemní vody

resp. pod hladinou podzemní vody

. Pórové tlaky v tomto způsobu výpočtu se rozdělují na pórové tlaky vypočtené na základě zadané hladiny podzemní vody nebo proudění (Steady state pore pressures) a zvýšené pórové tlaky (excess pore pressures). První typ pórových tlaků vyplývá z počátečních podmínek (Initial conditions) a jejich následných úprav v rámci definování jednotlivých výpočetních fáz. Zvýšené pórové tlaky vznikají v důsledku neodvodněného zatěžování materiálu v průběhu výpočtu typu Plastic nebo Consolidation. •

Advanced mode – využívá se zde Bishopova teorie napětí (Bishop, 1954). Pro efektivní napětí platí vzorec (2-4), kde

je tlak vzduchu

(plynu) resp. kapaliny v pórech a Œ je parametr vztahující se ke stupni

nasycení zeminy.

)#<<

8 7 Œ6

(2-4)

Pro objemovou tíhu zeminy je funkcí stupně nasycení •$ a platí vztah: 61 − •$ )

(3-4)

+ •$

Stupeň nasycení zeminy je závislý na hodnotě negativního pórového tlaku (sání) – tato závislost se nazývá Soil Water Characteristic Curve (SWCC). V programu Plaxis je možné využít závislost mezi sáním – stupněm nasycení a relativní propustností vycházející z práce Van Genuchten (1980).

•

Flow mode – tento způsob výpočtu je určen pouze k analýze proudění (průsakové analýze). Lze použít dva typy výpočtu: Groundwater flow steady state – ustálené (časově konstantní) proudění, Groundwater flow transient – neustálené (časově proměnné) proudění.

4.3 Počáteční podmínky Způsob výpočtu počátečních podmínek (obr. 4-4) se definuje v části General → Calculation type a existují dvě varianty: K0 consolidation a Gravity loading.

Obr. 4-4 Nastavení typu výpočtu počátečních podmínek

•

K0 procedure – používá se v případě rovinného terénu s paralelními rozhraními geologických vrstev rovnoběžnými s povrchem terénu. Horizontální napětí jsou vypočteny na základě zadané hodnoty zemního tlaku v klidu K0 (4-4). Pro MC model program automaticky spočítá K0 (54) podle Jáky (1944). ), (

()

sin !

(4-4)

(5-4)

Pro pokročilejší konstituční modely (např. HS, SS model) je pro automatický výpočet K0 použit vztah (6-4). Hodnotu K0 lze ale libovolně upravit při zadávání vstupních parametrů zemin v části Initial (obr. 19-3).

(

+,"

•‘’

3“•‘’

6+,"

18 7

”h•v –—–“

˜‘’ –—– ™x˜‘’

š-// š

(6-4)

•

Gravity loading – počáteční stav napjatosti je vytvořen zatížením vlastní tíhou zeminy v první výpočetní fázi. V případě MC modelu je výsledné K0 závislé na Poissonově čísle ;. Pro jednoosé zatížení a elastický materiál je vztah mezi K0 a ν následující: ;

(›

(7-4)

(

V případě potřeby je nutné definovat samostatné soubory vstupních

hodnot zemin s vhodně zvoleným ;, tak aby byly vypočteny reálné

počáteční podmínky. Gravity loading je nutné využít především v případě ukloněného terénu – typickým případem je stabilitní analýza svahů. Reprezentativní případy, kdy je nutné tento typ počátečních podmínek zvolit jsou schematicky znázorněny na obr. (5-4)

Obr. 5-4 Případy kdy je nutné zvolit typ počátečních podmínek Gravity loading

4.4 Typ výpočtu Typ výpočtu se definuje v části General → Calculation type (obr. 6-4). Pro způsob – mód výpočtu Standard (kap. 4.2) je možné vybrat z následujících typů výpočtů: Plastic, Plastic drained, Consolidation (EPP), Safety a Dynamic.

Obr. 6-4 Nastavení typu výpočtu

•

Výpočet typu Plastic: používá se pro elastoplastickou deformační analýzu, při které se neuvažuje se změnou pórových tlaků v čase. Nemůže docházet k disipaci pórových tlaků (konsolidaci). ∆ ≠ 0; ∆) ≠ ∆)´

(8-4)

Časový interval sice může být zadán, nicméně kromě použití v SSC modelu (kap. 3.4.2) s ním není uvažováno. Tento typ výpočtu se používá pro neodvodněnou analýzu – tzn. rychlá výstavba násypu nebo hloubení pažící konstrukce v zeminách s malou propustností. V tomto případě musí být při zadávání vstupních parametrů zemin použito neodvodněné chování materiálu (Undrained A / Undrained B / Undrained C). Blíže jsou všechny tři varianty popsány v kapitole 3.4.1. Naopak výpočet typu Plastic lze spolu s odvodněným typem chování materiálu (Drained) použít pro odvodněnou analýzu – např. výpočet konečného sednutí násypu nebo deformace pažící konstrukce v dlouhodobém časovém horizontu. Rozhodnutí jestli k odvodněné nebo neodvodněné analýze však nemusí jednoznačné. Vermeer and Meier (1998) stanovili stavebních jam limit pro neodvodněnou analýzu. Využili konsolidace a časový faktor Ÿd (9-4), kde je čas,

je propustnost,

V#W

se přiklonit být vždycky pro případy k tomu teorii

je součinitel stlačitelnosti, |

je oedometrický modul,

je objemová

tíha vody a € je drenážní dráha. Ÿd =

5 ¡†

¢£¤t¥ ¦§ ¡†

(9-4)

Podle zmíněných dvou autorů je možné hloubku vetknutí pažící konstrukce pod dno stavební jámy považovat za drenážní dráhu. Neodvodněnou analýzu lze pak použít, jestli je pro časový faktor Ÿd < 0.1 stupeň konsolidace U maximálně 10%. Dále je zde možné využít tzv. Updated mesh analysis – geometrie sítě konečných prvků je průběžně upravován na základě vypočtených deformací. Tato volba se využívá při výpočtech, ve kterých dochází ke vzniku velkých deformací (penetrační zkouška, instalace štěrkových

pilířů, provádění roztlačovaných pilot, deformační analýza vysokých násypových těles na stlačitelném podloží, atd.). •

Výpočet typu Plastic drained: používá se pro elastoplastickou deformační analýzu, vypočtené pórové tlaky jsou zde ale zanedbány. Veškerá změna napětí se projeví v efektivních napětích. ∆

(10-4)

0; ∆) = ∆)´

Tento typ výpočtu je totožný s výpočtem typu Plastic, ve kterém je použita volba Ignore undrained behaviour dostupná ve skupině regulačních parametrů (obr. 2-4). Tento typ výpočtu lze opět využít např. pro výpočet konečného sedání násypového tělesa bez nutnosti podrobného modelování fáz výstavby. •

Výpočet typu Consolidation (EPP): používá se v případech, kdy je nutné analyzovat vývoj pórových tlaků v průběhu výstavby konstrukce. V zásadě je možné použít dva přístupy. První variantou je, že výstavba konstrukce (např. vrstvení násypu nebo odkop na dílčí kotevní úroveň) je přímo zahrnuta ve fázi typu Consolidation (EPP) se zadanou dobou výstavby v části Parameters (obr. 2-4). Druhou alternativou je, že výstavba konstrukce je zahrnuta ve fázi výstavby typu Plastic, po které následuje fáze typu Consolidation se zadaným časovým intervalem umožňujícím disipaci zvýšených pórových tlaků z předcházející fáze.

•

Výpočet typu Safety: je určený pro výpočty stupňů stability svahů, zářezů, násypových těles. Lze ho také využít pro zhodnocení vnější a vnitřní stability pažících konstrukcí. Pro získání stupně stability se využívá tzv. Phi/c reduction přístup. V průběhu výpočtu jsou postupně redukovány vstupní parametry pevnosti: úhel vnitřního tření ! a koheze . Pokles pevnostních parametrů je řízen pomocí celkového násobku ∑^ª« (safety factor multiplier): ∑ ^ª« =

sRM ¬••.‘sRM ¬’t¥‘vt¥

5••.‘5’t¥‘vt¥

‘,••.‘-

(11-4)

‘,’t¥‘vt¥

Veličiny s indexem input jsou vstupní veličiny zadávané při definování materiálů, index reduced pak označuje redukované hodnoty. Na začátku

výpočtu typu Safety je tedy ∑^ª«

1,0. Redukování pevnostních

parametrů v průběhu výpočtu je řízeno postupným snižováním ∑^ª«

v předem zadaném počtu kroků. Pokles ∑^ª« v prvním kroku je

definován pomocí Incremental multipliers Msf (obr. 7-4) v záložce Parameters a je přednastaven na hodnotu 0,1.

Obr. 7-4 Nastavení prvotního poklesu ∑^ª« – výpočet typu Safety

Stupeň stability SF je pak možné zapsat následujícím způsobem: •®

*#d V ¯

#$ á±

*#d V *ř *V$ š#

∑ ^ª« 1ř´ 1µ¶ šZ

(12-4)

Počet kroků se zadává v položce Additional steps v regulačních parametrech (obr. 2-4). Počet kroků musí být dostatečný pro plný vývoj poruchy (smykové plochy). Po ukončení výpočtu je vhodné si zobrazit závislost

mezi

∑^ª«

výpočetním

krokem

Calculation

step

v programové části Plaxis 2D Curves (kap. 5) a zkontrolovat zdali došlo

k ustálení ∑^ª« . Příklad výstupu výpočtu typu Safety při stabilitní

analýze sypaného zemního tělesa spolu se závislostí Calculation step je ilustrován na obr. 8-4 a 9-4.

∑^ª« –

Obr. 8-4 Tvar smykové plochy po ukončení výpočtu typu Safety (znázornění smykových poměrných deformací γs)

Obr. 9-4 Ustálení výsledného stupně stability ∑MSF po dostatečném počtu kroků

•

Výpočet typu Dynamic se používá při analýze šíření vlnění přes zemní prostředí a jeho vlivu na okolní konstrukce. V rámci tohoto typu výpočtu je možné analyzovat interakci zemního prostředí a konstrukce při dynamickém zatížení (např. harmonické kmitání zařízení na plošném základě nebo beranění pilot), stabilitu zemních těles při dynamickém zatížení, chování konstrukce při seismickém zatížení atd.

4.5 Nastavení iteračního postupu Nastavení iteračního postupu (obr. 10-4) se definuje v části Parameters → Iteration procedure. Lze zvolit mezi automatickým nebo manuálním nastavením.

Obr. 10-4 Nastavení iteračního postupu

•

Tolerated error – je maximální možná hodnota celkové (globální) chyby/odchylky. Definice celkové chyby/odchylky je znázorněna na obr. 11-4.

Obr. 11-4 Schematické znázornění nerovnováhy mezi vnějším zatížením a vnitřními silami (převzato z Karstunen, 2012)

Veličinu S# je možno definovat jako vnější zatížení, S5 je pak vnitřní

reakce materiálu na dané zatížení řízená použitým konstitučním (materiálovým) modelem. Celkovou chybu je pak možné zapsat pomocí vztahu:

Z· µ á ¸ ¹_

‖2t “2v ‖ ‖2t ‖

(13-4)

Přednastavená hodnota tolerované chyby je 0,01 (1%). Hodnotu lze změnit, ve většině případů by však tolerovaná chyba neměla přesáhnout 0,05 (5%). •

Over relaxation – úprava iteračního postupu umožňující zmenšení počtu iterací v jednom výpočetním kroku. Úpravu lze popsat jako umělé zvýšení nevyvážených sil (rozdíl ‖S# S5 ‖) pomocí zadaného faktoru (násobku). Přednastavená a maximální hodnota faktoru je 1,2 resp. 2,0. Pro zeminy s malým úhlem vnitřního tření (např. ! ¨ 20V ) je možné

použít hodnotu 1,5 (Brinkgreve et al., 2011). Schematicky je význam tohoto faktoru znázorněn na obr. 12-4.

Obr. 12-4 Over relaxation factor (převzato z Karstunen, 2012)

•

Maximum iterations – definuje maximální počet iterací v jednom kroku. Standardní hodnota je 50. Parametr může být měněn v rozsahu 1 až 100.

•

Desired minimum, Desired maximum – těmito parametry lze ovlivnit kdy v průběhu výpočtu dojde ke změně velikosti výpočetního kroku (obr. 134). V případě, že je daný výpočetní krok vyřešen při počtu iterací menším než je hodnota Desired minimum, velikost výpočetního kroku je

zdvojnásobena. Naopak, jestliže počet iterací v rámci jednoho kroku přesáhne hodnotu Desired maximum, velikost kroku je snížena na polovinu.

Obr. 13-4 Úprava velikosti výpočetního kroku (převzato z van Langen 1991)

Je také možné nastavit specifickou kombinaci těchto dvou parametrů – Desired minimum = 2 a Desired Maximum je totožné s parametrem Maximum iterations. Při tomto nastavení je velikost kroku v průběhu výpočtu fixovaná. Fixace výpočetního kroku může být výhodná např. v případě, kdy provádíme simulaci zatěžovací zkoušky piloty pomocí předepsané deformace. Fixace kroku umožní porovnání výsledků (např. mobilizované tření na plášti) více výpočtů při stejných vyvozených deformacích. Přednastavené hodnoty obou parametrů jsou 6 (Desired minimum) a 15 (Desired maximum). Podle doporučení (Brinkgreve et al., 2006) lze pro získání plynulého pracovního diagramu zatěžovaných konstrukcí v zeminách s velmi malým úhlem vnitřního tření použít hodnoty 3 a 7. Pro zeminy s vysokým úhlem vnitřního tření je doporučené nastavení 7 a 15 a současné zvýšení maximálního počtu iterací na 75. •

Arc – length control – speciální úprava iteračního postupu. Při použití této funkce není hodnota vnějšího zatížení v rámci jednoho výpočetního kroku konstantní. Vnější zatížení se s rostoucím počtem kroků snižuje. Schematicky je rozdíl mezi standardním iteračním postupem a s postupem s využitím funkce Arc – length control znázorněn na obr. 14-4.

Obr. 14-4 Základní iterační postup versus postup s využitím arc – length control (převzato z Brinkgreve et al., 2006)

Postup s využitím funkce Arc – length control je přednastaven v typech výpočtu Plastic a Safety (kap. 4.4). Význam této funkce je velký při úrovních zatížení blízkých mezním hodnotám. Použití základního postupu může vést k situaci, kdy zvolený přírůstek ztížení v daném kroku je příliš velký a program nemůže nalézt řešení odpovídající zadané povolené chybě. Použití postupu s Arc – length control vede k dosažení řešení a k výpočtu přesnější hodnoty mezní únosnosti. Výpočet bez použití Arc – length control může vést k nadhodnocení vypočtené únosnosti nebo stupně stability, proto je doporučeno tuto funkci vždy použít ve výpočtu typu Safety. V programu Plaxis je navíc implementováno automatické rozpoznání poruchy – v případě, že hodnota vypočtené síly (únosnosti) s použitím funkce Arc – length control klesá v pěti krocích po sobě, výpočet je ukončen. Při výpočtech zabývajících se povrcholovým poklesem napětí/únosnosti je tedy nutné tuto funkci vypnout. •

First time step – je první časový přírůstek v konsolidační analýze. Jeho hodnota by neměla být menší než kritická hodnota. V případě použití menšího časového kroku může docházet k výkyvům ve zvýšených pórových tlacích (Vermeer and Verruijt, 1991). Velikost kritického časového kroku za předpokladu 1D konsolidace (vertikální proudění), rovnoměrné sítě konečných prvků, homogenního zemního prostředí a pro 6 resp. 15 uzlové prvky je dána vztahy (14-4) a (15-4), kde hmotnost vody, » je Poissonovo číslo,

je objemová

je propustnost ve vertikálním

směru,

je Youngův modul pružnosti, ¼ je rozměr (výška) konečného

prvku. Z uvedených vzorců vyplývá, že při jemnější síti konečných prvků je hodnota kritického časového kroku menší. Program uvažuje jako první časový přírůstek maximální hodnotu kritického časového kroku vypočtenou pro všechny konečné prvky v matematickém modelu. ∆| ∆| =

½ † ¦§ 63“&¾863¿¾8 À(¢/ £63“¾8

15 −

·µ é 1¶

(14-4)

6 −

·µ é 1¶

(15-4)

½ † ¦§ (3“&¾)(3¿¾) Â(¢/ £(3“¾)

5. Plaxis 2D Output, Plaxis 2D Curves Části Plaxis 2D Output a Plaxis 2D Curves tvoří post-procesor programu. Účelem obou aplikací je zobrazení výsledků výpočtů. Část Plaxis 2D Curves je pak určena pro tvorbu grafů. Základní pracovní prostředí části Plaxis 2D Output je znázorněno na obr. 1-5. Součástí prostředí je opět hlavní nabídka a specializovaná nástrojová lišta. Vylepšením, ve srovnání s verzí Plaxis 9.0, je možnost volby výpočetní fáze pro zobrazení výsledků přímo v aplikaci Plaxis 2D Output. Není tedy nutné otevírat každou výpočetní fázi samostatně.

Obr. 1-5 Prostředí aplikace Plaxis Output

Vlastnosti sítě konečných prvků lze kontrolovat v části hlavní nabídky Mesh. Lze zde zobrazit relativní kvalitu sítě (Mesh → Quality) nebo plochy prvků (Mesh → Area). Tyto dvě funkce jsou opět vylepšením verze 9.0 a představují užitečný nástroj pro kontrolu kvality sítě konečných prvků. K zobrazení deformací a napětí je určena část hlavní nabídky Deformations a Stresses. Sumarizace typů/složek deformací a napětí, které jsou k dispozici pro zobrazení, je uvedena

v tab. 1-5 a 2-5. Pomocí příkazů Tools → Cross section je možné vytvořit libovolný řez pro zobrazení složek deformací.

Tab. 1-5 Zobrazení výsledků: celek Deformations

Část

Veličiny

Deformovaná síť konečných prvků

| |,

Celkové deformace

Deformace výpočetní fáze

|1 |, 1

Přírůstek deformací

|Δ |, Δ

,Δ

Celkové poměrné přetvoření v kartézské souřadnicové soustavě

Poměrné přetvoření výpočetní fáze v kartézské souřadnicové soustavě Přírůstek poměrného přetvoření v kartézské souřadnicové soustavě Celkové poměrné přetvoření

3, &, 4, ( 3

,Δ

4 )⁄2 , ( 3

Poměrné přetvoření výpočetní fáze

1 d, 1

Přírůstek poměrného přetvoření

Δ d, Δ

−

4 )⁄2 , d ,

…

Tab. 2-5 Zobrazení výsledků: celek Stresses

Skupina

Veličiny

Efektivní napětí v kartézské souřadnicové soustavě

)´ , )´ , )´ , )´

Totální napětí v kartézské

) , ) , ) , )

souřadnicové soustavě Hlavní efektivní napětí, invarianty napětí, smykové napětí

)´3 , )´& , )´4 , ()´3 + )´4 )⁄2 , 1´, S, Ä$#± , Ä¯V} Ä¯ …

Hlavní totální napětí, invarianty napětí

)3 , )& , )4 , ()3 + )4 )⁄2 , 1, S

Stavové proměnné

závisí na použitém konstitučním modelu

Pórové tlaky Proudění vody

5 d#¿

5 V

5 d# , 1# 5#

# W

# W ¿

5 V

|´µÅ

|S|, S , S , _| ¶_|´µÅ,

$#±

Plastické body

dosažení Mohr – Coulombovy podmínky, objemové a smykové zpevňování, dosažení tahové pevnosti

Vlastnosti prvků „fixed – end anchor“

Vlastnosti prvků „node to node anchor“

Vlastnosti prvků „wells“

Vlastnosti prvků „drains“

Od verze Plaxis 2012 je také možné v rovinném řezu standardními plošnými prvky vypočítat vnitřní síly (provádí se integrace napětí podél řezu na zadané šířce). To lze s výhodou využít např. pro stanovení vnitřních sil v podzemní stěně modelované plošnými prvky. V poslední verzi (Plaxis AE) je tato funkcionalita rozšířena i pro ostění tunelů. Pro grafické zobrazení výsledků lze využít tři možnosti: View → Contour lines, Shadings, Stress points labels. Číselné zobrazení výsledků je možné provést pomocí tabulek Tools → Table. Data lze libovolně seřadit a zkopírovat např. do textového editoru. Informace o sledované veličině v požadovaném bodě lze získat pomocí příkazu Tools → Hint box (obr. 2-5).

Obr. 2-5 Hint box

Pomocí příkazů Tools → Curves manager lze projít do aplikace Plaxis 2D Curves. Zde je možné na základě předem vybraných uzlů a napěťových bodů sestrojovat libovolné grafické závislosti. Pro osy grafu lze volit mezi veličinami (obr. 3-5) společnými pro celý projekt (Project), deformacemi v uzlech (Deformations), napětími a rychlostmi proudění v integračních bodech (Stresses).

Obr. 3-5 Volba veličin na jednotlivých osách grafu – aplikace Plaxis 2D Curves

Použitá literatura [1] BARTLETT, S. F. Modified Cam Clay (MCC) Model - course materials. 2010. [2] BENZ, T. Small-Strain Stiffness of Soils and its Numerical Consequences: Ph.D. thesis. Geotechnical Institute - Stuttgart University, 2007. [3] BENZ, T., VERMEER, P. A., SCHWAB, R. A small-strain overlay model. Int. J. Numer. Anal. Meth. Geomech., 2009, vol. 33, p. 25–44. [4] BISHOP, A. The principle of effective stress. Teknisk Ukeblad, Norwegian Geotechnical Instistute, 1959, vol. 106, no. 39, p. 859–863. [5] BRINKGREVE, R. B. J., SWOLFS, W. M., ENGIN, E. PLAXIS 2D 2010 Users Manual. 2010. [6] BRINKGREVE, R. B. J., SWOLFS, W. M., ENGIN, E. PLAXIS 2D 2011 Users Manual. 2011. [7] BRINKGREVE, R. B. J., SWOLFS, W. M., ENGIN, E. PLAXIS 2D 2012 Users Manual. 2012. [8] BRINKGREVE, R. B. J. et al., Plaxis 3D Foundation v. 1.5 Manual. 2006 [9] BURD, H. J. The history of PLAXIS. In Beyond 2000 in Computational Geotechnics – 10 Years of PLAXIS International. 1999. [10] FREDLUND, D. G., RAHARDJO, H., FREDLUND, M. D. Unsaturated Soil Mechanics in Engineering Practice. 2012. ISBN 78-1-118-13359-0. [11] CHEANG, W. W. L. Plaxis Vietnam Seminar. 2007. [12] GALAVI, V. A multilaminate model for structured clay incorporating inherent anisotropy and strain softening: Ph.D. thesis. Gruppe Geotechnik Graz: Graz University of Technology, Austria, 2007. [13] GOODMAN, R. E., TAYLOR, R. L., BREKKE, T. L. A model for the mechanics of jointed rock. Journal of Geotechn. Engng, ASCE, 1968, vol. 94, no. SM 3, p. 637–659. [14] HOEK, E., CARRANZA-TORRES, C., CORKUM, B. Hoek–Brown failure criterion—2002 edition. In Proceedings of the North American rock mechanics Symposium, Toronto.. 2002, [15] JAKY, J. The coefficient of earth pressure at rest. J. Soc. Hung. Eng. Arch. (Magyar Mernok es Epitesz-Egylet Kozlonye), 1944, p. 355–358. [16] KARSTUNEN, M. Numerical Methods of Geotechnics - course materials, 2012.

[17] MAŠÍN, D. A hypoplastic constitutive model for clays. International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, 2005, vol. 29, no. 4, p. 311–336. [18] MAŠÍN, D. Vývoj a aplikace hypoplastických modelů. Geotechnika, 2008, no. 2, p. 3–9.

konstitučních

[19] MIČA, L., CHALMOVSKÝ, J., FIALA, R., RAČANSKÝ, V. Numerická analýza pažení stavebních jam. 2011. ISBN 978-80-7204-773-4. [20] NEHER, H. P., WEHNERT, M., BONNIER, P. G. An evaluation of soft soil models based on trial embankments. Computer Methods and Advances in Geomechanics, 2001, vol. 1, p. 373–378. [21] OBRZUD, R., TRUTY, A. The Hardening Soil model – a practical guidebook. Technical report Z_Soil.PC 100701. 2011. [22] POTTS, D. M., ZDRAVKOVIĆ, L. Finite Element Analysis in Geotechnical Engineering: Volume One - Theory. 1999. ISBN 978-0-7277-2753-4. [23] PUZRIN, A. M., ALONSO, E. E., PINYOL, N. M. Geomechanics of Failures. 2010. ISBN 978-90-481-3531-8. [24] SCHANZ, T., VERMEER, P. A., BONNIER, P. G. The hardening soil model: Formulation and verification. In Beyond 2000 in Computational Geotechnics – 10 Years of PLAXIS International. 1999. [25] SCHARINGER, F. A multilaminate model for soil incorporating small strain stiffness: Ph.D. thesis. Gruppe Geotechnik Graz: Graz University of Technology, Austria, 2012. [26] SCHÄDLICH, B. A. Multilaminate Constitutive Model for Stiff Soils: Ph.D. thesis. Gruppe Geotechnik Graz: Graz University of Technology, Austria, 2012. [27] SLOAN, S. W., RANDOLPH, M. F. Numerical prediction of collapse loads using finite element methods. International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, 1982, vol. 6, no. 1, p. 47–76. [28] SCHWEIGER, H. F., NASEKHIAN, A. Validation Report of Hoek-Brown Model Implemented in Plaxis. 2009. [29] TERZAGHI, K. Theoretical Soil Mechanics. 1943. ISBN 978-0-4718-5305-3. [30] VAN GENUCHTEN, M. T. A Closed-form Equation for Predicting the Hydraulic Conductivity of Unsaturated Soils. Soil Science Society of American Journal, 1980, vol. 44, p. 892–898. [31] VAN LANGEN, H. Numerical analysis of soil structure interaction: Ph.D. thesis. Delft: University of Technology, 1991.

[32] VERMEER, P. A., VERRUIJT, A. An accuracy condition for consolidation by finite elements.International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, 1981, vol. 5, p. 1–14. [33] VERMEER, P., MEIER, C. P. Stability and deformations in deep excavations in cohesive soils. Intl. Conf. on Soil-Structure Interaction in Urban Civil Engineering, Darmstadt Geotechnics. 1998. [34] WATERMAN, D., BROERE, W. Practical Application of the Soft Soil Model. Plaxis Bulletin 15,16, 2004. [35] WEHNERT, M. Ein Beitrag zur drainierten und undrainierten Analyse in der Geotechnik: Ph.D. thesis. Geotechnical Institute - Stuttgart University, 2006. [36] WEHNERT, M., VERMEER, P. A. Numerical analyses of load tests on bored piles. In Proceedings of the Ninth International Symposium on 'Numerical Models in Geomechanics - NUMOG IX'. 2004, p. 505–511.

I ng. Jur aj Chal movskĂ˝ I SBN9788021449381 Br no