Algebra 5° 2b

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

5to. Año Secundaria

01

5to. Año Secundaria

2

Práctica N° 1:

x (x + y + z) = x2 + xy + xz

FACTORIZAC I)

ÁLGEBRA

02

f(x ) = (x  + 7 )(x + 7 )(x − 7 ) f(x) = [x2 – (

II) COMENTARIO PREVIO:

Desde tiempos muy lejanos en todo argumento matemático estuvo presente siempre, la teoría de números los cuales se apoyan en la parte algebraica, como una necesidad para facilitar la resolución de las ecuaciones polinómicas surgen los diversos procedimientos de transformación de polinomios a los cuales se les denomina FACTORIZACIÓN, en el cual se busca expresar un polinomio como una multiplicación indicada de otros polinomios de menor grado.

Recordemos que en la multiplicación algebraica se aplica la propiedad distributiva, de la siguiente manera. x(x + y + z) = x 2 +xy +xz

Por medio de la factorización podremos restituir los factores de una expresión que se obtuvo de la ejecución de una multiplicación, veamos:

7 )

Pr imos en C

En este capítulo desarrollamos el tema con algunos conceptos de los números reales, polinomio irreductible, factor primo, así como los criterios para poder factorizar polinomios sobre determinados conjuntos numéricos III. CONTENIDO TEÓRICO

∴Existen 4 factores primos en C OBSERVACIONES: Generalmente el conjunto numérico a utilizarse será el de los racionales, salvo se indique lo contrario.

NÚMERO DE FACTORES PRIMOS

DEFINICION: Es el proceso de transformaciones sucesivas de un polinomio en una multiplicación indicada de polinomios primos, denominados Factores primos, dentro de un conjunto numérico.

FACTOR PRIMO: Es la mínima expresión algebraica en la que sus elementos se encuentran ligados por las diferentes operaciones aritméticas, excepto la adición y sustracción.

Ejemplo: f(x ) = x 4 −49 a) Factorizando en el conjunto Q.

El número de factores primos depende del conjunto numérico en el que se trabaje. En los racionales el número de factores primos se calcula contando los factores de la base.

P(x, y) = x2y, tienen los siguientes, factores:

Pr imos en Q

∴Existen 2 factores primos en Q

2

f(x ) = (x  +  7)(x  +  7 )(x − 7 )

Cálculo de manera directa: P(x, y) = x2y N° factores = (2+1)(1+1) = 6

b) P(x) = (x–1)2 (x+2) (x+2) (x–5)3 P(x) → Tiene 3 factores primos NÚMERO DE FACTORES DE UN POLINOMIO Dado el polinomio “P”, el cual luego de ser factorizado totalmente se expresa así: P = Aa B b C c

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

N° Fact. compuesto = 6 – 2 – 1= 3 FACTORES ALGEBRAICOS Se denomina así, aquel que por lo menos tiene, o presenta una variable.

Ejemplos Explicativos:

Siendo A, B y C sus factores primos; el número de factores del polinomio P, se calcula de la manera siguiente:

01. F(x) = (x + 1)2 (x – 4)3.

Hallar el número de Factores algebraicos Resolución:

# Fact = (a + 1)(b + 1)(c + 1)

* Número de factores = (2+1) (3+1) = 12 Ejemplo: Sea P(x)= (x–1)2 (x+2) (x–5)3 N° factores = (2+1) (1+1)(3+1)

* Número de factores Algebraicos = 12 – 1 = 11

P(x) =

N° Factores = 24

∴Existen 3 factores primos en R c) Factorizando en C, tendremos:

Por lo tanto:

a) F(x) = (x + 1) (x2–x+1) Tiene 2 factores primos

b) Factorizando en el conjunto R f(x) = (x2 + 7) (x2 – 7)

1 : Polinomio de grado cero, es factor  de cualquier polinomio   x : Factor primo  x 2 y  y : Factor Primo  xy : Factor compuesto   x 2 : Factor compuesto  2  x y : Factor compuesto x2y: tiene 6 factores y 3 factores compuestos.

Pr imos en R

S5AL32B

la

Ejemplo:

Ejemplos:

2 f(x ) = (x 2 ) 2 − 7 2 = (x 2  +  7)(x  − 7 )

x 2 +xy +xz = x(x + y +z)

De lo expuesto concluimos que la factorización es el procedimiento recíproco al establecido por la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición y/o sustracción. Con la finalidad de ser más objetivos observa la siguiente ilustración:

7 ) (x –

de

f(x ) =(x − 7 i)(x + 7 i) (x + 7 )(x − 7 )                

OBJETIVOS ESPECÍFICOS: • Expresa un polinomio

como una multiplicación indicada de factores primos.

• Identifica un factor primo sobre un determinado campo numérico.

• Comprende que la factorización es el proceso contrario a la multiplicación

2 7 i) ] (x+

Los Factores compuestos resultan combinación de los Factores primos:

NÚMERO DE FACTORES COMPUESTOS: S5AL32B

6

↓ No es fact. primo

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

(x − 1)

↓ fact. primo

(x − 2 )

2

↓ fact . primo

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Por lo tanto colocamos los factores primos del 6, de la siguiente manera: P(x) = 2 . 3 (x – 1) (x – 2)

2

(x,

y,

z)

(x− y +  z) (a −b)

B) MÉTODO DE AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS. Consiste en agrupar los términos del polinomio por binomios, trinomios, que luego de descomponerlos a su vez en dos factores, aparece algún factor común a todas las agrupaciones realizadas.

Factores Primos del N° 6 : 2; 3 N° de Divisores del 6 = (1+1) (1+1) = 4 Por lo tanto:

N° Fact .

A lg . = 20

1) Factorizar:

MÉTODOS DE LA FACTORIZACION: A) FACTOR COMÚN POLINOMIO

MONOMIO

Y/O

Se utiliza cuando todos los términos del polinomio tienen un factor que le es común. El factor común puede ser un monomio o un polinomio.

5 x 10 y 5 −10 x 7 y 8 − 25 x 11 y 9

5  x y 

5

(x

3

•

– 22x ∴ Los factores son: (4x - 5) (2x - 3) 2. Factorizar: abx2 + (a2 + b2)x + ab

F = (c + 1) [a(b + 1) + (b + 1)]

cuadrados

abx2 + (a2 + b2)x + ab ax +b = b2 x

Del corchete se extrae el factor común (b + 1):

∴

bx

N=x6 –

(x 2 −1) 2

Resolución:

...... Diferencia de

(x 3 + x2 − 1)(x 3 − x2 + 1)

x(a2 + b2) ∴ Los factores son: (ax + b) (bx + a)

2. Factorizar: P(a,b,c,d) b 2 +c 2 −a

A(x, y)=x6 (x+y)+ x4 y2 (x+y)+ x2 y4 (x+y) +y6 (x+y) ♦Extrayendo Factor común: 6 4

+x 4 y 2

2

−d

2

+ 2 ad + 2 bc

Solución: P(a,b,c,d)=

E) MÉTODO DEL ASPA DOBLE Se emplea para factorizar polinomios que tiene la sgte. forma general Ax

+x 4

2

2

y

4

+y 6

+ Bxy + Cy

2

+ Dx + Ey + F

1° Se trazan 2 aspas simples entre los términos:

P (a , b , c, d ) = (b + c + a − d )( b + c − a + d)

2

2

Pasos:

P(a,b,c,d)= (b + c) 2 −(a − d ) 2 Diferencia de cuadrados .

(Ax2 ∧ Cy2), admás (Cy2 ∧ F)

2° Si faltaran términos se completarán con ceros 3° Se traza un aspa simple de comprobación entre los extremos

)

2

A(x, y)=(x + y) [x (x + y )+ y (x + y )]

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

2

=

(b 2 + c 2 + 2 bc ) − (a 2 + d 2 − 2 ad )

4♦Agrupando 4 convenientemente:

A(x, y)=(x + y) ( x

+

+a = a2 x

F = (c + 1)(b + 1)(a + 1)

− 2y −5 x y )

Factorizar: P(x, y, z) = (x – y + z) a + (y – x – z) b

– 3 = – 12x

N = x6 – ( x 4 − 2 x 2 + 1 )

+ xy 6 + y 7

3

Factor común monomio

S5AL32B

2x

F = ab (c + 1) + a(c + 1) + b(c + 1) + (c + 1) F = (c +1) (ab +a + b +1)

Resolución:

7

8x2 – 22x + 15 4x – 5 = – 10x +

Agrupando los tres últimos términos y extrayendo el signo (–).

A(x, y) = x 7 + x 6 y + x 5 y + x 4 y 3 + x 3 y 4 + x 2 y 5

Factorizar:

Resolución

N = x6 – x4 + 2x2 – 1 Resolución

2) Factorizar:

Ejemplo:

1. Factorizar: 8x2 – 22x + 15

1. Factorizar

F = abc + ab + ac + bc + a + b + c + 1 •

El método consiste en descomponer los términos extremos, de tal manera que al multiplicar en aspa y sumar los resultados y nos produzca el término central, siendo los factores las sumas horizontales.

Ejemplo Explicativos:

Resolución: Agrupando en la forma indicada.

N° Fact Algebraicos = 24 - 4

+ y4 ) ax 2 n + bn yn + cy 2 n

F (a, b, c)= abc + ab + ac + bc + a + b + c + 1

Reemplazando:

+ y 2 )(x 4

C) MÉTODO DE LAS EQUIVALENCIAS Consiste en aplicar las equivalencias o productos notables de manera directa o inversa, es decir, del producto pasar a los factores. Veamos algunos Ejemplos explicativos:

Ejemplos explicativos:

N°Fact. Algebraicos = N° Fact totales - N° Divisores del número 6

A(x , y ) = (x + y )(x 2

D) MÉTODO DEL ASPA SIMPLE Se utiliza para factorizar polinomios que adoptan la siguiente forma general:

Obsérvese que: Existen 3 factores primos: (x+y), (x2 + 42) y (x4 + y4) Presenta 1 Factor Lineal: (x + y) Presenta 1 Factor cuadrático: (x2 + y2)

Existen 4 Factores Primos

24

2

Extrayendo el Factor común: (x + y ) dentro del corchete.

=

Factor común polinomio Luego: Nº de Fact. totales = (1+1)(1+1) (1+1) (2+1) =

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P(x, y, z) = (x – y + z) a – (x – y + z) b P

ÁLGEBRA

02

01

S5AL32B

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5° Se forman factores como el método anterior (horizontalmente) Ejemplos explicativos: 1) Factorizar:

3x

+y (III) +y

x

(I)

ÁLGEBRA

02

01

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Ejemplos explicativos

2

A(x) = x + 5x + 9x + 11x + 6 4x x2 +3 (I) (II) (III) 2 x +2 x

+ 4x + 2y + 1 +1

01. Factorizar. M(a; b) = a2 - 4 + 2ab + b2 e indicar un factor primo.

Resolución:

(I) (2) (x2 + x2(3) = 5x2. Luego: 9x2 (término central) – 5x2 = 4x2. se descompone 4x2 en 2 factores: (4x) (x)

Para x = 1, se anula, luego tendrá un factor (x – 1) determinando el otro factor por la Regla de Ruffini.

1

(II) x2(4x) + x2(x) = 5x3

(II) +1

Comprobaciones:

(III) 4x(2) + x(3) = 11x

1

F. MÉTODO DEL ASPA DOBLE ESPECIAL: Se utiliza para factorizar polinomios de 4to. grado de la forma general.

Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + E

Pasos: 1° Se aplica un aspa simple en los términos extremos: (Ax4 ∧ E) 2° El resultado se resta del término central: Cx2 3° Expresar las diferencias en dos factores y colocarlos debajo del término central.

4° Luego se aplican dos aspas simples, y se toman horizontalmente.

Ejemplos explicativos

Cero de un Polinomio : Es el valor o conjunto de valores que tienen la propiedad de anular (valor numérico cero) a determinado polinomio.

-10

21

-10

21

0

Resolución: P.C. = ± 1 , ± 3 , ± 6 Para x = 2, se anula, entonces tendrá un factor (x – 2). Luego por la Regla de Ruffini

x=1 F(1) = 13 + 3(1) – 4 = 0

2 1

±

ceros

0

-1

-6

2

4

6

02. Señalar un factor primo, luego de factorizar: P(x) = x2 + (b + c + 2d)x + d2 + (b + c)d + bc a) x + b + d d) x + c

b) x + 2d e) x – 2c

c) x + d + b + c

03. Señalar un factor primo de: H(x) = (2x2 + x - 1)2 - (x2 - 3x - 5)2 b) (x – 2)2 e) x – 2c

c) 3x2 – 2x – 6

2

3

0

a) b) c) d) e)

(a2 + b2 + c2) (a + b + c) (ab + ac + bc) (a + b + c) (a + b ) (b + c) (c + a) (a – b) (b – c) (c – a) (ab + ac + bc) (a – b + c)

M ( x) = x4 + 4x2 + 16 a) x2 + x – 2 d) x3 + 8

Q (x) = (x – 2) (x2 + 2x +3)

b) x2 +2 x – 4 e) x2 + 2x + 4

c) x2 + x – 8

06. ¿Cuántos divisores primos posee: T (a; b) = (a2 + b2 – 6ab)2 – 4ab (a + b)2 ? a) 2 d) 3

=

c) a + b – 4

05. Indicar el factor primo cuadrático de mayor suma de coeficientes, después de factorizar:

∴ 1 será un “cero” de F REGLA PARA CALCULAR LOS POSIBLES CEROS DE UN POLINOMIO:

b) b – 2 e) b + 2

04. Factorizar: P (a; b; c) = a (b – c)2 + b(c – a)2 + c (a – b)2 + 8 abc

2. Factorizar: Q(x) = x – x – 6

1

a) a + b + 2 d) a + 2

a) 3x2 + 2x – 6 d) (x + 2)2

3

Ejemplo: Sea: F(x) = x3 + 3x – 4

Posibles

1) Factorizar: A(x) = x4 + 5x3 + 9x2 + 11x + 6

1

P(x) = (x – 1) (x – 7) (x – 3)

G. CRITERIO DE LOS DIVISORES BINOMIOS: Se utiliza para factorizar polinomios de cualquier grado y de una sola variable que aceptan factores binomios de la forma (ax ± b).

Para

-21

2

A(x) = (x + 4x + 3) (x + x + 2)

∴ (3x + y + 1) (x + y + 1)

31

P(x) = (x – 1) (x2 – 10x + 21) 2

Finalmente:

-11

1

Finalmente:

(I) : (3x) y + x (y) = 4xy (II) : y (1) + y (1) = 2y (III) : 3x (1) + x (1) = 4x

PRÁCTICA DE CLASE

1. Factorizar: P(x) = x3 – 11x2 + 31x – 21

Se observa que:

Resolución: 2

3

P.C. = ± 1, ± 3, ± 7, ± 21

A(x, y) = 3x2 + 4xy + y2 + 4x + 2y + 1

A (x,y) = 3x 2+ 4xy + y

5to. Año Secundaria 4

b) 5 e) 6

c) 4

07. Indicar el número de factores irreductibles de:

Divisores del T. indep .

P(x; y; z)=x4 y2 z7 + x y2 z7 + 3x2 y2 z7 + 3x3 y2 z7

Divisores del 1er . Coef .

a) 4 d) 5

Resolución:

b) 3 z7 e) 1

c) 2

08. Indicar un factor primo de: P(x; y; z) = [(x - y + z) (x - y - z) + 1]2 - 4(x - y)2 S5AL32B

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

S5AL32B

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN a) x + y + z + 1 c) x – y + z e) z + y – z + 2

b) x – y + z + 1 d) x – y + z + 2

09. ¿Cuál de las siguientes expresiones no es término de un factor primo de: F (x; y) = 1 + 2x2 - (6x2y2 + 4x3y + y4 + 4xy3)

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01

a) – x d) 2x2

b) 2xy e) –y2

c) y

2

10. Obtener la suma de coeficientes de un factor primo del polinomio.

H (x) = x3 – x2 – 17x + 33 a) –3 d) –5

b) –6 e) –8

c) –7

11. Factorizar: M (z) = z2 (z8 + 1) + z6 + (z2 - 1) ( 1 + z2 + z4) y dar como respuesta el número de factores primos a) 2 d) 3

b) 4 e) 6

c) 5

12. Señalar el factor primo cuadrático de mayor suma de coeficientes en: P (x) = x4 - 4x3 + 11x2 - 14x + 10 2

a) x + 3x + 2 d) x2 + 4x + 2

2

b) x - 2x + 5 e) x2 - 2x + 2

2

c) x - 4x - 2

13. Hallar la suma de coeficientes de un factor primo de: P(x) = (1 + x2) (1 – x2)2 + (x – x2)2 a) 2 d) 5

b) 4 e) 3

c) 1

14. Factorizar e indicar el factor primo cúbico de: P (x) = x5 - x4 + 2x2 - 2x + 1 a) x3 + x + 1 c) x3 + x + x2 – 1 e) x3 – x2 + 1

b) x3 + x2 + 1 d) x3 – x + 1

a) VVV d) FVV

b) VFF e) VVF

c) FVF

16. Factorizar

I. S5AL32B

E indicar el factor primo de mayor término independiente. a) 2a + 2b + 2c + 1 c) 2a + 2b + c – 1 e) 2a + 2b + 2c – 1

b) a + b + c – 2 d) a + b + c + 2

17. Factorizar y obtener la suma de factores primos del polinomio.

P (x; y) = (x + 2y)2 – 2xy (3x – 4xy + 6y) a) x2 + 4y2 c) x2 – 4y2 e) 2x2 – 2xy + 8y2

b) 2x2 + 2xy + 8y2 d) 2x + 4y – 6xy

18. Factorizar y dar como respuesta la suma de coeficientes de un factor primo de: P (x; y) = 6x2n – 4y2n + 7 + 5xnyn +3yn – 17xn a) 0 d) 1

b) 2 e) 6

c) 12

19. Con respecto al polinomio: P(a;b;c) = b3 (a – c2) +c3 (b – a2) + a3 (c – b2)+ abc (abc – 1) Señalar el valor de verdad o falsedad de cada una de las proposiciones siguientes:

a) VVF d) VVV

b) VFV e) FFF

b) α + αβ

d) βx + α2

e)

Tiene 3 factores primos

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

x+α

PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Con respecto al polinomio: a (x – 1) – b (1 – x) + cx – c.

Señale verdadero o falso: I) a + b + c es un factor II) x + 1 es un factor III) solo tiene 2 factores primos a) VVF d) FFF

b) VFV e) VVV

b) 165 e) 105

c) FVV

c) 156

03. Factorizar: (n2 + n - 1)2 + (2n + 1)2, e indicar la suma de los términos independientes de sus factores primos. a) 3 d) 2

b) – 1 e) – 2

c) 4

04. Factorizar: (a – b)2 (x – y) 2 + 2ab(x – y) 2 + 2xy (a2 + b2) Indicando la suma de sus factores primos: a) a2 + b2 + x2 + y2 c) 2a2 + b2 + x2 + 3y2 e) a2 + b2 + x3 + 3y2

c) VFF

a) a + 3 d) a2 + 1

b) a2 + 2b + 2x2 + y2 d) a2 + b2 + 3x2 + y3

b) a – 2 e) a2 + 2

c) a + 1

06. ¿Cuál no es un factor de (1 + mx)2 – (m + x)2

c) α+β2

a) 1 + m d) 1 – m

b) 1 + x e) m + x

c) 1 – x

07. El polinomio: 3x3 – 21x + 18, al factorizar tiene la forma: a(x –b) (x – c) (x – d), donde b < c < d.

Calcular: a – b + c – d a) 7 d) 5 S5AL32B

b) – 7 e) 6

x3y2 + y3z2 – x3z2 – y5, es: a) 5 d) 2

b) 4 e) 1

c) 3

64a7b – ab7

02. Al descomponer en dos factores la expresión: (a – 5) (a – 6) (a – 7) + (a – 5) (a – 6) – (a – 5) El resultado del producto de los valores absolutos de los términos no literales es: a) 157 d) 175

08. El número de factores primos de:

09. Hallar el número de factores primos de:

a4 – a3 – 7a2 + a + 6, indicando uno de sus factores:

20. Mencionar un factor primo del polinomio:

a) βx + α

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05. Factorizar:

I. Un factor primo es a2 – b II. Un factor primo es a2 + b III. a – c2 no es un factor primo

Q(x) = α2 x 3 + (2 αβ + α3 β)x 2 + (β2 + 2 α2 β2 )x + αβ3

15. Del polinomio P (a; b) = a4 + 5bc2 – a2b – a2c2 – 2b2 – 2c4 Decir si es verdadero o falso con respecto a las proposiciones siguientes:

ÁLGEBRA

II. Tiene 2 factores primos cuadráticos III. La mayor suma de coeficientes de un factor primo es 2 -2c2 ; 0 < c < 1.

F(a;b;c)=(a+ b+ c)2+(a+ b- c)2+4c(a+ b)+5(a+ b+ c)+ 2 2

02

c) 9

a) 3 d) 5

b) 4 e) 7

c) 6

10. Indicar el término independiente de uno de los factores primos del trinomio.

P(x, y) ≡ (x + y + 3)2 + 7x + 7y + 31 a) 2 d) 3

b) 7 e) 39

c) 8

11. Reconocer un factor del polinomio: 6a2 – 11ab + 4b2 – 8a + 14b – 8 a) 3a + 4b – 2 c) 2a – 2b + 1 e) 3a – 4b + 2

b) 3a – 2b + 4 d) 2a + 4b – 1

12. Un factor de: a(a – 1) + a3 – 1 es: a) 1 – 2a d) a - 2

b) a + 1 e) a

c) a + 2

13. Dar la suma de los factores primos de: P(x) = x4 – 5x2 + 4 a) x2 + 2 d) 3x + 7

b) x2 + 5x e) N.a.

c) 4x

14. Luego de factorizar: R(x) = x3 + x2 + x + 1 Se obtiene un factor de la suma (ax2 + b) Halle Ud. “a + b” a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

15. Hallar la suma de los factores primos de: x3 + (a + b + c)x2 + (ab + ac + bc) x + abc a) x + a + 2b + c c) 3x + a + b + c e) x + 3a + 2b + c

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

b) 2x + 2a + 2b d) 2x + 2ª + 2b + 2c

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01

3

16. Si (x + 1) es un factor de x2 + cx – 2 y (2x – 1) es un factor de dx2 + 5x – 4, entonces el valor de d/c es: a) 1/2 d) – 6

b) 4 e) 6

c) –1/2

18. El coeficiente de un término lineal de uno de los factores primos de: P(x) = x4 + 2x3 + 5x + 2 es: b) – 2 e) – 3

b) x9 + 1 e) x4 + 1

c) x5 + 1

M(x)=x6–(a+b+1)x4+(ab+2a–1)x2– a+b–ab+1 y señale aquél que no es un factor de M(x). b) x − a −1

c)

b −1

e) x2 + 1 – a

S5AL32B

b) x + 2y + 1 d) x + 2y

Indicar un factor primo cuadrático. a) 4x2 + x + 1 c) 4x2 +x+3 e) 4x2 + 6x + 3

b) x2 − 5x + 1 d) 2x2 + x + 12

Un factor primo es z2 + 4z + 1

b) VFV e) VFF

c) FFV

P(x) = 6x5 + 41x4 + 97x3 + 97x2 + 41x + 6 a) x – 1 d) 3x2 – 7x + 2

b) x – 2 e) 3x + 1

c) 2x – 1

S(x; y; z) = (3x + y - 5z)5+(2z - y - 2x)5 + (3z – x)5 Indique el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones: I. Un factor primo es 2x + y – 2z II. La suma de 2 factores primos es 2x + y − 2z III. Un factor primo es 3x + y + 5z a) VVV d) VFF

b) VVF e) FVF

c) VFV

09. Indicar el valor de verdad con respecto al polinomio: P(x) = x(x − 1) (x + 2) (x − 3) + 8

04. Con respecto al polinomio P(z) = z6 – 9z4 + 16z3 – 9z2 +1 Indicar el valor de verdad de cada una de las proposiciones: I.

P(x) = (2x + 1)7 + 4x(x + 1) + 2

08. Luego de factorizar

a) 1 b) – 3 c) 10 d) –5 e) 3 03. Siendo b + 1 y a – 1 cuadrados perfectos, factorizar

d) x2 – 1

c) VVF

07. Señalar un factor de:

02. Si x2 - 5x + 6 es un factor de: P(x)=x4 – 9x2+x+mx+n, hallar el valor de n / m

x −

e) FVF

06. Luego de factorizar: P(x) = x5 + x4 + x2 + x + 2 Indique el valor de verdad o falsedad de cada una de las proposiciones: I. Un factor primo es x3 + x + 1 II. Un factor primo es x2 - x + 1 III. La suma de coeficientes de un factor primo mónico es 1. a) VVV d) VFF

01. Indicar un factor de: S(x) = (1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 )2 - x5

a) x + b +1

d) VFF

5to. Año Secundaria

c) 1

TAREA DOMICILIARIA

a) x4 + x3 + x2 + x + 1 d) x3 + x2 + x + 1

b) FVF e) FFF

a) x – 2y c) x – 1 + 2y e) x2 – 1 + 4y (x + y)

a) (x3 + 7x2 – 2) (x3 – 3x2 + 2) b) (x4 + 2) (x3 – 3x – 2) c) (x3 + 7x – 2) (x3 – x – 2) d) (x3 + 7x2 + 2) (x4 – 2) e) (x3 + 7x2 + 2) (x3 – 3x2 – 2)

ÁLGEBRA

10. Luego de factorizar: a) VVV d) VFV

05. Indicar aquel polinomio que no es factor de: Q(x;y) = x3 + 2x2y – 4xy2 – 8y3 – x + 2y

17. Factorizar en “Ζ” al polinomio: P(x) = x6 + 4x5 – 21 x4 – 20x2 – 4

a) 2 d) – 1

II. Un factor algebraico es (z - 1) III. Tiene sólo 2 factores primos mónicos

02

I. Tiene 2 ceros racionales.

II. Tiene 3 factores primos mónicos.

III. Tiene 2 factores cuadráticos. a) VVV

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

b) VVF

c) VFV S5AL32B

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

5to. Año Secundaria

7!

4

Práctica N° 2:

FACTORIAL DE UN

...... ∃

(2/5)! .......

01

∃ /

♦ Conoce una nueva operación matemática. ♦ Determina el factorial de un número natural. ♦ Resuelve ejercicios referidos a factoriales haciendo uso de las propiedades estudiadas.

7! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 7! = 6! x 7 Luego:

COMENTARIO PREVIO:

n! = (n – 1)! . n

Observación: Sí n! =1, cabe dos posibilidades para n: n=0 ó

Asimismo: 7! = 4! x 5 x 6 x 7 Luego se concluye: n! = (n – 3)! . (n – 2) . (n – 1) . n 3. Si:

⊄

a! = b! ⇒ a = b

4. En factoriales se debe recordar lo siguiente: (a ± b)! ≠ a! ± b! (a . b)! ≠ a! . b! (a/b)! ≠ a! / b!

= 1 x 2 x 3 x . . . x (n-1) x n

∀ n ∈ N

n ≥1

3. Cofactorial o semifactorial 2. Propiedades del factorial de un número.

1. Los factoriales sólo están definidos para los números naturales. Así:

S5AL32B

0!

...... ∃

2½

3!

...... ∃

(-6)! .......

.......

∃ / ∃ /

si “n” es impar

2x4x6x...x n

si “n” es par.

B=

n!! = n =

C= 4.

Relación entre el cofactorial y el factorial de un número.

Sea “n” un número entero positivo, el cofactorial o semifactorial de”n” se denota por n!! ó n y se define: a.

Para “n” par: 8!! = 2 x 4 x 6 x 8 20!! = 2 x 4 x 6 x 8 x … x 18 x 20

b. Para “n” impar: 7!! = 1 x 3 x 5 x 7 19!! = 1 x 3 x 5 x 7 x … x 17 x 19

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

69 ! x70 x71 69 !(1 + 70 )

34 !(1 + 35 ) 34 ! x 35 x 36

=

=

70 x71 71

36 35 x 36

= 70

=

1 35

Luego: A x B x C = 8 x 70 x 1/35 = 16

♦ Si el número es par:

PRÁCTICA DE CLASE

2n = 2n n

(2n)!! =

01. Calcular “x” en:

♦ Si el número es impar: 2n (2n-1)!! =

n=1

1. Factorial de un número El factorial de un número natural “n” es el producto de todos los números naturales consecutivos desde 1 hasta “n”.

La simbología a utilizar será: n! = n

1x3x5x...x n

Para n = 1 ⇒ 1! = 0! x 1 ⇒ 1! = 0! = 1

CONTENIDO TEÓRICO:

n! = n

A = 64/8 = 8

De la relación anterior, se concluye:

El presente módulo comprende el estudio de una nueva operación matemática denominada factorial, el cual se refiere a determinar el resultado del producto de los números naturales consecutivos desde el 1 hasta el número indicado.

Pero ¿Para que nos va a servir esta nueva operación matemática? Pues bien esta operación se va a utilizar como un apoyo en la potenciación de polinomios.

5to. Año Secundaria

Luego:

2. El factorial de un número natural puede expresarse en función del factorial de otro número natural menor.

OBJETIVOS ESPECIFICOS:

ÁLGEBRA

02

a) 2 d) 8

2n – 1 = 2n n

a) 0 d) 1

Ejemplo:

A=

B =

6! +7! +8!

;

6! +7!

b) 3 e) N.a.

c) 2

03. Hallar la suma de los valores de “x” en:

(x + 3)! = (x 2 + 3 x + 2)(x 2 + 3 x)

71! a) 1 d) 4

69 !+70 !

C =

34 ! + 35 !

36 !

Calcula: A x B x C

Resolución: Aplicando las propiedades estudiadas y reduciendo términos tendremos:

A=

6! + 6! x7 + 6! x7 x 8 6! + 6! x7

=

b) 2 e) 5

c) 3

04. Dada la relación:

(n − 3)!(n − 4 )! (n − 3)! −(n − 4 )! a) 11

S5AL32B

c) 6

 (a!+ b)! si a ≥ b a♣ b=   (a!!+ b)! si a < b

 factorial de 3  cofactorial de 3  No existe definición (3!)! = 6! =720  factorial del factorial de 3 ((3!)!)! = ( 6!)! = 720!

3 !!! ≠ (( 3! )!)!

3! = 6 3!! = 3 3 !!!

Si

b) 4 e) N.a.

02. Se define la operación ♣ por:

Observaciones: • • • • • •

( x + 9)!( x + 7)! ( x + 8)!+ ( x + 7)!

6!(1 + 7 + 56d)) 10

= 5040 (n 2 − 8 n +15 )

b) 12 e) N.a.

6!(1 + 705.) De las siguientes proposiciones:

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

c) 13

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

5to. Año Secundaria PROBLEMAS PROPUESTOS

a

a   ; a ∈Ν / a es impar a !! = 2 2   2 !  

I.

II.

01. Hallar el equivalente de:

R=

1

a !! =

a −1

2

2

 a −1  ; a ∈ Ν / a es par    2   

III. a!! x (a - 1)!! = a! ; ∀ a ∈ Ν

a) 0,01 d) 0,05

(n + 5)! .(n + 3)!

(n + 3)! + (n + 4 )!

V. ((3!)!)! = 720! b) VVVFF e) FFFFF.

c) FFFFV

a) 0 d) 1

06. Calcular “n” en:

b) 58 e) 52

c) 56

a) 1 d) 4

07. Calcular el valor de:

2 3 n 1  R= + + ... +  +  (n + 1)!  2! 3! 4! (n + 1)! b) (n+1)! e) n

(120 !+1)! −((5!)!)!

=((a !)!)

b) 3 e) 4

c) 7

a) 4 d) 2

S5AL32B

b) 3 e) 6

= 24 c) 2

c) 30

(1!+2!)(2!+3!)(3!+4!)...nfactores

= 20

b) (n + 2)! e) N.a.

d) 3

9

e) N.a.

2 x 4 x 6 x8 x....x1000 3 x6 x9 x12 x...x1500

a) 3/2 d) 500/3

b) 2/3 e) 60

c) 2/500

c) 5

1(1!) + 2(2!) + 3(3!) +.... + x(x!) = 19! – 1 a) 15 b) 16 d) 18 e) 19 08. En qué cifra termina N?

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

3

( n + 6)!+( n + 7)!+( n + 8)! = 48 ( n + 6)!+( n + 7)!

a) 39 d) 42

b) 40 e) N.a.

c) 41

01. Reduce la siguiente expresión: E = 2 x 4 x 6 x 8 x. . .x 2n b) (2n) . n! e) N.a.

c) 2n . n !

T =

x! + ( x +1)! + ( x + 2)! x! + ( x +1)!

a) x + 4 d) x + 1

04. Simplifica:

c) 17

R= S5AL32B

c) x + 2

[(n! + 2)! – 4] ! = 20!

08. Sabiendo que:

(x + 6)! +(x + 5)!

= 15 ! , el valor de

“x” es :

3(3 n 2 + 10 n + 8 )(3 n + 5)!(3 n + 4 )!

10. Hallar el equivalente de: E = 2(2!) + 4(2!) + 6(3!) + 8(4!) + ... + 2n(n!)

c) 19!

20 x 21x 22 x.......x80 50 x51x52 x.......x80 b) 80!–40! e) F.D.

b) x + 3 e) x

07. Hallar n Sí:

03. Simplifica:

W =

c) x + 6

(3 n + 5)! − (3 n + 4 )!

13.14.............60 20.21.22........60 b) 19!/12! e) 19! - 12!

06. Reduce:

b) x + 4 e) x + 3

09. Calcula “n” en:

02. Simplifica:

a) 19/12 d) 12!

(x + 5)! + (x + 4 )!

(x +7)! (x + 5)!

TAREA DOMICILIARIA

a) 50! – 20! d) 42! ⁄ 20!

07. Halla “x” en:

c) 3

4

c) 27!

(x + 4 )! + (x + 5)! + (x + 6)!

a) x d) x + 5

10. Halla “n” en:

c) n! / 2

06. Simplifica:

25!

25!+26!+27! b) 3

b) 54 e) 53

05. Simplifica:

T =

2

a) n! . nn (2!+3!+4!)(3!+4!+5!)...nfactores d) 2n

a) n! d) (n + 2)! / 2

c) 3

a) 3

(1!+2!+3!)

500

09. Siendo “n” un número natural, calcule su valor a partir de la siguiente igualdad:

6 + n!

b) 2 e) 5

1!+2!+3!

b

Encontrar “a + b”

(1 + n!) (n!)

c) 0,005

c) 3

b) 36 e) 60

05. Reduce:

c) 1

08. Si:

a) 5 d) 8

a) 24 d) 54

x= (120 !−1)!

b) 2 e) 5

a) 54! d) 27

N = 1! + 2! + 3! + 4! + 5! + ......+ 50!

04. Sí:(x +1)! – x! = 18; el valor de (x + 1)! + x! es:

1

a) n! d)1/n

b) 3 e) N.a.

5to. Año Secundaria

09. Calcula el valor de E:

03. Para qué valor de “n” se cumple: 12n! + 5(n + 1)! = (n + 2)!

2 + 2(2!) + 3(3!) +.... + (n + 3) (n + 3)! = 60! a) 60 d) 54

201! b) 0,001 e) N.a.

ÁLGEBRA

02

a) 1 d) 4

200 ! +199 !

02. Calcula el valor de n en:

IV. 3!!! = 720!

a) VVVVF d) FFVVV

01

c) 49! ∕ 19!

54! +53! +52!

53! +52!

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

= 108 !

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

5to. Año Secundaria

  n n( 1(n−− 2) ). ( − rn + 1)   =  r 1x2 3x. r

COEFICIENTES OBJETIVOS ESPECIFICOS: Define, conoce y aplica las propiedades del coeficiente binomial o número combinatorio para su posterior aplicación en la solución de problemas.

COMENTARIO PREVIO: Newton que no es un matemático puro, sino un físico que aplicaba la matemática a los fenómenos de la naturaleza, su contribución más importante es su método de fluxiones que fue escrito en 1671, pero publicado en 1736, cuya esencia y notación, no es sino una forma de tratar los problemas del actual análisis infinitesimal.

 n    r

CONTENIDO TEÓRICO: Coeficiente binomial Esta importante notación conocida como coeficiente binomial, se define de la siguiente manera: Si “n” es un número real y “r” un número natural, la notación

coeficiente binomial denotado por

 n    r

. Se

lee:

∧

5to. Año Secundaria

 n   = 1  0

 n    r

de

 n   =  r

otra manera: Si “n” es un entero positivo, “r” es un entero no negativo y 0 ≤ r ≤ n, se verifica que:

  "rfactores  n n( 1)(nn −− 2). (n− r+ 1) n!   = = r 1x23x. r r!(n− r)!

índice inferior

Propiedad:

 n   = 1  n

ÁLGEBRA

El siguiente teorema, permite evaluar

Puede comprobarse que el número de factores que hay en el numerador de ésta relación, coincide con “r”. índice superior

Newton es considerado como una de las brillantes mentes de todos los tiempos, investigador profundo de la filosofía natural, no solo se limita a cuestiones infinitesimales sino a zonas del álgebra en donde uno de sus aportes es generalizar el desarrollo del binomio (x + y)n para exponente no natural cuya aplicación se manifiesta en matemática financiera. En la sesión anterior estudiamos el factorial de un número natural, ahora nos asiste estudiar el coeficiente binomial que se verá reforzado con los conocimientos previos de la sesión anterior.

02

Teorema del coeficiente binomial

"r factores

Práctica N° 3:

♦

01

La expresión propuesta es semejante al cálculo del número de combinaciones de “n” objetos tomados de “r” en “r”, por lo que a este coeficiente binomial n, r también se le llama número combinatorio n, r.

Una notación equivalente a la ya establecida es:

C rn , Donde “n” recibe el nombre de

la base y

“r” el de orden.

“coeficiente n, r” y está definida por:

S5AL32B

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

S5AL32B

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

← Base C rn← orden

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5to. Año Secundaria

Propiedad de los números combinatorios:

C rn =

1º Los números combinatorios complementarios, son aquellos que tienen igual base y la suma de las órdenes coincide con dicha base.

Se verifica que los números combinatorios complementarios son iguales.

C rn =

Crn =

m C nm =C m −n

01

n n −1 C r −1 r

ÁLGEBRA

02

06. Simplifica:

100 x99 = 4950 1x 2

2º La suma de dos números combinatorios de igual base, cuyas órdenes difieren en una unidad, es igual a otro número combinatorio cuya base es la de los sumandos aumentado en una unidad y cuyo orden es el mayor de los órdenes:

a) 1 d) 4

n −r +1 =Crn−1 r

07. Resuelve:

C nm−1 +C nm =C nm +1

01. Simplificar:

a) 42/13 d) 42/7

6 x5 x 4 = 20 1x 2 x3

3º La suma de todos los números combinatorios de igual índice, cuyos órdenes varían desde cero hasta la propia base, vale 2 elevado a dicha base:

m C0m +C1m +... +Cm =2 m

Ejemplo:

+ +

b) 42/15 e) N.a.

20 C9 25 C6

26 C6 19 C10

c) 42/11

C0m − 3C1mx−1 + 32 C 2m − 33 C3m + ... + 3m C mm a) –2 d) 22n

4º Degradación de índice: Consiste en descomponer un número combinatorio en otro que tenga como índice superior e inferior el inmediato anterior. Es decir:

2n

b) –2 e) N.a.

c) –2

n

n −1 n n −1 C17 + C16 − C15 = C p45

a) 52 d) 56

C 2n = 10;

a) 5 d) 9 05. Sí:

b) 62 e) N.a.

c) 13

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

b) 6 e) 8

c) 2

b) 2 e) 5

c) 3

C18 + C28 + C39 + C 410 + .... + C mn = C1521 a) 30 d) 35

C7n−5 = 16 C4n−8

b) 34 e) N.a.

b) 18 e) 20

c) 21

C1n + 14C 2n + 36C3n + 24C 4n = 6561 a) 20 d) 25

∧

a! = 360 ( a −b )!

b) 24 e) 9

C715 + C614 + C513 + C 412 = C 716 − b) 14 e) 16.

b) 96 e) N.a.

c) 216

a) 15 d) 20

b) 18 e) a y d

C yx +1 = C4y +5 a) 15 d) 14

b) 12 e) 16 10

b) 1/5 e) 1/15

b) 11 e) 14

c) 21

05. Calcula (x + y) si se cumple:

∑C k =1

c) 3/5 a) 105 d) 1201

C3n +1 + C3n + C3n +2 = 1331

S5AL32B

c) 15

C 2x + 2C3x + C 4x = C y7

10. ¿Para qué valor de “n” se cumple:

a) 10 d) 13

x 12 C4 y

04. Calcular xy, si se cumple:

06. Efectuar:

4

c) 22

03. Si x e y son primos entre sí. Calcula (x + y) en:

a) 13 d) 25

16 16   +   1  2 18 17   −  15 15 a) 1/3 d) 5/3

c) 22

02. Calcula “n” en:

09. Reduce:

Hallar: 2n – 1 b) 15 e) 7

PROBLEMAS PROPUESTOS

Entonces a . b es igual a:

c) 60

18 C18 = C x +2 , el valor de “x” es: x

a) 4 d) 10

08.

 a   = 15  b a) 24 d) 864

03. Halle n + p en la ecuación:

04. Sí:

C04 + C14 + C 24 + C34 + C 44 = 2 4 = 16

S5AL32B

26 C 20 19 C9

02. Sumar:

Ejemplo:

C25 + C35 = C36 =

a) 16 d) 19

PRÁCTICA DE CLASE 20 C10 25 C5

2 C815 + 8 C715 2 C715

01. Hallar el valor máximo de (m + n) en:

n C rn −1 n −r

Ejemplo: 100 C98 = C 2100 =

5to. Año Secundaria

c) 12

07. Calcula “n” en:

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

c) 13

k +3 k

b) 1081 e) 1000

c) 1010

C2n + C3n +1 7 = C 4n + 2 5

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

5to. Año Secundaria

01

ÁLGEBRA

02

5to. Año Secundaria

05. Calcula: “n + k” de: a) -22/7 d) 3

b) 7 e) N.a.

c) 22

08. Calcula “n” y “p” en la siguiente igualdad: 2n C p2 n−2 = C10 −p

a) 4; 6 b) 6; 4 d) 5; 5 e) 3; 6 09. Calcula “x” en:

c) 8; 10

n + 2  a)   r + 1   

n + 2  r +2    n + 3   r + 2

d) 

x −2 x −1 x −2 x 2 x −21 2 x −21 C20 + C22 + C21 + C21 − C22 = C21

a) 18 d) 22

b) 19 e) 21

a) d)

C

C

b)

12 7

e)

C C

13 5

c)

C

13 8

01. Sí n! = 720 y C nk + 2 = 56 . Halle la suma de (n + k) si k es el menor valor. b) 11 e) 14

b) 5 e) n4

4 1

5 k2 =0

c) 12

b) 8 e) 5

m+ 2 x +1

(C )

− C xm +1 ) C xm−1

a) 12 d) 6

c) 2

− C xm++12 .C xm−1 b) 10 e) 5

♦ ♦ ♦

C 4n = 5 C3n −1

m +1 2 x

c) 12

n  ( x + y ) = ∑ 03. Reducir: C + C + C

b) 8 e) 17

c) 10

Desarrolla correctamente la potenciación de un binomio, haciendo uso de los coeficientes binomiales.

Determina el término que ocupa un determinado lugar en el desarrollo de dicha potencia.

Resuelve ejercicios y problemas referidos al binomio de Newton.

COMENTARIO PREVIO: El Binomio de Newton recibe el nombre de Isaac Newton (1642 – 1727), que ha sido el más grande los matemáticos ingleses y uno de los mayores científicos de la humanidad.

07. Calcula el valor de “x” en:

C2n + C3n +1 7 = 02. Resolver: C4n + 2 5 a) 1 d) 3

OBJETIVOS ESPECIFICOS:

06. Halla el valor de “n” en la siguiente igualdad:

(C

TAREA DOMICILIARIA

a) 10 d) 13

a) 15 d) 9

a) 6 d) 12 13 7

POTENCIACIÓN DE

e) N.a.

2

C613 es:

Práctica N° 4:

 22   21  7  2k   = 11   2k −1  ∧     4 n 2 n     3 3   = 28  2      

c) 20

10. Un valor equivalente a 14 7

n + 2 b)   r   c)  

= 2 x − 12 c) 8

En este módulo introducimos las combinaciones de “n“ elementos tomados de “r” en “r“ para denotar los coeficientes de los términos del desarrollo del binomio.

Estos valores funcionando como coeficientes del desarrollo del binomio, son llamados números combinatorios.

Cabe mencionar que un ilustre peruano Federico Villarreal (1850-1923) nacido en Túcume, Lambayeque quién a la edad de 23 años descubrió el método para elevar ya no solo un binomio sino un polinomio cualquiera a una potencia compleja inclusive, otro matemático peruano Cristóbal de Losada y Puga, le dedico profundos estudios a este descubrimiento e incluso lo llamó “polinomio de Villarreal” donde aquí el binomio de Newton viene a ser un caso particular. n ∈ Ζ+

 n −k k x y99  + .... + C96 n

6 3k

04. Reduce: (r ≤ n – 1)

 n +1  n −1  n   n −1   +   +   +    r +1   r −1   r −1  r  S5AL32B

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

CONTENIDO TEÓRICO: 1.

S5AL32B

POTENCIACIÓN: BINOMIO DE NEWTON

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

5to. Año Secundaria

La potencia de un binomio es un polinomio que se denomina desarrollo binomial o de Newton. Así tenemos:

(x + a)1 = x + a (x + a)2 = x2 + 2xa + a2 (x + a)3 = x3 + 3x2 a + 3xa2 + a3 (x + a)4 = x4 + 4x3 a + 6x2 a2 + 4xa3 +a4

Así:

DESARROLLO DE LA POTENCIA DE UN BINOMIO CON EXPONENTE NATURAL (n ∈ IN): BINOMIO DE NEWTON

METODO “2"

⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

( )

n

1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 3 4 5 6 7 :

1 3 6 10 15 21

1 4 10 20 35 :

+1

1 1 1

MÉTODO “1”

1 5 1 15 6 1 35 21 7 1 : :

10

1 ( x −a ) n =C 0n .x n − C1n . x n − a +C 2n .x n −2 a 2 − ... ±C

1

10

5

1

4

1 2

3 4

5

10

3

1

( )x

tk + ±n 1 = k

5 2

C14 + C24 = C25

Es

particular

un

c

n −1

caso

n −1

4 10

Ejemplo. Halla el desarrollo de (x + y)5

ak

de:

n

+ cr = cr r −1

(k + 1) → lugar que ocupa el término

n  → k

combinación de “n” elementos tomados de “k” en “k”

Además: 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 = 25 ó n → exponente

5

5

5

5

5

5

5 c0 + c1 + c2 + c3 + c4 + c5 = 2

1 5

n− k

Donde :

Que en realidad comprueban que:

♦

del binomio

x → primer término del binomio a → segundo término del binomio k → lugar del término buscado menos 1

Ejemplo: Halla el séptimo término del desarrollo de: 10

 3 1 4 2 x − y  4  

Tanto el método (1) como el método (2) son viables o factibles de emplear para potencias con exponentes pequeños, caso contrario habría que emplear la forma general.

1

En donde un coeficiente cualquiera es igual a la suma de los dos que están encima de él en la fila anterior.

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

C

10

Desarrollar: (x + a)4 1

Para: (x ± a)n, se tiene que:

C 24

Observación:

1

6

C14

6

Siendo los de lugar: IMPAR ⇒ positivo lugar: PAR ⇒ negativo

TÉRMINO GENERAL DEL DESARROLLO DE LA POTENCIA DE UN BINOMIO

Son una prueba de que la suma de los coeficientes de la fila n, es igual a 2n.

1 1

S5AL32B

5

4

.

 n  . aTambién: 

FORMAS PRÁCTICAS DE DEDUCIR el desarrollo del binomio: Veamos los siguientes ejemplos:

Solución : x 4 + 4 x3 a + 6 x 2 a 2 + 4 xa 3 + a 4 Nótese que cualquier coeficiente es igual al producto del coeficiente anterior por el exponente de “x”, dividido entre el exponente de “a” previamente aumentado en 1.

6

1

Luego: (x+y)5 = x5+5x4y+10x3y2+10x2y3 + 5xy4 + y5

del binomio para sus potencias consecutivas, toma la forma geométrica de un triángulo de Pascal o de Tartaglia en honor a sus descubridores.

2Veamos n n

n

3

4

n( n −1) n −2 2 x a −... ± a n 1.2

o también:

Además obsérvese estos detalles del triángulo:

(x + a)0 (x + a)1 n n Como k = Ck ; entonces también se podría (x + a)2 expresar haciendo uso de los coeficientes binomiales: (x + a)3 (x + a)4 n n n       (x + a)5 ( x + a) n =   . x n +   . x n −1 a +   . x n −(x2 a+2 a)+6  0  1  2  (x + a)7 : 3

Exponente de la 2da base del término anterior

1

1

3

1

n(n − 1) n − 2 2 x a + ... + a n 1.2 Si distribuimos en línea los coeficientes del desarrollo

 n−3 3  n   n −1  . x a + ..... +   . xa +    n −1  

2

1

( x − a ) n = x n − nx n −1 a +

1

1

Exponente de la 1ra base del término anterior

Coeficiente del término anterior

Coeficiente de un término = cualquiera

( x + a ) n = C 0n .x n + C1n .x n −1 a + C 2n .x n −2 a + ... + C n .a

n

1

TRIÁNGULO DE PASCAL

o también:

5to. Año Secundaria 1

4 .3 =6 1 +1 6.2 El 4to coeficiente: =4 2 +1

Generalizando:

Veamos a continuación el desarrollo de los diversos tipos de exponentes que pueden afectar al binomio.

  

ÁLGEBRA

02

El 3er coeficiente:

: :

( x + a) n = x n + nx n −1 a +

01

Resolución: ♦

Si los términos del binomio están ligados con el signo "−", los términos del desarrollo estarán ligados en forma alternada con los signos + , −.

S5AL32B

Tk

+ 1; entonces k = 6, luego de la fórmula se obtiene:

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

(

)

10  T7 =   2 x 3 6 T7 =

10−6

5to. Año Secundaria

6

2n

1  .  y4  4 

2

10.9.8.7.6.5 .( 2 4 x12 )2 −12 y 24 1.2.3.4.5.6

105 12 24 T7 = x .y 128

2.

02

01

+1 = n +1

(1 − x) −1 / 3

Cuando el exponente es un número impar, de la forma (x + a)2n + 1, existen dos términos equidistantes de los extremos y sus lugares están dados por:

1er. término:

2n + 1 + 1 2

2.

Es necesario y suficiente intercambiar simultáneamente las bases y aplicar la fórmula conocida del término general.

Calcular el t10 a partir del extremo final de: (x + y) 40

Finalmente efectuando las conseguimos:

= n +1

t 10 final = t

40 9 +1

=c

40 9

.y

40 −9

=C

40 9

31

.y x

Observación: ♦

n

La suma de los coeficientes de (x + a) es: 2

n

=C

n 0

+C

n 1

+C

n 2

+.... +C

n n

♦

La suma de los coeficientes de (x – a)n es cero.

♦

En general la suma de los coeficientes del desarrollo de la potencia de un binomio se obtiene reemplazando a las variables que aparecen en la base por la unidad.

( x + a)

9

( x + a) n =

1.

Término central: Tiene el coeficiente de valor máximo. Denominándose así, al término que equidista de los extremos.

Se presentan dos casos: 1.

S5AL32B

n n( n −1) n −2 2 + x n −1 a + x a + ...

1 1.2

( ). x n 0

n

( )

+

( ). x n 1

n −1

.a +

( ). x n 2

n −2

.a 2 +

El número de términos es infinito, y al desarrollo se le reconoce con el nombre de serie binómico de Newton.

2. Para determinar el desarrollo de (x + a)n para un número fraccionario y / o negativo el valor de x debe ser uno y además x > a. Los valores de a deben ser 0 < a < 1.

Para determinar el término general en el desarrollo se utiliza la siguiente fórmula.

Ejemplo: Hállese los tres primeros términos de la expansión de:

n t k +1 =   x n −k a k k 

−1 / 3

Resolución: De acuerdo con lo expuesto en la teoría se deberá plantear:

(1 − x )

1 − 3

Cuando el exponente es un número par de la forma (x + a)2n existe un único término central y su lugar esta dado por:

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

α + β +γ +δ = m

( a +b +c +d ) m =∑

m!

α !β !γ!δ!

aα. b β. c γ. d δ

Donde m se descompone en todos los modos posibles tales que: α + β + γ + δ pertenecen al conjunto: {0; 1; 2;...;m}.

Ejemplo: Halla el coeficiente de x 6 desarrollo de (1 + 2x – x2)5.

en el

Resolución: El coeficiente estará expresado por:

∑

5!

α! β!γ!

(1)α ( 2 x ) β ( −x 2 ) γ

......

....... (I) Donde : β + 2γ = 6 (exponente de x6) Además: α + β + γ = 5, donde los valores posibles que pueden asumir son:

; ó también:

α=0 ; β=4

; γ=1

α=1 ; β=2

; γ=2

α=2 ; β=0

; γ=3

Reemplazando en (I):

1

 −1 / 3   −1 / 3  − −1 =  (1) −1 / 3 +   (1) 3 x + ...  0   1 

Y según las propiedades antes vistas, se tendrá:

.a α.b β. c γ . d δ

El desarrollo de toda la potencia se expresa así:

3. Los términos del desarrollo con respecto a sus signos, no tienen ninguna relación.

4.

Su desarrollo admite infinitos términos pudiéndosele llamar Serie binomial.

(1 −x )

Donde:

PROPIEDADES DEL DESARROLLO DEL BINOMIO:

n +3 . x n −3 .a 3 +.....

P(x ; a) = (px ± qa)n ⇒ P(1;1) = (p ± q)n ♦

=x

n

indicadas

tres primeros términos

DESARROLLO DE LA POTENCIA DE UN BINOMIO CON EXPONENTE NEGATIVO Y/O FRACCIONARIO.

n

operaciones

x 2x 2 (I − x )−1 / 3 = 1 − + − .....   3   9   

Resolución: Solamente intercambiamos las bases (y + x) 40 y aplicamos la fórmula del término general.

α β γ δ  − 1  − 1  donde el término que contiene a: a . b . c . d − 1    es:  1 3  3  x 2 + .... = 1 +  − x +  3 1 .

2  

m!

En la primera parte del módulo se estudió el Teorema del binomio cuando el exponente es un número entero y positivo cualquiera, ahora se trata de hallar la fórmula para exponente negativo y/o fraccionario.

Ejemplo:

5to. Año Secundaria

α !β !γ!δ !

2do. término: n + 1 + 1 = n + 2 TÉRMINO GENERAL DEL DESARROLLO DE LA POTENCIA DE UN BINOMIO CONTADO A PARTIR DEL EXTREMO FINAL

ÁLGEBRA

tk +1

    k factores       n( n −1)(n −2)...(n −k +1) n −k k 5! (1) 0 ( 2 x ) 4 ( −x 2 )1 + 5! (1)1 ( 2 x ) 2 = x a 0!4!1!

1!2!2! k!

+

3. FÓRMULA DE LEIBNITZ Así como se puede hallar el término que uno desee en la potencia de un binomio, se puede hallar un término cualquiera en la potencia de un polinomio, aplicando la llamada fórmula de Leibnitz. Por razones puramente pedagógicas estableceremos las reglas para el desarrollo de (a + b + c + d) m, en S5AL32B

5!

(1) 2 ( 2 x ) 0 ( −x 2 ) 3 = −10 x 6 +120 x 6 −8 2!0!3!

¡Importante!

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN Dado el polinomio

5to. Año Secundaria a) 288 d) 287

( a + b + c +... + k ) n       " k " tér min os

El número de términos de su desarrollo se calcula de la siguiente manera: n° términos =

 n +k −1     k −1 

C

a) 20 d) 14

b) 7 y 12 e) 7 y 13

c) 20

c) 7 y 11

03. Si el término de lugar 12 del desarrollo (x + 1) es de la forma Mx2.

Calcular R = A + 23. b) 102 e) N.a.

c) 101

04. Si los coeficientes de tres términos consecutivos en la expansión de (x + y) n son proporcionales a 3, 12 y 28. Hallar “n” sí n < 10. a) 7 d) 10

b) 8 e) 6

9 5

C

)

b) 10 e) 12

c) 11

(x + x )

−2 78

   ; a

c) 9

68 14 68 16

14.

a < 20. Halle el

a)

C

b)

C

d)

C

e) N.a.

c)

88 14

C

En

el

a) El desarrollo consta de 7 términos. b) Los términos son alternadamente positivos y negativos. c) La suma de los exponentes que afectan a “x” é “y” en cada término es constante. d) El coeficiente del segundo término es –18 e) El coeficiente del cuarto término no es 540 10. El quinto término de (2x2 + y) 20 tiene por coeficiente: b) 570. 24 e) 4845. 216

c) 570. 216

11. El término de segundo grado en el desarrollo de:

S5AL32B

 2 2 x −   x 

.

b) 3/2 e) N.a.

c) 2/3

04. Por el teorema del binomio. ¿Cuántos términos de la expansión de: son números naturales?

a) 9 d) 112

a) 1 d) 4

b) 150 e) Imposible Al

c) 118

desarrollar

 x x   y n −10 + x 

n +20

m

cuya parte literal es: a) 41 d) 44

   

la

expresión:

n

x 60 y 600 .Calcula “m + n”

b) 42 e) 45

01. ¿Cuáles son los dos primeros términos del

 1 B(x; y) =  x 3 + 2  y 

a) 1– a

2

20

b)10 – a

d) 10 – a

2

e) 1+ a

12

c) 3

m

   

. Es px18 y–6.

b) 84 e) 100

c) 90

24

?

c) 1 – 10a

8

a) 17 d) 20

b) 18 e) 21

c) 19

07. Hallar el coeficiente que contiene a x 2 en el

a) 12 d) 18 S5AL32B

)

 3 1  x + x    

desarrollo de:

es:

3+ 2

06. Hallar el lugar que ocupa el término independiente del desarrollo de:

10

desarrollo de:

b) 2 e) 5

3

05. Si el término de lugar “n” contando a partir del último en la expansión del binomio.

a) 82 d) 88

 a2   1 − 10    

(

Halle m+n+p

c) 43

PROBLEMAS PROPUESTOS

4

“El nuevo símbolo de una buena educación....”



120

1   x

c) El 4to

03. El desarrollo de (ax2 + 3y)n tiene 12 términos.

El término que contiene x10 posee coeficiente 1 386; hallar el doble de “a”. a) 6 d) 2

x +3

b) El 3ro e) El 6to

Determinar el número de términos irracionales.

2

05. Al multiplicar los términos tercero y octavo del desarrollo de (2x2 + y3)24 se obtiene un término de la forma Rxnym; Hallar W = 3n + 2m

5

de: 

que contiene a x–8 es:

a) El 2do d) El 5to

c) 7

desarrollo

.El término

12

Observamos que ésta admite un término central

09. ¿Cuál de las siguientes expresiones es falsa en relación con el desarrollo de (x2 – 3y5)6?

a) 170. 28 d) 340 . 25

)

c) 497

b) 6 e) 9

15.

78 14

− x −4

8

b) 492 e) 425

a) 5 d) 8

78

es

02. En el desarrollo de: 

13. Hallar n + k si se sabe que el cuarto término del desarrollo de (x + 2)n es 80xk

.Halle el número de

coeficiente de x4a –8

13

a) 103 d) 104

+x

,el coeficiente

08. El coeficiente de x45 en la expansión:

02. Para que valores de “n” los coeficientes del término 5, término 6, término 7 del desarrollo de (1 + x) n forman una progresión aritmética. a) 7 y 14 d) 6 y 14

a) 490 d) 493

c) 42 −3 2 n −1

1  1 +  2 2x  x

c) -12x2

(x

“x” en el desarrollo de

términos.

01. Dado el binomio (3x5 + 5x3)43 hallar el lugar que ocupa el término que tiene x175 como parte variable. b) 19 e) 22

(x

del término 6 es

9.8.7 =C = = 84 1.2.3 9 3

PRÁCTICA DE CLASE

a) 18 d) 21

b) 43 e) 44

b) 24x2 e) -16x2

12. Halla el coeficiente del término independiente de

1  14  x +x 3     

4

5to. Año Secundaria 5

a) -32x2 d) 4x2 48

07. En el binomio:

ÁLGEBRA

02

c) 388

06. Determina el número de términos irracionales en el desarrollo de:

a) 14 d) 45

Ejemplo: El número de términos de (1 + x + y + z)6 es: 6 + 4 −1 4 −1

b) 188 e) 286

01

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

(1 − 4 x ) −1 / 2 . b) 6 e) 1

c) 4

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

5to. Año Secundaria

01

ÁLGEBRA

02 d) 7

08. Calcular el coeficiente cuya parte literal es x 9 en la expresión:

(1 + 2 x + x 3 ) 5

a) 1280 a4 d) 1580 a4

b) 1380 a4 e) 1680 a4

b) –70 e) 90

c) 80

09. El número de términos que se obtiene al desarrollar: ( 2 + 3 x

2

+ 4 y + 5 z 2 ) n es 84.

Calcula n. a) 6 d) 9

b) 7 e) 10

c) 8

10. Hallar el término independiente del desarrollo de 21

 5 2  x +   4 x  

. Indicar también la posición que

02. Calcular el lugar del término que contiene a x 2 en el desarrollo de:

20

a) 21x2 ; 21 c) 21x221; 21 e) N.a.

b) 20x2 ; 20 d) 20x220; 21

11. La suma de los coeficientes numéricos del desarrollo completo de (x2 – 2xy + y2)7, es:

12. Dado el binomio:

b) 7 e) 1282

c) 14

 5 5  x + 2  x  

40

; Hallar el lugar

del término que contiene a: x-10 como parte variable. a) 21 d) 27

b) 31 e) 25

c) 23

a) – 7 d) 21

b) 7 e) 35

a) 6 d) 8

c) – 21

16. La suma de los coeficientes numéricos de todos los términos del desarrollo de: (x - 2y)18 es: a) 0 d) – 19

b) 1 e) 19

17. En el desarrollo del binomio

a) 18 d) 48

b) 26 e) 59

(x

2

)

−3

n

, el

c) 32

b) 120 e) 312

c) 210

19. A cuanto equivale la suma de todos los elementos situados en el perímetro del triángulo de Pascal de 100 filas? a) 196 + 298 d) 196 + 299

b) 196 + 297 e) 195 + 295

c) 197 + 299

20. Se sabe que el cuadrado del t6 del desarrollo de (5x3 + 3y4)26 es de la forma Exayb. Hallar (a+b). a) 164 d) 166

b) 165 e) N.a.

c) 254

a) 1805 d) 1854

b) 1584 e) 1580

c) 1845

TAREA DOMICILIARIA 01. Determinar el valor de “n” si se sabe que el término central del desarrollo de:

(x

+1)n −4 es 6

14. Hallar el término que contenga la cuarta potencia de “a” en el desarrollo de: S5AL32B

(

2 −a

)

10

a) 8

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

b) 9

x

n 2 −17 n +76 2

OBJETIVOS ESPECÍFICOS: ♦ Opera correctamente con radicales, haciendo uso de las propiedades enunciadas en el presente módulo. ♦ Transforma radicales dobles a radicales simples, haciendo uso de las fórmulas de transformación demostradas en clase.:

c) 9

03. Indicar el lugar que ocupa el término independiente de “x” en la expansión de:

3  x2  

18. Deduce el exponente de x6 en el desarrollo de: (x2 – 2x + 1)5. a) 420 d) 140

b) 7 e) N.a.

c) 2

8

13. Al desarrollar: ( x + y + z + w ) , se obtienen “n” términos en el cual uno de ellos toma la forma: λ x2 y2 zw3. De acuerdo a lo anterior, calcular el valor de: “λ + n”

14

 1  x −   x  

de a-1/2 es:

tercer término es: 405x . Calcula (n + k)

20

a) 0 d) 128

 1   , el coeficiente 15. En el desarrollo de a −  a   

k

ocupa.

e) N.a.

c) 1480 a4 7

a) 70 d) –80

5to. Año Secundaria

a) 57 d) 112

+

1  4  x

COMENTARIO PREVIO:

154

b) 63 e) 113

c) 97

04. En la expansión de: (3x3 + x-1)n existe un término en la cual su grado es numéricamente igual a la posición que ocupa. Indica dicha posición si la suma de los coeficientes de todos los términos del desarrollo es igual a 234 a) 8 d) 12

b) 11 e) 9

05. En

c) 10

el

desarrollo

de:

120

1  5  x +3  x  

.

Determina el

En el siglo V A. C.., los griegos pitagóricos, buscando la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado uno, descubrieron otra clase de números distintos a los naturales y a los fraccionarios, les pareció tan poco razonable lo que obtuvieron que le llamaron irracional.

Las raíces que no pueden expresarse exactamente mediante números racionales representan números irracionales y reciben el nombre de radicales. Por ejemplo: 3 , 5 , 11 , son radicales.

CONTENIDO TEÓRICO: 1. CONOCIMIENTOS PREVIOS: 1.1. VALOR PRINCIPAL DE UNA RAÍZ

número de términos racionales e irracionales. a) 9 y 12 d) 20 y 101

b) 15 y 104 e) N.a.

c) 17 y 104

n

Ejemplos:

 x  10 y n − 

n

  ,   Observamos que ésta admite un sólo término central cuya parte literal es : x60 y600. Calcular: “m + n” a) 41 d) 44 Práctica N° 5:

+

y

b) 42 e) 45

(2)2 = 2

a)

06. Al desarrollar la expresión: m

+ A =r ; Sí A ∈ ℜ ∧ n ∈ Ν (n ≥ 2)

n+ 20

x

c) 43

(− 2)2 = −2

b)

=2 =2

Luego:  a si a ≥ 0 a2 = a =  − a si a < 0

c) 16 x

2

− 24 x + 9 =

(4 x − 3)

2

=

| 4x −3 |

   

Es la raíz principal

RADICALES

c) 10 S5AL32B

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

5to. Año Secundaria

si 4 x − 3♦ ≥ Se 0 halla el M.C.M. de los índices de los

 4x - 3 16 x 2 − 24 x + 9 =   - 4x + 3

si 4 x − 3 < 0

♦ Se divide el M.C.M. encontrado entre el índice original de cada radical, y cada cociente se multiplica por el exponente también original de la cantidad subradical.

Ejemplo: 3

1.2. EXPRESIÓN RADICAL:

Las raíces de expresiones algebraicas que no pueden expresarse exactamente mediante una expresión algebraica racional, representan expresiones algebraicas irracionales y reciben el nombre de radicales.

Ejemplo: 3x ; 5 8 x 3 y ;

3

8 abc

2

;

3

x2y

; 3 xyz2

;

3

a 2b ;

Son radicales homogéneos.

1.4. RADICALES SEMEJANTES:

Son aquellos radicales que presentan el mismo orden o índice y la misma cantidad subradical, sin importar la expresión que lo multiplica.

Ejemplo:

7 5

5

2x

2

5

;5 x 2 x

2

;−6

5

2x

2

;

son radicales semejantes.

1.5. HOMOGENIZACIÓN DE RADICALES:

Es la operación que consiste en transformar radicales con diferente índice (radicales heterogéneos), en radicales con igual índice (radicales homogéneos).

Se recomienda tener en cuenta las siguientes; reglas:

3

1.2.

60

x =

4

a

5

w2 =

3

3

;

x 20

60

a

60

w 24

=

5

w2

,

45

27 ⋅ 3 =

384 =

1.3.

n

An B = A

n

a

26 x 2 x 3

Se dice que un radical está simplificado al máximo cuando al descomponer en factores primos el radicando, todos los factores primos están elevados a exponentes menores que el índice del radical.

Ejemplo: 330 está simplificado al máximo porque descomponiendo 330 en factores primos tendremos:

a) 3

5

a b =a

5

8 ab 3 = 2 b

3

n

330 = 2 x 3 x 5 x 11, todos los factores primos están elevados a exponentes menores que 2.

2 3 5 11

en cambio, 384 no está simplificado al máximo porque descomponiendo 384 en factores primos tendremos:

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

2

384 = 27 x 3, como se puede observar, no todos los factores primos están elevados a exponentes menores que 2.

a) a

5

2b

3

c) 3

4

n

x ±b

m

x .

n

y =

3 =

4

3.

3.1.

x :

n

y =

mn

xn :

y

mn

y m = mn x n : y m

DESCOMPOSICIÓN DE DOBLES EN SIMPLES

RADICALES

PRIMER

CASO:

A± B = x ± y

donde:

b)

3

3 4 x 3 = 4 243

∧y =

A −C 2

C= A − B Siendo: En resumen la fórmula para descomponer una raíz doble en raíces simples es: 2

A± B =

2.

y m = mn x n y m

mn

De

n

B = An B

a = 8 ab

xn .

b)

A +C x= 2

3

mn

DIVISIÓN DE RADICALES

m

b = a b

y ⇒ no son semejantes

b)

a

5

n

b

PRINCIPIO DE LA INTRODUCCIÓN: Consiste en introducir una expresión en el radicando; así: A

x = (a ± b ± c)n x

a x n a) a n x : b n y =

c) 4 243 = 4 81 x 3 = 3 4 3

1.4.

n

a) a n x . b n y = ab n xy

b)

b

x ±c

MULTIPLICACIÓN DE RADICALES

2.3.

B

Ejemplos:

330 165 55 11 1

2.2.

Ejemplos: 5

n

Observación.- En las operaciones de adición y sustracción los radicales se simplifican al máximo y a continuación se efectúan las operaciones

máximo

(60 ÷ 4 = 15) (60 ÷ 5 = 12)

x ±b

b) En la adición de radicales con distinto índice, la expresión queda indicada.

PRINCIPIO DE LA EXTRACCIÓN: Consiste en extraer una expresión del radicando; así:

(60 ÷ 3 = 20)

n

a

26 ⋅ 6 = 8 ⋅ 6

384 =

SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES:

384 S5AL32B

a

En primer lugar se debe reconocer que el M.C.M. de 3, 4 y 5 es 60.

radicales.

Ejemplo:

4

expresarlos como radicales homogéneos.

son

1.3. RADICALES HOMOGÉNEOS: Son aquellos radicales que presentan el mismo orden o índice, sin importar el radicando.

x ;

5to. Año Secundaria

192 2 96 2 48 2 24 2 12 2 6 2 3 3 1 Para simplificar al 384 procederemos del modo siguiente.

radicales, que será el índice común.

3  4 x - 3 si x ≥   4 16 x 2 − 24 x + 9 =  3  - 4x + 3 si x <  4

ÁLGEBRA

02

01

A +C 2

±

A− C 2

OPERACIONES CON RADICALES

2.1.

ADICIÓN DE RADICALES a) Para radicales semejantes se procede así:

S5AL32B

Es decir que, para transformar radicales dobles, en radicales simples: A2 - B, debe ser un número cuadrado perfecto.

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 3.2.

5to. Año Secundaria

01

y = x 2 −C

SEGUNDO CASO:

3

20 +14

2

a

radicales

xz

D =2

yz

Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos x, y, z.

6 +2 3 +2 6 +2

3

B = 14 2

C = 3 (20 )2 −(14

⇒

B = (14 2 )2

2 )2

3 =2

xz ;

Cálculo de x:

6 = xz;

20 = x(4 x 2 − 6)

2 = yz ;

cumple cuando:

z=2

Pero:

La

igualdad

x=2

3 + 1 + 2

TERCER CASO:

y = 2 2 − 2 ;Luego:

A± B = x ± y

A)

A = 4 x − 3Cx perfecto.

S5AL32B

A2 −B

Siendo:

A2 − B

cubo

dividirlo

entre

4

10. Simplificar: 5

c) 3

8 x 5

se

b)

2a

15

2 x

2 x

6

2

2

EJERCICIOS PROPUESTOS

d)

b

a + b

G)

8 + 28

B) 7 − 24

H)

9 + 72

2 2

a) a – b

b) a2 – b

d) E = 0 06. Simplificar:

e) a2 – b2

 2 − 1 40  56 + 

S5AL32B

01. Reducir: a +5 b +3

2ab + b 2 − a + 2ab + b 2 + b

a)

a −b

b)

d)

a +b

e) Ninguno

2b

c)

2a

02. Calcula el valor de: + b = α+ β

4

3

E = α + 3α β − 3α β −β

9 + 72

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

 − 5 − 7   

13 + 7

b) 2 e) 5

6

01. Transforma a radicales simples 3

3

2 =2 + 2

PRÁCTICA DE CLASE

Donde:

C=

20 +14

4 x

5

( 483 826 ÷ 9 874 )3

05. Si se tiene que: a Hallar el equivalente de:

y =2 3

97 − 56 3 6 08.

4 x4 4 x3 4 20

2b c) e) Ninguna

x + y + z

y = x 2 −C

3

3 −

Se obtiene una expresión de la forma k x +y , dar como resultado el valor de k. a)

Cálculo de y: 2 =

6 +2 3 +2 6 +2 2 =

3.3.

97 + 56

b) 2 75 − 2 27 − 3 48 − 5 3 + 12 + 3 108 4

a x + b y + bx 2 +2cxy +ay 2

20 = 4 x 3 − 3(2)C

6 =x +y +z

6 + 2 3 + 2 6 +2

4

45 − 27 − 20 − 5 + 12

04. Al descomponer en radicales simples:

yz

y =1

3 −2 2

a)

T=

 3 + 7   

a) 1 d) 4

A = 4 x 3 − 3 Cx

;

2 +1 .

03. Simplificar: 4

C =2 2 6 =2

xy ;

c) 4

07. Simplificar: 2x

12 + 140

2

8 +2 12

E =

C = 3 400 − 392

2

Luego:

x =3

−4

3

b) 7 e) N.a.

199 −2 100 2 −100 + 197 − 2 99 2 −9909.+Efectuar ... + 3la− 2 2 +1 operación:

Resolución

3 = xy;

7 −4

K)

F)

A 2 − B Siendo:

A = 20 ;

Ejemplo: Transformar a radicales simples:

2 =2

3 +2.

02. Calcula el valor de: C=

2

2n

x

Cálculo de C:

C =2

2

2x + 4 x 11 + 6

Resolución

A = x +y +z

A =6;

n

J) 2

a) 5 d) 6

I)

3

E)

simples.

B = 2 xy

7 +4

5to. Año Secundaria

D)

Transformar:

Donde:

4

C)

Ejemplo:

A+ B ± C ± D = x + y ± z

ÁLGEBRA

02

c) a – b2

.

E = 12 + 140 − 8 + 28 + 11 −2

a) 2 b) 1 d) –2

c) 0 e) N.a.

03. Simplifica: E = 2 − 3 + 9 +5

a) √3 + 2

2 − 34 + 26

30

– 2+ 2 +d) 23 37

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

b) 2 – √3

 2 2e)  

3 − 3(

c) 3

3 +2)+ 4 +2

3

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 04. Reduce: E = 8 +2 12 +

5to. Año Secundaria 7 +4

30 +

11 −2

7 −2 10

a) 2 d)

b)

6

c) 2

6

5

e) 0

5

4 +2

c)

28 +6

3

e)

13 +4

3

05. Reduce:

3

5to. Año Secundaria Práctica N° 6:

07. Al transformar:

b)

13 −4

3

d)

28 −6

3

18 +6

7 +6

RACIONALIZA

2 +2 14

Como una suma de radicales simples se obtiene x + y + z x > y > z.

Calcular: x + y +z

TAREA DOMICILIARIA

12 − 108 − 3 48 + 300 + 3 108 a) 1 b) 0

c) 8

3

d) 12

e) 6

3

3

06. Si: x =

3 + 4 − 12

a)

ÁLGEBRA

02

01

15 3

;y =

se obtiene (1 +3 +5 +...... +59 ) +(1 +3 +5 +...... +39 )

a) 10

6

la relación que

2

cumple es: a) x < y d) x/y = √3

b) x = y e) x > y

c) x/y =c

5

+2

c) 10

5 +20

e) 10

5 – 20

b) 10

11 + 2 18 + (1 + 4 2 )(1 − 4 2 ) b) 2 e) 4 √ 2

5 + 2 6 + 10 − 2 21 + b) 45 e) 51

3 +1)(

E = 17 −4

2 +1). (2

9 +4

26 +15

3

x + y , el valor de x + y es:

(1 −

8

)

2

4

+

( 9 −2

2

)

n +2

64 + n

m +n

♦ Determina correctamente el factor racionalizante de una determinada expresión algebraica. ♦ Resuelve ejercicios referidos a racionalización de fracciones algebraicas con denominador irracional.

4

10. Sabiendo que los radicales son homogéneos, reducir:

÷ 2 + 2 + 2 .......

2 −1)(

64 − m +4 64

COMENTARIO PREVIO: Muchas veces hemos escuchado hablar acerca de racionalizar una determinada fracción algebraica, y hemos entendido por racionalización al proceso mediante el cual se puede convertir una fracción cuyo denominador sea una expresión algebraica irracional, en otra fracción equivalente con denominador racional.

2)

Generalmente se realiza la racionalización del denominador de una fracción, pero en algunos casos también se presentan ejercicios en donde se nos pide racionalizar el numerador.

5

7 − 2 10 = a 05. + 2Reducir: b E = 12 + 2

a) 42 d) 49

E =

03. Reduce:

04. Transformar:

08. Calcula (a + b) si se cumple:

5

m

3 −1)(

3

09. Calcular:

02. Calcula:

(

c) 4

3 +

5

10 +10

d) 5

6 − 6 − 6 ......

07. Efectuar:

a) 1 d) 2 √ 2

08. Al transformar la expresión:

01. Transformar radicales simples:

OBJETIVOS ESPECÍFICOS: ESPECÍFICOS

35 − 9 − 2 14 + 16 −2 55 − 13 − 2

22

CONTENIDO TEÓRICO:

c) 47 06. Efectuar las operaciones indicadas:

1. RACIONALIZACIÓN

5 +1 x= n ; 5 −1 n

09. Sí:

Halla el valor de:

a) 1

5 −1 y= n 5 +1 n

x( y +1) y ( x +1) + x +1 y +1

b) 2

c)

n

d) n 5 +1 e) 3 10. Proporcionar el radical equivalente a: S5AL32B

5

12 + 2 27 − 5 75 + 3 48

a)

3

3

3

Racionalizar una fracción con denominador irracional, consiste en transformarlo a otro equivalente con denominador racional.

Para lograrlo es necesario multiplicar los términos de la fracción por otra expresión irracional llamado factor racionalizante FACTOR RACIONALIZANTE.

3

b) 3 16 − 2 54 − 2 81 + 2 24

c)

12 b 2 a

d) 8

(

a3

2

3b 3 4

−

e) 5 + 2 3

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

1 2

)

2

3

−

4

3b3

b

a

+

2b

27

3

ab

12 + 4 27 − 2

(

)

3

Si al multiplicar dos expresiones algebraicas irracionales se obtiene como resultado una expresión algebraica racional, entonces

16

−10 5 + 2 3 +13 S5AL32B

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

5to. Año Secundaria

ÁLGEBRA

02

01

ambos términos serán denominados factor racionalizante uno del otro.

EXPRESIÓN IRRACIONAL 5

EXPRESIÓN IRRACIONAL

x2y3

5

5

3

4

a .b.c

5

a ± b

b)

3

3

Racionalizar:

3

a ±3 b

3

a 2 3 ab + b 2a 3

Factor Racionalizante

3

Producto

3



PRIMER CASO: n N n

am

=

;n>m

am

N.(FR) ( a m )( a n − m ) n

n

=

a

n −m

3

∴

N.(FR)

N

Factor racionalizante: n

; n>m

a Observamos que la fracción presenta en su denominador un monomio.

n +5 + n −4

1 5

Resolución: F. R.

5

5

1 × x3 5

5

x2 x3

a)

x2

=

x 5 −2

5

x3

5

x5

S5AL32B

a ± b

=

N a  b

5

=

x3

x3 x

x

a  b

n +5 − n −4

n − 4 ) 3( =

n +5 −

(n + 5) − (n − 4 )

=

n +5 − n −4 n +5 −n +4

3

)

=

4

4

a± b

=

N 4

4

x

a ±3b

=

3

3

FR = a ± b

;

N.(FR) (3 a ± 3 b )(FR)

=

3

3

a 2 3 ab + b 2

=

N.(FR) 3

3

( a 2 3 ab + b 2 )(FR)

=

4

a ± b ( a  b )( a + b )

=

a−b

n

n +n b a + n b n a n −1 − n a n −2 + ... + a b −1

3

2. Después de hacer racional el denominador de la fracción: 123 . Se obtiene: 3 9 +3 3 3 −3 3. Al racionalizar el denominador de la siguiente fracción:

3

F. R. = x 4 − 25 x 2 +3 625

x 2 + 3 25

∴

×

3

x 4 − 25 x 2 + 3 625

3

x 4 − 25 x 2 + 3 625

1 3

x 2 + 3 25

x2y 3

3 3

3

=

x4

=

FR

x +3 y −3 x +y Éste se convierte en:

x 2 + 25 4. Después de reducir a su mínima expresión: 1 1 1 + + 3 3 3 3 7 +5 2 26 + 15 3 9 3 + 11 2 − 25 x 2 + 3 625 2 Resulta. x + 25 5. El denominador de las fracciones, una vez racionalizado es:

Lo antes expuesto; se puede aplicar cuando el denominador presenta radicales que se están

a =

1 4

2 − 2 +1

N.(FR) a −b

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

S5AL32B

. Resulta:

a ±b

Resolución:

3

N.(FR)

n− a − n b n a n −1 + n a n −2 + ... + na b− b1

18 + 6 7 + 6 2 + 2 14

N.(FR)

Ejemplo: Racionaliza: 3 x 2 + 3 25

1

a ±4 b

n

4 7 N

P

1. Después de racionalizar el denominador de:

a ±b

1

3

FACTOR RACIONALIZANTE

PRÁCTICA DE CLASE

N.(FR)

n +5 − n −4

(4 a 4 b )( a + b ) 4

EXPRESIÓN IRRACIONAL

3

 Observación: N

a ± b a  b

(

N

n +5 − n −4

Cuando la fracción presenta en su denominador expresiones en las cuales sus términos poseen radicales cuyo índice es potencia de 2, para racionalizar se aplica el criterio de la conjugada las veces que sea necesario.

N

SEGUNDO CASO: N

5

=

3

3

a 2  3 ab + b 2

N 4

Racionalizar:

n +5 + n −4

×

TERCER CASO: cuando la fracción presenta en su denominador expresiones cuyos términos poseen radical de índice superior a 2; será necesario tratarlo teniendo en cuenta los siguientes aspectos:

Ejemplo:

⇒

=

n +5 + n −4

N

3

=

n +5 + n −4

2. CASOS DE LA RACIONALIZACIÓN:

n +5 − n −4

)

3

N

n +5 + n −4

Resolución: F. R.

±b

a + b

F.R = a 2  3 ab + b 2

;

a ±3b

3

(

sumando algebraicamente y que son de cualquier orden impar mayor que 3.

Previamente se tendrá en cuenta criterios estudiados en las divisiones notables que originan cocientes notables exactos.

Cuando la fracción presenta en su denominador una suma algebraica de radicales de tercer orden.

N

Ejemplo:

a −b

a  b

 4 a 4 b     

Factor racionalizante: a  b Observamos que la fracción presenta en su denominador un binomio cuyos sumandos son radicales de índice 2, para racionalizarlos hemos aplicado el criterio de la conjugada.

x.y

a .4 b . c 3 a 2 . b 3 . c 2

3

Factor racionalizante:

EXPRESIÓN RACIONAL

x2y3

5to. Año Secundaria

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

; b=

1 6

2+ 7 −37

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 06. Sí:

5to. Año Secundaria

m = 3 2000 + 13 ;

n =

3

1997 + 13

b) 72 e) 25

6 + 10 −2

a) 42 d) 49

21 + 7 −2 10 = a +2

b) 45 e) 51

08. Indique el racionalizar:

2

b) 11 e) 8

después

de

1 x +2 +2

a) 6 d) 12

b) x + 1 e) 2

1

09. Sí: A =

3 − 2

c) x + 2

;

1

B=

3 + 2

10. Al

b) (A – B) ∈ N d) AB < 1

23 3

3

3

1+

S5AL32B

3 9

+3 1−

=

2 21 3 9

2

2− 3

2

3

6

e)

7

x

3

128

−

a) 16384 b) 8192 d) 2048 e) 8 06. Al racionalizar 24 x 3 y 3 5

b) 1 e) 4

3 − 2

= 2/3

3  11   

2 +9 4

3 +

 2    

20 −14

97 +56

07. Efectuar:

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

b) 21 e) N.a.

3

T =

3

c)

5

y5

a) 0 d) 3

b) 1 e) N.a.

1+ 2 + 3 + 6 obtiene como denominador: a) 0 d) 3

b) 1 e) 4

,

se

1 3− 8

−

1 8 − 7

a) T > 2 d) 1< T < 2

1

a) 1 d) 4

1 7 − 6

+

−

b) 2 e) 5

2 − 8 − 2 15 12

05. Calcular: 6 − 5

c) T <1

simplificar:

c) 3

1

3

b) T = 1 e) N.a.

c) 400

04. Efectuar:

1+

2 7 3 3

+3 1 −

2 7 3 3

a) 2 b) 3 d) 1 e) 5 06. Racionalizar:

1

c) 4

1 5

b) 3 e) 6

3

49 − 7 −6

5 − 6 + 10 − 15

c) 2

+

TAREA DOMICILIARIA

c) 4

81 + 27 + 5 9 + 5 3 + 1

S5AL32B

2( 15 − 7 ) 1+ 3 + 5 + 7

se obtiene:

5

1

07. Al racionalizar:

01. Al racionalizar: T=

11 − 2 30

c) 2

b) 350 e) 450

T =

10. Al reducir:

T=

3

1

1 3

a) 300 d) 430

1

−

8 +4

b) 1 e) 4

c) 2

9. Racionalizar:

4

03. Racionaliza e indica el denominador:

Se puede afirmar que: c) 4096

y

a) 0 d) 3

c) 31

+

7 −2 10

E =

120 x 2 y 7

a) 2 d) 5

a) 11 d) 41 1. Al efectuar:

c) 2

el denominador de la fracción resultante es:

PROBLEMAS PROPUESTOS E

−2

1

1 + 2 +2 4 obtendremos una expresión que adopta la forma: 3 A + 3 B + 3 C .

Hallar A + B + C.

2 21

d)

c) 10

3 +1

b)

128

efectuar:

01. Calcula:

a)

a) 0 d) 3

2 −2 3

2

+

es

05. Al racionalizar el denominador de la expresión adjunta, el grado del producto de los términos del denominador será:

Entonces: a) (A + B) ∈ N c) AB > 1 e) (A + B) 3 ∈ Z

se obtiene

2 + 3 − 5

b) 2 6 e) N.a.

04. Simplificar: a) x d) 1

8 − 2

x +1

2 3 −3 2

5

E

como denominador.

denominador

+

08. La equivalente de:

c) 9

b

03. Al racionalizar:

c) 47

5to. Año Secundaria

3

288 + 117 − 32 − 128   ,  13 

a) 13 d) 7

ÁLGEBRA

02

c) 8

su valor será:

c) 30

07. Calcula (a + b) si se cumple: 5 +2

b) 5 e) 12

 02. E =   

Hallar: m9 – 9m3 n3 – n9 a) 27 d) 20

a) 1 d) 10

01

x+

y + x− y

Señalar el denominador resultante.

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

5to. Año Secundaria

01

02

ÁLGEBRA

5to. Año Secundaria

SOLUCIONARIO Nº

Ejercicios Propuestos 01

02

03

04

05

06

01.

B

C

D

A

B

A

02.

D

A

E

A

C

C

03.

A

E

A

C

E

A

04.

A

C

E

C

A

D

05.

C

D

B

E

D

E

06.

E

B

E

D

E

D

07.

D

D

D

B

C

A

08.

B

C

A

E

C

E

09.

C

E

E

A

B

C

10.

C

B

C

A

E

E

11.

E

A

12.

B

B

13.

C

C

14.

B

E

15.

C

C

16.

D

B

17.

E

B

18.

D

C

19.

D

20.

D

GRUPO EDUCATIVO INTEGRAL copyright 2003

S5AL32B

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

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“El nuevo símbolo de una buena educación...."