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Soluciones del Examen Eliminatorio Estatal de la Olimpiada Mexicana de Matem´ aticas 2013 1. (a) Las u ´nicas que tienen distinto per´ımetro son la H y la U. 2. (a) Estar´an encendidas las que se prendieron entre 15 y 55 minutos, es decir, 4 velas. 3. (d) Llamemos O al punto de intersecci´on de las l´ıneas y unamos O con los v´ertices del tri´angulo. As´ı el tri´angulo queda partido en 9 tri´angulos de igual ´area (pues tienen misma altura desde O y base igual a la tercera parte de un lado del tri´angulo) y la parte sombreada est´a formada por 6 de estos tri´angulos, de modo que el ´area sombreada es 9 · 69 = 6.

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4. (b) Sean l la edad de Leonardo, i la de Irving y e la de Eduardo. Como l es un divisor de 14 y de 35, tenemos que l = 1 o l = 7. Si suponemos l = 1 entonces e = 35, pero eso no = 5 e i = 10 = 2. De esta forma, puede ser pues e < 14. As´ı, l = 7 y, por tanto, e = 35 7 5 tenemos que l + i + e = 7 + 2 + 5 = 14. 5. (d) En total hay 16 cuadritos y cada pieza utiliza 4 cuadritos, as´ı que no se pueden obtener m´as de 4 piezas. Notemos que no es posible que todos los cuadritos de la hoja sean parte de alguna pieza pues, si hay una pieza que tenga la esquina inferior izquierda de la cuadr´ıcula, es f´acil darse cuenta de que hay al menos un cuadrito que no formar´a parte de ninguna otra pieza. As´ı, no es posible recortar 4 piezas. En la figura se muestra una forma de por donde recortar tres.

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6. (e) Un n´ umero jocoso debe tener al menos dos d´ıgitos. Como el segundo puede ser a lo m´as 9, el primero debe ser mayor que 2. Si el primer d´ıgito es 3, la u ´nica opci´on posible para el segundo d´ıgito es 8. As´ı, el n´ umero jocoso m´as peque˜ no es 38 y la suma de sus d´ıgitos es 11. 7. (a) Si se sacan 5 pelotas es posible que se haya tomado una de cada color, pero si se toman 6 forzosamente un color debe estar repetido. 8. (e) La suma total es 55 que no es par, as´ı que no puede hacerlo. 9. (b) En cada vuelta que completa Jana, Abi est´a

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de vuelta m´as cerca de ella. Inicialmente


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