Examen Canguro Matemáti o 2002 Nivel Olímpi o
Instru iones: En la hoja de respuestas, llena el ír ulo que orresponda a la respuesta orre ta para ada pregunta. Si en una misma pregunta apare en dos ír ulos llenos se onsiderará omo in orre ta. Por ada respuesta orre ta en las preguntas de la 1 a la 10 se te darán 3 puntos; por ada respuesta orre ta en las preguntas de la 11 a la 20 se te darán 4 puntos; por ada respuesta orre ta en las preguntas de la 21 a la 30 se te darán 5 puntos. El máximo posible es de 120 puntos. Dura ión: 2 horas.
Las preguntas 1 a 10 valen 3 puntos ada una.
En el ál ulo ∗1 ∗ 2 ∗ 3 ∗ 4 ∗ 5 puedes reemplazar ∗ por + o por −. ¾Cuál de los siguientes números no puedes obtener?
Problema 1.
(a) 1
(b) 3
( ) 7
(d) 13
(e) 17
En la pirámide, el número en ada uadro (a partir del segundo renglón) es la suma de los dos números justo arriba de él (por ejemplo, en las asillas sombreadas 2 + 3 = 5). ¾Qué número debe ir en lugar de ⋆?
Problema 2.
2
2 4
3 5
7
⋆
(a) 1
(b) 7
( ) 27
(d) 30
(e) 35
Cada lado del uadrado ABCD mide 10 m. El lado más pequeño del re tángulo AM T D mide 3 m. ¾Por uántos entímetros es más grande el perímetro del re tángulo M BCT que el del re tángulo AM T D?
Problema 3.
(a) 10 m
(b) 8 m
A
M
B
D
T
C
( ) 7 m
(d) 6 m
(e) 4 m
Compré un ostal lleno de alpiste para alimentar a mi anario. El primer día mi anario se omió 12 del total de alpiste. El segundo día se omió 13 del alpiste restante y el ter er día omió 14 del sobrante. Del total de alpiste que había en el ostal, ¾qué fra ión queda?
Problema 4.
(a)
1 24
(b)
1 4
( )
1 3
(d)
3 4
(e)
4 5
Numeré 2002 tarjetas del 1 al 2002 y quité aquéllas que terminaban on 0. Después volví a numerar las que me quedaban y otra vez quité las que terminaban on 0. Al nal, ¾ uántas tarjetas me quedaron?
Problema 5.
(a) 1622
(b) 1620
( ) 1000
(d) 900
(e) 782
Problema 6. En un grupo de 15 amigos hay 10 que tienen los ojos afés (los demás tienen los ojos azules) y 10 que tienen 16 años (el resto tienen 15). Sólo una de las siguientes op iones no puede ser el número exa to de amigos en el grupo que tienen 16 años y ojos afés, ¾ uál es? (a) 4 (b) 5 ( ) 6 (d) 8 (e) 10
28 niños parti iparon en una arrera. El número de niños que llegaron detrás de Raúl fue el doble del número de niños que llegaron antes que él. ¾En qué lugar llegó Raúl? (a) sexto (b) séptimo ( ) o tavo (d) noveno (e) dé imo
Problema 7.
La gura que se muestra está formada por uatro uadrados. Los perímetros de los uadrados I y II miden 16 m y 24 m respe tivamente. ¾Cuál es el perímetro del uadrado IV ?
Problema 8.
II
I
IV III
(a) 56 m
(b) 60 m
( ) 64 m
(d) 72 m
(e) 80 m
Las fe has de umpleaños de uatro amigas (Blan a, Cristina, Daniela y Flor) son marzo 1, mayo 17, julio 20 y marzo 20. Sabemos que Flor na ió el mismo mes que Cristina, y que el número de día en que na ieron Cristina y Daniela es el mismo, aunque na ieron en distintos meses. ¾Quién na ió en mayo 17? (a) Blan a (b) Cristina ( ) Daniela (d) Flor (e) imposible de determinar
Problema 9.
Andrés uenta los números del 1 al 100 y aplaude si el número que di e es múltiplo de 3 o termina en 3. ¾Cuántas ve es aplaudirá Andrés en total? (a) 30 (b) 33 ( ) 36 (d) 39 (e) 43
Problema 10.
Las preguntas 11 a 20 valen 4 puntos ada una.
Entre tres niños se omieron 17 galletas. Si O tavio omió más galletas que ninguno de los otros, ¾ uál es el menor número de galletas que pudo haberse omido? (a) 5 (b) 6 ( ) 7 (d) 8 (e) 9 Problema 11.
Problema 12. Un pueblo tiene 987654 asas. ¾Cuál es la mínima antidad de dígitos que deben tener los números telefóni os del pueblo si ada asa tiene un solo teléfono y ningún número telefóni o empieza on 0? (b) 106 − 1 ( ) 97 (d) 6 (e) 7 (a) 9 · 105
En la gura K , L, M y N son los puntos medios de los lados del re tángulo ABCD , y O, P , R y S son los puntos medios de los lados del uadrilátero KLM N . Si el área del re tángulo ABCD es 1, ¾ uánto mide el área sombreada? Problema 13.
N
D O
C S
K
M P
R
A
(a)
3 5
(b)
2 3
L
( )
5 6
B
(d)
3 4
(e)
5 7
Una máquina orta una pieza de madera en tres partes en un minuto y después orta en tres las partes resultantes, ada una en un minuto. En el momento en que hay al menos 317 piezas de madera la máquina se detiene. Cuando la máquina se detenga, ¾ uántos minutos habrán pasado? Problema 14.
(a) 6
(b) 7
( ) 105
(d) 106
(e) 158
Ana, Beatriz y Carlos están jugando. Ana di e un número de tres ifras. Beatriz suma las tres ifras del número de Ana y di e el resultado. Carlos suma las ifras del número que di e Beatriz y di e el resultado. ¾Cuál es el número más grande que puede obtener Carlos? Problema 15.
(a) 9
(b) 10
( ) 11
(d) 12
(e) 18
Ha iendo ortes paralelos a las aras de un ubo de madera se obtiene una pieza omo la que se muestra. Si el volumen original del ubo era 8 m3 , ¾ uál es la super ie de la pieza? Problema 16.
(a) 18 m3
(b) 24 m3
( ) 26 m3
(d) 28 m3
(e) imposible de determinar
En ierta pobla ión de ratones el 25% son blan os y el 75% son negros. De los ratones blan os el 50% tiene ojos azules y de los negros el 20% tiene ojos azules. Si sabemos que 99 ratones tienen ojos azules, ¾ uántos ratones tiene la pobla ión?
Problema 17.
(a) 360
(b) 340
( ) 240
(d) otra respuesta
(e) sin solu ión
Los platillos A, B y C están a omodados según su peso: el platillo más ligero es el A, después el B y nalmente el C .
Problema 18.
A
B
C
Para onservar el orden de pesos, ¾dónde debe olo arse el platillo D?
D
(a) entre A y B (d) después de B
(b) entre B y C (e) D y C pesan lo mismo
( ) antes de A
En la gura, P y Q son los entros de los ír ulos tangentes P y Q, y la línea P Q orta el ír ulo en A y B , omo se muestra. El re tángulo ABCD es tangente a Q en T . Si el área de ABCD es 15, ¾ uál es el área de P QT ? Problema 19.
Q P
A
Q
P
D
(a) 4
(b)
15 4
T
( )
B
C
√
(d) 5
π 2
(e) 2 5
¾Cuál es el máximo número de interse iones que pueden obtenerse dibujando dos ír ulos y tres líneas re tas?
Problema 20.
(a) 14
(b) 15
( ) 16
(d) 17
(e) 18
Las preguntas 21 a 30 valen 5 puntos ada una.
Cuatro paquetes se pesan por parejas en todas las posibles ombina iones. Los pesos obtenidos son 5 kg, 6 kg, 8 kg, 9 kg, 11 kg y 12 kg. El peso total de los 4 paquetes es
Problema 21.
(a) 12 kg
(b) 17 kg
( ) 28 kg
(d) 34 kg
(e) 51 kg
Problema 22. En ierto mes tres domingos fueron días on número par. ¾Qué día de la semana fue el día 20 de ese mes?
(a) lunes
(b) martes
( ) miér oles
(d) jueves
(e) sábado
Aquiles orre detrás de una tortuga. En un prin ipio la distan ia entre ellos es de 990 metros. Si Aquiles re orre 100 metros ada minuto y la tortuga re orre 1 metro ada minuto, ¾en uántos minutos al anzará Aquiles a la tortuga? Problema 23.
(a) 8
(b) 9
( ) 10
(d) 11
(e) 12
Se pintaron de negro algunas asillas de una uadrí ula blan a de 2 × 9, de manera que ada asilla blan a tiene un lado en omún on una negra. El número de asillas negras en la uadrí ula debe ser uando menos:
Problema 24.
(a) 5
(b) 6
( ) 7
(d) 8
(e) 9
En un torneo de futbol se jugaron 45 partidos. En ada juego el equipo ganador obtuvo 3 puntos y el perdedor obtuvo 0 puntos. En aso de empate ada uno de los equipos obtuvo 1 punto. Si el total de puntos obtenidos por todos los equipos fue 130, ¾ uántos partidos del torneo fueron empates?
Problema 25.
(a) 0 Problema 26.
(a)
7 12
(b) 1
( ) 2
(d) 4
(e) 5
Si ab = 19 y bc = 31 , enton es b−a c−b es igual a (b)
25 8
( )
4 1
(d)
4 9
(e)
3 10
Un entero positivo n es divisible por 21 y por 9. ¾Cuál es la menor antidad de enteros positivos que dividen a n? (in luyendo a 1 y al mismo n)
Problema 27.
(a) 3
(b) 4
( ) 5
(d) 6
(e) 7
Problema 28. Un bar o re oge 30 naúfragos en una isla. Como resultado, los alimentos del bar o que eran su ientes para 60 días ahora son su ientes sólo para 50 días. ¾Cuántas personas había en el bar o antes de llegar a la isla?
(a) 15
(b) 40
( ) 110
(d) 140
(e) 150
Las asillas de una uadrí ula de 2002 × 2002 están numeradas on 1, 2, 3 y 4 de a uerdo al patrón que se muestra en la gura. Una ha se pone en la asilla de la esquina izquierda superior. A ada paso la ha puede moverse a una asilla ve ina que esté abajo o a la dere ha. Después de 2002 pasos, ¾qué número tendrá la asilla sobre la que estará la ha? Problema 29.
(a) 3
(b) 1 o 3
1
2
3
4
1
4
1
2
3
4
3
4
1
2
3
2
3
4
1
2
1
2
3
4
1
( ) 2 o 3
(d) 3 o 4
(e) ualquiera
Problema 30. De un uadrado de papel se onstruye un pentágono omo sigue: se doblan las esquinas B y D de manera que queden sobre la diagonal AC y se vuelve a doblar la gura obtenida de manera que la esquina C oin ida on la esquina A. ¾Cuánto mide el ángulo que se mar a en la gura omo α?
D
C
C
α
D B A
(a) 108o
B
(b) 110o
A
( ) 111o
A
C
(d) 112.5o
(e) 114.5o
Ho ja de respuestas para el Examen Canguro MatemĂĄti o 2002 Nivel OlĂmpi o
Nombre: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
(a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a)
11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.
(a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a)
21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30.
(a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a)
(b) (b) (b) (b) (b) (b) (b) (b) (b) (b)
(b) (b) (b) (b) (b) (b) (b) (b) (b) (b)
(b) (b) (b) (b) (b) (b) (b) (b) (b) (b)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
(d) (d) (d) (d) (d) (d) (d) (d) (d) (d)
(d) (d) (d) (d) (d) (d) (d) (d) (d) (d)
(d) (d) (d) (d) (d) (d) (d) (d) (d) (d)
(e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e)
(e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e)
(e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e)