Fa nivelacion de matemáticas2 by Arte Diseño

F.A. Nivelación de matemáticas Docentes: Rocío Gamboa y Oswaldo Camacho Tema: Proporciones

APERTURA

SOMBRA PROYECTADA Altura de cada estaca (cm)

Sombra proyectada (cm)

DarĂo en un determinado momento coloca 6 estacas de diferentes alturas y luego procede a medir la sombra que proyecta cada una de ellas, todo ello lo anota en el siguiente cuadro. Veamos:

Resolvamos todos juntos De acuerdo cuadro anterior: 1. ¿Cuánto es la sombra proyectada por 1 estaca de 10 cm de altura? 2. ¿Cuál sería la altura de la estaca si la sombra proyectada fue de 50cm? 3. ¿Cómo deducirías una fórmula para determinar la sombra proyectada para cualquier estaca de diferentes alturas? 4.¿Cómo interpretarías gráficamente el cuadro anterior? 5. ¿Cómo denominarías a la gráfica: creciente o decreciente? 3

LOGRO DE SESIร N Al finalizar la sesiรณn, el estudiante resuelve ejercicios relacionados con la proporcionalidad, ademรกs de resolver problemas contextualizados aplicados en su entorno.

CONTENIDOS

       

MAGNITUD. RAZÓN. PROPORCIONES. MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES. MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES. REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA. REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA. REGLA DE TRES COMPUESTA.

MAGNITUDES Una magnitud es cualquier propiedad que se puede medir numéricamente, y por ello variar o cambiar en comparación con otras. Ejemplos:  La capacidad de una botella de agua.  El número de goles marcados por el Barcelona,  El dinero obtenido por un trabajo.  El número de trabajadores de una empresa. 6

RAZÓN Razón o relación es el resultado de comparar dos cantidades.

Razón Aritmética Comparación entre dos cantidades por medio de la SUSTRACCIÓN

Razón Geométrica Comparación entre dos cantidades por medio de la DIVISIÓN

PROPORCIONES Proporción es el resultado de comparar dos razones.

Proporción Aritmética Comparación entre dos razones aritméticas

Proporción Geométrica Comparación entre dos razones geométricas

a–b=c–d Donde: a y d son términos extremos c y d son términos medios

MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES Dos magnitudes A y B son, directamente proporcionales (DP), si al aumentar o disminuir una de ellas, la otra tambiĂŠn aumenta o disminuye en la misma proporciĂłn. Se cumple :

A =C B

En una tabla de proporcionalidad directa, el cociente de cada pareja de valores correspondientes es constante. Este valor recibe el nombre de constante de proporcionalidad. Naranjas (kg) Precio (S./)

2 3 4

4 6 8 10

4 6 8 10 = = = = 2 3 4 5

2 9

MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES Dos magnitudes A y B son, inversamente proporcionales (IP), si al aumentar o disminuir una de ellas, la otra disminuye o aumenta en proporciรณn inversa. Se cumple :

A.B=C

En una tabla de proporcionalidad inversa, el producto de cada pareja de valores correspondientes es constante. Este valor recibe el nombre de constante de proporcionalidad. Trabajador Tiempo (h)

12 8

2 .12 = 3 . 8 = 4 .6 = 8 .3 =

24 10

ESQUEMA

MAGNITUDES MAGNITUDES PROPORCIONALES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES

A DP B

A =C B

INVERSAMENTE PROPORCIONALES

A IP B

AB = C

B 11

Evaluación diagnostica. Indique cual de estas magnitudes son directamente proporcionales (DP) e inversamente proporcionales (IP) :

• • • • • • • •

Velocidad del móvil – Tiempo de viaje ( ) Número de Personas – Tiempo de trabajo ( ) Trabajo a realizar – Costo del trabajo ( ) Trabajo a realizar – Tiempo de trabajo ( ) Trabajo a realizar – Dificultad del trabajo ( ) Trabajo a realizar – Eficiencia de las personas ( Eficiencia de las personas – Tiempo de trabajo ( Gastos mensuales – Capacidad de ahorro ( )

) )

Evaluaciรณn diagnostica. Indique cual de estas magnitudes son directamente proporcionales (DP) e inversamente proporcionales (IP) :

Indique cual de estas magnitudes son directamente proporcionales (DP) e inversamente proporcionales (IP) :

• • • • • • • •

Velocidad del móvil – Tiempo de viaje ( ) IP Número de Personas – Tiempo de trabajo ( ) IP Trabajo a realizar – Costo del trabajo ( ) DP Trabajo a realizar – Tiempo de trabajo ( ) DP Trabajo a realizar – Dificultad del trabajo ( ) IP Trabajo a realizar – Eficiencia de las personas ( DP ) Eficiencia de las personas – Tiempo de trabajo ( IP ) Gastos mensuales – Capacidad de ahorro ( ) IP

DESARROLLO Ejercicios guiados

REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA Para el pintado de una habitación, un pintor cobra $100 por pintar dos habitaciones. ¿Cuánto nos cobrará por pintar cinco habitaciones? Por regla de tres: Nº de Habitaciones

Costo

2 5

100 X

Solución:

Costo

2 5

100 X

Solución:

X = 250 17

REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA Si 10 obreros han hecho una obra en 90 días, ¿en cuántos días harán la misma obra 15 obreros? Solución:

Por regla de tres: Obreros

10 15

Días

90 X

REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA Si 10 obreros han hecho una obra en 90 días, ¿en cuántos días harán la misma obra 15 obreros? Solución:

Por regla de tres: Obreros

10 15

Días

90 X

REGLA DE TRES COMPUESTA Una ingeniera civil puede construir 600 metros de carretera con 40 hombres, en 50 días, trabajando 8 h/día. ¿Cuántos días tardará este ingeniero en construir 800 metros de carretera con 50 obreros doblemente eficientes que los anteriores en un terreno de triple dificultad, trabajando 2 horas más por día? Solución: Se determinan todas las magnitudes encontradas en el problema: Carretera

Hombres

Días

h/día

Eficiencia

Dificultad

Luego ubicamos la magnitud donde se encuentra la variable y analizamos con respecto a las demás: Carretera

Hombres IP DP

Días

h/día

Eficiencia

Dificultad

IP IP DP

De acuerdo al análisis anterior, obtenemos la siguiente FÓRMULA:

Colocamos los datos del problema y empleamos la fórmula para determinar lo que se nos pide:

Carretera

Hombres

Días

h/día

Eficiencia

Dificultad

600 800

40 50

50 X

8 10

1 2

1 3

Teniendo en cuenta la fórmula anterior, tenemos:

Linea 1

linea 2

Colocamos los datos del problema y empleamos la fórmula para determinar lo que se nos pide:

Carretera

Hombres

Días

h/día

Eficiencia

Dificultad

600 800

40 50

50 X

8 10

1 2

1 3

Teniendo en cuenta la fórmula anterior, tenemos:

despejando

La ingeniera tardará 64 días en terminar la obra 23

Resuelve los siguientes ejercicios anรณtalos en tu libreta y pega el instrumento de evaluaciรณn proporcionado que servirรก para obtener el puntaje de esta actividad.

PROBLEMA El valor de una joya es directamente proporcional al cuadrado de su peso. Si joya que pesa 50 gramos cuesta $ 4 000. ¿Cuánto valdrá otra joya de 90 gramos de peso? SOLUCIÓN:

PROBLEMA El gasto de un ingeniero es directamente proporcional a su sueldo, si su sueldo equivale a $4 000 y gasta $600. ¿ Cuál será su sueldo cuando su gasto sea de $4 250? SOLUCIÓN:

PROBLEMA El Sr. James, repartió su dinero entre sus tres hijos: Uno de 24 años, el otro de 20 años y la ultima de 18 años . Si el reparto entre la cantidad de dinero que reciben es inversamente proporcional a sus edades. Sí el hijo mayor recibió $4 200 ¿Cuánto le correspondió recibir a la ultima hija?

SOLUCIÓN:

PROBLEMA Si para pintar 180 metros de pared se necesitan 24 lt de pintura. ¿cuántos lt se necesitarán para pintar una superficie de 270 metros? ¿Es proporcionalidad directa? Tabla de datos:

PROBLEMA Si 12 vacas se comen un granero lleno de paja en 80 días, calcula cuanto tardarían 30 vacas. ¿Es proporcionalidad directa o inversa?

Resultados: Cambia tu libreta con tu compaĂąero y evalĂşa sus resultados

PROBLEMA El valor de una joya es directamente proporcional al cuadrado de su peso. Si joya que pesa 50 gramos cuesta $ 4 000. ¿Cuánto valdrá otra joya de 90 gramos de peso? SOLUCIÓNAMOS APLICANDO UNA REGLA DE TRES: PESO COSTO (50)²--------- $4000 (90)²---------$ X

El valor de la joya de 90 gramos de peso es $ 12 960.

PROBLEMA El gasto de un ingeniero es directamente proporcional a su sueldo, si su sueldo equivale a $4 000 y gasta $600. ¿ Cuál será su sueldo cuando su gasto sea de $4 250? SOLUCIÓN:

SUELDO AHORRO $4000-------- $600 X---------------$ 4250

El sueldo del ingeniero será $28333,33 $28333,33

PROBLEMA El Sr. James , repartió su dinero entre sus tres hijos: Uno de 24 años, el otro de 20 años y la ultima de 18 años . Si el reparto entre la cantidad de dinero que reciben es inversamente proporcional a sus edades. Sí el hijo mayor recibió $4 200 ¿Cuánto le correspondió recibir a la ultima hija?

SOLUCIÓN:

Por dato:

Primer hijo : 24 años Segundo hijo : 20 años Tercer hija : 18 años = Dinero recibido . Edad

X=5600

La ultima hija del Sr. James 33 recibirá $5600

PROBLEMA Si para pintar 180 metros de pared se necesitan 24 lt de pintura. ¿cuántos lt se necesitarán para pintar una superficie de 270 metros? ¿Es proporcionalidad directa? Si Tabla de datos: Metros de pared 180 270 x

lt de pintura 24

x= 24* 270/180

RESPUESTA Se necesitan 36 litros de pintura

X=36 34

PROBLEMA Si 12 vacas se comen un granero lleno de paja en 80 días, calcula cuanto tardarían 30 vacas. ¿Es proporcionalidad directa o inversa? ¿Es proporcionalidad directa? No Tabla de datos: Vacas tiempo 1280 30 x

x= 12* 80/30

x= 32

Respuesta: Tardan 32 días 35

CIERRE Responde el siguiente problema contextualizado y evalúalo con la rúbrica que te será proporcionada.

Problema contextualizado,

Una guarnición de 400 soldados situados en un regimiento tiene víveres para 180 días si consumen 900 gramos por hombre y por día. Si recibe un refuerzo de 100 soldados pero no recibirá víveres antes de 240 días. ¿Cuál deberá ser la ración de un hombre por día para que los víveres puedan alcanzarles? ¿Qué tipo de relación guardan los datos?

Problema contextualizado,

Una guarnición de 400 soldados situados en un fuerte tiene víveres para 180 días si consumen 900 gramos por hombre y por día. Si recibe un refuerzo de 100 soldados pero no recibirá víveres antes de 240 días. ¿Cuál deberá ser la ración de un hombre por día para que los víveres puedan alcanzarles? Solución: Ordenando los datos tenemos: Soldados días gramos 400 ........... 180 ....... 900 500 ........... 240 ......... x Entre soldados y víveres (gramos) la relación es inversa. Entre días y víveres (gramos) la relación es directa (400*180) = 500*240 x 900 x = 540 Respuesta: La ración de debe ser de 540 gramos. 39

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

 AURELIO BALDOR. ARITMÉTICA. 2° EDICIÓN. ED. PATRIA. PAG. 517 – 531.  SALVADOR TIMOTEO. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO. 1° EDICIÓN. ED. SAN MARCOS. PAG. 501 – 520.  SALVADOR TIMOTEO. ARITMÉTICA. 2° EDICIÓN. ED. SAN MARCOS. PAG. 59 – 82 / 83 – 128.