COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to Secundaria 06. Al desarrollar la expresión:
xm n y − 10
3.
yn +20 + x
b) 42 e) 45
c) 43
Extrae la raíz cuadrada de un polinomio. Extrae la raíz cúbica de un polinomio.
P(0x ) : 3.2.
La sexta operación, la radicación, se expresa con el signo: . No todos conocen que este signo es una variante de la letra latina “r“, primera letra de la palabra latina radix, que significa raíz. En otros tiempos (en el siglo XVI), el signo de raíz, no era la “r“ minúscula si no la mayúscula, la “R“, y junto a ella se escribía la primera letra de las palabras latinas quadratus, la letra “q” o la primera de cubus, la “c“, señalando con ello que la raíz a extraer era cuadrada o cúbica. Escribían por ejemplo: R.q. 4325 ó R.c.21758 en lugar de la moderna expresión: 3
n
Donde:
2.
3.
Grado del polinomio radicando. 4.
GRADO DEL RESIDUO: ro
siguiente radicación:
x
10
+ 20 x + 1 8
Resolución:
5.
Se extrae la raíz cúbica del primer término de P(x), obteniéndose el primer término de la raíz. El término obtenido se eleva al cubo y se resta de su correspondiente término semejante en el radicando. Se bajan los tres términos del siguiente grupo y se divide el primer término con el triple del cuadrado de la raíz hallada hasta ese momento. El cociente obtenido será el segundo término de la raíz cúbica. A continuación se forman tres productos: 4.1. El triple del cuadrado del primer término de la raíz por el segundo término de la misma. 4.2. El triple del primer término de la raíz por el cuadrado de su segundo término. 4.3. El cubo del segundo término de la raíz. Luego los productos obtenidos se restan de los tres términos que se habían bajado del polinomio. Se baja el siguiente grupo y se procede como en los pasos 3 y 4, hasta obtener un residuo cuyo grado sea una unidad menor que el doble del grado de la raíz ( grado máximo
P(0x ) : 10 ; n = 2, luego:
4.
Ejemplo: Extraer la raíz cúbica de 8x6 + 12x5 – 54x4 – 59x3 + 135x2 + 75x – 125 Ro = 10/2 = 5 (Grado de la raíz) ro ≤ ( n – 1) Ro – 1 (Grado del residuo) 8x6 + 12x5 – 54x4 – 59x3 + 135x2 + 75x – 125 ro ≤ ( 2 – 1) 5 – 1 2x2 + x – 5 ⇒ raíz cúbica ro ≤ 4 -8x6 3(2x2)2 = 12x4 ∴ Ro = 5 ; ro ≤ 4 ; r máx. = 4 12x5 – 54x4 – 59x3 12x5 : 12x4 = x ⇒ 2do término RAÍZ CUADRADA DE UN POLINOMIO -12x5 – 6x4 – x3 * 3(2x2)2 (x) = 12x5 MÉTODO PRÁCTICO Es condición necesaria que P(x) sea de grado 2 o múltiplo de 2, además de 2ser 3(2x ) (x2ordenado ) = 6x4 y completo. Así mismo los términos del polinomio deben agruparse de 2 en 2 a partir del término independiente, a continuación (x3) = x3 se procederá a la extracción de la raíz cuadrada mediante las siguientes recomendaciones:
A = b ⇔ bn = A
b : Raíz enésima n : índice A : Radicando √ : Signo de la radicación.
RAÍZ ENÉSIMA DE POLINOMIOS
0 ; R ∈ IN
Ejemplo: Hallar los grados de los términos de la
21 758
RADICACIÓN.- Es la operación inversa a la potenciación, que consiste en obtener una expresión llamada raíz, de tal manera que al ser elevado a un número llamado índice nos produce una expresión llamada radicando o cantidad subradical.
n
2.
r0 ≤ (n – 1) R0 – 1 ; ∈ IN
CONTENIDO TEÓRICO: 1.
P 0 (x)
1.
O
n : Índice de la raíz
COMENTARIO PREVIO:
ó
ÁLGEBRA
GRADO DE LA RAÍZ: R
R0 =
OBJETIVOS ESPECIFICOS:
4 325
4to Secundaria
GRADOS DE LA RADICACIÓN 3.1.
RADICACIÓN DE
n
Observamos que ésta admite un sólo término central cuya parte literal es : x 60 y600. Calcular : “m + n” a) 41 d) 44
38
37
5.
RAÍZ CÚBICA DE UN POLINOMIO
Donde:
S4AL32B
P( x )
∃ ⇔ P( x ) = R(nx ) + r( x )
P(X) : Polinomio radicando R(X) : Raíz enésima r(X) : Residuo de la raíz enésima.
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
60x4 + 60x3 – 135x2 – 75x + 125
*
* 3(2x2 + x)2 (-5) = -60x4 – 60x3 – 15x2 * 3(2x2 + x) (-5)2 = 150x2 + 75x * (- 5)3 = -125 Sumando -60x4 – 60x3 + 135x2 + 75x – 125
Es condición necesaria que P(x) sea de grado 3 o múltiplo de 3, además de ser ordenado y completo. Así mismo los términos del polinomio deben agruparse de 3 en 3 a partir del término independiente, a continuación se procede a la extracción de la raíz cúbica mediante las siguientes recomendaciones: Finalmente: La raíz cúbica es: 2x2 + x – 5 y el residuo es cero. S4AL32B
*
0 12x4 = -5 ⇒ 3er término
MÉTODO PRÁCTICO n
- 60x4 – 60x3 + 135x2 + 75x – 125
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
-60x4
:
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to Secundaria
37
4to Secundaria
38
ÁLGEBRA En cuadrados perfectos?
Ejemplo: Extraer la raíz cuadrada de 16x + 24x – 7x – 4x + x – x + 6 PRÁCTICA DE CLASE 5
16x5 + 24x5 – 7x4 – 4x3 + x2 – x + 6
5
4
3
2
TAREA DOMICILIARIA
Extraer la raíz cuadrada de los siguientes polinomios. 4x3 + 3x2 – 2x + 1 ⇒ Raíz cuadrada 4 01.4x6 – 12x3 3 + 13x - 22x3 + 25x2 - 8x + 16 2(4x ) = 8x3 ⇒ Hace el papel de divisor. 02. 4x4 – 20x3 + 37x2 + 32x2 + 32x - 12 24x5 – 7x4 24x5 : 8x3 = 3x2 ⇒ Segundo 6 5 4 03. 9x – 24x + 28x - 46x3 + 44x2 - 20x + 25
-16x6 término
5 4 3 2 2 + 3x2)(-3x2) = -24x5 – 9x4 9x28x (8x 04. 4x -24x – 16x–4 + - 16x - 56x + 19
01. Calcular “m + n” si la expresión: 49x26 - mx16 + nx13 + 4x6 - 15x3 + 27, tiene raíz cuadrada inexacta, y se obtiene como residuo 5x 3 + 2. 02. Calcular “n - m” si la raíz cuadrada de: 9x4 + mx3 + nx2 - 70x + 49, es exacta.
6
–4x -16x + :4a8x = -2x 05. 25x-16x + 70x a++ 29x ax - 28xa 4
término
4
3
3
2 22
34
4 3
6 3 07. 27x8x + –54x 1 4to término 3x52 +– 9x x +4 -628x 8x3 3- :3x 8x2 3+=6x 1 -⇒
04.
Calcular “m” si la raíz cuadrada de: 9x30 + 30x18 + 24x15 + 25x6 + mx3 + 16, es exacta.
-9x2 + 3x + 5
b) a = b = c
c) a = b = c = d
d) a = -b = c
e) a = b = c = -d
06. Calcular “n - m” si la raíz cuadrada de: 9x4 + mx3 + nx2 + 20x + 4, es exacta. Resolver los siguientes ejercicios: 1. Se extrae la raíz cuadrada del primer término de P(x) 2. El término obtenido se eleva al cuadrado y se resta de su correspondiente término07. semejante en “m” el radicando. Calcular si la raíz cuadrada de: Calcular “m” “n” sí la raíz cuadrada grupo de: y se duplica la raíz obtenida hasta ese momento. 40 25 3.09.Se bajan los dosy términos del siguiente 25x 30x + 70x20 + 9x10 - mx5 + 49, es exacta. 4 2 2 9x 42x + mx 56x + n, es exacta. 4. Se divide el primer término del resto obtenido hasta ese momento, entre el doble del primer término de la raíz, el cociente obtenido es el segundo término de la raíz cuadrada. 08. Calcular “m + n” en: 16x4 + 96x3 + 216x2 + mx + n, “mtérmino + n” si la cuadrada de: al doble del primer término de la raíz 5.10.EsteCalcular segundo deraíz la raíz se suma formándose binomio, éste sea el cuadrado del para que suunraíz cuadrada 4 3 2 mx +se nxmultiplica + 29x + por 12xel+ opuesto 4, es exacta. binomio del segundo término, sumándose el producto a los dos términos que se habían residuo correspondiente. bajado. 6. Se procede como en A las− recomendaciones 3, 4 y 5 hasta obtener un resto cuyo grado sea menor que si ellagrado de la B 09. Calcular “m+n” raíz cuadrada de: 11.raízCalcular: ; sabiendo que: 4 3 2 cuadrada.E = 16x + mx + nx 60x + 36, es exacta. C
x6 − 2x5 −3x 4 + 2x3 + 6 x2 + 4x + 1
10. Calcular “m+n” si la raíz cuadrada de: 9x4 + mx3 + nx2 - 14x + 1, es exacta.
B=
x6 − 4x5 + 2x 4 + 2x3 + 5x2 + 2x + 1
11. Calcular el menor valor que se le debe asignar a (β) en: P(x) = 16x4 + 32x3 + 24x2 + αx + β
C=x–1 a) x + 1 d) 2x
b) x – 1 e) 2x + 1
c) x
Para que su raíz cuadrada sea el cuadrado del residuo correspondiente. a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
11. ¿Qué valor de “n” convierte a los polinomios: I. x4 + mx3 + nx2 + px + 1 II. x4 + 4mx3 + 6nx2 + 4px + 1 S4AL32B
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
S4AL32B
c) 3
a) a = b
05. Calcular “m” si la raíz cuadrada de: 4x4 + (m + 3)x3 + 5x2 + (m + 1)x + 1, es exacta.
A=
b) 2 e) 6
12. Calcular la condición que deben cumplir los coeficientes de:(a + bx)2 + (c + dx)2 a fin de que la expresión resulte un cuadrado perfecto.
2 4 3 2 2 08. x6 --8x 6x35 –+ 6x 15x 20x + 15x 1 + 1) ( - 1) = -8x3 – +-4x –31(8x + +6x6x –- 4x
6x2 + 4x – 1 Residuo ⇒
Calcular “m + n” en: 81x4 - 216x3 + mx + n, para que su raíz cuadrada sea el cuadrado del residuo correspondiente.
⇒ Tercer
Extraer la raíz cúbica de los siguientes polinomios: 16x4 + 12x3 – 4x2 (8x3 + 6x2 – 2x) (2x) = 16x4 + 12x3 06. 8x6 + 12x5 - 54x4 - 59x3 + 135x2 + 75x - 125
– 4x2
03.
a) 1 d) 4
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to Secundaria
37 •
Opera correctamente con radicales, haciendo uso de las propiedades enunciadas en el presente módulo. Transforma radicales dobles a radicales simples, haciendo uso de las fórmulas de transformación demostradas en clase. :
•
COMENTARIO PREVIO: En el siglo V A. C.., los griegos pitagóricos, buscando la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado uno, descubrieron otra clase de números distintos a los naturales y a los fraccionarios, les pareció tan poco razonable lo que obtuvieron que le llamaron irracional. Las raíces que no pueden expresarse exactamente mediante números racionales representan números irracionales y reciben el nombre de radicales. Por ejemplo: 3 , 5 , 11 , son radicales. CONTENIDO TEÓRICO: 1.
CONOCIMIENTOS PREVIOS:
1.1.VALOR PRINCIPAL DE UNA RAÍZ n
b)
( −2) 2 = −2 = 2
Ejemplo:
3 X −1 Es la raíz principal
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
; 3 a 2 b ; Son radicales
1.4.RADICALES SEMEJANTES: Son aquellos radicales que presentan el mismo orden o índice y la misma cantidad subradical, sin importar la expresión que lo multiplica.
c)
OBJETIVOS ESPECÍFICOS: ESPECÍFICOS
3 x ; 5 8 x 3 y ; 3 8abc 2 ; son
; 3 xyz 2
;5 x 5 2 x 2
;−6 5 2 x 2
;
son radicales semejantes. 1.5.HOMOGENIZACIÓN DE RADICALES: Es la operación que consiste en transformar radicales con diferente índice (radicales heterogéneos), en radicales con igual índice (radicales homogéneos).
S4AL32B
,
En primer lugar se debe reconocer que el M.C.M. de 3, 4 y 5 es 60.
radicales.
x2 y
x ; 4 z 3 ; 5 w2
3
expresarlos como homogéneos.
1.2.EXPRESIÓN RADICAL: Las raíces de expresiones algebraicas que no pueden expresarse exactamente mediante una expresión algebraica racional, representan expresiones algebraicas irracionales y reciben el nombre de radicales.
75 2x 2 5
RADICALES
Ejemplo:
homogéneos.
x si x ≥ 0 x2 = x = − x si x 〈 0
9 x 2 − 6 x + 1 = (3x - 1) 2 =
(1) Se halla el M.C.M. de los índices de los radicales, que será el índice común. (2) Se divide el M.C.M. encontrado entre el índice original de cada radical y cada cociente de multiplica por el exponente también original de la cantidad subradical.
1 3x 1 si x ≥ 3 9x 2 − 6x + 1 = 1 - 3x + 1 si x 〈 3
3
Luego:
S4AL32B
3x -1 si 3x − 1 ≥ 0 9x − 6x + 1 = - 3x + 1 si3x − 1〈 0
Se recomienda tener en cuenta las siguientes; reglas:
1.3.RADICALES HOMOGÉNEOS: Son aquellos radicales que presentan el mismo orden o índice, sin importar el radicando. Ejemplo:
Ejemplos:
( 2) 2 = 2 = 2
ÁLGEBRA
2
Ejemplo:
+ A = r ; Sí A ∈ ℜ ∧ n∈ Ν ( n ≥2)
a)
4to Secundaria
38
60
3
x =
4
z3 =
5
w2 =
(60 ÷ 3 = 20)
x 20
60 60
z45 w 24
1.6 SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES: Se dice que un radical está simplificado al máximo cuando al descomponer en factores primos el radicando todos los factores primos están elevados a exponentes menores que el índice del radical. Ejemplo : está simplificado al 330 máximo porque descomponiendo 330 en factores primos tendremos: 330 165 55 11 1
330 = 2 x 3 x 5 x 11, todos los factores primos están elevados a exponentes menores que 2.
2 3 5 1
En cambio, 384 no está simplificando al máximo porque descomponiendo 384 en factores primos tendremos: 384 192 96 48 24 12 6 3 1
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
2 2 2 2 2 2 2 3
384 = 27 x 3, como se puede observar, no todos los factores primos están elevados a exponentes menores que 2.
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to Secundaria Para simplificar 384 procederemos del modo siguiente.
al
Observación.- En las operaciones de adición y sustracción los radicales se simplifican al máximo y a continuación se efectúan las operaciones
máximo
384 = 2 7 ⋅ 3 = 2 6 x 2 x3
a)
1.7 PRINCIPIO DE LA EXTRACCIÓN: Consiste en extraer una expresión del radicando; así: A n B =A
n
a
n
x .b
n
y = ab
n
x.
n
5
a)
a 5b = a
5
b
a)
b)
3
8ab 3 = 2b 3 a
c)
4
m
243 = 81x3 = 3 3 4
1.8 PRINCIPIO DE LA INTRODUCCIÓN: Consiste en introducir una expresión en el radicando; así:
x :b
n
y =
a b
n
3.
x:
n
DE
a
2b
5
3
b =
a b
a = 8ab 3
3 4 3 = 3 x3 = 4 243 4
c)
4
Siendo : 2.
OPERACIONES CON RADICALES a)
Para
radicales
semejantes
x =3 y =1
a
n
x ±b
n
x ±c
n
x = (a ± b ± c) x n
b) En la adición de radicales con distinto índice, la expresión queda indicada.
a
n
x ±b
n
y ⇒ no son semejantes
A +C ± 2
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
2 6 =2
xz;
yz
B = (14 2 )2
2 )2
Cálculo de x:
A = 4 x 3 − 3Cx
La igualdad se cumple cuando: x = 2
6 = xz;
⇒
2 = yz
Cálculo de y:
x =3 z=2
A −C 2
A±
y = x 2 −C y = 2 2 −2 y =2 x+
y +
z
Luego:
=
x +
B
=x ±
y
A = 4 x 3 − 3Cx
C = 3 A2 − B perfecto.
y ±
z
Ejemplo: S4AL32B
3
20 + 14 2 = 2 + 2
PRÁCTICA DE CLASE 01. Transforma a radicales simples
Donde:
y = x 2 −C D
⇒
20 = x(4 x 2 − 6)
3.3 TERCER CASO:
3.2.SEGUNDO CASO: C ±
C = 3 (20 )2 −(14
6 +2 3 +2 6 +2 2 = 3 + 1 + 2
Es decir que, para transformar radicales dobles, en radicales simples: A2 - B, debe ser un número cuadrado perfecto.
B ±
B = 14 2
20 = 4 x 3 −3( 2)C
3
A+
S4AL32B
2 =2
xy ;
6 +2 3 +2 6 +2 2 =
C =A2 − B
A± B =
3 =2
Pero:
A −C ∧ y = 2
se
procede así:
2
3 = xy;
En resumen la fórmula para descomponer una raíz doble en raíces simples es:
2.1. ADICIÓN DE RADICALES
A = 20 ;
C =2
6 =x +y +z
donde:
A +C x= 2
3
radicales
C = 3 400 − 392
Luego:
RADICALES
De
b)
C = 3 A 2 − B Siendo:
2
Ejemplos: a)
Cálculo de C:
yz
A =6;
A± B = x ± y
5
a
Resolución:
y = mn x n : mn y m = mn x n : y m
DESCOMPOSICIÓN DOBLES EN SIMPLES
xz
D =2
6 +2 3 +2 6 +2 2
x y
3.1.PRIMER CASO:
B =n A n B
n
n
b)
4
A
a
C =2
Ejemplo: Transformar a radicales simples:
2.3. DIVISIÓN DE RADICALES
20 +14 2
Resolución:
Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos x, y, z.
B
3
simples.
B = 2 xy
xy
y = mn x n . mn y m = mn x n y m
Ejemplos:
Transformar:
A =x +y +z
b) m
ÁLGEBRA
Donde:
2.2. MULTIPLICACIÓN DE RADICALES
384 = 2 6 ⋅ 6 = 8 ⋅ 6
n
4to Secundaria
38
37
A)
9 + 72
B)
7 − 24
C) siendo:
A2 − B
cubo
4
7 +4
3
D)
2 x + 4 x 2 −4
E)
11 +6
F)
8 +2
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
2
12
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to Secundaria G)
12 + 140
H)
8 + 28
3 +2 . 2 n 7 −4
3
x
2x
2
L)
2 +1.
c) a – b2
5
3 −2
4
a) 2 d) -2
ÁLGEBRA
8 x 15 2 x 2 5 2 x6 2
05.Calcula: 6 − 6 − 6 ......
E = 12 + 140 − 8 + 28 + 11 −2
n
K)
b) a2 – b e) a2 – b2
07. Calcula el valor de:
8 + 28
I) J)
a) a – b d) E = 0
4to Secundaria
38
37
b) 1 e) N.a.
30 − 7 −2
c) 0
06. Reduce: (
08. Simplifica: 4
T = 97 + 56 3 − 97 − 56 3
E = 2 − 3 + 9 +5
02. Calcula el valor de:
b) 2 - √3 e) 2
3 − 3(
3 +2)+ 4 +2
199 −2 100 2 −100 + 197 −2 99 2 −99 +... + 3 −2
E =
a) 1 d) 4
13 + 7
b) 2 e) 5
− 5 − 7
a)
c) 3
7 +4
se obtiene una expresión de la forma k dar como resultado el valor de k.
d)
2a
b)
a + b
b
c)
d)
a +b
06. Si se tiene que: el
b)
2b
2
3 +2
2
)
3 + 4 − 12
(
56 + 40 2 − 34 + 26 2 + 23 +37 2 b) 7 e) N.a.
− a + 2ab +b +b
c)
2a
e) N.a.
6
c) 4
equivalente
. Hallar de:
28 +6
3
e)
13 +4
3
)
( 483 826 ÷ 9 874 )
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
13 −4
3
d)
28 −6
3
2 +1). (2
2)
9 +4
5
a) x < y d) x/y = √3
a) 10
5 +2
b) 10
c) 10
5 +20
d) 5
e) 10
5 -20
+
d)
6 5
b)
6
3 +
5
11 −2
30 +
c) 2
5
S4AL32B
11 + 2 18 +(1 + 4 2 )(1 − 4 2 ) b) 2 e) 4 √2
11. Calcula (a + b) si se cumple:
a) 42 d) 49
b) 0 e) 6
21 + 7 −2 10 = a +2
b) 45 e) 51
n
3
c) 4
c) 47
12. Sí:
12 − 108 − 3 48 + 300 + 3 108
d) 12
c) x/y =c
35 − 9 − 2 14 + 16 −2 55 − 13
5 +2 6 + 10 −2
e) 0
a) 1
2
10. Efectuar:
10 +10
04. Reduce: 3
6
;y =
b) x = y e) x > y
a) 1 d) 2 √2
8 +2 12
3
09. Reducir:
03. Reduce: E=
15
la relación que cumple es:
(1 +3 +5 +...... +59 ) +(1 +3 +5 +...... +E 39= ) 12 5 +2
a) 2
4 x5 4
15. Simplificar:
b)
7 −2 10
14. Efectuar la operación:
a + b =α+ β
3
4 x4 4 x3 4
dividirlo entre: 20
4 +2
c)
x =
08. Si:
02. Transformar radicales simples:
b) 2 75 − 2 27 − 3 48 − 5 3 + 12 + 3 108
E = α6 +3α2β2 −3α4β−β3 S4AL32B
c) - ( 1 +
45 − 27 − 20 − 5 + 12
a)
2
2b
2
12. Simplificar
13. 2
b) 1 –
a) 5 d) 6
x +y ,
e) N.a.
a +5b +3 2ab +b
a −b
a)
e) √2
2 −1
05. Reducir:
a)
2 +1
10. Simplificar:
a x + b y + bx 2 +2cxy +ay 2
a)
2 +1
d) 0
04. Al descomponer en radicales simples:
3 +1)(
01. Proporcionar el radical equivalente a:
E = 1 +2 1 +2 1 +2 1 +............ +2 1 +2
3 + 7
2 −1)(
07. Transformar: E = 17 −4
3
c) 3
09. Hallar el valor de “E”
4
3 −1)(
TAREA DOMICILIARIA a) √3+2 d) - 2
03. Simplificar:
÷ 2 + 2 + 2 .......
6
c) 8
3
x=
n
5 +1 5 −1
Halla el valor de:
3
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
;
y=
n
5 −1
n
5 +1
b
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to Secundaria
x(y + 1)
a) 1
b) 2
d) n 5 +1
e) 3
y(x + 1)
+
x +1
37
38
4to Secundaria
ÁLGEBRA
17. Sabiendo que los radicales son homogéneos, reducir:
y +1 c) n 5
m
n +2
64 + n
m +n
64 − m +4 64
13. Efectuar las operaciones indicadas:
12 + 2 27 − 5 75 + 3 48
a)
b) 3 3 16 − 2 3 54 − 2 3 81 + 2 3 24
c)
12 b 2 a
a3
2
3b 3
d) 8
4
−
(
e) 5 + 2 3
−
3
1
4
3b3
b
a
+
2b
27
3
ab
12 + 4 27 − 2
2
)
2
(
3 16
)
−10 5 + 2 3 +13
14. Al transformar: 18 +6
7 +6
2 +2 14
Como una suma de radicales simples se obtiene x + y + z x > y > z.
Calcular: x + y +z 15. Al transformar la expresión: 3
26 +15
3
se obtiene: x + y
el valor de x + y es: 16. Calcular:
E= S4AL32B
(1 − 8 )
2
(
+4 9 −2 2
)
4
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
S4AL32B
“El nuevo símbolo de una buena educación...."