COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
3er. Año Secundaria
01
ALGEBRA
02
II
x 4 -1
MCD - MCM -
Sean A y B dos expresiones algebraicas primas entre si:
(x2 +1); (x +1);(x - 1);(x2 +1)( x + 1); (x 2 + 1)(x - 1);(x + 1)(x - 1); (x 4 - 1)
M.C.D (A: B) =1
x3-1 → (x-1) ; (x2+x+1) ; (x3-1)
I. OBJETIVOS ESPECÍFICOS
II. COMENTARIO PREVIO Para determinar el Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo de dos o más expresiones algebraicas , vamos a utilizar nuestros conocimientos adquiridos en la factorización de polinomios, tal como podremos observar en los ejemplos planteados. III. CONTENIDO TEÓRICO : 1.-MAXIMO COMUN DIVISOR (M.C.D) Antes de dar la definición, es necesario enfatizar lo siguiente : * El factor o divisor de una expresión algebraica entera, es otra expresión algebraica entera que la divide exactamente. * El divisor común de dos o más expresiones algebraicas, es otra expresión algebraica entera que divide exactamente a cada una de ellas. DEFINICION: El máximo común divisor de dos o más expresiones algebraicas, es la expresión algebraica entera de mayor grado que divide exactamente a cada una de ellas.
S3AL32B
M.C.M(A:B) = A . B
(x-1)2 → (x-1) ; (x-1)2
* Determinar los divisores comunes en las expresiones algebraicas participantes, así mismo el reconocimiento de los múltiplos comunes a ellos.
Ejemplo
3er. Año Secundaria
DIVISORES ALGEBRAICOS
EL M.C.D. es : (x - 1)
2. MINIMO COMUN MÚLTIPLO ( M. C. M) * El múltiplo de una expresión algebraica entera, es otra expresión algebraica que es divisible entre la expresión dada inicialmente. * Se llama múltiplo común de dos o más expresiones algebraicas, a toda expresión algebraica que es divisible entre cada una de las expresiones dadas inicialmente . DEFINICION: El mínimo común múltiplo de dos a más expresiones algebraicas enteras es la expresión algebraica entera de menor grado que es divisible entre cada una de las expresiones dadas. Ejemplo : x4 - 1→
(x4 - 1) ; (x4 - 1)(x - 1); (x4 - 1) (x - 1) (x2 + x + 1)......
MULTIPLOS ALGEBRAICOS
3. PROPIEDADES a) Si dos o más expresiones algebraicas son primos entre sí, entonces su M.C.D. es la unidad y su M.C.M. es el producto de ellos. “El nuevo símbolo de una buena educación....”
c) (x + 1)
02. Si el MCD de: P(x) = x(x + 1) (x - 2) (x - 1) Q(x)= x3 - 3x + 2
a) x = 1 d) x = 3
b) x = -1 e) x = -2
c) x=3 ó x = 2
M.C.D (A:B) . M.C.M.( A:B) = A . B 4. PROCEDIMIENTO PARA HALLAR EL M.C.D. Y EL M.C.M. POR DESCOMPOSICION DE FACTORES. Para calcular el M.C.D. y el M.C.M. de expresiones algebraicas enteras por el método de la descomposición en factores, es importante que se utilice correctamente las definiciones expuestas anteriormente y según el siguiente procedimiento: a) Se descomponen las expresiones dadas en sus factores primos(se factoriza). b) El M.C.D. se determina multiplicando los factores comunes afectados con su menor exponente. c) El M.C.M. se determina multiplicando los factores comunes y no comunes afectados con su mayor exponente.
03. El MCD y el MCM de dos polinomios son respectivamente: MCD (A, B) = x2 + 3x + 2 MCM (A, B) = (x+5) (x+1) (x+2) (x+3) si uno de los polinomios es: P(x) = (x+1) (x+2) (x+3). Hallar el otro polinomio. a) (x+1) (x+5)2 c) (x+1) (x+2) (x+5) e) (x+3) (x+5)
2
A = 24 x yz 3
5
05. Si el MCD de: A = x5 - 2x3 + 2x2 - 2x+1 B = x3 - x2 - 4x + 4
donde 24 = 2 . 3 216 = 2 3. 3
B = 216 x yz
b) (x-2) (x-1)4 d) (x+4) (x+2) (x-1)2
a) (x-2) (x-1) c) (x-2)3 (x-1) e) (x+3) (x+1)5
3
7
b) (x+2) (x+5) d)(x-1)(x+2)2(x+5)4
04. Hallar el MCD de: A = x5 -2x4 - x+2 B = x4 - 7x3 + 18x2 - 20x + 8
Ejemplo 1.- Sean los monomios :
se iguala en cero, entonces:
3
C = 480 x 4 y 2
480 = 2 5. 3.5
Entonces : El M.C.M. (x4-1)(x-1)(x2+x+1) ≡ (x3-1)(x+1)(x2+1); ≡(x-1)2(x+1)(x2+1)(x2+x+1)
b) (x + 1)2 (x - 3) e) (x + 1) (x - 1)
Se iguala 2, entonces:
b) Si A y B son dos expresiones algebraicas enteras, se cumple :
x3 -1→ (x3-1); (x3-1) (x+1) ; ( (x3-1) (x+1) (x-1); (x3-1) (x+1) (x-1) (x2+1)......... (x-1)2→ (x-1)2 ; (x-1)2 (x+1) ; (x-1)2(x+1)(x2+1); (x-1)2 (x+1) (x2+1) (x2+x+1)........
a) (x + 2) d) (x2 + 3)
M.C.D. = (23) (3)x2 y = 24x2 y M.C.D. =(25) (33) (5) x4 y2 z7=4320 x4 y2
PRACTICA DE CLASE 01. Hallar el MCD de A y B; siendo: A = x3 - 7x - 6 ; B = x4 + 2x2 - 3 S3AL32B
a) x =-1 d) x=4
b) x = 0 e) x=1
c) x =2
06. Hallar el MCD de los polinomios: A = x3 + 2x2 + 2x+1 B = x4 - 1 C = x2 + 4x + 3 a) x+1 d) x+4
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
b) x+2 e) x+8
c) x+3