Estadistica basica by Pablo Jhosfran

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

Gracias por su exigencia, dedicación y por seguir contribuyendo en la enseñanza del Perú.

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ESTADÍSTICA BÁSICA

Queremos dedicar este trabajo a nuestro profesor, licenciado Calderón Otoya, Carlos por habernos permitido aumentar nuestros conocimientos llevándonos por el camino del éxito profesional. Queremos agradecer a nuestro profesor porque durante este ciclo ha dedicado su esfuerzo a enseñarnos estadística, siempre con una prioridad constante que fue la calidad de la enseñanza. Siempre lo recordaremos con cariño.

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INTRODUCCIÓN

La Estadística es la ciencia que se encarga de recoger, organizar e interpretar los datos. Es la ciencia de los datos. En la vida diaria somos bombardeados continuamente por datos estadísticos: encuestas electorales, economía, deportes, datos meteorológicos, calidad de los productos, audiencias de TV. Necesitamos una formación básica en Estadística para evaluar toda esta información. Pero la utilidad de la Estadística va mucho más allá de estos ejemplos. La Estadística es fundamental para muchas ramas de la ciencia desde la administración a la medicina. Pero sobre todo, y en lo que a nosotros importa, es esencial para interpretar los datos que se obtienen de la investigación científica. Es necesario leer e interpretar datos, producirlos, extraer conclusiones, en resumen saber el significado de los datos. Es por lo tanto una herramienta de trabajo profesional. El objetivo fundamental de la estadística es obtener conclusiones de la investigación empírica usando modelos matemáticos. A partir de los datos reales se construye un modelo que se confronta con estos datos por medio de la Estadística. Esta proporciona los métodos de evaluación de las discrepancias entre ambos. Por eso es

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necesaria para toda ciencia que requiere análisis de datos y diseño de experimentos.

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En el presente trabajo el objetivo principal es presentar un informe sobre la Estadística de una manera didáctica, ya que en ella veremos una variedad de problemas resueltos, para que de esta manera permita a los estudiantes una mayor información. En lo que respecta al contenido del trabajo, veremos los temas básicos que son de uso casi obligado en el análisis estadístico. En él se tendrá un panorama bastante completo del uso apropiado de los términos y las técnicas estadísticas descriptivas, para que el estudiante pueda usar la metodología estadística, como base para la

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investigación en el campo de su competencia.

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ESTADÍSTICA GENERAL 1. RESEÑA HISTÓRICA La estadística nace con las primeras agrupaciones humanas y con un poco de imaginación diríamos que apareció con el instituto de posesión o propiedad que obligó al hombre a contar sus presas o enemigos derrotados como marcando la cantidad en un palo, una piedra o mediante muestras o tarjas, la estadística es tan antigua como la humanidad misma, así tenemos que: En Egipto se hacían recopilaciones de datos para la mejor administración estatal. Los hebreos utilizaron datos estadísticos como lo menciona la Biblia en el censo que realizó Moisés. En China en el año 1958 el emperador Yao dispuso el levantamiento de un censo. En Roma, se levantan registros de números de los que más tienen con fines tributarios tal como lo demuestra el historiador latino Tacito, quien cuenta que el emperador Augusto ordenó una encuesta sobre las riquezas del imperio y enumeró a los soldados navíos, recursos de toda clase y las rentas públicas. Los romanos, realizaban censos de población, registraban recuentos de nacimientos y defunciones. En la Edad Mediase encuentran las estadísticas sistematizadas, el clero se dedicó a la recopilación, ordenación y presentación de datos de un estudio de tipo demográfico. En el siglo XV durante el gobierno de los reyes católicos y en el siglo XVIen el reinado de Felipe II y siguientes, se realizaron censos

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relativamente exactos.

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En América es posible encontrar algunos antecedentes estadísticos en la época precolombina, en el Imperio de los Incas notamos la estadística, donde mediante los quipus se registraron datos de la población por cantidad, edad, sexo, nacimientos y defunciones, conociendo todos los detalles de las diversas ramas de la administración. En el Imperio Incaico existía la costumbre de registrar todos los hechos demográficos y socioeconómicos lo cual permitió desarrollar técnicas de recopilación y archivos de datos.

Los antecedentes históricos de la estadística se encuentran fundamentalmente en la demografía. Considerándose recién a mediados del siglo XVII a la estadística como una disciplina independiente.

2. Evolución y alcance de las Escuelas Estadísticas A lo largo de la edad media y a partir del siglo XVII la estadística tuvo varias tendencias; por lo cual los estadísticos se dividieron en las siguientes tendencias:

La Escuela Reflexiva

La Escuela Matemática

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La Escuela Descriptiva

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a) LA ESCUELA DESCRIPTIVA Representada por la Escuela Descriptiva Alemana, siendo el principal representante Gott Fried Achenval (1719 – 1772) profesor de la universidad de Gottingen, es considerado por los alemanes como el precursor de la Estadística Moderna, fue el que dio el nombre de estadística a esta nueva disciplina basándose en el origen etimológico staat ( estado). En Alemania se creó por primera vez la cátedra de estadística como una descripción de los fenómenos pertenecientes al Estado según orientación Vitto de Secrendoff (1626 – 1689) y de Hernan Goinring(1606 – 1681) en 1660 empezó a dictar un curso de estadística en la universidad de Helmstad.

B.- LA ESCUELA REFLEXIVA En los siglos XVII y XVIII se ensaya a fundamentar predicciones y leyes sobre la proximidad de ciertos fenómenos sociales, basándose en la reflexión sobre las descripciones estadísticas. Los fenómenos sociales o estudios demográficos fueron impulsados por el Pastor Alemán Johann Peter Süssmilch (1707 - 1767) y en el siglo XVIII Antoine De Parciex (1703 – 1778) construye las primeras tablas de mortalidad, punto de partida del negocio de los seguros.

Quetelet (1796 - 1894) Puede ser considerado como iniciador de la cual sociometría al aplicar los métodos estadísticos al estudio de las cualidades físicas, morales e intelectuales de los seres humanos. La biometría que modernamente con

leyes estadísticas sobre la herencia. LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

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tienen como precursor a Gregorio Mendel (1822 - 1882), descubridor de las

Galten 1822 – 1911) y Karl Pearson (1857 – 1936) han llevado a su desarrollo,

Por la misma época nace en Inglaterra la “escuela demográfica” o de los “Aritméticos Políticos”, quienes se proponían determinar de forma cuantitativa las leyes empíricas que regían el comportamiento de los fenómenos políticos y sociales. Entre los maestros de esta escuela destacaron: WillianPetty (1623-1687) Edmundo de Halley (1662-1742) King y Devenaud JhonGraunt (1620- 1674)

C.- LA ESCUELA MATEMÁTICA En los siglos XVII y XVIII se inicia la tercera tendencia cuya evolución superior conduciría a lo que modernamente constituye la estadística matemática. Se originó en Francia la escuela probabilística en los problemas de juego de azar planteados a BLAS PASCAL (1623 -1647) por el caballero DE MERE (jugador y mat emático aficionado). La solución

est os

problemas

motivo

auge

del

cálculo

las

probabilidades con destacada participación de FERMAT (1601 -1665). Puede considerarse como iniciadores de la estadística matemática a JAQUES BERNOULLI (1645 -1705) y LAPLACE (1749 -1827) , el primero con sus obras “Ley de los Grandes Números” y el segundo mediant e “T eoría

Analítica

las

Probabilidades”

que

coordinan

los

da tos

numéricos descriptivos de un fenómeno con el cálculo matemático. Durante el siglo XIX el trabajo estadístico se caracterizó por el estudio de grandes masas de datos la idea básica era la recopilación completa de datos. Pero a principios del siglo XX y específicamente alrededor de los años 30 se reproduce un nu evo giro en el desarrollo de la estadística

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las características de las poblaciones para ser generalizadas.

al ser reemplazada las poblaciones o universo por muestras que reúnan

3. PERSONAJES QUE CONTRIBUYERON CON EL DESARROLLO DE LA ESTADÍSTICA

 ZENÓN. 494 ANTES DE J.C.

Filósofo griego nacido en Elea (actualmente la ciudad italiana de Velia) y no hay datos sobre su muerte. Zenón se presenta como uno de los pensadores griegos con cuatro famosas paradojas que, en conjunto, parecían negar la posibilidad del movimiento tal y como lo conciben los sentidos, proponiendo una serie de argumentos para demostrar

inconsistencia

los

conceptos

divisibilidad y multiplicidad. Estas cuatro paradojas son: 1.- La de Aquiles: se supone que Aquiles puede correr diez veces más rápido que una tortuga y que dicha tortuga tiene ya una ventaja de diez yardas. Se llega a la conclusión de que Aquiles nunca alcanzará a la tortuga, porque cuando Aquiles recorra las diez yardas la tortuga ya habrá avanzado una, y cuando Aquiles recorra esa yarda, la tortuga ya habrá avanzado una décima de yarda y así sucesivamente, por lo que la tortuga nunca será alcanzada. 2.- La de Dicotomía: un objeto en movimiento para recorrer una distancia dada, debe correr primero la mitad de esa distancia, y antes un cuarto, y antes un octavo, y así sucesivamente una cantidad infinita de subdivisiones en un tiempo finito, y por lo tanto el mismísimo comienzo del movimiento es imposible. 3.- La de la Flecha: un objeto moviéndose en el aire siempre ocupa un espacio igual a sí mismo, por lo tanto no puede estar en movimiento, esto es, la flecha está en reposo y el movimiento es una ilusión. 4.- La de Estadio: sin duda la más controvertida y la de más difícil descripción.

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demostrar esto se valía de ingeniosas paradojas como la de Aquiles y la tortuga o la flecha que no alcanza el blanco.

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El movimiento para Zenón solo existía en el mundo ilusorio de los sentidos para

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Pocos fragmentos del trabajo de Zenón se conservaron pero si las referencias textuales que de él hicieron Platón y Aristóteles. El aseguraba que el universo o los seres estaban hechos de una misma sustancia pero que aparecían diversificados por los sentidos. La intención de Zenón era desacreditar a los sentidos, lo cual hacía por medio de brillantes argumentos o paradojas de tiempo y espacio. Una paradoja dice que un corredor no puede nunca alcanzar una meta, porque para hacerlo, el corredor tiene que atravesar una distancia, pero no puede atravesar esa distancia, sin atravesar primero la mitad de ella, y así sucesivamente hasta infinitamente, como el número de mitades de una cierta distancia es infinita, nadie puede recorrer esa distancia en un tiempo finito, aun a grandes velocidades o en una distancia pequeña.

 Aristóteles (384-322 antes de J.C.)

En astronomía propuso un universo esférico, con la tierra en el centro, la región central hecha de 4 elementos: tierra, aire, fuego y agua, según Aristóteles cada elemento tenía su propio lugar de acuerdo a su peso y su "gravedad especifica. L a teoría de Aristóteles de que el movimiento lineal siempre tiene lugar a través de un medio que ofrece resistencia, esto es un hecho observable en todo movimiento terrestre. Él también pensaba que los cuerpos más pesados del mismo material caían más rápido que los más ligeros siendo sus formas iguales, esto

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fue un error aceptado hasta que Galileo experimento desde la torre de Pisa.

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 ARQUÍMIDES

Las mayores contribuciones de Arquímedes fueron en geometría. Sus métodos anticipados de cálculo integral 2.000 años antes de Newton y Leibniz. Arquímedes era un nativo de Siracusa, Sicilia y estudió en Alejandría, volviendo en seguida a su patria. Dedicó su genio a la geometría, mecánica, física e Ingeniería. Su geometría es una geometría de la medida. Efectúa cuadraturas de superficies planas y curvas. Escribió varias obras las cuales se han ordenado según la época en que fueron escritas: 1. Esfera y cilindro. 2. Medida del círculo. 3. Geoides y esferoides. 4. Espirales. 5. Equilibrio de los planos y sus centros de gravedad. 6. Cuadratura de la parábola. 7. El arenario. 8. Cuerpos flotantes. 9. Los lemas. 10. El método. Arquímedes demostró que la superficie de una esfera es cuatro veces la de uno de sus círculos máximos. Calculó áreas de zonas esféricas y el volumen de segmentos de una esfera. Demostró que " El área de un casquete esférico es igual a la superficie de un círculo que tiene por radio la recta que une el centro del casquete con punto de

El problema al cual le atribuía gran importancia era el de demostrar que "El volumen de una esfera inscrita en un cilindro es igual a 2/3 del volumen del cilindro". Como LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

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la circunferencia basal".

postrer homenaje se colocó una esfera inscrita en un cilindro. Asimismo demostró Arquímedes que la superficie de esta esfera era también los 2/3 de la superficie del cilindro.

Principio de Arquímedes: Ley física que establece que cuando un objeto se sumerge total o parcialmente en un líquido, este experimenta un empuje hacia arriba igual al peso del líquido desalojado. La mayoría de las veces se aplica al comportamiento de los objetos en agua, y explica porque los objetos flotan, se hunden y por qué parece ser más ligeros en este medio. El concepto clave de este principio es el “empuje”, que es la fuerza que actúa hacia arriba reduciendo el peso aparente del objeto cuando este se encuentra en agua.

Por ejemplo, si un bloque metálico que posee un volumen de 100 cm³ se hunde en agua, desplazara un volumen similar de agua cuyo peso aproximado es 1N. Por tanto, el bloque parecerá que pesa 1N menos.

Un objeto flota si su densidad media es menor que la densidad del agua. Si este se sumerge por completo, el peso del agua desplaza, y por tanto, el empuje es mayor que su propio peso, y el objeto es impulsado hacia arriba y hacia fuera del agua hasta que el peso del agua desplazada por la parte sumergida sea exactamente igual al peso del objeto flotante. Así, un bloque de madera cuya densidad sea 1/6 de la del agua, flotara con 1/6 de su volumen sumergido dentro del agua, ya que en este punto el peso del fluido desplazado es igual al peso del bloque.

Por el principio de Arquímedes, los barcos flotan más bajos en el agua cuando están muy cargados (ya que se necesita desplazar mayor cantidad de agua para generar el empuje necesario).

Además, si van a navegar en agua dulce, no se pueden cargar tanto como si van a

por tanto, se necesita desplazar un volumen de agua mayor para obtener el empuje

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necesario. Esto implica que el barco se hunda más.

navegar en agua salada, ya que el agua dulce es menos densa que el agua de mar y,

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 HIERÓN Tirano de Siracusa, entregó a su joyero oro y plata para que le hiciese una corona. Cuando estuvo hecha, Hierón sospechó que hubiera reemplazado parte del oro por algún otro metal, y pidió a Arquímedes que, sin destruir la corona, averiguase si tenía o no la cantidad de oro debida. El sabio anduvo macho tiempo preocupado por el problema, entre otras cosas por una de las condiciones que le había impuesto el tirano: si no lo resolvía, le cortaba la cabeza. Incluso mientras se bañaba pensaba en él, y eso lo salvó. Un día, mientras tomaba el baño de costumbre y pensaba en la corona, tuvo una de esos rasgos característicos del genio: vinculó dos hechos aparentemente inconexos. Desde hacía tiempo había notado que cuando él se sumergía en el agua, ésta lo empujaba hacia arriba, pero sólo en esos momentos tuvo el chispazo genial y advirtió que podía resolver el problema de la corona sumergiéndola en agua. Loco de alegría salió corriendo por las calles de Siracusa, mientras gritaba: "¡Eureka!... ¡Eureka!..." que en griego significa: ¡Lo encontré!... ¡Lo encontré! La gente, a pesar de estar acostumbrada a las distracciones del sabio, lo miraba con asombro, porque en su excitación había olvidado vestirse.

 GALILEO Inauguró una nueva era en la ciencia, al poner como juez supremo la observación y la experiencia Los griegos fueron grandes matemáticos v filósofo, pero, no destacaron en la física, justamente porque la física es una ciencia basada en la observación y la experiencia. Los griegos eran excelentes razonadores, y creían que todo podía ser resuelto pensando y discutiendo. Galileo, en cambio, admitía la importancia del razonamiento, pero dejaba que la experiencia diera el veredicto con lo que se inicia la época de la

Ángel. En realidad siempre se le ha considerado como natural de Florencia, pues sus

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Galileo nació en Pisa el 18 de febrero de 1564 día en que dejaba de existir Miguel

ciencia moderna que se puede resumir en:

padres eran florentinos y se encontraban en Pisa sólo por casualidad. Su padre, Vincenzo Galilei, era de una familia noble venida a menos; su pobreza le obligó a ocuparse de telas, a pesar de que su ambición era ser un gran músico. Uno de sus seis hijos Vincenzo, heredó el talento paterno para la música, y gustaba de tocar la mandolina y la guitarra; componía además agradables versos, cantaba, y fue uno de los más grandes literatos de su tiempo, se lo consideraba como una de los creadores de la lengua italiana moderna. Razonamiento de Galileo: Imaginemos dos cuerpos de pesos distintos A pesa 10 Kg. y B 2 Kg., admitamos que A caiga con mayor velocidad que B. Si ahora los atamos con un hilo formaremos un cuerpo AB de peso mayor que A y que el de B. Al dejar caer el cuerpo AB, como antes admitimos que A cae más rápido, ahora que está sujeto con B retardará su caída. Recíprocamente, como B está sujeto con A, su caída será ahora más veloz. Luego el cuerpo AB cae con una velocidad intermedia entre A y B. pero ahora nos encontramos con el absurdo de que un cuerpo más pesado cae con menor velocidad que otro más liviano, su conclusión fue: Todos los cuerpos deben caer con la misma velocidad cuando se les deja caer desde una misma altura. Para poder comprobar esto Galileo anunció en la Universidad de Pisa que haría una experiencia definitiva, dejando caer dos cuerpos desde lo alto de la torre de pisa, el día de la prueba el científico realizó su experiencia con dos cuerpos: uno pesaba 1 libra y las otras 10 libras. Con gran asombro ya que se derrumbaba una idea que tenía el apoyo nada menos que de Aristóteles, los asistentes pudieron comprobar: los dos cuerpos tocaban tierra en el mismo instante. Algunos adversarios de Galileo le formularon entonces la siguiente pregunta: ¿Por qué una pluma de ave cae más lentamente que una piedra? Galileo responde que la causa de esa desigualdad de velocidades es la presencia del aire, que opone resistencia a la caída de todos los cuerpos, del mismo modo que si tiramos al agua una piedra plana y otra redonda, ésta se hunde con más rapidez. Por

tenían la misma forma. Todos los cuerpos dejados caer desde una misma altura caen

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con la misma velocidad en el vacío.

esa razón los dos objetos que Galileo arrojó desde la torre eran del mismo tamaño y

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 EMPÉDOCLES. (490-430 ANTES DE J. C.)

Reunió las teorías de sus antecesores y al parecer fue el primero que habló de los cuatro elementos: tierra, aire, fuego, agua. Suponía que estos elementos actuaban unos sobre otros bajo la influencia del amor o del odio (atracción y repulsión).

Según

parece,

dio

estas

expresiones un genuino sentido químico, pues se dice que afirmo que la sangre y la carne se componen de cantidades iguales de los cuatro elementos, en tanto que los huesos están compuestos de una mitad de fuego, una cuarta parte de tierra y una cuarta parte de agua. Esta afirmación demuestra el atrevimiento irresponsable y la confianza en sí mismos con que los filósofos de aquellas épocas explicaban cosas de las que nada sabían. Precisamente por ir ligadas a la autoridad de grandes nombres hicieron daño incalculable en los siglos siguientes.

 DEMÓCRITO (ALREDEDOR DE 460-370 ANTES DE J. C.)

Tuvo mucha participación en el desarrollo de las ideas que llevaron veinte siglos después, a la actual teoría atómica de la Química. Fue uno de los pensadores más famosos y agudos de la antigüedad, enseñó que el universo estaba formado de partículas invisibles, indivisibles con diferentes posiciones y tamaños. La apalabra átomo significa sin división.

Demócrito es más conocido por su Teoría Atómica pero también fue un excelente geómetra, muy poco se sabe de su vida, sabemos que Leucippus fue su profesor. Pertenece a la línea doctrinal de pensadores que nació con Thales de Mileto. Esta escuela así como la pitagórica y la eleática, que representan lo más grande del

movimiento como realidad, sino como fenómeno, Leucipo y Demócrito parten de que el movimiento existe en sí. LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

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Los atomistas pensaban distinto a los eleatas, pues mientras éstos no aceptaban el

pensamiento anterior, le atribuye gran importancia a lo matemático.

Demócrito pone como realidades primordiales a los átomos y al vacío, o como dirían los eleatas, al ser y al no ser (Recordemos que etimológicamente la palabra átomo en griego, significa indivisible, lo que actualmente sabemos que no es así). Se nota en Demócrito un esfuerzo por sustituir la noción de cualidad por la de cantidad. Se sabe que escribió varios tratados de Geometría y de Astronomía, pero desgraciadamente todos perdidos. Se cree que escribió sobre Teoría de los Números. Encontró la fórmula B*h/3 que expresa el volumen de una pirámide. Asimismo demostró que esta fórmula se la puede aplicar para calcular el volumen de un cono.

Se le atribuyen también los siguientes dos teoremas:

1º "El volumen de un cono es igual a un tercio del volumen de un cilindro de igual base y altura" 2º "El volumen de una pirámide es un tercio del volumen del prisma de igual base y altura"

Un problema muy diferente a todo lo visto hasta ahora preocupó también a las escuelas de Jonia y de la Magna Grecia: el de la naturaleza de la luz. Demócrito sustenta la teoría de la emisión según la cual la visión es causada por la proyección de partículas que provienen de los objetos mismos. No es esto más que el principio de la larga fila de teorías que se encuentran de la luz en la historia de las ciencias. La teoría de la emisión es costumbre atribuírsela a Newton, que la expuso muchos siglos después. Es importante hacer notar que, desde sus primeros pasos, la ciencia racional trata de buscar una explicación de todos los fenómenos naturales partiendo de un pequeño número de principios básicos. Esta tentativa no dejó de influir favorablemente en el desarrollo ulterior de todas las ciencias. Así hemos visto que, al comienzo, para muchos de estos filósofos prevalecía un principio aritmético-geométrico para explicar muchos hechos. Así, Demócrito hasta el

debía a la forma esférica de la sustancia que forma al cuerpo que la produce; lo amargo, se debía a la forma lisa y redondeada, y lo agrio o ácido a lo anguloso y

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geométrica especial a las cosas para dar tal o cual "gusto": la sensación de dulce se

sabor de las cosas lo explicaba bajo este aspecto. En efecto, le atribuía una forma

agudo. Un origen e interpretación análogos le atribuía a los fenómenos del tacto.

Finalmente diremos sobre el binomio Leucipo-Demócrito que creían que el vacío existía no sólo en el mundo en que vivimos, sino también mucho más allá, en los espacios infinitos del Cosmos. Ellos creían en la existencia de un número infinito de "mundos" todos compuestos de un número infinito de átomos. Los alquimistas sostenían que existía cierta materia prima en todas las cosas, contaminada con impurezas

pero

que

podían

quitar

mediante

procesos

purificación

especialmente por acción del fuego (calcinación, destilación o sublimación), y de esta forma obtener la esencia o tintura que era idéntica a la piedra filosofal. Una vez obtenido esto pensaban hacer maravillas como transformar metales en oro por simple contacto, curaría enfermedades e incluso regeneraría el carácter de su afortunado descubridor, las fórmulas e instrucciones que se hallan en los antiguos libros de Alquimia dan mucha importancia a las fases de la Luna, a la posición de los planetas y a los conjuros.

De cualquier manera los avances científicos eran muchos, La tendencia de calentar destilar y combinar todas las sustancias posibles con objeto de obtener la piedra filosofal, dio el resultado práctico de observar muchas reacciones y de preparar un sin número de compuestos, sin embargo utilizaban un lenguaje inteligible y poca descripción de sus descubrimientos que la mayoría de éstos fueron desconocidos

 JOHN NAPIER Nació en Edimburgo, Escocia en 1550. Su padre, ArchibladNapier, era un rico terrateniente de Edimburgo y su madre, Janet Bothwell era la hermana de uno de los obispos más importantes de Escocia, se habían casado cuando ambos tenían quince años, en 1549, y eran un matrimonio noble y acomodado de la época. Su hijo John nació sólo un año después del casamiento y vivió siempre lleno de

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comodidades, baste decir que su padre fue nombrado caballero real en 1565

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Napier fue educado hasta los trece años en su casa, como era común entre los nobles, con los mejores maestros de Escocia; durante estos años aprendió a leer y escribir, estudió aritmética, literatura, música y religión. En 1563 ingresó a la Universidad de Saint Andrews y fue recibido con honores tal y como correspondía al hijo de un noble. Su madre murió al poco tiempo de ingresar él a la universidad y parece ser que esto le afectó de manera tal que decidió no volver a su casa y quedarse internado en un monasterio mientras estudiaba en la universidad; fue ahí donde aprendió teología que fue su verdadera vocación y profesión en la vida. Cuando Napier dejó la Universidad de Saint Andrews viajó por Europa y estudió en la Universidad de París, en Italia y en Holanda. Napier se dedicó entonces a cuidar de sus propiedades y transformó su castillo en una residencia para científicos y artistas, usando su gran fortuna para invitar y mantener en su castillo a inventores, matemáticos, astrónomos, poetas, literatos pintores, etc. El mismo fue un gran inventor y logró varios resultados en el campo de la agricultura que aplicó directamente a sus tierras, pues trabajaba inventando fertilizantes y sustancias que ayudaran a controlar las plagas y mejorar las cosechas. En uno de sus muchos libros escribió: ...he estado experimentando en mis tierras con diversas sales y he logrado cosechas más sanas y abundantes; sin embargo, seguía siendo un gran teólogo y tomaba parte en todas las disputas religiosas de la época, se definía a sí mismo como un ferviente protestante y publicó varios libros defendiendo el protestantismo contra el catolicismo. El estudio de las matemáticas era un simple pasatiempo y sus libros y publicaciones sobre el tema van siempre precedidos de una disculpa por lo poco profundo de sus argumentos pues decía que nunca tenía tiempo suficiente para dedicarse de lleno a

la invención de los logaritmos y de varias contribuciones a distintas ramas de las matemáticas: la geometría, la trigonometría, el álgebra y lo que en ese tiempo se LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

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Pero eso sólo lo pensaba él, pues pasó a la historia como un célebre matemático por

esta disciplina.

llamaban matemáticas comerciales. Invento lo que se conoce como regletas de Napier que era un instrumento para multiplicar que luego se popularizó y que varios hombres del renacimiento usaron, en toda Europa, como una herramienta de cálculo muy útil Dice en su libro Mirifici logarithmorum canonis descriptio "... viendo que no hay nada más problemático en la práctica matemática y nada más molesto que hacer cálculos, multiplicaciones, divisiones, raíces cuadradas y cúbicas de números muy grandes... he trabajado arduamente en resolver esos problemas..." Napier, murió en Edimburgo el 4 de abril de 1617 habiendo no sólo hecho muchísimas aportaciones propias a la ciencia sino también habiendo apoyado a cientos de hombres que como él hicieron del renacimiento una época muy fecunda en la historia del conocimiento.

 JOHANNES KEPLER.

Nació:

Diciembre

HolyRomanEmpire

(Ahora

1571 Alemania).

Leonberg,

Falleció:

Noviembre de 1630 en Rosensburg (Ahora Alemania). Kepler fue un niño enfermizo que padecía de furúnculos, dolores de cabeza, miopía, infecciones de la piel, fiebres y afecciones al estómago y a la vesícula. A la edad de cuatro años, casi sucumbió con los estragos de la viruela. Por fortuna para Kepler, los duques de Wurttemberg alentaban entonces la educación de los niños precoces. Pudo terminar sus estudios en el seminario teológico y fue a

ideas de Copérnico, cosa que fue necesario hacer en secreto debido a que sólo la teoría tolemaica tenía la aprobación oficial. En esta época de la carrera de Kepler, LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

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una beca. En Tubinga tuvo el apoyo de un profesor que secretamente le enseñó las

graduarse en la Universidad de Tubinga gracias a lo que en el siglo XVI equivalía a

parecía seguro que sería sacerdote, pero por alguna razón desconocida cambio de planes y aceptó el empleo de maestro de astronomía y matemática en Graz, capital de la provincia austríaca de Estiria. Fue en Graz, en 1596, donde Kepler publicó su notable libro: El misterio del Universo. Con el ardor y la exuberancia de la juventud, declaró que había descubierto el orden fundamental que servía de base a las distancias que separaban a los planetas del Sol; en otras palabras, creyó haber resuelto el enigma del plan divino del Universo.

La teoría de Kepler (que debe sobrentenderse, era errónea) resultaba muy ingeniosa. Sabía que sólo existían cinco sólidos perfectos que podrían construirse en el espacio tridimensional: Se le ocurrió a Kepler que estos cinco sólidos podrían caber exactamente en los cinco intervalos que separaban a los seis planetas (no se conocían más en ese tiempo). En la órbita de Saturno inscribió un cubo; en ese cubo insertó otra esfera, Júpiter. Inscribió el tetraedro en Júpiter y luego inscribió en él la esfera de Marte. El dodecaedro cabría perfectamente entre Marte y la Tierra; el icosaedro entre la Tierra y Venus, y entre Venus y Mercurio puso el octaedro. ¡Y he aquí que Kepler creyó haber encontrado la clave del gran enigma! Lo resumió así: "En unos días, todo quedó en su lugar. Vi que un sólido tras otro encajaba con tanta precisión entre las órbitas apropiadas que si un campesino preguntaba con qué gancho estaban prendidos los cielos para no caerse, sería fácil contestarle". Kepler envió informes de esta teoría a todos aquellos en quienes pudo pensar, contando a Galileo y el famoso astrónomo TichoBrahe. Los dos hombres sostuvieron correspondencia con el joven astrónomo; y cuando la intolerancia religiosa obligó al protestante Kepler a irse de Graz, aceptó la invitación de ayudar a Brahe, quién era matemático de la corte de Rodolfo II de Praga, el 1 de enero de 1600, Kepler llegó a

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Kepler vio que en "su estrella" estaba el trabajar al lado de Ticho a fin de perfeccionar sus aptitudes y sus concepciones. Escribió:

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Praga.

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"Si Dios se ocupa de la astronomía, como quiere creer la devoción, entonces espero que alcanzaré algo en este dominio, pues veo que me permitió vincularme a Ticho mediante un destino inalterable y no me dejó separarme de él a pesar de las más abrumadoras penalidades".

Cuando murió Ticho en 1601, Kepler lo sucedió en el puesto de matemático imperial. Una de sus obligaciones consistía en preparar horóscopos para el emperador y otros dignatarios de la corte. Pero, al hacerlo, tuvo que enfrentarse a los espinosos problemas dignos de un genio matemático, astronómico y filosófico. En 1615, después de penosos estudios que llenaron quinientas hojas de papel de oficio, se preparó para publicar su Nueva astronomía, primer libro moderno sobre la materia. La vista defectuosa de Kepler lo llevó a interesarse toda la vida en la óptica. Sus trabajos comprenden explicaciones sobre el modo en que los anteojos ayudan a los miopes y a los présbitas; también abarcaron el principio de la cámara fotográfica. Despertada su curiosidad por el recién inventado telescopio, Kepler publicó su Dióptrica en 1611, en la cual bosquejó el diseño de un telescopio astronómico de inversión que se usó mucho a partir de entonces. En la esfera de las matemáticas, se le atribuye el haber contribuido a crear el cálculo infinitesimal y estimular el uso de los logaritmos en los cálculos. Fue uno de los primeros en advertir el efecto que tiene la Luna sobre las mareas. Han pasado más de tres siglos desde que murió Kepler, pero los años que siguieron no han hecho más que aumentar el fulgor de sus aportaciones. No hay mejor manera de bajar el telón sobre la historia de Kepler que la de citar el epitafio que compuso para su lápida: "Medí los cielos, y ahora las sombras mido, En el cielo brilló el espíritu, en la tierra

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descansa el cuerpo."

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LAS LEYES DE KEPLER: El libro de Kepler La nueva astronomía, contenía dos de las tres leyes revolucionarias de Kepler, que resultaron indispensables para los subsecuentes descubrimientos de Newton. Dichas leyes eran:

1. Todo planeta sigue una órbita ovalada alrededor del Sol, la cual se llama elipse. El Sol se encuentra en un foco de la órbita elíptica. (Así podía explicar Kepler la velocidad irregular de un planeta en su órbita).

2. Una línea imaginaria que vaya del centro del Sol al centro de un planeta recorre siempre un área igual en un tiempo igual, lo que indica que los planetas se mueven más deprisa cuando están más cerca del Sol.

3. La tercera ley fue propuesta en la Armonía del mundo de Kepler, publicada en 1619. El tiempo que necesita un planeta para hacer un recorrido completo al rededor del Sol es su periodo. Los cuadrados de los periodos de dos planetas son proporcionales a los cubos de sus distancias medias al Sol.

 NEWTON (1642 - 1727). Nació en el condado de Lincoln y estudió en Cambridge, donde trabajó como profesor y alcanzó celebridad como matemático, físico y astrónomo. Se le considera, con Galileo, el padre de la física mecánica y fue, con Leibniz, el descubridor del cálculo infinitesimal y de varios postulados algebraicos. El método newtoniano fue inductivo y matemático; así, partiendo de la minuciosa observación de los hechos

abiertamente cualquier tipo de elaboración metafísica y deductiva que no se fundamentara en la verificación experimental del fenómeno. LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

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obtenidos por la experiencia demostraban su inexactitud. Newton rechazó

extrajo leyes, luego modificadas cuando los datos

La filosofía newtoniana es absolutamente empírica, conducida por vías matemáticas y lógicas basadas en proposiciones inducidas de los fenómenos. Difícilmente podría decirse que el camino de Newton a la fama estaba predeterminado. Su nacimiento fue prematuro, y durante algún tiempo pareció que no sobreviviría debido a su debilidad física. Su padre murió tres meses antes de que naciera. Cuando Newton tenía dos años de edad, su madre volvió a casarse, y el niño se fue a vivir con su anciana abuela a una granja de Woolsthorpe. Fue probablemente aquí, en un distrito de Inglaterra, donde adquirió facultades de meditación y concentración que más tarde le permitieron analizar y encontrar la solución de problemas que desconcertaban a otros científicos. Newton no se distinguió en el primer año de estudios en Cambridge. Pero por fortuna, tuvo la ayuda valiosa de Barrow, distinguido profesor de matemáticas. Barrow quedó impresionado con las aptitudes de Newton y en 1664, lo recomendó para una beca de matemáticas. Gracias a la instrucción de Barrow, tenía un excelente fundamento en la geometría y la óptica. Se familiarizó con la geometría algebraica de Descartes; conocía la óptica de Kepler, y estudió la refracción de la luz, la construcción de los telescopios y el pulimento de las lentes. En 1664 se cerró provisionalmente la Universidad de Cambridge debido a la gran peste (bubónica), y Newton volvió a Woolsthorpe, donde paso un año y medio, durante ese tiempo hizo tres de sus grandes descubrimientos científicos. El primero fue el binomio de Newton y los elementos del cálculo diferencial, que llamaba fluxiones. Poco después dijo que “había encontrado el método inverso de las fluxiones”, es decir, el cálculo integral y e método para calcular las superficies encerradas en curvas como la hipérbole, y los volúmenes y de los sólidos. Años más tarde, cuando se publicaron sus hallazgos, hubo cierta duda acerca de si el matemático alemán Leibnitz era considerado el creador del cálculo diferencial. Al parecer ambos, independiente y casi simultáneamente, hicieron este notable descubrimiento.

A la edad de treinta años fue elegido miembro de la Sociedad Real de Londres, que

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El tercer gran esfuerzo, correspondió a la esfera de la óptica y la refracción de la luz.

Su segundo gran descubrimiento se relacionó con la Teoría de la Gravitación.

era el más alto honor para un científico. Para corresponder a este honor, obsequió a la Sociedad el primer telescopio reflector que manufacturó. Newton decidió consagrarse a la ciencia y volvió a Cambridge en 1667 para aceptar una plaza pensionada que no tardaría en convertirse en la de profesor de matemáticas. Durante los siguientes veinte años, Newton llevó la vida de profesor en Cambridge.

En 1664 Halley un joven astrónomo visitó a Newton, el cual instó a Newton a publicar sus descubrimientos, esto hizo que Newton en los siguientes dos años, escribiera lo que resultó ser “Principios matemáticos de la filosofía natural”, escritos en Latín, ricos en detalles, con pruebas basadas con exactitud en la geometría clásica, y sorprendentemente raros en sus conclusiones filosóficas, matemáticas y científicas, los Principia contenían tres libros:  El primero reunía las tres leyes del movimiento de Newton.  El segundo trataba del movimiento de los cuerpos en medios resistentes, como los gases y los líquidos.  El tercer libro se ocupaba de la fuerza de la gravitación en la Naturaleza y el Universo. Poco después de la publicación de esta gran obra en 1689, Newton fue elegido miembro del parlamento por Cambridge. Cuando se le nombró director de la casa de moneda de Inglaterra en 1701, renunció a su cátedra en Cambridge. En 1703 fue nombrado presidente de la Sociedad Real de Londres, cargo que ocupó durante el resto de su vida. En 1705 le concedió nobleza la Reina Ana, y fue el primer científico que recibió este honor por sus obras. El famoso poeta Alejandro Pope dijo refiriéndose a Newton: “La Naturaleza y las leyes naturales se ocultaban en la noche; Dios dijo “Que nazca

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Newton” y se hizo la luz”.

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 GEORGE BERKELEY

Nació: 12 de Marzo 1685 en Dysert Castle, Irlanda. Falleció: 14 de Enero 1753 en Oxford, Inglaterra. Berkeley, filósofo y obispo quién realizó escritos en 1734: The Analyst, cuyo subtítulo largo y explicativo, decía: El análisis: o un discurso dirigido a un matemático

infiel.

Donde se examina si el objeto, principios e inferencias del análisis moderno son concebidos más claramente o son deducidos con mayor evidencia que los misterios de la religión y los asuntos de la fe. El matemático infiel era Edmund Halley, que fue sin duda un libre pensador y, en cierto sentido, activo. De ahí la infidelidad de que lo acusaba Berkeley, pues por el hecho de ser reputado un gran matemático, y consecuentemente uno de los grandes maestros de la razón, utilizaba indebidamente su autoridad opinando y decidiendo sobre cuestiones ajenas a su incumbencia. Y, hábil polemista, Berkeley se dirige hacia los objetos mismos de la ciencia que Halley profesa, mostrando que aquéllos que se quejan sin razón de la incomprensibilidad científica de la religión, aceptan una ciencia que, en su raíz misma, es incomprensible y cuyas conclusiones se apoyan en raciocinios que la lógica no acepta. La crítica de Berkeley, tanto a los principios del nuevo algoritmo como a las demostraciones que los matemáticos empleaban en él, no dejo de causar impresión y su influencia se hizo sentir en forma más o menos visible en los matemáticos ingleses de entonces. Si esa crítica era inobjetable la teoría de "compensación de errores" en que se embarcó Berkeley, impresionado sin duda por la aparente paradoja de que, fundándose en principios y demostraciones tan deleznables, los nuevos métodos condujeran a resultados exactos, como lo comprobaba la mecánica newtoniana.

del cual fue precursor Bolzano y constructores Cauchy, Abel, Jacobi, Weierstrass, Riemann. LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

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iniciando una revisión de los principios del análisis infinitesimal, mediante un proceso

Pero en el siglo XIX son los matemáticos mismos los que se lanzan al ataque

Berkeley consideraba que el mundo externo es expresión del acto de percibir. El ser sólo existe en el acto de ser percibido. En última instancia, toda realidad tiene su existencia en la idea que Dios tiene de las cosas. Mediante este sistema, Berkeley intentaba refutar el materialismo. Sus obras más conocidas: "Tratado sobre el principio del conocimiento humano", "Diálogos entre Hilas y Filón". Para Berkeley las dificultades del conocimiento no se deben a una imperfección de las facultades humanas, sino al mal uso que se hace de ellas. Siendo la elaboración de ideas abstractas el principal de estos malos usos. En síntesis para Berkeley no hay ideas abstractas. Es decir, todas las ideas son particulares o concretas, y provienen de los sentidos externos, de los sentidos internos y de la creación imaginativo - fantasiosa; y todas ellas residen en un lugar que él llama mente, espíritu, alma o yo. Todo lo que existe es percibido como idea dentro de una mente. La materia no existe, o no se sabe si existe.

 ALBERT EINSTEIN

Nació en Ulm, Alemania, el 14 de marzo de 1879. Sus padres se llamaban Hermann y Pauline, judíos de clase media. Ya desde joven se interesó por las matemáticas, conociendo a la perfección, con tan solo doce años, la geometría euclidiana. La mayor parte de su juventud la pasó en Munich, dónde le fue regalado un violín, con el cual al poco tiempo comenzó a tocar obras de Beethoven y Mozart, acompañado por su madre en el piano. Su familia era judía, pero no practicaba la religión, por lo tanto no se la inculcó al joven Einstein.

que se registraban en la oficina. Un año después, se encontraba "frente al altar", junto a MilevaMaritsch -la cual fallecería en el año 1948, 29 años después de haberse LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

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Berna, al fin en un empleo seguro; en él debía de anotar los detalles de los inventos

Llegó el año 1902 y encontró a Albert trabajando en la Oficina Suiza de Patentes de

divorciado de Einstein-, pues se había enamorado de la física (ya que Mileva también lo era) y decidieron casarse. En 1905 le escribió una carta a un amigo prometiéndole cuatro trabajos, en la cual describía que el primero se trataba sobre la radiación y la energía de la luz, dónde afirmó que ésta en ciertas circunstancias se comporta como una partícula; en el segundo trataría sobre el tamaño del átomo; el cuarto trató sobre el movimiento que presentan las partículas dentro de un fluido (el movimiento browniano); el cuarto sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento, y el quinto (pues publicó uno más de los que había prometido) se titulaba "la relatividad especial". Estos artículos fueron publicados por fin en el número 17 de la revista alemana Anales de Física. La teoría de la relatividad especial decía, en pocas palabras, que no es posible viajar a la velocidad de la luz, y mucho menos a mayor velocidad que ella; y como segundo término que cada objeto viajando a distinta velocidad con respecto a otro, posee un espacio y un tiempo propio, es decir, que el tiempo y el espacio son "relativos" de cada persona según la velocidad que posean. De aquí surgió la famosa ecuación: E = mc2, donde muestra la equivalencia entre la energía que posee cada objeto (aunque se encuentre en reposo) y su masa, en dónde la primera es igual a la segunda multiplicada y vuelta a multiplicar por la velocidad de la luz (300000 kilómetros por segundo). Einstein ya era padre, pues había tenido dos hijos con Mileva: Hans, Albert y Eduard. Luego de esto, Einstein empezó a adquirir fama y se empezó a mezclar más con sus colegas. Dejó la oficina de patentes y se convirtió en profesor en Berna, Praga y luego en Zurich. En un congreso, en 1909, pronunció un discurso en el cual hablaba sobre la relatividad y sobre los cuantos (éstas son unidades individuales, las cuales transportan la energía de los rayos luminosos) y su fama siguió en aumento. En el año 1914 Albert se trasladó a Berlín, dónde le había otorgado el puesto de investigador en la Academia Prusiana de Ciencias. Al tiempo, la relación entre él y Mileva se deterioró y terminó en el divorcio; enfermó y su prima Elsa, junto con sus

Teoría de la Relatividad General. En ella se abordaba el tema de la gravedad y decía que la luz es atraída por la acción de ésta. En 1919 se prepararon dos excursiones LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

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En los años siguientes se dedicó a la búsqueda de una teoría más general; la llamó

dos hijas fue a cuidarlo y finalmente se terminaron casando.

para verificar esta afirmación: una a Brasil y la otra a la isla Príncipe, pues ocurriría un eclipse. Allí se demostraría la aparente desviación de la posición de las estrellas cercanas al Sol (visualmente hablando, claro está). La teoría fue demostrada. Se comprobó la desviación de la posición de las estrellas que se encontraban cerca del borde del Sol eclipsado. Mientras tanto, Europa sufría por la reciente guerra, la inolvidable Primera Guerra Mundial. Los nazis, en Alemania, le echaban la culpa a los pacifistas y a los judíos de la derrota; Einstein era las dos cosas (aunque nunca practicó la religión en sí misma; una vez dijo: "...soy un no creyente profundamente religioso."). Viajó por Londres, visitó la tumba de Newton y llegó a Estados Unidos. En 1922 viajó a París; un año antes había ganado el Premio Novel de Física. En el año de 1933 Elsa y Albert volvieron a EE.UU., dónde ocupó un puesto en el Instituto de Estudios Superiores en Princeton, Nueva Yérsey. En el año 1939, junto con otros físicos, Einstein escribió una carta al presidente Franklin D. Roosevelt en la que pedía un programa especial para el estudio de la destrucción del átomo y la reacción en cadena; pero se le hizo caso omiso. Volvió a escribirle al presidente (en 1945) pero nuevamente no fue tomado en cuenta. Declinó una propuesta para la presidencia del Estado de Israel en 1952. Finalmente murió el 18 de abril de 1955, a las 7:55 de la madrugada, dignamente, pues se negó a ser operado de una ruptura en la arteria aorta. Su cuerpo fue cremado y sus cenizas se esparcieron en algún lugar que no se dio a conocer, pues esas fueron sus instrucciones: no quería que su tumba se convirtiera en un lugar de peregrinaje. Pero nos dejó un legado inmenso, de incalculable valor, su paso por este mundo, por este Universo curvo, por este espacio-tiempo, no fue en vano, ni mucho menos. "Nunca pierdas la santa curiosidad", dijo. La geometría utilizada por Einstein no fue la euclidiana, sino la geometría tetradimensional riemanniana - llamada así en honor al matemático alemán Bernardo Riemann (1826-1866)- de espacio curvo, en la que demuestra, por ejemplo, que es

Una historia que a Einstein le gustó contar sobre su niñez era de una "maravilla" que él vio cuando tenía cuatro o cinco años: un compás magnético. El norte invariable de LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

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de una esfera - por ejemplo -.

posible una geometría en la que no existen líneas rectas: las líneas sobre la superficie

la aguja guarda balance, guiado por una fuerza invisible, impresionó profundamente al niño. El compás lo convenció de que allí había "algo detrás de las cosas, algo profundamente escondido". Así era el pequeño Einstein, un muchacho pequeño, autosuficiente y pensativo. Según la leyenda familiar él era, al principio, una persona lenta para hablar, mientras hacía pausas para considerar lo que diría. Su hermana recordó la concentración y perseverancia con que él construía las casas con naipes. El pensamiento del muchacho se estimuló por su tío, un ingeniero, y por un estudiante médico que cenaba una vez por semana con los Einsteins.

 TORRICELLI, EVANGELISTA

Nació: 15 de Octubre de 1608 en Faenza, Romagna. (Ahora Italia). Falleció: 25 de Octubre de 1647 en Florencia, Tuscany (ahora Italia). Torricelli ingresó al colegio jesuita de Faenza en el año 1624. Fue al Colegio Romano en Roma donde mostró un gran talento, el cual vio Castelli, quién envió a Torricelli a la Universidad de Sapienza. Sapienza era el nombre del edificio que la Universidad de Roma ocupaba en ese tiempo y daba su nombre a la Universidad. Así como las cosas enseñadas por Castelli hicieron que Torricelli se convirtiera en su secretario y lo ayudará en el puesto que éste tuvo entre los años 1626 al 1632. Durante los próximos nueve años sirvió como secretario de Ciampoli y posiblemente a

en la corte de matemáticas al gran DukeFerdinando II de Tuscany. Torricelli ocupó este puesto hasta su muerte, viviendo en el Palacio Ducal en Florencia. LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

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Torricelli sirvió también a Galileo como su secretario desde 1641 al 1642 y consiguió

otros profesores.

Torricelli fue el primero en crear un indicador de vacío y en descubrir el principio del barómetro. En el 1643 Torricelli propuso realizar un experimento, que más tarde fue presentado por su colega Vicenzo Viviani, el cual demostró que la presión atmosférica está determinada por la altura en que un fluido asciende en un tubo invertido, sobre el mismo líquido. Este concepto contribuyó en el desarrollo del barómetro. Torricelli también comprobó que el flujo de un líquido por una abertura es proporcional a la raíz cuadrada de la altura del líquido, este resultado es conocido ahora como el Teorema de Torricelli. Torricelli fundó el largo del arco de una cicloide, (curva formada por un punto en el radio de un círculo en movimiento). Tempranamente hizo uso de los métodos infinitesimales y determinó el punto en el plano de un triángulo, tal que la suma de sus distancias de los vértices es la mínima (conocida como el centro isotónico). Torricelli también estudió la trayectoria de los proyectiles. Su único trabajo publicado, Opera Geométrica el año (1644) incluyeron importantes tópicos de esta materia. Fue un experto en la construcción de telescopios. En realidad ganó mucho dinero con su destreza en este trabajo; en el último periodo de su vida estuvo en Florencia. Torricelli murió en Florencia, a la edad de 39 años. Como hombre de ciencia había abierto el camino para conocer el océano de aire o atmósfera en que vivimos.

 TAYLOR, BROOK

Nació: 18 de Agosto de 1685 en Edmonton, Inglaterra. Falleció: 29 de Diciembre de 1731 en Londres, Inglaterra.

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desde que fuera difundida hasta 1724, resultaba ser la disputa prioritaria con Johann Bernoulli.

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En 1708 Taylor produjo una solución al problema del centro de oscilación, la cual

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En “Los métodos de incrementación directa e inversa” de Taylor (1715) agregaba a las matemáticas una nueva rama llamada ahora “El cálculo de las diferencias finitas”, e inventó la integración por partes y descubrió la célebre fórmula conocida como la Serie de Taylor, la importancia de esta fórmula no fue reconocida hasta 1772, cuando Lagrange proclamó los principios básicos del Cálculo Diferencial. Taylor también desarrolló los principios fundamentales de la perspectiva en “Perspectivas Lineales” (1715). Junto con “Los nuevos principios de la perspectiva lineal”. Taylor da cuenta de un experimento para descubrir las leyes de la atracción magnética (1715) y un método no probado para aproximar las raíces de una ecuación dando un método nuevo para logaritmos computacionales (1717). Taylor fue elegido socio de la Real Sociedad en 1712 y fue nombrado en ese año para integrar un comité para la adjudicación de las demandas de Newton y de Leibnitz de haber inventado el Cálculo.

 PASCAL, BLAISE Nació: 19 Junio 1623 en Clermont, Francia. Falleció: 19 Agosto 1662 en París, Francia. Pascal trabajó en las secciones cónicas y desarrolló importantes teoremas en la geometría proyectiva. En su correspondencia con Fermat dejó la creación de la

Pascal inventó la primera calculadora digital (1642). El aparato llamado Pascaline, se

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asemejaba a una calculadora mecánica de los años 1940.

Teoría de la Probabilidad.

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Fomentó estudios en geometría, hidrodinámica e hidrostática y presión atmosférica, dejó inventos como la jeringa y la presión hidráulica y el descubrimiento de la Ley de Presión de Pascal. Su más famoso trabajo en filosofía es Pensées, una colección de pensamientos personales del sufrimiento humano y la fe en Dios. “Si Dios no existe, uno no pierde nada al creer en él, mientras que si existe uno pierde todo por no creer”. Su último trabajo fue el cycloid, la curva trazada por un punto en la circunferencia de un rollo circular. Pascal murió a la edad de 39 años, después de sufrir un dolor intenso debido al crecimiento de un tumor maligno en su estómago que luego se le propagó al cerebro.

 CLAUDIO TOLOMEO Astrónomo, matemático, físico y geógrafo egipcio del siglo II autor de una geografía y del famoso tratado de astronomía en 13 libros que los traductores

Qrabos condensaron en un

volumen titulado almagesto en el expone su teoría geocéntrico del universo, considerada verdadera hasta fines de la antigüedad clásica, durante toa la edad medida y una buena parte de la edad moderna, según ella, la tierra estaba inmóvil en el espacio rodeada por 3 esferas concéntricos (H2O, aire, fuego) y más allá por otros 7 esferas (del interior al exterior: la luna, mercurio, Venus,

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el sol, Marte, Júpiter y Saturno) en los que los planetas giraban alrededor de la tierra.

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 CARDANO, GEROLAMO (1501 - 1576)

Médico (estudios de tifus exantemático, tratamiento de la sífilis y de caractetiología a partir de los rasgos faciales), matemático (Estudios de álgebra simbólica y cálculo de probabilidades, resolución de las ecuaciones de tercero y cuarto grado), filósofo y astrólogo ir su pensamiento filosófico es una mezcla de platonismo y pitagorismo, unida a una concepción mecanicista Patimatematica del mundo, del hombre y del orden social. De su obra destacan los tratados matemáticos Artis Magnal sirve de regulador algebraico y Liber de ludo aleal; el tratado filosófico de rerumvarietate, y su autobiografía de vista propia.

 RENE DESCARTES (1596 - 1650)

Descartes nació en Lahaye, Francia. Procedía de una familia noble y acaudalada. Descartes fue uno de los más grandes filosóficos y matemáticos, y su aporte principal a la matemática es la introducción del sistema de coordenadas y su aplicación a la geometría, dando origen así a la geometría analítica. A ese sistema se conoce con el nombre de “sistema de coordenadas cartesianas” en honor a su inventor. El desarrollo fundamento

del

sistema al

cálculo

coordenadas

sirvió

infinitesimal,

inventado

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posteriormente por Newton y Leibniz.

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 PIERRE DE FERMAT (1601 - 1665)

Matemático Francés Jurista de Profesión, realizo decisivas contribuciones a la teoría de número. Descubrió la geometría analítica independiente de Descartes. En 1637, enunció (sin demostración) el llamado “último teorema de Fermat”. En 1658, enunció el principio que lleva su nombre.

Ultimo Teorema de Fermat Famoso teorema que ha dado lugar a importantes descubrimientos en el álgebra y el análisis. Al estudiar la Aritmética, obra del matemático griego Diofante, el matemático francés Pierre de Fermat se interesó por el capítulo sobre los números pitagóricos, esto es, los conjuntos de tres números enteros a, b y c, como 3, 4 y 5 para los que se cumple la ecuación a2 + b2 = c2. Fermat propuso que si se altera el teorema de Pitágoras de manera que sea an + bn = cn, esta ecuación no tiene solución para números enteros a, b y c que cumplan a3 + b3 = c3. Fermat escribió en su ejemplar de la Aritmética: “He descubierto una demostración realmente extraordinaria de esto, que no cabe aquí por ser este margen demasiado pequeño”.

Muchos matemáticos han tratado de demostrar esta afirmación de Fermat o de encontrar una excepción para demostrar que es falsa. En 1908 se estableció un premio de 100 000 marcos, que es administrado por la Universidad de Gotinga en Alemania, para quien sea capaz de encontrar una demostración (aunque no por una excepción) que pueda verificarse antes del 13 de setiembre del 2007. El teorema ha sido comprobado, utilizando computadoras, para exponentes hasta 125 000, pero todavía no se ha conseguido una demostración completa. En junio de 1993, Andrew Wiles, un matemático británico de la Universidad de Princeton, afirmó que había

que, en la actualidad, son aceptados por gran parte de la comunidad matemática.

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un fallo en la demostración, pero Wiles siguió trabajando en ella con sus resultados

logrado demostrar el teorema. En diciembre del mismo año, los expertos encontraron

 JOHN WALLIS (1616 - 1703)

Matemático inglés, estudió medicina y filosofía en Cambridge, siendo ordenado sacerdote en 1640. Fundador de la Royal Society de Londres. Su méritomás trascendental reside en haber establecido claramente la noción de limite en la forma rigurosa hoy vigente. Gran parte de la obra de Wallis en Cálculo, precedió a Newton y Leibniz, sobre quienes ejerció una notable influencia. Su obra “Aritmética Infinitorum” (1655) lo llevo a la fama. A lo largo de sus páginas abordaba cuestiones tales como las series, la teoría de los números, las cónicas, los infinitos… A Wallis se le atribuye la introducción del símbolo ∞, utilizado habitualmente para denotar el infinito.

 CHRISTIAN HUYGENS (1629-1895)

Físico, matemático, astrónomo Holandés, estudio en las universidades de Leiden y Breda. Después de publicar algunas obras de geometría, oriento sus conocimientos hacia la física e invento un reloj. Llevo a cabo sus principales trabajos en Paris, donde vivió hasta 1680. A partir de 1656 realizo, bajo el título de Ratiociniis in Ludo Aleae, el primer tratado completo conocido acerca del cálculo de probabilidades. En astronomía invento una combinación de lentes llamada Ocular de Huygens doblo la longitud de las lentes astronómicas aumentando considerablemente su espesor.

(1656). Fue el primero en señalar simplemente que las estrellas son otros soles. Pero sus descubrimientos más importantes pertenecen al campo de la física mecánica y la LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

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satélite, Titán (1655), la rotación de Marte y sus periodos, y la Nebulosa de Orión

Estas mejoras le permitieron descubrir el anillo de Saturno, así como su primer

óptica. Se le debe la teoría del pedúnculo compuesto, primera extensión de la dinámica de los sistemas materiales. Descubrió la concepción de la Fuerza Centrífuga (1673), el enunciado del teorema de las fuerzas vivas y la definición del momento de inercia. En 1669 ofreció una solución correcta al problema del choque, mediante la observación de la conservación de la cantidad de movimiento y de la fuerza viva. Durante su estancia en Francia escribe el famoso Tratado de la Luz (1678), que fue publicado en Leiden (1690), seguido del Discurso sobre la causa de la gravedad, que remite al concepto de la filosofía de la naturaleza. En el tratado de la luz, Huygens adopta una teoría ondulatoria, en la que supone que la luz está formada por vibraciones de un medio material muy tenue, el éter. Es el primer representante del espíritu científico moderno. Y lo es doblemente como físico experimental, por su gran capacidad de observación y los valores de sus respectivos experimentos; y como físico teórico, impulso un gran desarrollo de la utilización de las matemáticas en las ciencias naturales, la óptica y la mecánica. A su vez formulo de mejor modo la ley de la caída de los cuerpos en el vacío.

 ROBERT HOOKE (1635 - 1703) Científico

británico

investigó

bomba

neumática

experimento sobre la respiración y la combustión. Estudió el color y cuestiones de termometría, Ideó un dispositivo para medir el índice de refracción de los líquidos, polemizó con Newton sobre la naturaleza de la luz y sobre la prioridad del descubrimiento de la ley de la gravedad.

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Autor de un importante tratado de microscopio (1665).

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 JAMES GREGORY (1638 - 1675)

Matemático y astrónomo británico estudió las series en particular lo logarítmica, y estableció la distinción entre series convergentes y divergentes. En 1663 expuso teóricamente la construcción del telescopio reflector, que realizó Newton.

 GOTTFRIED WILHEIM LEIBNIZ (1646 - 1716)

Filósofo y matemático alemán, con independencia de Newton,

inventó

cálculo

infinitésimos

realizó

contribuciones importantes a la teoría dinámica del movimiento. Se le deben aportaciones de gran originalidad al campo de la lógica, destacando su tentativa de creación de un lenguaje universal que pudiera convertirse en instrumento de descubrimiento; a este proyecto estaba

asociada la

idea de una enciclopedia que abarcarse todo el saber humano.

 COLÍN MACLAURIN (1698 - 1746)

Matemático escocés. Desarrolló los trabajos de Newton sobre cálculo infinitesimal, geometría y teoría de la gravitación. Demostró que una masa de fluido homogéneo en rotación adquiere la figura de un elipsoide, y estableció

curvas. En su obra principal a Treatise of Fluxions (1742)

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rebatió las objeciones de G. Berkeley al cálculo diferencial, tratando de desarrollar propiedades de las fluxiones desde una base axiomática.

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una teoría correcta de los máximos y mínimos de las

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 DAVID BERNOULLI

Familia de matemáticos oriundos de Amberes, establecida en basilera. Daniel (1700 - 1782) realizó estudios fundamentales de hidrodinámica. Jacob (1654 - 1705) fue uno de los iniciadores del cálculo de probabilidades; su hermano Johann (1667 - 1742) Padre de Daniel fue maestro

de Euler. El teorema de Bernovilli, teorema

fundamental de la hidrodinámica formulado por Daniel, lo energía total de un líquido perfecto, en condiciones ideales, se conserva al fluir de un punto a otro.

 THOMAS SIMPSON

Matemático inglés (1710 - 1761) Autor de numerosos estudios de análisis matemático se le debe una fórmula para calcular, por aproximación, una integral definida. Se

conoce

por

sus

trabajos

acerca

la interpolación e integración numérica. Aquí la regla de Simpson lleva su nombre, la que en realidad, aunque en una

variante

más

simple

había

sido

formulada

1615

por Johannes

Kepler como Regla del barril y que se basa en conocimientos que vienen de los trabajos

Newton.

abstracta

Sin

embargo,

forma

del método de Newton es de su autoría y no

de Newton. Adicionalmente, Simpson se dedicó a la teoría de la probabilidad y a la

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teoría de errores.

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 JOHANN HEINRICH LAMBERT (1728 - 1777)

Matemático, Físico y Filósofo Alemán. Demostró la irracionalidad del número; realizó importantes estudios de fotometría; estudio la refracción de la luz, y estableció las leyes de su propagación rectilínea.

 CHARLES AGUSTÍN DE COULUMB (1736 - 1806)

Físico francés, expuso los fundamentos de la electrostática, enunciando la ley de interacción entre cargas eléctricas que lleva su nombre. Sus trabajos sobre magnetismo fueron la base de la teoría matemática posteriormente elaborada por Poisson.

 JOSEPHH LOUIS LAGRANGE (1736 - 1813)

Matemático francés contribuyó a la teoría de número, a la teoría de ecuaciones y al análisis en general. Aplicó los matemáticos al estudio de diversos problemas físicos y astronómicos. Estableció las ecuaciones del movimiento que llevar su nombre, e implantó el principio de

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las velocidades virtuales.

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 JOSEPH FOURIER Matemático físico francés (1768 - 1930) realizó estudios sobre la conductividad del calor e inventó un desarrollo especial en serie (serie de fourier), más útil para el estudio de los fenómenos periódicos (corrientes alternas, etc.)

 KARL FRIEDWICH GAUSS (1777 - 1855) Matemático físico y astrónomo alemán, cabe destacar su descubrimiento, a los 10 años de una construcción con regla y compás del heptadecágono, ampliada más tarde por él mismo hasta caracterizar todos los polígonos regulares construibles, en su tesis doctoral dio la primera demostración del llamado teorema fundamental del álgebra, según el cual todo polinomio admite una raíz, real o imaginaria. Su memoria Disquisiciones generales circa superficies curvas, marca el inicio de la geometría diferencial de superficies. Se le deben también importantes contribuciones a la teoría de números, el estudio de las series y unos estudios que no publicó, sobre la geometría no euclideas. Así mismo trabajo extensamente en lo que hoy se denomina física matemática. Teorema de Gauss. El flujo que sale de una superficie cualquiera, en cuyo interior existen cargas eléctricas, es igual al cociente entre la suma algebraica de dichas cargas y la constante dietética del medio.

 EVARISTE GALOIS (1811 - 1832)

Galois nació en 1811 y su vida fue de continuas frustraciones, intentó ingresar en la

y lo envió a la Academia de ciencias y se perdió sin haber sido presentado; e igual suerte corrió otro de sus trabajos sobre “ecuaciones algebraicas” que cauchy LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

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fracasó. A los 17 años de edad publicó su primer trabajo sobre “fracciones continuas”

Escuela Politécnica, a mejor de entonces en cuestiones de matemáticas, pero

encargado de examinar, lo perdió. Uno de los aportes más importantes en la matemática moderna es la “teoría de grupos”. Un “grupo” en matemática, es simplemente un conjunto de elementos asociados a una operación definida que goza de ciertas propiedades, siendo Galois quien empleo por primera vez el término grupo.

 RIEDMANN, BERNAHARD (1826 - 1866) Matemático alemán, uno de los creadores de la matemática moderna profesor en la Universidad de Gotenga desde 1857 realizó importantes estudios. Sobre análisis y geometría construyó un tipo de geometría, la geometría elíptica, utilizada posteriormente por pinstein como base geométrica de la teoría de la relatividad.

 GEORGE GABRIEL STOKES

Matemático y físico británico, nacido en Skreen, Irlanda, y formado en la Universidad de Cambridge. Fue profesor de matemáticas en Cambridge desde 1849 hasta su muerte y presidente de la Sociedad Real desde 1885 hasta 1890. Sus CollectedPapers (Obras completas, 5 volúmenes, 1880-1905) tratan de algunos de los problemas más oscuros de la física matemática. Especial atención merecen sus investigaciones sobre el movimiento

líquidos, y la teoría ondulatoria de la luz. Fue también un pionero en el estudio de la

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fluorescencia y refracción de la luz.

ondulatorio, los efectos del rozamiento en sólidos que se mueven a través de los

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 HERMITE CHARLES (1822 - 1901)

Matemático francés, fue uno de los grandes tratadistas e investigadores del análisis matemático de su siglo. Realizó investigaciones sobre las teorías de las formas algebraicas y escribió sobre la teoría de las funciones elípticas y sobre la función exponencial.

 GIBBS, JOSIOH WILLARD (1839 - 1903) Físico norteamericano autor de importantes estudios sobre aerodinámica y termodinámica.

 George Boole Boole recluyó la lógica a un álgebra simple. También trabajó en ecuaciones diferenciales, el cálculo de diferencias finitas y métodos generales en probabilidad. Boole primero concurrió a una escuela en Lincoln, luego a un colegio comercial. Sus primeras instrucciones en matemática, sin embargo fueron de su padre quién le dio también a George la afición para la construcción de instrumentos ópticos. El interés de George se volvió a los idiomas y recibió instrucción en latín de una librería local.

A la edad de 12 años había llegado a ser tan hábil en latín que provocaba controversia. El tradujo del Latín una Oda del poeta Horacio de lo cual su padre estaba tan orgullo que tenía su publicación. No obstante el talento era tal que un maestro de escuela local cuestionaba que nadie con 12 años

fue

nominado

para

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una

cátedra

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Boole

podría haber escrito con tanta profundidad.

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matemática en el Queens College, Cork en 1849. El enseñó allí por el resto de su vida, ganándose una reputación como un prominente y dedicado profesor. En el 1854 publicó Una investigación de las leyes del pensamiento sobre las cuales son basadas las teorías matemáticas de Lógica y Probabilidad. Boole aproximo en una nueva dirección reduciéndola a un álgebra simple, incorporando lógica en las matemáticas. Agudizó la analogía entre los símbolos algebraicos y aquellos que representan formas lógicas. Comenzaba el álgebra de la lógica llamada Algebra Booleana la cual ahora encuentra aplicación en la construcción de computadores, circuitos eléctricos, etc. Boole también tradujo en ecuaciones diferenciales, el influyente “Tratado en Ecuaciones Diferenciales” apareció en 1859, el cálculo de las diferencias finitas, “Tratados sobre el Cálculo de las Diferencias Finitas” (1860), y métodos generales en probabilidad. Publicó alrededor de 50 escritos y fue uno de los primeros en investigar las propiedades básicas de los números, tales como la propiedad distributiva que fundamento los temas del álgebra. El álgebra Booleana tiene una amplia aplicación en el swithc telefónica y en el diseño de computadores modernos. El trabajo de Boole ha llegado a ser como un paso fundamental en la revolución de los computadores hoy en día.

 George Friedrich Bernhard Riemann Las ideas de Riemann concernientes a la geometría del espacio tuvieron profundos efectos en el desarrollo de la teoría física moderna. Clarificó la noción de Integral, definiendo lo que ahora llamamos Integral de Riemann.

enseñanza de Jacobi, Dirichlet y Eisenteins. El año 1849 retornó a Gottingen y su

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Página

tesis supervisada por Gauss fue presentada en el año 1851.

Riemann se trasladó de Gottingen en Berlín el año 1846 para estudiar bajo la

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En su informe de la tesis Gauss describe a Riemann como alguien que tenía una fácil y gloriosa originalidad. Con las recomendaciones de Gauss, Riemann fue nominado para un puesto en Gottingen. Los escritos de Riemann de 1854 llegaron a ser un clásico en las matemáticas y estos resultados fueron incorporados dentro de la teoría de la relatividad y gravitación de Einstein. La cátedra de Gauss en Gottingen fue ocupada por Dirichlet en el año 1855 y después de su muerte por Riemann. Aún en esos tiempos sufrió de tuberculosis y estuvo sus últimos años en Italia en un intento por mejorar su salud. Las ideas de Riemann concernientes a la geometría del espacio tuvo un profundo efecto en el desarrollo de la teoría moderna y proveía los conceptos y métodos usados después en la Teoría de la Relatividad. Era un original pensador y un anfitrión de métodos, teoremas y conceptos que llevan su nombre. Las ecuaciones de Cauchy – Riemann (conocidas un tiempo antes) y el concepto de la superficie de Riemann aparecen en su tesis de Doctorado.

 Carl GotTfried Neumann

Nació: 7 de Mayo 1832 en Konigsberg, Alemania (cerca de Kaliningrad, Rusia). Carl Neumann era hijo de Franz Neumann y amigo en la universidad de Hesse. Trabajó en una extensión amplia en los tópicos de las matemáticas aplicadas tal como física matemática, teoría de potencia y electrodinámica. También hizo importantes contribuciones a las matemáticas. Estudió el orden de conectividad de las

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superficies de Riemann.

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 Edmund Taylor Whittaker

Whittaker fue un graduado de Cambridge y llegó a ser astrónomo real de Irlanda en el 1906, luego en el año 1912 tomó la cátedra de Chrystal en Edimburgo y permaneció en Edimburgo por el resto de su carrera. Su hija mayor se casó con Copson. Fue Sir en el año 1945. Whittaker es más conocido por su trabajo en el Análisis, en particular Análisis Numérico, pero también trabajó en la historia de las matemáticas aplicadas y la física. Su “Curso de Análisis Moderno” de 1902 es importante en el estudio de las Funciones de Variable Compleja. También estudió funciones especiales y sus relaciones con las ecuaciones diferenciales. Uno de sus más importantes estudios fue “Una historia de las Teorías de Electricidad, de la Edad de Descartes término del siglo diecinueve (1910). En el año 1953 realizó una revisión a esta versión, incluyendo el trabajo desde 1900 al 1925.

 Alexander,Aitken(1 de abril de 1895 – 3 de noviembre de 1967) Fue un matemático neocelandésdotado de una enorme capacidad para el cálculo y la memorización.

sus

conferencias

solía

impresionar

audiencia

realizando cálculos mentales. Realizó estudios en matemáticas, estadística y economía, en 1936 se volvió un

Página

Sociedad, y diez años más tarde se le designó para ocupar el puesto de Whittaker.

asiduo estudioso de la estadística, ese año fue escogido como miembro de la Real

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Aitken tenía una memoria increíble, podía al instante multiplicar, dividir y calcular raíces de números bastante grandes. Describió sus procesos mentales en un artículo, en el cual dice que, desde pequeño tuvo la habilidad de familiarizarse con los números, adquirida como algo innato y agudizado por la práctica.

Los

trabajos

matemáticos

Aitken,

fueron

estadística, análisis numérico y álgebra. En análisis numérico

introdujo

idea

aceleración

convergencia de métodos numéricos. También introdujo un método de interpolación lineal progresiva. En álgebra realizó

muchas

contribuciones

teoría

Página

determinantes.

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4. ETIMOLOGÍA DE LA ESTADÍSTICA STATERA (GRIEGO) BALANZA STATUS (LATÍN) SITUACIÓN

STAAT (ALEMÁN) ESTADO

El origen etimológico de la palabra estadística no está bien determinada, puesto que existen distintas opiniones y referencias. Para algunos proviene de la voz griega “STATERA” que significa balanza, otros sostienen que se deriva del latín “STATUS” que significa situación, mientras que otros autores afirman que viene del alemán “STAAT” que significa estado.

5. DEFINICIÓN DE ESTADÍSTICA Al igual que lo ocurrido en otras disciplinas a lo largo del tiempo han ido apareciendo numerosas definiciones de estadística, definiciones que pretendían contener todas las características fundamentales de materia objeto de definiciones. La diversidad de definiciones es la consecuencia de la misma evolución cronológica del pensamiento científico que al irse descubriendo nuevas aplicaciones de los métodos estadísticos y habiéndose obligado a utilizar antiguos conceptos para ampliarlos sucesivamente de modo que las nuevas definiciones obtuviesen los

Página

nuevos descubrimientos y aplicaciones.

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Así mismo, cabe señalar que la estadística está relacionada con la evolución de los pueblos. “La estadística es la recopilación, presentación, análisis e interpretación de datos numéricos con el fin de inferir las leyes por los que se rigen para poder realizar predicciones sobre el comportamiento de las variables que intervenga”

La estadística es una herramienta que ayuda a tomar decisiones racionales porque: “El pasado puede evaluarse, en el presente puede ser descrito y en el futuro puede ser previsto”

“La estadística es el arte de la toma de decisiones en época de incertidumbre”

Considera la estadística, por unos como ciencia y por otros como un método científico, sin embargo la estadística puede definirse actualmente como, la recopilación, presentación, análisis e interpretación de los datos numéricos con el fin de inferir las leyes por las que se rigen. “Para poder realizar predicciones sobre el

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comportamiento de las variables que intervengan”.

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ESTADISTICA COMO CIENCIA Y COMO ARTE Se dice que es una ciencia porque sus métodos son básicamente sistemáticos y de amplia aplicación y es un arte por que el éxito de sus aplicaciones depende de la habilidad, experiencia especial y capacidad de la persona que la usa. La estadística como ciencia cumple los aspectos principales del método científico tales como: Realización de experimentos y observaciones. Obtención de conclusiones y proposiciones objetiva a partir de los resultados de dichos experimentos y observaciones. Formulación de leyes que simplifiquen la descripción de un gran número de experiencias y observaciones.

Se dice que es un arte porque el éxito de sus aplicaciones depende de la habilidad experiencia especial y conocimiento de la persona quien la usa.

 MÉTODOS ESTADÍSTICOS Son los métodos que se han ideado para realizar las estadísticas presentadas en forma adecuada y determinar la significación de los datos obtenidos en ellas.

Clases de Estadística Dentro de la Estadística existen tres clases:

ESTADÍSTICA INDUCTIVA

ESTADÍSTICA MODERNA Página

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

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A.- Estadística Descriptiva La estadística descriptiva analiza, estudia y describe a la totalidad de individuos de una población. Su finalidad es obtener información, analizarla, elaborarla y simplificarla lo necesario para que pueda ser interpretada cómoda y rápidamente y, por tanto, pueda utilizarse eficazmente para el fin que se desee. El proceso que sigue la estadística descriptiva para el estudio de una cierta población consta de los siguientes pasos: Selección de caracteres dignos de ser estudiados. Mediante encuesta o medición, obtención del valor de cada individuo en los caracteres seleccionados. Elaboración de tablas de frecuencias, mediante la adecuada clasificación de los individuos dentro de cada carácter. Representación gráfica de los resultados (elaboración de gráficas estadísticas). Obtención de parámetros estadísticos, números que sintetizan los aspectos más relevantes de una distribución estadística.

B.- Estadística Inductiva

La Estadística Inductiva, o también llamada Estadística de Pronóstico, es aquella que realiza un estudio detallado de los elementos de una determinada muestra para poder posteriormente generalizarlos a la población.

C.- Estadística Moderna

La denominada Estadística Moderna va más allá del proceso de recopilación, presentación e interpretación de los datos numéricos seleccionados con el auxilio del

Predecir condiciones futuras mediante el conocimiento de las condiciones pasadas y presentes. Como ejemplo podemos mencionar a la Teoría de los Seguros. LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

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Página

cálculo de las probabilidades; y se propone además:

Lograr información sobre una gran masa de datos, tomando para ella una muestra representativa. Un ejemplo lo tenemos en los llamados Surveys, encuestas de opinión, investigaciones de mercados, entre otros.

Limitaciones de los Análisis Estadísticos La inevitable existencia de errores de observación, así como la dificultad de realizar distintas observaciones bajo las mismas condiciones, son limitaciones de que padecen los resultados de la aplicación de los métodos estadísticos; lo cual hace que sus resultados no deban ser interpretados en términos de exactitud, si no de valores medios o probables.



Objetivos de la Estadística

La estadística tiene como objetivos el: 1) Decidir si un fenómeno puede ser observado. 2) Observar la naturaleza del fenómeno. 3) Registrar las observaciones realizadas. 4) Agrupar hechos de la misma naturaleza. 5) Analizar las observaciones. 6) Interpretar los resultados. 7) Extraer conclusiones válidas para el presente.

Página

8) Predecir situaciones para el futuro.

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

Mal uso de las Estadísticas

Muy a menudo las estadísticas se emplean en forma incorrecta. Por esto se justifican los aforismos de “Eliana Simon”: “Todo se puede probar con pruebas y lo que no se puede probar con pruebas se prueba con estadísticas”. “Hay tres clases de mentiras: mentiras, mentiras reprobables y estadísticas”. “Las cifras no mienten pero los mentirosos piensan”.



Finalidad de la Estadística en la Industria

La Estadística dentro de la Industria y las empresas en general, tiene como principales objetivos los siguientes: Adquirir una visión general del movimiento económico y de los stocks. Describir las relaciones de causa - efecto en las manifestaciones económicas de la empresa. Reconocer y separar, en vista del control, lo normal de lo anormal.



Fuentes de datos estadísticos

Los datos estadísticos se obtienen en principio como consecuencia de determinadas observaciones; es así que los datos necesarios para confeccionar estadísticas

Página

pueden obtenerse de dos formas básicas:

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1) La recepción esporádica o habitual de ellos; por ejemplo: la contabilidad, las auditorías, los inventarios anuales, los censos, las encuestas, los experimentos, etc. 2) Por otro lado, los datos pueden haberse obtenido por:

Censos.-Cuando

se cuentan todos los elementos y se registran sus

características.

Muestras.-Cuando se relaciona cierto número de elementos de una población o universo con sus características. Los valores que se refieren a las poblaciones se llaman parámetros y los valores que se refieren a las muestras se llaman estadígrafos. Uno de los principales aspectos de la investigación estadística es hacer inferencia acerca de las características de una población a base de una o más muestras extraídas de ella con sus características generales. Los resultados obtenidos de las observaciones efectuadas sobre las muestras se admite como válido en términos generales para la totalidad del colectivo, a condición de que la muestra elegida satisfaga un cierto número de preguntas para que la muestra o colectivo parcial objeto de observación pueda asumirse como representativa del colectivo total.



Teoría de las Muestras

La Teoría de las Muestras estudia, con ayuda del cálculo con probabilidades, las normas de elección de las muestras; para que sustituyan a la población o universo con

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cierto grado de confianza.

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

Normas que debe tener un cuestionario para la recolección de datos

Un procedimiento muy utilizado para la obtención de datos estadísticos, y en particular en las investigaciones sobre el mercado de ciertos productos, es el cuestionario; el cual debe cumplir con las siguientes normas: 1. Adecuado nivel de cultura de los interrogados. 2. Claridad en las preguntas, de tal modo que las respuestas puedan darse mediante un número o sea con la palabra Sí o No. 3. El cuestionario debe ser completo; es decir, debe contener todas las preguntas cuyas respuestas puedan interesarnos, pero tampoco más, ya que el recargo con preguntas inútiles solo induce al interrogado (a la vista de su extensión) a contestarlo rápidamente sin la necesaria reflexión sobre sus respuestas, falseándolas. 4. Discreción, no debe tener preguntas indiscretas. Ejemplo: ¿Ud. tiene SIDA?. 5. La comprobación, debe llevar preguntas que se comprueben unas con otras del

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modo más aproximado posible.

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SÍMBOLOS ESTADÍSTICOS Existe un grupo de símbolos muy utilizados en la estadística, sin embargo, no existe absoluta uniformidad en el empleo de estos signos y la notación varía de un autor a otro. Los símbolos estadísticos más utilizados son los que a continuación se presentan

SÍMBOLO

DETALLE

Límite real inferior de clase.

Límite real superior de clase.

L1 - L2

Clase real.

YI´- 1

Límite ordinario inferior de clase

YI´

Límite ordinario superior de clase

YI´-1 – YI´

Clase ordinaria

Punto medio o marcha de clase

Frecuencias absolutas de clase

Frecuencias absolutas acumuladas

Total de frecuencias absolutas

Número de clases

i ó c

Amplitud de clase o rango de clase

Frecuencia relativa de clase o porcentuales

Frecuencia relativa acumulada

Desvío

Diferencia entre la mayor frecuencia de clase y la frecuencia de la clase contigua inferior.

Diferencia entre la mayor frecuencia de clase y la frecuencia de la clase contigua posterior.

Desvío

Medida arbitraria o medida supuesta

Medidas relativas de orden R

Población del último censo

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N°

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PoblaciĂłn del penĂşltimo censo

Probabilidad de la presencia de un acontecimiento.

Probabilidad de la ausencia de un acontecimiento.

P + q

đ??ąĚ&#x2026;

Media aritmĂŠtica

Media geomĂŠtrica

Media armĂłnica

RMS

Media cuadrĂĄtica

La mediana

La moda

Q1, Q2, Q3

Cuartiles

D1, D2,â&#x20AC;Ś D9

Deciles

P1, P2,â&#x20AC;Ś P99

Percentiles

Rango o amplitud total

Coeficiente de correlaciĂłn

D.Q.

DesviaciĂłn cuartil

2 2 S Ăłđ?&#x203A;&#x201D;

Varianza

S2c

Varianza corregida

S Ăłđ?&#x203A;&#x201D;

DesviaciĂłn estĂĄndar

DesviaciĂłn estĂĄndar corregida

Coeficiente de variaciĂłn

Variable normalizada o referencia tipificada.

SXY

Covarianza.

1ER CSKP

Primer coeficiente de sesgo Karl Pearson.

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ESTADĂ?STICA BĂ SICA

PĂĄgina

2DO CSKP

Segundo coeficiente de sesgo Karl Pearson

CSq

Coeficiente de sesgo cuadrĂĄtico

CSp

Coeficiente de sesgo percentĂlico.

CSm

Coeficiente momentos.

CKp

Coeficiente de KurtosispercentĂlico.

CKm

Coeficiente de Kurtosis en funciĂłn de Los momentos.

Momentos

Ě&#x2026; M1 = đ?&#x2019;&#x2122;

Momento de primer orden.

M2 = S 2

Momento de segundo orden.

M3= sesgo

Momento de tercer orden.

M4 = kurtosis

Momento de cuarto orden.

Momento de segundo orden corregido

u + 1

ComprobaciĂłn Charlier

M4c

Momentos de cuarto orden corregido.

M4r

Momentos de cuarto orden relacionado.

đ??&#x2022;đ??§đ??Ť

VariaciĂłn de â&#x20AC;&#x153;nâ&#x20AC;? elementos tomados de â&#x20AC;&#x153;râ&#x20AC;? en â&#x20AC;&#x153;nâ&#x20AC;?

đ??&#x201A;đ??§đ??Ť

Combinaciones de â&#x20AC;&#x153;nâ&#x20AC;? elementos tomados de â&#x20AC;&#x153;râ&#x20AC;? en â&#x20AC;&#x153;nâ&#x20AC;?

Pn= n!

Permutaciones de â&#x20AC;&#x153;nâ&#x20AC;? elementos o factorial de â&#x20AC;&#x153;nâ&#x20AC;?.

Y. f(x) ď&#x192;&#x17E; Y = a + bx

Tendencia rectilĂnea.

X. f(y) ď&#x192;&#x17E; X = a + by

RegresiĂłn

Y = a + bX + cx2

Tendencia parabĂłlica.

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funciĂłn

sesgo

PĂĄgina

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Y = a bx

Tendencia exponencial.

log y = log a + log(b)x

Tendencia logarĂtmica.

Y = k + abx

Tendencia exponencial modificada.

Y =

Y = đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;&#x192;

đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x152;+đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;&#x2122; đ?&#x2019;&#x2122;

Ě&#x2026; )đ?&#x;? â&#x2C6;&#x2018;(đ??Ľđ??¨đ?? đ??&#x2DC;đ??˘ â&#x2C6;&#x2019; đ??Ľđ??¨đ?? đ??&#x2DC;đ??˘ đ??˛=â&#x2C6;&#x161; đ???

Tendencia logĂstica. Curva de Gompertz.

Tendencia de extrapolaciĂłn.

Tiempo

đ?&#x203A;&#x2018;

3.141592654

PĂĄgina

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PRESENTACIÓN DE LOS DATOS Las obras estadísticas se obtienen de diversas fuentes ejm: ciencias, muestreos. Una vez realizada la recopilación de datos o informaciones con fines estadísticos, es necesario presentarlos mediante:

1. La palabra, mal uso de las estadísticas, (políticos, demagogos). 2. Gráficos de series cronológicas, histogramas y polígonos de frecuencias, correlación, regresión, etc.

3. Cuadros o tablas de distribución de frecuencias.

ESTADIGRAFÍA (TIPOS DE GRÁFICOS) Mediante los gráficos podemos representar todo tipo de datos estadísticos; por lo que la estadigrafía está compuesta por diferentes tipos de gráficos:

a. Gráfico de barras. b. Gráfico de barras compuestas. c. Gráfico de líneas. d. Gráfico de líneas que se entrecrucen. e. Gráfico de líneas que no se entrecruzan. f. Gráfico de partes componentes. g. Gráfico de dimensiones. h. Pictogramas. i. Mapas estadísticos. j. Gráficos en espiral.

Página

k. Gráficos en forma Z.

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

Presentación de datos estadísticos

Existe tres formas para la presentación de datos estadísticos y que estos estén organizados:

1. Presentación con palabras

2. Tablas estadísticas

3. Graficas estadísticas

Cuando una serie de datos incluye solamente unos pocos ítems, la palabra escrita puede ser usada para presentar apropiadamente los hechos. Sin embargo, cuando un gran número de datos está siendo presentado, la presentación con palabra escrita se vuelve ineficiente y pesada. En este caso, tablas y gráficas estadísticas son preferidas. Cuando los datos estadísticos se presentan en forma de tablas, los datos son arreglados sistemáticamente en columnas o hileras. Un diagrama estadístico o gráfica es un medio plástico para presentar datos estadísticos. Se construye usualmente de acuerdo con la información proporcionada en una tabla.



TIPOS DE TABLAS ESTADÍSTICAS

Las tablas estadísticas pueden ser agrupadas en dos tipos de acuerdo con los propósitos para los cuales sirven las tablas: 1.

Tablas para propósitos generales( también llamadas tablas de referencia o tablas repositorias)

Tablas para propósitos especiales(también llamadas tablas resumen, tablas de texto o tablas analíticas).

Las tablas para propósitos generales proporcionan información para referencia o uso general. No se construyen para una exposición específica. En otras palabras, las generales frecuentemente incluyen información detallada. Son arregladas para fácil

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referencia.

tablas sirven como un depósito de información. Por lo tanto, las tablas para propósitos

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Las tablas publicadas por agencias gubernamentales son casi siempre de esta clase, tales como las del StatiscalAbstract of theUnitedStates, Survey of Business y Federal Reserve Bulletin. Por ejemplo, el Survey of Current Business tiene una tabla titulada “Empleo y Población” que muestra el número de empleados en manufactura, minería, construcción, transporte, comercio al mayoreo y menudeo, gobierno y otras áreas en los EE.UU. Ésta tabla es una tabla de propósitos generales, puesto que solamente dice hechos que no son para una discusión particular. Cuando las tablas de propósitos generales son usadas por un investigador, son usualmente colocadas en el apéndice del informe para fácil referencia. Las tablas para propósitos especiales proporcionan información para una exposición particular. Una tabla para propósitos especiales debería ser diseñada de tal forma que un lector pueda dirigirse fácilmente a la tabla para comparación, análisis o énfasis concerniente a la exposición particular. Por lo tanto, la tabla debería ser construida de una manera breve y simple y debería ser colocada cerca de la exposición textual pertinente. Las tablas usadas en este capítulo son de esta clase. Por ejemplo, la tabla 1 es diseñada para mostrar las partes principales de una TABLA ESTADISTICA y está colocada cerca de la exposición de las partes.



PARTES PRINCIPALES DE UNA TABLA

El número de partes en una tabla estadística puede variar. En general, una tabla

Título

Encabezado

Conceptos o columna matriz

Cuerpo

Nota de encabezado

Nota de pie

Fuente de los datos

Página

completa, tal como la tabla 4-1, puede incluir siete partes principales. Estas son:

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ESTADÍSTICA BÁSICA

Las primeras 4 partes son básicas y deben ser incluidas en cualquier tabla estadística. Las 3 partes restantes son adicionales y pueden o no estar presentes en algunas tablas, dependiendo de la información dada. Sin embargo, siempre que sean aplicables, las partes adicionales deben también estar presentes en la tabla. La exposición concerniente a las siete partes principales es dad más abajo. Generalmente, todas las partes deberían ser presentadas en una forma clara y simple, pero completa, tal que el lector pueda gastar la menor cantidad de tiempo y obtener la mayor información de la presentación de la tabla.

 TÍTULO El título es una descripción del contenido de la tabla. Debería ser compacto y completo. Un título completo usualmente indica: •

¿que son los datos incluidos en el cuerpo de la tabla?

•

¿dónde está el área representada por los datos?

•

¿cómo están los datos clasificados?

•

¿cuando ocurrieron los datos?

El título de la tabla 1 ilustra las cuatro descripciones completas: Qué- inscripciones, donde-instituciones de educación superior, como—por tipo de institución y por sexo, y cuando – 2010 y 2014. Cuando más de una tabla es presentada en una exposición, cada tabla deberá ser numerada. El número de la tabla es necesario, puesto que es más fácil referirse a una

Página

tabla número que al título entero de la tabla.

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TABLA 1 INSCRIPCIÓN SUPERIOR 2010 Y 2014

ENCABEZADO

CONCEPTOS

Tipo de institución Todas las instituciones Universidades Colegios de artes liberales Escuelas profesionales independientes: Normales Escuelas tecnológicas Escuelas teológicas Otras Preparatorias

(EN MILES) 2010

2014

TOTAL

HOMBRES

MUJERES

TOTAL

HOMBRES

MUJERES

3610 1551 1028

2271 1072 560

1339 479 468

4988 2111 1396

3052 1397 756

1936 714 640

359 107 42 70 454

171 99 33 52 283

188 7 9 18 170

498 123 48 99 713

238 111 37 72 441

260 11 11 26 273

Inscripción del semestre de otoño de estudiantes regulares. Incluye Alaska, Hawai, Puerto Rico, Zona del Canal y Guam. La suma de las cifras detalladas puede no concordar con los totales debido a redondeo.

FUENTE

Fuente : U.S. Departament of Commerce, Statiscal Abstract of the United States, 1965, p.129.

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Página

NOTA DE PIE

NOTA DE ENCABEZADO

CUERP O

TÍLULO

EN INSTITUCIONES DE EDCUCACIÓN POR TIPO DE INSTITUCIÓN Y POR SEXO,

ESTADÍSTICA BÁSICA

 ENCABEZADO El encabezado, es el título de la parte superior de una columna o columnas. Las tablas más simples pueden consistir de solamente dos columnas y dos encabezados: uno para los conceptos y otro para los datos. Sin embargo, muchas tablas tienen más de dos encabezados y algunas veces tienen encabezados principales y sus encabezados. Por ejemplo, en la tabla1 además del encabezado de la columna matriz o conceptos, hay dos encabezados principales, 2010 y 2014. Cada uno de los dos encabezados principales tiene tres sus encabezados: total, hombre y mujeres.

 CONCEPTOS O COLUMNA MATRIZ Las descripciones en hileras de la tabla son llamadas conceptos. Los conceptos son colocados al lado izquierdo de la tabla. Usualmente representan las clasificaciones de las cifras incluidas en el cuerpo de la tabla. La naturaleza de las clasificaciones es indicada por los encabezados de la columna, incluyendo la columna matriz. Por ejemplo, las clasificaciones en la columna matriz están basadas en el “Tipo de institución” en la tabla 1. Cada concepto puede ser dividido en subconceptos si es necesario. El concepto “escuelas profesionales independientes” es dividido en cuatro subconceptos en la tabla 1.

 CUERPO El cuerpo es el contenido de los datos estadísticos. Los datos presentados en el cuerpo son arreglados de acuerdo con las descripciones o clasificaciones de los encabezados y conceptos. Por lo tanto, la presentación efectiva de los datos en la tabla depende de los arreglos de las columnas e hileras.

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 NOTA DE ENCABEZADO Las notas del encabezado son usualmente escritas justamente arriba de los encabezados y abajo del título. Son usadas para explicar ciertos puntos relacionados con la tabla completa que no han sido incluidos en el titulo ni en los encabezados ni en los conceptos. Por ejemplo, la unidad de los datos es frecuentemente escrita como una nota de encabezado, tal como “en miles” en la tabla 1.

 NOTA DE PIE Las notas de pie son usualmente colocadas abajo de los conceptos. Son usadas para clarificar algunas partes incluidas en la tabla que no son explicadas en otras partes, tal como las notas de pie en la tabla 1.

 FUENTE La fuente de los datos, o simplemente fuente, es usualmente escrita abajo de las notas de pie. Si los datos fueron recopilados y presentados por la misma persona, es costumbre no establecer la fuente en la tabla. Los detalles concernientes a la recopilación son mencionados en la exposición junto con la presentación de las tablas. Sin embargo, si los datos fueron tomados de otras fuentes, tales como fuentes primarias o secundarias de datos publicados, las fuentes de los datos deberán ser declarados en la tabla. La declaración permitirá al lector comprobar o evaluar los datos, u obtener información adicional de la fuente original, si es necesario, y dará propio crédito o responsabilidad al recopilador original de los datos.



CONSTRUCCION DE LAS TABLAS

Después de que los datos recopilados son organizados, el propósito de una tabla está

efectiva. Solamente los puntos más importantes son expuestos más abajo.

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Página

todavía muchos otros puntos que deberían ser considerados al construir una tabla

determinado y las partes principales de la tabla son revisadas; hay, sin embargo,

SIMPLIFICAR LA PRESENTACION DE LAS TABLAS Una tabla se presenta para que la lean los lectores. Si es muy complicada, demasiado larga o si no está clara para el lector, su valor se reduce. Por lo tanto, se prefiere una presentación simplificada de datos. Por ejemplo, si hay muchos hechos a ser presentados, es preferible usar varias tablas sencillas a una sola tabla complicada.

Tratar un tema de una tabla Solamente cuando un tema es mostrado en una tabla, la relación entre las partes individuales puede ser vista fácilmente o analizada por los lectores. Usualmente ocurren confusiones cuando una tabla incluye dos o más temas no relacionados. Hacer un arreglo ordenado de clasificaciones Las clasificaciones incluidas en una tabla deberán ser arregladas de una manera ordenada tal que puedan ser usadas más efectivamente por un lector al hacer análisis y comparaciones de los datos incluidos. Fue establecido que, en general, los datos estadísticos pueden ser clasificados de acuerdo con 4 bases: cronológica, geográfica, cuantitativa y cualitativa. Los métodos más comunes de arreglar el orden de las clasificaciones de acuerdo a las cuatro bases son dados en seguida. Cronológica Los datos clasificados por intervalos de tiempo son usualmente arreglados en orden cronológico, ya sea principiando con el periodo más antiguo o con el periodo más reciente. En general, el primer arreglo, empezando con el periodo más antiguo, es preferido. Sin embargo, si los eventos recientes deben ser enfatizados, el último arreglo es usado más frecuentemente.

Geográfica Las clasificaciones geográficas pueden ser arregladas en orden alfabético o de acuerdo

a la importancia de ciertas áreas. En algunos casos, las clasificaciones son listadas en Página

un orden tradicional establecido.

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Cuantitativa Las clasificaciones basadas sobre cantidad son arregladas usualmente, ya sea en orden ascendente (de menor a mayor) o en orden descendente (de mayor a menor).

Cualitativa Las clasificaciones basadas sobre cualidad son arregladas usualmente en orden de importancia, tal como las clasificaciones que figuran en la tabla 1. Sin embargo, si la importancia de clases individuales no va a ser enfatizada, el orden alfabético es preferido para fácil referencia. En algunos casos, el orden puede haber sido establecido por tradición o costumbre.

Uso efectivo de clasificaciones cruzadas o de doble entrada En una tabla simple de dos columnas, los conceptos listados en la columna de la izquierda representan las clasificaciones de los datos mostrados en la tabla. Sin embargo, los datos son frecuentemente clasificados en forma cruzada en una tabla. En este caso, tanto los conceptos como los encabezados de la tabla son usados para representar diferente clasificaciones de datos. La tabla 1 es una tabla de doble entrada. Los dos encabezados principales 2010 y 2014 representan las clasificaciones basadas en tiempo, mientras que los conceptos representan los tipos de instituciones; tanto los conceptos como los encabezados son usados para mostrar los datos de inscripción. Los dos encabezados principales y uno de los conceptos, “Escuelas profesionales independientes”, en la tabla son aun divididos en subgrupos para llenar las necesidades. Es posible para cada subgrupo ser aun dividido en muchos grupos pequeños. Sin embargo, el propósito de clasificar datos en una tabla es colocar ítems similares en un grupo tal que los detalles sean reducidos y los datos puedan ser presentados efectivamente para análisis. Muchos grupos pequeños pueden frustrar el propósito de la presentación de una tabla. Si los datos en una tabla deben ser divididos y subdivididos en muchos grupos pequeños para análisis, varias tablas simples son

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preferidas en vez de una tabla de doble entrada.

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Hacer fáciles las comparaciones Si ciertas van a hacerse, las cifras incluidas en una tabla deberán ser arregladas en tal forma que puedan ser fácilmente comparadas. En general, las cifras pueden ser comparadas más fácilmente cuando son colocadas en una columna más bien que en una hilera. Cuando dos o más conjuntos de cifras van a ser comparadas, deberán ser colocadas en columnas adyacentes o tan cercanas como sea posible. Por ejemplo, el arreglo de los encabezados en la tabla 1 es fácil para hacer comparaciones entre estudiantes hombres

y estudiantes mujeres para

años individuales.

Si las

comparaciones entre hombres y mujeres para diferentes años son deseadas o enfatizadas, los encabezados pueden ser arreglados como sigue:

institución

Hombres

Total

Tipo de 2010

2014

2010

2014

Mujeres 2010

2014

Enfatizar cifras importantes Las cifras importantes deberán ser colocadas en las posiciones más notables en una tabla. Puesto que los hábitos de los lectores son generalmente tales que leen de izquierda a derecha y de arriba hacia abajo, la columna más cercana a la de conceptos y la fila inmediatamente debajo de los encabezados son consideradas como las de posiciones más notables. En la tabla 4-1, la columna que muestra el total de 2011 y la hilera que muestra el total para todas las instituciones son consideradas como la de posición más notable y son usadas para enfatizar las cifras importantes. Las cifras importantes pueden también ser enfatizadas por el uso de diferentes colores o tipos de letras, tales como cursivas, negritas. En muchos casos, las cifras que representan totales son impresas en negritas.

Redondeo de detalles innecesarios

son suficientes. Al redondear las cifras exactas a aproximaciones, es costumbre redondear los dígitos después de una de las comas o puntos, los cuales son usados LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

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especialmente si cada cifra consiste de muchos dígitos. En su lugar, cifras aproximadas

Muchas tablas estadísticas no son diseñadas para mostrar cifras exactas,

para separar los dígitos en grupos de tres. Esto es, redondear números a unidades de miles, millones o billones, más bien que otras unidades. Por ejemplo, la cifra 2.346,783 puede ser redondeada al millar más cercano, 2,347 millares o al millón más cercano 2.347 millones, pero no 234.7 diez-miles u otras unidades. El método más común de redondear un número a su valor más cercano en estudios estadísticos, puede ser resumido en las siguientes reglas: 1. Si la porción de dígitos a ser eliminada principia con 4 o menos, dejar el digito precedente sin cambio. 478.49987 es redondeado a 478 si la parte decimal (49987) es suprimida. 45.356,589 es redondeado a 45 millones si la porción 356,589, la cual es menor que 1 millón, es suprimida. 2. Si el digito exacto 5, o 5 seguido por ceros solamente, va a ser suprimido, haga el digito precedente par o siga las siguientes reglas: a) Si el digito precedente es impar, aumente 1 al digito. 37.5 o 37.500 es redondeado a 38, puesto que 7 es un digito impar. 683,500 es redondeado a 684,000, puesto que 3 es un digito impar. b) Si el digito precedente es par, deje el digito sin cambio. 48.5 es redondeado a 48.0, puesto que 8 es un digito par.34, 500 es redondeado a 34,000, puesto que 4 es digito par. Este método trata de reducir a un mínimo el error acumulativo al redondear. Cuando esta intención no puede cumplirse, la necesidad de redondeo debe ser cuidadosamente examinada. Por ejemplo, si las cifras en un grupo todas terminan exactamente en 5, tales como los recibos de una tienda en 25$, 45$ , 65$ y 85$, el proceso de redondeo eliminara todos los 5. En tales casos, deberá ser mejor retener los 5$ en vez de redondear 25$ a 20$, 45$ a 40$, y así sucesivamente.

3. Si la porción de dígitos a ser eliminada principia con 5 seguidas por dígitos de cero o con un número superior a 5, aumentar 1 al digito precedente. Así,

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456,982 es redondeado a 457,000 si la porción 982 es suprimida.

13,467.5008 es redondeado a 13,468 si la parte decimal (5,008) es suprimida.

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Frecuentemente, el total de cifras redondeadas en una tabla no concuerda exactamente con el total redondeado de las cifras originales. Por ejemplo, la inscripción total original de todas las instituciones en 2011, como se muestra en la tabla 4-1 es redondeada a 3,610 miles. El total de cada tipo de institución es también redondeado a miles, tal como la inscripción total en las universidades es redondeado a 1,151 miles. Sin embargo, el total de los totales redondeados de tipos individuales no es 3,610 sino 3,611, o1,551 + 1,028 + 359 +107 + 42 + 70 + 454 = 3,611 (miles) En este caso, puede ser adoptado uno de los métodos comúnmente usados: a)

Agregar una frase en la nota de pie, tal como la segunda nota de pie en la tabla 4-1, “la suma de las cifras detalladas no concuerda con los totales mostrados debido a redondeo”.

Ajustar uno de los sumandos de tal manera que el total de los números redondeados concuerde con el total redondeado. El número a ser ajustado debería dar la menor cantidad de cambio.

Por ejemplo, en la segunda columna de abajo, los números redondeados no sumarian el total redondeado 89 (≠18 + 7 + 63 = 88). El total redondeado 89 es obtenido por redondeo del dato original total 88.52.

Numero original

Numero redondeado ajustado

18.40

Numero Redondeado (redondeo individual) 18

7.20

62.92

----------

---------

--------

88 (suma) 88.52

En este caso, 18.40 es ajustado a 19, puesto que este ajuste da la menor cantidad Página

de cambio, o 0.60 (=19 – 18.40).

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Si 7.20 hubiera sido ajustado a 8, el cambio hubiera sido mayor, o 0.80 (=8 – 7.20). Los números redondeados ajustados que figuran en la tercera columna de arriba suman ahora el total 89.

Mejorar la apariencia de la tabla Una tabla sobre una hoja de papel con apariencia clara, agradable y buena disposición ciertamente aumentara la efectividad de presentación de los datos al lector. Los medios más comunes que son usados para mejorar la apariencia de una tabla son disposición, espaciamiento y tipos de letras especiales. Algunas tablas impresas pueden no tener normas. Sin embargo, las normas para buena disposición son casi indispensables en una tabla escrita a máquina. En general, las normas son preferidas cuando pueden ser usadas para ayudar al lector a entender las relaciones entre las diferentes partes de una tabla. Por ejemplo, si no hubiera línea entre los dos encabezados principales, 2010 y 2014, en la tabla 1, un lector pudiera no saber realmente las relaciones entre los encabezados principales y sus respectivos subencabezados. Ya sea una raya doble o una sola línea más gruesa, pueden ser usadas para separar las partes principales de una tabla. Una tabla bien balanceada puede ser lograda mediante espaciamiento adecuado. El espaciamiento es también necesario cuando no hay raya entre diferentes clases o partes. Por ejemplo, el sangrado en subclases es a menudo empleado en tablas estadísticas. Las diferentes partes o subdivisiones de una tabla también puede destacarse mediante el uso de diferentes tipos: negritas, cursivas, mayúsculas y minúsculas. Después de que a los puntos mencionados arriba se les da adecuada consideración, una tabla estadística efectiva puede ser construida para presentar los datos. Por ejemplo, los datos representados por las marcas en la tabla 2, son ahora presentados en una tabla estadística clara y simple, la tabla 2. Las áreas principales son arregladas en orden alfabético. Las cifras que representan estudiantes según sexo, son

que el propósito de la presentación de la tabla no es particularmente mostrar el número total de estudiantes en las clases de inglés. Los totales pueden ser comprobados en LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

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Los totales son colocados en la columna de la derecha y en la hilera inferior, puesto

enfatizadas.

forma cruzada. Un lector puede así perder menos tiempo y obtener mucha información de la presentación de la tabla. Tabla 2 NÚMERO DE ESTUDIANTES EN EL PRIMER CURSO DE INGLES POR ÁREAS PRINCIPALES Y SEXO, 2013-2015 Área Principal

Hombres

Mujeres

Total de estudiantes

Administración Educación Ingeniería Inglés Ciencia Estudios sociales Otros

12 6 15 7 8 10 2

8 10 2 3 6 5 2

20 16 17 10 14 15 4

TOTAL

Fuente: Tabla 2



FUNDAMENTOS DE CONSTRUCCIÓN DE GRÁFICAS

Una gráfica o diagrama es una expresión plástica de información dada. Una gran variedad de gráficas ha sido usada en estudios estadísticos para presentar datos o para mostrar las relaciones entre varios grupos de datos. De hecho, casi todos los tipos de información cuantitativa pueden ser expresados en forma de gráficas. No hay una única regla basada en la cual podamos construir una gráfica efectiva e

de construcción de los diferentes tipos de gráficas debería ser de gran valor tanto para el lector como para quien hace la gráfica. Los fundamentos son expuestos en esta LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

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gráficas, partes principales de una gráfica, los tipos comunes de gráficas, y los métodos

interesante. Sin embargo, un conocimiento de los fundamentos de construcción de

sección; otros tópicos son presentados en las siguientes dos secciones de este capítulo. Una persona que entiende como construir buenas gráficas, puede presentar información cuantitativa a sus lectores mucho más rápidamente que si él tuviera que arreglar las cifras en forma tabular o escribir la misma Información con palabras.

Gráfica 1

Página

Coordenadas rectangulares

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Frecuentemente oímos la expresión: “Una buena gráfica vale más que mil palabras”. Sin embargo, una gráfica da a un lector solamente un valor aproximado de la información. Si se desea una cantidad exacta, las cifras tabuladas o la fuente original de la gráfica deberían ser consultadas. Básicamente, las gráficas son dibujadas de acuerdo con el sistema de coordenadas rectangulares. Las coordenadas rectangulares están basadas en dos líneas rectar mutuamente perpendiculares de referencia en un plano, también llamado reticulado, como se muestra en la gráfica 1. La línea horizontal es usualmente referida como el eje de las X, o la abscisa, mientras que la línea vertical es referida como el eje de las Y, o la ordenada. Las dos líneas dividen el plano en cuatro partes llamadas cuadrantes, los cuales son indicados en la gráfica con los números I, II, III, IV. El punto de intersección de las dos líneas es llamado el origen o punto cero. Las escalas so marcadas a lo largo de los dos ejes, principiando en el origen. Las abscisas (sobre el eje de las X) a la derecha del origen son convenientemente designadas como positivas, mientras que aquellas a la izquierda del origen son negativas. Las ordenadas (sobre el eje Y) arriba del origen son positivas, y aquellas abajo del origen son negativas. Cualquier punto sobre el plano puede referirse a los dos valores de acuerdo a las dos escalas. Por ejemplo, en el cuadrante I la abscisa del punto A es +3, y la ordenada del mismo punto es +4. Los valores +3 y +4 constituyen las coordenadas de A. En gráficas estadísticas, las coordenadas son asignadas para representar dos ítems

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correspondientes, tal como uno representando una clase y el otro.

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Gráfica 2 Ilustración de representación de datos mediante puntos en una gráfica estadística

Representando la información cuantitativa de la clase. Cuando los números incluidos son todos positivos, solamente el área del cuadrante I, o la parte superior derecha del plano, es necesaria para mostrar los números. Los otros tres cuadrantes son omitidos

departamentos de una tienda de departamentos y los números sobre el eje de las Y representan las ventas en millones de dólares durante un periodo dado. Los puntos que

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La gráfica 2 muestra que las letras sobre el eje de las X representan los diferentes

por razón de simplicidad y para ahorrar espacio.

representan las ventas de los distintos departamentos en la tienda, son marcados sobre la gráfica. El punto P, por ejemplo, indica que las ventas del departamento B en la tienda durante el periodo dado son $4 millones.



PRINCIPALES PARTES DE UNA GRÁFICA

Puesto que las gráficas son medios plásticos, los detalles incluidos en las mismas pueden variar grandemente, yendo desde unos pocos puntos a muy complicadas presentaciones gráficas. Las distintas complicaciones dependen no solamente de la cantidad de datos a ser presentados, sino también del diseño artístico de los dibujos a ser incluidos en la gráfica. Sin embargo,las partes principales, como se muestran en la gráfica 3, pueden ser encontradas frecuentemente en muchas gráficas. En la mayoría de los casos, las funciones de las partes en la gráfica se parecen a los de las partes de una tabla. Algunas excepciones son expuestas en seguida. Gráfico 3

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Principales partes de una gráfica estadística

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

TÍTULO

Como en una tabla, el título es una descripción del contenido de la gráfica. Las guías para hacer un buen título son similares a las concernientes a una tabla. Sin embargo, el título de una gráfica puede ser colocado ya sea en la parte superior o en la parte inferior de la gráfica.



DIAGRAMAS

Los diagramas, como el cuerpo de una tabla estadística, son usados para representar los datos mostrados en una gráfica. Hay muchos tipos diferentes de diagramas usados en gráficas estadísticas. Entre los tipos más comunes están líneas, barras, dimensiones, símbolos, mapas o una combinación de varios de ellos. Los diagramas deberán ser impresos con tinta más gruesa que el reticulado a fin de mostrar la importancia de los datos representados.



Escalas

Las escalas de los ejes X e Y son básicamente marcadas de acuerdo al sistema de coordenadas rectangulares como fue expuesto en la sección de arriba. Sin embargo, mientras que la escala del eje de la Y es usada para medir las magnitudes de los diagramas que representan los datos, la escala del eje de las X es frecuentemente usada para designar las clasificaciones de los datos.



Fuente

La fuente de los datos de los cuales la gráfica fue construida, deberá ser colocada en la parte inferior de la gráfica. Si la gráfica fue tomada de otra publicación, la fuente de la

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gráfica deberá también ser indicada en la nota de la fuente.

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ILUSTRACIONES DE TIPOS COMUNES DE GRÁFICAS Hay una gran variedad de gráficas usadas para presentar datos estadísticos. Los tipos más comunes de gráficas son: 1) gráfica de línea 2) gráfica de barras 3) gráfica de partes componentes 4) gráfica de dimensiones 5) pictogramas 6) mapas estadísticos.

En la práctica, las gráficas son frecuentemente construidas de los datos ya presentados en tablas estadísticas. El método de construir cada tipo de gráficas de una tabla se ilustra más abajo. Las gráficas adicionales para cada tipo fueron seleccionadas de publicaciones recientes para mostrar la variedad de presentación de gráficas.



GRÁFICA DE LÍNEA

Una gráfica que consiste de líneas o segmentos de líneas rectas, también llamadas curvas o poligonales, para representar los datos se denomina gráfica de líneas. Para construir una gráfica de línea, primero marcar los datos mediante puntos de acuerdo a las escalas de las dos líneas de referencia. Luego conectar los puntos por líneas rectas. Las escalas usadas en las dos líneas de referencia son usualmente cuantitativas y son marcadas continuamente. Pueden o no ser iguales, y pueden ser aritméticas o logarítmicas. En una escala aritmética, distancias iguales representan cantidades iguales. Los detalles concernientes a la escala logarítmica son expuestos

cantidad o tiempo. La presentación de datos clasificados por tiempo es expuesta en

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Las gráficas de línea son principalmente usadas para mostrar datos clasificados por

en el siguiente capítulo.

esta sección para ilustrar el método de construcción de gráficas de línea con escalas aritméticas. Los datos clasificados sobre las bases de intervalos de tiempo son referidos como series de tiempo. Hay dos clases: datos del periodo y datos puntuales. Los datos de periodo son cifras que representan ya sea la información acumulada durante un periodo de tiempo, tal como las ventas hechas durante una semana y unidades producidas durante un mes, o el promedio de cifras individuales que representan cierta información en un periodo de tiempo dado, tal como el precio promedio del azúcar por libra basado en los precios diarios durante el mes de Junio, número de empleados en una compañía al final de cada mes, y dinero en efectivo al final de cada año. Antes de representar una serie de tiempo en una gráfica de línea, deberíamos conocer ciertos mecanismos para marcar las escalas en los ejes de las X y de las Y sobre la

Página

gráfica. En una gráfica de línea de series de tiempo.

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GRÁFICA 4 Ilustraciones de designación de tiempo para un periodo

Cada asignación de tiempo es escrita en el centro del espacio que

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representa el periodo

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La escala que representa los intervalos de tiempo es usualmente colocada sobre el eje horizontal (eje de las X), y la escala que representa los datos en la escala vertical (eje de las Y). La designación del tiempo es marcada continuamente de izquierda a derecha sobre la línea horizontal, principiando con el tiempo más antiguo del periodo entero. Las líneas verticales contraseñas son usadas para guiar la designación del tiempo en la escala correspondiente. Cada designación de tiempo puede representar un periodo de tiempo o un tiempo especificado. Cuando la designación de tiempo representa un periodo de tiempo, ésta es escrita en el centro del espacio que representa el periodo, tal como se muestra en la gráfica 4. La gráfica muestra que hay dos modos de escribir designaciones de tiempo que representan periodos de tiempo en relación con las líneas verticales guía. 1. Las líneas guía son usadas como las cotas de los periodos marcados, tal como las ilustraciones I y II de la gráfica. Cada una de las designaciones de tiempo es colocada en el centro de las dos líneas guía. Por ejemplo, en la ilustración I, la línea a la izquierda de la designación de tiempo, 2014, indica el principio del año, enero 1 , 2014, mientras que la línea a la derecha indica el final del año, diciembre 31, 2014, el cual puede también ser considerado como enero 1, 2015, puesto que la escala de tiempo es marcada continuamente. La ilustración II muestra el principio y el final de cada mes mediante dos líneas erigidas en ambos lados de cada mes. Es costumbre considerar la mitad del mes como el día 15, independientemente del número real de días en el mes. 2. Cada línea guía es considerada como el centro del periodo marcado, tal como las ilustraciones III y IV en la gráfica 4. En III, la línea arriba de 2014 indica la mitad del año o Julio 1, 2014. El principio del año enero 1, 2014, cae entonces en la mitad de las líneas marcadas 2013 y 2014, y el final de cada año, diciembre 31, 2014 o enero 1, 2015, es localizado en la mitad de las líneas marcadas 1964 y 1965. En IV, cada una de las letras marcadas directamente debajo de las líneas, indica la mitad del mes designado. Así, la línea arriba de marzo (o M) indica marzo 15. Los puntos que representan el principio y el final

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tiempo de acuerdo al mismo principio usado en la ilustración III.

de marzo pueden también ser localizados sobre el eje de las X o escala de

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La designación del tiempo que representa un tiempo especificado puede ser indicada en dos formas, como se muestra en la gráfica 5: a) El tiempo especificado “enero 1 de cada año” es escrito directamente debajo de las líneas guías como se muestra en la parte I de la gráfica. B) El tiempo especificado “enero 1 de cada año” representado por cada línea guía es indicado en el título de la gráfica como se muestra en la parte II. Cuando se marcan datos de un periodo, cada una de las cifras de los datos dados es representada por un punto. El punto se acostumbra marcarlo directamente arriba de la mitad del espacio designado para el periodo. Si hay dos líneas guía indicando el principio y el final del periodo tal como en las ilustraciones I y II en la gráfica 4, el punto es marcado en el centro de las dos líneas. Si la línea guía es erigida en el centro del periodo designado, tal como en las ilustraciones III y IV en la gráfica 4, el punto es marcado sobre la línea. El ejemplo 1 es usado para ilustrar los métodos para construir una gráfica de línea de datos de período.

GRÁFICA 5

Página

Ilustración de designación de tiempo para un tiempo especificado

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Cada línea guía representa un tiempo especificado. Esto puede ser hecho ya sea especificando el tiempo bajo la línea horizontal como las dos ilustraciones en la parte (I) o en el título de la gráfica como la ilustración en la parte (II).

EJMPLO 1. La cantidad de ventas anuales de la Fulton Drug Store de 2008 a 2015 aparece más abajo. Construir una gráfica de línea mostrando los datos dados.

Tabla 3 Ventas anuales de la FultonDrugStore (2008-2015) AÑO

VENTAS

AÑO

VENTAS

$500 $1000 $2000 $4000

2012 2013 2014 2015

$8000 $10000 $12000 $14000

2008 2009 2010 2011

Fuente: Datos hipotéticos para propósitos de ilustración

Solución. Estos son datos de periodo. Los datos son marcados en las gráficas 6 y 7 basados en diferentes escalas de tiempo (ver notas debajo de las dos gráficas). En ambas escalas, sin embargo, la designación del tiempo es escrita en el centro del espacio que representa el año. Los puntos que representan los datos son también marcados en el centro de los años. Cuando se marcan datos puntuales, cada cifra debería ser marcada sobre el punto directamente arriba de la designación del tiempo al cual se refiere. Esto

datos puntuales son marcados arriba de la escala de tiempo con la designación

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de la escala de tiempo con la designación de tiempo para el periodo. B) Los

puede ser hecho de dos maneras: a) Los datos puntuales son marcados arriba

de tiempo para el tiempo especificado. El ejemplo 2 es usado para ilustrar los métodos para construir una gráfica de línea de datos puntuales.

Gráfica 6 Una gráfica de línea (dato de periodo *) Ventas anuales de la FultonDrugStore, 2008 o 2015

Dólares 16000 14000 12000 10000 8000 6000

4000 2000 0 2009

2010

2011

2012

2013

2014

2015

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Fuente de datos: Tabla 3, ejemplo 1. *Nota. La escala de tiempo está basada en la ilustración I de la gráfica 4.

2008

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Gráfica 7 Una gráfica de lineo (datos de periodo *) Ventas anuales de la FlutonDrugStore, 2008 a 2015

Dólares 16000 14000 12000 10000 8000 6000 4000 2000 0

2008

2009

2010

2011

2012

2013

2014

2015

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Fuente de datos: Tabla 3, ejemplo 1. *Nota. La escala de tiempo está basada en la ilustración III de la gráfica 4.

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Ejemplo 2: La cantidad de dinero en efectivo en la Gontor Motor Company al principio de cada año desde 2008 a 2015 es dada en la tabla 4.Construir una gráfica de línea mostrando los datos dados.

TABLA 4 EFECTIVO EN LA GONITOR MOTOR COMPANY ENERO 1 DE CADA AÑO, 2007 – 2015

(MILES DE DOLARES)

AÑO

EFECTIVO

AÑO

EFECTIVO

2007

2011

2008

2012

2009

2013

2010

2014

2015

Página

Fuente: Datos hipotéticos para propósitos de ilustración.

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Solución. Las cantidades mostradas en la tabla son datos puntuales. Los datos son marcados en escalas de tiempo diferentes: a. Arriba de la escala de tiempo con designación de tiempo para periodo. Esto se muestra en la gráfica 8. Cada punto es marcado directamente arriba del principio del espacio designado para cada año, o enero 1. b. Arriba de la escala de tiempo con designación de tiempo para tiempo especificado. Esto se muestra en la gráfica 9. El tiempo especificado de cada línea guía, o enero 1 de cada año, es establecido en el título de la gráfica. Un método alternativo para indicar el tiempo especificado de cada línea guía es marcar enero 1 de cada año directamente debajo de los años de la escala de tiempo. En ambas escalas, sin embargo, cada uno de los puntos que representan los datos es marcado arriba del punto de tiempo al cual se refiere.

La grafica 10 es seleccionada de la publicación Monthly Reporto n the Labor Force para mostrar la aplicación de una gráfica línea. La grafica indica: 1) Doble escala vertical en los lados izquierdos y derecho de la gráfica. 2) Cortes en las dos escalas son utilizados. 3) Las rayas verticales son usadas con las líneas guía para la designación del tiempo, pero las rayas horizontales son omitidas. Solamente los años corrientes, 2013 a 2015, son divididos en 12 meses por el uso de marcas en la escala del tiempo. 4) Ambas curvas (o poligonales) son marcadas para indicar su respectiva

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representación de datos.

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GRAFICA 8 Una gráfica de línea (datos puntuales *) Dinero en efectivo, Gontor Motor Company, 2007 - 2015

Miles de dolares 80 70 60 50 40 30 20 10 0

2007

2008

2009

2010

2011

2012

2013

2014

2015

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Fuente de datos: Tabla 4, ejemplo 2. *Nota: La escala de tiempo está basada en la ilustración 1 de la gráfica4. Con la designación de tiempo para periodo de tiempo (año).

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GRAFICA 9 Una gráfica de línea (datos puntuales*) Dinero en efectivo, Gontor Motor Company Enero 1 de cada año, 2007 – 2015

Miles de dolares 80 70 60 50 40 30 20 10 0 2007

2008

2009

2010

2011

2012

2013

2014

2015

Página

Fuente de datos: Tabla 4, ejemplo 2. *Nota. La escala de tiempo basada en la ilustración II de la gráfica5. La designación de tiempo para el tiempo especificado, enero 1 de cada año, está establecida en el título de la gráfica.

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

ESTADÍSTICA BÁSICA

Grafico 10 Aplicación de una gráfica de línea Empleo y horas de trabajadores de producción manufacturera Enero 2010 a finales de 2015

Página

Fuente: U.S. Departament of Labor, MonthlyReportonthe Labor Force, numero de enero, 2014, p. 8, y ediciones corrientes.

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

ESTADÍSTICA BÁSICA

 GRÁFICA DE BARRAS: Una gráfica de barras tiene un número de barras rectangulares. La anchura de cada barra es usualmente igual a la de las otras. La longitud de cada barra muestra los datos representados. En comparación con graficas de línea, las gráficas de barra son efectivas para enfatizar unos pocos ítems de una o dos series de datos, mientras que las gráficas de línea son preferibles para presentas muchos ítems en una o varias series de datos. Las gráficas de barras enfatizan las diferencias entre ítems individuales, pero las gráficas de línea enfatizan los cambios continuos o tendencia general entre los ítems. Las gráficas de barras son usadas frecuentemente para presentas datos clasificados mediante cualquier base (cronológica, geográfica, cuantitativa o cualitativa). Sin embargo, las gráficas de línea son usadas principalmente para presentar datos clasificados por tiempo o cantidad. Aúnmás, lleva más tiempo dibujar barras en una gráfica de barras que marcar puntos y conectarlos mediante líneas rectas en una gráfica de línea para los mismos datos. Sin embargo, una vivida, bien balanceada y atractiva grafica de barras es apreciada por la mayoría de lectores. Las barras en una gráfica de barras pueden ser arregladas de manera vertical u horizontal, dependiendo de la preferencia artística de quien la construye. En general, como en una gráfica de línea, barras verticales son usadas para presentar datos clasificados cronológica o cuantitativamente mientras que barras horizontales son preferidas para presentar datos clasificados geográfica o cualitativamente. Los ejemplos 3 y 4 son usados para ilustrar los métodos de construir graficas de barras de

Página

tablas estadísticas.

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

ESTADÍSTICA BÁSICA

Ejemplo 3. El número de camiones manufacturados por H.K. Noble Co., durante cada año de 2006 a 2015 está dado en la tabla 4 – 5. Use la información para dibujar una

gráfica

de barras verticales.

TABLA 5 NUMERO DE CAMIONES MANUFACTURADOS POR H.K. NOBLE COMPANY, 2006 – 2015 (MILES DE CAMIONES)

AÑO

CAMIONES

AÑO

CAMIONES

2006

100

2011

200

2007

140

2012

225

2008

130

2013

250

2009

150

2014

275

2010

175

2015

285

Fuente: Datos hipotéticos para propósitos de ilustración.

Solución (ver grafica 11).

refiere la producción, Hay espacios de igual amplitud entre barras individuales.

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ESTADÍSTICA BÁSICA

Página

Cada barra es colocada en el centro del espacio que representa el año al cual se

La producción de camiones para cada año es representada por una barra vertical.

Ejemplo 4. Use la información dada en la tabla 2, para dibujar una gráfica de barras horizontales.

Solución (ver grafica 12). El número de estudiantes para cada área principal es representado por una barra horizontal de acuerdo a la escala que aparece en la parte superior. Cada barra es colocada al lado derecho del área principal a la cual se refiere el número de estudiantes.

GRÁFICA 11 Una gráfica de barras verticales Número de camiones manufacturados por H.K. Noble Company, 2006 – 2015

Miles de camiones 300

250

200

150

100

0 2007

2008

2009

2010

2011

2012

2013

2014

2015

Página

2006

Fuente de datos: Tabla 5, ejemplo 3

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ESTADÍSTICA BÁSICA

Grafica 12 Una gráfica de barras horizontales Número de estudiantes en el primer curso de inglés por áreas principales y sexo 2014 - 2016

Administración

Eduación

Ingenieria

Ingles

Ciencia

Estudios sociales

Otros

Página

Fuente de datos: Tabla 2, ejemplo 4

. LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

ESTADÍSTICA BÁSICA

GRAFICA 13 Grafica de barras aplicación 1 Principales fuentes de importaciones de acero en 2012

M I L ES D E TO N E L A DA S N E TA S Baelgica y Luxemburgo

1247

Japón

1072

Alemania Occidental

460

Canadá

367

Francia

299

Reino Unido

250

Otros

405

200

400

600

800

1000

1200

1400

Fuente: Los datos son del U.S. Departament of Commerce. Grafica preparada por el American Iron and Steel Institute, publicada en ChartingSteel’sProgress in 1962.

Las gráficas13 y 14 fueron seleccionadas de dos publicaciones diferentes para mostrar las distintas aplicaciones de graficas de barras. La grafica 13 muestra las barras horizontales representando datos clasificados por lugar o unidades geográficas. La grafica de los diferentes tamaños de barras lo mismo que la información cuantitativa

Página

representada por cada barra.

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ESTADÍSTICA BÁSICA

La grafica 14 muestra la comparación no solo de los cambios de los principales componentes del producto nacional bruto en el mismo periodo, sino también los cambios ocurridos en los diferentes periodos. Los valores en dólares sobre la escala de datos a la derecha del punto cero son positivos, o sea las cantidades de incremento de un trimestre al siguiente, mientras que aquellos a la izquierda del punto son negativos, o sea las cantidades de decremento. El total neto de los cambios (incremento y decremento) de los principales componentes está de acuerdo con la cantidad mostrada por el producto nacional bruto de cada periodo.

Grafica 14 Grafica de barra aplicación II Cambios recientes en el producto nacional bruto y sus principales componentes Miles de millones de dólares

Producto nacional bruto

Gastos en consumo personal

Inversion privada interna bruta

Exportaciones netas de bienes y servicios

Compras del gobierno de bienes y servicios -4

-2

Cambios del primer trimestre al segundo trimestre del 2015

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ESTADÍSTICA BÁSICA

Página

Fuente: Los datos de actualidad proceden del Departamento de Comercio de los E.U. del Council of EconomicAdvisers. La grafica es una reconstrucción de la Grafica 1, publicada en el MonthlyReview de agosto de 2013, por el Federal Reserve Bank of New York, p. 122 .

Cambios del cuarto trimestre de 2014 al primer trimestre del 2015

 GRAFICAS DE PARTES COMPONENTES: Una gráfica de partes componentes muestra las relaciones entre las partes individuales lo mismo que el total o totales de las partes de una o varias series de datos. Las relaciones pueden ser expresadas ya sea en las cantidades reales de los datos o los valores relativos en porcentaje de los datos. El medio más común para mostrar graficas de partes componentes son barras, líneas o segmentos de un circulo o un pastel. Los métodos para construir una gráfica de partes componente de barra, una gráfica de partes componentes de línea y una gráfica de pastel se ilustran en el ejemplo 5. Ejemplo 5.

producción

anual

los

tres

departamentos

Loren

ManufacturingCompany de 1955 a 1965 se muestra en la tabla 4 – 6. Construir: a.

Dos graficas de partes componentes de línea mostrando la información completa de la tabla mediante:

Las unidades reales producidas por departamentos individuales.

Los valores relativos en porcentaje (%) de las unidades producidas por departamentos individuales comparados con el total para cada año.

Dos graficas de partes componentes de barras mostrando los hechos de los años 2005 y 2015 mediante:

Las unidades reales producidas por departamentos individuales.

Los valores relativos en porcentajes (%) de unidades producidas por departamentos individuales comparado con el total para cada uno de los años. Una gráfica de pastel mostrando los hechos en 2015.

Página

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

ESTADÍSTICA BÁSICA

TABLA 6 PRODUCCION ANUAL, LOREN MANUFACTURING COMPANY POR DEPARTAMENTOS, 2005 A 2015 (MILES DE UNIDADES)

AÑO

DEPARTAMENTO A

DEPARTAMENTO B

SUBTOTAL

DEPARTAMENTO C

TOTAL DE UNIDADES PRODUCIDAS

2005

150

190

340

160

500

2006

170

230

400

170

570

2007

200

150

350

200

550

2008

240

210

450

150

600

2009

200

280

480

220

700

2010

250

300

550

100

650

2011

270

230

500

200

700

2012

300

220

520

260

780

2013

280

320

600

200

800

2014

350

280

630

270

900

2015

400

250

650

150

800

Fuente: Datos hipotéticos para propósitos de ilustración.

Solución: b. 1) Grafica 17

2) Grafica 16

2) Grafica 18

c. Grafica 19

Página

a. 1) Grafica 15

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ESTADÍSTICA BÁSICA

En la gráfica 15, las partes individuales que representan las unidades reales producidas por los tres departamentos desde 2005 a 2015 están achuradas en diferentes formas. El área en cada parte para cada año es determinada de acuerdo con las unidades producidas por cada departamento. Por ejemplo, el área que representa el número de unidades producidas por el departamento B en 2005 es localizada en la escala de los datos entre 150 y 340 ( ver columna subtotal en la tabla 6), puesto que la diferencia entre los dos puntos en la escala es 190 (miles de unidades). Antes de que la gráfica 16 sea construida, deben colocarse los porcentajes de las unidades producidas por departamentos individuales basados en el total para cada año. Los porcentajes calculados de los datos dados en la tabla 6 se muestran en la tabla 7. Cada porcentaje se obtiene dividiendo las unidades producidas en el departamento por el total de unidades producidas en el año. El porcentaje del total para cada año es siempre 100% (=1). En la tabla 7, el método de redondeo como se estableció es usando al calcular los porcentajes con dos cifras decimales para los mismos años. Cuando el total de los porcentajes individuales después del proceso de redondeo no es igual a 100.00 %, el más alto porcentaje entre el grupo se aumenta o disminuye para hacer que el total sea 100%. Por ejemplo, los porcentajes en 2010 son calculados y redondeados a dos cifras decimales como sigue: Departamento A: 250 / 650 = 0.384615 o 38.4615 %, redondeando a 38.46% Departamento B: 300 / 650 = 0.461538 o 46.1538 %, redondeado a 46.15% Departamento C: 100 / 650 = 0.153846 o 15.3846%, redondeado a 15.38% TOTAL

99.99%

Sin embargo, 38,46 % + 46,15% + 15,38% = 99,99%. Por lo tanto, el más grande porcentaje, 46,15 % es aumentado a 46,16% para hacer que la suma de los tres

Página

porcentajes sea 100%.

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

ESTADÍSTICA BÁSICA

El método de arriba es de simple aplicación y puede dar el menor error relativo basado en porcentajes individuales. Es, por lo tanto, seguido a los largo de este texto. Note que hay varios métodos de forzar un total a 100%. Por ejemplo, es también posible aumentar o disminuir un porcentaje el cual de la menor cantidad de cambio. Sin embargo, este método requiere análisis detallado sobre los relativos calculados. El trabajo de análisis es demasiado tedioso para aplicaciones prácticas. En la gráfica 17, la altura de cada parte de una barra es hecha de acuerdo con el número de unidades producidas por cada departamento. La localización de cada parte en las barras individuales es determinada de la misma manera que el método usado en localizar cada parte en la gráfica 15.

De nuevo, las partes individuales son achuradas en diferentes formas para mostrar distintivamente los datos representados . Antes de que la gráfica 18 sea construida, deben calcularse los porcentajes de las unidades producidas por departamentos individuales basados en el total de casa años para 2005 y 2015. Los porcentajes pueden ser obtenidos de la tabla 7 para los dos años. La grafica de porcentajes muestra los cambios relativos de la producción por departamentos.

En la gráfica 19, la gráfica de pastel, un círculo es dividido proporcionalmente en las partes componente de acuerdo a las unidades producidas por los departamentos individuales. El circulo, el cual representa el total de las partes iguales por medio de una forma impresa o un transportador. Sin embargo, si se usa un transportador de 360 grados, cada uno de los porcentajes deberá ser multiplicado por 3.6 antes de que los datos sean marcados. El tamaño de cada parte en la gráfica de pastel se calcula en la

Página

tabla 8.

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

ESTADÍSTICA BÁSICA

GRÁFICO 15 Ilustración de una gráfica de partes componentes de línea que muestra las cantidades reales de los datos Producción anual, Loren ManufacturingCompany por departamentos, 2005 a 2015

Página

100

Fuente de los datos: Tabla 6, ejemplo 5.

TABLA 7 LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

ESTADÍSTICA BÁSICA

PRODUCCION ANUAL LOREN MANUFACTURING COMPANY POR DEPARTAMENTOS, 2005 A 2015.

Año

DEPARTAMENTO A

DEPARTAMENT OB

SUBTOT AL

DEPARTAMENT OC

TOTA L

2005

30.00

38.00

68.00

32.00

100.0 0

2006

29.82

40.36

70.18

29.82

100.0 0

2007

36.36

27.28

63.64

36.36

100.0 0

2008

40.00

35.00

75.00

25.00

100.0 0

2009

28.57

40.00

68.57

31.43

100.0 0

2010

38.46

46.16

84.62

15.38

100.0 0

2011

38.57

32.86

71.43

28.57

100.0 0

2012

38.46

28.21

66.67

33.33

100.0 0

2013

35.00

40.00

75.00

25.00

100.0 0

2014

38.89

31.11

70.00

30.00

100.0 0

2015

50.00

31.25

81.25

18.75

100.0 0

101

Fuente: Calculados de la tabla 6.

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

Página

GRAFICA 16

ESTADÍSTICA BÁSICA

Ilustración de una gráfica de partes componentes de línea que muestra los datos en porcentajes Producción anual, Loren ManufacturingCompany por departamentos, 2005 – 2015

100

90 80 70 60

50 40 30 20

10 0 2005

2006

2007

2008

Departamento A

2009

2010

2011

Departamento B

2012

2013

2014

2015

Departamento C

102

Fuente de los datos: Tablas 4 – 6 y 4 – 7, ejemplo 5

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

Página

GRAFICA 17

ESTADÍSTICA BÁSICA

Ilustración de grafica de partes componentes de barra, que muestra las cantidades reales de los datos

Producto anual Loren ManufactoringCompany por departamentos, 2005 a 2015

Ilustración de grafica de partes componentes de barra, que muestras los datos en porcentajes

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

ESTADÍSTICA BÁSICA

Página

GRAFICA 18

103

Fuente de los datos: Tabla 6, ejemplo 5.

Producto annual Loren ManufactoringCompany por departamentos, 2005 a 2015

104

Fuente de datos: Tablas 6 y 7, ejemplo 5

Página

GRAFICA 19 Ilustración de grafica de pastel LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

ESTADÍSTICA BÁSICA

Producción, Loren ManufacturingCompany, por departamentos 2015

18.75%

50%

Departamento A Departamento B

31.25%

Departamento C

Página

105

Fuente de los datos: Tabla 8, ejemplo 5.

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

ESTADÍSTICA BÁSICA

Tabla 8 Cálculos para la construcción de la gráfica de pastel de producción, LOREN MANUFACTURING COMPANY, por departamentos.

( 1) Departamento

(2) Unidades producidas (miles)

(3) Porciento (%) (2)  800

(4) Grado(o) (3) x 3.6

400

50.00

180O

250

31.25

112.5O

150

18.75

67.5O

TOTAL

800

100.00

360.0O

Grafica 20 Gastos de los negocios para nueva planta y equipo, 2011 a 2015. Miles de millones de dólares.

45 40 35 30

Manufactura y mineria

Transpartes y servicios publicos

Comunicación,comercio y varios

15 10

106

5 0 2012

2013

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

2014

2015

Página

2011

ESTADÍSTICA BÁSICA

El número de grados también puede calcularse directamente de los datos originales. El total de unidades producidas (800) corresponde al total de número de grados en el arco circular (360o) .Así, 1 unidad corresponde a 300o/800. La producción del departamento A, 400 unidades, ahora corresponde a un arco de 400 (360o/800) = 67.5o, respectivamente. Las gráficas 20 y 21 fueron seleccionadas de diferentes publicaciones para mostrar las distintas aplicaciones de graficas de partes componentes. La grafica 20 muestra los gastos anuales de los negocios para nuevas plantas y equipos en los estados unidos desde el 2011 al 2015. La grafica 21 es una gráfica en forma de dólar. Sin embargo, la idea básica de esta grafica es similar a la de una gráfica de pastel. Cada uno de los dos dólares representa 100 c, lo cual se asemeja a la base de 100%. Grafica 21 Grafica de un dólar Distribución en el presupuesto del dólar (Estimación del año fiscal 2015) Viene de:

impuesto personal prestamos otros impuestos sobre consumo

Página

107

impuestos a corporaciones

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ESTADÍSTICA BÁSICA

Va hacia:

defensa einternacional otros educacion, salud, bienestar ,vivienda vietman veteranos intereses



GRÁFICAS DE AREA Y VOLUMEN (GRAFICAS DE DIMENSIONES)

En vez de utilizar las alturas (una dimensión) de las barras con el mismo ancho para representar datos en una gráfica, pueden emplearse superficies (dos dimensiones) o volúmenes (tres dimensiones). Sin embargo, el trabajo de comparar un área con otra área es más difícil que aquel de comparar barras. Es aún más difícil comparar volúmenes. Por esta razón, muchos estadísticos prefieren no usar graficas de área o volumen excepto para comparaciones en casos especiales. Los tipos comunes de graficas de áreas son cuadrados, rectángulos y círculos. Las gráficas de tres dimensiones pueden ser en forma de cubos, esferas y cilindros .En la

matemático. Por ejemplo, el tamaño de un lado de una superficie cuadrada es la raíz

Página

cuadrada del área. Si el área es 9 pies de cuadrados, cada uno de los dos lados iguales (longitud y ancho) es 3 pies, puesto que 3x3=9.

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

108

construcción de graficas de área o volumen, se necesita cierto conocimiento

ESTADÍSTICA BÁSICA

El tamaĂąo de un lado de un cubo es raĂz cubica del volumen. Por lo tanto, si el volumen del cubo es 8 pulgadas cubicas, cada uno de los tres lados iguales (largo, ancho y alto) es 2 pulgadas, puesto que 2x2x2=8.

EJEMPLO 6: Suponga que el nĂşmero de empleados en Sooner Machine Company es 2,000 en 2005 y es 16,000 en 2015. Construir a) una grĂĄfica de ĂĄrea usando cuadrados para representar los datos, y b) una grĂĄfica de volumen usando cubos para representar los datos.

SoluciĂłn:

a) Las ĂĄreas son dibujadas en la grĂĄfica 4-22 .El nĂşmero de empleados en 2015 es 8 veces mayor que el nĂşmero correspondiente a 2005, o 16,000/2,000=8.Por lo tanto, si el ĂĄrea que representa el nĂşmero de empleados en 2005 es (cada lado tiene

1 2

pulgada, puesto que

1 2

1 4

de pulgada

đ?&#x2018;Ľ 2 = 4 , el ĂĄrea que representa el 1

numero en 2015 debe der 2 pulgadas cuadradas, o 4x 8=2 .El tamaĂąo de cada lado del cuadrado de 2 pulgadas cuadradas es a raĂz cuadrada de 2, o 1,4

PĂĄgina

109

pulgadas .(ver tabla de cuadrados. â&#x2C6;&#x161;2 = 1.41421

LIC. CALDERĂ&#x201C;N OTOYA, CARLOS

ESTADĂ?STICA BĂ SICA

Grafica 22 Una grĂĄfica de ĂĄrea (cuadrado) NĂşmero de empleados, Soomer Machine Company, 2005 y 2015)

Ă rea: 8x4 =2 Ă&#x201D; â&#x2C6;&#x161;2 đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x161;2 = 2 pulgadas cuadradas 1

Ă rea: 2 đ?&#x2018;Ľ 2 = 4 16,000 2,000

Escala:

2005

2015

â&#x2C6;&#x161; = Pulgadas 4 4

â&#x2C6;&#x161;2 = 1.41421 pulgadas

SoluciĂłn

b) Los volĂşmenes son dibujados en la grĂĄfica 4-23 .Si el volumen que representa el nĂşmero de empleados en el 2005 es 1

pulgada, puesto que 2 đ?&#x2018;Ľ 2 đ?&#x2018;Ľ 2 =

1 8

pulgadas cubicas (siendo cada lado de 4

, el volumen que representa el numero en el

PĂĄgina

de 1 pulgada cubica es la raĂz cubica de 1.

110

2015 debe ser de 1 pulgada cubica (8 x8=1).El tamaĂąo de cada lado de un cubo

LIC. CALDERĂ&#x201C;N OTOYA, CARLOS

ESTADĂ?STICA BĂ SICA

Grafica 4-23 Una grĂĄfica de volumen (cubo) NĂşmero de empleados, Soomer Machine Company, 2005 Y 2015

Volumen: 1x1x1=1 pulgadas cubicas

Volumen:2 đ?&#x2018;Ľ 2 đ?&#x2018;Ľ 2 = 8pulgadas cubicas

16,000

2,00 0 Escala: 2005 1

2015

â&#x2C6;&#x203A;8 = 2 pulgadas

â&#x2C6;&#x161;1 = 1 pulgada

La grafica 24 fue seleccionada para mostrar la aplicaciĂłn de una grĂĄfica de ĂĄrea .Esta grafica muestra, mediante diferentes tamaĂąos de cĂrculos, los costos de empleo por hora en los Estados Unidos y otros paĂses, de los trabajadores de acero en 2015.En general, el ĂĄrea de un circulo es el producto del radio al cuadrado (r 2) y el valor constante 3.1416 (usualmente representado por el sĂmboloď °). Ă rea = 3.146(r2) Por lo tanto, si el radio es una pulgada (u otra unidad de medida de longitud), el ĂĄrea

Si deseamos tener un circulo con ĂĄrea B la cual es cuatro veces el ĂĄrea de A, el radio debe ser la raĂz cuadrada de cuatro o â&#x2C6;&#x161;4 = 2 pulgadas, puesto que B = 4A = 4 x 3.1416

LIC. CALDERĂ&#x201C;N OTOYA, CARLOS

ESTADĂ?STICA BĂ SICA

PĂĄgina

A=3.1416 x 12=3.1416 pulgadas cuadradas

111

del cĂrculo A es:

=12.5664 pulgadas cuadradas, entonces es lo mismo que B=3.1416 x 22 = 12.5664 pulgadas cuadradas. Observe la gráfica 24. Sin embargo, aunque el costo real de empleo por hora de los trabajadores del acero en los Estados Unidos es aproximadamente cuatro veces el costo en Italia (o $3.99 $1.04 = 3.84), el área del circulo que representa al primero es cerca de 16 veces el área que representa al último. Es obvio que la intención de quien hizo la gráfica no es comparar las áreas de los círculos, sino comparar los diámetros de los círculos. Por lo tanto la gráfica puede ser engañosa. Puesto que una gráfica de círculo, aunque atractiva en apariencia, puede guiar al lector a hacer comparaciones inexactas, el uso de la gráfica debería ser evitado en este caso. Grafica 4-24

Gráfica de área (circulo)

Luxemburgo $1.47

Alemania Occidental

Estados Unidos$3.99

$1.37

$Bélgica $1.26

Frania $1.11

Página

Italia $1.04

112

Japón $0.63

Promedio de la European Coal y Steel Communit y$1.25

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ESTADÍSTICA BÁSICA

 PICTOGRAMAS Una gráfica que consiste de un número de símbolos adecuados es llamada pictograma o pictografía. Los símbolos son del mismo tamaño, y cada uno de ellos representa la misma clase de información con un valor fijo. Un pictograma es esencialmente un tipo modificado de grafica de barras. Mientras que la longitud de cada barra representa la magnitud de un ítem dado en una gráfica de barras, el número de figuras o símbolos dibujados muestra la magnitud en un pictograma. La presentación estadística mediante pictogramas es particularmente útil para estimular el interés del lector o para mostrar los datos a un lego, porque es realmente explicativo por si misma y usualmente se presenta en una forma agradable e interesante. El ejemplo 7 es usado para ilustrar la aplicación de un pictograma. Ejemplo 7: Suponga que el número de aparatos de televisión producidos por la Northern Electric Company en 2011 fue 6,000 aparatos y en 2015 fue 8,500 aparatos. Dibuje un pictograma para mostrar los datos de arriba. Solución: El pictograma se muestra en la gráfica 4-25. Cada símbolo en la gráfica representa 1,000 aparatos y os símbolos son del mismo tamaño. La grafica 4-26 fue seleccionada para mostrar una aplicación adicional de un pictograma. Cada símbolo (Camiones de transporte de carbón) en la gráfica representa

Página

113

una libra de carbón utilizada para generar un kilowatt-hora de electricidad.

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

ESTADÍSTICA BÁSICA

Grafica 25 Un pictograma Producción anual de aparatos de televisión Northern Electric Company, 2011 y 2015

2011

2015

Cada símbolo representa 1,000 aparatos de televisión

Grafica 16 Pictograma adicional Eficiencia del combustible en el consumo del carbón en las plantas de electricidad publica

1920

1950

2014

Carbón usado para generar un kilowatt-hora de electricidad (Experiencia promedio de la U.S national).

1950 2014

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

114

1920

Libras 3.00 1.34

Página

Año

0.86

ESTADÍSTICA BÁSICA

 MAPAS ESTADÍSTICOS Los mapas estadísticos muestran la información cuantitativa sobre bases geográficas. La comparación por áreas geográficas se facilita grandemente cuando la información es marcada sobre las unidades geográficas que son comparadas. Los datos pueden mostrarse en un mapa en una de las siguientes formas comunes o una combinación de las mismas: puntos, símbolos, achuramientos, colores, barras y números. La grafica 427 fue seleccionada para mostrar el uso de mapas estadísticos en la presentación de datos.

Grafica 4-27 Un mapa estadístico (los datos son indicados en áreas respectivas) Expansión territorial en los Estados Unidos

Página

115

(Unidad: millas cuadradas incluyendo tierra y agua)

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ESTADÍSTICA BÁSICA

CUADROS O TABLAS DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS Es la presentación ordenada o tabular de las categorías o clases con sus correspondientes frecuencias de clase. Toda encuesta, censo o simplemente cualquier recopilación de informaciones con fines estadísticos significa disponer de una gran cantidad de datos que es preciso ordenar y presentar de manera que sean de fácil capitación y permita un análisis adecuado, distribuyéndolas en categorías y clases que permitan determinar el número de individuos que pertenecen a cada clase. El número de individuos que pertenecen a cada clase son llamados frecuencia de clase (ni). Una ordenación de datos con sus respectivas frecuencias de clase, se conoce como Tablas o Cuadros de Distribución de Frecuencias. El número inferior de cada clase se llama límite inferior de clase y el número superior de cada clase es el límite superior de clase; conformando cada pareja de límites el intervalo de clase.

Una distribución queda completamente descrita cuando se conocen sus:

a. Medidas de Centralización o Promedios (X, G, H, RMS, Md, Mo,...). b. Medidas de Dispersión o de Variación (R, D.Q., D.M., S2 ó 2, S ó ). c. El sesgo (1er CSKP, 2do CSKP, CSq, CSp, CSm).

116

d. La kurtosis (CKq, CSp, CKm).

Página

e. Los momentos (m1, m2, m3, m4). Existen varios tipos de distribuciones de frecuencias: LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

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1. Distribución de igual amplitud de clase. 2. Distribución de diferente amplitud de clase. 3. Distribución de clases abiertas (usada generalmente para el control de calidad).

EJERCICIO El siguiente cuadro de distribución de frecuencia nos indica los salarios de 50 obreros calificados de una empresa. Construir una tabla o distribución de frecuencia de 5 clases que contengan. a) Límites reales b) Límites ordinarios c) Puntos medios

Página

117

d) Gráfico de cada uno de los elementos de la distribución

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Lím.Inf. - Lím.Sup.

= 55

i=10 85

CLASES

PUNTO MEDIO

ORDINARIAS

O MARCAS DE

Lím. Inf. - Lím. Sup.

Yi-1

CLASE

FRECUENCIA ABSOLUTA DE LA CLASE

45,5 - 54,5

i=10

55,5 - 64,5

75,5 - 84,5

85,5 - 94,5

65,6 - 74,5 i= 10

118

CLASES REALES

Página

N= 50

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LĂm. Real inferior (L1)

44.5

45.5

54.5 50

LĂm. Real superior e inferior (L2)

55.5

64.5 60

65.5

74.5

75.5

LĂm.ordinario superior

LĂm.ordinario inferior (Yi-1)

84.5

85.5

(YI)

94.5

95.5

=50

LIC. CALDERĂ&#x201C;N OTOYA, CARLOS

PĂĄgina

đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x201C;+đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x201C; đ?&#x;?

119

Puntos medios o marca de clase

ESTADĂ?STICA BĂ SICA

CLASES REALES

CLASES ORDINARIAS

PUNTO MEDIO O MARCAS DE CLASE

FRECUENCIA ABSOLUTA DE LA CLASE

200-224

212

224.5-249.5

225-249

237

249.5- 274.5

250-274

262

274.5- 299.5

275-299

287

299.5- 324.5

300-324

312

324.5-349.5

325-349

337

349.5- 374.5

350-377

362

LímInf - LímSup

199.5 - 224.5

LímInf LímSup

Yi-1

Página

120

N= 216

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ESTADÍSTICA BÁSICA

200

224 225

199.5

249 250

224.5

249.5 237

299 300

274.5 262

324

299.5 287

325

349 350

324.5 312

377

349.5 337

374.5 362

Página

121

212

274 275

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PUNT O MEDIO O MARCAS DE CLASE

FRECUENCIA ABSOLUTA DE LA CLASE

68-72

68.5-71.5

72-76

72.5-75.5

76-80

76.5-79.5

80-84

80.5-83.5

84-88

84.5-87.5

88-92

88.5-91.5

92-96

92.5-95.5

96-100

96.5-99.5

100-104

100.5 - 103.5

102

104-108

104.5 - 107.5

106

108-112

108.5 - 111.5

110

112-116

112.5 - 115.5

114

116-120

116.5 - 119.5

118

120-124

120.5 - 123.5

122

CLASES REALES

CLASES ORDINARIAS

LímInf LímSup L1

LímInf LímSup Yi-1

4 9 16 28 45 66 85 72 54 38 27 18 11 5

Página

122

N=478

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68.571.572.5 75.576.5 79.5 80.5 83.584.5 87.5 88.5 91.592.5 95.5 96.5 99.5100.5 103.5104.4107.5108.8111.5112.5115.5116.5 119.5 120.5 123.5

76 74

80 78

88 86

92 90

96 94

100 98

102

104

108 106

110

112 114

116 118

120

124

122

Página

123

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NÚMERO DE CLASE DE UNA DISTRIBUCIÓN

El número de clases, sustentado en la cantidad de mínimo y máximo, depende del número de valores a ser agrupados y varía de un mínimo de 5 a un máximo de 20. Los límites clase superior e inferior establecidos en una distribución de frecuencias nos indican las “cotas” o fronteras de cada clase en la distribución, y pueden ser reales u ordinarias.

 LÍMITES DE CLASE Los límites de clase superior o inferior establecidos en una distribución o tabla de frecuencias, nos indican las cotas o fronteras de cada clase en la distribución y puede ser real u ordinario.

 LÍMITES REALES DE CLASE (L1 - L2) Se encuentran mediante la semisuma de un límite ordinario superior y en límite ordinario inferior de cada clase contigua; también se determina mediante la semisuma de dos puntos medios contiguos. Los límites reales se reconocen cuando el límite superior de una clase es igual al límite inferior de la clase contigua.

A continuación vemos un sector de un cuadro de distribución de frecuencias, con los

Página

124

límites reales claramente señalados.

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CLASES REALES

FRECUENCIA ABSOLUTA DE CLASE

LímInf - LímSup L1

3 N= 65

 LÍMITES ORDINARIOS DE CLASE (YI´-1 - Y I´) Los límites ordinarios son reconocidos porque el límite superior de una clase es diferente al límite inferior de la clase contigua. A continuación un ejemplo:

LímInf - LímSup

Yi-1

FRECUENCIA ABSOLUTA DE LA CLASE

45-55

45,5 - 54,5

55-65

55,5 - 64,5

65-75

65,6 - 74,5

75-85

75,5 - 84,5

85-95

85,5 - 94,5

4 N= 50

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125

CLASES ORDINARIAS

Página

CLASES REALES

ď&#x201A;Ľ PUNTOS MEDIOS O MARCAS DE CLASE Es el tĂpico representativo de las frecuencias de clase. Es el valor que sustituye a la clase o intervalo de clase.

CLASES REALES

LĂmInf - LĂmSup L1

CLASES ORDINARIAS LĂmInf - LĂmSup Yi-1

PUNTO MEDIO O MARCAS DE CLASE Yi

45-55

45,5 - 54,5

55-65

55,5 - 64,5

65-75

65,6 - 74,5

75-85

75,5 - 84,5

85-95

85,5 - 94,5

Se determina mediante la semisuma de dos lĂmites reales contiguos o mediante la semisuma de un lĂmite inferior de clase con el lĂmite superior de clase del mismo intervalo. Si usamos los LĂmites Reales, tenemos que:

45 + 55 = 50 2 PĂĄgina

126

đ?&#x2018;&#x152;đ?&#x2018;&#x2013; =

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En el caso de que usemos los Límites Ordinarios, obtenemos el mismo resultado:

Yi = 45.5 + 54.5

= 50

 AMPLITUD DE CLASE (I O C) Es la diferencia numérica que existe entre cada par de Límites Reales contiguos, Límites Ordinarios Inferiores contiguos, Límites Ordinarios Superiores contiguos y entre Puntos Medios o Marcas de Clase contiguos. Cabe señalar que por convención se acostumbra a medir la amplitud de clase en forma vertical. A continuación tenemos una parte de un Cuadro de Distribución de Frecuencias del que se debe calcular la amplitud de clase.

CLASES REALES

CLASES ORDINARIAS

LímInf - LímSup

Yi-1

MARCAS DE CLASE

45-55

45,5 - 54,5

i= 10

55,5 - 64,5

55-65 65-75

i= 10

60 70

65,5 - 74,5 75,5 - 84,5

80 i= 10

85-95

85,5 - 94,5

Página

75-85

127

PUNTO MEDIO O

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a) Con los Límites Reales

i = 55 – 45 = 10

b) Con los Límites Ordinarios

i = 65.5 – 55.5 = 10

c) Con los Puntos Medios o Marcas de Clase

Página

128

i = 90 – 80 = 10

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Reglas para construir Cuadros de Distribución de Frecuencias No es conveniente señalar reglas generales ya que la construcción del Cuadro de Distribución de Frecuencias depende del tamaño de la muestra, objetivos que se persigue y es la experiencia del estadístico, que es quien en última instancia va a determinar la presentación del cuadro; sin embargo, existen dos métodos para construir Cuadros de Distribución de Frecuencias: el Método Empírico y el Método de Sturges.



Método Empírico El método empírico nos exige cumplir con las siguientes reglas:

1) Determinar el rango o amplitud total (R) restando el mayor dato de la serie el valor del menor dato de la misma.

R = Máx. – Mín.

2) Determinar la amplitud de clase dividiendo el rango entre el número de clases (520), redondeándolos a una cantidad fácil de operar, en lo posible múltiplo o submúltiplo de 10.

129

i =

Página

Nº de clases

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3) Colocar de cada uno de los datos en sus correspondientes intervalos de clase, para posteriormente determinar las llamadas frecuencias de clase. Al seleccionar los límites de clase para una distribución de frecuencias, dos puntos importantes deberían ser cuidadosamente considerados: 1)

El mínimo de los datos debe estar girando alrededor de su punto medio o marca de clase.

Si uno de los datos coincide con un límite real superior de clase, es considerado en la clase inmediata superior.

Antes de desarrollar algún ejemplo, es necesario presentar el siguiente cuadro, el cual nos indica el número de clases que debe tener una distribución de frecuencias de acuerdo al número de datos.

Nº de Datos

5 6 7 10

7 10 12 20

Página

130

menos de 50 50 100 100 250 más de 250

Nº de Clases

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ď&#x192;&#x153;

Ejemplo:

Construir un cuadro de distribuciĂłn de frecuencias de 5 clases, con las distancias recorridas por 20 alumnos al venir a la universidad desde sus hogares. ď ś Las distancias son las siguientes: 0.8 , 1.2 , 2.6 , 2.8 , 3.3 , 3.4 , 3.7 , 4 , 4.5 , 5.3 , 5.8 , 6.1 , 6.2 , 6.5 , 7.1 , 7.3 , 7.4 , 7.6 , 7.8 y 9.2

ď ś SoluciĂłn:

R = MAX â&#x20AC;&#x201C; MIN 9.2 â&#x20AC;&#x201C; 0.8 = 8.4

đ?&#x2019;&#x160;=

đ?&#x2018;š đ?&#x2018;ľÂ° đ?&#x2018;Ťđ?&#x2018;Ź đ?&#x2018;Şđ?&#x2018;łđ?&#x2018;¨đ?&#x2018;şđ?&#x2018;Źđ?&#x2018;ş (đ?&#x;&#x201C; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;?đ?&#x;&#x17D;)

= đ?&#x;?, đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x2013; â&#x2030;&#x2C6; đ?&#x;?(REDONDEADO)

PĂĄgina

131

đ?&#x;&#x2013;,đ?&#x;&#x2019; đ?&#x;&#x201C;

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1 0.8 , 1.2

3 2.6 , 2.8 , 3.3 , 3.4 , 3.7

5 4 , 4.5 , 5.3 , 5.8

7 6.1 , 6.2 , 6.5 , 7.1 , 7.3 , 7.4 , 7.6 , 7.8

9 9.2

Datos

N = 20



Método de Sturges

Determinar el rango o amplitud total (R) restando el mayor dato de la serie el valor del menor dato de la misma.

Página

132

R = Máx. – Mín

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Determinar el nĂşmero de clases mediante la aplicaciĂłn de la siguiente fĂłrmula:

n = 1 + 3.33 Log(N)

DĂłnde: n = nĂşmero de clases. N = nĂşmero de datos.

3) Determinar la amplitud de clase, pudiendo presentarse dos casos: a) Cuando la amplitud va a ser mayor que 1. (i > 1)

đ?&#x2018;š+đ?&#x;? đ?&#x2019;?

b) Cuando la amplitud va a ser menor que 1. (i < 1)

đ?&#x2018;šâ&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;? đ?&#x2019;?

4) Determinar Râ&#x20AC;&#x2122;, que es igual al producto del nĂşmero de clases (n) por la amplitud de clases (i); redondeados.

PĂĄgina

133

Râ&#x20AC;&#x2122; = n x i ( redondeado)

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5) Determinar el exceso, que es la diferencia entre Râ&#x20AC;&#x2122; y el Rango.

E = Râ&#x20AC;&#x2122; - R

6) Determinar los lĂmites de clase: a) LĂm. Inf. de la Primera Clase; que es igual al mĂnimo de los datos menos el exceso dividido entre dos.

LĂm. Inf. = MĂn -

đ??&#x201E; đ?&#x;?

(1ra Clase)

b) LĂmSup. de la Ultima Clase; que es igual al mĂĄximo de los datos menos el exceso dividido entre dos.

LĂm. Sup. = Max +

đ??&#x201E; đ?&#x;?

PĂĄgina

134

(Ăşltima Clase)

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EJEMPLO: Construir un cuadro de distribuciĂłn de frecuencias para un conjunto de 30 datos, conociendo que el mĂĄximo es 900 y el mĂnimo es 500.

SOLUCIĂ&#x201C;N: ď&#x192;&#x153; R = MAX â&#x20AC;&#x201C; MIN

R = 900 â&#x20AC;&#x201C; 500 = 400

ď&#x192;&#x153; n = 1+ 3.33 Log (N) n = 1 + 3.33Log(30) n=5.918813778 5<n<6 6(redondeado)

ď&#x192;&#x2DC;đ?&#x2019;&#x160;

đ??&#x2018;+đ?&#x;? đ?&#x2019;?

đ?&#x2018;&#x2013;=

400+1 5.918813778

135

i =67.75006193

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PĂĄgina

67 < i <68

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 R’ = n x I

R’ = 6 x 68 R’= 408

 E = R’ – R

E= 408 – 400 E= 8

 Lim. Inferior de 1era clase = Min. - E 2 Lím. Inf. (1ra Clase) = 500 – (8/2) = 496

 Lim. Superior de ultima clase = Max. + E 2

Página

136

Lím. Sup. (Ultima Clase) = 900 + (8/2) = 904

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137 Página

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HISTOGRAMAS Y POLIGONOS DE FRECUENCIAS Son dos representaciones gráficas de las distribuciones de frecuencias. La relación que debe existir entre la altura del gráfico y su base es de dos tercios (2/3) a tres cuartas (3/4) partes.



HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS

Consiste en una serie de rectángulos que tienen: a)

Sus bases sobre el eje horizontal y con centro en sus puntos medios o marcas de clase y una amplitud igual a la amplitud de clase.

Las superficies de cada uno de los rectángulos son proporcionales a las frecuencias de clase.

En la construcción de los histogramas pueden presentarse dos casos:



Haciendo uso de los Límites Ordinarios de Clase.

Haciendo uso de los Límites Reales de Clase.

POLIGONOS DE FRECUENCIAS

Es el gráfico que se obtiene uniendo los puntos medios o marcas de clase de cada uno

138

de los rectángulos en su parte superior, agregando dos puntos medios de frecuencia

Página

cero (uno superior y otro inferior) para cerrar el polígono.

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La altura del grafico debe ser los dos tercios o tres cuartas partes de la base. Los gráficos se construyen a 3cm de los bordes del papel milimetrado tanto en la parte inferior como superior izquierda. Los gráficos se construyen haciendo uso de lo que los ejes cartesianos y que de ahora en adelante el eje de las abscisas (X) se va a llamar y1 y el eje de las ordenadas (Y) eje de las frecuencias (ni).

Ejemplo: Construir el histograma o polígono de frecuencia de la siguiente distribución, haciendo uso de: A) Limites ordinarios de clase B) Limites reales de clase

Yi - 1 - Yi

45 - 55

45.5 - 54.4

55 - 65

55.5 - 64.5

24%

65 - 75

65.5 - 74.5

40%

75 - 85

75.5 - 84.5

20%

85 - 95

85.5 - 94.5

139

L 1 - L2

Página

N=50

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DISTIBUCIÓN DE FRECUENCIAS RELATIVAS O PORCENTUALES

La columna de las Frecuencias Relativas o Porcentuales se determina mediante una regla de tres simple, según la cual el total de las frecuencias absolutas equivale al 100%.Los Histogramas y Polígonos de Frecuencias Relativas o Porcentuales se caracterizan por tener una escala relativa o porcentual paralela al eje de las frecuencias, pudiendo presentarse dos casos: 

Cuando frente a la mayor frecuencia de clase le corresponde una frecuencia relativa múltiplo de 10.



Cuando frente a la mayor frecuencia de clase no le corresponde una frecuencia relativa múltiplo de 10.

EJEMPLO: Construir el Histograma y Polígono de frecuencias relativas o

Página

142

porcentuales de la siguiente distribución:

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L1 - L2

YÂ´ I-1 -YÂ´ I

45 - 55

45.5 - 54.5

55 - 65

55.5 - 64.5

24%

65 - 75

65.5 - 74.5

40%

75 - 85

75.5 - 84.5

20%

85 - 95

85.5 - 94.5

N = 50

â&#x2C6;&#x2018; đ??Ąđ??˘ = đ?&#x;?đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;%

ď&#x192;&#x153; La mayor frecuencia de clase es 20 ď&#x192;&#x153; La frecuencia relativa que le corresponde es 40% y 40% es mĂşltiplo de 10 Si

50 ----- 100% 4

-----

X =400 50 .

143

PĂĄgina

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ESTADĂ?STICA BĂ SICA

EJEMPLO: Construir el Histograma y polígono de frecuencia relativa o porcentual de la siguiente distribución.

L1 - L2

Y´ I- 1 -Y´ I

0.0005-0.0025

0.001 - 0.002

0.0015

11.5%

0.0025-0.0045

0.003 - 0.004

0.0035

19.2%

0.0045-0.0065

0.005 - 0.006

0.0055

15.4%

0.0065-0.0085

0.007 - 0.008

0.0075

7.7%

0.0085-0.0105

0.009 - 0.010

0.0095

23.1%

0.0105-0.0125

0.011 - 0.012

0.0115

3.8%

0.0125-0.0145

0.013 - 0.014

0.0135

19.2%

La mayor frecuencia de clase es 60, la frecuencia relativa que le corresponde es 23.1% 23.1%no es múltiplo de 10 Por lo que se aproxima al múltiplo de 10 más cercano: 30% Si

23.1% ____ 60

X = 1800 / 2301 = 77.92

30% ____ x

Página

144

X =77.922078

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30%

20%

30 10%

0.0035

0.0015 0.0005

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

0.0025

0.0045

0.0055 0.0065

0.0075

0.0095 0.0085

0.0105

0.0115

0.0125 0.0125

0.0155 0.0145

ESTADÍSTICA BÁSICA

Página

- 0.0005

145

0,0005

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

0,0015

0,0035

0,0055

0,0075

0,0095

0,0115

0,0135

0,0155

ESTADÍSTICA BÁSICA

Página

146

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS ACUMULADAS Y OJIVAS Este tipo de distribución sirve para saber inmediatamente cuantas frecuencias hay por encima o por debajo de un límite real dado. Para esto es suficiente construir las columnas de frecuencias acumuladas “menores que” y “mayores que”. Las gráficas correspondientes a este tipo de distribuciones reciben el nombre de ojiva y que pueden ser simétricas o asimétricas. Las ojivas simétricas se reconocen cuando coinciden la media, la mediana y la moda o cuando las gráficas equidistantes de su máximo central son iguales. Las ojivas asimétricas son conocidas también con el nombre de “campana de Gauss” curva nominal, curva de campana, curva de error o curva De Moivre. La curva De Moivre a pesar de ver sido el quien la descubrió no es muy conocido con ese nombre. Gráficamente las frecuencias acumuladas “menores que” se construyen de derecha a izquierda y las frecuencias acumuladas “mayores que” se construyen de izquierda a derecha.

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ESTADÍSTICA BÁSICA

E JE MP LO Construir la Ojiva correspondiente al siguiente cuadro de distribución frecuencias L1

Ni <

Ni >

< 45 = 0

> 45 = 0

24%

< 55 = 4

> 55 = 46

40%

< 65 = 16

> 65 = 34

20%

< 75 = 36

> 75 = 14

100

< 85 = 46

> 85 = 4

< 95 = 50

> 95 = 0

hi

Página

N = 50

148

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

ESTADÍSTICA BÁSICA

Ni <

Ni >

100 %

40 75 % 35

50 %

15 25 % 10

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

95 45

ESTADÍSTICA BÁSICA

Página

149

TIPOS DE CURVA ๏ SIMร TRICA O BIEN FORMADA

ฬ = Md =Mo ๐ ฟ X = Md = Mo

X Md Mo

๏ SESGO POSITIVO O SESGADA A LA DERECHA ฬ > Md > Mo ๐ ฟ

LIC. CALDERร N OTOYA, CARLOS

Pรกgina

150

ESTADร STICA Bร SICA

๏ SESGO NEGATIVO O SESGADA A LA IZQUIERDA ฬ < Md < Mo ๐ ฟ

FORMA DE J

Pรกgina

151

๏

X < Md < Mo

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ESTADร STICA Bร SICA

 FORMA DE J INVERTIDA

FORMA DE U

Página

152

 FORMA BIMODAL

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ESTADÍSTICA BÁSICA

FORMA MULTIMODAL

FORMA SESGO

Página

153



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ESTADÍSTICA BÁSICA



FORMA KURTOSIS LEPTOCURTICA

MESOCURTICA

PLATICURTICA

MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN, MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL O PROMEDIOS

PROMEDIOS Es el tipo representativo de un conjunto de datos y como tales datos

154

tienden a concentrarse alrededor de su valor central, recibe el nombre de

Página

tendencia central, medida de centralización o promedios.

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ESTADÍSTICA BÁSICA

Media aritmĂŠtica

(X)

Media geomĂŠtrica

(G)

Media armĂłnica

(H)

Media CuadrĂĄtica

(RMS)

Mediana

(Md)

Moda

(MO)

Los Cuartiles

(Q1, Q2â&#x20AC;Ś)

Deciles

(D1, D2)

Percentiles

(Pi, P2)

ď&#x192;&#x153; Medias principales: Son consideradas: la media aritmĂŠtica (đ?&#x2018;&#x2039;Ě&#x2026;), la mediana (Md), y la moda (Mo).

ď&#x192;&#x153; Medias secundarias:

PĂĄgina

media cuadrĂĄtica (RMS) y los cuantiles (cuartiles, deciles y percentiles).

155

Son consideradas: la media geomĂŠtrica (G), la media armĂłnica (H), la

LIC. CALDERĂ&#x201C;N OTOYA, CARLOS

ESTADĂ?STICA BĂ SICA

Los promedios pueden presentarse para datos simples y para datos agrupados, ponderados o clasificados.

DATOS SIMPLES Son aquellos que no se encuentran desarrollados en un atabla de distribuciĂłn frecuente.

DATOS AGRUPADOS, PONDERADOS O CLASIFICADOS Son aquellos que se encuentran contenidos en una tabla o cuadro de distribuciĂłn de frecuencia.

Ě&#x2026;) MEDIA ARITMĂ&#x2030;TICA (đ??&#x2014; MEDIA ARITMETICA SIMPLE: Se determina dividiendo la suma que representa los datos entre el nĂşmero de datos. En la Media AritmĂŠtica Simple cada uno de los datos es considerado como un punto medio (Yi) y se determina mediante la aplicaciĂłn de la siguiente

156

fĂłrmula.

LIC. CALDERĂ&#x201C;N OTOYA, CARLOS

PĂĄgina

â&#x2C6;&#x2018; đ?&#x2018;&#x152;đ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x2018;Ľ= đ?&#x2018; ESTADĂ?STICA BĂ SICA

E JE MP LO Calcular la media aritmĂŠtica de las calificaciones obtenidas durante un examen con propĂłsito de promociĂłn.

68 + 72 + 84 + 78 + 87 + 91 480 đ?&#x2018;Ľ= = = 80 6 6

MEDIA ARITMETICA AGRUPADA, PONDERADA O CLASIFICADA Es cuando se asigna ciertos coeficientes, peso significaciĂłn importancia a una determina actividad. Un ejemplo clĂĄsico de ponderaciĂłn son los llamados coeficientes que les asigna a ciertos exĂĄmenes y se determina mediante la aplicaciĂłn de la siguiente fĂłrmula:

â&#x2C6;&#x2018;đ??§đ??˘ đ??&#x2DC;đ??˘ đ??? PĂĄgina

157

Ě&#x2026;= đ?&#x2018;ż

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ESTADĂ?STICA BĂ SICA

E JE MP LO 1 Determinar el promedio de un alumno cuyas notas y coeficientes estos dados a continuaciĂłn: Notas Yi

Coeficiente ni

ni. Yi

Promedio Anual

Examen Escrito

Examen Oral

N=6

ď &#x201C;niYi = 62

ď&#x192;&#x2DC; SOLUCIĂ&#x201C;N:

â&#x2C6;&#x2018;ni Yi 62 = = 10.33 N 6

đ?&#x2018;&#x2039;Ě&#x2026; =

E JE MP LO 2 Calcular la estatura media de 100 alumnos de la universidad distribuidos

LIC. CALDERĂ&#x201C;N OTOYA, CARLOS

â&#x2C6;&#x2018;ni Yi 164.2 = = 1.642 N 100

PĂĄgina

đ?&#x2018;&#x2039;Ě&#x2026; =

158

en la siguiente frecuencia:

ESTADĂ?STICA BĂ SICA

E JE MP LO 3 Calcular la media aritmĂŠtica del siguiente cuadro de distribuciĂłn de frecuencia que nos indica los titulares de libreta de una caja de ahorro con relaciĂłn a la edad y sus sueldos.

L1 _L2

YiÂ´-1 _ Yi

ni.Yi

45 â&#x20AC;&#x201C; 55

45.5 â&#x20AC;&#x201C; 54.5

200

55 â&#x20AC;&#x201C; 65

55.5 â&#x20AC;&#x201C; 64.5

720

65 â&#x20AC;&#x201C; 75

65.5 â&#x20AC;&#x201C; 74.5

1400

75 â&#x20AC;&#x201C; 85

75.5 â&#x20AC;&#x201C; 84.5

800

85 â&#x20AC;&#x201C; 95

85.5 â&#x20AC;&#x201C; 94.5

360

N = 50

ď &#x201C;ni.Yi = 3480

LIC. CALDERĂ&#x201C;N OTOYA, CARLOS

159

â&#x2C6;&#x2018;ni Yi 3480 = = 69,6 N 50

PĂĄgina

đ?&#x2018;&#x2039;Ě&#x2026; =

ESTADĂ?STICA BĂ SICA

E JE MP LO 4 Calcular la media aritmĂŠtica del siguiente cuadro de distribuciĂłn de frecuencia:

L1 _L2

YiÂ´-1 _ Yi

ni.Yi

0.0005 â&#x20AC;&#x201C; 0.0025

0.0010 â&#x20AC;&#x201C; 0.0020

0.0015

0.045

0.0025 â&#x20AC;&#x201C; 0.0045

0.0030 â&#x20AC;&#x201C; 0.0040

0.0035

0.175

0.0045 â&#x20AC;&#x201C; 0.0065

0.0050 â&#x20AC;&#x201C; 0.0060

0.0055

0.22

0.0065 â&#x20AC;&#x201C; 0.0085

0.0070 â&#x20AC;&#x201C; 0.0080

0.0075

0.15

0.0085 â&#x20AC;&#x201C; 0.0105

0.0090 â&#x20AC;&#x201C; 0.0100

0.0095

0.57

0.0105 - 0.0125

0.0110 â&#x20AC;&#x201C; 0.0120

0.0115

0.115

0.0125 â&#x20AC;&#x201C; 0.0145

0.0130 â&#x20AC;&#x201C; 0.0140

0.0135

0.675

N = 260

ď &#x201C;ni.Yi =

â&#x2C6;&#x2018;ni Yi 1.95 = = 0.0075 N 260

LIC. CALDERĂ&#x201C;N OTOYA, CARLOS

PĂĄgina

đ?&#x2018;&#x2039;Ě&#x2026; =

160

3480

ESTADĂ?STICA BĂ SICA

E JE MP LO 6 Los sueldos de los empleados son 500, 600, 650 y 3000 Nuevos soles. a) Hallar la media aritmĂŠtica de los sueldos. b) Âżse podrĂa decir que este promedio es representativo de los sueldo? a)

â&#x2C6;&#x2018;ni Yi 500 + 600 + 650 + 3000 4750 đ?&#x2018;Ľ= = = N 4 4 = 1187.50

El promedio 1187.50 no es representativo de los sueldos.Dar este

promedio sin mayor cometario conduciria a un error.

PĂĄgina

161

La gran desventaja de la media aritmĂŠtica es que es fuertemente afectada por los valores extremos,razĂłn por la cual no debe aplicarse para lo promedios, suedos y salariosâ&#x20AC;?.

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ESTADĂ?STICA BĂ SICA

PROPIEDAD PRINCIPAL DE LA MEDIA ARITMÉTICA La suma algebraica de todos los desvíos de un conjunto de datos con respecto a su media aritmética es igual á cero (0). Ejercicio: 1.- Determinar la suma algebraica de los desvios de los números 3, 6, 9, 10, 12 con respecto a su media aritmética.

3 – 8 = -5

6 – 8 = -2

9–8= 1

10 – 8 = 2

12 – 8 = 4

–7

(Yi-X) = -7 + 7 = 0

X = Yi = 3+6+9+10+12 = 40 =8 N 5 5

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ESTADÍSTICA BÁSICA

162

Yi = 40

= Yi –X

Página

MEDIA GEOMĂ&#x2030;TRICA (G) Se define la media geomĂŠtrica como la raĂz enĂŠsima del producto de "n" tĂŠrminos y se usa generalmente para: Promediar razones. Tazas de cambio. Progresiones geomĂŠtricas equilibrĂĄndolas. Promediar promedios de ventas Tasa de crecimiento de las poblaciones (esperanza de vida de los pobladores y sus proyecciones) Cultivo de bacteria ( nĂşmero de colonias )

MEDIA GEOMĂ&#x2030;TRICA DE DATOS SIMPLES

G = đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x152;đ?&#x2018;&#x2013;1 Ă&#x2014; đ?&#x2018;&#x152;đ?&#x2018;&#x2013;2 Ă&#x2014; â&#x20AC;Ś đ?&#x2018;&#x152;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;

đ?&#x2018;

PĂĄgina

163

G = đ??´đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;

â&#x2C6;&#x2018; log đ?&#x2018;&#x152;đ?&#x2018;&#x2013;

LIC. CALDERĂ&#x201C;N OTOYA, CARLOS

ESTADĂ?STICA BĂ SICA

E JE MP LO 1 Las tasas de interĂŠs de tres bonos son 5%, 7% y 4%. Hallar la media GeomĂŠtrica

G = đ?&#x2018;ľ đ?&#x2019;&#x20AC;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x;? â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2019;&#x20AC;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x;? â&#x2C6;&#x2014; â&#x20AC;Ś đ?&#x2019;&#x20AC;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;? 3

G= â&#x2C6;&#x161;5â&#x2C6;&#x2014;7â&#x2C6;&#x2014;4 G =5.192494102

E JE MP LO 2 Calcular la media geomĂŠtrica y aritmĂŠtica de los nĂşmeros 2, 4 y 8 y establecer la relaciĂłn entre los promedios.

đ?&#x2018;Ľ=

â&#x2C6;&#x2018; đ?&#x2018;&#x152;đ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x2018;

2+4+8 3

14 3

G = đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x152;đ?&#x2018;&#x2013;1 â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x152;đ?&#x2018;&#x2013;2 â&#x2C6;&#x2014; â&#x20AC;Ś đ?&#x2018;&#x152;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A; =

= 4.667 3

â&#x2C6;&#x161;2 â&#x2C6;&#x2014; 4 â&#x2C6;&#x2014; 8 = 4

164

Ě&#x2026; >G đ?&#x2018;ż

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PĂĄgina

4.667 > 4

ESTADĂ?STICA BĂ SICA

MEDIA GEOMÉTRICA DE DATOS AGRUPADOS CLASIFICADOS 𝑵

𝒏𝒊 𝒏𝒊 G = √𝒀𝒊𝒏𝒊 𝟏 × 𝒀𝒊𝟐 × … 𝒀𝒊𝒏

G = 𝑨𝒏𝒕𝒊𝒍𝒐𝒈

∑ 𝐧𝐢 × 𝐥𝐨𝐠 𝒀𝒊 𝑵

E JE MP LO 1 Según el siguiente cuadro de distribución de frecuencias halla la media

𝑌𝑖𝑖−1 - 𝑌𝑖𝑖

𝑌𝑖

log 𝑌𝑖

𝑛𝑖 ∗ log 𝑌𝑖

15-25

15.5 – 24.5

1.301029996

7.806179976

25 -35

25.5 – 35.5

1.477121255

16.24833381

35-45

35.5 – 44.5

1.602059991

64.08239964

45 – 55

45.5– 54.5

1.698970004

40.7752801

55 - 65

55.5 – 64.5

1.77815125

24.8941175

65 - 75

65.5 – 74.5

1.84509804

9.2254902

𝑛𝑖

N= 100

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

∑ 𝒏𝒊 ∗ 𝐥𝐨𝐠 𝒀𝒊 = 163.0318012

ESTADÍSTICA BÁSICA

Página

𝐿1 − 𝐿2

165

Geométrica.

G = 𝑨𝒏𝒕𝒊𝒍𝒐𝒈 G = 𝐴𝑛𝑡𝑖𝑙𝑜𝑔

∑ 𝐧𝐢∗𝐥𝐨𝐠 𝒀𝒊 𝑵

163.0318012 100

G = 𝐴𝑛𝑡𝑖𝑙𝑜𝑔1.630318012 G = 42.68919962

E JE MP LO 2 Encontrar la Media Geométrica en el siguiente cuadro de distribución de

𝐿1 − 𝐿2

𝑌𝑖𝑖−1 - 𝑌𝑖𝑖

𝑌𝑖

𝑛𝑖

log 𝑌𝑖

𝑛𝑖 ∗ log 𝑌𝑖

68-72

68.5 – 71.5

1.84509804

7.38039216

72 -76

72.5 – 75.5

1.86923172

16.82308548

76-80

76.5 – 79.5

1.892094603

30.27351364

80 – 84

80.5 – 83.5

1.913813852

53.58678787

84– 88

84.5 – 87.5

1.934498451

87.05243031

88- 92

88.5 – 91.5

1.954242509

128.9800056 ∑ 𝒏𝒊 ∗ 𝐥𝐨𝐠 𝒀𝒊 = 324.0962151

Página

N= 168

166

frecuencias

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ESTADÍSTICA BÁSICA

G = đ?&#x2018;¨đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2C6;

â&#x2C6;&#x2018; đ??§đ??˘â&#x2C6;&#x2014;đ??Ľđ??¨đ?? đ?&#x2019;&#x20AC;đ?&#x2019;&#x160; đ?&#x2018;ľ

G = đ??´đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;

đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;?đ?&#x;&#x2019;.đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;?

168

G = đ??´đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;1.929144138 G =84.94623553

CONCLUS IONE S 1. Para cualquier serie de tĂŠrminos que no sean iguales, la media geomĂŠtrica es siempre menor que la media aritmĂŠtica por ser esta Ăşltima fuertemente afectada por los valores extremos.

Ě&#x2026; >G đ?&#x2018;ż

2. Cuando uno de los valores es negativo la media geomĂŠtrica es imposible de calcular. 3. Cuando uno de los valores es igual a "0" la media geomĂŠtrica tambiĂŠn es igual a "0"

PĂĄgina

167

y por lo tanto inadecuada.

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ESTADĂ?STICA BĂ SICA

TASA DE CRECIMIENTO Una de las aplicaciones de la media geométrica es la de determinar la tasa de crecimiento de las poblaciones, esperanza de vida de las poblaciones y sus proyecciones a futuro. Todos los países que deseen proyectarse hacia el futuro, tiene que trazarse planes de desarrollo y en el caso del Perú este estudio es elaborado por el Instituto Nacional de Estadística e Informática con el auspicio de la ONU y el Centro Latinoamericano de demografía; el censo de 1993 no señala las siguientes proyecciones de la población del Perú entre 1995 - 2025. Uno de los principales factores que explica la disminución de la tasa de crecimiento poblacional en el Perú de 2.9% en 1960 - 1995 ha disminuido a 1.7% en 1990 - 1995 se debe al decremento en la Tasa de Fecundidad si entre 1960 - 1965 . 1. Uno de los principales factores que explicó la disminución de la tasa de crecimiento poblacional en el Perú de 2.9% en el quinquenio de 1960-1965 ha disminuido a 1.7% en el quinquenio de 1990-1995, se debe al

el quinquenio de 1990-1995 es de 3.4 hijos en promedio, estimándose que

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ESTADÍSTICA BÁSICA

Página

Si entre 1960 y 1965, una mujer peruana tenía un promedio de 6.9 hijos en

168

decremento de la tasa de fecundidad.

para el año 2025 el número promedio de hijos al término de un período reproductivo será de 2.1 por mujer. Según el estudio del número promedio de hijos por mujer genera una reducción de la tasa de natalidad con una clara tendencia decreciente. 2. En el período l960-l965 la tasa era de 46.3 nacimientos por cada mil habitantes, mientras que en el quinquenio de l990-l995 la proporción era de 27.6 por cada mil. Para el año 2005 se proyecta un crecimiento de l6.2 nacimientos por cada mil pobladores. El INEI informó que en los últimos 10 años se ha reducido de 82 a 56 defunciones por cada mil nacidos vivos proyectándose para el 2025 en 45 las defunciones de menores de un año. 3.

esperanza

vida

nacer

también

variado.

población peruana a aumentado de 44 años en el quinquenio de l940-l945 a 67 años en el periodo de l990-l995. 4. Se estima que el periodo de vida de los será de 75 años. Esta disminución en las tasas de mortalidad infantil y el aumento de la esperanza de vida se a manifestado principalmente en el área urbana. 5. En el año 2025 más de la mitad de la población tendrá 32 años en los próximos 30 años la estructura por edades de la población cambiará

6. La edad mediana de la población que en 1965 era de 18 años en 1995 alcanza los 21.6 años y en 2025 será de 31.7 años como resultado de los

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Página

descensos del ritmo de fecundidad y mortalidad.

169

significativamente.

ESTADÍSTICA BÁSICA

7. Al analizar la estructura de la población por grandes grupos de edades, se señaló que en el período 1995-2025 la proporción de la población menor de 5 años disminuirá del 12% al 8%. 8. La población en edad de trabajar de (15 a 64 años) aumentará de 60% al 68% y el porcentaje de la población mayor de 65 años se incrementará del 4% al 9% de la población total. 9. En términos absolutos, la población menor de 15 años se mantiene en torno a los 8.4 millones con tendencias a decrece , también las personas de 65 años ó más se triplicará para pasar de 1 a 3 millones. 10. La población de 15 a 64 años se incrementó en 10 millones al pasar de 14 a 24 millones en el período de 1995-202. 11. En el 2025 habrá 9.39 millones de alumnos de nivel primaria con un incremento de 11000 alumnos promedio por año entre el período de 2005 a 2025. 12. La población de adultos mayores de 60 años crece anualmente 2.5%, mientras que la población de 0 a 60 años se incrementó en 1.7%. En América Latina al comenzar el próximo siglo los mayores de 60 años superarán el 10% poblacional. 13. En América Latina ya existen países en los que hay más del 10% de mayores de 60 años, ejemplo: Chile, Cuba, Argentina, Uruguay. En el

mayores de 60 años en el Perú para el 2000 es de 6.97%. Lo que se traduce 1´833,000 de una población total de 26´275,504 habitantes.

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ESTADÍSTICA BÁSICA

Página

años corresponde al 6.4% sobre un total de 23´854,017. La proyección de

170

Perú de acuerdo a las cifras del último censo la población mayor de 60

FĂ&#x201C;RMULA PARA CALCULAR LA TASA DE CRECIMIENTO DE LAS POBLACIONES METODO ABREVIADO Para calcular la tasa promedio de incremento, cuando el primer valor, el ultimo valor y el nĂşmero de valores son conocidos en una secuencia, los proporciona la aplicaciĂłn de la siguiente formula.

đ?&#x2019;?

đ?&#x2018;¨

G = â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;Š - 100 %

DATOS: A = PoblaciĂłn del Ăşltimo censo B = PoblaciĂłn del censo tomado como base N = Diferencia en aĂąos entre uno y otro censo

PĂĄgina

171

G = Tasa de crecimiento

LIC. CALDERĂ&#x201C;N OTOYA, CARLOS

ESTADĂ?STICA BĂ SICA

La expectativa de vida en el Perú ha variado de la década del 50 a la fecha. En la década del 50 la expectativa era 44 años. En uno de los censos anteriores la expectativa de vida en el Perú era: Mujer:

72 años

Hombre:

67 años

En uno de los censos se pudo determinar que murieron 74702 hombres de cada 37888 mujeres.

Página

172

Evolución histórica de la población en el Perú:

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

ESTADÍSTICA BÁSICA

RESOLUCIĂ&#x201C;N a) Determinar la tasa de crecimiento entre censo y censo considerando los resultados de los censos de poblaciĂłn y vivienda realizados en el PerĂş a partir de 1940 b) Determinar la poblaciĂłn del PerĂş para el aĂąo 2010, 2020, 2030, 2040 c) ÂżEn quĂŠ aĂąo se duplicara y triplicara la poblaciĂłn del 2015? ResoluciĂłn: a)

o Entre 1940 y 1961 G = Âż? Aâ&#x201A; â&#x201A;&#x2030;â&#x201A;&#x2020;â&#x201A; = 10â&#x20AC;&#x2122;420357 Bâ&#x201A; â&#x201A;&#x2030;â&#x201A;&#x201E;â&#x201A;&#x20AC; = 7â&#x20AC;&#x2122;023111 N= 1961 â&#x20AC;&#x201C; 1940 = 21 đ??´

đ?&#x2018;

G = â&#x2C6;&#x161;đ??ľ â&#x20AC;&#x201C; 100 %

10â&#x20AC;˛420357

đ??ş = â&#x2C6;&#x161; 7â&#x20AC;˛023111 â&#x2C6;&#x2019; 100% đ??ş = 1,01896594537 â&#x2C6;&#x2019; 100% đ??ş = 101,896594537% â&#x2C6;&#x2019; 100%

PĂĄgina

173

đ??ş = 1,896594537%

o Entre 1961 y 1972

LIC. CALDERĂ&#x201C;N OTOYA, CARLOS

ESTADĂ?STICA BĂ SICA

G = ¿? A₁₉₇₂ = B₁₉₆₁ = N = 1972 – 1961 = 11 𝐴

𝑁

G = √𝐵 – 100 %

14′121564

𝐺 = √10′420357 − 100% 𝐺 = 1,028016341 − 100% 𝐺 = 102,8016341% − 100% 𝐺 = 2,801634 o Entre 1972 y 1981 G = ¿? A₁₉₈₇ = B₁₉₇₂ = N = 1981 – 1972 = 9 𝑁

𝐴

174

G = √𝐵 – 100

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

Página

ESTADÍSTICA BÁSICA

17′762231

𝐺 = √14′121564 − 100% 𝐺 = 1,025813244 − 100% 𝐺 = 102,5813244% − 100% 𝐺 = 2,5813244

o Entre 1981 y 1993 G = ¿? A₁₉₉₃ = 22’639443 B₁₉₈₁ = 17’762231 N = 1993 – 1981 = 12 𝑁

𝐴

G = √𝐵 – 100 %

22′639443

𝐺 = √17′762231 − 100% 𝐺 = 1,020424049 − 100%

175

𝐺 = 102,0424049% − 100%

Página

𝐺 = 2,0424049%

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

ESTADÍSTICA BÁSICA

o Entre 1993 y 2007 G = ¿? A₂₀₀₇ = 28’220764 B₁₉₉₃ = 22’639443 N = 2007 – 1993 = 14 𝑁

𝐴

G = √𝐵 – 100 %

28′220764

𝐺 = √22′639443 − 100% 𝐺 = 1,015864843 − 100% 𝐺 = 101,5864843 − 100%

Página

176

𝐺 = 1,5864843%

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

ESTADÍSTICA BÁSICA

o Entre 2007 y 2014 G = ¿? A₂₀₁₄ = 30’814175 B₂₀₀₇ = 28’220764 N = 2014 – 2007 = 7 𝑁

𝐴

G = √𝐵 – 100 % 7

𝐺= √

30′814175 28′220764

− 100%

𝐺 = 1,012638744 − 100% 𝐺 = 101,2638744 − 100%

Página

177

𝐺 = 1,2638744%

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ESTADÍSTICA BÁSICA

FĂ&#x201C;RMULA PARA DETERMINAR LAS PROYECCIONES DE POBLACIĂ&#x201C;N La fĂłrmula para determinar las proyecciones de la poblaciĂłn a futuro es la misma de la tasa de crecimiento sin considerar el 100 %.

NOTA: Dado que en el PerĂş no hay una polĂtica de censos, la tasa de crecimiento a futuro es la que se obtuvo en el Ăşltimo censo. Cuando hay igual amplitud entre uno y otro censo, la tasa de crecimiento a futuro es el promedio. đ?&#x2019;?

đ?&#x2018;¨

G = â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;Š HALLAR POBLACIĂ&#x201C;N 2010

đ?&#x2018;

đ??ş= â&#x2C6;&#x161;

đ??´ đ??ľ

G = 1,01586484322

178

Aâ&#x201A;&#x201A;â&#x201A;&#x20AC;â&#x201A; â&#x201A;&#x20AC; = Xâ&#x201A;&#x201A;â&#x201A;&#x20AC;â&#x201A; â&#x201A;&#x20AC;

PĂĄgina

Bâ&#x201A;&#x201A;â&#x201A;&#x20AC;â&#x201A;&#x20AC;â&#x201A;&#x2021; = 28â&#x20AC;&#x2122;220764 N = 2010 â&#x20AC;&#x201C; 2007 = 3

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ESTADĂ?STICA BĂ SICA

Resolucion: 3

Xโ โ โ โ

1,01586484322 = โ 28โ 220764 Xโ โ โ โ = (1,01586484322)3 . 28โ ฒ220764 ๐ โ โ โ โ = 29โ ฒ 585,339.6 o 2020 G = 1,01586484322 Aโ โ โ โ = Xโ โ โ โ B = 28โ 220764 N = 2020 โ 2007 = 13

๐

๐ บ= โ

๐ ด ๐ ต

Xโ โ โ โ

1,01586484322 = โ 28โ ฒ220764 ๐ โ โ โ โ = (1,01586484322)13 . 28โ ฒ220764

Pรกgina

179

๐ โ โ โ โ = 34โ ฒ628674.27

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ESTADร STICA Bร SICA

o 2030 G = 1,01586484322 Aโ โ โ โ = Xโ โ โ โ B= 28โ 220764 N = 2030 โ 2007 = 23 ๐

๐ บ= โ

๐ ด ๐ ต 23

1,01586484322 = โ

๐ โ โ โ โ

28โ ฒ220764

๐ โ โ โ โ = (1,01586484322)23 . 28โ ฒ220764 ๐ โ โ โ โ = 40โ ฒ531732,86

o 2040 G = 1,01586484322 Aโ โ โ โ = Xโ โ โ โ B = 28โ 220764 N = 2040 โ 2007 = 33

๐

๐ ด ๐ ต

Pรกgina

180

๐ บ= โ

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ESTADร STICA Bร SICA

Xโ โ โ โ

1,01586484322 = โ 28โ ฒ220764 ๐ โ โ โ โ = (1,01586484322)33 . 28โ ฒ220764 Xโ โ โ โ = 47โ 441070.25

b) o Se duplica la poblaciรณn del 2015 G = 1,01586484322 Aโ โ โ โ = Xโ โ โ โ Bโ โ โ โ = 28โ 220764 N = 2015 โ 2007 = 8

๐

๐ บ= โ

๐ ด ๐ ต

Xโ โ โ โ

1,01586484322 = โ 28โ ฒ220764 ๐ โ โ โ โ = (1,01586484322)8 . 28โ ฒ220764 Xโ โ โ โ = 32โ 007828.54

Hallar el doble de la poblaciรณn: G = 1,01586484322 A = 2(32โ 007828,5) B = 32โ 007828,5

๐

๐ บ= โ

Pรกgina

181

N = ยฟ?

๐ ด ๐ ต

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ESTADร STICA Bร SICA

đ?&#x2018;

1.01586484322 = â&#x2C6;&#x161;

2(32â&#x20AC;˛ 007828.5) 32â&#x20AC;˛ 007828.5

đ?&#x2018;

1.01586484322 = â&#x2C6;&#x161;2 log 1.01586484322 = đ?&#x2018; = đ?&#x2018; =

1 đ?&#x2018;

log 2

log 2 log 1.01586484322 0.3010299957 0.006835930637

đ?&#x2018; = 44.036432 Por lo tanto: 2015 + 44.036 = 2059,36

o Se triplica la poblaciĂłn

G = 1,01586484322 A = 3(32â&#x20AC;&#x2122;007828,5) B = 32â&#x20AC;&#x2122;007828,5) N = Âż?

đ?&#x2018;

đ??ş= â&#x2C6;&#x161;

đ??´ đ??ľ

đ?&#x2018;

1,01586484322 = â&#x2C6;&#x161;

3(32â&#x20AC;˛ 007828.5) 32â&#x20AC;˛ 007828.5

đ?&#x2018;

1,01586484322 = â&#x2C6;&#x161;3 1 đ?&#x2018;

log 3

182

log 1,01586484322 = log 3

đ?&#x2018; =

PĂĄgina

đ?&#x2018; = log 1,01586484322 0,4771212547 0,006835930637

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ESTADĂ?STICA BĂ SICA

đ?&#x2018; = 69,79609362 Por lo tanto: 2015 + 69,796 = 2084,796

MEDIA ARMĂ&#x201C;NICA (H) Se define la media armĂłnica como la recĂproca de la media aritmĂŠtica de los recĂprocos de los nĂşmeros y se caracteriza por la menor afectada por los valores extremos, razĂłn por la cual se le utiliza para: ď&#x192;&#x153; Promediar tasa de productividad ď&#x192;&#x153; Promediar velocidad ď&#x192;&#x153; Promediar valores que no deben su afectos por los valores extremos ď&#x192;&#x153; En relaciones industriales para pagar en forma justa de acuerdo al rendimiento a los obreros y empleados.

Se determina mediante la aplicaciĂłn de:

đ?&#x2018;ľ â&#x2C6;&#x2018;

đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x20AC;đ?&#x2018;°

đ?&#x2018;ľ â&#x2C6;&#x2018;

đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x160; đ?&#x2019;&#x20AC;đ?&#x2018;°

PĂĄgina

183

LIC. CALDERĂ&#x201C;N OTOYA, CARLOS

ESTADĂ?STICA BĂ SICA

E JE MP LO 1 Calcular la media armónica de los números 2, 4, 8

𝑵 ∑

𝟏 𝒀𝑰

H=𝟏

𝟑 𝟏

𝟏

+ + 𝟐 𝟒 𝟖

𝟐𝟒

H=𝟕

H = 3.248571429 E JE MP LO 2 𝐿1 − 𝐿2

𝑌𝑖𝑖−1 - 𝑌𝑖𝑖

𝑌𝑖

𝑛𝑖

𝑛𝑖 ⁄𝑌𝑖

1.495 - 1.545

1.50 - 1.54

1.52

3.289473684

1.545 - 1.595

1.55 - 1.59

1.57

7.643312102

1.595 - 1.645

1.60 - 1.64

1.62

24.69135802

1.645 - 1.695

1.65 - 1.69

1.67

15.56886228

1.695 - 1.745

1.70 - 1.74

1.72

6.395348837

1.745 - 1.795

1.75 - 1.79

1.77

3.389830508

184

∑ 𝒏𝒊⁄𝒚𝒊= 60.97818543

Página

N= 100

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ESTADÍSTICA BÁSICA

Calcular la media armĂłnica del siguiente cuadro de distribuciĂłn de frecuencias.

đ?&#x2018;ľ â&#x2C6;&#x2018;

đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x160; đ?&#x2019;&#x20AC;đ?&#x2018;° đ?&#x;?đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; H = đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x17D;.đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x2013;đ?&#x;?đ?&#x;&#x2013;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2018;

H =1.639930720

TASA DE PRODUCTIVIDAD Una de las aplicaciones de la media armĂłnica es para promediar tasas de productividad de obreros y empleados debido a que no es influenciada por los valores externos como sucede con otros promedios, razĂłn por la cual debe ser utilizada en todo tipo de empresas para pagar en forma

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185

justa y de acuerdo a su rendimiento.

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ESTADĂ?STICA BĂ SICA

Ejercicios:

1.- Un laboratorio de productos farmacéuticos ha asignado a que un grupo de 4 trabajadores para completar una orden de 700 artículos de un mismo tipo. Las tasas de productividad de cada uno de los trabajadores están dadas a continuación.

Trabajadores

Tasa de productividad

4 mint. por art.

6 mint. por art.

10 mint. por art.

15 mint. por art.

Determinar:

a) El promedio de minutos por producto para el grupo de trabajadores.

d) Si por cada producto que entrega el trabajador recibe s/.0.50 ¿Cuánto tendrá que abonarse a cada uno de los trabajadores y cuanto tendrá que abonar la empresa por derecho de mano de obra?

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ESTADÍSTICA BÁSICA

Página

c) Qué cantidad de productos se entregara a cada trabajador

186

b) En qué tiempo estará listo el pedido

Solución: a)

= 1 1 1 1 + + + 4 6 10 15

700 x 67 = 700 x

48 7

= 4800

4 15+10+6+4 60

4800 4

240 35

= 6 67 min/art

= 1200 min = 20 horas

Estará listo en 4800 minutos lo que equivale a 80 horas. c)

Si demora 4800 minutos, cada uno tendrá 1200 minutos

Página

187

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

ESTADÍSTICA BÁSICA

MEDIA CUADRATICA (RMS) Se define la media cuadrĂĄtica como la raĂz cuadrada del cuadrado de la media y se usa generalmente para: a) b) c) d)

Investigaciones de laboratorio Determinar la desviacion estĂĄndar Para promediar valores de la fuerza expansiva de los explosivos Se determina mediante de la aplicaciĂłn de las siguientes formulas:

â&#x2C6;&#x2018;đ?&#x2018;Śáľ˘2 đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x20AC;đ?&#x2018;&#x2020; = â&#x2C6;&#x161; đ?&#x2018;

đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x20AC;đ?&#x2018;&#x2020; â&#x2C6;&#x2018;đ?&#x2018;&#x203A;áľ˘đ?&#x2018;Śáľ˘2 = â&#x2C6;&#x161; đ?&#x2018;

Ejercicio: Calcular la media cuadrĂĄtica de los nĂşmeros 2, 4 ,8.

â&#x2C6;&#x2018;đ?&#x2018;Śáľ˘2 đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x20AC;đ?&#x2018;&#x2020; = â&#x2C6;&#x161; đ?&#x2018;

= â&#x2C6;&#x161; 3 = â&#x2C6;&#x161;28 = 5,291502622

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188

22 +4 2 +82 â&#x2C6;&#x161; 3

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ESTADĂ?STICA BĂ SICA

Ejercicio: Calcular la media aritmĂŠtica del siguiente cuadro de distribuciĂłn de frecuencia.

Lâ&#x201A; Lâ&#x201A;&#x201A;

Yâ&#x20AC;&#x2122;áľ˘-â&#x201A; Yáľ˘â&#x20AC;&#x2122;

yáľ˘

náľ˘

đ?&#x2018;Śáľ˘2

đ?&#x2018;&#x203A;áľ˘đ?&#x2018;Śáľ˘2

2500

10000

3600

43200

4900

98000

6400

64000

8100

32400 â&#x2C6;&#x2018;đ?&#x2018;&#x203A;áľ˘đ?&#x2018;Śáľ˘2 = 2476000

N = 50

RELACIĂ&#x201C;N ENTRE LOS PROMEDIOS: Es un conjunto de nĂşmeros positivos. Se puede establecer de la siguiente relaciĂłn entre los promedios. Ejercicio: Determina la relaciĂłn entre los promedios de los nĂşmeros 2, 4, 8.

â&#x2C6;&#x2018;đ?&#x2018;Śáľ˘2 đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x20AC;đ?&#x2018;&#x2020; = â&#x2C6;&#x161; đ?&#x2018;

2 2 2 â&#x2C6;&#x161;2 + 4 + 8 = 5,291502622

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189

LIC. CALDERĂ&#x201C;N OTOYA, CARLOS

ESTADĂ?STICA BĂ SICA

р║і=

ЮЏ┤ЮЉдрхб ЮЉЂ

2+4+8 3

G = ЮЉЂ ЮЉдрхбРѓЂ ЮЉЦ ЮЉдрхбРѓѓ ЮЉЦ ЮЉдрхбРѓЃ

ЮЉЂ 1 РѕЉ ЮЉдрхб

14 3

= 4,667

Рѕџ2 ЮЉЦ 4 ЮЉЦ 8 = Рѕџ64 = 4

3 1 1 1 + + 2 4 8

3 4+2+1 8

24 7

= 3,42

╠ЁРЅЦGРЅЦH RMS РЅЦ ЮЉ┐

P├Аgina

190

5,29 РЅЦ 4,667 РЅЦ 4 РЅЦ 3,42

LIC. CALDER├ЊN OTOYA, CARLOS

ESTAD├ЇSTICA B├ЂSICA

Determinar la relaciĂłn entre los promedios del siguiente cuadro de distribuciĂłn de frecuencias yâ&#x20AC;&#x2122;áľ˘-â&#x201A; - yáľ˘â&#x20AC;&#x2122;

yáľ˘

náľ˘

yáľ˘đ?&#x;?

náľ˘yáľ˘đ?&#x;?

náľ˘yáľ˘

Logyáľ˘

náľ˘logyáľ˘

đ?&#x2019;?áľ˘â &#x201E; đ?&#x2019;&#x161;áľ˘

2500

10000

200

1,698970004

6,795880017

0,08

3600

43200

720

1,77815125

21,337815

0,2

4900

98000

1400

1,84509804

36,9019608

0,2857142857

6400

64000

800

1,903089987

19,03089987

0,125

8100

32400

360

1,954242509

7,816970038

0,04445

N= 50

= 25500

= 247600

= 91,88352573

= 0,7307142857

PĂĄgina

191

Lâ&#x201A; Lâ&#x201A;&#x201A;

LIC. CALDERĂ&#x201C;N OTOYA, CARLOS

ESTADĂ?STICA BĂ SICA

RMS = Рѕџ

РѕЉЮЉЏрхбЮЉдрхб2 ЮЉЂ

=Рѕџ

247600 50

=Рѕџ4952 = 70,37044834

РѕЉ ЮЉЏрхбЮЉдрхб2 3480 ╠Ё ЮЉІ= = = 69.6 ЮЉЂ

ЮЉЂ

G = РѕџЮЉїЮЉќ1ЮЉЏЮЉќ ├Ќ ЮЉїЮЉќ2ЮЉЏЮЉќ ├Ќ Рђд ЮЉїЮЉќЮЉЏЮЉЏЮЉќ = Рѕџ504 ├Ќ 6012 ├Ќ 7020 ├Ќ 8010 ├Ќ 904 = 68.81300359 H=

ЮЉЂ ЮЉЏЮЉќ ЮЉїЮљ╝

РѕЉ

= 0.73515873 = 68.01252296

╠ЁРЅЦGРЅЦH RMS РЅЦ ЮЉ┐

P├Аgina

192

70.37 РЅЦ 69.6 РЅЦ 68.8 РЅЦ 68.01

LIC. CALDER├ЊN OTOYA, CARLOS

ESTAD├ЇSTICA B├ЂSICA

LA MEDIANA (Md) Es el valor que divide a una distribución del modo tal, que a cada lado de ella quede un número igual de términos.

1. Calculo de la mediana para datos simples: La mediana de un conjunto de datos ordenados según su magnitud es el valor central en el caso de un número impar de términos o la media aritmética de los dos valores centrales en caso de un número par de términos. Ejemplos:

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10

Md = 5

Md =

−5+7 2

Página

193

Md = 6

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

ESTADÍSTICA BÁSICA

2. Calculo de la mediana para datos agrupados: Se determina por la interpolaciĂłn, mediante la aplicaciĂłn de la siguiente formula .

Md =

đ?&#x2018; â&#x2C6;&#x2019;(â&#x2C6;&#x2018;Ni)1 2

L1 + (

đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x20AC;đ?&#x2018;&#x2018;

DĂłnde: =

Limite real inferior de la clase mediana.

đ?&#x2018; 2

Mitad del total de frecuencias absolutas.

( ď &#x201C; Ni)1

Frecuencia acumulada anterior de la clase mediana.

niMd

Frecuencia de la clase mediana

"i" o "c"

Amplitud de clase.

PĂĄgina

194

LIC. CALDERĂ&#x201C;N OTOYA, CARLOS

ESTADĂ?STICA BĂ SICA

NOTA: La fĂłrmula de la mediana a diferencia de otros promedios necesita de un proceso previo para determinar en quĂŠ clase estĂĄ contenida la mediana. El proceso consiste en: 1.

Construir la columna de frecuencias acumuladas Ni.

Determinar el valor đ?&#x2018; /2 y buscar en cuĂĄl de las frecuencias acumuladas menores estĂĄ contenido, esto nos indicarĂĄ cual es la clase que contiene a la mediana. Determinar los datos y aplicar la formula.

PĂĄgina

195

LIC. CALDERĂ&#x201C;N OTOYA, CARLOS

ESTADĂ?STICA BĂ SICA

Ejercicios:

L1 - L2

Yi-1 - Yi

45 - 55

Clase media

Página

N =50

196

1.- Determinar la mediana del siguiente cuadro de distribución de frecuencias.

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

ESTADÍSTICA BÁSICA

Proceso: 1.- Determinar la columna Ni. 2.- Hallar

đ?&#x2018; 2

50 2

= 25

3.-Determinar los datos. L1 = 65

đ?&#x2018; 2

= 25

Md =

L1 + (

đ?&#x2018; â&#x2C6;&#x2019;( 2

(ď &#x201C;Ni)1 = 16 niMd = 20 i o c = 10

Md =

đ?&#x2018; â&#x2C6;&#x2019;(â&#x2C6;&#x2018;Ni)1 2

L1 + (

đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x20AC;đ?&#x2018;&#x2018;

25â&#x2C6;&#x2019;16 = 65 + ( )10 20 90 =65 + = 65 + 4.5 20

PĂĄgina

197

Md = 69.5

LIC. CALDERĂ&#x201C;N OTOYA, CARLOS

ESTADĂ?STICA BĂ SICA

đ?&#x2018;

LA MODA (MO) En términos sociológicos la moda es aquello de mayor aceptación popular. En estadística es conocida también con el nombre de modo o media modaly es valor que se repite con mayor frecuencia, lo que equivaldría a decir que es el término, número o valor que está de moda.

1. Calculo de la moda para datos simples: Puede o no tener moda o no ser única.

Ejemplos: 

2, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 7, 8

Unimodal

2, 3, 3, 3, 4, 5, 6, 6, 6, 7

Bimodal

2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 8

Multimodal

Mo =5

Mo = 3 y 6

Mo = 3,5 y 7

Página

198

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

ESTADÍSTICA BÁSICA

2. Calculo de la moda para datos agrupados: Se determina por interpolación mediante la aplicación de la siguiente formula.

Mo = L1 +

𝒅𝟏 𝒅𝟏 + 𝒅𝟐

Donde:

Limite real inferior de la clase modal

Diferencia entre la mayor frecuencia de clase y la frecuencia de

la clase contigua anterior. d2

Diferencia entre la mayor frecuencia de clase y la frecuencia de

la clase "i"

contigua posterior ó superior.

Amplitud de clase

Página

La clase modal es aquella que tiene la mayor frecuencia de clase.

199

NOTA:

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

ESTADÍSTICA BÁSICA

Ejercicios: 1.- Calcular la moda del siguiente cuadro de distribución de frecuencias.

L1 - L2

Yi'-1 - Yi

45 - 55

55 - 65

12 d1

Clase Md Mo

65 - 75

d2 75 - 85

85 - 95

20 - 12 = 8

20 - 10 = 10

"i"

Página

200

Datos:

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

ESTADÍSTICA BÁSICA

Reemplazando:

Mo = L1 +

d1 i d1 + d2 d1 + d2 Mo = 65 +

8 + 10 Mo = 65 +

Mo = 65 + 0.444

Mo = 65 + 4.444 Mo = 69.44

RELACIĂ&#x201C;N EMPĂ?RICA ENTRE LOS PROMEDIOS El cĂĄlculo o valor aproximado de la moda puede obtenerse a partir de la siguiente relaciĂłn conocida tambiĂŠn con el nombre de RelaciĂłn EmpĂrica de Karl Pearson.

PĂĄgina

201

Ě&#x2026; Mo = 3Md â&#x20AC;&#x201C; 2đ?&#x2018;ż

Nota: se aproxima al valor pero no es el verdadero.

LIC. CALDERĂ&#x201C;N OTOYA, CARLOS

ESTADĂ?STICA BĂ SICA

Ejemplo: 1.- Calcular la

relación empírica

del

cuadro

distribución de frecuencias.

L1 – L2

Yi-1- Yi

ni.Yi

45 - 55

200

55 - 65

720

1400

75 - 85

800

85 - 95

360

Clase Modal 65 - 75

Mediana

N= 50

Página

202

∑ni.Yi=3480

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

ESTADÍSTICA BÁSICA

Soluciรณn: ๐ ฅ=

3480 = 69.6 50

Md = 65 +

25โ 16 20

10 = 69.5

Ahora procedemos a reemplazar:

Mo = 3 (69.5) โ 2 (69.6) Mo = 208.5 โ 139.2

Pรกgina

203

Mo = 69.3

LIC. CALDERร N OTOYA, CARLOS

ESTADร STICA Bร SICA

COMPORTAMIENTO DE LOS PROMEDIOS Ě&#x2026; ,Mo) (Md,đ?&#x2018;ż En las distribuciones de frecuencias simĂŠtricas los valores de la media, la mediana y la moda son idĂŠnticas si la distribuciĂłn es unimodal,

decir

tiene

mĂĄximo

sencillo.

las

distribuciones de frecuencia oblicuas o sesgadas, la media aritmĂŠtica

encuentra

entre

Mo,

pudiendo

establecerse relaciones de mayor a menor, que nos indica el sesgo. 1.- SimĂŠtrica

Ě&#x2026; = Md = Mo đ?&#x2018;ż

Ě&#x2026; đ?&#x2019;&#x2122; Md

PĂĄgina

204

LIC. CALDERĂ&#x201C;N OTOYA, CARLOS

ESTADĂ?STICA BĂ SICA

2.- Sesgo Positivo o Sesgado a la Derecha:

+ +

Ě&#x2026; đ?&#x2019;&#x2122;

Ě&#x2026;>Md >Mo đ?&#x2019;&#x2122;

3.- Sesgo Negativo o Sesgado a la Izquierda:

Ě&#x2026;<Md <Mo đ?&#x2019;&#x2122; -

205

PĂĄgina

Ě&#x2026; đ?&#x2019;&#x2122;

LIC. CALDERĂ&#x201C;N OTOYA, CARLOS

ESTADĂ?STICA BĂ SICA

Ejercicios: 1.-Determinar el comportamiento Md, đ?&#x2018;&#x2039;Ě&#x2026;, Mo e indique si tiene sesgo positivo o negativo ubicando los valores en el histograma y polĂgono de frecuencia de la siguiente distribuciĂłn.

ni.Yi

45 - 55

200

55 - 65

1 6

720

1400

Clase Modal Mediana

65 - 75

75 - 85 85 - 95

2 0

800

360

N = 50 Mo

69.44

69.5

Ě&#x2026; đ?&#x2019;&#x2122;

69.6

ď &#x201C;ni.Yi = 3480

69.6 > 69.5>69.44

Ě&#x2026;>Md >Mo đ?&#x2019;&#x2122; Sesgo Positivo

LIC. CALDERĂ&#x201C;N OTOYA, CARLOS

ESTADĂ?STICA BĂ SICA

206

Yi'-1 - Yi

PĂĄgina

L1 - L2

CUANTILES Son medidas de posición que se caracterizan por dividir a una distribución en Cuartiles,Deciles y Percentiles. 1. Cuartiles: (Q1, Q2,... Q3)son aquellos valores que dividen a una distribución o a un conjunto de datos ordenados según su magnitud en cuatro partes iguales. 2. Deciles: (D1, D2,... D9) son aquellos valores que miden a un conjunto de datos ordenados según su magnitud en diez partes iguales. 3. Percentiles: (P1, P2,... P99) son aquellos valores que dividen a un conjunto de datos ordenados según su magnitud en cien

Página

207

partes iguales.

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

ESTADÍSTICA BÁSICA

El espacio comprendido entre el primer y tercer cuartil recibe el nombre de espacio intercuartilico y contiene generalmente el 50% de las observaciones. El espacio comprendido entre el décimo percentil y nonagésimo percentil recibe el nombre de espacio interpercentilico. Del gráfico anterior podemos deducir que la mediana es igual al segundo cuartil al quinto decil y al quintuagesimo percentil. Podemos deducir: Md

= Q2 = D 5 = P50 Q1 = P25 Q3 = P75 D1 = P10

Página

208

D9 = P90

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

ESTADÍSTICA BÁSICA

CALCULO DE CUANTILES El cĂĄlculo de los Cuantiles se basa en la fĂłrmula de la mediana.

= L1+

đ?&#x2018;ľ â&#x2C6;&#x2019;(â&#x2C6;&#x2018;đ?&#x2018;ľđ?&#x2019;&#x160;)đ?&#x;? đ?&#x;?

đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2018;´đ?&#x2019;&#x2026;

Con las siguientes variaciones: 1.- Para los cuartiles se cambia o reemplaza N/2 por:

N/4

2N/4

3N/4

đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2018;¸đ?&#x;?

PĂĄgina

209

Q1= L1+

đ?&#x2018;ľ â&#x2C6;&#x2019;(â&#x2C6;&#x2018;đ?&#x2018;ľđ?&#x2019;&#x160;)đ?&#x;? đ?&#x;&#x2019;

LIC. CALDERĂ&#x201C;N OTOYA, CARLOS

ESTADĂ?STICA BĂ SICA

Q2 = L1+

Q3 = L1+

đ?&#x;?đ?&#x2018;ľ â&#x2C6;&#x2019;(â&#x2C6;&#x2018;đ?&#x2018;ľđ?&#x2019;&#x160;)đ?&#x;? đ?&#x;&#x2019;

đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2018;¸đ?&#x;?

đ?&#x;&#x2018;đ?&#x2018;ľ â&#x2C6;&#x2019;(â&#x2C6;&#x2018;đ?&#x2018;ľđ?&#x2019;&#x160;)đ?&#x;? đ?&#x;&#x2019;

đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2018;¸đ?&#x;&#x2018;

2.- Para los deciles se cambia o reemplaza N/2 por N/10, 2N/10â&#x20AC;Ś 9N/10 para determinar el primer, segundo y Ăşltimo lugar.

đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2018;Ťđ?&#x;?

PĂĄgina

210

D1 = L1+

đ?&#x2018;ľ â&#x2C6;&#x2019;(â&#x2C6;&#x2018;đ?&#x2018;ľđ?&#x2019;&#x160;)đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;&#x17D;

LIC. CALDERĂ&#x201C;N OTOYA, CARLOS

ESTADĂ?STICA BĂ SICA

D5 = L1+

đ?&#x;&#x201C;đ?&#x2018;ľ â&#x2C6;&#x2019;(â&#x2C6;&#x2018;đ?&#x2018;ľđ?&#x2019;&#x160;)đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;&#x17D;

đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2018;Ťđ?&#x;&#x201C;

3.- Para calcular los percentiles se reemplaza N/2 por N/100, 2N /100â&#x20AC;Ś 99N/100

para

P10 = L1+

đ?&#x;?đ?&#x;&#x17D;đ?&#x2018;ľ â&#x2C6;&#x2019;(â&#x2C6;&#x2018;đ?&#x2018;ľđ?&#x2019;&#x160;)đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;

đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2018;ˇđ?&#x;?đ?&#x;&#x17D;

đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x2018;ľ â&#x2C6;&#x2019;(â&#x2C6;&#x2018;đ?&#x2018;ľđ?&#x2019;&#x160;)đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;

đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2018;ˇđ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x17D;

los

percentiles.

PĂĄgina

211

P50= L1+

determinar

LIC. CALDERĂ&#x201C;N OTOYA, CARLOS

ESTADĂ?STICA BĂ SICA

P90 = L1+

đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x2018;ľ â&#x2C6;&#x2019;(â&#x2C6;&#x2018;đ?&#x2018;ľđ?&#x2019;&#x160;)đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;

đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2018;ˇđ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x17D;

EJERCICIOS:

Del siguiente cuadro de distribuciĂłn de frecuencia determina:

45 â&#x20AC;&#x201C; 55

55 â&#x20AC;&#x201C; 65

65 â&#x20AC;&#x201C; 75

75 â&#x20AC;&#x201C; 85

85 - 95

212

L1 - L2

PĂĄgina

N = 50

LIC. CALDERĂ&#x201C;N OTOYA, CARLOS

ESTADĂ?STICA BĂ SICA

Hallar: Q1,Q2, D10, P10, P25, P75 y P90

Q1= L1 + N/4 - (Ni)

niQ1

Q1 = 55 + 12.5 - 4

Q1 = 55 + (7.0833)

Q1 = 62.0833

2.- Datos: 2N/4 = N/2 = 25

Q2 = L1 + 2N/4 - (Ni ) i niQ2

= 65

Q2= 65 + 25 - 16 20

(Ni)1= 16 Q2 = 69.5

= 10

Página

213

Ni Q2 = 20

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

ESTADÍSTICA BÁSICA

D5 = L1 +

5N/10 - (Ni ) i NiD5

3.- Datos:

65 +

25 - 16 20

5N/10 = N/2 = 25 Li= 65

D5=

65 + (4.5)

(Ni )1 = 16 Ni D5= 20 i

D5 = 69.5

= 10 P10 = L1 + 10N/100 - (Ni) i niP10

4.- Datos: 10N/100 = N/10 = 5

P10 = 55 +

5-4

12 Li = 55 (Ni )1 = 4

P10 = 55 + 0.83

Ni P10 = 12 P10 = 55.83

Página

214

i = 10

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

ESTADÍSTICA BÁSICA

P25 = L1 + 25N/100 - (Ni ) i niP25

5.- Datos:

P25= 65 + 12.5 - 4 10 12

25N/100 = N/4 = 12.5 P10 = 55 + 7.0833

Li= 55 (Ni)1= 4

P10 = 62.083 Ni P10= 12 i

= 10 P75 = L1 + 75N/100 - (Ni) i niP75

6.- Datos: P75= 75 + 37.5 + 36 10 75N/100 = 37.5

Li= 75 (Ni)1 = 36

P75= 75 + 1.5

Ni P75= 10 P75 = 76.5 = 10

Página

215

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

ESTADÍSTICA BÁSICA

P90 = L1 + 90N/100 - (Ni )Ii niP90 P90= 75 + 45 - 36

7.- Datos: P90= 75 + 9 90N/100 = 45 P90 = 84

Li = 75 (Ni)1 = 36 Ni P10 = 10 i = 10

NOTA: Dado que el espacio intercuartilico presenta el 50% de las observaciones lo que interesa saber a partir de que el valor va a medirse la desviación cuartil. La desviación cuartil. La desviación cuartil se mide a partir del promedio que existe entre el promedio 1 y 3 cuartil. ½ (Q1 + Q3) + D.G.

216

½ (62.0833 + 76.5) + 7.2085

Página

½ (138.583) + 7.085 69.2915 - 7.2085 = 62.083 LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

ESTADÍSTICA BÁSICA

MEDIDAS DE DISPERSION O DE VARIABILIDAD Se conoce con el nombre de dispersión o variación al grado

que

observaciones

conjunto

tienden

datos

diseminarse,

numéricos

extenderse

concentrarse alrededor de su valor central. Las principales medidas de dispersión son: 1. El rango o amplitud total también llamado horquilla R. 2. La desviación quartil D.Q. 3. La desviación media D.M. 4. La varianza S² o T² 5. La desviación standard o desviación típica S o T.

1. RANGO (R) Se define el rango como la diferencia entre las medidas máximas y mínimas y se caracteriza por ser la más inestable de las medidas de dispersión pero tienen la ventaja de ser fácil de interpretar y calcular su valor. Ejemplo: a) Determinar el rango de los números: 78, 80, 82, 83, 85, 87, 90,

92 - 78 = 14

Página

R = MAX. – MIN

217

92.

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

ESTADÍSTICA BÁSICA

b) Determinar el rango o amplitud total de los siguientes nĂşmeros: 0.8, 1.2, 2.6, 2.8, 3.3, 3.4, 3.7, 9.2, 7.1, 5.6, 6.4, 2.3 y 5.6 R= MAX. â&#x20AC;&#x201C; MIN.

9.2 â&#x20AC;&#x201C; 0.8 = 8.4

2. DESVIACION CUARTIL (D.Q) Se

define

desviaciĂłn

cuartil

como

semidiferencia entre el tercer y el primer c uartil y estĂĄ asociada

generalmente

con

mediana

las

distribuciones ligeramente asimĂŠtricas.

D.Q. =

đ?&#x2018;¸đ?&#x;&#x2018; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;¸đ?&#x;? đ?&#x;?

Ejemplo: a) Determinar la desviaciĂłn cuartil del cuadro de distribuciĂłn de frecuencias anterior sabiendo que: Q1 =62.083 y Q3 =76.5

đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x201D;.đ?&#x;&#x201C; â&#x20AC;&#x201C; đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;?.đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x2013;đ?&#x;&#x2018; đ?&#x;?

7.2085

PĂĄgina

218

D.Q. =

LIC. CALDERĂ&#x201C;N OTOYA, CARLOS

ESTADĂ?STICA BĂ SICA

NOTA: Dado que el espacio intercuartilico contiene el 50% de las observaciones, lo que interesa es saber a partir de que valor se va a medir la desviación quartil.

La desviación quartil se mide a partir del promedio que existe entre el primero y el tercer quartil.

1 (Q1 +Q3) + D.Q. = 62.083 + 76.5 2 2

+ 7.2085

Q3 =76.5 50%

Página

219

Q1 =62.083

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

ESTADÍSTICA BÁSICA

3. desviacion media (d.m) Esta medida surge por los defectos que tienen el R y la D.Q. de considerar Ăşnicamente valores extremos dejando de lado las medidas de centralizaciĂłn.

CĂĄlculo de la desviaciĂłn media

Dado que la desviaciĂłn media se define como la media aritmĂŠtica de los valores absolutos de los datos de la serie con respecto de la media se utiliza las siguientes fĂłrmulas:

Datos Simples:

â&#x2C6;&#x2018;[đ?&#x2018;&#x152;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x2C6;&#x2019; Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026; đ?&#x2018;&#x2039;] D.M = đ?&#x2018;

Datos Agrupados:

đ?&#x2018;

PĂĄgina

D.M =

220

â&#x2C6;&#x2018; đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2013;[đ?&#x2018;&#x152;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x2C6;&#x2019; Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026; đ?&#x2018;&#x2039;]

LIC. CALDERĂ&#x201C;N OTOYA, CARLOS

ESTADĂ?STICA BĂ SICA

Ejemplo: Determinar la DesviaciĂłn media de los siguientes nĂşmeros: 4, 6, 8, 10, 12 y 14.

Ě&#x2026; = đ?&#x2018;ż

4+6+8+10+12+14 54 = 6 6

D.M. =

â&#x2C6;&#x2018;[đ?&#x2018;&#x152;đ?&#x2018;&#x2013;â&#x2C6;&#x2019; Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026; đ?&#x2018;&#x2039;] 54â&#x2C6;&#x2019;9 = 6 đ?&#x2018;

48 =8 6

Ejemplo: Determinar la DesviaciĂłn media de la siguiente distribuciĂłn de frecuencias absolutas:

niYi

45 - 55

200

19.6

78.4

55 - 65

720

9.6

115.2

65 - 75

1400

0.4

75 - 85

800

10.4

104

85 - 95

360

20.4

81.6

N = 50

â&#x2C6;&#x2018;niYi = 3480

LIC. CALDERĂ&#x201C;N OTOYA, CARLOS

â&#x2C6;&#x2018;ni /Yi â&#x20AC;&#x201C; x/= 387.2

ESTADĂ?STICA BĂ SICA

PĂĄgina

221

/Yiâ&#x20AC;&#x201C; x/ ni /Yiâ&#x20AC;&#x201C; x/

L1 - L2

Ě&#x2026; = đ?&#x2018;ż

D.M =

ď&#x192;Ľđ??§đ??˘đ??&#x2DC;đ??˘ đ?&#x2018;ľ

ď&#x192;Ľ đ??§đ??˘/đ??&#x2DC;đ??˘â&#x2C6;&#x2019; ď&#x20AC;°/ đ?&#x2018;ľ

3480 50

= 69.6

387.2 5

= 7.744

LA VARIANZA ( đ?&#x2018;şđ?&#x;? đ?&#x2018;ś đ?&#x2018;ťđ?&#x;? ) Se define como la suma de los cuadrados de los desvĂos de las observaciones con respecto a su medio aritmĂŠtico dividido entre el total de observaciones menos uno cuando se trata de muestras. Se emplea N -1 como denominador de las fĂłrmulas de la varianza muestral porque se ajusta mejor a la varianza poblacional que por tĂŠrmino medio deben ser iguales. Las fĂłrmulas de la varianza muestral y poblacional:

áľ&#x;2 =

Varianza muestral

đ?&#x2018; â&#x2C6;&#x2019;1

LIC. CALDERĂ&#x201C;N OTOYA, CARLOS

222

Ě&#x2026; )2 â&#x2C6;&#x2018; đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2013; (đ?&#x2018;&#x152;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2039;

Varianza poblacional

PĂĄgina

â&#x2C6;&#x2018; đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2013; (đ?&#x2018;&#x152;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2039;Ě&#x2026; )2 đ?&#x2018;&#x2020; = đ?&#x2018; 2

ESTADĂ?STICA BĂ SICA

Ejemplo: Determinar la varianza haciendo uso de las dos fĂłrmulas de los siguientes nĂşmeros: 2 , 3 , 4 , 6 , 7 , 8 .

Ě&#x2026; )Â˛ a. SÂ˛ = ď &#x201C;(Yi - đ?&#x2018;ż N

SoluciĂłn:

Ě&#x2026; = ď &#x201C; Yi/N= 30 / 6 = 5 đ?&#x2018;ż Ě&#x2026; )Â˛/N= (2-5)Â˛ + (3-5) + (4-5)Â˛ + (6-5)Â˛ + (7-5)Â˛ + (8-5)Â˛ /N SÂ˛ = ď &#x201C;(Yi - đ?&#x2018;ż = 9 + 4 + 1 + 1 + 4 + 9/6 = 28/6 = 4.667

Ejercicio: Del siguiente cuadro de distribuciĂłn de frecuencias determinar: 1. La relaciĂłn entre los promedios

223

2. La relaciĂłn empĂrica entre los promedios 3. Determinar DesviaciĂłn quartil.

PĂĄgina

4. Determinar DesviaciĂłn media 5. Determinar la desviaciĂłn estĂĄndar LIC. CALDERĂ&#x201C;N OTOYA, CARLOS

ESTADĂ?STICA BĂ SICA

6. Determinar la varianza

L1 - L2

Yi-1 - Yi

ni Ni

đ??&#x2DC;đ??˘đ?&#x;?

0.0005 â&#x20AC;&#x201C; 0.0025

0.001 â&#x20AC;&#x201C; 0.002

0.0015

0.045

0.00000225

0.0025 â&#x20AC;&#x201C; 0.0045

0.003 â&#x20AC;&#x201C; 0.004

0.0035

0.175

0.00001225

0.0045 â&#x20AC;&#x201C; 0.0065

0.005 â&#x20AC;&#x201C; 0.006

0.0055

120

0.22

0.00003025

0.0065 â&#x20AC;&#x201C; 0.0085

0.007 â&#x20AC;&#x201C; 0.008

0.0075

140

0.15

0.00005625

0.0085 â&#x20AC;&#x201C; 0.0105

0.009 â&#x20AC;&#x201C; 0.010

0.0095

200

0.57

0.00009025

0.0105 â&#x20AC;&#x201C; 0.0125

0.011 â&#x20AC;&#x201C; 0.012

0.0115

210

0.115

0.00013225

0.0125 â&#x20AC;&#x201C; 0.0145

0.013 â&#x20AC;&#x201C; 0.014

0.0135

260

0.675

0.00018225

1. -

Ě&#x2026; = ď &#x201C;niYi/N =1.95 / 260 = 0.0075 đ?&#x2018;ż G =antilogď &#x201C;niLogYi/N G = antilog -574.611044 /260

PĂĄgina

224

G = 0.0061653469

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ESTADĂ?STICA BĂ SICA

H = N/niYi= 260 / 55114.16662 H = 0.00471747803

RMS =  niYi² /N RMS = 0.0085180803

RMS > X> G > H

0.0085180803>0.0075>0.0061653469> 0.00471747803

2.-Mo = 3Md - 2x x = 0.0075 Md = 0.0075

225

Reemplazando la fórmula general:

Página

Mo = 3(0.0075) - 2(0.0075) Mo = 0.0225 - 0.015 LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

ESTADÍSTICA BÁSICA

Mo = 0.0075

Datos: Li= 0.0065 N/2 = 130 (Ni) = 120 Nimd = 20 ió c = 0.0020 Md = 0.0065 + (130 - 120) / 20) 0.002 Md = 0.0065 + (10 + 20) 0.002 Md = 0.0065 + 0.001 Md = 0.0075

= 0.0075

Mo = 0.0093888889 Md = 0.0075

x = Md < Mo

226

Mo = Li + (d1/ d1 + d2) i

Página

Mo = 0.0085 + (40 / 40 + 50) 0.002 Mo = 0.0085 + 8.888888888

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ESTADÍSTICA BÁSICA

Mo = 0.009388888889

3. DQ =

Q 3 - Q1 2

Datos: Li = 0.0085 3N/4 = 195 (Ni)i = 140 NiQ3 = 60 i ó c = 0.002

Q3 = L1 + (3N/4 - (Ni)i / NiQ3 )i Q3 = 0.0085 + 0.001833333 Q3 = 0.01033333

Datos:

227

Li = 0.0025

Página

N/4 = 65 (Ni)i = 30

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i ó c = 0.002

Q1 = L1 + (N/4 - (Ni)i / NiQ1 )i Q1 = 0.0025 + ( 65 - 30/ 50 ) 0.002 Q1 = 0.0025 + 0.0014 Q1 = 0.0039

Reemplazando en la fórmula: DQ = Q3 - Q1 /2 DQ = 0.01033333 - 0.0039 / 2 DQ = 0.005866665 Luego: ½ (Q3 + Q1) + DQ ½ (0.0039 + 0.01033333) + 0.0058666665

4 . - DM =

niYi - x

DM = 0.0035384615

N Ni (Yi - x)²

5. - S =

0.0040525 / 260 = 0.000015586538

Página

228

S² = 0.000015586538

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6. - S² =(Yi - x)² N

(Yi - x)² N

S = 0.003947979

DESVIACION ESTÁNDAR O TIPIFICADA Se define la desviación Standard como la raíz cuadrada positiva de la varianza y se caracteriza por ser el estadígrafo de mayor uso en la actualidad. Se obtiene mediante la aplicación de la siguiente fórmula:

 

    Yi  X  N 2

Página

229

   ni Yi  X     S N 1

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230 Página LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

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EJEMPLO

: L 1 - L2

Yi ²

NiYi²

niYi

(Yi – X)²

/Yi –x/

ni(Yi-x)²

45 - 55

2500

10000

200

384.16

-196

1536.64

55 - 65

3600

43200

720

92.16

-9.6

1105.92

65 - 75

4900

98000

1400

0.16

0.4

3.2

75 - 85

6400

64000

800

108.16

10.4

108.16

85 - 95

8100

32400

360

416.16

20.4

416.16

niYi²= 247600

niYi= 3480

S =ni (yi - X )² N

ni(Yi-x)² = 5392

S = 10.38460399

Página

231

N =50

S =5392 50

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niYi² - (niYi )² N

247 600 – (3480/50)² 50

S = 10.38460399

NOTA: La desviación Standard o desviación típica se aplica solo para datos

Página

232

agrupados.

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CORRECCION SHEPPARD PARA LA VARIANZA (S²c) Cuando en una distribución de frecuencias, los límites de clase comprenden varias unidades, se introduce un error al agrupar los datos en clases (llamado error de agrupamiento), debido a que los puntos medios o marcas no coinciden con los respectivos promedios de los datos agrupados en cada clase. Los puntos medios o marcas de clase tienen mayor dispersión que los promedios, lo que da lugar a un error de la Varianza en exceso. Este error se corrige mediante la corrección Sheppard con lo cual se obtiene la Varianza ajustada o corregida, para lo cual a la i2 Varianza calculada se le resta la constante . 12

i2 S cS  12 2

Página

233

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EJEMPLO: Calcular la varianza corregida del ejercicio anterior.

i2 10 2 100 S cS   107.84   107.84  12 12 12 2

S 2 c  107.84  8.3  99.50666

CORRECCIÓN SHEPPARD PARA LA DESVIACIÓN ESTANDAR (Sc)

Cuando en una serie clasificada los límites de clase comprenden varias unidades, se produce un error al agrupar los datos en clase (llamado error de agrupamiento), debido a que los puntos medios o marcas de clase no coinciden con los respectivos promedios de los datos agrupados en cada clase.

Página

234

Se determina mediante la aplicación de la siguiente formula:

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EJEMPLO: Calcular la desviación estándar corregida del problema anterior.

10 2 100 Sc  107.84   107.84  12 12

Página

235

Sc  107.84  8.3  99.50666  9.97530283584

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Desviación Significado e interpretación de la Estándar en la Curva Normal La desviación estándar ayuda a describir la curva de distribución normal, llamada también Campana de Gauss, Curva Normal, Curva de Error, Campana o Curva De Moivre (a pesar de la prioridad De Moivre que obtuvo este modelo matemático en 1733, nadie lo recuerda; y al contrario es conocida como Campana de Gauss que apareció 200 años después), de la siguiente manera :

34.13%

13.59%

2.15% -3S

2.15% - 2S

-1S

68.26% 95.45%

Página

236

99.74%

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1) Una desviación estándar a cada lado de la media incluye un

área

del

68.26%

del

área

total,

decir

aproximadamente las 2/3 partes de los casos.



X  1  68.26% 2) El área comprendida entre una y dos desviaciones estándar equivale al 13.59% del área total. El área comprendida entre dos desviaciones estándar a ambos lados de la media es igual al 95.45% del área total.



X  2  95.45% 3) Entre dos y tres desviaciones estándar resulta otra porción del área igual al 2.15% del área total. El área comprendida entre tres desviaciones estándar a cada lado de la media

Página

237

es igual al 99.74% del área total.

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MEDIDAS CONJUNTAS Es la relación que se puede establecer entre las medidas de centralización (RMS, G, X, H, Mo, Md, Q, D.P.) y las medidas de dispersión (R, DQ, D.M., S2, S) para obtener coeficientes que nos permite medir: el coeficiente de variación, la variable normalizada, el sesgo y la Kurtosis.

Coeficiente de Variación (V) Cuando es preciso comparar las distribuciones de varias series de datos estadísticos es necesario recurrir, el coeficiente de dispersión relativa que se define como el cociente que hay entre la dispersión absoluta y el promedio.

Coef. Disp. Relativa = Dispersión absoluta = V Promedio

Si consideramos

que la dispersión

absoluta es la desviación

standard y el promedio es la media aritmética, a la dispersión relativa resultante se le conoce con el nombre de coeficiente de variación.

Página

238

V = S * 100% X

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El coeficiente de Variación (V) Se expresa en términos de porcentaje y representa un numero de abstracto y depende de las unidades que se utilicen.

Ventaja: La ventaja que ofrece este coeficiente es que permite comparar 2 distribuciones que no están expresadas en las mismas unidades.

Desventaja: Deja de ser útil cuando la media tiende a cero

Ejercicio: Determinar el coeficiente de variación

del siguiente cuadro de

distribución:

Yi ²

NiYi²

niYi

(Yi – X)²

/Yi –x/

ni(Yi-x)²

45 - 55

2500

10000

200

384.16

-196

1536.64

55 - 65

3600

43200

720

92.16

-9.6

1105.92

65 - 75

4900

98000

1400

0.16

0.4

3.2

75 - 85

6400

64000

800

108.16

10.4

108.16

85 - 95

8100

32400

360

416.16

20.4

416.16

Página

239

L1 - L2

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ESTADÍSTICA BÁSICA

N =50

niYi²=

niYi=

ni(Yi-x)²

247600

3480

= 5392

Solución:

V = S * 100%

V =10.38460399 * 100% 69.6 V = 14.92040803%

Variable Normalizada o referencia tipificadas (Z) Esta medida conjunta mide los desvíos de los puntos medios con respecto a su media aritmética en unidades de desviación estándar.

240

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Página

Yi – X S ESTADÍSTICA BÁSICA

Las desviaciones de la medida vienen dadas en unidades de la desviación estándar por lo que se dice también que están expresadas en unidades tipificadas o referencias tipificadas, variables que son de gran utilidad

para la

comparación de distribuciones.

Ejemplo: En un examen final con propósito de promoción se ha obtenido que la media aritmética en contabilidad fue 15 y la desviación estándar fue 5 y en el examen de Estadística la media aritmética fue de 13 y la desviación estándar

fue 4. La alumna lucia obtuvo 17 y 16

respectivamente de notas finales en ambas asignaturas ¿En qué asignatura obtuvo un puesto relativamente más alto?

ESTADISTICA CONTABILIDAD 

X  15 S 5 Yi  17 

Página

241

Yi  X 17  15 Z    0.40 S 5

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

X  13 S 4 Yi  16 

Yi  X 16  13 3 Z     0.75 S 4 4 Luego ha obtenido una desviación estándar de 0.40 y 0.75 por encima de la media, siendo por lo tanto su puntuación superior en estadística.

COVARIANZA (SXY)

Esta medida conjunta se utiliza para determinar la relación que existe entre variables que han sido medida en diferentes unidades y se determina mediante la aplicación de la siguiente formula.

   Xi  X     1

Página

242

  Yi  Y   Sxy  N

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ESTADÍSTICA BÁSICA

Ejemplo: La relación que existe la inversión de publicidad de la inversión del medicamento y la venta del mismo, la

producción de papa por

hectáreas (arrobas) y la lluvia (milímetros por pulgada cuadrada).

RELACIONES EMPÍRICAS ENTRE LAS MEDIDAS DE DISPERSIÓN Para distribuciones moderadamente aritméticas se pueden obtener las siguientes relaciones empíricas entre las medidas de dispersión. 1. La desviación cuartil es aproximadamente iguala 2/3

de la

desviación estándar.

D.Q 

2 S  3

2. La desviación media es igual a las 4/5 de la desviación standard.

4 (S ) 5

Página

243

D.M 

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SESGO U OBLICUIDAD, KURTOSIS Y MOMENTOS

Una distribución se considera sesgada si la media, la mediana y la moda no tienen el mismo valor.

1. x > Md > Mo = Sesgo positivo 2. x < Md < Mo = Sesgo negativo

MEDIDAS DEL SESGO A) LOS COEFICIENTES DE SESGO DE KARL PEARSON

Ha logrado relacionar medidas de dispersión y centralización y ha obtenido:

1.- Primer coeficiente de sesgo de Karl Pearson:

Página

244

1º CS kp = X – Mo S

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2.- Segundo Coeficiente de sesgo de Karl Pearson:

2° CSkp = 3 ( X- Md ) S

b) Coeficiente de sesgo cuartilico y percentílico

1 Coeficiente de sesgo cuartílico: CSq = ( Q3 - Q2 ) - ( Q2 - Q1 ) = Q3 - Q 1

Q3 - 2 Q2 + Q1 Q3 - Q1

2 Coeficiente de sesgo percentílico CSp = ( P90 - P50 ) - ( P50 - P10 ) = P90 - P10

P90 - 2P50 + P10 P90 - P10

3 Coeficientes de sesgo en función a los momentos: Otra medida de sesgo viene dado por el momento del 3er orden con respecto a la x denominado también medida relativa de 3 orden:

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245

m3 m3 m3 m3    S 3 ( S 2 ) 3 ( m2 ) 3 m 3 2 2

Página

CS m  a3 

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KURTOSIS Es el grado de apuntamiento o echamiento de una distribución relacionado comúnmente con la curva normal, campana de Gauss o distribución normal. Clases de Kurtosis : 1. LEPTOCÚRTICA:Es aquello que presenta un apuntamiento

relativamente alto literalmente leptocurtico significa curvatura puntiagudo. 2. MESOCÚRTICA :

Es aquello que no es ni puntiagudo ni

achatado y coincide generalmente con la curva normal 3. PLATICÚRTICA:Es aquello que se presenta un achatamiento en

la parte superior.

Leptocúrtica Mesocúrtica

Página

246

Platicúrtica

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Medidas de kurtosis: 1. Coeficiente de Kurtosispercentílico.Este coeficiente relaciona la desviación cuartil con el espacio interpercentílico

obteniéndose el siguiente coeficiente.

CKp =

D. Q. = 1/2 Q 3 - Q 1 = P 90 - P 10 P90 - P10 P 10 )

Q3 - Q1 2(P 90 -

2. Coeficiente de kurtosis en función de los momentos .esta dado por . una medida relativa de cuarto orden con respecto a la

Página

247

media y se determina mediante la siguiente relación.

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LOS MOMENTOS (Mr) Tanto el sesgo como la Kurtosis se miden mejor utilizando los momentos que emplea el valor exacto de cada observación. Los momentos son 4 y a su vez pueden ser con respecto al origen y con respecto a la media. Se considera que los momentos son una síntesis de 4 capítulos anteriores al establecer las siguientes relaciones. 

m1  X m2  S 2 m3  Sesgo m4  Kurtosis S2

S 

Página

248

S 

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Fórmula General para calcular LOS MOMENTOS:

  niu r mr    N    niu m1    N

r i  

 i    2 i  

  niu 3 m3   N 

 3 i  

  niu 4 m4   N 

 4 i  

Página

249

  niu 2 m2   N 

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Del siguiente cuadro de distribución de frecuencias determinar: a)

1er CS KP

2 do CS KP

CS q

CS p

e) Los cuatro primeros momentos

CK p

CS m

CK m

Página

250

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Solución:



X 

 niYi N



3480  69.6 50



1er CS KP 

X  Mo 69.6  69.444   0.01497944 S 10.38460399

 d1   8  i  65   Mo  L1   10  69.44  8  10   d1  d 2  



5392  10.38460399 50

Página

251

S 

 ni(Yi  X )

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

L1- L2

niYi

 2 Yi  X (Yi  X ) ni(Yi  X ) 2

niu

niu2

niu3

niu4

384.1 45 - 55

200

-19.6

1536.64

-2

-8

-32

55 – 65

720

-9.6

92.16

1105.92

-1

-12

-1

-12

65 – 75

1400

0.4

0.16

3.2

1081.6

1664.64

108.1 75 – 85

800

10.4

6 416.1

360

20.4

 2

N=5

niYi

 ni(Yi  X )

niu

niu2=5

niu3= -

niu4

=3480

=5392

=-2

=150

Página

252

85 - 95

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RELACIÓN ENTRE LOS MOMENTOS. Entre momentos con respecto a la media y momentos con respecto a un punto cualquiera se dan las siguientes relaciones que es el paso previo a la corrección Sheppard para los momentos.

m2 r  m2  m12 m3r  m3  3m1m2  2m13

Página

253

m4 r  m4  4m1m3  6m12 m2  3m14

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CORRECION DE SHEPPARD PARA LOS MOMENTOS Los momentos que necesitan corregirse son los momentos de 2 y 4 orden, esto implica que los momentos de 1 y 3 orden ya no necesitan corregirse.

𝑖2 m2c = m2 = 12

1𝑖 2 7𝑖 4 m4c = m4 m2 + 2 240

Comprobación Charlier La comprobación Charlier para los momentos con respecto a la media y momentos con respecto a un punto cualquiera hace uso de las siguientes identidades por el método clave mediante la

Página

254

aplicación de las siguientes relaciones

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ESTADÍSTICA BÁSICA

 ni(u  i)   niu  N  ni(u  i)   niu 2  2 niu  N 2

 ni(u  i)   niu 3

 3 niu 2  3 niu  N

 ni(u  i)4   niu 4  4 niu  6 niu 2  4 niu  N 3

Del siguiente cuadro de distribución de frecuencia determinar: Las 4 primeros momentos.

La relación entre los momentos

La corrección Sheppard para los momentos

Página

255

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ESTADÍSTICA BÁSICA

L1 - L2

µ²

ni µ3

µ3

ni µ3

µ4

45 -55

-2

-8

-32

55- 65

-1

-12

65 -75

75 -85

85 - 95

n = 50

 niµ²=54

 niµ3=--2

m1 = ( niu/N)i ----> m1 = (-2 /50) 10 ---> m1 = -2/5 = -0/4 m2 = ( niu2/N)i² ----> m2 = (54 /50) 1002 ---> m2 = 108 m3 = ( niu3/N)i3 ----> m3 = (-2 /50) 1000 ---> m3 = -40 m4 = ( niu4/N)i4 ----> m4 = (150/50) 1000 ---> m4 = 30000

ni (u/+i) ---->niu + N

256

100 = 54 + 2 (2) + N

Página

100 = 50 + N 100 = 100

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ni (u + i) 3 ----> niu3 + 3 niu2 + 3  ni µ + N 204 = -2 + 3 (54) + 3 (-2) + N 204 = -2 162 - 6 + N 204 = 154 + N 204 = 204

ni (u + i) 4 ----> niu4 + 3niu + 6  ni µ² + 4  ni µ + N 508 = 150 + 4 (-2) + 6 (54) + 4 (-2) + N 508 = 1250 - 8 + 324 - 8 + N 508 = 458 + N 508 = 508

m2 = m2 - m 12 m2 = 108 - (-0,4)2

257

m2 = 108 + 0,16 m2 = 108 + 0.16

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Página

m2 = 107,84

ESTADÍSTICA BÁSICA

m3 = m3 - 3 m1 m2 + 2 m3 m3 = -40 - 3 (-0,4) (108) + 2 (-0,4)3 m3 = -40 + 129,6 - 0,128 m3 = 129,6 - 40,128 m3 = 89,472

4. m4 = m4 - 4 m1 m3 + 6 m12 m2 - 3 m14

m4 = 3000 - 4( (-0,4) (-40) + 6 (0-0,4)2 (108) -3 (-0,4)4 m4 = 3000 - 64 + 103,68 - 0,0768 m4 = 30103,68 - 64,0768 m4 = 30039,6032

m2c = m2 - ½ i2 m2c = 107,8/4 - ½ 100) m2c = 107,84 - 50 m2c = 57,84

258

m4c = m4 - ½ i² m² + 7/240i4

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Página

m4c = 30039,6032 - ½ (100) 107,84 + 7/240(104)

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m4c = 30039,6032 - 5392 + 0,029166666.104 m4c = 30039,6032 - 5392 + 291,666666 m4c = 24939, 26986

Series cronológicas Una serie cronológica no es sino una variable dada en sucesivos instantes de tiempo y se le conoce también con el nombre de serie de tiempo, serie histórica, serie cronológica, etc.

Una serie cronológica llamada también serie de tiempo o serie histórica de un conjunto de datos recopilados, observados y registrados sistemáticamente en un tiempo determinado. Se dice también que es la variable dada en sucesivos instantes de tiempo como la producción de algodón en los últimos 10 años, las exportaciones anuales de los países de la región andina, las ventas

proyecciones (determinación de las tendencias); debe advertirse que las proyecciones no son valores determinantes que tienen que LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

ESTADÍSTICA BÁSICA

Página

Las principales aplicaciones de las series cronológicas son las

259

anuales en farmacias, laboratorios, supermercados, etc.

ocurrir necesariamente en el futuro, son valores estimados o esperados y estos resultados pueden variar dependiendo de varios factores que de forma directa e indirecta participen en los resultados de una serie cronológica. Las empresas industriales y comerciales deben de realizar un examen sobre la forma como la producción y venta de sus artículos han sido afectados en el pasado por diferentes factores con el objeto de hacer una estimación, diagnóstico o previsión para el futuro a fin de estar en condiciones de trazar planes de desarrollo de la empresa. Gráficamente las series cronológicas se representan haciendo uso de los ejes cartesianos, colocando la variable tiempo (ti) en el semieje positivo de las abscisas y la variable (Yi) en el semi-eje positivo de las coordenadas.

ELEMENTOS DE UNA SERIE CRONOLÓGICA Los elementos de una serie cronológica también coincide con el nombre de variaciones, componentes, o movimiento característicos de una serie cronológica pueden dividirse en:

 Tendencia (T)  Variaciones estacionales (S )  Variaciones irregulares , fortuitas o

260

accidentales

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Página

 Ciclos u oscilaciones

ESTADÍSTICA BÁSICA

TENDENCIA Se refiere a la dirección general que sigue la serie cronológica que se puede visualizar con facilidad a partir del grafico poligonal de la serie. Hay series cuyos valores de “tendencia ascendente o creciente”, en tanto hay otros cuyos valores en su mayoría decrecen se trata de una serie con “tendencia descendente” por ultimo existen series que no es fácil advertir su tendencia. El estudio de la tendencia es de suma importancia para determinar el probable comportamiento de los datos en el futuro, las proyecciones de los datos de la tendencia concretamente la proyección de la serie cronológica constituye el aspecto más importante para la planificación social, económica, educacional, etc., de mediano y largo plazo. Un empresario que programa la instalación de una fábrica necesita saber cuál será la demanda de su producto dentro de 5, 10 o más años. La tendencia puede ser expresada por una expresión matemática siendo relativamente proyectar la serie y obtener valores estimados para el futuro y que pueden tener a su vez un error o sesgo cuya dimensión depende de la validez o significación de los datos de la serie, que el periodo elegido y del método utilizado para analizar la tendencia. Del método estadístico elegido, dependerá de una parte del comportamiento de la variable de tiempo y que se deduce, de la forma de la poligonal y del objetivo de esa estimación.

Página

a) Método de los promedio móviles, llamado también método empírico (grafico) b) Método de los ajustes de una línea o función (analítica)

261

La tendencia de una serie se puede determinar y estimar por dos métodos generales: gráfico y analítico

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1. Gráfico y otro analítico: a.

Método de los promedios móviles (llamado también método empírico o método gráfico).

Método o de ajuste de una línea o función (método analítico). El segundo método es el más utilizado pudiendo ser de tendencia rectilínea a tendencia curvilínea.

El segundo método es el más utilizado, pudiendo ser:  Tendencia rectilínea  Tendencia curvilínea

2. Tendencia Rectilínea Las tendencias rectilíneas se representan por la fórmula general y = (a + bx) la tendencia rectilínea queda determinada cuando se conoce los valores numéricos de a y b. Estos valores son el resultado de la aplicación de las siguientes

262

ecuaciones normales de:

Página

na + b  + x =  y ax + b  x = xy LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

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La tendencia rectilĂnea se representa por la formula general.

Y = a + b(x) La tendencia rectilĂnea queda determinada cuando se conoce los valores numĂŠricos de a y b estos valores con el resultado de la aplicaciĂłn de las siguientes ecuaciones normales, del mĂŠtodo de los minimos cuadrados.

Na + bâ&#x2C6;&#x2018;x = â&#x2C6;&#x2018;y aâ&#x2C6;&#x2018;x + bâ&#x2C6;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ 2 = â&#x2C6;&#x2018;xy Donde â&#x20AC;&#x153;nâ&#x20AC;? nos indica el numero de clases utilizados TENDENCIA CURVILINEA: Las tendencias curvilĂneas pueden ser de dos tipos ď&#x201A;ˇ

Tendencia parabĂłlica:

Y = a + bx + cđ?&#x2018;Ľ 2 ď&#x201A;ˇ

Tendencias logaritmicas: estas a su vez se clasifican en: ď&#x192;ź Tendencia exponencial o logarĂtmica

263

Y = ađ?&#x2018;? 2 PĂĄgina

ď&#x192;ź Tendencia exponencial modificada

Y=K+ ađ?&#x2018;? đ?&#x2018;Ľ LIC. CALDERĂ&#x201C;N OTOYA, CARLOS

ESTADĂ?STICA BĂ SICA

ď&#x192;ź Tendencia logĂstica

Y = 1â &#x201E;đ??ž + ađ?&#x2018;? đ?&#x2018;Ľ

VARIACIONES ESTACIONALES: Son los movimientos o fluctuaciones que se repiten en intervalos regulares durante un periodo de tiempo especificado, pueden ser fluctuaciones periĂłdicas que se presentan, anual, semestral, trimestral o mensualmente. Por ejemplo: a. La temperatura que aumenta en el verano b. Las fiestas patronales c. Las disposiciones legales que entran en vigor en determinadas fechas.

VARIACIONES IRREGULARES ACCIDENTALES:

FORTUITOS

Son aquellas que no estĂŠn sujetas a un ritmo determinado, la causa es un acontecimiento fortuito tales como, guerras, elecciones, disposiciones fiscales, un crack financiero, huelgas, inundaciones, etc.

CICLOS U OSCILACIONES: Cuando se amplia la duraciĂłn de los periodos sobre los cuales, se ha medido la tendencia, puede observare el cambio en la medida de la tendencia que constituye parte de otros movimientos mĂĄs generales, que es el ciclo y oscilaciĂłn, para largados periodos de tiempo.

PĂĄgina

264

Muchas veces no es fĂĄcil ubicar a las variables a que movimiento caracteriza de una serie de tiempo se asociara principalmente a cada uno de los tĂłpicos.

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ESTADĂ?STICA BĂ SICA

Ejemplo N°1: Construir el grafico correspondiente de la siguiente serie cronológica en un sistema de ejes cartesianos con relación a las ventas mensuales de una empresa durante 6 años

2010

2011

2012

2013

2014

2015

ENERO

14,5

FEBRERO

12,5

11,5

MARZO

13,5

ABRIL

12,5

13,5

MAYO

10,5

9,5

JUNIO

8,5

9,5

8,5

JULIO

9,5

10,5

AGOSTO

8,5

9,5

7,5

SEPTIEMBRE

8,5

7,5

9,5

OCTUBRE

12,5

NOVIEMBRE

18,5

DICIEMBRE

17,5

20,5

TOTALES

130,5

147,5

148

140

146

150

PROMEDIO

10,875

12,291

12,333

11,666

12,666

12,5

Página

265

AÑOS

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ESTADÍSTICA BÁSICA

MĂ&#x2030;TODO DE ESTIMACIĂ&#x201C;N DE LAS TENDENCIAS

MĂ&#x2030;TODO DE LOS MĂ?NIMOS CUADRADOS: Este mĂŠtodo consiste en elegir la recta de modo tal que la suma de los cuadrados de los desvĂos entre los puntos representados y la recta sea la menos posible. La ecuaciĂłn de la recta y = a + bx queda definida cuando se conoce los valores mĂnimos de a y b son la soluciĂłn de un sistema de dos ecuaciones con dos incĂłgnitas. Na + bâ&#x2C6;&#x2018;x = â&#x2C6;&#x2018;y aâ&#x2C6;&#x2018;x + bâ&#x2C6;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ 2 = â&#x2C6;&#x2018;xy Conocidas tambiĂŠn como ecuaciones normales de los minimos cuadrados donde N nos indica el nĂşmero de clase utilizado. Ejemplo: Estimar la tendencia por el mĂŠtodo de los minimos cuadrados de las libretas de una caja de ahorros, con arreglo a la edad de sus titulares y el saldo que preserva en una cierta fecha con el objetivo de estudiar las

PĂĄgina

266

relaciones entre (Yáľ˘) y las edades (ti o X).

LIC. CALDERĂ&#x201C;N OTOYA, CARLOS

ESTADĂ?STICA BĂ SICA

21 19 17 15 13 11 9

2010

2011

2012

2013

2014

2015

267

E FMAM J J A S O N D E FMAM J J A S O N D E FMAM J J A S O N D E FMAM J J A S O N D E FMAM J J A S O N D E FMAM J J A S O N D

Página

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

ESTADÍSTICA BÁSICA

2011

2012

2013

2014

2015

Página

2010

268

E FMAM J J A S ON D E FMAM J J A S ON D E FMAM J J A S OND E FMAM J J A S ON D E FMAM J J A S ON D E FMAM J J A S ON D

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

ESTADÍSTICA BÁSICA

2011

2012

2013

2014

2015

Página

2010

269

E FMAM J J A S ON D E FMAM J J A S ON D E FMAM J J A S OND E FMAM J J A S ON D E FMAM J J A S ON D E FMAM J J A S ON D

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

ESTADÍSTICA BÁSICA

19 17 15 13 11 9

270

E F MAM J J A S O N D E F MAM J J A S O N D E F MAM J J A S O N D E F MAM J J A S O N D E F MAM J J A S O N D E F MAM J J A S O N D

2010

2011

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

2012

2013

2014

2015

ESTADÍSTICA BÁSICA

Página

EJERCICIOS Estimar la tendencia por el mĂŠtodo de los mĂnimos cuadrados de las libretas de una caja de ahorro con arreglo a la edad de sus titulares, y el saldo que presenta a una cierta fecha, con el objeto de estimar la relaciĂłn entre las edades (x) y los saldos (y) Determinar grafica y numĂŠricamente los saldos presuntos para personas de 22 y 50 aĂąos de edad.

EDADES

SALDOS

AĂ&#x2018;OS

đ?&#x2018;&#x2039;2

X.Y

Y.T

0 â&#x20AC;&#x201C; 10

12.792

63.960

13.385.00

10 â&#x20AC;&#x201C; 20

11.346

1225

170.190

14.335.88

20 â&#x20AC;&#x201C; 30

17.941

625

448.525

15.286.69

30 â&#x20AC;&#x201C; 40

19.313

1225

675.955

16.237.48

40 â&#x20AC;&#x201C; 50

18.000

2025

810.000

17.188.28

50 - 60

15.181

3025

834.955

18.139.08

â&#x2C6;&#x2018;x = 180

â&#x2C6;&#x2018;y = 94.573

â&#x2C6;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ 2 = 7.150

â&#x2C6;&#x2018;x.y = 3.003.585

â&#x2C6;&#x2018;1â &#x201E;đ?&#x2018;&#x2021; = 94.572.48

PĂĄgina

271

LIC. CALDERĂ&#x201C;N OTOYA, CARLOS

ESTADĂ?STICA BĂ SICA

Na + bโ x = โ y aโ x + bโ ๐ ฅ 2 = โ xy

(-30) 6a + 180b = 94573 180a + 7150b = 3003585

-180a + 5400b = -2837190 180a + 7150b = 3003585

1750b = 166395

b = 95.08285714

Reemplazando en: 6a + 180(95.08285714) = 94573 6a + 17114.91429 = 94573 6a + 77458.08571

Pรกgina

272

a= 12909.68095

LIC. CALDERร N OTOYA, CARLOS

ESTADร STICA Bร SICA

Ecuaciรณn de la lรญnea recta o tendencia: Y = a + bx Y = 12909.68095 + 95.08285714 X

na + bโ x = โ y aโ x + bโ ๐ ฅ 2 = โ xy (-30)

6a + 180b = 94573 180a + 7150b = 3003585

- 180a โ 5400b = -2837190 180a + 7150b = 3003585

1750b = 166395

166395 1750

b = 95.08285714

Pรกgina

273

Y = 12909.68095 + 95,08285714 X

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ESTADร STICA Bร SICA

Título del gráfico 20

DATOS BRUTOS 18

DATOS AJUSTADOS TENDENCIA Y= 12.909.66 + 95.08 X

0-10

oct-20

20-30 DATOS BRUTOS

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

30-40

40-50

50-60

DATOS AJUSTADOS

ESTADÍSTICA BÁSICA

Página

274

CUADRO RESUMEN: AÑOS

0 - 10

10 - 20

20 - 30

30 - 40

40 - 50

50 - 60

60 - 70

70 - 80

80 - 90

12.792

11.346

17.941

19.313

18.000

15.181

13.385

14.335

15.286

16.237

17.188

18.139

19.089

20.04

20.991

DATOS BRUTOS

Página

275

DATOS AJUSTADOS O TENDENCIAS

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Calcular la tendencia para los prĂłximos 3 aĂąos de la siguiente serie cronolĂłgica, que nos indica el movimiento econĂłmico de la facultad de administraciĂłn durante 9 aĂąos.

đ?&#x2018;&#x2039;2

X.Y

Y*T

2007

16â&#x20AC;&#x2122;1

15.03555556

2008

15â&#x20AC;&#x2122;4

15â&#x20AC;&#x2122;40

15.88222223

2009

16â&#x20AC;&#x2122;8

33â&#x20AC;&#x2122;60

16.72888889

2010

17â&#x20AC;&#x2122;1

51â&#x20AC;&#x2122;30

17.57555556

2011

17â&#x20AC;&#x2122;8

71â&#x20AC;&#x2122;20

18.42222222

2012

18â&#x20AC;&#x2122;8

94â&#x20AC;&#x2122;00

19.26888889

2013

20â&#x20AC;&#x2122;4

122â&#x20AC;&#x2122;40

20.11555556

2014

21â&#x20AC;&#x2122;1

147â&#x20AC;&#x2122;70

20.96222222

2015

22â&#x20AC;&#x2122;3

178â&#x20AC;&#x2122;40

21.80888889

â&#x2C6;&#x2018;X = 36

â&#x2C6;&#x2018;Y = 165â&#x20AC;&#x2122;8

â&#x2C6;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2039; 2 = 204

â&#x2C6;&#x2018;X . Y = 714â&#x20AC;&#x2122;00

â&#x2C6;&#x2018;Y * T = 165â&#x20AC;&#x2122;8

PĂĄgina

276

AĂ&#x2018;OS

LIC. CALDERĂ&#x201C;N OTOYA, CARLOS

ESTADĂ?STICA BĂ SICA

n a a ∑ x

(-4)

+ b ∑ x = ∑ y + b ∑ x² = ∑ x.y

9 a + 36 b = 165”8 36 a + 204 b = 714”0 36 a – 144 b = - 633”2 36 a + 110 b = 714”0 60 b = 50.8 b= 50.8 / 6 b= 0.84666666

9 a + 36 (0.84666666) = 165”8 9 a + 30.48 = 165”8 9 a = 165”8 – 30.48 9 a = 135.32 a = 135.32/9 a = 15.03555556 Y=a+bx

Página

277

Y= 15.035 + 0.84666 x

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ESTADÍSTICA BÁSICA

0,21.80

DATOS AJUSTADOS

TENDENCIA

Y = 15.03 + 0.84 X 19

Datoas brutos Datos ajustados

DATOS BRUTOS

278

0,15.03 2007

2008

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

2009

2010

2011

2012

2013

2014

Página

15 2015

ESTADÍSTICA BÁSICA

CUADRO RESUMEN: AÑOS 2007

2008

2009

2010

2011

2012

2013

2014

2015

16.1

15.4

16.8

17.1

17.8

18.8

20.4

21.1

22.3

DATOS AJUSTADOS O TENDENCIAS

15.03

15.88

16.72

17.57

18.42

19.26

20.11

20.96

21.80

Página

279

DATOS BRUTOS

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

ESTADÍSTICA BÁSICA

Y*T

2010

10.87

11.430

2011

12.29

11.675

2012

12.33

24.66

11.920

2013

11.66

34.98

12.165

2014

12.66

50.64

12.410

2015

12.50

62.50

12.655

∑X = 15

∑Y = 72.31

∑ X2 = 55

∑XY = 185.07

∑Y*T = 72.235

Página

AÑOS

280

Determinar la tendencia para los próximos 3 años de la siguiente serie cronológica que a continuación mencionamos.

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

ESTADÍSTICA BÁSICA

Na + b∑X = ∑Y a∑X + b∑X2 = ∑XY (-5) 6a + 15b = 72.31 (2) 15a + 55b = 185.07 -30a -75b = -361.55 30a +110b = 370.14 35b = 8.59 b = 0.2454285 6a + 15 (0.2454285) = 72.31 6a + 3.6814285

= 72.31 6a = 72.31 - 3.6814285 6a = 68.628571 a = 11.438095

Ecuación de la tendencia:

Y = a + bX

Página

281

Y = 11.438095 + 0.2454285X

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

ESTADÍSTICA BÁSICA

12.8

DATOS BRUTOS

5,12.655

12.6

12.4

12.2

DATOS AJUSTADOS 12

Datos brutos

11.8

Datos ajustados 11.6

0,11.43

11.4

Página

11.2

282

TENDENIA Y = 11.43 + 0.24 X

10.8 2010

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2011

2012

2013

2014

2015

ESTADÍSTICA BÁSICA

CUADRO RESUMEN:

2010

2011

2012

2013

2014

2015

DATOS BRUTOS

10.87

12.29

12.33

11.66

12.66

12.50

DATOS AJUSTADOS O TENDENCIAS

11.430

11.675

11.920

12.165

12.410

12.655

Página

283

AÑOS

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Estimar la tendencia por el método de los mínimos cuadrados de las libretas de una caja de ahorros con arreglo a la edad de sus titulares, y el saldo que presentan a una cierta fecha, con el objeto de estimar la relación entre las edades (X), y los saldos (Y). Determinar gráfica y numéricamente los saldos presuntos para personas de 22 y 50 años de edad.

EDADES

AÑOS

SALDOS

Y*T

12.792

63.960

13385.08

11.346

225

17.190

14335.88

17.941

625

448.525

15286.68

19.313

1225

675.955

16237.48

18.000

2025

810.000

17188.28

15.181

3025

834.955

18139.08

∑X = 180

∑Y = 94.573

∑ X2 = 7150

∑XY = 3003.585

∑Y*T = 94572.48

Página

284

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Na + b∑X = ∑Y a∑X + b∑X2 = ∑XY (-30) 6a + 180b = 94573 180a + 7150b = 3003585 -180a – 5400b = -2837190 180a + 7150b = 3003585 1750b = 166395 b = 95.08285714 6a + 17114.91429 = 94573 6a = 94573 - 17114.91429 6a = 77458.08571 a = 12909.68095

Ecuación de la tendencia: Y = a + bX

Página

285

Y = 12909.68 + 95.08X

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20000

55,181.08

19000

18000

17000

16000 Datos brutos Datos ajustados

15000

14000

5,13385

Y= 12, 909.68 + 95.08X

13000

286

12000

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Página

11000 55

ESTADÍSTICA BÁSICA

CUADRO RESUMEN:

0-10

10-20

20-30

30-40

40-50

50-60

60-70

70-80

80-90

DATOS BRUTOS

12.792

11.346

17.941

19.313

18.000

15.181

DATOS AJUSTADOS O TENDENCIAS

13.385

14.335

15.286

16.237

17.188

18.139

19.089

20.04

20.991

Página

287

AÑOS

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 NOTA: Los datos iniciales de las series cronológicas se consideran leo sucesivo como datos brutos o crudos, afectados por errores y se sustituye por los resultados de dar a x en la ecuación de tendencia los valores 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, etc. Para obtener ajustados o sea aquellos que están sobre la recta o que representan una forma de variación más uniforme.

Una serie cronológica para que el análisis sea completo, debe ir acompañado de un gráfico de datos brutos y ajustados y de un cuadro de resumen con sus respectivas proyecciones. MÉTODO SIMPLIFICADO DE LOS MINIMOS CUADRADOS Este método consiste en hacer que la suma de los valores de X sea igual a cero y mediante el empleo de fórmulas simplificadas se obtiene los valores de a y b en la ecuación de la línea recta. 1) Na + bx = y 2) a + bx2= xy Si Zx = 0

QUE NOS DEPARA EL FUTURO Prever lo que podría pasar siempre ha sido una ocupación incierta y riesgosa. Sin embargo, a medida que manejamos mayor información y ampliamos nuestros conocimientos científicos, aumentan las probabilidades de acertar. Con motivo del nuevo milenio se están haciendo pronósticos sobre el futuro basados, como siempre, en el pasado. Algunos de ellos son preocupantes, pero otros parecen alentadores, en todo caso, el futuro depende en gran parte de lo que hagamos hoy.

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Vista con la perspectiva del tiempo geológico, la tierra ha sufrido repentinos cambios drásticos como las grandes extinciones. En el pérmico, hace 250 millones de años, hubo una extensión masiva que acabo con el 90% de las especies. En el paso de Cretáceo al terciario, hace 65 millones de años, al parecer un meteorito acabo con los dinosaurios y la mitad de todas las especies. Hoy, aunque es difícil darnos cuenta por lo breve de nuestra historia en términos geológicas, vivimos una era de drásticos cambios y extinciones. Según cifras publicadas en Alemania, desde que el hombre comenzó a alterar la ecología ha desaparecido 1.138 especies animales y vegetales y más de 31 mil más están en peligro de extinción. Si seguimos con los mismos patrones del crecimiento y consumo, el 40 % de los mamíferos, el 75 % de los reptiles y el 39% de las aves estarán en peligro. Los más pesimistas calculan que para el año 2050 habrá desaparecido entre el 10% y 50% de las especies existentes hoy, cifras basadas en proyecciones demográficas y económicas. Si bien el control de natalidad en todo el mundo está dando resultados, la inercia del crecimiento es enorme. Debido a la cantidad de mujeres que van alcanzando la edad fértil, la curva de crecimiento recién se nivelara en el 2050, hoy somos más de 6 mil millones y; según los optimistas, en el 2050 no pasaremos de 8,500 millones; de acuerdo con los pesimistas nos acercamos a los 10 mil millones. Hay un acuerdo que para el 2050 el crecimiento se habrá frenado y en el peor de los casos seremos 10,500

drásticamente nuestro futuro. A mitad del siglo xx nadie hubiera previsto la explosión de

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Página

La historia muestra que avances tecnológicos no previstos pueden cambiar

289

y en mejor nueve mil millones.

las comunicaciones ni las proyecciones de la biología molecular para aumentar la expectativa de vida. Esto hace difícil aventurar predicciones para el siglo XXII, pero permite proyectar ciertas cifras para las primeras décadas del siglo XXI. Entre las más importantes están las demográficas. Según estudios del UNESCO, mientras que en 1950 la tasa de nacimiento por mujer en el tercer mundo era de 6,2 y hoy no llega a 3,3; en el año 2050 será de 2,1. Con esto se habrá igualado con el primer mundo, que era de 2,8 en 1950 (hoy es 1,6) y en el 2050 será de 2,1. Paralelamente viene la expectativa de vida, que tendrá un incremento dramático. Hace solo 50 años, mientras que en el primer mundo la expectativa de vida era de 66 años, en los países pobres era solo de 40. Hoy en el primer mundo está en 75 y los países pobres han dado un gran salto a 63 años. Para el año 2050 la diferencia se habrá acortado, con 81 años para el primer mundo y 76 en el tercero. Simultáneamente habrá un cambio drástico en la distribución de la población. La eficacia de la agricultura del primer mundo y el paso a la era postindustrial está redistribuyendo la población. Las grandes ciudades se están convirtiendo en conurbaciones gigantescas con poblaciones equivalentes a países enteros. Hace 50 años Nueva York tenía 12 millones de habitantes, Londres nueve y Tokio menos de siete. Las otras grandes capitales oscilaban entre cuatro y 5,5 millones. En 15 años Tokio estará en 29 millones, Bombay en 27,5 y habrá cinco ciudades más

Muchas ciudades habrán pasado los diez millones y posiblemente Lima estará entre

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ellas.

290

(Lagos, Shanghái, Yakarta, Sao Paulo y Karachi) entre 24,5 y 20,5.

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Otro gran problema será el agua, siendo el Perú y Haití los dos únicos países de América que a partir del 2025 tendrán escasez de agua. Escasez que ya se presentó en varios lugares de África y que afectara a varios países asiticos.Pero no todas son malas noticias. La disponibilidad de kilocalorías alimenticias en el mundo ira en aumento. Los países desarrollados ya tienen 3.350 kilocalorías por día y Asia Meridional se acercara a las 2,300; pero el África negra sigue en menos de 2,100. En el 2010 el promedio mundial, hoy en 2,720, estará en 2,900, aunque nadie se atreve a pronosticar su distribución. El analfabetismo, hace 20 años era de 60% en los países más pobres, deberá bajar a 40% en el 2010, y en el mundo a menos de 20%. Siempre queda la esperanza de un cambio

drástico

nuestros

patrones

consumo,

que

podrían

mejorar

Página

291

dramáticamente el panorama.

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Página

292

EL EMPLEO DE LAS COMPUTADORAS EN LA ESTADÍSTICA

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EL EMPLEO DE COMPUTADORAS EN LA ESTADISTICA Nadie negara que la computadora es uno de los productos más maravillosos del siglo XX. En unos minutos puedes efectuar operaciones complejas que un equipo de matemáticos tardaría meses en completar. Las computadoras han hecho posible enviar navíos espaciales a la Luna y exploradores mecánicos a la superficie de Marte. Para el investigador, la computadora es un sirviente complaciente que le ahorra horas incontables de trabajo penoso cuando deben ser analizadas grandes cantidades de datos. El automóvil es también una maquina maravillosa que permite a las personas viajar de un lugar a otro como jamás pudieron viajar a caballo o en calesa. No obstante, sabemos que un automóvil no puede pensar, que no sabe si debe ir a la derecha o a la izquierda, que esta tan dispuesto a chocar contra un árbol como a darle vuelta y que, a diferencia del caballo, ni siquiera pueden encontrar el camino a casa. En otras palabras, solo es una máquina y solo realiza lo que le ordena hacer el cerebro humano que lo está guiando. La computadora, al igual que el automóvil, solo hace lo que le ordena hacer el cerebro humano que la programa. Al contrario de lo que dicen las historias de ciencia ficción, la computadora no piensa. De hecho, la computadora es una maquina tan estúpida que puede enviar a CARLOS CALDERON la cuenta bancaria que enviar a ENRIQUE CALDERON, y ha llegado a dar el frustrado y furioso un informe pésimo sobre el crédito cuando el verdadero delincuente era JUAN CORDOVA. A pesar de la marca,

formula opiniones morales respecto a si las instrucciones recibidas son buenas o

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Página

malas.

293

costo o tipo de programa, la computadora hace solo que se le diga que haga y no se

ESTADÍSTICA BÁSICA

Por ejemplo, la computadora no sabe (ni le preocupa) si los datos suministrados han sido producidos por un experimento diseñado en forma correcta y realizado cuidadosamente. Tampoco sabe (ni le preocupe) si la prueba estadística que se le pide que efectué es apropiada para los datos o el diseño. Como consecuencia, la computadora produce obedientemente una “respuesta” que los investigadores aceptan con demasiada frecuencia como palabra de Dios, especialmente porque la produjo una computadora cara y sofisticada. Para decirlo en términos que los estadísticos emplean a menudo, si es “basura” lo que se pone en la computadora, esta producirá “basura”. Este síndrome de “basura entra –basura sale” es una enfermedad que afecta a los resultados obtenidos por biólogos inexpertos en relación con los fundamentos del diseño de experimentos y los métodos de inferencia estadística. Es muy posible que, más que cualquier otra cosa, el mal uso de las computadoras este contribuyendo a la ignorancia de la estadística encontrada entre muchos investigadores excelentes en biología. Tal vez resulte demasiado fácil para el investigador obtener datos, llevarlos a un centro de computación y conseguir que una computadora complaciente someta a los datos a métodos estadísticos poco familiares para el investigador y tal vez muy inapropiados para el proyecto entre mano. Por esto, uno de los objetivos principales de la estadística es proporcionar al investigador actual o futuro una comprensión de los fundamentos de los diseños y métodos más comunes del análisis estadístico. Con tales instrumentos a mano, la computadora llega a ser un instrumento increíblemente útil.

previsible, ha sido sustituido por modelos electrónicos, rápidos, silenciosos, confiables y cada vez más sofisticados, hasta tal punto que son en realidad, minicomputadoras. LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

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monstruo mecánico que resonaba ruidosamente camino de una avería prematura, pero

294

La computadora de mesa ha sufrido muchos cambios en los últimos años. El antiguo

La calculadora de mesa es ciertamente muy útil. No todos los proyectos de investigación en biología producen tantos datos como para necesitar la ayuda de una computadora. ¡El investigador muy atareado debería detenerse y pensar dos veces antes de salir para un centro de computación con datos que podrían ser analizados fácilmente con una calculadora de mesa moderna en el mismo tiempo que se tardaría en llegar al centro de computación! Ya sean analizados los datos por una computadora o por una calculadora de mesa, se debe tener siempre presente que ninguna maquina; por sofisticado que sea, puede sustituir a la computadora más potente que hay : el cerebro humano. Aunque el lector no recuerde otro detalle de LA ESTADISTICA si debe recordar que el análisis

datos

obtenidos

experimentalmente,

según

métodos

estadísticos

complicados, aunque sea realizado por maquinas costosos, no producirá como por arte de magia resultados validos a partir de experimentos mal diseñados y efectuados en forma descuidada. Las computadoras son fantásticas en pocos minutos pueden cometer un error tan grande que se necesitaría muchos hombres, durante muchos meses, para remediarlo. La computadora es la nueva deidad del hombre occidental. Tiene que ser una deidad muy poderosa, porque el occidental le rinde culto durante ocho horas diarias enquistadas en algunos aparatos burocráticos y que creen que se hace trabajo científico por el solo hecho de usar una computadora, y por lo tanto dan preferencia a los trabajadores de investigación que emplean computadoras, aun cuando no se

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295

obtenga ningún resultado original.

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Más aun, existe cierta tendencia desde ya algunas décadas al creer que el mundo se va desmaterializando, porque se va informatizando, y se cree que la información es inmaterial. ¿Ustedes han visto alguna vez un diskette inmaterial? Cada vez que ustedes metan información en algún diskette, el diskette es un sistema material. La información no se puede desprender de la materia, del mismo modo que el pensamiento no se puede separar del cerebro. L a creación de algunos conocimientos requiere el uso de computadoras, otros no. Un filósofo va a utilizar la computadora como procesador o elaborador de información, pero no para hacer cómputos. En cambio un físico o un químico teórico, o puede prescindir se está máquina. Lo mismo ocurre con un ingeniero o uno de esos pocos politólogos que manejan miles y miles de datos. El economista que quiera descubrir alguna tendencia en la economía actual: necesita programas de computación bastante complicados. En suma, nadie duda de que las computadoras se hayan vuelto imprescindibles. Pero de aquí no se sigue que las computadoras pueden reemplazar a los cerebros. Esto se debe a que las computadoras no son originales, no son creadoras. Las computadoras usan correlatos físicos de ideas, pero no tienen ideas propias, ni quisiéramos tampoco que las tuvieran. Las computadoras son diseñadas para servirnos no para sustituirnos. Por ejemplo, un arquitecto no es reemplazado por un programa de diseño arquitectónico, sino que utiliza esos programas como auxiliares, para hacer las cosas más rápidamente o para

problemas. Las computadoras sirven para resolver algunos problemas, pero no LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

ESTADÍSTICA BÁSICA

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A una computadora no se le ocurren ideas propias. En particular, no plantea nuevos

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presentar sus ideas en forma más realista.

plantean nuevos problemas y la investigación o mejor dicho, los conocimientos, sean técnicos, o científicos i humanísticos, avanzan no solamente resolviendo problemas, sino también encontrando problemas nuevos. Una computadora solamente puede atacar un problema bien planteado, formulado con mucha precisión. Pero al comienzo de una investigación los problemas se plantean de manera imprecisa. Solamente reflexionando mucho y bien sobre ellos logramos alguna precisión. A la computadora hay que darle algo que pueda digerir. No se le puede dar una idea intuitiva o tosca, porque carece de intuición y de la capacidad de refinar intuiciones. Las computadoras solo funcionan cuando se les enchufa algoritmos, es decir, reglas mecánicas para elaborar símbolos. Pero no hay algoritmos para diseñar algoritmos. El algoritmo tiene que ser diseñado por un matemático o por un programador. No puede ser diseñado a máquina porque no hay reglas para diseñar nuevos algoritmos. Una vez que a la maquina se le da un algoritmo y ciertos datos, la maquina empieza a funcionar, antes no. Algunas escuelas privadas en América Latina, por lo menos en Argentina, han exagerado el uso de computadoras. Han dicho que, para entrar al siglo XXI, basta que todo el mundo aprenda a manejar una computadora. Por consiguiente, han gastado grandes cantidades de dinero en computadoras. Una operación de computación no reemplaza un experimento ni un debate. La computadora puede simular un experimento, pero no puede realizarlo. No se

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originales. Lo que se puede hacer con una computadora es agilizar un experimento. La

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pueden reemplazar ni las operaciones de laboratorio, ni las operaciones mentales

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computadora no puede simular un experimento, a menos que se sepa de antemano cual es el resultado del experimento. Pero para saber esto hay que haberlo ejecutado. En conclusión, la computadora no puede reemplazar a la persona. Solo puede ayudar a liberarla o a esclavizarla.

LA ESTADISTICA EN LA EMPRESA UTILIDAD DE LA ESTADISTICA EN LA EMPRESA A) La Estadística es un instrumento inigualable de síntesis. En las grandes empresas la contabilidad se hace cada vez más compleja y extensa. Su manejo es cada vez más penoso y su manera de hacer no es siempre por sí misma la más adecuada para presentar de un modo sencillo y resumido ante la dirección de la empresa una sinopsis o extracto de la situación económica y financiera. En colaboración

con ella los

métodos estadísticos permiten separar las cuentas y operaciones complejas en totales sencillos, dar curvas representativas de las mismas o índices que reflejen la evolución de magnitudes de interés, como volumen de los stock, rendimiento del trabajo de máquinas y operarios, etc. B) El uso de los métodos estadísticos permiten a veces un análisis más detallado que el que se obtendría de la simple inspección de los documentos contables. Por ejemplo, los clientes son conocidos desde el punto de vista contable por el volumen de sus pedidos, por las mercancías que se les han entregado y por sus hábitos de pago;

periodo del año en que los hacen, etc., cuestiones que son en general del máximo interés para orientar una política de la empresa, en orden a la sección de su clientela. LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

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señaladas, sino también por su residencia, la forma en que hacen sus pedidos, por el

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estadísticas adecuadas permiten clasificarlos no solo por las características antes

Análisis de esta naturaleza permiten en muchas ocasiones descubrir clientes que no interesan por lo reducido o nulo del margen de beneficio neto que proporcionan en comparación con los gastos que sus pedidos ocasionan; la eliminación de tal clientela permite reducir propaganda, gastos de viajantes y en general gastos generales con el consiguiente incremento de beneficios para la empresa. En el mismo orden de ideas abunda el análisis estadístico de los gastos generales; el cuantioso número de conceptos que comprende esta cuenta, justifica el uso de estadística adecuadas que permitan descubrir desequilibrios o evoluciones anormales de algunos de ellos y presentar resúmenes periódicos de los mismos para la adecuada comparación con las previsiones efectuadas por la gerencia de la empresa. C) Estadísticas debidamente seleccionadas y adecuadamente presentadas permiten la comprensión de documentos contables como el balance o la cuenta de pérdida y ganancias, por parte de personas poco familiarizadas con el lenguaje y tecnicismos contables. D) La Estadística permite a la gerencia el conocimiento y análisis de datos referentes a fenómenos o hechos que se desenvuelven fuera de la empresa pero cuyo conocimiento es fundamental para esta en orden a una conducta racional de la misma en el ámbito económico en que se halla incrustada. Las empresas necesitan informes sobre producción, sobre cotizaciones de divisas extranjeras, sobre población, sobre distribución de los ingresos de los residentes en sus zonas geográficas de mercado… Es fácil comprender que un industrial necesita aprovisionarse de ciertas materias

de la competencia, la parte de mercado total de que dispone, cuales son las características más apreciadas de sus productos, la composición social y económica de LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

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idea lo más clara posible de su probable evolución; debe conocer los precios de venta

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primas y necesita conocer sus precios en moneda nacional o extranjera y tener una

su clientela, los consumidores en potencia de sus productos y las causas por los que no son efectivos.. Todo lo cual implica el consultar estadísticas hechas por otros o hacerlas por sí mismo. Es aquí particularmente interesante, destacar como en algunos países, principalmente en Estados Unidos, existen Asociaciones de fabricantes de un mismo artículo que publican mensualmente el total vendido en el mes anterior, discriminado por regiones. El individualismo y la desconfianza por miedo a exacciones fiscales y un infundado temor a la competencia hace que no sea posible disponer de estadísticas exactas que permitan a cada fabricante conocer su posición respecto al promedio de los otros competidores en cuanto a volumen fabricado, cifra de ventas realizadas, precio de venta de la producción, rendimiento por operario y por máquina de cada clase…, estadísticas de las que obtendría valiosísima información acerca de la futura actividad de su empresa, pues podría llegarse a un conocimiento mucho más perfecto del mercado, sabiendo si se halla saturado o próximo a la saturación y en consonancia efectuar el oportuno calculo económico, para averiguar si conviene o no la ampliación del propio aparato productivo y perspectivas respecto a la posición futura de la

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empresa en el grupo profesional correspondiente.

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ESTUDIOS DE MERCADOS, STOCKS Y CONTROL Tres aspectos de la gestión de la empresa; la previsión de las ventas futuras, el aprovisionamiento de primeras materias primas y el control de calidad de sus productos y del estado de su complejo productivo requieren sin duda el auxilio de la estadística. A) La previsión de las ventas futuras que nos dará en consecuencia pautas para nuestra adecuada organización de la producción, implica el estudio del mercado, tanto interior como extranjero. Para ambos con precisa estadísticas adecuadas por regiones y por clientela; para el mercado exterior es preciso además el uso de estadísticas sobre camino, tarifas aduaneras, tratados de comercio vigentes. En Estados Unidos, país donde se hace más uso de estadísticas que en ningún otro del mundo, las estadísticas descriptivas del mercado son las más abundantes, lo cual es lógico si tiene en cuenta que es un país súper industrializado, con un alto nivel de técnica en el que el problema e de consumo más que de producción; la principal preocupación del fabricante es hallar mercados para sus productos. En particular con referencia, por ejemplo, a los automóviles el problema más grave de la industria americana del ramo es no de producir sino de colocación del fabuloso número de unidades que anualmente produce. De ahí que no escatimen ningún esfuerzo en orden a conseguir descubrir nuevos mercados y ampliar los existentes y con ello el aumento de sus beneficios. De todos es conocida la revolucionaria idea de Ford, cuando el

mediante una política de salarios altos. Estadísticas oportunas sobre la capacidad adquisitiva de las distintas clases sociales del país, coadyuvaron a encauzar LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

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hasta entonces a una minoría del país, a grupos de asalariados cada vez mayores,

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automóvil era un artículo de lujo, de ampliar el mercado de compradores reservado

debidamente dicha política de salarios elevados y crear el actual gran mercado de automóviles en los Estados Unidos. El estudio estadístico del mercado es preciso no solo cuando hay en la empresa un problema de superproducción; incluso es preciso en aquellos casos en que la empresa vende sin dificultad la totalidad de la producción y logra los oportunos beneficios adecuados a su capacidad y organización productiva. Se cita por un destacado especialista de la cuestión, el caso de una fábrica italiana de cierto tipo de galletas de consumo infantil, que colocaba sin dificultad en las diversas provincias la totalidad de su producción; sin embargo, las estadísticas revelaron que en algunas provincias en que la población infantil era muy numerosa, las ventas eran inferiores a las realizadas en otras de menor censo infantil, lo cual ponía de manifiesto que la gestión en cuanto s ventas no era optima aun cuando se vendiese la totalidad de la producción y que seguramente esta era susceptible de aumentarse con el consiguiente aumento de beneficios. B) La compra de stocks de fabricación es una de las funciones que caen casi por completo dentro del dominio de la estadística; si no hay almacenamientos suficientes puede correrse el riesgo de no poder servir los pedidos. Si hay demasiados stocks hay un gasto por capital improductivo. Es pues necesario fijar tanto el nivel superior como el nivel inferior. Para prevenir el nivel óptimo es necesario formar estadísticas complejas, algunas de ellas de orden financiero, como coste de las inmovilizaciones, disponibilidad de tesorería, tendencia general de precios, etc. Otras que indiquen mes por mes las

susceptibles de ser diferidas y límite de tal diferimiento, delas que han de efectuarse a plazo fijo. Es decir, conociendo todas las alternativas posibles incluso siguiendo los LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

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compras susceptibles de ser diferidas y límite de tal diferimiento, de las compras

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compras a realizar con las fechas de entrega correspondientes, distinguiendo las

mercados extranjeros, es la única manera de situarse en condiciones de comprar en las mejores condiciones. C) En aquellos artículos de producción en serie y en grandes cantidades es imposible por el tiempo que requería y por el coste que supondría, controlar la cantidad del producto obtenido, revisando individualmente cada uno de los artículos producidos. El mismo problema se le plantea al comprador de una partida de tales artículos que sin poder revisarlos uno a uno se encuentran en la necesidad de optar entre aceptar o rechazar la partida. Las técnicas estadísticas de muestreo permiten decidir la cuestión revisando una muestra de tamaño reducido en comparación con la totalidad del lote a examinar, señalando además la probabilidad de que los defectos observados no superen en su cuantía unos límites preestablecidos. Para controlar el estado de máquinas y herramientas conviene llevar estadísticas sobre horas de funcionamiento, consumo de accesorios, tiempo de paro por reparaciones y otras que permitan establecer la ley de frecuencia de las reparaciones en atención a la duración de la máquina, ley que será básica para determinar debidamente la anualidad o cuota de amortización de la maquina en cuestión. Como es lógico, el control a base de estadísticas puede efectuarse en múltiples aspectos de la vida de la empresa, abarcando su campo de acción una amplia gama de posibilidades, desde el control de calidad ya citado a controles sobre productividad o

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ESTADISTICAS QUE AFECTEN A LA DIRECCION DE LA EMPRESA

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rendimiento de máquinas y obreros.

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Hemos dicho con anterioridad que la estadística puede tener una función simplificadora y resurtiva de la contabilidad, a la cual se confía la fundamental misión de registrar los hechos que afectan a la misma empresa para que sirvan de guía a los administradoras de la misma en el conocimiento de la marcha del negocio y el control del sus distintos aspectos. Como es lógico, la naturaleza de las actividades de la empresa, será la mejor indicadora de cuáles deben ser las estadísticas y gráficos a confeccionar para poner a disposición de la gerencia unos resúmenes periódicos, claros y precisos, sustitutivos de la gran cantidad de cuentas que recogen el complejo funcionamiento de una empresa. No obstante, con carácter general puede preconizarse la conveniencia de la formación de gráficos concernientes a la evolución de las ventas, a la productividad y a la serie de pedidos servicios mensualmente y serie acumulada de los mismos. Los estados estadísticos a formar deben referirse: Al activo, al pasivo, a los stocks, a disponibilidades monetarias, a salarios y a los gastos generales. Así, entre los estados referentes al activo, deben figurar los saldos deudores de clientes y nuestros anticipos a proveedores, del pasivo nos interesan los anticipos hechos por los clientes, los saldos que adeudamos a los proveedores, los efectos a pagar y los saldos debidos a otros acreedores. Las estadísticas a formar sobre stocks deben detallar, las materias primas, los productos en curso de fabricación y los productos acabados.

304

Las concernientes a salarios, el total de salarios pagados, con especificación de los

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improductivos y el importe del salario medio de la empresa.

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En cuanto a los gastos generales, además de estadísticas sobre si evolución es conveniente especificar el porcentaje que representan sobre la mano de obra productiva y el total de los mismos incorporado a los precios de venta. Sin perjuicio, como ya hemos dicho, que la actividad específica de la empresa haga recomendable el uso de otras estadísticas, las ahora indicadas, mantenidas al día permiten, con una inspección rápida y simple, una apreciación de la situación de la empresa que sustituye a la enojosa labor de estudiar uno a uno los múltiples aspectos de una contabilidad permitiendo muchas veces por el cálculo de algunos promedios, porcentajes o índices, hacerse cargo de la marcha de la empresa y poner de manifiesto

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los resultados anormales.

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RATIOS FINANCIEROS

INTRODUCCIÓN La previsión es una de las funciones financieras fundamentales, un sistema financiero puede tomar diversas formas. No obstante es esencial que éste tenga en cuenta las fortalezas y debilidades de la empresa. Por ejemplo, la empresa que prevé tener un incremento en sus ventas, ¿está en condiciones de soportar el impacto financiero de este aumento? ¿Por otro lado, su endeudamiento es provechoso? ¿Los banqueros que deben tomar decisiones en el otorgamiento de créditos a las empresas, cómo pueden sustentar sus decisiones? Para dar respuesta a las interrogantes planteadas es necesario, previamente, exponer las ventajas y aplicaciones del análisis de los estados financieros con los ratios o índices. Estos índices utilizan en su análisis dos estados financieros importantes: el Balance General y el Estado de Ganancias y Pérdidas, en los que están registrados los movimientos económicos y financieros de la empresa. Casi siempre son preparados, al final del periodo de operaciones y en los cuales se evalúa la capacidad de la empresa para generar flujos favorables según la

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recopilación de los datos contables derivados de los hechos económicos.

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DEFINICIÓN: Definimos a los ratios financieros como un conjunto de índices (relaciones) entre 2 cuentas del balance o del estado de pérdidas y ganancias. Los ratios financieros son cocientes numéricos que miden la relación que existe entre determinadas cuentas de los estados financieros de las empresas. Las relaciones que existen entre los distintos elementos que integran el balance y el estado de pérdidas y ganancias de una empresa son factores fáciles de retener y comprender. Estos factores económicos son de una gran variedad y se utiliza en la evaluación de las empresas y de su gestión empresarial reflejando la eficiencia con que se han desarrollado sus operaciones y el grado de corrección con el que se ha manejado sus recursos pudiendo establecerse ratios de liquidez, solvencia, gestión y rentabilidad. Teniendo en cuenta 4 tipos de estos:

1. LIQUIDEZ Evaluar la disponibilidad de la empresa para pagar es deudas de corto plazo utilizando fondos de corto plazo. En este caso los ratios se limitan al análisis del activo y pasivo circulante.

2. SOLVENCIA Están dirigidos a medir la capacidad de la empresa para hacer frente a sus obligaciones. Este análisis se combina con las deudas de corto plazo y largo plazo

3. GESTIÓN Miden la eficiencia con que la empresa utiliza sus fondos. Estos ratios implican una comparación entre las ventas y los activos necesarios para soportar el nivel de ventas, considerando que existe un apropiado valor de correspondencia entre estos conceptos.

Tiene por objetivo evaluar el resultado neto obtenido a partir de ciertas decisiones

Página

políticas en la administración de los fondos de la empresa.

307

4. RENTABILIDAD

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ESTADÍSTICA BÁSICA

Los indicadores muestran los resultados del negocio y se obtienen cambiando las utilidades brutas y los netos con el capital, patrimonio, nĂşmero de acciones comunes, activo total y ventas netas.

ANĂ LISIS DE ESTADOS FINANCIEROS

A. ANĂ LISIS DE LIQUIDEZ A.1. LIQUIDACIĂ&#x201C;N GENERAL El ratio del Ăndice de liquidez general se obtiene dividiendo el activo circulante entre el pasivo circulante. El activo circulante incluye bĂĄsicamente las cuentas de caja, bancos, cuentas y letras por cobrar, valores de fĂĄcil negociaciĂłn e inventarios. Este ratio es la principal medida de liquidez puesto que muestra que proporciĂłn de deudas de corto plazo son cubiertas por elementos del activo cuya conversiĂłn en dinero corresponde aproximadamente al vencimiento de las deudas. Mientras mĂĄs alto sea el coeficiente, la empresa tendrĂa mayores posibilidades de efectuar sus pagos a corto plazo. Para nuestra empresa en cuestiĂłn, el ratio para 2010

Liquidez general = đ?&#x2019;&#x2018;đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x2014;đ?&#x2019;? đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x201C;đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x2013;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2020;

A.2. PRUEBA ACIDA:

del activo circulante y dividiendo esta diferencia por el pasivo circulante.

PĂĄgina

Los inventarios se excluyen del anĂĄlisis porque son los activos menos lĂquidos y los mĂĄs sujetos a perdidas en caso de quiebra. LIC. CALDERĂ&#x201C;N OTOYA, CARLOS

308

Esta medida es llamada tambiĂŠn liquidez severa y se calcula restando el inventario

ESTADĂ?STICA BĂ SICA

Prueba ĂĄcida =

đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x2014;đ?&#x2019;? đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x201C;đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x2013;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2020; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2014;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;&#x201C;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201D; đ?&#x2019;&#x2018;đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x2014;đ?&#x2019;? đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x201C;đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x2013;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2020;

A.3. PRUEBA DEFENSIVA: Sirve para evaluar la capacidad de los fondos mĂĄs lĂquidos (caja y bancos) de pagar deudas corrientes. Se calcula dividiendo el total de los saldos de caja y banco por el pasivo circulante.

đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;&#x2039;đ?&#x2019;&#x201A; đ?&#x2019;&#x161; đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201D;

Prueba defensiva= đ?&#x2019;&#x2018;đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x2014;đ?&#x2019;? đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x201C;đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x2013;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2020;

A.4. LIQUIDEZ DE CAJA: Se realiza para tener una idea completa acerca de la capacidad de pago de la empresa, la liquidez de la caja y otros ratios similares se realizan generalmente, teniendo en cuenta el ratio de rotaciĂłn de cobros, que es otro indicador calculado en este trabajo:

đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;&#x2039;đ?&#x2019;&#x201A; đ?&#x2019;&#x161; đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201D;+đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x2013;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;&#x201D; đ?&#x2019;&#x2018;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201C; đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;&#x201C;đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;&#x201C; đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x2013;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;&#x201D; đ?&#x2019;&#x2018;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201C; đ?&#x2019;&#x2018;đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;&#x2C6;đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;&#x201C; đ?&#x2019;&#x161; đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;&#x201C;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x2C6;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x201C;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201D;

PĂĄgina

309

Liquidez de caja=

LIC. CALDERĂ&#x201C;N OTOYA, CARLOS

ESTADĂ?STICA BĂ SICA

A.5. CAPITAL DE TRABAJO: El capital de trabajo de maniobra, es la diferencia entre el activo circulante y el pasivo circulante. Mide la liquidez y operación y la protección hacia los acreedores de corto plazo. El valor del capital de trabajo para la empresa x es:

Capital de trabajo=Activo circulante - Pasivo circulante

B. ANÁLISIS DE SOLVENCIA

B.1. DEUDA PATRIMONIO: Evalúan el impacto de la deuda (deuda total o deuda a largo plazo), con relación al patrimonio y puede ser presentado de dos formas distintas.

Deuda patrimonio=

𝒅𝒆𝒖𝒅𝒂 𝒂 𝒍𝒂𝒓𝒈𝒐 𝒑𝒍𝒂𝒛𝒐 𝒑𝒂𝒕𝒓𝒊𝒎𝒐𝒏𝒊𝒐

Página

310

Deuda patrimonio=

𝒅𝒆𝒖𝒅𝒂 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒑𝒂𝒕𝒓𝒊𝒎𝒐𝒏𝒊𝒐

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B.2) DEUDA ACTIVA: En este caso el objeto es medir el nivel global de endeudamiento o proporción de fondos apostados por los acreedores y puede ser presentado de 2 formas.

Deuda del activo=

𝒅𝒆𝒖𝒅𝒂 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒂𝒄𝒕𝒊𝒗𝒐

𝒅𝒆𝒖𝒅𝒂 𝒂 𝒍𝒂𝒓𝒈𝒐 𝒑𝒍𝒂𝒛𝒐 𝒂𝒄𝒕𝒊𝒗𝒐 𝒇𝒊𝒋𝒐 𝒏𝒆𝒕𝒐

B.3) COBERTURA DE GASTO FINANCIERO: Nos indica hasta qué punto pueden disminuir las utilidades sin poner la empresa en una situación de dificultad al pagar sus gastos financieros.

Página

311

Cobertura de gastos financieros 𝒖𝒕𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒂𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒈𝒂𝒔𝒕𝒂𝒓 𝒇𝒊𝒏.+𝒈𝒂𝒔𝒕𝒐 𝒇𝒊𝒏𝒂𝒏𝒄𝒊𝒆𝒓𝒐 = 𝒈𝒂𝒔𝒕𝒐 𝒇𝒊𝒏𝒂𝒏𝒄𝒊𝒆𝒓𝒐

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B.4) ENDEUDAMIENTO PATRIMONIAL CORRIENTE:

La proporción del patrimonio corriente o circular.

Endeudamiento patrimonial corriente=

𝒑𝒂𝒔𝒊𝒗𝒐 𝒄𝒊𝒓𝒄𝒖𝒍𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒑𝒂𝒕𝒓𝒊𝒎𝒐𝒏𝒊𝒐

B.5) RESPALDO DE ENDEUDAMIENTO: Si relacionamos activo fijo con patrimonio encontramos el respaldo que posee la empresa en término de activo fijo.

Endeudamiento respaldo=

𝑨𝒄𝒕𝒊𝒗𝒐 𝑭𝒊𝒋𝒐 𝒑𝒂𝒕𝒓𝒊𝒎𝒐𝒏𝒊𝒐

ANÁLISIS DE GESTIÓN

C.1. ROTACIÓN DE CAJA Y CAMBIO Se obtiene multiplicando el total de caja y bancos por 360 días de los años y dividiendo el producto entre las ventas anuales. Da una idea sobre la magnitud de la caja y bancos para cubrir días de venta.

312

𝒄𝒂𝒋𝒂 𝒚 𝒃𝒂𝒏𝒄𝒐𝒔 (𝟑𝟔𝟎) 𝒗𝒆𝒏𝒕𝒂𝒔 𝒏𝒆𝒕𝒂𝒔

Página

Rotación de bancos=

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Cuando la rotación de caja y bancos contiene como elemento al tiempo, nos indica el número de veces que rota en dicho lapso.

C.2. ROTACION DE CUENTAS POR COBRAR El propósito de este ratio es medir el plazo promedio de créditos que se concede a los clientes y evaluar las políticas de cobranza. Puede ser calculando expresando el número de veces que rotan las cuentas por cobrar o señalando los días promedios.

Rotación anual de veces=

𝒗𝒆𝒏𝒕𝒂𝒔 𝒏𝒆𝒕𝒂𝒔 𝒄𝒖𝒆𝒏𝒕𝒂𝒔 𝒑𝒐𝒓 𝒄𝒐𝒃𝒓𝒂𝒓

Rotación por periodo de cobros =

𝒄𝒖𝒆𝒏𝒕𝒂𝒔 𝒑𝒐𝒓 𝒄𝒐𝒃𝒓𝒂𝒓 (𝟑𝟔𝟎) 𝒗𝒆𝒏𝒕𝒂𝒔 𝒏𝒆𝒕𝒂𝒔

C.3. ROTACION DE INVENTARIOS: En este caso se trata de determinar el número de veces que rotan los inventarios en el año o el número de días que permanecen inmovilizados dichos inventarios. Puede ser expresado de 2 formas:

𝒄𝒐𝒔𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒗𝒆𝒏𝒕𝒂 𝒊𝒏𝒗𝒆𝒏𝒕𝒂𝒓𝒊𝒐 𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍

Página

313

Rotación anual =

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Inmovilización de inventarios=

𝒊𝒏𝒗𝒆𝒏𝒕𝒂𝒓𝒊𝒐 𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍(𝟑𝟔𝟎) 𝒄𝒐𝒔𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒗𝒆𝒏𝒕𝒂

C.4. ROTACION DE CUENTAS POR PAGAR: Con este ratio se trata de establecer el promedio de días en que las empresas demoran en pagar sus obligaciones provenientes de compras en forma similar a los dos ratios anteriores. Puede ser calculado por rotación anual o diaria promedio para pagar las deudas.

Rotación anual=

𝒄𝒐𝒎𝒑𝒓𝒂𝒔 𝒄𝒖𝒆𝒏𝒕𝒂𝒔 𝒑𝒐𝒓 𝒑𝒂𝒈𝒂𝒓

Rotación de pagos

𝒄𝒖𝒆𝒏𝒕𝒂𝒔 𝒑𝒐𝒓 𝒑𝒂𝒈𝒂𝒓(𝟑𝟔𝟎) 𝒄𝒐𝒎𝒑𝒓𝒂𝒔

C.5. ROTACION DEL ACTIVO FIJO: La rotación de ventas a activos mide la rotación de estos últimos.

𝒗𝒆𝒏𝒕𝒂𝒔 𝒏𝒆𝒕𝒂𝒔 𝒂𝒄𝒕𝒊𝒗𝒐 𝒇𝒊𝒋𝒐

Página

314

Rotación de activos fijos=

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Rotación de activos total=

𝒗𝒆𝒏𝒕𝒂𝒔 𝒏𝒆𝒕𝒂𝒔 𝒂𝒄𝒕𝒊𝒗𝒐 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍

Se debe tener en cuenta al costo de ventas, que nos refleja la proporción de las ventas que son absorbidas por su costo. Los efectos de los gastos totales en relación a las ventas se miden relacionando los gastos totales con las ventas netas y los gastos financieros y administrativos de la misma manera.

Costos de ventas=

𝒄𝒐𝒔𝒕𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒗𝒆𝒏𝒕𝒂𝒔 𝒗𝒆𝒏𝒕𝒂𝒔 𝒏𝒆𝒕𝒂𝒔

Gastos totales=

𝒈𝒂𝒔𝒕𝒐𝒔 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍𝒆𝒔 𝒗𝒆𝒏𝒕𝒂𝒔 𝒏𝒆𝒕𝒂𝒔

Gastos financieros y administrativos=

𝒗𝒆𝒏𝒕𝒂𝒔 𝒏𝒆𝒕𝒂𝒔

𝒈𝒂𝒔𝒕𝒐 𝒇𝒊𝒏𝒂𝒏𝒄𝒊𝒆𝒓𝒐 𝒈𝒂𝒔𝒕𝒐 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍𝒆𝒔

Página

315

Costo financiero=

𝐆𝐚𝐬𝐭𝐨𝐬 𝐟𝐢𝐧𝐚𝐧𝐜𝐢𝐞𝐫𝐨𝐬 𝐲 𝐚𝐝𝐦𝐢𝐧𝐢𝐬𝐭𝐫𝐚𝐭𝐢𝐯𝐨𝐬

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ANĂ LISIS DE RENTABILIDAD

D.1.

UTILIDAD â&#x20AC;&#x201C; CAPITAL:

La relaciĂłn de utilidades con el capital o patrimonio mide la rentabilidad de los fondos aportados por las acciones de 2 maneras:

Rentabilidad neta del capital=

Rentabilidad neta del patrimonio =

Rentabilidad bruta de capital=

Rentabilidad bruta del patrimonio=

D.2.

đ?&#x2019;&#x2013;đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;&#x2026; đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x201D; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2020; đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x2018;đ?&#x2019;&#x2013;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201D; đ?&#x2019;&#x2018;đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x201C;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;?

UTILIDAD DE ACCION:

Se utiliza para determinar las unidades netas por acciĂłn comĂşn

đ?&#x2019;&#x2013;đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;&#x2026; đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x201A; đ?&#x2019;?Ăşđ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x201C;đ?&#x2019;? đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2020; đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x201D; đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x2013;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x201D;

PĂĄgina

316

Rentabilidad por acciĂłn=

LIC. CALDERĂ&#x201C;N OTOYA, CARLOS

ESTADĂ?STICA BĂ SICA

D.3. UTILIDAD â&#x20AC;&#x201C; ACTIVO: SeĂąala la eficiencia en el uso de los activos de una empresa y se calcula dividiendo las utilidades antes de intereses e impuestos por el monto activo.

đ?&#x2019;&#x2013;đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;&#x2026; đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x201D; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2020; đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x201C;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x201D; đ?&#x2019;&#x2020; đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x2018;đ?&#x2019;&#x2013;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201D; đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x2014;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201D;

Rentabilidad del activo=

D.4.

UTILIDAD Y VENTAS:

Muestra la utilidad obtenida por la empresa por cada sol de ventas. Se obtiene dividiendo la utilidad antes de interĂŠs e impuestos por las ventas netas.

đ?&#x2019;&#x2013;đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;&#x2026; đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x201D; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2020; đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x201C;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x201D; đ?&#x2019;&#x2020; đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x2018;đ?&#x2019;&#x2013;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201D; đ?&#x2019;&#x2014;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;&#x201D; đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;&#x201D;

Rentabilidad de ventas netas=

đ?&#x2019;&#x2013;đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;&#x2026; đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;&#x201D; đ?&#x2019;&#x2014;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;&#x201D; đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;&#x201D;

đ?&#x2019;&#x2013;đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;&#x2026; đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x201D; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2020; đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x2018;đ?&#x2019;&#x2013;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;? đ?&#x2019;&#x2014;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;&#x201D; đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;&#x201D;

PĂĄgina

Rentabilidad de ventas brutas=

317

Rentabilidad de ventas=

LIC. CALDERĂ&#x201C;N OTOYA, CARLOS

ESTADĂ?STICA BĂ SICA

D.5.

MARGEN BRUTO:

Nos permite conocer la rentabilidad de las ventas netas frente al costo de ventas como medida para evaluar la capacidad de cubrir los gastos operativos y obtener una utilidad antes de intereses e impuestos.

Margen bruto=

D.6.

đ?&#x2019;&#x2014;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;&#x201D; đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;&#x201D;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201D; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2020; đ?&#x2019;&#x2014;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;&#x201D; đ?&#x2019;&#x2014;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;&#x201D; đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;&#x201D;

RENTABILIDAD DE LA INVERSIĂ&#x201C;N:

Relaciona los ratios de gestiĂłn y los mĂĄrgenes de utilidad mostrando la interrelaciĂłn de ellos en la rentabilidad del activo.

PĂĄgina

318

Rentabilidad de inversiĂłn

LIC. CALDERĂ&#x201C;N OTOYA, CARLOS

ESTADĂ?STICA BĂ SICA

LIMITACIONES DE LOS RATIOS

Los ratios proporcionan una serie de ventajas, así como desventajas los cuales nombraremos a continuación. Entre sus limitaciones están:  Dificultades para comparar varias empresas por las diferencias existentes en los métodos contables de valorización de inventarios, cuentas por cobrar y activos fijos.  Siempre están referidos al paso y no son sino nuevamente indicativas de lo que podrían suceder.  Son fáciles de manipular para presentar una mejor situación de la empresa.

Página

319

 Son estáticas y miden niveles de quiebra de una empresa.

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

ESTADÍSTICA BÁSICA

2010

2011

2012

2013

2014

135,082.00 886,357.00 995,899.00 2,017,338.00

177,255.00 974,025.00 2,281,032.00 3,432,312.00

780.00 2,351,674.00 3,686,397.00 6,038,851.00

2,459,522.00 5,307,016.00 7,243,041.00 15,009,579.00

1,560,000.00 7,529,860.00 8,353,540.00 17,443,400.00

1,984,529.00 94,520.00 4,096,387.00

3,301,324.00 182,091.00 6,915,727.00

7,410,949.00 58,955.00 13,508,755.00

19,643,637.00 1,043,341.00 35,696,557.00

25,122,695.00 35,503.00 42,601,598.00

644,398.00 452,897.00 1,097,295.00

852,774.00 1,100,060.00 1,952,834.00

2,113,488.00 2,311,920.00 4,425,408.00

3,898,947.00 7,048,405.00 10,947,352.00

6,283,251.00 5,713,669 11,996,920.00

Deuda a largo plazo

76,309.00

338,533.00

1,655,381.00

3,125,252.00

3,527,160.00

Beneficios sociales

364,306.00

449,553.00

862,693.00

1,664,533.00

1,690,000.00

Total largo plazo

440,615.00

788,086.00

2,518,074.00

4,789,785.00

5,217,160.00

2,007,246.00 550,381.00 850,000

3,395,366.00 774,579.00 4,862.00

5,152,667.00 1,405,794.00 6,812.00

7,820,748.00 11,855,532.00 283,140.00

7,902,596.00 17,165,512.00 319,410.00

320

2,558,477.00 4,096,387.00

4,174,807.00 6,915,727.00

6,565,273.00 13,508,755.00

19,959,420.00 35,696,557.00

25,387,518.00 42,601,598.00

Página

BALANCE GENERAL DE LA EMPRESA “CALDERÓN”

ACTIVOS Caja y bancos Cuentas por cobrar Inventarios Total circulante

Activo fijo neto Otros activos Total activos PASIVOS Cuentas por pagar Otros Total circulante

Capital en acc. (s/. 100 c/u)

Reservas Utilidades retenidas Total patrimonio

Total pasivo

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

ESTADÍSTICA BÁSICA

2011

2012

2013

2014

Ventas Inventario inicial Compras Inventario final

3.987.909.000 990.887.000 258.830.000 995.899.000

4.914.312.000 995.899.000 3.512.158.000 2.281.032.000

8.964.241.000 2.281.032.000 6.646.158.000 3.686.410.000

22.403.875.000 3.686.410.000 15.578.017.000 7.243.041.000

28.614.352.000 7.243.041.000 17.062.812.000 8.353.540.000

Costos de ventas

2.583.289.000

2.227.025.000

5.240.716.000

12.021.386.000

15.952.313.000

Utilidad bruta

1.404.620.000

2.687.287.000

3.723.525.000

10.382.489.000

12.662.039.000

328.598.000 58.977.000 210.964.000

392.470.000 70.304.000 257.153.000

770.302.000 113.893.000 567.552.000

1.629.589.000 215.735.000 1.581.567.000

1.695.460.000 332.150.000 1.867.476.000

−−−−−−−−−−−

526.552.000

975.871.000

1.044.082.000

Utilidad de operación

806.081.000

1.937.360.000

1.745.302.000

5.979.727.000

7.722.871.000

Otros gastos

29.055.000

349.700.000

93.405.000

723.229.000

874.913.000

Utilidad antes de gastos financieros

515.526.000

1.617.660.000

1.651.897.000

5.256.498.000

6.847.958.000

6.344.000

276.705.000

22.287.000

338.468.000

537.719.000

508.880.000

1.308.546.000

1.150.594.000

3.248.648.000

3.749.278.000

Gastos administrativos Gastos de ventas Depreciación Participaciones

Impuestos Utilidad neta

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

ESTADÍSTICA BÁSICA

Página

2010

321

ESTADO DE PÉRDIDAS Y GANANCIAS DE LA EMPRESA “CALDERÓN”

A. LIQUIDEZ

2010

2011

2012

2013

2014

1. Liquidez general

1.84

1.76

1.36

1.37

1.45

2. Prueba ácida

0.93

0.59

0.53

0.76

3. Prueba defensiva

0.12

0.09

0.13

4.Liquidez de caja

1.58

1.35

1.11

1.45

920,043

1,479,478

1,613,443

4,062,227

5,446,480

60.1%

65.6%

105.8%

78.8%

67.8%

2.98%

8.1%

25.2%

15.6%

13.9%

37.5%

39.6%

51.4%

44.1%

40.4%

3.8%

10.2%

22.3%

15.9%

14.0%

1,708.04

50.91

6.92

4.15

3.7

0.43

0.47

0.67

0.55

0.47

0.77

0.79

1.3

0.98

0.99

1.Rotación caja y banco

12.19

12.98

0.03

39.52

19.63

2. Rotaciónctas. por cobrar (anual)

4.50

5.04

3.81

4.22

3.80

3. Rotación de ctas. Por cobrar por periodo de cobro

80.01

71.35

94.44

85.28

94.73

4.Rotacion de inventario(anual)

2.59

0.97

1.42

1.66

1.91

138.78

368.73

253.23

216.90

188.52

0.40

4.12

3.14

3.99

2.71

896.28

87.41

114.48

90.10

132.57

8.Rotación del activo fijo

2.01

1.49

1.21

1.14

9. Rotación del activo total

0.97

0.71

0.66

0.63

0.67

5.Capital de trabajo

B. SOLVENCIA 1.Deuda total Patrimonio 2.Deuda a largo plazo Patrimonio 3.Deuda total Activo 4.Deuda a largo plazo Activo fijo neto 5.Utilidad anterior de gasto fin + gasto fin

Gastos financieros 6.Pasivo circulante Patrimonio 7.Activo fijo neto Patrimonio

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

ESTADÍSTICA BÁSICA

Página

5.Rotacion de inventarios (periodo inmovilización) 6. Rotación de ctas. por pagar (anual) 7. Rotación de ctas. por pagar (rotación de pagos)

322

C. GESTIÓN

10. Costo de ventas

0.65

0.45

0.58

0.54

0.67

11.Gastos totales

0.29

0.99

0.94

0.82

12.Gastos financieros y administrativos

0.08

0.09

0.12

0.15

0.03

0.08

0.07

25.3%

38.5%

22.3%

41.5%

47.4%

19.9%

31.3%

17.5%

16.3%

14.8%

25.7%

46.7%

26.6%

45.9%

54.2%

20.1%

37.9%

20.9%

17.9%

16.9%

25.35

38.54

22.33

41.54

47.44

12.9%

32.9%

18.4%

23.5%

23.9%

12.6%

23.4%

12.2%

14.7%

16.1%

12.9%

32.2%

15.3%

16.0%

14.9%

Ventas netas

12.8%

26.6%

12.8%

14.5%

13.1%

10. Margen bruto

35.2%

54.7%

41.5%

46.3%

44.2%

11. Rentabilidad inversión (Du Pont)

12.6%

22.9%

10.2%

10.0%

10.1%

13. Costo financiero

A. RENTABILIDAD 1.Utilidad neta

Capital 2.Utilidad neta

Patrimonio 3.Utilidad antes impuestos

Capital 4.Utilidad antes impuestos

Patrimonio 5.Utilidad neta

Número de acciones comunes 6.Utilidad ante intereses e impuestos

Ventas netas 7.Utilidad antes intereses e impuestos

Activo total 8.Utilidad antes impuestos

Ventas netas

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

ESTADÍSTICA BÁSICA

Página

323

9. Utilidad neta

LIQUIDEZ GENERAL

AÑOS

Y*T

2010

1.84

1.79

2011

1.76

1.673

2012

1.36

2.72

1.556

2013

1.37

4.11

1.439

2014

1.45

5.81

1.322

X = 10

Y=7.78

X.Y=14.4

X2 =30

Y*T = 4.78

Na + bΣx = Σy 7.78

5a + 10b =

aΣ x + bΣx2 = Σxy 14.39

10a + 30b =

Multiplicando por (-2): -10a - 20b = -15.36

324

10a + 30b = 14.39

Página

10b = -1.17 b = - 0.117 LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

ESTADÍSTICA BÁSICA

10a + 30(-0.1177) = 14.39 10a = 17.9 a = 1.79

Y = 1.79 – 0.117X

Proyecciones para 3 años más:

Y2015 = 1.79 - 0.117(5) = 1.79 – 0.585 = 1.205

Y2016 = 1.79 - 0.117(6) = 1.79 – 0.702 = 1.088

Y2017 = 1.79 – 0.117(7) =

Página

325

1.79 - 0.819 =0.971

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

ESTADÍSTICA BÁSICA

CUADRO RESUMEN

2010

2011

2012

2013

2014

2015

2016

2017

Datos Brutos

1.84

1.76

1.36

1.37

1.45

Datos Ajustados

1.79

1.673

1.556

1.439

1.322

1.205

1.088

0.971

Página

326

AÑOS

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

ESTADÍSTICA BÁSICA

1.85

1.8

1.75

1.7

1.65

DATOS BRUTOS

Y= 1.788240278 – 0.115548568X

1.6

DATOS AJUSTADOS 1.55

TENDENCIA 1.5

1.45

327

1.4

1.35 2011

2012

2013

2014

Página

2010

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

ESTADÍSTICA BÁSICA

COMENTARIO:

En términos de liquidez general, en la empresa en cuestión tenemos:

Según estos datos que señala la liquidez general en 5 años consecutivos podemos observar que en el 1er año el coeficiente de la empresa está en condiciones de pagar sus deudas a corto plazo (se encuentra en un nivel óptimo). Si continuamos con los demás años vemos que el coeficiente va bajando y en los 3 años tiene aproximadamente el mismo nivel de posibilidades para pagar sus deudas. El hecho que se encuentre girando en relación a 1.4: 1 nos muestra que puede aún pagar sus deudas pero no con la misma soltura que en los 2 primeros años.

Observando el grafico podemos ver que su liquidez que había bajado para el 3eraño va

Página

328

tomando posición en forma lenta 1.36, 1.37, 1.45.

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

ESTADÍSTICA BÁSICA

Liquidez de caja

años

Y*tendencia

2010

1.58

1.42

2011

1.35

1.458

2012

1.11

2.22

1.496

2013

1.99

5.97

1.534

2014

1.45

5.8

1.572

X= 10

Y=7.48

X2= 30

XY= 15.34

Y*= 7.48

Na + bΣx = Σy 7.48 aΣx + bΣx2 = Σxy 15.34

5a + 10b = 10a + 30b =

Multiplicando por (-2): -10a + 20b = -14.96

329

10a + 30b = 15.34

Página

+ 10b = 0.38 b = 0.038

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

ESTADÍSTICA BÁSICA

10a + 30(0.038) = 15.34 10a = 14.2 a = 1.42

Y = 1.42 +0.038 X

Proyecciones para los 3 años siguientes:

Y 2015 = 1.42 + 0.038(5) = 1.61 Y 2016 = 1.42 + 0.038(6) = 1.648

Página

330

Y 2017 = 1.42 + 0.038(7) = 1.686

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

ESTADÍSTICA BÁSICA

CUADRO DE RESUMEN:

2010

2011

2012

2013

2014

2015

2016

2017

Datos Brutos

1.58

1.35

1.11

1.99

1.45

Datos Ajustados

1.42

1.458

1.496

1.534

1.572

1.61

1.648

1.686

Página

331

AÑOS

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

ESTADÍSTICA BÁSICA

COMENTARIO: Como segundo comentario acerca de la empresa es importante tener una idea completa acerca de la capacidad de pago de la empresa, por lo que recurrimos a la liquidez de caja: Esta empresa en los 3 primeros años se encuentra con una capacidad de pago limitada, pero para el 4to año el dinero en caja más las cuentas por cobrar se incrementan llegando a un nivel óptimo del 99.1 que es casi lo ideal para que la

Página

332

empresa pueda cumplir con sus obligaciones de pago.

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

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2 1.9 1.8 1.7 1.6 1.5 1.4 1.3 Datos brutos

1.2

Datos ajustados

1 2010

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

2011

2012

2013

2014

ESTADÍSTICA BÁSICA

Página

333

1.1

ROTACION CUENTAS POR COBRAR (POR PERIODO)

AÑOS

Y*Tendencia

2010

80.01

76.488

2011

71.35

80.825

2012

94.44

188.88

85.162

2013

85.28

255.84

89.499

2014

94.73

378.92

93.836

X = 10

Y=425.81

X2 =30

XY=894.99

Y* = 425.81

Na + bΣx = Σy aΣ x + bΣx2 = Σxy

5a + 10b = 425.81 10a +

b = 894.99

Multiplicando por (-2): -10a - 20b = -851.62 10a + 30b = 894.99 10b = 43.37

Página

334

b = 4.337

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

ESTADÍSTICA BÁSICA

10a + 30(4.337) = 894.99 10a = 764.88 a = 76.488

Y = 76.488 + 4.337x

Proyecciones para 3 años más: Y2015 = 76.488 + 4.337(5) = 98.173 Y2016 = 76.488 + 4.337(6) = 102.51

Página

335

Y2017 = 76.488 + 4.337(7) = 106.847

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

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CUADRO DE RESUMEN:

2010

2011

2012

2013

2014

Datos brutos

80.01

71.35

94.44

85.28

94.73

Datos ajustados

76.488

80.825

85.162

89.499

93.836

2015

2016

2017

98.173

102.51

106.847

Página

336

AÑOS

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

ESTADÍSTICA BÁSICA

COMENTARIO

Los estados contables muchas veces no reflejan en su exactitud la realidad económica, por ejemplo las cuentas por cobrar muchas veces no resultan ser claramente parte del activo corriente como para medir con rigurosidad la liquidez de una empresa. Para lo cual contamos con el ratio de rotación de cuentas por cobrar el que mide el plazo promedio de créditos que se concede a los clientes y evalúa las políticas de cobranza.

Página

337

Mientras mayor sea la cantidad en las ventas netas el número de días promedio que permanecen las cuentas de ser cobradas va a ser menor.

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ESTADÍSTICA BÁSICA

Datos brutos Datos ajustados

338

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

2011

2012

2013

2014

Página

2010

ESTADÍSTICA BÁSICA

COSTO DE VENTAS

AÑOS

Y* tendencia

2010

0.65

0.574

2011

0.45

0.565

2012

0.58

1.16

0.556

2013

0.54

1.62

0.547

2014

0.56

2.24

0.538

X =10

Y = 2.78

X2 = 30

XY = 5.47

Y* = 2.78

Na + bΣx = Σy

5a + 10b = 2.78

aΣ x + bΣx2 = Σxy

10a + 30b = 5.47

Multiplicando por (-2): -10a - 20b = -5.56 10a + 30b = 5.47 10b = -0.09

Página

339

b = -0.009

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ESTADÍSTICA BÁSICA

10a + 30(-0.009) = 5.47 10a = 5.74 a = 0.574

Y = 0.574 - 0.009x

Proyecciones por 3 años: Y2015 = 0.574 – 0.009(5) = 0.529 Y2016 = 0.574 – 0.009(6) = 0.52

Página

340

Y2017 = 0.574 – 0.009(7) = 0.511

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ESTADÍSTICA BÁSICA

CUADRO DE RESUMEN:

2010

2011

2012

2013

2014

Datos Brutos

0.65

0.45

0.58

0.54

0.56

Datos ajustados

0.574

0.565

0.556

0.547

0.538

2015

2016

2017

0.529

0.52

0.511

Página

341

AÑOS

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ESTADÍSTICA BÁSICA

COMENTARIO

También debemos tener en cuenta al costo de venta que no refleja que proporción de las ventas netas son absorbidas por su costo. En la mayoría de casos el porcentaje de las ventas netas que son absorbidas por su costo para nuestra compañía. Es por encima del 50% y que rige alrededor de un promedio de 55.6% quedando como

Página

342

saldo de ventas 44.4% promedio de los 5 años.

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ESTADÍSTICA BÁSICA

0.7

0.65

0.6

Datos brutos

0.55

Datos ajustados

0.5

343

0.45

0.4

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

2011

2012

2013

2014

Página

2010

ESTADÍSTICA BÁSICA

UTILIDAD NETA: AÑO

Y* tendencia

2010

508880

309009

2011

1308546

1151098.8

2012

1150591

2301182

1993188.6

2013

3248648

9745944

2835278.4

2014

3749278

14997112

3677368.2

X = 10

Y = 9965943

X2 = 30

XY = 28352784

Y* = 9965943

Na + bΣx = Σy aΣ x + bΣx2 = Σxy

5a + 10b = 9965943 10a + 30b = 28352784

Multiplicando por (-2): -10a – 20b = -19931886 10a + 30b = 28352784 10b = 8420898

Página

344

b = 842089.8

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ESTADÍSTICA BÁSICA

10a + 30b = 28352784 10a + 30(842089.8) = 28352784 10a = 3090090 a = 309009

Y = 309009 + 842089.8x

Proyecciones por 3 años:

Y2015 = 309009 + 842089.8 (5) = 4519458 Y2016 = 309009 + 842089.8 (6) = 5361547.8

Página

345

Y2017 = 309009 + 842089.8 (7) = 6203637.6

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CUADRO DE RESUMEN

2010

2011

2012

2013

2014

2015

2016

2017

Datos brutos

508880

1308546

1150591

3248648

3749278

Datos ajustados

309009

1151098.8

1993188.6

2835278.4

3677368. 2

4519458

5361547. 8

6203637.6

Página

346

AÑOS

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ESTADÍSTICA BÁSICA

COMENTARIO:

También es importante la utilidad neta ya que esta nos muestra la utilidad obtenida por la empresa por cada sol de ventas. La utilidad neta más alta se obtuvo en 2010 con un % de 13.1 %, todos

Página

347

los años podemos ver que la empresa va aumentando sus utilidades.

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ESTADÍSTICA BÁSICA

4000000

3500000

3000000

2500000

Datos brutos

2000000

Datos ajustados 1500000

1000000

348

500000

0 2011

2012

2013

2014

Página

2010

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ESTADÍSTICA BÁSICA

FÓRMULAS: 1. Liquidez general

2. Prueba Acida

4. Liquidez de Caja

𝐶𝑎𝑗𝑎 𝑦 𝐵𝑎𝑛𝑐𝑜𝑠 𝑃𝑎𝑠𝑖𝑣𝑜 𝐶𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒

𝐶𝑎𝑗𝑎 𝑦 𝐵𝑎𝑛𝑐𝑜𝑠+𝐶𝑢𝑒𝑛𝑡𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝐶𝑜𝑏𝑟𝑎𝑟 𝐶𝑢𝑒𝑛𝑡𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑃𝑎𝑔𝑎𝑟 𝑦 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝐺𝑖𝑟𝑜𝑠

5. Rotación Caja-Bancos

6. Rotación de Ventas

7. Rotación de Cobros

8. Rotación de Inventario

𝐴𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜 𝐶𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒−𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑃𝑎𝑠𝑖𝑣𝑜 𝐶𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒

3. Prueba Defensiva

𝐶𝑎𝑗𝑎 𝑦 𝐵𝑎𝑛𝑐𝑜𝑠×270 𝑉𝑒𝑛𝑡𝑎𝑠 𝑁𝑒𝑡𝑎𝑠

𝑉𝑒𝑛𝑡𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑁𝑜𝑡𝑎𝑠 𝐶𝑢𝑒𝑛𝑡𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝐶𝑜𝑏𝑟𝑎𝑟

𝐶𝑢𝑒𝑛𝑡𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝐶𝑜𝑏𝑟𝑎𝑟 ×270 𝑉𝑒𝑛𝑡𝑎𝑠 𝑁𝑒𝑡𝑎𝑠

𝐴𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜 𝐶𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑃𝑎𝑠𝑖𝑣𝑜 𝐶𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒

𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑉𝑒𝑛𝑡𝑎𝑠 𝐼𝑛𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜 (𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜)

𝐼𝑛𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜 (𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜)×270 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑉𝑒𝑛𝑡𝑎𝑠

10. Rotación de Activo Fijo

𝑉𝑒𝑛𝑡𝑎𝑠 𝑁𝑒𝑡𝑎𝑠 𝐴𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜 𝐹𝑖𝑗𝑜 𝑀𝑒𝑡𝑜

Página

349

9. Inmovilización de Inventario

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ESTADÍSTICA BÁSICA

11. Rotación del Activo Total

12. Costos de Ventas

13. Gastos Operativos=

𝑉𝑒𝑛𝑡𝑎𝑠 𝑁𝑒𝑡𝑎𝑠 𝐴𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙

𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑉𝑒𝑛𝑡𝑎𝑠 𝑉𝑒𝑛𝑡𝑎𝑠 𝑁𝑒𝑡𝑎𝑠

𝐺𝑎𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑉𝑒𝑛𝑡𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑁𝑜𝑡𝑎𝑠

14. Gastos financieros y administ.

𝐺𝑎𝑠𝑡𝑜𝑠 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑒𝑟𝑜𝑠+𝐺𝑎𝑠𝑡𝑜𝑠 𝐴𝑑𝑚𝑖𝑛𝑖𝑠𝑡𝑟𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 𝑉𝑒𝑛𝑡𝑎𝑠 𝑁𝑒𝑡𝑎𝑠

17. Endeudamiento Patrimonial

18. Endeudamiento Patrim. A largo Plazo

19. Endeudamiento del Activo

20. Endeudamiento del Activo Fijo

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𝐺𝑎𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠

𝐺𝑎𝑠𝑡𝑜𝑠 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑉𝑒𝑛𝑡𝑎𝑠

𝑃𝑎𝑠𝑖𝑣𝑜 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑃𝑎𝑡𝑟𝑖𝑚𝑜𝑛𝑖𝑜

𝑃𝑎𝑠𝑖𝑣𝑜 𝑎 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 𝑃𝑙𝑎𝑧𝑜 𝑃𝑎𝑡𝑟𝑖𝑚𝑜𝑛𝑖𝑜

𝐷𝑒𝑢𝑑𝑎 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝐴𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙

𝑃𝑎𝑠𝑖𝑣𝑜 𝑎 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 𝑃𝑙𝑎𝑧𝑜 𝐴𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜 𝐹𝑖𝑗𝑜 𝑁𝑒𝑡𝑜

ESTADÍSTICA BÁSICA

350

16. Costos Financieros sobre Ventas

𝐺𝑎𝑠𝑡𝑜𝑠 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑒𝑟𝑜𝑠

Página

15. Costos Financieros sobre Gastos Totales=

21. Endeudamiento Patrim. Corriente

22.

Respaldo de Endeudamiento

𝑃𝑎𝑠𝑖𝑣𝑜 𝐶𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑃𝑎𝑡𝑟𝑖𝑚𝑜𝑛𝑖𝑜

Activo Fijo Patrimonio

RENTABILIDAD: 23. Rentabilidad Nota del Capital

24. Rentabilidad Nota del Patrimonio

𝑈𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑁𝑜𝑡𝑎 𝐶𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙

𝑈𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑁𝑒𝑡𝑎 𝑃𝑎𝑡𝑟𝑖𝑚𝑜𝑛𝑖𝑜

25. Rentabilidad Bruta del Capital

𝑈𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑒𝑠 𝑒 𝐼𝑚𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜𝑠 𝐶𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙

26. Rentabilidad

Bruta

del

Patrimonio

𝑈𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑒𝑠 𝑒 𝐼𝑚𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑃𝑎𝑡𝑟𝑖𝑚𝑜𝑛𝑖𝑜

𝑈𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑁𝑒𝑡𝑎 𝑁𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝐴𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝐶𝑜𝑚𝑢𝑛𝑒𝑠

Página

351

27. Rentabilidad por Acción

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BALANCE GENERAL DE LA EMPRESA “CHARLES HENRY S.A.” 2012

135.082,000 886.357,000 995.899,000

177.255,000 974.025,000 2.281.032,000

780,000 2.351.674,000 3.686.397,000

2.459.522,000 5.307.016,000 7.243.041,000

1.560.000,000 7.529.860,000 8.353.540,000

TOTAL CIRCULANTE

2.017.338,000

3.432.312,000

603.851,000

15.009.579,000

17.443.400,000

ACTIVO FIJO NETO OTROS ACTIVOS

1.984.529,000 94.520,000

3.301.324,000 182.091,000

7.410.949,000 58.955,000

19.643.637,000 1.043.341,000

25.122.695,000 35.503,000

TOTAL ACTIVOS

94.096.387,000

6.915.727,000

13.508.755,000

35.696.557,000

42.601.598,000

PASIVO CTAS POR PAGAR OTROS

644.398,000 452.897,000

852.774,000 1.100.060,000

2.113.488,000 2.311.920,000

3.898.947,000 7.048.405,000

6.283.251,000 5.713.669,000

TOTAL CIRCULANTE

1.097.295,000

1.952.834,000

4.425.408,000

10.947.352,000

11.996.920,000

DEUDA LARGO PLAZO BENEFICIOS SOCIALES

76.309,000 364.306,000

338.533,000 449.553,000

1.655.381,000 862.693,000

3.125.252,000 1.664.533,000

3.527.160,000 1.690.000,000

TOTAL LARGO PLAZO

440.615,000

788.086,000

2.518.074,000

4.789.785,000

5.217.160,000

CAP. EN ACC. (S/. 100C/U) RESERVAS UTILIDADES RETENIDAS

2.007.246,000 550.381,000 850,000

3.395.366,000 774.579,000 4.862,000

5.152.667,000 1.405.794,000 6.812,000

7.820.748,000 11.855.532,000 283.140,000

7.902.596,000 17.165.512,000 319.140,000

TOTAL PATRIMONIO TOTAL PASIVO

2.558.477,000 4.096.387,000

4.174.807,000 6.915.727,000

6.565.273,000 13.508.755,000

19.959.420,000 35.696.557,000

25.387.518,000 42.601.598,000

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

2013

2014

ESTADÍSTICA BÁSICA

352

2011

Página

2010 ACTIVOS CAJA Y BANCOS CUENTAS POR COBRAR INVENTARIOS

2011

2012

2013

2014

VENTAS INVENTARIO INICIAL COMPRAS INVENTARIO FINAL

3.987.909.000 990.887.000 258.830.000 995.899.000

4.914.312.000 995.899.000 3.512.158.000 2.281.032.000

8.964.241.000 2.281.032.000 6.646.158.000 3.686.410.000

22.403.875.000 3.686.410.000 15.578.017.000 7.243.041.000

28.614.352.000 7.243.041.000 17.062.812.000 8.353.540.000

COSTOS DE VENTAS

2.583.289.000

2.227.025.000

5.240.716.000

12.021.386.000

15.952.313.000

UTILIDAD BRUTA

1.404.620.000

2.687.287.000

3.723.525.000

10.382.489.000

12.662.039.000

GASTOS ADMINISTRATIVOS GASTOS DE VENTAS DEPRECIACION

328.598.000 58.977.000 210.964.000

392.470.000 70.304.000 257.153.000

770.302.000 113.893.000 567.552.000

1.629.589.000 215.735.000 1.581.567.000

1.695.460.000 332.150.000 1.867.476.000

PARTICIPACIONES

−−−−−−−−−−−

526.552.000

975.871.000

1.044.082.000

UTILIDAD DE OPERACIÓN

806.081.000

1.937.360.000

1.745.302.000

5.979.727.000

7.722.871.000

OTROS GASTOS

29.055.000

349.700.000

93.405.000

723.229.000

874.913.000

UTIL. ANTES DE GAST. FINANC.

515.526.000

1.617.660.000

1.651.897.000

5.256.498.000

6.847.958.000

IMPUESTOS

6.344.000

276.705.000

22.287.000

338.468.000

537.719.000

UTILIDAD NETA

508.880.000

1.308.546.000

1.150.594.000

3.248.648.000

3.749.278.000

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ESTADÍSTICA BÁSICA

Página

2010

353

“CHARLES HENRY S.A.” ESTADO DE PERDIDAS Y GANANCIAS

EJERCICIOS Liquidez general I.L.G. =

ACTIVO CIRCULANTE PASIVO CIRCULANTE

2017388

= 1097295 = 1,838464588 3432312

= 1952834 = 1,757605613 6038851

= 4425408 = 1,364586271 15009579

= 10947352 =1,371069969 =

17443400 11996920

= 1,453989857

AÑOS

I.L.G.

X 2010 0 2011 1 2012 2 2013 3 2014 4 TOTAL ∑X = 10

Y 1,838464588 0 1,757605613 1 1,364586271 4 1,371069369 9 1,453989857 16 ∑Y = ∑X2 7,785715698 = 30

Y*T

0 1,757605613 2,729172542 4,113208107 5,815959428 ∑XY = 14,41594569

3,379952041 3,089177491 1,862095691 1,879831215 2,114086504 ∑Y2 = 12,32514294

1,788240282 1,672691711 1,55714314 1,441594569 1,326045998 ∑Y*T = 7,7857157

Na + b∑X = ∑Y a∑X + b∑X = ∑XY (-2) 5a + 10b = 7,785715698 10a + 30b = 14,41594569 -10a – 20b = -15,5714314

354

10a + 30b = 14,41594569 10b = -1,15548571

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

Página

b = -0,115548571

ESTADÍSTICA BÁSICA

5a + 10(-0,115548571) = 7, 785715698 5a –

1,15548571

= 7, 785715698 5a = 8,941201408 a = 1,788240282

Tendencia Y = a + bx

Página

355

Y = 1,788240282 - 0,115548571x

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ESTADÍSTICA BÁSICA

BALANCES COMPARATIVOS COSERELEC S.A.

ACTIVO

INVENTARIO MATERIALES DE AMPL. Y CONSERV. MATERIALES EN TRANSITO GASTOS PAGADOS POR ADELANTADO Y OTRO ACTIVOS CORRIENTES TOTAL ACTIVO CORRIENTE CUENTAS POR COBRAR A LARGO PLAZO INVERSIONES EN VALORES ACTIVO FIJO, NETO DE DEP. ACUM. CARGOS DIFERIDOS Y OTROS ACTIVOS ACTIVO TOTAL

2013

2014

2015

1716912

6013674

5923028

7703295

39632526

7182112

14002624

114005

119920

188632

753764

1526781

27539787

59041249

122550591

598812

2212867

4347821

7755755

16722882

332835

553196

977225

1425706

1408530

653605

1784560

13438722

32887162

79189550

3760084

7309856

12406761

30268357

61406294

883826

2242810

5131179

3945174

920541

121607

218690

735731

1815868

10580150

16003557

35865058

70614259 144962486

332599696

1264034

1137631

1521470

11698231

1344526

16070

18602

36963

135199

271426

93074737 231160142 301542776 580968809 2344409027 5967

11204

67067

962415

8539717

110364365 268192637 373782535 738727140 2687164392

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

ESTADÍSTICA BÁSICA

356

VARIOS

2012

Página

ACTIVO CORRIENTE CAJA Y BANCOS VALORES NEGOCIABLES CUENTAS POR COBRAR COMERCIALES OTRAS CTAS. POR COBRAR ADELANTOS Y PREST. AL PERS. FONDO DE DOMINIO PUBLICO

2011

PASIVO Y PATRIMONIO

2011

2012

2013

2014

2015

267016

2170842

11682961

46004488

107787109

PROVEEDORES DE ENERGIA

1429850

3907716

10113370

OTROS PROVEEDORES

1242990

1899977

5133819

21833063

6048914

PORCION CORRIENTE DE DEUDA

3682088

5494904

15617899

63233220

177631152

IMPUESTOS Y CONTRIBUCIONES INTERESES Y COMISIONES POR PAGO COMPENSACION TARIF. POR PAGAR

294583

1974822

3434695

5323591

18037503

1262966

2443611

3896099

8439782

25690500

903700

1600200

6231300

38634204

47320679

815510

2758672

5935757

8975171

19255959

9898703

22250744

62045900

192443519

401771816

35069082

46962277

92155263

176988524

484830441

4264861

6468850

13224147

28626538

79614759

2793470

5054491

6689383

5943121

13941674

CAPITAL SOCIAL

27475953

106893758

196623671

368377103

452103754

EXCEDENTES DE REVALUACION

30818212

78968938

138

164

1372078326

21781

28092

42403

222919

273000

3852

22303

2974275

34021702

UTILIDAD (PÉRDIDA)

18451

1543184

3001630

36849023

88477680

TOTAL PATRIMONIO

58338249

187456275

199667842

334725438

1701955698

110364365

268192637

373782535

738727140

2687164388

PASIVO CORRIENTE PRÉSTAMOS Y SOBREG. BANCARIOS

OTRAS CUENTAS POR PAGAR

TOTAL PASIVO CORRIENTE DEUDAS A LARGO PLAZO CAJA Y PROV. DE BENEFICIOS SOCIAL FONDOS DE DOMINIO PUBLICO

PATRIMONIO

RESERVAS

TOTAL PASIVO Y PATRIMONIO

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

ESTADÍSTICA BÁSICA

Página

357

UTILIDADES NO DISTRIBUIDAS

LIQUIDEZ

INDICE DE LIQUIDEZ = ACTIVO CIRCULANTE GENERAL PASIVO CIRCULANTE

AÑO 2011: 16003357 = 1.616712 9898703 AÑO 2012: 35865058 = 1.611858 22250744 AÑO2013: 70614259 = 1.138097 62045900 AÑO 2014: 144962486 = 0.753272 192443519 AÑO 2015: 332599696 = 0.827832 401771816

CALCULO DE LA TENDENCIA POR EL METODO DE LOS MINIMOS CUADRADOS

X 0 1 2 3 4 ∑X=10

Y 1.616712 1.611858 1.138097 0.753272 0.827832 ∑Y=5.947771

X2 0 1 4 9 16 ∑X2=30

XY Y*T 0 1.676822 1.611858 1.433188 2.276194 1.189554 2.259816 0.945920 3.311328 0.702286 ∑XY=9.459196 ∑Y*=5.947770

Página

358

AÑO 2011 2012 2013 2014 2015

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

ESTADÍSTICA BÁSICA

Na + b∑x =∑y a∑x + b∑x2 =∑xy 5a + 10b = 5.947771 10a + 30b = 9.459196 -10a – 20b = -11.895542 10a + 30b = 9.459196 10b = -2.436336 b = -0.243634

5a + 10b =5.947771 5a + 10(-0.243634) = 5.947771 5a – 2.436340 = 5.947771 a = 1.6766822

Tendencia Y = a + bx Y = 1.676822 – 0.243634x Proyecciones: Y2016 = 1.676822 – 0.243634 (5) =0.458652 Y2017 = 1.676822 – 0.243634 (6) =0.215018

Página

359

Y2018 = 1.676822 – 0.243634 (7) =-0.028616

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

ESTADÍSTICA BÁSICA

1.7

1.6

1.5

1.4

1.3

Datos brutos

1.2

Datos ajustados 1.1

360

0.9

Página

0.8

0.7 2011

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

2012

2013

2014

2015

ESTADÍSTICA BÁSICA

CUADRO DE RESUMEN:

Datos brutos

2011

2012

2013

2014

2015

2016

2017

2018

1.616712 1.611858 1.138097 0.753272 0.827832

-0.028616

Página

Datos 1.676822 1.433188 1.189554 0.945920 0.702286 0.458652 0.215018 ajustados

361

AÑOS

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

ESTADÍSTICA BÁSICA

SOLVENCIA INDICE DE SOLVENCIA = PASIVO TOTAL ACTIVO TOTAL

AÑO 2011: 52026116 = 47.1403% 110364365 AÑO 2012: 80736362 = 30.1038% 268192637 AÑO 2013: 174114693 = 46.5818% 373782535 AÑO 2014: 404001702 = 54.6888% 738727140 AÑO 2015: 985208690 = 36.6635% 2687164388

CALCULO DE LA TENDENCIA POR EL METODO

X -2 -1 0 1 2 ∑X = 0

Y 0.471403 0.301038 0.465818 0.546888 0.366635 ∑Y= 2.151782

X2 4 1 0 1 4 2 ∑X = 10

XY -0.942806 -0.3010338 0 0.546888 0.733270 ∑XY= 0.36314

Y*T 0.423094 0426725 0.430356 0.433987 0.437618 ∑Y*= 2.151780

Página

AÑO 2011 2012 2013 2014 2015

362

SIMPLIFICADO DE LOS MINIMOS CUADRADOS

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

ESTADÍSTICA BÁSICA

Na + bโ x =โ y aโ x + bโ x2 =โ xy Si โ X = 0: 1) a = 2) b =

a= b=

2.151782 5 0.036314 10

โ Y ๐ โ XY โ X2

= 0.430356 = 0.003631 Y = a + bx Y = 0.430356 + 0.003631x

PROYECCIONES: Y2016 = 0.430356 + 0.003631 (3) = 0.441249 Y2017 = 0.430356 + 0.003631 (4) =0.444880

Pรกgina

363

Y2018 = 0.430356 + 0.003631 (5) =0.448511

LIC. CALDERร N OTOYA, CARLOS

ESTADร STICA Bร SICA

0.55

0.5

0.45

Datos brutos Datos ajustados

364

0.4

Página

0.35

0.3 2011

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

2012

2013

2014

2015

ESTADÍSTICA BÁSICA

CUADRO DE RESUMEN:

2011

2012

2013

2014

2015

2016

2017

2018

Datos brutos

0.471403

0.301038

0.465818

0.546888

0.366635

Datos ajustados

0.423094

0.426725

0.430356

0.433987

0.437618

0.441249

0.444880

0.448511

Página

365

AÑOS

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

ESTADÍSTICA BÁSICA

IMPORTANCIA DEL CAPITAL CIRCULANTE

IMPORTANCIA DEL = ACTIVO CIRCULANTE CAPITAL CIRCULANTE ACTIVO TOTAL

AÑO 2011: 16003557 = 0.145006 110364365 AÑO 2012: 35865058 = 0.133728 268192637 AÑO 2013: 70614259 = 0.188918 373782535 AÑO 2014: 144962486 = 0.196232 738727140

Y*T

2011

0.145006

0.153523

2012

0.133728

0.155526

2013

0.188918

0.377836

0.157529

2014

0.196232

0.588696

0.159532

2015

0.123773

0.495092

0.161535

∑X = 10

∑Y= 0.787657

∑X2= 30

∑XY= 1.595352

∑Y*= 0.787645

Página

AÑO

366

AÑO 2015: 332599696 = 0.123773 2687164388

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

ESTADÍSTICA BÁSICA

Na + b∑x =∑y a∑x + b∑x2 =∑xy (-2) 5a + 10b = 0.787657 ax + 30b = 1.595352 -10a – 20b = -1.575314 10a + 30b = 1.595352 10b = 0.020038 b = 0.002003 5a + 10b = 0.787657 5a +10(0.0020038) = 0.787657 5a + 0.020038 = 0.787657 a = 0.153523 Y = a + bx Y = 0.153523 + 0.002003x PROYECCIONES:

Página

367

Y2016 = 0.153523 + 0.002003 (5) = 0.163538 Y2017 = 0.153523 + 0.002003 (6) = 0.165541 Y2018 = 0.153523 + 0.002003 (7) = 0.167543

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

ESTADÍSTICA BÁSICA

0.2

0.19

0.18

0.17

Datos brutos

0.16

Datos ajustados 0.15

368

0.14

Página

0.13

0.12 2011

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

2012

2013

2014

2015

ESTADÍSTICA BÁSICA

CUADRO DE RESUMEN:

2011

2012

2013

2014

2015

2016

2017

2018

Datos brutos

0.145006

0.133728

0.188918

0.196232

0.123773

Datos ajustados

0.153523

0.155526

0.157529

0.159532

0.161535

0.163538

0.165541

0.167543

Página

369

AÑOS

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

ESTADÍSTICA BÁSICA

COBERTURA

INDICE DE = DEUDA TOTAL COBERTURA PATRIMONIO

AÑO 2011: 52026116 = 89.1801% 58338249 AÑO 2012: 80736362 = 43.0694% 187456275 AÑO 2013: 174114693 = 87.2021% 199667842 AÑO 2014: 404001702 = 120.6964% 334725438

Página

370

AÑO 2015: 985208690 = 57.8868% 1701955698

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

ESTADÍSTICA BÁSICA

โ Y

(1)

๐

a = 3.980348 5 a = 0.796069 b=

โ XY โ X2

(2)

b = 0.150404 10 b = 0.015040 Y = a + bx Y = 0.796069 + 0.015040x PROYECCIONES: Y2016 = 0.796069 + 0.015040 (3) = 0.841189 Y2017 = 0.796069 + 0.015040 (4) = 0.856229

Pรกgina

371

Y2018 = 0.796069 + 0.015040 (5) = 0.871269

LIC. CALDERร N OTOYA, CARLOS

ESTADร STICA Bร SICA

Y*T

2011

-2

0.891801

-1.783602

0.765989

2012

-1

0.430694

-0.430694

0.781029

2013

0.872021

0.796069

2014

1.206964

0.811109

2015

0.578868

1.157736

0.826149

∑X = 0

∑Y= 3.980348

∑ X2= 10

∑XY= 150404

∑Y* = 3.980345

Página

372

AÑOS

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

ESTADÍSTICA BÁSICA

1.2

Datos brutos

0.8

Datos ajustados

Página

373

0.6

0.4 2011

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

2012

2013

2014

2015

ESTADÍSTICA BÁSICA

2011

2012

2013

2014

2015

2016

2017

2018

Datos brutos

0.891801

0.430694

0.872021

1.206964

0.578868

Datos ajustados

0.765989

0.781029

0.796069

0.811109

0.826149

0.841189

0.856229

0.871269

Página

AÑOS

374

CUADRO DE RESUMEN

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

ESTADÍSTICA BÁSICA

CÁLCULO DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN

LIQUIDEZ X

SOLVENCIA Y

2011

1.616712

0.471403

2.613757

0.222220

0.762122

2012

1.611858

0.301038

2.598086

0.090623

0.485230

2013

1.138097

0.465818

1.295264

0.216986

0.530146

2014

0.753272

0.546888

0.567418

0.299086

0.411955

2015

0.827832

0.366635

0.685305

0.134421

0.303512

∑X = 5.947771

∑Y = 2.151782

∑ X2 = 7.759830

∑ Y2 = 0.963336

∑XY = 2.492965

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

ESTADÍSTICA BÁSICA

Página

AÑOS

375

ENTRE LA LIQUIDEZ Y LA SOLVENCIA

CALCULO DE LA TENDENCIA DE X f (Y) aN + b∑Y = ∑X a∑Y +b∑Y2 = ∑XY 5a + b (2.151782) = 5.947771 a (2.151782) + b (0.963336) = 2.492965

(-2.151782) (5)

-10.758910 a – 4.630165 b = -12.798306 10.758910 a + 4.816680 b = 12.464825 0.186515 b = -0.333481 b = -1.787958 5a + 2.151782 b

= 5.947771

5a + 2.151782 (-1.787958) = 5.947771

376

5a – 3.847295 = 5.947771

Página

a =1.959013

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

ESTADÍSTICA BÁSICA

Tendencia

x f (y):

x = 1.959013 - 1.787958y

2011: 1.959013 - 1.787958 (0.116165) = 1.116165

2012: 1.959013 - 1.787958 (0.301038) = 1.420770

2013: 1.959013 - 1.787958 (0.465818) = 1.126150

2014: 1.959013 - 1.787958 (0.546888) = 0.981201

377

2015: 1.959013 - 1.787958 (0.366635) = 1.303486

LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

Página

∑x* = 5.947772

ESTADÍSTICA BÁSICA

Cร LCULO DEL COEFICIENTE DE CORRELACIร N

โ = =

๐ โ ๐ ๐ โ (โ ๐ )(โ ๐ ) [๐ โ ๐ 2 โ (โ ๐ )2 ] [๐ โ ๐ 2 โ (โ ๐ )2 ]

5(2.492965)โ (5.947771)(2.151782) [5(7.759830)โ 35.375979] [5(0.963336)โ 4.630165]

12.464825โ 12.798306 [3.423171] [0.186515]

โ 0.333481

โ 0.638472 โ 0.333481 0.799044

378

LIC. CALDERร N OTOYA, CARLOS

Pรกgina

โ = -0.41739

ESTADร STICA Bร SICA

(0.981201, 0.546888) 0.5 5

0.5 0

Y = 0.546222 – 0.097403 (x)

(0.753272, 0.472852)

0.4 5

0.4 0 = -0.41739 0.3 5

(1.616712. 0.388750)

(1.420770, 0.301038)

Página

379

0.3 0

COCNLUCIONES Y RECOMENDACIONES 0.8 0.7 5 5 LIC. CALDERÓN OTOYA, CARLOS

0.9 5

1.0 5

1.1 5

1.2 5

1.3 5

1.4 5

1.5 5

1.6 5 ESTADÍSTICA BÁSICA

La realización de este trabajo ha sido efectuada, dividiéndolo metódicamente en dos partes. En cuanto al aspecto teórico recalcamos la importancia de su conocimiento, pues nos permite conocer el verdadero sentido y objetivo del estudio del curso que actualmente llevamos. Los fines que se persigue, es el correcto análisis e interpretación de los estados financieros de una empresa a través de los ratios o índices financieros, razón del curso, el cual podemos representarlo gráficamente y obtener un mejor panorama de lo que se desea en forma particular o general. En la parte práctica hemos obtenido balances comparativos de la empresa COSERELEC S.A. cuyo giro del negocio es la producción, transformación, transmisión y comercialización de la energía eléctrica. Aplicando los ratios clasificados se han obtenido las siguientes conclusiones. 1. Observamos que la liquidez de la compañía tiende a decrecer en forma considerable, ya que la diferencia entre el pasivo circulante y el activo circulante se ve disminuida a través de los años a favor del primero.

Página

mantiene en 2012; en 2013 y 2015 baja considerablemente, viéndose una ligera mejoría con respecto a los dos años anteriores en 2015 (0.75 a 0.82).

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Vemos que en el año 2011 la liquidez, si bien, no es óptima se nota su acercamiento a su mejor posición (1.616) esta se

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2. Tomando aisladamente a los activos de la empresa; el activo circulante en relación con el activo total se muestra en forma irregular tomando descensos parejos (2011 y 2012) y un promedio ascendiente en 2013 y 2014. La brusquedad con que varían los índices están entre el periodo 2012 – 2013 (forma ascendente), y 2014 – 2015 (forma descendente). En líneas generales la tendencia se mantiene en forma, pero muy ligera, ascendente. Podríamos agregar que el promedio del activo circulante en relación con el activo total, es baja durante estos 5 años, entre 12.37% y 19.62%. 3. La solvencia, en líneas generales, es buena ya que el índice se mantiene entre el 45% y 55%. Solo en los años 2012 y 2015 baja en forma considerable (30.10% y 36.66% respectivamente). La inclinación de la tendencia es como la anterior manteniéndose casi horizontal durante los 5 años trascurridos. 4. La cobertura en relación al patrimonio, nos muestra la capacidad que tiene este para cubrir los pasivos de la compañía. En nuestro caso en todo momento el pasivo totales cubierto por el patrimonio, a excepción de 2014 en que el pasivo supero

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en un 20.69%. En 2011 y 2013 su acercamiento es casi al 100%; mientras que en 2012 y 2015 casi duplica los importes del

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pasivo.

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5. La relación existente entre la liquidez y la solvencia es de -0.41 lo que muestra que hay un ligero alejamiento entre estos índices fluctuando entre 0 y -1. 6. En líneas generales, con la aplicación de estos cuatro índices observamos que el estado de esta empresa es buena ya que sus tendencias se muestran favorables, siguiendo un camino ascendente, sin mucha inclinación pudiendo indicar una tendencia promedio. La excepción del caso es la liquidez que tiene una tendencia descendente, notando una ligera mejoría en el último ejercicio. Se recomienda disminuir los pasivos a corto plazo durante algunos periodos. La tendencia

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descendiente de la liquidez puede ser la causa de que no guarde relación con la solvencia.

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COEFICIENTES O RATIOS Hay coeficientes financieros y coeficientes económicos. COEFICIENTES FINANCIEROS Son los que se elaboran con las cifras del balance general y se relacionan a dos áreas bien definidas: a) Análisis de la capacidad de pagos corrientes de la empresa. b) Estructura de financiamiento de la misma. ANALISIS DE LA CAPACIDAD DE PAGOS Para obtener información sobre la capacidad de pagos de la empresa, se recurre al estudio de la LIQUIDEZ lo cual nos lleva a establecer las siguientes razones; entre otras: 1. RAZON DE CIRCULANTE O LIQUIDEZ TOTAL 2. RAZON DE PAGOS INMEDIATOS O PRUEBA ACIDA 3. COEFICIENTE DE TESORERIA

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4. ROTACION DE LAS CUENTAS POR COBRAR 5. PERIODO PROMEDIO DE COBRO

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6. ROTACION DE INVENTARIOS

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Forma de encontrar cada uno de estos coeficientes: RAZON DE CIRCULANTE

đ??´đ??śđ?&#x2018;&#x2021;đ??źđ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;&#x201A; đ??śđ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ??źđ??¸đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2021;đ??¸â&#x2C6;&#x2019;đ??¸đ?&#x2018;&#x2039;đ??źđ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2021;đ??¸đ?&#x2018; đ??śđ??źđ??´đ?&#x2018;&#x2020; đ?&#x2018;&#x192;đ??´đ?&#x2018;&#x2020;đ??źđ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;&#x201A; đ??śđ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ??źđ??¸đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2021;đ??¸

1Â° Caso

2Â° Caso

3Â° Caso

1.5: 1

1: 1

0.5: 1

Siempre se presentan 3 casos. El primero, que el coeficiente sea mayor que la unidad; el segundo que sea igual a la unidad; y el tercero que sea menor que la

que la unidad existirĂĄ menor capacidad de pagos mayor la imposibilidad de cubrir las obligaciones contraĂdas a corto plazo.

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PĂĄgina

En la medida que el coeficiente sea mayor que la unidad existirĂĄ mayor liquidez en la empresa y en la medida que fuese menor

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unidad.

Una holgura financiera por encima de las necesidades de pago corrientes, significarĂa que no se estĂĄ aplicando correctamente las fuentes de financiamiento y en consecuencia se estĂĄ restando utilidades a la empresa, es decir, se estĂĄ atentando contra el segundo principio de las finanzas que es el de procurar a la empresa la obtenciĂłn de las mayores utilidades posibles.

COEFICIENTES DE TESORERIA

đ??´đ??śđ?&#x2018;&#x2021;đ??źđ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;&#x201A; đ??ˇđ??źđ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018; đ??źđ??ľđ??żđ??¸ đ?&#x2018;&#x192;đ??´đ?&#x2018;&#x2020;đ??źđ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;&#x201A; đ??śđ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ??źđ??¸đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2021;đ??¸

1Â°Caso 2:1 CT 1

2Â° Caso 1:1 CT 1

3Â° Caso 0.5 : 1 CT 1

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CT = coeficiente de tesorerĂa.

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Se usa fundamentalmente este coeficiente para medir las disponibilidades financieras y los requerimientos de pagos en periodos menores que el ejercicio anual; semestres, trimestres o meses; es decir para analizar el flujo de caja, en el que se estiman tanto los recursos como los pagos inmediatos. Un coeficiente mayor que la unidad significara que la empresa, en el periodo analizado, cubrirá sus obligaciones y tendrá un excedente financiero que lo mantendrá en la medida que este se requiera para financiar el próximo periodo; en caso contrario, significara que es un excedente que debe ser reinvertido en el proceso operativo de la empresa. Un coeficiente igual a la unidad, difícilmente se produce en la experiencia real y significaría que la empresa cubre con estrechez sus obligaciones y en forma precaria, en la expectativa de que todos los ingresos previstos se produzcan, de no ser así, se vería obligada a incumplir con algunas de sus obligaciones.

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Un coeficiente menor que la unidad refleja imposibilidad de pagos inmediatos y en consecuencia obligara a tomar decisiones con el propósito de obtener un financiamiento a corto plazo.

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LAS CORRELACIONES

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1. Que estos fenómenos estén íntimamente ligados unos con otros como sucede con las presiones y volúmenes de un gas a temperatura constante, las circunferencias y los radios ∂= 1 2. Que estos fenómenos sean completamente independientes uno de otro como por ejemplo, el número anual de nacimientos en Japón y la producción anual de arroz en el Perú. 3. Entre estos fenómenos hay una relación masomenos fuerte como por ejemplo, la talla de los padres y la de sus descendientes de este tercer caso se dice que están en correlación siendo su caso más frecuente en demografía, administración, economía, industria, etc. Ejemplo:  alcoholismo y criminalidad  consumo de cierto producto y la inversión en publicidad  analfabetismo y bajo ingreso per cápita de la población  consumo del tabaco y la enfermedades cardiacas  influencia de la temperatura invernal y la incidencia en las enfermedades respiratorias  belleza e inteligencia  aptitud para la música y para la matemática  la circunferencia y los radios Los parámetros de la correlación fluctúan entre +1 y -1 pasando por cero. Existe correlación cuando se acerca a los extremos +1 y -1 no existe correlación cuando se acerca a cero. Para graficar la correlación necesitamos dos rectas para determinar el ángulo de la correlación.

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Es el grado de relación que se puede establecer entre variables y que se estudia para determinar en qué medida una ecuación lineal describe la relación entre dos fenómenos que han sido medidos en diferentes unidades pudiendo ocurrir los siguientes casos:

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CALCULO DEL COEFICIENTE DE CORRELACION Para calcular el coeficiente de correlaciĂłn entre dos variables o dos grupos de variables que han sido medidas en distintos tipos de variables que han sido medidas en diferentes unidades se emplean varios mĂŠtodos siendo el mĂĄs elemental el mĂŠtodo de los mĂnimos cuadrados. Na + bâ&#x2C6;&#x2018;X = â&#x2C6;&#x2018;Y

Y f (x)

aâ&#x2C6;&#x2018;X + bâ&#x2C6;&#x2018;X2 = â&#x2C6;&#x2018;XY

Y = a +bx

Na + bâ&#x2C6;&#x2018;Y = â&#x2C6;&#x2018;X

X f (y)

aâ&#x2C6;&#x2018;Y + bâ&#x2C6;&#x2018;Y2 = â&#x2C6;&#x2018;XY

X = a +by

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PĂĄgina

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BIBLIOGRAFIA

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 “ESTADOS FINANCIEROS – Análisis e interpretación” G. Fernández de Armas  “CONTABILIDAD AVANZADA –Tomo IV” Primo Cesar Canaletti  “ADMINISTRACION FINANCIERA” James C. Van Horne  “ESTADOS FINANCIEROS – Forma, Análisis e Interpretación” Ralph Dale Kennedy y Stewart Y. Mc Mullen

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GLOSARIO DE TERMINOS ESTADISTICOS

Amplitud: Es la distancia entre el valor máximo observado y el valor mínimo observado en un conjunto de distribución de datos.

Amplitud Intercuartila: Es la distancia entre la primera y tercera cuartilas del conjunto de datos.

Aleatorio: Al azar, estocástico. Este término representa una idea que debe ser expresada en términos del concepto de probabilidad. Tenemos la noción de que un fenómeno ocurre en forma aleatoria cuando no sigue un patrón particular que se pueda describir directamente por ecuaciones. Así como no podemos hacer una predicción perfecta del resultado que se obtendrá del fenómeno. Al decir que un proceso es aleatorio estamos diciendo que sigue alguna distribución de probabilidad.

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Característica cualitativa de un objeto o individuo tal como sexo, país de origen, raza.

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Atributo:

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Censo: Es un estudio sobre toda la población. En un censo se enumera completamente toda la población.

Coeficiente de Correlación: Es una variable de dependencia estadística lineal entre dos características o variables. Es un número que se encuentra en el intervalo [-1, 1]. Un valor cerca de uno indica que a medida que el valor de una variable aumenta, el valor de la otra variable también tiende a aumentar. Si el valor está cerca de -1 a medida que el valor de una variable aumenta, el valor de la otra variable tiende a disminuir. Una correlación de cero indica que no hay dependencia lineal estadística entre las dos variables, aunque no indica que las variables sean independientes. Una correlación distinta de cero no es evidencia suficiente para concluir que hay una relación de causa y efecto entre las variables.

Coeficiente de Determinación: Computacionalmente es el cuadrado del coeficiente de correlación. Expresa la proporción de la varianza de la variable dependiente que es explicada por la variable independiente.

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Variabilidad relativa a la media. Expresa la proporción de variabilidad de una característica por cada unidad de la media. Computacionalmente se obtiene dividiendo la desviación estándar por la media.

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Coeficiente de Variación:

Contable: Es una propiedad de un conjunto de objetos o números. Si el conjunto tiene un número finito de objetos decimos que es contable. También es contable un conjunto que contiene un número infinito de objetos si cada objeto puede ser potencialmente contado. Es decir, puede ponerse en una correspondencia con los números naturales 1,2,3,… ejemplos de conjuntos contables son: [1,2,3,…], el número de hojas de un árbol, el número de estrellas en el universo, los números racionales…….

Cuadrados Mínimos Es un método que sirve para ajustar líneas o funciones a datos. En este método reducimos al mínimo la suma del cuadrado de las distancias (verticales) de los puntos observados a la función que se quiere ajustar. Se usa el cálculo y el álgebra lineal para obtener estimados de los parámetros que definen la función.

Datos: Valores que se obtienen al observar directamente los resultados de una variable en la muestra o población. Pueden ser numéricos o cualitativos.

Datos Cualitativos:

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Valores que se obtienen al observar directamente los resultados de una variable de atributo.

Datos Cuantitativos:

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Valores que se obtienen al observar directamente los resultados de una variable numérica (no de atributo).

Desviación Absoluta Media Es una medida de distancia promedio de los valores observados a su media. La distancia de cada valor a la media se mide tomando el valor absoluto de la diferencia entre ese valor y la media.

Desviación Estándar Es una medida de distancia promedio de los valores observados a su media. La distancia de cada valor a la media se mide tomando el cuadrado de la diferencia entre ese valor y la media. Luego de obtener el promedio de esos cuadrados, tomamos la raíz cuadrada. La desviación estándares la raíz cuadrada de la varianza.

Diseño de la muestra Plan definitivo, determinado por completo antes de recopilar cualquier dato, para tomar una muestra de una población particular. (Lismarie Torres y Lydiaris González)

Diseño del experimento Puede ser experimento controlado o diseño completamente aleatorio. En el experimento controlado todas las variables, excepto la que se considera, se manejan como fijas. En el diseño completamente aleatorio todas las variaciones debidas a factores extraños no controlados pueden, por tanto, incluirse en el término de variación debida al azar. (Lismarie Torres y Lydiaris González)

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En el caso de una variable aleatoria discreta, da la probabilidad de observar que la variable X es igual a un valor x como función de x: f ex) = P( X = x). La función f (x) se llama función de probabilidad. En el caso de una variable aleatoria continua, la distribución de probabilidad se representa por una función g(x) llamada función de

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Distribución de probabilidad

densidad. En este caso, si tenemos un intervalo pequeño, [x, x + aL entonces, P( x < X < X + a) - a g(x).

Distribución de probabilidad acumulativa Es una función de x que nos dice cual es la probabilidad de observar un valor de la variable menor o igual a x.

Encuesta Es un proceso de obtener datos ce una población o muestra. Ocurre cuando rechazamos la hipótesis nula siendo ésta cierra.

Error tipo II Ocurre cuando no rechazamos la hipótesis nula siendo ésta falsa.

Error muestral

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Es una medida de la variabilidad de las estimaciones de muestras repetidas en tomo al valor de la población, nos da una noción clara de hasta dónde y con qué probabilidad una estimación basada en una muestra se aleja del valor que se hubiera obtenido por medio de un censo completo. Siempre se comete un error, pero la naturaleza de la investigación nos indicará hasta qué medida podemos cometerlo (los resultados se someten a error muestral e intervalos de confianza que varían muestra a muestra) Varía según se calcule al principio o al final. Un estadístico será más preciso en cuanto y tanto su error es más pequeño. Podríamos decir que es la desviación de la distribución muestral de un estadístico y su fiabilidad.

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Error Muestral de estimación o Standard. Es fa diferencia entre un estadístico y su parámetro correspondiente.

Espacio muestral Es el conjunto de todos lo posibles resultados de un experimento.

Estadística Valor que se calcula de los datos. Ejemplos: suma, producto, mediana, máximo, desviación absoluta media de los datos.

Estadística descriptiva Métodos que usamos para describir los datos que se han obtenido de la muestra o población. Nos sirve para presentar una idea de la realidad y para hacer inferencia informal.

Estadística inferencial Métodos probabilísticos que usamos para tomar decisiones, estimar, predecir o hacer generalizaciones sobre una población basados en una muestra.

Estadística prueba Cantidad calculada de los datos muestr21es que se usa para decidir si se rechaza o no la hipótesis nula. Generalmente, un valor grande de esta estadística es un indicador que nos apunta hacia el rechazo de la hipótesis nula.

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Proceso por el cual obtenemos valores estándar, es decir, con media cero y varianza o desviación estándar de uno. Nos sirve para comparar valores obtenidos de distintas distribuciones. Es el método fundamental para obtener estadísticas pruebas e intervalos de confianza.

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Estandarización

Estimador Estimador insesgado Es un estimador cuyo promedio es el valor del parámetro desconocido. Su valor esperado es el valor del parámetro.

Estudio observacional Los investigadores meramente observan los valores de algunas características de la muestra. No manipulan ni establecen condiciones. Estos estudios sólo pueden describir o revelar asociación entre dos o más variables. No pueden determinar causa y efecto. Para esto último es necesario un experimento debidamente diseñado.

Evento Conjunto o colección de uno o más posibles resultados de un experimento. Un evento ocurre cuando cualquier resultado contenido en el evento es observado.

Eventos independientes Dos eventos son independientes si el que uno ocurra no afecta la probabilidad del que el otro ocurra. Matemáticamente hablando, dos eventos A, B son independientes sí y sólo sí P( A Y B) = P(A) P(B), o casi equivalentemente, P(A lB) = P(A).

Eventos mutuamente excluyentes

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Son dos o más eventos que no pueden ocurrir simultáneamente. Sí A, B son eventos mutuamente Excluyentes siempre tenemos que. P(A y B) "' O Por ejemplo, al lanzar un dado no podemos observar el evento {1, 2} Y el evento {3} a la vez.

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Exactitud

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Decimos que una medida (o un instrumento para medir) tiene la propiedad de exactitud cuando las observaciones que tomamos se distribuyen alrededor del valor "real". El valor "real" es usualmente un parámetro de la población cuyo valor es usualmente desconocido, tal como la media poblacional. Un estimador de un parámetro es exacto cuando es insesgado, por ejemplo, la media muestral es un estimador exacto (insesgado) para la media poblacional.

Grupo control En un experimento, es el grupo asignado a no recibir tratamiento o algún tratamiento inocuo conocido como placebo.

Grupo experimental En un experimento es el grupo que recibe el tratamiento.

Hipótesis nula Es una aseveración sobre el valor de un parámetro desconocido de una población. Se presume cierta hasta tanto se demuestre lo contrario. Usualmente indica que no hay cambio, que no hay diferencia (por eso se llama nula). Esta hipótesis se rechaza o no (no decimos se acepta) dependiendo del valor de la estadística prueba o del valor p al nivel de significancia deseado.

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Es una aseveración sobre el valor de un parámetro desconocido de una población. Es la hipótesis de investigación, es lo que deseamos demostrar con el experimento o estudio. Cuando rechazamos la hipótesis nula lo hacemos a favor de ésta.

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Hipótesis alterna

Inferencia informal Conjunto de aseveraciones, hipótesis o conclusiones razonables que se pueden hacer sobre una población basándonos en una muestra. Se distingue de la estadística inferencial porque aquí no usamos elementos de probabilidad.

Marco Es una lista de todos los elementos que componen la población.

Mediana Es una medida de localización o tendencia central de los datos. Es un número que divide al conjunto de datos en dos conjuntos de igual tamaño. Unos que son menores o iguales que la mediana y otros que son mayores o iguales que la mediana. Una vez ordenados los datos su valor sólo depende de la posición que ocupa, no del valor particular observado.

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Valor o valores más comunes en la población o en la muestra. En el caso de una distribución continua es el punto o puntos donde la función de densidad alcanza el máximo.

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Moda

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Muestra Es un subconjunto cualquiera de la población.

Muestra aleatoria Es una muestra donde todos los elementos de la población tienen una probabilidad conocida de ser seleccionados.

Muestra aleatoria simple Es una muestra aleatoria donde todos los elementos de la población tienen la misma probabilidad de ser seleccionados.

Muestra con reemplazo Es una muestra donde cada elemento observado de la población se devuelve a la misma y tiene la posibilidad de ser observado nuevamente.

Muestra estratificada Primero dividimos la población en subpoblaciones (estratos). Entonces se toma una muestra de cada uno de estos estratos. La colección de todas las muestras de los estratos nos da como resultado una muestra estratificada. Los estratos se seleccionan de acuerdo con los valores conocidos de alguna variable de manera que hay poca variabilidad entre los miembros de un estrato particular, pero que haya diferencias (grandes) entre los distintos estratos.

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Suponemos que la población se puede dividir en grupos llamados conglomerados. Suponemos que cada conglomerado es representativo de la población. Se toma una muestra aleatoria de conglomerados y luego una muestra aleatoria de los miembros de cada conglomerado seleccionado. Por ejemplo, si suponemos que cada Facultad en la universidad es representativa de la universidad como un todo, seleccionamos

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Muestra por conglomerado.

Facultades al azar y luego allí seleccionamos al azar miembros de cada una de las facultades seleccionadas.

Muestra representativa Es una muestra que refleja las características de la población. Se comporta estadísticamente como la propia población. La forma usual de seleccionarla es a través de una muestra aleatoria.

Muestra sistemática Una población de tamaño N se divide entre el tamaño deseado de la muestra n para obtener k grupos distintos. Seleccionamos al azar un elemento del primer grupo y comenzando con ése, seleccionamos cada k-ésimo elemento. Es útil cuando la población está dispuesta en algún orden o lista, tal como en la guía telefónica.

Nivel de significancia Probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando es cierta. Probabilidad de cometer un error tipo 1. Este nivel es seleccionado por el investigador antes de realizar el experimento. Los valores mas comúnmente seleccionados son niveles de .01, .05 Y .10.

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Es el valor de observado una variable o característica de un objeto.

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Observación

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Parámetro Es una característica medible que describe una población. Su valor es usualmente desconocido.

Población Conjunto o colección de todos los objetos o individuos de interés para la investigación.

Precisión Decimos que una medida (o un instrumento para medir) es precisa cuando tomamos observaciones repetidas y obtenemos valores cercanos entre sí. Es decir, la dispersión (desviación estándar, varianza) entre las observaciones es pequeña, se acercen o no al valor "real". El valor real es un parámetro de la población cuyo valor es usualmente desconocido, tal como la media poblacional.

Probabilidad subjetiva

Prueba de hipótesis Es un procedimiento por el cual establecemos hipótesis nula y alterna con el fin de resolver un problema. El procedimiento incluye el diseño y selección de la muestra.

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Se interpreta como evaluación personal. Refleja la opinión personal acerca de las incertidumbres implícitas y se aplican, en especial, cuando hay poca o ninguna evidencia directa, de modo que en realidad no hay otra alternativa que considerar información colateral (indirecta), suposiciones razonables y tal vez la intuición y otros factores subjetivos. (Lismarie Torres y Lydiaris González)

Luego de tomados los datos de la muestra, se calcula el valor de una estadística prueba. A un nivel de significancia particular, la estadística prueba se compara con el valor obtenido de la tabla de la distribución estadística apropiada. Esa comparación nos lleva a tomar la decisión de rechazar o no la hipótesis nula.

Regla empírica Cuando tenemos datos que tiene aproximadamente una distribución normal (simétricos, unimodales, en forma de campana), observaremos aproximadamente: el 68% de los datos a una desviación estándar o menos de la media, el 95% a una distancia de dos o menos desviaciones estándar de la media y el 99% a una distancia de tres o menos desviaciones estándar de la media.

Regla de multiplicación

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Supongamos que tenemos dos actividades que hacer, como por ejemplo ponemos una camisa y luego un pantalón. Cada una de esas actividades se puede hacer de varias formas distintas. Si la primera actividad se puede hacer de n formas y para cada una de las formas de la primera, la segunda actividad se puede hacer de m formas distintas, entonces las dos actividades se pueden hacer, en conjunto, en n x m formas distintas.

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Sesgo

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Es un efecto que priva a un resultado estadístico de representatividad al distorsionarlo sistemáticamente. Ocurre cuando, por ejemplo, en el caso de medir el valor de una variable, lo hacemos con un instrumento que no ha sido calibrado que por lo tanto introduce un error sistemático en la medida.

Tabla de contingencia Es una tabla que sirve para clasificar a los miembros de un grupo de acuerdo a algunas características cualitativas o cuantitativas. Por ejemplo: Desglose preliminar de la composición de los cuerpos legislativos de Puerto Rico luego de las elecciones de 1988. El Nuevo Dia, 12 de noviembre de 1988.

Tamaño de la muestra Número de elementos en el subconjunto que tomamos de la población con el fin de obtener datos. El tamaño de la muestra está determinado por los siguientes criterios: confiabilidad o significancia deseada, margen de error deseado y recursos económicos disponibles. Para poblaciones grandes su tamaño no depende del tamaño de la población. .

Este teorema da a la distribución normal un papel central en la estadística yen la probabilidad. La forma más simple del teorema dice que si tenemos n variables aleatorias independientes (no importa la distribución de la cual provengan), cada una con una varianza finita, entonces la distribución de su media se acercará a la distribución normal cuando n tiende a infinito.

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Tratamiento

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Teorema del límite central

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Se refiere a los estímulos, condiciones o procedimientos experimentales cuyos efectos deseamos comparar y que se le imponen al grupo experimental. Por ejemplo, si deseamos comparar el efecto que producen distintas concentraciones de alcohol en unas moscas, deseamos comparar el una dilución al 1 %, otras al 2% y 3% con el placebo (grupo control). Estas cuatro condiciones constituyen los tratamientos.

Variable Es una característica bajo investigación de los elementos de la población o muestra que puede asumir distintos valores para cada elemento. Puede ser cuantitativa o cualitativa.

Variable aleatoria Es una función que adquiere un valor .numérico como resultado de un experimento.

Variable continúa Es una variable que puede adquirir valores en un conjunto no contable de objetos, tal como un intervalo, o la recta numérica.

Variable dependiente

Variable discreta Es una variable que puede adquirir hasta un número contable de distintos valores.

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Es una función que adquiere un valor numérico como resultado de un experimento.

Varianza

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Es una medida de la variabilidad de un conjunto de datos. Es un promedio de los cuadrados de las diferencias de los puntos o datos a su media.

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