Alg(1) 4° 2b

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN Año Secundaria

FACTORIZA I.

17

DEFINICIÓN Es el proceso de transformaciones sucesivas de un polinomio en una multiplicación indicada de polinomios primos, denominados Factores primos, dentro de un conjunto numérico.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS • Expresa un polinomio como una multiplicación indicada de factores primos.

• Identifica un factor primo sobre un determinado campo numérico.

• Comprende que la factorización es el proceso contrario a la multiplicación

II) COMENTARIO PREVIO Desde tiempos muy lejanos en todo argumento matemático estuvo presente siempre, la teoría de números los cuales se apoyan en la parte algebraica, como una necesidad para facilitar la resolución de las ecuaciones polinómicas surgen los diversos procedimientos de transformación de polinomios a los cuales se les denomina FACTORIZACIÓN, en el cual se busca expresar un polinomio como una multiplicación indicada de otros polinomios de menor grado.

Recordemos que en la multiplicación algebraica se aplica la propiedad distributiva, de la siguiente manera. x(x + y + z) = x 2 +xy +xz Por medio de la factorización podremos restituir los factores de una expresión que se obtuvo de la ejecución de una multiplicación, veamos: x 2 +xy +xz = x(x + y +z) De lo expuesto concluimos que la factorización es el procedimiento recíproco al establecido por la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición y/o sustracción.

En este capítulo desarrollamos el tema con algunos conceptos de los números reales, polinomio irreductible, factor primo, así como los criterios para poder factorizar polinomios sobre determinados conjuntos numéricos

FACTOR PRIMO Es la mínima expresión algebraica en la que sus elementos se encuentran ligados por las diferentes operaciones aritméticas, excepto la adición y sustracción.

4to. Año Secundaria

18

ÁLGEBRA

Generalmente el conjunto numérico a utilizarse será el de los racionales, salvo se indique lo contrario.

NUMERO DE FACTORES PRIMOS El número de factores primos depende del conjunto numérico en el que se trabaje. En los racionales el número de factores primos se calcula contando los factores de la base.

Ejemplos: a) F(x) = (x+1) (x2–x+1) → Tiene 2 factores primos

Ejemplo: f(x ) = x 4 −49

b) P(x) = (x–12) (x+2) (x+2)(x–5)3 → Tiene 3 factores primos

a) Factorizando en el conjunto Q.

2 f(x ) = (x 2 ) 2 − 7 2 = (x 2  +  7)(x  − 7 ) Pr imos en Q

∴Existen 2 factores primos en Q

NUMERO DE FACTORES DE UN POLINOMIO Dado el polinomio “P” , el cual luego de ser factorizado totalmente se expresa así: P = A

b) Factorizando en el conjunto R f(x) = (x2 + 7) (x2 – 7)

f(x ) = (x 2  +  7)(x  +  7 )(x − 7 )

a

B

b

C

c

Siendo A, B y C sus factores primos; el número de factores del polinomio P, se calcula de la manera siguiente:

Pr imos en R

# Fact = (a + 1)(b + 1)(c + 1)

∴Existen 3 factores primos en R

Ejemplo: Sea P(x)= (x–1)2 (x+2) (x–5)3 N° factores = (2+1) (1+1)(3+1)

c) Factorizando en C, tendremos: 2

2 7 i) ] (x+

7 ) (x –

f(x ) =(x − 7 i)(x + 7 i) (x + 7 )(x − 7 )                 Pr imos en C

Por lo tanto; x2y: tiene 6 factores y 3 factores compuestos.

Cálculo de manera directa: P(x,y) = x2y N° factores = (2+1)(1+1) = 6 N° Fact. compuesto = 6 – 2 – 1= 3 FACTORES ALGEBRAICOS Se denomina así, aquel que por lo menos tiene, o presenta una variable.

Ejemplos explicativos: 01. F(x) = (x+1)2 (x–4)3.

Hallar el número de Fact. algebraicos

* N° Fact = (2+1) (3+1) = 12

N° Factores = 24

7 )

 1;Polinomio de gra do cero , es cualquier polinomio   x : Factor primo  y : Factor primo 2  x y  xy : Factor compuesto  x 2 : Factor compuesto  x 2 y : Factor compuesto  

Solución

f(x ) = (x  + 7 )(x + 7 )(x − 7 )

f(x) = [x2 – (

* N° Fact Algebraicos = 12– 1 = 11 NUMERO DE FACTORES COMPUESTOS Las Factores compuestos resultan de la combinación de los Factores primos: Ejemplo: P(x,y) = x2y

, tienen los sgtes, factores .

P(x) =

III. CONTENIDO TEÓRICO S4AL32B

(x − 1)

↓ fact. primo

(x − 2 )

2

↓ fact. primo

Por tanto colocamos los factores primos del 6, de la siguiente manera:

∴Existen 4 factores primos en C

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

6

↓ No es fact. primo

OBSERVACIONES:

S4AL32B

4to.

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN Año Secundaria P(x) = 2 . 3 (x – 1) (x – 2)

17

∴

(x − y + z) (a − b) =

+ xy 6 + y 7

Factor comun polinomio

B) MÉTODO TÉRMINOS.

DE

A(x,y) = x6 (x+y)+ x4 y2 (x+y)+ x2 y4 (x+y)+y6 (x+y) AGRUPACIÓN

DE

N° de Divisores del 6 = (1+1) (1+1) = 4 Por lo tanto : N° Fact. Algebraicos=N° Fact totales - N° Divisores del número 6

2

2

2

+x 4

2

2

y

4

+y 6

)

2

A(x,y)=(x+y) [x (x +y )+ y (x +y )]

P (a , b , c, d ) = (b + c + a − d )( b + c − a + d)

+ y 2 )(x 4

+ y4 )

F(a,b,c)= abc+ab+ac+bc+a+b+c+1 MÉTODOS DE LA FACTORIZACIÓN MONOMIO

Y/O

Solución: Agrupando en la forma indicada.

F = abc + ab + ac + bc + a + b + c + 1 •

•

F = ab (c+1) + ( ab +a +b+1)

Ejemplo: –

Factorizar:

5 x 10 y 5 −10 x 7 y 8 − 25 x 11 y 9

Factor comun monomio

(x

3

− 2y

F = (c +1) (ab +a + b +1) F = (c+1) [a(b+1)+(b+1)]

=

5

ax 2 n + bn yn + cy 2 n

(*)Presenta 1 Factor Lineal : (x+y) (*)Presenta 1 Factor cuadrática: (x2 +y2)

Se utiliza cuando todos los términos del polinomio tienen un factor que le es común. El factor común puede ser un monomio o un polinomio.

7

D) MÉTODO DEL ASPA SIMPLE Se utiliza para factorizar polinomios que adoptan la siguiente forma general:

(*)Existen 3 factores primos : (x,y) , (x2+42) y (x4+y4)

A lg . = 20

5 y x 

P(a,b,c,d)= (b + c) 2 −(a − d ) 2 Diferencia de cuadrados .

Observe que: 1) Factorizar:

A) FACTOR COMÚN POLINOMIO

P(a,b,c,d)=

Extrayendo el Factor común: (x2 + y2) dentro del corchete.

Ejemplos explicativos:

N° Fact Algebraoicos = 24 - 4

3

Extrayendo Factor común del corchete (b+1)

4

−5x y

4

)

F = (c + 1)(b + 1)(a + 1)

2) Factorizar :

– Factorizar :

S4AL32B

4

+x 4 y

A(x , y ) = (x + y )(x 2

Reemplazando:

N° Fact .

6

Solución: (b 2 + c 2 + 2 bc ) − (a 2 + d 2 − 2 ad )

♦Extrayendo Factor común: A(x,y)=(x+y) ( x

=

2 2 b 2 + c 2 − a − d + 2 ad + 2 bc

♦Agrupando convenientemente:

Consiste en agrupar los términos del polinomio por binomios, trinomios, que luego de descomponerlos a su vez en dos factores, aparece algún factor común a todas las agrupaciones realizadas.

Factores Primos del N° 6 = 2 . 3

2. Factorizar: P(a,b,c,d)

Solución .

= (1+1) (1+1) (1+1) (2+1) = 24

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

4to.

(x 3 + x2 − 1)(x 3 − x2 + 1)

A(x, y) = x 7 + x 6 y + x 5 y + x 4 y 3 + x 3 y 4 + x 2 y 5

= (x – y + z) a – (x – y + z) b

Luego:

Totales

ÁLGEBRA

P(x,y,z)=(x – y + z) a + (y – x – z) b

2

Existen 4 Factores Primos

N°de Fact .

4to. Año Secundaria

18

C) MÉTODO DE LAS EQUIVALENCIAS Consiste en aplicar las equivalencias o productos notables de manera directa o inversa, es decir, del producto pasar a los factores. Veamos algunos Ejemplos explicativos:

Solución: Agrupando los tres últimos términos y extrayendo el signo(–).

N = x6 – ( x 4 − 2 x 2 + 1 )

S4AL32B

1. Factorizar : 8x2 – 22x + 15

8x2 – 22x + 15

N = x6 – x4 + 2x2 – 1

cuadrados

Ejemplo Explicativos

Solución:

1. Factorizar

N=x6 –

El método consiste en descomponer los términos extremos, de tal manera que al multiplicar en aspa y sumar los resultados y nos produzca el término central, siendo los factores las sumas horizontales.

(x 2 −1) 2

4x

-5 =

- 10x

2x

-3 =

- 12x

+

-22x ∴ Los factores son: (4x - 5) (2x - 3)

...... Diferencia de 2. Factorizar :

abx2 + (a2 + b2)x + ab

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN Año Secundaria Solución :

17 (II) : y (1) + y (1) = 2y

ax

+b =

b2 x

bx

+a =

a2 x

G. CRITERIO DE LOS DIVISORES BINOMIOS Se utiliza para factorizar polinomios de cualquier grado y de una sola variable que aceptan factores binomios de la forma (ax ± b).

Finalmente : ∴ (3x + y + 1) (x + y + 1)

∴ Los factores son: (ax + b) (bx + a)

F. MÉTODO ESPECIAL

MÉTODO DEL ASPA DOBLE Se emplea para factorizar polinomios que tiene la sgte. forma general Ax

+ Bxy + Cy

2

DEL

DOBLE

3

Pasos :

∧ Cy

)

(

2 , además 2 Cy ∧F

)

2° Si faltaran términos se completarán con ceros 3° Se traza un aspa grande entre los extremos

4° Se verifican las aspas simples y el aspa grande 5° Se forman factores como el método anterior (horizontalmente)

1° Se aplica un aspa simple en los términos extremos : (Ax4 ∧ E) 2° El resultado se resta del término central : Cx2 3° Expresar las diferencias en dos factores y colocarlos debajo del término central.

4° Luego se aplican dos aspas simples, y se toman horizontalmente.

1) Factorizar : A(x,y) = 3x2 + 4xy + y2 + 4x + 2y + 1 Solución : 2

3x

+y (III) +y

x

(I)

+ 4x + 2y + 1

Comprobaciones : (I) : (3x) y + x (y) = 4xy

+1 (II) +1

Para x = 2, se anula, entonces tendrá un factor (x – 2). Luego por la Regla de Ruffini 1

F(x) = x3 + 3x – 4

Sea :

2

0

-1

-6

2

4

6

1

Para x = 1 F(1) = 13 + 3(1) – 4 = 0

2

3

0

Q (x) = (x – 2) (x2 + 2x +3)

∴ 1 será un “cero” de F Regla para calcular los posibles ceros de un polinomio Posibles

±

ceros

=

Divisores del T. indep .

Divisores del 1er . Coef .

PRACTICA DE CLASE 01. Factorizar. M(a; b) = a2 - 4 + 2ab + b2 e indicar un factor primo. a) a + b + 2 d) a + 2

b) b - 2 e) b + 2

c) a + b - 4

02. Señalar un factor primo, luego de factorizar: 1) Factorizar : A(x) = x4 + 5x3 + 9x2 + 11x + 6 Solución :

Ejemplos explicativos 3

P(x) = x2 + (b + c + 2d)x + d2 + (b + c)d + bc 2

1. Factorizar : P(x) = x – 11x + 31x – 21 3

2

A(x) = x + 5x + 9x + 11x + 6 4x x2 +3 (I) (II) (III) 2 x +2 x

Se observa que :

A (x,y) = 3x 2+ 4xy + y

P.C. = ± 1 , ± 3 , ± 6

Ejemplo:

Ejemplos explicativos

4

Ejemplos explicativos

Cero de un Polinomios : Es el valor o conjunto de valores que tienen la propiedad de anular (valor numérico cero) a determinado polinomio.

Solución :

2

Ax + Bx + Cx + Dx + E

+ Dx + Ey + F

1° Se trazan 2 aspas simples entre los términos:

S4AL32B

ASPA

Se utiliza para factorizar polinomios de 4to. grado de la forma general.

4

Pasos:

(Ax 2

4to.

2. Factorizar : Q(x) = x3 – x – 6

+

x(a2 + b2)

2

ÁLGEBRA

A(x) = (x2 + 4x + 3) (x2 + x + 2)

(III) : 3x (1) + x (1) = 4x

abx2 + (a2 + b2)x + ab

E)

4to. Año Secundaria

18

Solución :

Para x = 1, se anula, luego tendrá un factor (x – 1) determinando el otro factor por la Regla de Ruffini 1

2

2

(II) x (4x) + x (x) = 5x

1 1

3

-11

31

-21

1

-10

21

-10

21

0

2

(III) 4x(2) + x(3) = 11x

P(x) = (x – 1) (x – 10x + 21)

Finalmente :

P(x) = (x – 1) (x – 7) (x – 3)

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

S4AL32B

b) x + 2d e) x - 2c

c) x + d + b + c

03. Señalar un factor primo de:

P.C. = ± 1 , ± 3 , ± 7, ± 21

(I) (2) (x2 + x2(3) = 5x2 . luego : 9x2 (término central) – 5x2 = 4x2 . se descompone 4x2 en 2 factores : (4x) (x)

a) x + b + d d) x + c

H(x) = (2x2 + x - 1)2 - (x2 - 3x - 5)2 a) 3x2 + 2x - 6 d) (x + 2)2

b) (x - 2)2 e) x - 2c

c) 3x2 - 2x - 6

04. Factorizar: P(a; b; c) = a(b - c)2 + b(c - a)2 + c(a - b)2 + 8 abc a) (a2 + b2 + c2) (a + b + c) b) (ab + ac + bc) (a + b + c) c) (a + b ) (b + c) (c + a) d) (a - b) (b - c) (c - a) e) (ab + ac + bc) (a - b + c)

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN Año Secundaria

17

18

4to. Año Secundaria

ÁLGEBRA

4to.

y señale aquél que no es un factor de M(x).

05. Indicar el factor primo cuadrático de mayor suma de coeficientes, después de factorizar: M ( x) = x4 + 4x2 + 16 a) x2 + x - 2 d) x3 + 8

b) x2 +2 x - 4 e) x2 + 2x + 4

P (x) = x4 - 4x3 + 11x2 - 14x + 10 a) x2 + 3x + 2 d) x2 + 4x + 2

b) x2 - 2x + 5 e) x2 - 2x + 2

c) x2 - 4x - 2

c) x2 + x - 8 13. Hallar la suma de coeficientes de un factor primo de:

06. ¿Cuántos divisores primos posee: T (a; b) = (a2 + b2 - 6ab)2 - 4ab (a + b)2 ?

18. Factorizar y dar como respuesta la suma de coeficientes de un factor primo de: P (x; y) = 6x2n - 4y2n + 7 + 5xnyn +3yn - 17xn a) 0 d) 1

b) 2 e) 6

c) 12

2 2

x −

d) x2 - 1

2 2

P(x) = (1 + x ) (1 - x ) + (x - x )

b) 5 e) 6

c) 4

a) 2 d) 5

07. Indicar el número de factores irreductibles de:

c) 1

14. Factorizar e indicar el factor primo cúbico de:

P(x; y; z)=x4 y2 z7 + x y2 z7 + 3x2 y2 z7 + 3x3 y2 z7 a) 4 b) 3 z7 d) 5 e) 1 08. Indicar un factor primo de:

b) 4 e) 3

P (x) = x5 - x4 + 2x2 - 2x + 1 a) x3 + x + 1 b) x3 + x2 + 1 c) x3 + x + x2 - 1 d) x3 - x + 1 e) x3 - x2 + 1

c) 2

15. Del polinomio 2

P (x; y; z) = [(x - y + z) (x - y - z) + 1] - 4(x - y)

2

P (a; b) = a4 + 5bc2 - a2b - a2c2 - 2b2 - 2c4 a) x + y + z + 1 d) x - y + z + 2

b) x - y + z + 1 e) z + y - z + 2

c) x - y + z decir si es verdadero o falso con respecto a las proposiciones siguientes:

09. ¿Cuál de las siguientes expresiones no es término de un factor primo de: F (x; y) = 1 + 2x2 - (6x2y2 + 4x3y + y4 + 4xy3) 2

a) - x d) 2x2

b) 2xy e) -y2

c) y

c) -7

M (z) = z2 (z8 + 1) + z6 + (z2 - 1) ( 1 + z2 + z4) y dar como respuesta el número de factores primos b) 4 e) 6

c) 5

12. Señalar el factor primo cuadrático de mayor suma de coeficientes en: S4AL32B

2

F(a;b;c)=(a+b+c) +(a+b-c) +4c(a+b)+5(a+b+c)+ 2

11. Factorizar:

a) 2 d) 3

c) FVF

16. Factorizar 2

2

b) -6 e) -8

b) VFF e) VVF

e indicar el factor primo de mayor término independiente. a) 2a + 2b + 2c + 1 c) 2a + 2b + c - 1 e) 2a + 2b + 2c - 1

b) a + b + c - 2 d) a + b + c + 2

17. Factorizar y obtener la suma de factores primos del polinomio.

P (x; y) = (x + 2y)2 - 2xy (3x - 4xy + 6y) a) x2 + 4y2 c) x2 - 4y2 + 8y2

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

b) 2x2 + 2xy + 8y2 d) 2x + 4y - 6xy e) 2x2 - 2xy

e) x2 + 1 - a

c) VFF

Indicar el valor de verdad de cada una de las proposiciones: I. Un factor primo es z2 + 4z + 1 II. Un factor algebraico es (z - 1)3 III. Tiene sólo 2 factores primos mónicos a) VVV d) VFV

b) FVF e) FFF

c) VVF

05. Indicar aquel polinomio que no es factor de: 20. Mencionar un factor primo del polinomio: 3 2 2 3 Q(x) = α2 x 3 + (2 αβ + α3 β)x 2 + (β2 + 2 α2 β2 )x +Q(x;y) αβ3 = x + 2x y - 4xy - 8y - x + 2y a) βx + α d) βx + α2

I. Tiene 3 factores primos II. Tiene 2 factores primos cuadráticos III. La mayor suma de coeficientes de un factor primo es 2 -2c2 ; 0 < c < 1. a) VVV d) FVV

H (x) = x - x - 17x + 33 a) -3 d) -5

b) VFV e) FFF

b) α + αβ

c) α+β2

x+α

e)

TAREA DOMICILIARIA 01. Indicar un factor de: S(x) = (1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 )2 - x5 a) x4 + x3 + x2 + x + 1 b) x9 + 1 c) x5 + 1 d) x3 + x2 + x + 1 e) x4 + 1

c) 10

03. Siendo b + 1 y a - 1 cuadrados perfectos, factorizar M(x)=x6-(a + b+1)x4 +(ab+2a-1)x2 - a +b - ab +1 S4AL32B

P(x) = x5 + x4 + x2 + x + 2 Indique el valor de verdad o falsedad de cada una de las proposiciones: I. Un factor primo es x3 + x + 1 II. Un factor primo es x2 - x + 1 III. La suma de coeficientes de un factor primo mónico es 1. b) VFV e) VFF

c) FFV

07. Señalar un factor de:

P(x)=x4 - 9x2+x+mx+n, hallar el valor de n / m b) -3 e) 3

b) x + 2y + 1 c) x - 1 + 2y e) x2 -1 + 4y (x + y)

a) VVV d) VFF

02. Si x2 - 5x + 6 es un factor de:

a) 1 d) -5

a) x - 2y d) x + 2y

06. Luego de factorizar:

2

10. Obtener la suma de coeficientes de un factor primo del polinomio.

3

Señalar el valor de verdad o falsedad de cada una de las proposiciones siguientes: I. Un factor primo es a2 - b II. Un factor primo es a2 + b III. a - c2 no es un factor primo a) VVF d) VVV

c)

P(z) = z6 - 9z4 + 16z3 - 9z2 +1

P(a;b;c)= b3 (a-c2) + c3 (b-a2) + a3 (c-b2) + abc (abc-1). a) 2 d) 3

b) x − a −1

b −1

04. Con respecto al polinomio

19. Con respecto al polinomio: 2

a) x + b +1

P(x) = 6x5 + 41x4 + 97x3 + 97x2 + 41x + 6 a) x-1 d) 3x2 -7x + 2

b) x-2 e) 3x + 1

c) 2x -1

08. Luego de factorizar S(x; y; z) = (3x + y - 5z)5+(2z - y - 2x)5 + (3z - x)5

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN Año Secundaria Indique el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones:

17 d) 0

e) 1

a) VVV d) VFF

b) VVF e) FVF

c) VFV

09. Indicar el valor de verdad con respecto al polinomio:

a) VVV d) VFF

b) VVF e) FVF

a)

c)

e) c) VFV

P(x) = (2x + 1)7 + 4x(x + 1) + 2 Indicar un factor primo cuadrático. b) x2 − 5x + 1 e) 4x2 + 6x + 3

c) 4x2 +x+3

b) - 16 e) - 4

n

a x −1 ax −1 a

b)

n +1

x −1 ax −1

a

n −1

x −1 ax −1

d) a n x −1

Halle P(x +1) ; sabiendo que: P(x −2) = kx 8 b) 2x+2 e) 16x+16

(

c) 4x+4

a) - 1 d) 15

0 4



Entonces el valor de P  −



a) - 1 d) – 3/5

3 5

b) 1 e) 11/5

   ; será: 

a) 11 d) 8

x

c) 9

06. Dada la expresión matemática:

1 +x f(x)= ;x≠1 1 −x

c) 0

Halle: f(2) . f(4) . f(6) . ... . f(24) 02. Dado un polinomio: P(x)=x3 – 1000x2 – 1002x+999 Determine el valor de P(1001) a) - 3 S4AL32B

b) - 2

a) - 25 d) 25

b) - 24 e) 50

07. Sea el polinomio: P(x)= ax2+bx+c; donde: c) - 1

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

a) x d)

b) 1/x

x −1 x +1

c) 24

e) Se indefine

2

14. Si: P(x, y)= (a + 2)x a y 3 − 2 xy b +1 es un monomio halle a 10 + b b) 2 e) - 3

c) 3

Es completo. ¿Cuál es su estructura?

b) 15 e) 7

c) 12

b) 3 - a e) 6

a) x2+x – 6 b) x2 - x - 7 c) x3 - x2+3x - 27 d) x3 - x2+2x - 8 e) x3+4x2 - x - 64 16. Sabiendo que:

11. El polinomio: P(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e; es tal que: P(0)= 0; P(-1)=6 y P(x)=P(1-x) Determine el valor de: 2c - b

x3+2x2 - 1 ≡ (x+1)[Ax2+B(x - 1))] Calcule: A . B c) 4

a) 1 d) 3

b) 2 e) – 1/4

c) 1/2

17. Dada la expresión Q (x ) = 3 1 − x . Entonces:

12. Dado el polinomio: P(x)=3x – 2

(

(

))

Q 1 − Q 3 1 − Q 3 (x +1)

¿Para que valor de “m”, se establecerá que:

S4AL32B

x +1 x −1

Q(x)=x2x - 3+mxm - 2 - m3 - x5 - m

2

P[P( 2 m −1) ] = 1 ?

c)

15. Si el polinomio indicado:

Conozca el valor de:

a) 2a d) 5

c) 0

logra obtener será:

a) 1 d) 0

= 27x+26

mientras que otro con:

a) 19 d) 10 b) 10 e) 7

c) 10

10. Si un polinomio se relaciona mediante:

   x −1 

Halle: P(3 )

1 9

b) 2 e) 24

b) - 1 e) 2

x +1 tal que x ≠ 1. Si cada “x” x −1 x +1 es sustituido por: , la expresión que se x −1

x = 2 x +3

P x +1  = 2 x 8 − 4 x 7 + 5 x −1

01. Un polinomio lineal se relaciona mediante: x P(x)

)

P(x −1) = n 2 − 4 x 4 − 3 n 2 x + n 4 − 1

1 ax −1

a) x+1 d) 8x+8

4to.

13. En la expresión

a) 91 b) 87 c) 75 d) 55 e) 36 09. Identifique el termino independiente del polinomio “P”, si este es mónico y cumple con:

05. En la expresión matemática:

PRÁCTICA DE CLASE

c) - 12

08. Cuanto deberá suma a y b a fin de que para cualquier valor de “x”, se establezca la relación:

04. Sabiendo que “P” es un polinomio cuyo término independiente es cero.

10. Luego de factorizar:

a) 4x2 + x + 1 d) 2x2 + x + 12

P (ax ) P (x)

a) - 20 d) - 8

15+2x = a(2x - 3) – b(3x - 5)

P(x) = x(x − 1) (x + 2) (x − 3) + 8 I. Tiene 2 ceros racionales.

II. Tiene 3 factores primos mónicos.

III. Tiene 2 factores cuadráticos.

a) - 2 d) 1

Entonces: “a – b + c”, será:

P(x)=(ax - 1)(a2x - 1)(a3x - 1)...(an-1.x - 1)

Halle:

ÁLGEBRA

P(1)= P(3)=0 y P(2)=2

03. Sea el polinomio: I. Un factor primo es 2x + y - 2z II. La suma de 2 factores primos es 2x + y − 2z III. Un factor primo es 3x + y + 5z

4to. Año Secundaria

18

a) - x

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

b) x

c) 1+x

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN Año Secundaria d) 3 1 − x

e) 3 1 + x

b) 9 e) 12

c) 10

a) 6 d) 12

b) - 7 e) 10

c) - 9

a) 3 d) 12

b) 9 e) 15

10. Si: x + x-1 =

03. Deducir el producto xy a partir del sistema de ecuaciones : x3 + y3 = 56 ; x+y=2 a) - 8 d) - 12

4to. Año Secundaria

18

b) 6 e) 8

ÁLGEBRA

09. Si : x - x-1 = 1. Calcular : x4 + x-4

02. Si: a+b= 5 y ab = 3 entonces : (a - b)2 es :

18. En un polinomio dependiente de dos variables, homogéneo, ordenado y completo respecto a cada una de ellas, se sabe la suma de los grados absolutos de todos sus términos es 156. ¿Cuál será su grado de homogeneidad? a) 8 d) 11

17

c) - 6

a) 5 d) - 2

( x + y ) 2 + (x 2 + y 2 )2 ≡

c) 7

 2 1  x −    x2  

5 -5 5 . Halle : A = x + x

b)

5

c) 0

5

1   x − x 

2

   + 

2

+4m

a) 2 d) 1/2

e) 5

5

4to.

b) 4 e) 1/4

c) 6

ay - bx = 6;

a2+b2=5

b) 18 e) 25

c) 20

11. Calcule el valor de :

)

(

19. Si: a 4 + 36 x + a 2 + a = 6 + 13 a 2 x .

Se verifica para todo para todo “x” Esto ocurrirá cuando “a” tome los valores de: a) {- 2, 3} d) {- 2 , - 3}

b) {2,- 3} c) {2, 3} e) {- 3, - 2, 5, 3}

z2 + 3 20. Dado: P 1  = 2 . z +1  2  z + 1  

04. Encuentre el valor de : 3 x + 25 si el valor numérico de: J = (x + 1)(x2 + x + 1)(x - 1) (x 2 - x + 1) es 63. b) - 2

d) 3

e) N.A.

05. Calcular :

Si :

(99 ) P(P +P P (100 ) −1)  −1     2 

a + b

b) 15 e) 55

a) 5 d) - 1

b) - 2 e) 0

a) 18 673 901 d) 14 863 951 c) 4

01. Efectúe :

2

b) 24

d) 48

3

e) N.A.

c) 6

ax+by=8;

b) 23

7

c) 50

e) N.A.

6

a) 16 d) 24

c) 18

3 x 5 x 17 x 257 + 1

a) 256 d) 32

b) 128 e) 18

Calcular

c) 16 873 951

b) 3 e) 7

(a + b )

:

2

+ (a + c)

a) 9 d) 18

c) 4

2

+ (b + c)

b) 12 e) 21

a

E 2

c) 15

a 3 + b3 + c3 = 9

a) 1 d) 1/2

b) 2 e) 1/4

c) 3

b) 4 e) 7

)(

+a +1 a

2

)(

−a +1 a

b) a2+1 e) a4 - 1

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

+1

= 18. Si :

a +2 bc +

Calcular :

a −2 bc =8bc

a +2 bc -

a −2 bc

b) 2 e) 1/4

c) 1/2

N = (a + b + c)2 + (a + b - c)2 - 4(a - b)2 + 2(a + b + c) (a + b - c) c) 5

15. Siendo : xy = 1, calcular el valor de “m” en:

S4AL32B

−a

2

c) a4+1

a) 0 d) -1

b) 4ab e) 18ab

20. Reducir : (a+b+c)3-(a+b)3-3(a+b)(a+b+c)c

S4AL32B

= 4

19. Reducir :

08. Si: x + x = 3. Calcular el valor de : 6

+a

2

a) 1 d) ab

14. Si : a + b + c = 3

a) 3 d) 6

(

4

a) a+1 d) a8+1

-1

2 −2 P = x + x −3 x 3 + x −3 − 2

M

c) 64

13. Si : a + b + c = 3 a 2 + b2 + c2 = 9

b) 16 738 591 e) 26 873 951

Calcular : x2+y2

6

Obtener : N = (a+b)(b+c)(a+c)

2

   2 + 3 + 2 − 3 + 6     

a) 12

16. Conociendo que:

17. Hallar el valor de :

R = (176 446) (176 444) - (176 447) (176 443) a) 1 d) 6

x2

6

7

S=

07. Calcular :

PRACTICA N° 02

x 5 + x −1

12. Encuentre el valor de :

M = 8 436 9762 - 8 436 9752

P(−1) + Q (1)

+

7

d) 25 - 2

06. Efectuar :

Determine:

Si x = a) 50

b a

a b + = 223 b a

a) 13 d) 12

Calcular:

c) 3 23

a) 2

λ=

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

c) 8ab

)

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN Año Secundaria

17 Rpta : ..........................

a) a3 d) 2a3

b) b3 e) 2b3

c) c3 06. Hállese el residuo de la siguiente división:

x4 x

3n

4

n

+2

18

4to. Año Secundaria

13. Encontrar un polinomio de 3er grado que sea divisible en forma separada por (x+2) y (x+1) sabiendo además que la suma de sus coeficientes es 24 y que su término independiente es 2.

; n ∈ N* Rpta : ..........................

07. ¿Cuál es el residuo que se obtiene al efectuar la siguiente división: 5 4

14. Encontrar el resto de dividir un polinomio P(x) entre (2x-1), si se sabe que el término independiente del cociente es 5 y además P (0) = 18.

+7

Rpta : ..........................

(x − 2)(x − 1) PRACTICA N° 03

Rpta : ..........................

08. Proporcionar el residuo de la siguiente división :

01. Proporcionar el residuo de dividir :

82

(x + 2)

63

− 4 (x + 2)

x

2

64

+ 5 (x + 2)

3

+ 3(x + 2) − 7 (x − 5 )

2000

+ 4x + 5

x

2

1999

+ (x − 6 )

30

+ (x − 5 )

22

09. Proporcionar el residuo de dividir :

18

+ 3(x − 5 )

16

+ (x − 3)

+ 10 − 2

x −5

16

[(x + a )

− (x

5

]

−a )

x − x +1 Rpta : ..........................

6

entre (x+a)

5

x − x − 2x + 3 x + 4 x

4

−1

2

x −2

10. Encontrar el residuo de dividir

05. Proporcionar el residuo de la división mostrada:

x 18

entre

x2 + x +1

S4AL32B

θ

3 −1

−y +y

2α θ

3 −1

origina un cociente

notable cuyo segundo término es − x 16 y 8 .

Calcular “α-θ” Rpta : ..........................

11. Encontrar un polinomio P(x) de tercer grado sabiendo que al dividirlo separadamente por (x+3), (x+2) y (x+1) se obtiene el mismo resto8 y al dividirlo por (x+4) se obtiene como resto 20.

18. Calcular el valor de “α” para que la división 4 α+ 4 5α x −y notable: origine un cociente α +1 2 α−3

Rpta : ..........................

12. Encontrar un polinomio P(x) de 2do grado, que sea divisible en forma separada por (x-2) (x+1) cuya suma de coeficientes sea de -6.

(x + 1)(x + 2)(x + 3 )(x + 4 )(x + 5 )(x + 6 ) x

17. Si :

2α

Rpta : ..........................

Rpta : ..........................

2

x x

04. Encontrar el residuo de la siguiente división: 7

Rpta : ..........................

2

Rpta : ..........................

8

16. Un polinomio entero en “x” al ser dividido por (x1) y por (x-2) separadamente proporcionan residuos 6 y 8 respectivamente. ¿Qué expresión se debe restar al polinomio para que al dividirlo entre [(x-1) (x-2)] el cociente resulte exacto.

3 x 45 − 2 x 10 + 7

Rpta : ..........................

03. Halle el resto de dividir : 5 5

Rpta : ..........................

Rpta : ..........................

02. Proporcionar el residuo de dividir :

(x − 5 )

−1

− 11 x + 30

Rpta : ..........................

15. Si un polinomio P(x) se divide entre (x −1)4 , se obtiene como resto un polinomio de tercer grado cuya suma de coeficientes es 3. Hallar el residuo de dividir el polinomio original por (x – 1).

+7x + 2 “El nuevo símbolo de una buena educación....”

x

−y

notable.

Rpta : ..........................

19. Simplificar :

T=

Rpta : ..........................

20. Si el tercer término del cociente de: α α 

1

 2 

(x + 2)

−x

x +1

tiene como valor numérico

 

212

para x=2.

Calcular el valor de “α” Rpta : ..........................

PRACTICA N° 04 01. Determine al dividir: x 6 − 7x 5 − 9x 4 + 6x 3 + 6 x 2 + 2x + 1 Determine la suma de los coeficientes del cociente obtenido a) 0 d) – 1

b) – 7 e) 5

c) 2

02. Si dividimos:

2 x 4 + 6 x 3 + (a − 7 )x 2 + bx + 1 ax 2 + bx + 1

; {a; b}

⊂Z obtendremos como cociente y residuo polinomios no constantes mónicos de coeficientes reales; además se sabe que el residuo es un monomio halle: a+b a) 13 d) 9

b) 11 e) 10

c) 15

03. El resto de la división: − Ax 4 + Bx 3 + Ax 2 + 8 x − 9 2x 2 + x − 3 Es el polinomio R(x) = 3x - 3. Calcule 3

Rpta : ..........................

S4AL32B

4to.

 x 44 + x 33 + x 22 + x 11 + 1   x 10 + x 9 + ... + x + 1      x 4 + x 3 + x 2 + x + 1   x 50 + x 45 + ... x 5 + 1 

Rpta : ..........................

+1

(x − 2) + (x − 1)

ÁLGEBRA

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

A +B 3

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN Año Secundaria a) - 1 d) 3

b) 0 e) N.A

17

c) - 2

d) 1 + x 2

04. En la siguiente división:

3 x n +1 + x + 2 x−3 La suma de coeficientes del cociente es 1093, calcular “n” a) 3 d) 8

b) 6 e) 5

10. Sea p(x) un polinomio mónico de 3º si p(x) es divisible entre (x+2) y también entre (x+3) y además al dividir p(x) entre ( x 2 - 1) el resto es

c) 7

17x+19. Calcular p(0)

(x + 2) 3 (x − 3) 3 + (x − 2) 2 (x + 1) 2 + (x + 3) x2 −x −5 b) 31x+77 e) - 31x -77

a) 10 d) 12

b) 17 e) 6

x 10 −1

06. Halle el resto:

c) 2

x 2 + x −1

b) 610 x 2 - 611x - 1 d) 511 x 2 - 510x - 1

e) 611 x 2 - 1

a) 5

b) 6

d) 10

e) 8

12. Al dividir:

07. Halle el resto en:

c)

5 2

16 x 4 + 2 x + 1 se obtiene como − 2x − 1

cociente :

(x − 1) 2 + (x 2 − 1) 3 + (x 3 − 1) 4 + ....( x 2 n −1 − 1) 2 n a  b  c  q (x) =  − 1 x 3 +  − 2 x 2 +  − 3 x + d (x − 1)(x + 1) 3  4  5  Halle: a + b + c + d

Siendo n ∈ N a) 1 - x

b)

1

+

x

2 (4 n − 1)(1 − x) 3 3 n d) (4 + 1)(x + 1) 2

c)

e) 0

(1 + x)(1 + x 2 )

S4AL32B

b) 1 - x

b) 30 e) 50

a) 18 d) 19

b) 20 e) 92

c) 15

15. Halle el resto en la siguiente división:

(x + 1)n + x 4 + x + 4 x 2 + 2x + 2 a) x+2 d) x+1

b) - x + 1 e) x - 1

donde n = 4º

c) - x - 1

c) 21

b) 165 e) 105

b) – 1 e) – 2

c) 156

c) 1 + x

a) - 140 d) - 144

b) - 156 e) - 136

c) - 175

14. Calcular a+b+c, si el resto de dividir:

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

a) a2 + b2 + x2 + y2 c) 2a2 + b2 + x2 + 3y2 e) a2 + b2 + x3 + 3y2

c) 4

b) a2 + 2b + 2x2 + y2 d) a2 + b2 + 3x2 + y3

05. Indicar la suma de los factores primos de: C = a2 + a – b2 + b – c2 – c + 2b a) 2a + 1 S4AL32B

b) a + b + c

b) a-2 e) a2+2

c) a+1

07. ¿Cuál no es un factor de (1 + mx)2 – (m+x)2 a) 1 + m d) 1 – m

b) 1 + x e) m + x

c) 1 – x

08. El polinomio: 3x3 – 21x + 18, al factorizar tiene la forma: a(x –b) (x – c) (x – d), donde b < c < d.

Calcular: a – b + c – d b) – 7 e) 6

c) 9

a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1 10. Hallar el número de factores primos de: 64a7b – ab7 a) 3 d) 5

b) 4 e) 7

c) 6

11. Indicar el término independiente de uno de los factores primos del trinomio.

P(x,y) ≡ (x + y + 3)2 + 7x + 7y + 31

04. Factorizar: 2 2 2 2 2 (x − 4 )(x −1)(x − 3)(x − 6 )(x 2 − 7 x − 6 )(x 2 − 7 x −12 ) (a – b) (x – y) + 2ab(x – y) + 2xy (a + b ) indicando la suma de sus factores primos: (x 2 − 7 x) 2 − 4 Calcule la suma de los coeficientes del cociente obtenido

e) a

09. El número de factores primos de: x3y2 + y3z2 – x3z2 – y5, es:

03. Factorizar: (n2 + n-1)2 + (2n + 1)2, e indicar la suma de los términos independientes de sus factores primos. a) 3 d) 2

a) a +3 d) a2+1

a) 7 d) 5

a) VVF b) VFV c) FVV d) FFF e) VVV 02. Al descomponer en dos factores la expresión: (a – 5) (a – 6) (a – 7) + (a – 5) (a – 6) – (a – 5) El resultado del producto de los valores absolutos de los términos no literales es: a) 157 d) 175

d) a –b + c

4to.

06. Factorizar: a4 – a3 – 7a2 + a + 6, indicando uno de sus factores:

13. Luego de dividir:

08. Halle el resto en la siguiente división: 1 + x + x 2 + x 3 + .... x 4 n −1

a) 0

a) 34 d) 8

2 x 3 + x 2 − x − 2 es :

01. Con respecto al polinomio: a(x – 1) – b(1 – x) + cx – c señale verdadero o falso: I) a + b + c es un factor II) x + 1 es un factor III) solo tiene 2 factores primos

x(x −1)(x − 2)

a) 611 x 2 - 610x+1 c) 610 x 2 +611x+1

entre

PRACTICA N° 05

11. Calcule “m” para que la división: x 5 − nx + 2 m − 2

c) - 31x+77

ÁLGEBRA

ax 5 + bx 4 + cx 2 − 5 x − 3

09. Al dividir el polinomio p(x) entre (x - 1) y luego entre (x - 2) se obtiene el mismo resto 4, además p(x) es divisible entre (x - 3). Calcular el término independiente p(x) si es de 3º y además cp es 2. a) - 1 b) - 3 c) - 12 d) - 7 e) - 8

05. Halle el resto de la siguiente división:

a) 30x+77 d) x+11

e) x 2 - 1

4to. Año Secundaria

18

a) 2 d) 3

b) 7 e) 39

c) 8

12. Reconocer un factor del polinomio: 6a2 – 11ab + 4b2 – 8ª + 14b – 8 a) 3a + 4b – 2 c) 2a - 2b + 1 e) 3a - 4b + 2

b) 3a - 2b + 4 d) 2a + 4b – 1

13. Un factor de: a(a – 1) + a3 – 1 es: a) 1 – a d) a - 2

b) a+1 e) a

c) a + 2

14. Dar la suma de los factores primos de: P(x) = x4 – 5x2 + 4

c) a + 2b + c

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

FACTORIAL DE UN COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN Año Secundaria a) x2 + 2 d) 3x+7

b) x2 + 5x e) N.a.

c) 4x

15. Luego de factorizar: R(x) = x3 + x2 + x + 1 Se obtiene un factor de la suma (ax2 + b) Halle Ud. “a + b” a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

16. Hallar la suma de los factores primos de: x3 + (a + b + c)x2 + (ab + ac + bc) x + abc a) x + a + 2b + c c) 3x + a + b + c e) x + 3a + 2b + c

b) 2x + 2a + 2b d) 2x + 2ª + 2b + 2c

17. Si (x + 1) es un factor de x2 + cx – 2 y (2x – 1) es un factor de dx2 + 5x – 4, entonces el valor de d/c es: a) 1/2 b) 4 c) –1/2 d) – 6 e) 6 18. Los trinomios: 2x2 + ax + b y 2x 2 + bx + 3 admiten un factor común de la forma: 2x + c.

Calcular el valor de (a – b)c a) – 3 d) – 2

b) 2 e) 3

2

3

OBJETIVOS ESPECÍFICOS: ESPECÍFICOS • Conoce una nueva operación matemática.

• Determina el factorial de un número natural.

• Resuelve ejercicios referidos a factoriales haciendo uso de las propiedades estudiadas.

CONTENIDO TEÓRICO 1. Factorial de un número El factorial de un número natural “n” es el producto de todos los números naturales consecutivos desde 1 hasta “n”.

n! = n ∀ n

2

2.

1.

3

P(x) = x + 2x + 5x + 2 es: a) 2 d) – 1

b) – 2 e) - 3

3. b

3.

c) 1

1/2

Para “n” par: 8!! = 2 x 4 x 6 x 8 20!! = …………………

b.

....

3! ....

(- 6 )! ....

7 ! ....

4

( 2/5 )! ....

El factorial de un número natural puede expresarse en función del factorial de otro número natural menor.

De la relación anterior, se concluye:

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

a! = b! ⇒ a =

Si:

4.

En factoriales se debe recordar lo siguiente: (a ± b)! ≠ a! ± b! (a . b)! ≠ a! . b! (a/b)! ≠ a! / b!

Cofactorial o semifactorial Sea “n” un número entero positivo, el cofactorial o semifactorial de”n” se denota por n!! ó n y se define: a.

Propiedades del factorial de un número Los factoriales sólo están definidos para los números naturales. Así: 2

7! = 4! x 5 x 6 x 7

n! = (n – 3)! . (n – 2) . (n – 1) . n

∈ N n≥1

0! ....

n=1

Luego se concluye:

= 1 x 3 x ... x (n - 1) x n

7! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 7! = 6! x 7 Luego: n! = (n – 1)! . n

S4AL32B

Asimismo:

COMENTARIO PREVIO: El presente módulo comprende el estudio de una nueva operación matemática denominada factorial, el cual se refiere a determinar el resultado del producto de los números naturales consecutivos desde el 1 hasta el número indicado. Pero ¿ Para que nos va a servir esta nueva operación matemática? Pues bien esta operación se va a utilizar como un apoyo en la potenciación de polinomios.

La simbología a utilizar será: n! = n

20. El coeficiente de un término lineal de uno de los factores primos de: 4

Sí n! = 1, cabe dos posibilidades para n: n=0 ó

( 2n ) !! =

2n - 1 =

Para “n” impar: 7!! = 1 x 3 x 5 x7 19!! = …………………

4.

n =

n

2

n

Observaciones: • 3! = 6  factorial de 3 • 3!! = 3  cofactorial de 3 • 3 !!!  no existe definición • (3!)! = 6! =720 factorial del factorial de 3 • ((3!)!)! = ( 6!)! = 720!

• 3 !!! ≠ (( 3! )!)!

Ejemplo:

6!+7!+8!

6!+7!

71!

B= 69!+70!

A=

Si

C=

34! + 35!

36!

Calcula: A x B x C

6!+ 6! x 7 + 6! x 7 x8 6!(1 + 7 + 56) = 6!+ 6! x 7 6!(1 + 7)

A = 64/8 = 8

1 x 3 x 5 x .... x n

Si "n" es impar

2 x 4 x 6 x .... x n

Si "n" es par

Relación entre el cofactorial y el factorial de un número.

B=

69! x 70 x71 70 x 71 = = 70 69!(1 + 70) 71

C=

34! (1 + 35) 36 1 = = 34! x35 x36 35 x36 35

Luego: A x B x C = 8 x 70 x 1/35 = 16

• Si el número es par:

( 2n ) !! =

2n

= 2n n

PRACTICA DE CLASE

• Si el número es impar:

S4AL32B

;

Resolución Aplicando las propiedades estudiadas y reduciendo términos tendremos:

A=

Luego:

n!! =

4to.

2n 1! = 0! = 1

Observación:

c) 6

a) (x + 7x – 2) (x – 3x + 2) b) (x4 + 2) (x3 – 3x – 2) c) (x3 + 7x – 2) (x3 – x – 2) d) (x3 + 7x2 + 2) (x4 – 2) e) (x3 + 7x2 + 2) (x3 – 3x2 – 2)

ÁLGEBRA

Para n = 1 ⇒ 1! = 0! x 1 ⇒

19. Factorizar en “z” al polinomio: P(x) = x6 + 4x5 – 21 x4 – 20x2 – 4 3

4to. Año Secundaria

18

17

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN Año Secundaria 01. Hallar

el

equivalente

2000!+199!

R= 201!

a) 0,01 d) 0,05

b) 0,001 e) N.A.

17 de:

( n + 6)!+( n + 7)!+( n + 8)! = 48 ( n + 6)!+( n + 7)!

4to. Año Secundaria

18

T =

4to.

x! + ( x +1)! + ( x + 2)! x! + ( x +1)!

a) x + 4 d) x + 1

c) 0,005

ÁLGEBRA

b) x + 3 e) x

c) x + 2

02. Calcula el valor de n en:

( n + 5)! .(n + 3)! = 24 ( n + 3)!+ ( n + 4)!

TAREA DOMICILIARIA

07. Hallar n Sí:

[(n! + 2)! – 4] ! = 20!

01. Reduce la siguiente expresión: 08. Sabiendo que:

a) 0 d) 1

b) 3 e) N.A.

c) 2

a) n! . nn d) 2n

03. Para qué valor de “n” se cumple: 12n! + 5(n + 1)! = (n + 2)! a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

E = 2 x 4 x 6 x 8 x. . .x 2n b) (2n). n! e) N.A.

c) 2n . n!

:

02. Simplifica:

13.14.............60 20.21.22........60

c) 3

04. Sí:(x +1)! – x! = 18; el valor de (x + 1)! + x! es: a) 24 d) 54

b) 36 e) 60

c) 30

a) 19/12 d) 12!

b) 19!/12! e) 19! - 12!

c) 19!

03. Simplifica:

20 x 21x 22 x.......x80 Wnfactores = ( 1!+2!+3!)(2!+3!+4!)(3!+4!+5!)...

50 x51x52 x.......x80 x= (1!+2!)(2!+3!)(3!+4!)...nfactores a) 50!–20! d) 42! ⁄ 20!

06. Simplifica: 500

2 x 4 x 6 x8 x....x1000 3 x6 x9 x12 x...x1500

1(1!) + 2(2!) + 3(3!) +.... + x(x!) = 19! – 1 08. En qué cifra termina N? N = 1! + 2! + 3! + 4! + 5! + ......+ 50!

1!+2!+3!

10. Halla “n” en: S4AL32B

25!

25!+26!+27!

c) 49! ∕ 19!

b) 54 e) 53

c) 27!

( x + 4)! + ( x + 5)! + ( x + 6)! ( x + 5)! + ( x + 4)!

a) x d) x + 5

Define, conoce y aplica las propiedades del coeficiente binomial o número combinatorio para su posterior aplicación en la solución de problemas.

puro, sino un físico que aplicaba la matemática a los fenómenos de la naturaleza, su contribución más importante es su método de fluxiones que fue escrito en 1671, pero publicado en 1736, cuya esencia y notación, no es sino una forma de tratar los problemas del actual análisis infinitesimal.

Newton es considerado como una de las brillantes mentes de todos los tiempos, investigador profundo de la filosofía natural, no solo se limita a cuestiones infinitesimales sino a zonas del álgebra en donde uno de sus aportes es generalizar el desarrollo del binomio (x + y) n para exponente no natural cuya aplicación se manifiesta en matemática financiera.

En la sesión anterior estudiamos el factorial de un número natural, ahora nos asiste estudiar el coeficiente binomial que se verá reforzado con los conocimientos previos de la sesión anterior.

CONTENIDO TEÓRICO

05. Simplifica:

T =

09. Calcula el valor de E:

b) 80!–40! e) F.D.

E = 2(2!) + 4(2!) + 6(3!) + 8(4!) + ... + 2n(n!)

54! +53! +52!

53! +52!

a) 54! d) 27

•

3(3n 2 +10n + 8)(3n + 5)!(3n + 4)! COMENTARIO PREVIO: = 108!

(3n + 5)! − (3n + 4)!

Newton que no es un matemático

04. Simplifica:

R=

07. Halla “x” en:

OBJETIVOS ESPECÍFICOS: ESPECÍFICOS

09. Calcula “n” en:

10. Hallar el equivalente de:

05. Reduce:

COEFICIENTE

( x + 7)! ( x + 5)! = 15! , el valor de “x” es ( x + 6)! + ( x + 5)!

b) x + 4 e) x + 3

Coeficiente binomial Esta importante notación conocida como coeficiente binomial, se define de la siguiente manera: Si “n” es un número real y “r” un número natural, la notación coeficiente binomial denotado

c) x + 6

06. Reduce:

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

S4AL32B

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN Año Secundaria

por

 n    r

. Se lee: “coeficiente n, r” y está

definida por:

  "rfactores    n n( 1(n−− 2) ). ( − rn + 1)   =  r 1x2 3x. r

17

 n   = 1  n

C

 n    r

C04 + C14 + C 24 + C34 + C 44 = 2 4 = 16 4º Degradación de índice: Consiste en descomponer un número combinatorio en otro que tenga como índice superior e inferior el inmediato anterior. Es decir: C rn = ← Base C rn← orden

C rn =

Propiedad de los números combinatorios

"rfactores

 n n( 1)(nn −− 2). (n− r+ 1) n!   = = r 1x23x. r r!(n− r)!

índice inferior

Ejemplo:

 n   =  r de

La expresión propuesta es semejante al cálculo del número de combinaciones de “n” objetos tomados de “r” en “r”, por lo que a este coeficiente binomial n, r también se le llama número combinatorio n, r.

1º Los números combinatorios complementarios, son aquellos que tienen igual base y la suma de las órdenes coincide con dicha base.

Se verifica que los números combinatorios complementarios son iguales.

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

n n −1 C r −1 r

n C rn −1 n −r

Crn =

n −r +1 =Crn−1 r

m C nm =C m −n

PRÁCTICA DE CLASE

Ejemplo: 100 C98 = C 2100 =

100 x99 = 4950 1x 2

2º La suma de dos números combinatorios de igual base, cuyas órdenes difieren en una unidad, es igual a otro número combinatorio cuya base es la de los sumandos aumentado en una unidad y cuyo orden es el mayor de los órdenes:

C18 + C28 + C39 + C 410 + .... + C mn = C1521 a) 30 d) 35

Ejemplo:

6 x5 x 4 = 20 1x 2 x3

3º La suma de todos los números combinatorios de igual índice, cuyos órdenes varían desde cero hasta la propia base, vale 2 elevado a dicha base: S4AL32B

b) 34 e) N.A.

c) 22

02. Calcula “n” en:

C1n + 14C 2n + 36C3n + 24C 4n = 6561

C nm−1 +C nm =C nm +1

C25 + C35 = C36 =

01. Halla (m + n) en:

a) 20 d) 25

b) 24 e) 19.

c) 22

03. Si x e y son primos entre sí. Calcula (x + y) en:

C715 + C614 + C513 + C 412 = C 716 − a) 13

S4AL32B

4to.

m C0m +C1m +... +Cm =2 m

n , Donde “n” recibe el nombre de la base y r

“r” el de orden.

otra manera: Si “n” es un entero positivo, “r” es un entero no negativo y 0 ≤ r ≤ n, se verifica que:

índice superior

Propiedad:

 n   = 1  0

El siguiente teorema, permite evaluar

ÁLGEBRA

Una notación equivalente a la ya establecida es:

Teorema del coeficiente binomial

Puede comprobarse que el número de factores que hay en el numerador de ésta relación, coincide con “r”.

 n    r

∧

4to. Año Secundaria

18

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

b) 14

x 12 C4 y

c) 15

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN Año Secundaria d) 25

e) 16.

17 10. Un valor equivalente a

18

4to. Año Secundaria

C613 es:

2 C15 + 8 C15 7 8 2 C15 7

04. Calcular xy, si se cumple:

C 2x + 2C3x + C 4x = C y7 a) 15 d) 20

b) 18 e) a y d

a)

C 714

b)

C513

d)

C712

e)

C813

b) 12 e) 16

k =1

a) 105 d) 120 07. Calcula “n” en:

a) 42/13 d) 42/7 k +3 k

b) -22n e) N.A.

n −1 n n −1 C17 + C16 − C15 = C p45

c) 22

a) 52 d) 56 04. Sí:

C

b) 62 e) N.a.

c) 8,10

C18 x

b) 15 e) 7 =

a) 4

x −2 x −1 x −2 x 2 x −21 2 x −21 C20 + C22 + C21 + C21 − C22 = C21 d) 10

S4AL32B

a) 24 d) 864

c) 20

C 18 x +2

, el valor de “x” es:

b) 6 e) 8

c) 2

4

S4AL32B

b) 5 e) 4

c) 2

03. Reducir:

∧

99 C14 + C25 + C36 + .... + C96

a! = 360 ( a −b )!

04. Reduce: (r ≤ n – 1)

 n +1  n −1  n   n −1   +   +   +    r +1   r −1   r −1  r  b) 96 e) N.A.

c) 216

a)

d)

a) 1/3 b) 1/5 d) 5/3 e) 1/15 10. ¿ Para qué valor de “n” se cumple:

a) 10 d) 13

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

a) 1 d) 3

16 16   +   1  2 18 17   −  15 15

06. Simplifica:

c) 12

C2n + C3n +1 7 = C4n + 2 5

c) 21

09. Reduce:

c) 13

b) 11 e) 14

02. Resolver:

Entonces a.b es igual a:

n = 10; 2

a) 5 d) 9 05. Sí:

b) 19 e) 21

c) 60

08.

 a   = 15  b

+2 01. Sí n! = 720 y C n = 56 . k Halle la suma de (n + k) si k es el menor valor.

a) 10 d) 13

b) 18 e) 20

Hallar: 2n-1

2n 10 − p

09. Calcula “x” en:

a) 18 d) 22

c) -2n

03. Halle n + p en la ecuación:

=C

b) 6,4 e) 3,6

c) 42/11

C0m − 3C1mx −1 + 32 C 2m − 33 C3m + ... + 3m C mm a) -2 d) 22n

08. Calcula “n” y “p” en la siguiente igualdad:

a) 4,6 d) 5,5

b) 42/15 e) N.A.

a) 16 d) 19

02. Sumar:

c) 101

b) 7 e) N.A.

C

26 C1020C20 + C920C626 19 C525C919 + C625C10

c) 13

b) 108 e) 100

2n p −2

c) 3

C7n−5 = 16 C4n−8

01. Simplificar:

C2n + C3n +1 7 = C 4n + 2 5 a) -22/7 d) 3

b) 2 e) 5

PROBLEMAS PROPUESTOS

06. Efectuar:

∑C

a) 1 d) 4

4to.

TAREA DOMICILIARIA

07. Resuelve:

C yx +1 = C4y +5

10

C713

c) 21

05. Calcula (x + y) si se cumple:

a) 15 d) 14

c)

ÁLGEBRA

b)

n + 2   r    

c)

n + 2  r +2   

e) N.a.

05. Calcula: “n + k” de:

c) 3/5

C3n +1 + C3n + C3n +2 = 1331 b) 11 e) 14

n + 2   r +1     n + 3  r + 2    

 22   21  7  2k   = 11   2k −1       4n   2n  3 3   = 28  2       a) 15 d) 9

b) 8 e) 17

∧

c) 12

c) 12 06. Halla el valor de “n” en la siguiente igualdad:

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN Año Secundaria 2

C 4n = 5 C3n −1

a) 6 d) 12

b) 8 e) 5

OBJETIVOS ESPECÍFICOS: ESPECÍFICOS c) 10

(

)

+1 − Cm Cm x x −1 2 +1 +2 m Cm − Cm x x +1 .C x −1

(

)

a) 12 d) 6

b) 10 e) 5

• •

07. Calcula el valor de “x” en:

+2 Cm x +1

17

•

= 2x − 12

Desarrolla correctamente la potenciación de un binomio, haciendo uso de los coeficientes binomiales.

Determina el término que ocupa un determinado lugar en el desarrollo de dicha potencia.

Resuelve ejercicios y problemas referidos al binomio de Newton.

( x + y)

El Binomio de Newton recibe el nombre de Isaac Newton (1642 – 1727), que ha sido el más grande los matemáticos ingleses y uno de los mayores científicos de la humanidad.

En este módulo introducimos las combinaciones de “n“ elementos tomados de “r” en “r“ para denotar los coeficientes de los términos del desarrollo del binomio.

Estos valores funcionando como coeficientes del desarrollo del binomio, son llamados números combinatorios.

c) 8

n = ∑ x n −k y k k =0  k  1.

POTENCIACIÓN: BINOMIO DE NEWTON La potencia de un binomio es un polinomio que se denomina desarrollo binomial o de Newton.

Así tenemos: (x + a)1 = x + a (x + a)2 = x2 + 2xa + a2 (x + a)3 = x3 + 3x2 a + 3xa2 +a3 (x + a)4 = x4 + 4x3 a + 6x2 a2 +4xa3 +a4 : : : :

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

El 4to coeficiente:

( x + a ) n = x n + nx n −1 a +

4to.

6.2 =4 2 +1

Generalizando:

DESARROLLO DE LA POTENCIA DE UN BINOMIO CON EXPONENTE NATURAL (n ∈ IN): BINOMIO DE NEWTON

Coeficiente n( n −1) n −2 2 x a + ...de +un a ntérmino = 1.2 cualquiera

Coeficiente del término anterior

Exponente de la 1ra base del término anterior

Exponente de la 2da base del término anterior

+1

o también: 1 2 (x + a) = C0n .x n + C1n .x n − a + C 2n .x n − a2 + ... + C nn .“2” an MÉTODO

( )

Como k = Ck ; entonces también se podría expresar haciendo uso de los coeficientes binomiales: n

 ( x + a) =   n

  

n 3

n

n 0

 n  .x +   

n 1

 n −1  .x a +   

n 2

TRIÁNGULO DE PASCAL Si distribuimos en línea los coeficientes del

 n − 2 2desarrollo del binomio para sus potencias + toma la forma geométrica de un  . x a consecutivas, triángulo de Pascal o de Tartaglia en honor a sus 

 n−3 3  n   n −1  . x a + ..... +   . xa +    n −1  

FORMAS PRÁCTICAS DE DEDUCIR DIRECTAMENTE EL DESARROLLO DEL BINOMIO

MÉTODO “1” CONTENIDO TEÓRICO

S4AL32B

Veamos a continuación el desarrollo de los diversos tipos de exponentes que pueden afectar al binomio.

Veamos los siguientes ejemplos:

n

POTENCIACIÓN DE

ÁLGEBRA

COMENTARIO PREVIO:

Cabe mencionar que un ilustre peruano Federico Villarreal (1850-1923) nacido en Túcume, Lambayeque quién a la edad de 23 años descubrió el método para elevar ya no solo un binomio sino un polinomio cualquiera a una potencia compleja inclusive, otro matemático peruano Cristóbal de Losada y Puga, le dedico profundos estudios a este descubrimiento e incluso lo llamó “polinomio de Villarreal” donde aquí el binomio de Newton viene a ser un caso particular. n ∈ Ζ+ n

4to. Año Secundaria

18

Desarrollar : (x + a)4

descubridores.

 Veamos n .a n (x  + a) n

0

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

1 1 1 1 2 1 1 3 3

1

(x + a)

4

⇒ 1 4 6

4

(x + a)

5

⇒ 1 5 10 10 5

(x + a)

6

⇒ 1 6 15 20 15 6

(x + a)

7

⇒ 1 7 21 35 35 21 7

(x + a)1 (x + a)2 (x + a)3

: :

Solución : x 4 + 4 x3 a + 6 x 2 a 2 + 4 xa 3 + a 4

:

Así: El 3er coeficiente:

S4AL32B

1

:

1 1

:

También:

Nótese que cualquier coeficiente es igual al producto del coeficiente anterior por el exponente de “x”, dividido entre el exponente de “a” previamente aumentado en 1.

4 .3 =6 1 +1

1

1 1 1 1 1

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

1 2

3 4

1 3

6

1 4

1

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN Año Secundaria

17

4to. Año Secundaria

18

ÁLGEBRA

4to.

 La suma de los coeficientes de (x + a)n es: 1

5

10

10

5

Son una prueba de que la suma de los coeficientes de la fila n, es igual a 2n.

1

En donde un coeficiente cualquiera es igual a la suma de los dos que están encima de él en la fila anterior.

OBSERVACIÓN: •

Tanto el método (1) como el método (2) son viables o factibles de emplear para potencias con exponentes pequeños, caso contrario habría que emplear la forma general.

•

Si los términos del binomio están ligados con el signo "−", los términos del desarrollo estarán ligados en forma alternada con los signos + , −.

Ejemplo. Halla el desarrollo de (x + y)5 1 1 1

2

1

1

3

1

4

1

1

3

1

6

5

( x −a) n = x n

4

10

1

10

5

1

Luego: (x + y) 5 =

x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + y5

Además obsérvese estos detalles del triángulo: 4

4 1

C

6

C

4 2

C +C =C 4 1

4 2

n −1 r −1

(

  T7 =   2 x 3 6 10

)

10−6

1  .  y4  4 

T7 =

105 12 24 x .y 128

TÉRMINO GENERAL DEL DESARROLLO DE LA POTENCIA DE UN BINOMIO

TÉRMINO GENERAL DEL DESARROLLO DE LA POTENCIA DE UN BINOMIO CONTADO A PARTIR DEL EXTREMO FINAL

Para: (x ± a)n, se tiene que:

)x

n− k

    k

n −1

n

+ cr = cr

Es necesario y suficiente intercambiar simultáneamente las bases y aplicar la fórmula conocida del término general.

5

5

5

5

5

0

1

2

3

4

c +c +c +c +c +c

= 25 5

En la primera parte del módulo se estudió el Teorema del binomio cuando el exponente es un número entero y positivo cualquiera, ahora se trata de hallar la fórmula para exponente negativo y/o fraccionario.

( x + a) n = x n +

( x + a) n =

n n −1 n( n −1) n −2 2 x a+ x a + ...

1 1.2

( ). x n 0

n

+

( ). x n 1

n −1

.a +

( )

n +3 . x n −3 .a 3 +.....

Su desarrollo admite infinitos términos pudiéndosele llamar Serie binomial..

Resolución

Ejemplo.

Solamente intercambiamos las bases (y + x) 40 y aplicamos la fórmula del término general.

Hállese los tres primeros términos de la expansión de:

(1 −x ) −1/ 3

del binomio

x → primer término del binomio a → segundo término del binomio

t 10 final = t 940+1 = c 940 . y 40 −9 = C 940 . y 31 x 9

Resolución

Observación: De acuerdo con lo expuesto en la teoría se deberá plantear:

k → lugar del término buscado menos 1

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

DESARROLLO DE LA POTENCIA DE UN BINOMIO CON EXPONENTE NEGATIVO Y/O FRACCIONARIO.

Ejemplo: Calcular el t10 a partir del extremo final de: (x + y)40

“k” en “k”

5

2.

ak

→ combinación de “n” elementos tomados de

n → exponente

P(x ; a) = (px ± qa)n ⇒ P(1;1) = (p ± q)n

6

Siendo los de lugar: IMPAR ⇒ positivo lugar: PAR ⇒ negativo

n

Además: 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 = 25 ó

S4AL32B

Tk + 1; entonces k = 6, luego de la fórmula se obtiene:

(k + 1) → lugar que ocupa el término

Es un caso particular de:

c

Resolución

1 ( x −a ) n =C 0n .x n − C1n . x n − a +C 2n .x n −2 a 2 − ... ±C nn .a n

Donde : 5 2

 En general la suma de los coeficientes del desarrollo de la potencia de un binomio se obtiene reemplazando a las variables que aparecen en la base por la unidad.

10.9.8.7.6.5 .( 2 4 x12 )2 −12 y 24 1.2.3.4.5.6

tk + ± (nk 1 =

Que en realidad comprueban que:

 La suma de los coeficientes de (x – a)n es cero.

 3 1 4 2 x − y  4  

T7 =

C25

10

10

n( n −1) n −2 2 − nx n −1 a + x a −... ± a n 1.2

o también:

2 n =C0n +C1n +C2n +.... +Cnn

Ejemplo: Halla el séptimo término del desarrollo de:

S4AL32B

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

( ). x n 2

n −2

.a

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN Año Secundaria

(1 − x )

1 − 3

1

3. FÓRMULA DE LEIBNITZ

 −1 / 3   −1 / 3  − −1 =  (1) −1 / 3 +   (1) 3 x + Así... como se puede hallar el término que uno desee  0   1  en la potencia de un binomio, se puede hallar un

término cualquiera en la potencia de un polinomio, aplicando la llamada fórmula de Leibnitz. Por razones puramente pedagógicas estableceremos las reglas para el desarrollo de (a + b + c + d) m, en donde el término que contiene a: aα . bβ . cγ . dδ es:

Y según las propiedades antes vistas, se tendrá:

(1 − x) −1 / 3

17

 − 1  − 1  − 1    1 3  3  x 2 + .... m! .aα.b β. c γ . d δ = 1 +  − x +  α !β !γ!δ !

1. 2  3

Finalmente efectuando las conseguimos:

operaciones

Donde:

DESARROLLO

DEL

01. El número de términos es infinito, y al desarrollo se le reconoce con el nombre de serie binómica de Newton.

02. Para determinar el desarrollo de (x + a)n para un número fraccionario y / o negativo el valor de x debe ser uno y además x > a. Los valores de a deben ser 0 < a < 1.

( a +b +c +d )

¡Importante!

48

( a + b + c +... + k )      

1  14  x +x 3     

n

El número de términos de su desarrollo se calcula de la siguiente manera: n° términos =

m! =∑ aα. b β. c γ. d δ α !β !γ!δ!

a) 14 d) 45

b) 43 e) 44 4

del término 6 es

+ x −3 9 5

C

)

2 n −1

,el coeficiente

.Halle el número de

términos. a) 20 d) 14

Ejemplo: El número de términos de (1 + x + y + z)6 es:

C 46−+14 −1 = C 39 =

(x

04. En el binomio:

 n +k −1     k −1 

c) 42

9.8.7 = 84 1.2.3

b) 10 e) 12

c) 11

05. El coeficiente de x45 en la expansión:

(x + x )

−2 78

es

 78    ; a < 20. Halle el a

coeficiente de x4a -8

Resolución El coeficiente estará expresado por:

5!

(1)α ( 2 x ) β ( −x 2 ) γ α! β!γ!

....... (I)

S4AL32B

c) 9

03. Determina el número de términos irracionales en el desarrollo de:

Halla el coeficiente de x6 en el desarrollo de (1 + 2x – x2)5.

04. Para determinar el término general en el desarrollo se utiliza la siguiente fórmula.

tk +1

5! a) b) 8 6 7 6 (1) 2 (2 x ) 0 ( −x 2 ) 3 = −10 x 6 +120 xd) −80 x 6 = 10 e) 630 x 2!0!3!

Ejemplo:

∑

; ó también:

4to.

" k " tér min os

Donde m se descompone en todos los modos posibles tales que: α + β + γ + δ pertenecen al conjunto {0; 1; 2; ... m}.

03. Los términos del desarrollo con respecto a sus signos, no tienen ninguna relación.

n  t k +1 =   x n−k a k k 

+

Dado el polinomio

α + β +γ +δ = m

m

ÁLGEBRA

02. Si los 2coeficientes de tres términos consecutivos en 5!

5!

(1) 0 ( 2 x ) 4 ( −x 2 )1 + (1)1 ( 2 ) ( −xde2(x) 2+ y) n son proporcionales a 3, 12 la x expansión 0!4!1!

1!2!2! y 28. Hallar “n” sí n < 10.

El desarrollo de toda la potencia se expresa así:

tres primeros términos

DEL

4to. Año Secundaria

indicadas

x 2x 2 (I − x )−1 / 3 = 1 − + − .....   3   9   

PROPIEDADES BINOMIO

18

......

Donde : β + 2γ = 6 (exponente de x6) Además : α + β + γ = 5, donde los valores posibles que pueden asumir son: α=0 ; β=4

; γ=1

α=1 ; β=2

; γ=2

α=2 ; β=0 ; γ=3     k factores      n( n −1)(n −2)...(n −k +1) n −k Reemplazando en (I): = x ak k!

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

PRACTICA DE CLASE 01. Para que valores de “n” los coeficientes del término 5, término 6, término 7 del desarrollo de (1 + x) n forman una progresión aritmética. a) 7 y 14 d) 6 y 14

b) 7 y 12 e) 7 y 13

c) 7 y 11

a)

68 C14

b)

d)

68 C16

e) N.A.

c)

88 C14

06. ¿Cuál de las siguientes expresiones es falsa en relación con el desarrollo de (x2 – 3y5)6? a) El desarrollo consta de 7 términos. b) Los términos son alternadamente positivos y negativos. c) La suma de los exponentes que afectan a “x” é “y” en cada término es constante. d) El coeficiente del segundo término es –18 e) El coeficiente del cuarto término no es 540 07. El quinto término de (2x2 + y) 20 tiene por coeficiente: a) 170. 28

S4AL32B

78 C14

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

b) 570. 24

c) 570. 216

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN Año Secundaria d) 340 . 25

17

e) 4845. 216

a) 70 d) -80

b) -70 e) 90

c) 80

a) -32x2 d) 4x2

15. El número de términos que se obtiene al

4

desarrollar: ( 2 + 3 x

es :

2

+ 4 y + 5 z 2 ) n es 84.

Calcula n. b) 24x2 e) -16x2

c) -12x2

a) 6 d) 9

b) 7 e) 10

(x

a) 490 d) 493

8

− x −4

b) 492 e) 425

)

12

01. ¿Cuáles son los dos primeros términos del 10

10. Hallar n + k si se sabe que el cuarto término del desarrollo de (x + 2)n es 80xk a) 5 d) 8

b) 6 e) 9

c) 7

desarrollo de:

 a2    1 −  10   

a) 1– a2

b)10 – a20

d) 10 – a2

e) 1+ a2

11.

En

el

desarrollo

.

02. En el desarrollo

a) 9 d) 112

a) El 2do

b) El 3ro

d) El 5to

e) El 6to

Al

 x x   y n −10 + x 

n +20

   

la

expresión:

n

03. En el desarrollo de

a) 12 d) 18

(1 −4 x ) −1 / 2 .

S4AL32B

 2 a x +  x 

los coeficientes

de los términos cuarto y décimo son iguales. Hallar el término que no contiene a “x”:

b) 6 e) 1

(1 + 2 x + x 3 ) 5

a) 120

b) 612 a4

d) 3003 a10

e) 1020 a9

c) 4

c) 870 a6

04. Por el teorema del binomio. ¿Cuántos términos de la expansión de: naturales? a) 1

14. Calcular el coeficiente cuya parte literal es x 9 en la expresión:

e) 90

d) 4

b) 2

(

b) 0,003

d) 0,007

e) 0,009

3

; para x = 0,4

a) 0

b) 5

d) –5

e) – 6

3+ 2

)

12

; es:

x

a)

3+

d)

3−

son números

b)

6

17 x 6

S4AL32B

de “a” en el desarrollo de: b) 1380 a4 e) 1680 a4

(

2 −a

)

10

c) 1480 a4

1   a −  a 

, el coeficiente

de a-1/2 es:

c) 14

a) - 7 d) 221

b) 7 e) 35

c) - 21

15. La suma de los coeficientes numéricos de todos los términos del desarrollo de: (x - 2y)18 es: a) 0 d) - 19

b) 1 e) 19

c) 2

, es:

3− e)

x 6

3−

c)

2+

17 x 6

6x 17

c) 3

e) 5

c) 1845

7

10. La suma de los coeficientes numéricos del desarrollo completo de ( x2 – 2xy + y2)7, es: a) 0 d) 128

b) 1584 e) 1580

14. En el desarrollo de

c) 6

b) 13 e) 16

9+x 1+ x

12. Al desarrollar: ( x + y + z + w ) 8, se obtienen “n” términos en el cual uno de ellos toma la forma: λ x2 y2 zw3. De acuerdo a lo anterior, calcular el valor de: “x + n”

a) 1280 a4 d) 1580 a4

09. El valor de “x” es tan pequeño de tal manera que su cuadrado y demás potencias superiores pueden despreciarse. De acuerdo a esto, el equivalente de:

T=

c) 8

13. Hallar el término que contenga la cuarta potencia

08. Determinar el lugar que ocupa el término de mayor valor numérico que se obtiene al desarrollar: (3 + 2x)15; para x = 7/ 2 a) 12 d) 15

b) 7 e) 10

a) 1805 d) 1854

c) 0,005

1 1 + 3x + 3x 2 + x3

05. Si el término de lugar “n” contando a partir del último en la expansión del binomio.

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

1 x −1

4to.

11. Si el número de términos que se obtiene al desarrollar: ( 2 + 3x2 + 4y + 5z2)n es 84. Calcula “n” a) 6 d) 9

c) 86

a) 0,001

x 60 y 600 .Calcula “m + n”

a) 41 b) 42 c) 43 d) 44 e) 45 13. Hallar el coeficiente que contiene a x 2 en el desarrollo de:

c) El 4to

m

Observamos que ésta admite un término central cuya parte literal es:

.El término

c) 118

desarrollar

m

d) 88

c) 1 – 10a8

–8

que contiene a x es:

12.

?

1  1 de:  +  2 x 2 x 

Determinar el número de términos irracionales. b) 150 e) Imposible

b) 84

07. La suma de coeficientes de los 4 primeros términos del siguiente desarrollo:

5

120

1  5 de:  x +  3 x 

a) 82

desarrollo de:

PROBLEMAS PROPUESTOS

c) 497

. Es px18 y–6.Halle m + n + p

06. Calcular el valor que toma el quinto término del

c) 8

09. Halla el coeficiente del término independiente de “x” en el desarrollo de

ÁLGEBRA

m

 3 1   x + y 2   

B(x ; y) =

08. El término de segundo grado en el desarrollo de:

 2 2 x −   x 

4to. Año Secundaria

18

b) 7 e) 1282

c) 14

TAREA DOMICILIARIA 01. Determinar el valor de “n” si se sabe que el término central del desarrollo de:

(x +1)n −4 “El nuevo símbolo de una buena educación...."

es

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN Año Secundaria 6

17

18

4to. Año Secundaria

ÁLGEBRA

n 2 −17 n +76 2

x a) 8 d) 7

b) 9 e) N.A.

c) 10

02. Calcular el lugar del término que contiene a x 2 en el desarrollo de: 14

 1  x −   x    a) 6 d) 8

b) 7 e) N.A.

c) 9

03. Indicar el lugar que ocupa el término independiente de “x” en la expansión de:

3  x2   a) 57 d) 112

+

1  4  x

154

b) 63 e) 113

c) 97

04. En la expansión de: (3x3 + x-1)n existe un término en la cual su grado es numéricamente igual a la posición que ocupa. Indica dicha posición si la suma de los coeficientes de todos los términos del desarrollo es igual a 234 a) 8 d) 12 05. En

b) 11 e) 9

c) 10

el

desarrollo

de:

120

1  5  x +3  x  

.

Determina

el

número de términos racionales e irracionales. a) 9 y 12 d) 20 y 101

S4AL32B

b) 15 y 104 e) N.A.

c) 17 y 104

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

S4AL32B

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

4to.