Aritmetica 4° 3b by juan guerrero

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

4to. Secundaria33 A. Inclusión ⊂ Se dice que A esta incluido en otro conjunto B, si todos los elementos de A pertenecen a B.

III

TEORÍA DE

ARITMÉTICA

∅ ; {a} , {b} , {a , b} ∴ Numero de subconjuntos de B es: 22 = 4 Ejemplo 2:

Se denota. A ⊂ B Se lee:

NOCIÓN DE CONJUNTO Intuitivamente un conjunto es la reunión, colección o agrupación de objetos reales o ideales, a estos objetos se les denomina ELEMENTOS del conjunto. Los conjuntos generalmente se denotan con letras mayúsculas (A, B, C, …Z) y sus elementos separados por comas y encerrados entre llaves.

Si: B = { 3, {3}, {4}, {{4}} }

“A esta incluído en B” “A esta contenido en B” “A es subconjunto de B”

Ejemplos: 1)

A = {p, q} B = {p, q, r, s} B A

Ejemplos:

DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS I. Por Extensión o en Forma Tabular Es cuando se pueden indicar explícitamente a cada uno de los elementos de un conjunto, enumerándolos o indicándolos en forma sobre entendida. Ejemplos: A = {2, 3, 5, 7, 11} B = {1, 4, 9, 16, 25} C = {a, e, i, o, u} II. Por Comprensión Constructiva

⇒ A⊂ B Observación 1. A ⊂ B ↔ ( ∀ x ∈ A) → x ∈ B A⊂ B ó B⊃A

Dar su valor de verdad de las proposiciones: {3} ∈ B {3} ⊂ B {{3}} ⊂ B {{{4}}} ⊂ B {{4}} ⊂ B 7⊂B 7⊄B

Forma

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

(V) (V) (V) (V) (V) (F) (F)

Se define: A=B⇔ A⊂ B∧ B⊂ A Ejemplo: A = {x/x ∈ Z ∧ x + 3 = x 2 - 9} B = {-3, 4} 2

De A:

3. El conjunto vacío está incluido en todo conjunto. 4. Si un conjunto tiene “n” elementos entonces tendrá: 2n subconjuntos.

Ejemplos:

x+3+x -9 2

- x

12 -4 3

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

 Forma del  elemento 

Caracterís ticas  (Propiedad es) 

Ejemplos: A = {x4 / (x + 3) (x + 1) x (x-1) (x-3) = 0} Observación x=-3 : -1 ; 0 ; 1 ; 3 ∴ A = {81 , 1 , 0} Nota No todo conjunto se puede determinar por extensión y comprensión a la vez. RELACIÓN DE PERTENENCIA Si un objeto es elemento de un conjunto, se dice que pertenece, (∈) a dicho conjunto, en caso contrario no pertenece (∉) a dicho conjunto. Ejemplo:

A = {P/P es un número primo ∧ P<12} B = {x2 /x ∈ N ∧ x < 5} C = {x/x es una vocal} S4AR33B

a∈A e∉A {a} ∈ A

{b} ∉ A c∈A {{c}} ∉ A

DIAGRAMAS DE VENN – EULER

De la parte I B = {a, b} Sub conjuntos de “B”:

Conjunto =

A = {a, {a}, b, c}

X X X

Ejemplo 1:

Esquema General:

Se denota: A = B

∀: Para todo (Cuantificador) 2. Todo conjunto está incluido en sí mismo o es subconjunto de sí mismo.

… … … … … … …

B. Igualdad Dos conjuntos A y B son iguales cuando tienen los mismos elementos sin importar el orden.

∀ A : A ⊂ A

Es cuando se menciona una o más características comunes y exclusivas a los elementos del conjunto.

S4AR33B

A = {6, 7, 8, 9} B = {Las Universidades del Perú} C = {a, b, ∆, *}

4to. Secundaria

Son regiones planas limitadas por figuras geométricas cerradas que se utilizan para representar gráficamente a los conjuntos, así:

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

4to. Secundaria33 A = { 5, 6, 6, 5 } → n ( A ) = 2 B = { x/x ∈ IN ∧ 3 < x < 6 } n (B) = 2

;

x=4 ; 5

(x–4)(x–3)=0 x=–3∨4

ARITMÉTICA

4to. Secundaria

Si dos conjuntos son iguales, entonces son comparables; lo contrario no siempre se cumple. E. Conjuntos Disjuntos Se dice que dos conjuntos son disjuntos cuando poseen elementos comunes. Simbólicamente:

Si :

A⊂B⇒

Si :

A=B⇒AB

Ejemplo: A = {1, 8, 27, 64} 

A y B son disjuntos ⇔ ∃ x/x ∈ A ∧ x ∉ B

.64

. -3

.27

∃ : “Existe alguno” (Cuantificador)

CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS Todos son números complejos: C

Ejemplo: Observación Otro diagrama para representar gráficamente a los conjuntos es:

DIAGRAMA DE LEWIS CARROLL

C. Conjuntos Diferentes ( ≠ ) Dos conjuntos son diferentes si uno de ellos tiene por lo menos un elemento que no posee el otro. Se define: A≠ B⇔ A⊄ B∨ B⊄ A

A = { 2, 3 4 } B = { 5, 6, 7 }

FUMAN NO FUMAN

Se observa que:

Hombres que fuman Mujeres que no fuman

-1

R Reales

.5 .6

Q Racionales

F. Conjunt. Equipotentes o Coordinables “Para hablar de éstos conjuntos de alguna forma, el proceso de contar sus elementos siempre termina” . Dos conjuntos serán coordinables cuando el número de sus elementos son iguales. Ejemplo:

A≠ B

NÚMERO CARDINAL El número cardinal de un conjunto (A) nos indica la cantidad de elementos diferentes que posee y se denota por: n(A)

D. Conjuntos Comparables Dos conjuntos A y B son comparables cuando sólo uno de ellos está incluido en el otro es decir: A ⊂ B Observación:

Ejemplos: S4AR33B

B ⊂ A

A = { 10, 11, 12 B ={ m, n, p }

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

}

Irracionales

Z Enteros

Fracciones

negativos cero

positivos (Naturales) (N)

Propiedad:

∴ A y B son OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

DIAGRAMAS LINEALES Son representaciones gráficas que sirven para indicar relación de inclusión.

S4AR33B

Imaginarios

Ν ⊂ Ζ ⊂ Q⊂ R⊂ C

equipotentes

Ejemplo:

Complejos

De A: (x – 1)(x – 2)(x – 3) x = 0 x=0 ; 1 ; 2 ; 3

-3 = 3i 4 - 10 = 4 10 i

Imaginarios

Gráfica:

A = { x/(x–1)(x–2)(x–3) x = 0 } B = {0, 1, 2, 3, 4}

MUJERES

A y B son

disjuntos

Ejemplo: HOMRES

∴

I. Unión o Reunión La unión de dos conjuntos “A” y “B” es el conjunto formado por la agrupación de todos los elementos de “A” con todos los elementos de “B”.

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN Notación:

A ∪ B (A o B)

4to. Secundaria33 II. Intersección La intersección de dos conjuntos “A”y “B” es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a los dos conjuntos a la vez.

Simbólicamente se define: A ∪ B = {x/x ∈ A ∨ x ∈ B}

Notación: A ∩ B

(A y B)

ARITMÉTICA

4to. Secundaria

A∩B=B∩A (Conmutativa) A ∩ (B ∩ C)=(A ∩ B) ∩ C (Asociativa) A∩A=A (Idempotencia) A∩U=A A∩∅=∅ (Elemento Neutro)

Observación PROPIEDADES COMPLEMENTARIAS

Simbólicamente se define:

“ ∨ <> ó : unión”

- Distributiva:

A ∩ B = x/x ∈ A ∧ x ∈ B Ejemplo:

A = { 2, 3 }   B = { 3, 4 } 

“∧ <> y : intersección”

- Ley de Absorción:

Ejemplo:

A ∪ B = {2, 3, 4}

A = { 3, 4, 5 }   B = { 4, 5, 6 } 

POSICIONES RELATIVAS PARA 2 CONJUNTOS A Y B

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

Observación

A ∩ B = {4, 5}

A U

POSICIONES RELATIVAS PARA 2 CONJUNTOS A Y B

B U

(A ∪ B) ⊂ C) ⇔ A ⊂ C y B ⊂ C Si : A ⊂ B y C ⊂ D ⇒ (A ∪ C) ⊂ (B ∪ D)

Observación

Simbólicamente: A <> B ⇔ n(A) = n(B)

A∪B=B∪A (Conmutativa) A ∪ (B ∪ C)=(A ∪ B) ∪ C (Asociativa) A∪A=A (Idempotencia) A ∪ U = U A∪∅=A (Elemento Neutro) S4AR33B

CLASES DE CONJUNTOS

* Si : B ⊂ A ⇒ A ∩ B = B * Si : A y B son conjuntos disjuntos ⇒A∩B=∅ Propiedades:

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

A = {P/P es un número primo} B = {x/x ∈ IR ∧ 8 < x < 9} C = {x/x es una estrella del universo}

1. Conjunto Nulo o Vacío Es aquel conjunto que carece de elementos.

A = { x/x es el actual INCA del Perú } B = { x/x ∈ IN ∧ 7 < x < 8 } Notación:

“∅” ó { } ⇒ A=B=∅={}

Nota: El conjunto vacío “∅” es subconjunto de todo conjunto.

Ejemplo:

Si : B ⊂ A ⇒ A ∪ B = A Observación

Ejemplo:

2. Conjunto Unitario o Singletón Es aquel conjunto que tiene un solo elemento.

Propiedades:

Un conjunto es infinito, si tiene una cantidad ilimitada de elementos diferentes; es decir el proceso de contar sus elementos nunca termina.

Ejemplo:

La diferencia de dos conjuntos A y B (en ese orden) es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a “A” pero no a “B”

U → B∪ A

B. Conjunto Infinito

CONJUNTOS ESPECIALES

III. Diferencia

A ∪ (A ∩ B) = A A ∩ (A ∪ B) = A

A = {x/x es un contribuyente de la Sunat} B = {x/x es un mes del año}

A. Conjunto Finito Un conjunto es finito, si posee una cantidad limitada de elementos, es decir el proceso de contar sus elementos termina en algún momento. Ejemplo: S4AR33B

A = { x/x ∈ Z ∧ 10 < x < 12} = {11} B = { 2, 2, 2, 2, …} = {2} 3. Conjunto Universal ( U ) Es un conjunto referencial para el estudio de una situación particular, que contiene a todos los conjuntos considerados. No existe un conjunto universal absoluto. Ejemplo:

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN A = { 1, 3, 5 } B = { 2, 4, 5, 6 } Podrían ser conjuntos universales U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } U = { x/x ∈ IN } * Gráficamente el conjunto universal se representa generalmente mediante el rectángulo.

4to. Secundaria33

P(A) = { φ , {2}, {3}, {2,3} }  Sub conjuntos Propios de A n[P(A)] = 4 = 2

n(A)

A = { x/x es peruano } B = { x/x es colombiano } C = { x/x es mexicano}

A = { a, b, c } P(A)=

⇒ U = {x/x es americano} 4. Conjunto de Conjuntos ó familia de Conjuntos Es aquel conjunto cuyos elementos son todos conjuntos. Ejemplo: A = { {5} , {7,9} , ∅ } 5. Conjunto Potencia o Conjunto de Partes Dado un conjunto A, el conjunto potencia de A está formado por toda la familia de subconjuntos de A. Notación: P (A) Ejemplo: A = { 2, 3 }

{φ , {a }, {b},  {c },{c ,b}, {a, c},{b, c}, {a,b,c} } ↓ vacio Unitarios Binarios Ternario

* Los subconjuntos propios de A son aquellos subconjuntos diferentes al conjunto A.

Si n(A)=5 entonces subconjuntos propios es:

número

B U

de → A–B

n[P(A)]=25 = 32

Observación

# subconjuntos propios de A = 25 – 1 =31 Ejemplo 2: Determinar el valor de verdad de cada proposición. A = {∅,{∅},{{∅}},{{{∅}}}} - ∅∈A …(V) - ∅⊂A …(V) - {{∅}} ∈ A …(V) - {{∅}} ⊂ A …(V) - {{∅}} ∈ P(A) …(V) - {{{∅}}} ⊂ P(A) …(V) - {{{{∅}}}} ∈ P(A) …(V) Notación: A – B

* *

Si: B ⊂ A ⇒ B – A = ∅ Si: A y B son conjuntos disjuntos A–B=A Ejemplo:

A = { 2, 3, 4 }    B = { 3, 4, 5, 6 }

;

B – A =B

A −B ={ 2 } B − A = { 5, 6 }

IV. Diferencia Simétrica La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a “A” o “B” pero no a ambos. A∆B

Se lee: “A pero no B” (sólo A)

Notación:

Simbólicamente: A – B {x/x ∈ A ∧ x ∉ B}

Simbólicamente se define: A ∆ B = {x/x ∈ (A – B) ∨ x ∈ (B – A)} ó A∆B = {x/x ∈ A ∨ x ∈ B ∧ x ∉ A ∩ B}

Observación Si : A ≠ B ⇒ A – B ≠ B – A Si : A = B ⇒ A – B = B – A = ∅

POSICIONES RELATIVAS PARA 2 CONJUNTOS A Y B

Simbólicamente: P(A)= {x/x ⊂ A}

B B

* Si un conjunto A tiene “n” elementos entonces el número de subconjuntos de A es 2.

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

Ejemplo 1:

n [ P (A) ] = 23 = 8

Observación

S4AR33B

4to. Secundaria

Ejemplo:

ARITMÉTICA

S4AR33B

B U

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

A U

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

4to. Secundaria33

U Observación * Si: B ⊂ A ⇒ B – A = ∅ * Si: A y B son conjuntos disjuntos

Propiedades (A´)´ = A 1. 2.

φ´ =U U´ =φ

A − B = A∩ B´

A ∪A´ = U A ∩A´ =φ

A∆B=A∪B Propiedades: * A ∆ B = (A - B) ∪ (B - A) * A ∆ B = (A ∪ B) - (A ∩ B) *A∆B=∅ *A∆∅=A Ejemplo:

02. Diana realiza un viaje mensual durante todo el año a Ica o Tacna. Si 8 viajes fueron a Ica y 11 viajes a Tacna. ¿Cuántos meses visitó a los dos lugares?

(Involución)

a) 4 d) 8

( A −B ) =12 n ( B −A ) =10 n ( A ) +n ( B ) n

a) 22 d) 25

(A ∩B)´ =A´ ∪B´

04. Si:

6. Caso particular de la absorción

y .

Hallar

) ] =128

, y

[ ( A ∩B ) ]

Hallar: n P

Observación 1) n( ∅ )=0 2) n(A ∪ B)=n(A)+n(B)-n(A ∩ B) 3) Si A y B son conjunto disjuntos n(A∪B)=n(A)+n(B) 4) n(A∪B∪C) = n(A)+n(B)+n(C) – -n(A∩B)–n(A∩C) – -n(B∩C)+n(A∩B∩C)

a) 128 d) 1024

c) 256

b) 6 e) 10

c) 4

PRACTICA DE CLASE

01. Dado el conjunto unitario

A ={ a +b ; a +2 b −3 ; 12 Calcular: a2 + b2

a) 80 d) 90 “El nuevo símbolo de una buena educación....”

b) 74 e) 39

c) 104

}

06. De un grupo de 100 estudiantes, 49 no llevan el curso de Matemática y 53 no siguen el curso de Administración. Si 27 alumnos no siguen Matemática ni Administración. ¿Cuántos alumnos llevan exactamente uno de tales cursos? a) 47 S4AR33B

b) 43

07. Un conjunto A tiene 1023 subconjuntos propios y el producto cartesiano de A y B tiene 50 elementos ¿cuántos subconjuntos propios de 3 elementos posee el conjunto potencia de B? a) 10 d) 13

b) 12 e) 9

c) 42

c) 11

08. De 100 personas que leen por lo menos dos de tres revistas ( A, B y C ), se observó que 40 leen A y B; 50 leen A y C, 60 leen B y C. ¿Cuántas personas leen sólo dos revistas? b) 25 e) 80

c) 75

09. En una encuesta de un club se determinó que le 60% de los socios lee. “La República” y el 30% “El Comercio”. Se sabe que los que leen “La República” o “El Comercio” pero no ambos constituyen el 70% del club y hay 400 socios que no leen ningún diario. ¿Cuántos socios leen ambos diarios? a) 240 d) 200

b) 210 e) 150

10. Dados:

05. Durante todas las noches del mes de Octubre, Soledad escucha música o lee un libro. Si escucha música 21 noches y lee un libro 15 noches. ¿Cuántas noches escucha música y lee un libro simultáneamente? a) 5 d) 3

Diagrama

b) 32 e) 512

e) 45

a) 50 d) 29

c) 36

n [ P ( A ∪B

) ] =16 n [ P ( A ∩B ) ] =8

A´ ∩(A ∪B) =A´ ∩B

Simbólicamente: A´ = {x/x ∈ U ∧ x ∉ A} = U – A

b) 38 e) 37

n[P(B

A´ ∪(A ∩B) =A´ ∪B

Notación: A´ ; A ; AC ; C A

S4AR33B

c) 7

(A ∪B)´ =A´ ∩B´

V. Complemento El complemento de A, es el conjunto formado por los elementos que pertenece al conjunto universal U pero no a “A”

Observación

b) b e) 5

03. Los conjuntos A y B son tales que n ( A ∪B ) =30 ,

5. Leyes de Morgan

A = { 2, 3, 4 }   A∆ B = { 2,5} B = {3, 4, 5} 

→ A‘

4to. Secundaria d) 48

C BA = B – A

ARITMÉTICA

{ B ={ c

c) 180

} +1 ; d −e +4 ; 5 }

A = a 2 +b 2 +c 2 ; d +e 2

Si: A = B ; A es unitario, c > a > b y son no negativos. Hallar: a + b + c + d x e a) 9 d) 7

b) 6 e) 10

c) 8

11. ¿Cuántos elementos tiene conjunto potencia de H?

H ={ ( A −C ) ∪( C − A ) } ∩B Si:

A ={ m, n, p

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

}

B ={ n, p, q

}

C ={ p, q

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN a) 8 d) 16

b) 4 e) 32

4to. Secundaria33

{ [ ( B ∪ A ) ∩( B ' ∩C ) ] ∪ A ' }

c) 64

12. Dados los conjuntos A y B contenidos en un universo. A que es igual:

b) A’ ∩ B’ e) ( A ∪ B )’

a) B’ d) A’

∪B '

13. Si:

b) A ∪ B c) B’ ∪ A

{

A = x / x 2 −13 x +40 =0

n [ P (A) ∩ P (B) ] =16 n ( A ∪ B ∪ C ) = 23

{

C = x 2 −1 / x ∈B ∧x <5 D =( A ∪C

) −B

}

b) 8 e) 16

} / x ∈Z ∧2 <x <5 }

a) 526 c) 684

1. A y B son disjuntos ................. 2. n (A) > n (B) .......................... 3. n (A) = n (B) .......................... 4. A ⊂ B ..................................... 5. A = B .................................... 6. A y B son comparables .......... a) 2 d) 5

b) 3 e) 6

c) 4

{ [ A ∩( A ∆C ) ] ∪[ ( B ∩C ) b) A ∪ B e) A ∪ B

16. Si: A ⊂ B. Simplificar: S4AR33B

] [

n(B

)

b) 2048 e) 1024

c) 1496

a) 85 d) 84

{ B ={ 2 C ={ x a) 5 d) 8

a) 4 d) 7

c) 87

a) 25 d) 31

)]}

b) 5 e) 8

}

/ x ∈A b) 2 e) 6

}

b) 30 e) 32

01. De 72 postulantes, se supo que 45 postulan a la UNI, 36 postulan a Pacífico y los que postulan a las dos universidades son el doble de los que no postulan a ninguna de las dos. ¿Cuántos postulan a una sola universidad? a) 54 d) 27

} c) 3

¿Cuántos hombres tienen 17 ó 18 años? c) 28

b) 36 e) 45

c) 18

02. En un grupo de 55 personas, 25 hablan Inglés, 32 Francés, 33 Alemán y 5 los 3 idiomas. ¿Cuántas personas del grupo hablan dos de estos idiomas, sabiendo que, todos hablan por los menos uno de estos 3 idiomas? a) 20 d) 28

b) 25 e) 21

c) 22

03. Si: M = { a + b; 12; 2a - 2b + 4 } es un

conjunto unitario. Además:

S ={ x / x =ak ; k ∈Z } G ={ x / x =bk ; K ∈Z } Hallar: ( S ’ ∪ G ’) ‘

{ x / x =8 k ; k ∈Z } b) { x / x =4 k ; k ∈Z } c) { x / x =2 k ; k ∈Z } d) { x / x =12 k ; k ∈Z }

c) 6

20. En un momento de una fiesta se observó que el número de varones que no bailaban era el doble del número de personas que estaban bailando y además

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

b) 89 e) 810

1. 5 mujeres tienen 17 años 2. 16 mujeres no tiene 17 años 3. 14 mujeres no tiene 18 años 4. 10 hombres no tienen 17 ó 18 años

¿Cuántas ∩A ∪ B ∪ Ason ∩verdaderas? BC

c) A ∩ BC

PROBLEMAS PROPUESTOS 01

23. En un club hay 61 personas, tal que:

1. φ ∈ A 2. φ ⊂ A 3. { φ } ∈ A 4. {{ a } ; φ } ∈ P ( A ) 5. {{ φ }} ⊂ P (A) 6. {{ a }}, φ, { φ } ∈ P (A) 7. {{ φ }} ⊂ A

(

Hallar el número de elementos que puede tener como máximo el conjunto potencia de

A = 2 x +1,3 x

19. Dado el A = { a, { a }, φ, { φ } }

15. Simplificar la expresión conjuntista:

a) AC d) B

El número de subconjuntos de B excede el número de subconjuntos propios de A en 193. ¿Cuántos subconjuntos tiene AC?

Cuántas proposiciones son falsas

) ] + n [ P ( C ) ] =448

22. Si A=B, halle la suma de elementos de C.

B tienen 512 subconjuntos

n ( A )=

c) 72

A ∪B ∪C

A = x 3 / x ∈Z + ∧2 x −3 ≤9 4

c) 2

A∩B=φ

c) 64

14. Sean los conjuntos:

{ B ={ x −x

b) 4 e) 3

18. A y B son subconjuntos de U y se cumple que:

Calcular: n [ P (D) ]

a) 2 d) 32

a) 5 d) 6

b) 78 e) 26

n [ P ( A ) ] +n [ P ( B

Calcular: n (C)

B ={ 2 x +1 / 1 ≤x <6 ∧x ∈Z }

a) 82 d) 39

21. Se tiene 3 conjuntos A, B y C cuyos números cardinales son consecutivos, además se sabe que:

n ( A - C ) = n ( B - C ) = 12

}

el número de damas que no bailaban es al número de varones como 2 es a 5. si en total asistieron 104 personas. ¿Cuántas personas no bailaban?

17. Si los conjuntos A y C; B y C son conjuntos

c) A ∆ B

4to. Secundaria

c) A - B

( ( ( A ' ∪B ) ' ) ' ) ' ∪( ( B − A ) ' ) ' ∪( Adisjuntos, ' ∪Bademás: ' )' a) A ∩ B d) A’ ∪ B

ARITMÉTICA

S4AR33B

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

4to. Secundaria33

e) N.a.

¿Cuántos alumnos llevan exactamente un solo curso?

04. Dado el conjunto: M = { 2; 3; { 5; 7 }} ¿Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas? 1. 5 ∈ M 2. 7 ∈ M 3. { 5; 7} ⊂ M 4. { 2; 3} ⊂ M 5. φ ∈ M a) 1 d) 4

a) 24 d) 30

 y +3  B = / y ∈A  2    2 z +1  C = / z∈B  3  

c) 3

05. De 60 personas se sabe: • 6 hombres tienen 20 años • 18 hombres no tienen 21 años. • 22 hombres no tienen 20 años. • Tantas mujeres tienen 20 años como hombres tienen 21 años. ¿Cuántas mujeres no tienen 20 años? b) 22 e) N.a.

10. Al combinar “n” colores básicos de 2; 3; 4; ....; n colores, se han obtenido 1013 nuevos tonos. Hallar: “n” a) 6 d) 9

c) 24

06. Hallar la suma de los elementos del siguiente conjunto:

{( 2

G= a) 119 d) 127

)

−1 / x ∈N ∧x ≤6 b) 120 e) N.a.

}

{

a) 31 d) 7

b) 127 e) N.a.

c) 63

08. En un grupo de 90 alumnos:

• n (AC ∩ BC ) = 90 • n [ (A ∪ b) - C ] = 6n (C)

02. Sean los conjuntos:

}

A = { 1, 2, 3, 4 } B = { 3, 4, 5, 6 } S = { (a, b) ∈ A x B/ b = a + 3 }

{ B ={2 A=

a +

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

b , 14

b −3

}

a ,3

04. Para dos conjuntos comprables donde uno de ellos tiene 3 elementos más que el otro, se cumple que la suma de los cardinales de sus conjuntos potencia es 576.

• 10 fuman pero no van a la academia • 25 van a la academia pero no tienen 17 años • 16 que no van a la academia no fuman y tienen 17 años. • 5 van a la academia tienen 17 años pero no fuman. • 2 fuman van a la academia y tiene 17 años.

¿cuántos subconjuntos propios tiene la unión de ellos?

¿Cuántos alumnos no tienen 17 años, no fuman, ni van a la academia?

}

a) 511 d) 107

b) 15 e) 255

c) 31

10. Si: C - B = φ, además: A ∩ ( B ∪ C ) = { 0, 2, 3, 7, 6} Calcular: A - ( B - C )C si: A y C son disjuntos.

05.Cierto número de medallas de Oro, Plata y Bronce es distribuido entre 100 atletas en un festival deportivo. Se sabe que 45 atletas reciben medallas de Oro, 45 reciben medallas de Plata , 60 reciben medallas de Bronce, 15 reciben medallas de Oro como de Plata, 25 atletas reciben de Plata y Bronce, 20 reciben medallas de Oro y Bronce, 5 reciben de Oro, Plata y Bronce. ¿Cuántos atletas no recibieron medallas? 06. Sean A y B dos conjuntos cualesquiera. Simplificar:

( A ∪B ) ∩{ ( A ∩B ' ) ∪( A ' ∩B ) } ' 07. 60 alumnos rinden un examen que consta de tres partes, si se sabe que: • 10 aprobaron sólo la primera parte • 20 aprobaron la primera parte • 25 aprobaron la segunda parte • 21 aprobaron la tercera parte • 6 aprobaron la segunda y tercera parte pero no la primera • 7 aprobaron las dos primeras partes • 3 aprobaron las tres partes.

Calcule: n (U)

¿Cuántos desaprobaron las tres partes?

03. Dados los conjuntos unitarios:

• 36 no llevan el curso de matemática • 24 no llevan el curso de lenguaje y, • 18 no llevan matemática ni leguaje.

S4AR33B

c) 8

01. Se tiene 3 conjuntos A, B y C tal que están incluidos en el universo U, donde: •A∩C=C • n( C ’) = 150

c) 112

3 x +1 ∈ Z / x∈ N ∧x <10

b) 7 e) 10.

TAREA DOMICILIARIA

07. ¿Cuántos subconjuntos propios tiene B?. Siendo:

c) 36

A ={ ( 2 x −1 ) / x ∈N ∧2 <x <10

4to. Secundaria

Calcular n [P (C)] si n (C) = b - 3a

09. Dados los conjuntos A, B y C subconjuntos del conjunto de los números naturales.

b) 2 e) 5

a) 18 d) 32

b) 48 e) N.a.

ARITMÉTICA

08. n

}

( A ) +n ( C ) =26

Calcular el número de subconjuntos propios de B. 09. De un grupo de 70 estudiantes se sabe lo siguiente: S4AR33B

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

NUMERA INTRODUCCIÓN Antiguamente los egipcios, griegos y romanos tenían formas distintas de representar los números, la base de su numeración era decimal. Otros pueblos elaboraron distintos sistemas: por ejemplo, los babilonios tenían como base el sesenta; los mayas, en América, desarrollaron un sistema de base veinte. En cambio, los hindúes habían desarrollado un práctico sistema de notación numeral, al descubrir el cero y el valor posicional de las cifras. Los árabes dieron a conocer el sistema de Europa a partir de siglo VIII por eso, nuestras cifras se llaman indoarábigas. En el siglo XVIII Leibnitz descubrió la numeración de base binaria y la posibilidad de infinitos sistemas de numeración. En la actualidad el lenguaje de los números en forma hablada y escrita tiene su alfabeto, que hoy en día se utiliza en todas las naciones y se denomina Sistema Decimal de Numeración que utilizas las diez cifras del 0 al 9. Además, el uso de los sistemas binario y hexadecimal que son los que utilizan las computadoras para realizar sus cálculos.

4to. Secundaria33

4to. Secundaria

Los símbolos que convencionalmente se van a utilizar para la formación de los números son: 0, 1, 2, 3, 4, …

En forma práctica la base nos indica de cuanto en cuanto estamos agrupando las unidades

SISTEMA POSICIONAL DE NUMERACIÓN

Conclusiones: 1. Toda cifra que forma parte de un numeral es un número entero no negativo y menor que la base, es decir, en base “n”, se puede utilizar “n” cifras diferentes, las cuales son:

Es el conjunto de principios, normas y convenios que nos permite la formación, lectura y escritura de los naturales. PRINCIPIOS FUNDAMENTALES A. Del Orden Toda cifra que forma parte de un numeral ocupa un orden determinado, el cual se considera de derecha a izquierda. Ejemplo: Cinco Cuatro Tres Dos Uno ⇒ ORDEN NUMERAL LUGAR ⇒

B. De la Base Todo sistema de numeración tiene una base que es un número entero y mayor que la unidad, el cual nos indica la cantidad de unidades necesarias y suficientes de un orden cualquiera para formar una unidad del orden inmediato superior. Ejemplo: Representar treinta y dos unidades en la base 3, 10, 8, 6 y 4

Numeración Es la parte de la aritmética que se encarga del estudio de la correcta formación, lectura y escritura de los números.

Cuatro

Tres

Dos

ORDEN uno

Número Es la idea asociada a una cantidad que nos permite cuantificar los objetos de la naturaleza Numeral Es la representación simbólica o figurativa del número Ejemplo: Se puede representar: , ≡, oo , 3, tres, etc.

ARITMÉTICA

Nota:

2(3)

cifra máxima ↓ 0, 1, 2,  3,  .......... , (n     -1) ↑ cifras significativas cifra no significativa A mayor numeral aparente le corresponde menor base. Del ejemplo obtenemos: 32 = 40(8) = 44(7) = 200(4) = 1012(3) Es decir, si 120n = 45k Como: 120 > 45 Afirmamos: n < k ALGUNOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN Base 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Nombre Del Sistema Binario Ternario Cuaternario Quinario Senario Heptanario Octavario Nonario Decimal Undecimal duodecimal

Cifras 0,1 0,1,2 0,1,2,3 0,1,2,3,4 0,1,2,3,4,5 0,1,2,3, … 6 0,1,2,3, … 7 0,1,2,3, … 8 0,1,2,3, … 9 0,1,2,3, … 9(10) 0,1,2,3,...9(10),(11)

Nota: Por convención, cuando la cifra es mayor que 9 se utilizan letras para su representación. (10) <> α <> A (11) <> β <> B (12) <> γ <> C Ejemplos: 4(11)6(10)(15) = 4β6α(15) = 4B6A(15) REPRESENTACIÓN LITERAL DE LOS NÚMEROS Cuando no se conocen las cifras de un numeral, éstas se representan mediante letras teniendo en cuenta que:  Toda expresión entre paréntesis representa una cifra.  La primera cifra de un numeral debe ser diferente de cero.  Letras diferentes no necesariamente indican cifras diferentes. Ejemplos:  Un numeral de 2 cifras de la base 10 ab ∈{10,11,12, …, 98, 99}.  Un numeral de 3 cifras en base 7. mnp 7 ∈ { 1007, 1017, 1027, …, 6667 }  Un numeral de 4 cifras consecutivas creciente en base 7.

a( a + 1)(a + 2)(a - 3)7 NUMERAL CAPÍCUA Son aquellos numerales cuyas cifras equidistantes son iguales. Ejemplos:

mnppnm

557; k

Cifras S4AR33B

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

S4AR33B

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

3538;

aa n ;

xyyz8 ;

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

4to. Secundaria33

Ejemplo: 1. Simple.  4352 = 4x103+3x102+5 x101+2  206458 = 2x84+6x82+4x81+5  3005046 = 3x65+5x62+4  abcd k = ak3+bk2+ck+d 2. Por Bloques.  4352 = 43x102+52  206458 = 208x83+648x81+5  13abc 5 = 135x53+ abc 5 

1b 1b n = n + c + b



1a 1b 1c n

=n+c+b+a

1. De base “n” a base 10(n≠0) Ejemplo: Exprese 5246, en base 10 5246=5x62+2x6+4=196 ∴ 5246=196 2. De base 10 a base “n” (n≠0) Ejemplo: Exprese 196, en base 6.

1x n

 Cada bloque considerado en su base respectiva, se descompone polinómicamente, siendo el resultado una cifra del numeral en la base “n” Ejemplo: Expresar 111011101112 a base 8 Resolución: Como 8 = a3 las cifras se separan en bloques de 3 y luego se descompone cada bloque.

2. De base nk a base n

∴ 196 = 5246 Propiedades. A. Numeral de cifras máximas 9 = 10 – 1 78 = 8 – 1 99 = 102 – 1 778 = 82 – 1 3 999 = 10 – 1 7778 = 83 – 1

Procedimiento:  Cada una de las cifras del numeral se convierte a la base n, teniendo cuidado de obtener bloques de k cifras (si existiesen grupos incompletos, se completará con ceros a la izquierda)  Los bloques obtenidos conformarán la representación en la nueva base

En general:

(n  - 1)(n   -1)...(n -1) n = nk – 1

2 02

8 22

39 103

a) n2 d) n (k - 1)

= n + x + … +d+c+b+a

Base 2 11 101 110 1112 Base 8 3 5 6 78 ∴ 111011101112 = 35678

6 5

4 11

07. ¿Cuál es la suma de las cifras del mayor número de k cifras en base “n”? b) kn2 e) k2

c) k (n - 1)

08. Hallar: a + b

1. De base “n” a base “n ” Procedimiento:  Al numeral dado se les separa en bloques de k, cifras (de derecha a izquierda)

CAMBIO DE BASE

"k" cifras

Base 9 Base 3

En general:

 mnpmnp k = mnp k x k2+ mnp k

Ejemplo: Expresar 42839 en base 3 Resolución:

S4AR33B

Como 9 = 3 , cada cifra del numeral se convierte a base 3, generándose un bloque de 2 cifras.

a ( 2a PRÁCTICA DE CLASE

Casos Especiales de Conversión:

abab n = ab n x n2+ ab n

190 6 4 32 2



1a 1b 1c1d 

4to. Secundaria

B.  1c = n + c DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA

ARITMÉTICA

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

02. Hallar

b) 8 e) 7 (a

1ab 8 = 43 ( a − 2

a) 0 d) 3

b) 1 e) 4

b),

b) 1 e) 4

c) 2

a) 15 d) 25

b) 14 e) 17

b) 20 e) 26

c) 21

10. Calcular: a2 + b2 + c2

c) 5

04. Si: a 5 b n =a 13 8 . Hallar (a + b + n) a) 13 d) 16

c) 9

N =2 . 15 3 + 21 . 15 2 − 8 . 15 + 319

03. Calcular (b - a), si: aba 7 = 3 a 4 9 a) 0 d) 3

b) 8 e) 11

09. Se tiene un número “N” expresado de la siguiente manera:

c) 2 +

=1233 ( 5 )

a) 7 d) 10

01. Hallar (m + n), si 45 m n = 341 7 a) 4 d) 10

) ( a +1 ) ( b )

c) 15

abc ( 8 ) = cba ( 17 ) a) 35 d) 36

b) 34 e) 37

11. Calcular a + b + c, si: a) 16 d) 19

b) 17 e) 20

c) 33

( ab )c =aaa c) 18

05. SI: 628 n =5 ab . Hallar (a + b + n) a) 10 d) 13

b) 11 e) 45

c) 12

06. Se tiene una colección de pesas: 1kg, 3kg, 9kg, 27kg, ...., y se desean pesar 3171 Kg. ¿Cuál es el menor número de pesas que deben tomarse? a) 1 d) 7 S4AR33B

b) 3 e) 9

c) 5

12. ¿Cuál es la última cifra del menor número capicúa de 5 cifras cuya suma de cifras es 27, siendo cada una de ellas mayor que 9? a) 4 d) 2

b) 5 e) 6

c) 3

13. Si: 13 m n + 33 n p + 136 ( n ) = 44 p Determine mnp en base “p” y dar como respuesta la cifra de segundo orden

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN a) 6 d) 10

b) 8 e) 16

c) 12

14. Calcular m + n + p si los siguientes numerales están bien escritos: n 23 q ( m ) , p 21 ( n ) , n 3 m ( 5 ) , a 2aa ( p )

a) 20 d) 15

b) 12 e) 16

c) 18

15. El mayor numeral de 3 cifras diferentes de cierto sistema de numeración es representado en el sistema octavario, como 165. Calcule la base de dicho sistema de numeración. a) 8 d) 10

b) 6 e) 12

c) 5

16. Al convertir el número n 2 n 0 ( 5 ) sistema heptanario se obtiene el numeral de tres cifras consecutivas crecientes. Halle el numeral en base 6. a) 5006 d) 5056

b) 3236 e) 3026

c) 2136

b) 25 e) 30

19. ¿Cuántos números se representan con numerales de dos cifras tanto en el sistema quinario como en el octal a la vez? a) 16 d) 20

b) 17 e) 256

c) 18

20. Si a 2a n = a 00 4 . Hallar: E=

an an an an

30 veces

a) 280 d) 160

20 veces an

b) 170 e) 240

c) 200

21. Expresar 3278 9 a base 3 y dar como respuesta la suma de sus cifras. a) 8 d) 11

b) 9 e) 12

c) 10

22. Hallar (a + b + c), si:

a) 21 d) 27

b) 25 e) 28

( d +1 ) 3

c) 26

18. Un móvil recorre 2 tramos de una carrera empleando un mismo tiempo, partiendo un kilómetro a 0 hasta a ( a +b ) . Si el

a) 8 d) 10

b) 7 e) 14

c) 12

a) 2 d) 8

02. Determinar el valor numérico de: ( a +b −c ) , si se cumple que:

b) 5 e) 1

PROBLEMAS PROPUESTO 02 01. Si: ab 5 ba ( n ) = 6616 7

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

b) 6 e) 10

08. El mayor número de 3 cifras diferentes en cierto sistema de numeración viene expresado por 225 en el sistema de base 7. Hallar la base de dicho sistema. a) 5 d) 8

c) 7

c) 4

b) 6 e) 9

c) 7

03. César nació en el año 19 ab y se sabe que en el año 19 ba , cumplirá (a + b) años. ¿Cuántos Años cumplirá en el año 2002? a) 54 d) 57

b) 55 e) 58

c) 56

04. ¿Cuál es el número comprendido entre 200 y 300, tal que leído al revés es el doble del número que sigue al original? a) 297 c) 247

b) 295 e) 252

c) 237

05. Si el numeral 21212 n se convierte a base n2, se obtiene un numeral cuya suma de cifras (en base decimal) es 16. hallar “n” a) 4 d) 8

a) 11 d) 14

Hallar el valor de. A + b + n S4AR33B

b) 10 e) 14

4to. Secundaria

b) 3 e) 5

c) 6

06. Si al número abcde se le agrega un 3 a la derecha y a continuación se le multiplica por 2, no da como resultado el número abcde con un 2 a la izquierda. Hallar a+b+c+d+e.

c) 40

primer tramo fue hasta el kilómetro ab empleando a partir de ese momento una velocidad 3/4 de la anterior. Hallar a + b.

a) 11 d) 13

a) 3 d) 9

an an an

ARITMÉTICA

abc 9 = 2553 c = 1611 a = 1205 b

a 3 b , 432 a , b 21 c , c 42 d ,

17. Cuál es la base del mayor numeral de “k” cifras que sea equivalente al mayor numeral de “2k” cifras de la base 7. a) 49 d) 36

4to. Secundaria33

b) 12 e) 15

07. Si los siguientes correctamente escritos:

01. Trasladar 243(8) a base 10. Dar como respuesta la cifra que ocupa el orden de las unidades.

c) 13 numerales

están

n 23 p m ; p 21 n ; n 3 m 6 ; 1211 p Calcular: (m + n - p)

S4AR33B

TAREA DOMICILIARIA

02. Efectuar: 1011 ( 2 ) + 110 ( 2 ) Dar la respuesta en el sistema decimal. 03. Si: ab = ba ( 4 ) . Calcular: 3a + 2b.

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

4to. Secundaria33

04. Si se cumple:

ARITMÉTICA

4to. Secundaria

Se dice: A es divisible entre B B es un divisor de A

a 2 b ( 9 ) = a 72 ( c ) Calcular: a.b.c

Ejemplos: Sea el número 28 y el 7 al dividir:

está

dicho

28 7 0 4

manera

0=

o 10 o  -57= 19

4. αβαβ ( 91 ) 07. Represente correctamente(reconstruya):

A = BK de la división anterior a . 5 4 +2 . 5 5 +c . 5 3 +4

representados 1a1 ( 4 ) ; bb ( c ) ; 2c ( a )

28 es múltiplo de 7 7 es un factor de 28

DIVISIBILIDAD DE LOS NÚMEROS Un número entero A se dice que es divisible entre otro número entero positivo B, llamado divisor, si al dividir A entre B la división resulta exacta. Es decir:

A 0

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

B K

Si un número entero A es múltiplo o divisible entre otro entero positivo B se denota: o A=

1, 2, 3, 4, 6, 12

a. 12:        Divisores

1, 5, 25, 125

b. -125:     

7 : … -21, -14, -7, 0, 7, 14, 21, … o

⇒ 7 = 7k, k ∈ Z b.

o 11 : …- 33, - 22, - 11, 0, 11, 22, 23, … ⇒

o 11 = 11 k, k ∈Ζ

A= o

Donde: A ∈ Z

Ejemplo:

K∈Z

 21 = 7

B ∈ Z+

1. Indique en forma explícita los divisores positivos de 12 y 125.

Nota:  Indicar que un número es divisible o múltiplo de otro, lo consideramos como equivalente  Todo divisor de un número, es un factor de dicho número.

TEORÍA DE LA

o 25

2. Indique en forma explícita los múltiplos de 7 y 11

28 = 7 x 4

10.Trasladar 1010 (2) a base 4.

 ab00 =

Se observa que un número es múltiplo o divisible de cada uno de sus divisores

Calcular: a + b + c 09. Hallar: a + b + c Si: aa +bb +cc =abc

Divisores

Se dice: A es múltiplo de B B es un factor de A Del ejemplo anterior

08. Si los siguientes numerales están bien

 14 =

Ejemplos:

MULTIPLICIDAD DE LOS NÚMEROS Un número entero A es múltiplo de otro número entero positivo B, si existe un tercer número entero “K”, tal que al multiplicar por B resulta el número A.

3. αβαβ (15 )

Nota: El cero es múltiplo de cualquier positivo

Se puede decir: 28 es divisible entre 7 7 es un divisor de 28

1. αβαβ (14 ) 2. αβαβ

S4AR33B

 -45 =  -460 =

05. Calcular: a + b, Si: ab . ba =252 06. ¿Qué numeral incorrecta?

S4AR33B

5=

Aplicación: 1. Calcule cuántos números positivos de 3 cifras son: a. múltiplos de 15. b. múltiplos de 9 pero no de 5 c. múltiplo de 7. “El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN d. múltiplo de 13 que terminan en cifras cero. Rpta: a. 60 c. 128

B q

son

B q+1

⇒ o + o = o

- o = o

11 11

⇒ o - o = o

Si un número no es múltiplo de un módulo, se puede expresar dicho número respecto a este módulo, por defecto o por exceso.

11 x (91) = 7 o Si A =

 63 = 10 x 7 - 7 63 = o

c. 91 = 7

Ejemplo:

b. 33 – 22 = 55

rd + r e = B

63 = o

-7

⇒A = m

Si: m ∈ Z

N = o +11⇒M = o -10

M = o -6⇒M= o +4

n +

Aplicaciones: 1. Calcule la suma de todos números positivos de dos cifras, tal que al dividirse entre 8 se obtienen residuos máximos. Rpta. 605

II. Si un número es múltiplo entre cierto módulo es múltiplo con cada divisor del módulo.

1, 3, 5, 15

Ejemplo: 15:      divisores

Entonces: o 15 =

15 = S4AR33B

Aplicación: 1. Calcule cuál es el residuo al dividir entre 13. Si: N = 11x 2m + 910 x 2m + 132 x 2n n ∈ Z+ y m∈ Zo+

Además:

15 =

+ o = o

Donde:

 63 = 10 x 6 + 3

15 =

+7 y además dichos números

Principios: I. Operaciones con números múltiplos de un mismo módulo: a. 33 + 22 = 55

Por exceso

A re

ARITMÉTICA

Rpta. 7

NÚMEROS NO DIVISIBLES Si un número entero A al dividir entre el número entero positivo B, la división resulta inexacta, se afirma que A no es divisible entre B. Por ser inexacta la división puede ser de dos tipos:

A rd

2. Calcule cuántos números positivos de 3 cifras terminan en cifra dos.

b. 80 d.7

Por defecto

4to. Secundaria33

Si:

III. Si un número es múltiplo con varios módulos, entonces es múltiplo del MCM de dichos módulos. Ejemplo: Sea. o A = 6 o  A = 5  Entonces:⇒A= o A = 8 

o  N = a ± r  o  N = b ± r  Entonces:  o N = c± r  

⇒=

o MCM(a, b, c) ± r

Aplicaciones 1. Calcule el menor número positivo de 4 cifras, tal que al ser divididos entre 2,3,4, … y 9 siempre se obtiene residuos máximos. Rpta. 2519

o o = MCM(6,5,8) 120

2. Calcule cuántos números de 3 cifras son múltiplos de 4 y pero no de 5. Rpta. 60

En General: Si: o

A = a o  o A = b  Entonces: ⇒A= MCM(a, b, c) o A = c 

Observación

Ejemplo sea: o 

(

o o o o 9 +2)( 9 +1)( 9 +3)= 9 +6

(

o o o o n +a)( n +b)( n +c)…( n +x)=

N = 9+ 3   o  N = 8 + 3  Entonces:  o N = 10 + 3   N=

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

4to. Secundaria

o MCM(a, b, c) + 3

( 8 +3)(

8 +2)= 8 + 8 + 8 + 6

Ejemplo:

o n +axbxCx…xX

⇒

Aplicaciones: 1. Calcule el residuo al dividir N entre 9 si: N = ab12 3 x mn7 9 x xy10 3 Rpta. 6 2. Calcule el residuo al dividir A entre 22 si:

S4AR33B

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

4to. Secundaria33

A = 23 x 24 x 25 x … x 29 Rpta. 2

BINOMIO DE NEWTON: Sea la multiplicación: o

2. Si: B = (ab101 2 )623 se expresa en base 8, calcule la última cifra. Rpta. 5 3.

(n ±  a)(  n  ±a)(  n±a)x  ...  x(  n±a)

5 = 6 − 1 además ab = 7 calcule la suma de valores de ab o = (n ± a) k Rpta. 336 ab

"k" factores

Su desarrollo: 1.

o k (n ±a) = n ± a

 Si K es par  o  n+ a k    Si K es impar   o k  n − a

2. (n ± a) k

=………….

53= 5.52

=…………..

= 55=5.54

=…………..

56=5.55

=…………..

5 =5.5

=…………..

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

+5)(

+8)

9 +40= 9 +4 o

+5)(

+4)

9 +20= 9 +2

=( =

o o 9 +35= 9 +8

=( =

51, 57, 513, …, 6 +1

Siempre dejarán de resto 5 respecto al módulo 9 o

 Las potencias: 53, 59, 515, …, 6 + 3

CASO PARTICULAR: El 5302 al dividirse entre 9, ¿Cuánto deja como resultado? Solución: 5302 + 9 o

o o 9 +5)( 9 +7)

o o 9 +5)( 9 +2) o

=( =

S4AR33B

o o 9 +25= 9 +7

Obsérvese que los restos potenciales empiezan a repetirse en forma ordenada y periódicamente. Al tomar una potencia cualquiera luego de 6 potencias sucesivas se obtendrá el mismo resto que deja la potencia tomada inicialmente.

+10= +5)(

o 9 +5

9 o

+1 +1)

32 =

o o 5 +4 … = 5 + 4

33 = (

o o o 5 +3)( 5 +4) = 5 +2

34= (

o o o 5 +3)( 5 +2) 5 +1

35=(

o o o 5 +3)( 5 +1)= 5 +3

36=(

o o o 5 +3)( 5 +3)= 5 +4

37=(

o o o 5 +3)( 5 +4)= 5 +2

Los restos que se repiten periódicamente son: 1,3,4 y 2. Luego el gaussiano(g) = 4

Toda potencia de 5 cuyo exponente sea múltiplo de 6 más 2, siempre deja como residuo 7. GAUSSIANO (q) SE llama gaussiano de un entero E respecto a un módulo m, a la cantidad de restos potenciales diferentes entre sí y diferentes de cero que se repiten ordenada y periódicamente. Del ejemplo anterior el gaussiano de 5 módulo 9 es 6 porque existen 6 restos potenciales diferentes entre sí que se repiten ordenada y periódicamente.

ordenada

Toda potencia de 3 que se

o 4 +2 al ser dividido

entre 5 deja de resto 4. r=4 Observaciones Mediante la aplicación de estos potenciales se determina cualquier criterio de divisibilidad Ejemplo: Hallar el criterio de divisivilidad por 7. Si:

= o

.......... .......... .....abcde fgh = 7 Por descomposición Polinómica: N = h+10g +102f+103e+104d+105c+106b +107ª+…

Ejemplo2: Calcular los restos potenciales de 3 respecto al módulo 5. o o 30 = +1 … = +1

3 =

o 5 +3 … = 5 +3

S4AR33B

Ejemplo: Al dividir 326 entre 5. ¿Cuál es el residuo? o o 326 = 4 + 2 = +4

5302 = 6 + 2 = 9 + 7 5

o o 9 + 25 = 9 +7

=…………..



Rpta. 3

o 9 +5

52 =5.5

54=5.53

Aplicaciones 1. Calcule el residuo al dividir: A = (1333)508 entre 11

o o 9 +5)( 9 +5)

Siempre dejarán de resto 8 respecto al módulo 9

o o = 45 (19 − 5 ) 19 − 5 45 o o  = ( 43 + 1)abc 43 + 1 o o  = ( 8 − 1)ab31 8 −1

Ejemplo: Calcular los restos potenciales de 5 respecto al módulo 9. o 50 = 0+1 =………….. = +1

=…………..

Ejemplo:

51 = 0+5

 ( 7 +2)6 = 7 +26 o o  ( - 3)20 = +320

58=5.57

4to. Secundaria

RESTOS POTENCIALES Se llaman restos potenciales de un entero E(diferente de cero) respecto a un módulo m a los residuos que deja la serie natural de las potencias sucesivas, enteras y positivas de E al ser divididas entre el módulo “m”

Ejemplos:

ARITMÉTICA

Expresando las potencias de 10 según módulo 7. o

N = h + ( 7+ 3)g + ( 7 + 2)f + (7 + 3)(  7+ 2)e  + o (7 +6)

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN o

4to. Secundaria33 Expresando N según módulo 4: o

2 (7 + d+(4+1)3c+(4+1)4b+  3)(  7+ 6)d  + (7 +  3)(  7+ 4)c  + (7 +  3)(  7N=f+(4+1)e+(4+1) + 5)b  + (4+1)5a+… o o o (7 +4) (7 +5) (7 +1)

Por Binomio de Newton aplicado divisibilidad: o o o N = f( +1)e + ( +12)d + ( +13)c +

(7 +  3)(  7+1)a + ...

(7 +3)

o o 4 5 4 +1 )b + ( 4 +1 )a + …

o o o o o N = h + ( 7+ 3)g + ( 7 + 2)f + (7 + 6)e + (7 +N4)d = f+ + e+ + d+ + c+ + b+ + o

a+…

+ (7 + 5)c + (7 + 1)b + (7 + 3)a + 

4 +(f +e +d +c +b +a +…)

2. Si: (a − 1)3ba = 25 Calcule al suma de los valores de (a+b) Rpta. 19

+ (7 − 2)c + (7 + 1)b + (7 + 3)a +  o

o 4 , entonces la suma de sus

Para que N sea

cifras tiene que ser también múltiplo de 4.

 N = abcde o o 3 ↔a+b+c+e=3

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD Sea el numero “N” Donde: N = abcde

Ejemplo 2:

= o

.......... .......... .abcdef (5) = 4

o abc = 3 . Calcule cuál es la última cifra

mnp -

calcule (m + n + p) máximo o

Rpta. 18

N= 5 ↔ e =5 o

Aplicaciones o

N = abcde +-+-+

d= o

 12e =

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

Aplicaciones:

S4AR33B

37 +24 → 12(e-2)= 37 → e – 2 =

1. Calcule el residuo al dividir S4AR33B

7xd =

N = 11 ↔ a + c + e – b – d = Rpta. 4

 91xd=

DIVISIBILIDAD POR 11

1. Si: 431(a + 1)aa = 8 Calcule: “a”

2c =

mpn − 9 ; pnm − 5 y

 125 ↔ cde = 125

 4xc =

2. Si:

 8 ↔ cde = 8

Descomponiendo Polinómicamente: N = f +5e + 52d+53c+54b+52a+…

 23xb=

en base 3 Rpta. 2

N = ab132ba2cc

o o 4 ↔ de = 4

Hallar el criterio de divisibilidad por 4 en el sistema de base 5. Solución: Si:

n=

 5a =

al expresar.

Divisibilidad por 2n y 5n o o N= ↔e =

IV. Principio de Arquímedes

N = 7 + (h + 3g + 2f − e − 3 d - 2c + b + 3a + ) Interpretación: Si N es múltiplo de 7 entonces al multiplicar sus cifras de de derecha a izquierda por: 1,3,2, -1, -3, -2, 1, 3, … respectivamente y al efectuar la suma algebraica, el resultado es también múltiplo de 7.

ab3abab = 11

Ejemplo:

o o 9 ↔a+b+c+e= 9

1. Si

2. Si:

Aplicaciones:

N = h + 7+ 3g + 7 + 2f + 7 − e + 7 − 3 d

+ 7 − 2c + 7 + b + 7 + 3a + 

Rpta. 5

Si el producto de dos números enteros es múltiplo de cierto módulo y uno de los números no es múltiplo del módulo, entonces el otro número debe ser múltiplo de dicho módulo.

Divisibilidad por 3 y 9

 N=

Interpretación:

entre 11

Rpta. 15 Rpta. 12

N=

N = aabccb357

calcule (a + b) máximo.

3. Si: a3(b + 1)ba = 125 Calcule la suma de valores de (a+b)

O también:

N = h + ( 7+ 3)g + ( 7 + 2)f + (7 − 1)e + (7 − 3)d

4to. Secundaria

( o

ARITMÉTICA

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

37 →e = 37 +2

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN  8xf=

17 -16→8(f+2)= 17 ∧f+2= 17 f=

 11xg=

+44

17 -2

4to. Secundaria33 dicha cantidad es el menor posible de 3 cifras? Rpta. 149 III. Un número expresado en cierta base es:  múltiplo de la base más la última cifra.  múltiplo de la base elevado al cuadrado más las dos últimas cifras en dicha base.  múltiplo de la base elevado al cubo más las tres últimos cifras en dicha base. Sea: N = abcd (K)

ARITMÉTICA

4to. Secundaria 06. Hallar “a+b”, si ( a ) ( a +1 ) ( b −2 75 y el menor posible.

 M = 7 +4= …47 P=

81 + 13

 P = ……… (13)(81)  P = ……… 14(9)

a) 1 d) 4

Entonces:

N=

5xh = 7 +  3 + 7 10 o

N=

h = 7 +2  9xi =

 23n =



mn5 9 = 9 + 5

 xy12 = 9 + 12 3 3

9+ 5

-23

 mn11 2 = 4 + 11 2

-1

41 abc = 170 Calcule la suma de valores de abc Rpta. 2550 II. Alexandra tiene una cantidad de estampillas, si los agrupa de 7 en 7 sobran 2; si se agrupan de 9 en 9 le faltan 4 unidades para formar un grupo más. ¿Cuántas estampillas posee si

4+ 3 o

 ab101 = 27 + 101 3 3 o

27 + 10 

a) 5 d) 20

b) 2 e) 25

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

8+ 5 o 9 +3= …….3g = ….103

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

b) 2 e) 5

c) 3

03. Hallar el valor de “a” si el número 157 aa 4 es divisible por 9.

c) 3

08. Hallar. “a - b” Si:

° 8 ab 53 b = 72

a) 1 d) 4

c) 3

02. ¿Cuántos números de la forma 472 a son divisibles por 6?

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

09. Hallar la menor cantidad de páginas que puede tener un libro: sabiendo que si se cuenta de 18 en 18 sobran 11, de 24 en 24 sobran 17, de 30 en 30 sobran 23, de once no sobra nada. Dar como la suma de sus cifras. a) 18 d) 21

b) 19 e) 22

c) 20

° + N= 19 7 ° N= 17 + 2

c) 3

04. ¿Cuántos números de 4 cifras consecutivas, sin importar el orden de ellas, son divisibles por 9? a) 6 d) 24

b) 12 e) 256

cd101 (2) = 8 + 101 2

N=

c) 3

10. Sea:

Aplicaciones: I. Si: 1 abc + 3 abc + 5 + abc +  +

S4AR33B

01. Hallar la suma de todos los valores que puede adoptar la cifra “c” para que el número 67 a 76 sea divisible por 8.

24 o

+ bcd (K )

ab3 7 = 7 + 3

23n =

o 3



+ cd ( K )

Ejemplo:

9 i = 13 + 1 + 26  o

o 2

a) 1 d) 4

PRACTICA DE CLASE

el número es divisible por

07. ¿Cuántos números de la forma son divisibles por 15? babababab

 5xh= 7 +3

b) 2 e) 5

)

c) 18

777 ... 7

05. Hallar el residuo de dividir   

77 cifras

9. a) 8 d) 5 S4AR33B

b) 12 e) 4

c) 6

por

Hallar el resto que resulta al dividir “N” entre 323. a) 12 d) 34 11. Cuántos serie:

b) 119 e) 121 ° + 13 10

c) 102

hay en la siguiente

29; 37; 45; 53; 4517 a) 41 d) 44

b) 42 e) 45

12. En la siguiente serie: “El nuevo símbolo de una buena educación...."

c) 43

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

4to. Secundaria33 d) 3

a) 2 d) 94

b) 6 e) 98

ARITMÉTICA

4to. Secundaria

e) 5

6 ( 15 +1 ) ; 6 ( 15 +2 ) ; 6 ( 15 +3 ) ; ... ; 6 ( 15 +100

Calcular: “a + d”

)

18. Si se sabe que:

°? ¿Cuántos términos no son 45

2003

° +2 =5

a) 16 d) 4

¿cuántos valores puede tomar ab ?

c) 10 a) 21 d) 24

b) 22 e) 25

19. Expresar el segundo numeral 3271 en base 8. dar la cifra de primer orden.

Calcular el valor de “a” a) 1 d) 94

b) 6 e) 98

a) 1 c) 3

c) 10

y cd =3 ab +10

a) 3 d) 1

Calcular: “a + b + c + d” a) 15 d) 27

b) 20 e) N.a.

c) 25

c) 34

b) 40 e) 30 abc b

°− = 9 7

°+ = 9 8

a) 13 d) 1

a) 0 d) 3

S4AR33B

b) 1

a) 2 d) 6

b) 11 e) 16

b) 3 e)7

c) 4

07. ¿Cuántos números de tres cifras son múltiplos de 17 terminan en la cifra 6? EJERCICIOS PROPUESTOS 03

c) 15

° ab = 7

b) 1 e) 4

)

c) 2

23. El segmento numeral N = 256 652 se expresa en base 9 ¿Cuál es la suma de sus unidades? a) 1 d) 4

;

°+ = 9 4

; y abc abc . Hallar el residuo de dividir abc abc entre 9 a) 0

Calcular:

c) 9

° +( a +b 8× 10 ab +9 ba =72

c) 45

c) 20; 11; 9

N = 24. 242. 243. ...... 24240

22. Hallar “a - b”. Si

16. En una fiesta hay 140 personas. Los 5/11 de las mujeres coquetean y los 8/17 de los varones fuman. ¿cuántos son los varones y cuántas las mujeres? . Dar la diferencia de ellos.

17. Si:

b) 6 e) 7

b) 20; 12; 8 e) 18; 16; 6

06. Si: 15 ! =130 aba 4368000

N ÷17

b) 32 e) 42

a) 35 d) 25

c) 2

21. Calcular el residuo que se obtiene de dividir

15. En un barco hay 200 personas; ocurre un accidente y de los sobrevivientes los 4/3 son solteros; los 2/7 son casados y los 3/8 son mujeres que usan minifalda. ¿cuántas personas perdieron la vida? a) 23 d) 36

a) 28; 15; 1 d) 28; 78; 4

20. Hallar el resultado en la siguiente división 942326 ÷ 13

14. Si:

° abcd = 17

b) 0 e) 4

c) 8

05. Se dispone de 100 soles para comprar sellos de 1, 4 y 12 soles la unidad ¿Cuántos sellos, como máximo, de cada uno de estos precios deben comprarse?

c) 23

13. Si se sabe que: ° 1a + 2a + 3a + .... + 9a = 17

b) 12 e) 15

b) 2 e) 5

c) 3

01. ¿Cuántos números de la siguiente sucesión: 47, 53, 59, ... ; 809 son múltiplos de 11 más 2? a) 9 d) 12

b) 10 e) 8

c) 11

02. En el sistema de base 7 la cifra de las unidades del número: 19931994 es: a) 1 d) 6

b) 5 e) 2

b) 7 e) N.a.

c) 15

08. En los salones de la Academia hay 690 alumno; se observa que los 5/8 de las mujeres son menores de 17 años; los 3/11 de las mismas son estudiosas y los 2/5 de ellas postulan a la UNT. ¿Cuántos hombres hay en la academia? a) 440 d) 300

b) 250 e) 490

c) 360

c) 4

03. ¿Cuántos números de tres cifras son múltiplos de 5 ó de 6 pero no de 8? a) 246 d) 249

a) 8 d) 12

b) 247 e) 251

c) 248

c) 2

04. Si el número abcd es divisible entre 13 y se cumple que cd =3 ab +2

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

S4AR33B

(

)

TAREA DOMICILIARIA 01. Entre 300 y 7000. ¿Cuántos números que terminan en 8 son divisibles entre 12? 02. Encuentra todos los números de 3 cifras divisibles entre 11, tal que al agregarles la suma de cifras el resultado también sea

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

4to. Secundaria33

múltiplo de 11. Dar la suma de todos estos números. a) 3014 d) 2516

b) 6666 e) 1414 a

03. Al dividir ( ab ) dividir ( ab )

entre 7 el resto es 5. Calcular

el resto de dividir ( ab )ab entre 7. 04. Determinar el mayor valor de

abc ,

sabiendo que: 74 abc =9° +7 05. Al dividir un número formado por 40 cifras 3, seguido de 45 cifras 4 entre 7. ¿qué residuo dejará? 06. Si el numeral: ( a +1 ) ( a +2 ) (a +3 ) ( a +4 ) ( a +5 Es múltiplo de 7 con residuo 5. hallar b sabiendo que: ° bbb ( a +4 ) =11 +2

ARITMÉTICA

4to. Secundaria

información de los sobrevivientes: los tres séptimos son casados y los cuatro treceavos eran extranjeros. ¿Cuántos murieron en el accidente?

c) 4444

entre 7 el restos es 2 y al

° y 7A = °, ¿Cuál 11 11 13. Si: 4 A = es el menor valor que puede tomar “A” si es un número de tres cifras?. Dar como respuesta la suma de sus cifras?

14. Un número de la forma: ab es siempre divisible por:

( 2a ) ( 2 b )

15. Determinar la suma de cifras del primer término de la progresión: 7; 12; 17;... que resulte ser múltiplo de 13. 16. La diferencia de aba siempre divisible por:

bab

SOLUCIONARIO

será Nº

)

07.En el sistema de base 7 la cifra de las unidades del número 1459 es: 08. Cuál es el menor valor que puede tomar ab si:

° ab + 2ab + 3 ab + .... + 20 ab = 91

Ejercicios Propuestos 01

01.

02.

03.

04.

05.

06.

07.

08.

09. 09. El numeral ( 2a ) ( 2 b siempre divisible por: 10. La expresión:

) ( 2c ) abc

10.

abc ( 5 ) 2 − cba ( 5 ) 2 no

siempre será divisible entre: 11. La expresión: ° S =( 11

° +( 11

° +6 +( 11

Es igual a: 12. En un barco viajaban 150 personas y ocurre un accidente, obteniéndose la siguiente S4AR33B

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

S4AR33B

“El nuevo símbolo de una buena educación...."