COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN IV
REGLA DE Objetivos • Aplicar los capítulos desarrollados anteriormente. • Diferenciar una desigualdad y una inecuación. • Buscar la aplicación del curso a problemas diarios mediante este capítulo. Introducción Toda la teoría de la investigación del máximo y del mínimo supone dos incógnitas y la regla siguiente: Sea a una incógnita cualquiera de la cuestión (con una, dos o tres dimensiones según el enunciado). Se expresará la cantidad máxima o mínima a por medio de términos que podrán ser de cualquier grado. Se substituirá luego a +e a la incógnita primitiva a y se expresará así la cantidad máxima o mínima y se quitarán los términos comunes de una y otra parte. Hecho esto se encontrará que en ambas partes todos los términos estarán afectados con e por una de sus potencias. Se dividirán todos los términos por e o por una potencia de grado más alto de modo que en cuando menos uno de los términos de cualquiera de los miembros e desaparezcan enteramente. Se suprimirán a continuación todos los términos donde entre e o alguna de sus potencias y se igualarán los demás, o bien, si en alguno de los miembros no queda nada, se igualarán, lo que es igual, los términos en más con los términos de menos. La resolución de esta última ecuación dará el valor de a que conducirá al máximo o al mínimo retomando su primera expresión. E A
C
Consideramos AC =b, sea a uno de los segmentos y b - a el otro segmento; el producto del que se busca el máximo será ba-a2. Sea ahora a+e el S5AL34B
5to Año Secundaria
01
ALGEBRA
02
5to Año Secundaria
primer segmento de b, el segundo será b - a - e, y el producto de los segmentos será ba - a2 + be 2ae - e2 A esto se le debe adigualar el precedente : ba - a2. Suprimiendo los términos comunes: be ∼ 2ae + e2. Dividiendo todos los términos: b ∼ 2a + e. Suprimir e: b=2a. Para resolver el problema hay que tomar la mitad de b. Es imposible proporcionar un método más grande. DESIGUALDAD Es aquella comparación que se establece entre dos números reales, mediante los símbolos de
4. Si a ≤ b ∧ b ≤ c, escribiremos abreviadamente a≤b≤c Por ejemplo: 4 ≤ x ∧ x ≤ 9 entonces 4 ≤ x ≤ 9
Luego si a y b son
Corolario Para cualesquiera dos elementos a,b ∈ R, una y solamente una de las siguientes relaciones se cumple:
desigualdad: <,>, ≤ , ≥ .
números reales, entonces: a < b, a > b, a ≤ b y a ≥ b se llaman desigualdades, y se leen: a < b: “a menor que b” a > b: “a mayor que b” a ≤ b: “a menor o igual que b” a ≥ b: “a mayor o igual que b” DEFINICIONES Sean a, b ∈ R Luego: 1. a es positivo ↔ a > 0 2. b es negativo ↔ b < 0 3. a > b ↔ (a - b) es positivo 4. a < b ↔ (a - b) es negativo Ejemplo : 2 > 1 pues 2 - 1 = 1 > 0 NOTA
Sean a,b ∈ R, Luego : 1. La expresión simbólica “a > b” tiene el mismo significado que: “b < a”. Por ejemplo: 5 > 2 ⇒ 2 < 5 2. La expresión simbólica “a ≤ b” significa que a < b ó a = b, es decir, cuando se verifica cualquiera de las expresiones: a < b ∨ a = b, escribimos a ≤ b. Por ejemplo: Como 2 < 3, podemos escribir 2 ≤ 3 Como 5 = 5 podemos escribir 5 ≤ 5
Para cualquier número real “a”, una y solamente una de las siguientes relaciones se cumple:
a<b ∨
∨ a>0
a=0
a=b
∨
a>b
Prueba Sean a y b números reales, entonces (- b) también es real, luego por la Ley de Clausura para la adición (+) en R se tiene que a+ (-b) es real, es decir (a-b) ∈ R. Aplicando la Ley de Tricotomía para (a - b) ∈ R: a-b<0
a-b=0
∨
a-b >0
Equivalentemente [por las definiciones (3), (4) y por el principio: la diferencia de dos números es cero si y sólo si son iguales] a< b
∨
a=b
∨
a>b
LA RECTA NUMÉRICA REAL
Se observa que la representación de los números irracionales en la recta numérica, determina la completitud, es decir, que a cada número real le corresponde uno y sólo un punto de la recta y cada punto de la recta es conjunto es continuo, es decir, no existe ningún vacío entre sus elementos. INTERVALOS Sea I un subconjunto de R (I ⊂ R). Decimos que I es un intervalo, si y sólo si es el conjunto de todos los números reales que están comprendidos entre dos extremos (que pueden ser finitos o ideales) NOTA
Los símbolos +∞ y - ∞ se llaman ideales. Clases de intervalos Si I es un intervalo, puede ser, acotado o no acotado. A. Intervalo acotado 1. Abierto Si a, b ∈ R con a ≤ b, se llama intervalo a; b
Es aquella recta geométrica donde existe una correspondencia biunívoca (uno a uno) entre los puntos de la recta y el conjunto de los números reales.
abierto y se denota por , al conjunto de los números reales x, tales que: a < x < b. Es decir:
a; b
=
{ x ∈R / a < x < b}
Representación:
3. La expresión simbólica “a ≥ b” tiene el mismo significado que b ≤ a, es decir : a≥b ⇒ a>b ∨ a=b
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
∨
− 2 π 2 -3 - 5 -2 -1 - 1 0 1 1 2 5 3 +∞ 2 2 2 2
−π −∞
(-) NEGATIVOS
LEY DE TRICOTOMÍA
a<0
(+) POSITIVOS
x a S5AL34B
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
b