1. Movimiento
Solucionario
© grupo edebé
173
La velocidad que aparece en el folleto es la velocidad media del barco en todo su recorrido.
•
Actividad inicial
Y y = 2x-3
5 4 3 2 1
En 1 minuto un ciclista recorre una distancia Δx. En esta distancia la rueda de la bicicleta da n vueltas
–3 –2
• El barco no va todo el tiempo a esta velocidad. Por ejemplo, cuando arranca o cuando se para en su destino la velocidad es nula. Además, durante el trayecto modifica su velocidad dependiendo de las circunstancias.
–4 –3 –2 –1
–1
1
2
3
4
5
2 1
6
x (m)
(6m, 1m)
3 4
En cada vuelta la rueda recorre su perímetro. –6 –5 –4 –3 –2 –1 –2 –3 –4 –5 –6
5
4.
Δx = n · P
-3
(3,-2)
c) La velocidad del primero será de 10 km/h hacia atrás.
-2 -2 -1 -1
-4 -3
1
2
3
b) El sistema de referencia lo situamos en la autopista.
X
4
Preparación de la unidad
— La pendiente vale m = 2.
a) El primer coche verá el conductor del segundo coche a 10 km/h.
1 2
— La ordenada en el origen vale n = −3
• Respuesta sugerida:
3. Datos:
3
(-1,4)
Coches, personas, ventilador, péndulo del reloj, las agujas del reloj, el tambor de la lavadora, los pájaros, las nubes, los aviones, las hojas de los árboles...
(2,3)
4
1 min
23 min = 23 min
• 45 min = 45 min ⋅
7h = 7 h
1h
= 25200 s
3600 s
24 h = 24 h ⋅
60 s
= 2700 s
1 min
3600 s 1h
7 h 23 min 5 s = 25200 s + 1380 s + 5 s = 26585 s
2h = 2 h
3600 s
= 86 400 s
Cuerpos que están acelerando: — Un coche que arranca.
60 s
10 h = 10 h
21 min = 21 min
— Un tren que llega a la estación.
= 7 200 s
1h
1 min
— Las aspas de un molino. • a) Se han consumido 7 litros de gasolina.
= 1260 s
• b) La parte del trayecto en que se ha consumido más gasolina es la comprendida entre los kilómetros 30 y 50.
1. Respuesta sugerida:
1 min
= 3540 s
60 s
1h
Actividades
= 36000 s
3600 s
10 h 59 min = 36000 s + 3540 s = 39540 s
10 h 59 min = 36000 s + 3540 s = 39540 s
21 min = 21 min
10 h = 10 h
3600 s 1h
= 36000 s
60 s
2h = 2 h
59 min = 59 min
• En el lenguaje coloquial, cuando decimos que un cuerpo acelera nos referimos al hecho de que está aumentando su velocidad en un intervalo de tiempo. En realidad, afirmar que un cuerpo acelera significa que modifica su velocidad, ya sea aumentando el valor del módulo, disminuyéndolo, o bien cambiando la dirección del vector velocidad.
2 h 21 min = 7200 s + 1200 s = 8 460 s
59 min = 59 min
1 min
= 1260 s
60 s
1h 3600 s
1 min
Actividades = 3540 s 1. Respuesta sugerida:
• b) La parte del trayecto en que se ha consumido más gasolina es la comprendida entre los kilómetros 30 y 50. • a) Se han consumido 7 litros de gasolina.
= 7 200 s
— Las aspas de un molino. — Un tren que llega a la estación.
2 h 21 min = 7200 s + 1200 s = 8 460 s
7 h 23 min 5 s = 25200 s + 1380 s + 5 s = 26585 s
24 h = 24 h ⋅
7h = 7 h
1h 3600 s
• 45 min = 45 min ⋅
v2 = 110 km/h
Una persona sentada en un tren en marcha variará su estado de movimiento según el sistema de referencia que se escoja. Estará en movimiento respecto a la estación, porque su posición respecto a ésta cambia con el tiempo. En cambio, el pasajero está en reposo respecto del tren, porque su posición no cambia respecto a éste.
= 1380 s
60 s
v1 = 100 km/h
2. El modelo geocéntrico sitúa el sistema de referencia en la Tierra. En cambio, el modelo heliocéntrico sitúa el sistema de referencia en el Sol.
Y
•
(2m, 4m)
y (m)
-4
La relación entre la distancia recorrida y el número de vueltas realizadas es el perímetro de la rueda.
3600 s
23 min = 23 min
Una persona sentada en un tren en marcha variará su estado de movimiento según el sistema de referencia que se escoja. Estará en movimiento respecto a la estación, porque su posición respecto a ésta cambia con el tiempo. En cambio, el pasajero está en reposo respecto del tren, porque su posición no cambia respecto a éste.
= 25200 s
1h
60 s 1 min
— Un coche que arranca.
= 86 400 s
1 min 60 s
Cuerpos que están acelerando: En realidad, afirmar que un cuerpo acelera significa que modifica su velocidad, ya sea aumentando el valor del módulo, disminuyéndolo, o bien cambiando la dirección del vector velocidad.
= 2700 s
Coches, personas, ventilador, péndulo del reloj, las agujas del reloj, el tambor de la lavadora, los pájaros, las nubes, los aviones, las hojas de los árboles...
•
= 1380 s
2. El modelo geocéntrico sitúa el sistema de referencia en la Tierra. En cambio, el modelo heliocéntrico sitúa el sistema de referencia en el Sol.
Y (-1,4)
4
(2,3)
• En el lenguaje coloquial, cuando decimos que un cuerpo acelera nos referimos al hecho de que está aumentando su velocidad en un intervalo de tiempo.
• Respuesta sugerida:
3
3. Datos:
— La ordenada en el origen vale n = −3
2
-2 -1 -1
— La pendiente vale m = 2.
Preparación de la unidad La relación entre la distancia recorrida y el número de vueltas realizadas es el perímetro de la rueda.
-2
Δx = n · P
-4
-3
v1 = 100 km/h
v2 = 110 km/h
a) El primer coche verá el conductor del segundo coche a 10 km/h.
1 -4 -3
X
1 2 3 4 5
1
2
3
4
X
b) El sistema de referencia lo situamos en la autopista. c) La velocidad del primero será de 10 km/h hacia atrás.
(3,-2)
4.
y (m) 5
(2m, 4m)
–6 –5 –4 –3 –2 –1 –2 –3 –4 –5 –6
1 2 3 4 5
X
En cada vuelta la rueda recorre su perímetro.
4
• El barco no va todo el tiempo a esta velocidad. Por ejemplo, cuando arranca o cuando se para en su destino la velocidad es nula. Además, durante el trayecto modifica su velocidad dependiendo de las circunstancias.
5 4 3 2 1
En esta distancia la rueda de la bicicleta da n vueltas En 1 minuto un ciclista recorre una distancia Δx.
Actividad inicial
La velocidad que aparece en el folleto es la velocidad media del barco en todo su recorrido.
© grupo edebé
3
(6m, 1m)
2 1 –4 –3 –2 –1
–1
1
2
3
4
5
6
x (m)
–2 –3
173
1. Movimiento
•
Solucionario
Y
y = 2x-3
© grupo edebé a) Para hallar las posiciones del pájaro cada 5 s utilizamos la ecuación del movimiento rectilíneo uniforme. 16. Datos: v = 15 m/s
Distancia BC: Δs2 = 135 km
1 2
Distancia AB: Δs = 189 km
4
Llegada a C: t4 = 20.15 h
2
8 6
3
Salida de B: t = 18.45 h Llegada a B: t2 = 17.45 h
10
1
11. Datos: Salida de A: t = 16.00 h
v (m/s) 2
1 10
0
t (min)
200
500
900
1 400
1 800
h km
Convertimos la velocidad en km/h: 9.
10
20
30
40
50
vm = — En total recorre 65 m. 0
10
8. Datos:
20
30
40
580 m Δx m = = 1,11 Δt 522 s s
Calculamos la velocidad media: 50
t1 = 10 s
60
70
80
x (m)
t2 = 30 s
Δs = 2πr = 62,8 m. 7. — El desplazamiento vale 0, ya que el punto inicial coincide con el punto final. — La distancia recorrida sobre la trayectoria es la longitud de la pista cuyo radio es de 10 m. Al ser circular, la distancia valdrá:
Δt = 8 min + 42 s = 522 s 13. Datos: Δx = 580 m La característica que presenta la velocidad en este tipo de movimiento es que es constante en módulo, dirección y sentido. O sea, la trayectoria es una línea recta y el módulo de la velocidad es constante. Un ejemplo de MRU podría ser el que tiene una nave en el espacio (cuando no actúa ninguna fuerza). 12. Respuesta sugerida: Δs 2
5400 s 135000 m
= 25
m s
Calculamos la velocidad media entre las ciudades B y C. Δt = 1h 30 min = 5 400 s b) El intervalo de tiempo es:
© grupo edebé
=
x=v·t
Δt 2
m s
a) Para hallar las posiciones del pájaro cada 5 s utilizamos la ecuación del movimiento rectilíneo uniforme.
vm =
Calculamos la velocidad media entre las ciudades A y B.
5. a) Movimiento rectilíneo
t (s)
b) Movimiento curvilíneo parabólico
c) El intervalo de tiempo es:
4
16. Datos: v = 15 m/s
Δt = 1h 45 min = 6 300 s
= 30
3
c) Movimiento curvilíneo circular
Δt = 4 h 15 min = 15 300 s
a) El intervalo de tiempo es:
2
d) Movimiento rectilíneo
Calculamos la velocidad media en todo el recorrido 1
e) Movimiento curvilíneo circular
324000 m Δs m = = 21, 2 Δt 15300 s s
Distancia BC: Δs2 = 135 km
vm =
2
6. El desplazamiento es el vector que une dos puntos de la trayectoria. Su dirección es la de la recta que une los dos puntos. Por lo tanto, su módulo es la distancia más corta entre ambos puntos.
t (s)
La distancia recorrida es la longitud entre dos puntos de la trayectoria, pero medida sobre la trayectoria, o sea, teniendo en cuenta los sucesivos puntos que ha ocupado el móvil para ir de uno de los puntos al otro.
Solucionario unidad 1. Movimiento
0
s (m)
=4
4
4
Distancia AB: Δs1 = 189 km
174
1h
Llegada a C: t4 = 20.15 h
6 300 s
3600 s
8 6
Δt 1
⋅
10
Salida de B: t3 = 18.45 h
189000 m
3
2
v (m/s)
Llegada a B: t2 = 17.45 h
=
1 km
10
11. Datos: Salida de A: t1 = 16.00 h
Δs1
m
20
1
vm =
1000 m
30
vc < vb < va < vd
⋅
x (m)
m s
s
= 214 , 29
15.
1,11 ⋅
60 s
90 km
=
Δs = s2 − s0 = 500 m − 0 m = 500 m
1 min
m s
Debemos ir a una velocidad de 4 km/h.
⋅
14. Datos: Se encuentra en: x1 = 25 km
1 km
= 5 , 56
v
Δs = s4 − s2 = 1 400 m − 500 m = 900 m
La meta está a: x2 = 115 km
1000 m
1h 3600 s
=
Las distancias recorridas por el alumno no son iguales en ambos casos. Entre 0 y 20 min ha recorrido 500 m, y entre 20 y 40 min ha recorrido 900 m.
v = 60 km/h Calculamos el tiempo que tardará.
⋅
⋅
v
m
35 min
s
1 km
x 2 − x1
= 1, 5 h = 1 h 30 min km 60 h Tardará 1 h y 30 min en llegar a la meta.
m
1000 m
Δx
1 min
450 km
v = 60 km/h Calculamos el tiempo que tardará. Δt =
1000 m
d)
⋅
La meta está a: x2 = 115 km
s
100 km
1h
h
14. Datos: Se encuentra en: x1 = 25 km
m
s
20 km
= 23 , 81
60 s
km
= 23 , 81
c)
= 10 , 21
9 , 79 s
⋅
=4
60 s
b)
100 m
1 km
1h
⋅
⋅
70 min
1 min
1000 m
3600 s
1 km
10. a )
1000 m
⋅
Debemos ir a una velocidad de 4 km/h.
Las distancias recorridas por el alumno no son iguales en ambos casos. Entre 0 y 20 min ha recorrido 500 m, y entre 20 y 40 min ha recorrido 900 m. 100 km
1 km
⋅
Δs = s4 − s2 = 1 400 m − 500 m = 900 m
s
⋅
70 min
Δs = s2 − s0 = 500 m − 0 m = 500 m
m
10. a )
1,11 ⋅
m
Convertimos la velocidad en km/h:
= 10 , 21
1 800
100 m
1 400
b)
900
x 2 − x1 90 km Δx Δt = = = = 1, 5 h = 1 h 30 min v v km 60 h Tardará 1 h y 30 min en llegar a la meta.
500
s
200
9 , 79 s
0
1h
s (m)
1000 m
50
20 km
40
x (m)
30
15.
20
s
10
m
0
= 5 , 56
t (min)
3600 s
580 m Δx m = = 1,11 Δt 522 s s
vm =
Solucionario unidad 1. Movimiento
9.
⋅
— En total recorre 65 m.
1 km
Calculamos la velocidad media:
⋅
Δt = 8 min + 42 s = 522 s
x (m)
1h
80
c)
70
30
60
20
50
450 km 1000 m 1 min m d) ⋅ ⋅ = 214 , 29 s
40
60 s
30
1 km
20
13. Datos: Δx = 580 m
35 min
10
t2 = 30 s
<v <v
t (s)
4
0
t1 = 10 s
v <v
3
Δs = 2πr = 62,8 m. 8. Datos:
d
La característica que presenta la velocidad en este tipo de movimiento es que es constante en módulo, dirección y sentido. O sea, la trayectoria es una línea recta y el módulo de la velocidad es constante.
a
Un ejemplo de MRU podría ser el que tiene una nave en el espacio (cuando no actúa ninguna fuerza).
b
t (s)
4
12. Respuesta sugerida: 7. — El desplazamiento vale 0, ya que el punto inicial coincide con el punto final. — La distancia recorrida sobre la trayectoria es la longitud de la pista cuyo radio es de 10 m. Al ser circular, la distancia valdrá:
c
3
324000 m Δs m = = 21, 2 Δt 15300 s s
vm =
1
Δt = 4 h 15 min = 15 300 s Calculamos la velocidad media en todo el recorrido
La distancia recorrida es la longitud entre dos puntos de la trayectoria, pero medida sobre la trayectoria, o sea, teniendo en cuenta los sucesivos puntos que ha ocupado el móvil para ir de uno de los puntos al otro.
Δt = 1h 45 min = 6 300 s
c) El intervalo de tiempo es:
a) El intervalo de tiempo es:
6. El desplazamiento es el vector que une dos puntos de la trayectoria. Su dirección es la de la recta que une los dos puntos. Por lo tanto, su módulo es la distancia más corta entre ambos puntos.
Calculamos la velocidad media entre las ciudades A y B.
m s
189000 m
5400 s
= 25
Δs
x=v·t
Δt 2
135000 m
m s
=
= 30
Δs 2
vm =
e) Movimiento curvilíneo circular
6 300 s
d) Movimiento rectilíneo
=
Calculamos la velocidad media entre las ciudades B y C.
1
c) Movimiento curvilíneo circular
Δt 1
Δt = 1h 30 min = 5 400 s
b) Movimiento curvilíneo parabólico
vm =
b) El intervalo de tiempo es:
174
5. a) Movimiento rectilíneo
© grupo edebé t (s)
0
5
10
15
20
25
30
x (m)
0
75
150
225
300
375
450
la pinza es 0 (v0 = 0), ya que la dejeamos caer, no la lanzamos. Pero a lo largo de su recorrido adquiere una cierta velocidad, que además presenta un aumento regular.
Es un ejemplo de MRUA, si no tenemos en cuenta la fuerza de rozamiento con el aire. La velocidad inicial de Dejamos caer una pinza de tender desde una ventana. 22. Respuesta sugerida:
b)
La aceleración que actúa sobre la pinza es la aceleración de la gravedad, que presenta un valor constante de 9,8 m/s2.
x(m)
175 Recorre una distancia de 63,4 m hasta detenerse. x = 19 , 5
La aceleración es de − 6,25 m/s2. Es decir, la bicicleta reduce su velocidad a razón de 6,25 m/s cada segundo.
400
v1 = 108 km/h 23. Datos: v0 = 0 Convertimos las unidades al SI.
a=
300
Δt Δv
=
200
v 1 = 108 ⋅
km h
100
1h
⋅
t0 = 0 s 1000 m
⋅
3600 s
1 km
= 30
t1 = 10 s m s
Hallamos la aceleración.
t − t0 v − v0
v = 0m s
t = 0 ,8 s h
5
v 0 = 18 ⋅
1 km
⋅
km
1000 m
⋅
3600 s
=5
1h
10
15
20
25
30
t(s)
a=
17. Datos: Distancia que recorre: Δx = 10,8 m
x = 150 m
s
Calculamos el tiempo que tarda en detenerse sustituyendo en la ecuación velocidad-tiempo del MRUA. ⎛ m ⎞ + ⎜ −3 ⎟ ⋅t s2 ⎠ ⎝
m
v = v 0 + a ⋅ t ⇒ 0 = 19 , 5
21. Datos: La aceleración es de 5,5 m/s2. a=
Δx = v · Δt = 0,12 m/min · 5 min = 0,6 m
En ese tiempo recorrerá 150 m.
En 5 minutos recorrerá 0,6 m. 24. Datos:
Δv
=
t − t0 v−v
0
v = 198 ⋅
h km
1 km
⋅
1000 m
t0 = 0 s 25. Datos:
x0 = 0 m
v0 = 70,2 km/h = 19,5 m/s
m 1 m x = 13 , 9 4m ⋅6 s + ⋅2 ⋅ ( 6 s ) 2 = 119 ,4 2 s2 s La distancia recorrida es de 119,4 m.
v0 = 0m s
t = 10 s
⋅
3600 s 1h
= 55 , 0
m s
x = v0 ⋅ t +
1 km
1h 3600 s
= 55 , 0
m s
x = 13 , 9
19. No podemos afirmarlo porque, aunque el módulo de la velocidad se mantiene constante, su dirección varía. En el Sistema Internacional, la aceleración se mide en metros por segundo al cuadrado (m/s2). 18. La magnitud aceleración nos informa de la rapidez con que varía la velocidad de un móvil.
La velocidad es de 25,9 m/s. v = v 0 + a ⋅ t = 13 , 9
En 5 minutos recorrerá 0,6 m.
x0 = 0 m
Δt
=
=
t − t0
25. Datos:
La aceleración es de 5,5 m/s2.
km h
1000 m 1 km
⋅
1h 3600 s
=5
m
30
t(s)
a=
t1 1
v −v
0
=
m 30 − 0 =3 s2 10
Hallamos la aceleración.
100
v 1 = 108 ⋅
h km
⋅
3600 s 1h
⋅
23. Datos: v0 = 0 v1 = 108 km/h Convertimos las unidades al SI.
300
Δt
=
t − t0
=
⋅ 6 s = 25 , 9
m s
⋅2
m
s2
v0 = 70,2 km/h = 19,5 m/s x0 = 0 m
−5
3
m
m s
t=
m
= 6,5 s
s2 Calculamos la distancia que recorre durante los 6,5 s que necesita para detenerse sustituyendo en la ecuación posición-tiempo del MRUA.
m s s = −6 , 25 0 ,8 s − 0 s s2
400
1 km 1000 m
= 30
t0 = 0 s
s m t1 = 10 s
La aceleración que actúa sobre la pinza es la aceleración de la gravedad, que presenta un valor constante de 9,8 m/s2.
x(m)
t (s)
1 1 a ⋅ t 12 = 0 + 0 + ⋅ 3 ⋅ 10 2 2 2
Deberá tener una aceleración de 3 m/ s2.
200
Δv
1
2
19 , 5
La aceleración es de − 6,25 m/s2. Es decir, la bicicleta reduce su velocidad a razón de 6,25 m/s cada segundo. 22. Respuesta sugerida:
x (m)
a = 2 m/s2
— Aplicamos la ecuación posición-tiempo del MRUA para hallar la distancia recorrida.
0
a=
v − v0
m
⋅6 s +
s
t = 0 ,8 s
0
m
t0 = 0 s
Calculamos la aceleración.
b)
s m
t=6s
v0 = 50 km/h = 13,9 m/s
x 1 = x 0 + v 0 ⋅ t1 +
17. Datos: Distancia que recorre: Δx = 10,8 m 25
⋅ 6 s = 25 , 9
x = 150 m
Tiempo que emplea: Δt = 1,5 h = 90 min
v = 0m s
⋅
s2
Calculamos el tiempo que tarda en detenerse sustituyendo en la ecuación velocidad-tiempo del MRUA. m ⎛ m ⎞ v = v 0 + a ⋅ t ⇒ 0 = 19 , 5 ⋅t + ⎜ −3 2 ⎟ s s ⎝ ⎠
21. Datos: v 0 = 18 ⋅
m
+2
s
a = −3 m/s2
Hallamos la velocidad media. 20
m
En ese tiempo recorrerá 150 m.
10 , 8 m Δx = = 0 ,12 m min Δt 90 min 15
s2
+2
t0 = 0 s
En 5 minutos recorrerá: 10
s m
Calculamos la velocidad a los 6 s sustituyendo en la ecuación velocidad-tiempo del MRUA. 24. Datos:
Δx = v · Δt = 0,12 m/min · 5 min = 0,6 m a=
m m −0 m s s = −5 , 5 10 s − 0 s s2
55 , 0
v − v0
m
4m ⋅ ( 6 s ) 2 = 119 ,4 s La distancia recorrida es de 119,4 m.
Calculamos la aceleración. Δv
t=6s
t0 = 0 s
Calculamos la distancia recorrida a los 6 s sustituyendo en la ecuación posición-tiempo del MRUA. 1 x = v0 ⋅ t + a ⋅ t2 2
v0 = 0m s
t = 10 s
5
2
Calculamos la distancia recorrida a los 6 s sustituyendo en la ecuación posición-tiempo del MRUA. 1 a ⋅ t2
20. Datos: h
⋅
x0 = 0 m
La velocidad es de 25,9 m/s.
20. Datos: 1000 m
a = 2 m/s2
v = v 0 + a ⋅ t = 13 , 9
19. No podemos afirmarlo porque, aunque el módulo de la velocidad se mantiene constante, su dirección varía.
⋅
v0 = 50 km/h = 13,9 m/s
Calculamos la velocidad a los 6 s sustituyendo en la ecuación velocidad-tiempo del MRUA.
En el Sistema Internacional, la aceleración se mide en metros por segundo al cuadrado (m/s2).
vm =
s
m
a = −3 m/s2
m m 55 , 0 −0 m s s = = −5 , 5 10 s − 0 s s2
Calculamos la aceleración.
18. La magnitud aceleración nos informa de la rapidez con que varía la velocidad de un móvil.
km
1 1 a ⋅ t 12 = 0 + 0 + ⋅ 3 ⋅ 10 2 2 2
x 1 = x 0 + v 0 ⋅ t1 +
En 5 minutos recorrerá:
v = 198 ⋅
m 30 − 0 =3 s2 10
=
t1
— Aplicamos la ecuación posición-tiempo del MRUA para hallar la distancia recorrida.
10 , 8 m Δx = = 0 ,12 m min Δt 90 min
vm =
v1 − v 0
Deberá tener una aceleración de 3 m/ s2.
Tiempo que emplea: Δt = 1,5 h = 90 min Hallamos la velocidad media.
Δt
1 x = v0 ⋅ t + a ⋅ t2 2 1 ⎛ m m ⎞ ⋅ 6,5 s + ⋅ ⎜ −3 ⎟ ⋅ ( 6 , 5 s ) 2 = 63 , 4 m 2 ⎝⎜ s s 2 ⎟⎠
m 19 , 5 s = 6,5 s t= m 3 s2 Calculamos la distancia que recorre durante los 6,5 s que necesita para detenerse sustituyendo en la ecuación posición-tiempo del MRUA.
m m 0 −5 m s s = = −6 , 25 0 ,8 s − 0 s s2
Calculamos la aceleración.
0
x = v0 ⋅ t +
1 2
a ⋅ t2
1 ⎛ m m ⎞ ⋅ 6,5 s + ⋅ ⎜ −3 ⎟ ⋅ ( 6 , 5 s ) 2 = 63 , 4 m 2 ⎜⎝ s s 2 ⎟⎠
Dejamos caer una pinza de tender desde una ventana.
x = 19 , 5
Es un ejemplo de MRUA, si no tenemos en cuenta la fuerza de rozamiento con el aire. La velocidad inicial de
Recorre una distancia de 63,4 m hasta detenerse.
© grupo edebé
175
0 0
75 5
150 10
225 15
300 20
375 25
450 30
la pinza es 0 (v0 = 0), ya que la dejeamos caer, no la lanzamos. Pero a lo largo de su recorrido adquiere una cierta velocidad, que además presenta un aumento regular.
© grupo edebé 35 40
2 45
9 6
2
3
1
0
0
7
v (m/s)
t (s)
8
5 6
50 55
x (m)
Representamos la gráfica x−t.
9 1
v (m/s)
2
3
t (s)
5
4
0
b) Representamos la gráfica v−t. La aceleración es de 3 m/s2. 1 x = x0 + v 0 ⋅ t + a ⋅ t2 2 1 37 , 5 m = a ⋅ ( 5 s )2 2 2 ⋅ 37 , 5 m m =3 ( 5 s )2 s2 a=
5 10
5 15
x0 = 0 m
t0 = 0 s
4,5 9,0
3 20 25
x = 37,5 m
t=5s
13,5
2
18,0
1 0
v0 = 0 m/s
27. a) Calculamos la aceleración sustituyendo en la ecuación posición-tiempo del MRUA los siguientes datos. 26. a) La velocidad será positiva (v > 0) porque va hacia la derecha, y la aceleración será positiva (a > 0) porque el módulo de la velocidad aumenta. b) La velocidad será negativa (v < 0) porque el móvil se mueve hacia la izquierda, y la aceleración será positiva (a > 0) porque va en sentido contrario a la velocidad (ya que la hace disminuir).
0
4
22,5
t (s) v (m/s)
30
v (m/s)
b) Representamos la gráfica v−t. Recorre 56,25 m hasta detenerse. x = 22 , 5
s m
1 x = x0 + v 0 ⋅ t + a ⋅ t2 2 ⎛ m ⎞ ⋅ ⎜ −4 , 5 ⎟ ⋅ ( 5 s ) 2 = 56 , 25 m s 2 ⎠⎟ ⎝⎜
⋅5 s +
1 2
Tardará 1,9 s en llegar al suelo.
3
s2
= 1, 9 s
4
© grupo edebé
9,8
m
3
s2 Calculamos los metros que recorre sustituyendo en la ecuación posición-tiempo del MRUA el tiempo de 5 s.
2 ⋅ 17 ,7 m
1
t=
4
x = x0 + v 0 ⋅ t +
= 5s
3
1 a ⋅ t2 2 1 ⎛ m ⎞ 2 0 = 17 , 7 m + ⋅ ⎜ −9 , 8 ⎟ ⋅t s2 ⎠ 2 ⎝
2
a) Calculemos el tiempo que tardará en llegar al suelo sustituyendo los datos en la ecuación posición-tiempo de un MRUA, en que a = −g.
1
t (s)
x0 = 17,7 m
0
Solucionario unidad 1. Movimiento
20,25
4 ,5
m
5
g = 9,8 m/s2
m s
t=
4
v0 = 0 m/s
m ⎛ m ⎞ 0 = 22 , 5 + ⎜ −4 , 5 ⎟ ⋅t s s2 ⎠ ⎝ 22 , 5
t (s) x (m/s) 0 0
a) Antes de calcular los metros que recorre tenemos que calcular el tiempo que tarda en detenerse. Para hacerlo sustituimos los datos en la ecuación velocidad-tiempo del MRUA. v = v0 + a ⋅ t
30
a = −4,5 m/s2
x0 = 0 m
3
t (s)
t0 = 0 s
36,00
v = 0 m/s
2
29. Un objeto que se deja caer desde una ventana efectúa un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado porque su trayectoria es una línea recta y su velocidad varía uniformemente. En tal caso, la velocidad aumenta con una aceleración constante, que es la aceleración de la gravedad. 30. Datos:
v0 = 81 km/h = 22,5 m/s
1
1
t (s)
25
37,5
Representamos la gráfica x−t.
5
47,25
24
2
13,5
4
20
3
x (m)
6
54,00
0
2
3
5
1,5
56,25
5
0
1
4
4
0
5
56,25
15
5
10
54,00
10
40
5
4
0
47,25
15
0
3
t (s) x (m/s)
36,00
20
30
t (s)
3
5
2
4
28. Datos:
1
3
t (s) x (m/s)
10
2
20,25
2
x (m) 40
176
1 25
20
1
30
Representamos la gráfica x−t.
30
0
t (s)
4
6
3
1,5
2
1
1
0
t (s) x (m/s) 0 0
35
0
2
40
1
20
45
2
24
50
13,5
9
3
3
3
4
55
37,5
6
4
2
5
x (m)
5
3
10
1
Representamos la gráfica x−t.
29. Un objeto que se deja caer desde una ventana efectúa un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado porque su trayectoria es una línea recta y su velocidad varía uniformemente. En tal caso, la velocidad aumenta con una aceleración constante, que es la aceleración de la gravedad.
0
t (s)
v (m/s)
0
5
t (s)
7
Solucionario unidad 1. Movimiento
8
4
t (s)
5
3
4
2
3
1
2
1
9
0
x0 = 17,7 m
0
v (m/s)
30. Datos:
5
b) Representamos la gráfica v−t.
v = 0 m/s
La aceleración es de 3 m/s2.
v0 = 81 km/h = 22,5 m/s
10
28. Datos:
0
g = 9,8 m/s2
4,5
5
v0 = 0 m/s
15
a = −4,5 m/s2
9,0
4
x0 = 0 m
13,5
3
20
t0 = 0 s
a) Calculemos el tiempo que tardará en llegar al suelo sustituyendo los datos en la ecuación posición-tiempo de un MRUA, en que a = −g.
18,0
2
a) Antes de calcular los metros que recorre tenemos que calcular el tiempo que tarda en detenerse. Para hacerlo sustituimos los datos en la ecuación velocidad-tiempo del MRUA. v = v0 + a ⋅ t
22,5
1
m ⎛ m ⎞ + ⎜ −4 , 5 ⎟ ⋅t s s2 ⎠ ⎝
0
0 = 22 , 5
1 x = x0 + v 0 ⋅ t + a ⋅ t2 2 1 ⎛ m ⎞ 2 ⋅ ⎜ −9 , 8 ⎟ ⋅t s2 ⎠ ⎝ 2
t (s) v (m/s)
25
0 = 17 , 7 m +
v (m/s) 30
6
= 1, 9 s
b) Representamos la gráfica v−t.
1 x = x0 + v 0 ⋅ t + a ⋅ t2 2 1 37 , 5 m = a ⋅ ( 5 s )2 2 2 ⋅ 37 , 5 m m a= =3 ( 5 s )2 s2
2 ⋅ 17 ,7 m
Recorre 56,25 m hasta detenerse.
v0 = 0 m/s
m
⎛ m ⎞ ⋅ ⎜ −4 , 5 ⎟ ⋅ ( 5 s ) 2 = 56 , 25 m ⎜⎝ s 2 ⎟⎠
1 2
t=
x = 37,5 m
s2
t=5s
s
⋅5 s +
a ⋅ t2
9,8
x0 = 0 m
m
Tardará 1,9 s en llegar al suelo.
t0 = 0 s
x = 22 , 5
1 2
m 22 , 5 s = 5s t= m 4 ,5 s2 Calculamos los metros que recorre sustituyendo en la ecuación posición-tiempo del MRUA el tiempo de 5 s.
27. a) Calculamos la aceleración sustituyendo en la ecuación posición-tiempo del MRUA los siguientes datos.
x = x0 + v 0 ⋅ t +
176
26. a) La velocidad será positiva (v > 0) porque va hacia la derecha, y la aceleración será positiva (a > 0) porque el módulo de la velocidad aumenta. b) La velocidad será negativa (v < 0) porque el móvil se mueve hacia la izquierda, y la aceleración será positiva (a > 0) porque va en sentido contrario a la velocidad (ya que la hace disminuir).
© grupo edebé Al cabo de 2 s el objeto se encuentra a una altura de 30,9 m, con una velocidad de 4,9 m/s.
b) Calculamos la velocidad con que llegará al suelo sustituyendo los datos en la ecuación velocidad-tiempo del MRUA, en que a = −g.
v = 24 , 5
m ⎞ m m ⎛ + ⎜ −9 , 8 ⎟ ⋅ 2 s = 4,9 s s s2 ⎠ ⎝
Calculamos la velocidad. v = v0 + a ⋅ t
v = v0 + a ⋅ t m m ⋅ 1, 9 s = −18 , 6 s s2 La velocidad con que chocará con el suelo es de 18,6 m/s en el sentido negativo del sistema de referencia, o sea, hacia abajo.
x = 30 , 9 m
v = 0 − 9,8
t0 = 0 s v0 = 0 m/s t = 2,4 s g = 9,8 m/s2
31. Datos:
33. a) Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, con una cierta velocidad inicial y aceleración positiva. Es decir, la velocidad aumenta regularmente con el tiempo. b) Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, con una cierta velocidad inicial y aceleración negativa. Es decir, la velocidad disminuye hasta que el móvil se detiene. c) Movimiento rectilíneo uniforme. La velocidad es constante. d) Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, con velocidad inicial cero y aceleración positiva. La velocidad aumenta regularmente con el tiempo. 34. Respuesta sugerida:
Calculamos la posición. 1 x = x0 + v 0 ⋅ t + a ⋅ t2 2 m 1 ⎛ m ⋅ ⎜ −9 , 8 s2 ⎝⎜ s
x = 1, 5 m + 24 , 5
⋅2 s +
2
⎞ ⎟ ⋅ ( 2 s )2 ⎠⎟
c) t = 2 s
Calculamos la altura de la torre sustituyendo en la ecuación posición-tiempo del MRUA, en que a = −g. 1 x = x0 + v 0 ⋅ t + a ⋅ t2 2 1 ⎛ m ⎞ 2 0 = x0 + ⋅ ⎜ −9 , 8 ⎟ ⋅ ( 2,4 s ) 2 ⎝ s2 ⎠
• Las agujas de un reloj. • La rueda de un coche en movimiento. • Un disco compacto mientras es reproducido.
Al cabo de 1 s el objeto se encuentra a 21,1 m de altura, con una velocidad de 14,7 m/s. m ⎛ m ⎞ m v = 24 , 5 + ⎜ −9 , 8 ⎟ ⋅ 1 s = 14 , 7 s s2 ⎠ ⎝ s
Calculamos la velocidad sustituyendo los datos en la ecuación velocidad-tiempo del MRUA, en que a = −g. v = v0 + a ⋅ t
x 0 = 28 , 2 m
t = 4 min
a) No se mueven con la misma velocidad lineal porque ésta depende de la distancia al centro de giro. Carlos está a una mayor distancia del centro; por lo tanto, su velocidad lineal es también mayor. Sí se mueven con la misma velocidad angular porque ambos han girado el mismo ángulo en el mismo intervalo de tiempo.
177 En un día da 9,6 vueltas. ϕ = 0,4
s
⋅ 1s +
x0 = 1,5 m v0 = 24,5 m/s g = 9,8 m/s2
a) t = 0 s
b) La velocidad angular de los dos cuerpos será:
En el instante inicial el objeto se encuentra en la posición en que es lanzado: x0 = 1,5 m, y su velocidad es la velocidad con que se lanza: v0 = 24,5 m/s.
10 vueltas
ω=
b) t = 1 s
4 min
⋅
1 min 60 s
⋅
2 π rad 1 vuelta
= 0 , 26
rad s
Calculamos la velocidad lineal de cada uno.
Calculamos la posición sustituyendo en la ecuación de posición-tiempo del MRUA, en que a = −g. 1 x = x0 + v 0 ⋅ t + a ⋅ t2 2 m 1 ⎛ m ⎞ 2 x = 1, 5 m + 24 , 5 ⋅ 1s + ⋅ ⎜ −9 , 8 ⎟ ⋅ (1s ) s 2 ⎝ s2 ⎠
a) ω =
1 min
⋅
25 vuelta as ω = 25
60 s 1 min
⋅
1 vuelta 2 π rad
= 2 , 62
s rad
min
R = 30 cm = 0,30 m vueltas
36. Datos:
La velocidad lineal de Carlos es de 1,30 m/s y su velocidad angular, de 0,26 rad/s. La velocidad lineal de Antonio es de 0,91 m/s y su velocidad angular, de 0,26 rad/s.
2
rad m v 1 = ω ⋅ R1 = 0 , 26 ⋅ 5 m = 1, 30 s s rad m ⋅ 3 , 5 m = 0 , 91 s s
v 2 = ω ⋅ R 2 = 0 , 26
Calculamos la velocidad lineal de cada uno.
En el instante inicial el objeto se encuentra en la posición en que es lanzado: x0 = 1,5 m, y su velocidad es la velocidad con que se lanza: v0 = 24,5 m/s. a) t = 0 s x0 = 1,5 m v0 = 24,5 m/s g = 9,8 m/s2
La altura de la torre es de 28,2 m. x 0 = 28 , 2 m 1 x = x0 + v 0 ⋅ t + a ⋅ t2 2 1 ⎛ m ⎞ 2 0= x + ⋅ ⎜ −9 , 8 ⎟ ⋅ ( 2,4 s ) s2 ⎠ ⎝
Calculamos la velocidad sustituyendo los datos en la ecuación velocidad-tiempo del MRUA, en que a = −g. v = v0 + a ⋅ t v = 24 , 5
m s
v2
La velocidad lineal de Carlos es de 1,30 m/s y su velocidad angular, de 0,26 rad/s. La velocidad lineal de Antonio es de 0,91 m/s y su velocidad angular, de 0,26 rad/s. 36. Datos:
⎛ m ⎞ m + ⎜ −9 , 8 ⎟ ⋅ 1 s = 14 , 7 2 s s ⎝ ⎠
a) ω =
Al cabo de 1 s el objeto se encuentra a 21,1 m de altura, con una velocidad de 14,7 m/s.
0
ω=
4 min 10 vueltas
⋅
60 s 1 min
⋅
1 vuelta 2 π rad
= 0 , 26
s rad
b) La velocidad angular de los dos cuerpos será: a) No se mueven con la misma velocidad lineal porque ésta depende de la distancia al centro de giro. Carlos está a una mayor distancia del centro; por lo tanto, su velocidad lineal es también mayor. Sí se mueven con la misma velocidad angular porque ambos han girado el mismo ángulo en el mismo intervalo de tiempo.
2
Calculamos la altura de la torre sustituyendo en la ecuación posición-tiempo del MRUA, en que a = −g.
Calculamos la posición.
x = 30 , 9 m
25 vuelta as
⋅
1 min
1 min 60 s
⋅
2 π rad 1 vuelta
= 2 , 62
rad s
rad m ⋅ 0 , 30 m = 0 ,79 s s La velocidad lineal es de 0,79 m/s. v = ω ⋅ R = 2 , 62
x = x0 + v 0 ⋅ t +
Calculamos la velocidad. v = v0 + a ⋅ t
R = 30 cm = 0,30 m vueltas ω = 25 min
La velocidad angular es de 2,62 rad/s. b) Calculamos la velocidad lineal multiplicando la velocidad angular por el radio de la rueda.
c) t = 2 s 1 a ⋅ t2 2 m 1 ⎛ m ⎞ x = 1, 5 m + 24 , 5 ⋅2 s + ⋅ ⎜ −9 , 8 ⎟ ⋅ ( 2 s )2 2 ⎜⎝ s s 2 ⎟⎠
rad m ⋅ 5 m = 1, 30 s s rad m = ω ⋅ R 2 = 0 , 26 ⋅ 3 , 5 m = 0 , 91 s s
v 1 = ω ⋅ R1 = 0 , 26
x = 21,1 m
31. Datos:
⋅ 24 h = 9 , 6 vueltas
La velocidad angular es de 2,62 rad/s. b) Calculamos la velocidad lineal multiplicando la velocidad angular por el radio de la rueda.
b) t = 1 s 32. Datos:
vueltas
rad m v = ω ⋅ R = 2 , 62 ⋅ 0 , 30 m = 0 ,79 s s La velocidad lineal es de 0,79 m/s.
Calculamos la posición sustituyendo en la ecuación de posición-tiempo del MRUA, en que a = −g. 1 x = x0 + v 0 ⋅ t + a ⋅ t2 2 m 1 ⎛ m ⎞ 2 ⋅ ⎜ −9 , 8 ⎟ ⋅ (1s ) s2 ⎠ ⎝ x = 1, 5 m + 24 , 5
h
37. Datos: ω = 0,4 vueltas/h Δt = 1 día = 24 h Aplicamos la ecuación del movimiento circular uniforme para calcular el número de vueltas que da en un día. ϕ = ω⋅t
x = 21,1 m
La altura de la torre es de 28,2 m. 32. Datos:
R1 = 5 m R2 = 3,5 m N.° vueltas = 10
35. Datos:
37. Datos: ω = 0,4 vueltas/h Δt = 1 día = 24 h Aplicamos la ecuación del movimiento circular uniforme para calcular el número de vueltas que da en un día. ϕ = ω⋅t ϕ = 0,4
m ⎛ m ⎞ m v = 24 , 5 + ⎜ −9 , 8 ⎟ ⋅ 2 s = 4,9 s s s2 ⎠ ⎝
vueltas h
⋅ 24 h = 9 , 6 vueltas
En un día da 9,6 vueltas. © grupo edebé
177
35. Datos:
R1 = 5 m R2 = 3,5 m N.° vueltas = 10
t = 4 min
• Un disco compacto mientras es reproducido. • La rueda de un coche en movimiento. • Las agujas de un reloj. 34. Respuesta sugerida:
t0 = 0 s v0 = 0 m/s t = 2,4 s g = 9,8 m/s2
d)
m m ⋅ 1, 9 s = −18 , 6 v = 0 − 9,8 s s2 La velocidad con que chocará con el suelo es de 18,6 m/s en el sentido negativo del sistema de referencia, o sea, hacia abajo. v = v0 + a ⋅ t b) Calculamos la velocidad con que llegará al suelo sustituyendo los datos en la ecuación velocidad-tiempo del MRUA, en que a = −g.
c) b) 33. a)
Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, con una cierta velocidad inicial y aceleración positiva. Es decir, la velocidad aumenta regularmente con el tiempo. Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, con una cierta velocidad inicial y aceleración negativa. Es decir, la velocidad disminuye hasta que el móvil se detiene. Movimiento rectilíneo uniforme. La velocidad es constante. Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, con velocidad inicial cero y aceleración positiva. La velocidad aumenta regularmente con el tiempo. Al cabo de 2 s el objeto se encuentra a una altura de 30,9 m, con una velocidad de 4,9 m/s.
© grupo edebé El radio es la mitad del diámetro. D = 40 m Las ruedas dan 2 148,6 vueltas en 15 min. La velocidad angular de las ruedas es de 15 rad/s. x
Hallamos la velocidad angular a partir de su relación con la velocidad lineal. m 6 v rad s = = 15 R 0 , 40 m s ω=
4,95 m x
38. Datos: v =
Resolución de ejercicios y problemas d) La masa de la bola no influye en el valor de la aceleracion. En cambio, el ángulo sí influye. Cuanto mayor es el ángulo, mayor es el valor de la aceleración. Una gráfica x-t2 con forma de línea recta corresponde a un MRUA. x = x0 +
=
900 s 5400 m
=6
s m
a) Hallamos la velocidad lineal de un punto de la periferia de la rueda, que coincide con la velocidad del ciclista. R = 40 cm = 0,40 m Δt = 15 min = 900 s Δs = 5,4 km = 5 400 m
39. Datos:
1 a ⋅ t2 2
0
c) Debe obtenerse una línea recta, porque estamos representando en los ejes de coordenadas dos magnitudes, x y t2, que son directamente proporcionales.
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
t (s)
1
b) La bola sigue una trayectoria rectilínea y su velocidad aumenta regularmente, es decir, la aceleración es constante. Al cumplirse estas dos condiciones, tenemos un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.
2 3
El principal problema de la práctica es la medida del tiempo. Solucionamos este problema efectuando cinco medidas y tomando como valor obtenido la media aritmética.
4
a) Debemos comprobar que la bola desciende por el plano inclinado con un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.
Caída de una bola por un plano inclinado
Δt Δs
5 6
b)
x (m)
1,35
0,45
1,20
0,40
0,90
0,30
0,60
0,20
0,30
0,10
0
0 t (s)
1,35 1,75 2,55 3,35 4,15 4,95
x1 (m) x2 (m)
Δs Δt
0
© grupo edebé
v=
Pelota 1 v1 = 3 m/s
Las dos pelotas se encuentran a 1,35 m del punto donde fue lanzada la pelota 1.
x1
b) Aplicamos la ecuación del movimiento circular uniforme para un tiempo de 15 min.
Calculamos la distancia que recorre un punto de la periferia a partir de la definición de velocidad lineal.
⋅ 0 , 45 s = 1, 35 m
Pelota 2 v2 = −8 m/s
= 20 m
rad m ⋅ 20 m = 2 , 5 s s
x
⋅ 900 s = 13500 rad
v = ω ⋅ R = 0 ,125
x01 = 0 m t01 = 0 s
x
s rad
2
t = 0 s x = 4,95 m
ϕ = ω ⋅ t = 15
s
40 m
a) Calculamos la velocidad lineal a partir de su relación con la velocidad angular.
Para saber qué posición ocupan en este instante, sustituimos el valor de t en una de las dos ecuaciones del movimiento. m
2
R=
02
Convertimos los radianes en vueltas.
D = 40 m
= 0 , 45 s
02
= 2148 , 6 vueltas
Δt = 1 min = 60 s El radio es la mitad del diámetro.
Las dos pelotas se encuentran 0,45 s después de ser lanzadas.
x1 = 3 ⋅ t = 3
1 vuelta
11
ω = 0,125 rad/s
a) Escribimos la ecuación del MRU para cada una de las pelotas, tomando como origen del sistema de referencia el punto de partida de la pelota 1.
4 , 95
2 π rad
40. Datos:
Las dos pelotas se encontrarán cuando sus posiciones coincidan, es decir, cuando x1 = x2.
13500 rad ⋅
= 2148 , 6 vueltas
Las ruedas dan 2 148,6 vueltas en 15 min.
Pelota 1: x1 = 3 t
x = x0 + v · t
2 π rad
Pelota 1: x1 = 3 t
1 vuelta
ω = 0,125 rad/s
Convertimos los radianes en vueltas. 13500 rad ⋅
Δt = 1 min = 60 s s
⋅ 900 s = 13500 rad
s
40. Datos:
rad
Pelota 2: x2 = 4,95 + (−8) · t = 4,95 − 8 t
ϕ = ω ⋅ t = 15
Las dos pelotas se encontrarán cuando sus posiciones coincidan, es decir, cuando x1 = x2.
x2
3 t = 4,95 − 8 t; 3 t + 8 t = 4,95; 11 t = 4,95
3 t = 4,95 − 8 t; 3 t + 8 t = 4,95; 11 t = 4,95
Solucionario unidad 1. Movimiento
= 20 m m
Hallamos la velocidad angular a partir de su relación con la velocidad lineal. m 6 v rad s ω= = = 15 R 0 , 40 m s
x = x0 + v · t
t=
40 m
=6
b) Aplicamos la ecuación del movimiento circular uniforme para un tiempo de 15 min.
Pelota 2: x2 = 4,95 + (−8) · t = 4,95 − 8 t
2
t02 = 0 s x02 = 4,95 m
R=
900 s
La velocidad angular de las ruedas es de 15 rad/s. x
= 0 , 45 s
5400 m
11
=
Δt
Solucionario unidad 1. Movimiento
Δs
4 , 95
t (s)
t=
0,5
0,4
x x1
a) Calculamos la velocidad lineal a partir de su relación con la velocidad angular.
0,3
a) Hallamos la velocidad lineal de un punto de la periferia de la rueda, que coincide con la velocidad del ciclista.
4,95 m
Pelota 2 v2 = −8 m/s
Las dos pelotas se encuentran 0,45 s después de ser lanzadas.
0,2
R = 40 cm = 0,40 m
x
x01 = 0 m t01 = 0 s
rad m ⋅ 20 m = 2 , 5 s s
1,35
v = ω ⋅ R = 0 ,125
1,35
Para saber qué posición ocupan en este instante, sustituimos el valor de t en una de las dos ecuaciones del movimiento.
1,75
0,45
Calculamos la distancia que recorre un punto de la periferia a partir de la definición de velocidad lineal.
1,20
Δt = 15 min = 900 s
a) Escribimos la ecuación del MRU para cada una de las pelotas, tomando como origen del sistema de referencia el punto de partida de la pelota 1.
178
2,55
0,40
Δs = 5,4 km = 5 400 m
38. Datos:
Pelota 1 v1 = 3 m/s
0,90
⋅ 0 , 45 s = 1, 35 m
39. Datos:
0,1
v =
0
3,35
0,30
1
0
Resolución de ejercicios y problemas
0,60
2
1 a ⋅ t2 2
d) La masa de la bola no influye en el valor de la aceleracion. En cambio, el ángulo sí influye. Cuanto mayor es el ángulo, mayor es el valor de la aceleración.
4,15
0,20
3
c) Debe obtenerse una línea recta, porque estamos representando en los ejes de coordenadas dos magnitudes, x y t2, que son directamente proporcionales.
Una gráfica x-t2 con forma de línea recta corresponde a un MRUA.
4,95
0,30
m
b) La bola sigue una trayectoria rectilínea y su velocidad aumenta regularmente, es decir, la aceleración es constante. Al cumplirse estas dos condiciones, tenemos un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.
0
0,10
s
4
x1 (m) x2 (m)
x1 = 3 ⋅ t = 3
El principal problema de la práctica es la medida del tiempo. Solucionamos este problema efectuando cinco medidas y tomando como valor obtenido la media aritmética.
x = x0 +
Δs Δt
5
t (s) 0
v=
6
a) Debemos comprobar que la bola desciende por el plano inclinado con un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.
Las dos pelotas se encuentran a 1,35 m del punto donde fue lanzada la pelota 1.
x (m)
178
b)
Caída de una bola por un plano inclinado
© grupo edebé Ha recorrido 58 m.
179 1500 m Δs m = = 7 , 08 Δt 212 s s El que corre más deprisa es el segundo atleta.
Δs = 58 m
v3 =
Δs = 116 m − 58 m Δs = s4 − s2
La velocidad del tercer atleta es:
Calculamos la distancia recorrida entre estos instantes. 3 min ⋅
t4 = 40 s b) Datos:
t2 = 20 s
1 min 60 s
= 180 s
Δt = 3 min 32 s = 180 s + 32 s = 212 s
Ha recorrido 60 m.
Datos:
Δs = 60 m
Δs = 1 500 m
Tercer atleta
Δs = 87 m − 27 m
Δs = v ⋅ Δt Δs = v ⋅ Δt = 2 , 5
m s
⋅ 60 s = 150 m
Un punto de la periferia recorre 150 m en 1 min. b) Aplicamos la ecuación del movimiento circular uniforme para un tiempo de 1 min. ϕ = ω⋅t ϕ = 0 ,125
rad s
⋅ 60 s = 7 , 5 rad
Convertimos los radianes en vueltas.
Δs = s3 − s1
v2 =
Calculamos la distancia recorrida entre estos instantes.
7 , 5 rad ⋅
1 vuelta 2 π rad
= 1, 2 vueltas
48. La diferencia entre velocidad media y velocidad instantánea radica en el intervalo de tiempo considerado. La velocidad media es la distancia recorrida por un móvil entre dos instantes de tiempo, mientras que la velocidad instantánea es la velocidad que tiene el móvil en cada instante de tiempo. 49. Las características del MRU son: — La trayectoria es una línea recta. — La velocidad es constante en módulo. 50. Datos:
Δx = 100 m
Δt = 9,74 s.
Hallamos la velocidad media. 100 m Δx m = = 10 , 27 Δt 9 ,74 s s vm =
La noria da 1,2 vueltas en 1 min. 47. a) Datos:
t1 = 10 s t3 = 30 s
100 m m Δs = = 10 , 07 s Δt 9 , 93 s
La velocidad del segundo atleta es: Datos:
Δs = 100 m
Δt = 9,93 s
Segundo atleta 46. En los movimientos rectilíneos, el desplazamiento puede coincidir con la trayectoria. 45. Respuesta sugerida: En una estación se encuentran dos trenes parados que van en sentidos contrarios. En ocasiones, los pasajeros de uno de los trenes que miran hacia el otro no saben cuál de los dos se ha puesto en marcha.
Su velocidad media fue de 10,27 m/s. — El tiempo para recorrer una distancia Δx = 1 km = 1000 m:
Ejercicios y problemas 41. Para determinar la posición en el espacio tridimensional necesitamos tres coordenadas. 42. La longitud terrestre expresa la distancia angular, medida paralelamente al plano del Ecuador terrestre, entre el meridiano de Greenwich y un determinado punto de la Tierra.
Ambas se miden en grados, y no son coordenadas cartesianas.
Si esta posición no varía respecto del objeto fijo durante este espacio de tiempo, decimos que el cuerpo está en reposo.
Se denomina latitud a la distancia angular, medida sobre un meridiano, entre la línea ecuatorial y el paralelo de una localización terrestre (o de cualquier otro planeta).
Si, en cambio, esta posición cambia respecto del objeto fijo durante el intervalo de tiempo, decimos que el cuerpo está en movimiento. 44. La diferencia entre el movimiento y el reposo radica en la posición de un objeto respecto de otro (considerado fijo) durante un intervalo de tiempo.
44. La diferencia entre el movimiento y el reposo radica en la posición de un objeto respecto de otro (considerado fijo) durante un intervalo de tiempo.
Si, en cambio, esta posición cambia respecto del objeto fijo durante el intervalo de tiempo, decimos que el cuerpo está en movimiento.
Se denomina latitud a la distancia angular, medida sobre un meridiano, entre la línea ecuatorial y el paralelo de una localización terrestre (o de cualquier otro planeta).
Si esta posición no varía respecto del objeto fijo durante este espacio de tiempo, decimos que el cuerpo está en reposo.
Ambas se miden en grados, y no son coordenadas cartesianas. 42. La longitud terrestre expresa la distancia angular, medida paralelamente al plano del Ecuador terrestre, entre el meridiano de Greenwich y un determinado punto de la Tierra.
v1 =
Δt Δs
=
1660 s 10000 m
= 6 , 02
s m
La velocidad del primer atleta es: 1 min
27 min ⋅
60 s
= 1620 s
Δt = 27 min 40 s = 1620 s + 40 s = 1660 s Δs = 10 km ⋅
1 km 1000 m
= 10000 m
Datos: 52. Primer atleta Su velocidad media ha sido de 50 m/s. vm =
Δt Δs
=
76 s
= 50
3800 m
s m
Δs = 3 800 m Δt = 1 min 16 s = 60 s + 16 s = 76 s Calculamos la velocidad media.
51. Datos:
= 97 , 37 s = 1 min 37 , 37 s m 10 , 27 s Tardaría 1 minuto y 37,37 segundos.
41. Para determinar la posición en el espacio tridimensional necesitamos tres coordenadas.
Δt =
Ejercicios y problemas
vm
=
Δx
100 m
— El tiempo para recorrer una distancia Δx = 1 km = 1000 m: Su velocidad media fue de 10,27 m/s.
45. Respuesta sugerida: En una estación se encuentran dos trenes parados que van en sentidos contrarios. En ocasiones, los pasajeros de uno de los trenes que miran hacia el otro no saben cuál de los dos se ha puesto en marcha.
100 m Δx Δt = = = 97 , 37 s = 1 min 37 , 37 s vm m 10 , 27 s Tardaría 1 minuto y 37,37 segundos. 51. Datos: Δs = 3 800 m Δt = 1 min 16 s = 60 s + 16 s = 76 s Calculamos la velocidad media. vm =
Δs Δt
=
3800 m 76 s
= 50
m s
Su velocidad media ha sido de 50 m/s. 52. Primer atleta Datos: Δs = 10 km ⋅
1000 m 1 km
= 10000 m
Δt = 27 min 40 s = 1620 s + 40 s = 1660 s 27 min ⋅
60 s 1 min
= 1620 s
La velocidad del primer atleta es: v1 =
46. En los movimientos rectilíneos, el desplazamiento puede coincidir con la trayectoria.
Δs Δt
10000 m
=
1660 s
= 6 , 02
m s
Segundo atleta 47. a) Datos:
La noria da 1,2 vueltas en 1 min.
Datos:
t1 = 10 s t3 = 30 s
Δs = 60 m
Δt = 9,93 s
100 m Δs m = = 10 , 07 Δt 9 , 93 s s
v2 =
Δs = s3 − s1 Δs = 87 m − 27 m
Tercer atleta Datos:
Ha recorrido 60 m. b) Datos:
Δs = 100 m
La velocidad del segundo atleta es:
Calculamos la distancia recorrida entre estos instantes.
7 , 5 rad ⋅
2 π rad 1 vuelta
Hallamos la velocidad media. 100 m Δx m vm = = = 10 , 27 Δt 9 ,74 s s
= 1, 2 vueltas
50. Datos:
Convertimos los radianes en vueltas. ϕ = 0 ,125
s rad
Δt = 9,74 s.
— La trayectoria es una línea recta. 49. Las características del MRU son: La velocidad media es la distancia recorrida por un móvil entre dos instantes de tiempo, mientras que la velocidad instantánea es la velocidad que tiene el móvil en cada instante de tiempo.
Δs = 1 500 m Δt = 3 min 32 s = 180 s + 32 s = 212 s
t2 = 20 s t4 = 40 s
3 min ⋅
Calculamos la distancia recorrida entre estos instantes.
Un punto de la periferia recorre 150 m en 1 min. s
⋅ 60 s = 150 m
m
Δx = 100 m
— La velocidad es constante en módulo.
⋅ 60 s = 7 , 5 rad
b) Aplicamos la ecuación del movimiento circular uniforme para un tiempo de 1 min. ϕ = ω⋅t
60 s 1 min
= 180 s
La velocidad del tercer atleta es:
Δs = s4 − s2 Δs = 116 m − 58 m
Δs = v ⋅ Δt = 2 , 5
48. La diferencia entre velocidad media y velocidad instantánea radica en el intervalo de tiempo considerado.
Δs = 58 m
Δs = v ⋅ Δt
Ha recorrido 58 m.
1500 m Δs m v3 = = = 7 , 08 Δt 212 s s El que corre más deprisa es el segundo atleta.
179
© grupo edebé
© grupo edebé Convertimos los datos a unidades del SI. a = −2 m/s2 v0 = 90 km/h
El motorista recorrerá 6 750 m en 5 min. x = v ⋅ t = 22 , 5
s m
— El MCU tiene una trayectoria circular. — El MRU y el MRUA tienen una trayectoria rectilínea. 61. Atendiendo a la trayectoria: b) La velocidad es negativa (v < 0) porque el objeto es lanzado hacia abajo, y el sentido positivo es hacia arriba. La aceleración es la gravedad y también está dirigida hacia abajo; por lo tanto, la aceleración también será negativa (a < 0). 60. a) La velocidad es positiva (v > 0) porque el objeto va hacia arriba, y hemos definido el sentido positivo hacia arriba. Por el contrario, la aceleración es la de la gravedad que irá hacia abajo; por lo tanto, será negativa (a < 0).
⋅ 300 s = 6750 m
Calculamos la distancia a partir de la ecuación del MRU. v = 81 ⋅
h km
⋅
1 min 60 s
1 km 1000 m
⋅
— La velocidad angular se mantiene constante. = 300 s
3600 s 1h
= 22 , 5
— La trayectoria es circular. s m
54. Datos: v = 81 m/s t = 5 min Convertimos todas las unidades en unidades del SI. La velocidad media entre t2 y t4 es de 11,76 m/s. vm = b) Datos:
s −s 100 m − 50 m m Δs 4 2 = = = 11,76 t4 − t2 s 9 , 86 s − 5 , 61 s Δt t2 = 5,61 s t4 = 9,86 s
s2 = 50 m s4 = 100 m
La velocidad media entre t0 y t2 es de 8,91 m/s. 53. a) Datos: t0 = 0 s s0 = 0 m s2 = 50 m t2 = 5,61 s s −s 50 m − 0 m m Δs 2 0 vm = = = = 8 , 91 t 2 − t0 s Δt 5 , 61 s − 0 s
59. Las características del MCU son: — La aceleración es constante y no nula. — La trayectoria es una línea recta. 58. Las características del MRUA son: Se encuentran a las dos horas de salir el primer móvil, es decir, a las 13 h y a 120 km del punto de salida. x = 60 · 2 = 120 km t=2h 20 t = 40 60 · t = 80 (t − 0,5) Cuando los dos móviles se encuentran, x1 = x2 = x. x1 = x2 = x x2 = 80 (t − 0,5) x1 = 60 · t Escribimos las ecuaciones de los movimientos.
m s
t = 5 min ⋅
Solucionario unidad 1. Movimiento
55. Según lo que hemos visto en el subapartado Gráficas del MRU, cuanto mayor es la inclinación de la recta respeto de la horizontal, mayor es la velocidad del móvil. Por lo tanto, se mueve a una velocidad más elevada el móvil b, porque la recta representada tiene una mayor inclinación respecto de la horizontal.
Atendiendo a la velocidad:
© grupo edebé
56. Datos: v = 25 m/s Confeccionemos una tabla de valores de tiempos y posiciones correspondientes.
— La velocidad del MRU es constante en módulo, dirección y sentido.
= 25
Calculamos el tiempo que tarda en llegar a v = 0 m/s a partir de la expresión de la aceleración. v − v0 Δv a= = ⇒ a ( t − t0 ) = v − v 0 Δt t − t0 a t − a t0 = v − v0
5
3600 s
4
1 km
3
h
1h
2
El signo menos de la aceleración indica que la velocidad disminuye, es decir, que el tren está frenando durante el intervalo de tiempo considerado.
⋅
1
v0 = 90 km/h a = −2 m/s2
1000
0
— En el MCU la aceleración cambia su dirección, pero mantiene constante el módulo.
⋅
t (s)
75
Convertimos los datos a unidades del SI.
180
— En el MRUA la velocidad tiene siempre la misma dirección, cambia de módulo y puede cambiar de sentido.
— En el MRUA la aceleración es constante en módulo, dirección y sentido.
km
125
100
v = 90 ⋅
100
— La aceleración del MRU es nula.
km h
75
125
57. Datos:
50
Atendiendo a la aceleración:
25
s(m)
0
— En el MCU la velocidad cambia de dirección regularmente, pero mantiene su módulo constante.
s (m)
Representamos los valores anteriores en una gráfica.
t x
— En el MCU la velocidad cambia de dirección regularmente, pero mantiene su módulo constante.
— En el MRUA la velocidad tiene siempre la misma dirección, cambia de módulo y puede cambiar de sentido.
t02 = 0,5 h x02 = 0
Representamos los valores anteriores en una gráfica.
125
km h
Atendiendo a la aceleración:
100
v2 = 80
— La aceleración del MRU es nula.
75
125
50
t x
s(m)
25
t01 = 0 x01 = 0
— En el MRUA la aceleración es constante en módulo, dirección y sentido.
0
v1 = 60
100
s (m)
t(s)
— En el MCU la aceleración cambia su dirección, pero mantiene constante el módulo.
— La velocidad del MRU es constante en módulo, dirección y sentido.
5
75
5
50
4
4
62. Datos:
3
3
25
2
2
El signo menos de la aceleración indica que la velocidad disminuye, es decir, que el tren está frenando durante el intervalo de tiempo considerado.
1
1
t(s)
Atendiendo a la velocidad:
0
0
5
— El MCU tiene una trayectoria circular.
t (s)
0
4
— El MRU y el MRUA tienen una trayectoria rectilínea.
25
3
61. Atendiendo a la trayectoria:
62. Datos:
2
56. Datos: v = 25 m/s Confeccionemos una tabla de valores de tiempos y posiciones correspondientes.
b) La velocidad es negativa (v < 0) porque el objeto es lanzado hacia abajo, y el sentido positivo es hacia arriba. La aceleración es la gravedad y también está dirigida hacia abajo; por lo tanto, la aceleración también será negativa (a < 0).
Solucionario unidad 1. Movimiento
55. Según lo que hemos visto en el subapartado Gráficas del MRU, cuanto mayor es la inclinación de la recta respeto de la horizontal, mayor es la velocidad del móvil. Por lo tanto, se mueve a una velocidad más elevada el móvil b, porque la recta representada tiene una mayor inclinación respecto de la horizontal.
1
60. a) La velocidad es positiva (v > 0) porque el objeto va hacia arriba, y hemos definido el sentido positivo hacia arriba. Por el contrario, la aceleración es la de la gravedad que irá hacia abajo; por lo tanto, será negativa (a < 0).
El motorista recorrerá 6 750 m en 5 min.
0
— La velocidad angular se mantiene constante.
0
— La trayectoria es circular.
50
1h
59. Las características del MCU son:
⋅ 300 s = 6750 m
s
1000
m
km
s
57. Datos:
m s
— La aceleración es constante y no nula.
Calculamos la distancia a partir de la ecuación del MRU. x = v ⋅ t = 22 , 5
= 25
Se encuentran a las dos horas de salir el primer móvil, es decir, a las 13 h y a 120 km del punto de salida.
— La trayectoria es una línea recta.
= 300 s
1 min
3600 s
60 s
t = 5 min ⋅
⋅
3600 s
1 km
1 km
= 22 , 5
x = 60 · 2 = 120 km
58. Las características del MRUA son:
m
⋅
h
⋅
1h
h
⋅
1000 m
v = 90 ⋅
v = 81 ⋅
km
km h
54. Datos: v = 81 m/s t = 5 min Convertimos todas las unidades en unidades del SI.
v1 = 60
La velocidad media entre t2 y t4 es de 11,76 m/s.
t=2h
t x
s4 − s2 100 m − 50 m m Δs = = = = 11,76 t4 − t2 s 9 , 86 s − 5 , 61 s Δt
t01 = 0 x01 = 0
20 t = 40
km h
60 · t = 80 (t − 0,5)
v2 = 80
Cuando los dos móviles se encuentran, x1 = x2 = x. x1 = x2 = x
s2 = 50 m s4 = 100 m
Calculamos el tiempo que tarda en llegar a v = 0 m/s a partir de la expresión de la aceleración. v − v0 Δv = ⇒ a ( t − t0 ) = v − v 0 Δt t − t0
vm
a=
t2 = 5,61 s t4 = 9,86 s
b) Datos:
a t − a t0 = v − v0
x2 = 80 (t − 0,5)
La velocidad media entre t0 y t2 es de 8,91 m/s.
t x
vm
t02 = 0,5 h x02 = 0
Escribimos las ecuaciones de los movimientos. x1 = 60 · t
180
t0 = 0 s s0 = 0 m s2 = 50 m t2 = 5,61 s s 2 − s0 50 m − 0 m m Δs = = = = 8 , 91 t 2 − t0 s 5 , 61 s − 0 s Δt
53. a) Datos:
© grupo edebé a t = v − v 0 + a t0 v − v0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
t (s)
10
0
t=
50
181 b) Calculamos la velocidad con que llega al agua, sustituyendo los datos en la ecuación velocidad-tiempo del MRUA, en que a = −g. El saltador tarda 1,43 s en llegar al agua.
100
0
150
t=
m s
− 25
9,8
200
−2
65. a) Gráfica posición-tiempo. x (m)
+ t0
a m
35 30
s
+ 0 = 12 , 5 s
m
25
2
s Tardará 12,5 s en detenerse.
t (s) x (m) 0 0
20
1
10
v0 = 59,4 km/h = 16,5 m/s
256
8
204
6
300
144
4
76
2
63. Datos:
10
v = 77,4 km/h = 21,5 m/s
Tramo: A B x = 40t
t2
x (m)
t=
300
250
15
0
t=4s
2
1
a) Calculamos la aceleración aplicando la definición. v − v0 a= t − t0
0
0
x (m)
t (s)
Representamos la gráfica x-t en el tramo A-B. x = 16 , 5
s m
⋅9 s +
2
⋅ 1, 25
m m − 16 , 5 m s s = 1, 25 4s−0s s2
Datos:
3
4
5
t0 = 0 s
x0 = 0 m
t=4s
x = 32 m
x = x0 + v 0 ⋅ t +
v = v0 + a ⋅ t
32
t (s)
1 2
a ⋅ t2
1 a ⋅ ( 4 s )2 2 2 ⋅ 32 m m a= =4 s2 ( 4 s )2 32 m =
m m m + 1, 25 ⋅ 9 s = 27 , 75 s s2 s
A los 9 s tendrá una velocidad de 27,75 m/s.
Para averiguar la velocidad a los 10 s, sustituimos los datos en la ecuación velocidad-tiempo.
c) Calculamos la distancia recorrida a los 9 s sustituyendo los datos en la ecuación posición-tiempo del MRUA.
Datos:
v=4
66. Datos:
• Tramo C−D: MRUA con aceleración negativa, desde 20 m/s hasta detenerse en 5 s. Representamos la gráfica x-t en el tramo A-B.
x (m)
0
0
2
76
66. Datos:
v=4
s2
s2 m
t0 = 0 s
v0 = 0 m/s
Para averiguar la velocidad a los 10 s, sustituimos los datos en la ecuación velocidad-tiempo. =4
m s2
1 x = x0 + v 0 ⋅ t + a ⋅ t2 2 1 a ⋅ ( 4 s )2 32 m = 2 2 ⋅ 32 m v0 = 0 m/s
La aceleración es de 1,25 m/s2. t − t0
( 4 s )2
a=
b) Calculamos la velocidad a los 9 s sustituyendo los datos en la ecuación de velocidad-tiempo del MRUA. a=
s m
t = 10 s Datos:
v = v0 + a ⋅ t m m 21, 5 − 16 , 5 m s s = 1, 25 4s−0s s2
⋅ 10 s = 40
a = 4 m/s2 v = v0 + a ⋅ t
m m m v = 16 , 5 + 1, 25 ⋅ 9 s = 27 , 75 s s2 s a=
2
El móvil tiene una aceleración constante de 4 m/s2 y su velocidad a los 10 s es de 40 m/s.
A los 9 s tendrá una velocidad de 27,75 m/s. t=4s Datos:
x = 32 m
0
x0 = 0 m
t =0s
b) Calculemos la aceleración sustituyendo en la ecuación posición-tiempo del MRUA los datos de la tabla para t = 4 s.
a) Calculamos la aceleración aplicando la definición. v − v0 t=4s
1
2
3
4
t (s)
5
0
v = 77,4 km/h = 21,5 m/s 63. Datos:
v0 = 59,4 km/h = 16,5 m/s
5 10 15
4
144
300
6
204
250
8
256
10
300
200
s
2
⋅ 10 s = 40
m s
x0 = 10 m v0 = 0 m/s x=0m g = 9,8 m/s2
a) Calculamos el tiempo que tarda el saltador en llegar al agua, sustituyendo los datos en la ecuación posicióntiempo del MRUA, en que a = −g. 1 x = x0 + v 0 ⋅ t + a ⋅ t2 2 m ⎞ 2 1 ⎛ 0 = 10 m + ⋅ ⎜ −9 , 8 ⎟ ⋅t s2 ⎠ 2 ⎝
t0= 0 s t (s)
m
El móvil tiene una aceleración constante de 4 m/s2 y su velocidad a los 10 s es de 40 m/s.
• Tramo B−C: MRU a 20 m/s durante 10 s.
t2
v0 = 0 m/s
a = 4 m/s2 v = v0 + a ⋅ t
Recorrerá una distancia de 199,1 m. 64. • Tramo A−B: MRUA con aceleración negativa, desde 40 m/s hasta 20 m/s en 10 s.
t0 = 0 s t = 10 s
1 a ⋅ t2 2 1 m m x = 16 , 5 ⋅9 s + ⋅ 1, 25 ⋅ ( 9 s ) 2 = 199 ,1 m 2 s s2 x = x0 + v 0 ⋅ t +
Tramo: A B x = 40t
4
v0 = 0 m/s
b) Calculamos la velocidad a los 9 s sustituyendo los datos en la ecuación de velocidad-tiempo del MRUA.
x (m)
18
b) Calculemos la aceleración sustituyendo en la ecuación posición-tiempo del MRUA los datos de la tabla para t = 4 s.
La aceleración es de 1,25 m/s2.
v = 16 , 5
c) Calculamos la distancia recorrida a los 9 s sustituyendo los datos en la ecuación posición-tiempo del MRUA.
= 1, 43 s
x0 = 10 m v0 = 0 m/s x=0m g = 9,8 m/s2
1 x = x0 + v 0 ⋅ t + a ⋅ t2 2 m ⋅ ( 9 s ) 2 = 199 ,1 m 1
m
a) Calculamos el tiempo que tarda el saltador en llegar al agua, sustituyendo los datos en la ecuación posicióntiempo del MRUA, en que a = −g. 1 x = x0 + v 0 ⋅ t + a ⋅ t2 2 m ⎞ 2 1 ⎛ ⋅ ⎜ −9 , 8 ⎟ ⋅t s2 ⎠ ⎝
• Tramo B−C: MRU a 20 m/s durante 10 s. Recorrerá una distancia de 199,1 m.
s2
2 ⋅ 10 m
0 = 10 m +
• Tramo C−D: MRUA con aceleración negativa, desde 20 m/s hasta detenerse en 5 s. 64. • Tramo A−B: MRUA con aceleración negativa, desde 40 m/s hasta 20 m/s en 10 s.
a=
8
3
5
t0= 0 s
21, 5
2
2
t=
2 ⋅ 10 m 9,8
150 100
m
= 1, 43 s
s2
El saltador tarda 1,43 s en llegar al agua.
50
b) Calculamos la velocidad con que llega al agua, sustituyendo los datos en la ecuación velocidad-tiempo del MRUA, en que a = −g.
0 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
t (s)
© grupo edebé
181
v − v0 t= + t0 a m m − 25 0 s s + 0 = 12 , 5 s t= m −2 s2 Tardará 12,5 s en detenerse. a t = v − v 0 + a t0
32
4
18
3 2 1 20 25 30 35
x (m)
65. a) Gráfica posición-tiempo.
8 2
t (s) x (m) 0 0
v = −9 , 8
v = v0 + a ⋅ t m m ⋅ 1, 43 s = −14 , 0 s2 s
La velocidad al llegar al agua es de 14,0 m/s en el sentido negativo del sistema de referencia, o sea, hacia abajo. 67. ω = 33
rev min
⋅
2 π rad 1 rev
⋅
1 min 60 s
= 3 , 46
rad s
La velocidad angular es de 3,46 rad/s. 68. Datos:
ω = 90 vueltas/min
R = 30 cm = 0,30 m
t = 5 min = 300 s a) Expresamos la velocidad angular en rad/s. ω =
90 vueltas
⋅
1 min
1 min 60 s
⋅
2 π rad
= 9,4
1 vuelta
rad s
La velocidad angular es de 9,4 rad/s. b) Calculamos la velocidad lineal a partir de su relación con la velocidad angular. rad m v = ω ⋅ R = 9, 4 ⋅ 0 , 30 m = 2 , 8 s s
vueltas
⋅ 5 min = 450 vueltas
2. Datos:
x1 = 120 km t0 = 0
x2 = 160 km t1 = 30 min = 0,5 h
Hallamos la velocidad media. vm =
x 2 − x1 40 km Δx km = = = 80 0 ,5 h Δt Δt h
La velocidad media es de 80 km/h. 3. La inclinación depende del módulo de la velocidad. A mayor velocidad, habrá más inclinación; y al revés, a menor velocidad, menor inclinación. 4. Datos:
v = 15,4 m/s
t0 = 0
t1 = 3 min = 180 s
Hallamos la distancia que recorrerá: x = x 0 + v ⋅ t = 0 + 15 , 4
m s
⋅ 180 s = 2772 m
En 3 minutos recorrerá 2,772 km. 5. El comportamiento correcto es la opción c), ya que son las normas que estipulan las leyes de la circulación. 6. Datos:
v0 = 0 t0 = 0
v1 = 104,4 km/h t1 = 10 s
Expresamos la velocidad en unidades del SI. 1h 1000 m km km m v 1 = 104 , 4 = 104 , 4 ⋅ ⋅ = 29 h 3600 s s h 1 km La aceleración de la motocicleta será: m 29 m s = 2,9 10 s s2 v1 − v 0 Δv = = Δt t − t0
a=
= 1800 s v = 0,26 m/s
s
Calculamos la posición sustituyendo los datos en la ecuación de posición-tiempo. 1 x = x0 + v0 ⋅ t + a ⋅ t2 2 1 m x = 0 + 0 ⋅ 10 + 2,9 ⋅ ( 10 s ) 2 = 145 m 2 s2 La distancia recorrida en este tiempo será de 145 m. 7. Datos :
x0 = 0
t0 = 0
v0 = 0
a = 2 m/s2
a) Se trata de un MRUA. Para hallar la velocidad en los 5 primeros segundos, utilizamos la ecuación de la velocidad. v = v0 + a · 3
El radio de la noria es de 74,5 metros. 74. Para pasar un ángulo de grados a radianes debemos multiplicar por 2 π rad y dividir por 360º.
Construimos la tabla de valores para los 5 primeros segundos. t (s)
= 0 , 24 rad
0
v (m/s)
343º = 5,99 rad
107º = 1,87 rad
250º = 4,36 rad
51º = 0,89 rad
198º = 3,46 rad
23º = 0,40 rad
0
1
2
2
3
4
6
4 8
5 10
Representamos la gráfica velocidad-tiempo v (m/s)
162º = 2,83 rad
12 10 8
Evaluación
6
1h
4 2
1 km
1
2
3
4
5
t (s)
6
Solucionario unidad 1. Movimiento
La velocidad lineal para un punto situado a 30 cm del centro es de 2,8 m/s. c) Aplicamos la ecuación del MCU para calcular el número de vueltas que da el ventilador en 5 min. ϕ = ω ⋅ t = 90
min
El ventilador dará 450 vueltas en 5 min. 60 s
69. Datos: Δt = 30 min ⋅
1 min
Δϕ = 1 vuelta = 2π rad Calculamos la velocidad angular.
rad
= 3 , 49 ⋅ 10 −3
10
2 π rad
8
1800 s
6
=
4
Δt
2
Δϕ
0
ω=
v (m/s)
Calculamos el radio a partir de su relación con la velocidad angular.
t (s)
5
0 , 26 v = = 74 , 5 m ω 3 , 49 ⋅ 10 −3
6
4
R=
5
3
a = 2 m/s2
2 π rad
4
2
v0 = 0
14 º = 14 º ⋅
3
1 t0 = 0
v1 = 104,4 km/h t1 = 10 s
360 º
2
2 4
0 x0 = 0 v0 = 0 t0 = 0
⋅
© grupo edebé m s
t (s)
Construimos la tabla de valores para los 5 primeros segundos. a) Se trata de un MRUA. Para hallar la velocidad en los 5 primeros segundos, utilizamos la ecuación de la velocidad. 7. Datos :
Calculamos la posición sustituyendo los datos en la ecuación de posición-tiempo. 1 x = x0 + v0 ⋅ t + a ⋅ t2 2 1 m x = 0 + 0 ⋅ 10 + 2,9 ⋅ ( 10 s ) 2 = 145 m 2 s2 La distancia recorrida en este tiempo será de 145 m. 1h 1000 m km km m = 104 , 4 ⋅ ⋅ = 29 h 3600 s s h 1 km La aceleración de la motocicleta será: m 29 v1 − v 0 Δv m s a= = = = 2,9 Δt t − t0 10 s s2 v 1 = 104 , 4
Expresamos la velocidad en unidades del SI. 6. Datos:
5. El comportamiento correcto es la opción c), ya que son las normas que estipulan las leyes de la circulación. En 3 minutos recorrerá 2,772 km. t1 = 3 min = 180 s
km
= 37 , 5
rad rad s
⋅ 180 s = 2772 m
t0 = 0
v = 15,4 m/s
1. 135
1 km 1000 m
Representamos la gráfica velocidad-tiempo
= 0 , 24 rad s
= 3 , 49 ⋅ 10 −3 1 vuelta
= 9,4
2 π rad
4. Datos:
3. La inclinación depende del módulo de la velocidad. A mayor velocidad, habrá más inclinación; y al revés, a menor velocidad, menor inclinación.
s rad
1000 m m ⋅ = 37 , 5 s
⋅
343º = 5,99 rad 2 π rad
⋅ 5 min = 450 vueltas ⋅
m
Hallamos la distancia que recorrerá:
R = 30 cm = 0,30 m
60 s
= 3 , 46
1 min
3600 s
3600 s 1h
250º = 4,36 rad 360 º 2 π rad
1800 s
v = 0,26 m/s
= 1800 s
60 s 1 min
⋅
x2 = 160 km t1 = 30 min = 0,5 h
h
⋅
51º = 0,89 rad
107º = 1,87 rad =
1 rev 2 π rad
x 2 − x1 40 km Δx km = = = 80 0 ,5 h Δt Δt h
x1 = 120 km t0 = 0
182
km
8
v (m/s)
198º = 3,46 rad
Δt Δϕ
1 min vueltas
La velocidad angular es de 9,4 rad/s. ⋅
90 vueltas ⋅
La velocidad media es de 80 km/h. vm =
Hallamos la velocidad media. 2. Datos:
Solucionario unidad 1. Movimiento
182
1
h 1. 135
6
Evaluación
10 12
162º = 2,83 rad 23º = 0,40 rad 14 º = 14 º ⋅
74. Para pasar un ángulo de grados a radianes debemos multiplicar por 2 π rad y dividir por 360º.
v = v0 + a · 3
El radio de la noria es de 74,5 metros. 0 , 26 v R= = = 74 , 5 m ω 3 , 49 ⋅ 10 −3 Calculamos el radio a partir de su relación con la velocidad angular. ω=
Calculamos la velocidad angular. Δϕ = 1 vuelta = 2π rad 69. Datos: Δt = 30 min ⋅
60 s
El ventilador dará 450 vueltas en 5 min. min
ϕ = ω ⋅ t = 90
c) Aplicamos la ecuación del MCU para calcular el número de vueltas que da el ventilador en 5 min. La velocidad lineal para un punto situado a 30 cm del centro es de 2,8 m/s. b) Calculamos la velocidad lineal a partir de su relación con la velocidad angular. rad m v = ω ⋅ R = 9, 4 ⋅ 0 , 30 m = 2 , 8 s s 1 min
ω =
rev
s
x = x 0 + v ⋅ t = 0 + 15 , 4
a) Expresamos la velocidad angular en rad/s. t = 5 min = 300 s ω = 90 vueltas/min
68. Datos:
La velocidad angular es de 3,46 rad/s. min
67. ω = 33
La velocidad al llegar al agua es de 14,0 m/s en el sentido negativo del sistema de referencia, o sea, hacia abajo. m m ⋅ 1, 43 s = −14 , 0 s2 s
v = −9 , 8
v = v0 + a ⋅ t
© grupo edebé
© grupo edebé
183
b) Para hallar la posición en los 5 primeros segundos, utilizamos la ecuación de la velocidad. x = x0 + v 0 ⋅ t +
1 2
8. Datos: x0 = 0
a ⋅ t2
v = v 0 + a ⋅ t1 = 20
Hacemos la tabla de valores para los 5 primeros segundos. t (s)
0
1
2
3
4
5
x (m/s)
0
1
4
9
16
25
t0 = 0
v0 = 20 m/s
m s
− 9,8
m s2
⋅ 1 s = 10 , 20
m s
Calculamos la altura aplicando la ecuación del movimiento. 1 x = x0 + v 0 ⋅ t + a ⋅ t2 2 m m ⎞ 1 ⎛ 2 x = 0 + 20 ⋅ 1s − ⎜ 9 , 8 2 ⎟ ⋅ ( 1s ) = 15 ,1 m s s ⎠ 2 ⎝
Representamos la gráfica posición-tiempo
Al cabo de un segundo, tendrá una velocidad de 10,2 m/s, y se encontrará a una altura de 15,1 m.
x (m) 25
9. Datos: 20
ω = 0,42 rad/s
R=4m
Calculamos la velocidad lineal multiplicando la velocidad angular por el radio del tiovivo.
15 10
v = ω ⋅ R = 0 , 42
5 0
t1 = 1 s
Calculamos la velocidad al cabo de 1 s aplicando la ecuación de la velocidad
1
2
3
4
5
rad s
⋅ 4 m = 1, 68
m s
La velocidad lineal es de 1,68 m/s.
t (s)
1
0
2
3
4
t (s)
5
La velocidad lineal es de 1,68 m/s. v = ω ⋅ R = 0 , 42
5 10
s rad
⋅ 4 m = 1, 68
s m
Calculamos la velocidad lineal multiplicando la velocidad angular por el radio del tiovivo.
15 20
9. Datos: 25
x (m)
Representamos la gráfica posición-tiempo 0
x (m/s)
0
t (s)
1 1
4
9
2
3
16 4
25
x = x0 + v 0 ⋅ t +
2 1
ω = 0,42 rad/s
a ⋅ t2
b) Para hallar la posición en los 5 primeros segundos, utilizamos la ecuación de la velocidad.
R=4m
m m ⎞ 1 ⎛ 2 x = 0 + 20 ⋅ 1s − ⎜ 9 , 8 2 ⎟ ⋅ ( 1s ) = 15 ,1 m s s ⎠ 2 ⎝ Al cabo de un segundo, tendrá una velocidad de 10,2 m/s, y se encontrará a una altura de 15,1 m. x = x0 + v 0 ⋅ t +
5
Hacemos la tabla de valores para los 5 primeros segundos. © grupo edebé
183
2 1
a ⋅ t2
Calculamos la altura aplicando la ecuación del movimiento. v = v 0 + a ⋅ t1 = 20
s m
− 9,8
s2 m
⋅ 1 s = 10 , 20
s m
Calculamos la velocidad al cabo de 1 s aplicando la ecuación de la velocidad 8. Datos: x0 = 0
t0 = 0
t1 = 1 s
v0 = 20 m/s