Algebra 5° 4b by juan guerrero

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN IV

REGLA DE Objetivos • Aplicar los capítulos desarrollados anteriormente. • Diferenciar una desigualdad y una inecuación. • Buscar la aplicación del curso a problemas diarios mediante este capítulo. Introducción Toda la teoría de la investigación del máximo y del mínimo supone dos incógnitas y la regla siguiente: Sea a una incógnita cualquiera de la cuestión (con una, dos o tres dimensiones según el enunciado). Se expresará la cantidad máxima o mínima a por medio de términos que podrán ser de cualquier grado. Se substituirá luego a +e a la incógnita primitiva a y se expresará así la cantidad máxima o mínima y se quitarán los términos comunes de una y otra parte. Hecho esto se encontrará que en ambas partes todos los términos estarán afectados con e por una de sus potencias. Se dividirán todos los términos por e o por una potencia de grado más alto de modo que en cuando menos uno de los términos de cualquiera de los miembros e desaparezcan enteramente. Se suprimirán a continuación todos los términos donde entre e o alguna de sus potencias y se igualarán los demás, o bien, si en alguno de los miembros no queda nada, se igualarán, lo que es igual, los términos en más con los términos de menos. La resolución de esta última ecuación dará el valor de a que conducirá al máximo o al mínimo retomando su primera expresión. E A

Consideramos AC =b, sea a uno de los segmentos y b - a el otro segmento; el producto del que se busca el máximo será ba-a2. Sea ahora a+e el S5AL34B

5to Año Secundaria

ALGEBRA

5to Año Secundaria

primer segmento de b, el segundo será b - a - e, y el producto de los segmentos será ba - a2 + be 2ae - e2 A esto se le debe adigualar el precedente : ba - a2. Suprimiendo los términos comunes: be ∼ 2ae + e2. Dividiendo todos los términos: b ∼ 2a + e. Suprimir e: b=2a. Para resolver el problema hay que tomar la mitad de b. Es imposible proporcionar un método más grande. DESIGUALDAD Es aquella comparación que se establece entre dos números reales, mediante los símbolos de

4. Si a ≤ b ∧ b ≤ c, escribiremos abreviadamente a≤b≤c Por ejemplo: 4 ≤ x ∧ x ≤ 9 entonces 4 ≤ x ≤ 9

Luego si a y b son

Corolario Para cualesquiera dos elementos a,b ∈ R, una y solamente una de las siguientes relaciones se cumple:

desigualdad: <,>, ≤ , ≥ .

números reales, entonces: a < b, a > b, a ≤ b y a ≥ b se llaman desigualdades, y se leen: a < b: “a menor que b” a > b: “a mayor que b” a ≤ b: “a menor o igual que b” a ≥ b: “a mayor o igual que b” DEFINICIONES Sean a, b ∈ R Luego: 1. a es positivo ↔ a > 0 2. b es negativo ↔ b < 0 3. a > b ↔ (a - b) es positivo 4. a 1 pues 2 - 1 = 1 > 0 NOTA

Sean a,b ∈ R, Luego : 1. La expresión simbólica “a > b” tiene el mismo significado que: “b < a”. Por ejemplo: 5 > 2 ⇒ 2 < 5 2. La expresión simbólica “a ≤ b” significa que a < b ó a = b, es decir, cuando se verifica cualquiera de las expresiones: a < b ∨ a = b, escribimos a ≤ b. Por ejemplo: Como 2 < 3, podemos escribir 2 ≤ 3 Como 5 = 5 podemos escribir 5 ≤ 5

Para cualquier número real “a”, una y solamente una de las siguientes relaciones se cumple:

a<b ∨

∨ a>0

a=0

a=b

∨

a>b

Prueba Sean a y b números reales, entonces (- b) también es real, luego por la Ley de Clausura para la adición (+) en R se tiene que a+ (-b) es real, es decir (a-b) ∈ R. Aplicando la Ley de Tricotomía para (a - b) ∈ R: a-b<0

a-b=0

∨

a-b >0

Equivalentemente [por las definiciones (3), (4) y por el principio: la diferencia de dos números es cero si y sólo si son iguales] a< b

∨

a=b

∨

a>b

LA RECTA NUMÉRICA REAL

Se observa que la representación de los números irracionales en la recta numérica, determina la completitud, es decir, que a cada número real le corresponde uno y sólo un punto de la recta y cada punto de la recta es conjunto es continuo, es decir, no existe ningún vacío entre sus elementos. INTERVALOS Sea I un subconjunto de R (I ⊂ R). Decimos que I es un intervalo, si y sólo si es el conjunto de todos los números reales que están comprendidos entre dos extremos (que pueden ser finitos o ideales) NOTA

Los símbolos +∞ y - ∞ se llaman ideales. Clases de intervalos Si I es un intervalo, puede ser, acotado o no acotado. A. Intervalo acotado 1. Abierto Si a, b ∈ R con a ≤ b, se llama intervalo a; b

Es aquella recta geométrica donde existe una correspondencia biunívoca (uno a uno) entre los puntos de la recta y el conjunto de los números reales.

abierto y se denota por , al conjunto de los números reales x, tales que: a < x < b. Es decir:

a; b

{ x ∈R / a < x < b}

Representación:

3. La expresión simbólica “a ≥ b” tiene el mismo significado que b ≤ a, es decir : a≥b ⇒ a>b ∨ a=b

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

∨

− 2 π 2 -3 - 5 -2 -1 - 1 0 1 1 2 5 3 +∞ 2 2 2 2

−π −∞

(-) NEGATIVOS

LEY DE TRICOTOMÍA

a<0

(+) POSITIVOS

x a S5AL34B

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

5to Año Secundaria

2. Cerrado Si a b ∈ R con a ≤ b, se llama intervalo cerrado y se denota por [a;b], al conjunto de todos los números reales x, tales que a ≤ x ≤ b. Es decir : [a;b] = {x ∈ R / a ≤ x ≤ b} Representación: x b

x ∈ [ a; b] ⇒ a ≤ x ≤ b

-∞

= R Toda la recta numérica Operaciones con intervalos Sean A y B intervalos se definen y se denotan : A ∪ B = {x ∈ R / x ∈ A ∨ x ∈ B} A  B = {x ∈ R / x ∈ A ∧ x ∈ B} A - B = {x ∈ R / x ∈ A ∧ x ∉ B} CA = AC = A’ = A {x ∈ R / x ∉ A} A’ = Complemento de A respecto a R A’ = R - A

a;b] = { x ∈R / a < x ≤ b} Representación: x b

a ; b = { x ∈ R / a ≤ x ≤ b}

B. Intervalo no acotado Es aquel intervalo que tiene por lo menos un extremo ideal +∞ ó - ∞. Los siguientes intervalos son no acotados. = { x ∈R / x > a } x a

+∞

a ; + ∞ = { x ∈ R / x ≥ a} a

+∞

−∞ ; b = { x ∈ R / x < b}

S5AL34B

Sean los conjuntos (intervalos) A = {x ∈ R / x ≤ 5} B = {x ∈ R / - 8 ≤ x < 12}

Hallar: A  B, A − B, B − A, A' , B' TEOREMA DE DESIGUALDADES Sean a, b, c, d números reales, luego: 1. a 0: a bc 5. ∀ a ∈ R: a2 ≥ 0 6. (a 0 ⇔(a >0 ∧ b > 0) ∨ (a < 0 ∧ b < 0) 9. ab<0 ⇔(a>0 ∧ b < 0) ∨ (a < 0 ∧ b > 0) 1 >0 10. a > 0 ⇔ a 1 <0 11. b < 0 ⇔ b

12. Si a y b tienen el mismo signo, entonces :

-∞

13.

a<b<0 ⇔

1 1 > , a >0 0< a < b ⇔ a b

1 1 > a b

{

}

14. Para números positivos se cumple: MA ≥ MG ≥ MH Donde: MA: Media Aritmética MG : Media Geométrica MH : Media Armónica NOTA

Si se cumple que: 0 < a < b ∧ 0 < c < d, no a b c d siempre es cierto que: 0 < < . Es decir, no

se puede dividir miembro a miembro cuanto se tienen desigualdades del mismo sentido. Por ejemplo: 4 4<8 ∧ 1<2 → 1

8 < 2

¡Falso!

Por ejemplo, en la inecuación 2x + 3 > x + 5, una solución particular es x = 4, pues: 2(4)+3x > 5 +5 es cierto. También en la inecuación x + y ≥ 2, para x =1 é y = 1 la inecuación se verifica, pues 1+1 ≥ 2 es cierto, luego (1;1) es una solución particular. CONJUNTO SOLUCIÓN Es aquel conjunto denotado por C.S. que agrupa a todas las soluciones particulares (si existen) de una inecuación. Si la inecuación no tiene solución, entonces decimos que el C.S. es el conjunto vacío. RESOLVER UNA INECUACIÓN Significa hallar su conjunto solución. La resolución se realiza sólo empleando pasos equivalentes, por ejemplo, si queremos resolver la inecuación: 2x + 3 > x +5, diremos: 2x+3>x+5 ⇔ 2x + 3 + (-3) > x + 5 + (- 3) ⇔ 2x > x + 2 ⇔ 2x + (- x) > x + (- x) + 2 ⇔x>2 Gráficamente: x -∞

+∞

Luego : C.S. = {x ∈ R / x > 2} =

2; + ∞

INECUACIÓN Es una desigualdad en la que hay una o más cantidades desconocidas (incógnitas) y que sólo se verifica para valores de las incógnitas, o tal vez nunca se verifica. Por ejemplo, la desigualdad: 2x+3 > x+5 es una inecuación porque tiene una incógnita “x”, y se verifica para valores de x mayores que 2. También, la desigualdad: sen(x)+2 ≥ 5, es una inecuación que nunca se verifica, porque los valores del “sen (x)” están comprendidos en el intervalo [-1;1] para todo x real, en consecuencia sen(x)+2 está en el intervalo [1;3] y ningún valor de este intervalo es mayor o igual que 5. SOLUCIÓN PARTICULAR Es aquel valor (o valores) de la incógnita (o incógnitas) que verifica la inecuación.

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

5to Año Secundaria

a 2 < x 2 0 ∧ b > 0   2 2 2 b < x < a ; a < 0 ∧ b < 0  2 2 2 0 ≤ x < max a ; b ; a < 0 ∧ b > 0  a<x<b ⇒

EJERCICIO

Si a, b ∈ R son extremos de un intervalo y uno, cualquiera de ellos, no está en dicho intervalo, éste se llama intervalo semiabierto; es decir: <a; b] y [a; b> son intervalos semiabiertos donde :

a ;+∞

−∞; + ∞

3. Semiabiertos

ALGEBRA

−∞; b = { x ∈ R / x ≤ b}

x ∈ a; b ⇒ a < x < b

S5AL34B

INECUACIÓN LINEAL Forma general: <

P(x) = ax + b > 0 ; a ≠ 0 ∧ a; b ∈ R Resolver: ax + b ≥ 0; a < 0 ax + b ≥ 0 ⇔ ax + b + (-b) ≥ 0 + (- b) ⇔ ax ≥ - b; a < 0 1

⇔ a

. ax ≤

⇔x ≤ Gráficamente:

−

1 ( − b ) ; pues 1 < 0 a a

b a

x -∞

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

-b a

+∞

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

5to Año Secundaria

b b  x ∈ R / x ≤ −  = − ∞; − a a  Luego C.S. = 3x − 2 a −1

Resolver:

Factor Zonax - 3x+1x - 6P(x)x < -1-----1 < x < 3-+-+3 < x < 6++--x > 6++++

< 4x + 5, siendo a < 1

Es utilizado para analizar la variación de los signos de los factores lineales (de coeficientes reales) en una multiplicación indicada. Ejemplo 1: Sea P(x) = (x - 2)(x - 5) Las raíces del polinomio son: 2 ∧ 5 Ubiquemos estos valores en la recta real.

I II III -∞ +∞ 2 5 Las raíces del polinomio particionan a la recta R en 3 zonas (intervalos)

x ∈ ⇔ x < 2 ⇔ x - 2 < 0 x - 5<- 3 < 0, luego: (x - 2)(x - 5)> 0

∧

2;5

II. x ∈ ⇔2<x<5 ⇔0<x-2<3 ∧3< x - 5 <0, luego: (x - 2)(x - 5)< 0 5; ∞

III. x ∈ ⇔ x>5 ⇔ x - 2> 3 ∧ x - 5 > 0, luego: (x - 2)(x - 5) > 0 Gráficamente: P(x) = (x - 2)(x - 5)

-∞ +∞ 2 5 Ejemplo 2 : Sea P(x) = (x - 3) (x + 1)(x - 6), Las raíces son: -1, 3, 6. Ubiquemos estos valores en la recta real.

-∞

-1

+∞

Las raíces del polinomio particionan a la recta R en 4 zonas (intervalos). Analicemos las variaciones S5AL34B

ALGEBRA

Pero

recuerde

que: el C.S.=

−1; 3 

NOTA

Cuando formamos la inecuación polinomial los valores de las raíces del polinomio toman el nombre de puntos críticos. INECUACIONES CUADRÁTICAS Son aquellas inecuaciones de la forma : > 0 P ( x ) = ax 2 + bx + c <

Siendo: a, b, c ∈ R ∧ a ≠ 0 ¿Qué sucedería si algún coeficiente no es real? Sería complejo, pero Ud. sabe que en C no está definido el orden. Bien vamos a comenzar el estudio de esta inecuación:

b c  a  x 2 + x +  < > 0 a a  

b  a  x + 2a 

2  b   a   x +  2a   

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

 b 2 − 4 ac −  2a 

  < 0  (ψ) >  

  

Y para resolverlo aplicaremos el método de ¡Puntos críticos!, vamos a verlo mejor en algunos ejemplos. Ejemplo: 2

1. Sea x − 5 x + 4 ≥ 0, factorizando por aspa simple, se tiene (x - 4)(x - 1) ≥ 0. Los puntos críticos serán : 1; 4 (que son valores que anulan cada factor) Reemplazamos en la recta numérica.

( x − 1) 2

≥ 0 ⇒ C.S. = R, pues ∀ x ∈ R, cumple al ser reemplazada en la inecuación.

2 2 Χ. x − 6 x + 9 < 0 ⇔ ( x − 3 ) < 0 , obviamente la

inecuación tiene el símbolo que hace que esta inecuación sea no verificable para algún valor real. ∴ C.S. = ∅

(x − 5) 2 ≤ 0 ⇔ (x − 5) 2 = 0 ⇒

Tenemos que la única solución es x = 5. ∴φ0 Χ.Σ. = {5} Χασο ΙΙ Σι ∆ = b2 - 4ac > 0, reemplazando en ( ψ ), tenemos luego de elevar al cuadrado y tomar raíz.  2  b  ∆2 a   x +  − 2a   4a 2 

  >  < 0  

Vamos a multiplicar por el inverso multiplicativo de “a” y aprovechando la diferencia de cuadrados, quedará:   x + b + ∆   2 a 2a   

   < 0  ( α)   >  S5AL34B

 x + b − ∆  2a 2a 

 > 0 < 

+∞

NOTA

Empezamos de derecha a izquierda con el signo “+”, pues los coeficientes de “x” son positivos, además tomamos la parte positiva, pues el símbolo en la inecuación es “≥”.

<<<<<<

2 2 B. x − 4 x + 4 > 0 ⇔ ( x − 2 ) > 0 , notamos que se verifica ∀x ∈ R, excepto cuando x = 2. ∴φ0 Χ.Σ. = Ρ − {2}

-∞

> < 0

Cancelo “a” cuidándose de la variación del signo. En este caso tenemos por ejemplo :

Ahora nuestra meta será tratar de completar cuadrados dentro del paréntesis.     b2 c <  2  b  b2 a  x + 2 x − +  >0  + 2 4a 2 a       2a  4 a    

Comenzaremos con el análisis de los casos posibles que dependen del discriminante. Caso I Si (∆ = 0) reemplazando en (ψ), nos queda :

ax 2 + bx + c <> 0

Resolución: Como (a ≠ 0) divide a ambos miembros entre “a”, teniendo cuidado el posible cambio en el sentido de la inecuación, entonces tenemos :

b 2 − 4 ac

que

2  b  ∆ a   x +  − 2a   4a 2 

6; + ∞

5to Año Secundaria

2 ¡Discriminante!, el cual denotamos ∆ = b − 4 ac . Vamos a reemplazar en (α) y tendremos:

+∞ -∞ -1 3 6 Si se tratará de resolver: P(x) > 0, tendríamos

CRITERIO DE LOS PUNTOS CRÍTICOS

−∞; 2

Luego C.S. =

−∞, 1 

4; + ∞

2 2. Sea x − 4 x − 5 < 0 , factorizando queda:

( x − 5 )( x + 1) < 0 ⇒

+ -∞

Puntos críticos: 5; - 1

-1

+∞

∴ C.S. = −1; 5

3. Sea ( x − 2 )( 3 − x ) ≥ 0 ⇒ Los puntos críticos son: 3, 2. Cuando reemplazo en la recta no empezaré la variación con (+), sino con (-), ¿Por qué? -∞

+ 2

∴ C.S. = [ 2; 3 ]

+∞

Note que es posible multiplicar por (-1) a ambos miembros y nos quedará (x - 2)(x - 3) ≤ 0, ahora tenemos en la recta.

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

5to Año Secundaria

+ -∞

+∞

∴ C.S. = [ 2; 3 ]

4. Sea ( 3 − x )( 5 − x ) < 0 ⇔ ( x − 3 )( x − 5 ) < 0

⇒ 0 < x + 4x + 7 < 0 ⇒ 0 < 0 ¡Absurdo! C.S. ⇒ φ Otra forma: x2

+4x+7 =

+4x+4+3 < 0

2 ⇔ (x + 2) + 3 < 0

+ + Un teorema análogo será el siguiente: a x + bx + c ≥ 0, ∀ x ∈ R ⇔ a > 0 ∧ ∆ ≤ 0; a, b, c ∈ R.

-∞ +∞ 3 5 En lo posible usted, ha visto las variantes, ahora analicemos que pasa cuando (∆ < 0) En el teorema siguiente.

Teorema (trinomio negativo) x2

Sea P(x) = a + bx + x, siendo a, b, c ∈ R, se cumple que: P(x) < 0; ∀ x ∈ R ⇔ a< 0 ∧

2 Sea P(x) = ax + bx + c , donde a, b, c ∈ R ∧ ∆

< 0.

2  b  ∆  ax 2 + bx + c = a   x +  − 2a   4a 2  P(x) =

   

(a < 0)

− 2 b  ∆   x + 2a  −      4 a2 +

b  ∧  x +  a  

x 2 + 2x + 3 > 0 ⇒ Su C.S. = R 22

pues ∆ = - 4(3) = -8 < 0, y su coeficiente principal es positivo. + 4x + 7 < 0 ⇒ Su C.S. = φ

Pues ∆ = - 4(7) < 0, y su coeficiente principal es positivo. S5AL34B

Pero

( x − a) ≥0

Simplificando x 2 + x + 1 es

( x − a ) 2n ≥ 0 ⇒ x − a ≥ 0

−

( ∆) 4a 2

+ -∞

positivo

-∞

> <

)

−∞;1



[ 2; 3 ]



nos

quedaría pero

-2 -1

-∞

-2

Notemos que el C.S. =

( x − 1)

+ 6

+∞

−∞; − 2 ∪ −1;1 ∪ 2; 6

Ejemplo: x +1 x −1 ≤ x −1 x +1

+∞ −2;3

, pero

¡cuidado! el factor , al ser cancelado para x = 1 es un valor que anula el factor y que reemplazando en la inecuación original tendríamos el absurdo (0 < 0). S5AL34B

DEFINICIÓN

Es aquella inecuación que se caracteriza, porque la variable esta presente en el denominador de cualquier expresión que forma parte de la inecuación.

( x − 1) ( x − 3)( x + 2)( x − 7 ) < 0 . ( x − 3)( x + 2) < 0 Simplificando 2

pues

INECUACIÓN FRACCIONARIA

+∞

Los puntos críticos son -2; 3

x , x , x , x , , x n raíces a las que llamamos 1 2 3 4 Bien, si es que todas son reales, podemos factorizar:

− x n <>

4; + ∞

 x 2 − 4 (1 − x ) x 2 − 5 x − 6  > 0     ,

+ 2

( x + 2 )( x − 2 )( x − 1)( x − 6 )( x + 1) < 0

De lo cual el C.S. =

Como nosotros recordamos por un Corolario del Teorema Fundamental del Algebra, se tienen

a n ( x − x1 )( x − x 2 )( x − x 3 )  ( x

 x 2 − 5 x − 6  > 0  

podemos factorizar y nos queda :

( x − 1)( x − 2)( x − 3)( x − 4) ≥ 0

 x 2 + x + 1   

Luego el C.S. =

a n x n + a n −1x n −1 +  + a1x + a 0

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

Los puntos críticos son: 1,2,3,4.

Ejemplo:

2n +1 ≥ 0 ( x − a) 1. Si: ( x − a ) ⇔

Donde: a n ≠ 0 Además cada a i ∈ R; i = { 0,1, 2,3,    , n}

Prueba:

Por ejemplo podemos resolver:

Que tal si consideramos el polinomio de grado “n”:

 x 2 − 4 (1 − x )  x 2 + x + 1     

2n +1 > 0 ⇒ (x − a )

el signo menos con el signo del discriminante se hará todo positivo y suma de positivos harán que P(x) sea siempre positivo, cualquiera que sea x ∈ R.

( x − a ) 2 n +1 ≥ 0 ⇔ ( x − a ) ≥ 0 ; n ∈ N ( x − a ) 2n +1 ≤ 0 ⇔ (x - a) ≤ 0; n ∈ N Si:

INECUACIÓN DE GRADO SUPERIOR

P(x) =

NOTA

Lo mismo pasa con x = 7, pero como no está en el C.S. no le afecta.

∴ P(x) < 0

∴ C.S. = − 2; 3 − {1}

2n Si: ( x − a ) ≥ 0 multiplicando por ( x − a ) ≥ 0

Notemos que el producto:

Tenemos que (a > 0) y el factor:

Esto quiere decir que x = 1 es un valor no solución:

1. Si :

(+)

∆ < 0.

Demostración

Entonces para resolverla le aplicaremos Método de Puntos Críticos. Pero en general previamente simplificar, algunos factores de la que ya conocemos el signo. Para ello notemos que:

(−)   2  b ∆  <0 P (x) =  a  x +  −  a 4a 2  x            

Teorema (Trinomio positivo)

5to Año Secundaria

Teorema: ∀ x, a ∈ R

⇒ C.S. = φ

ALGEBRA

Resolución: I. Garantizar la definición de las expresiones con: x ≠ {1; -1} II. Operaciones:

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

x +1 x −1 − x −1 x +1 ≤ 0

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4x

( x + 1)( x − 1) ( x + 1 )( x − 1 ) x≤0 ⇒ −

⇒

C.S.

+ -1

Es toda inecuación que tiene la incógnita afectada por radicales. Presenta la siguiente forma general.

≤0

F ( x ) <> 0

−

−∞; − 1 ∪ 0; 1

ECUACIÓN E INECUACIÓN IRRACIONAL CONJUNTO VALORES ADMISIBLES El conjunto de valores admisibles de una expresión matemática es aquel conjunto denotado por C.V.A. que agrupa a todos los valor(es) que garantizan la existencia de la expresión matemática, es decir, valores de la variable que permiten que la expresión esté bien definida. El C.V.A. se va a considerar respecto a R, salvo indicación contraria. Ejemplo: x2 1. F(x) = 2 x − 1 , el C.V.A está dado por todos

aquellos valores reales para x, tal que 2x-1≠0. 1

Es decir: C.V.A. = {x ∈ R/ x ≠ 2 } = R - { 2 } 2. G(x) = x − 2 , el C.V.A. está dado por todos aquellos valores reales para x, tal que el radicando es no negativo: x - 2 ≥ 0. Es decir: C.V.A = {x ∈ R / x ≥ 2}= 3

5to Año Secundaria

2; + ∞

x2 −5

3. H(x) = C.V.A. (H(x)): …….......…………………………………… ……………………………………………… ………………………………………………

2x − 1 = x + 4 + x − 5

Siendo F(x) una expresión irracional sobre R.

Elevando al cuadrado:

Resolución:

2x - 1 = x + 4 + x - 5 + 2 x + 4 . x − 5

1. Hallar la existencia (CVA) de la expresión irracional F(x) 2. Se transforma la inecuación, elevando a ambos miembros a un exponente que elimine el radical. (Si el índice del radical es par, ambos miembros de la inecuación deben ser positivos obteniendo el conjunto de posibles soluciones Sp). 3. El conjunto solución se obtiene interceptando el CVA con Sp. Ejemplos: Resolver:

2x - 1 = 2x - 1 + 2

3 −x ≥2

x + 5 >3

2x − 1 < − 2

3x + 5 − π ≥ 0 3

5. 6.

(x + 4 ) (x − 5 )

0=2 x = - 4 ∨ x = 4 (Posibles soluciones)(SP) 3. C.S. = CVA ∩ SP = {5} ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO Antes de iniciar este tema es necesario recordar la definición y teoremas relativos al valor absoluto. VALOR ABSOLUTO Definición El valor absoluto de un número real “x” se denota por

y se define:

2 −π = π −

ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO Forma general

Ejemplo : Las siguientes igualdades son ecuaciones con valor absoluto 1. 2. 3.

x2 −3 + x =5 x −7 = 0 x + 2 + x2 +1 = 0 4 −5 =0 x−2

Ejercicio : Resolver : Resolución : Por el Teorema 1, tenemos :

5x − x 2 − 6 ≥ 0 ⇒ x 2 − 5x + 6 ≤ 0

ECUACIÓN IRRACIONAL De la definición se sigue que : Una ecuación es irracional si la incógnita está afectada por radicales, presenta la siguiente forma general: F( x ) = 0

Donde F(x) es una expresión irracional definida sobre los reales. La resolución de esta ecuación es similar a una inecuación irracional. Resolver:

x ≥0

2x − 1 − x − 5 =

x+4

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

⇒ ( x − 3 )( x − 2 ) ≤ 0 Por puntos críticos, tenemos:

; ∀x ∈ R

Teoremas Sea {x; y} ⊂ R; a ∈ R+ 1. 2.

4. 5.

x =a ⇔ x = ± a x2 = x

M( x ) = 0

Donde: M(x) es una expresión con valor absoluto.

2x − 4 = 5 x − x 2 − 6

−5 = 5 ; 2 = 2

x +1 ≤ x + 9

La demostración de estos teoremas se van a omitir ya que en este capítulo nos interesa resolver ecuaciones con valor absoluto.

f( x ) = g ( x ) ⇔ { g ( x ) ≥ 0 ∧ [ f( x ) = g ( x ) ∨ f( x ) = − g ( x ) ]}

Ejemplo :

x 3 +1 ≤ x +1

NOTA

4. Teorema : Sean f(x) y g(x) expresiones definidas en R.

x ; x ≥ 0 x = − x ; x < 0

1. C.V.A: 2x - 1 ≥ 0 ∧ x - 5 ≥ 0 ∧ x + 4 ≥ 0 S5AL34B

5to Año Secundaria

⇔ x ≥ 2 ∧ x≥5 ∧ x≥-4 ⇔ x≥5 2. Transponiendo:

3. INECUACIÓN IRRACIONAL

ALGEBRA

= x2

x = y ⇔ {x = y ∨ x = − y }

2 (1) : 2x- 4= 5 x − x − 6

x ≥ x ∧

 5 x − x 2 − 6   (2) : 2x-4= - 

x ≥ −x

x+y ≤ x + y 

S5AL34B

-2 3 ∴ x ∈ [2, 3] ………………………………… (*) y además :

Desigualdad triangular

De (1) :

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

∨

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN ∴φ0 ξ = 2 ϖ ξ = 1 ∆ε (2) :

2 2 2ξ − 4 = x − 5 x + 6 ⇒ x − 7 x + 10 = 0

∴φ0 ( x − 5 )( x − 2 ) = 0 ⇒ x = 5 ∨ x = 2 De (1) y (2) : x ∈ {1, 2, 5} Pero según (*) sólo es solución : x = 2 ⇒ C.S. = {2} Teorema

f( x ) = g ( x ) ⇔ [ f( x ) = g ( x ) ∨ f( x ) = − g ( x ) ]

f( x ) ≤ g ( x ) ⇔ [ g ( x ) ≥ 0 ∧ ( − g ( x ) ≤ f( x ) ≤ g ( x ) ) ]

x ∈ R / x 2 + 3 = 2 x + 2     A= 

x 2 + 3 = 2x + 2 ∨ x 2 + 3 = − 2x − 2

…………… (*)

≤ x−4

≤ x-4 ⇒

2 ∨ ( x + 1) + 4 = 0 ∨ ∃/ solución real ∴ A = {1}

> 0 N( x ) <

Donde N(x) es una expresión con valor absoluto. Ejemplo : Los siguientes ejemplos son inecuaciones con valor absoluto.

S5AL34B

⇔

( 3 x − 1)( x − 1) < 0 + 1 3

+∞

∴φ0 ξ ∈

-∞

4 4 3 ∴φ0 Χ.Σ. = ∅

1 ; 1 = C.S. 3

(**)

Teorema Sean f(x) y g(x) expresiones definidas en R. i. ii.

f( x ) ≥ g ( x ) ⇔ f( x ) ≥ g ( x ) ∨ f( x ) ≤ − g ( x ) f( x ) < g ( x ) ⇔ f 2 ( x ) < g 2 ( x )

Ejercicio: Resolver : Resolución : “El nuevo símbolo de una buena educación....”

x + 6 > 2x − 3

b) ]4; 8 [ e) [-4; 8 [

c) ]-4; 8[

es: [a; b]. Calcular “ab” a) -20 d) 8

b) -10 e) 25

c) 2

04. Si: a > b > c > 0 y

Calcular: M ∩ N ∩ P a) [-c; 0] d) ]-c; 0 [

b) [0; c ] e) [c; b ]

c) [-b; c ]

05. Sean los intervalos: PRACTICA DE CLASE

+∞

a) [-4; 4] d) [0; 8]

M = [-a; 0] N = ]-c; c] P = [-b; a]

-∞

x−2 = x − 2

( 2 x − 1) 2 < x 2

Nivel I:

Forma general

x 2 + 3x > x − 3

⇔

Calcular C ∪ D

E = [-4; 5 [ F = ]-2; 5 [

4 x 2 − 4 x + 1 < x 2 ⇔ 3x 2 − 4 x + 1 < 0

Intersectando (*) y (**)

INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

2x − 1 < x

x2 ≤ x−4 x−2

x≥4 ⇒ x - 2 ≥ 2>0

∴λανγ3082 Reemplazando en (α):

∴φ0 Χ.Σ. = ξ ∈

D= ]4; 8 [

03. Si la unión de los intervalos:

9 +∞ −∞; − 1

2x − 1 < x

y además : x2

-1

Resolver : Resolución : Por la parte “ii” del teorema anterior, se tiene :

2 2 x 2 ≤ (x - 2)(x - 4) ⇒ x ≤ x − 6 x + 8 3 4 ⇒ 6x ≤ 8 ⇒ x ≤ ………

x 2 − 2x + 1 = 0 ∨ x 2 + 2x + 5 = 0

1 ≤2 x

Ejercicio

x− 4 ≥0 ⇒ x≥4

x 2 ≤ x − 2 ( x − 4 )   ( α )

Considerando luego sólo las soluciones reales veamos: Por el teorema anterior :

-∞

Resolución : Por el teorema anterior, tenemos :

⇒ Pero de (*) :

x 2 + 3 = 2x + 2

5to Año Secundaria

Por el teorema anterior en la parte “i”. Tenemos : x + 6 > 2x - 3 ∨ x + 6 < - (2x-3) 9>x ∨ x + 6 < - 2x +3 x<9 ∨ x<-1

x2 ≤x−4 x−2

x−2

Resolución : Para hallar A, debemos resolver :

ALGEBRA

Ejercicio: Resolver :

∴ x ∈ 4; + ∞

Ejercicio: Halle “A”, si :

x=1

Teorema Sean f(x) y g(x) expresiones definidas en R luego :

x 2 − 3 x + 2 = 0 ⇒ ( x + 2 )( x − 1 ) = 0

( x − 1) 2 = 0

5to Año Secundaria

Si M ∩ N está representado por ]m + 1; n - 2[ Calcular: m + n

01. Sean los intervalos: A = [-6; 5] B = ]-2; 9[

a) -3 d) 3

Calcular la suma de los valores enteros de A∩B. a) 10 d) 13

b) 11 e) 14

02. Sean los intervalos:

M = [-6; 13 [ N = ]-3; 5 [

c) 12

c) 0

06. Si la intersección de los intervalos: M = ]-5; -1 [∪] 2; 11 [ N = [-3; 4] es: [a; b[ ∪ ]c; d] Calcular : a + b + c+ d

C = [-4; 4] S5AL34B

b) -1 e) 5

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

5to Año Secundaria

c) 3 a) x > 5/6 d) x > 6

b) x < 5/6 e) x < 6/5

c) x > 5

Luego se interseca P ∧ Q, indique un intervalo de P ∩ Q. a) [-12; -3] d) [-3; -1]

b) [-3; 10] e) [-9; 10]

c) [3;13]

A=R B = [-3; 4 [ C = ]-1; 3 [

a) VVV d) FVF

Calcular: A ∩ B ∩ C a) ]-1; 4[ b) [-3; 3] d) ]3; 4e e) [-3 ; -1[ 09. Sean los intervalos:

c) ]-1; 3 [

C = ]-8; 8 [ D = [-15; 15]

Calcular (A ∩ C) ∪ (B ∩ D); dar como respuesta la suma de sus valores enteros. b) 17 e) 47

c) 27

10. Resolver: 7(3 - 2x) + 2(2x+15) < 2(5x -7) - 3(2x -11) a) x ∈ ]2; + ∞ [ c) x ∈ ]0; +∞ [ e) x ∈ ]- ∞; 2 [

Indicar el menor valor entero de x

b) x ∈ ]- ∞ ; -2 [ d) x ∈ ]-2; + ∞ [

11. Resolver:

c) 80

b) VFF e) FFF

a) a < 0 ∧ b > 0 c) a > b e) ab < 0

c) VFV

b) a > 0 ∧ b < 0 d) ab > 0

15. Si x es tal que: 1 1 <2 > −3 x ∧ x

Entonces: a) -1/3 < x <1/2 b) -1/2 < x < 3 c) x > 1/2 d) x > 1/2 ∨ - 1/3 x < x < 0 e) x < -1/3 ∨ x > 1/2 Nivel III: 16. Resolver la inecuación:

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

02. Resolver:

2x − 1 3x − 2 2x + 1 2 + > + 5 6 2 3

17. Resolver: (x+5)(x+3) ≥ (x+2) (x+ 1) + 3 a) x ∈ [-2; +∞ [b) x ∈]-∞; -3] c) x ∈ [2; + ∞ [ d) x ∈] - ∞; -2 ] e) x ∈ [3; +∞ [

4 3 x −1 > 8 1 − 2 x

a) x ∈]2/5; + ∞ [ c) x ∈ ]3; +∞ [ e) x ∈ ]5/12; + ∞ [

b) x ∈ ]2/5; 3 [ d) x ∈]2; +∞ [

5 x + 13 7 2 > 27 8 x + 1

a) 1 d) 6

; es:

b) 2 e) 10

c) 3

a) Sólo I d) II y IV

a) x ∈ R d) -1 ≤ x ≤ 4 S5AL34B

(x + 2) (x + 4) ≥ 2x + 16 a) x ∈ [-6; 2 ] b) x ∈ ]- ∞ ; -6 [ ∪ [2; +∞] c) x ∈ [4; 8] d) x ∈]-∞ ; -6 [ e) x ∈ [3; + ∞ [ (x − 3)(x + 2) ≥0 x +1

a) [-2; -1[ ∪ [3; +∞ [ b) [-2; 3 [ c) ]- ∞ ; -2 [ d) ]- ∞ ; 2 [ ∪ ]-1,3 [ e) ]-2; ∞ [ -{-1} 05. Resolver: x 2 − 5x + 6

II. ac > bc

b) sólo II e) Todas

a b > c c

c) I y III

x2 - 3x < 4 b) x > -1 e) -1< x < 4

a) 2 < x < 3 d) 4 < x < 6

b) -5 < x < 3 e) - 1< x < 6

c) -3 < x < 2

06. Hallar el conjunto solución de la inecuación:

PROBLEMAS PROPUESTOS 01 01. Resolver:

c) ]2; +∞ [

03. Resolver:

4 x 2 − 10 x + 48

20. Si: a > b ∧ c ∈ R Son ciertas: I. a + c2 > b + c2 III. a - c < b - c IV.

b) ]- ∞ ; 2 [ e) ]4; +∞ [

04. Resolver:

19. La suma de los valores enteros y positivos de “x” que satisfacen la inecuación: 5

x2 + 2x >8 e indicar un intervalo solución: a) ]4; +∞ [ d) ]1; + ∞ [

18. Resolver:

a 14. Si: b < 0; entonces se cumple:

2 x − 3 5 − x 4 x − 1 x + 15 − > − 2 3 4 6 S5AL34B

b) 76 e) 78

I. Si: -2 < x < 3 → 0 ≤ x2 < 9 II. Si: -3 < x ≤ 4 → 9 < x2 ≤ 16 III. Si: x ∈ R → x2 > 0

08. Sean los intervalos:

a) 7 d) 37

5x x < 3(x − 91) 11

13. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

Nivel II

A= ]-11; 7[ B= [-6; 11[

12. Luego de resolver la inecuación:

a) 77 d) 79

5to Año Secundaria

E indicar un valor entero admisible para “x”

07. Sean los intervalos: P = [-15; -9] ∪ [-3; 3] ∪ [10; 17] Q = [-12; -1] ∪ [1; 13]

ALGEBRA

c) x > 4

x 3 + 3x 2 − 4 ≥0 x+2

a) ] -∞; -2[ ∪ [1; + ∞ [ b) ]-2; 1 [ c) ]-∞; 2 [ ∪ ]1; +∞ [ d) ]1; 8 [ e) φ 07. Resolver: 4 2 −3 > −7 x x

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

c) 0

09. El menor número entero “λ” que satisface la desigualdad: 5 − x 2 + 2x − < λ 2

a) -2 d) 1

; ∀x∈R

b) -1 e) 2

10. Sea el polinomio: P(x) = x2 - 4x +m - 5 Si P(x) >0; ∀ x ∈ R; entonces los valores que asume “m” son: a) m > -9 d) m < 9

b) m < -9 e) m < -5

c) m > 9

11. Resolver: 1 x2 + x +1

b) x > 13 e) x > 5

c) R

b) ]- 35 ; - 3 [ d) φ

e) R - ]- 35 ; - 7 [

14. ¿Cuántos sistema?

valores

enteros

satisfacen

x −7 2< < 12 x−5

x 2 + 3 x + 162 >3−x 6−x

a) 6 < x < 12 S5AL34B

c) ]-1; 4 [ e) ]4; 15 [

b) 13 e) 10

c) 11

03. Relacione correctamente los gráficos con su intervalo. 1) B

a) 1 d) 4

b) 2 e) 7

c) 3

x+a x+b > x−a x−b ;a<b<0

a) ]0; +∞ [ d) ]-∞; b [

b) ]a; b [ e) ]b ; 0 [

c) ]a; 0 [

b) x > 2/3 d) x < -2/3

1 1 < x −1 x +1

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

c) x > 1,5 e) x > 2

c) -5

c) ]0; 5 [}

b) 9 e) 12

c) 10

Si -a > b ∧ c > 0 → (a + b) c < 0

1 II. Si x < 0 → x >0

02. Si:

III. Si a > b > c > 0 → < a - b > - (b - c) IV. Si n > 2 ∧ m < -1 → n - m > 3

P = [-1; 7] Q = ]3; 10 ] determine el número de valores enteros de S5AL34B

b) 1C; 2B; 3A d) 1B; 2A; 3C

05. Indique el valor de verdad de los siguientes enunciados:

Determine A ∩ B b) ]5; +∞ [ e) ]2; 5 [

C. A ∪ B

M= ]-∞; -2] ∪ ]3; +∞] N = ]-7; 8] a) 8 d) 11

A = ]0; +∞ [ B = ]2; 5 [

a) ]0; 2 [ d) ]2; +∞ [

B. B - A

04. Calcular la suma de los valores enteros de M∩N si:

01. Sean los siguientes intervalos

x+4 x+5 ≤ x+2 x +1

b) -6 < x < 12

a) 1A; 2B; 3C c) 1A; 2C; 3B e) 1C; 2A; 3B

TAREA DOMICILIARIA

4x − 1 7x − 1 +4 < +2 3 2

b) -4 e) -7

A. A ∩ B

a) ]-1; 1[ b) ]-∞; -1[ ∪ ]1; +∞ [ c) ]-1;0 [ ∪ ]0; 1[ d) ]-1; 1[ ∪ ]1; +∞ [ e) φ

16. Resolver el sistema:

a) -3 d) -6

A B

20. Indique el intervalo solución de:

3x2 + 2x > 0 x3 + x2 + x < 0 a) 0 < x < 2/3 c) x < 0 e) φ

entonces uno de sus intervalos solución es:

se obtiene x ∈ [a; b [ ∪ ]c; +∞ [ el valor de a + b + c

12. Resolver:

a) ]4; 11[ b) ]-1; 11[ d) ]-∞; -1[ ∪ ]4; +∞[

c) x > 12

17. Luego de resolver: a) ]- 35 ; - 7 [

a) 12 d) 14

19. Dada la inecuación:

a) x > 1 b) x < -1 d) x < -1 ∧ x > 1,5

P∪Q

Entonces “x” pertenece al intervalo

15. Resolver el sistema: c) 0

5to Año Secundaria

1 x−3 2 < < 5 x +1 3

3x − 1 <5 x−5

a) x > 14 d) x > 15

ALGEBRA

02 18. Si:

13. Resolver:

08. Determine el mayor valor entero de “M” que satisface la desigualdad: 7x2 + 28x + 3 > 7M se verifica para todo x ∈ R b) -3 e) 4

c) -12 < x < -6 d) x < -12 ∧ x >6 e) -12 < x < 6

a) x ∈ ] -1/2; 0 [ b) x ∈ ]0; 1/2 [ c) x ∈ ]-∞; -1/2 [ ∪ ]0; +∞ [ d) x ∈ ]-∞; 1/4[ ∪ ]1/2; + ∞ [ e) x ∈ ]1/4; 1/2 [

a) 3 d) -4

5to Año Secundaria

a) VVFF d) FFVV

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

b) FFFF e) VFFV

c) VFVV

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 06. Si a > 0 ∧ b < 0 entonces se puede afirmar siempre: I. (a - b) b < 0 II. (a + b) b < 0

b) sólo II e) I y II

3(x + 5) -2(6 -x) > 5(1 - x) a) x < 0,3 b) x > 0,3 d) x > 0,5 e) x > 0,2

c) II y III

c) x < 0,5

08. Si la inecuación: (x+2) (x+3) > (x+5) es equivalente a: n <0 n +1

Calcular : a)

d) 2 2

(n ∈ Z+)

n+2

b) 2

e) 3

b) [3; +∞[ e) [-23; +∞[

y determinar el mayor valor entero que lo verifica. a) -3

8x + 2 <5 x

b) -2

2 2 3 11 a) ]-∞; - ] ∪ [;+∞[ 2 2 2 3 11 11 b) [- ; ] c) [;11 d) [-11; -3] e) [- 2 ; -

2 3] 3 2]

3x - 4 ≤ 5x +2 ≤ -x + 8 a) 1≤ x ≤ 3 d) x ≤ -3

b) -3 ≤ x ≤ 1 e) x ≤ 1

c) -3 ≤ x ≤ -1

13. Se define la siguiente operación: a −b a∇b= 2

Calcule el número de valores enteros que verifican el sistema: (3) ∇ (x) > (2x) ∇ (5) ≥ (x - 1) ∇ (2x) b) 2 e) 5

c) 3

a) 21 d) 24

b) 22 e) 25

x  2 x − ≥ 1 2  x + 1 ≤ 3 

c) 3 “El nuevo símbolo de una buena educación....”

{x − 2 ≤ 1 ∨

x−

1 3 ≤ 2 2

c) [ 3 ; 2]

b) x ≤ 2

a) x = 2 2

d) [ 3 ;3]

e) x ≥ 1

b) ]-5/8; -5/18 [ d) ]5; 8 [

PRACTICA DE FIJACIÓN

7 7 ≥ 8 − 2x + x−8 x−8

a) [4; +∞ [ c) R e) φ

01. Resolver:

b) [4; +∞ [ - {8} d) ]-∞; 4 [

17. Resolver el sistema: m + 3 > 2n .................(1) 3n < 12 - m ................(2)

a) -15 d) 5

en Z+. Indique la suma de todos los valores de “n” que lo verifican. a) 16 d) 4

b) 22 e) 5

c) 3

b) x ≥ n + m e) x ≥ nm

m = 3x + 1 n=x+9 p = 2x +3 m>n>p

c) x ≤ n - m

........... (1) ........... (2) ........... (3) ........... (4)

b) 41 e) 44

S5AL34B

10 +

2 4x − 3 x − < x −7 x −7 x −7

b) 70 e) 38

c) 57

1 1 < x −1 x +1

a) x ∈ φ c) x ∈]-1;1[- {0} e) x ∈ R - [-1; 1]

b) x ∈ R - {-1; 1} d) x ∈ [-1; 1] - {0}

04. Resolver la siguiente inecuación: 4+

x+5 1 >6+ x−4 x−4

Señalando la suma de dos valores enteros del conjunto solución. c) 42 a) 53 d) 56

20. Si: -3 < 5x + 1 < 2 entonces el intervalo que le corresponde a: 1 2 x − 2 es:

c) 0

03. Indique el conjunto solución de:

Calcular: m + n + p a) 40 d) 43

b) -10 e) 15

02. Calcular la suma de los valores enteros que verifican la siguiente desigualdad:

a) 76 d) 50

18. Si: m > n Resolver: n(m+x) +m(n-x) ≥ m2 + n2 a) x ≥ n - m d) x ≤ n + m

(x 2 + 1)(x − 5) <0 (x + 5 )

y dar como respuesta la suma de los valores enteros del conjunto solución

19. Si “x” es un número entero tal que:

c) 23

a) ]5/8; 5/4 [ c) [5; 8 ] e) ]-5; 5 [

16. Resolver: x−4+

12. Resolver el siguiente sistema:

15. Resolver:

4 − 5x −1 < ≤7 3 10. Resolver:

S5AL34B

11. Si el conjunto A es la solución de la inecuación:

Entonces la suma de los elemento de A ∩ B. c) ]-∞; -23]

5to Año Secundaria 2

14. Si: A = {x ∈ Z/ x ≤ 7} B = {x ∈ Z/ x - 1 > -4}

x−4 x+5 ≥ 3 2 .................... (α) x−3 3−x ≤ 5 4 .................... (β)

ALGEBRA

e) 1

a) 1 d) 4

09. Resolver el siguiente sistema:

a) ]-∞; 3] d) [-23; 3]

Determine A’ (complemento de A)

07. Resolver

d) 2

−3 <

a2 −a < 0 III. b

a) sólo I d) sólo III

5to Año Secundaria

b) 54 e) 57

05. Luego de resolver: x+4 x+5 ≤ x+2 x +1

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

c) 55

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN Dar como respuesta la semisuma de los extremos finitos de los intervalos solución. a) -2 d) -3

b) e) 1

x 2 + 2x + 2

c) [ 2 ; +∞[ e) ]-2

c) 4

2 ;2

d) [-2

2 ;2

5to Año Secundaria

2 ]

2 [

x4 + 3x2 + 2x + 2 > 0 <0

a) R b) φ d) R - {-2; 3} e) [0; -∞ [

a) R+ b) Rc) R d) Z e) φ 07. Luego de resolver la siguiente inecuación: x +1 x + 2 ≤ x−2 x −1

a) ]1; 2[ d) [1; 2[

b) ]1; 2] e) ]-1; 3[

c) [-1; 2]

(x − a )3 (x + b) 2 <0 x+a .

09. Dada la inecuación: x+a x+b > x−a x−b

con -a > -b > 0 entonces uno de los intervalos solución es: b) ]a; b [ e) ]b; 0 [

(x 2 − 1)(x 2 − 4 )(x 2 − 9 )

(a ; b)

≥0

1ra

y dar como respuesta in intervalo del conjunto solución. b) [-3; -1] e) ]-1; 3[

(x − 1) 3 (x + 2) 2 (x − 4 )5 (x + 3)6 (x − 2)

c) [-1; 2]

x2 − 2

a) ]-∞; - 2 [

2da Componente

PRODUCTO CARTESIANO Dados los conjuntos A y B no vacíos; se llama producto cartesiano A x B al conjunto de pares ordenados (a; b) donde a ∈ A y b ∈ B; es decir:

≥0

marque la alternativa correcta:

A x B = {(a; b) /a ∈ A ∧ b ∈ B}

a) ]1; 2] ⊂ S b) [4; +∞[ ⊂ S c) ]-3; 1] ∩ S ≠ φ d) ]1; 4] = S e) Más de una es correcta

Propiedades: 1. A x B ≠ B x A 2. n(A x B) = n (A) n (B)

c) ]a; 0 [

Relación: Definición: Sean a y b dos conjuntos no vacíos se llama relación de A en B, a todo subconjunto R de A x B es decir:

10. Dar como respuesta un intervalo del conjunto solución de: x2 − 8

Componente

Propiedades: 1. (a ; b) ≠ (b ; a) ( no conmutativa) 2. Si: (a ; b) = (c ; d) ⇒ a = c ∧ b = d

13. Si: S representa al conjunto solución de la siguiente inecuación:

Si: a > b > 0

a) ]-a; -b[ b) ]-b; a[ c) ]-a; a[ d) ]-a; a[- {-b} e) ]-a; a[-{b}

a) ]0; +∞ [ d) ]-∞; b [

12. Resolver:

a) ]-∞; -2 ] d) [1; +∞[

08. Resolver:

c) [3; -3] Par Ordenado: Es un conjunto formado por dos elementos dispuestos en determinado orden:

(x 2 + 1)(x 2 + 2 x + 3)

Indicar el conjunto solución

S5AL34B

ALGEBRA

11. Resolver:

06. Resolver: x2 + x +1

5to Año Secundaria

R es una relación de a en B ⇔ R C A x B

≥0

En particular si A = b, R se llama una relación en A (ó relación entre elementos de A). b) ]-

2 ;

2 [

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

S5AL34B

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN La definición anterior de relación exige la comparación de elementos por pares, por eso suele llamarse relaciones “BINARIAS” Ejemplo: En el conjunto A = {9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1} Establecemos las siguientes, relaciones: * “a” es el doble de “b”* * “a” es igual a “b”*

5to Año Secundaria

Es decir, una función f es un conjunto de pares ordenados de elementos, tal que dos pares distintos nunca tienen el mismo primer elemento. Notación: Si f es una función de A en B se designa por: f f:A→B ó A→Bó f

R1 = {(a, b) /a es doble de b} R1 = {(2,1) (4,2) (6,3) (8,4)} R2 = {(a1 / b) es igual a b}

•

R1 = {(1,2)(2,b)(2,7)(3,2)(1,-2)} DR1= {1; 2; 3} DR1 =

RR1 = {2, b, 7, -2} RR1 =

Si a ≠ b ≠ c, luego, so es función porque se repite el 1er componente. Si; a = c ≠ b, es función *

Resolución: En una función 2 pares distintos nunca tienen el mismo primer elemento. ∴φ0 (2,5) ψ (2,2α − β) ∈ A ⇒ 5 = 2a - b.......... (1) (-1,3) y (-1, b - a) ∈ A ⇒ b = -a = -3..... (2)

Siendo a ≠ b ≠ c diremos: f A → B

S5AL34B

Ejemplo: Sea la función: f = {(2, 3)(3, 4)(7, 3)(-2, 6)(4, 1)} Hallar: M =f(2) + f(3) +f(7) +f(-2)+f(3) Resolución: Como f(2) = 3; f(3) = 4; f(7) = 3 f (-2) = 6; f(4) = 1 ∴λανγ1033M = 18 Regla de Correspondencia: Para que se pueda definir bien una función es suficiente conocer su dominio (Df), y una regla que permita asignar para cualquier x ∈ Df, su imagen f(x). Ejemplo:

De (1) y (2) resolviendo a = 2 ∧ b = -1

Hallar el dominio en las siguientes funciones:

∴φ0 φ= {(2, 5) (−1, −3) (3, 2)}

a) f = {(2, 3)(4, 5)(6, 3)(-2, 1)} Df = { 2, 4, 6, -2 }

∗ Σι φ εσ υνα φυνχι⌠ν δε Α εν Β ελ χονϕυντο Α σε λλαµαρ〈 χονϕυντο δε παρτιδα δε λα φυ νχι⌠ν ψ Β ελ χονϕυντο δε λλεγαδα.

b) f(x) = x − 2 Df : x - 2 > 0 : x ≥ 2

f={(a, 2) (b, 1) (c, 1)} Es función f

a b c d

1 2

•

f M→N ó

Es decir son las primeras componentes de los pares ordenados

Es función

•

b c

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

El dominio de una función f, se designa por Df y se define como el conjunto siguiente: Df = {x ∈ A/ ∃ y tal que (x, y) ∈ f}

f={(1,c)(2,d)(3,b)}

FUNCIONES

f ⊂ A x B que tiene la propiedad: (a, b) ∈ f y (a, c) ∈ f, entonces b = c

b = f(a) y diremos que b es imagen de a por f (o también, que b es el valor de f en a). f = {(a, b) ∈ A x b/b = f(a), a ∈ Df}

Definición: Sean A y b dos conjuntos no vacíos (pudiendo ser A = B) llamaremos función definida en A los valores en B (función de A en B) a toda relación:

Toda función es una relación, pero no toda relación es un función.

Se llama dominio de una relación R al conjunto de todos los elementos a ∈ A tales que existe por lo menos un b ∈ B con (a,b)∈R Se llama rango de una relación R al conjunto de todos los elementos b ∈ B tales que existe por lo menos un a ∈ a con (a,b) ∈ R. Ejemplo: De la relación:

5to Año Secundaria

A = {(2,5)(-1,-3)(2,2a - b)(-1; b-a)(a + b2, a)}

Se lee “f” es una función de A en “B” Ejemplos:

Si R es una relación entre elementos de A y B al conjunto A se llama conjunto de partida de la relación y a B conjunto de llegada

ALGEBRA

Ejemplo: Hallar los valores de “a y b” para que el conjunto de pares ordenados sea una función:

Escribir los pares que cumplen las relaciones respectivamente. Sea:

R2 = {(1,1) (2,2)(3,3)(4,4)(5,5)(6,6)(7,7)(8,8)(9,9)}

f M

El rango (o imagen) de una función f, se designa por “Rf” o “imf” y se define como el conjunto siguiente: Rf = {y ∈ B/∃ x tal que (x, y) ∈ f}

Es decir son las segundas componentes de los pares ordenados. f={(1,b)(2,a)(3,c)}

•

Si el par ordenado (a, b) ∈ f escribiremos:

S5AL34B

c) f(x) =

Df = [2, ∞>

x−2 3 + x+5 x−3

x−2 Df : x + 5 ≥ 0 y x - 3 ≠ 0

+ -5

y x ≠3

Df = <-∞, -5> ∪ [2, ∞> -{3} Ejemplo: Hallar el rango de las siguientes funciones:

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN a) f = {(2, 3) (4, 6) (5, 7)(7, 6)(-2, 3)} Rf = {3, 6, 7, 3}

5to Año Secundaria

3 ≤ ( x − 2) 2 + 3 ≤ 4      ⇒3≤y≤4

b) Sea f(x) = x2 x∈R x2 → ; y ∈ R+

• •

5to Año Secundaria

Una gráfica cualquiera será función; si y sólo si al trazar una paralela al eje “y” corta a la gráfica en un sólo punto.

∴λανγ1033 f = {(x, k) / f(x) = k} Gráfica: y

f(x)=k

a) y

Tenemos varias formas de hallar rangos, presentaremos las mas conocidas: Cuando tenemos una función donde su dominio no presenta rango, se despeja “x” en función de y; Cuando tenemos un intervalo como dominio usamos desiguales.

c) Para la función definida por: g(x) = 2x2 + 3x + 2 / x ∈ R

2 φ(ξ) = x + 1

ε) Παρα λα φυνχι⌠ν

Resolución:

; yx2 + y = x2 → x2(y - 1) = -y

Df = R

y 1−y

→x=

y 1−y

≥ 0;

y 1−y

y y −1

∧

Rf = R

Significa que F = {...(1, 1)(2, 2) (3, 3) ...} F(x) es función L1, la recta paralela corta a la gráfica en solo un punto. b)

≤0

∴φ0 φ(ξ) = {(ξ, ψ) / φ(ξ) = ξ ⇔ x = y} Gráfica:

y L

− 3 ± 9 − 4 (2)(2 − y)

y ∈ [0,1>

2(2)

Si x ∈ ℜ; luego “y” también ∈ ℜ

→ Rf = [0,1>

Pero: ∆ ≥ 0; 9 - 8(2 - y) ≥ 0 → y ≥ 7/8 Rg = {7/8, ∞ >

+ 1

d) Para la función definida por: h(x) = x2 - 4x + 7; x ∈ [2, 3]

G(x)

Resolución: y = x2 - 4x + 7 y = (x - 2)2 + 3

GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

Como: 2 ≤ x ≤ 3 ⇒ 0 ≤ x - 2 ≤ 1 Al cuadrado: 0 ≤ (x - 2)2 ≤ 1

Definición: Sea f una función real, la gráfica de f e el conjunto G, de todos los puntos (x, y) en el plano, tal que x está en el dominio de f e y, es la imagen de x por f, es decir:

Sumando tres a cada miembro:

G = {(x, y) ∈ R2 /y = f(x), x ∈ Df}

G(x) no es función L2, la recta paralela, corta a la gráfica en más de un punto.

1. Función Constante: - Regla de correspondencia f(x) = k ∧

f(x) = x

3. Función Valor Absoluto: - Regla de correspondencia f(x) = |x|

FUNCIONES ESPECIALES

Df = R

Rf = k

x ; si x ≥ 0 | x |=  − x; si x < 0 Nota: Df = R; Rf = R+ ∪ {0}

Significa que

Significa que f = {.... (0, k) (1, k) (2, k) ....} S5AL34B

- Regla de correspondencia f(x) = x

∴φ0

2. Función Identidad:

x2 +1

F(x)

x2 =

Resolución: y = 2x2 + 3x+ 2⇒2x2 + 3x + (2 - y) = 0 x=

ALGEBRA

Ejemplo:

∴φ0 Ρη = [3, 4]

y= Df= <-∞, ∞> U {0} ; Rf=[0, ∞> *

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

S5AL34B

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

5to Año Secundaria

f = {... (-2, 2) (-1, 1)(0, 0)(1, 1)...}

f(x) = |x| y = |x| → x = 1; y = 1 x = -1; y = 1

y = mx + b m>0 b

Gráfica:

•

y y = mx + b m<0

y = |x|

5to Año Secundaria II.

Definición: Es una función con dominio el conjunto de lo números reales y cuya regla de correspondencia es: f(x) = ax2 + bx + c; a, b, c, ∈ ℜ; a ≠ 0 •

ALGEBRA

Su gráfica es una parábola simétrica respecto a una recta vertical, llamada eje de simetría, abierta hacia arriba si a > 0 hacia abajo si a < 0.

x x1 = x2 = - b/2a a>0 D>0

Nota Gráfica: Sea la función y = ax2 + bx + c D = Discriminante = b2 - 4ac

x1 = x2 = - b/2a

4. Función Raíz Cuadrada:

- Regla de correspondencia: f(x) = x . x≥0 - Df = R+; Rf = R+ Significa que: f = {(0, 0)(1, 1)(2, 2 )(3, Gráfica:

3 ) ...}

m = pendiente de la recta

-b/2a x1

m = tg α

Calcular la función lineal que tenga: f(1)= 3 y además f(2) = 2f(3). y=

5. Función Lineal: Es una función con dominio todos los reales y como regla de correspondencia: f(x) = ax +b, donde a y b son constantes cualesquiera. a ≠ 0 • Su gráfica es un recta: con pendiente “a” e intercepto “b” Gráfica:

S5AL34B

{x1; x2 } raíces iguales de la ecuación cuando y=0

VERTICE

f(-b/2a)

Resolución: x

a<0 D=0

a>0 D>0

f(-b/2a)

VERTICE

Ejemplo:

III.

f(x) = mx + b f(1) = m + b = 3 ................ (α) Además: 2m + b = 2(3m +b) 2m + b = 6m + 2b b = - 4m ............. (β) De (α) y (β): m = -1 ∧ b = 4 ∴λανγ1033f(x) = -x +4

-b/2a

f(-b/2a)

a<0 D>0 {x1; x2 } raíces de la ecuación cuando y = 0

-b/2a

a>0,D<0

6. Función Cuadrática:

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

S5AL34B

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

5to Año Secundaria

F(-x) = x4 + 1 F(-x) = F(x)

-b/2a x

f(-b/2a)

a<0,D<0 En esta función cuando “y” = 0; los valores de “x” son números complejos.

∴φ0 Φ(ξ) εσ παρ

ΙΙ) Γ(ξ) εσ ιµπαρ πορθυε: Γ(−ξ) = (−ξ)3 Γ(−ξ) = −ξ3 −Γ(−ξ) = ξ3 −Γ(−ξ) = Γ(ξ) ∴φ0 Γ(ξ) εσ ιµπαρ ΙΙΙ) Η(−ξ) = −ξ − |ξ| Η(−ξ) = −ξ −Η(−ξ) = ξ + |ξ| −Η(−ξ) ≠ H(x); También H(-x) ≠ H(x) ∴φ0 Η(ξ) νο εσ νι παρ νι ιµπαρ.

Otras funciones •

Son aquellas funciones que se caracterizan por ser simétricas respecto del eje “y” ; y se cumple que: i) Si x ∈ Df → -x ∈ Df

•

es:

Son aquellas funciones que se caracterizan por ser simétricas respecto del origen: i) Si x ∈ Df → -x ∈ Df x ∈ Df

Ejemplo: Indicar que funciones son pares, impares o ni par ni impar: I) F(x) = x4 + 1 II) G(x) = x3 III) H(x) = x - |x| I) F(x) es par porque: F(-x) = (-x)4 + 1 S5AL34B

01. Σι: Φ = {(5; 3), (4; α + 4β), (8; 3), (4; 2α − 3β)} a Ρεπρεσεντα υνα φυνχι⌠ν, ελ ϖαλορ δε b

x ∈ Df

Funciones Impares:

ii) f(x) = -f(-x) →

ΠΡΑΧΤΙΧΑ ∆Ε ΧΛΑΣΕ Ν° 02

a) 4b) 2 c) 4 d) 3 e) 7 02. Si: G = {(6, 4)(3, 6),(3, |x|), (x, 5)} Representa una función su rango y dominio son: a) {6, -6, 5} ; {3,6} b) {3,6,-6} ; {3; -6} c) {4, 6, 5} ; {3, 6, -6} d) {4, 6, 5, -6} ; {3, 6, -6} e) {4; -6; 5} ; {3, -6} 03. A partir de: f = {(5,2)(4,1) (3,8) (7,-6)} Hallar: f(4) + f(5) - f(7) a) 3 d) 6

b) -3 e) -6

c) 9

04. Si: g = {(-4, 2) (5, a), (8, b), (3, 1)} “El nuevo símbolo de una buena educación....”

5to Año Secundaria

Y además: g(5) = 10; g(8) = 4.Hallar: f(-4) + a - b a) 2 d) 3

b) 6 e) 8

c) 4

c) x ∈ [-2, ∞> - {-1} d) x ∈ [-2; -1> e) x ∈<-∞, 2] - {-1} 10. Obtener el Dominio de:

05. Sea f = {(x, y) / y = 2x - 1} Y además Dom f = x ∈ {-5, 2, 3, 4} Hallar el rango de f a) {-4, -1, 2, 3} b) {-4, 1, 2, 3} c) {-11, 5, 3, 7} d) {-9, 5, 3, 7} e) {-9, -3, 5, 7}

H(x) = | x | −5 + 3 x + 6

a) x ∈ <-5, 5> c) x ∈ ℜ - [-5, 5] e) x ∈ ℜ - {-5, 5}

b) x ∈ [-5, 5] d) x ∈ ℜ - <-5, 5>

11. Dada la función: 06. Dada; la función: G = {(x, y) ∈ N x N/ y = 2x ∧ 3 ≤ x ≤ 10} Indique uno de sus elementos: a) (4, -8) d) (8, 4)

Funciones Pares:

ii) f(x) = f(-x) →

ALGEBRA

b) (12, 6) e) (3,12)

07. Calcular el Dominio de: f(x) =

x2 − 4

a) x ∈ ℜ -<-2, 2> b) x ∈ <-2, 2> c) x ∈ [-2, 2] d) x ∈ <-∞, -2> ∪ <2; +∞> e) x ∈ ℜ+ 08. Hallar el Dominio de:

x2 − x − 6

Obtener su dominio: a) x ∈ <-∞, -2] ∪ [3; +∞] b) x ∈ <-2,3> c) x ∈ [-2, 3] d) x ∈ ℜ - [2, 3] e) x ∈ ℜ - [-2, 3] 12. Hallar el Dominio de: f(x) =

x2 − 9 x 2 + 3x + 4

b) x ∈ [-1, 3] d) x ∈ ℜ

13. Calcular el rango de:

a) x ∈ ℜ - {-2} b) x ∈ ℜ -{2} c) x ∈ ℜ - {2, 5 , - 5 } d) x ∈ ℜ - [2, +∞> e) x ∈ {2} 3

x +1 . 09. Sea: Calcule su Dominio a) x ∈ [2, +∞> b) x ∈ [-2, -1] S5AL34B

x2 + x + 2

a) x ∈ [1, 3] c) x ∈ ℜ -{-1, 3} e) x ∈ ℜ- <-4, 1

x2 − 5 f(x) = x−2

G(x) = x + 2 +

c) (4,8)

g(x) =

f(x) =

x−5 x+6

a) y ∈ ℜ - {6} c) y ∈ ℜ - {-1} e) y ∈ ℜ - {-6} 14. Hallar el Rango en: g(x) =

x2 + 3 x2 + 6

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

b) y ∈ ℜ - {1} d) y ∈ ℜ - <-5, 5>

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN a) y ∈ ℜ - {1} 1 c) y ∈ < - 2 ; 1] 1 e) y ∈ [ 2 , 1>

b) y ∈ ℜ - {0}

b) y ∈ ℜ+ ∪ {-1} d) y ∈ ℜ

III)

-2

y 2

  x2 F = (x, y) ∈ ℜ 2 / y =  2  2 x + 2 x + 1 

b) 1 e) 3

IV)

V) y

c) 0

y 2

21. Sea:

x x

2x + 5 f(x) = x + 3 ; 3 ≤ x ≤ 5

a) Sólo I d) I y III

Hallar el rango

17. Obtener el Rango en: f(x) = x2 + 5x +7 b) y ∈ [4/3 , +∞ > d) y ∈ <-∞: 4/3]

a) <3,5> d) [11; 15]

b) I y II e) Todos

c) Sólo II 26. Graficar: h(x) = 5 - x2

24. Del gráfico: 1 1   ;  b)  8 6   11 15  6 ; 8   

c) [4, 6]

a) y ∈ <3; +∞> b) y ∈ [0,3] c) y ∈ <-∞, 3> d) y ∈ ℜ - <-∞, 3> e) y ∈ ℜ 19. Obtener el Rango en:

b) <5, 26]

ℜ− °

ℜ+ °

c) [-5,-2>

23. ¿Qué gráficos representan funciones?

x -5

-5

a) x ∈ [-5, 9] c) x ∈ [-4; 8> e) x ∈ [-4, 8]

S5AL34B

y 5

Obtener el dominio de f(x)

25. Graficar: g(x) = “El nuevo símbolo de una buena educación....”

f(x)

a) <4, 25]

22. Hallar el Rango de: f(x) = x2 - 6x 10 Si su dominio está dado por: x ∈ [-2, 1>

H(x) = 2x2 - 4x +5

-4

18. Hallar el Rango en:

S5AL34B

3 ]

a) 2 d) -1

a) Presentan el mismo Rango b) Sus Rangos se diferencias en un valor c) f(0) = g(0) d) f(1) = g(1) e) Hay 2 correctas

3−x + 3+x

3 ]

Indique la suma de sus valores extremos:

Luego podemos afirmar:

f(x) =

II) y

20. Dada la función:

x2 4 ; g(x) = 2 1−x x + 2x

a) y ∈ [5,7] c) y ∈ [3/4; +∞-> e) y ∈ <-∞; 4/3>

5to Año Secundaria a)

16. Sean las funciones: f(x)

ALGEBRA

6 ]

e) y ∈ [2, 2

3 2 H(x) + x +1 x

6 ]

c) y ∈ [ 6 , 2 d) y ∈ [0,

2 ]

a) y ∈ [2, 3 b) y ∈ [2,

d) y ∈ ℜ- - {-3}

15. Hallar el Rango en:

a) y ∈ ℜc) y ∈ <-∞; 0>-{-1} e) y ∈ ℜ+ - {1}

5to Año Secundaria

b) x ∈ [-5, 9> d) x ∈ [-4, ∞> x +2

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN e)

5to Año Secundaria a)

ALGEBRA

a) a-1

b) -a-1

3 3 d) -

x x

27. Graficar: f(x) = x |x|

3−x −

3 /3

a) [0, 6] y

3+x

04. De g(x) = 3x +5 , x ∈ <2, 6>

d) [ 2 , y

6 ]

b) [0, 3 ] e) [-2,

02. Del problema anterior: Si los radicales estuvieran multiplicándose, ¿Cuál sería el Rango? a) y ∈ ℜ-

b) y ∈ ℜ+

c) y ∈ [0,3] 3 ]

29. Del gráfico:

4 x

a) 19 d) 24

28. Grafique: S5AL34B

x −5 +

x+4 +

x 2 − 5x + 6 x−2

x+6

a) x ∈ [-6, +∞>b) <-∞, -4] c) x ∈ <-∞, 4] d) x ∈ <-∞, -3] e) x ∈ [-4, +∞> 09. Halle el Rango: f(x) = x2 - 5x +2 a) <-∞, 17]

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

3 x−6

08. Calcular el Dominio de:

-3

Hallar f(-4) + f(4)

x 2 − 3 x − 10 x −5

c) 22

07. Obtener de Dominio de: a) x ∈ {2} b) x ∈ ℜ - {-2} c) x ∈ ℜ - {-1} d) x ∈ ℜ - {2} e) x ∈ ℜ - {1}

G(x) =

f(x) =

b) 17 e) 23

a) -2 b) 2 c) 1 d) 3 e) 6 30. Dada la función: f(x) = ax2 + 2x +3 ; a ≠ 0 Si: f(xo) ≤ f(x) ∀ x ∈ Dom f. Hallar “xo”

c) [11, 8]

05. De H = {(2, 6), (5, 4) , (6, 3) ,(9, 1)} Hallar: f(2) + 2f(5) + 3f(6) - f(9)

F(x) =

-4

b) <0, 23> e) [11, 23]

a) x ∈ ℜ - {6} b) x ∈ {6} c) x ∈ <-∞, 5> d) x ∈ ℜ e) x ∈ [5, +∞> - {6}

5 e)

a) <11, 18> d) <11, 23>

g(x) =

Hallar su Rango:

06. Hallar el dominio de:

03. Sea: f(x) = {(3,3) (4,4) (5,5) (1,1)} Su gráfica es:

c) [2, 6 ]

6 ]

d) y ∈ [0, 3 ] e) y ∈ [ 2 , c)

01. Hallar el rango de: G(x) =

c) -1

TAREA DOMICILIARIA N° 02 5

5to Año Secundaria e)

S5AL34B

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

b) <-∞,2]

c) <-∞, 3]

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN  −17 ; +∞ >  d) y ∈  4

5to Año Secundaria

e) ℜ

ALGEBRA

5to Año Secundaria d)

b) 5 e) 10

14. Graficar: f(x) =

c) Sólo III

x+3 - 5

y x

b) Sólo II e) II y III

c) 9 x

y x

-3 c)

a) Sólo I d) I y II

18. Graficar: g(x) = 2x2 + 4 a) 8 d) 7

02 c)

13. Si: f = {(3,5) (2,6) (3, a - b) (2, a - 1)} Es función, Hallar: a + b

10. ¿Qué gráfica no representa una función? a)

1 c)

16. Hallar el dominio: f(x) = x + x a) x ∈ ℜb) x ∈ ℜ c) x ∈ ℜ+ d) x ∈ ℜ-o e) x ∈ ℜ+ - {0}

17. ¿Qué gráfica no representa función? e)

c) y

x c)

11. Hallar Df ∩ Rf .

partir

de:

x+2 f(x) = x−6

a) ℜ - {6, 1} d) [1,6]

x 2 − x − 12 x−4 19. Graficar: f(x) =

x a)

b) ℜ - {1} e) <1, 6> f(x) =

12. Hallar el Rango: a) y ∈ ℜ+ c) y ∈ ℜ - [-3/2, 1> e) y ∈ <-3/2, 1> S5AL34B

c) ℜ - {6}

15. Graficar: G(x) =x2 - 10x + 28 a)

x2 + 3

e) y

x2 − 2

-4

b) y ∈ ℜ - <-3/2; 1] d) y ∈ [-3/2, 1> “El nuevo símbolo de una buena educación....”

S5AL34B

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN c)

5to Año Secundaria

3 -4

01. Si: F = {(1; 3) (2; 5) (0; 2)}

a) 3 d) 6

F(x) =

G = {(3; 2) (-1; 0) (2; 10)}. Hallar:

20. Graficar: (x 2 − 9 )(x + 2)(x − 2)

a) 3b) 2 d) 0 9

-9

02. Si:

F(x) =

c) 1 e) -1

c) 2

b) ]-1; 1[ e) ]-1; 0[

c) [-1; 0]

b) 2 e) 5

c) 3

x −1 −x+4

b) 6 e) 10

10. Siendo la gráfica de F(x) = x2

c) 7

07. Sea la regla de correspondencia de una función: F(x) = x2 - 2x - 1 / x ∈ [-2; 5[ Hallar el rango de dicha función a) [7; 14[ d) ]-7; 7[

b) [-2; 14[ e) ]-14; 14[

y=x 2

c) ]7; ∞[

03. Hallar m. n sabiendo que:

9 x

x2 +1

a) 5 d) 8

 2; x ≤ 2  F = − 1; 2 < x < 3 3 ; x ≥ 3 

a) 1 d) 4

06. Calcular la suma de los valores enteros de la siguiente función:

Hallar: E = F(3) + F(2) + F(5/2) c)

b) -3 e) 1

a) [0; 1] d) ]0; 1]

F(G(F(1))) + G(F(G(−1))) F(1) + G(3)

x2 − 4

F= {(3; 4); (2; 1) (3; m-n); (2; m-4n); (mn; n2)} Es una función: a) 4 d9 5

b) 10 e) 8

04. Dado: F: A → B S5AL34B

05. Determine el rango de “F” si

-3

Si: F(1) + F(2) + F(3) = 0, hallar: PROBLEMAS PROPUESTOS 02

-2

1 x

5to Año Secundaria F

H(x) =

ALGEBRA

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

c) 6

2 08. Si: F(x) = x + 4 x + 8 + 1 . Podemos afirmar que:

a) DF = [O; ∞[ c) RF = [0; ∞[

Hallar el rango de G(x) = x2 + 3

b) RF = [3; ∞[ d) DF = R - {-2}

e) RF = [1+2 2 ; ∞[ 09. La gráfica de: aproximadamente: S5AL34B

a) R d) ]-3; ∞[

b) R+ e) [3; ∞[

c) R-

11. Indicar qué funciones son idénticas: F(x)

x − 3 es

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN F(x) =

G(x) =

x2 G(x) = x II.

a) 23/5 d) 46/3

G(x) =

b) -23/5 e) 50/3

b) [-1; 1] e) ]-1; 1[

F(5 ) + F(7) = 10 F(1) − 4 . Hallar: F(2 000 ) + F(2 002 ) E= F(2 004 )

b) 2 e) Absurdo

-4

c) F(x) = 2x + 3/2 e) F(x) = -x + 5

d) F(x) = x/2 + 2

15. Sean F y G dos funciones definidas en Q por: F(x) ≡ ax - 1; G(x) ≡ 3x + b Tales que: F (1) = G (-1); F (-1) = G (1) Entonces: F (2) + G (3) es igual a: c) 0

16. La gráfica de la función: 2 2 x + bx + c 3 intercepta al eje “x” en los

puntos (-2; 0) y (5; 0) y al eje “y” en el punto (0; k). Hallar el valor de (b - c + k) S5AL34B

b) 20 e) -12

Parábola

Si F(x) ≤ F(-8) ∀ x ∈ R, hallar la media geométrica de los valores de t, al resolver F(2 - T) = 0 c) 5

19. Dada la función polinomial: F(x) = ax7 + bx3 + cx - 5; ∀ a, b c ∈ ℜ Si: F(-7) = 7, hallar el valor de F(7)

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

b) ]-4; -3[ ∪ ]2; 3[ d) ]-∞; 4[ ∪ ]3; ∞[

x3 − 4x x+2

a) ℜ d) ℜ - {-2}

b) [1; +∞[ e) ]1; ∞[

c) [-1; +∞[

06. Con respecto a la función:

TAREA DOMICILIARIA 01. Sea la función F tal que: F = {(2; 5); (3; a2); (2; a + b); (3; 4); (b; 5)} Hallar: “ab”

a) -7 s) -17

b) ]- ∞; 0] ∪ ]1; +∞[ d) [0; n]

1 F = {(x; y) ∈ R 2 / y = x + } x

a) 14 d) -14

b) 4 e) 3

04. Sea: hallar el rango de “F”

F(x) =

c) -24

a) 6 d) 8

n x 2 + n , n constante positiva,

a) [0; 1] c) ]- ∞; 0[ ∪ ]1; +∞[ e) ]0; 1]

a) ]-4; 3] ∪ [2; 3] c) ]-4; 3[ e) ]-4; -3[ ∪ ]3; ∞[

-24

a) -20 d) 18

F(x) =

05. Hallar el rango de la siguiente función:

-9

c) 5

b) F(x) = 3x + 6

20. Sea F: ℜ → R; F(x) = ax2 + bx + c; cuya gráfica se da en la figura. Hallar el conjunto solución de (9 - x2) F(x) < 0

18. La gráfica de F es aproximadamente:

a) F(x) = x + 2

b) -1 e) 2

5to Año Secundaria

-2

14. Encontrar una función lineal “F” tal que: F(2) = 3 y F(3) = 2F(4)

a) -2 d) 1

ALGEBRA

c) ]- ∞; -1[

13. Sea “F” una función constante , tal que:

a) 1 d) 10

c) -46/3

b) Sólo II c) I y II e) Todas

12. Hallar el dominio y el rango de: F(x) = x2 - 6x + 8. e indicar DF - RF a) ]1; ∞[ d) ]-1; ∞[

17. Dada la función cuadrática: F(x) = ax2 + b cuya gráfica se muestra, calcular abc

G(x) = x

III. F(x) = x a) Sólo I d) I y III

1 x

5to Año Secundaria

b) 6 e) 21

c) -6

07. Con respecto a la función:

02. Si F representa a una función dada por: F= {(3; 7a + 2b); (2; 5); (2; a + 2); (3; 5b-2a)} Diga cuál de los conjuntos son también funciones: P= {(a; b); (b - a; 5); (5; b - a); (a+b; 5)} Q={(3; b); (b; 3); (3; 8); (9; 2a - b)} R= {(3; 5); (9; 7); (b; a); (5a; 3b)} a) P y Q d) Q y R

b) Sólo P e) P y R

03. Indicar el dominio de: a) ]-∞; 0] ∪ [5; +∞[ c) ]- ∞ ;0] ∪ ]5; +∞[ e) ]- ∞; 0] ∪ ]2; +∞[

b) 14 c) 21 e) No se puede determinar S5AL34B

Podemos afirmar que: a) Dom(F) = ℜ b) Ran(F) = ℜ -{0} c) Dom(F) = ]0; +∞[ d) Ran(F) = [-2; 2] e) Ram(F) = ℜ - ]-2; 2[

c) sólo R

F(x) = x(x − 5)

b) ]- ∞; 0[ ∪ [5; +∞[ d) ]- ∞;2] ∪ [5; +∞[

4x − 3   F = (x; y) ∈ R 2 / y =  2x − 1  

No es verdad que: a) Dom(F) = ℜ - {1/2} b) Ran(F) = ℜ - {2} c) (0;3) ∈ F d) (1;1) ∈ F e) Ran(F) = ℜ - {1/2} 08. Determine el rango de la función de variable real con regla de correspondencia es: F(x) = 4 + 2 x − x 2 + 15

a) ]4; 12] d) [4; 8] “El nuevo símbolo de una buena educación...."

b) ]0; 8] e) ]4;8]

c) [0;8[

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

5to Año Secundaria

09. Determine el rango de: F(x) =

F(x) = log b x

4x x2 + x +1

a) ]-3; 3[ c) ]-∞; -2[ ∪ ]2; +∞[

d) R

x − 3; x ≥ 100  F(x) =  F(F(x + 5 )); x < 100

}

LOGARITMO “Se denomina logaritmo de un número real positivo al exponente al cual será necesario elevar una base positiva y diferente de la unidad para obtener como resultado una potencia igual al número propuesto”

Calcular el valor de F(97) b) 97 e) 100

{

F = (x; y) / y = log b x ; b ∈ R + ∧ b ≠ 1 ∧ x ∈ R +

Frecuentemente a la función logaritmo en base b se le define como la función inversa de la función exponencial de base b.

10. Se tiene la función definida en Z, cuya regla de correspondencia es:

c) 98

y = log b x

Notación: (I ) Donde:

ALGEBRA

................................

y = logaritmo ( y ∈R)

+ x = número propuesto (x ∈ R ) + b = base (b ∈ R ∧ b ≠ 1)

1 27 Esto se lee así: “- 3 es el logaritmo de

en base 3”

b y = x ........................................

( II )

PROPIEDADES GENERALES DE LA FUNCION LOGARITMICA 1. En el campo de los números reales no existe el logaritmo para números negativos. 2. Si la base b está comprendida entre cero y uno (0 < b< 1) los números comprendidos entre cero y uno tienen logaritmos positivos y los logaritmos de números mayores que uno serán negativos. 3. Si la base b es mayor que uno ( b > 1), los números comprendidos entre cero y uno tienen logaritmos negativos y los logaritmos de números mayores que uno serán positivos. 4. El logaritmo de la unidad es cero. log b 1 = 0

Ejemplo: De acuerdo con la definición de logaritmo, podemos establecer:

S5AL34B

1) Como: 23 = 8 , entonces : 3 = log 8 2

Esto se lee así: “3 es el logaritmo de 8 en base 2”

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

∀b ∈ R + ∧ b ≠ 1

5. El logaritmo de la base es uno.

Si se sustituye (I) en (II) se obtendrá la siguiente igualdad fundamental: b log b x = x Esto equivale a simplificar b con log b

Ejemplo: T = Log 8 15 , podríamos expresarlo como: T = log 8 (3 . 5) = log 8 3 + log 8 5

B) Logaritmo de un Cociente: ∀b > 0

De acuerdo con la definición de logaritmo y de la notación (I), se puede establecer que:

Si b es un número real positivo distinto a la unidad , se llama función logarítmica en base b a aquella función que tiene por dominio al conjunto de los números reales positivos, cuya regla de correspondencia viene dada por:

5to Año Secundaria

2) Como : 3-3= 1 , entonces : -3 = log 1 3 27 27

Es decir: 4 b) R - [-4; 3 ]

4 e) [-4; 3 ]

a) 96 d) 99

log b b = 1

∀b ∈ R +

∧ b ≠1

PROPIEDADES OPERATIVAS DE LOS LOGARITMOS

x Log b ( 1 ) = log b x1 − log b x 2 x2 T = log 5 (

Ejemplo: expresarlo como:

) 2 ,

podríamos

C) Logaritmo de una Potencia: ∀x ∈ R + ;

∀ b > 0 ∧ b ≠ 1;

∀n ∈ Q

log b x n = n log b x

Ejemplo: Reducir:

T = log 3 3 4 − log 2 2 5 + log 7 7 3

Por la propiedad: T = 4 ( log 3 3 ) + 5 ( log 2 2 ) + 3 ( log 7 7 ) T = 4 (1) + 5 (1) + 3 (1) ∴ T= 4+5+3

T = 12

D) Podemos elevar a una misma potencia a la base y al número, y el logaritmo no varía. ∀x ∈ R + ; ∀n ∈ Q

log b x = log

∀b > 0 ∧ b ≠ 1 ; ∀ x 1 , x 2 ∈R + Log b (x 1 . x 2 ) = log b x 1 + log b x 2

T = log 5 17 − log 5 2

∀ b > 0 ∧ b ≠ 1;

A) Logaritmo de un Producto:

S5AL34B

b ≠ 1 ; ∀x 1 , x 2 ∈ R +

∧

Ejemplo: Para log 9 16 tenemos: log 9 16 = log

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

16 2 = log 81 256

, o también

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN log 9 16 = log

* Corolario :

16 = log 3 4

log

Después de simplificar cuidadosamente, nos queda: log x 32 = 5

Por definición de logaritmo se debe establecer que:

log 3 5 =

log 2 3

+  ∀x , x ∈ R  1 2 log b x 1 = log b x 2 ⇒ x 1 = x 2 b > 0 ∧ b ≠ 1

log 3

log 3 3 log 3 7

= 32

I) Si:

7 en base 7 Ejemplo: Expresar Según la 1ra. Fórmula:

log 7 3 =

De donde : x = 5 Observaciones: Para la resolución de algunos ejercicios pueden ser útil tener en cuenta las siguientes relaciones.

log 2 5

, es decir:

log 7 3 =

1 log 3 7

PROPIEDAD: El logaritmo de un número x en base b es igual al inverso del logaritmo de b en base x. log b x =

1 log x b

log c log a II) a b = c b

SISTEMAS DE LOGARITMOS Un sistema de logaritmo de base b, es el conjunto de todos los logaritmos de los números reales positivos en base b, tal que b > 0 ∧ b ≠ 1

{

A = y ∈ R / y = log 10 x

Es una relación matemática que permite multiplicar logaritmos dispuestos en la forma. log b a . log a c . log c d . log d e = log b e

Ejemplo: Calcular el valor de x de la igualdad : log x 7 . log 7 32 = 5

S5AL34B

{ } + B = {y ∈ R / y = log 0,8 x ; x ∈ R }

x ∈ R+

COLOGARITMO Se llama cologaritmo de un número de una base dada al opuesto (negativo) del logaritmo de dicho número, es decir:

}

Co log b x = − log b x

B) SISTEMA NATURALES

anti log b x = b x

LOGARITMOS

T = Co log 2 4 + anti log 4 (0,5)           0 ,5 Por las definiciones: T = − log 2 4 + 4

Notación utilizada: y = log e x = ln x

T = − log 2 2 2 + 4 2

y= ln x: logaritmo natural del Por propiedad:

C) FORMULAS DE CONVERSION

T = −2(log 2 2) + 4 T = −2(1) + 2

I. Conversión de logaritmos naturales en decimales. log x = 0,4343 ln x

II.Conversión de logaritmos decimales en naturales.

Dato Icógnita

S5AL34B

anti log b (log b x) = x

II. log b (anti log b x) = x III. co log b (anti log b x) = −x

ln x = 2,3026 log x

Es fácil deducir que así como existen infinitas bases; existen también infinitos sistemas de

T=0 RELACIONES ENTRE OPERACIONES: Colog ; antilog y log

Dato Icógnita

Tenemos: A : Es un sistema de logaritmos en base 2 B : Es un sistema de logaritmos en base 0,8

∀x ∈ R  b > 0 ∧ b ≠ 1

Ejemplo: Reducir:

También llamado sistema de logaritmos neperianos, en honor a su inventor Jhoan Napier, es el sistema que tiene como base al número irracional: e= 2, 718 281 82....

Lectura: número x

∀x ∈ R +  b > 0 ∧ b ≠ 1

ANTILOGARITMO Llamada también exponencial, se define así:

Lectura: y= log x: logaritmos del número x

A = y ∈ R / y = log 2 x ; x ∈ R +

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

;

COLOGARITMO Y ANTILOGARITMO

Notación utilizada: y = log 10 x = log x

Ejemplo: Para los conjuntos: REGLA DE LA CADENA

5to Año Secundaria

A) SISTEMA DE LOGARITMOS DECIMALES También llamados logaritmos vulgares o logaritmos de Briggs, es el sistema que tiene como base al número 10, es decir:

De acuerdo con la 1ra. Fórmula :

ALGEBRA

log x 7 . log7 32 = 5

Incógnita Dato Dato

Ejemplo: Expresar log 3 5 , en base 2

logaritmos de entre los cuales los de mayor uso son dos.

⇒ log m x = log b x . log m b

Aplicar la regla de la cadena en el primer miembro es equivalente a hacer simplificaciones sucesivas, tal como se indica:

m bm =

E) Cambio de base: Permite expresar el logaritmo de un número x en base b en otra base m, según la fórmula: log x m log x = b log b m

5to Año Secundaria

GRAFICA DE LA FUNCION LOGARITMICA

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

5to Año Secundaria

De donde podemos apreciar las siguientes propiedades:

ALGEBRA

5to Año Secundaria

fraccionario de 10, su logaritmo decimal “y” será también un número fraccionario.

CASO I: Si : 0 < b < 1

Para este caso la gráfica de la función logaritmo es como se muestra; de donde se pueden apreciar las siguientes propiedades: I)

Dom (F ) = 0 ; ∞

; Ran (F) = −∞; ∞

Esto significa que la curva está situada siempre a la derecha del eje de las ordenadas (eje Y) II) F es univalente (inyectiva) en todo su dominio. Esto significa que tiene inversa. III)Intercepta al eje X en (1; 0) Esto significa que el punto: (1; 0) ∈ F IV) La función es decreciente en todo su dominio

Dom (F ) = 0 ; ∞ ;

, la curva está situada siempre a la derecha del eje de las ordenadas (eje Y)

V) Si x crece ilimitadamente, ilimitadamente.

F(x)

crece

VI) Si x se aproxima a cero F(x) decrece ilimitadamente. Y

F: y = log x b

1 1

y = log x b

x2 X

F( x1)

F(x1)

x11

y=x F(x2)

LOGARITMOS DECIMALES Reciben este nombre todos aquellos logaritmos de base 10 como por ejemplo:

CASO II

y = log x , donde: x= 10 y

Si : b > 1 La gráfica de la función es como la mostrada en la figura

S5AL34B

Es fácil deducir que si “x” es una potencia exacta de 10, es decir de exponente entero, su logaritmo “y” decimal, es también un número entero; en cambio si “x” es una potencia de exponente

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

II) Si 0 < x < 1 ⇒ log x < 0 La característica en estos casos es negativa e igual al número de ceros que suceden a la primera cifra significativa de x incluyendo al cero ubicado a la izquierda de la coma decimal.

Ejemplo : log 0,000923 , la característica es : -4 = 4 log 0,0089

I) log 2 = 0, 30103 II) log 3 = 0, 47712 A) FORMA GENERAL LOGARITMO DECIMAL

F( x2)

la característica es : 3 - 1= 2

F: y = b

log 2 457,29 , la característica es : 4 - 1 = 3

Observación: Dentro del cálculo logarítmico , es frecuente usar logaritmos de 2 y 3 ya que conociendo a estos, y con el auxilio de las propiedades de los logaritmos, se podrán conocer los logaritmos de todos los números compuestos por ellos.

∀ x 1 , x 2 ∈ F , Si: x1 > x 2 ⇒ F(x 1 ) < F(x 2 )

y=x F:y=b

Ejemplo : log 457

1 1 log 4 10 = log 10 4 =

IV) La función es creciente en todo su dominio:

log 0,001 = log 10 −3 = −3

Si “x” no es una potencia racional de 10, su logaritmo es un número irracional.

cero, F(x) crece

F-1:

log 100 = log 10 2 = 2

III)Intercepta al eje X en (1; 0) es decir el punto (1; 0) ∈ F

V) Si x crece ilimitadamente, F(x) decrece ilimitadamente.

Ejemplo:

II) F. es univalente (inyectiva) en todo su dominio por lo tanto tiene inversa.

∀x 1 , x 2 ∈ F, si: x 1 < x 2 ⇒ F(x 1 ) > F(x 2 )

VI) Si x se aproxima ilimitadamente.

Ran (F) = −∞; ∞

La característica en estos casos es positiva e igual al número de cifras de la parte entera de x disminuido en uno ( 1 ).

log x = CARACTERISTICA , MANTISA ∀x > 0

Observación .- la expresión 3,176 091 indica que solo la parte entera es negativa, es decir, no debe confundirse con: - 3,176 091. Si se desea saber el valor de 3,176 091 , se deberá efectuar así: - 3 + 0,176 091 = - 2,823 909

Donde la característica y la mantisa se definen de la siguiente manera: I) Característica .- Es la parte entera del log x; ésta puede ser positiva o negativa y se puede calcular mediante reglas sencillas. II) Mantisa .- Es la parte decimal del log x, y se calcula mediante tablas. B) DETERMINACION CARACTERISTICA

Considerando al logaritmo de x: log x, se distinguen dos casos para determinar su característica, la misma que se calculará teniendo en cuenta las siguientes reglas: I) Si x > 1 ⇒ log x > 0 S5AL34B

, la característica es : -3 = 3

PRÁCTICA DE CLASE log x

01. La igualdad: x = a a Se cumple si y sólo si:

a) a > 0 ; x ∈ R b) a > 1 ; x ∈ R - {0} c) a ≠ 1 ; x > 0 ∧ a > 0 d) a ∈ R - {1} ; x ∈ R - {0} e) a > 1 ; x > 0 02. Calcule: E = Log 6 216 + Log 8 64 + Log 13 169

a) 5 d) 11 “El nuevo símbolo de una buena educación...."

b) 7 e) 3

c) 9

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

5to Año Secundaria 5 log 11

03. Con los siguientes datos: Log 2 = a y Log 3 =b Hallar: Q = Log 72 a) 2b + a d) 2b + 3a

b) a - 2b e) 3 - 2a

c) 3b - 2a

P= a) 2 d) 1/2

log9 5

log 2 7

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 06. Calcular “α” en : α = (log tan 1° ) ( log tan 2° ) ( log tan 3°) ....... (log tan 89°) a) log tan 89! b) 1 c) 0 d) -1 e) [log tan 89° ]89 07. El valor de “x” diferente de L que verifica : log x2 = ( log x )2, es : b) 2 e) 0,01

log (x + 3) 10

a) 1 d) 4 c) 1/4

c) 100

c) 4

1 log (x +1) 10

= log 15

b) 2 e) 5

c) 3

( x − 2)

a) 2 d) 1/5

8 − Anti log 3 2   2 log 2    log 5 75 + Co log 5 3    A = Antilog

b) 10

a) 10 d) 10 10

    

Log 4

c) 5

b) 14 e) 4

c) 6

14. Calcular: a) 2 d) 5

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

Log 7 5

Log 4 7

Log3 4

3 Log a x + 7 x Log a 3

a) e4 d) e8 c) 3

1 1 1 + + 1 + Log bc a 1 + Log ac b 1 + Log ab c

c) e-1

e) e/2

b) e7 e) e13

c) e6

23. Si: Log a b = 3 y Log b 4 a = 2 , indicar el valor de “b” 5 a) 2 8

5 b) 2 2

d) 2

3 e) 2 2

3 c) 4 2

24. Resolver: a) ½ b) abc d) ab + ac + bc e) 2

a) 1 d) 4

c) a + b + c

0,25 Co log 16 9 + Log 0 ,5 Log 3 81

b) 2 e) 5

c) 3

Log 0 .5 2 + anti log 2 Log 3 9 + 7 −co log 7 2

b) 8 e) 0,25

c) 4

20. Señalar la menor raíz de la ecuación: 100 Log x . 3 + 10 Log 10

b) 3 e) 7

b) e2 e

Lnx

19. Calcular: a) 10 d) 2

3 1 + Lnx + 3 2 + Lnx = 2 3 + Lnx

+ 42 = Lnx 22. Luego de resolver: Lnx señalar el producto de sus soluciones

b) 2 e) 5

18. Calcular:

Log 5 (2 x − 3) = 4

21. Hallar “x” en:

a) e

b) 25 e) 125

c) 100 10

e) 1

a) 48 b) 51 c) 55 d) 58 e) 16 09. Halle el mayor valor de “x” en la igualdad :

Log c 4 Log b 3  Log a 3   Log c 5 

17. Reducir:

a) 2 d) 0,5

Indicar el valor de “x”.

S5AL34B

   Log 2 a    5 Log b 4    15. Calcular: 

a) 1 d) 4

b) x = log35 d) x = 5log 3

12. Obetener el valor reducido de :

13. Hallar “x” en:

5to Año Secundaria

Log 3 a si se sabe que: x = 2

11. Determinar “x” a partir de : 3x = 5 a) x = log5 3 c) x = 3log 5 e) x = log 1/35

ALGEBRA

16. Calcular:

08. A partir de la igualdad : log log

10. Resolver y hallar “x” en la ecuación

log 7 3

b) 4 e) N.a.

= 3 log 11

b) 3 e) 6

05. Simplificar : M = log94 . log53 . log725 . log2 49

a) 10 d) 0,1

(x −7 x + 21)

a) 2 d) 5

04. Hallar el valor de : log 5 2

10 Log x

c) 4 a) 2/3 d) 5/2 S5AL34B

b) 2/5 e) 5

= 17

c) 3/2

Loga64 Logxa = 3 a) 2 d) 4

b) 8 e) 5

c) 6

log x ( x + 4 ) = 25 25. Al resolver la ecuación: x podemos afirmar: 2

a) Admite como solución a la unidad b) Se verifica para x = -9 c) Su C.S. = {-9; 1} d) Es inconsistente e) Es indeterminada 26. El valor de : log 2 3 + 2 + 3 log 3 4 + 2 + 5 log 5 6 + 2 M= 2 ; es :

a) 198 d) 202

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

b) 190 e) 1181

c) 187

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 27. El equivalente de :

a) 2

b) 4

c) 8

d) d) 16

e) 32

28. Sabiendo que :

10 4

log a 4 a ( 3 − 2 )  = 0,5  

b) 0,9375 e) 0,6521

c) 0,5724

29. Calcular :

5 Log 1 25

b) 3 e) 6

3 3 e) < 4 ; 2 > - {1}

Anti log 3

Anti log 3 2 = 3

4 a

1 d) 2 µ

e) 1µ

b) 3

= Colog

b) 1/3 e) 3/5

e) 2

c) 2/3

2 µ

E = log

( 7

)

d) 2

e) 2

a a

100

d) 10

e) log b 100

log b b 10

c) log a 100

log

anti log 4

S5AL34B

a d) b

e) ab

b c) a

co log 6

a) 2 1 d) 2

log

c) 1

+ {a; b; c; x; y} ⊂ R - {1}

b) 2 log 3 c) - 2 log 3 e) No existe en R

log 3 log 9 ( a + b ) 18 1 + log 9 log 3 ( a + b ) 3 b) 2 1 e) 4

07. Siendo : reducir :

04. De las proposiciones siguientes : “El nuevo símbolo de una buena educación....”

 log log b a     log a  

b) b

b) 1000

a) - 3 log 3 d) 3 log 2

Calcular (x - y) .

c) 2

 ba

a) a

c) 7

a) 100

y log x = 10 25 ……… (2)

b) 3 e) Ninguna

06. Siendo a + b > 0, reducir :

b) 7

35. Del siguiente gráfico :

x y = 10 10 ………… (1)

a) todas d) 1

05. Siendo : a > 1 ∧ b > 1, reducir :

03. Calcular log y si :

32. Si :

¿Cuántas son falsas?

02. El valor : es : c) 1

log x + log y = log(x+y)

PROBLEMAS PROPUESTOS 03

log

a) 2 d) 2

2 µ

a) 2µ

a) 1

Calcule el segmento OQ

01. Calcular :

1 4

45°

-2a

Log log 10 Co log Anti log x

S5AL34B

c) < 2 ; 2 >

34. En la figura C representa una función logarítmica y L una función lineal. Hallar la suma de las coordenadas en el punto P.

-1

Los logaritmos de números reales positivos son siempre positivos. Es falso que en ningún caso se cumple que :

Q O

1000 000 = 6

log co log 1000 anti log 1000 (-1) = 0

2a; - 1 2 1

3 5 d) < 4 ; 4 >

c) 4

31. Hallar “x” en :

a) 1/5 d) 2/5

b) <0; 2 >

30. Hallar “x” en : Log x − 2

Anti log 0,25 log 9 Co log 8 0,5

co log 0,1

Curva Logarítmica recta

a) < 4 ; 3 >

a) 2 d) 5

3 c) 10

5to Año Secundaria

log ( 4 x − 3 ) ( 3 − 2 x )

F(x) =

1  9   

ALGEBRA

e) N.A.

Obtener el valor de :

33. Encontrar el dominio de la función F definida por:

2 3 log a a ( 3 − 2 )  = 0,5  

a) 0,8355 d) 0,7218

2 b) 10

a) 10

log 4 3 16 log 9 8

5to Año Secundaria

x y

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

 log y x x abc y  log y x  x

y x b)

   

y log

abc x

c) 1

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN xy e) ( abc )

d) xy

b) log 3 e) log (3e)

c) Ln 10

09. Resolver la ecuación logarítmica :  10 4   x x log x = 

   

a) 2

b) 2

d) 2

b) 10 e) 1

10. Resolver :

log x  x x   

a) 3 d) 6

 x 2  =  

log

11. Resolver : 9

x −2

d) 27

e) 81

S5AL34B

a) 1/2 d) 4

= 0,5

b) - 9

c) 3

d) - 3

a) 1 d) 4

e) Absurdo

x −1

−2 b) 3

−3 c) 3

log 2 6 1

b) - 3 e) 0

c) 3

Calcular :

 6 − log 2 x    log x  log 4 x  1 a) 4

1 b) 2

d) 4

e) 8

17. Resolver :

log

4 2

= 1

d) 2

 x + 3 −

2 

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

b) 3

x − 3  

b) 4,5 e) 6,5

c) 2,5

Log b 4 125 =

3 2 es:

c) 2

a) 1/5 d) 5

b) 3 e) 25

06. Indicar el valor de “n” en:

c) 2

1 + log 2 ( x − 4 )

a) 2

a) 3,5 d) 5,5

05. El valor de “b” que satisface la siguiente

R = log log log x

a) 10

c) 0,4

Log2 = 0,3 y Log3 = 0,47

igualdad: log 2 x

b) 5 e) 0,02

2x = 24

x 2 Log x (n +1) = 5 n − 1

1 x

a) 0,04 d) 0,2

04. Halle un valor aproximado de “x” si:

2 e) 3

c) 3

Log 5 (x Log 5 x ) = 4

20. Sabiendo que : log log log x = 1 + log 2

= 2x log 3

b) 2 e) 1/2

03. Hallar un valor de “x” en:

log 2 3 log 6 3 log 3 2 log 6 2 . + .

a) 3 d) - 3

c) 1

9 Log 9 (x + 7 ) = 4 x + 1

- log 3 6 .

b) 7 c) 4 e) No tiene solución

b) 2 e) N.a.

02. Resolver:

16. Resolver : }

c) 9

12. Hallar una solución de la ecuación : log 4 x

d) 3 1

b) 3 1

b) 4

a) 5 d) - 5

−1 a) 3

log x

Dar la menor de sus soluciones :

 log x 4     log x  4  

c) 5

= 27 x

co log 8 log 8

a) 9

15. Hallar el valor de “x” en la ecuación :

x  

19. Calcular el valor de :

log 1 ( x + 1 ) − log 1 ( x − 3 )

c) 0,1 xx

c) 2

14. Resolver :

b) 4 e) 7

2 2

 log  8

e) Ecuación Absurda

y dar el producto de sus soluciones : a) 100 d) 0,01

Log 100 4 Log 2

e) 6

log 2 + log  4 − 5 x − 6 x 2    =3 log ( 2 x − 1 )

5to Año Secundaria 01. Hallar:

es :

a) 1 d) Ln 30

a) 3

ALGEBRA

18. Resolver :

13. Una solución de la ecuación :

1 1 1 − + 1 + log 3 (10 e ) 1 + Ln 30 1 + log ( 3 e )

d) 5

4 2 e) 2

d) 16

08. El equivalente de :

E= es :

5to Año Secundaria

a) 3 d) 4 =1

b) 2 e) 6

07. Sabiendo que: Log3300 = m Calcule: Log3

c) 4

PRÁCTICA DOMICILIARIA S5AL34B

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

c) 5

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN a) m + 1 d) 2/(m-1)

b) 2/m e) m2

c) 2/(m+1)

5to Año Secundaria d) -1

Log 2 x + x Log x Logx = 6

a) 105 d) 10-4

b) 10-2 e) 10-1

c) 10-3 Log mn

09. Si: Logmnm= 4; Calcular:

a) 2 d) 5

a) -3 d) 4/3

b) 13/12 e) 17/16

a) -1/4 d) 1/4

Log

a) 8

b) 9

d) 10 +1

e) 10 -1

Al resolver la ecuación:

Log 5 2 14 − 2 Log 5 2 . Log 5 7

b) Log 15 e) Log53

b) -1/8 e) 1/8

c) -1/2

Son ciertas:

( log 2 x 6 ) ( log 6 x ) + 0,5 = Log x 2

a) 1 y 4 d) 5

Una de sus raíces es : c) Log35

17. Sean: a; b y c tres números en progresión geométrica en ese orden

2) El valor de “N” es igual que el valor de “a” 3) El valor de “N” es el cuadrado del valor de “a” 4) El valor de “N” es mayor que el valor de “a” 5) El valor de “N” es menor que el valor de “a”

c) 3

01. CEPUNT 96: III SUMAT. AREA “A”

Log 3 2 2 + Log 3 2 7

a) Log 6 d) 1

b) 4 e) 1

AUTOEVALUACIÓN

c) 10

16. Reducir:

c) 17/6

10. Hallar el valor de: Log 16 Log 4 Log

1 5 + =2 5 − 4 Log(x + 1) 1 + 4 Log (x + 1)

5to Año Secundaria

e) 4/3

15. Indicar la menor solución de: 08. Calcular el producto de las raíces de la ecuación:

ALGEBRA

a) 4 d) 1

b) 3 e) 0

Calcular la razón de la progresión

Log p x

1 Log q x

 x Log x   +1 = 0 Log   2  x   +

0 a) 10

Log r x

a) 1 d) 6 561

b) 3 e) 1 024

c) 243

−2 c

−1

Log 5 8 x +1 . Log 2 125 = (x + 7)(x + 1)

b) C.S. = {2} d) C.S. = {-1;2]

a) 2 b) 3 c) 7 d) 9 e) 11 14. Considerando a > 1 indique el menor valor de “x” que cumple: a Log a x + a Log a 4 = 3 a Log a x

a) 1/2 S5AL34B

b) -1/2

Log pqr

Log p x.Log q x.Log r x Log pqr x

a) 2 d) 4 096,25

b) 1 024,25 e) 256

m = Anti log 5 [Co log 8 (Anti log

a) 1/5 d) 1/25

b) 2 e) N.a.

E = 3 Co log 5 0,04 + Antilo5 2

c) 1 “El nuevo símbolo de una buena educación....”

1 c) 10

x − e Lnx

Log pqr

. Se obtiene:

a) -1

b) 0

c) 1

x−e

5 = x 2 − 4 Log 4 y.......... .(II)

20. Calcular:

2 x = y .......... .......... .....( I)

c) 1 024

El conjunto solución de la ecuación:

( anti log x 2 ) ( co log x 2 ) = −8 Log 4 x

a) {-2} d) {-2 ; 4} 8

b) {-2 ; 2} e) {2 ; 4}

07. UNT - 99: AREA “A” es :

La suma de las raíces de la ecuación:

c) {2}

Log  x 2 − 15 x  = 2   es :

4 )]

c) 1/4

a) 25 d) 10

04. UNT - 96: AREA “B” En la expresión: 5 siguiente relación :

Log a 10 = N

; se cumple la

1) El valor de “N” es el doble del valor de “a” S5AL34B

−x e) e

x d) e

03. UNT - 96: AREA “A” y “B”

19. Hallar el valor de “m” si: 13. Si: F(x+Logx)= x - Logx. Hallar: F(11)

Log pqr x

18. Indicar la suma de valores de “y” luego de resolver:

12. Resolver:

a) C.S. = {-1} c) C.S. = {2; 3} e) C.S. = {-7; 2}

b) - 10

es:

d) - 10 e) 10 06. UNT - 99: AREA “B” Al simplificar la expresión:

Es equivalente a : 11. Resolver: Log2Log3Log2Log3x = 0

c) 3 y 4

05. UNT - 97: AREA “B” El valor de “x” que satisface la ecuación:

c) 2

02. UNT - 96: AREA “A” La expresión:

3 Loga − 3 Logc Logb = 2

b) 2 y 4 e) N.A

b) 20 e) 5

c) 15

08. UNT - 99: AREA “A” El valor de

x en la ecuación:

Log 5 x + Log x 5 = 2 ; es :

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

5to Año Secundaria

ALGEBRA

5to Año Secundaria

Símbolos: 5

a) 1 d) 25

b) e) 125

c) 5

t1 = 1er término tn = término de lugar “n” o último término r = razón o diferencia n = número de términos, S = suma de términos

1.3. En una P.A. el primer término es -6 y el último es 30. Si la razón es 4. ¿De cuántos términos se compone la progresión?

NOTACION DE UNA PROGRESION ARITMETICA ÷ t1, t2 , t3 , ......tn-1 . tn La razón de una P.A. se obtiene restando de un término cualquiera su inmediato anterior.

1.4 Una P.A. se compone de 6 términos el primero de los cuales es 2 y el último es 4. Hallar la razón.

09. CEPUNT 1999 - 2000: AREA “A” El valor de “x” en la ecuación: 1 + log 2 (x − 4 ) = log

 x + 3 − x − 3  

2

Es: a) 5 d) 8

b) 6 e) 9

c) 7

•

10. CEPUNT 2000 - I SUMATIVO AREA “A” Al efectuar:  6 log 2 2  (−1)   

Se obtiene: a) 19 1/ 2

d) 7

b) 4

log 4

................................................................... ...................................................................

Si : r > 0, la P.A. es creciente Ejemplo: ÷ 3, 8, 13, 18, i = 8 - 3 = 5 > 0

•

Si: r < 0, la P.A. es decreciente Ejemplo: ÷ 7, 4, 1, - 2,........ r = 4 - 7 = - 3 > 0 La progresión se llama limitada cuanto tiene un número FINITO de términos,, llamándose al primer y último término extremos.

16 + 5

c) 11

e) 7

÷t1 , t 2 ,....... t n     

extremos Ejemplo : La progresión es ilimitada cuando tiene infinitos término:

I. PROGRESIONES ARITMETICAS (P.A.) DEFINICIÓN: Se llama progresión aritmética o por diferencia, a una sucesión de números, en la cual cada término siguiente después del primero, se obtiene sumándoles al anterior una cantidad constante llamada razón o diferencia de la Progresión. S5AL34B

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

Ejemplo: ÷ t1 .t 2 ,..... t n PROPIEDADES 1. En una P.A., un término cualquiera es igual al primer término más tantas la razón como términos le preceden. Tn = t1 + (n - 1) r 1.1 Una progresión aritmética se compone de 50 términos. Si el primero es 81 y la razón - 3. Hallar el último término. ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... 1.2. Una P.A. se compone de 15 términos. La razón es 0,5 y el último es 8. ¿ Cuánto vale el primero? ................................................................... ................................................................... S5AL34B

................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... 02. En una P.A., la suma de dos términos equidistantes de los extremos es constante e igual a la suma de los extremos. En efecto, sea la P.A. de razón “r”: términos equidistantes de los extremos

           ÷ t 1 . . . . . b x .. . . . . y , c . . . . . t n        (k +1) términos

(k + 1) términos

03. En una P.A. de un número impar de términos, el término central es igual a la semisuma de los extremos. En efecto, sea P.A. de un número impar de términos de razón “r”.

     "n" términos         ÷ a 1 , . . . . . . . . . . x .. . . . . . . . . . a n término Central extremos

Si n = impar, entonces: t +t x= 1 n 2

04. La suma de los términos de una P.A. LIMITADA, es igual a la semisuma de los

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN extremos multiplicada por él número de términos. (t + t ) Sn = 1 n n 2

Ejemplo:

4.3 Calcular el término que ocupa el lugar 17 en una P.A. CRECIENTE de 18 términos, sabiendo que la suma de todos estos términos vale 549 y que los términos extremos tienen por producto 280. ................................................................... ................................................................... ................................................................... MEDIOS ARITMETICOS O DIFERENCIALES Son los términos de una P.A. comprendido entre sus extremos: "n" términos t

, t

. . . . . . . . . . . . . . . t n-1 , t n

"m" medios aritmeticos

Donde:

n=m+2

ALGEBRA

5to Año Secundaria

Es formar una P.A., cuyos extremos sean precisamente los números dados: Ejemplo:

p = producto de términos Notación de una progresión geométrica

3.1 Interpolar “m” medios aritméticos o diferenciales entre a1 y an. Se debe formular la P.A.

La razón de una P.G. , se obtiene dividiendo un término cualquiera entre su inmediato anterior.

t 1 , (t 1+ r) , (t +1 2r) , (t + 2r) . . . . . . t 1

÷÷, t 1 : t 2 : t 3 , . . . . . t ( n −1) : t n

* Se debe calcular la razón de:

Pero: n = m + z

t −t r= n 1 m +1 3.2 Interpolar 5 medios diferenciales entre 32 y 80. ..............................................................

÷÷ 48, 12, 3,. . . . . ., R = 48 4 (***) Si: R <O, la P.G. es OSCILANTE ÷÷ 6, -12, 24, -48, . . .

Luego:

−12

x = t1 . t n

4. En una P.G. limitada el producto de sus términos es igual a la raíz cuadrada del producto de sus extremos, elevada al número de términos de la progresión.

5. La suma de los términos de una P.G. imitada es igual al último término, multiplicada por la razón menos el primer término, dividido todo esto entre la diferencia de la razón y la unidad.

Ejemplos: De la siguiente progresión:

t .R − t1 S= n R −1

÷÷ 2; 4; 8;. . Calcular: t 6 ................................................................... ................................................................... ...................................................................

II. PROGRESIONES GEOMETRICAS 01. DEFINICION Se denomina progresión geométrica o por cociente a una sucesión de números en la cual el primer término es distinto de cero y cada una de los términos siguientes se obtiene multiplicando al anterior por una cantidad constante, distinta de cero, llamada razón de la progresión. Símbolos

termino central

P = (t1 .t n )n

t n = t1 .R n −1

..............................................................

2. En una P.G. el producto de 2 términos equidistantes de los extremos es constante e igual al producto de los extremos. "K" términos equidistante de los extremos t

........ a,x........y,b........tn "K" términos

"K" términos

xy = t1 .t n

R = razón n = número de términos s = suma de términos S5AL34B

= −2 < 0

02. PROPIEDADES 1. En una P.G., un término cualquiera es igual al primer término multiplicado por la razón elevada al número de términos que le preceden.

..............................................................

. . . . x . . . . .

=4 >1

t n = t1 + (n − 1)r

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

t1 , . . .

÷÷ 5, 20, 80,. . . . ., R = 5 (**) Si: O < R <1, la progresión geométrica es DECRECIENTE

"m" medios aritméticos

t −t r= n 1 n −1

3. En una P.G. de un número impar de términos, el término central es igual a la raíz cuadrada del producto de los extremos. En efecto, sea la P.G. de un número impar de términos de razón :”R” .

(*) Si: R > 1, la P.G. es CRECIENTE n

t1 =primer término t n =término de lugar “n” o último término

03. INTERPOLAR MEDIOS ARITMETICOS O DIFERENCIALES S5AL34B

"n" términos

4.1 En una P.A. de 10 términos la razón es 1,5 y la suma de sus términos vale 92,5. Hallar el primero y el último término. ................................................................... 4.2 En una P.A., la razón y el número de términos son iguales, la suma de los términos es 156 y la diferencia de los extremos es 30. Calcular el último término. ................................................................... ................................................................... ...................................................................

_..

5to Año Secundaria

Si no se diera el último término (tn) como dato, la fórmula sería: t (R n − 1) S= 1 R −1

Ejemplo: 1. De la siguiente (P.G.) 1 ; 3 ; 9 ; . . . . Calcular: S 20 E indique en cifra termina dicha suma. ................................................................... .... ............................................................... .... ............................................................... 2. Sea la P.G. 7 ; 21 ; 63 ; . . . . . . . Hallar 2 términos consecutivos de dicha progresión geométrica cuya suma sea 2268, indicando como respuesta el producto de las posiciones de dichos términos.

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN ................................................................... .... ............................................................... .... ............................................................... 3. Encontrar cuatro números en una P.G., sabiendo que la suma del primer y último término es 140; y la suma del segundo y tercero 60. Dar como respuesta el mayor de estos números. ................................................................... .... ............................................................... .... ............................................................... 4. El límite de la suma de los términos de una P.G. decreciente ilimitada es igual al primer término dividido entre la diferencia de la unidad y la razón.

5to Año Secundaria

Se sabe formar P.G. 2 t 1 ; t . R ; t 1R , . . . . . . t n 1

Para lo cual se debe calcular la razón.

De: Pero :

t t n = t1 .R n −1 ⇒ R = n −1 n t1 n=m+2

+1 +1

n - 1 = m + 1 . . . (**)

Llamada Razón de interpolación

....................

PRÁCTICA DE CLASE

.........................................

....................

01. La suma del segundo y quinto término de una progresión aritmética es 14 y la suma del 3ro. Y 7mo. es 8. Halla el primer término aumentado en la razón. a) 12 b) -2 c) 10 d) 14 e) 15 02. En una progresión aritmética el primero y el último término son: 47 y 207 respectivamente. hallar el término de lugar 12, si la suma de dicha serie es 2667. a) 225 b) 135 c) 155 d) 235 e) 145 03. Dada la siguiente progresión aritmética: ÷a2 (b + c). b2 (a + c). c2 (a + b)

proporcionales entre t1 y t n . Solución S5AL34B

Nota: Sm = suma de los “m” primeros términos Sn = suma de los “n” primeros términos a) m/n

b) n/m

2m − 1 d) 2 n − 1

2n − 1 2 e) m − 1

c) n2/m2

ab 27 = bc 35 . ¿Cuál es el número mayor?

.........................................

b a +c

Calcular: a) 2 b) -2 c) 1/2 d) -1/2 e) 1 04. De una progresión aritmética se sabe que:

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

b) 1 e) 2

c) 0

05. En una progresión aritmética se cumple:

06.Se tiene: ÷a . b . c. d, que verifican: a +b + c + d = 48

....................

÷÷ medios geométri cos INTERPOLAR MEDIOS GEOMETRICOS ENTRE DOS NUMEROS DADOS Es formar una P.G., cuyos extremos sean precisamente los números dados. Ejemplo: 1. interpolar “m” medios geométricos o

a) -1 d) -2

. . . . . (*)

1 2 1 2 + + + +...... 7 72 73 74

t 1 , t 2 , . . . . . . t n −1 , t n       

c) n + 3

Sm m 2 am = Sn n 2 ; Entonces: a n es igual a:

t R = m +1 n t1

MEDIOS GEOMÉTRICOS O PROPORCIONALES Son términos de una P.G. comprendidas entre sus extremos.

b) n + 2 e) n + 5

"n" términos

1−R

.........................................

09. Si los términos de lugares: m; n; p de una progresión aritmética son: a, b y c respectivamente. Calcular: (n - p) a + (p - m) b + (m - n) c

Para una P.G. decreciente: O < q < 1 Ilimitada n → 0 Ejemplos: 1. Calcular la siguiente suma:

5to Año Secundaria

Sn - Tn = (n + 3) (n - 1). Donde: Sn = Suma de los “n” primeros términos Tn = Término general Si “n” es impar, indique el término central. a) n + 1 d) n + 4

"m" medios geométricos

Reemplazando: Lim S =

ALGEBRA

a) 16 b) 17 c) 18 d) 20 e) 21 07. La suma de los términos de una progresión aritmética creciente es 16 y el valor del último término es “u” y de la razón “r” están determinados por las ecuaciones: u3 - r3 = 335; u2r - ur2 = 70 Hallar el número de términos de la progresión. a) 3 b) 5 c) 6 d) 7 e) 4 08. Dada la progresión aritmética: ÷ a1; a2 ................................. an. Calcular: S=

1 1 1 1 + + + ... + a 1a 2 a 2a 3 a 3 a 4 a n − 1a n

a) n - 1 d) S5AL34B

n −1 an

n −1 a1

(n − 1)a n a1

n −1 a 1a n

10. Una compañía comercial decide poner 20 avisos separados por intervalos iguales a partir del kilómetro 50 hasta el kilómetro 164 de la Panamericana Norte. ¿En qué kilómetro estará ubicado el duodécimo aviso? a) 116 b) 117 c) 118 d) 119 e) 120 11. Se han interpolado “m” medios aritméticos entre 4 y 18; además “m+2” medios aritméticos entre 10 y 24 de tal manera que la razón de la progresión aritmética formada en el primer caso es a la razón de la segunda como 9 es a 7. Halle el número de términos de la segunda progresión. a) 10 d) 14

b) 11 e) 18

c) 12

12. Dados los números: x; y; z; w; se observa que los tres primeros están en progresión aritmética y los 3 últimos en progresión geométrica siendo la suma de los extremos 14 y la suma de los medios igual a 12. Señale un valor que adopta “x”. a) 3/4 b) 4/3 c) 12 d) 1/2 e) 18 13. Sabiendo que “s” es la suma de los “n” primeros términos de una progresión geométrica y “T” la suma de las recíprocas de estos términos. Hallar el producto de los “n” primeros términos de dicha progresión: S   a)  T 

n +1

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

S   b)  T 

n +1

S 2   c)  T 

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN n

T2   e)  S 

14. Sumar: 2

2 2 2 2 S =   + 2  + 3   + 4   + ... 3 3 3 3

a) 36/25 d) 4

b) 25/26 e) 20

c) 1/4

15. Sí U1; U2; U3; U4, ...................., están en progresión geométrica, donde: U1 + U2 + U3 + U4 + U5 = 31 U2 + U3 + U4 + U5 + U6 = 62 Calcular: a) 85 d) 100

U12 + U12 + U 32 + U 42

b) 90 e) 105

c) 95

16. Se interpolan cuatro medios geométricos entre 160 y 5. Hallar la suma de los dos últimos términos de la progresión geométrica formada. a) 240 b) 200 c) 60 d) 35 e) 15 17. Se tiene dos sucesiones, una geométrica cuyo primer término es distinto de cero y otra aritmético con primer término igual a cero; si se suman los términos correspondientes de ambas se logra obtener una tercera sucesión: 1; 1; 2; ......... sobre la base de ello halle la sumatoria de los diez primeros términos de esta nueva sucesión. a) 1078 d) 279

b) 979 e) 978

c) 1079

18. Si los términos de lugares p; q; r; s de una progresión aritmética están en progresión geométrica. Entonces los números: (p - q); (q - r); (r - s) a) Están en progresión aritmética b) Están en progresión geométrica c) Están en progresión armónica d) Son iguales S5AL34B

e) No se puede afirmar nada

S2   d)  T 

5to Año Secundaria

19. Dada una progresión geométrica de un número impar de términos, el producto de los términos de lugar impar es 65 536 y el producto de los términos de lugar par 4 096. Determine el número de términos y el término central. a) 4, 15 b) 8; 17 c) 3; 16 d) 7; 16 e) 5; 17 20. Sí; S1; S2; S3; .. ;Sp son las sumas de unas series geométricas infinitas; cuyos primeros términos son 1, 2, 3 .... p; y cuyas razones 1 1 1 1 ; ; ;.......; 2 3 4 p + 1 respectivamente. son:

Calcular: S = S1 + S2 + S3 + ... + Sp p2 +1 3 a) p (p + 3) d) 2

p2 + 2 3 b) p (p − 2) e) 2

p (p + 2) c) 3

21. La suma de los 6 primeros términos de una progresión geométrica es igual a 9 veces la suma de los tres primero términos. Hallar la razón: a) 1/2 d2

b) 4 e) 1/3

22. Si: aritmética, se puede afirmar que:

b) m = n+p c) m = np e) n; m;p están en P.G.

23. Un andinista que sube a una montaña alcanzó en el transcurso de la primera hora la altura de 800 m; mientras que durante cada hora siguiente subió a una altura de 25 m menor en la anterior. ¿Cuántas horas pasarán hasta alcanzar la altura de 5700 m? a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e9

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

ALGEBRA

5to Año Secundaria

24. El término de lugar “p” de una progresión aritmética es “q” y el término de lugar “q” es “p”. Hallar el término de lugar “m”. a) p + q + m b) p +q - m c) p - q - m d) - q + m e) p + q 25. Si: a, b, c, y d son 4 términos consecutivos de una progresión aritmética y r la razón. Calcular: S=

a) 4 d) abcd

a 2 + d 2 − b2 − c2 2r 2

b) 2 e) a+b+c+d

c) 1

26. Indicar el 5to. término de una progresión geométrica de 7 términos. Si la suma de los tres primeros es 26 y la suma de los tres últimos 2106. a) 42 d) 162

b) 216 e) 144

c) 152

31. Los términos de lugares 2a y 2b de una progresión geométrica son respectivamente m2 y n2. ¿Cuál es el término de lugar a + b? a) (mn)2 d) (m+n)2

b) 12n e) -n2

c) 1/2

c) 6n2

29. Los 2 primeros términos de una progresión geométrica ilimitada suman 5 y cada término es igual a 3 veces la suma de todos los términos que le siguen. Indicar la razón de esta progresión y el primer término. a) 1/2; 2 b) 1/4; 4 c) 1/3; 3 d) 2; 1/2 e) 4; 1/2 30. Si: ÷x . y . z. Calcular: S5AL34B

b) mn/2 e) m2 + n2

c) mn

32. Si al soltarse una pelotita desde 1 metro de altura. Esta adquiere en cada rebote los 3/4 de la altura anterior. Calculatr el límite de la distancia que recorre hasta que se detiene. a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

28. Sea la progresión aritmética: ÷a . b. c. d. ; si la suma de sus términos es n y la razón es 2n. Calcular: E = a2 . d2 a) -3n2 d) 4n

c) 4/5

3 7 15 31 + + + + ....... 4 16 64 256

a) 9/4 b) 8/3 c) 7/2 d) 6 e) 4 34. Calcular el límite de la siguiente suma:

b2 + c2

b) 2 e) 4

b) 9/2 e) 7/8

S =1+

Calcular:

a) 1 d) 1/4

(x + y + z)3

32. Calcular el límite de la suma:

1 1 1 . . a +b b+c a +c E=

x 2 (y + z) + y 2 (z + x) + z 2 (x + y)

a) 2/9 d) 5/4

27. Sea la progresión aritmética:

c) 3

1 1 1 ; ; m − n 2 m m − formar una progresión

a) m= n2p2 d) n = mp

2 3 2 3 2 3 + + + + + + ...... 3 32 33 34 35 36

a) 9/2 d) 9/8

b) 2/9 e) 7/4

c) 80/81

35. Asumiendo que S kn es la suma de los “kn” primero términos de una progresión aritmética. Calcular el valor de: M=

a) 3 d) 12

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

S 9n S5n + S 4 n

b) 6 e) 15

c) 9

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 36. Si los términos de lugares m; n y p de una progresión geométrica son en ese orden a; b y c. Calcular:

5to Año Secundaria a) 8 d)7 14

S = a n − p . b p −m . c,m − n

a) mnp d) abc

b) a+b+c e) 1

c) m+n+p

b) 7 e) 4

c) 10

38. Indicar las raíces de la ecuación: x3+px + q = 0. Si están en progresión aritmética (p ≠0) a) -q; 0; q

− − p ;0 ; − p

01. La cantidad que hay que sumar a 5, 13, 29, para que formen una P.G,. es: a) 1 d) 4

c) 3

02. El número de términos de la siguiente; progresión: .. ..

2, 8, ........., 8192 es

a) 4 d) 8

b) 5 e) 6

c) 7

.. ..

03. Dada la PG 7, 14, ......., en la cual el producto de dos términos consecutivos es 25088. La suma de éstos términos es:

− q ;0 ; q

a) 336 d) 560

p − q; p; p + q

b) 448 e) 112

c) 224

− p ;0 ; p

39. Indicar la razón entre “x” e “y” de tal manera que el medio de lugar r entre “x” y “2y” sea el mismo que el medio de lugar r entre “2x” e “y”. Haciendo “n” medios aritméticos interpolados en cada caso. 1 n a) − r r n + r −1 d)

n n + r −1 b) r e) n + 1 − r

1 n + r −1 c)

04. El producto de tres números en una P.G. es 216 y la suma de sus productos que resultan tomados 2 a 2 es 156. Hallar los números. a) 2,6,10 d) 2,6,18

2+ 7

S5AL34B

1 7 10

1 10 + 13

ALGEBRA

c) 6,18,26

b) 3/2

2 c) 3 (3n - 1)

3 d) 2 (3n - 1) e) N.a.

+ .... 340

sumand

06. Siendo a,b,c; tres números positivos de una P.G. (en ese orden). Calcular:

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

5to Año Secundaria a 3 + b3 + c3

a −3 + b −3 + c−3

a) a b) b c) ac d) abc e) c 07. Hallar la razón de una P.G. decreciente ilimitada, cuya suma es el doble de la suma de los “k” primeros términos. a) 2K b) 21/K c) 22K K

d) 1/2K e) 1 / 2 08. En una P.G. de 6 términos en la cual el primer término es igual a la razón y la suma del primer y tercer término es 30. La suma de sus términos es: a) 120 b) 363 c) 1290 d) 1902 e) 1092 09. La razón de una P.G. es 2, el número de términos 9 y la suma de ellos 1533. La suma de los extremos es: a) 771 b) 387 c) 195 d) 770 e) 386 11. Entre 3 y 768 y entre 7 y 112 se han interpolado el mismo número de medios proporcionales. Calcular la diferencia de los penúltimos términos de dichas progresiones, teniendo en cuenta que la razón de la primera es el doble de la segunda. a) 136 b) 165 c) 208 d) 275 e) 189 12. En un cuadrado cuyo lado es “a” se unen los puntos medios de los 4 lados y se forma otro cuadrado cuyos puntos medios se unen también para formar un nuevo cuadrado y así sucesivamente. Encontrara el límite de la suma de las áreas de todas los cuadrados formados. a) 2a2

40. Calcular la suma: 1

b) 6,10,18 e) N.a.

05. Determinar la suma de los “n” primeras potencias de 3.

a) 3n - 1 S=

b) 1 e) 5

c) 12

EJERCICIOS PROPUESTOS 04

37. Determinar la suma de coeficientes de la ecuación ax2 + bx + c = 0; donde: a, b, c ∈ Z sabiendo que sus raíces y el producto de ellas están en progresión geométrica creciente; además el producto de sus raíces están en progresión aritmética. a) 3 d) 5

b) 10 e) 16

a2 2 d) 2

b) a2 2

3 2 a c) 2

e) a 2 13. En una P.G. creciente, la suma de sus primeros cuatro términos es igual a 45 y la suma de sus cuadrados es igual a 765. El octavo término de esta progresión es: a) 96 b) 768 c) 153 d) 192 e) 384 S5AL34B

14. El número de términos de una P.G. es 6; la suma de todos ellos es 364; y l a diferencia entre el cuarto término y el tercero es igual al séxtuple del segundo. Calcular el primer término, si es positivo. a) 1 b) 3 c) 9 d) 2 e) 5 15. Calcular el valor de F, si: E = 3 + 32 + 33 + ...... + 39 a) 36244 b) 88572 c) 29523 d) 59046 e) N.a 16. Calcular el valor de M, si: M = 6 + 3 + 3/2 + ¾ + .......... a) 9 N.A.

b) 11,5

c) 12

d) 12,5

TAREA DOMICILIARIA 01. Calcular el valor de R, si: 2

R= 2 a)

2 +1

1 2 1 2 1 + + + + + ....... 2 4 4 8 8

2 +½

2 +2

d) ( 2 + 1)/2 e) N.a 02. La suma de los términos de una progresión geométrica infinita es 6 y la suma de los dos primeros términos es 4 ½. Entonces el primer término de la progresión es: a) 3 ó 3/2 b) 3 c) 2 ½ d) 3 ó 9 e) N.a 03. ¿Cuál e el término central de una progresión geométrica de tres términos positivos si el producto de los dos primeros es 24 y los dos últimos es 54? a) 8 b) 12 c) 3 d) 9 e) 6 04. Seis medios geométricos se interrelacionan entre 3 y 384, el sexto término de la sucesión es: a) 48 b) 124 c) 96 d) 140 e) N.a 05. Los dos primeros términos de una P.G, decreciente infinita suman 5 y cada término es iguala 3 veces la suma de todos los

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN términos que le siguen. Hallar el segundo término. a) 2 b) 1 c) 3 d) 4 e) 5 06. Si en una P.G de 6 términos, la suma de los términos de lugar par es 546 y la suma de los términos que ocupan lugares impares es 182. Hallar la razón. a) 1/3 b) ½ c) 4 d) 3 ó 5 e) 3 07. El primer término de una P.G es igual a (x 2), el tercer término es igual a (x + 6) y la media aritmética de los términos primero y tercero se refiere al segundo como 5 : 3. Calcular “x” a) 2 b) 4 c) 7 d) 3 e) 6 08. Calcular el t5 de una P.G. de 7 términos; conociendo la suma 26 de los tres primeros y la suma 2106 de los tres últimos. a) 162 b) 103 c) 96 d) 156 e) 308 09. Si se sabe que la suma de los 6 primeros términos de una P.G, cuyo primer término es 4, es 126 veces la suma de los 3 primeros términos de la misma progresión. Calcular la suma de los 4 primeros términos de dicha progresión. a) 324 b) 408 c) 624 d) 789 e) 924 10. Sn representa la suma de los “n” términos de una P.G. Sn ( S 3 n − S 2 n )

Calcular: E = a) 1

( S 2n − S n ) 2 n ( n + 1) b)

1 n ( n + 1) ( 2 n + 1) 6 c) d) n

S5AL34B

e) n2

5to Año Secundaria

ALGEBRA

5to Año Secundaria

SOLUCIONARIO Nº

Ejercicios Propuestos 01

01.

02.

03.

04.

05.

06.

07.

08.

09.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

S5AL34B

“El nuevo símbolo de una buena educación...."