(LA INTEGRAL ELÍPTICA)

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Fin de una pretendida imposibilidad (LA INTEGRAL ELÍPTICA) HA DURADO UNOS 200 AÑOS

La dificultad era el cuarto grado del polinomio bajo raíz. Se requería un cambio de variable que rebajara este grado, y los matemáticos dejaron de buscarlo debido a unos trabajos de LIOUVILLE “demostrando” que era imposible solucionar la integral.

Hace medio siglo trabajé el tema y dejé para otro momento su publicación: lo tengo publicado en la nube, pero parece que había algún error y ahora, ya jubilado, lo he mejorado y creo que debería publicarlo en papel, la Academia de Ciencias Exactas, a cuyo responsable envío copia, con escasas esperanzas de que se convenza.

Para integrar la elíptica solo se requieren cambios de variable que rebajen el grado del nuevo integrando (a segundo grado) La solución es enviar dos factores-raíces al infinito (como se hace para dar a cualquier polinomio de cuarto grado la forma canónica de trinomio bicuadrado): con transformaciones

f

x=dz/(Cz+D) donde el denominador es un factor que con valor cero se cambia de sitio: va al infinito y desaparece del radical de 4º grado.

Y con el segundo cambio se va del radical de tercer grado- Problema resuelto Segundo grado bajo raíz YA no es una integral elíptica.

No tengo en cuenta constantes que afecten todo el integrando

P2=√(x2+a)(x2+b) 1ª especie Propongo dos cambios de variable, según las raices del polinomio sean reales o imaginarias ρ<ó>1 ρ es la nueva variable 1.- ρ>1 x2+a=ρx2 x=√a/√(ρ-1) si a ó b>0 raices imaginarias * 2- ρ<1 x=√(- a)/√(1-ρ) con a ó b<0 raices reales** *La curva del polinomio no corta el eje x. Para toda x, hay una sola zona (real ó imaginaria según signo del coeficiente de x4

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Tras dos cambios, dos factores-raíces del integrando habrán salido del radical, que antes de 4º bajo raíz; será ahora, un factor de segundo grado, **Las abcisas entre raíces tienen ordenadas negativas (cuando el signo del coeficiente de x4 >0) La integral será imaginaria en estas zonas, el cambio de variable es el de raíces reales.

ρ>1x2+a=(aρ-a)+a)/(ρ-1)=aρ/(ρ-1) x2+b=(

aρ-a)+a+(b-a)/(ρ-1)=a(ρ+c-1)/(ρ-1)

c=b/a<1 El valor de ρ=0 es raíz. Tras el cambio de variable x a ρ este factor ha ido al infinito y solo quedan 3 factores bajo radical dx=dρ/(ρ-1)3/2 P=√(x2+a)√(x2+b) raíces imaginarias √ρ√[(ρ-(1-c)] tercer grado I=∫dρ/ √( ρ -1)√ρ√[(ρ-(1-c)] ρ es raíz Haremos ρ=1/f segundo cambio dρ=df/f2 I=∫dρ(ρ-1)/(ρ-1)

3/2

ρ-1=(1-f)/f

Exponente para f raíces cuadradas)

-4/21/2+3/2=0 (de las 3

f

exponente para (1-f)-1/2 ρ se ha ido

I=∫df/ √ (1-f)√[1/(1-c)- f]

Segundo gradobajo raíz I=∫ df/√(1-f)√(N-f)

I=∫df/√(1-f)√(N-f) ∫dt2/√(1-t

2

)√(N-t2)

t2=Nsin2w

N=1/(1-c)

haremos f=t2 t=√Nsinq 2

I=∫ d(sin2w)√(1/N-sin2w)√(1-sin w)

hacemos sin2w=v=1-h2 I=∫dv/√(1/N-v)√(1-v)

I=∫hdh/√(h2+1/N-1)h (1-N)/N=R2 I=∫dh/√[h2+(1-N)/N]=∫dh/√[h2+R2]

h=Rshq

I=∫dqchq/chq=

q=arsh[h/√[(1-N)/N]]

h=√(1-v) fin del desarrollo de 1ª especie **********

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No debería seguir, el riesgo de errores aumenta si alargo el artículo.

Lo que quería era demostrar que existen cambios de variable que hacen integrable lo que era una elíptica IMPOSIBLE durante 200 años.

Ha bastado mandar al infinito dos raíces Con dos cambios de variable (con una raíz en el denominador) para dejar el radical del integrando de segundo grado: lo que está en el infinito no está en nuestra raíz.

El integrando tendrá dos raíces cuadradas de primer grado Ya no es una elíptica ************** Veamos AHORA la 2ª especie, numerador

polinomio en

Es una posible forma de esta especie P2=(x2+a) (x2+b) I=∫dρ√ρ√(ρ+N

2

)/√(ρ-1))

f

el 2º cambio es como antes

ρ=1/f* dρ=df/f2

tercer grado en ρ bajo raíz ρ se va -2 2+1 2 I=∫df√(f+N )√f/f √(1-f) f=1-t

f1/2 por cada raíz]

exp de f -4/2+2/2 +1/2 I=∫df√(f+N

-2

)/f 5/2

f=N-2sh2q

I=∫dqshqch2q/sh5q I=∫dq(1+sh2q)/sh4q I=∫dq/sh4q+∫dq/sh2q

vienen en las tablas

Veamos tambien la 2ª especie, pero con polinomio en el denominador I=∫dρ(ρ-1)/√ρ√(ρ+c-1)(ρ-1) I=∫dρ/√ρ√(ρ+c-1)

√(ρ-1)

3/2

tercer grado

el 2º cambio es

ρ=1/f* poque ρ es raíz dρ=df/f2 I=∫ df√[1/(c-1)+f)]/√ f 7 √(1-f)

3

ρ se va

exp de f 1-3/2-4/2 =-7/2**(f-1/2 por cada raíz) 3

I=∫df√[f+1/(c-2)]√f/f

f(1-f)√(1-f)f1/2

tercer grado bajo raíz ρ se va 1/f* dρ=df/f2

f

exp de f -4/2+2/2 +1/2 I=∫df√(f+N

-2

)/f 5/2

f1/2 por cada raíz]

f=N-2sh2q

I=∫dqshqch2q/sh5q I=∫dq(1+sh2q)/sh4q I=∫dq/sh4q+∫dq/sh2q

vienen en tablas