COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
4to. Año Secundaria
Axiomas de la igualdad.- Enunciaremos los siguientes axiomas sobre la Igualdad de Números Reales.
ECUACIO
OBJETIVOS ESPECIFICOS:
Reconoce y clasifica una ecuación algebraica
Una de las mayores aportaciones a la teoría de las ecuaciones se debe al matemático Joseph Luis Lagrange (1736 – 1813). Lagrange fue uno de los mayores analistas de su época. Su mayor aportación al álgebra es su famosa memoria “sobre la resolución de las ecuaciones numéricas” escrita en 1767. La interpretación de los fenómenos físicos de la naturaleza se realiza en general mediante modelos matemáticos, los cuales se expresan por ecuaciones algebraicas. De ahí la gran importancia del estudio de la teoría de ecuaciones. En este módulo aprenderemos a resolver ecuaciones de primer grado, de segundo grado, sistemas de ecuaciones, ecuaciones bicuadráticas y demás ecuaciones polinomiales.
IGUALDAD DE NUMEROS REALES Es la relación matemática donde nos indica que dos cantidades tienen el mismo valor. Se denota por el signo =, que se lee igual. Veamos:
R–{–1, –3,1} Ecuación Irracional:
→ 1= 4 Proposición falsa
P(x)=
Si a = b ⇒ b = a, a; b ∈ R
Si x=2 : 23= 4(2)
→ 8= 8 Proposición verdadera
Restricción de la ecuación: x - 2 ≥ 0 → x ≥ 2
Si a = b ∧ c = d ⇒
a+c= m a+d= m
Si a = b ∧ c = d ⇒
a . c= m a . d= m
Si x=- 2 : (- 2) =4(- 2) → - 8= – 8 Proposición verdadera 3
Si x=0 : 03= 4(0)
Una ecuación es una igualdad condicional entre dos expresiones matemáticas definidas sobre un mismo conjunto numérico, donde participa por lo menos una variable (cantidad desconocida llamada variable). Es todo enunciado abierto en que aparece el signo “=” y cuyo valor de verdad se determina mediante su correspondiente conjunto de valores admisibles para la variable (conjunto solución).
OBSERVACIÓN: Enunciado abierto: es toda expresión que contiene por lo menos una variable, que para determinados valores de su dominio se convierte en un enunciado verdadero o falso llamado proposición. Variable: es el símbolo que puede tomar un valor cualquiera de un determinado conjunto llamado dominio. A las variables que intervienen en la ecuación se les llama incógnitas
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
x −2 +x 2 −3 = 0
Luego C V A= x ∈ [2,+∞> Nota: El hecho de haber establecido el conjunto de valores admisibles (CVA), no implica haber resuelto la ecuación, sólo se le ha restringido.
→ 0= 0 Proposición verdadera
De lo expuesto; vemos que 2, – 2, 0 son soluciones de la ecuación de acuerdo a la definición, luego:
3.2 De acuerdo a su conjunto solución:
CS= {2, - 2, 0} Ecuaciones consistentes o compatibles: Son aquellas que tienen o aceptan por lo menos una solución. A su vez se dividen en:
Ejemplo 2: La ecuación 3x – 5 = 0, tiene como raíz o solución a: x = 5/3. Luego, su conjunto solución es:
- Determinadas.- Son aquellas que tienen un número limitado de soluciones. Ejm:
5 3
C.S. =
ECUACIÓN
Conjunto Solución: S4AL32B
3 5 4 + − = 0 ...CVA= x +1 x + 3 x −1
Si x=1 : 13= 4(1)
Notación: A(x) = B(x)
CONTENIDO TEÓRICO:
27 = 27 |9| = |- 9| A=B
2.
P(x)=
Ejemplo 1. Sea la ecuación: x3= 4x.
Axioma de Sustitución o Principio de Sustitución: En cualquier preposición referente a los números reales todo número puede ser reemplazado por su igual sin alterar el valor veritativo de tal proposición.
COMENTARIO PREVIO:
4to. Año Secundaria
Axioma de Simetría: Si un número real es igual a otro , entonces el segundo es igual al primero.
Axioma de Transitividad: Si un número real es igual a otro, y este otro es igual a un tercero, entonces el primero es igual al tercero. Si a= b ∧ b = c ⇒ a = c; a; b; c ∈ R
desarrollando la percepción y acumulando experiencias que servirán de soporte para futuras formalizaciones Dado un conjunto de Ecuaciones de Primer Grado, trabaja creativamente y con actitud crítica situaciones problemáticas, utilizando una variedad de técnicas de cálculo y aplicando correctamente las propiedades que correspondan.
ÁLGEBRA
El conjunto solución de una ecuación es el conjunto de valores (soluciones) que permiten que la ecuación sea una proposición verdadera. Si una ecuación no posee solución alguna, entonces definiremos a su conjunto solución como el vacío y lo denotaremos por φ o {}
Axioma de Reflexividad: Todo número real es igual a si mismo. SI a ∈ R ⇒ a = a
ECUACIONES DE PRIMER GRADO
1.
76
75
3.
x3= x,
- Indeterminadas.- Son aquellas que tienen un número ¡limitado de soluciones. Ejm:
CLASIFICACION DE LAS ECUACIONES ALGEBRAICAS
x+1= x+1, CS= R
3.1. De acuerdo a su forma: Ecuación polinomial: Es una ecuación algebraica racional entera. P(x)=ax+b= 0 P(x)=ax2+bx+c= 0 P(x)=ax3+bx2+cx+d= 0 P(x)=a0xn+a1xn-1+a2xn-2+a3xn-3+...+an–1x+an= 0 n ∈ Z+ ∧ {a0; a1; a2; a3; ...an - 1;an} ⊂ R a0; a1; a2; a3; ...; ; an - 1; an son los coeficientes. Nota: El conjunto de valores admisibles en una ecuación polinomial son todos los reales. Ecuación fraccionaria: Es algebraica racional fraccionaria. P(x)= S4AL32B
CS={1, 0, - 1}
una
ecuación
Ecuaciones inconsistentes o incompatibles.- Son aquellas que no tienen solución, también se les denomina absurdas o imposibles.
1 = 0 CS= φ x 4.
ECUACIONES DE PRIMER GRADO LINEALES EN UNA VARIABLE: Son aquellas ecuaciones que tienen la forma:
0
P(x)= ax + b = 0
7 - 5x+11= 0 .......CVA= R –{– 2} x +2
Donde: a, b son los coeficientes, “x” es la incógnita.
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