Alg(3) 4° 2b by juan guerrero

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

4to. Año Secundaria

Axiomas de la igualdad.- Enunciaremos los siguientes axiomas sobre la Igualdad de Números Reales.

ECUACIO

OBJETIVOS ESPECIFICOS:

 Reconoce y clasifica una ecuación algebraica

Una de las mayores aportaciones a la teoría de las ecuaciones se debe al matemático Joseph Luis Lagrange (1736 – 1813). Lagrange fue uno de los mayores analistas de su época. Su mayor aportación al álgebra es su famosa memoria “sobre la resolución de las ecuaciones numéricas” escrita en 1767. La interpretación de los fenómenos físicos de la naturaleza se realiza en general mediante modelos matemáticos, los cuales se expresan por ecuaciones algebraicas. De ahí la gran importancia del estudio de la teoría de ecuaciones. En este módulo aprenderemos a resolver ecuaciones de primer grado, de segundo grado, sistemas de ecuaciones, ecuaciones bicuadráticas y demás ecuaciones polinomiales.

IGUALDAD DE NUMEROS REALES Es la relación matemática donde nos indica que dos cantidades tienen el mismo valor. Se denota por el signo =, que se lee igual. Veamos:

R–{–1, –3,1} Ecuación Irracional:

→ 1= 4 Proposición falsa

P(x)=

Si a = b ⇒ b = a, a; b ∈ R

Si x=2 : 23= 4(2)

→ 8= 8 Proposición verdadera

Restricción de la ecuación: x - 2 ≥ 0 → x ≥ 2

Si a = b ∧ c = d ⇒

a+c= m a+d= m

Si a = b ∧ c = d ⇒

a . c= m a . d= m

Si x=- 2 : (- 2) =4(- 2) → - 8= – 8 Proposición verdadera 3

Si x=0 : 03= 4(0)

Una ecuación es una igualdad condicional entre dos expresiones matemáticas definidas sobre un mismo conjunto numérico, donde participa por lo menos una variable (cantidad desconocida llamada variable). Es todo enunciado abierto en que aparece el signo “=” y cuyo valor de verdad se determina mediante su correspondiente conjunto de valores admisibles para la variable (conjunto solución).

OBSERVACIÓN: Enunciado abierto: es toda expresión que contiene por lo menos una variable, que para determinados valores de su dominio se convierte en un enunciado verdadero o falso llamado proposición. Variable: es el símbolo que puede tomar un valor cualquiera de un determinado conjunto llamado dominio. A las variables que intervienen en la ecuación se les llama incógnitas

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

x −2 +x 2 −3 = 0

Luego C V A= x ∈ [2,+∞> Nota: El hecho de haber establecido el conjunto de valores admisibles (CVA), no implica haber resuelto la ecuación, sólo se le ha restringido.

→ 0= 0 Proposición verdadera

De lo expuesto; vemos que 2, – 2, 0 son soluciones de la ecuación de acuerdo a la definición, luego:

3.2 De acuerdo a su conjunto solución:

CS= {2, - 2, 0} Ecuaciones consistentes o compatibles: Son aquellas que tienen o aceptan por lo menos una solución. A su vez se dividen en:

Ejemplo 2: La ecuación 3x – 5 = 0, tiene como raíz o solución a: x = 5/3. Luego, su conjunto solución es:

- Determinadas.- Son aquellas que tienen un número limitado de soluciones. Ejm:

5   3 

C.S. = 

ECUACIÓN

Conjunto Solución: S4AL32B

3 5 4 + − = 0 ...CVA= x +1 x + 3 x −1

Si x=1 : 13= 4(1)

Notación: A(x) = B(x)

CONTENIDO TEÓRICO:

27 = 27 |9| = |- 9| A=B

P(x)=

Ejemplo 1. Sea la ecuación: x3= 4x.

Axioma de Sustitución o Principio de Sustitución: En cualquier preposición referente a los números reales todo número puede ser reemplazado por su igual sin alterar el valor veritativo de tal proposición.

COMENTARIO PREVIO:

4to. Año Secundaria

Axioma de Simetría: Si un número real es igual a otro , entonces el segundo es igual al primero.

Axioma de Transitividad: Si un número real es igual a otro, y este otro es igual a un tercero, entonces el primero es igual al tercero. Si a= b ∧ b = c ⇒ a = c; a; b; c ∈ R

desarrollando la percepción y acumulando experiencias que servirán de soporte para futuras formalizaciones  Dado un conjunto de Ecuaciones de Primer Grado, trabaja creativamente y con actitud crítica situaciones problemáticas, utilizando una variedad de técnicas de cálculo y aplicando correctamente las propiedades que correspondan.

ÁLGEBRA

El conjunto solución de una ecuación es el conjunto de valores (soluciones) que permiten que la ecuación sea una proposición verdadera. Si una ecuación no posee solución alguna, entonces definiremos a su conjunto solución como el vacío y lo denotaremos por φ o {}

Axioma de Reflexividad: Todo número real es igual a si mismo. SI a ∈ R ⇒ a = a

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

x3= x,

- Indeterminadas.- Son aquellas que tienen un número ¡limitado de soluciones. Ejm:

CLASIFICACION DE LAS ECUACIONES ALGEBRAICAS

x+1= x+1, CS= R

3.1. De acuerdo a su forma: Ecuación polinomial: Es una ecuación algebraica racional entera. P(x)=ax+b= 0 P(x)=ax2+bx+c= 0 P(x)=ax3+bx2+cx+d= 0 P(x)=a0xn+a1xn-1+a2xn-2+a3xn-3+...+an–1x+an= 0 n ∈ Z+ ∧ {a0; a1; a2; a3; ...an - 1;an} ⊂ R a0; a1; a2; a3; ...; ; an - 1; an son los coeficientes. Nota: El conjunto de valores admisibles en una ecuación polinomial son todos los reales. Ecuación fraccionaria: Es algebraica racional fraccionaria. P(x)= S4AL32B

CS={1, 0, - 1}

una

ecuación

Ecuaciones inconsistentes o incompatibles.- Son aquellas que no tienen solución, también se les denomina absurdas o imposibles.

1 = 0 CS= φ x 4.

ECUACIONES DE PRIMER GRADO LINEALES EN UNA VARIABLE: Son aquellas ecuaciones que tienen la forma:

P(x)= ax + b = 0

7 - 5x+11= 0 .......CVA= R –{– 2} x +2

Donde: a, b son los coeficientes, “x” es la incógnita.

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

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−

b a

EN VARIABLE “X”. ax= b

.........( * )

(x + 3) (x − 2)

Caso II: - Si: a=0 , b=0, evaluando en (*) se tiene 0x=0, indicando que existen infinitas soluciones, luego (*) es compatible indeterminada Caso III: - Si: a=0 , b ≠ 0, al reemplazar en (*) se obtiene 0x= b que carece de soluciones, con lo cual su conjunto solución es vacío, luego (*) es incompatible. Ejemplo: En la ecuación paramétrica en “x”: (a - 5)(a+3)x= (a+2)(a+3)

Para resolver una ecuación de primer grado es fácil, bastará con aplicar algunas propiedades básicas de los números reales hasta hallar el valor de la incógnita.

I) Determinada II) Indeterminada III) Incompatible

a ≠ 5 0 a ≠ −3

∀a ∈ R -{- 3, 5} II) (a - 5 ) (a+3)= 0 ∧ (a+2)(a+3)= 0 (a=5; a=- 3) ∧ (a=- 2; a= - 3)

Ejemplo: Resolver

x= 5;

2 x −5 2 - 12+ = 2x+3+ x −5

Sumando a los dos miembros: Obtenemos:

2 x −5 Para lo cual x= 5 no es solución.

+7 = x −7

Solución: Elevando al cuadrado:

2 2

)

Pero si reemplazamos; x = 3 en la ecuación dada tendremos: 3 2 +7 =3 −7 → 16 =−4 →4 =−4

(Proposición Falsa) (No cumple), luego: x = 3 es una solución extraña, y la ecuación es incompatible, pues no tiene solución: Observación: Siempre que se potencie los dos miembros de una ecuación. El valor o los valores obtenidos para “x” deben comprobarse en la ecuación original pues pueden no ser soluciones verdaderas. d) Si a ambos miembros de una ecuación le sumamos un mismo número o un mismo

El conjunto solución de una ecuación depende del conjunto numérico en que se quiere resolver la ecuación, por ejemplo: Se queremos resolver en el conjunto de los racionales (Q), entonces el conjunto solución de la ecuación: x2= 2, es vacío; pues no existe número racional cuyo cuadrado es 2. Si embargo si resolvemos en el conjunto de los reales (R), entonces el conjunto solución es { − 2 , 2 }. De la misma manera, la ecuación x2=- 1, no tiene en R, pero si la tiene en el conjunto C. Al despejar x se obtiene: x= −1 ó x= −1 .

= (x −7 ) 2

x + 7 = x – 14x + 49 14x = 42 x=3

S4AL32B

x= - 3

Observaciones: x

Luego, para resolver ecuaciones en general y de primer grado en particular es necesario tener en cuenta lo siguiente:

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

La ecuación: x2 - 12= 2x+3 tiene por raíces:

c) Si se eleva ambos miembros de una ecuación a un mismo exponente, entonces se pueden introducir soluciones extrañas.

Se debe tener cuidado, cuando la variable aparece en el denominador o cuando se presenta un término radical; es justamente en estos casos que aparece una raíz extraña en algunas ecuaciones.

b) Si se multiplican ambos miembros de una ecuación por una misma expresión que contenga a la incógnita, entonces se puede introducir soluciones extrañas.

Observación: Si hubiésemos trasladado (x – 2) a multiplicar, tendríamos que una solución sería x=2, que es una solución extraña, pues no verifica la igualdad.

Resolver: (x + 3) (x - 2) = 4 (x – 2) Solución: Simplificando: (x - 2) → x - 2=0 Para no perder solución x=2 Luego, tendremos: x+3=4 → x=1 La ecuación tiene 2 soluciones x=2 y x=1 (de no haber igualado a cero, hubiéramos perdido la solución x=2).

Resolución:

Observación: Si a ambos miembros se suma o resta una función arbitraria la ecuación resultante no necesariamente es equivalente a la inicial.

Primero simplificamos (x - 2), y tendremos; x+3= 4 → x= 1

P2= 5x - 36= 24 → CS= {12} Como los conjuntos solución son iguales, entonces P1 y P2 son equivalentes:

polinomio, la nueva ecuación es equivalente a la inicial.

Solución:

x 2x P1= + = 14 → CS= {12} 2 3

a) Si se divide ambos miembros de una ecuación por una misma expresión que contenga a la incógnita, entonces se perderán soluciones. Esto se puede evitar si la expresión que se divide (simplifica) se iguala a cero. Ejemplo:

Halle los valores de a para que sea:

I) (a - 5)(a+3) ≠

x −2

ECUACIONES EQUIVALENTES: Dos o más ecuaciones de las mismas variables son equivalentes, si y solo si poseen el mismo conjunto solución. Ejemplos:

Caso I: - Si: a ≠ 0 (no importa el valor de b), reemplazamos en (*), obteniéndose x=b/a una sola solución, con lo cual su conjunto solución es finito, luego (*) es compatible determinada.

4to. Año Secundaria

Resolver:

∴ a= 5 6.

ÁLGEBRA Esto se puede evitar si previamente se simplifica por separado cada miembro de la ecuación. Ejemplo:

III)(a - 5)(a+3)= 0 ∧ (a+2)(a+3) ≠ 0 (a=5; a=- 3) ∧ (a ≠ - 2; a ≠ - 3)

(presentación única solución).

ANÁLISIS DE LA ECUACIÓN PARAMÉTRICA

S4AL32B

∴ a= - 3

Para obtener la única raíz o solución de la ecuación, basta con despejar la incógnita, así tendremos que: x=

Si definimos −1 =i( i es la unidad imaginaria del conjunto C), el conjunto solución es: {- i, i}. Si p y q son expresiones algebraicas en una variable “x”, entonces un enunciado de la forma “p=q” se llama una ecuación algebraica en “x”. Si obtenemos una proposición verdadera cuando reemplazamos x por x0; entonces x0 es llamada una solución de la ecuación. x0 es un valor del dominio (conjunto de valores admisibles) para x. Si el conjunto solución de una ecuación es todo el dominio para x, entonces la ecuación se llama una IDENTIDAD, por ejemplo:

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN La

ecuación: (1 −x )(1 +x)

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1 −x 2 =

es una identidad; pues es

cierta para todo número en el dominio para x, esto es, en el intervalo cerrado: [- 1, 1]. 4.

Si en el dominio para “x” existen números que no son soluciones, entonces la ecuación se llama ecuación condicional o un enunciado abierto. Por ejemplo; en la ecuación: x2= x , cuyo dominio para x es: [0, ∞> existen números en el dominio que no son soluciones, por ejemplo x= 4 ∈ [0, +∞>, y no es solución, luego se trata de una ecuación condicional.

de lo que no gastó. ¿Cuánto dinero gastó Sayumi? Solución: Sea x la cantidad de nuevos soles que gastó Sayumi. Entonces (120 - x) nuevos soles es lo que no gastó. Luego: Gasto =

5 (No gastó) 7

5 Entonces: x= (120 - x) ↔ 7x= 600 - 6x 7 ↔ 7x+5x= 600 ↔ 12x= 600 ↔ x=

600 12

↔ x= 50

↔ 18V - 54= 15 V+45 ↔ 18V - 15V= 45+54

t).

↔ V=33

Luego:

1 1 1 1 t= t+6 ↔ tt= 6 5 8 5 8

1 8

PRÁCTICA DE CLASE 01. Clasificar las siguientes ecuaciones algebraicas de acuerdo a su forma.

99 ↔ V= 3

..............................................................

Respuesta: La velocidad del bote en aguas tranquilas es 33 kilómetros por hora.

40 x 6 3

Velocidad

Tiempo

V+3

18 V+3

V- 3

3x 3 = +5− x+2 x−3

.............................................................. 02. Clasificar las siguientes ecuaciones algebraicas en función de soluciones:

Solución: Sea V la velocidad del bote en aguas tranquilas, entonces (V+3) es la velocidad del bote río abajo (con la corriente a favor) y (V - 3) es la velocidad del bote río arriba (contra la corriente), entonces tenemos: Distancia

x −4 − 2 −x = 0

..............................................................

03. Un río tiene una corriente de 3 kilómetros por hora. Si el bote de Aly Boydi tarda el mismo tiempo en ir 18 kilómetros río abajo y 15 km. río arriba. Calcule la velocidad del bote en aguas tranquilas.

− 2x = 0

x −2

..............................................................

Respuesta: Como la clase empezó a las 8:00 a.m. y duró 80 minutos entonces término a las 9:20 a.m.

Río Arriba

↔ t= 80’

Río Abajo

x 3 − 2 x 2 +x −7 = 0

a) x3= 9x

....................................................

b) 2x+5= 2x+5 ............................................ c) x+

1 1 .................................................. = x x

d) x(x - 2)= (x - 1)2 ....................................... e) 5x = 5x

...................................................

f) x −5 ...................................

15 V −3

−x + 2

03. Encierra en una circunferencia V(Verdadero) o F(Falso).

de la clase de álgebra; 6 minutos después

llega Jimmi y sólo escucha los

4 de la clase. Si 5

la clase empezó a las 8:00 de la mañana. ¿A que hora terminó? Solución: S4AL32B

4to. Año Secundaria

↔ 3V= 99

3t ↔ =6 40

Respuesta: Sayumi gastó 50 nuevos soles. 02. Walter llega tarde al colegio cuando había pasado

ÁLGEBRA

1 Jimmi se pierde ( t + 6 ' ) de la clase, que 8 1 4 equivale a t (pues Jimmi sólo escuchó los 5 5

↔ t=

5 7

Sea t el tiempo (en minutos) que duró la clase.

PROBLEMAS EXPLICATIVOS 01. Sayumi tenía 120 nuevos soles. Si gastó los

Como el tiempo es el mismo:

- El conjunto de valores admisibles en una ecuación algebraica implica que la ecuación ha sido resuelta. V - F - En una ecuación polinomial sus coeficientes son números naturales V - F - Una ecuación es una proposición matemática V - F - Una ecuación compatible indeterminada tiene infinitas soluciones. V - F

18 = V+3

15 . V −3 ↔ 18 (V - 3)= 15 (V+3)

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

S4AL32B

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

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4to. Año Secundaria x −3

04. Una ecuación compatible: a) b) c) d) e)

Tiene 2 incógnitas No tiene solución Tiene un número finito de soluciones Tiene un número infinito de soluciones cyd

x+2

x2 + x − 2

b) 2 soluciones d) 4 soluciones

06. Se llama ecuación polinomial a la: a) b) c) d) e)

Ecuación Ecuación Ecuación Ecuación N.a.

algebraica racional entera algebraica racional fraccionaria trascendente irracional

07. Una ecuación se llama incompatible si: a) b) c) d) e)

Tiene infinitas soluciones Tiene 3 incógnitas Tiene un número finito de soluciones Es irracional No admite solución

08. Resolver: x+5+ a) b) c) d) e)

4 x−6

=7 −x +

4 x −6

a) b) c) d) e)

6 –6 6y–6 Indeterminado Incompatible

10. Resolver: S4AL32B

a) 4 d) – 15

x+2

x+3

x +1

x+3

a) 1 d) 2

x −1

x + 10 x+6

20 − 4 x

a) FVFVV d) FFVVV

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

1 2 +x − 2 −x

a) 1 d) 4

5x + 7

25 − x 2 =

b) 2 e) 0

20. Hallar x en:

x 3

b) 7 e) 570

a) φ d) {a + b}

  

c) 8 a(x - a2) - b(x -b2)= 0.

b) {0} c) {1} e) {a2 + ab + b2}

c) 5

ecuación: ¿Cuántas

a) 0 d) 4

b) 1 e) N.a.

c) 2

06. Al resolver la ecuación: (x+1)+(x+2)+(x+3)+...+(x+20) = 420 – x .

c) 3

21 + 12 + 14 + x

(x −2)2 =- 9.

a) 0 d) 12

b) 5 e) 21

c) 10

07. Hallar m y p para que la ecuación: a) 1 d) 16

b) FVFVF e) VFVFV

b) 4 e) - 1

19. Resolver:

b) 2 c) 3 e) ∀ n ∈ R - {+1}

b) 4 e) 0

c) 9

a) 0 d) 11

b) {1, 2} e) 5

c) {5, 11}

01. Sea la ecuación en “x” : a3x – a4+6a2=(3a – 2)x+8a – 3 e indicar el valor de a apara el cual la ecuación presenta infinitas soluciones:

S4AL32B

b) 2 e) 0

I) Incompatible

II) Indeterminada

Señalar la suma de soluciones de m:

TAREA DOMICILIARIA

a) 1 d) 4

3mx – 4p = 2x + m. Sea:

21. Si |– 9x|= 72. Calcular: |x - 3|.

c) VVVFF

15. Para que valor real del parámetro “n”, la ecuación del primer grado “x”: (2n - 1)x+ 2= nx – 3n2 será compatible y determinada. a) ∀n ∈ R d) ∀n ∈ R+

a) 1 d) 9

c) 12

soluciones tiene?

ecuación

1 1 1 1 + + + ... + 20 306  6 12

03. Resolver: 285  

04. Si a ≠ b, resolver en x.

2 +x + 2 −x

c) - 27

x+2

compatible

05. Determinar el cardinal del conjunto solución de la

b) 2

14. Dada

b) – 11 e) – 1

c) 6

Indique: (7 + 2 x)3 +x a) 4 d) 3 3

18. Resolver:

13. Resolver:

x +7

2 (2 n + 1)

Compatible determinado indeterminado incompatible

17. Si se define: P(n)= n+3; f(m)= 3m. Calcular “x” en: f(P(f(P(2)))) - P(f(P(x)))= 75.

b) 0 d) 5, – 5

b) 5 e) 9

x+5

(n + 1)

02. Hallar el valor del parámetro “a” de modo que la ecuación a2x+2x+2=a2+a+3ax sea:

x= 285(1+4+9+16+ ... +81)

12. Resolver: 3 x +1 + 5 x = 16 x +1 . Indique la suma de sus raíces. a) 0 d) 7

I. La ecuación dada es lineal II. La ecuación tiene infinitas soluciones III. La ecuación tiene solución única IV. x= 2 + 3 es solución de la ecuación V. La ecuación dada es ecuación polinomial

09. Resolver: 5 − x =8 − x +

a) Incompatible c) 5 e) Indeterminado

Dar el valor de verdad:

6 –6 6y–6 Indeterminado Incompatible

x - 4+2

(1 −x)2 =9 −x

(n − 1)

a) Tiene una raíz b) Tiene dos raíces c) Tiene tres raíces d) Indeterminado e) Incompatible

05. Toda ecuación lineal presenta: a) 1 solución c) 3 soluciones e) N.a.

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16. En la siguiente ecuación: (x+1) + (x+2) + (x+3) +...+ (x + n) = n2, n entero positivo, el valor de x es:

x2 − 9

Marque lo correcto:

11. Resolver:

ÁLGEBRA

c) 3

a) 2/3 d) 4/3 08. Si:

b) 1/3 e) 5/3

c) 1

(x −1)2 = 1 - x. El conjunto solución de

la ecuación es: a) x= 1 d) x < 1

b) x= 3 e) x= 2

09. Resolver la ecuación:

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

c) x > 1

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ÁLGEBRA

(m – 3)x +5m+(m – 2)x – 14= 0 de primer grado a) 1 d) 19 10. Resolver:

b) - 1 e) 15 x - 7+

11 x −5

a) 12 d) 36

c) 0

= 3 - x+

a) 1 d) 4

b) 20 e) 35

b) 8:00 e) 9:11

b) 21 e) N.a.

16. Resolver: S4AL32B

11 3

b) 9 e) 4

2x + a

4 x+2

b) 4/5 e) 3/4

−

a +b 2 2 ab a +b

a b) e)

c) 2/3

c) {4, - 4}

1 3

c) 2/3

ab a +b a −b

DEFINICIÓN: Se llama ecuación de 2do grado a toda ecuación que admite ser reducida a la siguiente forma: ax2 + bx + c = 0 , {a; b; c} ⊂ R / a ≠ 0

x 4 ÷ x 2 ÷3 ...... ∞ =64

b) 32 e) 64

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

c) 16

Frecuentemente a dicha ecuación se le llama: Ecuación Cuadrática y se caracteriza por presentar 2 soluciones (su incógnita “x” asume dos valores) MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN. do Toda ecuación de 2 grado podrá resolverse por al menos una de las siguientes formas:

Si : m . n = 0 ⇒ m = 0 ∨ n= 0 Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación:

x2 – x–12=0 Solución:

a +b

La ecuación dada es: x2 – x–12=0

a −b

Factoricemos al trinomio:

a +b

Luego la ecuación dada será: (x-4) (x+3) = 0 Finalmente de acuerdo a la propiedad señalada líneas arriba; se tendrá: x–4=0

Las 4 posibilidades planteadas Sólo I y II Sólo II y III Sólo III y IV Sólo I y IV

∨ x + 3 = 0 ⇒ x = 4 ∨ x = -3

Es decir el conjunto solución de la ecuación : x2 – x – 12= 0, es : C.S. = {4; – 3} B) Por la Fórmula de Carnot

22. El valor de x que satisface la ecuación fraccionaria:

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

x2 – x–12

Según el criterio del aspa x2 – x – 12= (x – 4)(x+3) simple tendremos: x –4 x 3

I. x= 4; x2 = 16 II. x= 4; x2 = 4x III. x = 4; x = 16 IV. x= 4; 4x = 16 a) b) c) d) e)

A) Por Factorización Este método se aplica únicamente si el trinomio : ax2+bx+c es factorizable, para lo cual se debe tener en cuenta la siguiente propiedad:

3 ax + (a − b)2 . = ab

x −b

b) 1/2 e) 7/6

x4 ÷ x2 ÷

a) 2 d) 4

c) 25

x+2 + x =

21. Indique que pares de ecuaciones son equivalentes:

c) 22

10 + 32 + 13 + x

x +1

ecuación:

20. Resolver:

2x − 1 x − 4 x 2 − 6 x + 15 , es: − = x +3 x −3 x2 − 9 b) {3, - 3} e) N.a.

−

1 2

23. Hallar el valor de x en: la

19. Resolver:

c) 8:04

15. El conjunto solución de:

a) IR d) IR - {3, - 3}

x −1

14. En una ala de juego para entrar se paga 1 dólar y para salir 1 dólar. Una persona juega en 3 salas y pierde en cada una la mitad de lo que tiene. ¿Cuánto tenía antes de empezar a jugar si al final se queda sin dinero? a) 20 d) 23

a) 3/4 d) 5/6

c) 3

18. Resolver

a) 1/2 d) 3/2

c) 40

13. En un reloj se lee: 8: 48 cuando en realidad son: 8:52, más tarde a las 9:42 se lee 9:34, y según esto; ¿A que hora deba una lectura correcta? a) 8:02 d) 8:25

b) 2 e) 5

a) 18 d) 16

c) 25

12. José tiene tres veces los años que tenía Ricardo cuando el tenía 16 años. Ricardo tiene 24. Hallar la edad de José. a) 25 d) 30

x −4 x −5 1 + = x − 3 x 2 − 5x + 6 2

x −5

11. Compre cierto número de folletos de álgebra por 100 nuevos soles. Si el precio por el ejemplar me hubiese costado un nuevo sol menos, tendría 5 ejemplares más por el mismo dinero. ¿Cuántos folletos compre? b) 4 e) 15

c) 25

17. Resolver la ecuación:

a) 5 b) 5; - 5 c) - 5 d) Indeterminado e) Incompatible

a) 5 d) 20

b) 16 e) 9

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S4AL32B

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 2

Dada la ecuación : ax + bx + c = 0, sus raíces se obtienen utilizando la fórmula deducida por Sadi Carnot:

x =

b 2 − 4 ac

−b ±

x2 =

NATURALEZA DE LAS RAÍCES.

∆ = b2 – 4ac

− b + b − 4 ac ; 2a

De este modo la fórmula que da solución a una ecuación de 2do grado queda así :

− b − b − 4 ac 2a

x =

Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación: x2 + 3x – 1= 0 Solución: De la ecuación se deduce que: a=1 ∧ b=3 ∧ c=-1 Reemplazando en la fórmula tenemos:

x =

− 3 ± 3 2 − 4 (1)(−1) 2(1)

Efectuando y reduciendo: x = − 3 ±

Finalmente las raíces de la ecuación son:

− 3 + 13 x1 = 2

;

− 3 − 13 x2 = 2

En consecuencia el conjunto solución es :

 − 3 + 13 − 3 − 13   C.S. =  ;  2 2     ANÁLISIS DE LA ECUACIÓN. Para la ecuación : ax2 + bx + c = 0 , se tiene: I)

III) Si : a = 0 ∧ b = 0 ∧ c ≠ 0 , la ecuación es : Incompatible.

Si : a ≠ 0 ∧ {b ; c} ⊂ R Compatible Determinada.x

, la ecuación es :

II) Si : a = 0 ∧ b = 0 ∧ c = 0 , la ecuación es : Compatible Indeterminada.

A) DISCRIMINANTE (∆) Llamamos discriminante a la expresión subradical contenida en la fórmula de Carnot :

Donde las raíces son:

x1 =

4to. Año Secundaria

−b ± ∆ 2a

B) ANÁLISIS DEL DISCRIMINANTE Observando la relación anterior, resulta previsible que el valor y/o signo del discriminante determinará la naturaleza de las raíces de una ecuación de 2do grado. Veamos los siguientes casos:

Tercero : Si : ∆ < 0 En este caso las raíces de la ecuación serán imaginarias y conjugadas. Debe notarse que las raíces imaginarias y conjugadas. Debe notarse que las raíces imaginarias siempre se presentan en parejas, siendo una la conjugada de la otra. Cuarto : Si : ∆ = k2 (cuadrado perfecto) Siendo a, b ∧ c números racionales, las raíces de la ecuación serán reales racionales. Pero si ∆ ≠ k2, las raíces de la ecuación serán reales irracionales y conjugadas.

A. De las Ecuaciones Equivalentes

Para la ecuación : ax2 + bx + c = 0 / a ≠ 0, de raíces x1 ∧ x2 , tenemos: I)

Suma de Raíces :

−

s = x 1 + x2 =

II) Producto de Raíces : p = x1 . x2 =

b a

c a

III) Diferencia de Raíces : d =| x1 – x2 |=

Sean: a1 x2 + b1 x + c1 = 0 ...... (1) a2 x2 + b2 x + c2 = 0 ...... (2) dos ecuaciones equivalentes, luego entre ellas se cumplirá la siguiente relación:

∆

Bloque I:

Raíces Simétricas: Si x1 ∧ x2 son raíces simétricas, se podrá establecer lo siguiente:

Raíces Recíprocas: Si x1 ∧ x2 son raíces recíprocas, se podrá establecer lo siguiente: x1 = m ∧ x2 =

1 m

⇒ x1 . x2 = 1

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

x +1 3

b) x -

x −2

8x +1 15

x 2 −21 =7

x −2 2

x + 2x − 3

−

x +1 2

x −9

4 2

x −4x +3

02. Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas:

B) RAÍCES ESPECIALES: Llamaremos así a las siguientes raíces: Raíz Nula: Dada la ecuación cuadrática ax2+bx+c = 0 / a ≠ 0, si ésta presenta una raíz nula (x=0), se cumplirá que : c = 0. Raíz Unidad: Dada la ecuación cuadrática ax2+bx+c = 0 / a ≠ 0, si ésta presenta una raíz unidad (x=1), se cumplirá que : a+b+c = 0. RECONSTRUCCIÓN DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA: Considerando a x1 ∧ x2 como raíces de la ecuación tal que: S = Suma de raíces P = Producto de raíces Entonces la ecuación que originó a dichas raíces se determina así:

S4AL32B

01. Resolver las siguientes ecuaciones

a) (x+1)(x+2)(x+3) = x(x+4)(x+5) b) 3

x +1 x −1

x −2 x +2

= 3 c)

72 −x -

16 −x = 2

x −2 x −3

x −3 x −2

5 2

03. Completar: a) 2x2 – 7x – 3 = 0 ∆ = …………………… b) 7x2 – 11x – 14 = 0 S = …………………… c) x2 – 5x + 6 = 0

1 x1

1 x2

= ………………

−1 1 +x − d) 2x2 + 7x + 1 = 0 x1 2 = ……………

x2 – Sx + P = 0 PROPIEDADES IMPORTANTES. S4AL32B

PRÁCTICA DE CLASE

En algunas ecuaciones las raíces se condicionan de tal modo que efectuando alguna operación elemental entre ellas, se podrá deducir alguna propiedad particular como por ejemplo:

x1 = m ∧ x2 = – m ⇒ x1 + x2 = 0

A) RAÍCES PARTICULARES:

Segundo : Si : ∆ = 0 En este caso las raíces de la ecuación serán reales e iguales. Este caso se presenta cuando el trinomio “ax2+bx+c” es un cuadrado perfecto.

4to. Año Secundaria

PROPIEDADES DE LAS RAÍCES:

Primero : Si : ∆ > 0 En este caso las raíces de la ecuación serán reales y diferentes.

ÁLGEBRA

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

( x1 + 1)( x 2 + 1) =

e) 2x2 + x – 1 = 0 …………

( x1 + 1)( x 2 + 1) =

f) x2 + 2x – 1 = 0 …………

04. Relaciona correctamente : I) x2- 4 3 x+12=0 a) Raíces reales iguales II) x2 – 2x – 1 = 0 b) Raíces reales diferentes III) x2 – 2x + 3 = 0 c) Raíces complejas a) I A – II B – III C c) I B – II C – III A e) I C – II A – III B

b) I C – II B – III A d) I A – II C – III B

05. Calcular “m” para cada uno de los siguientes casos, siendo la ecuación cuadrática : (m+1)x2 – (3m - 5)x + 2m – 5 = 0 a) Suma de raíces es 5/2

m = …………......

b) Producto de raíces es 9/4 m = …………...... c) Raíces recíprocas.

m = …………......

d) Raíces simétricas

m = …………......

e) Una raíz es – 2

m = …………......

06. Calcular “n” para cada uno de los siguientes casos, siendo la ecuación cuadrática : (2n - 5)x2 + (3n - 5)x + n + 1 = 0 a) Raíces iguales

m = ………….....

b) Suma de las inversas de las raíces es – 5/2

m = ………….....

c) Diferencia de raíces es 0,5 m = …………..... d) Suma de los cuadrados de las raíces es 5/4

m = ………….....

07. Formar una ecuación cuadrática con coeficientes enteros para cada uno de los siguientes casos: a) x1 = 7 x2 = 4 b) x1 = 2/3 c) x1 = 3 -

x2 = - 3/5 2

d) x1 = 4 + i e) x1 + x2 = - 7/3 x1 . x2 = 5/9

S4AL32B

4to. Año Secundaria

ÁLGEBRA

4to. Año Secundaria

Bloque II 01. Indicar la mayor raíz de la ecuación : x2 – 3x + 2,16 = 0 a) 1,2 d) 0,3

b) 0,8 e) 1,2

c) 1,8

02. En la siguiente ecuación:

a) 3 d) 3/2

b) 3/4 e) 5/3

c) 1/2

09. Si “r” y “s” son las raíces de la ecuación :

x2 + x − 2 2y 2 − y − 1 5 + = 2 x +1 2 y −1

ax2+bx+c=0 ; el valor de :

1 r

determine el valor de “y”. a) 1 d) –3 03. Si : x =

b) 0,1 e) a y d

c) 0

1 + 2 + 2 +....

, puede decirse

a) b2 – 4ac

b) 0<x<1 c) x>2 e) x es infinitamente grande

04. Cuál o cuáles de las siguientes ecuaciones: 2

II. x – 2x + 3 = 0

no admite raíces reales. b) Solo II e) I y II

c) Solo III

05. Halle la menor raíz de la siguiente ecuación mónica de 2do grado: (m – 2) x2 – (3m-8) x + m – 9 = 0 a) -2 d) 3

b) -3 e) -1

b) –18 e) –13

c) 9

07. Calcular la mayor solución de la ecuación: (m – 2) x2 – (2m – 1) x + m – 1 = 0 sabiendo que su discriminante es 25. a) 3 d) 1,5

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

b 2 − 4 ac 2a

c d)

b 2 − 2ac c2

b) 0,5 e) N.a.

c) 2,5

a) 25 d) 24

a) –

; encontrar el valor de “n”.

b) 18 e) 15

c) 12

b) e)

143 35 173 35

6 1

a) 3x2 – 5 = 0 c) 3x2–x–5 = 0 e) 2x2 – 4 = 0

1 3+

; está dada por:

1 2+

1  b) 5x2 – 3 = 0 d) 5x2 – x – 3 = 0

17. Determine la suma de los valores que puede tomar “a” para que la ecuación:

x2 – 2(3m+1) x + 7(2m+3) = 0 tendrá sus dos raíces iguales?

3 2

; es:

153 35

c) –

16. La ecuación de 2do grado una de cuyas raíces es la fracción :

12. ¿Para qué valores de “m” la ecuación:

S4AL32B

b) x2 +14x +15= 0 d) x2 – 14x - 25= 0

3 x1 + 1 3 x 2 + 1 . 2x1 − 9 2x 2 − 9 17 35 183 35

a) x2 +14x + 25= 0 c) x2 – 2x - 1= 0 e) x2 – 14x + 25= 0

e) b2 + 4ac

11. Siendo : x1 ∧ x2 las raíces de la ecuación : 5x2 – 23x + 11 = 0 , el valor de:

b) x2 + 4x +2= 0 d) x2 – 4x + 2= 0

15. ¿Para qué valor de “m” las raíces de la ecuación: x 2 m 2 +1=0; se diferencian en 2? – (m+3)x +

10. Si la ecuación : x 2 – nx + 36 = 0, admite como raíces a : x1 ∧ x2, tal que:

1 1 5 + = x 1 x 2 12

a) x2 + 2x – 1= 0 c) 2x2 – 4x + 1= 0 e) x2 – 8x + 2= 0

14. Si “α” y “θ” son las raíces de la ecuación: x2 – 2x – 5 = 0, encontrar una ecuación cuadrática cuyas raíces sean: α2 y θ2.

, es:

c) 2

06. Calcular el valor de “m – 2n” si la ecuación cuadrática: 5 (m + n + 18)x2 + 4(m – n) x+ 3mn = 0 es incompatible. a) –9 d) 18

I. x – x – 1 = 0 III. 3x2 + x – 2 = 0

a) Solo I d) II y III

b 2 − 4 ac

que: a) x= 3 d) x=2

a) 5 ; 2 b) 1 ; – 3 / 2 c) 4 ; – 2 d) 3 ; – 1 e) 2 ; – 10 /9 13. La ecuación cuadrática cuyas raíces son : 2+ 2 ∧ 2 – 2 , es:

08. Calcular “m” para que la ecuación : 6x2 + (2m+3x) + m = 0 tenga solo una raíz.

(a+1) x2+ax+1 = 0 tenga una sola solución si “a” es un número real y diferente de –1.

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN a) 12 d) 5

b) 4 e) 6

c) 4

18. Sea : {x1 ; x2} el conjunto solución de : 3x2 – x – 1 = 0. A continuación se establece que: P(n) =

a) 7

x 1n

+xn 2

; calcular : P(2)

c) 3

1 1 3 + = 2x1 2x 2 5 b) 2 e) 5

c) 3

20. ¿Para qué valor de “n” el discriminante de la ecuación : x2 – 8x + n = 0, es igual a 20? b) 11 e) 17

c) 33

TAREA DOMICILIARIA 01. Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones, en base a la ecuación: x(x – 1)2(2x – 3)3(x2 – ( ( (

3 ) =0

) Posee 4 raíces o soluciones ) Su conjunto solución posee 5 elementos ) Posee a x = 0 como raíz simple y a x = 3/2 como raíz triple.

a) VVV d) VFV

b) FVV e) VVF

c) FFV 2

02. En la ecuación cuadrática : ax +bx+c=0 afirmamos : I)

Si la suma de sus raíces es igual a su producto entonces b + c = 0 II) Si una raíz es la opuesta de la otra entonces b = 0 S4AL32B

) Si la ecuación admite solución, ésta debe estar en [-1; 0] ) La ecuación tiene dos soluciones reales ) La ecuación tiene una única solución b) VFF e) FVV

c) VVF

04. Resolver: (1+x)(1+2x)(1+3x) = - 15 Indicar la suma de las raíces no reales :

encontrar el valor de n:

a) 44 d) 22

( (

a) 0 d) – 1

b) 1/2 e) 1/6

c) – 1/2

(

) P(x) tiene raíces reales y diferentes ∀ n ∈ N ) P(x) tiene siempre raíces imaginarias y conjugadas ) Para algún n ∈ N, P(x) tiene raíces iguales

a) FFV d) VVV

b) FVV e) FVF

c) VFV

06. Si x1 y x2 son raíces reales de : ax2+bx+c=0 (a ≠ 0), calcular el valor de “m” para que la ecuación de raíces (x1 + m) y (x2 + m); carezca de término lineal a) – b / 2a d) – b / a

b) b / 2a e) b / 3a

4to. Año Secundaria

tales que x1 es a x2 como “b” es a “a” calcular:

a + b

a) 0 d) 3

b + x1x 2 a

b) 1 e) 4

c) 2

09. La ecuación x2+bx+c=0 ……… (1); tiene raíces reales positivas distintas, entonces de las raíces de la ecuación :

+b x +c=0; se puede

afirmar : a) Son las mismas de (1) b) Algunas son negativas c) Algunas son complejas d) Son todas positivas e) Son todas negativas

c) b / a

07. Determinar la ecuación de segundo grado cuyas raíces sean: una la suma y la otra el producto de las raíces de: ax2 + bx + c = 0; a ≠ 0

ax2 + bx + b = 0; a ∧ b ≠ 0

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

Son imaginarias y reales respectivamente determine el valor entero de “m” a) 0 d) 4

b) x2 – 6x + 18 = 0 d) x2 – 9x + 18 = 0

11. En la ecuación: 2x2 – (m – 1)x + m + 1 = 0, ¿qué valor positivo debe darse a “m” para que las raíces difieran en uno? b) 8 e) 11

c) 9

12. Sabiendo que : (p+q)2 y (p - q)2 son raíces de cierta ecuación cuadrática recíproca donde “p” y “q” son raíces de la ecuación : ax2+bx+c=0; a > b > 0, calcular a4 – b4 a) 2abc d) – 4 ab2c

b) – 2abc2 e) – 4abc2

S4AL32B

b) 6 e) 18

c) 0

1 1   x +   − 3 x +   = 18  x x    indicar la raíz de mayor valor a)

c) 9

2 +1

d) 2+3

b) 3-2

e) (3+

5 )/2

c) (

2 2 +1)

17. Si r y s son raíces de la ecuación cuadrática : mx2 – 2(m-1)x+m=0 y cumplen

r s + =4, halle s r

la suma de todos los valores “m” que satisfacen la condición a) 1 d) 0

b) – 4 e) 4

c) – 1

18. El producto de multiplicar el término independiente con el coeficiente del término cuadrático de la ecuación que tiene por raíces el cuadrado de la inversa de las raíces de : ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0, es :

c) 4abc2

13. Sabiendo que la ecuación : x4 – 9x+λ = 0 admite dos raíces que suman 3, calcular el producto de todas las raíces a) 3 d) 12

b) – 1 e) 8

x2+(m – 1) x + m – 2 = 0; tiene una sola solución real ii) x2 – (n+1)x + 2n = 0; tiene una raíz igual a 3.

a) 7 d) 10

c) - 1

15. Determine a + b +c de modo que la ecuación : x3 – ax2 + bx + c = 0 admita por raíces : a, b, c; abc ≠ 0

10. Hallar la ecuación de segundo grado de coeficiente principal 1 y de raíces m y n se sabe que :

a) x2+9x+18 = 0 c) x2 – 9x – 18 = 0 e) x2 – 6x – 18 = 0

b) 1 e) 2

16. Resolver :

2 2

a) a x – a(b - c)x – bc = 0 b) a2x2 – a(b + c)x – bc = 0 c) a2x2 – a(b + c)x + bc = 0 d) a2x2 + a(b - c)x + bc = 0 e) a2x2 + a(b - c)x – bc = 0 08. Siendo x1 y x2 las raíces de la ecuación :

14. Si las raíces de la ecuación en “x” x2 – 3x + m + 1 = 0 3x2 + 5x + m = 0

a) 1 d) 4

05. Sea el polinomio cuadrático: P(x) ≡ (n+1)! x + n! (x) + (n-1)!; n ∈ N, indicar verdadero o falso, si P(x) = 0, según corresponda: ( (

ÁLGEBRA

03. Sea la ecuación : x +1 + 2 x = 0 indicar el valor de verdad de las proposiciones:

a) VFV d) VVV

;

III) Si una raíz es el doble de la otra, entonces 2b = 9ac a) Las 3 afirmaciones son verdaderas b) I y II son verdaderas c) I y III son verdaderas d) II y III son verdaderas e) Sólo II es verdadera

(

19. Si la ecuación : x2 – 6x + n + 1 = 0 , admite como raíces a x1 ∧ x2 , tal que :

a) 1 d) 4

4to. Año Secundaria

a) ac b) a2c2 c) a/c d) 1/a2c2 e) c/a 19. Hallar la suma de los cuadrados de las raíces de la ecuación polinomial : F(x) = x3 – 3x + 6 = 0 a) 1 d) 8

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

b) – 1 e) 6

c) 4

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 20. Si x1, x2, x3 son las raíces de la ecuación : 4x3 + mx2 – 4x + m2 = 0 además : x1 =

a +b+c ; 3a + 4 b + c

x2 =

a +b +c ; a +c

4to. Año Secundaria (i = a) 2 d) 5

a) 0 d) – 2

a) 2/3 d) 2/7

21. Resolver las ecuaciones: 1) 2) 3) 4) 5)

x =7 (x + 1) (x – 3) = 12 15x2 – 34x + 15 = 0 (x + 3) (x + 5) = 13x2 x (x – 1997) = (x – 1997)

c) 3

b) – 1/n e) – 1/2 n

c) 1/2 n

23. Hallar una de las raíces de la ecuación : a(b – c)x2 + b(c – a)x + c (a – b) = 0 si x es la incógnita a)

b −c a −b

b (a − c ) a ( b −c )

a −b c −a

c −a b −c

b(a − c ) a (b − c)

ECUACIONES BINOMIAS, TRINOMIAS, BICUADRÁTICAS ECUACIÓN BINOMIA:

c) 2/5

∀a.b≠0∧n∈N

ax n +b =0

Éstas se resuelven factorizando o utilizando la fórmula de “Abraham de Moivre” Ejemplo: Resolver: 9 x 4 −1 = 0 Factorizando:

a) 5/3 d) 5/6

b) 7/3 e) 20/3

c) 10/3 (3 x 2 +1)(3 x 2 −1) = 0 ⇒ 3 x 2 +1 = 0

27. Resolver e indicar la solución : x −2 + 2 x −5 + x +2 +3

a) 7 d) 5

b) 13 e) 16

2 x −5

x2 = −

c) 15

a) 3 d) 3/2

b) 3/4 e) 5/3

x =±

c) 1/2

∨ x2 =

3 3

∨ 3 x 2 −1 = 0

1 3

∨

¡ ∨

1 3 1

x =±

3 3

x =±

 3  3 ¡; − ¡; ∴ C.S. =  3 3  

29. Sabiendo que las raíces de la ecuación :

3 3

;−

3    3  

Teorema: Las ecuaciones binomias sólo tienen raíces simples, no aceptan raíces múltiples.

son números enteros y una de ellas es el triple de la otra, calcular éstas b) 2 y 6 e) 1 y 3

x =± −

28. Calcular “m” para que la ecuación : 6x2 + (2m+3)x+m=0 tenga una raíz solamente

a) 4 y 12 d) 3 y 2

ECUACIÓN TRINOMIA Son aquellas ecuaciones de tres términos que presentan la siguiente forma general:

c) 5 y 15

ax 2 n +bx n +c =0

; ∀ abc ≠ 0 ∧ n ∈ N

30. Sabiendo que las ecuaciones:

24. Dada la ecuación : x2 - 2x + m 0 Calcular “m” si una de las raíces es 1 + 2i,

S4AL32B

b) 3/2 e) 1/7

x2 – (3n - 2)x + n2 – 1 = 0 c)

4to. Año Secundaria

Se denomina así a las ecuaciones de dos términos que presenta la siguiente forma general:

22. Sea la ecuación : [(m+n)2 – (m – n)2]x2+[(m – 1)2]x – [(m+n)2+(m – n)2] = 0 siendo m ≠ 0 ∧ n ≠ 0 y x1 y x2 son sus raíces. ¿En cuántas unidades es necesario disminuir dichas raíces para que sean simétricas? a) 1/n d) – 2n

r3 – s3 = 208

Indicar la ecuación que posee la menor raíz b) 2 e) 5

26. Hallar el valor de “a” para que las raíces de la a2 ecuación: x2– (a+3)+ + 1 =0 se diferencien en

a) 1 d) 4

a) x2 + x – 1 = 0 b) x2 + (m - n)x + mn = 0 c) x2 – x + 1 = 0 d) x2 – (m + n)x + mn = 0 e) x2 – mn = 0

25. Si la ecuación: x2+px+q = 0; tiene por conjunto solución

entonces p / q es:

c) 2

c) 4

(r, s) si: r – s = 4

ÁLGEBRA

presentan una raíz común, formar otra ecuación cuadrática cuyas raíces sean las no comunes de las anteriores

−1 ); m ∈ R

b) 3 e) 8

a +b+c x3 = , calcule un valor de “m” 2c b) – 1 e) 1

Estas ecuaciones se resuelven factorizando o realizando el cambio de variable: x n = z ; lo que la convierte en

x2 + mx + n = 0 x2 + nx + m = 0

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

una ecuación cuadrática después de resolver esta, se S4AL32B

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

4to. Año Secundaria

repone la variable original y se hallan las soluciones de la ecuación trinomia.

Si:

Resolver: 8 x 6 + 7 x 3 − 1 = 0 Factorizando: (8 x 3 +1)(x 3 −1) = 0

x−

(2 x +1)(4 x 2 − 2 x +1)(x −1)(x 2 + x +1) = 0

 −1 + 1 1 + 3 ¡ 1 − 3 ¡ ∴C.S. = ; ; ;1 ; 2 4 2 2   ECUACIÓN RECÍPROCA Se denomina así a las ecuaciones cuyos coeficientes de los términos equidistantes de los extremos son iguales en valor absoluto.

1 =a x

(3 x −2)(2 x −3)(x −1) 2 = 0

Ejemplo:

2x 3 + 5 x 2 + 5 x + 2 = 0 x 4 − 7x 3 + 6x 2 −7x +1 = 0 3x 5 + 2x 4 + 5 x 3 − 5 x 2 − 2x − 3 = 0 Propiedades: 1. 2. 3.

Si “r” es raíz de la ecuación recíproca entonces “1/r” también es raíz de la ecuación. Si la ecuación es recíproca de grado impar, tiene una raíz “1” ó “- 1” (se evalúa para determinar cual de ellas es la raíz) Si P(x)= 0 es una ecuación polinómica recíproca de grado “n”, se cumple:

−1 − 3 ¡   ;  2  

x3 −

1 x3

Igualando

   

x3 +

1 x3

= a 3 − 3a

Si el grado es par: - Se factoriza la parte literal del término central y se agrupa convenientemente; luego se realiza el cambio de variable respectivo:

= a 3 + 3a

- Se resuelve la ecuación con la nueva variable luego se repone, la variable original y se resuelve, hallándose las soluciones de la ecuación recíproca.

factor

C.S.=

 25 6 ⇒ x 2 6 x 2 − 25 x + 38 − + x  x2

   1  1  ⇒ x 2 6  x 2 + − 25  x +  + 38  = 0   x     x2  

(aspa

-29

-6

-62

-6

-35

“El nuevo símbolo de una buena educación....”



Igualando cada factor a cero:

x = ±1 / 2

x = ±4 / 3

1 4 4 1 ;− ; ;−  2 2 3 3 

∴ C.S. = 

Resolver: x 4 − 3 x 2 + 1 = 0

x1 =

Igualando cada factor a cero:

⇒ x + 1 = 0 ; x = −1 6 x 4 − 35 x 3 + 62 x 2 − 35 x + 6 = 0

   1 1  ⇒ x 2 6  x +  − 13  x + − 2  = 0 x

simple:

(4 x 2 −1)(9 x 2 − 6 ) = 0

Por la fórmula: ⇒(x +1)(6 x 4 − 35 x 3 + 62 x 2 − 35 x + 6 ) = 0

obtiene:

(2 x 2 − 5 x + 2)(3 x 2 −10 x + 3) = 0

 

Resolver: 36 x 4 − 73 x 2 + 16 = 0 Factorizando por aspa

x 2 = 16 / 9

Aplicando el método para la ecuación recíproca de grado par:

Reponiendo “x” y reemplazando en “α”

x

b 2 − 4 ac 2a

4 x 2 −1 = 0 x 2 = 1 / 4

Factorizando por divisores binómicos:

Agrupando:

Fact.

−b ±

6 x 5 − 29 x 4 + 27 x 3 + 27 x 2 − 29 x + 6 =90x 2 − 16 = 0

 =0 



; ∀ abc ≠ 0

Para resolver esta ecuación se factoriza o se utiliza la resolvente de la bicuadrada:

x =±

- Se factoriza mediante el método de los divisores binómicos, evaluar para x=1∨ x=- 1 - Luego de obtener el factor lineal, el otro factor es un polinomio recíproco de grado par al cual se le aplica el método para resolver la ecuación recíproca de grado par.

x+1 = 0 x= - 1

⇒ 6 a 2 − 25 a + 26 = 0 simple) ⇒ (6a - 13)(a - 2) = 0

ECUACIÓN BICUADRADA Se denomina así a las ecuaciones de cuarto grado que tienen la siguiente forma general: ax 4 +bx 2 +c =0

Resolver:

Ejemplo: Resolver: 6 x 4 − 25 x 3 + 38 x 2 − 25 x + 6 = 0 *

 

S4AL32B

cada

II. Si el Grado es Impar

6(a 2 − 2) − 25 (a ) + 38 = 0

Casos:

cero

* También se puede factorizar por aspa doble especial

Realizando el cambio de variable en el corchete:

Para resolver la ecuación recíproca se consideran los siguientes casos:

2 3  ; 1  ; 3 2  

...... (α) 1 P (x) ≡ x n P  x 

1 1   C.S. = −1; ; 2; ; 3  2 3  

(6 x 2 −13 x + 6 )(x 2 − 2 x +1) = 0

3¡ 1 x2 + = a2 + 2 2 x

3¡

4to. Año Secundaria

Efectuando:

Si:

1 x2 + = a2 −2 ⇒2 x +1 = 0 ∨ 4 x 2 − 2 x +1 = 0 ∨ x −1 = 0 ∨x 2 + x +12= 0 x 1 1 ± 3¡ −1 ± x =− ∨x = ∨ x =1 ∨ x = 2 4 2

ÁLGEBRA

Fact: (2x - 1)(x - 2)(3x - 1)(x - 3) = 0

x2 = −

3+ 5 2

x =±

3± 5 2

x3 =

3− 5 2

Igualando a cero cada factor el conjunto solución final es: S4AL32B

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

3+ 5 2

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

4to. Año Secundaria

x 3 = 2¡ ∧ x 4 = −2¡ ⇒x 4 +(−9 − 4 ¡2 )x 2 +(−9 )(−4 ¡2 ) = 0

3− 5 x4 = − 2

⇒x 4 +(−9 + 4 )x 2 +(−9 )(4 ) = 0

Propiedades de: ax 4 + bx 2 + c = 0 1.

Las raíces de la ecuación bicuadrada son opuestas dos a dos es decir:

x 1 = α; x 2 = −α; x 3 = β; x 4 = −β 2.

Suma de productos binarios

b b x1 x 2 + x 3 x 4 = ∨ − (α 2 + β 2 ) = a a 3.

Producto de raíces:

x1x 2 x 3 x 4 =

c c ∨ α2 . β2 = a α

Reconstrucción de la ecuación bicuadrada

4 Suma de  2  producto x +   x +   = 0 p roductos binarios  de raíces Ejemplo: Formar la ecuación bicuadrada, dos de cuyas raíces son: – 3 y 2¡ Por teoría sabemos que las otras dos son las opuestas: Sean: S4AL32B

x 1 = −3 ∧ x 2 = 3

ÁLGEBRA

 x4 1  −  4 x2 

Son aquellas que se reducen a la forma:

Q(x)

∀ Q(x) ≠ 0

Para resolver estas ecuaciones se debe restringir el denominador (diferente de cero), luego resolver la ecuación y finalmente intersectar los conjuntos de valores obtenidos Ejemplo: Resolver:

2 x x − = 2 x −3 x −2 x − 5x + 6

x 2 − 5x + 6 ⇒5 x − 4 − x 2 = x

0 = (x - 2)

2 ¡ +2 c)

3 3

03. Indicar una de las soluciones de: ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0 Si: a + b = b + c + d = d + e a) ¡

1 − 3 ¡ c) 1 − 3 ¡ 2 2

1 3 e) - ¡ − ¡ 2 2

⇒0 = x 2 − 4 x + 4

∴ x = 2 ................ (β)

De α ∧ β: Vemos que x = 2 no satisface la ecuación: ∴ C.S. = ∅

a)2/ d)

3 2 /2

3 /2

x 5 + x 4 − 3 x 3 − x 2 + rx + 3 = 0 tenga tres raíces comunes e indicar el valor de: p+ q + r a) 1 b) – 2 d) – 7 e) – 9 02. Indicar una raíz de:

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

c) 5

1 3 − ¡ 3 3 e) 1 - ¡

08. Luego

resolver:

1  x 3 + x − 3 = 2002  x +  x  podemos afirmar que: a) b) c) d) e)

x = 1 es una raíz x = – ¡ no es una raíz x = – 2002 es una raíz Sólo posee una raíz imaginaria x = ¡ es una raíz imaginaria

x 1 y x 2 son las soluciones reales de la

ax 4 + (b − 3)x 3 −10 x 2 + (5 − a )x + b + 6 = 0 proporcione el valor de: a) 1 d) 9

(x 1 + x 2 ) x1x 2

b) 2 e) 36

c) 4

10. En la ecuación bicuadrada: 05. Calcular los valores de “α” para que la ecuación: x 4 + (1 − α)x 2 + 2 α − 6 = 0 , tenga sólo dos raíces reales a) ]- ∞; 3[ d) ]3; +∞[

b) ]- ∞; 5[ e) ]4; +∞[

c) ]- ∞; +4[

06. Sea la ecuación de coeficientes enteros:

x 5 − 3 x 4 + x 3 − x 2 + px + q = 0

ecuación recíproca:

TAREA DOMICILIARIA 01. Determinar los números enteros p; q; r de manera que las ecuaciones:

1 1 3 b) 1 + ¡ + ¡ 2 2 2 2

09. Si

(5 n 2 + 2)x 4 − (4 n 4 + 9 )x 2 + 3(n 2 + 2) = 0 Si el producto de raíces es igual a 1. Dar como respuesta la raíz de mayor valor absoluto

x 2 − 5x + 6

d) 1 + ¡ e) -

04. Resolver la ecuación bicuadrada:

Restringiendo: x - 3 ≠ 0 ∧ x - 2 ≠ 0 x ≠ 3 ∧ x ≠ 2 ............. (α) Efectuando operaciones: 2x − 4 − x 2 + 3x

2 6 ¡+ 2 2

ECUACIONES FRACCIONARIAS

P (x)

 x 2  x3 2 2  + − 1 = +  2  2 4 x x3  

a) 4 − 3

∴ x 4 − 5 x 2 − 36 = 0

4to. Año Secundaria

ax 4 + bx 2 + c = 0; a ≠ 0 ,

{x 1 ; x 2 ; x 3 ; x 4 }

 ; 1 + 5    

a) 1 d) – 4

“b” toma su mínimo valor positivo b) – 1 e) – 2

c) 4

Calcular el valor de: E = (x 1 x 3 ) −1 + (x 2 x 4 ) −1 ; si

x1 + x 3 = 0 a) 3 d) – 3

b) – 4 e) 3,5

c) 5

11. Calcular una raíz de: (x 2 − m 2 ) 2 − 4 m(x 3 − m )(mx −1) = 0 ; m ∈ R ∧m >1

07. Indicar una raíz de: 4 x 4 + 1 = 0 S4AL32B

raíces

si se cumple: a + c = 2b ∧ a 2 = 49 c 2

x 4 − (a + 2)x 3 + bx 2 + cx + 4 = 0

6a + 2 Calcule: , si una de sus raíces es igual a: b −c

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN a)

− m + (m − 1) 2 m 1 − 2m

4to. Año Secundaria

3 4 x −3 −

3 x −2 +

B A

III. En toda ecuación bicuadrada de coeficientes reales A; B; C; A ≠ 0 siempre existirán 4 raíces Son verdaderas: c) I y II

14. Calcular la suma de raíces reales de: S4AL32B

c) – 5

5 − 5 mx + 4 k = 0 ; tiene una raíz “r” de multiplicidad 2. Calcular el valor de: m 5 + 2k 4

La 217. x− 1 ecuación: =0 x

a) 1 / 2 d) 3 / 4

5k 4 − m 5

b) 1 / 4 e) 5 / 4

c) 4 / 3

de la ecuación: x 4 − 7 x 2 + 4 x − 3 = 0

I. De la ecuación: x 4 − 9 x 2 + 8 ; al resolver se obtienen sólo como raíces a 1 y 2 II. De la ecuación bicuadrada: Ax 4 + Bx 2 + C = 0 ; la suma de sus

b) Sólo II e) I y III

b) 13 e) 15

18. Hallar la suma de las quintas potencias de las raíces

13. De las proposiciones:

a) Todas d) Sólo III

(a −1 + c −1 )(x + b −1 ) = 2(a + b + c)

a) a + b +c c) – a – b – c e) abc

a) 120 d) 110

b) – 140 e) – 12

c) –110

b) 1 d) ab + ac + bc

1− ¡

1+¡ 3

3 (1 + 2¡) 2

(a −1 + b −1 )(x + c −1 ) + (b −1 + c −1 )(x + a −1 ) +

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

(x 1 + x 2 ) x1 .x 2

a) 2 d) 9

b) 2 e) 25

c) 4

3x 5 − x 4 − x 3 + x 2 + x − 3 = 0 una de sus raíces es:

22. Formar una ecuación bicuadrada cuyas raíces se pueden determinar a partir de: b) −

a) - 1

x 2 = 16 ................ (1) x 2 = 25 ................. (2)

−

a) x 4 + 31 x 2 − 400 = 0 b) x 4 + 31 x 2 + 400 = 0 c) x 4 − 41 x 2 + 400 = 0 d) x 4 − 30 x 2 + 29 = 0

−

1 3 + ¡ 2 2

1 3 − ¡ 2 2 5 + 6

11 ¡ 8

5 − 6

11 ¡ 6

e) x 4 + 13 x 2 + 36 = 0 23. Hallar el valor de “n” en la siguiente ecuación bicuadrada

a) 48 d) 12

20. Al resolver:

la ecuación: x 2 + px + q = 0 , calcular “p” y “q” sabiendo que son reales. Indicar pq c) – 4

≥2

x 1 y x 2 son las soluciones reales de la

proporcionar:

2(−1+¡)

Si el producto de sus raíces es 36

b) 6 e) 1

26. Al resolver la ecuación recíproca:

x 4 − (p + 2)x 2 + 4 = 0 tiene las raíces de

a) 2 d) – 8

c) a ≥ b 2 e) b ≥2 a

ax 4 + (b − 3)x 3 −10 x 2 + (5 − a )x + b + 6 = 0

x 4 +(n − 25 )x 2 + 4 (n − 3) = 0

19. La ecuación bicuadrada:

b) a + 2 b 2 ≥ 0

ecuación recíproca:

3 ¡ 2 d)

a) a + 2b ≥ 0

25. Si

21. Indicar una raíz de la ecuación:

c) 8

si dos de sus raíces toman la forma: 2 m y 2 n , calcular m + n

a) Son reales y negativos b) Una es real y la otra es imaginaria c) Son irracionales d) Son reales e iguales e) Son dos números consecutivos

−

ecuación:

donde: M = S; N = R; P = Q Calcular la suma de sus raíces si dos de ellas son a y b(a ≠ b), si a + b = 10 ∧ ab = - 10

a) 12 d) 0

4to. Año Secundaria

Señale el denominador de la raíz obtenida: c) 1

b) – 2 e) 0

ÁLGEBRA

16. Luego de resolver: 2 5 x + 3 x = 315 x 4

qué se puede afirmar de sus raíces:

raíces es

42 43

a) 3 d) 1

1 + (m − 1) m + 1 1 −m

5 x −4 −

Mx 5 + Nx 4 + Px 3 + Qx 2 + Rx + 5 = 0

− m + (m − 1) 2 m 1 + 2m

12. Luego de resolver: 3

b) 0 e) 7

15. En

m + (m − 1) 2 m 1 + 2m e)

(4 x + 3) 3 + (4 x − 3) 3 a) – 1 d) 3

m + (m − 1) 2 m 1 − 2m c)

(3 x + 4 ) 4 − (3 x − 4 ) 4

b) 6 e) 4

c) 9

24. Sabiendo que x = c es una raíz de la ecuación:

27. Una raíz real de:

 1 3 x 2 +  x2 

  = 4  x + 1  + 19   x  4  

a) 1,5 d) 1

b) 2 e) 3/4

28. Resolver:

x2 + x +1 =

es:

c) 0,6

42 x2 + x

dando

enseguida la suma de sus soluciones enteras ax 5 + (b − ac )x 4 − bcx 3 − bx 2 −(a − bc )x + ac = 0 ; a ≠ 0, ¿qué condición se debe cumplir entre “a” y “b”, para que las otras raíces sean reales? S4AL32B

a) – 3 d) 1

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

b) – 2 e) 2

c) – 1

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 29. En la ecuación polinomial:

4to. Año Secundaria

ECUACIONES POLINOMIALES

F(x) = x 3 − 5 x 2 −(4 m + 9 )x + 237 − 4 m = 0 sabiendo

que

sus

raíces:

x1 ; x 2 ; x 3

OBJETIVOS ESPECIFICOS: ESPECIFICOS

satisfacen la condición:

 x1 + 1  x +1 x +1   +  2  +  3   2   2   2 

b) 11 e) 14

= 38

 Reconocer una ecuación polinomial e indicar la relación existente entre solución y raíz.  Resolver ecuaciones de cualquier grado aplicando los teoremas y técnicas adecuada.

Al - Guarismi, el año 1 100 estudia ecuaciones del tipo: c) 12

ax 2+ e = bx ax2 + bx = e ax? + bx + c = d; etc y da soluciones para cada caso. La época de oro de las matemáticas Italianas se da en el siglo XVI, en Scipiene del Ferro, Nicola Tartaglia, Girolamo Cardano, Ludovico Ferrari, Frencois Viette, ete, quienes resolvieron las ecuaciones del tercer y cuarto grado. Hecho de trascendental importancia en esa época. La historia da cuenta de que el profesor Scipiene del Ferro logré resolver la ecuación de tercer grado en 1515, pero no la dio a conocer siguiendo las normas científicas de su época. Aún así, confió sus resultados a Antonio Fiore. En 1541 Antonio Fiore se bate en duelo matemático con el profesor Nicola Trataglia para ver quién resuelve la ecuación de tercer grado, saliendo vencedor este último. Cardano quien era médico, adivino y matemático logra con tretas y promesas, que tartaglia le hiciera conocer la solución de la ecuación de tercer grado. El mismo año Cardano publica su libro “Arte Mayor” en donde da la solución de la ecuación de tercer grado como suya y menciona que tartaglia no es sino un redescubridor ya que del Ferro había dado la primera prueba hace 30 años. En la misma obra aparece la solución de la ecuación de cuarto grado, debido a Ludovico Ferrari, discípulo de Cardano. Posteriormente se dieron otras pruebas tanto de la ecuación de tercer grado (F. Viette) como de la ecuación de cuarto grado (R- Descartes) Después de los rotundos éxitos de los matemáticos Italianos viene nuevamente un largo periodo de estancamiento en la tarea de la solución de ecuaciones de quinto grado. Recién en 1825, el joven matemático noruego Niels Henrick Abel demostró que la ecuación general de quinto grado no es resoluble mediante la

S4AL32B

4to. Año Secundaria

extracción de raíces y las operaciones aritméticas conocidas. Por otro lado en 1929 Evaristo Galois, probaría que las ecuaciones de grado superior a cuatro no son resolubles por radicales y dio las condiciones necesarias y suficientes para que una ecuación de cualquier grado sea resoluble por radicales. Actualmente existen técnicas que permiten resolver ecuaciones de cualquier grado.

COMENTARIO PREVIO:

Calcular el valor de m. a) 10 d) 13

ÁLGEBRA

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

P(x) = x – x – 3x + 5x – 2 Factorizando se tiene: P(x) = (x – 1)3 (x + 2) Luego las raíces de P(x) son: {1 . 1 . 1 . – 2} y se dice que: “1” es una raíz de multiplicidad 3 (raíz triple) “2” es una raíz de multiplicidad 1 (raíz simple) Formemos la ecuación : P(x) = 0 (x – l)3 (x + 2) = 0 * (x – 1)3 = 0 *x+2=0

CONTENIDO TEÓRICO: ECUACION POLINOMIAL EN UNA INCÓGNITA Es aquella ecuación que tiene la siguiente forma general: P(X) = a0 xn +a1xn-1 + ......... + an-1 x+ an = 0 Donde: a0 : a1 : a2 :.............. : an-1 ; an → son sus coeficientes Si: a 0 # 0 →el grado de la ecuación es “n” (n ∈N) X → es la incógnita RAIZ DE UN POLINOMIO.Dado el polinomio P(x). Se denomina raíz o cero del polinomio, al número “a” si y solo si el polinomio P(x) es divisible entre (x - a). El polinomio P(x) tiene una raíz de valor “a” P(x) = (x - a) q (x)

x=1 x = -2

Luego: CS {1 . -2} Observación: Cuando un polinomio tiene raíces múltiples el número de raíces y el número de soluciones no coincide. Ejercicio: En la ecuación polinomial: x3 (x – 2)2 (x2 + 9) (x + 3 3 ) = 0 Señale: a) El número de raíces b) El número de soluciones c) Su conjunto solución TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ALGEBRA Toda ecuación polinomial con cualquier tipo de coeficientes numéricos tiene por lo menos una raíz que generalmente es compleja.

Ejemplo hallar las raíces de: P(x) = x3 - 6x2 + 11x - 6 Factorizando se tiene : P(x) = (x - 1) (x - 2) (x - 3) Luego las raíces o ceros de P(x). Son: ( 1, 2, 3) Observación: Una manera práctica de hallar las raíces de un polinomio P(x), es formar la ecuación: P(x) = 0 Así: (x – 1) (x – 2) (x – 3) = 0 CS = {1, 2, 3} En este ejemplo las raíces del polinomio P(x) coinciden con las soluciones de la ecuación P(x)=0, lo cual no ocurrirá siempre. Raíz de Multiplicidad “k”: Dado el polinomio P(x) se denomina raíz de multiplicidad “k” (k ∈ Z+) del polinomio P(x). Al número “a”, si y sólo si el polinomio P(x) es divisible entre (x – a)k, pero no es divisible entre (x – a) k+1, es decir si: S4AL32B

Corolario: Toda ecuación polinomial de grado n > 1. Tiene exactamente “n” raíces complejas en general. • Luego dada la ecuación polinomial P(x) = a0 xn + a1xn-1+.......+an-1- x+an= 0: a0 ≠ 0 Se tiene : P(x) = a0(x – x1) (x – x2) ...... (x – xn) = 0 Donde: {x1 : x2: x3: .......... : xn) son raíces de P(x) TEOREMA DE CARDANO – VIETTE Sea la ecuación polinomial: P(x)=a0 xn+a1xn-1+ a2xn-2 +...+an-1x+an = 0 : a0 ≠0 Cuyas raíces son: {x1 : x2 : x3 : ............ : xn} Se cumple las siguientes relaciones

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN •

a1 a0

•

Ejemplos P(X) = x 3 −7 x 2 +ax +b =0 . a, b

a3 a0

∈Q

Hallar (a + b) si su raíz es : 3 + 5 • Formar la ecuación de menor grado posible sabiendo que una raíz es 5 + 3 y además sus coeficientes son racionales. • Dadas la ecuación: x3 + x2 + mx + n = 0. m, n ∈ R Donde : 1 + 7 i es una de las raíces. Hallar 1 asuma de coeficientes de la ecuación

Producto de Raíces:

an a0

Ejemplo: En: 4x4 + 3x3 – 2x2 + 3x – 1 = 0 Calcular :

x=2

• En la siguiente ecuación:

Sn = x1 x2 x3 .............. xn-1 xn =(-1)n

•

x= 2

Q : conjunto de los números racionales I : conjuntos de los números irracionales

a2 a0

Suma de Productos Ternarios: S3= x1 x2 x3 + x1 x2 x + ...... xn-2 xn-1 xn = -

•

S3 S4

TEOREMA SOBRE LA ECUACIÓN POLINOMIAL 1.

Toda ecuación polinomial de coeficientes racionales y de grado n ≥ 2. Que tenga una raíz de la forma: “a + b ”, donde:

∈

necesariamente al número “a 2.

-2

-5

↓

-3

↓

n− 1 + a nxn + a n− + ao 1x

1 1 1   , ,  : es a b c  2x3 + 7x2 - 5x + 1 = 0

•

Encontrar la ecuación cuyas raíces son las de la ecuación: x5 - 3x3 + 2x2 + 1 = 0, disminuidas en 1.

La ecuación de raíces multiplicadas por un valor “k” (k ≠ 0) : es decir con raíces: n −1

x  x  ao   +a 1    k     k 

TEOREMA DE BOLZANO

Dada la ecuación polinomial F(x) = 0. Donde F(x) es una función continua definida en [a : b] Si F(a) . F(b) < 0. Entonces existe al menos una solución real: x0 ∈ < a. b > / F(xo) = 0

x  + +a n −1    +a n =0  k 

y F(a)

o también: 1 + 2 + a oxn + a 1 k1 x n − a 2k 2x n − + a n kn = 0

•

b x

F(b)

Ejemplos:

1 + ±k)n − + a n− an = 0 1 (x ±k ) +

Encuentre la ecuación, cuyas raíces son las de la ecuación: x2 - x - 6=0. Multiplicadas por 2

Ejemplos: *

−

•

Halle la ecuación cuyas raíces son las de la ecuación: x2 - 2x - 8 = 0, pero aumentadas en 1 La ecuación es: (x - 1)2 - 2(x - 1) - 8 =O Encuentre la ecuación cuyas raíces son los de la ecuación x3 - 2x2 + x - 5 = 0 disminuidas en 2. La ecuación es:

Halle la ecuación cuyas raíces son las de la ecuación: x3 + 2x2 - 5 x 6 = 0 multiplicadas por 3. La ecuación es: 3

: Toda ecuación polinomial de coeficientes reales y de grado n ≥ 2 que tengan una raíz compleja de la forma ,”a + bi”

(x + 2 )3 – 2(x + 2)2 + (x + 2) – 5

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

2x3 – x + 5 = 0

x + 6x - 45x - 162 = 0

Efectuando se obtiene: x3 + 4x2 + 5x – 3 = 0 También se puede usar el siguiente método:

01. Sean: x1 . x2 . x3 raíces de la ecuación:

x +2 . 3 x + 5 . 3 x - 6 . 3 = 0 3

PRÁCTICA DE CLASE

x2 − 2x − 24 = 0

•

Calcular:

La ecuación de raíces invertidas es decir con raíces:

1 1   1 , ,   es : X 1 X 2 Xn   S4AL32B

= 0

Ejemplo: Dada la ecuación: x3 - 5x2 + 7x + 2 = 0. De raíces {a, b, c) entonces la ecuación cuyas raíces son:

La ecuación es : x2 - 21 x - 22 . 6 = 0

a + b , donde:

a − b :− a + b : − a

S4AL32B

a o (x ±k )n + a

b ”

a y b ∈ Q+∧ a , b , ab ∈ I . Tendrá como raíces necesariamente a los números:

{x1 ± k; x 2 ± k; x n ± n} : es:

I : tendrá como raíz

Toda ecuación polinomial de coeficientes racionales y de grado n ≥ 4: que tenga una raíz de la forma"

La ecuación de raíces aumentados o disminuidos en un valor “k”, es decir con raíces:

x3 + 4x2 + 5x − 3 = 0

a o x n + a 1 x n −1 + a n −1 x +a n =0 : a o ≠ 0 con raíces: { x1 . x2 ................ xn }entonces

4to. Año Secundaria

Luego la ecuación es:

TRANSFORMACIONES DE ECUACIONES: Sea la ecuación polinomial:

En: 3x5 + 10x12 - 2x10 - 25x5+ 15 = 0 Calcular: S10

a y b ∈ Q (b > 0) ∧

x=2

Observación:

Suma de Productos Binarios: S2=x1 x2+ x1 x3 + x2 x3 +...... + xn-1 xn = -

ÁLGEBRA

Donde a y b ∈ R (b ≠ 0). Tendrá necesariamente como raíz al complejo conjugado de dicha raíz es decir otra raíz será: "a - bi"

Suma de Raíces: Si = x1 + x2 + x3 + ............... + xn = -

•

4to. Año Secundaria

a) 1 d) – 3/2

x 13 +1 x1 −3 b) 2 e) 4/3

+x1 x 2 x 3 c) -2

02. Sean: a, b, y c raíces de la ecuación:

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

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4to. Año Secundaria

08. Hallar un polinomio mónico P(x) con coeficientes enteros y de menor grado posible una de cuyas

2 b2 c2 Calcular: a + + a) 5 d) – 7

b) – 5 e) 2

c) – 4

b) 180 e) N.a.

c) 400

04. En la ecuación polinomial: P(x)=x3+(m + 2) x2 + (m2 - 3) x + m2 + 2 = 0 De raíces x1 , x2 , x3. Calcular el valor de “m” de tal manera que la expresión: A=

2 + x 2 +x 2 x1 2 3

tenga el máximo

valor. a) l d) 4

b) 2 e) 5

b) ac = bd d) a+b = c+d

coeficientes en Z que acepte a 3 2 −3 3 como raíz. Hallar la suma de coeficientes de dicho polinomio. a) 165 d) 174

b) 168 e) 162

e) 170

10. Formar la ecuación de menor grado posible con coeficientes racionales, en la que una de sus raíces sea. 3 +i 2 2

a) x - 2x + 25 = 0 c) x4 + 2x2 + 25 = 0 e) x4 + 2x2 + 5 = 0

b) x + 2x - 25 = 0 d) x4 + x2 + 25 = 0

a) 12 b) 13 c) 24 d) 26 e) 28 12. Sea el polinomio: F(x) = x3+ 3x2 - 9 Además : F(m) = F(n) = F(p)= 0

06. Sabiendo que: x = c es una raíz de la ecuación ax5 + (b-ac)x4 - bcx3 - bx2-(a-bc)x+ac = 0:(a>0) ¿Qué condición deben cumplir a , b y c para que las otras raíces sean reales? b) |b| ≤ a c) |b| ≥ 2a e) 2 c = a + b

07. Indicar el menor valor que debe tener el grado del polinomio P(x). Con coeficientes reales, tal que: (2 + 3 ) sea una raíz simple, (3 + 2i) sea una raíz de multiplicidad 2 y ( raíz triple.

S4AL32B

e) - 24

11. Hallar el valor de “k” si las raíces de la ecuación: x3 - 9x2 + kx - 24 = 0 Están en progresión aritmética.

Si una de sus raíces es el negativo de otra

a) 5 d) 8

b) 24 e) - 34

09. Encontrar un polinomio mónico en "x" de

ax3 + bx2 + cx + d = 0 : a ≠ 0

a) |b| ≥ a d) |b| ≤ 2a

a) 34 d) 62

c) 3

05. Hallar la relación que debe existir entre los coeficientes de la ecuación:

a) ab = cd c) ad = bc e) a+d = b+c

3 2 + 3 . Indicar la suma de los coeficientes de este polinomio.

raíces sea:

03. En la ecuación : x3 - 63x + α = 0 Determinar un valor de α para que una de las raíces sea el doble de otra. a) 162 d) 800

ÁLGEBRA

4to. Año Secundaria

x - 4x + 2x + 4 = 0

b) 6 e) 9

2 ) sea una

 m n p   + +  np mp mn  

Calcular: F   a) – 5 d) – 2

b) – 1 e) 4

c) 2

b) 18 e) –17

a) 0,2 d) - 0,4

c) - 0,2

15. Sea la ecuación polinomial: P(x) = ax3 + x2+ x + b = 0: a ≠ 0 Determinar los valores de “a” de modo que P(x) admita una raíz real “r” de multiplicidad 2.

1 3

α∈

−∞;

α∈

−∞; −

α∈

−∞;

α∈

−∞;

−{−4 } 1 3

c) 19

Cx - Bx + A = 0 Cx3 + 2Bx2 + 4A = 0 Cx3 + 2Bx2 – 4A = 0 Cx3 - 2Bx2 + 8A = 0 Ax3 - 2Bx + 4C =O

19. Si: P(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 5)+(x - 2)(x - 4) Indicar la alternativa más correcta: a) b) c) d)

Tiene 3 raíces reales Tiene 3 raíces reales negativas Tiene 3 raíces reales positivas Tiene 2 raíces reales positivas y una es negativa e) N.a. 20. Sea el polinomio : P(x) = x3 – 3x2 + 5 Indicar si es verdadero o falso:

1 3 1 3

a) b) c) d) e)

−{0 }

I. II. III. IV.

Sólo tiene una raíz real positiva Tiene 2 raíces complejas Tiene una raíz comprendida entre <-2; - 1> Tiene un mínimo absoluto en x= 2

a) VVVF d) FVVF

α∈R

b)VFVF e)FFFV

c)VFFF

16. Si la ecuación: x4 + mx3 + 2x + n = 0 m ∧ n ∈ R; admite una raíz triple. Hallar: m2 + n3 a) 3 d) – 3

b) 4 e) –1

c) 5 TAREA DOMICILIARIA

17. Se sabe que : x1 , x2 y x3 son las raíces de la ecuación. x3 – x2 – 1 = 0. Encontrar una nueva ecuación cuyas raíces son: x1 + x2 ; x2 + x3 ; x3 + x1

01. Si: F(x) = 1 / (x 3 - 1)2 y además a, b y c son raíces de la ecuación: x3 - 3x - 1= 0 Calcular S = F(a) + F(b) + F(c) a) 1 d) 9

a) y 3 − 2 y 2 + y −1 =0 b) y 3 − 2 y 2 + y + 1 = 0

b) 3 e) N.a.

4x4 – ax3 + bx2 – cx + 5 = 0

e) y 3 −2 y 2 +y − 1 =0 18. ¿Cuál será la ecuación cúbica cuyas raíces sean el duplo de los recíprocos de cada una de las raíces de la ecuación polinomial?

a) 1/2 d) 1

b) 1/4 e) N.a.

c) 5/4

03. Halle las raíces r1 , r2 , r3 , r4 de la ecuación: 4x4 - ax3 + bx2 - cx + 5 = 0 sabiendo que son reales positivos y que:

Ax3 - Bx + C = 0 ; C ≠ 0 S4AL32B

c) 1 / 3

02. Halle las raíces r1 , r2 , r3 , r4 de la ecuación:

d) y 3 − 2 y 2 − y +1 =0

c) 7

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

b) 0,4 e) 5

c) y 3 − y 2 − y −1 =0

13. Si: (2 + i) es una raíz de multiplicidad dos del siguiente polinomio: P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + 25 Hallar: a + b + c + d Además: a , b , c , d ∈ R. a) 17 d) –18

14. La ecuación: x – 12x – 5 = 0. Contiene 2 raíces cuya suma es 2. Calcular la suma de las inversas de las otras dos.

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

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r r r + 2 + 3 + 4 =1 2 4 5 8

Indique el valor de: r4 a) 1/2 d) 1

b) 1/4 e) 2

c) 5/4

04. Determinar el polinomio P(x) de grado 7. Sabiendo que: Para: x = 3 : P(x) =P I (x)=PII (x)= PIII (x)=0 y PIV (x) ≠ 0 II) Para: x = - 2 : P(x) = 0 : PI (x) ≠ 0 III) Para: x = 4 : P(x) = 0 : PI (x) =0 : PII (x) ≠ 0 IV) P(2) = – 32 I)

Dar como respuesta el valor de P(5) a) – 112 d) – 32

b) 224 e) – 224

e) 32

4to. Año Secundaria

Hallar el valor de: ab - 9a a) c d) c2

b) – c5 e) 1

4to. Año Secundaria

Indicar (V) o (F) I) Todas sus raíces son reales II) Al menos dos raíces son complejas III) Una raíz es real a) VFF d) FFF

b) FFV e) VVV

c) FVF

09. El producto de los coeficientes de la función polinomial de menor grado que pasa por los puntos: ( 0 ; 0) ; (1 ; 1) ; (2 ; 0) y (3 ; -1) es: a) –15/4 d) –15/9

b) –14/9 e) –16/9

c) 5/9

10. La única raíz real de: x 5 + x - 10 = 0 se encuentran en: a) 〈 3/2: 7/4 〉 c) 〈 1 : 2 〉 e) 〈 1 ; 5/4 〉

b) 〈 7/4: 2 〉 d) 〈 5/4: 3/2 〉

05. Si la ecuación: x5 - 10a3x2 + b4x + c5 = 0 tiene 3 raíces iguales. 4

ÁLGEBRA

c) 0

06. Sean a . b y c raíces de la ecuación: x3 + px + q = 0 (a, b, c diferentes) expresar en términos de p y q a: M=(a – b)2 (b – c)2 (a – c)2 a) 4 p 3 + 27 q 2

b) −4 p 3 −27 q 2

c) p 3 +2 q 4

d) −p 3 +9 q 2

e) 4 p 3 −27 q 2 07. Sabiendo que: a b y c son raíces de la ecuación: x3 - 7x2 + 5x + 6 = 0 Calcular: M = (a + b – c) –1 + (b+c – a)–1 + (c + a – b)–1 a) 31/55 d) 29/155

b) 9/55 e) 27/55

e) 7/155

08. Sobre la ecuación: P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + c = 0 Donde: 2a2 < 3b ∧ {a, b, c, d, e}⊂ R S4AL32B

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

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“El nuevo símbolo de una buena educación...."