U
n fractal es
un
objeto
geométrico
cuya
estructura
básica,
fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas.1 El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y
deriva del Latín fractus, que significa quebrado o fracturado. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal. La propiedad matemática clave de un objeto genuinamente fractal es que su dimensión métrica fractal es un número no entero.
Si bien el término "fractal" es reciente, los objetos hoy denominados fractales eran bien conocidos en matemáticas desde principios del siglo XX. Las maneras más comunes de determinar lo que hoy denominamos dimensión
fractal fueron
establecidas a principios del siglo XX en el seno de la teoría de la medida. Podemos
decir
que
son modelos matemáticos que como los grafos se utilizan como herramientas en situaciones
problemáticas
de biología, arte, ingeniería, física, físico - química, etc. Los fractales son “objetos” (geométricos) generados a partir de un objeto geométrico inicial como puede ser un punto, un segmento, un triángulo, un segmento de curva, etc. que se va modificando por medio de la aplicación reiterada de una ley infinitas veces (llamada ley de reproducción). Como resultado de este procedimiento se
obtienen estructuras cuyas partes por pequeñas que sean conservan el mismo aspecto que la versión inicial. Esta particularidad hace que si se amplía una parte de un fractal, no se puede distinguir la figura ampliada de la original. Observemos la formación de un helecho fractal. Como podemos observar de una rama salen muchas ramas y en cada una de ellas se repite el mismo esquema por lo que la ampliación de una parte del original es muy similar al original mismo. Esta es una característica de los fractales.
L
os fractales son, sin duda alguna, mucho más que interesantes curiosidades matemáticas. A diferencia de la geometría euclidiana, en donde los elementos básicos pueden generarse de manera directa
(líneas, círculos, planos, etcétera), en la geometría fractal las formas primarias son conjuntos de procedimientos matemáticos (algoritmos) que al ejecutarse dentro de un rango de valores, dan como resultado las extraordinarias formas de los fractales. La geometría fractal está constituida por una infinidad de elementos, cada uno de los cuales representa una transformación geométrica completa y única. Como en los símbolos gráficos del chino y el japonés, cada algoritmo fractal funciona como un ideograma que transmite un mensaje global característico. En esta web los hemos clasificado casi por orden cronológico algunos de ellos:
Clásicos: Cantor, Koch, Sierpinski, Peano e Hilnert. Mandelbrot. Newton-Raphson. Sistemas L. Atractor de Lorenz.
Complejos
Autómatas celulares
Órbitas caóticas
Plasma
El Triángulo de Sierpinski
El matemático polaco Waclaw Sierpinski, creó el triángulo fractal más famoso del mundo. Partiendo de un triángulo equilátero de lado la unidad, recortamos el triángulo equilátero ,con la base invertida y de lado 1/2 del anterior, del centro del triángulo resultante de la iteración anterior (que en la 1ª iteración será el de lado la unidad).
La Esponja de Menger
La esponja de Karl Menger se construye bajo el mismo principio que el triángulo de Sierpinski, pero no con un triángulo sino con un cubo en 3 dimensiones.
Copo de nieve de Koch
Creado en 1904 por el matemático sueco Helgeron von Koch. También conocido como la Isla Tríada de Koch.
Curva de Hilbert
Dibujemos un cuadrado de lado unidad. Lo dividimos en cuatro partes iguales. Unimos los centros de los cuatro cuadrados como muestra la figura inferior. Volvemos a dividir cada cuadrado en cuatro cuadrados idénticos y unimos de nuevo los centros de todos los cuadrados mediante una sola curva siguiendo el patrón mostrado en el segundo paso de la figurada inferior (Orden 2). Observemos cómo la curva serpentea comenzando en el cuadrado superior izquierdo y acabando en el cuadrado superior derecho. En la figura alcanzamos la tercera iteración. Con paciencia, repetimos el procedimiento infinitamente. En el límite obtendremos la curva de Hilbert.