1 ¿ De cuántas fo r mas dife r e nte s se pue de n cubr ir lo s pue sto s de pre side n te , vice pr e side nte y te sor er o de un club de fút bo l sabie n do que hay 12 po sib le s can dida to s? 2 C o n las le tr as de la pal abr a libr o , ¿ cuán tas o r de nacio ne s dist intas se pue de n hace r que e mpie ce n po r vo cal? 3 ¿ De cuántas fo r mas pue de n mez clar se lo s sie te co lor e s de l ar co ir is to mán do lo s de tr e s e n tr e s? 4 ¿ C uánto s núme ro s de cinco cifr as di stin tas se p ue de n for mar co n las cifr as im pare s? ¿ C uánto s de ello s so n mayor e s de 7 0 .00 0? 5 ¿ De cuánto s par tido s co ns ta una lig uilla for mad a po r cuatr o e qui po s? 6 A una re unió n asiste n 1 0 per so nas y se inte r cambia n salu do s e ntr e to do s. ¿ C uánto s saludo s se han inte r camb iado ? 7 C o n las cifr as 1 , 2 y 3 , ¿cuán to s núme r o s de cinco cifr as pue de n fo r mar se? ¿ C uánto s so n pare s? 8 ¿ C uántas apue stas de L o ter ía Pr imitiv a de una co lumna han de re lle nar se par a ase gur ar se e l acier to de lo s se is re sul tado s, de 49 ? 9 ¿ De cuántas fo r mas pue de n co lo car se lo s 1 1 j ugado r e s de un e quipo de fú tbo l te nie ndo e n cue nta que e l por te r o no pue de o cupar o tr a po sició n dis tint a de la po r te r ía? 10 C o n e l pun to y raya de l siste ma Mor se , ¿cuán tas se ñale s disti ntas se pue de n e nviar , usando co mo máx imo cua tro pulsacio ne s? 11 Una me sa pr e side ncial está fo r mada por o cho pe r so nas, ¿de cuán tas fo r mas dis tin tas se pue de n se n tar , si e l pre side n te y e l se cre tar io sie mpr e van jun to s? 12 ¿ C uántas diago na le s tie ne un pe ntágo no y cuánto s tr iáng ulo s se pue de info r mar co n sus vé r tice s? 13 Un gr upo , co m pue sto po r cinco ho mbr e s y sie te muje r e s, fo r ma un co mité de 2 ho mbr e s y 3 mu jer e s. De cuá ntas for mas pue de fo r mar se , si: 1 Pue de pe r te ne cer a él cualquie r ho mbr e o mu jer . 2 Una muje r de te r minad a de be pe r te ne ce r al co mi té . 3 Do s ho mbr e s de te r minado s no pue de n e star e n e l co mité . 1 - ¿ De cuántas fo r mas dife r e nte s se pue de n cubr ir lo s pue sto s de pre side n te , vice pr e side nte y te sor er o de un club de fút bo l sabie n do que hay 12 po sib le s can dida to s? N o e ntr an to do s lo s ele me nto s. Sí impo r ta el o r de n. N o se re pite n lo s e le me nto s. C o n las le tr as de la pal abr a libr o , ¿ cuán tas o r de nacio ne s dist intas se pue de n hace r que e mpie ce n po r vo cal? L a pala br a e mpie z a por i u o se gui da de las 4 le tr as re stan te s to mada s de 4 e n 4. Sí e ntr an to do s lo s ele me nto s. Sí impo r ta el o r de n. N o se re pite n lo s e le me nto s.
¿ De cuántas fo r mas pue de n mez clar se lo s sie te co lor e s de l ar co ir is to mán do lo s de tr e s e n tr e s? N o e ntr an to do s lo s ele me nto s. N o impo r ta el o r de n. N o se re pite n lo s e le me nto s.
¿ C uánto s núme ro s de cinco cifr as di stin tas se p ue de n for mar co n las cifr as im pare s? ¿ C uánto s de ello s so n mayor e s de 7 0 .00 0? Sí e ntr an to do s lo s ele me nto s. Sí impo r ta el o r de n. N o se re pite n lo s e le me nto s. Si e s impar só lo pue de e mpe z ar por 7 u 9 .
¿ De cuánto s par tido s co ns ta una lig uilla for mad a po r cuatr o e qui po s? N o e ntr an to do s lo s ele me nto s. Sí impo r ta el o r de n. N o se re pite n lo s e le me nto s. A una re unió n asiste n 1 0 per so nas y se inte r cambia n salu do s e ntr e to do s. ¿ C uánto s saludo s se han inte r camb iado ? N o e ntr an to do s lo s ele me nto s. N o impo r ta el o r de n. N o se re pite n lo s e le me nto s.
C o n las cifr as 1 , 2 y 3 , ¿cuán to s núme r o s de cinco cifr as pue de n fo r mar se? ¿ C uánto s so n pare s? Sí e ntr an to do s lo s ele me nto s: 3 < 5 Sí impo r ta el o r de n. Sí se re pite n lo s e le me nto s. Si e l núme r o es par tan só lo p ue de ter mi nar e n 2 . ¿ C uántas apue stas de L o ter ía Pr imitiv a de una co lumna han de re lle nar se par a ase gur ar se e l acier to de lo s se is re sul tado s, de 49 ? N o e ntr an to do s lo s ele me nto s. N o impo r ta el o r de n. N o se re pite n lo s e le me nto s.
De cuán tas fo r mas pue de n co lo car se lo s 1 1 juga do re s de un e quipo de fútbo l te nie ndo e n cue nta que e l por te r o no pue de o cupar o tr a po sició n dis tint a de la po r te r ía? Dispo ne mo s de 10 ju gado re s que pue de n o cupar 10 po sicio ne s dis tin tas. Sí e ntr an to do s lo s ele me nto s. Sí impo r ta el o r de n. N o se re pite n lo s e le me nto s. C o n e l pun to y raya de l siste ma Mor se , ¿cuán tas se ñale s disti ntas se pue de n e nviar , usando co mo máx imo cua tro pulsacio ne s? N o e ntr an to do s lo s ele me nto s e n un caso y sí e ntr an e n lo o tr o s Sí impo r ta el o r de n. Sí se re pite n lo s e le me nto s.
Biografías KOLMOGOROV, Andrei(1903 - 1987)
La probabilidad toma su forma actual a partir de los años 30's cuando Kolmogorov establece con sus axiomas para el cálculo de probabilidades las bases matemáticas para asentar la teoría, con lo cual, además se aclaran las aparentes paradojas existentes. Todo esto aparece en su famosa monografía Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung, (1933). Los antecedentes del esquema Kolmogorov son:
1.
Los notables avances que en el área del análisis matemático se dan durante la primera década de este siglo con la creación de la teoría de la medida (E. Borel) y de la integral de Lebesgue. Esto surge independientemente de la probabilidad, a pesar de lo cual, resulta ser la herramienta ideal para su desarrollo y sólido sustento matemático.
2.
Por el lado de la probabilidad, se cuenta con la demostración de E. Borel de la ley fuerte de los grandes números en donde éste ya maneja la noción de probabilidad con las propiedades aditivas. Por otra parte, los trabajos de Norbert Wiener y los de Paley y Zigmund, contienen desarrollos importantes de la teoría y en ellos ya manejan la idea de probabilidad como medida. También Lominicki y Steinhaus (1923) escriben sobre la relación de la probabilidad con la teoría de la medida. Kolmogorov tuvo otros importantes aportes, como su teorema de las "tres series" así como los resultados de inecuaciones de sumas parciales de variables aleatorias, los cuales se convirtieron en la base de las inecuaciones de martingala y del cálculo estocástico.