Aritmetica 3° 3b by juan guerrero

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

3er Año Secundaria

TEORÍA DE

Ejemplo 2:

Se denota. A ⊂ B

NOCIÓN DE CONJUNTO Intuitivamente un conjunto es la reunión, colección o agrupación de objetos reales o ideales, a estos objetos se les denomina ELEMENTOS del conjunto. Los conjuntos generalmente se denotan con letras mayúsculas (A, B, C, …Z) y sus elementos separados por comas y encerrados entre llaves.

Se lee:

Si: B = { 3, {3}, {4}, {{4}} }

“A esta incluído en B” “A esta contenido en B” “A es subconjunto de B”

Ejemplos: 1)

A = {p, q} B = {p, q, r, s} B A

Ejemplos:

A = {6, 7, 8, 9} B = {Las Universidades del Perú} C = {a, b, ∆, *}

⇒ A⊂ B DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS I. Por Extensión o en Forma Tabular Es cuando se pueden indicar explícitamente a cada uno de los elementos de un conjunto, enumerándolos o indicándolos en forma sobre entendida.

Observación 1. A ⊂ B ↔ ( ∀ x ∈ A) → x ∈ B A⊂ B ó B⊃A

A = {2, 3, 5, 7, 11} B = {1, 4, 9, 16, 25} C = {a, e, i, o, u} II. Por Comprensión o en Forma Constructiva Es cuando se menciona una o más características comunes y exclusivas a los elementos del conjunto.

A. Inclusión ⊂

{3} ∈ B {3} ⊂ B {{3}} ⊂ B {{{4}}} ⊂ B {{4}} ⊂ B 7⊂B 7⊄B

B = {a, b} Sub conjuntos de “B”: ∅ ; {a} , {b} , {a , b}

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

(V) (V) (V) (V) (V) (F) (F)

Se denota: A = B Se define: A=B⇔ A⊂ B∧ B⊂ A

Conjunto =

 Forma del  elemento 

Caracterís ticas  (Propiedad es) 

Ejemplos: A = {x4 / (x + 3) (x + 1) x (x-1) (x-3) = 0} Observación x=-3 : -1 ; 0 ; 1 ; 3 ∴ A = {81 , 1 , 0} Nota No todo conjunto se puede determinar por extensión y comprensión a la vez. RELACIÓN DE PERTENENCIA Si un objeto es elemento de un conjunto, se dice que pertenece, (∈) a dicho conjunto, en caso contrario no pertenece (∉) a dicho conjunto. Ejemplo:

Ejemplo: A = {x/x ∈ Z ∧ x + 3 = x 2 - 9} B = {-3, 4}

X2 X X

A = {a, {a}, b, c} a∈A e∉A {a} ∈ A

{b} ∉ A c∈A {{c}} ∉ A

x + 3 + x2 - 9

De A:

3. El conjunto vacío está incluido en todo conjunto. 4. Si un conjunto tiene “n” elementos entonces tendrá: 2n subconjuntos.

… … … … … … …

B. Igualdad Dos conjuntos A y B son iguales cuando tienen los mismos elementos sin importar el orden.

∀ A : A ⊂ A

Ejemplo 1: RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

Dar su valor de verdad de las proposiciones:

∀: Para todo (Cuantificador) 2. Todo conjunto está incluido en sí mismo o es subconjunto de sí mismo.

Ejemplos:

3er Año Secundaria

∴ Numero de subconjuntos de B es: 22 = 4

Se dice que A esta incluido en otro conjunto B, si todos los elementos de A pertenecen a B.

III

S3AR33B

ARITMETICA

- x

12 -4 3

DIAGRAMAS DE VENN – EULER Son regiones planas limitadas por figuras geométricas cerradas que se utilizan para representar gráficamente a los conjuntos, así:

Ejemplos: De la parte I A = {P/P es un número primo ∧ P<12} B = {x2 /x ∈ N ∧ x < 5} C = {x/x es una vocal} Esquema General: S3AR33B

A .1

Ejemplo: A = {1, 8, 27, 64}  “El nuevo símbolo de una buena educación...."

.64

.8 .27

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Observación Otro diagrama para representar gráficamente a los conjuntos es: DIAGRAMA DE LEWIS CARROLL

3er Año Secundaria

Se define: A≠ B⇔ A⊄ B∨ B⊄ A

A = { x/(x–1)(x–2)(x–3) x = 0 } B = {0, 1, 2, 3, 4}

FUMAN NO FUMAN

Hombres que fuman

A = { 5, 6, 6, 5 } → n ( A ) = 2 B = { x/x ∈ IN ∧ 3 < x < 6 } n (B) = 2

;

x=4 ; 5

(x–4)(x–3)=0 x=–3∨4

B ⊂ A

Observación: Si dos conjuntos son iguales, entonces son comparables; lo contrario no siempre se cumple. E. Conjuntos Disjuntos Se dice que dos conjuntos son disjuntos cuando poseen elementos comunes. Simbólicamente:

C. Conjuntos Diferentes ( ≠ ) Dos conjuntos son diferentes si uno de ellos tiene por lo menos un elemento que no posee el otro.

A = { 2, 3 4 } B = { 5, 6, 7 }

}

∴

A y B son

Irracionales

Z Enteros

Fracciones

negativos cero

∴ A y B son

positivos (Naturales) (N)

Ν ⊂ Ζ ⊂ Q⊂ R⊂ C

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

DIAGRAMAS LINEALES Son representaciones gráficas que sirven para indicar relación de inclusión. Ejemplo: A⊂B⇒

Si :

A=B⇒AB

I. Unión o Reunión La unión de dos conjuntos “A” y “B” es el conjunto formado por la agrupación de todos los elementos de “A” con todos los elementos de “B”. Notación: A ∪ B (A o B) Simbólicamente se define: A ∪ B = {x/x ∈ A ∨ x ∈ B}

Si :

Observación “ ∨ <> ó : unión” Ejemplo:

CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS Todos son números complejos: C Imaginarios

-3 = 3i 4 - 10 = 4 10 i -1

disjuntos

A = { 2, 3 }   B = { 3, 4 } 

S3AR33B

A ∪ B = {2, 3, 4}

POSICIONES RELATIVAS PARA 2 CONJUNTOS A Y B

Gráfica:

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

Imaginarios

Q Racionales

Propiedad:

equipotentes

D. Conjuntos Comparables Dos conjuntos A y B son comparables cuando sólo uno de ellos está incluido en el otro es decir: A ⊂ B

R Reales

F. Conjunt. Equipotentes o Coordinables “Para hablar de éstos conjuntos de alguna forma, el proceso de contar sus elementos siempre termina” .

Ejemplo:

S3AR33B

A = { 10, 11, 12 B ={ m, n, p }

∃ : “Existe alguno” (Cuantificador)

. -3

Complejos

Ejemplo:

A y B son disjuntos ⇔ ∃ x/x ∈ A ∧ x ∉ B

.2 A≠ B

Mujeres que no fuman

Ejemplos:

Dos conjuntos serán coordinables cuando el número de sus elementos son iguales.

Se observa que:

El número cardinal de un conjunto (A) nos indica la cantidad de elementos diferentes que posee y se denota por: n(A)

3er Año Secundaria

MUJERES

NÚMERO CARDINAL

Ejemplo:

De A: (x – 1)(x – 2)(x – 3) x = 0 x=0 ; 1 ; 2 ; 3 HOMRES

ARITMETICA

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

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3er Año Secundaria

U B U

U Observación

→ B∪ A Observación Si : B ⊂ A ⇒ A ∪ B = A Propiedades: A∪B=B∪A (Conmutativa) A ∪ (B ∪ C)=(A ∪ B) ∪ C (Asociativa) A∪A=A (Idempotencia) A ∪ U = U A∪∅=A (Elemento Neutro) II. Intersección La intersección de dos conjuntos “A”y “B” es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a los dos conjuntos a la vez. Notación: A ∩ B (A y B) Simbólicamente se define: A ∩ B = x/x ∈ A ∧ x ∈ B Observación “∧ <> y : intersección”

* Si : B ⊂ A ⇒ A ∩ B = B * Si : A y B son conjuntos disjuntos ⇒A∩B=∅ Propiedades: A∩B=B∩A (Conmutativa) A ∩ (B ∩ C)=(A ∩ B) ∩ C (Asociativa) A∩A=A (Idempotencia) A∩U=A A∩∅=∅ (Elemento Neutro) PROPIEDADES COMPLEMENTARIAS - Distributiva: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) - Ley de Absorción: A ∪ (A ∩ B) = A A ∩ (A ∪ B) = A (A ∪ B) ⊂ C) ⇔ A ⊂ C y B ⊂ C Si : A ⊂ B y C ⊂ D ⇒ (A ∪ C) ⊂ (B ∪ D)

Ejemplo:

A = { 3, 4, 5 }   B = { 4, 5, 6 } 

A ∩ B = {4, 5}

POSICIONES RELATIVAS PARA 2 CONJUNTOS A Y B

III. Diferencia La diferencia de dos conjuntos A y B (en ese orden) es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a “A” pero no a “B” Simbólicamente: A <> B ⇔ n(A) = n(B) CLASES DE CONJUNTOS

S3AR33B

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

ARITMETICA

3er Año Secundaria

A. Conjunto Finito Un conjunto es finito, si posee una cantidad limitada de elementos, es decir el proceso de contar sus elementos termina en algún momento.

Es un conjunto referencial para el estudio de una situación particular, que contiene a todos los conjuntos considerados. No existe un conjunto universal absoluto. Ejemplo: A = { 1, 3, 5 } B = { 2, 4, 5, 6 }

Ejemplo: A = {x/x es un contribuyente de la Sunat} B = {x/x es un mes del año} B. Conjunto Infinito Un conjunto es infinito, si tiene una cantidad ilimitada de elementos diferentes; es decir el proceso de contar sus elementos nunca termina. Ejemplo: A = {P/P es un número primo} B = {x/x ∈ IR ∧ 8 < x < 9} C = {x/x es una estrella del universo} CONJUNTOS ESPECIALES 1. Conjunto Nulo o Vacío Es aquel conjunto que carece de elementos. Ejemplo: A = { x/x es el actual INCA del Perú } B = { x/x ∈ IN ∧ 7 < x < 8 } Notación:

“∅” ó { } ⇒ A=B=∅={}

Nota: El conjunto vacío “∅” es subconjunto de todo conjunto. 2. Conjunto Unitario o Singletón Es aquel conjunto que tiene un solo elemento.

Podrían ser conjuntos universales U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } U = { x/x ∈ IN } * Gráficamente el conjunto universal se representa generalmente mediante el rectángulo. Ejemplo: A = { x/x es peruano } B = { x/x es colombiano } C = { x/x es mexicano} ⇒ U = {x/x es americano} 4. Conjunto de Conjuntos ó familia de Conjuntos Es aquel conjunto cuyos elementos son todos conjuntos. Ejemplo: A = { {5} , {7,9} , ∅ } 5. Conjunto Potencia o Conjunto de Partes Dado un conjunto A, el conjunto potencia de A está formado por toda la familia de subconjuntos de A. Notación: P (A)

Ejemplo:

A = { x/x ∈ Z ∧ 10 < x < 12} = {11} B = { 2, 2, 2, 2, …} = {2}

A = { 2, 3 }

3. Conjunto Universal ( U ) S3AR33B

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

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P(A) = { φ , {2}, {3}, {2,3} }  Sub conjuntos Propios de A n[P(A)] = 4 = 2

n(A)

3er Año Secundaria

* Los subconjuntos propios de A son aquellos subconjuntos diferentes al conjunto A.

Si n(A)=5 entonces subconjuntos propios es:

número

P(A)=

{φ , {a }, {b},  {c },{c ,b}, {a, c},{b, c}, {a,b,c} } ↓ vacio Unitarios Binarios Ternario

n[P(A)]=25 = 32

Determinar el valor de verdad de cada proposición. A = {∅,{∅},{{∅}},{{{∅}}}} - ∅∈A …(V) - ∅⊂A …(V) - {{∅}} ∈ A …(V) - {{∅}} ⊂ A …(V) - {{∅}} ∈ P(A) …(V) - {{{∅}}} ⊂ P(A) …(V) - {{{{∅}}}} ∈ P(A) …(V) Notación: A – B

U Observación * Si: B ⊂ A ⇒ B – A = ∅ * Si: A y B son conjuntos disjuntos

* *

Si: B ⊂ A ⇒ B – A = ∅ Si: A y B son conjuntos disjuntos A–B=A Ejemplo:

A = { 2, 3, 4 }    B = { 3, 4, 5, 6 }

;

A∆B=A∪B

B – A =B

A −B ={ 2 } B − A = { 5, 6 }

IV. Diferencia Simétrica La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a “A” o “B” pero no a ambos. A∆B

Se lee: “A pero no B” (sólo A)

Notación:

Simbólicamente: A – B {x/x ∈ A ∧ x ∉ B}

Simbólicamente se define: A ∆ B = {x/x ∈ (A – B) ∨ x ∈ (B – A)} ó A∆B = {x/x ∈ A ∨ x ∈ B ∧ x ∉ A ∩ B}

Observación Si : A ≠ B ⇒ A – B ≠ B – A Si : A = B ⇒ A – B = B – A = ∅

POSICIONES RELATIVAS PARA 2 CONJUNTOS A Y B

Simbólicamente: P(A)= {x/x ⊂ A}

B B

* Si un conjunto A tiene “n” elementos entonces el número de subconjuntos de A es 2.

B U

Propiedades: * A ∆ B = (A - B) ∪ (B - A) * A ∆ B = (A ∪ B) - (A ∩ B) *A∆B=∅ *A∆∅=A Ejemplo:

A = { 2, 3, 4 }   A∆ B = { 2,5} B = {3, 4, 5}  V. Complemento El complemento de A, es el conjunto formado por los elementos que pertenece al conjunto universal U pero no a “A” Notación: A´ ; A ; AC ; C A Simbólicamente: A´ = {x/x ∈ U ∧ x ∉ A} = U – A Diagrama

→ A‘ Observación

S3AR33B

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

U → A–B Observación

# subconjuntos propios de A = 25 – 1 =31

n [ P (A) ] = 23 = 8

Observación

Ejemplo 2:

A = { a, b, c }

3er Año Secundaria

Ejemplo 1:

Ejemplo:

ARITMETICA

S3AR33B

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

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φ´ =U U´ =φ

A − B = A∩ B´

A ∪A´ = U A ∩A´ =φ

02.Dado el conjunto: A={x∈Z /2x ≤ 12} ¿Cuál de las siguientes relaciones es incorrecta si Z + es el conjunto de los enteros positivos? +

C BA = B – A Propiedades (A´)´ = A 1.

3er Año Secundaria

(Involución)

a) 12∉A d) 2∈A

b) 10∈A e) 5∈A

c) 8∉A

03.Dado el siguiente conjunto: A={0;{2,3}; 3; 8} ¿Cuál (es) de las proposiciones son verdaderas? I. 2∈A II. 3∈A III. n(A)=5 IV. n(A)=4 a) Todas d) II y IV

5. Leyes de Morgan (A ∪B)´ =A´ ∩B´ (A ∩B)´ =A´ ∪B´

6. Caso particular de la absorción A´ ∪(A ∩B) =A´ ∪B A´ ∩(A ∪B) =A´ ∩B

b) Sólo I e) Sólo III

c) Sólo II

04.Dado: A={2,{4,5},4} ¿Qué afirmaciones son incorrectas? a) 2∈A b) 2⊄A c) {4,5}∈A d) 4∈A e) 0∈A 05.Determine por comprensión el conjunto A = {1/3; 2/3; 1; 4/3}

n −1 /n∈Z;2<n<5} 3 n +1 b) { /n∈Z; 1<n<6} 3 n +1 c) { /n∈Z; 2<n<6} 3 n d) { /n∈Z; 0<n<5} 3 a) {

Observación 1) n( ∅ )=0 2) n(A ∪ B)=n(A)+n(B)-n(A ∩ B) 3) Si A y B son conjunto disjuntos n(A∪B)=n(A)+n(B) 4) n(A∪B∪C) = n(A)+n(B)+n(C) – -n(A∩B)–n(A∩C) – -n(B∩C)+n(A∩B∩C)

e) { PRÁCTICA DE CLASE 01.Dado el conjunto: A={x∈N/3x<10} ¿Cuál de las siguientes relaciones es correcta, si N es el conjunto de los números naturales? a) -2∈A d) 0∈A

b) 4∈A e) 3∉A

c) 2∈A

S3AR33B

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

b) 2

3er Año Secundaria

e) 0

A={1; 2; 3; 4}, B={2; 4; 6}, C={2; 3; 4}

08.Si: A ={x/x2 – 13x + 40 = 0}, dar como respuesta la suma de los elementos de A. a) 8 d) 5

b) 13 e) -3

c) 3

09.Si los siguientes conjuntos A={3ª+b-9; 4a}; B = {46; 5ª+2b} son unitarios, calcular: a2 – b. a) 0 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

10.Dados los siguientes conjuntos iguales: A={3a+b; 81}; B={3b+2; 27}; calcular: b-a a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) -1 11.Dado el conjunto unitario: A = {a+b; a+2b-3; 12}; calcular: a2+b2 a) 80 d) 90

b) 74 e) 39

c) 104

b) 8 e) -15

c) 10

13.Si: n(A)=70; n(B)=50 y n(A∩B)=32. hallar n(A∪B) a) 68 d) 58

c) 25

07.¿Cuántos elementos tiene el conjunto A? A = {{3; 4 {5; 7; 8}}} a) 5

d) 1

a) 6 d) 12

06.Dado el conjunto B 0 {x 2/x ∈ ; x ≤ 4} calcular la suma de sus elementos b) 20 e) 32

ARITMETICA

12.Dado el siguiente conjunto unitario: A ={5ª-4b; 36; a+b}; calcular: 2b - a

n 2 −1 /n∈Z; 0<n<5} 3

a) 10 d) 30

c) 3

b) 78 e) 88

c) 98

14.Si: A = {4; 5; 6} B ={6; 7} C = {3; 5; 7; 9} Cuántos elementos tiene: E =(A - B) ∪ (A-C) a) 3 d) 5

b) 4 e) 1

15.Sean los conjuntos: S3AR33B

Hallar el número de elementos que tiene “E” si: E = [(A-B)∪(A-C)] ∪[(B-C) ∪(B-A)] a) 5 d) 2

c) 3

16.Si: A = {x/x∈N ∧ 2≤ x ≤6} B = {x/x∈N ∧ 3≤ x ≤9} Hallar el número de subconjuntos de (A∆B) a) 8 b) 16 c) 128 d) 32 e) 64 17.De 100 alumnos se conoce que:  60 estudian física  40 estudian química  10 no estudian estos cursos ¿Cuántos estudian ambos cursos? a) 8 d) 16

b) 12 e) 14

c) 10

18.De un grupo de 120 personas; 45 no estudian ni trabajan; 30 estudian; 9 estudian y trabajan. ¿Cuántas personas trabajan solamente? a) 40 d) 55

b) 45 e) 35

c) 50

19.En un salsódromo de 150 personas se observó: 80 consumieron bebida gaseosa, 90 consumieron bebidas alcohólicas y 30 no consumieron ningún tipo de bebida. ¿Cuántas personas consumieron las dos tipos de bebida? a) 40 d) 30

c) 2

b) 4 e) 1

b) 50 e) 80

c) 60

20.30 alumnos se les toma exámenes de Inglés y castellano con los siguientes datos: 20 aprueban castellano, 18 aprueban inglés y 12 alumnos aprueban ambas asignaturas. ¿Cuántos alumnos no aprueban ninguno de estos dos cursos ? a) 3

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

b) 4

c) 5

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN d) 6

e) 7

3er Año Secundaria

01.Hallar el cardinal del conjunto A sabiendo que tiene 2016 subconjuntos más que el conjunto B, que tiene 5 elementos.

a) 58 b) 59 c) 54 d) 55 e) 62 22.A una fiesta asisten 80 parejas, 60 hombres usan anteojos, hay tantas personas con anteojos, como mujeres que no lo usan ¿Cuántas mujeres no usan anteojos?

02.Sabiendo que: A = { 0; 4; 8; 12; ………; 96 } B = { 3; 6; 9; 12; ………; 75 } C = { 2; 4; 8; 16; ………; 256 }

b) 25 e) 60

c) 30

23.De 72 alumnos, 36 estudian en el día, 35 en la tarde y 25 en la noche. ¿Cuántos estudian en sólo dos turnos, si sólo uno estudia en tres turnos? a) 26 d) 27

b) 32 e) 35

c) 22

24.De una muestra recogida a 92 turistas se determino lo siguiente: 30 eran africanos, 40 europeos y 50 eran músicos. De éstos últimos 24 eran africanos y 16 era europeos. ¿Cuántos de los que no son europeos, no eran africanos, no músicos? a) 10 d) 11

b) 12 e) 8

c) 9

25.De 160 personas que gustan de los jugos de fresa; manzana y piña se sabe que 60 gustan de un jugo solamente; 70 gustan exactamente de 2 de éstos jugos y 20 de otros pero no los mencionados. ¿Cuántos gustan de los tres a la vez? a) 10 d) 15

b) 20 e) 25

c) 30

a) 9 d) 12

b) 10 e) N.a.

3er Año Secundaria

a) 8 d) 11

b) 9 e) N.a.

06.¿Cuántos elementos tiene el conjunto A, sabiendo que tiene 63 subconjuntos propios? a) 4 d) 7

a) 12 d) 10 c) 10

08.Si A y B son 2 conjuntos disjuntos, tales que n(A) = 3 y n(B)=4. ¿Cuántos subconjuntos propios tendrá la unión de los 2 conjuntos?

que:

n(G) 2 = n(S) 3

c) 64

además:

c) 31

01. A y B son dos conjuntos tales que: n(A∪B)=12, n(A∩B)=7; n(A)=n(B)+1 Calcule cuántos subconjuntos propios tienen (A - B) b) 8 e) 10

a) 48 d) 62

c) 14

a) A ∩ B d) B ∪ C

c) 32

Cuántos subconjuntos propios tiene (A∆B) S3AR33B

b) 50 e) 58

c) 60

06.Simplificar la expresión conjuntista: {[A∩(C∆A)] ∪[B∆C]C ∪ [B∪(AC ∪B)C]}

c) 9

b) 26 e) 40

c) 25

Calcular n(∪)

02.En un grupo de 55 personas, 25 hablan inglés, 32 francés, 33 alemán y los 5 tres idiomas. Si todos hablan por lo menos un idioma. ¿Cuántas personas del grupo hablan exactamente 2 de estos idiomas? a) 25 d) 12

b) 64 e) 128

05.Si se sabe que: * n[P(A∩B)]=1 * n(C-A)=12=2n(A∩C) * n(CC∪(A∩CC))=40

A = { x3/x ∈ N ∧ 1< 2 – 3 ≤ 9 } B = { x – x4/x ∈ Z ∧ 2 < x < 5}

Hallar : n(G ∪ S)

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

c) 76

Calcule: n[(AxB)∩(BxA)]+n[(AxB)–(BxA)]

03.Si se cumple:

n[P(S)]=576 y : n(G ∩ S) = 2.

b) 12 e) N.A.

b) 15 e) 127

a) 7 d) 5

Hallar el cardinal del Pot(A´)

05.Sabiendo

c) 11

TAREA DOMICILIARIA

c) 18

b) 16 e) 256

b) 14 e) N.a.

a) 7 d) 63

04.Se tiene 2 conjuntos A y B, tales que: * (A ∪ B) = 15 * (A ∩ B) = 3 * (A) – n(B) = 2 * n(B´)=8

a) 32 d) 128

b) 30 e) 62

04.Si: A = { 1, 2, 3, 4, 5 } B = { 1, 3, 5, 7, 9 }

a) 32 d) 48

Hallar: n(A) + n(B)

Halle el cardinal de: [(A ∩ B) x A] b) 9 e) 10

c) 6

07.Sabiendo que: n(A) – n(B) = 4 además entre A y B tienen 544 subconjuntos.

03.Si: A = { x/x ∈ Z ∧ x2 < 5 } B = { x/x ∈ A ∧ x+1 > 0 }

a) 12 d) 15

b) 5 e) 8

a) 24 d) 63

c) 11

Hallar: n[(A ∩ B) ∪ C]

a) 13 d) 10 S3AR33B

ARITMETICA

EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 01

21.En un grupo de personas se sabe que 19 hablan alemán 23 hablan francés, 25 hablan castellano, 5 hablan alemán y francés, 7 hablan francés y castellano y de los que hablan castellano ninguno habla alemán. ¿Cuántas personas forman el grupo?

a) 80 d) 70

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

b) A ∪ B e) A ∪ B ∪ C

c) A∪B∪C´

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3er Año Secundaria

0, 1, 2, 3, 4, …

NUMERA

SISTEMA POSICIONAL DE NUMERACIÓN

INTRODUCCIÓN Antiguamente los egipcios, griegos y romanos tenían formas distintas de representar los números, la base de su numeración era decimal. Otros pueblos elaboraron distintos sistemas: por ejemplo, los babilonios tenían como base el sesenta; los mayas, en América, desarrollaron un sistema de base veinte. En cambio, los hindúes habían desarrollado un práctico sistema de notación numeral, al descubrir el cero y el valor posicional de las cifras. Los árabes dieron a conocer el sistema de Europa a partir de siglo VIII por eso, nuestras cifras se llaman indoarábigas. En el siglo XVIII Leibnitz descubrió la numeración de base binaria y la posibilidad de infinitos sistemas de numeración. En la actualidad el lenguaje de los números en forma hablada y escrita tiene su alfabeto, que hoy en día se utiliza en todas las naciones y se denomina Sistema Decimal de Numeración que utilizas las diez cifras del 0 al 9. Además, el uso de los sistemas binario y hexadecimal que son los que utilizan las computadoras para realizar sus cálculos. Numeración Es la parte de la aritmética que se encarga del estudio de la correcta formación, lectura y escritura de los números.

Es el conjunto de principios, normas y convenios que nos permite la formación, lectura y escritura de los naturales. PRINCIPIOS FUNDAMENTALES A. Del Orden Toda cifra que forma parte de un numeral ocupa un orden determinado, el cual se considera de derecha a izquierda. Ejemplo: Cinco Cuatro Tres Dos Uno ⇒ ORDEN NUMERAL LUGAR ⇒

B. De la Base Todo sistema de numeración tiene una base que es un número entero y mayor que la unidad, el cual nos indica la cantidad de unidades necesarias y suficientes de un orden cualquiera para formar una unidad del orden inmediato superior. Ejemplo: Representar treinta y dos unidades en la base 3, 10, 8, 6 y 4 Cuatro

Tres

Dos

ORDEN uno

Número Es la idea asociada a una cantidad que nos permite cuantificar los objetos de la naturaleza Numeral Es la representación simbólica o figurativa del número Ejemplo: Se puede representar: , ≡, oo , 3, tres, etc. Cifras Los símbolos que convencionalmente se van a utilizar para la formación de los números son: S3AR33B

2(3)

Nota: En forma práctica la base nos indica de cuanto en cuanto estamos agrupando las unidades

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

ARITMETICA

3er Año Secundaria

Conclusiones: 1. Toda cifra que forma parte de un numeral es un número entero no negativo y menor que la base, es decir, en base “n”, se puede utilizar “n” cifras diferentes, las cuales son:

cifra máxima ↓ 0, 1, 2,  3,  .......... , (n     -1) ↑ cifras significativas cifra no significativa A mayor numeral aparente le corresponde menor base. Del ejemplo obtenemos: 32 = 40(8) = 44(7) = 200(4) = 1012(3) Es decir, si 120n = 45k Como: 120 > 45 Afirmamos: n < k ALGUNOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN Base 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Nombre Del Sistema Binario Ternario Cuaternario Quinario Senario Heptanario Octavario Nonario Decimal Undecimal duodecimal

Nota: Por convención, cuando la cifra es mayor que 9 se utilizan letras para su representación. (10) <> α <> A S3AR33B

Ejemplos:

4(11)6(10)(15) = 4β6α(15) = 4B6A(15) REPRESENTACIÓN LITERAL DE LOS NÚMEROS Cuando no se conocen las cifras de un numeral, éstas se representan mediante letras teniendo en cuenta que:  Toda expresión entre paréntesis representa una cifra.  La primera cifra de un numeral debe ser diferente de cero.  Letras diferentes no necesariamente indican cifras diferentes. Ejemplos:  Un numeral de 2 cifras de la base 10 ab ∈{10,11,12, …, 98, 99}.  Un numeral de 3 cifras en base 7. mnp 7 ∈ { 1007, 1017, 1027, …, 6667 }  Un numeral de 4 cifras consecutivas creciente en base 7.

a( a + 1)(a + 2)(a - 3)7

Cifras 0,1 0,1,2 0,1,2,3 0,1,2,3,4 0,1,2,3,4,5 0,1,2,3, … 6 0,1,2,3, … 7 0,1,2,3, … 8 0,1,2,3, … 9 0,1,2,3, … 9(10) 0,1,2,3,...9(10),(11)

(11) <> β <> B (12) <> γ <> C

NUMERAL CAPÍCUA Son aquellos numerales cuyas cifras equidistantes son iguales. Ejemplos:

mnppnm

557;

3538;

aa n ;

xyyz8 ;

DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA Ejemplo:

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 1. Simple.  4352 = 4x103+3x102+5 x101+2  206458 = 2x84+6x82+4x81+5  3005046 = 3x65+5x62+4  abcd k = ak3+bk2+ck+d 2. Por Bloques.  4352 = 43x102+52  206458 = 208x83+648x81+5  13abc 5 = 135x53+ abc 5 

abab n = ab n x n2+ ab n

 mnpmnp k = mnp k x k + mnp k

3er Año Secundaria

1a 1b 1c1d 

1x n

= n + x + … +d+c+b+a

Casos Especiales de Conversión: 1. De base “n” a base “nk” Procedimiento:  Al numeral dado se les separa en bloques de k, cifras (de derecha a izquierda)  Cada bloque considerado en su base respectiva, se descompone polinómicamente, siendo el resultado una cifra del numeral en la base “n”

CAMBIO DE BASE 1. De base “n” a base 10(n≠0) Ejemplo: Exprese 5246, en base 10 5246=5x62+2x6+4=196 ∴ 5246=196 2. De base 10 a base “n” (n≠0) Ejemplo: Exprese 196, en base 6. 190 6 4 32 2

6 5

∴ 196 = 5246 Propiedades. A. Numeral de cifras máximas 9 = 10 – 1 78 = 8 – 1 99 = 102 – 1 778 = 82 – 1 3 999 = 10 – 1 7778 = 83 – 1 En general:

(n  - 1)(n   -1)...(n -1) n = nk – 1 "k" cifras

Ejemplo: Expresar 111011101112 a base 8 Resolución: Como 8 = a3 las cifras se separan en bloques de 3 y luego se descompone cada bloque. Base 2 11 101 110 1112 Base 8 3 5 6 78 ∴ 111011101112 = 35678 2. De base nk a base n Procedimiento:  Cada una de las cifras del numeral se convierte a la base n, teniendo cuidado de obtener bloques de k cifras (si existiesen grupos incompletos, se completará con ceros a la izquierda)  Los bloques obtenidos conformarán la representación en la nueva base Ejemplo: Expresar 42839 en base 3 Resolución: Como 9 = 32, cada cifra del numeral se convierte a base 3, generándose un bloque de 2 cifras. Base 9 Base 3

4 11

2 02

8 22

39 103

B.  1c = n + c 

1b 1b n



1a 1b 1c n

=n+c+b

En general: S3AR33B

=n+c+b+a

PRACTICA DE CLASE

3er Año Secundaria

III. 2154(7) ……………………………… IV. 1346(8) ……………………………… V. 1249(11) ……………………………… 02.Trasladar: I. 425 a base 7 ………..……………… II. 1234 a base 6 ..……………………… III. 1452 a base 9 ..……………………… IV. 798 a base 5 ..……………………… V. 946 a base 3 …..…………………… 03.Trasladar: I. 532(6) a base 5 II. 1341(5) a base 7 III. 782(9) a base 8 IV. 2341(6) a base 11 V. 12312(4)a base 6 04.Calcular (a+ b), si: a) 9 d) 12

…...…….………… …...…….………… …...…….………… …...…….………… …...…….…………

43 a + 1a b = 2b 7 +14

b) 11 e) 8

c) 10

05.Calcular (m + n + p + q) de: 32m 5 , 13n m , 12p n , q0q a) 13 d) 7

b) 9 e) 8

c) 10

06.Hallar “n” 1050(n) = 24n a) 8 d) 6

b) 4 e) 7

c) 9

07.Hallar: a + b, si: aba (7) = 11b1 (6) a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 08.Calcular: a + b + c, si: aabc (7) = babb (5) a) 4 d) 7

01.Trasladar al sistema decimal: I. 245(6) ……………………………… II. 3142(8) ……………………………… “El nuevo símbolo de una buena educación....”

ARITMETICA

b) 9 e) 8

c) 5

09.Hallar un número de 3 cifras que sean iguales, sabiendo que en el sistema senario se escribe con cuatro cifras iguales. a) 777 d) 555

c) 666

10.¿Cuántos números de la forma ab cumplen con la siguiente condición? ab =7(a + b) a) 4 d) 3

b) 5 e) 7

c) 6

11.Hallar la base del sistema de numeración en el cual el número 52 del sistema decimal se escribe como 103 a) 5 d) 8

b) 6 e) 5

c) 7

12.El número 7564(n) está escrito en una base menor que 10; ¿Cómo se escribe en la base cuyo valor es (3n/2)? a) 2538 d) 2258

b) 3358 e) 2458

c) 2358

13.El mayor número de tres cifras de la base “n” se escribe en el sistema heptanario como 425. hallar “n2” a) 49 d) 12

b) 25 e) 64

c) 36

14.Al convertir un número en 3 cifras consecutivas crecientes de la base 8 a base 11 se obtiene 311. ¿Cuál es la menor cifra de dicho número? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 15.Un número del sistema decimal se ha convertido a dos sistemas de numeración de bases consecutivas y se obtuvieron los números 204 y 312. Hallar el número en el sistema decimal. a) 50

S3AR33B

b) 888 e) 999

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

b) 52

c) 53

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN d) 54

3er Año Secundaria

e) 64

b) 2 e) 3

b) 387 e) N.a. 4

c) 393 3

18.Si: N = 2(17) +2(17) +26+4(17) como se escribe el número “N” en base 17 a) 22405 d) 22059

b) 20425 e) 22459

a) 8 d) 9

b) 7 e) 12

c) 22095

b) 13 e) 7

25.Hallar

c) 8

(a+b+c),

26.Si:

b) 4 e) 7

a) 24 d) 20 si:

c) 5

01.Si a un número de tres cifras se le agrega un 8 al final, el número original queda aumentado en 3527. hallar la suma de las cifras de dicho número de tres cifras

c) 6

20.Hallar (a + b) en la siguiente expresión:

abb (6 ) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4) a) 7 d) 4

b) 6 e) 3

a) 16 d) 13

c) 5

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 22.Hallar (a + b) si : 124(a) = 19 b

23.Hallar

b) 21 e) 20

c) 22

(a+b+c)

si:

aabc (9 ) = b(b + 1)0a (7) =0 S3AR33B

c) 14

02.Si a un número de tres cifras, se le agrega un 5 al comienzo y otro 5 al final, el número obtenido es 147 veces el número original. Dar como respuesta la suma de las cifras del número original.

21.Hallar (a + b) si: (2a)ba (6) = bab (7)

a) 13 d) 23

b) 15 e) 17

a) 10 b) 14 c) 12 d) 13 e) 11 03.Hallar un número de 4 cifras, cuya cifra inicial es 3, tal que si esta cifra inicial se suprime se obtiene un número que es 1/5 del número original. Dar como respuesta la suma de las cifras del número original. a) 10

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

b) 12

05.Si un entero de dos dígitos es K veces la suma de sus dígitos, el número que se obtiene al intercambiar los dígitos es la suma de los dígitos multiplicada por: b) 10 - k e) k + 1

c) 11-k

a) 24 d) 25

kilómetros recorrió hasta ese momento, si debía recorrer cab kilómetros? a) 24 d) 36 02. Si

b) 30 e) 58

c) 42

abc (5 ) = 1abc 3 escribir el mayor

número abd (6 ) en base 5 a) 1315 d) 3135

b) 2135 e) 2105

c) 4145

03.Si: aabb (7 ) = 11a4 (9 ) Hallar el valor de a+b a) 12 d) 14

b) 6 e) 10

c) 8

04. Hallar (m+n), si: 937(m)=117(n)

ab2 m = bb57 n

c) 110

(n - 3)(n - 2)(n - 1) n = (n − 4)(n − 2)(n − 2)(n +1)EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 02 b) 5 e) 8

c) 21

06.Hallar: a + b + m +n Si: a58 m = bb54 n

hallar: ab + a + b b) 109 e) 101

b) 22 e) 19

a) 9 - k d) k - 1

13   14 15 16 ab  = 162 (8 )

a) 95 d) 111

e) 18

hallar: a + b + c + d + e

ab(a + 1)a (5) = bacb (4) a) 3 d) 11

3er Año Secundaria

04.Sabiendo que: 2541 = 3a + 3b + 3c + 3d + 3e

19.Calcular “n” si:

a) 4 d) 7

ARITMETICA

c) 10

24.Hallar: (a+b+c), si: a3b (C) = bc0 (5) a) 12 d) 6

c) 5

17.¿Cuál es el número comprendido entre 300 y 400 tal que al duplicarlo resulta igual al consecutivo del número de invertir las cifras del original? a) 379 d) 395

d) 16

16.El cuádruplo de un número es de la forma ab , pero si al número se le multiplica por 3 y luego se le divide entre 2 se obtiene ba . Hallar (a - b). a) 1 d) 8

b) 23 e) 26

c) 22

a) 41 d) 44

b) 42 e) 45

c) 43

05. Hallar (m+n), si; 44, ab 5 = ab, mn

07.Sabiendo que:

a) 13 d) 10

23a 9 = 27b n = 36a p

b) 11 e) 12

c) 8

hallar: (b – a + n + p) a) 20 d) 17

b) 19 e) 16

08.Si se cumple que: abc

c) 18

(7)

= cba (9) hallar

(a+b+c) a) 9 d) 11

b) 8 e) 12

c) 10

TAREA DOMICILIARIA 01. Un móvil recorre por hora ab kilómetros, observando que después de “c” horas le falta recorres abc kilómetros , ¿Cuántos

06. Si; 22, ab 5 = ab, mn . Hallar: (a+b+m+n) a) 9 d) 12

c) 11

07. ¿Cuántos números se representan con numerales de tres cifras tanto en el sistema septenario como en el nonario a la vez? a) 249 b) 262 d) 354 e) 261 08. Hallar “a”, si: 32a 5 =1089 a) 2 d) 0

b) 3 e) 1

09. Si: abcd − cdab =1287

c) 15 S3AR33B

b) 10 e) 13

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

c) 648

c) 4

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

3er Año Secundaria

b) 10 e) 14

c) 12

10. Al expresar el número: 44444444447 en el sistema decimal, termina en la cifra: a) 4 d) 1

b) 3 e) 0

3er Año Secundaria

TEORÍA DE LA DIVISIBILIDAD DE LOS NÚMEROS Un número entero A se dice que es divisible entre otro número entero positivo B, llamado divisor, si al dividir A entre B la división resulta exacta. Es decir:

Si un número entero A es múltiplo o divisible entre otro entero positivo B se denota: o A=

c) 2

A 0

B K

Donde: A ∈ Z

B ∈ Z+ K∈Z

Se dice: A es divisible entre B B es un divisor de A Ejemplos: Sea el número 28 y el 7 al dividir:

28 7 0 4 Se puede decir: 28 es divisible entre 7 7 es un divisor de 28 MULTIPLICIDAD DE LOS NÚMEROS Un número entero A es múltiplo de otro número entero positivo B, si existe un tercer número entero “K”, tal que al multiplicar por B resulta el número A. A = BK de la división anterior Se dice: A es múltiplo de B B es un factor de A Del ejemplo anterior 28 = 7 x 4 28 es múltiplo de 7 7 es un factor de 28

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

o 11 : …- 33, - 22, - 11, 0, 11, 22, 23, … ⇒

o 11 = 11 k, k ∈Ζ

A= o

Aplicación: 1. Calcule cuántos números positivos de 3 cifras son: a. múltiplos de 15. b. múltiplos de 9 pero no de 5 c. múltiplo de 7. d. múltiplo de 13 que terminan en cifras cero.

Ejemplo: o

 21 = 7 o  -45 =

o 10 o  -57= 19  -460 =

5=

0=

 14 =

 ab00 =

o 25

Nota: El cero es múltiplo de cualquier positivo Ejemplos:

Rpta: a. 60 c. 128

Por defecto

A rd

1, 2, 3, 4, 6, 12

a. 12:        Divisores

Por exceso

A re

B q+1

rd + r e = B

Divisores

Se observa que un número es múltiplo o divisible de cada uno de sus divisores 2. Indique en forma explícita los múltiplos de 7 y 11 o

7 : … -21, -14, -7, 0, 7, 14, 21, …

Si un número no es múltiplo de un módulo, se puede expresar dicho número respecto a este módulo, por defecto o por exceso. Ejemplo:  63 = 10 x 6 + 3 63 = o

⇒ 7 = 7k, k ∈ Z S3AR33B

B q

Donde:

1, 5, 25, 125 b. -125:     

b. 80 d.7

NÚMEROS NO DIVISIBLES Si un número entero A al dividir entre el número entero positivo B, la división resulta inexacta, se afirma que A no es divisible entre B. Por ser inexacta la división puede ser de dos tipos:

1. Indique en forma explícita los divisores positivos de 12 y 125.

Nota: S3AR33B

ARITMETICA

 Indicar que un número es divisible o múltiplo de otro, lo consideramos como equivalente  Todo divisor de un número, es un factor de dicho número.

además: ab + cd =55 Hallar: a +b +c +d a) 9 d) 13

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

 63 = 10 x 7 - 7 63 = o -7

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

3er Año Secundaria

Además: o

+11⇒M =

M= o

-6⇒M= o

21 10

-10

II. Si un número es múltiplo entre cierto módulo es múltiplo con cada divisor del módulo.

1, 3, 5, 15

Ejemplo: 15:      divisores

Aplicaciones: 1. Calcule la suma de todos números positivos de dos cifras, tal que al dividirse entre 8 se obtienen residuos máximos. Rpta. 605

Entonces: o 15 = 15 =

2. Calcule cuántos números positivos de 3 cifras

15 =

son

+7 y además dichos números

terminan en cifra dos. Rpta. 7 Principios: I. Operaciones con números múltiplos de un mismo módulo: a. 33 + 22 = 55 o

+ o = o

⇒ o + o = o

b. 33 – 22 = 55 o

- o = o

11 11

⇒ o - o = o

15 =

III. Si un número es múltiplo con varios módulos, entonces es múltiplo del MCM de dichos módulos. Ejemplo: Sea. o A = 6 o  A = 5  Entonces:⇒A= o A = 8 

c. 91 = 7

En General: Si: o

11 x (91) = 7 o Si A =

⇒ Am =

Si: m ∈ Z+ Aplicación: 1. Calcule cuál es el residuo al dividir entre 13. Si: N = 11x 2m + 910 x 2m + 132 x 2n n ∈ Z+ y m∈ Zo+ S3AR33B

3er Año Secundaria

o  N = 9+ 3   o  N = 8 + 3  Entonces:  o N = 10 + 3  

(

o o o o 9 +2)( 9 +1)( 9 +3)= 9 +6

(

o o o o n +a)( n +b)( n +c)…( n +x)=

⇒

o n +axbxCx…xX

Aplicaciones: 1. Calcule el residuo al dividir N entre 9 si: N = ab12 3 x mn7 9 x xy10 3 Rpta. 6

o MCM(a, b, c) + 3

o o = MCM(6,5,8) 120

ARITMETICA

A = a o  o A = b  Entonces: ⇒A= MCM(a, b, c) o A = c 

o  N = a ± r  o  N = b ± r  Entonces:  o N = c± r  

⇒=

BINOMIO DE NEWTON: Sea la multiplicación: o

"k" factores

o MCM(a, b, c) ± r

Su desarrollo: o

k (n ±a) = n ± a

2. Calcule cuántos números de 3 cifras son múltiplos de 4 y pero no de 5. Rpta. 60

2. (n ± a) k

 Si K es par  o  n+ a k    Si K es impar   o k  n − a

Observación

( 8 +3)(

Ejemplo:

S3AR33B

8 +2)= 8 + 8 + 8 + 6

k (n ±  a)(  n  ±a)(  n±a)x  ...  x(  n±a) = (n ± a)

Aplicaciones 1. Calcule el menor número positivo de 4 cifras, tal que al ser divididos entre 2,3,4, … y 9 siempre se obtiene residuos máximos. Rpta. 2519

Ejemplo sea:

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

2. Calcule el residuo al dividir A entre 22 si: A = 23 x 24 x 25 x … x 29 Rpta. 2

Si:

Ejemplos: o

 ( 7 +2)6 = 7 +26 o o  ( - 3)20 = +320

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

o o = (19 − 5 )45 19 − 5 45 o o  = ( 43 + 1)abc 43 + 1

3er Año Secundaria =



55=5.54

=…………..

56=5.55

=…………..

5 =5.5

o o 9 +20= 9 +2

=…………..

RESTOS POTENCIALES Se llaman restos potenciales de un entero E(diferente de cero) respecto a un módulo m a los residuos que deja la serie natural de las potencias sucesivas, enteras y positivas de E al ser divididas entre el módulo “m” Ejemplo: Calcular los restos potenciales de 5 respecto al módulo 9. o 50 = 0+1 =………….. = +1

5 = 0+5 2

=………….

53= 5.52

=…………..

S3AR33B

=…………..

o o 9 +5)( 9 +7) o

9 +35= 9 +8

+5)(

+8)

9 +5)( 9 +5) o

9 +25= 9 +7

Obsérvese que los restos potenciales empiezan a repetirse en forma ordenada y periódicamente. Al tomar una potencia cualquiera luego de 6 potencias sucesivas se obtendrá el mismo resto que deja la potencia tomada inicialmente. Ejemplo: o

51, 57, 513, …, 6 +1

Siempre dejarán de resto 5 respecto al módulo 9 3

 Las potencias: 5 , 5 , 5 , …, 6 + 3

Siempre dejarán de resto 8 respecto al módulo 9 CASO PARTICULAR: El 5302 al dividirse entre 9, ¿Cuánto deja como resultado? Solución: 5302 + 9 o

o 9 + 25 = 9 +7

=…………..

o 9 +5)( 9 +1)

=( =

5 =5.5

54=5.53

=…………..

5 = 6 − 1 además ab = 7 calcule la suma de valores de ab Rpta. 336 ab

5 =5.5

+10=

=( =

o o 9 +5)( 9 +2) o

Rpta. 3 2. Si: B = (ab101 2 )623 se expresa en base 8, calcule la última cifra. Rpta. 5

o o 9 +5)( 9 +4)

=( =

Aplicaciones 1. Calcule el residuo al dividir: A = (1333)508 entre 11

o o 9 +40= 9 +4

=( =

o o  ab31 = ( 8 − 1) 8 −1

5302 = 6 + 2 = 9 + 7 5 Toda potencia de 5 cuyo exponente sea múltiplo de 6 más 2, siempre deja como residuo 7. GAUSSIANO (q) SE llama gaussiano de un entero E respecto a un módulo m, a la cantidad de restos potenciales

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

ARITMETICA

3er Año Secundaria

diferentes entre sí y diferentes de cero que se repiten ordenada y periódicamente. Del ejemplo anterior el gaussiano de 5 módulo 9 es 6 porque existen 6 restos potenciales diferentes entre sí que se repiten ordenada y periódicamente.

Si:

= o

.......... .......... .....abcde fgh = 7 Por descomposición Polinómica: N = h+10g +102f+103e+104d+105c+106b +107ª+…

Ejemplo2: Calcular los restos potenciales de 3 respecto al módulo 5. o o 30 = +1 … = +1

3 = 32 =

o 5 +3 … = 5 +3

3=(

o o o 5 +3)( 5 +4) = 5 +2 o

5 +3)( 5 +2) 5 +1

36=(

o o o 5 +3)( 5 +3)= 5 +4

37=(

o o o 5 +3)( 5 +4)= 5 +2

+ (7 + 5)c + (7 + 1)b + (7 + 3)a +  ordenada

o 4 +2 al ser dividido

entre 5 deja de resto 4.

O también: o

N = h + ( 7+ 3)g + ( 7 + 2)f + (7 − 1)e + (7 − 3)d o

+ (7 − 2)c + (7 + 1)b + (7 + 3)a +  o

N = h + 7+ 3g + 7 + 2f + 7 − e + 7 − 3 d o

r=4

+ 7 − 2c + 7 + b + 7 + 3a + 

Observaciones Mediante la aplicación de estos potenciales se determina cualquier criterio de divisibilidad Ejemplo: Hallar el criterio de divisivilidad por 7.

S3AR33B

N = h + ( 7+ 3)g + ( 7 + 2)f + (7 + 6)e + (7 + 4)d

Ejemplo: Al dividir 326 entre 5. ¿Cuál es el residuo? o o 326 = 4 + 2 = +4 Toda potencia de 3 que se

Los restos que se repiten periódicamente son: 1,3,4 y 2. Luego el gaussiano(g) = 4

(7 +3)

5 +3)( 5 +1)= 5 +3

(7 +  3)(  7+1)a + ...

35=(

N = h + ( 7+ 3)g + ( 7 + 2)f + (7 + 3)(  7+ 2)e  + o (7 +6)

(7 +  3)(  7+ 6)d  + (7 +  3)(  7+ 4)c  + (7 +  3)(  7+ 5)b  + o o o (7 +4) (7 +5) (7 +1)

o o 5 +4 … = 5 + 4

33 = ( 4

Expresando las potencias de 10 según módulo 7.

N = 7 + (h + 3g + 2f − e − 3 d - 2c + b + 3a + ) Interpretación: Si N es múltiplo de 7 entonces al multiplicar sus cifras de de derecha a izquierda por: 1,3,2, -1, -3, -2, 1, 3, … respectivamente y al efectuar la suma algebraica, el resultado es también múltiplo de 7.

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

3er Año Secundaria

Ejemplo 2:

Hallar el criterio de divisibilidad por 4 en el sistema de base 5. Solución: Si:

= o

125 ↔ cde = 125

Descomponiendo Polinómicamente: N = f +5e + 52d+53c+54b+52a+…

+ e+

+ d+

+1 )b + ( + c+

+15)a + …

+ b+

a+… N=

o 4 +(f +e +d +c +b +a +…)

3. Si: a3(b + 1)ba = 125 Calcule la suma de valores de (a+b) Divisibilidad por 3 y 9  N = abcde o o N= ↔a+b+c+e=

4 , entonces la suma de sus

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD Sea el numero “N” Donde: N = abcde

n=

abc = 3 . Calcule cuál es la última cifra

al expresar. N = ab132ba2cc

mpn − 9 ; pnm − 5 y

Rpta. 18

DIVISIBILIDAD POR 11 N = abcde +-+-+

10 o

h = 7 +2  9xi =

9 i = 13 + 1 + 26  o

+3 o

 23n =

23n =

o o

+1 -23

-1

39 o

37 +24 → 12(e-2)= 37 → e – 2 =

S3AR33B

41 abc = 170 Calcule la suma de valores de abc Rpta. 2550

d=  12e =

Aplicaciones: I. Si: 1 abc + 3 abc + 5 + abc +  +

7xd =

mnp -

5xh = 7 +  3 + 7

 91xd=

calcule (m + n + p) máximo

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

2. Si: o

2c =

en base 3 Rpta. 2

o o 4 ↔ de = 4

S3AR33B

1. Si

b=  4xc =

o o 9 ↔a+b+c+e= 9

+44

 23xb=

17 -2

IV. Principio de Arquímedes Si el producto de dos números enteros es múltiplo de cierto módulo y uno de los números no es múltiplo del módulo, entonces el otro número debe ser múltiplo de dicho módulo.

 5a =

 5xh= 7 +3 Rpta. 15

Aplicaciones:

cifras tiene que ser también múltiplo de 4.

ab3abab = 11

Ejemplo: Rpta. 12

Interpretación:

Divisibilidad por 2n y 5n o o N= ↔e =

 11xg=

calcule (a + b) máximo.

2. Si: (a − 1)3ba = 25 Calcule al suma de los valores de (a+b) Rpta. 19

 N=

Para que N sea

2. Si:

( N = f+

Rpta. 4

Por Binomio de Newton aplicado divisibilidad: o o o N = f( +1)e + ( +12)d + ( +13)c +

17 -16→8(f+2)= 17 ∧f+2= 17

Rpta. 5 o

Expresando N según módulo 4: N=f+(4+1)e+(4+1)2d+(4+1)3c+(4+1)4b+ (4+1)5a+…

 8xf=

Aplicaciones: 1. Calcule el residuo al dividir N = aabccb357 entre 11

1. Si: 431(a + 1)aa = 8 Calcule: “a”

Aplicaciones

3er Año Secundaria

N= 5 ↔ e =5 

ARITMETICA

N = 11 ↔ a + c + e – b – d =

 8 ↔ cde = 8

.......... .......... .abcdef (5) = 4

37 →e = 37 +2

II. Alexandra tiene una cantidad de estampillas, si los agrupa de 7 en 7 sobran 2; si se agrupan de 9 en 9 le faltan 4 unidades para formar un grupo más. ¿Cuántas estampillas posee si dicha cantidad es el menor posible de 3 cifras? Rpta. 149 III. Un número expresado en cierta base es:  múltiplo de la base más la última cifra.

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

3er Año Secundaria

 múltiplo de la base elevado al cuadrado más las dos últimas cifras en dicha base.  múltiplo de la base elevado al cubo más las tres últimos cifras en dicha base. Sea: N = abcd (K)

N=

o 2

a) 6 d) 9

yN=

Ejemplo:  

ab3 7 = 7 + 3 o

mn5 9 = 9 + 5 o

9+ 5

a) 2 d) 5

 mn11 2 = 4 + 11 2

4+ 3 o

 ab101 3 = 27 + 101 3 o

27 + 10

a) 42 d) 83

cd101 (2) = 8 + 101 2

8+ 5 +3= …….3g = ….103

 M = 7 +4= …47 P=

81 + 13

 P = ……… (13)(81)  P = ……… 14(9) S3AR33B

b) 26 e) 10

b) 3 e) 6

b) 50 e) 167

05.El numeral: ab(2a)(2b) divisible por:

o 5 +2

c) 28

c) 4

04.Un pastor cuenta sus ovejas de 7 en 7, de 4 en 4 de 6 en 6 y siempre le sobra 6, 3 y 5 ovejas respectivamente. Calcular cuantas ovejas tiene este pastor si el número es la menor cantidad posible.

N=

a) 104 d) 112

b) 119 e) 108

08.Cuántos números son

03.Calcular el valor de “a” si la suma de a1 con a2 con a3 hasta a9 es múltiplo de 13.

c) 7

o 6 +4, entonces el resto de dividir “N”

a) 22 d) 20

a) 13 d) 23

b) 17 e) 29

c) 80

siempre es c) 19

06.A un evento deportivo asiste una cantidad de personas menor de 300; si 2/11 de los asistentes son mayores de edad, los 5/17 de los mismos son limeños. ¿Cuántos no son limeños? “El nuevo símbolo de una buena educación....”

d) 4

e) 5

14.Hallar el valor de “a.b” si:

que toman A si es de 3 cifras?

a) 4 d) 10

c) 168 o

17 en los 3000

primeros enteros positivos. a) 175 d) 178

b) 176 e) 180

b) 125 e) 130

c) 177

b) 37 e) 40

c) 126

b) 84 e) 144

b) 106 e) 103

S3AR33B

“a”

si:

15!

130a6a4368 00 a) 3 d) 6

b) 4 e) 7

c) 5

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

o 18m43n = 33 . Hallar

cuántos valores puede tomar mn a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

19.Hallar “x” si: 1x984 = 37 a) 3 d) 6

b) 4 e) 7

20.Hallar el residuo de dividir: 3 42

c) 108

o a1b3c5 7 +2

b) 2

c) 7

c) 96

13.Hallar el residuo de dividir a7b9c

a) 1

valor

18.Si se sabe que:

12.¿Cuántos de los números de 3 cifras son múltiplos de 7 pro no de 5? a) 26 d) 102

c) 38

pero no de 5?

a) 72 d) 120

b) 6 e) 12

17.Hallar el residuo de dividir 68 ab1 entre 11

11.¿Cuántos de los números de 1 a 240 son o

c) 8

abbbba = 45

16.Hallar

10.Entre 5000 y 12000. ¿Cuántos son múltiplos de 19 y terminan en cifra 6.? a) 36 d) 39

b) 6 e) 12

a) 5 d) 8

09.¿Cuántos números de 4 cifras terminados en 3 son divisibles por 7? a) 124 d) 127

6a319b = 56

15.Hallar el valor de “a+b” si se cumple que: o

entre 30 es:

 xy12 = 9 + 12 3 3



b) 5 e) 8

02.Si un número natural “N” es tal que: N=

+ bcd (K )

3er Año Secundaria

b) 55 c) 77 e) 252 o o 07.Si 3A = 7 ; 5A= . ¿Cuál es el menor valor

PRACTICA DE CLASE

+ cd (K )

o 3

ARITMETICA

a) 22 d) 132

01.Determinar cuántos números de dos cifras son múltiplos de 3 y 4 pero no de 9

Entonces:

N=

entre

a) 3 d) 6

b) 4 e) 10

c) 5 46

entre 11

c) 5

21.¿Cuántos múltiplos de 3 y 5 pero no de 4 hay en: 1,2,3,4, …………, 189? c) 3 “El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN a) 7 d) 10

b) 8 e) 11

c) 9

22.¿Cuántos múltiplos de 4 y 5 pero no de 4 ó 5 solamente, hay de 2 cifras? a) 3 d) 6

b) 4 e) 7

3er Año Secundaria

d) 5 e) 8 04.En el hospital hay 180 internos. De los que son dados de alta, se sabe que: 2/5 tienen problemas cardiacos , 3/7 son casados y 2/3 padecen de artritis. ¿Cuántos pacientes seguirán en el hospital?

c) 5 a) 108 d) 75

b) 105 e) 95

c) 210

23.¿Cuántos múltiplos de 7 existen de 3 cifras? 05.Calcular el residuo de dividir N entre 7. a) 240 d) 280

b) 192 e) 128

c) 271

24.Luego de una votación, se agrupan los votos de 5 en 5 ó de 7 en 7 y siempre sobran 3. ¿Cuántos son los votos si están comprendidos entre 215 y 186? a) 210 d) 223

b) 213 e) 242

c) 218

25.En un salón de “LORD KELVIN” se observa tres alumnos que siempre faltan, uno de ellos lo hace cada 3 días, otro cada 5 días y el tercero cada 7 días. Si el día de hoy faltan los 3. ¿Dentro de cuántos días volverán a faltar los 3 nuevamente? a) 90 d) 105

b) 95 e) 110

c) 102

a) 2 d) 5

b) 3 e) 6

a) 1 d) 5

b) 3 e) 6

b) 4 e) 0

a) 5 d) 13

b) 2 e) 11

S3AR33B

b) 7

c) 4

c) 7

08.El número de la forma:

aaa.......     ..........    ........   = 9+2 40 cifras

c) 36

a) 8 d) 3

b) 4 e) 2

3er Año Secundaria o

01. Un ganadero cuenta las reses que tenía de 5 en 5, de 8 en 8 y le sobraba 4 y 7 respectivamente. ¿Cuánto recibirá, si cada res la vende a $250 y su establo puede tener como máximo 1120 reses? a) 275950 d) 299750

b) 255970 e) 279750

c) 257950

02. Un cerrajero cuenta las llaves que tenía de 45 en 45 y de 50 en 50, faltándole 5 y sobrándole 40 en cada caso. ¿Cuántas llaves tendrá si cada una la vende a S/.0,02 y recibe entre 18 y 20 soles? a) 960 d) 910

b) 940 e) 860

c) 920

03. Del 1 al 300 , ¿Cuántos números son múltiplos de 4? a) 90 d) 81

b) 36 e) 74

c) 75

c) 9 “El nuevo símbolo de una buena educación....”

a) 7 +2 o

d) 7 +5

a) 128 d) 118

b) 136 e) 112

c) 5

a) 225 d) 180

a) 5 d) 8

cociente es

a) 3 d) 6

a) 10 d) 13

c) 200 o 11 +2, el

entonces el dividendo será: o 11 +1

o 11 +2

o 11 +4

o 11 +5

S3AR33B

e) 7 +6

b) 6 e) 9

c) 7

b) 4 e) 2

c) 5

10. Hallar “a + b + c” si se cumple que: abc =5ª.b.c

o o 11 +4 y el resto 11 +5,

c) 7 +3

09. ¿Cuál es el residuo de dividir “E” entre 8. E =212+232+252+…+3432?

c) 108

b) 1205 e) 150

b) 7 +1

08. ¿Cuál es el residuo de dividir “E” entre 17. E = 34n+2+2.43n+1+8?

04. ¿Cuántos números de tres cifras son múltiplos de 8?

06. En una división el divisor es

c) -4

07. Si N = 7 +3, entonces N2 es:

TAREA DOMICILIARIA

05. ¿Cuántos números de tres cifras son múltiplos de 4 pero no de 3?

Hallar « a »

03.Si 1a + 2a + 3a +  + 10a =9. Hallar “a” a) 6

07. abc 2 − cba 2 siempre será divisible entre:

02.El número de la forma: 8ab432 =99 hallar: a-b a) 6 d) -6

•

01.¿Cuántos números de 3 cifras son múltiplos de 18? b) 45 e) 72

06.Si 357a2 al ser dividido entre 9, el resto obtenido es 4. Hallar “a”

EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 03

a) 50 d) 48

N = 7 +2+( 7 +5)( 7 +3)+( 7 -2)( 7 +3)

ARITMETICA

o 11 +3

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

b) 11 e) 15

c) 12

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

3er Año Secundaria

ARITMETICA

3er Año Secundaria

SOLUCIONARIO Nº

Ejercicios Propuestos 01

01.

02.

03.

04.

05.

06.

07.

08.

09. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.

S3AR33B

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

S3AR33B

“El nuevo símbolo de una buena educación...."