Menú: Aprendiendo a contar Los números naturales Haciendo la compra Sumar, restar, multiplicar y dividir Repartiendo el pastel Fracciones La receta de cocina El sistema métrico decimal Problemas de mezclas Ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales El problema de la dieta Programación lineal Presentando el plato Simetrías Compartiendo un helado Volumen de cuerpos geométricos Se enfría el café Gráficas de funciones ¿Qué contiene cada caja? Problemas de lógica Comer para crecer Distribuciones bidimensionales. Regresión El menú del día Combinatoria Problemas con el embalaje La conjetura de Kepler
1. APRENDIENDO A CONTAR LOS NÚMEROS NATURALES
Nuestro primer contacto con las Matemáticas ha sido, sin duda, el aprendizaje de los números naturales. Este aprendizaje ha ido asociado al proceso de “contar”. Hemos contado todo tipo de objetos, empezando por los que nos eran más familiares. En todos los cuadernos escolares aparece algún ejercicio en el que se pide que se cuenten frutas. Una vez conocidos los números naturales hemos aprendido a realizar operaciones básicas con ellos. Las primeras operaciones son la suma y la resta de números naturales. Y para ello volvemos a las frutas. “5 peras + 2 peras = 7 peras” “5 peras 2 peras = 3 peras” Con el paso de los cursos hemos conocido otros números: enteros, racionales, irracionales, reales y complejos.
2.‐ HACIENDO LA COMPRA SUMAR, RESTAR, MULTIPLICAR Y DIVIDIR
Para confeccionar un buen plato es fundamental realizar una buena compra de los ingredientes necesarios. Hay dos problemas típicos: Uno para practicar la multiplicación y la suma, consistente en calcular el importe de una compra conociendo los precios y la cantidad de cada producto, y otro para la resta y la división (sabiendo el precio final de la compra, calcular el precio de alguno de los productos o el número de unidades)
PROBLEMA 1: Una persona compra en su tienda habitual los siguientes productos: 3 kg de naranjas (0,59 €/kg), 4 kg de patatas (0,69 €/kg), 2 cajas de galletas (2,50 €/caja), 200 gramos de jamón (12 €/kg), 5 botellas de agua (0,35 €/botella) y 500 gramos de carne picada (3,99 €/kg). ¿Cuánto tendrá que pagar? ARTÍCULO CANTIDAD PRECI0/Un Operación TOTAL Naranjas 3 0,59 3 x 0,59 1,77 Patatas 4 0,69 4 x 0,69 2,76 Galletas 2 2,50 2 x 2,50 5,00 Jamón 0,2 12,00 0,2 x 12,00 2,40 Agua 5 0,35 5 x 0,35 1,75 Carne picada 0,5 3,99 0,5 x 3,99 2,00 Total 15,68
PROBLEMA 2: Antonio ha pagado 20, 60 € por la compra de 5 latas de atún (2,15 €/lata), 2 botes de salsa de tomate (1,40 €/bote) y 3 kg de macarrones. ¿Cuál es el precio de cada kg de macarrones? ARTÍCULO CANTIDAD PRECI0/Un Atún 5 2,15 Tomate 2 1,4 Macarrones 3
Operación TOTAL 5 x 2,15 10,75 2 x 1,40 2,80 Total 20,60
El atún y el tomate cuestan 10,75 + 2.80 = 13.55 € Los 3 kg de macarrones cuestan 20.60 – 13.55 = 7.05 € Cada kg de macarrones cuesta 7.05 : 3 = 2.35 €
6. ELPROBLEMA DE LA DIETA PROGRAMACIÓN LINEAL
Resolver un problema de programación lineal (PPL) consiste en optimizar una función sujeta a un conjunto de restricciones. El problema de la dieta es el típico ejemplo de PPL. Se trata de conseguir una determinada dieta con el menor gasto posible en la compra de los productos. En un hospital se quiere elaborar una dieta alimenticia para un determinado grupo de enfermos con dos alimentos, A y B. Estos alimentos contienen tres principios nutritivos: N1, N2 y N3. Una unidad de A vale 1 euro y contiene 2 unidades de N1, 1 de N2 y 1 de N3. Una unidad de B vale 2,40 euros y contiene 1, 3, y 2 unidades de N1, N2 y N3 respectivamente. Un enfermo de este grupo necesita diariamente al menos 4, 6 y 5 unidades de N1, N2 y N3, respectivamente. Se pide: a) Plantear un problema de programación lineal que permita determinar las cantidades de alimentos A y B que dan lugar a la dieta de coste mínimo. b) Resolver el problema
Alimento A B Total
Nº Unidades
N1
N2
N3
Coste
3
2
2,40 2,40
2
2
3
Función objetivo
2,40 0,
Conjunto de restricciones:
2 3 2
0 4 6 5
Solución óptima: 3 unidades del alimento A y 1 unidad del alimento B Coste mínimo:
3
2,40 1
7,40 €
2
5. PROBLEMAS DE MEZCLAS ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES ¿Cuántos litros de leche con 35% de grasa han de mezclarse con leche de 4% de grasa para obtener 20 litros de leche con 25% de grasa?
Se mezclan vinos de 13€ el litro y de 9€ el litro. ¿Qué cantidad de la primera clase hay que añadir a 80 litros de la segunda, para que, vendiéndolo a 10,5€, se gane el 10%?
En los problemas de mezclas se dispone de artículos de distintas calidades y precios. Si se mezclan se consigue un nuevo producto.
Existen múltiples versiones del mismo problema. Los productos que aparecen con mayor frecuencia son aceite, café y vino.
La resolución se basa en que el valor de los ingredientes debe ser igual al valor de la mezcla
Un comerciante ha mezclado café de 10 €/kg con otra clase de café de calidad superior, de 15 €/kg. De esta forma ha obtenido 100 kg de mezcla, de calidad intermedia, que sale a 12 €/kg. ¿Qué cantidad de cada clase ha empleado?
Producto
kg
€/kg
Valor
Café 1ª clase
Café clase superior
Mezcla
Solución: Tiene que utilizar 60 kg de café de la 1ª clase y 40 kg de café de calidad superior.
12. EL M MEN NÚ DEL D L DÍA A C MBINATO COM ORIA La ma ayoría d de los restau urantess ofreceen, especiialmente de lu unes a viernees y sólo o para comid das, un menú d del día..
Flan n Hojaldre
Natillas
Generralmentte está forma ado porr un priimer plato, un seg gundo p plato y un posstre. D Dentro d de cada a aparta ado sueele exisstir la posibiilidad d de elegiir entree variass opcion nes.
Flan n Carrrillera
La com mbinattoria see desarrrolló pa aralela amente a la probabilid dad y, p por tanto, estuvo o ligada a a los juegoss.
Ensalada Flan n Med dallón
Carpacccio Natillas Flan n
Salmón
Carpacccio
Natillas
Flan n Hojaldre
¿De cu uántas fformass diferentes see puedee cubrirr una qu uiniela a de fútb bol? ¿De cu uántas fformass se puedee hacer una ap puesta de Lottería Prrimitivva si hayy que ellegir seeis núm meros natura ales comprendidos entre 1 y 49, sin rep petir ninguno?
En el diag grama d de árbo ol que se muesstra, au unque eesté in ncompleeto, se observva la d dificult ad de eenumerrar t todas la as posib bilidadees. P Podemo os elegirr el prim mer p plato d de cuatrro form mas diferent d tes. Una vvez reallizada la a ellección del priimer pla ato, teenemoss cuatro o opcio ones p para ele egir el ssegundo o, y por cad da una de ésta as dispo onemoss de tress manerras de d decidir el postree. En total tend dremoss
4x4x3 3=48 maneraas
differentees de co onfeccio onar nuestrro menú ú del díía.
Carpacccio Natillas
Carpacccio Natillas
¿Te ha as preg guntado o algun na vez dee cuánttas form mas diferentes see puedee hacer la eleccción del menú? Para rresolveer esta ccuestió ón, dispon nemos de la “COMB BINAT TORIA”.
Carpacccio
Flan n Carrrillera Inicio
Carpacccio Natillas
Pimientos Flan n Med dallón
Carpacccio Natillas Flan n
Salmón
Carpacccio
Hojaldre
Natillas
Carrrillera Revuelto Med dallón Salmón Hojaldre Carrrillera Arroz Med dallón Salmón
10. ¿QUÉ CONTIENE CADA CAJA? PROBLEMAS DE LÓGICA Los problemas de lógica resultan muy estimulantes y no es necesario tener grandes conocimientos de Matemáticas para resolverlos. Es importante estudiar la situación, enumerar las posibles soluciones e ir descartando las que nos lleven a situaciones que no respetan las condiciones del enunciado del problema o dan lugar a contradicciones. Uno de los problemas más conocidos es el del etiquetado de las cajas de caramelos. Este problema se ha hecho popular porque es uno de los enigmas que deben resolver los personajes de la película “La habitación de Fermat”.
Un pastelero recibe tres cajas de caramelos opacas. Una de caramelos de anís, otra de menta, y la tercera con una mezcla de las dos. Todas etiquetadas con sus respectivos nombres. Más tarde recibe una llamada del proveedor diciendo que todas las cajas están mal etiquetadas. ¿Cuántos caramelos de cada caja deberá sacar como mínimo el pastelero para saber cuál es el contenido real de las cajas? Sabiendo que las tres cajas están mal etiquetadas, sólo existen dos posibilidades:
Etiquetas
ANÍS
MENTA
MEZCLA
Caso 1
Menta
Mezcla
Anís
Caso 2
Mezcla
Anís
Menta
Será suficiente con probar un caramelo de la caja etiquetada como “MEZCLA”. Si resulta ser un caramelo de anís estaremos en el Caso 1: Así que en la caja etiquetada con “MEZCLA” están los caramelos de anís. En la caja etiquetada como “ANÍS” tienen que estar los caramelos de menta. (Si en ella estuviesen los caramelos de mezcla, estaría la caja etiquetada como “MENTA” correcta) Si es un caramelo de menta estaremos en el Caso 2.
13. PROBLEMAS CON EL EMBALAJE
LA CONJETURA DE KEPLER Se desea guardar naranjas en una caja de manera que el espacio que queda vacío sea el menor posible. ¿Cómo hacerlo? Método 1: EL AZAR (Simplemente tirar las naranjas dentro de la caja. La densidad de empaquetamiento (proporción de volumen ocupado por las naranjas) es del 65 %)
Método 3: RED CÚBICA CENTRADA (Partiendo de la misma capa inicial, la siguiente capa se coloca de manera que cada naranja se apoya en el hueco que forma las cuatro naranjas situadas debajo. De esta forma se consigue una densidad de empaquetamiento de /√18 , es decir, del 74 %) Método 2: RED CÚBICA SIMPLE (Colocar una capa de naranjas tan juntas como sea posible y, a continuación, poner otra capa idéntica encima. En este caso la densidad de empaquetamiento es del 52 %, lo cual significa que los huecos ocupan casi tanto como las naranjas)
En 1611, el matemático y astrónomo alemán Johannes Kepler (15711630) escribió que ninguna otra disposición de esferas consigue una densidad mayor que la red cúbica centrada, tal como publicó en “The sixCornered Snowflake”. En 1998, el matemático americano Thomas Hales sorprendió al mundo al demostrar que Kepler estaba en lo cierto. La ecuación de Hales, con sus 150 variables, expresaba cualquier disposición de 50 esferas. Cálculos realizados con ordenadores confirman que ninguna combinación de variables lleva a una densidad de empaquetamiento superior al 74 %. La revista “Annals of Mathematics” decidió publicar la demostración, aceptando la validez de su exactitud al 99 %. Hales calculó que para hacer una demostración formal completa serían necesarios veinte años de trabajo.
11.. COMER PA ARA A CR RECER
D DISTTRIBU UCIO ONESS BID DIMENSIO ONALES. REG GRESIIÓN Se han re ecogido o datos en una a pobla ación so obre la altura y el peeso de 220 indivviduos. 1.‐‐ Repressentar los dattos reco ogidos en un d diagram ma de disperssión. 2.‐‐ Calcullar el co oeficien nte de ccorrela ación lin neal. ¿EExiste a alguna relació ón entre los valoress de lass dos va ariablees (altura y peeso)?
Aun nque deependa tambiéén de o otras variiables, n no cabee duda que la a
3.‐‐ ¿Cuál es el peeso esp perado para u un indivviduo d de esa p poblaciión quee miida 174 4 cm?
alim mentaciión es u un facto or deteerminante en nuestrro creccimientto. Nueestra alltura y
Relaación alturra‐pesso
nuesstro peeso dependen, en cierrta
95
med dida, dee lo quee comem mos.
90 85
muestran el peso o ideal en funcción
80
P (k ) Peso (kg)
Exxisten iinfinida ad de ta ablas q que d de la alltura de las peersonass.
75 70 65 60 55 50 45 1,4
1,55
1,65
1 1,75
1,85
Altura ((m)
oeficien nte de ccorrelacción lin neal es un paráámetro o cuyo vvalor osscila en ntre ‐1 El co y 1. Si el va alor estáá próximo a ‐1 1 la corrrelació ón entree las vaariabless es fuerte y negaativa (vvalores altos de una vvariable e se corrrespon nden co on valo ores pequ ueños d de la ottra). Si el valor está p próximo o a 1 la correlaación ees fuerte y positiva (va alores aaltos dee una variable se corresponde con valorees altos de la otra). Si el coeficieente esstá próxximo a 0 se co onsideraa que h hay pocca o nin nguna relacción en ntre las dos variables.
U Una meedida que rela aciona lla alttura y eel peso es el ÍN NDICE DE MASA A CORP PORAL (IMC)
En eeste casso, el co oeficien nte do ccorrelación lin neal es
Esto o significa que,, aproximadam mente, el 84,7 753 % d del valo or del peso se explica porr la altu ura de lo os indivviduos.
ar valores del peso, cconocie endo ell valor d de la alltura, see utilizaan las Paraa estima rectas de re egresió ón:
Paraa una persona que m mida 174 4 cm=1 1,74 m sse espeera un p peso dee
kg
9. SE ENFRÍA EL CAFÉ
GRÁFICAS DE FUNCIONES
PROBLEMA 1.‐ Una taza de café recién hecho está a75 . Después de tres minutos en una habitación a 21 , la temperatura del café ha descendido a 64 . Si la temperatura ( ) del café en cada instante viene dada por 21, cal cular y y representar la función. ¿Cuánto tiempo tendremos que esperar para que la temperatura del café sea 45 ? Conocemos dos puntos de la gráfica de la función 0,75 y 3,64 0
75 3
75
64
21 54
21
3 Por tanto,
54 64
0,076
0,076
,
Si queremos
,
21
,
0,076
45
0,4444
ln 0,4444 0,8109 0,076
H bá
45 54
i
0,8109
10,6697 d
Problema 2. Observar las siguientes gráficas de funciones:
ln 0,7963
54
0,7963
54,
t 11
i
t
a) Relacionar cada curva con estos enunciados: I. Temperatura de un vaso de agua cuando pasa de la mesa a la nevera. II. Temperatura de un vaso de agua cuando sale de la nevera y se deja en la mesa. III. Temperatura de un vaso de agua cuando pasa de la mesa al congelador. b) Determinar a qué valor tiende cada una cuando crece el valor de la variable independiente.
4. L LA RECE ETA A DE E CO OCIN NA
EL SIST S EMA A MÉÉTRIC CO DECIM MAL Con n frecue encia, en las recetaas de co ocina nos enccontram mos alggún inggredientte cuyaa cantid dad se mide en tazas o o cucha aradas. mo criterio ge eneral, se acep pta que e Com • 1 ta aza con ntiene 2 250 ml • 1cucharad da conttiene 15 5 ml • 1 cu ucharad dita con ntiene 5 ml Sin embarrgo, exiiste inffinidad de tablas que e concrretan esaas equivvalencias dependien ndo de cada in ngredie ente.
8. COMPARTIENDO UN HELADO
VOLUMEN DE CUERPOS GEOMÉTRICOS
Dos amigos deciden compartir un helado de cucurucho. La galleta en forma de cono tiene una altura de 12 cm y un diámetro de 5 cm. El helado que sobresale de la galleta es una semiesfera. ¿A qué altura del cono deberían cortar para que a cada uno le tocase exactamente la mitad del helado
1.‐ Cálculo del volumen del helado:
V=Vcono + Vsemiesfera
,
, ,
2.‐ Cálculo de la altura del nuevo cono (mitad del helado): A uno de los amigos le corresponde un cono de altura y de radio de la base . Para calcular y usamos el hecho de que los triángulo ABC y ADE son semjantes.
,
,
Por otra parte, el volumen de este cono debe ser
,
:
, Resolviendo el sistema
,
,
7. P PRESEN NTA ANDO EL PL LAT TO
SIM METR RÍAS
Casi ttan importan nte com mo la e elabora ación ees la presenttación del plato o. Existten mú últipless técnicas dee empla atado. Una de ellass es la CO OMPOS SICIÓN N SIMÉT TRICA
“Refe erida a a un equilibriio bilatteral yy propo orciona al entrre las p partes del pllato, co on un eequilib brio en ntre el p peso d de los d diferen ntes comp ponenttes. Exiiste igu ualdad d de peeso en llas doss partees del p plato, como o alas d de marriposa.. Transsmite u una sensació ón de o orden yy armo onía prrocedente dee la missma Na aturaleeza”.
metría re especto o a unaa recta Sim metría rrespectto a un punto Sim
3. REPARTIENDO EL PASTEL
FRACCIONES Una fracción es una porción de la unidad.
Cuatro son los ejemplos típicos relacionados con la gastronomía que se utilizan para explicar el concepto de fracción: porciones de una tarta, de un queso, de una pizza o de una tortilla. A la hora de resolver problemas para utilizar las fracciones y sus operaciones volvemos a encontrarnos con enunciados que hacen referencia a comidas y bebidas.
FG
PROBLEMA 1: La abuela ha hecho dos kilos y cuarto de mermelada y con ella ha llenado seis tarros iguales. ¿Qué fracción de kilo contiene cada tarro?
FG
PROBLEMA 3: Marta recoge en su huerta una cesta de manzanas. De vuelta a casa, se encuentra a su amiga Sara y le da la mitad de la cesta más media manzana. Después pasa a visitar a su tía Rosa y le da la mitad de las manzanas que le quedaban más media manzana. Por último, se encuentra a su amigo Francisco y vuelve a hacer lo mismo: le da la mitad más media. Entonces se da cuenta de que se ha quedado sin ninguna manzana.
¿Cuántas manzanas cogió, teniendo en cuenta que en ningún momento partió ninguna?
ED
ED
FG PROBLEMA 2: El café pierde de su peso al tostarlo. Si queremos obtener 84 kg de café tostado, ¿qué cantidad de café tendremos que poner en la tostadora?
ED