Enseñanza del número y el sistema de numeración Clase
1:
Complejidades
de
nuestro
sistema
de
numeración. Un poco de historia.
¡Hola, colegas! Les damos la bienvenida a esta primera clase del módulo “Enseñanza del número y el sistema de numeración – 1° ciclo”. Sabemos
que
los
números
y
el
sistema
de
numeración
aparecen
muy
tempranamente en la vida escolar y que su aprendizaje encierra complejidades que, en ocasiones, perdemos de vista, pero que son relevantes para quienes están intentando aprender. Su enseñanza ha sido objeto de reiterados análisis y revisiones. En general, siempre se ha intentado disminuir su complejidad para hacerlo más accesible a las posibilidades de aprendizaje de los niños pequeños. En algunas ocasiones, las propuestas han intentado facilitar el acceso deformando completamente el objeto de referencia. En otras, la enseñanza se redujo a la transmisión de sus reglas de uso. Numerosas investigaciones psicológicas y didácticas de los últimos años han puesto el foco sobre algunos aspectos del aprendizaje de los números que no fueron evidentes desde un principio. Dichas investigaciones dieron lugar a nuevos cambios en las propuestas de enseñanza que aún hoy siguen siendo objeto de discusión entre los docentes. “¿Es necesario enseñar las unidades, decenas y centenas? ¿Pasaron de moda los lunares y los fosforitos? ¿No es lo mismo decir “dieces” que decenas? ¿Por qué proponer las cuentas “acostadas” en lugar de las cuentas comunes? ¿Podemos usar los ábacos para enseñar los números y las cuentas? ¿Por qué se dejaron de usar los atados de fosforitos? ¿Por qué cambiar de método ahora, si los niños igualmente aprenden? ¿Es posible hacer cálculos sin saber qué es una decena? ¿Entienden los alumnos qué significa el 11 si no saben que está compuesto por una
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decena y una unidad? ¿Hay 4 o 34 unidades en el número 34? ¿Ya no se puede hablar de unidades, decenas y centenas? ¿Conviene hablar de “familias” de números? ¿Es preciso partir de lo concreto para enseñar los agrupamientos en base 10? Este tipo de preguntas –frecuentes entre los maestros en las diversas instancias de trabajo compartido- reflejan la controversia a la que nos referimos.” (Broitman et al., 2011)
Y ustedes, ¿comparten algunas de estas preguntas? ¿Tienen otras?
Ideas infantiles que nos interpelan. Volver la mirada hacia la historia de los números En una investigación llevada a cabo en la década de 1990, las investigadoras argentinas Delia Lerner, Patricia Sadovsky y Susana Wolman encontraron que niños muy pequeños, incluso antes de ir a la escuela, habían construido ciertas ideas matemáticas sobre las escrituras numéricas. En su artículo “El sistema de numeración: un problema didáctico” analizan muchas de ellas, algunas de las cuales pueden ponerse en relación directa con las características de nuestro sistema de numeración. Muchas otras, en cambio, pueden parecer extrañas. Tomemos como ejemplo algunas ideas que Pablo (6 años, primer grado), uno de los niños entrevistados, pone en funcionamiento frente al problema de comparar dos escrituras numéricas que no conoce: “(…) [Pablo] dice en primer término que 112 es mayor que 89 (señalándolos; no conoce las denominaciones) ‘porque tiene más números’, pero luego cambia de opinión: ‘No, es más grande este (89) porque 8 más 9 es 17, y entonces es más’”. (Lerner, D.; Sadovsky, P.; Wolman, S.: 1994, p. 102) Las autoras no encuentran una explicación acabada de por qué Pablo suma los valores de las cifras para comparar los números. Sin embargo, vinculan esta
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estrategia -que seguramente construye en su esfuerzo por resolver el problema que se le plantea- con una dificultad que deben enfrentar todos los niños: “(…) el criterio alternativo utilizado por Pablo da cuenta de un problema que probablemente se planteen todos los chicos en determinado momento de la construcción: ¿cómo se puede explicar que un número cuyas cifras son todas bajitas (1110, por ejemplo) sea mayor que otro formado por cifras ‘muy altas’ (999, por ejemplo)?”. (Lerner, D.; Sadovsky, P.; Wolman, S.: 1994, p. 103) Para quienes dominamos los números y el sistema de numeración, la idea de comparar los valores “sueltos” de las cifras nos parece “naturalmente” un error, producto de que no se han comprendido las reglas del sistema. Para la mayoría de los chicos, en cambio, lejos de tratarse de una cuestión natural es una de las grandes cuestiones a desentrañar en relación al funcionamiento de las escrituras numéricas. Si miramos la historia veremos, efectivamente, que muchos sistemas de numeración antiguos funcionan atendiendo a criterios muy diferentes del nuestro y, paradójicamente, muy similares a los que usan los chicos en sus razonamientos. Cuando se les pide a los niños que escriban ciertos números, suelen aparecer escrituras como las siguientes (Lerner, D.; Sadovsky, P.; Wolman, S.: 1994, p.158) Muchos de ustedes seguramente habrán tenido oportunidad de verlas en sus propias aulas. Estas producciones son, sin duda, erróneas a la luz de las reglas de nuestro sistema de escritura de números. Sin embargo, tienen una lógica similar a algunos de los sistemas de numeración
que
han
sido
inventados
y
utilizados a lo largo de la historia de la Humanidad. Les
proponemos,
entonces,
que
en
esta
primera clase volvamos la mirada hacia la historia de los números para analizar
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distintos sistemas de numeración que han existido en diferentes épocas y culturas, y compararlos con el nuestro. Las discusiones matemáticas que les propondremos sobre estos objetos nos permitirán identificar algunas de sus propiedades, a la vez que tomamos conciencia de su complejidad. Este trabajo nos ayudará también a desnaturalizar los conocimientos que tenemos sobre nuestro sistema de numeración y a que reparemos en la matemática subyacente a las reglas que lo rigen. Asimismo, nos permitirá comprender mejor la lógica de ciertas producciones infantiles que encontramos con mucha frecuencia en las aulas del primer ciclo.
¿Dónde hay números? ¿Para qué los usamos? Los números forman parte de nuestro entorno cotidiano y estamos en contacto con ellos desde muy temprano en nuestras vidas. Nuestra edad, la fecha de nuestro nacimiento, el número de nuestra casa, son solo algunos de los usos que les damos a estos objetos en nuestra cultura.
Para seguir pensando ¿Qué otros usos de los números pueden identificar en los contextos extraescolares en los que ustedes se desenvuelven? ¿En qué casos los números representan cantidades y en cuáles no?
Muchos documentos curriculares de distintas jurisdicciones recuperan la presencia de los números en contextos cotidianos y ponen en primer plano la necesidad de tener en cuenta el uso social de estos objetos para pensar las propuestas de enseñanza, especialmente cuando se trata de las primeras experiencias numéricas escolares de los niños. A continuación presentamos un ejemplo de recomendación en este sentido: “Los niños inician primer año con una variedad de experiencias numéricas. Muchos saben contar, reconocen el valor de algunos billetes y monedas, identifican algunos números escritos, pueden determinar la cantidad que representan algunos números, etc. Dichos conocimientos son asistemáticos y suelen ser heterogéneos entre los niños de una misma clase. Es muy importante generar desde los primeros días de
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clase, propuestas que les permitan usar sus conocimientos, ya que constituyen un muy buen punto de partida para nuevos aprendizajes. Es responsabilidad de la escuela generar propuestas que favorezcan su aparición en las aulas e ir progresivamente tendiendo puentes hacia aquello que se intenta enseñar y sistematizar. (…) Será importante que los niños empiecen a tener conciencia de la variedad de contextos donde se usan los números en su vida cotidiana o en la de otras personas, por ejemplo, boletos de colectivo, entradas de espectáculos, relojes, agendas, calendarios, ascensores, direcciones, números de colectivos, etc. Además de reconocer diferentes contextos de uso, los alumnos podrán identificar diferentes funciones de los números. Algunos indican cantidades, otros, medidas, otros son simples etiquetas (el número de colectivo) y otros indican un orden (el número de grado, el número en comercios o trámites para esperar a ser llamado). También podrán empezar a reconocer ciertas marcas gráficas propias de cada uso, por ejemplo, los símbolos que acompañan a la hora, la rayita en los números de TE, la coma en los precios, la cantidad de cifras en los días del mes o en los años actuales, etc.” (DGCyE, 2007)
Con
respecto
numéricas,
a
nuestras
sabemos
que su
escrituras uso
está
bastante extendido en el mundo pero, en algunas culturas, se utilizan otras. Veamos un ejemplo (Vilella Miró, 2006) en el que una niña que cursa la escuela primaria en España y que proviene de Paquistán le muestra a su maestra los símbolos que usaría en su país. Efectivamente, observemos que el ocho de la columna de la izquierda coincide con el símbolo
que
está
en
el
cuarto
lugar
(correspondiente al número cuatro) de la
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columna de la derecha. Dada la naturalidad con que vivimos la presencia de las escrituras numéricas en nuestra vida cotidiana, a veces perdemos de vista que se trata de un objeto cultural, un invento humano que ha sido creado de muchas maneras diferentes a lo largo de la historia y en distintas culturas. Pensemos, por ejemplo, en los símbolos romanos. Estos números se utilizaron en todo el Imperio Romano durante muchos siglos hasta ser abandonados en favor de las cifras indo-arábigas y sus reglas de funcionamiento. Actualmente solo utilizamos escrituras de números romanos en contextos específicos: para registrar siglos; en algunos relojes de aguja; para numerar capítulos de libros; para nombrar reyes y papas; en películas, cuando se crean sagas o para registrar el año de su realización al final de los créditos. Los contextos, las costumbres e incluso los intereses de los pueblos han podido influir en la necesidad de crear ciertos modos de contar, registrar cantidades y calcular, así como en la decisión de cambiar en algún momento de su historia unos números por otros. Otras culturas, además de la romana, han desarrollado sistemas de escritura de números que han sido estudiados hasta nuestros días y que nos ayudarán a estudiar y comprender nuestro propio sistema. Analicemos algunos de ellos.
El sistema de numeración egipcio En el Antiguo Egipto, alrededor del año 3000 a.C., se creó un sistema de numeración jeroglífico del cual se conocen los símbolos que mostramos a continuación:
Actualmente, no hay acuerdos sobre las razones por las cuales se crearon estos símbolos
pero,
en
cambio,
existen
varias
hipótesis.
Por
ejemplo,
algunos
historiadores creen que el símbolo que representa al 1000 -una flor de loto- podría
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provenir de la semejanza fonética entre las palabras mil y flor de loto en esa cultura. Otros estudiosos postulan que, dado que esta flor era la más abundante, con ella intentaban simbolizar un número “grande”. El sistema egipcio era aditivo y solo disponía de símbolos para las potencias de 10. Para escribir otros números había que combinar los símbolos existentes repitiendo los que fueran necesarios hasta nueve veces, para que la suma de todos ellos alcanzara la cantidad que se quería representar. De este modo, para escribir el número 19 debían utilizar un símbolo de 10 y nueve símbolos de 1; mientras que para representar el 20, usarían dos símbolos de 10. En la siguiente imagen podemos ver una escritura numérica utilizando este sistema. Corresponde a una piedra tallada que se encuentra actualmente en el Museo de Louvre (París, Francia):
¿Se animan a identificar la cantidad que está representada en la foto?
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El siguiente video les puede ayudar a llevar a cabo esta tarea: Sistema Egipcio
https://www.youtube.com/watch?v=UuNtdldzSRg
Los egipcios no siempre siguieron un orden muy preciso para escribir los números. Inicialmente dibujaban los símbolos uno a continuación de otro, pero luego la notación se hizo más regular, probablemente para facilitar su lectura. Es así que se formaban dos o tres líneas superpuestas de pequeños grupos de dos, tres o cuatro signos idénticos.
Debido
a
que
la
cantidad total representada por una escritura siempre resulta de sumar el valor que porta cada símbolo, su ubicación relativa no afecta el valor que se quiere representar. De esta manera, podemos aseverar que estas dos notaciones corresponden al número 3.453:
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El sistema egipcio es no posicional. Esto significa que los símbolos tienen siempre el mismo valor, independientemente del lugar en el que se encuentren dentro de la escritura. Por ejemplo, el número cuatro se representa así:
En este caso hay cuatro símbolos iguales en cuatro lugares diferentes de la escritura, pero cada uno de esos símbolos vale uno. Esto es diferente de nuestro sistema de numeración: si consideramos el número 1111, compuesto por cuatro símbolos iguales uno al lado de otro, cada símbolo tiene un valor diferente. Así, considerando las posiciones de derecha a izquierda, el 1 que está más a la derecha “vale” uno, pero el 1 que está inmediatamente a continuación –en el lugar de las decenas- no vale uno sino que vale diez; el que está a continuación, en el lugar de las centenas, no vale uno sino que vale cien; y finalmente, el 1 que está más a la izquierda no vale uno sino mil. Es decir, el mismo símbolo en distintas posiciones toma valores diferentes, en contraposición al sistema egipcio en el que un mismo símbolo en diferentes lugares vale lo mismo. El sistema egipcio tiene base diez. Esto significa que cada diez unidades de un orden se forma otra de un orden superior. En este caso, al agrupar diez “unos” se forma un diez, para el cual se introduce un nuevo símbolo; al agrupar diez “dieces”, se forma un cien que tiene un símbolo nuevo; etcétera. Con estos símbolos y estas reglas de uso es posible escribir hasta el 9.999.999, dado que para escribir el 10.000.000 se necesitaría un nuevo símbolo. Posiblemente
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en la cultura egipcia no hayan sido necesarios los números mayores al orden del millón, y por eso no se hayan ocupado de inventar otros símbolos. Un sistema como el egipcio es casi una “traducción” de las acciones de contar y agrupar. Otros sistemas inventados en otras culturas ocultaron algunas de estas acciones, resultando en escrituras un poco más económicas y, a la vez, un poco menos transparentes.
Para seguir reflexionando… ¿Cómo podríamos capitalizar lo que hemos recordado acerca del sistema de numeración egipcio para analizar producciones infantiles como la siguiente?
Liliana Tolchinsky (1995) releva en una investigación esta producción de Miriam, una niña de 4 años y 11 meses, cuando se le pide oralmente que escriba “cinco ruedas”. Las letras que utiliza intentan representar la palabra “ruedas”; los números, la cantidad “cinco”. ¿Qué conocimientos muestra tener disponibles esta niña en relación a los números y las escrituras numéricas? ¿Por qué repetirá cinco veces el símbolo del cinco (rotado)?
“(…) para muchos niños una cifra no parece ser lo suficientemente explícita para describir una colección y los niños la repiten hasta corresponder el número de cifras con el valor que intentan describir. Es como si estuvieran exigiendo de las cifras una mayor transparencia. Si en lugar de la cifra 5 utilizáramos cinco palotes IIIII veríamos directamente los elementos de la colección. Esta forma de notación es
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transparente respecto de los elementos de la colección (…) Cuanto menos símbolos tenga una notación, cuanto más económica sea, menos transparente” (Tolchinsy, 1995) En nuestro sistema decimal, la notación que produce Miriam es incorrecta. Pero queremos reparar en los conocimientos que nos está mostrando este modo de representar su idea: está claro que sabe cuál es el símbolo del cinco –aun si lo produce rotado- y conoce también la cantidad que significa –por eso escribe cinco símbolos-. Lo que aún debe aprender y será objeto de trabajo en los primeros años de la escolaridad es que, con uno solo de esos símbolos, esa cantidad ya queda representada. Un sistema de numeración como el egipcio nos ayuda a interpretar la elaboración de Miriam como un esfuerzo personal para simbolizar sus conocimientos -idea que ha sido la base de elaboraciones matemáticas de otras épocas y culturas-, y también las complejidades que supone apropiarse de un sistema mucho más económico y a la vez poco transparente como es el decimal.
El sistema de numeración chino Hace más de seis mil años, se inventó en China un sistema de numeración que consta de los siguientes símbolos fundamentales:
Hoy en día existen notaciones que varían de una región a otra, y algunas reglas y símbolos pueden cambiar. En su versión tradicional, las escrituras solían ser verticales, y se leían de arriba hacia abajo. Pero, actualmente, también se utilizan escrituras horizontales que se leen de izquierda a derecha. Para los números del 11 al 19 se combina el símbolo del diez con los signos de las unidades, de esta manera:
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Es decir, se escribe a la izquierda el símbolo del diez y a la derecha la cifra que debe sumarse al diez para obtener la cantidad correspondiente. El veinte se escribe ubicando el símbolo del dos a la izquierda del símbolo del diez:
Y para los números que siguen, se procede así:
Es decir, se forma en primer lugar el número veinte, combinando los símbolos del dos y del diez escritos en ese orden de izquierda a derecha, para indicar que sus valores se multiplican. Luego se agrega a la derecha la cifra que falta sumar al veinte para obtener la cantidad correspondiente.
En este video nos muestran la escritura de algunos números de la serie numérica hasta el cien y su pronunciación en chino mandarín: Los números en chino.
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https://www.youtube.com/watch?v=ckd4CbTo60Y El sistema de numeración chino es aditivo y multiplicativo puesto que, para formar números, se utilizan sumas y multiplicaciones. Por ejemplo, para formar el 555 hay que escribir el símbolo del 100 precedido por el del cinco, de modo de obtener el quinientos; luego, el símbolo del diez precedido del cinco, para formar el cincuenta; y finalmente el símbolo del cinco. La escritura de todo el número quedaría de este modo:
A diferencia del egipcio, en este sistema el orden en el que se escriben los símbolos resulta fundamental. Esto es así porque las operaciones involucradas en la formación del número son diferentes dependiendo del lugar que ocupen respecto de los demás símbolos. ¿Cuál de estas escrituras corresponderá al número 600? ¿Qué número representa la otra escritura? ¿Cómo se dan cuenta?
a)
b)
A pesar de la importancia en el orden de los símbolos dentro de las escrituras, este sistema también es no posicional. Esto es: cada símbolo conserva su valor original, independientemente del lugar que ocupe.
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Para comprender esta diferencia, volvamos a la escritura del 555 que analizamos más arriba. En aquel caso utilizamos tres veces el símbolo correspondiente al cinco. Lo distinto en sus tres apariciones dentro de la escritura no es el valor que toma sino la operación en la que participa, siempre con su valor 5. Así, las dos primeras veces
que
aparece,
el
lugar
que
ocupa
indica
que
se
va
a
multiplicar
respectivamente por 100 y por 10. En cambio, su tercera aparición indica que se ha de sumar. De este modo, el orden dentro de la escritura indica de qué manera –a través de qué operación- se combina con los demás símbolos para formar el número. La base de este sistema de numeración es 10, ya que cada diez unidades de un orden se forma otra de un orden superior y se introduce un nuevo símbolo para representar los números del orden siguiente. El uso de la multiplicación en la formación de escrituras numéricas significó una ventaja importante, no solo porque ahorraba la repetición de símbolos –como en el caso del sistema egipcio-, sino porque posibilitaba la creación de nuevas reglas para poder escribir números más grandes. Efectivamente, los chinos tomaron el 10.000 – el símbolo de mayor valor de su sistema- como nueva base para multiplicar, y obtuvieron escrituras para potencias de diez mayores, que combinadas con los demás símbolos servían para escribir números más grandes. Estas son algunas de ellas:
Con estas nuevas reglas y las combinaciones de símbolos que habilitaba su sistema fue posible escribir números hasta el 999.999.999.999.
El sistema de numeración romano Seguramente conocen algunas características del sistema romano. Recordemos los símbolos que se utilizan para escribir números.
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I
V
X
L
C
D
M
1
5
10
50
100
500
1.000
Para formar otros números pueden repetirse los símbolos originales hasta tres veces, y se suman sus valores. Esta restricción en la cantidad de repeticiones hace necesaria una nueva regla para la formación de otros números. Por ejemplo, repitiendo el símbolo I se pueden escribir los números 2 y 3 –respectivamente II y III-; pero para escribir el número 4 o el número 6, se combinan los símbolos del 5 y del 1, ubicados de tal manera que corresponde restar o sumar sus valores. De este modo, los números 4, 5 y 6 se escriben respectivamente: IV, V, VI.
¿Han notado que en muchos relojes el 4 se escribe IIII y no IV? En este sitio hallarán posibles explicaciones para esta curiosidad: ¿Por
qué
se
utiliza
IIII
en
lugar
de
IV?
Ver
en:
http://www.inforeloj.com/spa/item/IIII_IV.html
Tenemos entonces que, dependiendo del orden que tomen dentro de las escrituras, los valores de los símbolos que se combinen se deben sumar o restar.
Para escribir números usando estos símbolos hay que seguir algunas reglas adicionales. Una de ellas es que no se puede “restar” cualquier valor a un símbolo dado. Por ejemplo, el número 99 no se puede escribir así: IC. Tampoco el 95 se puede escribir así: VC. Esto se debe a que al cien solo se le puede restar diez. Del mismo modo, al mil solo se le puede restar cien y por eso el 990 no puede
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escribirse así XM ni el 995 así VM. Con estos símbolos y estas reglas, los romanos podían formar números hasta el 3.999, que se escribe así:
Para números mayores debieron inventar nuevas reglas que ampliaban las posibilidades habilitadas por las sumas y las restas. De este modo, agregaron ciertas marcas especiales a las escrituras para indicar que había que multiplicar. Por ejemplo, el símbolo para el 5.000 no era un símbolo nuevo, sino el mismo que se usaba para el cinco con el agregado de una raya horizontal arriba: La raya horizontal por encima de la escritura indicaba que al valor que estaba debajo de ella había que multiplicarlo por 1.000. Del mismo modo, el 4.000 se formaba escribiendo el cuatro y agregando una raya encima de la escritura; el 6.000, escribiendo el seis y agregando la raya; y así sucesivamente.
A continuación, les dejamos un video que sintetiza algunas de las ideas que hemos desarrollado sobre los números romanos: La Eduteca-Los números romanos
https://www.youtube.com/watch?v=IAtWxaQLboY
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Algunas ideas en torno a nuestro sistema de numeración El sistema numérico que usamos en la actualidad fue creado originalmente en la India, alrededor del siglo V, expandiéndose al mundo árabe y desde allí a Europa. Armamos nuestras escrituras numéricas combinando las diez cifras 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 en diferentes posiciones, y en cada una de ellas la misma cifra toma valores diferentes. Por ejemplo, el número 32 está formado por los mismos símbolos que 23. Sin embargo, la cifra 2 tiene un valor diferente en cada uno de ellos: en el primero vale dos, pero en el segundo vale veinte. Por esto decimos que nuestro sistema es posicional. La base de nuestro sistema de numeración es 10 ya que cada diez unidades de un orden se forma otra de un orden superior. A diferencia de otros sistemas con la misma base –por ejemplo, el egipcio-, en este caso al “acumular” diez unidades de un orden no introducimos un nuevo símbolo para representar los números del orden siguiente. Justamente la posicionalidad nos exime de esta necesidad. Lo que hacemos es agregar una nueva “posición” a la izquierda de nuestras escrituras, la cual permitirá escribir todos los números de ese nuevo orden de magnitud. Por ejemplo, necesitamos de una sola posición para escribir todos los números hasta el nueve; luego, agregamos una segunda posición con la cual podemos escribir todos los números desde el diez hasta el noventa y nueve, agregando una nueva posición para escribir todos los “cienes”, y así sucesivamente cuando “llegamos” a cada una de las potencias de diez.
Unas primeras comparaciones entre sistemas de numeración Hemos analizado que nuestro sistema de numeración, a diferencia de los tres sistemas antiguos presentados, es posicional. Esta diferencia tiene ciertas “ventajas” que pueden explicar el hecho de que se haya extendido por el mundo y que muchas culturas hayan abandonado otros sistemas en favor de este. Nombraremos a continuación algunas de estas ventajas: ●
Usando repeticiones y combinaciones de los diez símbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9, podemos escribir un número tan grande como queramos, aun si no supiéramos cómo nombrarlo. Esto no es así en los otros sistemas analizados,
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en los cuales las reglas de formación de las escrituras hacen necesario agregar en algún momento un nuevo símbolo o una regla especial para seguir adelante. ●
Los números que representan a un cierto orden de magnitud se escriben con la misma cantidad de cifras: los “unos”, con una cifra; los “dieces” con dos cifras; los “cienes”, con tres cifras; etc. Esto no es cierto en los otros sistemas. Por ejemplo, esta es la sucesión del “veinte” en el sistema romano: XX, XXI, XXII, XXIII, XXIV, XXV, XXVI, XXVII, XXVIII, XXIX.
●
Se pueden establecer criterios simples para comparar dos números cuyas escrituras tengan igual o diferente cantidad de cifras, lo cual no es tan sencillo en otros sistemas por no poseer las mismas características. (esto será trabajado en el foro de esta clase)
Estas ventajas de nuestro sistema por sobre los otros que hemos presentado tienen como contracara la falta de transparencia a la que nos enfrentamos para interpretar sus escrituras. En palabras de Lerner, Sadovsky y Wolman (1994): “Un sistema posicional es, al mismo tiempo, mucho menos transparente y mucho más económico que un sistema aditivo. Es menos transparente porque el valor de cada símbolo depende de la posición que ocupa, y porque esa posición es el único rastro de la presencia de la potencia de la base. A diferencia de lo que ocurre al interactuar con otros sistemas que utilizan símbolos específicos para anotar las potencias de la base, para interpretar un número representado en un sistema posicional es necesario inferir cuál es la potencia de la base por la que hay que multiplicar cada cifra.”
¿Cómo se escribe? ¿Cómo se llama? Hasta ahora solo nos hemos enfocado en las escrituras numéricas, pero nada hemos dicho acerca de los nombres de los números. ¿Qué información porta cada manera de representarlos –escrita y oral? ¿Qué relaciones podemos identificar entre ambas? Al igual que las escrituras numéricas, las denominaciones orales de los números han sufrido cambios a lo largo de la historia. En la India, lugar de origen del sistema que
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utilizamos hoy, hubo una época en la que un número como 3.729 habría sido nombrado como “nueve, dos diez, siete cien, tres mil”. Es decir, comenzaban nombrando las cifras de menor valor y agregaban el nombre de la potencia de diez a la que correspondía cada cifra. En el siglo V los matemáticos y astrónomos hindúes acortaron esta manera de nombrar los números quitando las palabras que aludían a la potencia de diez correspondiente. Un número como 3.729 pasó a nombrarse “nueve, dos, siete, tres”. Sin embargo, encontraron una dificultad para escribir números como 3.004, ya que con estas reglas debían llamarlo “cuatro, tres”; pero, ¿cómo se distinguiría de otras cantidades como 34, 304 o incluso 340, 3400, etc.? Surgió así la necesidad de crear una palabra para indicar la ausencia de unidades en una determinada posición. La palabra que utilizaron fue sunya que significa vacío. Así, el número 3.004 se hubiera nombrado “cuatro, vacío, vacío, tres”. Algunos historiadores interpretan en este modo de nombrar a los números y de considerar el lugar “vacío”, el nacimiento de la posicionalidad y del cero para esta cultura. La manera de nombrarlos siguió evolucionando y, dado que el uso de los números hindúes se extendió a muchas partes del mundo, cada idioma ha adaptado estas formas a sus propios usos y costumbres. Actualmente, en países que utilizan las mismas escrituras numéricas que nosotros, los nombres de los números ofrecen distinta información. Analicemos el caso del idioma francés. En castellano, identificamos en el nombre “setenta y cinco” que ese número está formado por un setenta y un cinco. Podemos decir que el nombre nos “informa” sobre la composición 75 = 70 + 5. En cambio en el idioma francés, setenta y cinco se dice “soixante-quinze” que, literalmente, se traduce como “sesenta-quince”. En este idioma, el nombre de este número nos informa sobre otra descomposición del mismo: 75 = 60 + 15.
¿Se animan a investigar los nombres de otros números en francés?
Les
proponemos
este
video
para
investigación: Aprende francés- Los números
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realizar
su
https://www.youtube.com/watch?v=7fEd61Ie9JA
Los niños, la numeración hablada y las escrituras Si han sido docentes de los primeros años, seguramente se habrán encontrado alguna vez con escrituras numéricas infantiles que tienen ceros intermedios “de más”. Por ejemplo, ante el dictado de dos mil dieciocho, es probable que algunos niños escriban 200018, 2000108, 20018, 20108. Las investigaciones psicológicas y didácticas de los últimos tiempos nos han enseñado que estas producciones, lejos de deberse a equivocaciones al azar, distracciones o falta de atención, son una muestra de los conocimientos que los chicos ponen en funcionamiento frente a los problemas que les planteamos, una marca de las ideas matemáticas que producen sobre los números cuando los están estudiando. Resulta interesante, además, señalar otra característica de estas producciones infantiles: “(…) es usual que los niños pequeños, ante el dictado de números que no dominan completamente, produzcan escrituras erróneas. Así, si se les dicta “dos mil tres”, muchos podrían escribir 20003, en correspondencia con lo que escuchan –escuchan “dos mil”, y escriben 2000; escuchan “tres” y escriben
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3-. Es interesante analizar que esta
escritura
corresponde exactamente a las de sistemas no posicionales, como el romano (MMIII), en el cual “se ve” el 2000 y “se ve” el 3.” (Broitman et al., 2011) Es decir, los chicos utilizan ciertas escrituras conocidas por ellos –en el ejemplo, 2000 y 3-, como si fueran “símbolos originales” (Lerner, Sadovsky, Wolman, 1994) para producir una escritura de algo que están escuchando. La numeración hablada les brinda a los niños cierta información que ellos trasladan a la numeración escrita. Analicemos un ejemplo registrado por la investigadora Bárbara Brizuela (2003) en una entrevista con Tomás, un niño de 6 años: En su artículo, Brizuela relata cómo Tomás va transformando sus conocimientos sobre el rol de los puntos en las escrituras numéricas a lo largo de las entrevistas. En este caso declara que el punto le indica que ese número es cien mil y no otro; si no tuviera el punto, el número sería –para él- mil uno. La autora analiza esta producción de Tomás y la interpreta como un esfuerzo de su parte por organizar gráficamente el número. Más adelante en su artículo comenta un producción de este mismo niño para el diez mil como 10 000, dejando un espacio entre los grupos de cifras, reinventando una notación que había sido utilizada en el año 1540 por el matemático Gemma Frisius –y que evidentemente nadie le había enseñado a Tomás-. Alrededor de estos “números grandes”, Lerner, Sadovsky y Wolman (1994: p.120) identifican algunas ideas que produce Christian, de 5 años: Experimentador
Christian
¿Cómo escribirías mil cien?
No, cien mil.
Cien mil es un número. Mil cien, ¿es No, es igual, es al revés. otro número?
¿Pero es el mismo número? Por No, porque está al revés el número. ejemplo, si yo digo que tengo cien mil australes o mil cien australes, ¿es
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lo mismo?
¿Y
cuándo
tengo
más?
¿Cuándo Cuando tengo mil cien.
tengo cien mil o cuando tengo mil cien australes?
¿Y cómo te das cuenta que mil cien Porque en mil cien está el mil primero, y es más?
el mil es más grande que el cien. (respuestas similares se producen luego al comparar diez mil y mil diez)
Las autoras analizan aquí la interacción entre la numeración hablada y la escrita, y de qué manera este niño utiliza un criterio de comparación válido para las escrituras en el contexto de la numeración oral. Nos resulta interesante poner en relación esta producción personal con la manera en que los sistemas de numeración no posicionales han resuelto la cuestión de las escrituras. Por ejemplo, los sistemas chino y romano apelaban a un cambio en el orden de los símbolos en las escrituras para obtener números diferentes –en el caso de Christian, interpretamos que utiliza las escrituras 100 y 1000 como “símbolos originales”-. Con las diferencias que podemos establecer entre las reglas de aquellos sistemas y la elaboración de este niño en torno a dos números en particular, lo que tratamos de poner de relieve es que su producción tiene una lógica interna que lejos de ser “descabellada”, responde a razones que son dignas de identificar –puesto que nos dan información sobre sus ideas-. Quisiéramos analizar un último ejemplo, que corresponde a una entrevista realizada al mismo niño del caso anterior (Christian, 5 años) (Lerner, Sadovsky y Wolman ; 1994: p.120): Experimentador
Bueno,
explicáme
antes.
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Christian
lo
que
escribiste (Lee) 100
100
200
300
400
cien
ciento
ciento
uno
dos
ciento tres
ciento cuatro
Vos dijiste antes que ibas a escribir (Piensa un rato) Iba a escribir hasta ciento hasta que se acabara el cien. ¿Cuándo nueve (agrega a su serie 500) se acaba el cien? 100
200
300
400
500
Es el ciento cinco (señalando 500) El mismo, ¡¡mirá!! (mostrando la escritura anterior
de
500
que
él
mismo
había
producido) ¿Cuál era ese?
Quinientos.
¿Y este? (señalando el que acaba de Ciento cinco. producir) ¿Y te parece que quinientos y ciento No. cinco se escriban igual? ¿Y cómo nos damos cuenta de cuál es Hago uno grande y otro chiquito. cuál? ¿Con los mismos números?
A este (al que había interpretado antes como quinientos) le hago una rayita: 500 y al otro lo dejo sin raya.
¿Con raya cuál es?
Quinientos.
¿Y sin raya?
Ciento cinco.
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Nos resulta interesante destacar su idea de utilizar una raya para distinguir una escritura de otra -500 y 500, para el quinientos y el ciento cinco respectivamente-. El uso de marcas que agregadas a un símbolo original de un sistema lo transforma en otro número nos recuerda a la idea romana para multiplicar por mil. Nuevamente, no estamos diciendo que la idea de Christian es equivalente a la regla del sistema romano. Estamos queriendo poner de relieve que las escrituras infantiles son esfuerzos personales para simbolizar las ideas que producen en relación a los números. Pero también, que no son ideas carentes de “lógica”; reglas como esta han sido elaboradas, han funcionado y han tenido validez en otros momentos de la historia de la matemática.
Para terminar Hemos analizado en esta última parte de la clase que los niños elaboran ideas sobre las escrituras numéricas y sobre los nombres de los números a partir de las interacciones que tienen oportunidad de transitar con ambas maneras de representar a estos objetos matemáticos. La numeración hablada les brinda a los niños cierta información que trasladan a la numeración escrita, así como la numeración escrita les provee datos que utilizarán en la numeración hablada. Pero la matemática subyacente a estos dos modos de representación de lo numérico –oral y escrito- no es la misma. ¿Qué impacto tienen estas diferencias entre lo escrito y lo oral en las ideas que los chicos producen en torno a los números? ¿De qué manera podríamos capitalizar las ideas que los chicos elaboran, así como las diferencias entre lo oral y lo escrito para planificar la enseñanza? Sobre estas cuestiones trabajaremos en la Clase N° 2. ¡Hasta la próxima!
Actividades obligatorias A continuación les presentamos las actividades para esta clase:
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Foro de presentación Para iniciar el intercambio con colegas en este módulo les solicitamos que pasen por el Foro de Presentación. Allí, además de presentarse, incluyan alguna reflexión acerca de su propia experiencia enseñando o aprendiendo los números y el sistema de numeración, o bien algunas preguntas que se formulen en relación a su enseñanza en el primer ciclo.
Foro
“Análisis
del
funcionamiento
de
distintos
sistemas
de
numeración” En el inicio de esta clase realizamos un recorrido a través de los distintos sistemas de numeración que se han creado y utilizado a lo largo de la historia. A continuación, seguiremos analizando y explicitando algunas características del nuestro, para ello los invitamos a participar analizando las siguientes cuestiones: - En todos los sistemas de numeración, es posible determinar si un número es mayor que otro... ¿qué criterios nos permiten realizar esa comparación en nuestro sistema de numeración? ¿es válido el criterio que enunciaron en otro sistema? ¿por qué? Realicen una comparación de nuestro sistema con otro que ustedes elijan. ¿Hay diferencias? ¿a qué se deben? - En nuestro sistema de numeración se utiliza un símbolo especial para representar al cero. ¿Por qué creen que en otros sistemas no se utilizó? ¿Qué influencia tiene existencia en la comparación de dos números? ¿Qué sucede en otros sistemas? Si lo precisan, pueden escribir ejemplos “a mano” para construir sus explicaciones. Si quieren compartirlos en el foro, pueden sacarles una foto y subirlas. En este foro se valorará que sus intervenciones estén argumentadas desde los aportes de las clases, que se retomen las participaciones de los colegas y que busquen ampliar intervenciones de los mismos, evitando intervenciones aisladas.
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Actividades optativas
Foro grupal Además de los foros mencionados en el apartado anterior, observarán también un foro grupal.
Este foro solo puede ser visualizado por los
integrantes de cada grupo. Los invitamos a conocerse en este otro foro anticipando que en la clase 2 deberán trabajar en forma grupal.
Foro de consultas A lo largo de toda la cursada contarán con este foro para consultar y evacuar todas las dudas que vayan teniendo.
Bibliografía de referencia ●
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Brizuela, B. (2003): “Números y letras: primeras conexiones entre sistemas notacionales”. En Teberosky, A.; Soler Gallart, M. (eds.): Contextos de alfabetización
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Editorial. ●
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http://www.mecaep.edu.uy/pdf/matematicas/2015/Jornada%20I/Maestros/l erner_sadovsky_sist_num_1.pdf
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http://www.mecaep.edu.uy/pdf/matematicas/2015/Jornada%20I/Maestros/l erner_sadovsky_sist_num_2.pdf
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Postítulo docente- Especialización Superior en Enseñanza de la Matemática para Nivel Primario- CePa – Ficha de Sistemas de Numeración, 2004.
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Vilella Miró, X. (2006): “Matemáticas y culturas: Una relación pendiente de profundizar”. Revista Suma #52, Junio 2006, pp. 51-61. Recuperado de http://revistasuma.es/IMG/pdf/52/051-061.pdf
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Cómo citar este texto: Instituto Nacional de Formación Docente. Clase 01. Complejidades de nuestro sistema de numeración. Un poco de historia. Especialización docente de Nivel Superior en Enseñanza de la Matemática en la Escuela Primaria. Buenos Aires: Ministerio de Educación y Deportes de la Nación.
Esta obra está bajo una licencia Creative Commons Atribución-NoComercial-CompartirIgual 3.0
Autores del material: El diseño y escritura de las clases del módulo fue realizado por: Verónica Grimaldi, Ruth Schaposchnik y Silvia Segal.
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