Algebra 3° 3b

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

3er Año Secundaria

Es la relación matemática donde nos indica que dos cantidades tienen el mismo valor. Se denota por el signo =, que se lee igual.

III

ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON

CONTENIDO TEÓRICO:

Enunciado abierto; es toda expresión que contiene por lo menos una variable, que para determinados valores de su dominio se convierte en un enunciado verdadero o falso llamado proposición.

Variable; es el símbolo que puede tomar un valor cualquiera en un determinado conjunto llamado dominio.

El conjunto solución de una ecuación es el conjunto de valores que permiten que la ecuación sea una proposición verdadera.

Ejemplo: La ecuación 3x – 5 = 0, tiene como raíz o solución a: x = 5/3.

5  3 

Luego, su conjunto solución es:C.S. =   3. CLASIFICACION DE LAS ECUACIONES 3.1. De acuerdo a la naturaleza de los términos de la ecuación:



Irracional: La incógnita aparece afectada por radical. x +3 = 11.

En el ejemplo anterior tener en cuenta su conjunto de valores admisibles (CVA) es decir: CVA = {x / x + 3 ≥ 0} → CVA = {x / x ≥ -3} Por lo expuesto se concluye que la cantidad subradical debe ser mayor o igual que cero.

Ecuación Trascendente: Cuando presenta expresiones trascendentes. a x+7 = 2 ; cos(2x) = -1; log x + 1 = 0 3.2. De acuerdo a sus coeficientes: ♦ Numéricas: P(x) = 2x2 – 3x + 7 = 0



Racional: La incógnita no está afectada por el signo radical. x4 – 17x2 + 16 = 0

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

Racional entera

ECUACIONES CONSISTENTES 0 COMPATIBLES.- Son aquellas que tienen o aceptan por lo menos una solución. A su vez se dividen en:  Determinadas.- Son aquellas que tienen un número limitado de soluciones. x2 +5x +4=0 es determinada.  Indeterminadas.- Son aquellas que tienen un número ¡limitado de soluciones!

2x + 3 = 2x + 3 es indeterminada.

ECUACIONES INCONSISTENTES 0 INCOMPATIBLES.- Son aquellas que no tienen solución, también se les denomina absurdas o imposibles.

x =-i ; 2x+1=2x+ 3

4. ECUACIONES EQUIVALENTES Dos o más ecuaciones de las mismas variables son equivalentes, si y sólo sí poseen el mismo conjunto solución. Ejemplos:

x 2x + = 14 → CS = {12 } 2 3 P2 = 5 x − 36 = 24 → CS = {12} P1 =

Como los conjuntos solución son iguales, entonces P1 P2 son equivalentes.

(Los coeficientes son: 2, -3 y 7)

♦ Literales: P(x) = ax2 + bx + c = 0

(Los coeficientes son: a, b y c)

Ecuación algebraica: se denomina algebraica, si ella se puede reducir de modo que su primer miembro sea un polinomio respecto a la incógnita y el segundo miembro cero. Las formas en que se presenta la ecuación algebraica son:

1. IGUALDAD S3AL33B

El hecho de haber establecido su conjunto de valores admisibles (C.V.A) no significa haber hallado su conjunto solución, sólo se le ha restringido ¡ CUIDADO!

OBSERVACIÓN:

COMENTARIO PREVIO: Una de las mayores aportaciones a la teoría de las ecuaciones se debe al matemático Joseph Luis Lagrange (1736 – 1813). Lagrange fue uno de los mayores analistas de su época. Su mayor aportación al álgebra es su famosa memoria “sobre la resolución de las ecuaciones numéricas” escrita en 1767.

La interpretación de los fenómenos físicos de la naturaleza se realiza en general mediante modelos matemáticos, los cuales se expresan por ecuaciones algebraicas. De ahí la gran importancia del estudio de la teoría de ecuaciones.

En este módulo aprenderemos a resolver ecuaciones de primer grado, de segundo grado, y demás ecuaciones polinomiales.

En el ejemplo anterior tener en cuenta su conjunto de valores admisibles (CVA) es decir: CVA = x ∈ ℜ – {x / x = 0}.

Es todo enunciado abierto en que aparece el signo “=” y cuyo valor de verdad se determina mediante su correspondiente conjunto de valores admisibles para la variable (conjunto solución).

 Dado un conjunto de ecuaciones de primer grado, trabaja con actitud crítica y creativa situaciones problemáticas, utilizando una variedad de técnicas de cálculo y aplicando correctamente las propiedades que correspondan.

Racional fraccionaria

¡ ALGO PARA RECORDAR!

2. ECUACIÓN

 Reconoce y clasifica una ecuación algebraica desarrollando la percepción y acumulando experiencias que servirán de soporte para futuras formalizaciones.

3er Año Secundaria

−3 = 5x2 + 1 x

A=B

OBJETIVOS ESPECIFICOS:

ALGEBRA

26

25

5. ECUACIÓN DE PRIMER GRADO 0 LINEAL EN UNA VARIABLE Son aquellas ecuaciones que tienen la forma:

3.3. De acuerdo a su solución:

P(x) = ax + b = 0

Cuando se plantea una ecuación, nos interesa saber si dicha ecuación tiene solución o no, si tiene solución se debe conocer si existe un número finito de soluciones o existen infinitas soluciones. Considerando lo antes mencionado, la siguientes clasificación está dada en función de las soluciones.

S3AL33B

Donde: a, b son los coeficientes, “x” es la incógnita.

Para obtener la única raíz o solución de la ecuación, basta con despejar la incógnita, así:

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN ax = -b →

x=−

b a

5. ANÁLISIS DE LA PARAMÉTRICA EN "X"

ECUACIÓN

Toda ecuación algebraica con una incógnita, que pueda reducirse a la forma: ax + b = 0 está sometida a la siguiente discusión: ax = -b → x = −

b a

- Si: a ≠ 0, la ecuación es determinada.

- Si: a = 0 , b = 0 la ecuación es indeterminada.

- Si: a = 0, b ≠ 0 la ecuación es incompatible.

Para resolver una ecuación de primer grado es fácil, bastará con aplicar algunas propiedades básicas de los números reales hasta determinar el valor de la incógnita.

Se debe tener cuidado, cuando la variable aparece en el denominador o cuando se presenta un término radical; es justamente en estos casos que aparece una raíz extraña en algunas ecuaciones.

Luego, para resolver ecuaciones en general y de primer grado en particular es necesario tener en cuenta lo siguiente: a) Si se divide ambos miembros de una ecuación por una misma expresión que contenga a la incógnita, entonces se perderán soluciones. Esto se puede evitar si la expresión que se divide (simplifica) se iguala a cero.

Ejemplo: Resuelve: (x +3) (x–2) = 4 (x–2) Resolución: Simplificando: (x-2) → x-2=0 Para no perder solución → x=2 Luego, tendremos: x+3=4 → x =1 S3AL33B

3er Año Secundaria

25

ALGEBRA

26

3er Año Secundaria

La ecuación tiene 2 soluciones x=2 y x=1 (de no haber igualado a cero, hubiéramos perdido la solución x=2).

(No cumple), luego: x = 3 es una solución extraña, y la ecuación es incompatible, pues no tiene solución:

b) Si se multiplican ambos miembros de una ecuación por una misma expresión que contenga a la incógnita, entonces se puede introducir soluciones extrañas.

Esto se puede evitar si previamente se simplifica por separado cada miembro de la ecuación.

Observación: Siempre que se potencie los dos miembros de una ecuación. El valor o los valores obtenidos para “x” deben comprobarse en la ecuación original pues pueden no ser soluciones verdaderas.

x −2

d) Si a ambos miembros de una ecuación le sumamos un mismo número o un mismo polinomio, la nueva ecuación es equivalente a la inicial.

=4

Resolución:

Observación Si ambos miembros se suma o resta una función arbitraria, la ecuación resultante no necesariamente es equivalente a la inicial.

Primero simplificamos (x-2), luego tendremos: x+3=4→x=1 Observación: Si hubiésemos trasladado (x–2) a multiplicar, tendríamos que una solución sería x = 2, que es una solución extraña, pues no verifica la igualdad.

Sumando a los 2 miembros:

x2 – 12 +

x 2 +7 = x −7

2 ; x −5

2 2 = 2x + 3 + x −5 x −5

Para lo cual x = 5 no es solución.

Resolución: Elevando al cuadrado: 2

+7

)

2

= ( x −7 )2

2

x + 7 = x – 14x + 49 14x = 42 → x = 3 Pero si reemplazamos; x = 3 en la ecuación dada tendremos: 3

2

+7 =3 −7 → 16 =−4 →4 =−4

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

PRÁCTICA DE CLASE 1.

Clasificar las siguientes ecuaciones algebraicas de acuerdo a su forma:

x 3 − 2 x 2 + x − 7 = 0 ...................

a) .

5 − 2 x = 0 ………………........ x −2

b) . c) S3AL33B

x − 4 − 2 − x = 0 ................

3x 3 +5 − = 0 .............. x +2 x −3

Clasificar las siguientes ecuaciones algebraicas en función de las soluciones. a)

x 3 = 9 x ............................................

b)

2x+5 = 2x+5 ..................................

1 1 +x = …………......................... x x

d)

x(x-2) = (x-1)2 ……….......................

e) f)

5x = 5x ............................................ x − 5 − − x + 2 = 0 ................... ....

Instrucción: Encierra en una circunferencia V (verdadero) o F (falso).  El conjunto de valores admisibles en una ecuación algebraica implica que la ecuación ha sido resuelta. V - F  En una ecuación polinomial sus coeficientes son números naturales. V F  Una ecuación es una proposición matemática. V - F  Una ecuación compatible indeterminada tiene infinitas soluciones. V - F

Obtenemos:

Ejemplo: Resuelve

(x

3.

La ecuación: x2 – 12 = 2x + 3 tiene por raíces: x = 5 ; x = -3

c) Si se eleva ambos miembros de una ecuación a un mismo exponente, entonces se pueden introducir soluciones extrañas.

2

2.

c)

Ejemplo: Resuelve:

( x + 3 ) ( x − 2)

d)

4.

Una ecuación compatible: a) Tiene 2 incógnitas b) No tiene solución c) Tiene un número finito de soluciones d) Tiene un número infinito de soluciones e) c y d

05. Toda ecuación lineal presenta: a) 1 solución b) 2 soluciones d) 4 soluc. e) N.A.

c) 3 soluc.

06. Se llama ecuación polinomial a la: a)Ecuación algebraica racional entera

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN b)Ecuación algebraica racional fraccionaria c)Ecuación trascendente d)Ecuación irracional e)N.A. 07. Una ecuación se llama incompatible si:

3er Año Secundaria 02.

03.

Indique la suma de sus raíces.

04.

b) 5 e) 9

08. Resolver:

c) 6

a) 6 d)Indeterminado 09.

Indique:

b) – 6 c) 6; – 6 e) Incompatible

Resuelve:

x–4+2

5 −x =8 −x +

20 − 4 x

06.

01.

Resolver:

x −4 x 2 − 16 = x +1 2x 2 − x − 3

Indique el número de sus raíces: a) 1 d) 4

b) 2 c) 3 e) Incompatible

d) 3 Resolver:

Dada

a) 8:02 d) 8:25

b) 8:00 e) 9:11

c) 8:04

14. El conjunto solución de:

2 x −1 x − 4 x 2 − 6 x + 15 es: − = x +3 x −3 x 2 −9 a) ℜ d) ℜ-{3;-3}

b) {3;-3} e) N.A.

c) {4 ; -4}

15. En la siguiente ecuación: (x+1) + (x+2) + (x + 3) + ..... + (x + n) = n2

n es entero positivo, el valor de "x" es:

c) 3

n −1 2 3n d) 2 a)

b) 2 e)0

n +1 2 2n + 1 c) 2 x b)

c)

n 2

c) 3 TAREA DOMICILIARIA

34 +x − 7 +x

b) 3 e) 5 la

ecuación

x +1 x +2 5x + 7 + = 2 3 6

11. Si

c) 4 en

Dar el valor de verdad: I. La ecuación dada es lineal .

II. La ecuación tiene infinitas soluciones.

III. La ecuación tiene solución única

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

b) 2 e) 5

a) 1 d) 9

Resolver cada una de las siguientes ecuaciones:

( x −1)2 =1 − x .

El conjunto solución de la ecuación es: x:

a) x = 1 d) x < 1

b) x = 3 e) x > 1

c) x = 2

12. Compré cierto número de folletos de álgebra por 100 nuevos soles. Si el precio por el ejemplar me hubiese costado un nuevo sol menos, tendría 5 ejemplares más por el mismo dinero. ¿Cuántos folletos compré) a) 4

S3AL33B

13. En un reloj se lee 8:48 cuando en realidad son 8:52, más tarde a las 9:42 se lee 9:34, y según esto: ¿a qué hora dará una lectura correcta?

c) VVVFF

11 11 + x −7 = 3 − x + x −5 x −5

e) 15

1 1  1 1 285 + + + ... +  x = 285 + (1 + 4 + 9 + ... + 81) 306  3  6 12 20

e) N.A.

a) 0 d) 2 07.

ecuación

10. Resolver:

c) – 27

2

x −1 + x +2 =

EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 01

b) FVFVF e) VFVFV

es

d) 25

la

09. Sea la ecuación en "x"

a) 1 d) 4

3–x

b)

3

b) tiene dos raíces d) Indeterminado

c)3

Resolver:

a) 4

Marque lo correcto: a) tiene una raíz c) tiene tres raíces e) Incompatible

b) 2 e) 5

Indique: (7 + 2x)

x −3 x2 −9 . = x +2 x2 + x − 2

Resolver:

dada

de

a 3 x − a 4 + 6 a 2 = (3 a − 2)x + 8 a − 3 e indicar el valor de "a" para el cual la ecuación presenta infinitas soluciones.

x +6 x +7 x + 3 x + 10 + = + x +2 x +3 x −1 x +6

a) 6 b) – 6 c) 6; – 6 d) Indeterminado e) Incompatible 10.

x2 3+x

a) 1 d) 4 5.

solución

a) 5 b) 5 ; -5 c) -5 d) Indeterminado e) Incompatible

Resolver: 6 −x + x +7 − 12 x +1 =0

4 4 =7−x + x −6 x −6

es

5 + 3

a) FVFVV d) FFVVV

Resolver:

a) 0 d) 7

3er Año Secundaria

ecuación.

V. La ecuación polinomial

3 x +1 + 5 x = 16 x +1

Resolver:

x −5 +

ALGEBRA

26

IV.

=9 − x

a) incompatible b) 0 c) 5 d) 5; - 5 e) indeterminado

a) Tiene infinitas soluciones b) Tiene 3 incógnitas c) Tiene un número finito de soluciones d) Es irracional e) No admite solución 8.

(1 − x ) 2

Resolver:

25

S3AL33B

b) 4

01.

02.

ax a ax b − =1 + − a +b a −b a −b a +b 5 x −6 =3 x −4

03.

x 2 1 + = x −1 5 x −1 03. x + 5 + 2

c) 20 “El nuevo símbolo de una buena educación...."

x −3 =7 − x + 4 x −12

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3er Año Secundaria

Encierre en una circunferencia cada una de las respuestas correctas: 04. Resolver:

1 2

x + 3 x − 28 a) 4

b) – 3

−

1 2

x + 12 x + 35

c) 3

d) 1

=

25

09. Halla el valor del parámetro "a" de modo que la ecuación 2 2 a x + 2 x + 2 = a + a + 3 ax sea:

3 2

Compatible determinado Compatible indeterminado Incompatible

x + x − 20

e) – 4

05. Resolver: x 2 − 6 x + 10

x +4 =  x −3  x 2 + 8 x + 17

a) ½ d) –1/4

−2

   

b) – 1/3 e) Es incompatible

c) 1/3

06. Para que valor real del parámetro "n", la ecuación de primer grado en "x": (2n – 1)x + 2 = nx – 3n2 será compatible y determinada. a) ∀ n ∈ ℜ c) 2 e) ∀ n ∈ ℜ - {1}

b) ∀ n ∈ ℜ+ d) 3

ALGEBRA

26

3er Año Secundaria

La historia del álgebra comenzó en el antiguo Egipto y Babilonia donde fueron capaces de resolver ecuaciones lineales (ax = b) y cuadráticos (ax2 + bx + c) así como ecuaciones indeterminadas como x2 + y2 = z2 con varias incógnitas. Los antiguos Babilonios resolvían cualquier ecuación cuadrática empleando esencialmente los mismos métodos que hoy se enseñan.

También fueron capaces de resolver algunas ecuaciones indeterminadas.

Los matemáticos alejandrinos Heron y Diofante continuaron con la tradición de Egipto y Babilonia aunque el libro "La aritmética de Diofante" es de bastante más nivel y presenta muchas solución es sorprendente para ecuaciones indeterminadas difíciles. Esta antigua sabiduría sobre resolución de ecuaciones encontró a su vez, acogida en el mundo islámico en donde se le llamó "ciencia de reducción y equilibrio" (La palabra árabe "ál - jabru" que significa reducción es el origen de la palabra álgebra).

En el siglo IX el matemático Al-Juarizmi escribió uno de los primeros libros árabes de álgebra, una presentación sistemática de la teoría fundamental de ecuaciones con ejemplos y demostraciones incluidas.

CONTENIDO TEÓRICO: ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

07. En la siguiente ecuación: (x+1) + (x+2) + (x + 3) + ..... + (x + n) = n

2

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON

n es entero positivo, el valor de "x" es:

n −1 2 3n d) 2 a)

n +1 2 2n + 1 c) 2 b)

c)

n 2

OBJETIVOS ESPECIFICOS: 

Dado un conjunto de Ecuaciones de segundo Grado, resolverlos aplicando correctamente las propiedades que corresponden.

COMENTARIO PREVIO: S3AL33B

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

DEFINICIÓN. Se llama ecuación de segundo grado a toda ecuación que admite la siguiente forma:

Este método se aplica únicamente si el trinomio: ax2 + bx + c es factorizable, para lo cual se debe tener en cuenta la siguiente propiedad: Si : m . n = 0 ⇒ m = 0 ∨ n= 0 Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación: x2 – x–12=0 Resolución Factoricemos al trinomio: x2 – x–12 Según el criterio del aspa simple tendremos: x2 – x – 12= (x-4) (x+3) x x

Luego la ecuación dada será: (x - 4) (x + 3) = 0 Finalmente de acuerdo a la propiedad señalada líneas arriba; se tendrá: x–4=0

x2 – x – 12= 0, es: C.S. = {4; -3} B) Por la Fórmula de Carnot Dada la ecuación : ax2 + bx + c = 0, sus raíces se obtienen utilizando la fórmula deducida por Sadi Carnot:

x =

ax + bx + c = 0, {a; b; c} ⊂ R / a ≠ 0 Frecuentemente a dicha ecuación se le llama: Ecuación Cuadrática y se caracteriza por presentar 2 raíces o soluciones (su incógnita “x” asume dos valores) RESOLUCIÓN

A) Por Factorización S3AL33B

DE

∨ x + 3 = 0 ⇒ x = 4 ∨ x = -3

Es decir el conjunto solución de la ecuación:

2

MÉTODOS DE ECUACIÓN.

-4 3

− b ± b 2 − 4 ac 2a

Donde las raíces son:

x1 =

− b + b 2 − 4 ac ; 2a

x2 =

− b − b 2 − 4 ac 2a

LA

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

3er Año Secundaria ∆ = b2 – 4ac

2

Resolver la siguiente ecuación: x + 3x – 1=0 Resolución De la ecuación se deduce que: a = 1∧b = 3 ∧c = -1

Reemplazando en la fórmula tenemos:

3er Año Secundaria

y

− 3 ± 3 2 − 4 (1)(−1)

x =

2(1)

−b ± ∆ 2a

V

0 x2

a > 0 ∧b 2 – 4ac > 0

B) ANÁLISIS DEL DISCRIMINANTE

Finalmente las raíces de la ecuación son:

− 3 + 13 x1 = 2

V

x

x1

(1) Gráfica de ax 2 + bx + c

− 3 ± 13 x= 2

; x 2 = − 3 − 13 2

En consecuencia el conjunto solución es :  − 3 + 13 − 3 − 13   C.S. =  ;  2 2    

ANÁLISIS DE LA ECUACIÓN. Para la ecuación: ax2 + bx + c = 0, se tiene:

Si : ∆ > 0

En este caso las raíces de la ecuación serán reales y diferentes.

Si : ∆ = k (cuadrado perfecto) Siendo a, b ∧ c números racionales, las raíces de la ecuación serán reales racionales y diferentes. Pero si ∆ ≠ k2, las raíces de la ecuación serán reales irracionales conjugadas y diferentes.

2

I) Sí: a ≠ 0 ∧ {b ; c} ⊂ R , la ecuación es : Compatible Determinada.

Segundo:

II) Sí: a = 0 ∧ b = 0 ∧ c = 0 , la ecuación es : Compatible Indeterminada.

En este caso las raíces de la ecuación serán reales e iguales. Este caso se presenta cuando el trinomio “ax2 + bx + c” es un cuadrado perfecto.

III) Sí: a = 0 ∧ b = 0 ∧ c ≠ 0 , la ecuación es : Incompatible.

NATURALEZA DE LAS RAÍCES. A) DISCRIMINANTE (∆) Llamamos discriminante a la expresión subradical contenida en la fórmula de Carnot :

Tercero:

Si : ∆ = 0

Si : ∆ < 0

En este caso las raíces de la ecuación serán imaginarias y conjugadas. Debe notarse que las raíces imaginarias y conjugadas siempre se presentan en parejas, siendo una la conjugada de la otra.

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

x1 x

x2 0

(2) Gráfica de ax 2 + bx + c a < 0 ∧b 2 – 4ac > 0

y

Observando la relación anterior, resulta previsible que el valor y/o signo del discriminante determinará la naturaleza de las raíces de una ecuación de 2 do grado. Veamos los siguientes casos: Primero:

En la gráfica (4): Cuando b2 – 4ac<0, la parábola no toca ni cruza al eje “x”, entonces la ecuación ax 2 + bx + c = 0 no tiene soluciones reales. Su conjunto solución en R es vacío (φ), pero si admite soluciones o raíces complejas.

y

De este modo la fórmula que da solución a una ecuación de 2do grado queda así :

Efectuando y reduciendo:

S3AL33B

ALGEBRA

26

¡ Veamos los gráficos!

Ejemplo:

x =

25

y

(3) Gráfica de ax 2 + bx + c a > 0 ∧ b 2 – 4ac > 0

x

0

III)(x1 + x2 )2 - (x1 - x2 )2 = 4x1 . x2

(4) Gráfica de ax 2 + bx + c a > 0 ∧ b 2 – 4ac > 0

NOTA IMPORTANTE: Gráfica (1) Cuando a > 0, la parábola se abre hacia arriba y el vértice “v” es un punto mínimo.

Gráfica (2) Pero cuando a < 0 la parábola se abre hacia abajo y el vértice “v” es un punto máximo.

Luego en ambos gráficos cuando: b2 – 4ac > 0 la parábola corta al eje x en dos puntos reales, que vienen a ser el conjunto solución de la ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0 En la gráfica (3): Cuando b2 – 4ac < 0, la parábola tiene su vértice en el eje “x”; la ecuación ax 2 +bx+c=0 tiene como conjunto solución únicamente un solo elemento. x1 = x2 = S3AL33B

b a c p = x1 . x2 = a

s = x 1 + x2 = −

II) Producto de Raíces: x

x2 = x 1

Para la ecuación: ax2 + bx + c = 0 / a ≠ 0, de raíces x1 ∧ x2, tenemos: I) Suma de Raíces :

V 0

PROPIEDADES DE LAS RAÍCES.

RAÍCES PARTICULARES En algunas ecuaciones las raíces se condicionan de tal modo que efectuando alguna operación elemental entre ellas, se podrá deducir alguna propiedad particular, como por ejemplo: Raíces Simétricas: Si x1 ∧ x2 son raíces simétricas, se podrá establecer lo siguiente: x1 = m ∧ x2 = -m ⇒ x1 + x2 = 0 Raíces Recíprocas: Si x1 ∧ x2 son raíces recíprocas, se podrá establecer lo siguiente: x1 = m ∧ x2 =

1 ⇒ x1 . x 2 = 1 m

RAÍCES ESPECIALES Llamaremos así a las siguientes raíces:

b

Raíz Nula: Dada la ecuación cuadrática ax 2 + bx + c = 0 / a ≠ 0, si ésta presenta una raíz nula (x = 0), se cumplirá que: c = 0.

a

Raíz Unidad: Dada la ecuación cuadrática; “El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN ax + bx + c = 0 / a ≠ 0, si ésta presenta una raíz unidad (x = 1), se cumplirá que: a + b + c = 0.

2

RECONSTRUCCIÓN DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA. Considerando a x1 ∧ x2 como raíces de la ecuación tal que: S = Suma de raíces P = Producto de raíces Entonces la ecuación que originó a dichas raíces se determina así:

3er Año Secundaria

25

02.Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas: a) (x+1)(x+2) (x+3) = x (x+4)(x+5) b) c) d)

x +1 x −1 3

+

x −2 x +2

=3

72 − x − 3 16 − x = 2 x −2 x −3

x −3

+

x −2

=

5 2

03. Completar: a) 2x2 - 7x - 3=0 ∆= ....................... b) 7x2 - 11x - 14 = 0 S= ........................

x2 – Sx + P = 0

x 1−1 + x 2−1 = .......... e) 2x2 + x - 1 = 0 (x1+1)(x2+1)= ...... f) x2 + 2x - 1= 0 (x1+1)(x2+1)= ....... d) 2x2 + 7x + 1 = 0

A. De las Ecuaciones Equivalentes a1 x2 + b1 x + c1 = 0 ...... (1) a2 x2 + b2 x + c2 = 0 ...... (2) dos ecuaciones equivalentes, luego entre ellas se cumplirá la siguiente relación:

a1 b1 c1 = = a2 b 2 c 2 PRÁCTICA DE CLASE

b) c)

x 2 + 2x − 3 S3AL33B

A)Suma de raíces es 5/2.

B)Producto de raíces es 9/4.

C)Raíces recíprocas.

D)Raíces simétricas.

E)Una raíz es -2.

x − x 2 − 21 = 7

−

x +1 x2 −9

=

d) I A - II C - III B e) I C - II A - III B

4 x2 −4x + 3

b) Suma de las inversas de las raíces es -5/2

c) Diferencia de raíces es 0,5 d) Suma de los cuadrados de las raíces es 5/4

m = ........... m = ........... m = ........... m = ........... m = ...........

07.Formar una ecuación cuadrática con coeficientes enteros para cada uno de los siguientes casos: a) x1 = 7 b) x1 = 2/3 c) x1 = 3 - 2 d) x1 = 4 + i e) x1 + x2 = -7 / 3

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

x2 = 4 x2 = -3/5

x1.x2 = 5 / 9

Es incompatible. a) -9 d) 18

b) -18 e) -13

c) 9

EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 02 1. Si la ecuación: x2 – nx + 36 = 0, admite como raíces a : x1 ∧ x2, tal que:

08. Indicar la mayor raíz de la ecuación: x2 - 3x + 2,16 = 0 b) 0,8 e) 1,2

09. Si : x = decirse que:

c) 1,8

1 + 2 + 2 +....

a) x= 3 d) x=2

I. III.

, puede

b) 0<x<1 c) x>2 e) x es infinitamente grande

x2 – x – 1 = 0 3x2 + x – 2 = 0

II. x2 – 2x + 3 = 0

No admite raíces reales. a) Solo I d) II y III

b) Solo II e) I y II

c) Solo III

11. Halle la menor raíz de la siguiente ecuación mónica de 2do grado:

06. Calcular "n" para cada uno de los siguientes casos, siendo la ecuación cuadrática: (2n - 5)x2 + (3n - 5)x + n + 1 = 0

e) -1

12. Calcular el valor de “m-2n” si la ecuación cuadrática: 5 (m + n + 18)x2 + 4(m - n) x + 3mn=0.

1 1 5 + = ; encontrar el valor de “n”. x 1 x 2 12 a) 25 d) 24

2

(m-2) x – (3m-8) x + m – 9 = 0 a) -2 S3AL33B

b) -3

c) 2

b) 18 e) 15

c) 12

02. Siendo: x1 ∧ x2 las raíces de la ecuación : 5x2 – 23x + 11 = 0, el valor de:

3 x1 + 1 3 x 2 + 1 . ; es: 2 x1 − 9 2 x 2 − 9

10. Cuál o cuáles de las siguientes ecuaciones:

(m+1)x2 - (3m - 5)x + 2m - 5= 0

x +1 x − 2 8x +1 + = 3 5 15

x −2

a) I A - II B - III C b) I C - II B - III A c) I B - II C - III A

A)Raíces reales iguales.

B)Raíc. reales diferentes.

B) Raíces complejas.

05.Calcular "m" para cada uno de los siguientes casos, siendo la ecuación cuadrática:

01.Resolver las siguientes ecuaciones: a)

I) x2 - 4 3 x+12=0 II) x2 -2x -1=0 III) x2 - 2x+3=0

d) 3 a) Raíces iguales

a) 1,2 d) 0,3

04.Relaciona correctamente:

Sean:

3er Año Secundaria

1 1 + = ............. x1 x 2

c) x2 - 5x + 6 = 0

PROPIEDADES IMPORTANTES.

ALGEBRA

26

17 35 183 d) 35 a)

143 35 173 e) 35 b)

c)

153 35

03. ¿Para qué valores de “m” la ecuación: x2 - 2(3m+1) x + 7(2m+3) = 0, tendrá sus dos raíces iguales? a) 5 ; 2 d) 3 ; -1

b) 1 ; -3/2 e) 2 ; -10/9

c) 4 ; -2

04. La ecuación cuadrática cuyas raíces son :

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 2+

2

∧ 2-

a) x2 + 2x – 1= 0 c) 2x2 - 4x + 1= 0 e) x2 - 8x + 2= 0

3er Año Secundaria

5 2 25 d) 4

2 , es:

b) x2 + 4x +2= 0 d) x2 - 4x + 2= 0

05. Si “α” y “θ” son las raíces de la ecuación: x2 - 2x – 5 = 0, encontrar una ecuación cuadrática cuyas raíces sean: α2 y θ2.

2

5 2 36 e) 25

a)

b) -

c)

25

(a+1)x +ax+1=0 ; tenga una sola solución si “a” es un número real y diferente de –1.

5 4

a) 12 d) 5

x(x −1) −(m −1) (x −1)(m −1)

a) x +14x + 25=0 b) x +14x +15= 0 c) x2 - 2x - 1= 0 d) x2 - 14x - 25= 0 2 e) x - 14x + 25= 0 06. Calcula la mayor solución de la ecuación: (m-2) x2 – (2m-1) x + m – 1 = 0

1 6 1 d) 3

=

x m

1 5 1 e) 2

a)

b)

, son iguales? c)

1 4

b) 0,5 e) N.A.

a) 3 d) 3/2

b) 3/4 e) 5/3

diferencian en 2?

1 6 1 d) 6

c) ½

a) b2 - 4ac

b

2

1 r

2

+

b 2 − 4 ac b) 2a

1 s

2

, es:

b

− 2ac c

2

1+

e) b2 + 4ac 2

a) 3x – 5 = 0 c) 3x2–x–5=0 e) 2x2 - 4 = 0

S3AL33B

3.

1

; está dada por:

n

P(n) =

7

x 1n + x n 2

; calcular : P(2)

b)

7 3

e)

3

c) 3

09. ¿Qué valor debe agregarse a las raíces de: (a+b)x2 + (a-b)x + ab = 0; para que estas nuevas raíces sean raíces simétricas de otra ecuación cuadrática?

a +b a −b a −b 2(a + b)

a −b a +b

a)

b)

d)

a +b 2(a − b) e) 2 ( a − b) a +b

1 1 3 + = ; encontrar el valor de n : 2x1 2x 2 5 a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c)

b) 11 e) 17

OBJETIVOS ESPECIFICOS:

c) 33

07. ¿Para qué valor de “n” las raíces de la ecuación:

x 2 + 3x n −1 , son simétricas. = 5x + 2 n +1 b) 4 e) 1

c) 3

08. Si las ecuaciones: (2m+1) x2 – (3m-1) x + 2 = 0 (n+2) x2 – (2n+1) x – 1 = 0

2

b) 5x – 3 = 0 d) 5x2 – x – 3=0

Son equivalentes. Calcula el valor de “m”. a) -9 d) –6,5 S3AL33B

b) 6,5 e) 14

DESIGUAL

c) 3

06. ¿Para qué valor de “n” el discriminante de la ecuación: x2 - 8x + n = 0, es igual a 20?

a) 5 d) 2

1 2+ 

Determine la suma de los valores que puede tomar “a” para que la ecuación:

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

3x2 – x – 1 = 0. A continuación se establece que:

a) 44 d) 22

1 3+

b2 . ac

1 3

1 2+

x=

09. Si una raíz de la ecuación: ax 2+bx+c=0, es el cuádruplo de la otra, calcular:

c) -

1 3+

c2 d)

b)

02. La ecuación de 2do grado una de cuyas raíces es la fracción:

c)

− 4 ac 2

1 3 2 e) 3

a) –

08. Si “r” y “s” son las raíces de la ecuación: ax2 + bx + c = 0 ; el valor de :

m2 +1=0; se 4

x2 – (m+3)x +

ecuación:

c) 4

05. Si la ecuación: x2 – 6x + n + 1 = 0 , admite como raíces a x1 ∧ x2 , tal que :

01. ¿Para qué valor de “m” las raíces de la

07. Calcular “m” para que la ecuación: 6x2 + (2m + 3)x + m = 0; tenga sólo una raíz.

2

04. Sea: {x1 ; x2} el conjunto solución de:

d)

TAREA DOMICILIARIA

c) 2,5

b) 4 e) 6

a) 7

Sabiendo que su discriminante es 25. a) 3 d) 1,5

3er Año Secundaria

2

10. ¿Para qué valor de “m” las raíces de la ecuación :

2

ALGEBRA

26

c) 9

 Conoce los diferentes axiomas y teoremas sobre los números reales, respecto a la relación de orden entre ellos.  Sabe operar adecuadamente con intervalos.  Forma una base matemática para el estudio de las inecuaciones.

COMENTARIO PREVIO: La Resolución de Ecuaciones lineales y cuadráticas, la congruencia de figuras geométricas y las relaciones entre las diversas funciones trigonométricas son temas relacionados con la igualdad. A medida que avancemos en el desarrollo de las ideas matemáticas, veremos que las desigualdades son tan importantes en las aplicaciones de la matemática como las ecuaciones. Una desigualdad está involucrada cuando estamos mas interesados en el tamaño aproximado de una cantidad que en su valor

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN exacto; por ejemplo, si decimos que el diámetro “d” de un planeta es aproximadamente 18 700 millas, queremos decir que:

3er Año Secundaria

1. Desigualdad Absoluta: Es aquella que se verifica para todos los valores reales que se asignen a sus variables.

Ejemplos: * x + 6 > x + 2 ; se verifica ∀ x ∈ R 2 * x + 1 > 0 ; se verifica ∀ x ∈ R

18 650< d < 18 750.

Si realizamos un análisis nos daremos cuenta que la medición absolutamente exacta de cualquier cantidad física; tal como una distancia, un peso, una velocidad, etc. ... es completamente imposible, la precisión depende de los instrumentos de medida y tales instrumentos pueden usarse sólo para medir dentro de ciertas tolerancias especificadas, nunca exactamente.

2. Desigualdad Relativa: Es aquella que se verifica sólo para cierto conjunto solución de sus incógnitas.

Ejemplos: * 2x – 3 > 5; se verifica ⇔ x > 4 * 3x – 2 ≤ x + 4; se verifica ⇔ x ≤ 3 DEFINICIÓN DE < ; >

Por todo lo expuesto concluimos que es necesario un buen entendimiento básico de las desigualdades.

Nos ocuparemos a continuación de las desigualdades entre números reales y enseguida desarrollaremos algunos conceptos y leyes fundamentales que conciernen a ellos.

Dados a, b, c ∈ R se asevera: 1. a < b si y sólo si b – a es positivo.

2. a > b si y sólo si a – b es positivo.

CONTENIDO TEÓRICO:



RELACION DE ORDEN



Es una comparación que se establece entre dos elementos de un conjunto que pertenece al campo de los números reales. El campo real es un CAMPO ORDENADO. Símbolos de la relación de orden:

>: “mayor que” < : “menor que”

(estrictos)

≥ : “mayor o igual que” ≤ : “menor o igual que”

(no estrictos)

DESIGUALDAD Es una relación de orden que se establece entre dos números reales de diferente valor. Existen dos tipos de desigualdades:

25

Ejemplos: 

7 < 9 porque 9 – 7 = 2 y 2 es un número real positivo.

– 6 < –5 porque –5 – (–6) = 1 y 1es un número real positivo.

– 3 > –9 porque –3 – (–9) = 6 y 6es un número real positivo.

26

3er Año Secundaria

1. Sí a > 0 y b > 0, entonces a + b > 0 2. Sí a > 0 y b > 0, entonces a .b > 0 3. Sí a < b y b < c, entonces a < c; propiedad transitiva.

4. Sí a < b, entonces a + c < b + c 5. Sí a < b y c < d, entonces a + c < b + d 6. Sí a < b y c > 0, entonces a.c < b.c 7. Sí a < b y c < 0, entonces a.c > b.c LEY DE TRICOTOMIA Para cualquier número real “a”, una y solamente una de las siguientes relaciones se cumple:

a <0

a =0

v

v

a >0

Corolario: Dado dos números reales a y b; sólo se puede establecer una de las tres relaciones.

a <b

a =b

v

v

a >b

PROPIEDADES 1. Si a ambos miembros de una desigualdad se les suma o resta una misma cantidad, entonces el sentido de la desigualdad no se altera.

Sí α > b → α ± n > b ± n Aplicaciones:

De la definición también se concluye: a > 0 si y sólo si a es positivo. a < 0 si y sólo si a es negativo.

DEFINICIÓN DE ≤ ; ≥ Dados a, b ∈ R se asevera: 1. a ≤ b si y sólo si a < b ó a = b 2. a ≥ b si y sólo si a > b ó a = b Las proposiciones a < b, a > b, a ≤ b y a ≥ b se denominan desigualdades. En particular, a < b y a > b se llaman desigualdades estrictas, mientras que a ≤ b y a ≥ b se llaman desigualdades no estrictas.

x+5< 9⇒x< 9–5 ⇒x < 4 y – 11 > 5 ⇒ y > 5 + 11 ⇒ y > 16 2. Si a ambos miembros de una desigualdad se le multiplica o divide por una misma cantidad positiva, entonces el sentido de la desigualdad no se altera.

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

 →

an < bn a<b  n n

75 3

⇒ x > 25

Si: a < b ∧ n > 0 Aplicaciones: 3 x > 75 ⇒ x >

TEOREMAS: Dados a, b, c, d ∈ R S3AL33B

ALGEBRA

S3AL33B

y < 2 ⇒ y < 2 (8) ⇒ y < 16 8 3. Si a ambos miembros de una desigualdad se les multiplica o divide por una misma cantidad negativa, entonces el sentido de la desigualdad se invierte.

Sí a < b ∧ n < 0 ⇒

an > bn a > b  n n

Aplicaciones: –2 >10 ⇒ x<

10 ⇒ x< - 5 −2

x < 7 ⇒ x>7 (-5) ⇒ x > -35 −5 4. Si se suma miembro a miembro desigualdades del mismo sentido, entonces el sentido de la desigualdad se conserva.

Si: a < b ; c < d ⇒ a + c < b + d 5. Si se resta miembro a miembro desigualdades de sentidos contrarios, entonces se conserva el sentido de la desigualdad que hizo de minuendo.

Si a > b ; c< d

⇒ a–c>b–d

6. Si se multiplica miembro a miembro desigualdades del mismo sentido y con todos sus miembros positivos, entonces se conserva el sentido de la desigualdad.

Si: 0 < a < b ; 0 < c < d ⇒ ac < b d 7. Si se divide miembro a miembro desigualdades de sentidos contrarios y con todos sus miembros positivos, entonces se conserva el sentido de la desigualdad que hizo de dividendo.

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN Si a > b > 0 ∧ 0 < c < d ⇒

a b > c d

8. Si se eleva ambos miembros de una expresión o un mismo exponente impar entonces el sentido de la desigualdad se conserva.

3er Año Secundaria

>b

1. Intervalo Cerrado

-∞

a

b

Si: x ∈ [a; b] ⇒ a ≤ x ≤ b En dicho intervalo se incluyen los extremos “a” y “b”.

x -∞

+∞

a Si: x ∈ <a; +∞> ⇒ x > a

x

+∞ a b Si: x ∈ <a; b> ⇒ a < x < b En dicho intervalo no están incluidos los extremos “a” y “b”.

-∞

+∞

a Si: x ∈ [a; +∞> ⇒ x ≥ a

3. Intervalo Semi – abierto Mixto Semiabierto por la izquierda

a

-∞

x +∞ Si: x ∈ <-∞; a> ⇒ x < a

b

+∞

Si: x ∈ <a; b] ⇒ a < x ≤ b En dicho intervalo sólo se incluye el extremo “b”.

Semi-abierto por la derecha

INTERVALOS Sea I un subconjunto de IR (I ⊂ IR). Decimos que I es un intervalo, si y sólo sí es el conjunto de todos los número reales que están comprendidos entre dos extremos (que pueden ser finitos o ideales).

Si I es un intervalo, puede ser: ACOTADO o NO ACOTADO

-∞

a

4

x Si: x ∈ <-∞; a] ⇒ x ≤ a

+∞

+∞

-∞ Si: x ∈ <-∞; +∞> ⇒ x ∈ R

Si x ∈[a; b> ⇒ a ≤ x < b En dicho intervalo sólo se incluye el extremo “a”.

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

+∞

-∞

x

b

b) Para expresar el dominio y rango de una relación y de una función de R en R. Ejemplo: y f(x)

4.

5.

x

a) Para expresar el conjunto solución de INECUACIONES. Ejemplo: El conjunto solución de la inecuación: 2 2 +3x – x ≥ 0 es el intervalo cerrado: x ∈ [1; 2]

3.

x +∞

3. Si el extremo de un intervalo es infinito, este siempre irá como ABIERTO. [a; +∞> ; <a; +∞> ; <-∞; a] ; <-∞; -a> 4. Los intervalos son sumamente útiles:

-∞

x<0

S3AL33B

2. Un intervalo abierto puede simbolizarse de 2 formas: <a; b> = ]a; b[ Un intervalo cerrado sólo se simboliza de 1 forma: [a; b]

x

Números Positivos

+

1.

2.

2. Intervalo Abierto

x>0

0

1. La notación ∞, que se lee infinito no es un número real, sino un símbolo que se utiliza para indicar que un intervalo es ilimitado por la derecha (+∞) o por la izquierda (– ∞)

2n

Es una recta geométrica donde se establece una biyección, es decir a cada número real se hace corresponder un único punto de la recta y para cada punto de la recta sólo le corresponde un único número real.

Números Negativos

B. Intervalos No Acotados Se denomina así cuando por lo menos uno de los extremos es el ideal +∞ ó -∞. Estos son de la forma:

+∞

-∞

-∞

3er Año Secundaria OBSERVACIONES IMPORTANTES

Son intervalos cuyos extremos son números reales (finitos) y a su vez serán:

RECTA NUMERICA REAL

-

ALGEBRA

x

9. Si se eleva ambos miembros de una desigualdad a un mismo exponente por entonces se conserva el sentido de la desigualdad siempre que ambos miembros sean positivos.

Si a<b y a>0 ∧ b>0 ⇒ a

26

A. Intervalos Acotados

2 n +1 2 n +1 Si a > b ⇒ a > b

2n

25

x 7 ⇒ El dominio de la función f(x) es: x ∈ <0; 7] El rango de f(x) es: y ∈ <0; 4]

c) Para “ACOTAR” Ejemplo: Sí x ∈ <-2; 3] , ¿entre qué valores estará (x + 2)?

Si: x ∈] –2; 3[ ⇒ 0 < x + 2 < 5 (Infimo) cota inferior

S3AL33B

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

(Supremo) cota superior

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

3er Año Secundaria -∞

-2

Puesto que los intervalos en IR son conjuntos especiales de los números reales, podemos operar con ellos.

Sean A y B intervalos, se definen y se denotan:



A ∪ B = {x ∈ IR / x ∈ A ∨ x ∈ B}



A ∩ B = {x ∈ IR / x ∈ A ∧ x ∈ B} A – B = {x ∈ IR / x ∈ A ∧ x ∉ B} C

B = {x ∈ IR / - 8 ≤ x < 12}. Hallar: A ∪ B , A ∩ B , A – B , B – A , A’ , B’

+∞

3

El número 3 es una cota superior del intervalo <-2, 3>, porque x < 3, ∀ x ∈ <-2,3> El número 3,002 es cota superior del intervalo <-2, 3>, porque x < 3,002 ∀ x ∈ <-2, 3>, etc. Todos los números mayores o iguales a 3 son cotas superiores.

2) En el intervalo [-1; 1/2], el extremo superior 1/2 o cualquier número mayor que 1/2 es una cota superior del intervalo [-1; 1/2]

1/2 conjunto de cotas superiores

ACOTACIONES

Definición 1: Un subconjunto S no vacío de números reales está ACOTADO SUPERIORMENTE si existe un número M, tal que:

Definición 2: Un subconjunto S no vacío de números reales está ACOTADO INFERIORMENTE, si existe un número m, tal que:

m≤x,∀x∈S se llama "Cota Inferiores"

x≤M , ∀x ∈ S se llama "Cota Superiores"

Es decir:

Es decir: M es cota superior S ⇔ x ≤ M, ∀ x ∈ S

ALGEBRA

3er Año Secundaria Sean a, b, c, d, x ∈ IR 1. ∀ a ∈ IR: a2 ≥ 0 2. 0 ≤ a < b ∧ 0 ≤ c < d ⇒ 0 ≤ ac < bd

-3.002 ≤ x ∀ x ∈ <-3; 2]

3.

-3

ab > 0 ⇔ (a > 0 ∧ b > 0) ∨ (a < 0 ∧ b < 0)

4. ab < 0 ⇔ (a > 0 ∧ b < 0) ∨ (a < 0 ∧ b > 0)

2

conjunto de cotas inferiores

1 >0 a 1 6. a < 0 ⇔ <0 a 5.

Definición 3: Un número se llama SUPREMO de un conjunto, si éste es la menor de las cotas superiores.

a>0 ⇔

7.

Si a y b tiene el mismo signo, entonces:

Ejemplos:

 

1

 

1) En el intervalo: A = − ;3 , el supremo es 3.

2 2) En el intervalo: B =

− ∞ ;5

a < x <b

8.

, el supremo es

 a2 < x 2 < b 2 ; Si 0 < a < b  ⇒  0 ≤ x 2 < max [a 2 ; b 2 ] ; Si a < 0 ∧ b > 0  2 2 2 ; Si a < b < 0  b < x < a

m es cota inferior de S ⇔ m ≤ x, ∀ x ∈ S

Definición 4: Un número se llama INFIMO de un conjunto, si éste es el mayor de las cotas inferiores.

Ejemplos: 1) En el intervalo: A =

1 − ; 3] 2

, el ínfimo es –

1/2.

2) En el intervalo: B = [5; ∞> , el ínfimo es 5.

OBSERVACIONES: A. El supremo y el ínfimo representan al máximo y mínimo valor que toma un conjunto, respectivamente.

B. Un conjunto de números está ACOTADO si y sólo si está acotado superior e inferiormente.

1 ≥2 a 1 10. b + ≤ 2 b

Ejemplos: 1) En el intervalo A = <-2, 3> el extremo superior 3 o cualquier número mayor que 3 es una cota superior del intervalo A. Ver el siguiente gráfico:

1) En un intervalo A = <-3,2], son cotas inferiores los números –3, -3.002; -3.5, -4, etc. Todos los números menores o iguales que –3 son COTAS INFERIORES. Pues: 

S3AL33B

• •

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

a +b 2

≥ ab ≥

1 1 a

El intervalo: A = <-2; 7> es ACOTADO. El intervalo: B = <8; +∞> no es ACOTADO.

+

1

; ∀ a , b ∈ IR+

b

2 a +b +c 3

TEOREMAS ADICIONALES S3AL33B

; ∀ b ∈ IR −

11. a2 + b2 ≥ 2ab; ∀ a, b ∈ IR 12. a2 +b2 +c2 ≥ab + ac + bc; ∀ a, b, c ∈ IR 13.

C. El supremo y el ínfimo de un conjunto pueden ser o no un elemento del conjunto.

-3 ≤ x, ∀ x ∈ <-3; 2]

; ∀ a ∈ IR +

a+

9.

Ejemplos: Ejemplos:

1 1 1 > > a x b

a<x <b ⇔

5.

-1

Cota superior, Cota Inferior, Supremo, Ínfimo, Máximo y Mínimo de un Conjunto



conjunto de cotas superiores

OPERACIONES CON INTERVALOS

C A = A = A ' = {X ∈ IR / x ∈ IR ∧ x ∉ A} Aplicación : Sean los conjuntos (intervalos) A = {x ∈ IR / x ≤ 5}

26

25

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

≥ 3 abc ≥

1 a

+

1 1 b 3

+

1 c

; ∀ a , b, c ∈

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

3er Año Secundaria a) λ=1/4 d) + λ ≥ 1/4

14.

a + b +c +d 4

≥ 4 abcd

; ∀ a , b, c, d ∈IR 3.

n

I.

≥ n a 1 .a 2 .a 3 ... a n ; II.

∀a i ∈IR +, i =1; 2; 3;...; n

b) λ ≥ 4 c) λ ≤ 1/8 e) λ < 1/2

Marque verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

15.

a 1 + a 2 + a 3 + ... + a n

25

III. IV. V.

]a; b[ = {x ∈ R / a < x< b} ]m; n] = {x ∈ R / m < x ≤ n} [p; q] = {x ∈ R / p ≤ x ≤ q} ]t; +∞[ = {x ∈ R / t < x} ]-∞; u] = {x ∈ R / x ≤ u}

m

16.

am + b m  a + b  >  ; 0 < a < b; “m” no 2  2  es fracción propia positiva.

01. Marque verdadero (V) o falso (F):

a) FFVV d) VVVF

II. IV.

0≥0 π ≥ 3,14

b) VVVV e) FFFF

c) FFVF

(x + y)(x + z)y + z) xyz

S3AL33B

abcd

a +b +c +d

06. Hallar el menor número racional “m” donde ∀ x ∈ [2; 4] satisface la desigualdad:

x +3 x −5

09. Hallar el menor número M con la propiedad de que para todo x ∈ R se cumpla: 1 +6x - x2 ≤ M a) 11 d) 10

b) 9 e) 0

c) 12

10. Si: x2 - 6x + 8 < 0 y demás consideraremos: λ=x2- 6x + 8, entonces se puede afirmar que: a) λ e cualquier real negativo b) -1 < λ < 0 c) -1/2 ≤ λ<0 d) -1 ≤ λ < 0 e) -1 < λ ≤ 0 11. Sabiendo que a > 0, indique el intervalo al que pertenece, conociendo:

c) -5/3

07. Considere el polinomio P(x) = ax2+ bx + c donde:

15. Hallar el menor número “m” con la propiedad 7 +12 x −2 x 2 ≤ m, ∀x ∈ℜSea S

01. Sean los intervalos: C = [-4; 4]; D = ]4; 8[ .Calcular : C ∪ D

ax 2 +(1 −2a )x +a

∈ R;

∀x

∈R a) ]-∞; 2[ d) [1; +∞[

b) [1/4; +∞[ e) ]1/4; +∞[

a) [-4; 4]

b) ]4; 8[

d) [0;8]

e) [-4; 8[

c) 6

a) ∃ro ∈ R / P(ro )=0 c) ∀x ∈ R : P(x )>0 e) ∃x ∈ R / P(x ) ≤ 0

b) ∃ro ∈ R / P(ro )<0 d) ∀x ∈ R : P(x )>1

08. Dar el mayor número entero M que satisface la desigualdad: 2x2 - 4x +1 > 2M, ∀x ∈ R (Tal desigualdad la llamaremos absoluta) a) 3 d) 1

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

b) -2 e) -1

c) 0

02. Si la unión de los intervalos: p = [-11; 1[ ; q = ]3; 11] Es: [p + q; m [ ∪ ] p - q; n]

se puede afirmar que es verdadera cuando: a) x < 0 únicamente

b) 0 < x< 1 únicamente

c) x < 1 únicamente

d) x es cualquier real

Calcular: “p + q + m + n” a) -11 d) -1

e) x ∈ R - [0; 1]

13. ∀x ∈ ]0; +∞[ se define F(x) así: I. F(x) ≥ 1/x II. F(x) . F[F(x) +1/x] =1 Encuentre F(1) si además F(a) ≤ F(b) cuando a ≤ b a) 1 b) 1/2 d)No existe e) 2

S3AL33B

c) ]-4;8]

c) [2; -3[

x14 - x9 +x4 - x +1 > 0 b) -1/3 e) -6

Determine si existe el supremo y el ínfimo de A y establecer si pertenecen o no al conjunto A.

EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 03

12. Con respecto a la desigualdad:

≤m

1  / n ∈ Ζ+  n  

14. Dado el conjunto: A = 

I. a > 0 II. ∆ = b - 4ac < 0 Entonces es cierto que: b) 4 e) 8/3

4

b) x ≥ a ∧ y ≥ b d) x ≤ a ∧ y ≥ b

3er Año Secundaria

2

03.Siendo a > 0, b > 0; c> 0; d >0, indicar la correcta afirmación acerca de λ siendo:

λ=

c) VFVVF

05. Si:] x; y[ ⊂ ]a; b[, entonces es verdad que:

a) -2/3 d) -7

02. Siendo x >0; y > 0; z > 0, indicar el menor valor de la expresión:

a) 1 d) 8

b) VVFVF e) VVVFV

a) x ≤ a ∧ y ≤ b c) x ≥ a ∧ y > b e) x ≥ a ∧ y ≤ b

PRÁCTICA DE CLASE

I. 2 ≤3 III. -1 < 0

a) VVVFF d) VVVV

ALGEBRA

26

c)No es único valor

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

b) 11 e) 0

c) 1

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 03.Sean los intervalos: A = [-6; 5] B = ]-2; 9[ Calcular la suma de los valores enteros de A∩B a) 10 d) 13

b) 11 e) 14

c) 12

04. Si la intersección de los intervalos: A = ]-5; -1[ U ]2; 11[ B = [-3; 4] Es [a; b [ U ]c; d]. Calcula “a +b+c+d” a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

05. Para los reales afirmamos:

3er Año Secundaria c) a > b e) ab < 0

25

a) Todas d) I y III

09. Hallar los valores de “m” para los cuales “x” es un número positivo, si x = m - 2

c) Sólo I

a) m > 2 d) m ≤ 2

b) m < 2 e) m < -2

E = [-4; 5[ F = ]-2; 5] Es: [a; b]. Calcular “ab”

10. Resolver: 2x + 4 ≤ x +12 a) ]-∞; -8] d) [8; +∞[

b) ]-∞; -16] e) [-8; +∞[

a) -20 d) 8

c) ]-∞; 8]

b) Sólo II e) N.a.

c) Sólo III

07. Si: a < 0 < b, afirmamos

a) a < 0 y b > 0

c) 19/14

b) ]-∞; 3[ e) ]-∞; -3[ conjunto

solución

de

c) 2

b) a > 0 y b < 0 “El nuevo símbolo de una buena educación....”

b) φ e) ]2/3;6[

a) [-2a ; 2b] d) [-2b; 2b]

c) 2

b) [-2b; 2a] e) [-2a; 2a]

c) [-a; b]

la

d) 0 < x-1 < x < 1 e) 0 < 1-x < x < 1 07.Dados los números racionales U, V y W que satisfacen:

b) [-3; 10] e) [-9; 10]

V

> W, entonces se cumple:

a) U > V + W

M = [-15; -9] U [-3; 3] U [10; 17] N = [-12; -1] U [1; 13]

a) [-12; -3] d) [-3; -1]

c) 0 < 1-x < x < 1

U

03. Sean los intervalos:

c)

U +V V

>W+1

“x” en:

x +1 3

x

c) ]-1;3[

d) x < 1-

5

+a

? c) 0

> 1 , Si a = 1 -

5 b) x>15

d) ]3; 4[ e) [-3; -1[ 05. Para los números reales “a” y “b”. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es siempre verdadera? a) Si: a2 - b2 = 0  a = b b) Si: a2 - b2 = 0  a = -b S3AL33B

x −1

5

a +1

C = ]-1; 3[ . Calcular: A ∩ B ∩ C a) x > 1 +

c) IR

>

b) -3 e) 11

09.Resolver: a

B = [-3; 4[

d) U + W > V

08.Si: “x” es entero. ¿Qué valor no puede tomar

a) 1 d) -6

A = ]-∞; ∞[

b) [-3; 3]

b) U + V > W

e) V > U

c) [3; 13]

04. Sean los intervalos:

a) ]-1; 4[

a) [-60; +∞[ b) ]-60; +∞[ c) ]-∞; -60[ d) ]-60; 0[ e) x ∈ φ 15. Resolver: 3x+4 ≤ 2x+10 < 5x+8 a) [2/3; 6] d) ]2/3; 6]

b) -10 e) 25

Luego de calcular la intersección, indique un intervalo

c) [4; +∞[

x x x x + + + > x − 17 2 3 4 5

08. Si: a/b < 0, entonces se cumple que:

S3AL33B

a) [3; +∞[ d) ]-∞; 4[ 14. Calcule el desigualdad:

I. a2 > ab II. a – b –1 < 1 III. a–1 < b –1 IV. a2 < b2 ¿Cuántas son verdaderas? b) 1 e) 4

b) 5/17 e) 9/13

b) 0 < x3 < x2 < 1

Indicar M ∩ N

c) x ≤ 7/11

13. Hallar el complemento del conjunto solución luego de resolver: (x - 5) (x - 3) ≤ (x - 4) (x 3)

Son verdaderas:

a) 0 d) 3

b) 7/11 ≤ x e) N.A.

a) 0 < x2 < x3 < 1

02. Si: a > b > 0 y M = [-2a; 2a] , N = [-2b; 2b]

3 x − 4m desigualdad: 2x+3 < . Tenga m a) 6/13 d) -17/14

I. Si a < b  a + c < b + c II. Si a < 0  -a > 0 III. (a + b)2 > 2 ab

a) Sólo I d) Todas

a) x ≥ 7 d) x ≤ 7

c) Si: a - b = 0  a = b ∧ a = -b d) Si: a2 - b2 = 0  a = b = 0 e) Si: a2 - b2 = 0  a = b ∨ a = -b 2

06. Si se sabe que 0 < x < 1; Cuál de las siguientes proposiciones es verdadera?

c) m > -2

como solución ]3; ∞[

06. Para reales afirmamos:

TAREA DOMICILIARIA 01. Si la unión de los intervalos:

12. ¿Qué valor deberá tomar m > 0 para que la b) I y II e) N.A.

3er Año Secundaria

d) ab > 0

11. Resolver: (x - 5) (x - 2) ≤ (x + 3) (x + 1)

Son verdaderas:

ALGEBRA 2

2

I. Si a > 0  a > 0 II. Si a < b  ac < bc III. Si 0 < a < b  0 < b-1 < a-1

26

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

e) x ∈ φ

5

c) x<1+

5

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

3er Año Secundaria

25

26

ALGEBRA

3er Año Secundaria

10.Resolver el sistema: 2x+4 ≤ 3x+6 ≤ 5x-10 a) [-2; +∞[ d) φ

b) [8; +∞[ e) [2; +∞[

c) [-8; +∞[

GRUPO EDUCATIVO INTEGRAL copyright 2003

11. Resuelve el sistema y marque el intervalo solución: 2 ≤ 5-3x < 11 2 > -3-3x ≥ -7 

5



3

a) −

 ;1 



5



3

b) −

 ;1 

c) ]-2; 1] 5  d) −2;−  3 

e)

 5 4 − ;   3 3

12.¿Cuántos números enteros sistema: 5x - 6 > 3x-14

7x + 6 2 a) 3 d) 6

satisfacen

el

< x + 12 b) 4 e) 7

c) 5

13. Resolver el sistema: 2(2x-3) < 5x-3/4 8x-5 <

15 x − 8 2

y dar como respuesta la suma de todos los valores enteros de “x” a) -11 d) -14

b) -12 e) -15

a) 14 d) sólo 1

S3AL33B

Nº

Ejercicios Propuestos 01

02

03

01.

B

E

E

02.

D

E

B

03.

B

E

C

04.

D

D

C

05.

A

E

A

06.

C

A

C

07.

B

D

D

08.

E

D

E

09.

D

D

B

10.

D

E

B

11.

B

E

12.

D

D

13.

A

A

14.

C

E

15.

A

D

16.

17.

18.

c) -13

14. ¿Cuántos valores enteros satisfacen siguiente sistema?

5x+4 > 10 6x-5 < 12 4x+3 > 8 7x-6 < 14 3x+2 > 6 8x-7 < 16

SOLUCIONARIO

19. el

20.

b) 8 c) 4 e) Ningún valor

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

S3AL33B

“El nuevo símbolo de una buena educación...."