Aplicaciones de la derivada
Facultad de Contaduría y Administración. UNAM
Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
MATEMÁTICAS BÁSICAS APLICACIONES DE LA DERIVADA A través del uso del concepto de derivada se logra conocer algunas propiedades relevantes de las funciones. El estudio de estas características facilita la representación gráfica y la interpretación analítica de las mismas, lo que posibilita su mejor entendimiento. El objetivo de este capítulo es obtener información de las funciones a partir de su derivada y conocer más acerca de su comportamiento.
RECTA TANGENTE Y RECTA NORMAL DE UNA CURVA Si una función y = f ( x ) posee una derivada en el punto x1 , la curva tiene una tangente en P ( x1 , y1 ) cuya pendiente es:
m1 = tan θ =
dy dx
= f ' ( x1 ) . x = x1
Se sabe que la ecuación de la recta que pasa por un punto y con una pendiente dada es: y − y1 = m( x − x1 ) . Por lo tanto, si se sustituye la pendiente por la derivada, la ecuación de la recta tangente en un punto de una curva es:
y − y1 = Si
m=0
dy dx
(x − x1 ) x = x1
tiene tangente horizontal a la curva. Si m = ∞ tiene tangente vertical a la curva. y
y = f(x) Recta Normal Recta Tangente P (x1,y1) 90°
x
Una recta normal a una curva en uno de sus puntos es la recta que pasando por dicho punto es perpendicular a la recta tangente en él. La condición de perpendicular entre dos rectas es:
m1 ⋅ m2 = −1 ⇒ m2 = −
1
1 1 =− dy m1 dx x= x1