Oriol.-Several cases of elliptic monomials

Se pueden integrar las famosas elípticas monómicas: pese a siglos de supuesta “imposibilidad”. No aparecen en ninguna tabla (ver Wikipèdia!). a=√ 2

x-a=(1/a)shw x+a=(1/a)shw+2a

Primer caso P= ∫dx(x4+1)1/2 P2=[(x-a)2+1/2][(x+a)2+1/2] I=d(shw)[(shw+2)2+1]1/2 P=ds[(s2+4s+5]1/2

shw+2=shQ chwdw=chQdQ

∫dQch2Q=sh(Q)·ch(Q)+Q

primer caso otro camino P=∫dx(x4+1)1/2 llamo a=(1/2)½ (x2-2ax+1/2+1/2) (x2+2ax+1/2+1/2) x4+1 =(x2+1+2ax) (x2+1-2ax)=(x2+1)2-4a2x2 suma x diferencia we do 4a2=2 2a/(1/2)1/2=2 hacemos

x-a=ashw

P2=[(x-a)2+1/2][(x+a)2+1/2]

x+a=a(shw+2) dx=d(shw)

(x+a)2+1/2=(1/2)(sh2w+4+4shw+1) Pdx=d(shw)chw(sh2w+5+4shw+)1/2 shw+2=shb dw=db sh2w=sh2b+4+4shb P=∫dwch2w[sh2w+5+4shw]1/2=∫dwch2w[1+(shw+2)2]1/2 = ∫dwch2wchb P= d(shb)(5+sh2b-4shb) =(1/3)sh3b-2sh2b+5shb ******************** segundo caso

I= ∫dx(x4+1)-1/2 igual que antes

P-2=[(x-a)2+1/2][(x+a)2+1/2]

x-a=(1/2)1/2shw z=shw P=ch-1w[(shw+2)2+1]-1/2 Pdx=ch-1w[(z +2)2+1]1/2 I=∫ dw[(z+2)2+1]-1/2=∫ dz [(z+2)2+1]-1/2 z+2=(1/2)1/2shα

I=d(shα)/chα =α

α=arsh[(x-a)+2)2−1/2] ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗

tercer caso ∫(x4-1)1/2dx numerador

es cuando hay 2 raíces reales

cortaremos y=x4-1 con el haz y=ρ(x2-1) La nueva variable es ρ x4-1=(x2+1)(x2-1)=ρ(x2-1) I=∫dρρ½(ρ-2)½(ρ-1)-½

ρ=(x2+1) x=(ρ-1)½ dx=dρ(ρ-1)-½ ρ>1

el cambio (a es una constante) ρ=s+a

I=∫ds(s+a)½(s+a-2)½/[s+a-1]½ Aquest producte

(s+a)½(s+a-2)½

(s+a)½(s+a-2)½ puede poner-se como φ2-k

I=∫ds[s2-2s(a-1)+a(a-2)]½/[s+(a-1)]½ [s-(a-1)]2-(a-1)2+(a2-2a) =[s−(a-1)]2-1 ∫ds[[s-(a-1)]2-1]1/2/[s+(a-1)]1/2 (1) el siguiente cambio es s-(a-1)=ch(2w) s=a-1+ch(2w) ds·sh(2w)dw Recordando que 1+cos(2x)=2cos2x ∫sh2(2w)dw/[a-1+ch(2w)]½ con a=2

I=∫sh2wch2wdw/chw

∫sh2wd(shw)=(1/3)sh3w

s=2ch2w shw=[(s/2) -1]½ s=ρ-3/2

********************** cuarto caso I=∫ dx/(x4-1)1/2 denominador.- todo igual I=∫ds[s2-2s(a-1)+a(a-2)]-½/[s+(a-1)]½ s=2ch2w

∫ds[[s-(a-1)]2-1]-1/2/[a+(a-1)]1/2

a-(a-1)=ch(2w) ∫sh(2w)dw/[2(a-1)+ch(2w)]½

con a=3/2 Recordando que 1+cos(2x)=2cos2x I=∫dwshwchw/chw =chw Quinto caso

ch(2w)=s=ρ−2

I=∫ (1-x4)1/2

cortaremos y=(1-x4) ½ con el haz y=r(1-x2) ½ La nueva variable es r (1-x4) ½ =(x2+1) ½ (1-x2) ½ =r(1+x2) r=1-x2 x=(1-r)½ dx=dr(1-r)-½ r<1 I=∫dr·r½ (2-r)½(1-r)-½ =∫dr(1-[2r+r2+1)]1/2/(1-r)1/2=∫dr[1-(r+1)2]1/2/(1-r)1/2 Haremos r+1=2cos(2w) 1-r=2-2cos(2w)

1+x2=2-r

I=∫dwsinw·cosw(1-4cos2(2w)1/2/(1-cos(2w)]1/2=∫d(sinw)(sin2w-3/8)-1/2 =∫ds(s2-3/8)1/2

s=(3/8)1/2cha

I=∫ds·sh2a=(1/2)(a-shacha)

**************************** sexto caso denominador

(1-x4)-1/2 paramétricas

I=∫dr·r(1-p)/p(r1/p-1)(m+1-n)/n

n=4 p=-1/2 m=0 I=∫d(r2) r-4(1-r2)-3/4=∫dss-2(1-s)-3/4 =∫d(1/s)(1/s)3/4/(1/s-1)3/4

∫t3/4dt(t-1)-3/4 t=1+s I=∫ds/(1+s)3/4s3/4 s=h4 I=∫h3dh/(1+h4)3/4h3=∫dh(1+h4)-3/4 r4=h4+1 h3dh=r3dr ∫dr·r3r-3

∫d(h2)(1+h4)-3/4·h2 ∫dt·t(t2+1)-3/4 = ∫ds/(1+s)3/4 =(1+h4)1/4=r r=(1+xn)p séptimo caso I=∫dx(1-x-4)1/2 (x-2+1+2a/x)(x-2+1-2a/x)=(x-2+1)2-4a2x-2 llamamos a=(1/2)½ 2a/(1/2)1/2=2

4a2=2

x-2+1+2a/x)=(x-1+a)2+1/2 hacemos x-1+a=ashw y resulta a2sh2w+1/2=(1/2)ch2w (x-2+1-2a/x)=(x-1-a)2+1/2 x-1-a=a(shw-2) I=∫dwchw(shw-1)-2chw[(shw-2)2+1]1/2

shw-2=sha dw=da I=∫dz(5+4z+z2)/(z+1)2

(x-1-a)2+1/2=(½)[(shw-2)2+1]

dx=dwchw/(shw-1)2 sh4=(ch2-1)2

I=∫da(1+sh2w)(sha+1)-2cha=∫d(sha)(1+4+sh2a+4sha)(sha+1)-2 z=sh2b

dz=db shb chb

I=∫ d(chb)ch-3b(ch4b+2ch2b+2)= ∫ds(s4+2s2+2)/s3=s2/2+ln(s)-s-2/2 siendo s=(1+z)1/2 Octavo caso

I=∫dx(1-x-4)-1/2 octavo caso

I=∫dx(1-x-4)-1/2 ver cuarto caso I=∫x2dx/(x4-1)1/2

x=a(1+shw) a=(1/2)½ 4a2=2

I=∫ds[s2-2s(a-1)+a(a-2)]-½/[s+(a-1)]½

∫ds[[s-(a-1)]2-1]-1/2/[a+(a-1)]1/2

a-(a-1)=ch(2w) ∫sh(2w)dw/[2(a-1)+ch(2w)]½

con a=3/2 Recordando que 1+cos(2x)=2cos2x

I=∫d(chw)ch3w/chw =ch3w ch(2w)=s=ρ−2

******* noveno caso (el imposible de Davenport !) numerador

mètodo divertido. Poco seguro

Φ=∫ dz(z3-1)1/2 1+Φ’2=z3

Φ’dz=tdz=t·(1+t2)−2/3tdt t=tg2w

z=(1+Φ’2)1/3

I=∫ (x3-1)1/2

x>1

Φ =∫Φ’dz=∫t2(1+t2)−2/3dt

dt=dw·tgw/cos2w=sinwcos-3wdw 3 wdwsin2cos-2

dz=(1+t2)−2/3tdt

hacemos t=φ’

ahora haremos

Ι=∫t2(1+t2)−2/3dt=∫ cos4/3w sinwcos-

=∫ cos4/3w sinwcos-3wdwsin2cos-2=∫(1-cos2w)d(cosw)cos-11/3w cosw=s ds=d(cosw) I=∫ds·s-11/3-∫ds s6/3s-11/3=(-3/8)s-8/3-(3/2)s-2/3 cos-8/3w-4cos-2/3w (1+tg2)1/3(tg2w-3) tg2w=t=Φ’m resultado raro y sospechoso

********************************************* otro camino pero en paramétricas

∫dr(r1/p-1)(m+1-n)/n r(1-p)/p = ∫rdr(r2-1)-2/3

r2=s

∫d(s-1)/(s-1)2/3 =(s-1)1/3 =(r2-1)1/3 *************************** Noveno caso I= ∫ dz(1-z3)-1/2 z>1 denominador

z3=1-t2 z=(1-t2)1/3 dz=tdt(1-

t2)-2/3 I= ∫ dt2(1-t2)-2/3 t=sina

I= ∫ d(cosa)cos-1/3a= ∫dgg-1/3=cos2/3a

*******************

dècimo caso

I= ∫ dz(z3+1)-1/2 Mètodo abeliano: Cortar con el haz de curvas

y=xm·r el problema general binómico xm(xn+1)p poniendo-lo todo en paramètricas r=(xn+1)p r1/p-1=xn dx=dr(r1/p-1)1/n-1

Todas las binòmicas se expresan

I=∫dr r(1-p)/p (r1/p-1)(m+1-n)/n

si m=2 p=1/3 n=3 tendremos I=∫dr r2(r3-1)1/3=r2(r3-1)(m+1)/3 (m+1)/n=1 I=∫d(r3) (r3-1)1/3=∫d(h)(h-1)1/3=(h-1)4/3=(r3-1)4/3