Exercícios de matemática aplicada ii lista 4 matrizes

Ciências da Computação – 2a Série Matemática Aplicada II- Lista 4 (Conteúdo: Matrizes) Prof. Eder Bento

Questão 01) A Tabela 1, a seguir, apresenta, em miligramas (mg), a quantidade de cálcio presente em uma porção de alimento.

Tabela 1 – Quantidade de cálcio, por porção de alimento Brócolis

Queijo

Gema

cozido

ri cot a

de ovo

150

250

100

62

670

130

Porção do alimento (g) Quantidade de cálcio (mg)

Suponha que, para se elaborarem três receitas envolvendo brócolis, ricota e gema de ovo, tenham sido usadas as quantidades de porções mencionadas na Tabela 2, a seguir.

Tabela 2 – Receitas, por porções de alimentos Re ceita

Re ceita

Re ceita

Brócolis

1 2

2 1

3 3

Ricota

1

2

1

Gema de ovo

3

2

1

Porção de

Com base apenas nos dados numéricos das tabelas, percebe-se que há duas matrizes: 2x3 e 3x3, respectivamente.

Considerando-se o elemento da segunda linha e da segunda coluna do produto das matrizes, é correto afirmar que existem a) b) c) d)

1532 mg de cálcio nas porções de ricota.

1662 mg de cálcio na receita 2.

850 g de alimento na receita 2.

750 g de alimento nas porções de ricota.

Questão 02) Uma fábrica decide distribuir os excedentes de três produtos alimentícios A, B e C a dois países da América Central, P1 e P2. As quantidades, em toneladas, são descritas mediante a matriz Q:

Para o transporte aos países de destino, a fábrica recebeu orçamentos de duas empresas, em reais por tonelada, como indica a matriz P:

a) Efetue o produto das duas matrizes, na ordem que for possível. Que representa o elemento a13 da matriz produto? b) Que elemento da matriz produto indica o custo de transportar o produto A, com a segunda empresa, aos dois países? c) Para transportar os três produtos aos dois países, qual empresa deveria ser escolhida, considerando que as duas apresentam exatamente as mesmas condições técnicas?

Por quê? 1  1  e 1 1

Questão 03) Considere as matrizes M  

2 x1  P    . Se a matriz x    é solução da equação 4   x 2 

matricial MX = P então o valor de x 12  x 22 é: a) b) c) d)

4 6 8 10

Questão 04) Sejam A, B matrizes dadas por 0 1   2 1  B    e X, Y matrizes satisfazendo A   2  1   0 1  X  Y  A às condições  , a soma dos elementos da X  Y  2 B

diagonal principal de X é: a) 2 b) 1 c) d)

2 5 2 3 2

e) 5 Prof. Eder de Paula Bento

Página 1

Questão 05) Sejam as matrizes A = (aij)2x2 em que j

aij = i e

 1 8   .

C     2 26 

a) b) c) d) e)

Se a matriz B é tal que AB =

C , então: a) b) c) d) e)

 2 B   1 0 B    1  1 B   0  1 B   3

4  5 

0.

8.

10.

16.

24.

Questão 08) Sejam

3  2 

-1 1  1 0  A    , I   0 1  0 1  

matrizes e

f ( x)  x 2  2x  3 ;

então f(A)

f uma função dada por é: a)  60 - 20 

3  5 





5  0 

b)

 1 2   B    5 0

6  0

c)

6 2  0 -2   

d)

1 0   0 1  

e)

6 -2 0 2  

Questão 06) Uma companhia de aviação pretende fazer manutenção em três de seus aviões e, para isso, definiu o período de 4 dias, a contar da aprovação das propostas, para a conclusão do serviço.

Os orçamentos (em milhares de reais) das três empresas que apresentaram propostas estão indicados na matriz A 3x3 abaixo, onde cada aij corresponde ao orçamento da empresa i para a manutenção do avião j.

Questão 09) Seja a matriz 0, se i  j a ij   . i, se i  j

a) empresa 1: avião 1; empresa 3: avião 2. b) empresa 1: avião 1; empresa 3: avião 3. c) empresa 1: avião 3; empresa 3: avião 1. d) empresa 1: avião 2; empresa 3: avião 1.

empresa 2: avião 3 e empresa 2: avião 2 e empresa 2: avião 2 e

a)

1 0    n 1

b)

c)

1 n    0 1

d)

e)

1 n 2    0 1 

1 n    1 1 n 2 0    0 n 

Questão 10) Considere as matrizes

é: a) b) c) d) e)

matriz em que x

e y são números reais, e I2 a matriz identidade de ordem 2.

Se A2 = I2, então o valor do módulo de xy é

 3x3 , em

A  a ij

que a ij   2 j e B  b ij 3x3 , em que b ij   1i . O elemento c23, da matriz C  cij 3x 3 , em que C  A  B ,

empresa 2: avião 3 e

3 -1  A   ,  x y

na qual

Sendo n um número natural não

14 −10 12 −8 4

Questão 11) A matriz inversa da matriz

Questão 07) Sejam a matriz

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A  (a ij ) 2 x 2

nulo, então a matriz An é igual a:

 23 66 17  A  19 62 12     28 57 08 

Como cada uma dessas empresas só terá condições de efetuar, no prazo estabelecido, a manutenção de um avião, a companhia terá que escolher, para cada avião, uma empresa distinta.

A escolha que a companhia de aviação deverá fazer para que sua despesa seja a menor possível será:

2  2 

a b    c d 

éa

0  1  .

2 c  3  1 

Calcule o valor de a + b + c + d. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Página 2

Questão 12) Para codificar palavras de 4 letras, por meio de matrizes, pode-se utilizar o seguinte método: I. Associa-se cada letra da palavra a um número da tabela: A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

K

elementos principal.

L

M

N

O

P

Q

R

R

T

U

V

X

Z

11 12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

que

estão

fora

da

diagonal

II. Escreve-se, com os números obtidos, uma matriz M de ordem 2 × 2.

Exemplo: A matriz correspondente à  palavra BOTA é M   220 15 1 



III. Multiplica-se M pela matriz-codificadora (C), inversível de ordem 2, obtendo-se, assim, a matriz-codificada N = C.M; IV. Para obter a matriz M, calcula-se o produto C–1.N. Uma palavra com quatro letras fora codificada pelo método acima obtendo-se a matriz 27 42  . Sabendo-se que a matriz  9 6 



codificadora utilizada foi

2 1 C   ,  - 1 1

pode-se

afirmar que essa palavra é: a) b) c) d) e)

AMOR VIDA UNIR ROSA FLOR

Questão 13) Admita que a matriz cuja inversa seja formada apenas por elementos inteiros pares receba o nome de EVEN. Seja M uma matriz 2x2, com elementos reais, tal que

 2 M x  1

3x  . x 

Admita que M seja EVEN, e que sua inversa tenha o elemento da primeira linha e primeira coluna igual a 2. a) Determine o valor de x nas condições dadas. b) Determine a inversa de M nas condições dadas.

Questão 14) Uma matriz real quadrada A é ortogonal se A é inversível e A 1  A t .

Determine todas as matrizes 2 x 2 que são simétricas e ortogonais, expressando-as, quando for o caso, em termos de seus Prof. Eder de Paula Bento

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