COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 3er. Año Secundaria
01 La
temperatura
promedio
de
Chosica
es
28 = 4 4 veces la temperatura promedio de 7
RAZONES Y
Cerro de Pasco OBJETIVOS:
Concluimos:
♦ Reconocer las características inherentes de los objetos y seres dado la comparación.
♦
♦ Analizar cuantitativamente características.
dichas
♦ Deducir de los resultados encontrados en la comparación para obtener formas prácticas de resolver problemas de la vida real, además aplicarlos en otras disciplinas. INTRODUCCIÓN: Ejemplo: Ronaldo vive en Chosica lugar que se encuentra a 500 metros sobre el nivel del mar y una temperatura promedio de 28°C. Victor vive en Cerro de Pasco lugar que se encuentra a 4500 metros sobre el nivel del mar y a una temperatura promedio de 7°C. Cerro de Pasco 7°C
Al comparar las alturas sobre el nivel del mar de Cerro de Pasco y Chosica: lo comparamos por medio de una sustracción.
3er. Año Secundaria 02 son entre sí , o son proporcionales a 8 y 5 en ese orden. La R.G. es más aplicable para una variedad de problemas sólo indican la razón, quedará sobreentendido que es la R.G. SERIE DE RAZONES GEOMETRICAS EQUIVALENTES. (S.R.G.E.) Consideremos razones valores sean iguales.
15 4500 − 500
= 4000
A dicha comparación se ele denomina Razón Aritmética.
3
7
♦ Al comparar dos cantidades se puede realizar de varias formas. Lo que desarrollaremos serán las dos formas anteriores mencionadas. RAZON ARITMETICA (R.A.)
500m
15 3
Observamos: Cerro de Pasco se encuentra a (4500 - 500 = 4000), 4000 metros más sobre el nivel del mar que Chosica.
48 – 28 = 20
Antecedente Consecuente Valor de la R.A.
=
“El nuevo símbolo de una buena educación...”
=5 ;
4
7
20 4
35
=
7
1.
2.
3.
3 +4 +7 15 + 35 =5 3 +7 15 × 20 × 35 3 ×4 ×5 15 × 35 = 52 3 ×7
3 15 + 3 15 − 3
S3AR31B
625 125
=
125 25
=
25 5
=
5 1
Se denomina serie de 4 razones geométricas equivalentes “continua”
=5
Constante de proporcionalidad
Ejemplo 1: En la familia de Rosario son: 5 hombres y 2 mujeres y en la de Viviana son: 7 hombres y 4 mujeres. Observamos En la familia de Rosario hay (5 - 2 = 3) 3 hombres más que mujeres. En la familia de Viviana también hay (7 - 4 = 3) 3 hombres más que mujeres. La comparación por sustracción en ambos casos son equivalentes. Igualando :
15 + 20 + 35
15 ± 3
Observamos: La serie de la forma:
PROPORCION:
=5
Se cumple :
Podemos decir, que el peso de Diana (56=8 . 7) y el peso de Margoth (35=5 . 7) están en relación o S3AR31B
=5 ;
35
Consecuente
Ejemplo Sean las edades de Carlos y Jhon 48 y 28 años respectivamente, la razón aritmética de sus edades es: Donde:
20
Antecedentes
=4
A dicha comparación se le denomina Razón Geométrica.
cuyos
Igualando dichas razones equivalentes.
♦ Al comparar las temperaturas de Chosica respecto a la de Cerro de Pasco, lo comparamos por medio de una división.
28
geométricas,
Ejemplo
Chosica 28°C
1500m
ARITMETICA
= =
5 − 2 = 7 − 4
=5
Esta igualdad de dos razones aritméticas equivalentes se denomina “proporción aritmética” Ejemplo 2: En el recipiente A se tiene una mezcla de 6 l de alcohol y 2 l de agua; en el recipiente B se tiene una mezcla de 15 l de alcohol y 5 l de agua.
= 53
20 ± 4 4 20 + 4 20 − 4
6 = 3 el 2
En el recipiente A: se tiene
= =
35 ± 7 7 35 + 7 35 − 7
volumen de alcohol es el triple del volumen de agua.
15 = 3 el 5
En el recipiente B: se tiene
volumen de alcohol es el triple del volumen de agua. La comparación por división en ambos casos son equivalentes. Igualando:
“ El nuevo símbolo de una buena educación...”
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 3er. Año Secundaria 6 15 = 2 5
01
2 razones denomina
S/.40 a Betina ambas tendrían la misma cantidad. ¿Cuánto tiene Carla?
* Ejemplo 1
a) 220 d) 99
geométricas “proporción
Proporción Aritmética Discreta Donde: - 8 es la cuarta diferencial de 35, 25 y 8
. Conclusión:
ARITMETICA
Cuando los términos medios de la proporción son diferentes. 35 − 25 = 18 − 8
Esta igualdad de equivalentes se geométrica”
3er. Año Secundaria 02
b) 110 e) 165
c) 88
05. De un grupo de niños y niñas se retiran 15 niñas quedando 2 niños por cada niña. Después se retiran 45 niños y quedan entonces 5 niñas por cada niño. Calcular el número de niñas al comienzo.
TERMINOS 1er. 2do. Proporción Aritmética Proporción Geométrica
3er.
4to.
5-2=7-4
5
2
7
4
6 = 15 2 5
6
2
15
5
TIPOS DE PROPORCIONES: Considerando, respecto a los términos medios. CONTINUA: Cuando los términos medios de la proporción son iguales. * Ejemplo 1 28 − 20 − 20 − 12
Proporción Aritmética Continua Donde : - 20 es la media diferencial de 28 y 12 - 12 es la tercia diferencial de 28 y 20 * Ejemplo 2
21 3
24
=
=
a) 38 d) 54
35 5
Proporción Geométrica Discreta Donde: - 5 es la cuarta proporcional de 21, 3 y 35. PRACTICA DE CLASE 01. La razón aritmética de dos números es 40 y su razón geométrica es 9/4. Hallar la suma de los números. a) 104 d) 91
b) 65 e) 52
c) 78
02. La relación de dos cantidades es de 9 a 13, y el triple del menor más el mayor es 160. Dar como respuesta la diferencia de los números. a) 12 d) 14
48
b) 16 e) 48
c) 20
24 12
Proporción Geométrica Continua Donde: - 24 es la media proporcional de 48 y 12 - 12 es la tercia proporcional de 48 y 24 DISCRETA:
Ejemplo 2
03. Si :
a 2
=
b 5
=
c 7
y ab+bc=180.
Hallar a+b+c a) 360 b) 380 c) 379 d) 381 e) 382 04. El dinero que tiene Carla es al dinero que tiene Betina como 11 es a 7. Si Carla diese
a) 12 d) 21
“El nuevo símbolo de una buena educación...”
b) 15 e) 13
c) 18
b) 28 e) 16
c) 42
08. El jardinero “A” planta rosas más rápidamente que el jardinero “B” en la proporción de 4 a 3, cuando “B” planta “x” rosas en 1 hora. “A” planta “x+2” rosas. ¿Cuántas rosas planta “B” en 8 horas? a) 24 d) 30
b) 32 e) 36
c) 48
09. En una caja se tienen cubos negros y blancos. Si se sacan 20 cubos negros la relación de los cubos de la caja es de 7 blancos por 3 negros. Si enseguida se sacan 100 cubos blancos la relación es de 3 negros por cada blanco. ¿Cuántos cubos habían inicialmente en la caja?
S3AR31B
10. Una proporción continua tiene como suma de términos medios 48 y como diferencia de extremos a 36. Calcular la suma de éstos últimos. a) 48 d) 60
b) 50 e) 62
c) 52
11. La suma de la media diferencial de 34 y con la cuarta diferencial de 22; 12 y 16 igual a: a) 18 d) 26
07. Si 8 es la cuarta proporcional de “a”, 6 y “b” y “a” es la cuarta proporcional de “b”, 16 y 48. Hallar el valor de (a+b). a) 56 d) 46
e) 190
c) 40
06. En una proporción geométrica continua la suma de los extremos es 34 y la diferencia de los mismos es 16. Hallar la media proporcional.
a) 140 S3AR31B
b) 45 e) 20
d) 220
b) 210
c) 80
b) 29 e) 34
c) 31
12. ¿Cuál es la diferencia entre los extremos de una proporción geométrica continua?. Si la suma de los cuatro términos es 36 y la razón entre la suma y la diferencia de los dos primeros términos es 3. a) 10 d) 13
b) 11 e) 15
c) 12
13. En una proporción geométrica continua el producto de los 4 términos es 1296 y el producto de los antecedentes es 24. Hallar la tercera parte proporcional. a) 9 d) 8
b) 12 e) 16
c) 15
14. En una proporción geométrica discreta cuya suma de sus 4 términos es 600. Se conoce que cada uno de los términos siguientes es el doble del anterior. Dar como respuesta el primer antecedente. a) 30 b) 40 c) 60 d) 15 e) 20 15. En una serie de tres razones geométricas iguales y discretas, el producto de los antecedentes es 1/64 del producto de los consecuentes. Si la suma de los antecedentes es 400, hallar la suma de los consecuentes. a) 100 d) 200
“ El nuevo símbolo de una buena educación...”
b) 1600 e) 1200
c) 800
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 3er. Año Secundaria
01 Hallar : (a+c)
TAREA DOMICILIARIA 01. Si :
a 5
=
b 7
=
c 8
;
b) 380 e) 382
b) 36 e) 45
c) 379
c) 49
03. Dos números son proporcionales a 2 y 5. Si se aumenta 175 a uno de ellos y 115 al otro se obtienen cantidades iguales. ¿Cuál es el menor? a) 90 d) 40
b) 75 e) 45
c) 60
04. Hallar la cuarta diferencial entre: la cuarta diferencial de 18, 12 y 24 y las medias diferenciales entre 18 y 8 ; y 96 y 54. a) 70 d) 71
b) 65 e) 60
c) 75
b) 108 e) 258
c) 156
Se cumple que: a . b . c . d = 1920 ; a) 25 d) 42
hallar: a+b+c+d
b) 33 e) 21
c) 28
08. Dos números se encuentran en la relación de 7 a 4. Se sabe además que suman 935. Determinar el menor y dar como respuesta la suma de sus cifras. a) 12 d) 19
b) 9 e) 17
c) 7
09. Un par de números son entre sí como 8 es a 5. Además el doble del menor menos el mayor es 400. Hallar la diferencia de los números. a) 200 d) 300 10. Si
b) 400 e) 630
c) 600
a b c = = ; 4 7 9
e) 154
12. La relación entre 2 números es de 11 a 14. Si a uno de ellos se le suma 33 unidades y al otro se le suma 60 entonces ambos resultados serían iguales. Hallar dichos números. a) 86 y 145 d) 95 y 130
b) 88 y 1332 e) 99 y 126
c) 96 y 123
13. En una fiesta concurren 400 personas entre hombres y mujeres asistiendo 3 hombres por cada 2 mujeres. Luego de 2 horas por cada 2 hombres hay una mujer. ¿Cuántas parejas se retiraron? a) 120 d) 160
b) 240 e) 200
c) 80
14. En una reunión asistieron personas solteras y casadas en relación de 13 a 5. La relación entre hombres casados y mujeres casados es de 3/2. Si asistieron 900 personas en total. ¿Cuántas mujeres casadas asistieron a dicha reunión? a) 50 d) 650
b) 150 e) 250
c) 100
15. Si “P” es la media proporcional de 25 y “Q” es la cuarta proporcional de 45, P y 1. Hallar (P+Q) a) 31 b) 21 c) 20 d) 22 e) 23
MAGNITUDES Y
(b + c) Hallar 2 a − 2 a) 1 d) 2
b) 0 e) 200
OBJETIVOS: c) 228
Al finalizar el capítulo el estudiante estará en la capacidad de:
11. Se tiene la siguiente serie de razones :
a b c = = 5 6 7
a b = . 06. Dado : b c
*
y 3a + 7b – 8c = 9.
*
Dar a+b+c
Además : a 2 + 2 b 2 + c 2 = 576 S3AR31B
c) 25
ARITMETICA
sabiendo que : a + b – c = 114.
05. El producto de los cuatro términos de una proporción geométrica es 50625 sabiendo que los medios son iguales y que uno de los extremos es 75. Indicar la suma de los cuatro términos de la proporción. a) 180 d) 216
b) 24 e) 34
a b c d = = = 2 3 4 5
02. La razón de dos números es 3/4 y los 2/3 de su producto es 1152. Encontrar el mayor de los dos números. a) 84 d) 48
d) 44
07. En la siguiente serie de razones geométrica equivalentes:
además : 4a + 3b + 2c =171 Hallar : a . c + b a) 360 d) 381
a) 23 d) 14
3er. Año Secundaria 02
a) 144
“El nuevo símbolo de una buena educación...”
b) 134
Reconocer que es una magnitud y sus estados particulares representado por cantidades. Poder entender que las magnitudes jamás aparecen solas ya que siempre están relacionadas con otras.
c) 124 S3AR31B
“ El nuevo símbolo de una buena educación...”
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 3er. Año Secundaria * *
Establecer las distintas comparaciones entre las magnitudes. Poder resolver a partir de éste capítulo problemas que se pueden presentar en la vida diaria.
INSTRODUCCIÓN: Al observar la naturaleza y los fenómenos que ocurren en ella podemos notar que se tienen características que aparecen en diversos estados por lo que se puede cuantificar como por ejemplo: El peso, la temperatura, el tiempo, el número de obreros, obras realizadas etc..... nuestro estudio está basado en el análisis de todo esto. MAGNITUD: Es todo aquello que puede ser medido. CANTIDAD: Es un estado particular de la magnitud por ejemplo. Magnitud Longitud Volumen Número de días Número de obreros Cantidad de obra
Cantidad 75 cm 30 litros 25 días 43 obreros
01 1
=
4
=
2
6
=
# de botellas precio Se observa que: S3AR31B
1 2
4 8
x3
2 4
x 5/6
6 12
5 1 0
y = f(x) entonces :
30
20 10
12
8 12 16
10
24
# de obreros
Luego 2 magnitudes son I.P. si el producto de sus valores correspondientes es constante, su gráfica será una o parte de una rama de una hipérbole equilátera. Entonces, sean las magnitudes A y B I.P. Se cumple (valor de A) (valor de B) = etc.
8
4 2 1
2
4
5
6
# de botellas
3 ÷
# de Obreros # de días
24 10
x2
8 30 x3
÷
x 3/4
16 15 2
÷
3/4
Podemos Observar que:
a.- Si la magnitud A2 es I.P A B
Cuándo dos magnitudes cumplen que el producto de sus valores correspondientes es constante les llamaremos magnitudes I.P. ∴ (# de obreros) I.P (# de días) Veamos gráficamente
“El nuevo símbolo de una buena educación...”
3
B , calcule x, si:
15 27
X 1728
b.- La presión es I.P con el volumen, ¿a qué presión está sometido un gas, si al aumentar la presión en 12 atmósferas, el volumen varía en 1/7? Analicemos las magnitudes I.P. como función de proporcionalidad. Sabemos que cuando A I P B: (Valor de A) (Valor de B) = etc. Llamaremos: “y” al valor de A “x” al valor de B “m” a la etc, luego reemplazamos y . x = m
24 . 10 = 8.30 = 16 .15 = 12 . 20
y=
m x
lo que es una ecuación de una hipérboles equilátera por lo que:
S3AR31B
f (x ) =
m x
m en donde f(x) es una proporcionalidad inversa
15
Por ejemplo, si 24 obreros pueden hacer una zanja en 10 días, analicemos los valores correspondientes que pueden tomar las magnitudes número de obreros y números de días.
MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONAL (D.P) Por ejemplo un, vendedor ambulante vende cada una de las botellas con un litro de gaseosa a S/. 2 analizamos las magnitudes, número de botellas vendidas y el precio.
ARITMETICA # de días
= 0 .5
2 8 4 12 10 Observamos que la relación entre los valores correspondientes entre las 2 magnitudes es constante, cuando ocurre esto a las magnitudes las llamaremos D.P. (precio). Veamos gráficamente.
RELACIONES ENTRE 2 MAGNITUDES
2 ÷
5
MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES (I.P)
700 m3
x4
=
3er. Año Secundaria 02
ó f(x).x = función
de
Luego 2 magnitudes son D. P si la relación entre sus valores correspondientes es constante. Su gráfica será una línea recta o punto de pertenencia o una misma línea recta que pasa por el origen de coordenadas. Entonces, sean las magnitudes A y B, D . P se cumple.
( Valor ( Valor
de A)
de B )
= k (cte)
Aplicación 1: Si la magnitud A es D.P.B2, calcule el valor que asume la magnitud A cuando B es 16, sabiendo que cuando A asume el valor de 25, en B asume el valor de 20 Aplicación 2: La temperatura en grados centígrados en una aula es D.P, a la raíz cuadrada del número de alumnos presentes. En un determinado momento la temperatura fue de 24ºC. Cuando estuvieron presentes 36 alumnos, Cuál será la temperatura cuando ingresen 28 alumnos más. Analicemos las magnitudes D.P como función de proporcionalidad: Sabemos que cuando A es D.P.B. se cumple.
( Valor ( Valor Llamemos: “y” al valor de A “x” al valor de B “m” a la etc
“ El nuevo símbolo de una buena educación...”
de A)
de B )
= k (cte)
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 3er. Año Secundaria
04. Si A es D.P. a B2, además cuando A es igual a 32 entonces B es igual a 4. Hallar A cuando B sea igual a 3.
Entonces: y x
= m
Lo que nos representa la ecuación de una recta que pasa por el origen de coordenadas por lo que: y = f(x), entonces : F(x) = mx , en donde f(x) es una función de proporcionalidad Aplicación 3 Si f(x) es una función de proporcionalidad directa, en donde f(4) = 12, Calcule f(3) + f(2) Aplicación 4 Si f(x) es una función de proporcionalidad, calcule
x
=
F(3) x F(4 ) −(F(5))2 F(17 )
x
PRACTICA DE CLASE 01. ¿Cual de las siguientes relaciones no indica una relación de proporcionalidad entre x e y? a) 5x = 7y c) x + y = 12 e) (x+1)2 = y + 2
b) 9x = 2/4 d) x + y = 2y
02. Si A es D.P. a B, además cuando A = 12 entonces B es igual a 16. Hallar A cuando B sea igual a 12. a) 8 d) 12
b) 9 e) 6
c) 10
03. Si A es I.P. a B además cuando A es igual a 10, entonces B es igual a 24. Hallar B cuando A sea igual a 15. a) 10 d) 12
S3AR31B
b) 8 e) 4
01
c) 16
a) 6 d) 27
b) 9 e) 36
c) 18
05. Si A es D.P. a B. IP a C e I.P. a D, además cuando AD=2 entonces B=2C. Hallar A cuando B=48, C=2 y D=3. a) 4 d) 12
b) 6 e) 16
c) 8
a) 2 F(9) d) 8
b) 4 e) 5
c) 6
07. Se tiene dos magnitudes tales que: 3 A es I.P. a B. Si cuando A = 8 entonces B = 6, halar A cuando B sea 4. a) 9 d) 32
b) 27 e) 64
c) 4
08. Se tiene tres magnitudes A, B y C tales que A es D.P. a B e I.P. a C2 cuando A=8 y B=16 entonces C=6. Hallar B cuando A=9 y C=4. a) 2 b) 4 c) 6 d) 6 e) 16 09. Se tiene tres magnitudes A, B y C tales que A es DP a B1/2; A es IP a C2. Cuando A=8, B=16, C=6. Calcular B si A=9 y C=4. a) 2 d) 5
b) 3 e) 6
c) 4
10. La magnitud A es DP a B2, e IP a C1/3. Si el valor de B se duplica y el de C disminuye en sus 26/27. ¿Qué sucede con el valor de A?
“El nuevo símbolo de una buena educación...”
ARITMETICA
a) Queda multiplicado por 12 b) Disminuye en 1/11 de su valor c) Aumenta en 1/11 de su valor d) Se triplica e) Se cuadriplica
16. Si: MAGNITUD
11. A es DP a D y la suma de B y C e IP a B.C. A=3D cuando B=3 y C=2, siendo: BDP C. Calcular A cuando B es igual a 9 y D=5. a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
VALORES ASIGNADOS
A
36
144
324
9
4
B
6
3
2
12
18
Determinar la relación correcta entre A y B a) AD.P 1/B b) A2 D.P. 1/B c) AI.P.B.2 d) e) A D.P 1 / B A I.P . B
06. Si: A es D.P. a B, e I.P. a C, además cuando A es igual a 2, entonces B es igual a 6 y C es igual a 8. Hallar A ciando B sea 15 y C igual 10.
1
3er. Año Secundaria 02
12. Se tiene la siguiente tabla de valores para dos magnitudes A y B: A B
36 6
144 3
324 2
n 9
4 18
Hallar “n” a) 12 d) 18
b) 14 e) 20
c) 16
13. Sean dos magnitudes A y B tales que: A IP B (B≤ 30); A DP B (B ≥ 30). Si A = 6 cuando B = 20. ¿Cuál será el valor de A cuando B = 60? a) 2 b) 4 c) 8 d) 3 e) 6 14. El peso de un eje varía proporcionalmente a su longitud y a su sección transversal. Si un metro de hierro forjado de un centímetro de diámetro pesa 0,6 kg. Calcular el peso de un eje de 5m de largo y 5 cm de diámetro. a) 60kg d) 105kg
b) 75kg e) 120kg
c) 90kg
15. ¿Cuál es el peso de un diamante que vale 55.000 dólares, si uno de 6 kilates cuesta 19800 y el precio es proporcional al cuadrado de su peso. (1 kilate = 0.259) a) 6g d) 25g S3AR31B
b) 6,25g e) 62,5g
c) 2,5g
2
17.A varía como la suma de 2 cantidades de las cuales una varía como B y la otra inversamente a B 2 . Si A = 19 cuando B es 2 ó 3. Hallar A cuando B = 6 a) 28 d) 31
b) 29 e) 32
c) 30
18. Según la ley de Boyle, la presión es I.P. al volumen que contiene determinada cantidad de gas. ¿a qué presión está sometida un gas, si al aumentar este en 2atm, el volumen varía en 40% a) 4atm b) 5 c) 6 d) 2 e) 3 19. Se sabe que una magnitud A varía en forma B . Hallar el valor de A, proporcional a si se sabe que al disminuir en 30 unidades entonces el valor se B varía en 9/25 de su valor. a) 150 d) 200
b) 180 e) 90
c) 120
20. Se tiene 2 magnitudes A y B tales que 3 A es I.P. a B si cuando A = 8, B = 6. Hallar A si B=2 a) 64 d) 1000
“ El nuevo símbolo de una buena educación...”
b) 216 e) 343
c) 512
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 3er. Año Secundaria TAREA DOMICILIARIA 01. Si “X” varia a razón directa a “Y” e inversa al cuadrado de “Z”. Cuando X = 10 entonces Y= 4 y Z = 14. Hallar “X” cuando Y = 16 y Z =7 a) 180 d) 140
b) 160 e) 120
c) 154
02. El precio de un pasaje varia inversamente con el número de pasajeros con el número de pasajeros, si para 14 pasajeros el pasaje es de S/. 15. ¿Cuántos pasajeros serán cuando el pasaje cueste S/. 6? a) 31 d) 35
b) 33 e) 36
c) 34
03. Dos magnitudes son inversamente proporcionales si una de ellas disminuye en 1/4 d su valor. ¿En cuánto aumenta o disminuye la otra? a) Aumenta 1/4 c Aumenta 1/8 e) Disminuye 1/3
b) Disminuye 1/4 d) Disminuye 1/8
04. Se sabe que la fuerza de atracción entre 2 cuerpos varia en forma D.P. al producto de sus masas e I.P. al cuadrado de la distancia entre ellos si la distancia entre dos cuerpos aumenta en 20% que pasa con la fuerza de atracción entre ellos? a) b) c) d) e)
Aumenta en 25% Disminuye en 23/8% Disminuye en 69,4% Disminuye en 30,55% Disminuye en 29%
05. Se sabe que “A “ es I.P. con “B” y que “B” es I.P. con “C”. Si cuando “A” aumenta 15 unidades “C” varia en 20%. ¿Qué pasa con “B” cuando “A”. aumenta en 25 unidades? a) b) S3AR31B
Aumenta en 10% Aumenta en 20%
01 c) d) e)
Disminuye en 15% Disminuye en 25% No varia
3er. Año Secundaria 02 d) 0,8
ARITMETICA e) 2
10. Las magnitudes A 2 y B son I.P. y cuando A=20. A es a B como 10 es 9. ¿Qué valor toma “A” cuando “B” = 72?
06. De las siguientes afirmaciones: I. El área de un cuadrado es D.P. a su lado II. Si “A” y “B” son magnitudes I.P. entonces el cociente entre sus valores correspondientes es constante III. Si “A” es D.P. a “B”, “B” es D.P. a “C” entonces “A” es D.P. a “C”.
a) 18 d) 12
b) 16 e) 15
c) 10
Señalar cuál es verdadera a) Sólo I b) Sólo II d) Sólo I y III e) N.A.
c) Sólo III
07. Si “A” varia en forma D.P. con “B” y “C” y “C” varia en forma D.P. con F 3 , cuando A = 160 entonces B = 5, F = 2. Si B = 8 y F = 5. ¿Cuánto será A? a) 4000 b) 3800 c) 3500 d) 3200 e) 2400 08. La eficiencia se mide en puntos y es D.P. a los años de servicio e I.P. a la raíz cuadrada de la edad del trabajador . Se sabe que la eficiencia de Juan es de 2 puntos cuando tiene un año de servicio y 25 años de edad. ¿Cuál será la eficiencia a los 36 años? a) 18 d) 20
b) 25 e) 22
MEDIAS I Ma, Mg, Mh Dado un conjunto de cantidades, se denomina promedio a una cantidad representativa de las anteriores. El promedio es una cantidad de tendencia central. es por eso que estará comprendida entre la menor y mayor de las cantidades. Algunos promedios importantes son:
c) 28
09. De las siguientes gráficas A
A.D.P B
C
12
24
x
2k 15
k
B
Promedio o Media Aritmética
C.I.P D
MA =
30
y
“El nuevo símbolo de una buena educación...”
Suma de cantidades Número de cantidades
D MG Promedio o Media Geométrica
Hallar: x/y a) 0,5
MA
b) 0,6
c) 0,7 S3AR31B
“ El nuevo símbolo de una buena educación...”
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 3er. Año Secundaria número de cantidades
MG =
01 3.
Pr oductos
de cantidades
MH Promedio o Media Armónica
MH =
Suma de las inversas de las cantidades
(MA +MG)(MA −MG)
MA =
b) 6, 12 y 24 c) 11, 11 y 11
12 + 15 + 21 + 33 + 34 5
∴MA = 23 + 2 = 25
= MG = MA
total que se Total que se − var iación del aumenta promedia promedio = Número total de cantidades
B. Para 2 cantidades “a” y “b”: 1. MA (a ; b) × MH (a ; b) = a × b b)
×
MH (a
;
b)
c) 20 a) 25/11 d) 48/11
b) 250 e) N.a.
c) 175
a) 8 d) 7
b) 10 e) N.a.
c) 5
04. Hallar la media geométrica de: 34; 36; 38 ; 310 y 32 a) 9 d) 729
b) 27 e) N.a.
c) 81
05. Hallar la media armónica de 4 y 8 a) 7/3 d) 16/3
b) 3 e) N.a.
d) 14/3
06. Hallar la media armónica de 3/4; 4/5 y 1/2
Nuevo = promedio + var iación que se promedio inicial dis min uye
2. Para un conjunto de cantidades iguales:
[MG(a , b)]2
= 23
De donde podemos deducir que:
MH < MG < MA
b) 19 e) 18
03. Hallar la media geométrica de 10, 4 y 25.
(12 + 7 ) + (15 + 7 ) + 21 + (33 − 2) + (34 − 2) 5
1. Para un conjunto de cantidades no todas iguales:
;
a) 150 d) 275
2 .7 − 2 .2 12 + 15 + 21 + 33 + 345 MA = + 5 5
A. Observando los ejemplos podemos deducir:
a) 16 d) 14
ARITMETICA
02. Si la media armónica de dos cantidades es 160 y su media geométrica es 200. ¿Cuál es su media aritmética?
Si a las dos primeras cantidades le aumentamos 7 y le restamos 2 a cada una de las 2 últimas, veamos que sucede con el promedio:
MA =
PROPIEDADES:
2. MA (a
=4
Por ejemplo, sean los números: 12, 15, 21, 33, 34 Podemos calcular el promedio:
Número de cantidades
MH
2
Alteraciones en la Media Aritmética.
Por ejemplo, calcule la MA , MG y MH de: a) 1 y 25
(a −b )
3er. Año Secundaria 02
= PRACTICA DE CLASE 01. Hallar el exceso de la M.G. de 16, 24 y 36 sobre la M.H. de 12, 6 y 4.
a) 36/55 d) 9/22
b) 25/44 e) N.a.
c) 13/33
07. Para dos números “a” y “b”, tales que: a=9b, se cumple que: Mg=k(Mh). Calcular el valor de “k”. a) 1,6 d) 2,5
b) 2,4 e) Ninguna
c) 1,8
08. La mh de dos cantidades es 16/3; su ma es 3. ¿Cuál es su mg? a) 4 d) 6
b) 5 e) Absurdo
c) 2
09. Hallar la media geométrica de: 2, 1, 1/8, 64 a) 1 d) 4
b) 2 e) 2,25
c) 3
10. Calcular la Mh de los números 2,3 y 4. S3AR31B
“El nuevo símbolo de una buena educación...”
S3AR31B
b) 22/13 e) N.a.
c) 36/13
11. Calcular la Mh de 2,3,4 y 5. a)12/13 d) 240/77
b) 3/44 e) 15/19
c) 3/11
12. Si la suma de dos números es "a" y su producto es "b". Calcular su Mh. a) 2a/b d) a/2b
b) 2b/a e) N.a.
c) √ab
13. Hallar la media armónica de (Mh) de los siguientes números: 4,6,8,10,12,14 a) 5.53 d) 8.53
b) 6.53 e) N.a.
c) 7.53
14. Dos números están en la relación de 4 a 25, en qué relación están sus media aritmética y geométrica? a) 29 : 20 b) 23 : 20 c) 26 : 25 d) 31 : 20 e) 30 : 29 15. Cuatro números que están en la relación 3, 4, 5 y 6. ¿En qué relación están la ma. y la m.h. de dichos números? a) 161/150 d) 171/160
b) 170/161 e) 171/165
c) 171/161
16. Sabiendo que la M.a. y la M.g. de dos números a y b están en razón de 5 a 4. Hallar entonces en que razón están los números a y b. a) 5 a 1 d) 4 a 3
b) 3 a 2 e) N.A.
c) 4 a 1
17. El producto de la Ma., Mg., Mh. de dos números enteros es 8000 y la mayor diferencia entre dos de las medias es 9. Determinar el valor del menor de los números.
“ El nuevo símbolo de una buena educación...”
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 3er. Año Secundaria a) 6 d) 10
b) 5 e) 15
c) 2
18. Las medias armónicas de “a y c”, “b y c” y “a y b” están en la misma relación que los números 2, 3 y 6. Calcular la menor suma entera de “a, b y c” a) 1 d) 37
b) 10 e) 47
c) 20
TAREA DOMICILIARIA 01. La suma de la M.a. y M.g. de los números : 0. 4 , 1. 7 y 7. 1 es: a) 44/3 d) 44/9
b) 44/6 e) 42/9
c) 22/9
02. Calcular la M.G. de los números 4,6 y 9.
19. Hallar dos números tales que su media aritmética sea 18,5 y su media geométrica 17,5. a) 10 y 25 c) 13 y 24 e) N.a.
01
b) 11,5 y 25,5 d) 12,5 y 24,5
a)6 d) 4
b) 6 3 6 e) 16
c) 6√6
b) 48 e) N.a.
c) 12
04. Hallar el promedio geométrico de los números 3; 4 y 18. a) 3,5 d) 6
b) 4 e) 3 18
ARITMETICA
08. Si la Mh de dos números “a” y “b” es “x” y la Mh de las inversas de dichos números es “y”. Encontrar la Mg de a y b. a) xy d)
b) y/x y/x
c)
x/y
e) N.a.
09. El doble de la M.a. de dos números es igual al cuadrado de su M.g. mas 1. Si uno de los números es 77, el otro será: a) 144 d) 1
b) 11 e) Absurdo
c) 7
10. Hallar “n” si la M.g. de:
03. Calcular la M.G. de los números 8,27,3 y 512. a) 24 d) 36
3er. Año Secundaria 02
3,
38 ,
3 27 ,
3 64 ,......,
3n
3
es 356 a) 4 d) 7
b) 5 e) 8
c) 6
c) 5
05. Hallar el promedio armónico de 1; 2; 3 y 6 a) 1,8 d) 3
b) 2 e) 4
c) 2,1
06. Hallar 2 números sabiendo que su Ma. es 5 y su Mh es 24/5 a) 7 y 3 d) 6 y 4
b) 8 y 2 e) N.a.
c) 6,5 y 3,5
07. La suma de 2 números es 100 y su M.h. es 32. La M.g. de ellos es: a) 32 d) 1600
b) 132 e) 40
c) 64 GRUPO EDUCATIVO INTEGRAL copyright 2003
S3AR31B
“El nuevo símbolo de una buena educación...”
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