Algebra 3° 2b

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

3er. Año Secundaria

01

ALGEBRA

02

II

x 4 -1

MCD - MCM -

Sean A y B dos expresiones algebraicas primas entre si:

(x2 +1); (x +1);(x - 1);(x2 +1)( x + 1); (x 2 + 1)(x - 1);(x + 1)(x - 1); (x 4 - 1)

M.C.D (A: B) =1

x3-1 → (x-1) ; (x2+x+1) ; (x3-1)

I. OBJETIVOS ESPECÍFICOS

II. COMENTARIO PREVIO Para determinar el Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo de dos o más expresiones algebraicas , vamos a utilizar nuestros conocimientos adquiridos en la factorización de polinomios, tal como podremos observar en los ejemplos planteados.

III. CONTENIDO TEÓRICO : 1.-MAXIMO COMUN DIVISOR (M.C.D) Antes de dar la definición, es necesario enfatizar lo siguiente : * El factor o divisor de una expresión algebraica entera, es otra expresión algebraica entera que la divide exactamente. * El divisor común de dos o más expresiones algebraicas, es otra expresión algebraica entera que divide exactamente a cada una de ellas.

DEFINICION: El máximo común divisor de dos o más expresiones algebraicas, es la expresión algebraica entera de mayor grado que divide exactamente a cada una de ellas.

S3AL32B

M.C.M(A:B) = A . B

(x-1)2 → (x-1) ; (x-1)2

* Determinar los divisores comunes en las expresiones algebraicas participantes, así mismo el reconocimiento de los múltiplos comunes a ellos.

Ejemplo

3er. Año Secundaria

DIVISORES ALGEBRAICOS

EL M.C.D. es : (x - 1)

2. MINIMO COMUN MÚLTIPLO ( M. C. M) * El múltiplo de una expresión algebraica entera, es otra expresión algebraica que es divisible entre la expresión dada inicialmente. * Se llama múltiplo común de dos o más expresiones algebraicas, a toda expresión algebraica que es divisible entre cada una de las expresiones dadas inicialmente .

DEFINICION: El mínimo común múltiplo de dos a más expresiones algebraicas enteras es la expresión algebraica entera de menor grado que es divisible entre cada una de las expresiones dadas.

Ejemplo : x4 - 1→

(x4 - 1) ; (x4 - 1)(x - 1); (x4 - 1) (x - 1) (x2 + x + 1)......

MULTIPLOS ALGEBRAICOS

3. PROPIEDADES a) Si dos o más expresiones algebraicas son primos entre sí, entonces su M.C.D. es la unidad y su M.C.M. es el producto de ellos.

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

c) (x + 1)

02. Si el MCD de: P(x) = x(x + 1) (x - 2) (x - 1) Q(x)= x3 - 3x + 2

a) x = 1 d) x = 3

b) x = -1 e) x = -2

c) x=3 ó x = 2

M.C.D (A:B) . M.C.M.( A:B) = A . B 4. PROCEDIMIENTO PARA HALLAR EL M.C.D. Y EL M.C.M. POR DESCOMPOSICION DE FACTORES. Para calcular el M.C.D. y el M.C.M. de expresiones algebraicas enteras por el método de la descomposición en factores, es importante que se utilice correctamente las definiciones expuestas anteriormente y según el siguiente procedimiento: a) Se descomponen las expresiones dadas en sus factores primos(se factoriza). b) El M.C.D. se determina multiplicando los factores comunes afectados con su menor exponente. c) El M.C.M. se determina multiplicando los factores comunes y no comunes afectados con su mayor exponente.

03. El MCD y el MCM de dos polinomios son respectivamente: MCD (A, B) = x2 + 3x + 2 MCM (A, B) = (x+5) (x+1) (x+2) (x+3) si uno de los polinomios es: P(x) = (x+1) (x+2) (x+3). Hallar el otro polinomio. a) (x+1) (x+5)2 c) (x+1) (x+2) (x+5) e) (x+3) (x+5)

2

A = 24 x yz 3

5

05. Si el MCD de: A = x5 - 2x3 + 2x2 - 2x+1 B = x3 - x2 - 4x + 4

donde 24 = 2 . 3 216 = 2 3. 3

B = 216 x yz

b) (x-2) (x-1)4 d) (x+4) (x+2) (x-1)2

a) (x-2) (x-1) c) (x-2)3 (x-1) e) (x+3) (x+1)5

3

7

b) (x+2) (x+5) d)(x-1)(x+2)2(x+5)4

04. Hallar el MCD de: A = x5 -2x4 - x+2 B = x4 - 7x3 + 18x2 - 20x + 8

Ejemplo 1.- Sean los monomios :

se iguala en cero, entonces:

3

C = 480 x 4 y 2

480 = 2 5. 3.5

Entonces : El M.C.M. (x4-1)(x-1)(x2+x+1) ≡ (x3-1)(x+1)(x2+1); ≡(x-1)2(x+1)(x2+1)(x2+x+1)

b) (x + 1)2 (x - 3) e) (x + 1) (x - 1)

Se iguala 2, entonces:

b) Si A y B son dos expresiones algebraicas enteras, se cumple :

x3 -1→ (x3-1); (x3-1) (x+1) ; ( (x3-1) (x+1) (x-1); (x3-1) (x+1) (x-1) (x2+1)......... (x-1)2→ (x-1)2 ; (x-1)2 (x+1) ; (x-1)2(x+1)(x2+1); (x-1)2 (x+1) (x2+1) (x2+x+1)........

a) (x + 2) d) (x2 + 3)

M.C.D. = (23) (3)x2 y = 24x2 y M.C.D. =(25) (33) (5) x4 y2 z7=4320 x4 y2

PRACTICA DE CLASE 01. Hallar el MCD de A y B; siendo: A = x3 - 7x - 6 ; B = x4 + 2x2 - 3 S3AL32B

a) x =-1 d) x=4

b) x = 0 e) x=1

c) x =2

06. Hallar el MCD de los polinomios: A = x3 + 2x2 + 2x+1 B = x4 - 1 C = x2 + 4x + 3 a) x+1 d) x+4

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

b) x+2 e) x+8

c) x+3

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

P(x) = x3 -xy2 + x2y - y3 Q(x) = x3 - xy2 - x2y + y3 R (x) = x4 - 2x2y2 + y4

Para: x = b) (x + 2y) (x - y) d) (x + y) (x +4y)

a) x (x + a)2 (x - a) (x2 + a2) b) x (x - a)2 (x + a) (x2 + a2) c) x (x - a) (x + a)2 (x2 + a2) d) x (x - a) (x + a)2 (x2 -a2 + ax) e) x (x + a) (x - a) (x2 + a2)

b) (a+b)(a+1) e) a2 - 1

c) (a+1)

d) -3

e)

1

c)

−1

3

S3AL32B

b) –x + 2 e) 0

b) 4 e) 1

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

a) 2 d) 5

4

2

c) 3

c) 4x + 1

b) 3 e) 6

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

a) x + x + 5 d) x2 – x + 1

02. Si el MCD de los polinomios: M(x,y) = 48 xn-2 y m+1 2n N(x,y) = 72xn-1 y m-1

b) 2 e) 8

a) 0 d) -4

b) 2 e) 5

a) x + y d) (x + 4)2

c) 3

c) x2 – y2

b) x - y e) (x-y)2

c) 3

b) 4 e) 10

c) 6

05. Dado tres polinomios: A, B y C se conoce que el MCD de los dos primeros es (x 2 - 1), mientras que el MCD de los últimos es (x+1)2 El MCD de los 3 polinomios es:

c) 4

a) x3 – x2 + 1 b) x3 + x + 1 c) x6 + x5+2x4+3x3+2x2+2x+1 d) x6 – x5 + 2x – x3 + 2x2 – 2x + 1 e) x3 + x - 1 07. El MCD de los sgtes, polinomios: A = x5 + 3x4 + 6x3 + 4x2 + 8x + 5 B = x4 + 2x3 + 3x2 – 2x + 5 S3AL32B

a) x3-x2 + 1 d) x3+x - 1

b) x3+x2-1 e) x3 – x – 1

c) x3-x+1

09. Hallar el MCD de A, B y C A = x5 + x + 1 B = x 8 + x4 + 1 C = x6 - 1 a) x2 + x + 1 d) x - 1

b) x2 – x – 1 e) x2 - 1

c) x + 1

10. Si: Q(x) = x3 – x2 – 9x + 9 es el MCM de los polinomios:

El cuadrado de su MCD es: a) x2 – 2x-1 d) (x+2)2

b) x2+2x + 1 e) (x+3)2

c) x2 – 2x + 1

c) x2 - 1

b) x + 1 e) N.A.

06. El MCM de los siguientes , polinomios: A = x4 + x3 + x2 + 2x+1 B = x5 + 2x3 + x2 + x + 1; es:

c) 4

c) x2 + 3x + 5

P1 = x2 + 2x – 3 P2 = x2 + bx + 3,

El valor de (m+n) es:

a) x- 1 d) (x+1)2 (x-1)

b) x3 + x + 1 e) x2 – 3x + 5

08. El MCD de los polinomios: A = x6 + x4 + x – 1 B = x6 – 2x3 – x2 + 1, es:

03. Hallar el MCD de los polinomios: P(x,y) = x4+xy3 + x3y + y4 Q(x,y) = 3x3 + 5x2y + xy2 – y3 R(x,y) = x4 + 3x3y + 3x2y2 + xy3

a) 2 d) 9

01. Hallar La suma de los coeficientes del MCD de los Polinomios: P(x) = x3 + x2 + x + 1 Q(x) = x3 + 3x2 + 5x + 3 a) 0 d) 6

3er. Año Secundaria 2

04. Sabiendo que el MCD de los polinomios: 2x 3 – x2 + 3x+m, y x3 + x2 + n es: x2 – x + 2

TAREA DOMICILIARIA

11. Se sabe que el producto de multiplicar el M.C.D. y MC.M. de dos polinomios en x es (x5 – x3) y además, la suma de dichos polinomios es (x3+x2 - 1). Hallar el residuo de dividir el M.C.M. entre x2 + 2 a) 5x - 1 d) 6x

c) 2-2

15. Determinar el grado de M.C.M de los polinomios: A(x) = x2 – 15x + 36 B(x) = x2 – 9 C(x) = x3 + 6x2 – 63x + 108

P(x) = x4+mx-9x2+n y otro Q(x) cuyo M.C.D. (P,Q) = x2 – 5x + 6 Calcular: m/n b) -2

2

P(x) = x5 – x3 + x2 – 1 Q(x) = x6 - 1

10. Sean los polinomios:

2

b) 5+3 e) -2

14. Determinar el número de factores primos del M.C.M. de los polinomios

Q(a,b)=ab(ab+a+b+2)+a+b+1 R(a,b)=ab[a(a+1)+b(a+1)+1]+a2+ a+b S(a,b)=[a2b-a+a2-b+ab2-b2] (a+1)

a)

2

a) 5 d) 2

09. Hallar el MCD de los Polinomios:

1

a) 4 d) 4

ALGEBRA

02

Es 12x2y3; entonces: m2 – n2 es:

2 +1

13. Hallar el M.C.M. de los siguientes polinomios P(x) = 2x4 – x3 – 3x2 + 3x – 9 a(x) = 10x3 – 9x2 + 17x – 6 Dar como respuesta la suma de las coeficientes

08. Hallar el MCM de los polinomios: A = x5 - ax4 - a4x + a5 B = x4 - ax3 - a2x2 + a3x

a) a(a+1) d) (a+b+1)

01

12. Hallar el valor numérico del M.C.D. de los polinomios F(x) = x6+2x5 + x4 + x +1 P(x) = 2x4 + 7x3 + 9x2 + 7x + 2

07. Hallar el MCD de:

a) (x + y) (x - 3y) c) (x - y) e) (x + y) (x - y)

3er. Año Secundaria

FACTORIAL DE UN OBJETIVOS ESPECIFICOS: ESPECIFICOS * Conoce una nueva operación matemática. * Determina el factorial de un número natural. * Resuelve ejercicios referidos a factoriales haciendo uso de las propiedades estudiadas.

COMENTARIO PREVIO: El presente módulo comprende el estudio de una nueva operación matemática denominada factorial, el cual se refiere a determinar el

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN resultado del producto de los números naturales consecutivos desde el 1 hasta el número indicado.

Pero ¿ Para que nos va a servir esta nueva operación matemática? Pues bien esta operación se va a utilizar como un apoyo en la potenciación de polinomios.

CONTENIDO TEÓRICO 1. Factorial de un número El factorial de un número natural “n” es el producto de todos los números naturales consecutivos desde 1 hasta “n”.

La simbología a utilizar será: n! = n n! = n

3er. Año Secundaria n! = (n – 3)! . (n – 2) . (n – 1) . n

3. Cofactorial o semifactorial Sea “n” un número entero positivo, el cofactorial o semifactorial de”n” se denota por n!! ó n y se define: Para “n” par: 8!! = 2 x 4 x 6 x 8 20!! = ………………… b. Para “n” impar: 7!! = 1 x 3 x 5 x7 19!! = …………………

Luego:

7! ...... ∃ 4 2.

(2/5)! ........ ∃ /

El factorial de un número natural puede expresarse en función del factorial de otro número natural menor.

7! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 7! = 6! x 7 Luego:

1x3x5x...x n

si “n” es impar

2x4x6x...x n

si “n” es par.

Relación entre el cofactorial y el factorial de un número.  Si el número es par:



Si el número es impar:

n=0 ó

n=1

Asimismo: 7! = 4! x 5 x 6 x 7 Luego se concluye: S3AL32B

C=

2n n Observaciones: • 3! = 6  factorial de 3 • 3!! = 3  cofactorial de 3 • 3 !!!  no existe definición • (3!)! = 6! =720 factorial del factorial de 3 • ((3!)!)! = ( 6!)! = 720!

• 3 !!! ≠ (( 3! )!)!

Ejemplo:

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

;

34! + 35!

Calcula: A x B x C 36!

Resolución Aplicando las propiedades estudiadas y reduciendo términos tendremos:

03. Para qué valor de “n” se cumple: 12n! + 5(n + 1)! = (n + 2)! a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

04. Sí:(x +1)! – x! = 18; el valor de (x + 1)! + x! es: a) 24 d) 54

b) 36 e) 60

c) 30

05. Reduce:

6!+ 6! x 7 + 6! x 7 x8 6!(1 + 7 + 56) = (1!+2!+3!)(2!+3!+4!)(3!+4!+5!)...n 6!+ 6! x 7 6!(1 + 7x) = (1!+2!)(2!+3!)(3!+4!)...nfactor 06. Simplifica:

69! x 70 x71 70 x 71 B= = = 70 69!(1 + 70) 71

C=

34! (1 + 35) 36 1 = = 34! x35 x36 35 x36 35

el

equivalente

b) 0,001 e) N.A.

de:

c) 0,005

S3AL32B

N = 1! + 2! + 3! + 4! + 5! + ......+ 50!

1!+2!+3!

25!

25!+26!+27!

10. Halla “n” en:

( n + 5)! .(n + 3)! = 24 ( n + 3)!+ ( n + 4)! b) 3 e) N.A.

07. Halla “x” en:

09. Calcula el valor de E:

02. Calcula el valor de n en:

a) 0 d) 1

2 x 4 x 6 x8 x....x1000 3 x 6 x9 x12 x...x1500

08. En qué cifra termina N?

2000!+199!

R= 201!

a) 0,01 d) 0,05

500

1(1!)+2(2!) + 3(3!) +.... + x(x!) = 19! – 1

Luego: A x B x C = 8 x 70 x 1/35 = 16

01. Hallar

(2n-1)!! = 2n-1 =

De la relación anterior, se concluye:

Observación: Sí n!=1, cabe dos posibilidades para n:

71!

69!+70!

6!+7!+8!

6!+7!

PRACTICA DE CLASE

2n

1! = 0! = 1

B=

(2n)!! = 2n = 2n n

n! = (n – 1)! . n

Para n=1⇒1!=0!x1 ⇒

A=

A = 64/8 = 8

n!! = n = 4.

3er. Año Secundaria

Si

A=

a.

n ≥1

Los factoriales sólo están definidos para los números naturales. Así: / 0! ...... ∃ 2½ ................. ∃ / 3! ...... ∃ (-6)! ................. ∃

ALGEBRA

02

4. En factoriales se debe recordar lo siguiente: (a ± b)! ≠ a! ± b! (a . b)! ≠ a! . b! (a/b)! ≠ a! / b!

2. Propiedades del factorial de un número 1.

a! = b! ⇒ a = b

3. Si:

= 1 x 2 x 3 x . . . x (n-1) x n

∀ n ∈ N Λ

01

c) 2

( n + 6)!+( n + 7)!+( n + 8)! = 48 ( n + 6)!+( n + 7)!

TAREA DOMICILIARIA

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

3er. Año Secundaria

01

01. Reduce la siguiente expresión:

b) (2n). n! e) N.A.

ALGEBRA

Esta importante notación conocida como coeficiente binomial, se define de la siguiente manera: Si “n” es un número real y “r” un número natural, la notación coeficiente binomial

c) 2n . n!

13.14.............60 20.21.22........60 b) 19!/12! e) 19! - 12!

c) 19!

denotado por

03. Hallar n Si: [(n! + 2)! – 4] ! = 20!

04. Sabiendo

( x + 7)! ( x + 5)! = 15! ,el ( x + 6)! + ( x + 5)!

3(3n 2 +10n + 8)(3n + 5)!(3n + 4)! = 108!

(3n + 5)! − (3n + 4)!

COEFICIENTE

E=2(2!)+4(2!)+6(3!)+8(4!)+ ... + 2n(n!)

. Se lee: “coeficiente n, r”

∧

 n   = 1  0

Teorema del coeficiente binomial

  "rfactores    n n( 1(n−− 2) ). ( − rn + 1)   =  r 1x2 3x. r

valor

05. Calcula “n” en:

06. Hallar el equivalente de:

 n    r

 n   = 1  n

y está definida por:

que:

de“x”es :

OBJETIVOS ESPECIFICOS: ESPECIFICOS * Define, conoce y aplica las propiedades del coeficiente binomial o número combinatorio para su posterior aplicación en la solución de problemas.

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

El siguiente teorema, permite evaluar

 n    r S3AL32B

 n    r

de

otra manera: Si “n” es un entero positivo, “r” es un entero no negativo y 0 ≤ r ≤ n, se verifica que:

  "rfactores  n n( 1)(nn −− 2). (n− r+ 1) n!   = = r 1x23x. r r!(n− r)!

Puede comprobarse que el número de factores que hay en el numerador de ésta relación, coincide con “r”. índice superior

COMENTARIO PREVIO: En la sesión anterior conocimos la gran importancia de las variaciones, permutaciones y combinaciones. Ésta última tiene muchas aplicaciones en las soluciones de problemas que involucren a la potenciación de polinomios.

Pues conozcamos a continuación sus aplicaciones.

S3AL32B

Propiedad:

Coeficiente binomial

02. Simplifica:

a) 19/12 d) 12!

3er. Año Secundaria

CONTENIDO TEÓRICO

E = 2 x 4 x 6 x 8 x. . .x 2n a) n! . nn d) 2n

02

índice inferior

La expresión propuesta es semejante al cálculo del número de combinaciones de “n” objetos tomados de “r” en “r”, por lo que a este coeficiente binomial n, r también se le llama número combinatorio n, r.

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN Una notación equivalente a la ya establecida es:

C rn , Donde “n” recibe el nombre de

la base y

“r” el de orden.

 n   =  r

3er. Año Secundaria

01

3º La suma de todos los números combinatorios de igual índice, cuyos órdenes varían desde cero hasta la propia base, vale 2 elevado a dicha base: m C0m +C1m +... +Cm =2 m

C

4º Degradación de índice: Consiste en descomponer un número combinatorio en otro que tenga como índice superior e inferior el inmediato anterior. Es decir:

n← Base r← orden

Propiedad de los números combinatorios 1º Los números combinatorios complementarios, son aquellos que tienen igual base y la suma de las órdenes coincide con dicha base.

Se verifica que los números combinatorios complementarios son iguales. m C nm =C m −n

C rn =

C rn = Crn =

C

=C

100 2

C

m n− 1

+C

m n

=C

m+ 1 n

n C rn −1 n −r

b)

C513

d)

C712

e)

C813

a) 5 d) 9 06. Sí:

b) 6 e) 8

01. Calcula “n” en: a) -22/7 d) 3

b) 7 e) N.A.

b) 2 e) 5

C

2n p −2

a) 4,6 d) 5,5

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

=C

b) 6,4 e) 3,6

2n 10 − p

c) 8,10

01.

 a   = 15  b

S3AL32B

∧

a) 1/3 d) 5/3

b) 1/5 e) 1/15

c) 3/5

03. ¿ Para qué valor de “n” se cumple: 4

C3n +1 + C3n + C3n +2 = 1331

a) 10 d) 13

b) 11 e) 14

c) 12

04. Reduce: (r ≤ n – 1) c) 3

 n +1  n −1  n   n −1   +   +   +    r +1   r −1   r −1  r 

C7n−5 = 16 C4n−8 b) 18 e) 20

c) 216

16 16   +   1  2 18 17   −  15 15

c) 2

c) 21

n + 2    r +1 

a)  

TAREA DOMICILIARIA

c) 22

b) 96 e) N.A.

c) 13

PRACTICA DE CLASE

C 2n + C3n +1 7 = 5 C 4n + 2

a) 24 d) 864

C713

2 C815 + 8 C715 2 C715

a) 16 d) 19

a.b es igual a:

02. Reduce: c)

18 C18 = C x +2 , el valor de “x” es: x

a) 1 d) 4

=C

2 x −Entonces 21 21

Hallar: 2n-1 b) 15 e) 7

08. Resuelve:

03. Calcula “x” en: S3AL32B

C613 es:

C714

C 2n = 10;

2 x −21 22

c) 20

a)

05. Sí:

+C −C x 21

b) 19 e) 21

07. Simplifica:

02. Calcula “n” y “p” en la siguiente igualdad:

6 x5 x 4 = 20 1x 2 x3

+C

x −2 21

04. Un valor equivalente a

n −r +1 =Crn−1 r

Ejemplo:

C25 + C35 = C36 =

+C

3er. Año Secundaria

x −1 22

a) 4 d) 10

100 x99 = = 4950 1x 2

2º La suma de dos números combinatorios de igual base, cuyas órdenes difieren en una unidad, es igual a otro número combinatorio cuya base es la de los sumandos aumentado en una unidad y cuyo orden es el mayor de los órdenes:

x −2 20

a) 18 d) 22

n n −1 C r −1 r

Ejemplo: 100 98

C

Ejemplo:

C04 + C14 + C 24 + C34 + C 44 = 2 4 = 16

ALGEBRA

02

a! = 360 ( a −b )!

n + 2  r +2    n + 3 d)  r + 2    

n + 2   c)  r 

b)  

e) N.A.

05. Calcula: “n + k” de:

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

3er. Año Secundaria

DESARROLLO DE LA POTENCIA DE UN BINOMIO CON EXPONENTE NATURAL (n ∈ IN): BINOMIO DE NEWTON

a) 15 b) 8 c) 12 d) 9 e) 17 06. Halla el valor de “n” en la siguiente igualdad:

C 4n = 5 C3n −1

a) 6 d) 12

b) 8 e) 5

c) 10

07. Calcula el valor de “x” en:

(C

m+ 2 x +1 m +1 2 x

(C ) a) 12 d) 6

−C

)C

m +1 x m+2 x +1

−C

m x −1 m x −1

.C

b) 10 e) 5

= 2 x − 12 c) 8

POTENCIACIÓN DE OBJETIVOS ESPECIFICOS: ESPECIFICOS * Desarrolla correctamente la potenciación de un binomio, haciendo uso de los coeficientes binomiales. * Determina el término que ocupa un determinado lugar en el desarrollo de dicha potencia. * Resuelve ejercicios y problemas referidos al binomio de Newton.

COMENTARIO PREVIO: El Binomio de Newton recibe el nombre de Isaac Newton (1642 – 1727), que ha sido el más grande los matemáticos ingleses y uno de los mayores científicos de la humanidad.

En este módulo introducimos las combinaciones de “n“ elementos tomados de “r” en “r“ para denotar los coeficientes de los términos del desarrollo del binomio.

Estos valores funcionando como coeficientes del desarrollo del binomio, son llamados números combinatorios.

CONTENIDO TEÓRICO 1. POTENCIACIÓN: BINOMIO DE NEWTON La potencia de un binomio es un polinomio que se denomina desarrollo binomial o de Newton. Así tenemos: 1

(x + a) = x + a (x + a)2 = x2 + 2xa + a2 (x + a)3 = x3 + 3x2 a + 3xa2 +a3 (x + a)4 = x4 + 4x3 a + 6x2 a2 +4xa3 +a4 : : : :

S3AL32B

3er. Año Secundaria

Veamos a continuación el desarrollo de los diversos tipos de exponentes que pueden afectar al binomio.

 22   21  7  2k   = 11   2k −1  ∧      4n   2n  3 3   = 28  2      

2

ALGEBRA

02

01

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

( x + a ) n = x n + nx n −1 a +

El 4to coeficiente: Generalizando:

Coeficiente de un término = cualquiera

n( n −1) n −2 2 x a + ... + a n 1.2

6.2 =4 2 +1

Exponente de la 1ra base del término anterior

Coeficiente del término anterior

Exponente de la 2da base del término anterior

+1

o también: METODO 2

1 2 (x + a) = C0n .x n + C1n .x n − a + C 2n .x n − a2 + ... + C nn .a n

Como

( ) =C n k

n k

TRIÁNGULO DE PASCAL

; entonces también se podría

expresar haciendo uso de los coeficientes binomiales:

 ( x + a) n =     

n 3

n 0

 n  .x +   

n 1

 n −1  .x a +   

n 2

 n−3 3    n −1  . x a + ..... +   . xa +    n −1   n

Si distribuimos en línea los coeficientes del desarrollo del binomio para sus potencias consecutivas, toma la forma geométrica de un de Pascal o de Tartaglia en honor a  n −triángulo 2 2 +  . x susa descubridores.

 n n

FORMAS PRÁCTICAS DE DEDUCIR DIRECTAMENTE EL DESARROLLO DEL BINOMIO Veamos los siguientes ejemplos: MÉTODO 1 Desarrollar : (x + a)4

Veamos

 (xn + a)0 .a  (x + a)1 (x + a)2 (x + a)3

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

1 11 12 1 13 3 1

(x + a)4

⇒

14 6 4 1

(x + a)

5

⇒

1 5 10 10 5 1

(x + a)

6

⇒

1 6 15 20 15 6 1

(x + a)

7

⇒

1 7 21 35 35 21 7 1

:

Solución : x 4 + 4 x3 a + 6 x 2 a 2 + 4 xa 3 + a 4

:

S3AL32B

4 .3 =6 1 +1

:

:

También: 1

Nótese que cualquier coeficiente es igual al producto del coeficiente anterior por el exponente de “x”, dividido entre el exponente de “a” previamente aumentado en 1.

Así: El 3er coeficiente:

:

1 1 1 1

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

1 2

3 4

1 3

6

1 4

1

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 1

5

10

10

5

3er. Año Secundaria

1

En donde un coeficiente cualquiera es igual a la suma de los dos que están encima de él en la fila anterior.

Ejemplo. Halla el desarrollo de (x + y) 1 1

1

1

2

1

1

3

1

5

4

6

potencias con exponentes pequeños, caso contrario habría que emplear la forma general. ♦

Si los términos del binomio están ligados con el signo "−", los términos del desarrollo estarán ligados en forma alternada con los signos + , −. ( x − a ) n = x n − nx n −1 a +

3

1 4

01

3er. Año Secundaria * La suma de los coeficientes de (x – a)n es cero.

Resolución

Tk + 1; entonces k = 6, luego de la fórmula se obtiene:

(

10  T7 =   2 x 3 6

n( n −1) n −2 2 x a −... ± a n 1.2

o también:

1

ALGEBRA

02

)

10−6

* En general la suma de los coeficientes del

desarrollo de la potencia de un binomio se obtiene reemplazando a las variables que aparecen en la base por la unidad.

6

1  .  y4  4  

P(x ; a) = (px ± qa)n ⇒ P(1;1) = (p ± q)n 2. DESARROLLO DE LA POTENCIA DE

T7 =

10.9.8.7.6.5 .( 2 4 x12 )2 −12 y 24 UN BINOMIO CON EXPONENTE NEGATIVO Y/O FRACCIONARIO. 1.2.3.4.5.6

T7 =

105 12 24 x .y 128

1 ( x −a ) n =C 0n .x n − C1n . x n − a +C 2n .x n −2 a 2 − ... ±C nn .a n

1

5

10

10

5

1

Luego: (x+y) 5=x5+5x4y+10x3y2+10x2y3+5xy4+y5

TÉRMINO GENERAL DEL DESARROLLO DE LA POTENCIA DE UN BINOMIO

Además obsérvese estos detalles del triángulo: 4

C14

6

Que

en

C 24

Para: (x ± a) , se tiene que: n

tk + ± ( 1 =

n k

C25

10 realidad

comprueban

que:

particular

de:

C14 + C24 = C25 Es

un

c

n −1 r −1

caso n −1

Siendo los de lugar: IMPAR ⇒ positivo lugar: PAR ⇒ negativo

n

+ cr = cr

)x

n− k

a

(k + 1) → lugar que ocupa el término → combinación de “n” elementos tomados

n → exponente

5

5

5

5

5

0

1

2

3

4

5

c +c +c +c +c +c

= 25

Son una prueba de que la suma de los coeficientes de la fila n, es igual a 2n.

a → segundo término del binomio

( x + a) n =

( )

Ejemplo: Halla el séptimo término del desarrollo

Observación:

Tanto el método (1) como el método (2) son viables o factibles de emplear para “El nuevo símbolo de una buena educación....”

n 0

n

+

( ). x n 1

n −1

.a +

( ). x n 2

n −2

.a

De acuerdo con lo expuesto en la teoría se deberá plantear:

* La suma de los coeficientes de (x + a)n es: 2 n =C0n +C1n +C2n +.... +Cnn

S3AL32B

términos

Ejemplo.

Hállese los tres primeros términos de la −1 / 3 expansión de: (1 −x )

t 10 final = t 940+1 = c 940 . y 40 −9 = C 940 . y 31 x 9 Resolución

 3 1 4 2 x − y  4  

( ). x

n +3 . x n −3 .a 3 +.....

k → lugar del término buscado menos 1

de:

n n −1 n( n −1) n −2 2 x a+ x a + ...

1 1.2

Su desarrollo admite infinitos pudiéndosele llamar Serie binomial..

Solamente intercambiamos las bases (y + x) 40 y aplicamos la fórmula del término general.

del binomio

10

Observación:

( x + a) n = x n +

Ejemplo: Calcular el t10 a partir del extremo final de: (x + y) 40 Resolución

x → primer término del binomio 5

S3AL32B

Es necesario y suficiente intercambiar simultáneamente las bases y aplicar la fórmula conocida del término general.

de “k” en “k”

Además: 1+5+10+10+5+1= 32 = 25 ó

♦

TÉRMINO GENERAL DEL DESARROLLO DE LA POTENCIA DE UN BINOMIO CONTADO A PARTIR DEL EXTREMO FINAL

k

Donde :

n   k

En la primera parte del módulo se estudió el Teorema del binomio cuando el exponente es un número entero y positivo cualquiera, ahora se trata de hallar la fórmula para exponente negativo y/o fraccionario.

(1 − x )

1 − 3

1

 −1 / 3   −1 / 3  − −1 =  (1) −1 / 3 +   (1) 3 x + ...  0   1 

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

3er. Año Secundaria

01

Así como se puede hallar el término que uno desee en la potencia de un binomio, se puede hallar un término cualquiera en la potencia de un polinomio, aplicando la llamada fórmula de − 1 − 1    − 1 Leibnitz. Por razones puramente pedagógicas    1 3  3 las reglas para el desarrollo de (a  estableceremos (1 − x) −1 / 3 = 1 +  −  x +  x b2 ++c.... m + + d) , en donde el término que contiene a: 1. 2  3 aα . bβ . cγ . dδ es: Finalmente efectuando las operaciones indicadas conseguimos:

02

m!

(I − x )

−1 / 3

x

2x 2

= 1− + − .....   3   9   

a) El desarrollo consta de 7 términos. b) Los términos son alternadamente positivos y negativos.

5!

5! c)x )La2 ( suma (1) 0 ( 2 x ) 4 ( −x 2 )1 + (1)1 ( 2 −x 2de) 2los exponentes que afectan a 0!4!1!

1!2!2! “x” é “y” en cada término es constante. d) El coeficiente del segundo término es –18 e) El coeficiente del cuarto término no es 540 5!

2!0!3!

PROPIEDADES DEL DESARROLLO DEL BINOMIO

04. Para determinar el término general en el desarrollo se utiliza la siguiente fórmula.

a) 170. 28 d) 340 . 25

( a + b + c +... + k ) n       " k " tér min os

m! aα. b β. c γ. d δ α !β !γ!δ!

( a +b +c +d ) m =∑

03. Los términos del desarrollo con respecto a sus signos, no tienen ninguna relación.

02. El quinto término de (2x 2 + y) 20 tiene por coeficiente:

¡Importante!

Dado el polinomio: El desarrollo de toda la potencia se expresa así:

02. Para determinar el desarrollo de (x + a) n para un número fraccionario y / o negativo el valor de x debe ser uno y además x > a. Los valores de a deben ser 0 < a < 1.

(1) 2 (2 x ) 0 ( −x 2 ) 3 = −10 x 6 +120 x 6 −80 x 6 = 30 x 6

Donde: α + β + γ + δ = m

tres primeros términos

01. El número de términos es infinito, y al desarrollo se le reconoce con el nombre de serie binómica de Newton.

01.¿Cuál de las siguientes expresiones es falsa en relación con el desarrollo de (x2 – 3y5)6?

Reemplazando en (I):

+

.aα.b β. c γ . d δ

3er. Año Secundaria

α=2 ; β=0 ; γ=3

Y según las propiedades antes vistas, se tendrá:

α !β !γ!δ !

ALGEBRA

Donde m se descompone en todos los modos posibles tales que: α + β + γ + δ pertenecen al conjunto {0; 1; 2; ... m}.

Ejemplo: Halla el coeficiente de x 6 en el desarrollo de (1 + 2x – x2)5.

5!

(1)α ( 2 x ) β ( −x 2 ) γ α! β!γ!

n° términos =

 n +k −1     k −1 

Ejemplo: El número de términos de (1 + x + y + z)6 es:

Resolución El coeficiente estará expresado por:

∑

El número de términos de su desarrollo se calcula de la siguiente manera:

C 46−+14 −1 = C 39 =

......

9.8.7 = 84 1.2.3

....... (I)

n  t k +1 =   x n−k a k k 

tk +1

Donde : β + 2γ = 6 (exponente de x6) Además : α + β + γ = 5, donde los valores posibles que pueden asumir son:

    k factores      n( n −1)(n −2)...(n −k +1) n −k k = x a k!

3. FÓRMULA DE LEIBNITZ S3AL32B

; ó también:

 

de: x 2 − 

2 x 

a) -32x2 d) 4x2

PRACTICA DE CLASE S3AL32B

4

es :

b) 24x2 e) -16x2

c) -12x2

04.Halla el coeficiente del término independiente

(

de “x” en el desarrollo de x 8 − x −4 a) 490 d) 493

b) 492 e) 425

)

12

c) 497

05.Hallar n + k si se sabe que el cuarto término del desarrollo de (x + 2)n es 80xk a) 5 d) 8

b) 6 e) 9

el

desarrollo

Determinar irracionales.

α=1 ; β=2 ; γ=2

c) 570. 216

03.El término de segundo grado en el desarrollo

06.En

α=0 ; β=4 ; γ=1

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

b) 570. 24 e) 4845. 216

a) 9 d) 112

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

el

c) 7

5

de: 



número

b) 150 e) Imposible

120

x +3

1   x

de

términos

c) 118

.

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

3er. Año Secundaria d) 10 – a

2

e) 1+ a

01

2

ALGEBRA

02

3er. Año Secundaria

07. La suma de los coeficientes numéricos del desarrollo completo de ( x2 – 2xy + y2)7, es:

07. Al desarrollar la expresión:

3  x2  

5

 x x   y n −10 + x 

n +20

m

n

02. En

   

el

1  1 +  .El 2 2x  x

de: 

desarrollo

término que contiene a x–8 es:

Observamos que ésta admite un término central cuya parte literal es: x 60 y 600 .Calcula “m + n”

a) El 2do d) El 5to

b) El 3ro e) El 6to

m

a) 41 d) 44

b) 42 e) 45

03.En

c) 43

08. Hallar el coeficiente que contiene a x 2 en el desarrollo de: (1 −4 x ) −1 / 2 . a) 12 b) 6 c) 4 d) 18 e) 1 09. Calcular el coeficiente cuya parte literal es x en la expresión: (1 + 2 x + x 3 ) 5 a) 70 d) -80

b) -70 e) 90

9

c) 80

10. El número de términos que se obtiene al desarrollar: (2 + 3 x 2 + 4 y + 5 z 2 ) n es 84.

Calcula n. a) 6 d) 9

b) 7 e) 10

el

desarrollo

a) 120 d) 3003 a10

términos de la expansión de: son números naturales? a) 1 d) 4

b) 2 e) 5



a) 82 d) 88



desarrollo de:  1 −



a) 1– a2 S3AL32B

b)10 – a20

(

3

3+ 2

)

12

c) 3

m

1   .Es px18y–6Halle m+n+p y 2  b) 84 e) 90

c) 86

del desarrollo de: a) 0,001 d) 0,007

1 ;para x=0,4 x −1

b) 0,003 e) 0,009

c) 0,005

a) 6 d) 9

b) 7 e) 10

c) 14

c) 8

09. Al desarrollar: ( x + y + z + w )8, se obtienen “n” términos en el cual uno de ellos toma la forma: λ x2 y2 zw3. De acuerdo a lo anterior, calcular el valor de: “x + n” a) 1805 d) 1854

06.Calcular el valor que toma el quinto término

10

a   ?

10  

c) 870 a6

05.Si el término de lugar “n” contando a partir del último en la expansión del binomio.



2

b) 612 a4 e) 1020 a9

04. Por el teorema del binomio. ¿Cuántos

3 B(x ; y)=  x +

01. ¿Cuáles son los dos primeros términos del

los

coeficientes de los términos cuarto y décimo son iguales. Hallar el término que no contiene a “x”:

c) 8

TAREA DOMICILIARIA

de

b) 7 e) 1282

08. Si el número de términos que se obtiene al desarrollar: ( 2 + 3x2 + 4y + 5z2)n es 84.

Calcula “n”

c) El 4to

 2 a x +  x 

a) 0 d) 128

b) 1584 e) 1580

2 −a

)

a) 8 d) 12

coeficiente de a

-1/2

a) - 7 d) 221

b) 7 e) 35

el

b) 15 y 104 e) N.A.

 xm   n  y − 10

1   a −  , el a 

Determina el

.

c) 17 y 104

c) - 21

yn +20  + x 

n

,

Observamos que ésta admite un sólo término central cuya parte literal es : x 60 y600. Calcular : “m + n” a) 41 d) 44

c) 2

13. Indicar el lugar que ocupa el término independiente de “x” en la expansión de:

S3AL32B

de:

número de términos racionales e irracionales.

c) 1 – 10a8 “El nuevo símbolo de una buena educación....”

desarrollo

17. Al desarrollar la expresión:

es:

b) 1 e) 19

c) 10

c) 1480 a4

12. La suma de los coeficientes numéricos de todos los términos del desarrollo de: (x - 2y) 18 es: a) 0 d) - 19

b) 11 e) 9

1  5  x +3  x  

7

11. En el desarrollo de

c) 97

14. En la expansión de: (3x3 + x-1)n existe un término en la cual su grado es numéricamente igual a la posición que ocupa. Indica dicha posición si la suma de los coeficientes de todos los términos del desarrollo es igual a 234

a) 9 y 12 d) 20 y 101 b) 1380 a4 e) 1680 a4

154

120

10

a) 1280 a4 d) 1580 a4

1  4  x

b) 63 e) 113

15. En

c) 1845

10. Hallar el término que contenga la cuarta potencia de “a” en el desarrollo de:

(

a) 57 d) 112

+

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

b) 42 e) 45

c) 43

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

3er. Año Secundaria

01

RADICACIÓN DE OBJETIVOS ESPECIFICOS: ESPECIFICOS

02

ALGEBRA

3er. Año Secundaria

Donde: P(X) : Polinomio radicando R(X) : Raíz enésima r(X) : Residuo de la raíz enésima.

3. GRADOS DE LA RADICACIÓN 3.1. GRADO DE LA RAÍZ: RO

* Extrae la raíz cuadrada de un polinomio. * Extrae la raíz cúbica de un polinomio.

P

COMENTARIO PREVIO:

ó

3

:

p(0x ) ; R O ∈ IN nGrado del polinomio

radicando.

La sexta operación, la radicación, se expresa con el signo: . No todos conocen que este signo es una variante de la letra latina “r“, primera letra de la palabra latina radix, que significa raíz. En otros tiempos (en el siglo XVI), el signo de raíz, no era la “r“ minúscula si no la mayúscula, la “R“, y junto a ella se escribía la primera letra de las palabras latinas quadratus, la letra “q” o la primera de cubus, la “c“, señalando con ello que la raíz a extraer era cuadrada o cúbica.

Escribían por ejemplo: R.q. 4325 ó R.c.21758 en lugar de la moderna expresión: 4 325

RO =

0 ( x)

16x5 + 24x5 – 7x4 – 4x3 + x2 – x + 6 -16x6

Residuo ⇒

24x5 : 8x3 = 3x2 ⇒ Segundo

-24x5 – 9x4

(8x2 + 3x2)(-3x2) = -24x5 – 9x4 x2 -16x4 : 8x3 = -2x ⇒ Tercer

-9x2 + 3x + 5

N : Índice de la raíz 3.2. GRADO DEL RESIDUO: ro ro ≤ (n – 1)Ro – 1 ; ro ∈ N

Ejemplo: Hallar los grados de los términos de la siguiente radicación:

x 10 + 20 x 8 + 1 Resolución:

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

24x5 – 7x4

-8x3 – 6x2 + 4x – 1(8x3 + 6x2 – 4x + 1) ( - 1) = -8x3

– 6x + 4x – 1

2. RAÍZ ENÉSIMA DE POLINOMIOS

S3AL32B

4x3 + 3x2 – 2x + 1 ⇒ Raíz cuadrada

16x4 + 12x3 – 4x2 (8x3 + 6x2 – 2x) (2x) = 16x4 +

2

b : Raíz enésima n : índice A : Radicando √ : Signo de la radicación.

P( x )

4. RAÍZ CUADRADA DE UN POLINOMIO MÉTODO PRÁCTICO

8x3 – 3x2 – x + 6 8x3 : 8x3 = 1 ⇒ 4to término

1. RADICACIÓN.- Es la operación inversa a la potenciación, que consiste en obtener una expresión llamada raíz, de tal manera que al ser elevado a un número llamado índice nos produce una expresión llamada radicando o cantidad subradical.

n

∴ Ro = 5 ; ro ≤ 4 ; r máx. = 4

-16x4 –4x3 +

término

CONTENIDO TEÓRICO:

Donde:

: 10 ; n = 2, luego:

2(4x3) = 8x3 ⇒ Hace el papel de divisor.

término

21 758

A = b ⇔ bn = A

P

Ro = 10/2 = 5 (Grado de la raíz) ro ≤ ( n – 1) Ro – 1 (Grado del residuo) ro ≤ ( 2 – 1) 5 – 1 ro ≤ 4

Ejemplo: Extraer la raíz cuadrada de 16x5 + 24x5 – 7x4 – 4x3 + x2 – x + 6

12x3 – 4x2

n

0 ( x)

Es condición necesaria que P(x) sea de grado 2 o múltiplo de 2, además de ser ordenado y completo. Así mismo los términos del polinomio deben agruparse de 2 en 2 a partir del término independiente, a continuación se procederá a la extracción de la raíz cuadrada mediante las siguientes recomendaciones: 1. Se extrae la raíz cuadrada del primer término de P(x) 2. El término obtenido se eleva al cuadrado y se resta de su correspondiente término semejante en el radicando.

∃ ⇔ P( x ) = R(nx ) + r( x ) S3AL32B

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 3. Se bajan los dos términos del siguiente grupo y se duplica la raíz obtenida hasta ese momento.

4. Se divide el primer término del resto obtenido hasta ese momento, entre el doble del primer término de la raíz, el cociente obtenido es el segundo término de la raíz cuadrada.

5. Este segundo término de la raíz se suma al doble del primer término de la raíz formándose un binomio, éste binomio se multiplica por el opuesto del segundo término, sumándose el producto a los dos términos que se habían bajado.

6. Se procede como en las recomendaciones 3, 4 y 5 hasta obtener un resto cuyo grado sea menor que el grado de la raíz cuadrada.

3er. Año Secundaria

01

procede a la extracción de la raíz cúbica mediante las siguientes recomendaciones: 1. Se extrae la raíz cúbica del primer término de P(x), obteniéndose el primer término de la raíz.

2. El término obtenido se eleva al cubo y se resta de su correspondiente término semejante en el radicando.

3. Se bajan los tres términos del siguiente grupo y se divide el primer término con el triple del cuadrado de la raíz hallada hasta ese momento. El cociente obtenido será el segundo término de la raíz cúbica.

4. A continuación se forman tres productos: 4.1. El triple del cuadrado del primer término de la raíz por el segundo término de la misma.

4.2. El triple del primer término de la raíz por el cuadrado de su segundo término.

4.3. El cubo del segundo término de la raíz. Luego los productos obtenidos se restan de los tres términos que se habían bajado del polinomio.

5. Se baja el siguiente grupo y se procede como en los pasos 3 y 4, hasta obtener un residuo cuyo grado sea una unidad menor que el doble del grado de la raíz ( grado máximo)

ALGEBRA

02

3er. Año Secundaria 03. Calcular “m + n” en: 81x4 - 216x3 + mx + n, para que su raíz cuadrada sea el cuadrado del residuo correspondiente.

05. 4x6 – 16x4 + 28x3 - 16x2 - 56x + 19 06. 25x4 + 70x3a + 29x2a2 - 28xa3 + 4a4 Extraer la raíz polinomios:

cúbica

de

los

siguientes

07. 8x6+12x5-54x4- 59x3 + 135x2 + 75x - 125 08. 27x6 + 54x5 + 9x4 - 28x3 - 3x2 + 6x - 1 09. x6 - 6x5 + 15x4 - 20x3 + 15x2 + 6x - 1

10. Calcular “m” y “n” sí la raíz cuadrada de: 9x4 - 42x2 + mx2 - 56x + n, es exacta.

11. Calcular “m + n” si la raíz cuadrada de: mx4 + nx3 + 29x2 + 12x + 4, es exacta.

12. Calcular:

E=

A−B ; sabiendo que: C

5. RAÍZ CÚBICA DE UN POLINOMIO MÉTODO PRÁCTICO Es condición necesaria que P(x) sea de grado 3 o múltiplo de 3, además de ser ordenado y completo. Así mismo los términos del polinomio deben agruparse de 3 en 3 a partir del término independiente, a continuación se

b) x – 1 e) 2x + 1

c) x

01. 4x6–12x3+13x4-22x3+25x2-8x+16 02. 4x4 – 20x3 + 37x2 + 32x2 + 32x

02. Calcular “n - m” si la raíz cuadrada de:

S3AL32B

6

9x4 + mx3 + nx2 - 70x + 49, es exacta.

5

4

3

2

04. 9x –24x +28x -46x +44x -20x+25

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

07. Calcular “m” si la raíz cuadrada de: 25x40 - 30x25 + 70x20 + 9x10 - mx5 + 49, es exacta.

08. Calcular “m + n” en: 16x 4 + 96x3 + 216x2 + mx + n, para que su raíz cuadrada sea el cuadrado del residuo correspondiente.

09. Calcular “m+n” si la raíz cuadrada de:

x6 − 2x5 −3x 4 + 2x3 + 6 x2 + 4x + 1 10.

B = x6 − 4x5 + 2x 4 + 2x3 + 5x2 + 2x + 1 C=x–1 A=

01. Calcular “m + n” si la expresión: 49x26 - mx16 + nx13 + 4x6 - 15x3 + 27, tiene raíz cuadrada inexacta, y se obtiene como residuo 5x3 + 2.

03. - 12

06. Calcular “n - m” si la raíz cuadrada de: 9x4 + mx3 + nx2 + 20x + 4, es exacta.

16x4 + mx3 + nx2 - 60x + 36, es exacta.

TAREA DOMICILIARIA Extraer la raíz cuadrada de los siguientes polinomios.

05. Calcular “m” si la raíz cuadrada de: 4x4 + (m + 3)x3 + 5x2 + (m + 1)x + 1, es exacta.

Resolver los siguientes ejercicios:

a) x + 1 d) 2x

PRÁCTICA DE CLASE

04. Calcular “m” si la raíz cuadrada de: 9x30 + 30x18 + 24x15 + 25x6 + mx3 + 16, es exacta.

S3AL32B

Calcular “m+n” si la raíz cuadrada de: 9x4 + mx3 + nx2 - 14x + 1, es exacta.

11. Calcular el menor valor que se le debe asignar a (β) en: P(x) = 16x4 + 32x3 + 24x2 + αx + β Para que su raíz cuadrada sea el cuadrado del residuo correspondiente. a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

12. ¿Qué valor de “n” convierte a los polinomios: I. x4 + mx3 + nx2 + px + 1 II. x4 + 4mx3 + 6nx2 + 4px + 1 En cuadrados perfectos? a) 1 d) 4

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

b) 2 e) 6

c) 3

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

3er. Año Secundaria

12. Calcular la condición que deben cumplir los coeficientes de:(a + bx) 2 + (c + dx)2 a fin de que la expresión resulte un cuadrado perfecto. a) a=b

b) a=b=c

c) a = b = c = d

d) a = -b = c

e) a = b = c = -d

01

+ A = r ; Sí A ∈ ℜ ∧ n∈ Ν ( n ≥2)

a)

( 2)

( −2)

2

= 2 =2

= −2 = 2

3

Luego:

RADICACIÓN DE OBJETIVOS ESPECIFICOS: ESPECIFICOS

c)

* Opera correctamente con radicales, haciendo uso de las propiedades enunciadas en el presente módulo. * Transforma radicales dobles a radicales simples, haciendo uso de las fórmulas de transformación demostradas en clase. :

9 x 2 − 6 x + 1 = (3x - 1) 2 =

COMENTARIO PREVIO: En el siglo V A. C.., los griegos pitagóricos, buscando la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado uno, descubrieron otra clase de números distintos a los naturales y a los fraccionarios, les pareció tan poco razonable lo que obtuvieron que le llamaron irracional.

S3AL32B

3

2

;

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

3 X −1    Es la raíz principal

3

x2 y

; 3 xyz 2

; 3 a 2b ;

Son radicales homogéneos.

1.4

RADICALES SEMEJANTES: Son aquellos radicales que presentan el mismo orden o índice y la misma cantidad subradical, sin importar la expresión que lo multiplica.

Ejemplo:

75 2x 2 5

;5 x 5 2 x 2

;−6 5 2 x 2

;

son

radicales semejantes.

1.5. HOMOGENIZACIÓN DE RADICALES: Es la operación que consiste en transformar radicales con diferente índice (radicales heterogéneos), en S3AL32B

las

expresarlos como homogéneos.

En primer lugar se debe reconocer que el M.C.M. de 3, 4 y 5 es 60.

60 x= x 20

3

son

1.3. RADICALES HOMOGÉNEOS: Son aquellos radicales que presentan el mismo orden o índice, sin importar el radicando.

Ejemplo:

cuenta

x ; 4 z 3 ; 5 w2 ,

3

radicales.

 x si x ≥ 0 x2 = x =   − x si x 〈 0

en

(radicales

Ejemplo:

3 x ; 8 x y ; 8abc 5

índice

(1) Se halla el M.C.M. de los índices de los radicales, que será el índice común.

(2) Se divide el M.C.M. encontrado entre el índice original de cada radical y cada cociente de multiplica por el exponente también original de la cantidad subradical.

1.2. EXPRESION RADICAL: Las raíces de expresiones algebraicas que no pueden expresarse exactamente mediante una expresión algebraica racional, representan expresiones algebraicas irracionales y reciben el nombre de radicales. Ejemplo:

b)

igual

Se recomienda tener siguientes; reglas:

1  3x 1 si x ≥  2 3 9x − 6x + 1 =  1  - 3x + 1 si x 〈 3 

1. CONOCIMIENTOS PREVIOS: 1.1.VALOR PRINCIPAL DE UNA RAÍZ

2

radicales con homogéneos).

2

CONTENIDO TEÓRICO:

Ejemplos:

3er. Año Secundaria

 3x -1 si 3x − 1 ≥ 0 9x − 6x + 1 =   - 3x + 1 si3x − 1〈 0

Las raíces que no pueden expresarse exactamente mediante números racionales representan números irracionales y reciben el nombre de radicales. Por ejemplo: 3 , 5 , 11 , son radicales.

n

ALGEBRA

02

1.6

4

z =

5

2

3

w

60

z

(60 ÷ 3 = 20)

45

=60 w 24

SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES: Se dice que un radical está simplificado al máximo cuando al descomponer en factores primos el radicando todos los factores primos están elevados a exponentes menores que el índice del radical.

Ejemplo : está simplificado 330 al máximo porque descomponiendo 330 en factores primos tendremos: 330 = 2 x 3 x 5 x 11, 330 2 todos los factores primos 165 3 están elevados a 55 5 exponentes menores que 2.

11 1

1

en cambio, 384 no está simplificando al máximo porque descomponiendo 384 en factores primos tendremos: 384 192

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

2 2

384 = 2 7 x 3, como se puede observar, no todos los factores primos están elevados a exponentes menores que 2.

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 96 48 24 12 6 3 1

3er. Año Secundaria

2 2 2 2 2 3

01

b) En la adición de radicales con distinto índice, la expresión queda indicada.

a

Para simplificar 384 al procederemos del modo siguiente.

n

2.2

384 = 2 ⋅ 6 = 8 ⋅ 6 6

a)

a

x .b

n

y = ab

A+ B ± C ± D = x + y ± z Donde:

A n B =A

n

n

m

2.3

a)

a)

a 5b = a

5

5

8ab 3 = 2b 3 a

c)

4

m

b) 3.

243 = 81x3 = 3 3 4

4

1.8. PRINCIPIO DE LA INTRODUCCIÓN: Consiste en introducir una expresión en el radicando; así: A

n

5

2b

3

b =

a 5 b b)

a = 8ab 3

a

n

x :b

x:

n

xz

D =2

yz

n

y =

a b

n

x y

2

xy ;

x =3 y =1

3.1. PRIMER CASO: A± B = x ± y

A −C 2

a S3AL32B

x ±b

n

x ±c

n

x = (a ± b ± c) x n

xz ;

A +C ± 2

Cálculo de x:

A = 4 x 3 − 3Cx

2 = yz

20 = 4 x 3 −3( 2)C

x =3 z =2

20 = x (4 x 2 − 6)

6 +2 3 +2

6 +2

2 =

x +

6 +2 3 +2

6 +2

2 =

3 + 1 + 2

La

igualdad

x =2

y +

z

Cálculo de y:

A −C 2

Es decir que, para transformar radicales dobles, en radicales simples: A2 - B, debe ser un número cuadrado perfecto.

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

3

A± B = x± y

Donde:

A = 4x S3AL32B

y = x 2 −C y = 2 2 −2 y =2

Luego:

3

20 +14 2 = 2 + 2

PRÁCTICA DE CLASE 3

B = (14 2 ) 2

C = 3 400 − 392

Pero:

C =A2 − B

A± B =

a) Para radicales semejantes se procede así:

⇒

donde:

En resumen la fórmula para descomponer una raíz doble en raíces simples es:

2.1. ADICIÓN DE RADICALES

B = 14 2

C =2

6 = xz ;

⇒

a radicales

2

A 2 − B Siendo:

cumple cuando:

Siendo :

OPERACIONES CON RADICALES

n

6 =2

yz

3.3. TERCER CASO: 2.

2

Luego: 6 = x +y +z 3 = xy ;

20 +14

C = 3 (20)2 −(14 2 )2

2 3 =2

2 =2

3

A = 20;

3

4 4 4 4 c) 3 3 = 3 x3 = 243

C =

Resolución: A =6;

3

Cálculo de C:

6 +2 3 +2 6 +2 2

DESCOMPOSICIÓN DE RADICALES DOBLES EN SIMPLES

∧ y =

cubo

Resolución:

Ejemplo: Transformar a radicales simples:

y = mn x n : mn y m = mn x n : y m

A +C x= 2

Ejemplos: a) a

y = mn x n . mn y m = mn x n y m

De

B =n A n B

C =2

Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos x, y, z.

b)

b

3

n

A2 − B

simples.

B = 2 xy

DIVISIÓN DE RADICALES

B

Ejemplos:

x.

Ejemplo: Transformar:

A = x +y +z

xy

n

siendo:

y = x 2 −C

b)

1.7. PRINCIPIO DE LA EXTRACCIÓN: Consiste en extraer una expresión del radicando; así:

3

C = A2 − B perfecto.

y ⇒ no son semejantes

MULTIPLICACIÓN DE RADICALES n

3er. Año Secundaria

3.2. SEGUNDO CASO:

Observación.- En las operaciones de adición y sustracción los radicales se simplifican al máximo y a continuación se efectúan las operaciones

máximo

384 = 2 7 ⋅ 3 = 2 6 x 2 x3

x ±b

n

ALGEBRA

02

− 3Cx “El nuevo símbolo de una buena educación...."

se

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

3er. Año Secundaria

01. Transforma a radicales simples A)

B)

9 + 72

C) 4 7 +4 3

D)

E)

11+ 6

G)

12 + 140

I)

K)

H)

4 x 2 −4

8 +2 12

8 + 28

L) T =

d)

a +b

e) Ninguno

el

c)

2b

20

a) a – b d) E = 0

2

3−

4

97 −56

3

a) 1 d) 4

2

30 − 7 −2

c) 3

3 − 3(

S3AL32B

8 x

15

2 x

2 x

6

2

(

2

3 − 1)(

TAREA DOMICILIARIA

01. Proporcionar el radical equivalente a:

1+ 2

1+ 2

3 + 2) + 4 + 2

3

2

+2cxy +ay 2

b

e) Ninguna

c)

2b

a) 2 +1 d) 0

b) 1 - √2 e) √2

a)

4 +2

c)

28 +6

a) 5 d) 6

2 − 1)(

11. Simplificar “El nuevo símbolo de una buena educación....”

3

3 + 1)(

E = 17 −4

15 3

6

;y =

2

2 + 1). (2

9 +4

2)

5

la relación que

b)

13 −4

3

d)

28 −6

3

a) x < y d) x/y = √3

b) x = y e) x > y

c) x/y =c

09. Reducir: E = 12 +2

35 − 9 −2 14 + 16 −2

55 − 13

10. Efectuar:

1+ .......... .. + 2

1+ 2

3+ 2

c) - ( 1 + √2 )

2

a) 10

5 +2

b) 10

c) 10

5 +20

d) 5

e) 10

5 -20

3 +

5

10 +10

2 − 34 + 26

c) 4

2 + 23 + 37

a) 2 d) S3AL32B

+

11 −2

30 +

7 −2 10

6 5

b) 2 e) 4 √2

c) 4

11. Calcula (a + b) si se cumple:

8 +2 12

 2  

5

11 +2 18 +(1 +4 2 )(1 −4 2 )

a) 1 d) 2 √2

03. Reduce: E=

b) 7 e) N.A.

3

(1 +3 +5 +...... +59) +(1 +3 +5 +...... +39)

10. Simplificar:  2 − 1  56 + 40 

÷ 2 + 2 + 2.......

cumple es:

3 + 4 − 12

e) 13 +4 3 02. Transformar radicales simples:

c) 3

3

3

06. Reduce:

7 +4

a) √3+2 b) 2 - √3 d) - 2 e) 2 09. Hallar el valor de “E”

se obtiene una expresión de la forma k x +y , dar como resultado el valor de k.

a + b

6

c) 8

e) 6

6 − 6 − 6......

08. Si: x =

c) 0

04. Al descomponer en radicales simples:

d)

b) 0 3

05.Calcula:

483 826 ÷ 9 874 )3

5

E = 2− 3 + 9+ 5

E = 1+ 2

b)

a) 1 d) 12

5

a) 2 b) 1 −99 +... + 3 −2 2 +1 d) -2 e) N.A.

 13 + 7 − 5 − 7   

b) 2 e) 5

2a

entre

14. Simplificar:

c) a – b2

08. Simplifica:

a x + b y + bx

dividirlo

4

07. Transformar:

−100 + 197 −2 99

 4 E = 3+ 7   

3

4

(

E = 12 + 140 − 8 + 28 + 11 −2

03. Simplificar:

a)

4 x

5

4 x

07. Calcula el valor de:

02. Calcula el valor de:

2

b) a2 – b e) a2 – b2

4

4 x

13. Efectuar la operación:

. de:

β

equivalente

6

12.

2a

a + b =α +

04. Reduce:

b ) 2 75 −2 27 −3 48 −5 3 + 12 +3 108 12 − 108 −3 48 + 300 +3 108

E = α 6 + 3α 2 β 2 − 3α 4 β − β 3

97 +56

199 −2 100

b)

Hallar

2 +1.2 x 3 −2 4

a −b

06. Si se tiene que:

3 +2 .2n 7 −4 3 x

a)

3er. Año Secundaria

45 − 27 − 20 − 5 + 12

a)

a +5b +3 2ab +b 2 − a + 2ab +b 2 +b

J)

8 + 28

n

2x +

F)

2

05. Reducir:

7 − 24

ALGEBRA

02

01

b) e) 0

6

5 +2

6 + 10 −2

a) 42 d) 49 c) 2

5

12. Sí:

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

b) 45 e) 51

21 + 7 −2 10 =

c) 47

a +2

b

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

x =

n n

5 +1

y=

;

5 −1

n

5 −1

n

5 +1

3er. Año Secundaria 17.

a) 1

b) 2

n

d)

5 +1

c)

n

ALGEBRA

3er. Año Secundaria algebraica irracional, en otra fracción equivalente con denominador racional.

Generalmente se realiza la racionalización del denominador de una fracción, pero en algunos casos también se presentan ejercicios en donde se nos pide racionalizar el numerador.

Sabiendo que los radicales son homogéneos, reducir: m

x (y +1) y( x +1) + Halla el valor de: x +1 y +1

02

01

n +2

64 + n

m +n

64 − m +4 64

18.

La

raíz

CONTENIDO TEÓRICO:

cuadrada de la expresión:

5

11 +4

e) 3

2 +4

5 +2 10 + 166 +66

5 − 18 +8

1. RACIONALIZACIÓN Racionalizar una fracción con denominador irracional, consiste en transformarlo a otro equivalente con denominador racional.

Para lograrlo es necesario multiplicar los términos de la fracción por otra expresión irracional llamado factor racionalizante

2

Es equivalente a:

13. Efectuar las operaciones indicadas:

12 + 2 27 −5 75 +3 48

a)

FACTOR RACIONALIZANTE

b ) 33 16 − 23 54 − 23 81 + 23 24

c)

12b 2

a3

a2

3b 3 3 1 − 4 2

d) 8

(

e ) 5 +2 3

−

3b 3 2b + a 3

4 b

12 + 4 27 − 2

)

(

2

)

Si al multiplicar dos expresiones algebraicas irracionales se obtiene como resultado una expresión algebraica racional, entonces ambos términos serán denominados factor racionalizante uno del otro.

27 ab

3 16

EXPRESIÓN IRRACIONAL

−10 5 +2 3 +13

5

RACIONALIZA 14. Al transformar: 18 +6

7 +6

OBJETIVOS ESPECIFICOS: ESPECIFICOS * Determina correctamente el factor racionalizante de una determinada expresión algebraica.

2 +2 14

Como una suma de radicales simples se x + y + z x > y > z. obtiene Calcular: x + y +z 15. Al transformar la expresión: se obtiene

x+

3

26 +15 3

y , el valor de x + y es:

16. Calcular: E = S3AL32B

(1 − 8 )

2

4

+

(9 −2 2 )

4

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

* Resuelve ejercicios referidos a racionalización de fracciones algebraicas con denominador irracional.

COMENTARIO PREVIO:

x 2y 3 5

a .4 b . c 3

5

3

a ± b 3

a ±3 b

3

EXPRESIÓN RACIONAL

x.y

x 2y 3

a2 . b3 . c2

a.b.c

a  b

a −b

5

4

3

a 2 3 ab + b 2

Factor Racionalizante

a ±b Producto

2. CASOS DE LA RACIONALIZACIÓN

Muchas veces hemos escuchado hablar acerca de racionalizar una determinada fracción algebraica, y hemos entendido por racionalización al proceso mediante el cual se puede convertir una fracción cuyo denominador sea una expresión S3AL32B

3

EXPRESIÓN IRRACIONAL

PRIMER CASO: n

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

N am

;n>m

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN N n

am

=

N .( FR) ( a m )( a n − m ) n

n

=

N 3 2

3

a 3 ab + b 2

;n 〉 m

n n− m

a

n +5 + n −4 ∴

5

1× x3

⇒

5

x

25

x

3

x 5 −2 =

=

5

x3

5

5

x

N

N

=

a b

x

x3

x3 x

a ±

a b a b

=

4

N .( FR) a−b

3

a±3b

=

N .( FR) (3 a ± 3 b )(FR)

Racionalizar:

(

n +5 − n −4

n +5 − n −4 3

n +5 − n −4 n +5 −n +4

3

) 3

3

x 2 + 3 25

∴

×

3

x 4 − 25 x 2 + 3 625

3

3

x 4 − 25 x 2 + 3 625 3

1 3

x 2 + 3 25

=

=

FR x2

4

a b

)(

)

N a ±3b

;

3

N 3

3

a 2 3 ab + b 2

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

3

F. R = a 2 3 ab + b 2 ;

3

x 2 + 25

Lo antes expuesto; se puede aplicar cuando el denominador presenta radicales que se están sumando algebraicamente y que son de cualquier orden impar mayor que 3.

Previamente se tendrá en cuenta criterios estudiados en las divisiones notables que originan cocientes notables exactos.

P

n

a −n b

n

a n −1 + a n −2 + ... + b na−1− b

n

a +n b

n

n −+ 1 b a n −1 − a n −2 + ... + b a

n

n

n

n

b) 2 6 e) N.A

3

1+

E

2 21 3 9

+3 1−

=

2 21 3 9

a) 1 d) 10 S3AL32B

b) 5 e) 12

−2

2

2− 3

2

b)

3

d)

6

e)

7

c)

5

05. Al racionalizar el denominador de la expresión adjunta, el grado del producto de los términos del denominador será: 1 128

a) 16384 d) 2048 06. Al

x

3

128

−

y5

b) 8192 e) 8 racionalizar

c) 4096 y

simplificar:

24 x 3 y 3 120 x 2 y 7

el denominador de la fracción resultante es:

PRÁCTICA DE CLASE 01. Calcula:

se obtiene

c) 10

3 +1

a)

5

a) 2 d) 5 07. Efectuar:

3

FR = a ± b

8− 2

03. Al racionalizar:

a) 6 d) 12

3

x 4 − 25 x 2 + 3 625

FACTOR RACIONALIZANTE

c) 9

2+ 3− 5 + 25 como denominador.

Observación:

EXPRESIÓN IRRACIONAL

a+ b

b) 11 e) 8

04. Simplificar:



 

13

a) 13 d) 7

3

x 4 − 25 x 2 +3 625

1

b) Cuando la fracción presenta en su denominador una suma algebraica de radicales de tercer orden.

3

n +5 + n −4

) = 3(

a ±4b

Factor racionalizante: 4

N .( FR) a±b

3

Resolución: F. R. S3AL32B

=

n +5 − n −4

N N (4 a 4 b )( a + b ) N .( FR) = x = 4 a ± 4 b 4 a ± 4 b (4 a 4 b )( a + b ) a − b

Ejemplo: N

(n + 5) − (n − 4) =

 

,su valor será:

F. R . =

a) Cuando la fracción presenta en su denominador expresiones en las cuales sus términos poseen radicales cuyo índice es potencia de 2, para racionalizar se aplica el criterio de la conjugada las veces que sea necesario.

b

Factor racionalizante: a  b Observamos que la fracción presenta en su denominador un binomio cuyos sumandos son radicales de índice 2, para racionalizarlos hemos aplicado el criterio de la conjugada.

(

n +5 − n −4

×

3 n +5 − n −4

n +5 + n −4

2

 288 + 117 − 32 − 128   02. E = 

x 2 + 3 25

N

N

SEGUNDO CASO:

a± b

5

=

5

n +5 + n −4

3

3

Resolución:

3

= =

=

TERCER CASO: cuando la fracción presenta en su denominador expresiones cuyos términos poseen radical de índice superior a 2; será necesario tratarlo teniendo en cuenta los siguientes aspectos:

x2 5

3er. Año Secundaria

Ejemplo: Racionaliza:

N .(FR) 3 2 3 3 2 ( a  ab + b )(FR) a ± b

3

1

Resolución: F. R.

N .( FR)

3

Ejemplo: Racionalizar: 5

=

n +5 + n −4

Observamos que la fracción presenta en su denominador un monomio.

ALGEBRA

02

01

1

N .( FR) a

N Factor racionalizante:

3er. Año Secundaria

c) 8 “El nuevo símbolo de una buena educación...."

b) 3 e) 6

c) 4

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

3er. Año Secundaria

E=

3

5

+

2 3 −3 2 a) 0 d) 3

2 −2 3

b) 1 e) 4

13. Al

2

+

4

3

c) 2

+

 2    

20 −14

97 +56

3

2/3

09. Racionalizar:

la

E =

fracción: 3 x +3 y −3 x +y

1

b=

2 − 2 +1

1 1+ 2 + 3 + 6

,

04.

T =

5 − 6 + 10 − 15

3

3

−

1 8− 7

+

1 7− 6

2+ 7 − 7

1 TAREA DOMICILIARIA

T=

b) T = 1 c) T <1 e) Ninguna anterior

; resulta.

12. Después de hacer racional el denominador de

3

T =

b) 21 e) N.a

3

+

7 − 2 10

123

a) 0 d) 3

c) 31

03.

4

−

8 +4 3

b) 1 e) 4

2 7 3 3

+3 1 −

3

1+ 2 +2 3 4

A+

3

obtendremos

que adopta la forma: B + C . Hallar A + B + C. 3

2 7 5

3 3

3

1

12.Al racionalizar: ;

3 3

− 9m n

−n

9

b) 72 e) 25

1 11 − 2 30

6 + 10 −2

a) 42 d) 49

b) 45 e) 51

08. Indique el racionalizar:

c) 30

21 + 7 −2

10 = a +2

b

c) 47

denominador

después

de

1 x +2 +2

a) x d) 1 S3AL32B

x+ y +

x− y

Señalar el denominador resultante.

1997 + 13

9

1 81 + 5 27 + 5 9 + 5 3 + 1

c) 4

5 +2

c) 2

Racionaliza e indica el denominador:

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

3+ 2

expresión

07.Calcula (a + b) si se cumple:

se obtiene:

02. Al efectuar:

la fracción: 3 ; se obtiene.

9 +3 3 3 −3

S3AL32B

2( 15 − 7 ) 1+ 3 + 5 + 7

a) 11 d) 41

11. Después de racionalizar el denominador de: 18 + 6 7 + 6 2 + 2 14

efectuar:

una

m = 3 2000 + 13

a) 27 d) 20

01. Al racionalizar:

4 7

c) 3

b) 3 e) 5

Hallar : m

6− 5

se puede afirmar que: a) T > 2 d) 1< T < 2

1+

a) 2 d) 1 06. Sí:

−

1

b) (A – B) ∈ N d) AB < 1

23

12

se

n =

1

2 − 8 −2 15

a) (A + B) ∈ N c) AB > 1 e) (A + B) 3 ∈ Z

10. Al

b) 2 e) 5

B=

11. Racionalizar:

10. Al reducir:

3− 8

+

3− 2

;

Entonces:

c) 400

05. Calcular:

obtiene:

T =

49 − 7 −6

1

1

09. Sí: A =

3

Efectuar:

1 6

1 3

b) 350 e) 450

a) 1 d) 4

;

4

c) 2

3er. Año Secundaria

a) 300 d) 430

15. El denominador de las fracciones, una vez racionalizado es:

a=

b) 1 e) 4

de

14.Después de reducir a su mínima expresión: 1 1 1 + + 3 3 3 7 +5 2 26 +15 3 9 3 +11 2 Resulta.

es

a) 0 d) 3

denominador

este se convierte en.

E= 2 +9

el

x 2y

siguiente

3− 2

08. La equivalente de:

3  11   

racionalizar

ALGEBRA

02

01

b) x + 1 e) 2

x +1

c) x + 2

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

3er. Año Secundaria

01

CANTIDADES OBJETIVOS ESPECIFICOS: ESPECIFICOS

i1=i i 2 = -1 i3=-i i4= 1

* Define y reconoce a las cantidades imaginarias como componentes no reales de los números complejos. * Opera con las potencias enteras de i.

COMENTARIO PREVIO: El conjunto І de los números irracionales, junto con el conjunto Q de los números racionales constituyen el conjunto R de los números reales.

Por los conocimientos previos que manejamos vimos que el campo numérico hasta ahora conocido necesitaba una nueva ampliación que permitiera hallar raíces pares de números negativos. Así, por ejemplo, no existe ningún número real que represente 4 −3 , −8 , −1, − 4 . Estas raíces reciben el nombre cantidades imaginarias.

Llamamos imaginarios a los números constituyentes de las componentes no reales de los números complejos.

S3AL32B

CANTIDADES IMAGINARIAS Los números imaginarios se originan de la extracción de la raíz cuadrada a números negativos.

Unidad imaginaria: Recibe este nombre el radical −1 , se le representa mediante el siguiente símbolo: i = −1 (notación de Gauss) y cumple i 2 = -1. −1 se tomará como referencia para medir todas las cantidades imaginarias puras.

♦

♦

−

4 2 = i 9 3

Potencias enteras de la unidad imaginaria:

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

12 448

= 1; i

-12 448

Recuerde que 4q es

4;

=1;i

137 956

i 4 = 1 ∀ 4 positivo o negativo



i 4 +r = i r



i + i + i + i = 0 ; en general:



0

2

3

0

∀4

positivo o negativo, r ∈ Ζ

4

i n + i n +1 + i n +2 + i n +3 = 0 ; ∀n ∈ Ζ

0

PRÁCTICA DE CLASE 1.

∀q∈Ζ

La unidad imaginaria i, no siempre estará afectado exactamente de un exponente 0

2.

I. i –7 3.

i +i

+i

+i

n+3

−1 , dar el

II. i –21

III. i-3 224

Simplificar:

Hallar el valor de: i 658 + i

4.

527

=0;∀n∈Ζ

5.

Simplificar:

i + 4i 2 + 2i3 + 8i 4 + i5 + 4i6 + 2i7 + 8i8 8i9 + 2i10 + 4i11 + i12 + 8i13 + 2i14 + 4i15 + i16 6.

Reduce

a

su

mínima

expresión: Ejemplo: ♦ i 217 + i 218 + i 219 + i 220 = 0 ♦

(i –233 – i –232 + i –231 -... - i –2+i –1 -1) 2

i - 75 + i - 76 + i - 77 + i - 78 = 0

Resumen:

S3AL32B

–

i 436 + i 247

Se concluye: i + i 2 + i 3 + i 4 = 0, esta relación podemos generalizarlo diciendo: La suma de cuatro potencias consecutivas cualesquiera de la unidad imaginaria es igual a cero. Es decir: n+2

Siendo, i =

i249 + 3i28 +12i377 − i121 +12i379

i ; 0 ≤ r < 4; q ∈ Ζ i 15 767 = i 4 (3 941) + 3 = i 3 = - i i -135 = i 4 (-34) + 1 = i 1 = i

n+1

b) i 30 214

valor de:

4q + r

n

Hallar: a) i 4 273

=1

4 , podría presentarse:

−1 = a i

−5 = 5 i ;

= i = -1 =-i = 1

Veamos los siguientes ejemplos: Sabemos que: i 4q = 1 ∀ q ∈ Ζ i

Toda raíz imaginaria puede expresarse como el producto de un número real por la unidad imaginaria.

Ejemplo: ;

i9 i 10 i 11 i 12



0≤ r<4; q∈Ζ

i 4q + r = i r

Sea a ∈ ℜ+ , tenemos:

−9 =3i

i5=i4.i1= i i 6 = i 4 . i 2 = -1 i7=i4.i3=-i i 8 = i 4. i 4 = 1

0

0

Generalizando:

Operación básica de transformación: −a = a(−1) = a

2

De i = i se ha concluido que i = -1; conociendo esto podemos deducir todas las demás potencias de i .

CONTENIDO TEÓRICO:

Definición: Las cantidades imaginarias son aquellas que se obtienen por la extracción de raíces pares de números negativos.

Ejemplo: − 9 ; 6 − 64 ; 12 − 5 ; son cantidades imaginarias. Toda expresión de la forma: 2n a , donde n es par y a es un número real no negativo, es una cantidad imaginaria pura.

3er. Año Secundaria

1

En este módulo que consta de dos sesiones trataremos de realizar un estudio formal y riguroso de este nuevo sistema numérico, en todo momento relacionaremos estos conceptos nuevos con los conocimientos antes conocidos.

1.

ALGEBRA

02

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

.. 

 .  4 i6 .   i   Reducir: i2          

a) 1 d) -1

i2 n + 2

()

7.

8.

3er. Año Secundaria

05.Efectuar: E = a) i d) - 1

a) 4 d) - 1

3 i + 5i 2 + 7 i3 + 9 i 4 + ... + (8n +1) i4n − 4n

+i5

b) - i e) N.A

c) 1 5 55

Son aquellos que difieren únicamente en el signo de su parte imaginaria:

3 33 +i3

C

4 – 3i 4 + 3i ⇔

C

c) 1

Complejos Opuestos El opuesto de a + bi es – a – bi

b) 3 e) N.A

c) 8

Complejos Nulo Aquel número que tiene su parte real y su parte imaginaria iguales a cero:

NUMEROS

0 = 0 + 0i

OBJETIVOS ESPECIFICOS:

El matemático francés Descartes fue el primero que llamó imaginarios a los números constituyentes de las componentes no reales de los números complejos. El matemático alemán Euler contribuyó notablemente a divulgar el uso de los números complejos, pero quién mayor auge dio a su utilización fue el matemático danés Wessel, que suministró una valiosa interpretación geométrica de los números complejos.

− 324 + −100 − − 36 − 361 − − 225 + −196 02.Calcular: a) i16 c) i4n+3 (n entero)

b) i10 d) i43

03.Hállese la parte real de efectuar: 2

2

b) 0 e) 25

2

c) 50

3+ i 1+ i 1− i i3+i S =ii ⋅ii ⋅ii    

Son de la forma Z = a + b i, a ∈ IR, b ∈ IR se llama: a = Re(z) → parte real de Z b = Im(z) → parte imaginaria de Z

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

Complejos Conjugados S3AL32B

Módulo o norma de un complejo Se define por medio de la relación:

siguiente

P = a + b i = a2 + b 2 Ejemplo:

02. OPERACIONES COMPLEJOS

01. NÚMEROS COMPLEJOS

04.Hállese la expresión reducida de:

Dos números complejos son iguales si tienen iguales sus partes reales y sus partes imaginarias:

r = −3 −4 i = (−3) 2 +(−4) 2 =5

CONTENIDO TEÓRICO:

K = i1 +12 +13 +..... +i100

Igualdad de dos números complejos

a + bi = c + di ⇒ a = c y b = d

COMENTARIO PREVIO:

Simplificar:

S3AL32B

3er. Año Secundaria

* Realiza un estudio formal de los números complejos y sus respectivas propiedades. * Aplica las propiedades antes estudiadas en la resolución de ejercicios que involucran números complejos.

TAREA DOMICILIARIA

a) 1 d) 100

2 22

ALGEBRA

i328 +i321 +i313 +i302 +i293 K = i−527 +i −540 −i−584 +i −593 +i −603

Simplificar:

2

i2

02

06.Simplificar:

i 2 + 2 i 4 + 3 i6 + 4 i8 + ... + 8n i16n

01.

b) -1 e) N.A.

01

CON

NÚMEROS

Adición: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (2+7i)+(-7- 3i)=(2-7) + (7 - 3)i = -5 + 4i Resta (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b – d)i

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN (3+

2 1 2 1 i)-(4+ i)=(3-4)+( )=-1+ 5 9 5 9

13 45

3er. Año Secundaria Resolución

21 −20i =x +y i

Elevando al cuadrado: 21 - 20i = (x 2 – y 2) + 2xy i

Multiplicación (a + bi) (c + di) = (a c-bd) + (ad +bc)i (2-5i)(3-7i) = 6 - 14i-15i+35i2 = -29 - 29i

Por igualdad de números complejos:

Potenciación

♦

x 2 – y 2 = 21 ....(I)

Z = Z.Z.Z.Z.Z .... Z , ∀ Z∈C, n∈N

♦

2xy = -20

n

Representar números:

División de números complejos

gráficamente

Número complejo

....(II)

(I) 2+(II) 2:(x2–y2) 2+4x2 y2 = (21)2 + (-20)2

n veces

3er. Año Secundaria

La representación gráfica de un número complejo se realiza en un sistema de ejes coordenadas denominado Diagrama de Argand, mediante un punto cuyas coordenadas serán las componentes de un complejo, al punto se le denomina afijo del número complejo.

Ejemplo:

Establecemos la igualdad:

i

ALGEBRA

02

01

los

04. FORMA POLAR O TRIGONOMÉTRICA RELACIONES FUNDAMENTALES

e je im a g in a rio

siguientes

a + b i = (a , b ) p

Afijo del complejo

4 + 3i

(4 ; 3)

2 - 4i

(2 ;-4)

-5 + 2i

(-5; 2)

7

(7 ; 0)

-3i

(0 ;-3)

b 0 a

(x2 + y2)2 = 841→ x2 + y2 = 29 .......(III)

a + b i (a + b i)(c − d i) (ac + bd) + (bc (I)+(III):2x − ad)i2=50→x2=25→ x = 5 ó x = –5 = = 2 2 c +d i (c + d i)(c − d i) c + (III)–(I):2y d 2 =8 → y2 = 4 → y = 2 ó y = -2

e je re a l

Efectuar:

tienen signos opuestos, luego: 2 − 5 i (2 − 5 i)(4 − 3 i) 8 − 26i + 15i 2De (II): − 7x e y26 = = = − i 4 + 3 i (4 + 3 i)(4 − 3 i) 25x = 525 4 2 + 32 ; y = -2 ó x = -5 ; y = 2 Raíz cuadrada de números complejos La radicación de un número complejo arrojará tantas raíces como lo indique el índice del signo radical.

Es decir: dado Z = a + bi para calcular las raíces enésimas o raíces de orden “n” de Z (n∈ Ν, n ≥ 2), se establece lo siguiente: n

Calcular las raíces cuadradas de 21 – 20i

S3AL32B

Otra forma: Aplicando transformaciones de radicales dobles en simples. Veamos: 21 −20i =

21 −2 x10

−1 =

21 −2

(25) (-4)

a + bi = x + yi

Donde: a, b y n son datos, x e y tendrán que calcularse (x, y ∈ ℜ); para esto se tendrá que elevar ambos miembros a la “n” y desarrollar el segundo miembro por fórmula del binomio de Newton. Se recomienda esto cuando “n” toma valores pequeños, en caso contrario téngase en cuenta la fórmula de Moivre.

Ejemplo:

1)

r = a 2 + b 2 ....módulo

2)

θ = arc tg(

∴ 21 −20i =±(5 −2i)

eje imaginario −100

(

a = r cos θ b = r sen θ

FORMA POLAR O TRIGONOMÉTRICA DE UN COMPLEJO

)

25 − −4 = ±(5 −2 i)

a + b i = r (cos θ + i sen θ)

(2,-4)

Observación: Cuando el índice es 2 (n=2) podría tomarse en cuenta la transformación de radicales dobles en simples, para algunos casos.

Sea Cos θ + i sen θ = Cis θ

03. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN NÚMERO COMPLEJO

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

3) 4)

a≠0

eje real

(25) + (-4) 21 −20i = ±

(0 ≤ θ < 2π) ,

(4,3)

(-5,2)

b )...argumento a

Luego:

S3AL32B

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

a + b i = r Cis θ

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

3er. Año Secundaria r1Cisθ 1 r = 1 Cis(θ 1 − θ 2 ) r2 Cisθ 2 r2

Ejemplo: 1) Cis 60° = cos 60° + i sen 60° =

2) Expresar en forma polar –4 - 4

1 2

+

3 i 2

3 ) 2 =8

Potenciación

−4 −4

2 i 2

Si r = 1 tenemos la fórmula de Moivre

3i =8 cis 240°

e je im a g in a rio

60°

(θ + 360°k ) r cis θ = r Cis n Donde: k = 0 ; 1 ; 2 ; ... (n-1)

3

1 = 3 1 cis 0 = 3 1 Cis K = 0 ⇒ W1 = Cis 0 = 1

K= 01. Efectuar:

360° k = Cis (120° k ) 3 a) 1 - i d) 1 + i

−1 3 K=1⇒ W2 = Cis 120° = + i 2 2 K = 2 ⇒ W3 = Cis 240° =

05. OPERACIONES CON COMPLEJOS EN FORMA POLAR 1°)

(r1 Cis θ1) (r2 Cis θ2) = r1 r2 Cis (θ1 + θ2)

−1 = 1 cis 180 = 1 Cis

k = 0, 1, 2, 3 2°) S3AL32B

−1 2

-

a) 0 d) 3

180° + 360° k

n =1

Para: x =

1+i 1+i 1− 1+i 1− 1+i 1− 1+i 1− 1−i

b) 5 e) 5(n+1)

b) 1 e) i

c) 0

4

b) 1 e) 4

a) 2 d) -24n+2

b) 2 e) -22n+1

c) 3

−1 + − 3 . Calcular el V.N. de: 2

b) 512 c) 1024

d) 2048 e) 2048

07. Siendo “W” una de las raíces cúbicas de la unidad tal que: w ≠ 1, calcule:

a) a12 d) (a -1)12

c) 4

b) (a+1)12 e) N.a.

c) -(a -1)12

08.Si tenemos que:

3 2 i −9 + + = i52 1 + 2i 1 + xi 5i Hállese el módulo de “Z”:

Z =

2n+1

a) 1 S3AL32B

13 i 2

S=(a+aw+w2)4 (1+aw+ aw2)4 (a + w + aw2)4

c) 2

4n+2

37

K = (5 + 7w + 7w2)12 a) 64

03. Si se cumple: x + yi =1 + i Calcular el valor de “x”.

4n

c) 5(n - 1)

3  −5 +12i  2    

b) 2 e) N.a.

06. Si: w =

)

−1

a) 1 d) 4

8n +4

División “El nuevo símbolo de una buena educación....”

+ 5 x 4n +6 + 6 x 4 + 2

4n

i

x y M = − y x

3 i 2

x =

n

a) 1 d) 5n

02. Si la raíz cuadrada del número complejo:1 + i es: x + yi .Hállese el valor de:

2) Resolver x4 + 1 = 0

Multiplicación

∑(2 x

PRÁCTICA DE CLASE

1) Hallar las raíces cúbicas de la unidad

e je re a l

W4 = Cis 315° =

04. Calcular:

05. Simplificar:

Radicación

Ejemplos: 240°

⇒

K=3

− 2 2

2 2 i 2 2

(cis θ)n = cis (nθ) 4°)

2 − 2 + i 2 2

K = 2 ⇒ W3 = Cis 225° =

Nota:

−4 3 θ = arc tg = arc tg 3 = 240° −4

2 2 + i K 2 2

K=0⇒W1 =Cis 45° =

(r cis θ)n = rn cis (nθ) r = (−4) 2 +(−4

3er. Año Secundaria

= 1⇒W2 = Cis 135° = 3°)

3 i

ALGEBRA

02

01

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

x + i / x ∈ R+ b) 2

c) 3

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN d) 4

3er. Año Secundaria

01

e) N.A.

09. Hállese “Z” de: Z −12 5 Z −4 = ; =1 Z −8i 3 Z −8 c) 6 + 19i z

10. Si “z” es un complejo tal que .Halle: K = 1 +z

a) 52 d) 2

2

+ 1 −z

=5

2

b) 50 e) 32

c) 48

Z1 = 2 + (y + 2)i Z2 = y + 4 - 3yi / y ∈ R

c) 2

i) 3 25(2 + − i 3+ 4i

;

donde i =

3 − 2i (1 + 2i) + 5 + 4i= a + bi 3 1− 2i 2 − i

a) 2 d) 8

b) 4 e) N. A

c) 6

−1

a) 4 d) 1

b) 2 e) N.A

c) 3

05. Sumar : 1 + 2i 2 − i

3 + 4i 5 + 6i + + + 4 − 3i 6 − 5i

……

a) ( n+1 ) i d) 2n I

b) ( 2n + 1 ) I e) N.a.

c) n i

06. Hallar “α - β” en : (1+i) (2+i) ( α + i ) = (1 - i ) (2 - i ) (β - i )

origina un número real calcularlo b) 0 e) 6

3er. Año Secundaria

………n términos

11. La suma de los siguientes complejos:

a) 7 d) 2

b) 1 e) N.A

04. Sabiendo que E es un valor real, donde el valor de : E =

b) 4 + 9i e) A y D

ALGEBRA

09. Hallar “a+b” si: a) 0 d) 3

a) 6 + 17i d) 6 + 8i

02

c) 5

TAREA DOMICILIARIA

Sabiendo su i = √-1 a) 2 d) -1

b) 4 e) N.a

c) 0

07. Hallar “a+b” si 01. Calcular : R= a) 2 d) 0

4 1− i +   1− i 1+ i  1+ i 

b) i e) N.A

c)4

b) 4 i e) N.A

1+ 2i

c) 16

b) 4 e) N.a

c) 6

2 − i

3 + 4i 5 + 6i + + + 4 − 3i 6 − 5i

……n

términos

GRUPO EDUCATIVO INTEGRAL copyright 2003

03. Si la raíz cuadrada del número complejo 1 + i es x + y i , Hallar el valor de : M = x/y - y/x S3AL32B

a) 2 d) 8 08. Sumar :

02. Si Z = 1 + i ; Calcular : Z8 a) 2 i d) 18

3 − 2i (1 + 2i) + 5 + 4i= a + bi 3 1− 2i 2 − i

a) ( n+1 ) i d) 2n I

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

b) ( 2n + 1 ) I e) N. A.

c) n i

S3AL32B

“El nuevo símbolo de una buena educación...."