Pensar la ense ¦anza de la matem ítica en la unidad pedag ¦gica by Java Weiss

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Pensar la enseñanza de la Matemática en la Unidad Pedagógica

Elaborado por el Equipo de Matemática de la Dirección de Primaria del Ministerio de Educación de la Provincia de Buenos Aires, formado por: Andrea Novembre (coord.), Margarita Agustoni, Martín Chaufan, Guillermo Kaplan, Ernesto Lopez, Mauro Nicodemo, Gloria Robalo, Gloria Rodriguez y Gladys Tedesco, en el mes de junio de 2017.

1. Introducción La conformación de una Unidad Pedagógica (UP) en el primer ciclo de la escuela primaria significa concebir a 1º y 2º año como un bloque de enseñanza, con la intención de fortalecer la continuidad de las trayectorias escolares y mejorar la calidad de los aprendizajes de los niños. Se sustenta en la consideración de la heterogeneidad como un rasgo propio de los grupos, que se expresa -entre muchas otras cuestiones- en los saberes de los alumnos, cuestión que no solo se ha de reconocer sino también “transformar en una ventaja pedagógica” (DGCyE, 2008: 21). En el área de Matemática, asumir la diversidad implica traer a escena la variedad de conocimientos que los niños poseen y hacerlos avanzar mediante la enseñanza. Es sabido que no todos aprenden lo mismo: así como los conocimientos son heterogéneos en el punto de partida, también lo son en sus puntos de llegada. Por este motivo, adquiere especial relevancia el tramo escolar que supone los dos primeros años de la escuela primaria, que suele ser decisivo en los resultados de aprendizaje a lo largo de la escolaridad. Posponer la acreditación al final del segundo año permite contemplar las necesidades de los alumnos que demandan otros tiempos o estrategias, así como promover otras formas de organización escolar que amplían las posibilidades de aprender de todos. Ahora bien, ¿cómo se estructura un proyecto de enseñanza de dos ciclos lectivos?, ¿qué criterios tener en cuenta para elaborar propuestas?, ¿cómo intervenir para que todos los niños avancen? Nos proponemos en este documento compartir algunas reflexiones sobre cómo pensar la enseñanza de la Matemática a partir de las nuevas posibilidades que se abren con el establecimiento de la UP de los dos primeros grados. En primer lugar, describiremos las implicancias de pensar un proyecto bianual, sus potencialidades y desafíos. A continuación nos referiremos al tipo de trabajo que resulta central desarrollar en 1º y 2º año para promover mejores condiciones de aprendizaje, lo que conlleva alternativas a las formas de reagrupamiento usual así como el desarrollo de actividades de sistematización y de estudio.

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2. Un proyecto bianual Dadas las características de nuestro sistema escolar, los proyectos de enseñanza usualmente se configuran en torno a una secuencia de trabajo única que se desarrolla durante un año escolar. Se trata de un recorrido lineal, sustentado en la homogeneidad como meta y como condición de enseñanza, que ha conducido en forma creciente a la repitencia o la falta de aprendizaje. En la actualidad, es sabido que los tiempos de aprendizaje no son idénticos entre niños de la misma edad, ni tampoco las propuestas que les permiten aprender. La configuración alternativa que propone la UP permite interpelar la lógica anualizada y lineal que ordena el sistema escolar habilitando más tiempo para ayudar a los alumnos a avanzar en su aprendizaje, así como para desplegar situaciones de enseñanza diversificadas que den lugar a mejores intervenciones de los docentes para cada uno de los niños. También pone en discusión el agrupamiento por edades, ya que plantea como estrategia la conformación de grupos diversos, algunos más estables y otros de carácter temporario. En consecuencia, no se trata de concebir este período de dos años como un “tiempo de espera” o de reiteración de lo realizado sino como una oportunidad de replantear la propuesta de enseñanza, tanto al interior del aula como a nivel institucional. En este marco es menester preguntarnos: ●

¿Qué proyecto de enseñanza desarrollar en 1º para que los alumnos lleguen a 2º con los conocimientos necesarios? ● ¿Qué proyecto de enseñanza desarrollar en 2º si en 1º no lograron construir dichos conocimientos? Para pensar en estas cuestiones, resulta relevante iniciar el análisis a partir de la lectura del Diseño Curricular. En el caso de Matemática, los contenidos a enseñar en los dos primeros años de la escuela primaria son esencialmente los mismos, aunque su complejidad se va incrementando: se extiende el rango numérico a estudiar y se proponen nuevas relaciones en torno a los mismos objetos. Observemos –como ejemplo- lo que se propone para cada grado en relación a la resolución de problemas de suma y resta en el eje de “Operaciones con Números Naturales”:

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Al realizar una lectura horizontal de la grilla de contenidos se pone en evidencia que en ambos grados se propone trabajar con los mismos sentidos de la suma y la resta, así como el análisis de distintos procedimientos para resolver los problemas, los cuales se espera que avancen de un año a otro. En 2° año, además de la resolución de distintos problemas aditivos, se agrega el reconocimiento de los cálculos que permiten resolverlos. De este análisis se desprende que algunos aprendizajes pueden esperar a 2º año para sistematizarse, porque se vuelven a trabajar, mientras que otros son necesarios o de base para poder avanzar, por lo que deben abordarse en forma irrenunciable en 1º año. Identificar las continuidades y rupturas para cada contenido permite reconocer la progresión en el tratamiento de los mismos y resulta un buen punto de partida para estructurar un proyecto bianual. 3. Aprendizajes de base a desarrollar en 1° La mayoría de las nociones matemáticas que se enseñan en la escuela lleva mucho tiempo de elaboración, por lo que es necesario delinear un recorrido precisando el punto de partida y el tratamiento didáctico que se les va a dar para lograr su alcance progresivo. Esto adquiere aún más relevancia en la UP, para evitar trasladar a 2º año aprendizajes que resultan conceptualmente cruciales para que los alumnos avancen en sus conocimientos. Es frecuente que ante esta disyuntiva se plantee un listado de contenidos mínimos a ser enseñados, pero a veces se reducen a conocimientos muy locales que no involucran las nociones matemáticas que se pretenden transmitir. Para precisar cuáles son los aprendizajes matemáticos de base a desarrollar en 1º resulta imprescindible considerar no sólo los contenidos usualmente identificados como

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tales, sino también las prácticas que permiten producirlos. En términos generales, abarcan un conjunto de saberes en torno a la resolución de problemas, así como el trabajo de reflexión en torno a ellos. En las puestas en común, se espera explicitar los conocimientos que circularon en la clase a propósito de los problemas resueltos, para que los niños se apropien de ellos y puedan reutilizarlos en otras oportunidades. Con esta finalidad, se registran las conclusiones de la clase en cuadernos y carteles, y se plantean nuevas actividades que permitan reinvertir, ampliar o integrar lo aprendido. A continuación describiremos los aprendizajes prioritarios1 a desarrollar en 1º, ofreciendo algunos ejemplos de actividades y conocimientos a los que se espera llegar. 3.1. Contar El conocimiento del recitado de laserie numérica y el conteo (de objetos, de elementos representados mediante dibujos, de tantos casilleros como indica el dado, por ejemplo) son fundamentales para la iniciación en la resolución de problemas vinculados con los números y las operaciones. Será un foco del trabajo en 1º año alentar el uso de estos conocimientos y hacerlos progresar en todos los niños, a partir de actividades como: armar colecciones, realizar inventarios de materiales, resolver situaciones a partir del recitado oral de la serie, usar portadores como la banda numérica, calendarios, cuadro de números para contar2. EJEMPLOS DE ACTIVIDADES QUE PONEN EN JUEGO EL CONTEO

CONCLUSIONES A LAS QUE SE PRETENDE ARRIBAR CON LOS ALUMNOS (y registrar en sus cuadernos y carteles)

Contar la cantidad de alumnos presentes en el aula: esta es una rutina que suele realizarse en nivel inicial y primer año. Escribir cuántos hay: dado un dibujo con una colección de objetos organizados de distintas maneras, anotar cuántos hay. Marcar la etiqueta correcta: dado un dibujo con una colección de objetos y tres etiquetas con cantidades distintas, elegir la correcta. Dibujar tantos objetos como indica un número. Dibujar los objetos que faltan para que haya la cantidad que dice la etiqueta dado un dibujo con una cantidad de objetos menor al número indicado.

➢ CONTAR ELEMENTOS PERMITE SABER CUÁNTOS HAY. EL ÚLTIMO NÚMERO QUE SE DICE ES LA CANTIDAD TOTAL. ➢ HAY QUE TENER CUIDADO DE CONTAR TODOS LOS ELEMENTOS SIN OLVIDAR NINGUNO NI CONTARLOS DOS VECES. ➢ PARA CONTAR ELEMENTOS QUE ESTÁN DIBUJADOS SE PUEDEN SEÑALAR LOS QUE YA CONTAMOS CON UNA MARCA O NÚMERO PARA NO REPETIRLOS NI SALTEAR NINGUNO. ➢ DESPUÉS DE CONTAR, PARA SABER CÓMO SE ESCRIBE EL NÚMERO, PODEMOS BUSCARLO EN EL CUADRO DE NÚMEROS.

Estos aprendizajes son “prioritarios” en el sentido que constituyen conocimientos de base o de apoyo para poder avanzar en la adquisición de los contenidos de 2°. 2

Recomendamos consultar problemas sugeridos en: “Orientaciones didácticas para el trabajo con los números en los primeros años de la EGB” (páginas 6 a 10). Disponible en: http://servicios.abc.gov.ar/lainstitucion/sistemaeducativo/educprimaria/areascurriculares/matematica/losnumeros.p df

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Jugar con pistas numeradas y dados (MECyT, 2004) En juegos de recorrido como La oca, los números funcionan tanto en su aspecto cardinal (determinar la cantidad que salió en el dado) como ordinal (desplazar la ficha sobre una cuadrícula recitando la serie numérica hasta el número que indique el dado). Resulta un contexto fértil para desarrollar el conteo, ya que permite el uso de distintos procedimientos de resolución: - Establecer una correspondencia término a término entre cada punto del dado y cada casillero del tablero, lo que permite encontrar el lugar de llegada sin necesidad de saber qué número han sacado. Es posible que genere ciertos errores como por ejemplo omitir puntitos o volver a señalar uno que ya se ha considerado. La expectativa es que a medida que avanzan las partidas, esta estrategia evolucione hacia una que involucre el conteo. - Contar los puntitos del dado, identificar ese número –por ejemplo, decir “cinco”- y luego avanzar la misma cantidad de casilleros en el tablero a partir de contarlos. - Reconocer directamente la configuración del dado, designar el número y contar esa cantidad de casilleros en el tablero. - Hacer un procedimiento combinado: para un número que sale en el dado reconocer la configuración y avanzar en el tablero; y para otro, contar los puntitos y luego avanzar.

Luego de jugar varias veces, un primer asunto a establecer es que es posible saber cuánto salió en el dado con solo mirar la configuración de esa cara. ➢ EN EL DADO PUEDE SALIR 1, 2, 3, 4, 5 Y 6. ➢ EN TODOS LOS DADOS LOS PUNTITOS ESTÁN DIBUJADOS IGUAL: POR EJEMPLO, EL 1 ES UN SOLO PUNTO EN EL MEDIO DE LA CARA. ➢ ALGUNAS CARAS SON MÁS FÁCILES DE RECONOCER, COMO EL 1 Y EL 2. OTRAS SON MÁS DIFÍCILES, COMO EL 4 O EL 5. ➢ PARA JUGAR SE PUEDEN CONTAR LOS PUNTITOS, PERO SE TARDA MUCHO TIEMPO. Otro asunto a establecer es que usar la serie oral para contar casilleros permite identificar el número donde está una ficha si no saben o recuerdan el nombre. ➢ PARA SABER EN QUÉ NÚMERO ESTÁ UNA FICHA PUEDO CONTAR EN VOZ ALTA LOS CASILLEROS EMPEZANDO EN EL 1. CUANDO LLEGO AL QUE ESTÁ LA FICHA PARO DE CONTAR Y ESE ES EL NOMBRE DEL NÚMERO. ➢ SI AL CONTAR LOS CASILLEROS SALTEO UNO O LO CUENTO DOS VECES, ME VOY A EQUIVOCAR EN EL NOMBRE DEL NÚMERO, PORQUE NO VA A COINCIDIR CON EL QUE ESTOY CONTANDO EN VOZ ALTA.

3.2. Usar los números y apoyarse en sus regularidades para resolver situaciones Las características del sistema de numeración decimal, entre ellas su organización recursiva de 10 en 10 y el hecho de que el valor de cada cifra varíe según la posición que ocupa en el número, generan determinadas regularidades cuyo conocimiento permite la producción e interpretación de los números. Para que la exploración de dichas regularidades del sistema de numeración sea posible, es preciso que desde el inicio de primer año se trabaje conjuntamente con la serie al menos hasta 100 de manera global. Este trabajo se podrá desarrollar elaborando estrategias para leer, escribir, comparar y ordenar números pertenecientes a las distintas decenas, explorando también números con diferente cantidad de cifras, reflexionando sobre lo que hicieron y elaborando estrategias que les permitan hacerlo en otras situaciones. El trabajo con el cuadro de números, el juego de la lotería, los juegos con cartas para comparar números, de la mano de una permanente reflexión en torno a las diferencias y similitudes entre la numeración oral y la escrita deberán formar parte de la propuesta durante el primer año de escolaridad.

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EJEMPLOS DE ACTIVIDADES PARA USAR LOS NÚMEROS Y SUS REGULARIDADES

EXPLICACIONES A LAS QUE SE PRETENDE ARRIBAR CON LOS ALUMNOS (y registrar en sus cuadernos y carteles)

Jugar a la guerra de cartas, para abordar el orden y ➢ PARA SABER QUÉ CARTA GANA, PODEMOS comparación de cantidades, ofreciendo en una COMPARAR LA CANTIDAD DE ELEMENTOS O LOS segunda fase problemas con enunciado que NÚMEROS. simulen partidas del juego (MECyT, 2004). ➢ PARA COMPARAR LA CANTIDAD DE ELEMENTOS A VECES NOS DAMOS CUENTA A SIMPLE VISTA Y OTRAS VECES TENEMOS QUE CONTAR. ➢ PARA COMPARAR LOS NÚMEROS PODEMOS CONSULTAR LA BANDA DE NÚMEROS. GANA EL NÚMERO QUE ESTÁ MÁS LEJOS DEL 1. Jugar a la loteríapara abordar la lectura de los ➢ LOS “DIECI…”, “VEINTI…”, “TREINTA Y…” HASTA EL 99 números hasta el 100 y las relaciones entre el TIENEN DOS CIFRAS. nombre y la escritura de un número (Broitman y ➢ LOS NOMBRES DE LOS NÚMEROS REDONDOS Kuperman, 2004). AYUDAN A SABER EL NOMBRE DE OTROS NÚMEROS. POR EJEMPLO: En las sucesivas sesiones de juego la idea es - SI SABEMOS QUE EL OCHENTA SE ESCRIBE 80, discutir cómo se llaman algunos números y ENTONCES EL OCHENTA Y SEIS ES 86. generar intercambios sobre los errores. Anotar en - SI SABEMOS QUE LOS “CINCUENTA Y…” el cuadro de números los que ya se cantaron EMPIEZAN CON 5, ENTONCES EL CINCUENTA Y puede ser un inicio a la exploración las DOS ES 52. regularidades. - PARA DECIR EL NOMBRE DEL 49, AYUDA SABER EL NOMBRE DEL 40.

Usar el cuadro de números hasta el 100, para analizar las regularidades de la serie numérica. Además de un portador numérico, el cuadro de números es una herramienta para analizar regularidades de la serie, a partir de actividades de completamiento, de búsqueda de errores o en el contexto de juegos.

➢ EN ESTE CUADRO TODOS LOS NÚMEROS TIENEN DOS CIFRAS, MENOS EL 100 QUE TIENE TRES CIFRAS Y ES EL MÁS GRANDE DE TODOS. ➢ HAY DISTINTAS MANERAS DE UBICAR LOS NÚMEROS EN EL CUADRO: SE PUEDE CONTAR DE UNO EN UNO, MIRAR LOS NÚMEROS REDONDOS Y CONTAR DESDE AHÍ, FIJARSE CON QUÉ NÚMERO EMPIEZA Y CON CUÁL TERMINA. ➢ TODOS LOS NÚMEROS DE LA MISMA FILA COMIENZAN IGUAL. POR EJEMPLO, EN LA FILA DEL 30 TODOS EMPIEZAN CON 3: 31, 32, 33,... ➢ EN LAS FILAS, LA CIFRA DE ATRÁS VA CAMBIANDO DE UNO EN UNO, PERO LA DE ADELANTE SE MANTIENE IGUAL. ➢ EN LAS COLUMNAS LA CIFRA DE ADELANTE VA CAMBIANDO DE UNO EN UNO, PERO LA DE ATRÁS

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SE MANTIENE IGUAL. ➢ TODOS LOS NÚMEROS DE LA MISMA COLUMNA TERMINAN IGUAL. POR EJEMPLO, EN LA COLUMNA DEL 6 TODOS LOS NÚMEROS TERMINAN EN 6: 16, 26, 36,... ➢ LOS NÚMEROS TERMINADOS EN 0 ESTÁN EN LA PRIMERA COLUMNA: 10, 20, 30, etc. Actividades con calculadora y/o con billetes, para Frente a problemas que demanden anotar en la tratar el valor posicional. calculadora un número y pensar cálculos para que sólo cambie el primer dígito, y otros para que sólo cambie el Anticipar qué números aparecerían en el visor de segundo, se podría arribar a ideas como: una calculadora si se suman dieces o unos, o armar una cantidad usando billetes de $10 y monedas de ➢ AL AGREGAR O QUITAR 1 A UN NÚMERO, EN $1 son ejemplos de actividades para que los GENERAL CAMBIA SOLO EL DE ATRÁS, AUMENTA O alumnos analicen el valor que tienen las cifras DISMINUYE DE A 1. según la posición que ocupan en la escritura ➢ AL AGREGAR 1 A UN NÚMERO TERMINADO EN 9 SE numérica en diferentes contextos. PASA AL PRIMERO DE LA FAMILIA SIGUIENTE. ➢ AL QUITAR 1 A UN NÚMERO TERMINADO EN 0, SE PASA AL ÚLTIMO NÚMERO DE LA FAMILIA ANTERIOR. ➢ AL AGREGAR O QUITAR 10 A UN NÚMERO CAMBIA SOLO LA PRIMERA CIFRA. SI EL NÚMERO ES DE LOS “NOVENTA” Y AGREGAS 10, TE PASÁS A LOS CIENES.

3.3. Iniciación en la resolución de problemas Antes de enseñar las cuentas, es muy importante que los alumnos hayan tenido la oportunidad de resolver numerosos problemas a partir de diversos procedimientos (dibujos, marcas, números). No todos los problemas representan la misma dificultad. En primer año, se propone la resolución de problemas de suma y resta referidos a los sentidos más sencillos de las operaciones. SENTIDOS DE LA SUMA Y DE LA RESTA A CONSIDERAR

EJEMPLOS DE PROBLEMAS

EXPLICACIONES A LAS QUE SE PRETENDE ARRIBAR CON LOS ALUMNOS

Avanzar y retroceder Los juegos de recorrido también pueden configurar una entrada a las operaciones, usándolos como contexto de

Luego de varias partidas, para que los niños se familiaricen con el juego, se pueden proponer situaciones simuladas como: ● VICTORIA ESTÁ EN EL CASILLERO 8 Y

➢ PARA MOVER LA FICHA AL TIRAR EL DADO PUEDO CONTAR LOS CASILLEROS. ➢ PARA AVANZAR, CUENTO LOS NÚMEROS QUE SIGUEN. POR

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problemas que involucran SACÓ 4 EN EL DADO. ¿DÓNDE PONE avanzar y retroceder. Es SU FICHA? esperable que en un primer ● GUSTAVO ESTÁ EN EL 8 Y TIENE QUE momento los niños los RETROCEDER 4 CASILLEROS. ¿DÓNDE resuelvan utilizando el conteo, PONE SU FICHA? o que se inicien en nuevos ● ANA ESTABA EN EL 4 Y SACÓ UN 3 EN procedimientos como contar a EL DADO. ¿ES CIERTO QUE TIENE partir de uno de los números QUE PONER SU FICHA EN EL 6? (sobreconteo), o contar hacia ● AL EMPEZAR LA PARTIDA, CARO SE atrás. SACÓ UN 6, LUEGO UN 4 Y DESPUÉS UN 5. ¿A QUÉ NÚMERO LLEGÓ?

EJEMPLO SI ESTOY EN EL 8 Y TENGO QUE AVANZAR 4, CUENTO: 9, 10, 11, 12. LA FICHA SE PONE EN EL 12. ➢ PARA RETROCEDER, CUENTO LOS NÚMEROS QUE ESTÁN ANTES. POR EJEMPLO SI ESTOY EN EL 8 Y TENGO QUE RETROCEDER 4, CUENTO PARA ATRÁS: 7, 6, 5, 4. LA FICHA SE PONE EN EL 4.

Unir y agregar Hay un amplio espectro de problemas que ponen en juego la unión o el aumento de cantidades. Si bien desde el punto de vista matemático son equivalentes - ambos son de suma - no lo son para los niños, y su estudio abarca varios años. La complejidad de los problemas varía según el lugar en el que se ubique la incógnita, los números involucrados (el rango, si son redondos o no), el tipo de magnitudes (contar objetos no es lo mismo que medir el tiempo), las formas de presentación (con dibujos, en enunciado, en un cuadro), entre otros aspectos.

En los primeros encuentros con los problemas, será relevante recuperar los procedimientos utilizados para resolverlos. Podrá elaborarse una conclusión como:

Inicialmente el enunciado puede estar acompañado con imágenes que sirvan de apoyo para contar. Luego la idea es proponer nuevos problemas sin imágenes para que los niños recurran a sus propios dibujos, hagan marcas, usen los dedos o el cuadro de números. Tiempo después, se espera introducir los signos de uso convencional + y = . ● EN UN SALÓN HAY 6 VARONES Y 5 NENAS. ¿CUÁNTOS ALUMNOS HAY EN TOTAL? (unir) ● ANA TIENE 4 LÁPICES DE COLORES Y LE REGALARON OTROS 3. ¿CUÁNTOS TIENE AHORA? (agregar)

ENTRE TODOS PENSAMOS ESTRATEGIAS PARA SUMAR 6 y 5: -GUARDARME EL 6 EN LA CABEZA, PORQUE ES EL MÁS GRANDE Y CONTAR 5 MÁS CON LOS DEDOS. - PARARME EN EL 5, EN EL CUADRO DE NÚMEROS, Y CONTAR 6 CASILLEROS. -SI YO SÉ QUE 5 MÁS 5 ES 10, ENTONCES 6 MÁS 5 VA A SER 11, PORQUE ES UNO MÁS. - 6 MÁS 6 ES 12, ENTONCES 6 MÁS 5 ES UNO MENOS. A medida que avanzan en la resolución de problemas, será relevante discutir sobre las distintas formas de anotar cómo pensaron. Podrán registrar: ➢ UN MISMO PROBLEMA PUEDE RESOLVERSE DE DISTINTAS MANERAS. POR EJEMPLO, PARA ESTE PROBLEMA: “¿CUÁNTOS LÁPICES HAY SI TENÉS 4 Y TE REGALAN 3?”, SE PUEDE ANOTAR ASÍ: - HACER DIBUJOS O RAYITAS Y

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CONTAR:

- USAR NÚMEROS:

1 2 3 4 5 6 7

- ESCRIBIR EL CÁLCULO: 4 + 3 = 7 ➢ EN LOS PROBLEMAS DE AGREGAR SE USA LA SUMA PARA REPRESENTAR EL TOTAL DE LAS CANTIDADES. SE ESCRIBE CON EL SIGNO + (MÁS) Y EL = (IGUAL). POR EJEMPLO: 4 + 3 = 7 SIGNIFICA QUE SI A 4 LÁPICES LE AGREGO 3 LÁPICES MÁS, TENGO 7 EN TOTAL. Quitar De la misma manera que en el caso anterior, hay una gran diversidad de problemas que involucran la resta, siendo sus sentidos más sencillos los que proponen averiguar lo que queda como resultado de quitar o perder cantidades.

Nuevamente se trata de habilitar el despliegue de diversas estrategias de resolución, para luego avanzar en el reconocimiento de la operación que permite resolver dichos problemas.

Como en el caso anterior, luego de resolver varios problemas, será posible analizar diferentes formas de representar la solución, entre ellas, el cálculo de resta.

● JULIETA TENÍA 9 COLLARES Y LE REGALÓ 3 A SU MEJOR AMIGA. ¿CUÁNTOS COLLARES LE QUEDARON? ● FIDEL TENÍA 7 FIGURITAS Y PERDIÓ 5 EN EL RECREO. ¿CUÁNTAS FIGURITAS TIENE AHORA?

➢ LOS PROBLEMAS DE QUITAR SE PUEDEN RESOLVER DE DISTINTAS MANERAS. POR EJEMPLO, PARA ESTE PROBLEMA: “¿CUÁNTAS FIGURITAS QUEDAN SI TENÍA 9 Y PERDÍ 3?” PODÉS ANOTAR ASÍ: - HACER DIBUJOS O RAYITAS. TACHAR LAS PERDIDAS Y CONTAR LAS QUE QUEDAN: I IIIIIIII - ESCRIBIR LOS NÚMEROS Y DESCONTAR LA CANTIDAD PERDIDA: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 - CONTAR PARA ATRÁS DESDE EL

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NÚMERO MÁS GRANDE, TANTOS NÚMEROS COMO LA CANTIDAD PERDIDA 8 7 6 - ESCRIBIR EL CÁLCULO: 9 - 3 = 6 ➢ EN LOS PROBLEMAS DE QUITAR SE USA LA RESTA PARA REPRESENTAR LA CANTIDAD QUE QUEDA. SE ESCRIBE CON EL SIGNO - (MENOS) Y EL = (IGUAL). POR EJEMPLO: 9 - 3 = 6. TENÍA 9 FIGURITAS Y ME QUITARON 3. ME QUEDARON 6. Relación parte-todo complemento

o También en este caso, inicialmente los enunciados pueden acompañarse con imágenes que sirvan como apoyo para Se trata de situaciones en las la resolución para quienes lo necesiten. que se conoce una de las Es posible que muchos niños realicen un partes y el total, y hay que sobreconteo a partir del primero de los averiguar la otra parte dos números, otros podrán buscar qué involucrada. La resta es la número es preciso agregar al primero operación que resuelve estos para obtener el segundo. Quizás algún problemas, pero remite a un niño cuente para atrás o utilice la resta. sentido más complejo para los Estos recursos pueden convivir en el niños: supone entender a la aula sin necesidad de traccionar aún resta como inversa de la suma. hacia el reconocimiento de la resta La suma incompleta (la suma como medio de resolución. con una incógnita a+?=b) suele ser la escritura que MALENA FABRICA PULSERAS. LE inicialmente utilizan los niños ENCARGARON 18 Y YA HIZO 9. para representar este tipo de ¿CUÁNTAS PULSERAS LE FALTA HACER? problemas. RAMIRO COMPRÓ 12 SOBRES DE JUGO. SI 8 ERAN DE NARANJA, ¿CUÁNTOS SOBRES ERAN DE MANZANA?

➢ ESTOS PROBLEMAS SE PUEDEN RESOLVER CONTANDO, USANDO SUMAS O USANDO RESTAS. ➢ SE PUEDE CONTAR DESDE EL NÚMERO MÁS CHICO HASTA LLEGAR AL MÁS GRANDE, Y ANOTAR CUÁNTOS NÚMEROS HAY. ➢ SI SE USAN SUMAS, LA RESPUESTA ESTÁ EN EL MEDIO DE LA CUENTA. POR EJEMPLO: 9 + …. = 18.

Distancia o diferencia entre LAURA TIENE EN SU CARTUCHERA 9 ➢ EN ALGUNOS PROBLEMAS HAY QUE dos números o cantidades LÁPICES Y MARÍA TIENE 12. ¿CUÁNTOS COMPARAR DOS CANTIDADES, ES LÁPICES MÁS TIENE MARÍA QUE LAURA? DECIR AVERIGUAR CUÁNTO HAY Frente a estos problemas QUE AGREGAR A LA CANTIDAD muchos niños realizarán un EN UN JUEGO, MARÍA AVANZÓ 8 PASOS MÁS CHICA PARA ALCANZAR A LA

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sobreconteo a partir del primero de los dos números, otros podrán buscar qué número es preciso agregar al primero para obtener el segundo. Quizás algún niño utilice la resta, aunque todavía no se haya presentado la escritura simbólica. Estos recursos pueden convivir en el aula sin necesidad de traccionar hacia el reconocimiento de la resta como medio de resolución.

Y SOFÍA 4 PASOS. ¿CUÁNTOS PASOS MÁS GRANDE O AL REVÉS. TIENE QUE RETROCEDER MARÍA PARA ➢ PARA RESOLVER, POR EJEMPLO, ALCANZAR A SOFÍA? CUÁNTAS PELOTITAS DE LAS QUE TIENE ANDRÉS NO TIENE LUCAS: AGUSTÍN TIENE 6 AÑOS Y SU HERMANO TIENE 11. ¿CUÁNTOS AÑOS LE LLEVA SU ○ SE PUEDE DIBUJAR Y MARCAR: HERMANO MAYOR? LUCAS o ooo EN UN JUEGO, LUCAS EMBOCÓ 4 PELOTITAS Y ANDRÉS 7. ¿CUÁNTAS PELOTITAS TENDRÍA QUE SACAR LUCAS PARA TENER LA MISMA CANTIDAD QUE ANDRÉS?

ANDRÉS

o oooooo

○ SE PUEDE CONTAR A PARTIR DE LA CANTIDAD MÁS CHICA HASTA LLEGAR A LA MÁS GRANDE: 5 - 6 7. ○ SE PUEDE CONTAR A PARTIR DE LA CANTIDAD MAYOR HASTA LLEGAR A LA MENOR: 7- 6 - 5. ○ SE PUEDE PROBAR SUMANDO O USANDO ALGÚN CÁLCULO QUE SEPAMOS DE MEMORIA: 4 + … = 7.

3.4. Calcular Disponer de un repertorio de cálculos memorizados permite, por un lado, abandonar el uso de los dedos, y por el otro, constituyen la base para resolver otros cálculos. Por ejemplo, saber que 7 + 3 = 10 permite saber que 7 + 4 será uno más 3. Para favorecer el uso del cálculo será indispensable construir repertorios memorizados como los consignados en el siguiente cuadro: REPERTORIO A MEMORIZAR

EJEMPLOS DE ACTIVIDADES

EXPLICACIONES A LAS QUE SE PRETENDE ARRIBAR CON LOS ALUMNOS

Sumas de números iguales de una cifra (2+2, 4+4)

Juego “Guerra de dobles” Con un mazo de cartas españolas del 1 al 9, por turnos cada jugador da vuelta una carta del mazo. El primero que dice el doble del número que tiene la carta, se la lleva. Al finalizar el mazo, el que tiene más

HAY CÁLCULOS QUE SON FÁCILES, COMO 2+2, QUE SABEMOS DE MEMORIA. PARA JUGAR MÁS RÁPIDO A LA GUERRA DE DOBLES TENEMOS QUE APRENDER TODOS ESTOS, ASÍ NO PERDEMOS TIEMPO CONTANDO.

Para más información sobre este contenido, sugerimos la lectura de: “La enseñanza del cálculo en primer año”, disponible en: http://servicios.abc.gov.ar/lainstitucion/sistemaeducativo/educprimaria/areascurriculares/matematica/laensenanz acalculo2008.pdf

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cartas gana el juego. En las primeras jugadas, posiblemente algunas cartas resulten fáciles (si sale un 1 o 5, por ejemplo) mientras que otras obliguen a los niños a recurrir al conteo (ya sea desde 1 - pasando dos veces por cada uno de los elementos dibujados - o desde el número que la carta indica). Si bien la estrategia de conteo puede resultar exitosa, para ganar el juego hay que resolver la actividad rápidamente. Justamente esta cuestión - la rapidez - es la clave para abandonar el conteo y recurrir a resultados conocidos, lo que alienta la ampliación del repertorio memorizado. En caso de no llegar a esta conclusión en forma espontánea, será tarea del docente explicitarlo. Sumas que dan 10 (3+7, 4+6)

Suma de dígitos (3+4, 5+7)

1+1=2 2+2=3 3+3=6 4+4=8 5 + 5 = 10 6 + 6 = 12 7 + 7 = 14 8 + 8 = 16 9 + 9 = 18

Escoba de 10 (Novembre, 2011, pág 15) ENTRE TODOS, HICIMOS UN LISTADO DE Se juega como a la escoba tradicional pero LAS SUMAS QUE DAN 10: levanta las cartas el que llega a 10 usando 1 + 9 = 10 una de las cartas que tiene en la mano y 2 + 8 = 10 una o más de las del pozo. 3 + 7= 10 4 + 6 = 10 La cajita de los 10 5 + 5 = 10 En una caja de fósforos grande (en la que 6 + 4 = 10 se ha realizado un orificio para que pueda 7 + 3 = 10 pasar elementos de un lado a otro) se 8 + 2 = 10 colocan 10 botones. La docente, luego de 9 + 1 = 10 mover la caja, la abre hasta la mitad y muestra a los alumnos cuántas bolitas ➢ SI SABEMOS LAS SUMAS HASTA 5 + 5, quedaron en esa parte de la caja. Los YA SABEMOS LAS SIGUIENTES, alumnos tienen que anticipar cuántas hay PORQUE POR EJEMPLO 6 + 4 DA LO del lado de la caja que quedó tapado. MISMO QUE 4 + 6. ➢ CADA VEZ QUE AGREGAMOS 1 A UN NÚMERO, EL OTRO DISMINUYE UNO PARA SEGUIR TENIENDO 10 EN TOTAL. Mentalmente vs calculadora (Novembre, 2009, pág 7) En parejas, dada una lista de sumas de dígitos, uno de los niños calcula mentalmente y el otro utiliza la

➢ PARA LOS CONVIENE COMO 1 + PORQUE MEMORIA.

CÁLCULOS FÁCILES NO USAR LA CALCULADORA, 1 O 6 + 0. SON FÁCILES LOS SABEMOS DE

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calculadora. Las cuentas deben realizarse de a una a la vez comenzando los dos niños al mismo tiempo. El que resuelve primero y correctamente, gana un punto. Un análisis colectivo sobre las cuentas que se resolvieron más rápido mentalmente que con la calculadora permitirá a los niños ir reconociendo cuáles son los cálculos que ya saben de memoria.

➢ SABER ALGUNOS CÁLCULOS NOS AYUDA A RESOLVER OTROS MÁS DIFÍCILES. POR EJEMPLO, PARA CALCULAR 9 + 8 PODEMOS: ○ APOYARNOS EN QUE 8 + 8 = 16 Y AGREGAR 1. ○ USAR QUE 9 + 9 = 18 Y RESTAR 1. ○ CALCULAR 10 + 8 = 18 Y RESTAR 1.

Sumar o restar 1 (8+1, 16-1)

Dar un listado de muchos cálculos para resolver con la calculadora o mentalmente, y luego analizar las regularidades.

➢ SUMAR 1 ES ENCONTRAR EL SIGUIENTE DEL NÚMERO. POR EJEMPLO, 6 + 1 = 7, PORQUE DESPUÉS DE 6 VIENE 7. ➢ RESTAR 1 ES ENCONTRAR EL ANTERIOR DEL NÚMERO. POR EJEMPLO, 5 – 1 = 4, PORQUE ANTES DE 5 ESTÁ 4.

Sumar o restar 10

Carrera al 100. Se requiere el cuadro de números, una ficha por jugador, y un dado que tenga en sus caras: + 1, - 1, - 10, + 10, “tira otra vez”, + 20. Los jugadores tiran el dado por turnos y gana el que llega primero al 100. A partir de conocer las regularidades de la serie, podrán localizar rápidamente los resultados, sin necesidad de contar los casilleros.

➢ AGREGAR 0 QUITAR 10 A UN NÚMERO ES FÁCIL PORQUE SOLO CAMBIA EL DE ADELANTE. POR EJEMPLO: 35 + 10 = 45. ➢ SI AGREGAMOS O QUITAMOS 10 A UN NÚMERO, VAMOS A IR LLEGANDO A NÚMEROS QUE TERMINAN IGUAL, SOLO CAMBIA EL NÚMERO QUE ESTÁ EN EL LUGAR DE LOS DIECES. POR EJEMPLO: 56 - 46 -36 - 26- 16 - 6. ➢ PARA SABER CUÁNTO SE AGREGÓ O SE QUITÓ A UN NÚMERO, PODEMOS FIJARNOS QUÉ CAMBIÓ Y QUÉ NO Y ASÍ NOS DAMOS CUENTA SI SE AGREGÓ O QUITÓ 1 O 10. POR EJEMPLO: SI TENEMOS EL 24 Y EL 34, AUMENTÓ EN 1 EL NÚMERO DE ADELANTE, ENTONCES SE AGREGÓ 10.

Sumas de múltiplos de 10 (20 + 30)

Es posible plantear los mismos juegos y/o actividades que en los casos anteriores pero variando los números o los cálculos propuestos.

➢ HAY CUENTAS CON NÚMEROS GRANDES QUE SON FÁCILES PORQUE SON COMO OTRAS CON NÚMEROS CHICOS. POR EJEMPLO, PARA HACER 20 + 30 PODEMOS USAR 2 + 3, QUE YA SABEMOS. ➢ ALGUNAS SUMAS SON FÁCILES PORQUE EL RESULTADO “TE LO DICEN” LOS NÚMEROS. POR EJEMPLO, VEINTE MÁS SIETE ES VEINTISIETE, O SI A DIECINUEVE LE SACO NUEVE, QUEDAN 10.

Suma de múltiplos de 10 más números de una cifra (20 + 7 = 20) Restas que dan 10 (19 - 9 = 19)

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4. Situaciones de enseñanza diversificadas Frente a la heterogeneidad de conocimientos presentes en el aula, las estrategias docentes que se implementan más habitualmente consisten en el diseño de actividades diferenciadas y/o en el reagrupamiento de los niños según niveles al interior del grado. En el marco de la UP es posible ampliar estas acciones involucrando a grados paralelos o reorganizando a los alumnos de 1º y 2º en forma provisoria. En todos los casos, se tratan de agrupamientos flexibles, no estables, con objetivos determinados, que requieren ser planificados conjuntamente por los docentes participantes. Sin embargo, aprovechar la potencia de estos reagrupamientos, depende en gran medida de las decisiones que se toman al anticipar la clase, así como en las intervenciones que se realizan durante el proceso de enseñanza. Nos proponemos en este apartado describir algunas situaciones de enseñanza que favorecen la inclusión de todos los niños en el trabajo matemático desde la perspectiva del Diseño Curricular. Cada una de estas propuestas puede implementarse en un mismo grado, o también reagrupando a los niños de secciones paralelas e inclusive de distintos grados, según su proximidad de conocimientos, lo que puede permitir intervenciones más eficaces.

4.1. Una misma actividad con variaciones En esta situación de enseñanza, se trata de planificar una misma actividad o problema pero modificando alguna variable de modo de que cada niño pueda trabajar a partir de lo que sabe. Luego de la fase de resolución, ya sea individual o en subgrupos, todos podrán participar del intercambio colectivo. Veamos un ejemplo de esta modalidad de trabajo al abordar la numeración hasta el 100 en los primeros meses de 2º año. Un recurso utilizado con frecuencia es el cuadro de números del 1 al 100. Uno de los propósitos de uso de este tipo de cuadros es que los niños puedan acceder a información sobre la escritura y lectura de los números mediante las relaciones entre la numeración hablada y escrita, así como explorar las regularidades de la serie. Una de las actividades que se realiza con este soporte es el completamiento de determinados casilleros seleccionados, contando con alguna información del cuadro 4. Es de esperar que el grupo presente cierta heterogeneidad en su reflexión sobre el sistema de numeración y más específicamente en sus posibilidades para identificar qué número debería ubicarse en cada casillero. Un modo de poder abordar el trabajo es 4

La colección de juegos interactivos Jugando los monos, producida por el equipo de Matemática de la DGCyE, ofrece variadas propuestas organizadas en niveles que incluyen pistas para jugar, así como audios para acceder en forma optativa a aquello que aparece escrito en la pantalla. El juego “Hasta 99” consiste en completar un valor faltante en el cuadro de números y presenta cuatro niveles de complejidad, a partir de la variación de la información que ofrece el portador (tal como se describe en el ejemplo desarrollado).

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realizando modificaciones en la cantidad de referencias que contenga el cuadro de números. A continuación ofrecemos un ejemplo de cómo, con la misma consigna, es posible ofrecer una actividad de completamiento con tres variantes, planificadas para niños con diferentes avances en su conocimiento del sistema de numeración. Variaciones de la misma actividad

Análisis didáctico de la actividad

Completar los casilleros resaltados en el cuadro de números:

En este caso, se proveen los primeros números de cada fila y columna, es decir las decenas y los números del 1 al 9. De esta manera el alumno puede resolver el problema de dos formas: - si tiene cierto manejo de la organización del cuadro, podrá completar los casilleros utilizando dicha información. Por ejemplo para completar el casillero de la fila del 20, sabrá que empieza con el 2 por ser de la familia de los “veinti” y termina con 3 por ubicarse en esa columna. - aquellos que aún no hayan construido estas relaciones, podrán recurrir al sobreconteo a partir del nudo. Por ejemplo, en el mismo caso, podrán contar a partir del 20 hasta llegar al casillero indicado.

Completar los casilleros resaltados en el cuadro de números:

En cuanto a este segundo cuadro, ofrece mucha más información que en el caso anterior: aparecen todos los números excepto los correspondientes a los casilleros a completar. Para hacerlo, el alumno puede apoyarse en la escritura del número anterior o del posterior o considerando cómo varían los números de una fila o columna.

Completar los casilleros resaltados en el siguiente recorte del cuadro de números.

Esta modalidad de trabajo también resulta pertinente a la hora de pensar las propuestas que se ofrecerán a aquellos alumnos para quienes las situaciones usuales no resultan un problema, dado que no les ofrece resistencia alguna. Continuando con el ejemplo, es posible entregar a algunos alumnos fragmentos de cuadros vacíos, con un solo número (o muy pocos) como información de referencia, y casilleros señalados para completar. La escasez de información que ofrece esta última variante supone una mayor dificultad en el completamiento. Exige recurrir a varias regularidades simultáneamente para completarlo, lo que hace más desafiante al problema: que los

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números de la columna anterior a la del 16 terminan en 5, mientras que los de la columna posterior terminan en 7; que las filas siguientes son las del veinti, treinta y cuarenta, etc. La potencia de realizar una misma actividad con una variante, en lugar de ofrecer actividades diferenciadas, es que permite la realización de una puesta en común que resulta enriquecedora para todos. En este caso, la reflexión será en torno a las regularidades del cuadro, más visibles en un portador que en otro, y cómo las mismas ofrecen información para el completamiento de los casilleros. Algunas conclusiones a las que se podría arribar son: ➢ Si en el cuadro de números se pueden ver la primera fila y la primera columna, podemos ayudarnos con esas referencias, fijándonos con qué número empiezan todos los de esa fila y con qué número terminan los de esa columna. Por ejemplo: ○ si un número está en la fila de los “cuarenti” empieza con 4 y si está en la columna de los que terminan en 8 al final tendrá un 8, es decir que se trata del 48. ➢ Cada vez que nos desplazamos a la izquierda o a la derecha en la misma fila, solo cambia el de atrás, porque se agrega o quita 1. ➢ Cada vez que nos desplazamos hacia arriba o hacia abajo en la misma columna, solo cambia el de adelante y el de atrás queda igual, porque se agrega o quita 10. ➢ Si en un cuadro de números no se ven la primera fila y la primera columna, se pueden tomar como referencias otros números escritos. Por ejemplo: ○ si conocemos el de la izquierda, el que hay que escribir será uno más; si conocemos el de la derecha, será uno menos. ○ si conocemos el de arriba, el número a escribir será 10 más, solo cambiará el de adelante. ○ si conocemos el de abajo, el número a escribir será 10 menos, solo cambiará el de adelante.

4.2. Reagrupamiento de alumnos del mismo año Otra alternativa para organizar la clase consiste en planificar propuestas simultáneas que permitan al docente trabajar con un subgrupo, mientras el resto realiza una tarea interesante (en el sentido que implique una actividad matemática) pero que no requiera su intervención durante la actividad. Ejemplo de esto es organizar sesiones de juegos matemáticos conocidos, a los que los niños hayan jugado en otras ocasiones y puedan desarrollar por sí mismos, lo que constituye una buena oportunidad para que vuelvan a utilizar lo aprendido. Es de interés que estén acompañados por consignas adicionales, como dejar registro escrito de las estrategias o los cálculos que utilizaron al jugar, para que el docente pueda retomarlas posteriormente.

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Algunos juegos resultan especialmente propicios para ser jugados por toda la clase en grupos reducidos, entre niños de niveles próximos, de modo de favorecer el intercambio y la apropiación de estrategias nuevas. Durante el desarrollo del juego, el docente puede centrar su atención en el subgrupo que requiere nuevas oportunidades para adquirir aquellos conocimientos que ya han circulado en las clases5. Al finalizar la actividad, el hecho de haber jugado el mismo juego, posibilita la realización de una puesta en común que incluya a todos los alumnos. Cabe recordar que jugar no es suficiente para aprender6. Por eso resulta central que los juegos matemáticos propuestos en esta situación de trabajo sean conocidos por los alumnos, que hayan sido objeto de análisis en clases anteriores, y que el grupo tenga cierta práctica para desarrollar este tipo de actividad. Por estas razones, solo será posible organizar una sesión de juegos si estos forman parte del proyecto de enseñanza.

4.3. Reagrupamiento de alumnos de secciones paralelas Reagrupar a los alumnos de distintas secciones en función de una necesidad de aprendizaje en común permite generar ciertas condiciones didácticas para que se produzcan avances en sus conocimientos, considerando los distintos puntos de partida. Dadas dos secciones, por ejemplo, es posible organizar dos grupos, uno a cargo de cada docente (o tres grupos, en caso de contar con un docente adicional), para que durante un determinado número de sesiones desarrollen una secuencia de trabajo. En cuanto a la planificación, resulta relevante que las secuencias que se desarrollan en cada grupo tengan un propósito común, y que luego se diversifiquen las propuestas según las necesidades de cada grupo. Por ejemplo:

La secuencia “La lotería”, citada en la bibliografía, ofrece una descripción detallada de varias etapas de trabajo alrededor de dicho juego, que incluyen diversas modalidades de organización de los alumnos con propósitos de enseñanza. 6

Se han planteado en diversos documentos curriculares desde la DGCyE el potencial de los juegos para el desarrollo de conocimientos matemáticos cuando tienen un claro objetivo de enseñanza para el docente, en el marco de situaciones planificadas que no remitan a la simple acción de jugar (Novembre, 2009 y 2011).

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Propósito

Grupos

Favorecer la elaboración y uso de recursos de cálculo relacionados con la suma y la resta A

Sesión 1 Juego para relevar recursos de cálculo. Intercambio de estrategias utilizadas.

Escoba de 15

Juego “Lo mío, lo tuyo, lo nuestro” (Etchemendy, 2015, pág 20)

Juego “Adivinar el número”(GCBA, 2010, pág 20)

Sesión 2 Construcción de repertorio memorizado.

Partida simulada del juego.

Resolver restas usando sumas

Completar cálculos como: 530 + ... = 600 90 – ….. = 70 30 + …... = 100 60 - …… = 10 25 + …… = 50 500 - …….. = 100 ….. + 80 = 120 305 + ……. = 325

Sesión 3 Trucos para sumar y restar.

Sumar y restar 10 Sumar y restar números redondos

Sesión 4 Más trucos para sumar y restar (ampliación del repertorio).

Complementos a 100

Sumas y restas a partir de descomposiciones.

Sumas y restas de números particulares (+/-9, +/- 90,+/99, +/-11

Sesión 5 Juego para reutilizar lo aprendido.

Escoba de 100 (con cartas con números redondos)

Juego “Lo mío, lo tuyo y lo nuestro”

Mente vs. calculadora

4.4. Reagrupamiento de alumnos de distintos años La cercanía entre aquello que se enseña en cada uno de los años permite planificar propuestas de enseñanza que - con algunas variaciones - se constituyan en buenas situaciones de aprendizaje para todos los alumnos (tanto para aquellos que han transitado sin dificultades 1º año como para aquellos que han comenzado 2º sin haber construido - al menos de manera estable - algunos conocimientos centrales. Tal como describimos en el apartado anterior, es posible reunir a alumnos de grados diferentes, por niveles próximos o con una necesidad de aprendizaje en común, para el abordaje de algunos temas.

5. Reflexiones finales Tal como expresamos en el inicio, nos propusimos en este escrito compartir algunas reflexiones sobre cómo pensar la enseñanza de la Matemática a partir de las nuevas

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posibilidades que se abren con el establecimiento de la UP de los dos primeros años. Supone asumir la diversidad como un rasgo inherente de los grupos, comprometerse con nuevas formas de ejercer el rol, e involucrarse en una forma de hacer matemática que posiblemente muchos maestros no han vivenciado. Sabemos que el desafío es grande: implica alojar a todos y cada uno de los niños en el trabajo matemático que se desarrolla en las aulas. Sin embargo, nada es más gratificante que ver crecer los conocimientos de los niños como resultado de nuestra enseñanza.

6. Bibliografía de consulta y/o referencia Broitman, C., Kuperman, C. (2004). Interpretación de números y exploración de regularidades en la serie numérica. Propuesta didáctica para primer grado: "La lotería". Buenos Aires: OPFyL. Autorizada su difusión para la DGEP de la Pcia. de Bs. As. Disponible en: http://servicios2.abc.gov.ar/lainstitucion/sistemaeducativo/educprimaria/areascurriculares/m atematica/propuestadidacticaprimergradolaloteria.pdf DGCyE (2008). Diseño Curricular para la Educación Primaria. Primer Ciclo Volúmen 1 / Dirección General de Cultura y Educación. La Plata: Dirección General de Cultura y Educación de la Provincia de Buenos Aires. Disponible en: http://servicios.abc.gov.ar/lainstitucion/sistemaeducativo/educprimaria/d-curriculares/diseniocurricular-primer-ciclo.pdf Etchemendy, M. (2015). Quitar, retroceder, comparar, completar… Propuestas para la enseñanza de la resta. Ciudad de Buenos Aires: Ministerio de Educación del GCBA. Disponible en: https://drive.google.com/file/d/0B2tNpJnvdpZJclNDSF84Z0lzY00/view Ministerio de Educación de la Ciudad de Buenos Aires (2010). Matemática. Cálculo mental con números naturales. Aportes para la enseñanza. Ciudad de Buenos Aires: GCBA. Disponible en: http://www.buenosaires.gob.ar/areas/educacion/curricula/pdf/numeros-naturales_web.pdf MECyT, Dirección Nacional de Gestión Curricular y Formación Docente (2006). Matemática 2. Cuadernos para el aula. Buenos Aires: Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología. Disponible en: http://www.me.gov.ar/curriform/nap/2do_matem.pdf. MECyT, Dirección Nacional de Gestión Curricular y Formación Docente (2004). Matemática EGB1. El juego como recurso para aprender. Material para docentes. Buenos Aires: Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología. Disponible en: http://www.bnm.me.gov.ar/giga1/documentos/EL001219.pdf Novembre, A. (coord.), López, E. y otros (2017). Jugando los monos. Juegos matemáticos interactivos. Buenos Aires: DGCyE, Dirección Provincial de Educación Primaria.

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Novembre, A. (coord.), Ponce, H. (2009). Cálculo mental de sumas y restas. Propuestas para trabajar en el aula. Buenos Aires: DGCyE, Dirección Provincial de Educación Primaria. Disponible en: http://servicios2.abc.gov.ar/lainstitucion/sistemaeducativo/educprimaria/areascurriculares/m atematica/docsumasyrestas.pdf Novembre, A. (coord.), Becerril, M., García, P. (2011). Juegos que pueden colaborar en el trabajo en torno al cálculo mental - Mejorar los aprendizajes. Mejorar los aprendizajes. Buenos Aires: DGCyE, Dirección Provincial de Educación Primaria. Disponible en: http://servicios2.abc.gov.ar/lainstitucion/sistemaeducativo/educprimaria/areascurriculares/m atematica/juegos_que_pueden_colaborar_en_%20el_trabajo_en_torno_al_calculo_mental.p df MECyT, Dirección Nacional de Gestión Curricular y Formación Docente (2006). Matemática 1. Cuadernos para el aula. Buenos Aires: Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología. Disponible en: http://www.me.gov.ar/curriform/nap/1ero_matem.pdf. Fecha de consulta: 25/02/2017.