Enseñanza del número y el sistema de numeración
Clase 3: Estudio de una propuesta didáctica para los primeros abordajes de las regularidades en la serie numérica.
¡Hola, colegas! En esta clase, nos proponemos continuar con el análisis que iniciamos en las clases anteriores de propuestas didácticas vinculadas con las primeras exploraciones de las regularidades de la serie numérica, y con las relaciones entre la numeración oral y la numeración escrita. En esta oportunidad, nos vamos a detener a profundizar el estudio de una propuesta didáctica que tiene por objetivo promover en los niños avances en la interpretación de los números a través de un análisis de las relaciones entre la numeración hablada y la numeración escrita y la exploración de algunas regularidades en la serie numérica del 1 al 90. ¿Cómo abordar el estudio más sistemático de un rango de números? Durante mucho tiempo se creyó que los alumnos debían aprender los números en forma ordenada, de uno en uno y de diez en diez. Del mismo modo, se pensaba que era necesario que pudieran descomponer en unidades y decenas para poder aprender a leer, escribir y ordenar números. Hoy se sabe -gracias a muchas investigaciones y desarrollo didácticoque para los niños es más sencillo aprender a leer, escribir y ordenar números si se enfrentan a una porción más grande de la serie.
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Por ello se propone que desde el inicio de primer año y durante los primeros meses de clase, se trabaje conjuntamente con la serie al menos hasta 100 de manera global. En cada año se propone simultáneamente una exploración de números de todos los tamaños, como ya ha sido señalado. Y por otra parte, se explicita un rango posible (100 ó 150 en 1º; 1.000 ó 1.500 en 2º, etc.) con la idea de no limitar la serie con un número máximo. (DGCyE:2001) En líneas generales, la propuesta que abordaremos consiste en una serie de clases durante las cuales se toma como eje para las actividades un juego de lotería tradicional al que, como veremos, se le agregan algunas reglas y ciertas pautas organizativas para adaptarlo a los objetivos didácticos planteados. Ustedes podrán encontrar entre la bibliografía de esta clase el documento “Interpretación de números y exploración de regularidades en la serie numérica. Propuesta didáctica para primer grado: ‘La lotería’”, que contiene una descripción completa y un análisis detallado de la propuesta, incluyendo algunos fragmentos de registros de clases que se tomaron durante la implementación del proyecto.
La secuencia didáctica que aquí se presenta tiene como finalidad promover avances en la interpretación de números por parte de los niños, así como un análisis de las relaciones entre la serie oral y la serie escrita. Es una reelaboración de la producida originalmente en el contexto de las investigaciones UBACYT dirigidas por Delia Lerner1 a partir del estudio minucioso de la puesta en marcha de la primera versión de la secuencia realizada en varias escuelas. El análisis de las diferentes interpretaciones a partir de las intervenciones didácticas propuestas, el seguimiento de la evolución de los conocimientos de la clase en general y de algunos niños en particular, y de la secuenciación de los problemas propuestos a los alumnos, nos han permitido
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rediseñar la secuencia en vistas a una mejor comunicación de las intenciones didácticas originales y de los avances encontrados. El proyecto mencionado se inscribió inicialmente en dos líneas de investigación.
Por
una
parte,
estudios
psicogenéticos
sobre
las
conceptualizaciones infantiles acerca del sistema de numeración y, por otra parte, investigaciones didácticas que estudian el funcionamiento de secuencias de enseñanza. (Broitman y Kuperman: 2004) Además de su valor como herramienta para la enseñanza del sistema de numeración, esta secuencia nos servirá como soporte para volver sobre algunos aspectos del enfoque didáctico desde el que nos posicionamos, ya planteado en el módulo general. También nos servirá como contexto para analizar algunos ejemplos de cómo este enfoque puede desplegarse a través de ciertas modalidades para la gestión de las clases, así como para la interpretación y el análisis de lo que allí sucede. Primero presentaremos una descripción sintética de la secuencia. En segundo lugar, analizaremos algunos de los fragmentos de clase a través de registros escritos y, por último, retomaremos algunos aspectos generales del marco didáctico al que nos referimos. ¡Para profundizar! Antes de continuar, les puede resultar de utilidad volver sobre las siguientes cuestiones ya tratadas en las clases anteriores: 1) Realicen un punteo de las diferencias entre la numeración escrita y la numeración hablada en nuestro sistema de numeración. 2) ¿Con qué objetivo se utilizan los “cuadros de números” en el primer ciclo? Mencionen algunos ejemplos de actividades en los que podrían aparecer.
Sobre el origen de la propuesta Como dijimos en clases anteriores, gracias a las investigaciones llevadas a cabo sobre sobre la producción, la interpretación y la comparación de escrituras
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numéricas, conocemos que los niños elaboran conceptualizaciones propias a partir de su interacción con los números en diversos contextos sociales, antes de su ingreso a primer grado. Teniendo en cuenta lo anterior, los especialistas buscan generar condiciones propicias para el despliegue de las hipótesis infantiles, a la vez que van formulando, probando y reformulando propuestas de enseñanza que toman en cuenta las ideas que los niños construyen acerca del sistema de numeración como punto de partida. Es decir, trabajan simultáneamente en el diseño de “situaciones de aula” específicas que posibiliten que se movilicen y se pongan en juego estas ideas, que son las que están tratando de investigar. Por otra parte, en relación con las características del objeto matemático (el sistema de numeración), una de las cuestiones clave consideradas actualmente para esta etapa del aprendizaje es apuntar a situaciones didácticas en las que los niños tengan oportunidad de utilizar la numeración escrita “sin dosificaciones” y sin utilizar recursos que mediaticen los agrupamientos, de modo que se propicie una interacción con el sistema de numeración, dentro de un rango pertinente, pero en toda su
complejidad. Acorde con
esta idea, se buscó diseñar situaciones
problemáticas en las que se propusiera a los niños interactuar directamente con escrituras numéricas de un rango importante de la serie, en este caso, los números de 1 a 90. “¿Por qué partir de la interacción de los niños con las escrituras numéricas? Porque la numeración escrita es un objeto social con el que ellos están en contacto antes y fuera de la escuela y acerca del cual elaboran desde temprano conceptualizaciones propias – tal como lo han mostrado diversas investigaciones– […] Considerar lo que los niños ya saben acerca del objeto de conocimiento, diseñar situaciones didácticas que les permitan poner en juego sus conceptualizaciones y les planteen desafíos que los inciten a producir nuevos conocimientos son condiciones esenciales para un proyecto didáctico que aspira a engarzar los conocimientos infantiles con los saberes culturalmente producidos” (Lerner:2005) Así, se busca proponer problemas donde los alumnos tengan que, por ejemplo, “usar la numeración”, movilizar lo que saben para resolver cómo anotar e interpretar escrituras numéricas que aún no conocen, anticipando la posibilidad de
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que no logren hacerlo convencionalmente pero, sin embargo, sin que se les explique previamente cómo hacerlo. Durante los abordajes de estas situaciones, los niños detectarán regularidades y la formulación de estas regularidades constituirá un primer paso para que comiencen a reflexionar sobre
ellas, para
que
puedan
avanzar posteriormente hacia
la
comprensión de la numeración escrita. Es necesario tener en cuenta que será un recorrido largo en el que no todos los niños partirán del mismo punto y, seguramente, tampoco avanzarán a la misma velocidad.
Síntesis de la propuesta didáctica “La lotería"
La secuencia se plantea en varias etapas de trabajo, organizadas en torno a un juego
de
lotería
tradicional
con
los
números del 1 al 90. Desde el inicio, se introduce una nueva regla para el juego: al
cantar las bolillas, se debe
evitar
mencionar por separado las cifras que componen el número. Se establece que, cuando los niños que “cantan” no saben el nombre del número que les toca cantar, o cuando alguno no conoce
el
número
mencionado
para
buscarlo en su cartón, los compañeros podrán ayudarlos pero sin decirles el nombre del número, en el primer caso, o su
escritura,
en
el
segundo,
sino
ofreciéndoles “pistas”.
A medida que los números van saliendo, se anotan en el pizarrón. También se
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realiza un registro para toda la clase de las pistas que se van utilizando. Una vez que el juego se instala en la clase – lo cual supone que se ha jugado varias veces en diferentes días- se introduce una nueva instancia. Se trata de una grilla para ubicar y controlar, una vez finalizado el juego, los números que han sido “cantados”. Esta grilla tiene 10 columnas y 10 filas. En la primera columna están ubicados los números “redondos” (0, 10, 20, etc.) y en la primera fila, en orden, las diez cifras de nuestro sistema de numeración. El resto de las casillas de la grilla, inicialmente está vacío y, una vez que ha finalizado el juego, los niños lo completan con los números que han salido.
Las autoras del documento proponen una duración aproximada de unas doce clases, durante las cuales el grupo se irá organizando en formas distintas, y se plantearán diversas tareas y debates, como veremos a continuación. 1) En una primera etapa, se trabaja en forma colectiva, y con los niños organizados en parejas. Se juegan algunas rondas en forma tradicional, con el objetivo de propiciar la circulación de estrategias para ubicar y para controlar la correcta ubicación de los números cantados en los cartones. En esta primera instancia el docente es quien “canta” los números. 2) En la segunda etapa, se vuelve a realizar el juego pero ahora, los niños, en parejas, deben “cantar” los números en forma rotativa. Nuevamente, se propicia la circulación de estrategias en forma de pistas dadas por el docente o por los compañeros. En este caso, se trata de pistas para saber cómo se llama un número. Se buscará, en particular, promover el apoyo en los “nudos” de la serie o “números redondos” como estrategia para vincular la escritura de los números con su denominación oral.
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3) En la tercera etapa, se organiza a los niños en grupos reducidos, cuidando que estos estén conformados por niños de niveles próximos. En esta instancia, se busca ofrecer a los niños menos avanzados ocasiones para fortalecer y para reelaborar los conocimientos puestos a circular tanto en la primera como en la segunda etapas, es decir, pistas para saber cómo ubicar en el cartón un número cantado, y pistas para saber cómo cantar un número. Mientras la mayor parte del grupo continúa entre la primera y segunda etapa, grupos reducidos de hasta cinco niños irán realizando el trabajo que se propone en la tercera etapa dentro del aula o, eventualmente, fuera de ella. Como ya se ha señalado, la finalidad de esta etapa será ofrecer a los niños menos avanzados en la interpretación de números la oportunidad de encontrar mejores estrategias para poder hacerlo. Otro espacio de trabajo más reducido y mejores condiciones didácticas podrán ayudarlos a producir nuevos avances. Para estas clases los grupos serán rotativos según las necesidades. Será importante que el maestro comunique a los alumnos la finalidad por la cual hacen este trabajo: aprender a “cantar” con mayor facilidad. Se necesitarán las bolillas y las pistas que se hayan confeccionado en clase hasta el momento a modo de referencia, también portadores que se han utilizado habitualmente. Si algún portador no hubiera sido utilizado mucho hasta ese momento, el maestro puede llevarlo y proponer su uso. En esta parte, cada niño saca por turno una bolilla e intenta interpretarla. Los demás deben estar atentos para dar su opinión o bien dar pistas para ayudar a la interpretación. Cuando los niños sacan una bolilla, es necesario anunciar a los demás que se “dará tiempo para pensar”; el maestro puede escribir el número que salió para que los demás interpreten ese número y emitan opiniones al escuchar como lo nombra el compañero. Posiblemente, en clases anteriores, hayan circulado estrategias -como contar desde uno – y el uso de portadores que será necesario retomar. Se podrán ajustar las pistas e incorporar nuevas que será interesante -en otro momento- comunicar al resto del grupo. (Broitman y Kuperman: 2004)
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4) En la cuarta etapa, se comienza la
construcción
de
grillas
de
control, en las que se realizará un seguimiento de los números que se van cantando durante el juego. En
esta
etapa,
se
propicia
la
puesta en juego de un nuevo tipo de pistas: aquellas que servirán para localizar cada número en la grilla. Nuevamente, se buscará, primero, que los niños expliciten las estrategias que les permiten ubicar un número en la grilla y luego,
que
se
reutilicen
las
estrategias propuestas. 5) En una quinta etapa, se juega a la lotería nuevamente en pequeños grupos, incorporando las grillas de control. 6) Nuevamente se juega a la lotería con la incorporación de la grilla de control en grupos niños
pequeños, de
conformados
dificultades
con
próximas,
en
similitud con lo realizado en la etapa 3. 7) En esta última etapa se propone la sistematización
de
los
conocimientos
producidos durante toda la secuencia. Hasta aquí, hemos realizado una descripción sintética de la propuesta y ahora abordaremos un estudio más detallado de algunos aspectos didácticos involucrados en ella, a través del análisis de algunos diálogos registrados en distintas clases, durante la implementación. Vale la pena destacar que ya resulta visible la idea de que el recorrido propuesto está conformado por un plan de actividades vinculadas entre sí a las que se
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dedicarán varias clases, en las que se propone volver una y otra vez, en una especie de espiral, sobre las cuestiones centrales que la guían. Es decir, estamos estudiando y analizando una secuencia didáctica. Más adelante volveremos sobre qué significa esta idea más allá de esta propuesta en particular.
Análisis de algunas situaciones de aula. Los errores más comunes de los niños. Algunas intervenciones posibles del docente. Los fragmentos de clase que se presentan a continuación son registros que fueron tomados durante la implementación de la secuencia que estamos estudiando. Situación 1 María saca el 16. María: -El dieciséis Leo mira su cartón y dirigiéndose a M le dice: -No sé cuál es. M: -Leo necesita una ayuda. ¿Quién puede decir una? Mariana: -Yo lo tengo acá, yo lo tengo acá (refiriéndose al 61). M: -Pero Leo pide una pista. ¿A quién se le ocurre una? ... M: -A ver, Leo, querés fijarte acá (calendario) Este (señalando el 10), ¿lo conocés? Leo: -Sí, diez. M: -¿Podrás fijarte desde acá? Leo: -Once, doce, trece, catorce, quince, dieciséis... ¡Ah! El uno y el seis. M: ¡Momento! Tenemos un problema. Mariana dice que lo tiene y Marisa también, pero marcaron dos números diferentes. (61 la primera y 16 la segunda). Florencia: -Primero va el uno y después el seis, y ahí está primero el
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seis y después el uno. M:- A ver si lo que hizo Leo nos ayuda… Florencia: -Diez (señalándolo en el centímetro), once... dieciséis. ¿Ves? Es el uno y el seis.
Antes de continuar con la lectura, les proponemos que respondan a las siguientes preguntas: Preguntas sobre la Situación 1 - ¿Cómo interpretan el error de Mariana? ¿Cómo interviene el docente frente a este error? -
En
este
episodio
aparecen
mencionados
explícitamente
dos
portadores que se están usando en esta aula: el centímetro y el calendario. ¿Qué función cumplen? ¿Conocen otros portadores que podrían utilizarse? Este fragmento presenta un ejemplo de uno de los errores que emergen con frecuencia. Es común que los niños produzcan lo que llamamos inversiones, es decir, que intercambien la cifra de las unidades y la cifra de las decenas entre sí, como hace Mariana, al confundir el 61 con el 16. Es interesante notar que, si bien esta escritura (61) no se corresponde con la escritura convencional del número dieciséis, quien la propone evidencia conocer que el número buscado se compone
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de dos cifras e, incluso, identifica cuáles son las cifras, aunque aún no domina la importancia del lugar que ocupa cada una de las cifras en relación con el nombre del número. Frente a las expresiones de los chicos -ya sean estas correctas, erróneas o dudosasel docente interviene realizando una devolución del problema a los alumnos: en un caso, sugiriendo la remisión a los portadores presentes en el aula; en otro, haciendo pública y sosteniendo la duda planteada entre dos propuestas para el mismo número. También pide a los compañeros que ayuden con pistas y explicita una de ellas: el uso de los nudos o números redondos (en este caso el 10) para ubicar el número buscado y, en otro caso, apelando a destacar la estrategia utilizada por uno de los niños. Estas intervenciones del docente tienen la intencionalidad de, en algunos
casos,
promover
las
discusiones sobre los conocimientos involucrados y, en otros, hacerlos circular para todo el grupo. Y estos modos también
de
intervención
irán
docente
conformando
una
modalidad de trabajo y un vínculo con el conocimiento que pretende propiciar el involucramiento de los alumnos
con
las
cuestiones
planteadas. En relación con la posibilidad de que sean los mismos niños quienes puedan generar las pistas requeridas, esta será una meta a lograr que demandará cierto tiempo. Es posible que los niños, paulatinamente, incorporen y “copien” de sus docentes algunos modos de intervenir, de modo de dar cierta ayuda sin decir la respuesta. Los niños deben entender qué decir y qué no para ayudar a otro y, al mismo tiempo, entender por qué algo se constituye en ayuda.
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La elaboración colectiva de “pistas” para ayudar a un compañero es un proceso complejo que se desarrolla a lo largo del tiempo y que supone numerosas discusiones colectivas. A través de estas discusiones van emergiendo en la clase una serie de pautas que permiten a los niños tanto entender cómo se puede ayudar a otro como comprender por qué ciertas estrategias resultan útiles para dirimir las dudas que se presentan frente a la necesidad de interpretar números en forma oral o escrita. (Postítulo docente- Especialización Superior en Enseñanza de la Matemática para Nivel Primario- CePa – Ficha, 2006.)
En
este
fragmento
de
clase,
advertimos señales de cierto entorno con una modalidad de trabajo ya instalada: portadores presentes en el aula, los niños incorporando su uso casi
espontáneamente,
explicitación numéricas
de que
las
la
relaciones
encuentran,
la
aceptación natural de las dudas y de los errores cometidos como parte del trabajo. Situación 2 Un alumno saca el veintisiete y lo lee como ochenta y siete. Maestra: -¿Te sirve saber cuál es éste? (Escribe 20) -Este es el veinte, es el veinte, ¿te sirve saber que este es el veinte para decir que número es este? (Señala el 27 de la hoja) Alumno: -Sí, es el veintisiete.
Antes de continuar con la lectura, les proponemos que respondan a las siguientes preguntas.
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Preguntas sobre Situación 2 - ¿Cómo interpretan el error de Tomás? ¿Cómo interviene el docente frente a este error? - ¿Cómo se podría enunciar, de un modo general, la pista que aparece en este fragmento? En este fragmento, aparece otro de los errores más frecuentes que producen los niños que están aprendiendo los conocimientos básicos del sistema de numeración, al que llamamos sustitución de decenas. Al
manifestar
correspondientes
este a
error, las
los
niños
unidades
pero
identifican sustituyen
correctamente el
nombre
las
de
la
cifras cifra
correspondiente a la decena por otro. Al igual que en el caso de las inversiones, también aquí podemos notar que el niño ya está reconociendo que el número tiene dos cifras, y también identifica la cifra correspondiente a las unidades, en concordancia con la numeración hablada, pero todavía desconoce el nombre de la cifra correspondiente para las decenas. En este caso, el problema devuelto al alumno consiste en establecer relaciones entre el número que se desea interpretar y el nudo inmediatamente anterior; el resto de la información es ofrecida por el docente. Diversas investigaciones dan cuenta de la importancia que tienen los “números
redondos”
-decenas, centenas y
unidades de mil...,
exactas- tanto para la interpretación como para la producción de escrituras numéricas. “... los niños se apropian en primer término de la escritura convencional de la potencia de la base y la escritura de los otros números correspondientes a esa potencia se elabora sobre ese modelo conservando la cantidad de cifras...” (Lerner, Sadovsky, Wolman: 1994). Al interpretar números escritos cuya denominación oral no conocen, los niños se apoyan en la correspondencia entre la serie numérica oral y la serie escrita, así como en el conocimiento de la escritura convencional del nudo inmediatamente anterior al número que se intenta interpretar. Cuando esta última escritura no es conocida, los niños pueden en algunos casos reconstruirla apelando a
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la serie de los nudos. (Broitman y Kuperman: 2004)
Situación 3 En el extracto de clase que citamos a continuación, dos alumnas piden alguna pista para cantar el número que han sacado (63), la maestra señala la serie de nudos que ya estaba escrita en el pizarrón y hacen un conteo entre todos. Alumnos: -Diez, veinte, treinta, cuarenta, cincuenta, sesenta, setenta... Alumno: -Ochenta, noventa, cien. Maestra: -¿Las ayuda? Alumnos: -Sí. Maestra: -¿Cuál les sirve? Los alumnos señalan el 60. M:- ¿Cuál es ese? Alumnos: -Sesenta. M: -¿Y cuál es éste? Alumnos: -El sesenta y tres.
Como
se
aprecia
en
el
diálogo
registrado en esta situación, la docente, al intervenir, solo ofrece como pista la serie de nudos completa, sin informar cuál
es
el
nudo
que
sirve
para
interpretar el número en cuestión y sin recitar la serie. En la actividad siguiente nos proponemos diferenciar en forma un poco más sutil, “hilar más fino”, entre
distintas
intervenciones
propuestas en relación con los nudos de la serie, o “números redondos ”.
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Antes de continuar con la lectura, les proponemos que respondan a las siguientes consignas. Preguntas sobre la Situación 3 ●
Expliquen -usando ejemplos si los necesitan- las diferencias que encuentren
entre
los
siguientes
modos
de
intervención
relacionados con los nudos: o
El docente escribe y nombra el nudo que ofrece como pista.
o
El docente ofrece el nudo en el contexto de la serie.
o
El docente recurre a la serie de nudos, el niño decide en cuál detenerse.
Estas diferentes formas de devolver la responsabilidad al alumno muestran la tensión entre la información que brinda el docente y los conocimientos que los alumnos deberían poner en juego para resolver el problema. En todas las modalidades de intervenciones con los nudos ya mencionadas, el docente remite a la escritura del nudo. Sin embargo, los conocimientos relativos al sistema de numeración que se ponen en juego en cada una de las situaciones son diferentes ya que varía la magnitud del problema devuelto a los niños. En la medida en que coexistan diversas intervenciones, estas podrán ayudar a que se movilicen diferentes conocimientos en la clase. En este sentido,
sería
interesante
poner
en
juego
las
intervenciones
comenzando por aquellas más “abiertas” para ir ofreciendo otras más “cerradas”. Algunas resultarán fértiles para ciertos niños mientras que otras intervenciones lo serán para otros. Incluso, a un mismo niño una intervención puede no ayudarlo en determinado momento, mientras que en
otro
puede
permitirle realizar un
avance. (Broitman
y
Kuperman: 2004) Hemos analizado algunos fragmentos de registros de clase que nos permitieron poner de relieve los errores más frecuentes, así como algunas de las intervenciones
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que anticipadamente el docente puede prever. Como dijimos al comienzo, les queda como tarea la lectura del material completo, que les permitirá revisitar algunos de las partes ya trabajadas, y completar la lectura del resto de los ejemplos analizados. Antes de continuar la lectura, les proponemos que reflexionen en torno a las siguientes cuestiones: Esta secuencia podría implementarse cuando la mayoría de los niños del grupo ya dominan los números o cuando aún no los conocen. ¿Cuál sería la finalidad de implementarla en uno u otro caso?
Para que los niños puedan aprender matemática, es necesario que se enfrenten a situaciones que les generen desafíos genuinos, es decir, que sean verdaderos “problemas”. Por eso, esta propuesta está pensada para ser implementada durante el primer período de primer grado, es decir, cuando los niños aun no tienen dominio de la serie numérica del 1 al 100. Si se planteara la misma secuencia después de que los niños ya hubieran realizado un trabajo sistemático con los números de 1 a 100, esta no constituiría una situación de enseñanza, ya que en ese caso estaríamos proponiéndonos enseñarles conceptos que, en verdad, ya han adquirido. No obstante, cabe mencionar que, en cada etapa de la escolaridad, el hecho de plantearles un desafío no supondrá que estemos pensando en que sabrán cómo resolverlo correctamente desde el primer intento. Asumimos que las primeras estrategias, tanto las exitosas como las que sean abandonadas en el transcurso de la resolución, constituirán el punto de partida sobre el cual irán construyendo y afianzando los nuevos conocimientos.
Sobre la idea de secuencia Ahora que ya tienen un panorama de esta propuesta. Nos referiremos a algunas cuestiones didácticas más generales.
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La propuesta que estamos estudiando es un buen ejemplo de lo que llamamos una secuencia didáctica. La llamamos así porque no está conformada por un conjunto de actividades pensadas en forma aislada, sino que por el contrario, están atravesadas por un hilo conductor, y articuladas de forma tal que cada instancia se vincula con la anterior, retomando lo ya trabajado y agregando algún elemento o introduciendo alguna variante sobre los elementos que intervienen en la actividad. Es importante que noten que, más allá de los distintos modos de organización descriptos, también se van variando las condiciones y las tareas propuestas a los niños. Por ejemplo, si bien hay una estrecha relación entre las consignas planteadas, no es lo mismo “elaborar pistas para cantar los números”, que “elaborar pistas para ubicar los números cantados en los cartones”. Por otra parte, al desarrollar un análisis de esta secuencia, no solo se describen las actividades a realizar, sino que también se explicitan los objetivos planteados para cada una de las instancias, los procedimientos y las estrategias que se espera permita desplegar cada una de ellas y algunas de las intervenciones que, anticipadamente, se proponen al docente para realizar, acorde al desarrollo particular que lleve a cabo con sus alumnos. Otro de los elementos explicitados para las distintas etapas propuestas son algunas de las conclusiones que se espera elaborar y también algunas alternativas para el registro de estas conclusiones de modo de ir, progresivamente, institucionalizando en cada grupo los conocimientos que se van elaborando. Algunas de estas conclusiones serán más particulares y otras más generales; algunas serán provisorias o aproximadas… Si bien es importante que el docente las anticipe, cabe recalcar que estas deberán ir surgiendo como producto del trabajo con el grupo y no ser impuestas prontamente por él. Destaquemos también que planificar la enseñanza en términos de “secuencias de actividades” para el abordaje de cada contenido, se corresponde con la idea de que no será suficiente una sola interacción con el objeto de conocimiento para que los niños lo aprendan. Será necesario volver a ponerlos en contacto con los conceptos a través de distintas actividades, en distintas situaciones, en distintos contextos, con diversos grados de complejidad, proponiéndoles distintos tipos de tareas… Y, naturalmente, planificar todas estas instancias implicará también contemplar tiempos acordes a los procesos que se estarán propiciando.
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Retomemos algunas cuestiones de la Didáctica de la Matemática que hacen al marco de referencia general en el que se inscribe esta propuesta, tal como están planteadas en el inicio del documento. El lugar del docente ha sido conceptualizado a partir de diversos procesos En primer lugar, el proceso de devolución, que consiste en introducir y sostener al alumno en un funcionamiento relativamente autónomo frente a los problemas que se le plantean de tal modo que se involucre cognitivamente en la búsqueda de respuesta al desafío que la situación le presenta; complementariamente, el proceso de institucionalización que establece, entre los conocimientos producidos en las interacciones con las situaciones mencionadas, aquellos que formarán parte de un cuerpo de conocimientos compartidos por el grupo y que corresponden -en términos generales- a conocimientos compartidos por la cultura (Brousseau, 1986; 1994). Entre las principales hipótesis que subyacen a la presente secuencia se destacan: ●
Las situaciones didácticas centradas en la interpretación o la producción de notaciones numéricas, así como en la vinculación entre la notación numérica y las operaciones subyacentes a ella, plantean problemas desafiantes para los niños que están apropiándose del sistema de numeración, favorecen tanto el debate
como
la
circulación
de
información
acerca
de
la
numeración escrita y promueven la producción de nuevos conocimientos. ●
Al interpretar o producir números escritos, cuya denominación oral o cuya escritura convencional no conocen, los niños se apoyan en la correspondencia entre la serie numérica oral y la serie escrita, así como en el conocimiento de la escritura convencional de los nudos (“números redondos”).
●
La institucionalización progresiva de aquellos aspectos del contenido que han sido reconstruidos por la mayoría de los
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alumnos de un grupo contribuye al aprendizaje de todos – oficializa lo aprendido, ayuda a identificar y revisar lo que es necesario aprender (Broitman y Kuperman: 2004) En esta clase hemos avanzado sobre el estudio de una secuencia didáctica. En la próxima clase seguiremos trabajando a partir de la visualización de algunas clases que han sido filmadas. ¡Hasta la próxima clase!
Actividad obligatoria Actividad grupal: “Caso: Mis números” (Foro y wiki grupal) Durante esta semana, continuamos desarrollando la propuesta de trabajo colaborativo iniciada en la clase 2 e incorporamos el trabajo en la Wiki. Para comenzar a editar la wiki, será importante que comiencen a realizar acuerdos en el foro de trabajo grupal. No dejen de consultar sus dudas a través del Foro de Consultas. Una vez elaborado el documento, les solicitamos que todos los integrantes del grupo suban la versión final de la wiki en el espacio que encontrarán debajo de esta clase, denominado “Actividad colaborativa”. El archivo deberá estar en formato .doc o .docx, bajo el nombre “Grupo_X”. En la portada deberán incluir los nombres de los integrantes grupo.
Actividades optativas Actividad
individual: “Ficha
personal
sobre
la
propuesta
didáctica para primer grado de la lotería” Leer el documento Interpretación de números y exploración de regularidades en la serie numérica. Propuesta didáctica para primer grado: “La lotería” y realizar una ficha personal que contenga un punteo de los asuntos tratados en el documento y las ideas principales
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en torno a cada uno de ellos. En la sección archivos, encontrarán un ejemplo de fichaje para que lo tengan en cuenta para realizar el propio. Pueden acceder a partir de este enlace. Forma de presentación El trabajo deberá entregarse en el espacio correspondiente al final de esta clase, con la denominación: “Apellido_Nombre_Actividad_Optativa_AulaXX”. El tutor/a les hará la devolución en el mismo espacio.
Actividad de Promoción: En esta actividad de entrega, los invitamos a reflexionar y responder los interrogantes planteados a los largo de la clase, en torno a la secuencia didáctica: “La Lotería” Preguntas sobre la Situación 1 - ¿Cómo interpretan el error de Mariana? ¿Cómo interviene el docente frente a este error? -
En
este
episodio
aparecen
mencionados
explícitamente
dos
portadores que se están usando en esta aula: el centímetro y el calendario. ¿Qué función cumplen? ¿Conocen otros portadores que podrían utilizarse? Preguntas sobre Situación 2 - ¿Cómo interpretan el error de Tomás? ¿Cómo interviene el docente frente a este error? - ¿Cómo se podría enunciar, de un modo general, la pista que aparece en este fragmento? Preguntas sobre la Situación 3 ●
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Expliquen
-usando
ejemplos
si
los
necesitan-
las
diferencias que encuentren entre los siguientes modos de intervención relacionados con los nudos: ○
El docente escribe y nombra el nudo que ofrece como pista.
○
El docente ofrece el nudo en el contexto de la serie.
○
El docente recurre a la serie de nudos, el niño decide en cuál detenerse.
Presentación: Formas de Presentación: -
El trabajo deberá realizarse en formato word.
-
No podrá extenderse más de dos carillas.
-
Todas las citas y referencias bibliográficas deben ser realizadas de acuerdo a las normas APA.
-
Deberán entregar el documento en el espacio que se encuentra al final de la clase con la denominación: “Apellido_Nombre_1er_Actividad_Promoción_AulaX X” . El tutor/a les hará la devolución en el mismo espacio.
Criterios de Evaluación: Se valorará que el documento que elaboren, sea un texto coherente, organizado y fundamentado desde los aportes de las clases y que integre las cuestione que han sido trabajadas hasta el momento.
Foro de consultas Recuerden que tienen a disposición este espacio para consultar todo lo que necesiten.
Bibliografía obligatoria Broitman, C. y Kuperman C. (2004). “Interpretación de números y exploración de regularidades en la serie numérica. Propuesta didáctica para primer grado: “La
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lotería””. Universidad de Buenos Aires OPFyL (Oficina de publicaciones de la Facultad
de
Filosofía
y
Letras)
Recuperado
de
http://abc.gov.ar/lainstitucion/sistemaeducativo/educprimaria/default.cfm.
Bibliografía de referencia Broitman, C. y Kuperman C. (2004). “Interpretación de números y exploración de regularidades en la serie numérica. Propuesta didáctica para primer grado: ‘La lotería’”. Universidad de Buenos Aires OPFyL (Oficina de publicaciones de la Facultad de
Filosofía
y
Letras)
Recuperado
de
http://abc.gov.ar/lainstitucion/sistemaeducativo/educprimaria/default.cfm. Lerner, Delia (2005). “¿Tener éxito o comprender? Una tensión constante en la enseñanza y el aprendizaje del sistema de numeración”. En Alvarado, M. y Brizuela, B. (Compiladoras) Haciendo números. Las notaciones numéricas vistas desde la psicología, la didáctica y la historia. México: Paidós Mexicana. Reproducido en Enseñar Matemática Nivel Inicial y Primario, Nº 01 y 02. Dirección General de Cultura y Educación. Pcia. de Bs. As. (2001). “Orientaciones Didácticas para el trabajo con los Números en los primeros años de la EGB”. Recuperado de http://abc.gov.ar/docentes/capacitaciondocente/plan98/pdf/trabajo_con_los_numer os.pdf
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Cómo citar este texto: Instituto Nacional de Formación Docente. Clase 03. Estudio de una propuesta didáctica para los primeros abordajes de las regularidades en la serie numérica. Módulo: Enseñanza del número y el sistema de numeración – 1º ciclo. Especialización docente de Nivel Superior en Enseñanza de la Matemática en la Escuela Primaria. Buenos Aires: Ministerio de Educación de la Nación.
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Autores del material: El diseño y escritura de las clases del módulo fue realizado por: Verónica Grimaldi, Ruth Schaposchnik y Silvia Segal.
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