Cálculo diferencial e integral

C รกlcul o diferencial e

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Cálculo diferencial e integral Martha Leticia Hernández Primera edición: 2015 D. R. © 2015 Instituto Politécnico Nacional Luis Enrique Erro s/n Unidad Profesional “Adolfo López Mateos” Zacatenco, Deleg. Gustavo A. Madero CP 07738, México, DF Dirección de Publicaciones Tresguerras 27, Centro Histórico Deleg. Cuauhtémoc CP 06040, México, DF ISBN 978-607-414-1-7 Impreso en México / Printed in Mexico http://www.publicaciones.ipn.mx

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C álcul o diferencial e

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Martha Leticia Hernández

Instituto Politécnico Nacional —México—

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Prólogo

Este trabajo está dirigido a: a) Estudiantes de la carrera de licenciatura en Ciencias de la Informática de upiicsa que cursan la unidad de aprendizaje de Cálculo Diferencial e Integral. b) Estudiantes en general que necesitan información mínima, básica o fundamental del Cálculo Diferencial e Integral. c) Profesores que se inician como tal y requieren una presentación rápida, fundamental, adecuada en tiempos y objetivos para un curso semestral. d) Estudiantes que han reprobado o se han ausentado y que necesitan una guía de autoestudio y autoevaluación para su aprendizaje.

Esta obra no tiene una formalidad matemática en el sentido de presentar teoremas y sus demostraciones. Se utilizan teoremas, axiomas, corolarios, propiedades y definiciones como una herramienta para conocer, manejar y aplicar los conceptos matemáticos y utilizarlos en la solución de problemas o ejercicios afines.

Además, este libro está dirigido al lector que no necesita un perfil matemático estrictamente, aunque su contenido se encuentra apegado al contenido de la unidad de aprendizaje de Cálculo Diferencial e Integral de upiicsa.

Didácticamente, se presentan los conceptos matemáticos en la forma más simple para la comprensión del alumno, aplicando los conceptos en ejemplos ilustrativos.

Los ejemplos presentan su solución en una forma muy explícita, tratando de mostrar lo más que se puede pasos intermedios para el estudiante que tiene dificultad en asimilar, comprender y aplicar los conceptos del cálculo. Se ilustra también en cada ejemplo el uso del álgebra necesaria para la solución de un problema.

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Se presentan ejercicios de cada tema con la finalidad de que el estudiante se ejercite solo o en grupos de trabajo para su aprendizaje. Algunos temas y gráficas se dejarán para tareas en casa y así complementar la evaluación del alumno.

Al final del libro se presentan cinco apéndices, los cuales contienen autoevaluaciones para que el alumno o lector y pueda medir su aprendizaje o dominio en cada tema.

El temario gira en torno a los números reales, haciendo una breve reseña con el objetivo de utilizarlos en la solución de desigualdades que servirán a su vez para encontrar el dominio y rango de una función. Las funciones que se presentan son las más utilizadas con sus respectivas gráficas, incluyendo las algebraicas y trascendentes. Se ven los conceptos de límites “puntuales”, laterales, infinitos y al infinito para llegar a la definición de continuidad de una función en un “punto”. Se ve el concepto de derivada y las formulas de derivación en forma operacional para llegar al concepto de máximos y mínimos, y así tener otra forma de analizar la gráfica de una función.

En integración, se ven integrales básicas indefinidas y definidas para llegar a comprender, manejar y utilizar el concepto de áreas bajo una y dos curvas. Se finaliza con la presentación de ecuaciones diferenciales en forma básica, esto es, identificar los diferentes tipos de ecuaciones y conocer sus métodos de solución exclusivamente.

Se espera que este libro cumpla con las expectativas del estudiante.

La transcripción a formato electrónico para su trabajo editorial fue realizada por la M. en C. Ana Cecilia Villagómez Sandoval, profesora de las Academias de Matemáticas de la upiicsa.

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Contenido

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Números reales Capítulo I

1.1 Números naturales Desde niños hemos trabajados con ellos; nos enseñaron a sumar, restar y multiplicar usándolos y se denotan como: 1, 2, 3, 4.

N = {1,2,3,4,...} Naturales aumentados: N = {0,1,2,3,4,...}

1.2 Números enteros E = {...–4,–3,–2,–1,0,1,2,3,4,...}

1.3. Números racionales

1.4 Números irracionales

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1.5 Números reales Los números reales están formados por la unión de los números racionales e irracionales: R = Q ∪I R Q E N

Figura 1.1.

1.6 Recta numérica En esta recta tenemos a los números reales perfectamente bien ordenados e identificados: 2½

–½ –∞

–3

–2

–1

0

1

2

3

+∞ π

Está recta nos sirve de ayuda para manejar los intervalos y visualizarlos.

1.7 Propiedades de los números reales Con los números reales se realizan operaciones llamadas propiedades o axiomas relacionados con la suma y producto de números reales.

Nuestro objetivo es utilizarlas en caso dado y no demostrarlas matemáticamente.

12 Martha

Leticia

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Hernández

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Números

reales

1.7.1 Conjuntos

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De la teoría de conjuntos necesitamos para el perfil de nuestro programa: Definición. Un conjunto es una colección de objetos bien definidos, es decir, que no presenten ambigüedad.

Elemento ∈ es cada objeto que pertenece al conjunto.

El símbolo indica que un elemento pertenece a un conjunto. a ∈A Los conjuntos se denotan con letras mayúsculas y sus elementos con letras minúsculas.

Conjunto finito es el que tiene un número finito de elementos.

A = {2, 4, 6} Conjunto infinito es el que contiene un número infinito de elementos.

B = {2, 4, 6...} Conjunto vacío es el que no contiene elementos; se denota Ø.

Conjunto universal, denotado por U, del cual extraemos todos los conjuntos.

Los conjuntos se pueden describir con un par de llaves { } o por medio de diagramas de Venn.

Ejemplo 1 El conjunto de los números naturales N = {1, 2, 3...}. Los tres puntos indican que los elementos, en este caso números, siguen hasta el infinito.

Ejemplo 2 A = {x tal que x es un número natural menor que 50}. x: es una variable que sirve para representar cualquier elemento del conjunto. También se puede denotar: A = {x | x < 50, x ∈ N}.

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Conjuntos iguales A = B. A y B contienen los mismos elementos.

1.7.2 Subconjunto A ⊂ B. A es un subconjunto de B o A está contenido en B, si todo elemento que está en A es también elemento de B.

A –x

B

x ∈ A implica x ∈ B

Figura 1.2.

Ejemplo 3 Sea S = {1,3,5} y P = {0,1,3,5,6,7}, S ⊂ P Entonces, todo elemento de S es también elemento de P.

1. 8 Operaciones entre conjuntos 1.8.1 Unión Dados A y B dos conjuntos, la unión de A y B denotada por: A ∪ B = {x | x ∈ A; o x ∈ B; o x está en ambos}

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Leticia

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Números

reales 15

B

A

Figura 1.3.

I.8.2 Intersección Dados A y B dos conjuntos, la intersección de A y B denotada por es el conjunto de elementos comunes a ambos.

A ∩ B = {x | x ∈ A y x ∈ B}

B

A

Figura 1.4.

I.8.3 Diferencia La diferencia de los conjuntos A y B es el conjunto de elementos que pertenecen a A pero no a B, denotada por: A – B = {x ∈ A ∋ x ∉ B}

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A

B

Figura 1.5.

I.8.4 Complemento Es el conjunto de elementos que no pertenecen a A o de todos los elementos que están fuera de A, y se denota: Aʹ = {x ∋ x ∉ A, x ∈ U}

U A

Figura 1.6.

I.9 Aprendizaje autónomo 1 Investiga cuáles son las propiedades de los números reales y anótalas en tu cuaderno de tareas.

1.10 Desigualdades 16

Un número real a es menor que un número real b y se denota a < b.

Martha

Leticia

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Números

reales

Ejemplo 4

17

–3 < 6, –3 es menor que 6. En la recta numérica –3 está a la izquierda de 6. a<b –3 a

6 b

a < b si b – a es positivo 6 – (–3) = 9, que es número positivo Definición. Si a y b ∈ R a < b si y sólo si b – a es positivo.

Análogamente un número real a es mayor que un número real b y se denota a > b si y sólo si a – b es positivo.

Ejemplo 5 9 > 2: 9 es mayor que 2 debido a que 9 – 2 = 7; es positivo.

Ejemplo 6 –3 > –9: –3 es mayor que –9, ya que –3 – (–9 ) = –3 + 9 = 6; es un número positivo.

1.10.1 Definición 1. Si a ∈ R: a > 0 si y sólo si a es positivo a < 0 si y sólo si a es negativo 1.10.2 Definición 2. Si a, y b ∈ R a ≤ b si y sólo si a < b o a = b a ≥ b si y sólo si a > b o a = b a ≤ b, se lee, a es menor o igual a b si y sólo si a es menor que b o a es igual a b.

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1.10.3 Propiedades Si a, b y c ∈ R se tiene: 1. Si a < b, entonces a + c < b + c.

2. Si a < b y c > 0, entonces a c < b c.

3. Si a < b y c < 0, entonces a c > b c.

4. Si a < b y b < c, entonces a < c.

Análogamente, se tienen las afirmaciones anteriores si a ≤ b con a, b, c reales.

Ejemplo 7 Si 2 < 10 y c = 5, entonces:

Ejemplo 8 Si 2 < 10 y c = –5, entonces:

Ejemplo 9 Si 2 < 10 y c = 5, entonces:

Ejemplo 10 Si 2 < 10 y c = –5, entonces:

2 + 5 < 10 + 5 7<5

2 – 5 < 10 – 5 –3 < 5

( 2 )( 5 ) < ( 10 )( 5 ) 10 < 50

( 2 )(–5 ) > ( 10 )(–5 ) –10 > –50

No olvidar que al multiplicar o dividir por un número negativo cambia automáticamente la dirección de la desigualdad.

I.11 Intervalos

18

Los intervalos son importantes ya que se utilizarán para representar el conjunto solución de una desigualdad. También son útiles para expresar el dominio y rango de una función, para denotar dónde una función es creciente o decreciente, etcétera.

Martha

Leticia

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Números

reales

Intervalos finitos

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I.11.1 Intervalo abierto con extremos a y b no incluidos, denotado por (a, b). Es el conjunto de números (o elementos) donde x es menor que b y x es mayor que a. Esto es: (a, b) = {x | a < x < b} (

–∞ a

x

) b

+∞

Ejemplo 11 (2,5) = {x | 2 < x 5} I.11.2 Intervalo cerrado con extremos a y b incluidos, denotado por [a, b]. Es el conjunto de todos los números x que cumplen: x es menor o igual que b y x es mayor o igual que a; es decir: [a, b] = {x | a ≤ x ≤ b} [

–∞ a

x

] b

+∞

Ejemplo 12 [–6,10] = {x | –6 ≤ x ≤ 10}

I.12 Semiintervalos 1.12.3 Intervalo abierto por la derecha, cerrado por la izquierda con extremos a y b, denotado por [a, b). Es el conjunto de todos los números x, tal que x es menor que b y x es mayor o igual que a. Esto es: [a, b) = {x | a ≤ x < b} [

–∞ a

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x

) b

+∞

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Ejemplo 13 [10,80) = {x | 10 ≤ x < 80} 1.12.4 Intervalo cerrado por la derecha, abierto por la izquierda con extremos a y b, denotado por (a, b], es el conjunto de todos los números x tal que x es menor o igual que b y x es mayor que a. Esto es: (a, b] = {x | a < x ≤ b} (

–∞ a

] b

x

+∞

Ejemplo 14 (–20,6] = {x | –20 < x ≤ 6}

Intervalos infinitos 1.12.5 Intervalo abierto por la derecha con extremo b, infinito por la izquierda, denotado por (–∞, b). Es el conjunto de todos los números x menores que b. Esto es: (–∞, b) = {x | x < b} –∞

x

) b

+∞

Ejemplo 15 (–∞, 10) = {x | x < 10} 1.12.6 Intervalo cerrado por la derecha con extremo b, infinito por la izquierda, denotado por (–∞, b]. Es el conjunto de todos los números x menores o iguales que b.

Esto es: (–∞, b] = {x | x ≤ b} –∞

20 Martha

Leticia

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x

] b

+∞

Hernández

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Números

reales

Ejemplo 16

21

(–∞,0] = {x | x ≤ 0} 1.12.7 Intervalo abierto por la izquierda con extremo a, infinito por la derecha, denotado por (a, +∞). Es el conjunto de todos los números x mayores que a. Esto es: (a, +∞) = {x | x >a} (

–∞ a

+∞

x

Ejemplo 17 (–5, +∞) = {x | x > –5} 1.12.8 Intervalo cerrado por la izquierda con extremo a, infinito por la derecha, denotado por [a, +∞). Es el conjunto de todos los números x mayores o iguales que a.

Esto es: [a, +∞) = {x | x ≥ a} –∞

[ a

x

+∞

Ejemplo 18 (–1, +∞) = {x | x ≥ –1} 1.12.9 Intervalo de todos los números reales (–∞, +∞) = R

I. 13 Solución de desigualdades lineales Resuelva las siguientes desigualdades, encuentre el conjunto solución o encuentre todos los valores posibles de x que satisfagan la desigualdad.

Ejemplo 19 2x < 5

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Solución Hay que dejar sola a la x, para esto multiplicamos por un medio que es positivo a ambos lados de la desigualdad.

Gráficamente se ve: ) 5/2

–∞

Ejemplo 20 2x + 30 < 5 Solución Se resta 30 en ambos lados de la desigualdad.

2x + 30 – 30 < 5 – 30 2x < – 25 Se multiplica en ambos lados de la desigualdad por

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Números

reales

Ejemplo 21

23

Solución Restamos diez a ambos lados.

Agrupamos términos de x a la izquierda:

Simplificamos:

Multiplicamos por

a ambos lados de la desigualdad y cambio de dirección

de la desigualdad, porque

Doble desigualdad Ejemplo 22 3 ≤ 4x –2 ≤ 10

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Solución Observamos que x está solamente en el centro.

Sumamos dos a los tres lados: 5 ≤ 4x ≤ 12 Dejamos a la x sola, multiplicando por

a los tres lados.

Ejemplo 23 6x – 2 ≤ 4x + 4 ≤ 2x + 6 Solución Observa que x esta en los tres lados, entonces partimos esta desigualdad en dos partes como se ve a continuación:

Ejemplo 24

Solución 24 Martha

Leticia

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Hernández

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Números

Agrupamos términos en x a la izquierda y constantes a la derecha.

reales 25

Simplificamos:

Multiplicamos por

Ejemplo 25

Solución Multiplicamos por

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a ambos lados.

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Ejemplo 26

Solución Observemos que x está en el denominador.

Si se toma 5 – 10 x = 0 y x = 0, se tiene x = 1/2 y x = 0; son dos puntos que no puede tomar la desigualdad.

Los localizamos en la recta real –∞

0

1/2

+∞

Posibles intervalos solución de la desigualdad: Intervalos

Puntos de prueba

(–∞, 0) (0, 1/2) (1/2, +∞)

x = –1 x = 1/4 x=1

Conclusión <0 >0 <0

Sí pertenece No solución Sí pertenece

Se tomó un punto dentro del intervalo y se sustituyó en la desigualdad, para verificar la dirección ∴ El conjunto solución es: , se unieron los intervalos que cumplieron con la dirección, menor que cero, de la desigualdad.

26 Martha

Leticia

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Números

reales

Ejemplo 27

27

Solución Se observa que el único punto que no puede tomar x es el cero, entonces las posibles soluciones son a la izquierda y a la derecha del cero: a) Si x < 0 ⇒ x ∈ (–∞,0) Si tomamos x = –1 y se sustituye en la desigualdad:

b) x > 0 ⇒ x ∈ (0,+∞) Si tomamos x = 1 del intervalo y se sustituye en la desigualdad:

Ejemplo 28

Solución Los puntos que no puede tomar x son: x = 3 y x = –4 Entonces colocamos estos puntos en la recta real.

–∞

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–4

3

+∞

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Los posibles intervalos solución serían: Intervalos

Puntos de prueba

Conclusión

(–∞,–4)

x = –5

No

(–4, 3)

x=0

Sí

(3, +∞)

x=4

No

Por lo tanto, el conjunto solución es: S = (–4, 3) • Si la desigualdad dada es cerrada (≤ o ≥), en el resultado se cierra el intervalo solución.

Ejemplo 29 Hallar todos los valores para los cuales

es real.

Solución

1.14 Desigualdades cuadráticas En los ejemplos siguientes, hallar todos los valores posibles de x que satisfagan las desigualdades.

Ejemplo 30 28 Martha

Leticia

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x2 + 2x – 8 ≥ 0 Hernández

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Números

reales 29

Solución Factorizamos la expresión dada para facilitar la solución: (x – 2)(x + 4) ≥ 0 Se toman x = 2 y x = –4.

–∞

–4

2

+∞

Análisis de los posibles intervalos-solución de la desigualdad. Al excluir –4 y 2, los intervalos son abiertos Intervalos

Puntos de prueba

(x – 2)(x + 4) ≥ 0

Conclusión

(–∞, –4) (–4, 2) (2, +∞)

x = –5 x=0 x=3

(–5–2)(–5+4) > 0 (0–2)(0+4) < 0 (3–2)(3+4) > 0

Sí No Sí

Luego tenemos dos intervalos que cumplen la condición de la desigualdad: ∴ S = (–∞,–4] ∪ [2,+∞) Ejemplo 31 x2 – x – 30 < 0 Solución Factorizamos: (x + 5)(x – 6) < 0 Tomamos: x = – 5, x = 6 –∞

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–5

6

+∞

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Intervalos

Puntos de prueba

(x + 5)(x – 6) < 0

Conclusión

(–∞, –5) (–5, 6) (6, +∞)

x = –6 x=0 x=7

(–1)(–12) > 0 (5)(–6) < 0 (12)(1) > 0

No Sí No

∴ S = (–5, 6) Ejemplo 32 x2 – 16 ≥ 0 Solución (x – 4 )(x + 4) ≥ 0, tomamos x = 4, x = –4 –∞

–4

4

+∞

Posibles intervalos de solución Intervalos

Puntos de prueba

(x – 4)(x + 4) ≥ 0

Conclusión

(–∞, –4) (–4, 4) (4, +∞)

x = –5 x=0 x=5

(–9)(–1) > 0 (–4)(4) < 0 (1)(9) > 0

Sí No Sí

∴ S = (–∞, –4] ∪ [4, +∞) Ejemplo 33 Hallar todos los valores posibles para los cuales

es real.

30 Martha

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Números

reales 31

Solución Para que sea real, debe ser mayor o igual a cero; es decir, x2 –16 ≥ 0, para que no tenga raíz negativa.

El proceso de solución es el mismo que en el ejemplo anterior: ∴ S = (–∞, –4] ∪ [4, +∞)

1.15 Desigualdades con valor absoluto Definición El valor absoluto de x se define:

Ejemplo 34

Ejemplo 35

| –2 | = 2 | 20 | = 20

Ejemplo 36

Ejemplo 37 | 3x + 6 | = 9 Esta ecuación es válida si: 3x + 6 = 9 o 3x + 6 = –7

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Obteniendo x = 1 o Que son dos soluciones de la ecuación dada.

1.16 Propiedades del valor absoluto Si a y b ∈ R, entonces: a) | ab | = | a || b | b) c) | a+b | ≤ | a |+| b |, conocida como desigualdad del triángulo d) | a–b | ≤ | a |+| b |√ e) | x | = √x2 Propiedades más utilizadas en la solución de desigualdades f) | x | < a si y sólo si –a < x < a, a > 0 g) | x | ≤ a si y sólo si –a ≤ x ≤ a, a > 0 h) | x | > a si y sólo si x > a o x < –a, a > 0 i) | x | ≥ a si y sólo si x > a o x ≤ –a, a > 0 Ejemplo 38 |x–2|<6 32 Martha

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Números

reales 33

Solución Aplicando la propiedad | x | < a se tiene: –6 < x – 2 < 6 Sumando 2

–6 + 2 < x – 2 + 2 < 6 + 2 –4 < x < 8 falta signo x Є (–4, 8 )

Ejemplo 39

Solución Aplicando la propiedad | x | > a se tiene:

Simplificando:

También podemos decir que: x ∉ [–28, 52] Ejemplo 40 | 3x | > | 4 – 3x |

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Solución Utilizando | x | = √x2

Ejemplo 41 | x – 2 | < 6x – 3 Solución Aplicando la propiedad | x | < a se tiene: –(6x – 3) < x – 2 < 6x – 3 –6x + 3 < x – 2 < 6x – 3 Partimos en dos desigualdades: a) x – 2 > –6x + 3 b) x – 2 < 6x – 3 Agrupando: 34

a) x + 6x > 3 + 2 Martha

Leticia

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Números

reales 35

b) x – 6x < –3 + 2

Ahora se hace la intersección de las soluciones obtenidas en a) y b)

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Funciones Capítulo 2

• Conocer el dominio y rango de una función.

• Comprender y aplicar el concepto de función de una variable real.

• Conocer los diferentes tipos de funciones dadas, hacer sus gráficas.

2.1 Definición Una función f está definida como una regla que asocia a cada elemento x de un conjunto A (llamado dominio) a uno (y sólo un elemento) de un conjunto C (llamado contradominio).

La relación f que existe entre las dos variables se denota y = f (x). Gráficamente:

Dominio Dominio x X •

Contradominio Contradominio

f f

(x) • yy == ff(x)

Figura 2.1.

Dominio es el conjunto de todos los valores de x.

Contradominio es el conjunto de todos los valores de y.

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Cuando el dominio es proyectado al contradominio y solo cubre un subconjunto del contradominio este se llama rango de la función o conjunto imagen.

A A

B B

x11 x22

Contradominio Contradominio

yy11 yy2 2

Rango Rango

yy33 y44

Figura 2.2.

Por esta razón, el rango son todos los valores posibles o resultantes de y. x: es la variable independiente. y: es la variable dependiente.

Ejemplo 42

Si y = f(x) = x. Observamos que para cada x obtenemos un valor de y. y

Rango

Si x = 0 ⇒ y = 0 y=x

Dominio

x

Si x = 1 ⇒ y = 1 • • • etc • • • Si x = –1 ⇒ y = –1

Figura 2.3.

38 Martha

Leticia

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Funciones

Entonces el conjunto de puntos:

39

(0, 0), (1, 1), (2, 2), etc.

(–1, –1), (–2, –2), etc.

Nos da la gráfica de la función lineal x, es decir. f (x) = x Dominio de f = R Rango de f = R También se puede tener: D

R

1 3

2 3

Figura 2.4.

El conjunto de puntos que se tienen son: (1, 3), (2, 3), (3, 3), etc., constantemente a cada x diferente en el dominio lo envía o manda al mismo y en el rango, y tenemos: La función constante f(x) = C, C = constante.

Ejemplo 43 f(x) = 3, para x ∈ [1, 3]

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Solución y

Dominio = [1, 3] 1

2

x

3

Rango = {3}, solo el punto tres

Figura 2.5.

La constante C puede ser positiva (arriba del eje x) o negativa (bajo el eje x).

Observamos en las parejas vistas (1, 3), (2, 3), (3, 3) que x toma valores diferentes, a saber: 1, 2, 3, y = 3; es el mismo en las tres parejas ordenadas.

Esto nos da otra definición de función: Dadas dos parejas ordenadas diferentes no tienen igual el primer elemento (o el mismo valor).

También podemos tener este caso: R

D y1 x

y No es función Figura 2.6.

En estas dos parejas, el primer elemento x es el mismo y el que cambia es y,

por lo tanto no es función, ya que no cumple con la definición.

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Funciones

Ejemplo 44

41

Determinar si f(x) = ± √x con x ≥ 0, es una función.

Solución y 8 6 4 2 –6

–4

–2

2

4

6

8

x

Tenemos los puntos (0, 0), (1, 1), (2, √2), etc.

–2 –4 –6

Figura 2.7.

Pero también tendríamos (0, –1), (1, –1), (2, –√2), etc.

Y no cumple con la definición de función, ya que a un valor de x le están correspondiendo dos valores de y.

Existe otro criterio para verificar rápidamente si y = f (x) es función.

Consiste en trazar una recta vertical paralela al eje y, como se ve en la siguiente figura. y

recta vertical

x

Figura 2.8.

Calculo diferencial e integral1.indd 41

28/01/16 09:44

La recta vertical esta tocando a la gráfica en más de un punto, es decir,

y

entonces no cumple con la definición de función, pues a x = 2 le están correspondiendo al mismo tiempo dos valores:

por lo tanto no es función.

2.2 Diferentes tipos de funciones y sus gráficas 2.2.1 Función constante f(x) = C, C = constante real, puede ser C > 0 o C < 0.

Ejemplo 45 Si f(x) = –5, encontrar: a) Su dominio b) Su rango c) Su gráfica Solución a) Dominio = R b) Rango = { –5 } c) Gráfica, como C < 0 y

x y = –5

Figura 2.9.

42 Martha

Leticia

Calculo diferencial e integral1.indd 42

Hernández

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Funciones

Si x = 0 y = –5

43

x = 1 y = –5 x = 2 y = –5 • • • x = –1 y = –5 x = –2 y = –5 x = –3 y = –5 • •

2.2.2 Función lineal f (x) = mx + b, m y b son constantes, m ≠ 0 Ejemplo 46 Si f(x) = 2x – 4, o también se denota y = 2x – 4 Encontrar: dominio, rango y gráfica de la función.

Solución Dominio = R Gráfica

Rango = R

y

0

x

–4

Figura 2.10.

Calculo diferencial e integral1.indd 43

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Algunos puntos sobre la gráfica son: (0, 2), (1, –2), (2, 0), (3, 2), (–1, –6), (–2, –8) También se pueden buscar los cortes con el eje “x” y el eje “y” de la manera siguiente: De y = 2x – 4, si y = 0 Tenemos 2x – 4 = 0. Se despeja x y tenemos que x = 2, entonces tenemos el punto (0, 2) sobre el eje x.

Ahora, de y = 2x – 4 si x = 0, y = –4 y se tiene el punto (0, –4). Con estos dos puntos (0, 2) y (0, –4) ya se tiene idea de la gráfica.

Ahora el estudiante ya puede graficar diferentes funciones lineales.

2.2.3 Función Cuadrática f(x)= ax2 + bx + c, a, b y c constantes reales, a ≠ 0.

Ejemplo 47 El caso clásico de y = x2 Encontrar: dominio, rango y gráfica de la función.

Solución Es una parábola con a =1, b = 0 Dominio = (–∞, +∞) Rango = [0, +∞) y Gráfica

x

Figura 2.11.

44 Martha

Leticia

Calculo diferencial e integral1.indd 44

Hernández

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Funciones

Ejemplo 48

45

y = –x

2

Encontrar: Dominio, rango y gráfica de la función.

Solución Dominio = R Rango = (–∞, 0] Gráfica

y

x

x

y

0 1 2 –1 –2

0 –1 –4 –1 –4

Figura 2.12.

Ejemplo 49

y = x2 – 4

Encontrar: Dominio, rango y gráfica de la función.

Solución Dominio = R o también se puede denotar como Dom = (–∞, +∞) A veces el rango de la función f no se puede ver tan rápido y hay que ayudarse con algunos puntos necesarios:

Calculo diferencial e integral1.indd 45

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x

y

0 1 2 3 –1 –2 –3 • • •

–4 –3 0 5 –3 0 5 • • •

y

Puntos obtenidos

8

(0, –4) (1, –3) (2, 0) (3, 5) (–1, –3) (–2, 0) (–3, 5) • • •

6 4 2 –6

–4

–2

2

4

6

8

x

–2 –4 –6

Figura 2.13.

Se unen los puntos y 8 6 4 2 –6

–4

–2

2

4

6

8

x

–2 –4 –6

Figura 2.14.

De ahí se observa que el rango [–4, +∞).

Recuerde que también se puede graficar rápidamente encontrando los cortes o intersecciones con los ejes; esto es : x2 –4 = 0 ⇒ (x – 2)(x + 2) = 0 de donde x1 = 2 y x2 = –2 Sustituyéndolos en y = x2 –4 se tienen los puntos: (2, 0) y (–2, 0) = sobre el eje x.

46

Ahora si, x = 0 ⇒ y = –4, de donde se tiene (0, –4), y la gráfica se puede hacer.

Martha

Leticia

Calculo diferencial e integral1.indd 46

Hernández

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Funciones 47

2.2.4 Función Cúbica f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, a, b, c y d, constantes reales, a ≠ 0.

Ejemplo 50. El caso clásico

y = x3

Encontrar: dominio, rango y gráfica de la función.

Solución b, c, d son cero Dominio = R Rango = R Porque no hay ninguna restricción para x.

Si x = 0 ⇒ y = 0, se tiene (0, 0); esto quiere decir que pasa por el origen.

Si x = 1 ⇒ (1, f (1)) = (1, 1) Si x = 2 ⇒ (2, f (2)) = (2, 8); crece muy rápido.

Si x = –1 ⇒ (–1, f (–1)) = (–1, –1) Si x = –2 ⇒ (–2, f (–2)) = (–2, –8) decrece muy rápido.

Gráfica

y 8 6 4 2 –6

–4

–2

2

4

6

8

x

–2 –4 –6 –8

Figura 2.15.

Calculo diferencial e integral1.indd 47

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Ejemplo 51 f(x) = x3 – 16x Encontrar: dominio, rango y gráfica de la función.

Solución Dominio = R, ya que x no tiene ninguna restricción y puede tomar cualquier valor real.

Como y = x3 – 16x y si y = 0, entonces (se factoriza a x)

x3 – 16x = 0 x(x2 – 16) = 0

Esto quiere decir: x = 0 y x2 – 16 = 0 ⇒ x2 = 16, entonces x = ±4 (4, f(4)) = (4, 0), ya que f(4) = 43 – 16(4) = 0 (–4, f(–4)) = (–4, 0), ya que f(–4) = (–4)3 – 16(–4) = 0 Ahora si x = 0 ⇒ f(0) = 0 y se tiene el punto (0, 0) Graficamos los puntos: (–4, 0), (4, 0) y (0, 0) y agregamos algunos puntos intermedios: (–2, 24), (2, –24), (3, –21), (–3, 21) Gráfica 25

y

20 15 10 5 –8

–6

–4

–2

2

4

6

8

x

–5 –10 –15 –20 –25

Figura 2.16.

48

Rango = (–∞, +∞) Martha

Leticia

Calculo diferencial e integral1.indd 48

Hernández

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Funciones 49

2.2.5 Función con raíz cuadrada Ejemplo 52

Encontrar: Dominio, rango y gráfica de la función.

Solución Dominio son todos los valores posibles de x.

Como hay una raíz cuadrada x – 16 ≥ 0, se tiene automáticamente una desigualdad lineal. Se resuelve y se tiene x ≥ 6, por lo tanto, Domf = [6, +8).

Ahora, si tomamos valores de x a partir de 6 y los sustituimos en la función dada, tenemos:

Gráfica x

f(x)

6 7 8 • • •

0 1 √2 • • •

Puntos obtenidos

y

(6, 0) (7, 1) (8, √2) • • •

x

Figura 2.17.

Se ve una rama de la parábola que crece al infinito, no una recta Rango = [0, +∞) Ejemplo 53

Encontrar: dominio, rango y gráfica de la función.

Calculo diferencial e integral1.indd 49

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Solución Dominio son todas las x tales que x2 + x – 12 ≥ 0; automáticamente se tiene una desigualdad de segundo grado. Se resuelve para encontrar el conjunto solución, que serán todos los valores “posibles” de x; es el dominio de f buscado.

x2 + x – 12 ≥ 0 (x – 3) (x + 4) ≥ 0 ⇒ x – 3 = 0 y x + 4 = 0 x=3y x = –4

Estos valores los tomamos como base en la recta real para encontrar los posibles intervalos solución.

–∞

–4

+∞

3

Intervalos

Puntos de prueba

x2 + x – 12 ≥ 0

Conclusión

(–∞, –4) (–4, 3) (3, +∞)

x = –5 x=0 x=4

(–5)2+(–5)–12 ≥ 0 0+0–12 < 0 16+4–12 > 0

Sí No Sí

∴ x ∈ (–∞, –4] ∪ [4, +∞) = dominio de f. y 8 6 4 2 –8

–6

–4

–2

2

4

6

8

x

–2 –4

Figura 2.18.

50

Observamos que rango f = [0, +∞).

Martha

Leticia

Calculo diferencial e integral1.indd 50

Hernández

28/01/16 09:44

Funciones 51

2.2.6 Funciones Racionales

Ejemplo 54

Encontrar: dominio, rango y gráfica de la función.

Solución El numerador, P(x) es una constante Dominio f = R – {0} Rango f = R – {0} Gráficamente

y 8 6 4 2 –6

–4

–2

2

4

6

8

x

–2 –4 –6

Figura 2.19.

Ejemplo 55

Encontrar: dominio, rango y gráfica de la función.

Calculo diferencial e integral1.indd 51

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Solución En este caso P(x) = 1, Q(x) = x – 2 Dominio f = R – {2} Rango f = R – {0} Gráficamente

y 8 6 4 2 –6

–4

–2

2

4

6

8

x

–2 –4 –6

Figura 2.20.

Ejemplo 56

Encontrar: dominio, rango y gráfica de la función.

Se observa que el grado de P(x) es mayor que el grado de Q(x), de donde se tiene una fracción racional impropia.

Para simplificarla, se puede dividir el numerador entre el denominador o factorizar el numerador y simplificar; esto es:

52

Aunque se tiene una recta f (x) = x + 2 sigue con la restricción del dominio inicial x ≠ 2.

Dominio f = R – {2} Rango f = R – {0} Martha

Leticia

Calculo diferencial e integral1.indd 52

Hernández

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Funciones

Gráficamente

53 y 8 6 4 2 –6

–4

–2

2

4

6

8

x

–2 –4 –6

Figura 2.21.

El punto (2, 4) no pertenece a la gráfica de f (x); más adelante veremos que sería una función discontinua en x = 2.

Ejemplo 57

Encontrar: dominio, rango y gráfica de la función.

Solución El grado de P(x) > grado de Q(x).

Dividir el numerador entre el denominador (hacer una división sintética) x + 2 = 0 ⇒ x = –2 1 –2

Calculo diferencial e integral1.indd 53

3

–10

–24

1,(–2)(1) + 3 = 1, (–2)(1) –10 = –12, (–2)(–12) –24 = 0

28/01/16 09:44

O también se puede aplicar la división x+2

x2 + x – 12 x3 + 3x2 – 10x – 24 x3 – 2x2 0 x2 – 10x – 24 –x2 – 2x 0 – 12x – 24 0 + 0

Dominio = R – {–2}, Rango = [–12, + ∞] y 20

x

y = x2 + x – 12

–2 1 3 –4 5

10

–10 –10 0 0 18

–10

–5

5

10

x

–10

–20

Figura 2.22.

Se observa que la función no está definida en (–2, –10), por esta razón se observa en la gráfica un orificio.

2.2.7 Función valor absoluto Se recuerda la definición de valor absoluto vista antes:

54 Martha

Leticia

Calculo diferencial e integral1.indd 54

Hernández

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Funciones

Ejemplo 58

55

f(x) = | x |

Encontrar: Dominio, rango y gráfica de la función.

Solución De la definición

Dom f (x) = [0, +∞) ∪ (–∞, 0) ∴ Dom f (x) = R

Gráficamente x

y

0 1 2 • • • 1 2

0 1 2 • • • – (–1) = 1 – (–2) = 2

y 4

2

–5

–4

–3

–2

–1

1

2

3

4

5

x

–2

–4

Figura 2.23.

Rango = [0, +∞) Ejemplo 59 f (x) = |x–10| Encontrar: Dominio, rango y gráfica de la función.

Solución

Calculo diferencial e integral1.indd 55

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Simplificando

Ahora se puede ver claramente el dominio, que son todos los valores posibles de x, es decir Dom f = (–∞, 10) ∪ [10, +∞) = R Ahora se tiene

y se procede a encontrar algunos puntos para graficar las dos rectas x

y = x – 10

x

y = –x + 10

10 11 12 • • •

0 1 2 • • •

10 11 12 • • •

–9 + 10 = 1 –8 + 10 = 2 0 + 10 = 10 • • •

y 4

2

–2

–1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

x

–2

–4

Figura 2.24.

De donde se observa que el rango va desde 0 hasta a ∞ Rango = [0, +∞) 56 Martha

Leticia

Calculo diferencial e integral1.indd 56

Hernández

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Funciones 57

2.2.8 Funciones Escalonadas Ejemplo 60. Sea f la función definida por

Encontrar: dominio, rango y gráfica de la función.

Solución Se observa que son tres funciones constantes, cada una con su dominio definidas por partes en una sola función.

Dom f = (–∞, –2] ∪ (–2, 4] ∪ (4, +∞) Rango {–5, 2, 6} Gráfica y 10

5

–10 –8

–6

–4

–2

2

4

6

8

10

x

–5

–10

Figura 2.25.

Ejemplo 61. Sea f (x) la función definida por Encontrar: dominio, rango y gráfica de la función.

Calculo diferencial e integral1.indd 57

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Solución Dom f = (R –{3}) ∪ {3} = R Para x ≠ 3 existe su y = 1 que no lo toma, o sea (3, 1) no pertenece a la gráfica de f.

Rango = R – {1} Gráfica

y 10

5

–10 –8

–6

–4

–2

2

4

6

8

10

x

–5

–10

Figura 2.26.

Ejemplo 62. Sea f la función definida por

Encontrar: dominio, rango y gráfica de la función.

Solución Dom f = (–∞, –6) ∪ [–6, 6] ∪ (6, +∞) = R

58 Martha

Leticia

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Hernández

28/01/16 09:44

Funciones y

Gráfica

59

8 6 4 2 –8

–6

–4

–2

2

4

6

8

x

–2 –4

Figura 2.27.

Rango = (–∞, –2) ∪ [0, +∞) 2.2.9 Operaciones con funciones Definición.- Sean f (x) y g (x) funciones tal que se cumplen las siguientes operaciones: a) La suma (f + g) (x) = f (x) + g (x) b) La diferencia (f – g) (x) = f (x) – g (x) c) El producto (f g) (x) = f (x) g (x) d) El cociente El dominio de la función resultante es la intersección de los dominios de ambas funciones, en el cociente se eliminan los valores donde g(x) = 0 Ejemplo 63 Si f (x) = x – 4 y

encuentre:

a) b) d) c)

Calculo diferencial e integral1.indd 59

;

28/01/16 09:44

Solución a) b) c) d) Aquí el dominio será: Dom f ∩ Dom g – {g(x) = 0}, o sea [3, +∞) – {3} = (3, +∞) 2.2.10 Función Composición Definición.- Si f (x) y g(x) son funciones la composición de f y g se define como: (f ∘g)(x) = f (g(x)) Donde el dominio de f∘g = {x en Dom g э g(x) ∈ Dom f } También se tiene:

(g ∘f )(x) = g ( f (x))

Donde el dominio de g ∘f = {x en Dom f э f (x) ∈ Dom g} Ejemplo 64 Si f (x) = x + 2 y

encuentre:

a) (f∘g)(x) b) (g ∘f )(x) Solución a)

60

Se requiere que g(x) ≥ 0, o sea x – 5 ≥ 0, de donde x ≥ 5 Martha

Leticia

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Hernández

28/01/16 09:44

Funciones

b)

61

Se requiere que x – 3 ≥ 0, de donde x ≥ 3 Dom Ejemplo 65 Si f(x) = x + 3 y

obtener:

a) b)

c) (f ∘g)(x)

d) (g∘f )(x)

Solución Dom f = R, Dom g = R – {0} Dom f ∩ Dom g = R – {0} a)

b) c) d)

Calculo diferencial e integral1.indd 61

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Ejemplo 66 Si f(x) = x2 + 3x – 6 encuentra: a) f(0),

b) f (2),

c) f (h),

d) f (x + h)

Solución a) b) c) d)

f(0) = – 6, f(2) = 22 + 3(2) – 6 = 4 f(h) = h2 + 3h – 6 f(x + h)2 + 3(x + h) – 6 = x2 + 2hx +h2 + 3x + 3h – 6 = x2 + 3x + 2hx + h2 + 3h – 6

2.2.11 Funciones Trascendentes Las funciones exponenciales se utilizan en modelos de crecimiento y decaimiento en diferentes ámbitos de la naturaleza.

Función f(x) = ax, donde a es una constante positiva con dominio R y rango (0, +∞).

Si y = ax con 0 < a <1, su gráfica se ve así y 8 6 4 2 –6

–4

–2

(0, 1) 2

4

6

x

–2 –4

Figura 2.28.

62 Martha

Leticia

Calculo diferencial e integral1.indd 62

Hernández

28/01/16 09:44

Funciones

Si y = ax y a = 1, se tiene una constante y su gráfica se ve así:

63

y 8 6 4 2 –8

–6

–4

–2

2

4

6

8

x

–2 –4

Figura 2.29.

Si y = ax y a > 1 su gráfica se ve así: y 8 6 4

(0, 1) –6

–4

2

–2

2

4

6

x

–2 –4

Figura 2.30.

Propiedades. Si a y b son números positivos x y y reales se tiene: 1) ax+y = axay 2) 3) (ax)y = axy 4) (ab)x = axbx Observe que y = 2x ≠ x2, 2x aumenta más rápido que x2

Calculo diferencial e integral1.indd 63

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2.2.12 Función Logaritmo Natural Al logaritmo con base e se le llama logaritmo Natural, cuya expresión es loge x = ln x Y se tiene: • ln x = y ⇔ e y = x • ln(e x) = x con x ∈ R • e ln x = x para x > 0 Ahora si x = 1 se tiene:

ln e = 1

Si f (x) = ln x, y su dominio es (0, +∞) y su rango los reales Su gráfica se ve así y 8 6 4 2 –8

–6

–4

–2

2

–2

(1, 0)

4

6

8

x

–4 –6 –8

Figura 2.31.

64 Martha

Leticia

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Hernández

28/01/16 09:44

Funciones 65

Propiedades de los logaritmos Si a y b son números positivos y n es un racional se tiene 1. ln (ab) = ln a + ln b 2. ln 3. ln an = n ln a 2.2.13. La función f (x) = e x Dominio los reales, rango (0, +∞) Su gráfica:

y 8 6 4 2 –8

–6

–4

–2

2

4

6

8

x

–2 –4 –6

Figura 2.32.

Propiedades Sean a y b reales, entonces 1. e aeb = e a+b 2.

Calculo diferencial e integral1.indd 65

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2.2.14. Función f (x) = sen x Dominio los reales, rango [–1, 1] Su gráfica se ve así y 8 6 4 2 π/2

–π/2

π

3π/2

2π

5π/2

3π

2π

5π/2

3π

x

–2

Figura 2.33.

2.2.15. Función f (x) = cos x Dominio los reales, rango [–1, 1] Su gráfica se ve así: y 8 6 4 2 π/2

–π/2

π

3π/2

x

–2

Figura 2.34.

Se observa que las funciones seno y coseno son periódicas con periodo 2π.

66 Martha

Leticia

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Hernández

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Funciones

Las funciones seno y coseno también se relacionan mediante la identidad:

67

sen2 x + cos2 x = 1 Función f (x) = tan x; Dominio

n entero y rango los reales.

Su gráfica se ve así: y 8 6 4 2 –3π/2

–π

π/2

–π/2

π

3π/2

2π

5π/2

3π

x

–2 –4 –6 –8

Figura 2.35.

2.3 Ejercicios Propuestos Encuentra el conjunto solución de las siguientes desigualdades: 1) 4x + 3 > x – 4 2) 3) 2 – 3x 6 + 2x 4) 14 ≥ 2x – 4 ≤ –5 5) 6) x2 > 9 7)

Calculo diferencial e integral1.indd 67

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8) (x - 4)(x + 6)>0 9) 10) 11) |3x–2|>3 12) |x+6|≤10 13) 14) 15) x2 + x – 12 ≥ 0 16) 17) 18) x2 – 4 < 0 Encontrar el dominio, rango y gráfica de las siguientes funciones.

19) f(x) = x2 –9 20) f(x) = x2 – 2x – 15 21) f(x) = 3 – x2 22) f(x) = x3 – 2 23) 24) 25) 26) f(x) =|2x – 4| 27) f(x) =|x – 20| 28) f(x) =|x|+ 4 29) 68 Martha

Leticia

Calculo diferencial e integral1.indd 68

Hernández

28/01/16 09:44

Funciones 69

30) 31) 32) 33) 34)

35)

36) 37) f(x) = 3x3 38) f(x) = 10 Dadas las siguientes funciones encuentra: a)

(f + g)(x)

b)

(f – g)(x)

c)

(f •g)(x)

g)

( g∘f )(x)

d) e) f)

(f ∘g)(x)

Calculo diferencial e integral1.indd 69

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39) 40) 41) 42) 43)

70 Martha

Leticia

Calculo diferencial e integral1.indd 70

Hernรกndez

28/01/16 09:44

Aplicaciones de la derivada Capítulo 3

Límites • Comprender la definición de límite puntual.

• Calcular límites en un punto usando las propiedades de los límites.

• Calcular límites utilizando técnicas algebráicas de cancelación como factorización, racionalización.

• Calcular limites laterales.

• Calcular limites infinitos y al infinito.

3.1 Definición de límite puntual de una función Se analiza la idea del límite de una función en un punto c, si el límite existe, esto es: lim f ( x) = L , donde f(x) se aproxima a un número L cuando x se aproxima a c. lim f (x) = L, donde f (x) se aproxima a un número L cuando x se aproxima a c. x →c

Ejemplo 67

Analizar Veamos la tabla de valores de la función f (x) = x2 cerca de x = 2 Por la izquierda de 2 f (x) =

x x2

1.8 3.24

1.9 3.61

1.99 3.96

Por la derecha de 2 2.001 4.004

2.01 4.04

2.1 4.4

71

Calculo diferencial e integral1.indd 71

28/01/16 09:44

La gráfica de f es una parábola, cuando x esta cerca de 2 pero no igual a 2, se observa por la derecha e izquierda de 2 que f (x) está cerca de 4.

O sea f (x)

4

Tiende

x

cuando

2

Tiende

Por lo tanto: El límite de la función f (x) = x2 cuando x se aproxima a 2 es 4 y se escribe: =4 Gráficamente y

y = x2 8 6

L=4

4 2 –6

–4

–2

2

4

6

8

x

–2 –4

Figura 3.1.

También puede ocurrir que f (c) no esté definida como se ve en la figura: y

L

c

x

Figura 3.2.

72 Martha

Leticia

Calculo diferencial e integral1.indd 72

Hernández

28/01/16 09:44

Aplicaciones

de

la

derivada

O bien que f (c) ≠ L, es decir que la función evaluada en el punto al que se aproxima sea diferente del límite como se observa

73

y

L

c

x

Figura 3.3.

Ejemplo 68 Analizar el valor del Solución no está definida cuando x = 2, lo cual no afecta ya que en

La función

la definición de límite se consideran valores de x próximos a 2 pero diferentes de 2, ver tablas: x<2

f (x)

x>2

f (x)

1.5 1.9 1.99 1.999

0.28571 0.256410 0.250626 .257564

2.5 2.1 2.01 2.001 2.0001

0.22222 0.24390 0.24937 0.24993 0.24999

Con base a los valores obtenidos en las tablas, suponga que

Calculo diferencial e integral1.indd 73

28/01/16 09:44

Ahora se puede redefinir la función así

Y esta nueva función tiene el mismo límite cuando x se aproxima a 2.

El hecho es que f (x) = 2, no afecta ni a la existencia ni al valor del límite.

Ahora se dará la definición formal del límite de una función.

Definición.- Sea f una función definida en algún intervalo abierto que contiene el punto c, excepto posiblemente en c, entonces:

Si para toda épsilon, ε > 0 hay un número delta, δ > 0 tal que Si 0 <|x – c|< δ entonces|f (x) – L|= < ε Esta definición se utiliza para demostrar la existencia de un límite.

Pero en este estudio se encontraran los límites (no se demostraran) utilizando las propiedades o leyes de los límites en forma analítica.

3.2 Teoremas de límites de funciones Si b y k son números reales, n es un entero positivo y los límites: , existen.

Entonces: 1)

74

2) Martha

Leticia

Calculo diferencial e integral1.indd 74

Hernández

28/01/16 09:44

Aplicaciones

3)

de

la

derivada 75

4)

5) 6) 7) 8) Ejemplos Calcule los siguientes lĂ­mites usando el teorema anterior.

69.

70.

71.

72.

73.

74.

Calculo diferencial e integral1.indd 75

28/01/16 09:44

75.

76.

77.

78.

79.

80.

81.

82.

83.

84.

85.

86.

87.

76 Martha

Leticia

Calculo diferencial e integral1.indd 76

Hernรกndez

28/01/16 09:44

Aplicaciones

de

la

derivada

3.3 Límites que presentan una indeterminación

77

Cuando o

En estos casos se busca una función equivalente, simplificada mediante el uso del álgebra básica y se elimina la interminación.

Ejemplo 88 Calcular Solución Directamente

Entonces se puede obtener

Luego

Ejemplo 89 Calcular

Calculo diferencial e integral1.indd 77

28/01/16 09:44

Solución Directamente

Se observa que

Entonces:

Gráficamente

y 8 6 4 2 –6

–4

–2

2

4

6

8

x

–2 –4 –6

Figura 3.4.

Se observa en la gráfica que la función tiene límite 2, pero la función no está definida en x = 1.

Ejemplo 90 Calcular Solución 78

De manera directa es de la forma Martha

Leticia

Calculo diferencial e integral1.indd 78

Hernández

28/01/16 09:44

Aplicaciones

Factorizando el numerador se tiene:

de

la

derivada 79

Ejemplo 91 Calcular Solución De manera directa es de la forma Para simplificar la expresión se utiliza la relación: a3 – b3 = (a–b) (a2 + ab + b2) a3 = 27x3 ⇒ a = 3x b3 = 64 ⇒ b = 4 Entonces

Ejemplo 92 Calcular Solución De manera directa es de la forma

Calculo diferencial e integral1.indd 79

28/01/16 09:44

El denominador es de la forma a3 + b3 = (a+b) (a2 – ab + b2) Por lo tanto

x3 + 8 = (x+2) (x2 – 2x + 4)

Entonces

Ejemplo 93 Calcular Solución De manera directa es de la forma Se utiliza una diferencia de cuadrados para quitar la indeterminación

Ejemplo 94 80

Calcular

Martha

Leticia

Calculo diferencial e integral1.indd 80

Hernández

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Aplicaciones

de

la

derivada 81

Solución De manera directa es de la forma El denominador es de la forma a3 + b3 = (a+b) (a2 – ab + b2) Por lo tanto x3 + 8 = (x+2) (x2 – 2x + 4) Entonces

Ejemplo 95 Calcular Solución De manera directa es de la forma Se racionaliza el numerador, para quitar la indeterminación

Calculo diferencial e integral1.indd 81

28/01/16 09:44

Ejemplo 96 Si

Encontrar Solución se consideran valores de x cerca de 5, pero no

Recordar que al calcular igual a 5.

Entonces:

Ejemplo 97 Calcular Solución De manera directa es de la forma Se observa que el numerador t3 – 1 es una diferencia de cubos t 3 – 1 = (t –1) (t 2 + t + 1) Entonces

Ejemplo 98

82

Calcular

Martha

Leticia

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Hernández

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Aplicaciones

Soluci贸n

de

la

derivada 83

De manera directa es de la forma Se racionaliza al numerador y se tiene

Ejemplo 99 Calcular Soluci贸n De manera directa es de la forma Se racionaliza al denominador y se tiene

Calculo diferencial e integral1.indd 83

28/01/16 09:44

Ejemplo 100 Calcular Soluci贸n De manera directa es de la forma Utilizando la diferencia de cubos

Ahora multiplicamos numerador y denominador por Entonces

Pero:

84 Martha

Leticia

Calculo diferencial e integral1.indd 84

Hern谩ndez

28/01/16 09:44

Aplicaciones

de

Ejemplo 101

la

derivada 85

Calcular Soluci贸n De manera directa es de la forma Si se simplifica, se tiene:

* Cuidado, a veces parece que hay indeterminaci贸n y no sucede.

Ejemplo 102 Calcular Soluci贸n De manera directa es de la forma Se multiplica por el conjugado del numerador y se tiene:

Calculo diferencial e integral1.indd 85

28/01/16 09:44

Ejemplo 103 Calcular Solución

Ejemplo 104 Calcular Solución

Ejemplo 105 Calcular Solución

3.4 Límites Laterales o Unilaterales Hay quien les llama Límites unilaterales ó Límite lateral derecho, Límite lateral izquierdo.

Recuérdese que para calcular el límite de una función cuando x se aproxima a un punto c, este acercamiento podría ser por la derecha del punto o el acercamiento podría ser por la izquierda del punto c, dependiendo del tipo de función y su dominio.

Límite lateral izquierdo, se denota: 86 Martha

Leticia

Calculo diferencial e integral1.indd 86

Hernández

28/01/16 09:44

Aplicaciones

de

la

derivada

x → c– : Significa considerar x< c, o sea valores de x a la izquierda del punto c.

Límite lateral derecho, se denota:

87

Teorema Si f es una función, c y L son números reales:

Ejemplo 106 Sea:

Calcular Solución

Los límites laterales son diferentes –2 ≠ 2, por lo tanto no existe Gráficamente se tiene

y 10

5

–10 –8

–6

–4

–2

2

4

6

8

10

x

–5

Figura 3.5.

Calculo diferencial e integral1.indd 87

28/01/16 09:44

Ejemplo 107 Sea:

Calcular

y grafique

Solución Se tiene una función definida por partes, no se puede calcular el límite directamente, entonces se calculan los límites laterales.

Los límites laterales son diferentes, por lo tanto no existe Gráficamente

y

4

–8

–6

–4

–2

2

4

6

8

x

–4

Figura 3.6.

Ejemplo 108 Sea f(x) =|x–3| 88 Martha

Leticia

Calculo diferencial e integral1.indd 88

Hernández

28/01/16 09:44

Aplicaciones

Calcular

de

la

derivada

y grafique

89

Solución Como la función tiene un valor absoluto, se aplica la definición de valor absoluto, esto es:

Ahora

Como los dos límites laterales son iguales, entonces

Gráficamente

y

4

–6

–4

–2

2

4

6

8

x

–4

Figura 3.7.

Ejemplo 109 Sea Calcular

Calculo diferencial e integral1.indd 89

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Solución

Ejemplo 110 Sea Calcular Solución Se observa que tiene un cociente y en el numerador hay un valor absoluto, también en el punto x = 4 no está definida la función.

Por la definición de valor absoluto, se tiene

Quitando el punto x = 4 queda

Se toman dos casos para el numerador

De donde

90 Martha

Leticia

Calculo diferencial e integral1.indd 90

Hernández

28/01/16 09:44

Aplicaciones

de

la

no existe, porque los límites laterales son diferentes.

Gráficamente se ve:

derivada 91

y

4

–8

–6

–4

–2

2

4

6

8

x

–4

Figura 3.8.

Ejemplo 111

Sea

Calcular Solución a) b) c)

no existe, porque los límites laterales son diferentes.

Ejemplo 112 Para que valor de A existe: si

Calculo diferencial e integral1.indd 91

28/01/16 09:44

Solución Se observa una función escalonada, entonces se calculan los límites laterales, esto es:

Para que exista el límite en el punto x = 4 se igualan los límites laterales: ∴ A=4

4A = 16 Por lo tanto, si A = 4 existe

Límites Infinitos y al Infinito 3.5 Límites Infinitos Ahora se analiza un tipo de funciones las cuales crecen o decrecen sin límite cuando x al observar su

se aproxima a un punto, como se ve en la siguiente función gráfica: y 8 6 4 2 –8

–6

–4

–2

3 2

4

6

8

x

–2 –4 –6 –8

Figura 3.9.

92 Martha

Leticia

Calculo diferencial e integral1.indd 92

Hernández

28/01/16 09:44

Aplicaciones

de

Cuando x se aproxima a 3 por la izquierda

la

derivada 93

x

f (x) decrece sin límite

2.5 2.9 2.99 2.999

–8 –40 –400 –4000

Cuando x se aproxima a 3 por derecha x

f (x) crece sin límite

3.001 3.01 3.1 3.5

4000 400 40 8

De donde

y

Ahora se analiza la siguiente función

Su gráfica es

y 8 6 4 2 –6

–4

–2

2

4

6

8

x

–2 –4

Figura 3.10.

Calculo diferencial e integral1.indd 93

28/01/16 09:44

Cuando x se aproxima por la izquierda a 3 se tiene x 2.5 2.9 2.99 2.999

f (x) = 2 / (x–3)2 8 200 20000 200000

Ahora cuando x se aproxima por la derecha a 3 se tiene x 3.001 3.01 3.1 3.5

f (x) = 2 / (x–3)2 2000000 20000 200 8

Después de este análisis tenemos: Los siguientes dos teoremas que son útiles para el cálculo de límites infinitos Teorema Si p es cualquier entero positivo entonces se cumple: a) b) Teorema Si a es un número real y si entonces se tiene:

, c es una constante diferente de 0 y

,

1. Si c > 0 y q(x) → 0 a través de valores positivos de q (x)

94 Martha

Leticia

Calculo diferencial e integral1.indd 94

Hernández

28/01/16 09:44

Aplicaciones

de

2. Si c > 0 y q(x) → 0 a través de valores negativos de q (x)

la

derivada 95

3. Si c < 0 y q(x) → 0 a través de valores positivos de q (x)

4. Si c < 0 y q(x) → 0 a través de valores negativos de q (x)

Ejemplos. Calcular los límites Ejemplo 113

Solución

Ejemplo 114

Solución

Ejemplo 115

Solución

Calculo diferencial e integral1.indd 95

28/01/16 09:44

Ejemplo 116

Solución

Ejemplo 117

Solución

Teorema 1. Si a es un número real y si traria, entonces:

, y

2. Si

, y

, c = una constante arbi-

, c = una constante arbitraria, entonces:

También es válido el teorema si x → a+ o x → a– Ejemplo 118

Solución

96 Martha

Leticia

Calculo diferencial e integral1.indd 96

Hernández

28/01/16 09:44

Aplicaciones

de

la

derivada

3.6 Límites al Infinito

97

Teorema Si p es un número entero positivo, se tiene:

Ejemplo 119

Ejemplo 120

Ejemplo 121

Para quitar esta indeterminación dividimos el numerador y el denominador en la máxima potencia de la variable, en este caso x, esto es:

Ejemplo 122

Calculo diferencial e integral1.indd 97

28/01/16 09:44

Solución Se divide el numerador y el denominador entre la máxima potencia de x esto es:

Ejemplo 123

Solución Dividimos entre la máxima potencia de la variable x numerador y denominador:

Ejemplo 124

Solución Se divide el numerador y el denominador entre la máxima potencia de x, esto es:

Ejemplo 125

98 Martha

Leticia

Calculo diferencial e integral1.indd 98

Hernández

28/01/16 09:44

Aplicaciones

Solución Se observa que

de

la

derivada 99

entonces

3.7 Continuidad Con los conceptos estudiados hasta ahora como gráfica de una función, dominio y rango de una función así como el concepto de límites puntuales y laterales, se puede entender el concepto continuidad de una función en un punto.

Definición. Una función es continua en un punto a si se satisfacen las tres condiciones siguientes. a) f(a) esta definida, a ∈Dom f. b) existe c) Que Si una condición no se cumple la función es discontinua en x = a.

Intuitivamente se vería así la gráfica de una función discontinua y

f(a) no esta definida en x = a

x

a

Figura 3.11.

Calculo diferencial e integral1.indd 99

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y

límite de f(x) no existe en x = a

x

a

Figura 3 .12. y 8

existe,

6

esta definida pero

4 2 –6

–4

–2

2

4

6

8

x

–2 –4 –6

Figura 3.13.

Ejemplo 126 demostrar si es continua en x = 2 Solución No se cumple la primera condición de continuidad no está definida

a)

∴ f (x) no es continua en x = 2 100 Martha

Leticia

Calculo diferencial e integral1.indd 100

Hernández

28/01/16 09:44

Aplicaciones

de

la

y

derivada 101

8 6 4 2 –6

–4

–2

2

4

6

8

x

–2 –4 –6

Figura 3.14.

Ejemplo 127 Si

demostrar si es continua

Solución El dominio de f = R–{2} Aunque a) f (2) = 4, no está definida en este punto, como se ve en la gráfica y 8 6 4 2 –6

–4

–2

2

4

6

8

x

–2 –4 –6

Figura 3.15.

∴ f no es continua

Calculo diferencial e integral1.indd 101

28/01/16 09:44

Ejemplo 128 demuestre si es continua en x = 0

Si Solución a) f (0) = 0+ 2 = 2 b)

para calcular este límite se necesita calcular los límites laterales es decir:

Entonces existe

y se cumple la segunda condición o sea 2 = 2

c)

de donde se cumplen las tres condiciones, luego la función es continua en x = 0 y 8 6 4 2 –6

–4

–2

2

4

6

8

x

–2 –4 –6

Figura 3.16.

Se observa que no hay ningún salto en la gráfica de la función, es una función continua.129. Para que valor de A, la función es continua, Ejemplo 129 Para que valor de A, la función es continua, 102 Martha

Leticia

Calculo diferencial e integral1.indd 102

Hernández

28/01/16 09:44

Aplicaciones

de

la

derivada 103

Solución Condiciones de continuidad: a) f(3) = A b)

c) A = 6

∴ La función e continua si A = 6 Ejemplo 130 Si f(x) = x2 + 2x, demostrar que es una función continua en x = 4 Solución a) f(4) = (4)2 + 2(4) = 24 b) c)

, es decir, 24 = 24

∴ Esta es una función continua en x = 4 Como esta función no tiene restricción en ningún punto de su dominio, es una función que no sólo es continua en x = 4, sino en cualquier punto de su dominio.

Gráficamente, se ve así y

–2

4

x

Figura 3.17.

Calculo diferencial e integral1.indd 103

28/01/16 09:44

El dominio de f =°, el rango de f = [–1, +∞) Se observa también que la función corta al eje x en los puntos x = 0 y x = –2 ya que si: x2 + 2x = 0 x (x+2) = 0, entonces: x = 0 y x = –2 Que son las raíces de la ecuación de segundo grado y son los puntos de corte sobre el eje x.

Ejemplo 131 Si

, demostrar si es una función continua

Solución Hay que ver que en algunas ocasiones nos dan el punto x =a donde se pide demostrar si la función es continua.

En otras ocasiones aparentemente no se da el punto x =a y entonces se busca, donde hay una restricción en el dominio de la función dada.

En este caso

, en x = 6 no está definida la función, ya que

, luego

la primera condición de continuidad no se cumple: a) f (6) no está definida ∴ La función no es continua.

Su gráfica se vería así: y

6

x

Figura 3.18.

104 Martha

Leticia

Calculo diferencial e integral1.indd 104

Hernández

28/01/16 09:44

Aplicaciones

de

Su dominio es °–{6}

la

derivada 105

Ejemplo 132 , demostrar si es continua en x = 3

Sea

Solución De las tres condiciones de continuidad se tiene: a) f(3)=3, entonces la función está definida en x = 3 b)

¿Existe?

De la definición de valor absoluto se tiene:

Entonces:

Simplificando:

Esto quiere decir que hay que calcular límites laterales de f(x) y ∴

Calculo diferencial e integral1.indd 105

no existe.

28/01/16 09:44

Ya que los límites laterales son diferentes ∴ No se cumple la 2da condición de continuidad. ∴ La función no es continua en x = 3 Hay ocasiones que en algunos problemas de continuidad, se pide demostrar para qué valor de una constante dada en la definición de función es continua, como en el siguiente ejemplo: Ejemplo 133 , p = cte

Sea

Encontrar el valor de la constante p para que la función sea continua en los reales.

Solución De las condiciones de continuidad, tenemos: a) f (a) = f(3) = f (3+6) = 9, está definida b)

Para que el

exista, los límites laterales tienen que ser iguales, es decir:

4p + 9 = 9 y queda una ecuación, la cual se resuelve despejando a p ∴p = 0 Si p = 0 los límites laterales son iguales, y se cumple la 2da condición de continuidad: b) si p = 0 Y la tercera condición obviamente se cumple: c)

9=9

∴ La función es continua si p = 0.

Si en la función f (x) estuvieran dos constantes por determinar, resultarían dos ecuaciones que formarían un sistema por resolver, pero no compete al programa de estudios este análisis.

106 Martha

Leticia

Calculo diferencial e integral1.indd 106

Hernández

28/01/16 09:44

Aplicaciones

de

la

derivada

3.8 Definición de la derivada

107

Ahora definiremos el concepto de derivada de funciones continuas utilizando la definición del límite para calcular la derivada de una función.

El límite utilizado es el mismo que se utiliza para definir la pendiente de una recta tangente a la gráfica de una función con pendiente m.

Definición.- La derivada de la función f en el punto x del dominio de f se denota:

Si este límite existe.

No haremos cálculo de derivadas utilizando la definición con el proceso del límite, si no utilizando los teoremas de derivación, fórmulas básicas o reglas de derivación, como lo marca el programa de estudio que es la base de este libro. Sin hacer la demostración de los teoremas solo haciendo uso de ellos en aplicaciones algebraicas.

También existen funciones continuas que no son derivables, son funciones que presentan picos como el valor absoluto o presentan rizos o presentan una tangente vertical que no utilizaremos.

3.9. Teoremas de Derivadas 3.9.1. Teorema. Derivada de una función constante.

Si f(x) = c, c es una constante entonces f '(x) = 0 Ejemplos 134. Si y=4 entonces y'= 0 135. Si f (x)=0 entonces f '(x)=0 136.

La notación para la derivada de una función depende de cómo nos presenten la función como en los ejemplos anteriores:

Calculo diferencial e integral1.indd 107

28/01/16 09:44

3.9.2. Teorema. Derivada de una función potencia Si n es un número real n ≠ 0, entonces Ejemplos: Derive las siguientes funciones: 137. Si y = x3 Solución entonces 138. Si Solución entonces

139. Si

, se escribe:

Solución entonces Si n = 1, se tiene y = x de donde

3.9.3. Teorema. Derivada del producto de una constante por una función

Ejemplos 108

140. Si y = 4x Martha

Leticia

Calculo diferencial e integral1.indd 108

Hernández

28/01/16 09:44

Aplicaciones

de

la

Soluciรณn

derivada 109

141. Si y = 4x8 Soluciรณn

3.9.4. Teorema. Derivada de una suma y diferencia de funciones Si f y y son funciones derivables

Ejemplos 142. Si Soluciรณn

143. Si Soluciรณn

144. Si Soluciรณn

Calculo diferencial e integral1.indd 109

28/01/16 09:44

3.9.5. Teorema. Derivada del producto de funciones Si f y g son funciones derivables

Ejemplos 145. Si Solución Utilizando el teorema:

146. Si Solución

3.9.6. Teorema. Derivada de un cociente de funciones Si f y g son funciones derivables y g(x) ≠ 0, entonces

110 Martha

Leticia

Calculo diferencial e integral1.indd 110

Hernández

28/01/16 09:44

Aplicaciones

Ejemplos

de

la

derivada 111

147. Si Soluci贸n

148. Si Soluci贸n

149. Si Soluci贸n

Calculo diferencial e integral1.indd 111

28/01/16 09:44

3.10. Derivadas de Funciones Compuestas 3.10.1 Teorema. Derivada de una función de función o función compuesta (Regla de la Cadena) Si y = f(u) es una función derivable de u y a su vez, u = g(x), es una función derivable de x, entonces, y = f (g(x)) es una función derivable de x de donde:

Ejemplos 150. Si Solución

Esto fue la derivada de una función potencia compuesta, con n = – 1.

3.10.2 Teorema. Derivada de una función potencia compuesta Si f(x) = (u(x))n, n ∈R

112 Martha

Leticia

Calculo diferencial e integral1.indd 112

Hernández

28/01/16 09:44

Aplicaciones

de

la

derivada

3.10.3. Teorema. Derivada del producto de una constante por una función compuesta u

113

Ejemplos 151. Si Solución

152. Si Solución Equivalentemente escrita así: Su derivada es:

153. Si Solución Escribimos función potencia:

Calculo diferencial e integral1.indd 113

y obtenemos la derivada de una constante por una

28/01/16 09:44

154. Si Solución

155. Si Solución Se puede escribir equivalentemente como un producto: y = (3x)(2x4 – x3 + 5)–5 Su derivada es:

114 Martha

Leticia

Calculo diferencial e integral1.indd 114

Hernández

28/01/16 09:44

Aplicaciones

de

la

derivada 115

3.11. Derivadas de Funciones Trascendentes 3.11.1 Teorema. Derivada de la funciรณn logaritmo natural a) Para una funciรณn compuesta b) Ejemplos 156. Si y = ln(x) Soluciรณn Entonces 157. Si y = ln(2x2) Soluciรณn

158. Si Soluciรณn

Calculo diferencial e integral1.indd 115

28/01/16 09:44

159. Si h(x) = ln(x3 + 2x2 + 6x) Soluci贸n

3.11.2 Teorema. Derivada de las funciones exponenciales

Ejemplos 160. Si y = ex Soluci贸n

y' = ex

161. Si Soluci贸n Es la deriva de la forma eu

116 Martha

Leticia

Calculo diferencial e integral1.indd 116

Hern谩ndez

28/01/16 09:44

Aplicaciones

de

la

derivada 117

162. Si Soluci贸n , ,

163. Si Soluci贸n Se tiene:

y = eu

, ,

164. Si y = 3x Soluci贸n

165. Si y = 55x Soluci贸n Se sabe

u = 5x ,

Calculo diferencial e integral1.indd 117

28/01/16 09:44

166. Si Solución

u = x3 + 2x

,

3.11.3 Teorema. Derivada de las funciones trigonométricas

Ejemplo167 Si y = sen x Solución

y' = cos x

Ejemplo 168 Si y = sen 5x Solución y = sen u 118

y' = cos u Martha

Leticia

Calculo diferencial e integral1.indd 118

Hernández

28/01/16 09:44

Aplicaciones

u = 5x

,

=5

de

la

derivada 119

y' = cos 5x(5) ∴ y' = 5 cos 5x Ejemplo 169 Si y = sen

Solución

y = sen u

y' = cos u ,

y' = cos

Ejemplo 170 Si y = sen7 (7x) Solución

y = u7

,

y' = 7u6

,

y' = 7(sen(7x))6 cos (7x)(7)

∴ y' = 49(sen 7x)6 cos (7x)

Calculo diferencial e integral1.indd 119

u = sen (7x) = cos (7x)(7)

28/01/16 09:44

3.11.4 Teorema

Ejemplo 171 Si y = cos x Solución

y' = –sen x

Ejemplo 172 Si y = cos (–2x)

Solución y = cos u u = –2x

,

= –2

y' = –sen u y' = –sen u (–2x)(2) ∴ y' = 2 sen u (–2x) Ejemplo 173 Si y = cos (sen(3x2)) Solución

y = cos u

,

u = sen (3x2)

120

y' = –sen u

∴ y' = –sen u (sen(3x2))cos(3x2)

Martha

Leticia

Calculo diferencial e integral1.indd 120

Hernández

28/01/16 09:44

Aplicaciones

de

la

derivada 121

3.11.5 Teorema

Ejemplo 174 Si y = tan (3x) Soluci贸n

y' = 3 sec2 (3x)

Ejemplo 175 Si y = tan (x3 + 6x)

Soluci贸n

y' = sec2 (x3 + 6x)(3x2 + 6)

Ejemplo 176 Si y = tan8 (10x3 + 2x2) Soluci贸n

y = u8

,

u = tan (10x3 + 2x2)

y' = 8u7 y' = 8 tan7 (10x3 + 2x2)(30x2 + 4x) sec2 (10x3 + 2x2)

Tambi茅n se tienen:

Calculo diferencial e integral1.indd 121

28/01/16 09:44

Ejemplo 173 Si y = cot (3x) sec (5x2) Solución

3.12 Máximos y Mínimos. Criterio de la primera derivada 3.12.1 Funciones crecientes y decrecientes Teorema. Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a,b] y diferenciable en el intervalo abierto (a,b) a) Si f '(x) > 0 para todo x ∈(a,b) entonces f es creciente en [a,b] b) Si f '(x) < 0 para todo x ∈(a,b) entonces f es decreciente en [a,b]

3.12.2 Teorema de Rolle Sea f(x) una función continua en el intervalo [a,b], derivable en el intervalo (a,b) y f (a) = f (b). Entonces, existe un número c que esta en el intervalo (a,b) tal que f '(c) = 0 3.12.3 Definición Un valor crítico de una función es un número en el dominio de donde: a) f '(c) = 0, o b) f '(c) no existe

122 Martha

Leticia

Calculo diferencial e integral1.indd 122

Hernández

28/01/16 09:45

Aplicaciones

de

la

derivada

y

123 f '(c) no existe

x

c

Figura 3.19.

y f '(c) = 0

TANGENTE HORIZONTAL

x

c

Figura 3.20.

Una vez encontrado el valor crítico de f, para obtener el punto crítico de f se sustituye el valor encontrado de c en la función f es decir: (c, f (c)) = punto crítico.

Ejemplos. Obtener los puntos críticos si existen y los intervalos donde f es creciente y/o decreciente.

Ejemplo 178 Si f (x) = x3 –12x + 5

Calculo diferencial e integral1.indd 123

28/01/16 09:45

Solución Se obtiene la primera derivada y se iguala a cero: f ' (x) = 3x2 – 12 = 0 Se resuelve la ecuación 3x3 – 12 = 0 x2 – 4 = 0 ⇒ (x – 2)(x + 2) = 0

x1 = 2 x2 = –2 ∴ Los valores críticos son x1 = 2 y x2 = –2 Se sustituyen estos valores en la función dada para obtener su imagen.

f (2) = (2)3 – 12(2) + 5 = 8 – 24 + 5 = –11 f(–2) = (–2)3 – 12(–2) + 5 = –8 + 24 + 5 = 21 En donde los puntos críticos son: p1 = (2, –11) y p2 = (–2, –21) Ahora colocamos los valores críticos en la recta real –∞

–2

0

2

+∞

Y se obtienen los intervalos a la derecha e izquierda de los valores críticos, para ver el signo de la derivada y el comportamiento de la función.

Puntos de f ' (x) = 3x2 – 12 Intervalos Conclusión prueba (–∞, –2) (–2, 2) (2, +∞)

x = –3 x=0 x=3

f ' (–3) > 0 f ' (0) < 0 f ' (3) > 0

f es creciente f es decreciente f es creciente

∴ f (x) es creciente en (–∞, –2) y (2, +∞) y decreciente en (–2, 2).

Ejemplo 179 f (ρ) = ρ3 + ρ2 – ρ 124

Solución f '(ρ) = 3ρ2 + 2ρ – 1, de donde 3ρ2 + 2ρ – 1 = 0, se resuelve la ecuación: Martha

Leticia

Calculo diferencial e integral1.indd 124

Hernández

28/01/16 09:45

Aplicaciones

de

la

derivada 125

∴ Los valores críticos son

y ρ2 = –1

Ahora:

f(–1) = (–1)3 + (–1)2 – (–1) = 1 Entonces los puntos críticos son: y p2 = (–1, 1) Ahora para obtener los intervalos donde es creciente y/o decreciente se colocan los valores críticos en la recta real.

–∞ +∞ –1 0

Intervalos

Puntos de prueba

f ' (ρ) = 3ρ2 + 2ρ – 1

Conclusión

(–∞, –1)

ρ = –2

f ' (–2) > 0

f es creciente

ρ=0

f ' (0) < 0

f es decreciente

ρ=1

f ' (1) > 0

f es creciente

∴ f es creciente en (–∞, –1) y

Calculo diferencial e integral1.indd 125

y decreciente en

28/01/16 09:45

Ejemplo 180

Solución

En x = 0 f ' (x) no existe ∴ x = 0 es un valor crítico f (0) = 2 – 0 = 2, de donde p (0,2) es un punto crítico.

Ahora: Intervalos

Puntos de prueba

f ' (ρ) = 3ρ2 + 2ρ – 1

Conclusión

(–∞, 0) (0, +∞)

x = –1 x=1

f ' (–1) < 0 f ' (1) < 0

f es decreciente f es decreciente

y

P,.C (0,2)

x

Figura 3.21.

126 Martha

Leticia

Calculo diferencial e integral1.indd 126

Hernández

28/01/16 09:45

Aplicaciones

de

la

derivada 127

3.12.4 Criterio de la primera derivada para extremos relativos Teorema. Sea f una función continua en todos los puntos de un intervalo abierto (a,b) en el cual se encuentra x = c un valor crítico de f, también f '(x) existe en todos los puntos de (a,b), excepto posiblemente en c.

Si se cumple: a) f ' (x) > 0 para x ∈(a,c) y f ' (x) < 0 para x ∈(c,b), entonces f tiene un máximo relativo en x = c.

Gráficamente se ve así: y f '(c) = 0

f decrece f ' (x) < 0

f crece f ' (x) > 0

x a

c

b

MAXIMO EN (c, f(c)) Figura 3.22.

b) Si f' (x) < 0 para x ∈(a,c) y f' (x) > 0 para x ∈(c,b), entonces f tiene un mínimo relativo en x = c.

Calculo diferencial e integral1.indd 127

28/01/16 09:45

Gráficamente se ve así: y

f crece f ' (x) > 0

f decrece f ' (x) < 0 f '(c) = 0

x a

c

b

∴ f tiene un mínimo en (c, f (c)).

Figura 3.23.

c) Si f' (x) > 0 a ambos lados de c o f' (x) < 0, a ambos lados de c, entonces no existe ni un máximo o mínimo relativo.

Cuando la primera derivada no existe también puede o no existir un máximo o mínimo relativo.

Ejemplos. Calcular los puntos críticos, los intervalos donde es creciente o decreciente, los máximos y mínimos, si existen, y la gráfica de las siguientes funciones: Ejemplo 181 f (x) = x4 – 2x2 Solución a) Se obtiene la primera derivada y se iguala a cero: f '(x) = 4x3 – 4x = 0

128

b) Se resuelve la ecuación resultante para encontrar los valores críticos:

4x3 – 4x = 0

x3 – x = 0 x=0 ⇒ valores críticos x (x2 – 1) = 0 x = ±1 Martha

Leticia

Calculo diferencial e integral1.indd 128

Hernández

28/01/16 09:45

Aplicaciones

de

la

derivada

c) Se colocan los valores críticos en la recta real para encontrar los intervalos donde f es creciente o decreciente.

–∞

–1

0

129

+∞

1

d) Se hace una tabla para que todo esté bien ordenado y se puedan obtener los resultados buscados Intervalos

Puntos de prueba

f ' (x)

Resultados

(–∞, –1)

x = –2

f ' (–2) < 0

f es decreciente Mínimo en(–1, –1) = A

(–1, 0)

f es creciente Máximo en(0, 0) = B

(0, 1)

f es decreciente Mínimo en(1, –1) = C

(1, +∞)

x=2

Gráfica

f es creciente

f ' (2) > 0

y

–1

a

b

1

–1

c

x

Figura 3.24.

Calculo diferencial e integral1.indd 129

28/01/16 09:45

Ejemplo 182 f (x) = 4x5 – 5x4 + 4 Solución

f '(x) = 20x4 – 20x3 20x4 – 20x3 = 0

Simplificando:

⇒

x4 – x3 = 0

x3(x – 1) = 0

valores críticos Para puntos críticos se tiene:

f (0) = 4(0)5 – 5(0)4 + 4 = 4 f (1) = 4(1)5 – 5(1)4 + 4 = 4 – 5 + 4 = 3 Por lo tanto se tienen: A = (0,4)

B = (1,3)

,

, ,

(0,4) (1,3)

Puntos críticos

Para los intervalos donde f es creciente o decreciente –∞

0

1

+∞

Intervalos

Puntos de prueba

f ' (x)

Resultados

(–∞, 0)

x = –1

f ' (–1) > 0

f es decreciente Máximo en(0, 4) = A f es decreciente Mínimo en(1, 3) = B

(0, 1) (1, +∞)

x=2

f ' (2) > 0

f es creciente

130 Martha

Leticia

Calculo diferencial e integral1.indd 130

Hernández

28/01/16 09:45

Aplicaciones

Gráfica

de

la

derivada

y a

131 MÁXIMO

b MÍNIMO

x 1 Figura 3.25.

Ejemplo 183 f (x) = x2 – 9 Solución a) Se obtiene la primera derivada y se iguala a cero: f ' (x) = 2x = 0 b) Se resuelve la ecuación resultante: ⇒ x = 0 valor crítico, luego f (0) = –9 2x4 = 0 c) Se coloca el valor crítico en la recta real –∞

0

+∞

d) Se hace una tabla de la siguiente manera Intervalos

Puntos de prueba

f ' (x) = 2x

Resultados

(–∞, 0)

x = –1

f ' (–1) < 0

f es decreciente Mínimo en(0, –9) = A

(0, +∞)

x=1

f ' (1) > 0

f es creciente

∴ tiene un mínimo en (0, –9)

Calculo diferencial e integral1.indd 131

28/01/16 09:45

e) Gráfica y

–3

3

x

(0, –9) Figura 3.26.

Ejemplo 184 f (x) = 4x2 – 36 Solución

f ' (x) = 8x = 0 8x = 0 ⇒ x = 0 valor crítico ∴ (0, –36) punto crítico –∞

0

Intervalos donde f es creciente o decreciente:

Puntos de f ' (x) = 8x Intervalos prueba

+∞

Resultados

(–∞, 0)

x = –1

f ' (–1) < 0

f es decreciente Mínimo en(0, –36) = A

(0, +∞)

x=1

f ' (1) > 0

f es creciente

132 Martha

Leticia

Calculo diferencial e integral1.indd 132

Hernández

28/01/16 09:45

Aplicaciones

de

la

Gráfica

derivada 133

y

x

(0, –36) Figura 3.27.

3.12.5 Ejercicios. Calcule los siguientes límites: 8.

1.

2.

9.

3.

10.

4.

11.

5.

12.

6.

7.

Calculo diferencial e integral1.indd 133

13.

28/01/16 09:45

23.

14.

si

15.

24.

16.

si

17.

18.

25.

19.

26.

20.

27.

21.

28.

22.

si

Demuestre si f (x) es continua: 31.

29.

134

, x â&#x2030; 2

30.

Martha

en x = 4

Leticia

Calculo diferencial e integral1.indd 134

HernĂĄndez

28/01/16 09:45

Aplicaciones

de

la

derivada 135

en x = 2

32.

33.

34.

en x = 0 y x = 2 en s = –1 en x = 4

35.

36.1 f (x) =

,x≠0

36.2 f (x) =

,x≠4

36.3 f (x) =

,x≠5

36.4 f (x) =

,x≠0

36.5 f (x) = 36.6 Escriba la definición de continuidad en un punto.

36.7 Bosqueje la gráfica de 2 funciones discontinuas.

36.8 En qué casos una función definida f, en un punto x = a es discontinua.

37. Hallar el valor de p para que sea continua en °

Calculo diferencial e integral1.indd 135

28/01/16 09:45

38. Hallar el valor de q para que sea continua en °

39. Encuentre el valor de a para que f (x) sea continua en °

Ejercicios. Encontrar la derivada de las siguientes funciones: 40. y = x

51.

41. y = x

2

42. y = 5x9

52.

43.

53.

44.

54.

45.

46. y = 5x2 + 2x + 3

55.

47. y = (x – 2)3 56.

48. y = (3x – 2)3

57.

49.

58.

y

50.

y = (3x – 2)3

59.

136 Martha

Leticia

Calculo diferencial e integral1.indd 136

Hernández

28/01/16 09:45

Aplicaciones

60. y = asen x 61. y = ln(x3 + 2x + 2)

de

la

derivada

64. y = cos3(2x + 2)

137

65.

62.

66.

63.

Usando el criterio de la primera derivada. Encuentre los puntos críticos, los intervalos donde es creciente, decreciente y los puntos máximos y mínimos si existen, así como elaborar un bosquejo de la gráfica de las siguientes funciones:

67. f (x) = x3 + 3x + 2 68. f (x) = x4 – 8x2 + 1 69. f (x) = x3 + x – 6 70.

71. f (x) = x4 – 2x3 72. f (x) = x3 + 3x2 + 3x + 1 73. f (x) = 3x4 – 4x3 + 1 74.

75.

76. f (x) = (x2 – 1)

Calculo diferencial e integral1.indd 137

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Calculo diferencial e integral1.indd 138

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Áreas Capítulo 4

4.1 Integral Indefinida 4.1.1 Primitivas Si f y F son dos funciones donde f es la derivada de F, entonces F es una función primitiva de f.

Ejemplo 185 La derivada de x4 ; (x4 )' = 4x3.

Solución La función x4 es una primitiva de 4x3 o también se dice x4 es una antiderivada de 4x3.

4.1.2 Definición. F es una primitiva o antiderivada de la función f si para toda x ∈ Dom f F'(x) = f (x) Se puede representar toda la familia de antiderivadas sumando una constante c a la antiderivada conocida.

En el ejemplo visto F = x4 y f (x) = x3 porque:

así también:

,

139

Calculo diferencial e integral1.indd 139

28/01/16 09:45

, hasta

, c cualquier cte.

∴ Si F es una primitiva o antiderivada de f y c una constante cualquiera.

Esto quiere decir que toda primitiva o antiderivada se puede escribir como: F(x) + c.

Entonces d(F (x) + c) = f (x) dx y así se tiene la antiderivada más general:

Que se conoce como la integral indefinida de f(x) con respecto a la variable de integración x.

4.2 Fórmulas de integración 1. , k = constante

2.

3.

, n ≠ –1

4.

5.

6.

140 Martha

Leticia

Calculo diferencial e integral1.indd 140

Hernández

28/01/16 09:45

Áreas

7.

141

Las mismas fórmulas se tienen para el caso donde u = g(x), utilizando la regla de la cadena, esto es:

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

Calculo diferencial e integral1.indd 141

28/01/16 09:45

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

142 Martha

Leticia

Calculo diferencial e integral1.indd 142

Hernรกndez

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ร reas

4.3 Integrales inmediatas:

143

Calcular las siguientes integrales: Ejemplo 186

Soluciรณn

Ejemplo 187

Soluciรณn

Ejemplo 188

Soluciรณn

Ejemplo 189

Soluciรณn

Ejemplo 190

Calculo diferencial e integral1.indd 143

28/01/16 09:45

Solución

Ejemplo 191

Solución

Ejemplo 192

Solución

Ejemplo 193

Solución

Ejemplo 194

Solución 144 Martha

Leticia

Calculo diferencial e integral1.indd 144

Hernández

28/01/16 09:45

Áreas 145

4.4 Integrales por cambio de variable o sustitución Ejemplo 195

Solución Seleccionando u = 2 + x3; du = 3x2dx

Ejemplo 196

Solución Sea u = 5x + 2; du = 5dx

Calculo diferencial e integral1.indd 145

28/01/16 09:45

Ejemplo 197

Solución Sea u = 3 + x3; la diferencia de u denota: du = 3x2 dx

Haciendo la sustitución:

Ejemplo 198

Solución Sea u = 2 – x2; du = –2x dx; Sustituyendo:

146

Martha

Leticia

Calculo diferencial e integral1.indd 146

Hernández

28/01/16 09:45

Áreas

Ejemplo 199

147

Solución

Haciendo u = 1 – 2x2; du = –4x dx;

Ejemplo 200

Solución Haciendo u = 2 – 8x3; du = –24x2 dx;

Calculo diferencial e integral1.indd 147

28/01/16 09:45

Ejemplo 201

Soluci贸n Sea u = x2 + 5; du = 2x dx; Sustituyendo:

Ejemplo 202

Soluci贸n Sea u = x + 7; du = dx Sustituyendo:

Ejemplo 203

148

Soluci贸n Sea u = 5x2 + 5; du = 10x dx Martha

Leticia

Calculo diferencial e integral1.indd 148

Hern谩ndez

28/01/16 09:45

Áreas

Sustituyendo:

149

Ejemplo 204

Solución

u = –x; du = –dx; –du = dx

Sustituyendo:

Ejemplo 205

Solución

u = ex + 3; du = ex dx

Sustituyendo:

Ejemplo 206

Solución

Calculo diferencial e integral1.indd 149

;

;

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Sustituyendo:

Ejemplo 207

Solución

⇒ u = 2x–2, du = –4x–3 dx

Sustituyendo:

4.5 Integrales de funciones trigonométricas Ejemplo 208

Solución

u = 5x, du = 5dx,

Sustituyendo:

150

Martha

Leticia

Calculo diferencial e integral1.indd 150

Hernández

28/01/16 09:45

Áreas

Ejemplo 209

Solución

151

u = 2 cos x, du = –2 sen x dx,

Sustituyendo:

Ejemplo 210

Solución

u = sen x, du = cos x dx,

Sustituyendo:

Ejemplo 211

Solución

u = 2 + tan x, du = sec2 x dx,

Sustituyendo:

Calculo diferencial e integral1.indd 151

28/01/16 09:45

Ejemplo 212

Soluci贸n

u = ex, du = ex dx,

Sustituyendo:

Ejemplo 213

Soluci贸n

u = tan x, du = sec2 x dx,

Sustituyendo:

Ejemplo 214

Soluci贸n

u = 6 + cot x, du = csc2 x dx,

152 Martha

Leticia

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Hern谩ndez

28/01/16 09:45

Áreas

Sustituyendo:

153

Ejemplo 215

Solución u = ex ⇒ du = ex dx, Sustituyendo:

4.6 Métodos de integración 4.6.1 Integración por partes Una vez que se aprendió a detectar y resolver integrales inmediatas de funciones sencillas y por sustitución, de funciones compuestas. Tenemos otro tipo de integrales donde el integrando es casi siempre el producto de una función por la diferencial de otra función y no hay relación entre ellas como en las integrales inmediatas.

Sean estas dos funciones diferenciables u = f(x) y v = g(x) la diferencial del producto de ellas se escribe: d(uv) = udv + vdu Integrando:

Calculo diferencial e integral1.indd 153

28/01/16 09:45

Despejando, se obtiene la fórmula de la integral por partes:

La forma de seleccionar u y la dv es libre, pero teniendo en cuenta que la integral sea una integral fácil de obtener. Cuando no ocurre, se cambia el orden de la elección de u y dv dentro del integrando.

Ejemplos. Resolver las siguientes integrales usando la fórmula de integración por partes: Ejemplo 216

Solución

u = ln(x)

dv = x2dx

Ejemplo 217

154 Martha

Leticia

Calculo diferencial e integral1.indd 154

Hernández

28/01/16 09:45

Áreas 155

Solución

u = x2 du = 2x dx

dv = ex v = exdx

u=x du = dx

dv = exdx v = ex

= ex (x2 – 2x + 2) + c

Ejemplo 218

Solución

u = x2 du = 2x dx

dv = cos x dx v = sen x

u = x2 du = dx

dv = sen x dx v = –cos x

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Ejemplo 219

Solución

u = x2

du = 2x dx

u = (1 – x2)

du = –2x dx

Ejemplo 220

Solución

156

u=x

dv = e2x dx

du = dx

Martha

Leticia

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Hernández

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Áreas 157

4.6.2 Integración por fracciones parciales Ahora se analizan integrales donde el integrando contiene funciones racionales, esto es: , Q(x) ≠ 0 Donde P(x) y Q(x) son funciones polinomiales, teniendo: La función racional del integrando debe ser una función propia o fracción propia, es decir: grado P(x) < grado Q(x) Es fracción impropia si el grado P(x) > grado Q(x) Si se tiene una fracción impropia en el integrando se procede a dividir el numerador P(x) entre el denominador Q(x) para obtener la suma de dos integrales.

El método para resolver este tipo de integrales se conoce como: Método de fracciones parciales El método consiste en expresar al cociente

como una suma de fracciones

parciales, donde Q(x) es un polinomio que se descompone en productos de factores lineales y/o cuadráticos, presentándose cuatro casos: CASO I: El polinomio del denominador Q(x) se puede expresar como el producto de factores lineales no repetidos.

Ejemplos. Calcular: Ejemplo 221

Solución a) Se tiene una fracción propia ya que el grado de P(x) = 6x + 10 < grado de Q(x) = x2 + 4x + 3

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b) Factorizar el denominador: Q(x) = x2 + 4x + 3 = (x + 3)(x + 1), producto de dos factores lineales no repetidos c) d) Se expresa como la suma de dos fracciones parciales:

Ya que hay tantas fracciones parciales como factores en Q(x) e) Para encontrar los valores de las constantes A y B se tiene: 6x + 10 = A(x+1) + B(x+3) Desarrollando:

6x + 10 = Ax + A+ Bx + 3B

Factorizando:

6x + 10 = (A+B)x + (A+ B3)

Igualando constantes del lado derecho con el lado izquierdo:

A + B = 6 …(1) A + 3B = 10 …(2) Resolviendo el sistema, restando ecuación (1) de ecuación (2) –2B = –4 ⇒ B = 2…(3) Sustituyendo ecuación (3) de ecuación (1) A+2=6 ⇒ A=4 Regresando al inciso d)

Ejemplo 221

158 Martha

Leticia

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Hernández

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Áreas

Solución a) Se tiene una fracción propia ya que el grado del numerador es < que el grado del denominador b) Se procede a factorizar el denominador: x3 + 2x2 – 15x = x(x2 + 2x – 15)

x3 + 2x2 – 15x = x(3 – 15)(x + 5)

159

Y se tienen tres factores lineales diferentes, por lo tanto se tendrán tres fracciones parciales:

Se despeja:

4x+8 = A(x–3)(x+5) + B(x)(x+5) + Cx(x–3)

Desarrollando:

4x+8 = (Ax–3A)(x+5) + Bx2 + 5Bx + Cx2 – 3Cx = Ax2 + 5Ax – 3Ax – 15A + Bx2 + 5Bx + Cx2 – 3Cx

Factorizando y simplificando: 4x + 8 = (A + B + C)x2 + (2A + 5B – 3C)x –15A Igualando:

A + B + C = 0 …(1) 2A + 5B – 3C = 4 …(2) –15A = 8 …(3)

Resolviendo el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:

Multiplicando ecuación (1) por 3 y sumando a ecuación (2)

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Sustituyendo en ecuación (1):

Ejemplo 223

Solución a) Se tiene una fracción propia ya que el grado del numerador es < que el grado del denominador b) x2 – 25 = (x+5)(x–5) Se tienen dos fracciones parciales:

Despejando: Desarrollando: Factorizando: 160 Martha

Leticia

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1 = A(x+5) + B(x–5) 1 = Ax + 5A + Bx – 5B 1 = (A+B)x + (5A–5B) Hernández

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Áreas

Igualando el lado derecho con el lado izquierdo: A+B=0 5A – 5B = 1

161

Resolviendo el sistema de ecuaciones: ,

Ejemplo 224

Solución Se tiene una fracción impropia ya que en el integrando el grado del numerador es > que el grado del denominador.

Se procede a dividir: , obteniendo:

Entonces:

x2 ∫ ( x − 3)dx = 2 − 3x + c

y

tiene una fracción propia

Se factoriza el denominador: x2 + x – 6 = (x + 3)(x – 2)

Calculo diferencial e integral1.indd 161

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Entonces se tiene:

Despejando:

9x–12 = A(x–2) + B(x+3) 9x–12 = Ax – 2A + Bx + 3B 9x–12 = (A+B)x + (–2A + 3B)

De donde:

A+B = 9 –2A + 3B = 12

Resolviendo el sistema:

CASO II: El polinomio Q(x) del denominador contiene factores lineales repetidos.

Q(x) se presenta como el producto de factores lineales , quedando fracciones parciales de la forma:

Ejemplos. Calcular: Ejemplo 225

162 Martha

Leticia

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Hernández

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Áreas 163

Solución grado P(x) < grado Q(x) Q(x) = (x+1)3 entonces se tiene:

Despejando:

Factorizando:

2x2 + 3x + 3 = Ax2 + (2A+B)x + (A+B+C)

Igualando:

A = 2 …(1) 2A + B = 3 …(2) 2A + 5B + C = 3 …(3)

Sustituyendo ecuación (1) en ecuación (2): 2(2) + B = 3 ⇒ B = 3–4 = –1 ∴B = –1 De ecuación (3) se tiene: C = 3 – B – A = 3 – (–1) – (2) = 3 + 1 – 2 ∴C = 2 Sustituyendo los valores encontrados:

Calculo diferencial e integral1.indd 163

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Ejemplo 226

Solución Grado del numerador < grado del denominador; entonces:

Despejando:

x2 + 9x + 1 = A(x+2)(2x+2) + B(2x+2) + C(x+2)2 x2 + 9x + 1 = A(2x2+6x+4) + 2Bx + 2B + Cx2 + 4Cx + 4C x2 + 9x + 1 = 2Ax2 + 6Ax + 4A + 2Bx + 2B + Cx2 + 4Cx + 4C x2 + 9x + 1 = (2A + C)x2 + (6A + 2B + 4C)x + 4A + 2B + 4C

De donde: 2A + C = 1 …(1) 6A + 2B + 4C = 9 …(2) 4A + 2B + 4C = 1 …(3) Restando ecuación (2) de ecuación (3), se tiene: 2A = 8 ∴A = 4 De la ecuación (3):

C = –7

2B = 1 – 4(–7) – 4(4) = 1 + 28 – 16

Sustituyendo las constantes encontradas:

164

Martha

Leticia

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Hernández

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Áreas 165

CASO III: El polinomio Q(x) del denominador está formado por factores cuadráticos diferentes.

A cada factor cuadrático del denominador le corresponde una fracción de la forma:

Ejemplos.

Ejemplo 227 Para la función

,

Solución Se observa que el denominador es el producto de un factor lineal y dos factores cuadráticos diferentes, entonces le corresponden tres fracciones parciales de la forma:

Ejemplo 228

Solución Grado del numerador < grado del denominador: Q(x) = (x2 +1)(x2 +2) , son factores cuadráticos diferentes Entonces:

Calculo diferencial e integral1.indd 165

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Despejando:

2x3 – x2 + 3x – 1 = (Ax+B)(x2+2) + (Cx+D)(x2+1)

Desarrollando y factorizando: 2x3 – x2 + 3x – 1 = (A+C)x3 + (B+D)x2 + (2A+C)x + 2B + D Igualando coeficientes, se tiene: A +B + C + D = 2 A+ B + C + D = –1 2A + + C +D = –3 A 2B + C + D = –1 Resolviendo el sistema, se obtienen: C = 7, A = –5,

D = –1,

B=0

Ejemplo 229

Solución Grado del numerador < grado del denominador El denominador Q(x) del integrando, contiene un factor lineal repetido 2 veces y un factor cuadrático, este corresponde a tres fracciones parciales:

166 Martha

Leticia

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Hernández

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Áreas

De donde:

167

x – 2x – 1 = A(x +1) + B (x–1)(x +1) + (Cx–D) + (x–1) 2

2

2

2

Desarrollando y factorizando: x2 – 2x – 1 = (B+C)x3 + (A–B–2C+D)x2 + (B+C–2D)x + (A–B+D) Igualando el lado derecho con el izquierdo, queda el sistema de ecuaciones: A +B + C + D = 0 …(1) A – B + 2C + D = 1 …(2)

B + C – 2D = –2 …(3)

A – B + C + D = –1 …(4) Restando las ecuaciones (2) y (4) respectivamente, se obtiene: –2C = 2 ∴ C = –1 Sustituyendo en ecuación (1)

B=1

Sustituyendo en ecuación (3) queda: –2D = –2 – (1) – (–1) –2D = –2 ∴ D = 1

Sustituyendo en ecuación (4): A = B – D – 1 = 1 – (1) – 1 = –1 ∴A = –1 Sustituyendo las constantes encontradas, se tiene:

Calculo diferencial e integral1.indd 167

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CASO IV: El polinomio Q(x) está formado por factores cuadráticos repetidos.

Se procede a separar a las fracciones parciales igual que en el caso II. Sólo que Q(x) se presenta como el producto de n factores cuadráticos (ax2 + bx + c)n quedando n fracciones de la forma:

Ejemplos. Calcular: Ejemplo 230

Solución Grado del numerador < grado del denominador ∴Se tiene en el integrando una fracción racional propia. El denominador Q(x) = 2 (x +9)2 está formado por un factor cuadrático repetido dos veces, entonces:

Despejando:

x2 – x + 9 = (Ax+B) + (Cx+D)(x2+9) x – x + 9 = Ax + B + Cx3 + 9Cx + Dx2 + 9D x2 – x + 9 = Cx3 + Dx2 + (A + 9C)x + (B + 9D) 2

Igualando coeficientes:

∴ A = –1

C=0 , D=0 , , B=0

A + 9C = –1 B + 9D = 9 , C=0 ,

D=1

Sustituyendo las constantes encontradas: 168 Martha

Leticia

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Hernández

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Áreas 169

Este tipo de integrales con denominadores cuadráticos repetidos, la mayoría de las veces son más laboriosas, surgiendo al sustituir los valores de las constantes encontradas, integrales con cambio de variable trigonométrico, identidades trigonométricas, etc., lo cual no es objetivo de esta unidad temática.

4.7 Integral definida 4.7.1 Definición de una suma de Riemann Sea f una función definida en un intervalo cerrado [a,b] y se le llama ∆ = delta, a una partición del intervalo [a,b] hecha de esta manera: a = x0 < x1 < x2 < … < xn–1 < xn = b Gráficamente se ve así: a = x0

x1

x2

…

xn–1

xn =b

Figura 4.1.

∆xi: es la notación del ancho de un subintervalo i o i-ésimo subintervalo. ∆xi = xi – xi–1: es la diferencia del punto final menos el que le antecede ci: es un punto cualquiera en el subintervalo i, entonces la suma, denotada por la letra sigma ;

Σ

, con

Se denomina una suma de Riemann de f para la participación ∆ Donde cada término de la suma es un rectángulo de base ∆x y altura f (x) en una región R.

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4.7.2 Definición. La integral de f en un [a,b] se denota:

Cuando este límite existe f es integrable en [a,b].

El número a es el límite inferior de integración y el número b es el límite superior de integración.

Gráficamente: y

f(x)

R

0

a

∆x

b

x

Figura 4.2.

• Una integral definida es un número.

• Una integral indefinida es una familia de funciones.

4.7.3 Teorema. Si una función f es continua en [a,b] entonces f es integrable en [a,b] 4.7.4 Propiedades de las integrales definidas Teorema. Si f y g son funciones integrables en [a,b] y es una constante cualquiera, entonces: 1) 170 Martha

Leticia

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Hernández

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Áreas 171

2)

3)

4)

para c ∈[a,b]

5)

6)

7) Si f (x)≥0 ⇒

si a<b

8) Si

si a<b

Teorema. Del valor medio para integrales: Si f es una función continua en [a,b] hay un número c en [a,b], de donde:

El teorema del valor medio para integrales lo que dice es que una función continua toma su valor promedio en algún punto.

Uno de los resultados más grandes del cálculo es el teorema fundamental del cálculo. a) Proporciona un proceso abreviado para calcular integrales definidas.

Calculo diferencial e integral1.indd 171

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b) Proporciona la herramienta poderosa para calcular integrales sin esforzarse como es, utilizar los límites de sumas de Riemann. c) Nos muestra que la derivación y la integración son procesos inversos.

4.7.5 Teorema fundamental del cálculo Si f es una función continua en [a,b] y F(x) es una antiderivada de f se tiene:

Ejemplos. Evaluar las integrales definidas usando el Teorema fundamental del cálculo.

Ejemplo 231

Solución Se observa que se puede integrar cada término o hacerlo directamente.

172 Martha

Leticia

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Hernández

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Áreas 173

Ejemplo 232

Solución f(x) se puede denotar como: 1 2

f ( x ) = x − x −3 , entonces se tiene, equivalentemente

Ejemplo 233

Solución

Ejemplo 234

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Solución

4.8 Área bajo una y dos curvas 4.8.1 Área bajo una curva Se utiliza la integral definida para encontrar el área de una región R acotada por la gráfica de una función f, el eje x y las rectas x = a y x = b como se ve a continuación: y

f(x)

a

∆x

b

x

Figura 4.3.

Para tener una aproximación al área de la región se cubre con rectángulos o se inscriben rectángulos con base y altura determinadas.

Para esto se utiliza la definición 3.7.1 vista anteriormente, donde sobre el intervalo cerrado [a,b] en el eje x se hace una partición del mismo como se ve a continuación:

174 Martha

Leticia

Calculo diferencial e integral1.indd 174

Hernández

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Áreas y

175

f(ci)

f(x)

a = x0 ∆xi = xi – xi–1 xn = b

x

Figura 4.4.

Cada rectángulo tiene su base ∆xi y su altura f(ci) para i = 1, 2, 3,… n, si se suman todos los rectángulos se tiene una aproximación al área de la región y si se toma el límite cuando n tiende a de esa suma, se tiene una más fina aproximación del área de la región y se escribe:

De donde se tiene el siguiente: Teorema. Si f es continua y positiva en [a,b], entonces el área de la región acotada por la gráfica de f, el eje x y las rectas verticales x = a y x = b, está dada por: Área = Ejemplos. Calcular el área bajo la gráfica de las siguientes funciones y el eje horizontal.

Ejemplo 235 f (x) = 3x – x2 Solución Para encontrar las cortes con el eje x 3x – x2 = 0

Calculo diferencial e integral1.indd 175

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Se factoriza:

x(3 – x) = 0

⇒

x=0

y

x=3

Son las rectas verticales que limitan a la gráfica: y

0

3

x

Figura 4.5.

Se observa que f es continua y positiva en [0,3]

Ejemplo 236 f (x) = 6, y las rectas x = 2, x = 4 y el eje x

176

Solución La gráfica es una función constante Martha

Leticia

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Hernández

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Áreas y

177 4

2

4

x

Figura 4.6.

Ejemplo 237 f (x) = x + 4, en [0,5] y el eje x

Solución La gráfica en el intervalo en [0,5] es y

0

5

x

Figura 4.7.

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Ejemplo 238 y el eje x

f (x) =

Solución La gráfica es un semicírculo de radio 3: y

–3

3

x

Figura 4.8.

El área de un semicírculo es: como el radio es 3, entonces:

Ejemplo 239 178

f (x) = x3 – 8x2 + 15x y el eje x

Martha

Leticia

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Hernández

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Áreas 179

Solución Para encontrar los cortes con el eje x x3 – 8x2 + 15x = 0 Se factoriza:

x(x2 – 8x2 + 15) = 0 x(x – 3)(x – 5) = 0

De donde las rectas verticales son: x = 0, x = 3, Gráfica:

x = 5,

y

0

3

–4

5

x

f<0 ⇒ –f>0 Figura 4.9.

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Ejemplo 240 y = x2 – 2x y el eje x Solución Si y = 0 ⇒ x2 – 2x = 0

x(x–2) = 0 ∴ x = 0 y x = 2 son los límites de integración, inferior y superior Gráfica: y 0

2

x

Figura 4.10.

La gráfica está debajo del eje x, es decir, f (x)<0, de donde –f (x)>0

4.8.2 Área entre dos curvas

180

Sean f y g dos funciones continuas definidas en el intervalo [a,b], donde f(x) ≥ g(x) en [a,b].

Martha

Leticia

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Hernández

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Áreas

Como se ve gráficamente:

181

y

f(x) A g(x) x=a

x=b

x

Figura 4.11.

Entonces:

Esta fórmula es válida, independientemente de que las curvas estén encima o debajo del eje x.

Ejemplos. Calcular el área entre las curvas.

Ejemplo 241 f (x) = 3x y g (x) = x2 las rectas x = 0, x = 2 Solución Verificar si f(x) ≥ g(x) y para esto se toma x = 1 que es un punto dentro del intervalo [0,2] y se sustituye en cada una de las funciones dadas, esta es: f (1) = 3 y g (1) = 1, para que se cumpla f (x) ≥ g(x)

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Ejemplo 242 y las rectas x = 0, x = 9 Soluciรณn y

Se tiene

Grรกficamente se ve:

y y1

9

x

y2

Figura 4.12

182

Martha

Leticia

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Hernรกndez

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Áreas 183

Ejemplo 243 y = 6x – x2 y y = x2 – 2x Solución Para encontrar las rectas x = a y x = b se igualan: 6x – x2 = x2 – 2x

2x2 – 8x = 0

x2 – 4x = 0 Factorizando: x(x – 4) = 0 Las rectas son x = 0, x = 4.

Ahora se toma un punto x = 1 para ver que parábola es mayor:

f(1) = 6(1) – 1 = 5

f(1) = (1)2 – 2(1) = –1, entonces

6x – x 2 > x2 – 2x

Ejemplo 244 y1 = 9 – x2 y y2 = x + 3

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Solución Igualando para encontrar las intersecciones:

9 – x2 = x + 3 x2 + x – 6 = 0 ⇒ (x–2)(x+3) = 0

⇒ x = 2, x = –3 Para verificar quién es mayor se toma x = 0 en [–3, 2] y se calcula en: y1 = 9 – 0 = 9 y2 = 0 + 3 = 3 ∴y 1 > y2 Entonces:

Ejemplo 245 y = x2 y y = x3 en [0, 1] Solución Sea f (x) = x2 y g (x) = x3 Se toma un punto de prueba dentro [0, 1] si no se tiene la seguridad de saber quien es la mayor f o g .

184

Entonces:

Martha

Leticia

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Hernández

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Áreas

185

De donde f (x) > g(x).

Como ya están dadas las rectas y , ya se puede integrar:

Se observa que es un área muy pequeña menor que la unidad.

4.8.3 Ejercicios: Resuelva las siguientes integrales: 1.

10.

2.

11.

3.

12.

4.

5.

6.

7.

13.

14.

15.

8.

16.

9.

17.

Calculo diferencial e integral1.indd 185

28/01/16 09:45

34.

18.

35.

19.

20.

MĂŠtodos de integraciĂłn: 36.

21.

37.

22.

38.

23.

39.

24.

40.

25.

41.

26.

42.

27.

43.

28.

29.

44.

30.

45.

31.

46.

32.

186

33.

Martha

47.

Leticia

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HernĂĄndez

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Áreas

48.

187

49.

49.

Calcular las áreas limitadas por las curvas, el eje horizontal y las rectas dadas: 51. y = x2, el eje x y las rectas y = 1, y = 4 52. y = 5x – x2, eje x en [0, 5] 53. y = x, eje x, x = 0, x = 4 54.

55.

, eje x, x = 0, x = 4 , eje x, x = 0, x = 6

56. y = 4x – x2, eje x 57. y = x2 – 4, eje x, 58. y = x2, eje x, x = 0, x = 2 59. y1 = x2 – 3, y2 = x2 – 1 en [0, 3] 60.

, y2 = x2

61. f(x) = 5x – x2, g(x) = x 62. f(x) = 12 – x2, g(x) = x2 –6 63. h(x) = x3 – x, f (x) = 3x 64. f(x) = cosx, desde x = 0 a

y el eje x

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Calculo diferencial e integral1.indd 188

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Ecuaciones diferenciales lineales Capítulo 5

Introducción Esta unidad se enfoca más a los procedimientos analíticos para encontrar la solución de una ecuación diferencial, en vista de que es para un nivel básico y pueda clasificarlas y solucionarlas; tomando en cuenta el corto tiempo con el que se dispone ya que no es un curso de ecuaciones diferenciales exclusivamente, se sabe que hay tecnología disponible como una computadora para obtener aproximaciones y gráficas de la solución de una ecuación diferencial y cuando el estudiante avance o desee avanzar en sus conocimientos y tome una especialidad tendrá el conocimiento mínimo necesario para expresar, plantear, solucionar, e investigar los fenómenos de: crecimiento poblacional, descomposición radioactiva, biología, astronomía, ingeniería, economía, etcétera. ¿Por qué esta amplia gama de aplicaciones?

Porque las ecuaciones diferenciales tienen la finalidad de ser un instrumento para el estudio de cambio en el mundo físico.

Se sabe que si y = f (x) es una función dada, su derivada

se puede interpretar

como el índice de cambio de y con respecto a x.

Cuando esta relación se expresa por medio de símbolos matemáticos, el resultado muchas veces es una ecuación diferencial.

5.1 Definición Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene derivadas 189

Calculo diferencial e integral1.indd 189

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Ejemplo 246

La variable dependiente en estas ecuaciones es y y la variable independiente es x o t, k y g son constantes.

5.2 Tipos de ecuaciones Ecuaciones diferenciales ordinarias: Es la que tiene una variable independiente y en consecuencia las derivadas son ordinarias.

Por lo tanto las ecuaciones del ejemplo anterior son ordinarias.

5.2.1 El orden de una ecuaci贸n diferencial corresponde al grado de la derivada m谩s alta que se encuentre en la ecuaci贸n.

Ejemplo 247 es de primer orden

190 Martha

Leticia

Calculo diferencial e integral1.indd 190

es de primer orden

Hern谩ndez

28/01/16 09:45

Ecuaciones

diferenciales

lineales

es de segundo orden

191

es de segundo orden

5.2.2 Ecuación diferencial parcial Es la que tiene más de una variable independiente, es por eso que las derivadas que se encuentran en ellas son parciales.

Ejemplo 248 Si w es una función de las tres variables x. y, z y el tiempo t w = f (x. y, z, t) Tenemos las siguientes ecuaciones diferenciales parciales: Conocida como Ecuación de Laplace

Las ecuaciones diferenciales parciales no se verán, ya que su teoría es distinta al estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias.

5.2.3 El grado de una ecuación diferencial está dado por la potencia a la cual está elevada la deriva de mayor orden.

Ejemplo 249 Primer orden, es de segundo grado

Calculo diferencial e integral1.indd 191

28/01/16 09:45

Primer orden, es de primer grado Segundo orden, es de primer grado

5.2.4 Ecuaciรณn diferencial lineal Si en una ecuaciรณn diferencial la variable dependiente y, y sus derivadas aparecen elevadas solamente a la potencia uno y no aparece ninguna potencia mayor ni un producto, la ecuaciรณn se llama lineal.

Ejemplo 250

5.2.5 Ecuaciรณn diferencial no lineal Si aparece un producto de la variable dependiente por una de sus derivadas, no es lineal.

Ejemplo 251

192 Martha

Leticia

Calculo diferencial e integral1.indd 192

Hernรกndez

28/01/16 09:45

Ecuaciones

diferenciales

lineales

5.3 Solución de una ecuación diferencial

193

Dada una función y = f (x) es solución de una ecuación diferencial dada si al sustituir, la derivada o derivadas de f (x) así como y en la ecuación diferencial se reduce a una identidad.

Ejemplo 252 , se puede comprobar que y(t) = 3et es una solución.

Sea la ecuación diferencial

Solución Para probar que es una solución se deriva y(t) y se sustituye en la ecuación diferencial y también se sustituye y, esto es:

Sustituyendo en

, se tiene que: 3et = 3et, es una identidad.

Ejemplo 253 Ahora sea y = sen x, no es una solución de Solución Demostración: Sustituyendo en (a) cos x ≠ sen x, luego no es una solución.

Ejemplo 254 Dada la ecuación diferencial soluciones.

, verificar que y = e2x y y = e3x son

Solución Para demostrarlo se toma primero y = e2x, se deriva por primera vez:

Calculo diferencial e integral1.indd 193

28/01/16 09:45

Se deriva por segunda vez:

Se sustituyen las derivadas en la ecuación diferencial dada: 4e2x – 5(2)e2x + 6e2x = 0

0=0 Ahora se toma la segunda y = e3x para ver que también es solución de o también se puede escribir:

Solución Se deriva por primera vez:

Se deriva por segunda vez:

Se sustituyen las derivadas en la ecuación dada:

∴ y = e3x y y = e3x son soluciones de la ecuación diferencial dada.

Ejemplo 255 Verificar que y = x2 + c es solución de la ecuación diferencial Solución Se deriva por primera vez: y se sustituye en la ecuación.

194 Martha

Leticia

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Hernández

28/01/16 09:45

Ecuaciones

diferenciales

lineales

∴ 2x = 2x es una igualdad o 0=0

195

Por lo tanto si es una solución.

5.3.1 Valor inicial Cuando se encuentran ecuaciones diferenciales en la práctica, pueden presentarse condiciones iniciales. Se busca una solución de la ecuación que presupone un valor dado en un tiempo particular.

A veces el tiempo particular considerado es t = 0 …por eso recibe el nombre de condición inicial.

Pero podría ser cualquier otro valor.

Ejemplo 256 Sea

con y(0) = 3

Solución El lado derecho sólo depende de t. Entonces hay que buscar una función cuya derivada sea t3 – 2sen t.

Este es un problema de antiderivadas o primitivas, entonces:

Luego la solución de la ecuación diferencial debe tener la forma: …(1) Ahora usando la condición inicial y(0) = 3 para encontrar c sustituimos en ecuación (1):

= 0 + 2(1) + c

= 2 + c

Calculo diferencial e integral1.indd 195

28/01/16 09:45

De donde 3 = 2 + c ∴c = 1 ∴La solución con el valor inicial es: , llamada también solución particular.

Y

es la solución general.

Ejemplo 257 Verificar que y = c1 sen 2x + c2 cos 2x es una solución de la ecuación diferencial Solución Derivando por primera vez:

Derivando por segunda vez:

Sustituyendo en

:

Simplificando:

0=0

Ejemplo 258 Dada la ecuación diferencial, encontrar la solución particular con la condición inicial dada. , y = 1 cuando x = 0 Solución

196

Martha

Leticia

Calculo diferencial e integral1.indd 196

Hernández

28/01/16 09:45

Ecuaciones

diferenciales

lineales 197

y = (sen x)2 + c, ahora se sustituye y = 1, x = 0

1 = sen2 (0) + c

∴ y = sen2 x + 1 es una solución particular.

⇒

c=1

5.4 Métodos de solución 5.4.1 Variables separables Una ecuación diferencial de primer orden y primer grado es de variables separables si sus variables con sus correspondientes diferenciales se pueden separar, para así poder integrar.

Es decir: Pdx + Q dy = 0, es una ecuación integrable si P es función de x únicamente y Q es función de y únicamente.

Así la ecuación tiene la solución general:

Y se dice que las variables están separadas con sus correspondientes diferenciales.

Ejemplo 259 La ecuación

es claramente separable.

Solución dx = yx dy, dividiendo entre ambos lados. , integrando

Calculo diferencial e integral1.indd 197

28/01/16 09:45

Hay en ambos lados una constante de integración, pero se pueden agrupar en una sola constante a la derecha.

Ejemplo 260 Resolver la ecuación diferencial 2ydx – xdy = 0 Solución Al dividir por xy, las variables se separan y se tiene:

También se puede escribir una ecuación diferencial lineal de primer orden y primer grado así: …(1) Y para separar las variables, se habla de un factor integrante, haciendo:

Sustituyendo en la ecuación (1) La ecuación queda:

y

…(2)

Al separar las funciones con sus correspondientes diferenciales, se tiene: como factor de integración 198 Martha

Leticia

Calculo diferencial e integral1.indd 198

Hernández

28/01/16 09:45

Ecuaciones

Y la ecuación (2) queda:

diferenciales

lineales 199

En donde se han separado las variables.

Ejemplo 261 Resolver la ecuación x(y+1)dy + y(x–1)dx = 0 Solución El factor integrante es

:

La ecuación queda:

Simplificando queda:

Ahora:

Integrando: Ejemplo 262 Resolver (x2+1)dy – (y2+1)dx = 0 Solución El factor de integración es:

Calculo diferencial e integral1.indd 199

28/01/16 09:45

Simplificando:

Ahora:

∴arctan(y) – arctan(x) = c Ejemplo 263 Resolver (x+1)dx + (x+2)dy = 0 Solución

Ejemplo 264 Resolver x4dx + (y+1)3dy = 0 200 Martha

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Calculo diferencial e integral1.indd 200

Hernández

28/01/16 09:45

Ecuaciones

diferenciales

lineales 201

Soluci贸n Se observa que las variables ya est谩n separadas, entonces:

o

4x5 + 5(y+1)4 = c Ejemplo 265 Resolver xy dx + (1+x2)dy = 0 Soluci贸n El factor de integraci贸n es:

Simplificando:

u = 1+ x 2 du = 2x dx

du = x dx 2

Entonces:

Calculo diferencial e integral1.indd 201

28/01/16 09:45

, también se puede escribir , se simplifica y se tiene

5.4.2 Ecuaciones diferenciales homogéneas Una ecuación f (x,y) es homogénea de grado n si:

Así podemos ver que las expresiones: x2 + xy,

,

Son homogéneas de grado 2, 1, y cero respectivamente. x2 + y2 – (xy2 – y3) No es homogénea 2

(x + y )dx + (x – y)dy = 0 No es homogénea Las ecuaciones homogéneas se pueden transformar en ecuaciones de variables separables haciendo un cambio en la variable dependiente así: y = vx ,

dy = vdx + xdv ó x = vy ,

Ejemplo 266 Resolver la ecuación diferencial 202 Martha

Leticia

Calculo diferencial e integral1.indd 202

Hernández

28/01/16 09:45

Ecuaciones

diferenciales

lineales 203

Solución

(x–y)dy = (y–4x)dx, es homogénea de grado 1, ya que la potencia de las variables de cada término es uno.

Utilizando el cambio: y = vx , dy = vdx + xdv Sustituyendo: Desarrollando: Simplificando:

(x–vx)(vdx–xdv) = (vx–4x)dx xvdx + x2dv – v2xdx = vxdx – 4xdx x2dv – v2 xdx – vx2 dv + 4xdx = 0

Factorizando:

x(–v2 +4)dx + x2(1–v)dv = 0

Separando las variables:

Integrando:

Como

Calculo diferencial e integral1.indd 203

28/01/16 09:45

Ejemplo 267 Resolver la ecuación diferencial (y2 –x2)dx + xydy = 0 Solución Es homogénea, ya que el grado de cada término es dos.

Sea y = vx,

, dy = vdx + xdv sustituyendo en la ecuación dada:

v2x2dx – x2dx + (x2v)(vdx + xdv) = 0

v2x2dx – x2dx + x2v2dx + x3vdv = 0

Agrupando: Factorizando: Factorizando:

2x2v2dx – x2dx + x3vdv = 0 (2x2v2 – x2)dx + x3vdv = 0 x2(2v2 – 1)dx + x3vdv = 0

Separando variables: 204 Martha

Leticia

Calculo diferencial e integral1.indd 204

Hernández

28/01/16 09:45

Ecuaciones

Integrando:

diferenciales

lineales 205

Si se quiere seguir simplificando:

2y2x2 – x4 = c1

2y2x2 = x4 + c

Ejemplo 268 Resolver la ecuación diferencial Solución Es homogénea de grado 1.

Utilizando el cambio: , dy = vdx + xdv

Calculo diferencial e integral1.indd 205

28/01/16 09:45

Sustituyendo en:

Desarrollando:

xdy = (2x – 6y)dx x[vdx + xdv] = [2v – 6vx]dx = 0 xvdx + x2dv – 2xdx + 6vxdx = 0

Agrupando términos con su diferencial correspondiente:

(7xv – 2x)dx + (x2)dv = 0 Factorizando:

x(7v – 2)dx + x2dv = 0

Separando variables:

Integrando:

Ejemplo 269 Resolver la ecuación diferencial Solución Es homogénea de grado 1 en cada uno de sus términos.

Utilizando: , dy = vdx + xdv 206 Martha

Leticia

Calculo diferencial e integral1.indd 206

Hernández

28/01/16 09:45

Ecuaciones

diferenciales

Sustituyendo se tiene: (x senv)(vdx + xdv) – (vx senv + x)dx = 0 Desarrollando:

lineales 207

xv senvdx + x2 senvdv – vx senvdx – xdx = 0

Simplificando queda:

x2 senvdv – xdx = 0

Separando variables:

Integrando:

Ejemplo 270 Resolva la ecuación diferencial (x3 + y3)dx + 3xy2dy = 0 Solución Utilizando el cambio de variable

, dy = vdx + xdv

Sustituyendo: Desarrollando:

Calculo diferencial e integral1.indd 207

(x3 + v3x3)dx + [3x(v2x2)](vdx + xdv) = 0 x3dx + v3x3dx + (3x3 v2)(vdx + xdv) = 0 x3dx + v3x3dx + 3x3 v3dx + 3x4 v2dv = 0 4x3v3dx + v3x3dx + 3x3 v3dx + 3x4 v2dv = 0

28/01/16 09:45

Factorizando con las diferenciales: (4x3v3 + x3)dx + 3x4v2dv = 0 Factorizando x3:

x3(4v3 + 1)dx + 3x4v2dv = 0

Separando variables:

Integrando:

Se puede continuar simplificando el resultado, dependiendo de lo que se busca, o para valores a la frontera se puede encontrar el valor c.

4y3x + x4 = c2 4y3x + x4 = c Ejemplo 271

208

Resolver la ecuaci贸n diferencial Martha

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Calculo diferencial e integral1.indd 208

Hern谩ndez

28/01/16 09:45

Ecuaciones

diferenciales

lineales 209

Solución

2xy dy = (3y – x )dx 2

2

Es una ecuación homogénea de grado 2.

Utilizando el cambio de variable , dy = vdx + xdv Sustituyendo: Desarrollando:

(2x2v)(vdx + xdv) = (3v2x2 – x2)dx 2x2v2dx + 2x3vdv) = 3v2x2dx – x2dx 2x2v2dx – 3v2x2dx + x2dx + 2x3vdv = 0

Simplificando y factorizando: (–v2x2 + x2)dx + 2x3vdv = 0 Factorizando:

x2(–v2 + 1)dx + 2x3vdv = 0

Separando variables:

Calculo diferencial e integral1.indd 209

28/01/16 09:45

5.4.3 Ecuaciones diferenciales exactas 5.4.3.1 Derivadas parciales de funciones de dos variables.

Definición.- Sea f una función de dos variables x y y.

La derivada parcial de f con respecto a x, es una función representada por D1f o , tal que su valor en cualquier punto (x, y) en el dominio de f se escribe:

Si este límite existe.

Y la derivada parcial de f con respecto a y es:

Si este límite existe Notación para la derivada parcial.

Dx,

, f, etc.

Dadas las funciones siguientes, determinar las derivadas parciales con respecto a x y a y.

Ejemplo 272

f(x, y) = 5x2y3 + x2y2 + 3xy

Solución Para derivar parcialmente con respecto a x, la variable y queda fija como constante, cuando se presenta un producto, análogamente con respecto a y.

210 Martha

Leticia

Calculo diferencial e integral1.indd 210

Hernández

28/01/16 09:45

Ecuaciones

diferenciales

lineales 211

Ejemplo 273

Soluci贸n

Ejemplo 274

Soluci贸n

Ejemplo 275

f(x, y) = x + y cos x

Soluci贸n

Calculo diferencial e integral1.indd 211

28/01/16 09:45

Ejemplo 276

f(x, y) = yexy

Solución

; como está en

Para

, se considera la derivada del producto

Ejemplo 277

f(x, y) = 2cos(2x – y)

Solución

Ahora se describe una clase de ecuaciones, llamadas ECUACIONES EXACTAS, para las cuales se tiene un método de solución.

Una condición necesaria y suficiente para que la ecuación: M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0…(1)

212 Martha

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Calculo diferencial e integral1.indd 212

Hernández

28/01/16 09:45

Ecuaciones

diferenciales

lineales

Sea exacta es:

213

Para encontrar la solución de una ecuación diferencial exacta se tiene el siguiente método: 1. Se considera Donde ϕ(y) es una función a determinar.

2. Se deriva parcialmente con respecto a y.

Y este resultado se iguala con N(x, y) es decir: 3.

4. Despejar:

5. Integrar para encontrar ϕ(y) y este resultado de ϕ(y) se agrega al punto 1.

Resuelva las ecuaciones diferenciales exactas siguientes: Ejemplo 278

(2x – y)dx + (2y – x)dy = 0

Solución Verificamos si es exacta: Sea M(x, y) = 2x – y y N(x, y) = 2y – x

Calculo diferencial e integral1.indd 213

28/01/16 09:45

Ahora y De donde

Ahora: 1.

2.

3.

4. dφ (y) = 2y dy 5. Integrando

214

φ(y) = y2, que se sustituye en: F(x, y) = x2 – yx + φ(y), teniendo la solución general F(x, y) = x2 – yx + y2 + c Martha

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Calculo diferencial e integral1.indd 214

Hernández

28/01/16 09:45

Ecuaciones

Ejemplo 279

diferenciales

(2xy3 – 4y + 4x – 3)dx + (3x2y2 – 4x)dy = 0

lineales 215

Solución Sea M(x, y) = 2xy3 – 4y + 4x – 3 N(x, y) = 3x2y2 – 4x

∴ Se cumple Ahora se procede a encontrar la solución general.

1.

F(x, y) = x2y3 – 4xy + 2x2 – 3x + φ (y)

2. Se deriva parcialmente con respecto a y

Despejando: ∴φ(y) = c

∴ F(x, y) = x2y3 – 4xy + 2x2 – 3x + c

Calculo diferencial e integral1.indd 215

28/01/16 09:45

Ejemplo 280

(16xy – 3x2)dx + (8x2 + 2y)dy = 0

Solución M(x, y) = 16xy – 3x2 N(x, y) = 8x2 + 2y

∴Es una ecuación diferencial exacta.

Ahora:

F(x, y) = 8x2y – x3 + φ(y) …(a)

dφ(y) = 2y dy

Integrando: φ(y) = y2, sustituimos en (a) y la solución general es: F(x, y) = 8x2y – x3 + y2 + c Ejemplo 281

(ex + y)dx + (ey + x)dy = 0

Solución M(x, y) = ex + y N(x, y) = ey + x 216 Martha

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Hernández

28/01/16 09:45

Ecuaciones

diferenciales

lineales 217

∴

, luego es exacta.

Ahora se procede a encontrar la solución general.

1.

2.

Despejando:

Integrando:

φ(y) = ey ∴F(x, y) = ex + xy +ey + c c = ex + xy +ey Ejemplo 282

(y + ycos xy)dx + (x + xcos xy)dy = 0

Solución Sea M(x, y) = (y + ycos xy) y N(x, y) = (x + xcos xy)

Calculo diferencial e integral1.indd 217

28/01/16 09:45

∴

, de donde es exacta.

Ahora:

Es decir:

Integrando:

Ejemplo 283

φ(y) = c ∴ F(x, y) = xy + sen (xy) + c (ex sen y – 2y senx)dx + (ex cos y + 2 cos x)dy = 0

Solución

M(x, y) = ex sen y – 2y sen x N(x, y) = ex cos y + 2 cos x

218 Martha

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Hernández

28/01/16 09:45

Ecuaciones

diferenciales

lineales 219

∴

, es exacta.

Ahora:

Despejando:

Integrando: φ(y) = c ∴ F(x, y) = ex sen y + 2y cos x + c 5.4.4 Ecuaciones diferenciales lineales La ecuación diferencial

Calculo diferencial e integral1.indd 219

28/01/16 09:45

Donde P y Q son funciones de x es una ecuación lineal.

Análogamente si se intercambian las variables x y y se tiene:

Nota. Las funciones P y Q pueden ser funciones constantes.

Para encontrar la solución de la ecuación (β) se necesita un factor de integración dado por . Para esto se hace el siguiente procedimiento: En forma equivalente se puede escribir la ecuación (β) como: dy + yP(x)dx = Q(x)dx Ahora multiplicando por el factor integrante mencionado anteriormente se tiene:

Pero:

Entonces:

Integrando se obtiene:

Despejando y se tiene la solución de la ecuación diferencial lineal

Análogamente se tiene al intercambiar las variables x y y, se tiene la solución de la ecuación diferencial lineal.

220 Martha

Leticia

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Hernández

28/01/16 09:45

Ecuaciones

diferenciales

Resolver las ecuaciones diferenciales lineales siguientes:

lineales 221

Ejemplo 284 Soluci贸n Dividiendo entre x se tiene: Equivalentemente:

Donde:

y Q(x) = 4x

es el factor integrante.

Ahora Se observa que: Ahora se calcula:

Por lo tanto la soluci贸n general es: , simplificando:

Calculo diferencial e integral1.indd 221

28/01/16 09:45

Ejemplo 285

Soluci贸n

Se observa que: y

Q(x) = x

El factor integrante es: Ahora se calcula:

De donde la soluci贸n es:

Simplificando:

Ejemplo 286 222 Martha

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Calculo diferencial e integral1.indd 222

Hern谩ndez

28/01/16 09:45

Ecuaciones

diferenciales

lineales 223

Soluci贸n

Dividiendo entre x2

De donde:

y

Q(x) = x2 + 1

Ahora el factor integrante queda:

Luego:

Como

Entonces

Calculo diferencial e integral1.indd 223

28/01/16 09:45

Simplificando: o

Ejemplo 287

Soluci贸n

P(x) = cosx

y

es el factor integrante.

Ahora:

Utilizando la integraci贸n por partes: u = sen x dv = esen x cos xdx du = cos x v = esen x

Ejemplo 288 224 Martha

Leticia

Calculo diferencial e integral1.indd 224

Hern谩ndez

28/01/16 09:45

Ecuaciones

Soluci贸n P(x) = cosx y

diferenciales

lineales 225

Q(x) = x + 4x 2

El factor integrante queda: Ahora:

Utilizando integraci贸n por partes: Para I1:

u = x2

dv = e3x dx

du = dx

Para I2:

u = x2

dv = e3x dx

du = dx

Calculo diferencial e integral1.indd 225

28/01/16 09:45

Ahora I1 + I2

Entonces la soluci贸n general es:

Ejemplo 289 Soluci贸n

P(x) = 3x

y

El factor integrante queda:

Ahora: 226 Martha

Leticia

Calculo diferencial e integral1.indd 226

Hern谩ndez

28/01/16 09:45

Ecuaciones

diferenciales

lineales 227

Ya que:

du = xdx

Ejemplo 290

SoluciĂłn

Dividiendo entre x â&#x20AC;&#x201C; 2

De donde:

Y el factor integrante queda:

Ahora:

Calculo diferencial e integral1.indd 227

28/01/16 09:45

De donde:

∴ y = (x2 – 4x)(x – 2) + c(x – 2)

5.5 Ejercicios: Resuelva las ecuaciones diferenciales siguientes: 1. x2 dy – y2 dx = 0 2. x(y + 1)dx + y(x – 1)dy = 0 3. (x2 + 1)dy – (y2 + 1)dx = 0 4. sen x dy + ydx = 0 5. (x3 + x)y dy + ydx = 0 6. (1 – y2)dx – (1 – x2)dy = 0 7.

8. x10 dy + y4 dx = 0 9. (y2 – x2)dx – 2xy dy = 0 10.

11.

12.

228

13. y2 dx – (x2 + y2) dy = 0 Martha

Leticia

Calculo diferencial e integral1.indd 228

Hernández

28/01/16 09:45

Ecuaciones

diferenciales

lineales 229

14.

15.

16. (2x + y)dx + (x – 2)dy = 0 17. (y2 – 4xy)dx + (2xy – 2x2)dy = 0 18. ex(y dx + dy) = 0 19.

20.

21.

22.

23.

24. (2y2 – 4x + 5)dx – (4 – 2y – 4xy)dy = 0 25. (senx seny – xey)dy + (ey + cosx cosy)dx = 0 26. (3x2 – 2xy + 2)dx + (6y2 – x2 + 3)dy = 0 27. (9x2 + y – 1)dx – (4y – x)dy = 0 Verificar que las funciones son soluciones de las ecuaciones diferenciales: 28.

, de

29. y = x2 + c, de 30. y = ax2, de

Calculo diferencial e integral1.indd 229

28/01/16 09:45

31. x2 + y2 = c, de Encuentre la soluci贸n general de: 32.

33.

34.

Encuentre la soluci贸n particular de: , y = 3 cuando x = 1

35.

230 Martha

Leticia

Calculo diferencial e integral1.indd 230

Hern谩ndez

28/01/16 09:45

Apéndice 1

Repaso álgebra básica

Propiedades de los exponentes 1. Si a es un número real y n es un entero positivo an = a · a · a…a, n veces 2. Si a y a son números reales, m y n enteros positivos

an · am = an+m

(an)m = anm

(a b)n = anbn , (b≠0)

a0 = 1

(Cuando n es par)

231

Calculo diferencial e integral1.indd 231

28/01/16 09:45

Propiedades de los radicales 3. Si a y b ∈°, entonces:

, b≠0

, a ≥ 0, b ≥ 0, n Par Racionalizar el denominador del radical

Conjugado del denominador de una fracción

Formula cuadrática 232

4. Si f(x) = ax2 + bx + c con ax2 + bx + c ≥ 0 Martha

Leticia

Calculo diferencial e integral1.indd 232

Hernández

28/01/16 09:45

Apéndice

Entonces:

1 233

5. Factores utilizados

x2 – a2 = (x – a)(x + a)

x3 – a3 = (x + a)(x2 – ax + a2) x3 – a3 = (x – a)(x2 + ax + a2) x4 – a4 = (x2 – a2)(x2 + a2)

6. Binomios utilizados

(x + y)2 = x2 + 2xy + y2

(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 (x + y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y + 4xy3 + y4 (x – y)2 = x2 – 2xy + y2 (x – y)3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3 (x – y)4 = x4 – 4x3y + 6x2y – 4xy3 + y4

7. Operaciones básicas

ab + ac = a(b + c)

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8. TrigonometrĂ­a

Opuesto

sa nu e t po Hi

Îą Adyacente

9. Identidades

10. Identidades

234

Martha

Leticia

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sen2 x + cos2 x = 1 1 + cot2 x = csc2 x 1 + tan2 x = sec2 x

HernĂĄndez

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Apéndice 2 Autoevaluación 1

1. Resuelva: a) 8x + 14 ≥ 3

b) |x + 8| ≥ 3

2. Encuentre el dominio, rango y grafique

a)

b) y = x – (2x + 3)

3. Determinar:

a)

b)

es continua en x = 2

4. Determine si 5. Derive:

a)

b)

235

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Apéndice 3 Autoevaluación 1

1. Encuentre los máximos y mínimos, si existen, así como los intervalos donde f (x) es creciente o decreciente y bosqueje su gráfica.

Resuelva las siguientes integrales: 2.

3.

4.

5. Encontrar el área de la región limitada por y = x3 + 6x2 + 8x y el eje x

Autoevaluación 2 1. Encuentre los máximos y mínimos, si existen, así como los intervalos donde f (x) es creciente o decreciente.

237

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Resuelva las siguientes integrales: 2.

3.

4.

5.

6. Encontrar el área bajo la curva y = –x2 + 9x y el eje horizontal,

Autoevaluación 3 1. Encuentre los intervalos donde f(x) es creciente y aquellos donde es decreciente así como sus valores máximos y mínimos; con esta información trace la gráfica.

Resuelva las siguientes integrales: 2.

b)

3.

4.

238

5. Encontrar el área entre las curvas: y = 2x2 – x2 y Martha

Leticia

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y = –x

Hernández

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Apéndice

3

Autoevaluación 4

239

1. Encuentre los máximos y mínimos, si existen, utilizando el criterio de la primera derivada de: f(x) = x3 – 12x + 5 Resuelva: 2.

3.

4.

5.

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Apéndice 4 Autoevaluación 1

Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales: 1. xydx + (1 + x2)dy = 0 2. (x2 – y2)dx + 3 xydy = 0 3. (x3 – xy2)dx + (x2y + y3)dy = 0 4.

5.

Bernoulli

6.

7. Calcule el área entre las curvas: f1(x) = x2 – 4x + 3 y g1(x) = 2x2 + 2x + 3

Autoevaluación 2 1. Obtener el área limitada por las curvas: y = 6x – x2 y y = x2 241

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2.

3.

4. (–20xy2 + 6x)dx + (3y2 – 20x2 y)dy = 0 5.

6.

7. (x senx – y)dx – xdy = 0

Autoevaluación 3 1. Encontrar el área de la región acotada por las curvas: y1 = –x2 – 6x – 5 y y2 = x2 – 6x + 9 2. Demostrar que la función y = C1e2x + C2ex es una solución de la ecuación diferencial Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: 3. 2ydx + (xy + 5x)dy = 0 4.

5.

6. (2x – 3y)dx + (2y + 3x)dy = 0 242 Martha

Leticia

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Hernández

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Apéndice

4

7.

243

Autoevaluación 4 1. Demuestre que y = xex es una solución de la ecuación diferencial

Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales: 2.

3. xy4dx + (y2 + 2)e–3xdy = 0 4. (x + y)dx – (x – y)dy = 0 5. 2cos(2x – y)dx – cos(2x – y)dy = 0 6. Encuentre el área bajo la curva y = x3 – 27x desde x = 0 hasta x = 3 y el eje horizontal.

Autoevaluación 5 1. Encuentre el área de y = |x| de x = –1 hasta x = 1 Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales: 2.

3.

4. (12x2y2 + 2)dx + 8x3 ydy = 0 para las condiciones x = 2, y = 1

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5.

6. (5y + 4)dx + (x2 – x)dy = 0

Autoevaluación 6 1. Encuentre el área entre las curvas y1 = x2 y

y2 = –x2 + 4x

Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales: 2.

3. xydx + (x2 + y2)dy = 0 4.

5.

Autoevaluación 7 Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales: 1.

2. xydx + (x2 + 3y2)dy = 0 3. (2x3 + xy2 + 2y + 3)dx + (x2 y + 2x)dy = 0 4.

5.

244 Martha

Leticia

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Hernández

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Apéndice

Autoevaluación 8

4 245

1. Calcular el área entre las curvas y = x2 – 2 y y = –x2 + 6 Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales: 2.

3.

4. (5x + 4y)dx + (4x – 8y 3)dy = 0 5.

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Apéndice 5 Autoevaluación 1

1. Encontrar los valores de las constantes c y k para que la función sea continua en °

2. Calcular a)

de: Utilizando propiedades de los logaritmos

b) x3 + y3 – 3axy = 0 3. Encuentre los máximos, mínimos, puntos de inflexión, concavidades y bosqueje la gráfica de: y = x3 – 16x 4. Resuelva la ecuación diferencial

5. Resuelva la ecuación diferencial:

247

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Autoevaluación 2 1. Resuelva la desigualdad.

2. Encuentre los máximos y los mínimos si existen aplicando el criterio de la primera derivada f(x) = x3 – 3x2 + 4 3. Resuelva la integral.

4. Resuelva la integral.

5. Calcule el área de x2 + y2 = 9 y la parte positiva del eje x.

6. Resuelva la ecuación diferencial.

7. Resolver la ecuación diferencial.

Autoevaluación 3 1. Resuelva la ecuación diferencial , c1 y m son constantes 2. Resuelva la ecuación diferencial 248 Martha

Leticia

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Hernández

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Apéndice

5

3. Calcular el área entre las curvas y = 2x – x2 y y = –x 4. Si a) b) c)

249

f (x) = 3x3 – 81x – 6 encuentre: Los máximos y mínimos.

Los intervalos donde f es creciente y/o decreciente Grafique

5. Resuelva las siguientes integrales

a)

b)

6. Demuestre que si y = mx + b es continua en los reales con m y b constantes

Autoevaluación 4 1. a) Encontrar el conjunto solución de: 2(12 + x) < x2 b) Calcular

2. Encontrar

si:

a)

b) x3 – 3x2 y + 2xy2 = 12 3. Encontrar los máximos y mínimos si existen y graficar:

4. Encontrar el área limitada entre la recta y = x – 5, el eje x y y las rectas x = 0, x = 15.

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5. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales

a) (x3 + xy2)dx + (x2 y + y 3)dy = 0

b) (x – y)ydx – x2 dy = 0

Autoevaluación 5 1. a) Encontrar el conjunto solución de 7x + x2 ≥ 3(2x + x2)

b) Encuentre el dominio, rango y grafique 2. Calcule: a)

b) 3. a) Demuestre si es continua f (x) = x2 + 4x + 5 en x = 1

b) Derive 4. Encuentre los máximos y mínimos si existen y grafique f(x) = x4 – 4x3 + 4x2 + 6 5. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales: a) x3dy + y4dx = 0

b)

250 Martha

Leticia

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Hernández

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Apéndice

5

Autoevaluación 6

251

1. a) Encontrar el conjunto solución de:

b) Encontrar el valor de a para que f sea continua en x = 2

2. Encontrar los máximos y los mínimos, los intervalos donde la función es creciente y decreciente y trazar la gráfica de:

3. Encuentre el área bajo la curva de y = x3 – 4x y el eje x 4. Resolver 5. Resolver la ecuación diferencial ex(y – 1)dx + 2(ex + 4)dy = 0 6. Resolver la ecuación diferencial

7. Resolver la ecuación diferencial:

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Autoevaluación 7 1. Derivar a) b)

, encuentre los puntos críticos y los máximos y mínimos, si exis-

2. Si ten.

3. Resolver

4. Calcular el área acotada por las gráficas y = x2, y y = 2 – x y las rectas x = 0, x = 1 y x = 2.

5. Resolver la ecuación diferencial: , con

Autoevaluación 8 1. Encuentre el dominio, rango y gráfica de la función

2. Calcular a)

252

b)

Martha

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Hernández

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Apéndice

5

3. Encuentre los máximos y mínimos si existen, así como los intervalos donde es creciente o decreciente y grafique

253

y = x2 + 3x – 10

4. Resuelva: a)

b)

5. Resuelva la ecuación diferencial

Autoevaluación 9 1. Dada f(x) = x3 – 4x; trace la gráfica, encuentre el dominio y el rango de la función.

2. Calcular a) b) Demuestre si

es continua y trace la grafica

3. Encuentre los máximos y mínimos si existen, así como los intervalos donde es creciente o decreciente y grafique y = x3 – x 4. Calcular

5. Resuelva la ecuación diferencial (x2 – y2)dx + 3xydy = 0

Autoevaluación 10 1. a) Encuentre el conjunto solución: 4x + 8 < 10x – 2 ≤ 12x + 6

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b) Encuentre el dominio y el rango de f (x) = x2 – 4 2. Calcular a)

b)

3. a) Demuestre si la función es continua en x = 4

b) Derive 4. a) Si y = –x2 + 9x, calcule los puntos críticos, y los intervalos donde es creciente y decreciente. b) Calcule el área bajo la curva dada, y el eje x 5. a) Calcule b) Resuelva la ecuación diferencial:

Autoevaluación 11 1. Resuelva:

a) b) Encuentre el dominio, rango y gráfica de:

254 Martha

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Hernández

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Apéndice

5

2. Calcular

255

a) b)

3. Para que valor de la función es continua en los reales

4. Encuentre los máximos y mínimos si existen de: y = 4x5 – 5x4 + 4 5. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales a) (1 – x)dy = y2dx b)

Autoevaluación 12 1. a) Resuelva b) Encuentre el dominio y rango de f (x) = –3x2 + 2 2. Calcule: a)

b) Derive 3. Encuentre los máximos y mínimos y los intervalos donde es creciente o decreciente y la gráfica de y = x3 – 3x.

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4. Calcule el área entre las curvas y = x y y = x2 y el eje horizontal.

5. Resuelva la ecuación diferencial (x3 – y3)dx + 3x2 ydy = 0

Autoevaluación 13 1. Encuentre el dominio, rango y gráfica de 2. Calcular a)

b) Derive 3. Encuentre los máximos y mínimos, si existen, así como los intervalos donde es creciente o decreciente y grafique f (x) = x3 – 3x2 + 1 4. Calcule el área bajo la curva y = x3 – 6x2 + 8x y el eje horizontal.

5. Resuelva la ecuación diferencial

Autoevaluación 14 1. Resuelva

2. a) Encuentre dominio, rango y gráfica de:

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Leticia

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Hernández

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Apéndice

b)

257

es continua en t = 2

3. Demuestre si:

4. a) Resuelva

5

b) Calcule el área de la región limitada por y = x desde x = 2 a x = 8 5. Resuelva la ecuación diferencial homogénea ydx – (x + y)dy = 0

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Índice analítico

A

C

Antideriva Área bajo una curva Área entre dos curvas Autoevaluaciones Apéndices 1 2 3 4 5 Conjunto Finito.

Infinito.

Vacío.

Universal.

Iguales.

Complemento.

Contradominio.

Continuidad.

Criterio primera derivada.

Creciente.

259

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D

E

F

260

Diferencia.

Desigualdades.

Cuadráticas.

Con valor absoluto.

Dominio.

Definición función.

Derivada(s).

De funciones compuestas.

Trascendentes.

Exponenciales.

Trigonométricas.

Decreciente.

Ecuaciones diferenciales.

Ecuaciones diferenciales Separables.

Homogéneas.

Exactas.

Lineales.

Función(es) Constante.

Lineal.

Cuadrática.

Cubica.

Con raíz cuadrada.

Racionales.

Valor absoluto.

Escalonadas.

Operaciones.

Trascendentes.

Logaritmo natural.

Exponencial.

Seno, coseno, tangente.

Martha

Leticia

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Hernández

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Índice

Crecientes, decrecientes.

Fórmulas integración.

H

analítico 261

Homogéneas.

I

Intersección.

Intervalos.

Integral(es) Indefinida.

Inmediatas.

Por cambio de variable.

De funciones trigonométricas.

Integración Por partes.

Por fracciones parciales.

Integral definida.

L

M

Límites.

Teoremas.

Indeterminados.

Laterales.

Infinitos.

Al infinito.

Lineal.

Lineales.

Mínimo relativo.

Máximo relativo.

Métodos de integración.

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Bibliografía

• Cálculo I. Larson. Hostetler Edwards McGraw-Hill. Octava edición 2006 • Cálculo con geometría analítica. Dennis G. Zill Grupo Editorial Iberoamérica • Cálculo. Robert T. Smith. Roland B. Minton McGraw Hill. 2000 • Cálculo con Geometría Analítica. Edwin J. Purcell. Dale Varberg Prentice Hall. Cuarta edición. 1987 • Cálculo con Geometría Analítica. Thomas I Finney Addison-Wesley Iberoamericana. Sexta edición. 1987.

•

Fundamentos de Cálculo Diferencial e Integral Rodolfo Matus Quiroz Sara Rodríguez Mercado Ernesto García García Libudi SA de CV, 2005

• Ecuaciones diferenciales. F Simmnons McGrawHill. 1977 • Ecuaciones diferenciales. Frank, Ayres, Jr. Schaum Publishing Co. 263

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Cálculo diferencial e integral Martha Leticia Hernández

Impreso en los Talleres Gráficos de la Dirección de Publicaciones del Instituto Politécnico Nacional, Tresguerras 27, Centro Histórico, Deleg. Cuauhtémoc, CP 06040, México, DF Agosto de 2015. Edición 500 ejemplares.

Teófila Amayo Pérez

Corrección y cuidado editorial

Paula Maldonado Canchola Diseño de formación

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